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• Franklin Coronel Rafael

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Aritmética NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS NÚMEROS NATURALES(N) Introducción: Históricamente, el número natural nació con la necesidad que tuvo el hombre de saber cuánto tenia de algo. Los números naturales son los números que se utilizan para contar cantidades .Es un conjunto ordenado porque entre dos números naturales se puede establecer una relación de orden.

5. La diferencia de dos números es 43 y el mayor excede a la diferencia en 72.¿Cuáles son los números? 6. La suma de los términos de una sustracción es 480.¿Cuál es el minuendo?

II. Multiplicación y división de números naturales

Representación de un conjunto

a) Multiplicación de números naturales

I. Adición y sustracción de números naturales

𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜

multiplicador

a) Adición de números naturales

b) División de números naturales

Ejemplo: 2+4=6

b1) División exacta:

b) Sustracción de números naturales

D

M-S=D

r=0

Ejemplo: 8-5=3

Ejemplo

Ejercicios

b2) División inexacta:

1. Efectuar:

D d

a) 38+50-(8-6)

r q

b) 18-7+2-10+13

Propiedades de la división inexacta

2. Miguel tiene 5 deudores, el primero debe s/.3800, el segundo s/.2760, el tercero s/.4520, el cuarto s/.6740 y el quinto s/.2670.¿Cuánto reuniría Miguel si cobra todas sus deudas?

1. rmin=1 (residuo mínimo)

3. La edad de una madre es 12 años más que la suma de las edades de sus tres hijos .Si el tercero tiene 6 años, el segundo 2 años más que el tercero y el primero tantos años como el segundo y el tercero juntos, ¿Qué edad tiene la madre?

Ejemplo

4. El exceso del largo de una tabla sobre otra es de 5 metros, si la tabla más larga mide 12 metros, ¿Cuánto mide la otra?

3𝑥5 ⏟ =

d

15 ⏟

, además 3: multiplicando y 5:

 D=dq

q

 D=dq+r

Ejemplo 2. rmáx=d-1 (residuo máximo)

3. rdef +rexc=d Ejemplo 1.En una división el cociente es 9 ,el divisor es 8 y el residuo es el mayor posible .¿Cuál es el dividendo?

Primer año de secundaria

1

Aritmética-Primer año de secundaria I.E.P.

San Juan Bautista

Ejercicios 1. Percy pagó una deuda de s/.2560 y más tarde pagó s/.4342 quedándole tanto como había pagado más s/.728, ¿Cuánto dinero tenía? 2. El Sr. Pimentel después de cobrar su sueldo ha comprado una camisa por S/.42, un pantalón por s/.36 más que la camisa, un par de zapatos por s/.62 más que el pantalón y ha pagado el alquiler de su casa por s/.450,quedándose con s/.380.¿cuál es el sueldo del Sr. Pimentel? 3. Dados los números naturales m,n,p,q y r tal que 𝒎 > 𝟒, 𝒏 > 𝟓, 𝒑 > 𝟑, 𝒒 > 𝟔 𝒚 𝒓 < 𝟏𝟎. Calcular el mínimo valor que puede tomar A si: 𝑨 =m2+n2+p2+q2+r2 4. Calcular la suma de todos los números de tres cifras que empiezan con 5 terminan en 2. 5. La cabeza de un mamífero mide 30cm;la cola mide mide tanto como la cabeza más medio cuerpo ,y el cuerpo tanto como la cabeza y la cola juntas .¿Cuánto mide el cuerpo del mamífero? 6. En una división el divisor es 8,el cocientes 5 y el residuo es 2.¿Cual es el dividendo? 8.¿Cuál es el número de 4 cifras que al ser multiplicado por 9999 da un producto terminado en 2634? 9.Al dividir un número N entre 11 se obtiene 7 como cociente y el residuo es máximo ¿Cuánto es la suma de las cifras de N? 10. Rafael tiene s/.987 entre billetes de s/.50 ,s/.20 y s/.10 y monedas de s/.5 y s/.1 .Si tiene 27 billetes de s/.20; 13 billetes de s/.10 ;5 billetes de s/.50 y 7 monedas de s/.1,¿Cuántas monedas de s/.5 tiene? 11.Una botella pesa 425 gramos y llena de agua 1175 gramos .¿Cuántas botellas semejantes serán necesarias para vaciar en ellas el contenido de un barril de 225litros? 2

Primer año de secundaria

12.Un comerciante ha comprado cierto número de vacas por s/.43200 y los vende por s/.52800,ganando 400 en cada una .¿Cuántas vacas compró? 13. Para rifar un auto se hicieron 500 números y se pensó ganar s/.1200, pero solamente se vendieron 340 números, lo que originó una pérdida de s/.240 ¿Cuánto costó cada número y cuánto costó el auto? 14.Cuando se hizo la conducción de agua a un pueblo joven ,correspondió a cada habitante 60 litros por día .Hoy ha aumentado el pueblo en 400 habitantes y corresponde a cada uno 40 litros por día .¿Cuántos habitantes tiene actualmente dicho pueblo? 15.Se contrata un empleado por el tiempo de un año ,acordando pagarle s/.700 más un televisor ,pero al cumplir los 7 meses se le despide pagándole s/.250 más el televisor .¿Cuál es el precio del televisor? 16. Osvaldo compró 5 docenas de vasos a s/.18 cada docena para venderlos a s/.3 cada vaso. ¿Cuánto ganó si durante la venta se le rompieron 7 vasos? 17. Se contrata un empleado ,acordando pagarle s/.10450 más pero al cumplir el décimo mes dándole s/.6700 más el automóvil el automóvil?

por un año un automóvil; se le despide .¿Cuánto vale

18.El dueño de un bazar compro 15 camisas por s/.270 .¿a cómo debe vender cada camisa para obtener una ganancia total de s/.120? 19. Dos depósitos contienen 2587 y 1850 litros de agua .Con una bomba se traslada del primero al segundo 4 litros de agua por minuto. ¿Después de cuánto tiempo uno contendrá el doble de litros que del otro?

Aritmética-Primer año de secundaria I.E.P.

San Juan Bautista

NÚMEROS ENTEROS (Z)

g) -5x [-38+2x(-24+47)]+25

Introducción: Esta necesidad de usar los números negativos llevo a los hombres de ciencia, a través de la historia, de definir un conjunto que contenga tanto a los números positivos como negativos, ese conjunto es el conjunto de los números enteros.

h) (-7+2)(-3)+[5-(-8):(+2)+(-4)]+(-9):(+3)

-Representación de los números enteros -Valor absoluto de un número entero Ejemplos -Comparación de números enteros Ejemplos

Operaciones con números enteros a) Adición y sustracción de números enteros Nota: -signos iguales se suma y se coloca su mismo signo. Ejemplos -Signos diferentes se restan y se coloca el signo del número de mayor valor absoluto. Ejemplos 1. Efectuar las siguientes operaciones a) (+7)+(+8) d)-9-6

b) +8-16

c)-44+(+56)

e)-12+-11+8 e)(-3423)+(-179)

f)-42+30+18+-16 g)-18++20++26+-19+-21 h)-17+23+-36+17+-23-+14 i) 235-+120+120+-325+45+36-+45-12 2. Multiplicación y división de números enteros

Ley de signos: Ejemplos 1) Efectuar las siguientes operaciones a) (-4).(+6)

b)(-24).(-12) c)(+12).(+13)

i) (8-4+7-2)+(-13+5-7)-(-4-3+8) Ejercicios 1. En una prueba científica de la NASA un cohete subió 20400km y bajó luego 7500km.¿A cuántos km está del punto de despegue? 2. Si Nayeli sale de su casa y camina 8 cuadras hacia el norte y luego 9 cuadras hacia el sur, ¿a qué distancia de su casa se encuentra? 3.Danilo decide escalar el nevado del Pastoruri .Al empezar avanza 18m,resbala y desciende 4m,vuelve a subir 15m,resbala y cae 2m,asciende nuevamente 9m y vuelve a descender 1m.¿A qué distancia se encuentra Danilo con respecto al inicio de su travesía? 3. Ciento habitante de la Roma antigua nació en el año 89 a.C.si se casó a los 35 años, ¿en qué año ocurrió su matrimonio? 4. Daniel sumo -8 al opuesto de -4, ¿Qué número se debe sumar a dicho resultado para obtener 10? 5. En la ciudad de Cerro de Pasco la temperatura al medio día es de 8°C y hasta la media noche desciende 14°C. ¿Qué temperatura indica el termómetro a la media noche? 6.Un helicóptero se ubica a 237m sobre la cima de una montaña ,de él desciende 1432m un tripulante sujeto a una cuerda ;hasta encontrarse con un grupo de escaladores que habían ascendido 2392m de la montaña .¿Cuál es la altura de la montaña? 7. Un cambista durante el día ha comprado 587 dólares y ha vendido 1109 dólares; si se va a su casa con 235 dólares, ¿con cuántos dólares empezó el día?

c(+63):(+7) d) (-81):(-9) e)(+45):(-9) f)82-35x[6x(-3)+22]-12x(-9) Primer año de secundaria

3

Aritmética-Primer año de secundaria I.E.P.

1. Si se cumple: 𝒄𝒄𝒄𝒄 + 𝒄𝒄𝒄 + 𝒄𝒄 + 𝒄 = 𝒑𝒗𝟑𝟖 , hallar c +p + v 2. Hallar el valor de “a+b”, si se cumple: 𝒂𝒂 + 𝒃𝒃 + 𝟕𝟏𝟒 = 𝒂𝒃𝒂 3. Si se cumple que: 𝟑𝒎𝒏 + 𝒑𝟒𝒎 = 𝒒𝒒𝒒𝟒 , hallar m+n+p+q 4. Si :a+b=12 Hallar 𝒂𝒂 + 𝒂𝒃 + 𝒃𝒃 + 𝒃𝒂 5. En una lista de números, cada número después del primero se obtiene sumando todos los números que lo precede. ¿Cuál es el noveno número de la lista si el tercero es 2? 6. Hallar la diferencia entre 3 docenas y 3 decenas. 7. Si:𝟐𝟒𝒂𝟓𝒃𝒄 − 𝟏𝟑𝟖𝒂𝟐𝟗 = 𝟏𝒃𝟕𝟖𝟗𝟖 ; indica la diferencia entre la mayor y menor cifra encontrada 8.si : 𝟔𝒙𝟒𝒚 − 𝒚𝟐𝒙𝒚 = 𝒚𝒎𝟕𝟎 , calcular el valor de: x+y+m 9.Miguel va al mercado y observa que si compra 14 manzanas le faltaría s/.3 ,pero si compra 13 manzanas le sobraría s/.1 .¿Cuál es el precio de cada manzanas? 10. Si: 𝒂𝒃𝒄 x99=…453, hallar a+b+c 11. Si 𝒂𝒃𝒄 xa=1832 𝒂𝒃𝒄𝒙𝒃=2290, hallar 𝒂𝒃𝒄𝒙𝒂𝒃 12. Si 𝒎𝒂𝒎𝒂 𝒙 𝒑=21816 𝒎𝒂𝒎𝒂 x a =14544,hallar 𝒎𝒂𝒎𝒂𝒙𝒑𝒂𝒑𝒂 13. La suma de dos números es 579, su cociente es 28 y el residuo lo máximo posible .Hallar el menor de los números.

4

Primer año de secundaria

San Juan Bautista 14. Hallar el menor número que multiplicado por 21, se obtenga un numero formado por solo cifras dos .Dar por respuesta la suma de cifras. 15. Al dividir 418 entre cierto número d, se obtuvo 15 de cociente y 13 de residuo .Hallar el número d. 16.Un explorador desciende 40 metros desde un punto que se encuentra a 11 metros sobre el nivel del mar y luego sube 117 metros hasta la cima de una colina .¿Cuál es la posición de la colina sobre el nivel del mar? 17. Una ciudad fue fundada el año 75 a.C.fue destruida 135 años después .expresar la fecha de su destrucción. 18. A las 6 a.m .el termómetro marca -8°C; de las 6 a.m. a las 11 a.m. sube a razón de 4° por hora. Expresar la temperatura a las 11 a.m. 19. Un alcatraz se encontraba volando a 8 metros sobre el nivel del mar y para casar un pez tiene que descender 19 metros, ¿a cuántos metros por debajo del nivel del mar se encontraba dicho pez? 20. Un deposito tenía 100 litros de agua .A continuación se ha sacado cierto número de litros de agua y después se ha devuelto solo 20 litros, después de estas manipulaciones resulta que el deposito tiene la mitad del volumen que tenía inicialmente. ¿Cuántos litros de agua se sacaron inicialmente? 21.Un niño está autorizado a coger de un recipiente tres caramelos al día y reponer uno si coge dos caramelos más de lo indicado .Si se sabe que al cabo de 3 días de consumo repuso 2 caramelos y la cantidad que sobro en el recipiente es de 29 caramelos .¿cuántos caramelos había al principio? 22.La semana pasada ,la temperatura en una ciudad sufrió los siguientes cambios :el lunes subió 5°C,el martes bajó 8°C,el miércoles bajó 1°C,el jueves subió 2°C y el viernes bajó 4°C.¿Cuál fue la variación final de la temperatura durante la semana?

Álgebra

Expresiones Algebraicas Leyes de exponentes

Ejercicios

Potenciación: Es una operación matemática donde, dados dos elementos llamados base (b) y exponentes (n) se calcula un tercer elemento llamado potencia (p).

1. Efectuar: b) 7.74

c) 68÷62

d) (32)5

e) 52.57.53

f) 95÷9 𝟑

g) √𝟏𝟐𝟏 × 𝟒𝟗 × 𝟒

b:base bn=p

a) 36.37

h)√𝟏𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎 𝟒

𝟑

n:exponente , n∈ 𝒁 P: potencia

i)√𝟑𝟒𝟑 × 𝟔𝟒

j)√𝟐𝟓𝟔 × 𝟏𝟔

𝟓

𝟑

k) √𝟐𝟒𝟑 × 𝟏𝟏𝟓

l)√𝟐𝟕 × 𝟖𝟎𝟎𝟎

Ejemplos

m)√𝟔𝟒 ××× 𝟏𝟐𝟏 × 𝟗 × 𝟐𝟓

Propiedades de las leyes de exponentes

n)√𝟐𝟐× 𝟗𝟔

p, si n∈ 𝒁+ 1. (-b)n=

𝟒

𝟕

ñ)√𝟓𝟕 × 𝟐𝟕 × 𝟏𝟏𝟕

𝟑

𝟑

o) Si: a= √𝟐𝟕 + √𝟑𝟒𝟑 + √𝟏𝟒𝟒 b= √𝟗𝟐 + 𝟏𝟐𝟐 , hallar √𝒂 + 𝒃 − 𝟏

−

-p, si n∈ 𝒁 Ejemplos

p) Si 𝟓𝟑. 𝟓𝟕 = 𝟓𝒎 , ( 𝟐𝟑 )𝟒 = 𝟐𝒏 Calcular (𝒎 + 𝒏)

2. Multiplicación de bases iguales. 3. División de bases iguales.

2. Calcular el valor de:

𝟓𝟐 .𝟓𝟐 .𝟗𝟐 𝟑𝟐 .𝟒𝟐 .𝟏𝟓𝟐

𝟐𝒏+𝟒 −𝟐.𝟐𝒏+𝟐 ; 𝟐.𝟐𝒏+𝟑

n∈ ℵ

4. Potencia de potencia.

3. Simplificar:

5. potencia de una multiplicación. 6. potencia de una división.

4. Indicar el exponente final de” x” luego de reducir: x8 .(x2)3÷x4(x3)2; x≠ 𝟎

7. Exponente cero b0=1 ,b diferente de cero.

5. calcular el valor de: M=2−3+4−2+8−1

8. Exponente negativo

6. Calcular el valor de :R=(

9. Exponentes fraccionario.

7. Calcular el valor de: P=𝟑𝟐

10. Raíz de una multiplicación. 11. Raíz de una división.

𝟐 −𝟐 ) 𝟓

+(

𝟐 −𝟏 ) 𝟐𝟓

𝟓𝟎

𝟏

−𝟑

8. Si A=𝟕𝟐 ;B=24 y c=𝟕 , 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒆𝒍 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 ∶AB.C 𝟐𝑿+𝟑 +𝟐𝑿+𝟐 𝟐𝑿+𝟏

12. Raíz de un radical.

9. Simplificar: E=

Nota:

10. Reducir: ( 𝟐𝟕 )𝟑

- 𝒏√𝒙 = 𝒂 ↔ 𝒂𝒏 = 𝒙 , donde n≥ 0

11. Luego de operar:

-La raíz negativa de índice par no existe

24.35.72.2-3.3-3.7-2, se obtuvo

−𝟕𝟎

Primer año de secundaria

1

Álgebra-Primer año de secundaria I.E.P. San Juan Bautista

Expresión algebraica Se denomina expresión algebraica a aquellas en la cual las variables y constantes están relacionadas Por las operaciones aritméticas en una cantidad limitada de veces.

3x2y3; 7x2y3; 4x2y3; 4y3x2 → Son términos semejantes 4x4y5 ; 3x5y4 → No son términos semejantes

Ejemplos

Monomio Es un término algebraico; con variables afectados de exponentes enteros y positivos.

a) x2-3x+2

Ejemplo: a) 5yz4

𝟒𝒙𝒚+𝟓𝒙 𝒚−𝟗

b)

c) x+2x2-x3+…

1. Grado Relativo (G.R.) Está indicada por el exponente que afecta a la variable.

Término algebraico

2. Grado Absoluto (G.A.)

Es la expresión algebraica que no admite las operaciones de adición y/o sustracción entre sus variables.

Esta indicado por la suma de todos los grados relativos del monomio.

Ejemplo

Ejemplos

Valor numérico de una expresión algebraica

a) 3xy3

Ejemplo

b) -4xyz

Adición y Sustracción de Monomios.

Partes de un término algebraico

Ejemplos

Exponentes de las variables

a)2x+5x b)6x3-3x3

P(x,y,z)=-6 x2y3 z4

c)4x-x+5x2+7x2 Variables

Coeficiente Signo

Multiplicación y división de monomios Ejemplos

Nota

1. Efectuar

La parte literal está dada por las variables y sus respectivos exponentes.

a) 3x2 por 2x2 b) -3xy2por4x2y3

Ejemplos Términos Semejantes. Dos o más términos, son semejantes si dichos términos poseen la misma parte literal afectados de los mismos exponentes. La adición o sustracción de 2 o más términos semejantes se reducen a un solo término algebraico.

Ejercicios 1 .Efectuar a. +2a + 3a b. 3a2 - 7a2 c. -8mn - 10mn d. -4x2y + 2x2y e. 8a + 5a2 f.3x+6x

Ejemplo

2

c) 40x5entre5x2 d) -84x3y5entre 2xy

Primer año de secundaria

Álgebra-Primer año de secundaria I.E.P.

San Juan Bautista

2. Hallar el ( G.R ) Y el (G.A) de los siguientes monomios

Polinomios

a) A(x, y) = 7x2y3 b) R(a, b, c) = -9a2bc5

Son expresiones algebraicas que constan de dos o más términos en las cuales las variables están afectadas solamente de exponentes positivos.

c) I(x, y) = 22x3y4z5

Ejemplo: 3x3-xy+y5

3. Los siguientes términos son semejantes hallar a+b:

Grado de un polinomio

a) t1 = 3xay3, t2 = 8x4yb

relativos en cada término.

4. El grado absoluto del monomio:

2. Grado absoluto (G.A): es el mayor grado absoluto de los términos del polinomio.

Q(x;y;z)=-2x3ya-1z2es 8,hallar el valor de a 5. El monomio:3xa+b-5yb-3 es de G.R(x)=5 y G.R(y)=2,entonces el valor de a es: 6. Hallar el valor de n para que el grado del siguiente monomio sea igual a 12.

1. Grado relativo (G.R): es el mayor de los grados

Ejemplo

Polinomio de una variable de grado n P(x)=a0xn + a1xn - 1+a2xn - 2 + ..... + an

P(x;y)=5xn+1y4

Polinomios especiales

6. Efectuar:

1. Polinomio homogéneo: Es aquel polinomio que tiene todos sus términos el mismo grado

a)y2y7 b)(8x3)(2x5) c)(12x3)(-2xa2)(xa) d)16x4:4x2 e)(x4)3 f) 7x-4x 7. En cada uno de los siguientes monomios, determina su coeficiente, su parte literal, sus grados relativos a cada variable y su grado absoluto. E(x,y,z) = -5x6y2z4

Ejemplo P(x;y)=3x2y4+8x5y 2. Polinomio completo: Cuando existe todos los exponentes de la variable, desde el mayor hasta el exponente uno, inclusive el termino independiente

L(x,y,z) = 3x2y8z7

Ejemplo

P(x,y,z) = 24x4y7z8

X2+3x-6

Q(x,y,z) = -8x5y4z3

3. Polinomio ordenado: cuando los exponentes de alguna variable aumenta o disminuye

8. Si: 𝒙𝒂+𝟓 𝒚𝒃−𝟏 es un término semejante con el término: x8y3, hallar: E = 4a + b

Ejemplo

9. Si el coeficiente del monomio: Q(x;y)=(2a-1)x3+ay5+a es igual a 3 ,hallar el grado relativo con respecto a la variable y 10. El grado absoluto del monomio es 11, hallar el coeficiente de dicho monomio. P(x;y;z)=3𝒂𝟐 𝒙𝟒 𝒚𝟑𝒂−𝟏 𝒛

Nota:

X2-6x5+x9

Suma de coeficiente=P(1) Término independiente=P(0)

Primer año de secundaria

3

Álgebra-Primer año de secundaria I.E.P.

1. Dados los siguientes polinomios, completar: P(x:y)=2𝒙𝟐 𝒚𝟑 + 𝒚𝟓 + 𝒙𝒚𝟖

San Juan Bautista 7.Si P(x)=𝒙𝟒 + 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟑, un polinomio de cuatro grados. Calcular: P(2) 8. Calcular el valor de “n” del monomio:

GR(x) =

𝒙𝟐+𝒎 .𝒚𝟑−𝒏 𝒙𝒎

GR(y) =

M(x;y)=

GA(P) =

es 3.

2. P(x, y, z) = 52x2y4z + 62x3y5z7w3 - 8x5y8w4

9. Si los términos 𝟔𝒙𝒚𝒃−𝟑 𝜸 𝟐𝒙𝒚𝟏𝟎 semejantes, calcular el valor de “b”

GR(x) =

, sabiendo que su grado absoluto

𝑷(𝟏)+𝑷(𝟓) 𝑷(𝟑)

GR(y) =

10. Si P(x)=3x-1, calcular:

GR(z)=

11.Si el coeficiente principal de:

GR(w) =

P(x)=𝒙𝟐 + (𝒂 + 𝟑)𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 + 𝒂 término independiente.

GA(P) = 3. P(x) = 3x3 + 4x2 - 5x + 7 Grado: -Coeficiente principal

es,5 calcular su

12. Sea P(x)=(a+3)𝒙𝒂 + 𝟓𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟖 , un polinomio cúbico, calcular su coeficiente principal. 13. El grado relativo de z en:

-Término independiente:

P(x;y;z)=8𝒙𝒏+𝟏 𝒚𝟔 𝒛𝟐𝒏+𝟑 es 13,hallar el G.R(x)

-Término lineal:

14. Sea P(x)=𝟒𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏, hallar

-Término cuadrático: -Suma de coeficiente:

son

P(0)+P(1)

4. P(x)=3𝒙 − 𝟔𝒙 + 𝟖𝒙 − 𝟗

15. Al reducir los tres términos semejantes que hay en el siguiente polinomio:

-Grado:

P(x)=4a𝒙𝒂+𝟏 + 𝟐𝒂𝒙𝟏+𝒂 − 𝒙𝟓

-T.I

15.¿Cuál de homogéneo?

𝟑

𝟐

-T.lineal: -T.Cuadrático:

los

siguientes

P(x;y)=2xy+5xy2

-Suma de coeficiente:

Q(x;y)=-4𝒙𝟐 𝒚𝟕 +𝒙𝟑 𝒚𝟔

5. Se tiene el siguiente polinomio:

16. De:P(x;y)=-2𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒙-8

A(x;y)=a𝒙𝟑𝒂 𝒚𝒂+𝟏 + 𝟖𝒃𝒙𝒂 𝒚𝟐𝒃−𝟑 − 𝟒𝒃𝒙𝒂−𝟐 𝒚𝟑 , si G.R(x)=9 y G.R(y)=7,calcular la suma de coeficientes. 6. Efectuar:

-Coeficiente principal: -T.I. -Suma de coeficientes

a)(x+3)(2-x)

-Grado relativo:

𝟐

b) (𝒙 𝒚)(𝟐𝒙+y) 𝟐

Hallar:

𝟑

c)(𝒙 − 𝒚)(𝒙 𝒚 − 𝟔) 4 Primer año de secundaria

-Grado absoluto

polinomios

es

R. Matemático

Orden de información 1. A una fiesta asisten cinco amigos y respecto a ellos se tiene la siguiente información: * * * *

Antonio es más alto que Bernardo. Carlos es el más alto de todos. David es más alto que Antonio. Eduardo es más bajo que Antonio.

Si Eduardo no es el menor de todos, ¿quién lo es? 2. Se sabe que Arturo es menor que Jorge y que Fernando, pero Jorge es mayor que Fernando. ¿Quién es el menor de todos ellos? 3. De tres amigas se sabe lo siguiente: * Andrea es menor que Gabriela. * Vania es mayor que Andrea. * Gabriela es menor que Vania. De todas ellas, ¿quién es la menor? 4. Si se sabe que: * Sergio es más alto que María pero más bajo que Luis. * Tania es más baja que María. ¿Quién es el mayor y la menor respectivamente? 5. Cuatro señoritas viven en casas contiguas y se sabe que: * La casa de Dora queda junto y a la derecha de la casa de Amanda. * Carmen vive a la izquierda de la casa de Dora. * Beatriz vive a la derecha de la casa de Amanda. ¿Quién vive a la derecha de las demás? 6. María es menor que José y Rosa es mayor que María pero José es menor que Rosa. De todos ellos, ¿quién es el mayor?

7. Disponer los números del 1 al 9 en los círculos del triángulo, de manera que la suma por lado sea igual a 17

8. Con siete cifras 7 y utilizando las operaciones fundamentales formar el número 17. 9. Con cinco cifras "9" y utilizando las cuatro operaciones básicas obtener el número 12. 10. Para cruzar un río, un hombre disponía solamente de una canoa y llevaba con él un zorro, una gallina y un saco de maíz. Si por viaje solo podía llevar una de sus pertenencias, ¿cómo hizo para cruzar si se sabe que el zorro se come a la gallina y la gallina se come el maíz de dejar solos a estas parejas? 11. En una competencia automovilística el auto de Manuel va en primer lugar y el auto de Nestor en el quinto puesto. Si Lincoln va en el puesto intermedio entre ambos, Jorge le sigue a Lincoln y Ricardo está mejor ubicado que Jorge, ¿quién ocupa el segundo lugar? 12. Se tiene un edificio de cuatro pisos y se sabe que en cada piso vive una familia. La familia Cáceres vive adyacente a la familia Martínez y a la familia Tapia; la familia Figueroa vive más abajo que los Cáceres. Si la familia Martínez no vive en el cuarto piso, entonces,¿quién vive en dicho piso?

Primer año de secundaria

1

R. Matemático -Primer año de secundaria I.E.P.

1.

En una mesa redonda se encuentran sentados simétricamente tres niños: Fernando, Jorge y Roberto. Si Roberto está a la izquierda de Fernando, ¿cuál es el orden en que se sientan dichos niños empezando por Jorge y siguiendo el sentido horario? 2 . En una mesa redonda se encuentran sentados en forma simétrica cuatro alumnos del siguiente modo: Luis está a la derecha de Alfredo pero a la izquierda de Daniel, además Manuel está observando como discuten acaloradamente Alfredo y Luis. ¿Quién se sienta frente a Daniel?

Conteo de figuras

San Juan Bautista

d)

e)

2. Hallar el número total de cuadrados a) b

1. Hallar el total de triángulos que hay en las siguientes figuras a)

3. Hallar la diferencia entre el número de cuadrados y triángulos b)

c) 4. Hallar el número total de cuadrados

d)

c)

2

Primer año de secundaria

R. Matemático -Primer año de secundaria I.E.P.

Sucesiones Definición: Una sucesión es un conjunto ordenado de elementos (por ejemplo números o letras) cuya característica principal es que se encuentra basada por una LEY DE FORMACIÓN, CRITERIO DE ORDEN o REGLA DE RECURRENCIA. A los elementos de una sucesión se les llama términos y como cada uno de ellos ocupan una posición determinada los podemos especificar como primer término, segundo término, tercer término, etc.

San Juan Bautista

Analogies 3. Hallar el valor que falta a) 6

13 (17)

21

11 ( x )

3 5

4 (12)

3

7 (x)

6

c) 2 (3)

1

4 (12)

4

5

7

Sucesiones literales Ejemplo A; D ;H ;M;… 1. En cada una de las sucesiones propuestas halle Ud. el número que continúa

10

b) 2 (10)

Sucesiones numéricas Ejemplo: En la siguiente sucesión hallar el término que sigue. 1; 5; 10; 16;…

(8 )

(x )

d) 2 ( 10 ) 5 4 (12 ) 3 7 (x)

6

9

4

10

6

5

X

13

16

3

4

a) 2; 5; 8; 11; .... b) 29; 25; 21; 17; ... c) 3; 6; 12; 24; ..... d) 625; 125; 25; 5; ... e) 8; 9; 11; 14; 18; ... f) 43; 36; 30; 25; 21; ..... g) 240 ; 48 ; 12 ; 4 ; ...

h) 0 ; 4 ; 12 ; 21 ; 39 ; 58 ; ... i) 40 ; 43 ; 41 ; 33 ; 18 ; ...

2. Hallar la letra que continua: a) E ; J ; Ñ ; S ; ... b) C ; F ; I ; L ; ... c) Z ; V ; R ; Ñ; ... d) A ; C ; F ; J ; ...

e)

e) 2

2

10

5

1

7

12

8

6

9

x

f) 16

1

5

36

2

8

100

7

x

g) 10

6

4

17

2

15

23

9

x

h) . Hallar "A . B" en la siguiente sucesión: 7 ; 8 ; A ; 13 ; 17 ; B ; 28

e) B ; F ; K ; P ; ...

Primer año de secundaria

3

R. Matemático -Primer año de secundaria I.E.P.

1. si: m$n=2m2+n, Hallar 3 $ 4 2. Si x # y = x2 - 2y, calcular: 4 # 2 3. Si:

x

Hallar

= 2x + 3

5 𝒂+𝒃 , 𝟒

4. Si: a#b= 9#7

hallar

5. Si :a$b=b+2b-3 , hallar (2$4)$(5$3) 6. Si:p∆𝒒 = √𝒑 + √𝟐𝒒, hallar 100∆𝟖 7. 3

4

=2x+5 , hallar

+ 5

8.Si

8

=2a+b-2 -,hallar

5

10. Sabiendo que: =2a+b, hallar:

4

11. En una reunión se encuentran un abuelo, dos padres, dos hijos y un nieto. ¿Cuántas personas como mínimo se encuentran en dicha reunión?

4

12. ¿Qué parentesco tengo con la madre del nieto de mi padre, si soy hijo único? a) soy su hijo b) soy su hermano c) soy su esposo d) soy su sobrino e) soy su nieto 13. Se sabe que Jaime es sobrino de Pedro, quien es hermano de Juan, el que a su vez es padre de Víctor. Si Jaime no es hijo de Juan, ¿qué relación existe entre Jaime y Víctor? a) Jaime es tío de Víctor b) Son hermanos c) Jaime es sobrino de Víctor d) Son primos e) Víctor es padre de Jaime 14. En un determinado mes existen cinco lunes, cinco martes y cinco miércoles, se pide hallar qué día de la semana es 25 y cuántos días trae dicho mes. a) martes 30 b) sábado 31 c) miércoles 31 d) jueves 30 e) jueves 31 15. Si dentro de tres días será lunes, entonces el ayer del pasado mañana del anteayer del ayer del mañana fue: a) lunes d) domingo

9. Si: a # b = (a + b)2 - (a - b)2 Hallar: (2 # 1) # 3

3

San Juan Bautista

Primer año de secundaria

b) miércoles e) viernes

c) jueves

16. Mi tía Julia es la hermana de mi madre. Martha es la hermana de mi tía, pero no es mi tía. ¿Qué parentesco existe entre mi hermano Eduardo y Martha? a) sobrino - tía b) hijo - madre c) primo - prima d) hermano - hermana e) no se sabe 17. Una familia está conformada por dos padres, dos madres, cuatro hijos, dos hermanos, una hermana, un abuelo, una abuela, dos nietos, una nieta, dos esposos y una nuera. ¿Cuántas personas como mínimo conforman dicha familia? a) 6 b) 7 c) 8

d) 9

e) 10

Geometría

BC=6,CD=2x,DE=7,AE=43.Hallar x

Segmento de recta Definición: se llama segmento a una porción de línea recta comprendida entre dos puntos.

A

B

Nota:-cuando escribimos 𝐴𝐵 nos estamos refiriendo al segmento como figura geométrica -Cuando escribimos AB o m𝐴𝐵 nos estamos refiriendo a la longitud del segmento. Punto medio de un segmento

7. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A,B,C de modo que B es punto medio de 𝑨𝑪 además AB=15,BC=2x+7.Hallar x. 8. En una recta se toman los puntos consecutivos A,B,C,D de modo que AC+BD=32 y AD=20 .Hallar BC. 9. Sobre una línea recta se toma los puntos consecutivos A,B,C,D de modo que BC=14,AD=27.Hallar AB+CD. 10. Sobre una línea recta se toman los puntos consecutivos A,B,C,D de modo que C es punto medio de AD,AB=5 ,CD=16.HallarBC.

Operaciones con segmentos: Ejercicios 1. Graficar un segmento 𝑫𝑬 que mide 12 cm y

ubicar su punto medio “M”. 2. Graficar el segmento AB de 8 cm y ubicar su

punto medio “N”.

Ángulos Definición: Se llama ángulo a la unión de dos rayos que tienen el mismo origen.

Medida de un ángulo.

3. Dada la siguiente figura • • • • A 2cm B1cm C 4cm D Efectuar las siguientes operaciones a) AB+CD c) AB-BC e)AC.BD+AD.BC f) 3AC+2AD

Bisectriz de un ángulo.

d)AC+BD

Clasificación de los ángulos 4. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A,B,C,D de modo que AD=97,AB=20,CD=50.Hallar BC.

a) Según su medida -Ángulo agudo.

5. Sobre una recta se toma los puntos consecutivos A,B,C,D de modo que AD=50,AC=40,BD=15.Hallar BC.

-Ángulo recto. -Ángulo obtuso. -Ángulo llano. -Ángulo de una vuelta.

6. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A,B,C,D,E de modo que AB=x,

b) Según sus características Primer año de secundaria

1

Geometría -Primer año de secundaria I.E.P.

Clasificación según su característica -Ángulos complementarios. -Ángulos suplementarios. -Ángulos consecutivos. -Ángulos adyacentes suplementarios. -Ángulos opuestos por el vértice. -Complemento de un ángulo. -Suplemento de un ángulo. Ejercicios 1. Dibujar los siguientes ángulos 50°,120°,130°,80°,170°,78°,95°, 2. En las siguientes figuras hallar el valor de x.

X

3x

2x

4x

3. En la figura, encontrar el valor de “x”

2x+20° O 4. En la figura encontrar el valor de “x”

X+10

3x-40 o

5. El rayo ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑶𝑭 es bisectriz del ángulo AOB de la figura .Hallar el valor de x. B •

F • • A

6. Hallar la suma de los complementos de los ángulos que miden 40° y 60°.

2

Primer año de secundaria

San Juan Bautista

7. Encontrar la suma del complemento de 52° y el suplemento de 120° 8. En la figura encontrar el valor de “x”

X

30

15

30

9. Hallar la medida de un ángulo, si la suma de su suplemento y de su complemento es igual a 140° 10. Si el suplemento del complemento del complemento de un ángulo es igual a 5 veces el ángulo, hallar la medida de dicho ángulo. 11. El suplemento de un ángulo menos el doble del complemento del mismo ángulo es igual al suplemento del doble de dicho ángulo. ¿cuál es la medida del ángulo? 12. En los ángulos consecutivos AOB, BOC se cumple que 𝒎 < 𝑨𝑶𝑩=40°, m< 𝑨𝑶𝑪 = 𝟕𝟎°. Hallar m< 𝑩𝑶𝑪. 13. Los ángulos consecutivos AOB,BOC,COD forman un ángulo llano, si la m< 𝑨𝑶𝑩 = 𝑿, m< 𝑪𝑶𝑫 = 𝟑𝑿, 𝒎 < 𝑩𝑶𝑪 = 𝟒𝟎, hallar el valor de “x”. 14. La suma de las medidas de los ángulos consecutivos AOB,BOC,COD es 120°, además el ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ es bisectriz del ángulo BOC mide 24°, si el rayo𝑶𝑩 < 𝑨𝑶𝑫, encontrar la medida del ángulo COD. 15. Los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD forman un ángulo recto de modo que m< 𝑨𝑶𝑩 = 𝟐𝒙, m< 𝑩𝑶𝑪 = 𝟒𝟎, m< 𝑪𝑶𝑫 = 𝟑𝑿. 16. Calcule el valor 𝒙 en:

8x+68°

6x+86°

Geometría -Primer año de secundaria I.E.P.

Posición relativa de dos rectas en el plano

San Juan Bautista

⃡⃗ //𝑁 ⃡, hallar “x°”. 3. Si: 𝑀

Rectas oblicuas

115

x N Rectas perpendiculares M ⃡⃗⃗⃗𝟏 hallar " ∝ " 4. Si ⃡ 𝑳//𝑳

Rectas paralelas

5. Hallar x si las rectas a y b son paralelas Ángulos formados por dos rectas paralelas al ser cortadas por una recta secante

b a

a

L1

b

b a a b

L2

6. Hallar x si las rectas a y b son paralelas

Ejercicios

a

1. Si la recta L Y L1 son paralelas, hallar el valor de “x”

b

X+20 7. Hallar” x “ si a y b son paralelas

. 30 ⃡𝟏 , entonces el valor de “x” 2.Si ⃡ 𝑳//𝑳 7X 2x

L L1

Primer año de secundaria

3

Álgebra Teoría de exponentes 𝒂 𝒏√𝒂 √ =𝒏 𝒃 √𝒃

Potenciación: Es una operación matemática

𝒏

donde, dados dos elementos llamados base (b) y exponentes (n) se calcula un tercer elemento llamado potencia (p).

12. Raíz de un radical.

bn=p.}, donde

n:exponente , n∈ 𝒁 P: potencia

Propiedades de las leyes de exponentes p, si n∈ 𝒁+

𝒏 𝒎

√ √𝒂 =

𝒎.𝒏

√𝒂

Nota: - 𝒏√𝒙 = 𝒂 ↔ 𝒂𝒏 = 𝒙 , donde n≥ 0 -La raíz negativa de índice par no existe 𝟓𝟎𝒗𝒆𝒄𝒆𝒔

1. (-b)n= -p, si n∈ 𝒁−

Ejercicios

1.

⏞ 𝒂.𝒂.𝒂...𝒂 Reducir: ⏟ 𝒂.𝒂.𝒂…𝒂 𝟒𝟎𝒗𝒆𝒄𝒆𝒔

2. Multiplicación de bases iguales.

2. Efectuar:

𝒂𝒎 . 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏

40-20-(-4)0-5(-70)+𝟑𝟐

3. División de bases iguales.

3. Reducir:

𝒎

𝒂 = 𝒂𝒎−𝒏 𝒂𝒏

( (a)n)m=am.n 5. potencia de una multiplicación. 6. potencia de una división. 𝒂 . 𝒃 )𝒏 = 𝒂𝒏 . 𝒃𝒏 7. Exponente cero b0=1 ,b diferente de cero. 8. Exponente negativo. 𝒂−𝒏 =

,a≠ 𝟎

9. Exponentes fraccionario. 𝒎 𝒂𝒏

𝒏

= √𝒂𝒎 ; 𝒏 ≥ 𝟐

10. Raíz de una multiplicación. 𝒏

𝒏

𝟎

(32)4.(33)4

4. Potencia de potencia.

𝟏 𝒂𝒏

a≠ 𝟎

4. Calcular: (4-1+42)-1 5. Calcular: 9.3-1+16.2-1 6. Reducir: 𝒙𝟑𝟎 . (𝒙𝟐 )𝟑 . (𝒙𝟒 )𝟐 ,𝒙 ≠ 𝟎 𝒙𝟕 . 𝒙𝟏𝟐 . (𝒙𝟕 )𝟑 7. Reducir 𝟑𝒙𝟑𝒙𝟑𝒙 … 𝒙𝟑 − (−𝟑)𝟑𝟖 . 𝟑𝟐 ⏟ 𝟒𝟎𝒗𝒆𝒄𝒆𝒔

8. Reducir. 𝟎

[𝟗−𝟐 + 𝟐. 𝟑−𝟐 ]0 9. Reducir:

𝒏

√𝒂. 𝒃 = √𝒂. √𝒃

11. Raíz de una división.

𝒎𝒎+𝟓 +𝒎𝒎+𝟑 𝒎𝒎+𝟑 +𝒎𝒎+𝟏

Segundo año de secundaria

1

Álgebra-segundo año de secundaria I.E.P.

San Juan Bautista

10. Reducir:

25. Efectuar:

𝟐𝒏+𝟒 − 𝟐𝒏+𝟑 𝟐𝒏+𝟐 − 𝒏𝒏+𝟏

𝒏

𝒏

𝒏

√𝟐𝒏+𝟒 . √𝟐𝟑𝒏+𝟏𝟎 . √(𝟐𝒏−𝟕 )𝟐 ;n∈ 𝑵, 𝒏 ≥ 2

11. Si 𝒂𝒂 = 𝟑, calcular 𝒂𝒂

𝒂+𝟏

Ecuaciones exponenciales Si 𝒂𝒙 = 𝒃𝒚 ↔ 𝒂 = 𝒃 , entonces x=y

12. Efectuar:

Ejercicios:

M= (b-3)5.(-b)8.(b2)3.(-b)7

1. Resolver: 𝟓𝒙−𝟐 = 𝟐𝟓

13. Reducir:

2. Resolver: 𝟕𝟐𝒙−𝟑 = 𝟑𝟐𝒙−𝟑

𝟓𝟐 + 𝟐𝒏 𝟓−𝒏 + 𝟐−𝒏

3. Resolver:𝟒𝟗𝒙−𝟐 = 𝟑𝟒𝟑𝒙−𝟓 𝟐 𝒂 −𝟖

𝒂−𝟒

14. Si M=(𝒂−𝟖) (𝒂−𝟒

) ; a≠o

4. Al resolver:𝟕𝟑−𝒙 = 𝟒𝟗𝒙−𝟏 , calcular 3x+1 𝟏 𝟓−𝒙

= 𝟗𝒙+𝟏

15. Si 𝒙−𝒏 = 𝟗, reducir:

5. Resolver:(𝟑)

𝟖𝟏𝒙𝟐𝒏 + 𝒙−𝟐𝒏

6. Resolver:𝟖𝒙−𝟐 = 𝟒𝒙+𝟑

𝟏 −𝟐

16. Si B=(𝟓)

𝟏 −𝟐

7. Resolver:𝟒𝒙−𝟏 . 𝟓 = 𝟓𝒙−𝟏 . 𝟒

+ (𝟑) +2

8. Resolver: 𝟕𝟑𝒙−𝟐 = 𝟒𝟗𝟐−𝒙

Entonces el de √𝑩

9. Resolver:𝟒𝟓𝒙−𝟐 = 𝟒𝟐𝟓𝒙+𝟏

17. Reducir:

𝟏𝟓𝟒 .𝟕𝟓𝟐 𝟒𝟓𝟑

18. Reducir:

𝒙𝒙+𝟓 +𝒙𝒙+𝟑 𝒙+𝟑 +𝒙𝒙+𝟑

10. Calcular el valor de “x”: 𝟑𝒙+𝟏 + 𝟑𝒙−𝟏 + 𝟑𝒙 = 𝟑𝟓𝟏 𝟐𝒙

19.Si:𝒃𝒃 = 𝟐; Calcular 𝒃𝒃

11. Resolver:𝟏𝟔𝟑

𝒃+𝟏

12. Resolver:(𝟑)(𝟐𝒙+𝟑 ) = (𝟏𝟗𝟐)(𝟑𝟑−𝟑 ) 13. Determinar el valor de “x”

20. Reducir: 𝟐

𝟐𝒙

= 𝟖𝟒

𝟐

𝟕𝒙−𝟏

𝟐𝟐

𝟒

A=√𝒙 + √𝒙𝟑 + √𝒙𝟒 𝟔

𝟏𝟓

𝟗

𝟐𝒙+𝟑

= 𝟒𝟖

−𝟏 −𝟐𝟓−𝒙

21. Reducir: A=√𝟕𝟐 . √𝟕𝟓 . √𝟕𝟑

14. Hallar x+3,en:𝟗−𝟑𝟐

22. Calcular en cada caso

15. resolver:

𝟏

𝟏

𝟏

a)𝟑𝟔𝟐 , b)𝟐𝟕𝟑 , c)𝟖𝟏𝟒

𝟓𝟑𝒙−𝟐=𝟐𝟓𝒙+𝟗

23. Reducir: 𝟓√𝒙. 𝟓√𝒙 … 𝟓√𝒙

16. Resolver: 𝟖𝒙

𝟐𝟑 60 veces 24. Reducir:

𝟑𝒙 +𝟕𝒙 M=√𝟑−𝒙 +𝟕−𝒙 𝒙

2 Segundo año de secundaria

= 𝟓𝟏𝟐

17. Resolver: 𝟏𝟔

𝒙𝟖𝟏

𝟒𝒙

= 𝒙𝟑

= 𝟑−𝟏

Álgebra-segundo año de secundaria I.E.P.

San Juan Bautista

Diferencia de cuadrados

Valor numérico de un polinomio

𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 = (𝒂 − 𝒃)(𝒂 + 𝒃)

Ejercicios:

Cubo de la suma o de un binomio

1. Si:P(x)=x2+5x+1,hallar

(𝒂 ± 𝒃)𝟑 = 𝒂𝟑 ± 𝒂𝟐 𝒃 + 𝒂𝒃´𝟐 ± 𝒃𝟑

P (1)+P (-1)

Suma de cubo:a3+b3=

2. Sea P(X,Y)=3XY-2XY2

Diferencia de cubos:a3-b3=

Hallar (2;-2)

Cuadrado de la suma de un trinomio:

3. Sea P(x-1)=4x+3

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

Hallar (3)

Ejercicios:

4. Sea: M(x-5)=x2-3x

1. Efectuar:

Hallar M(1)

a)(x+3)2 b(x-4)2 c)(2x+5)2

5. Sea:P(x)=21x10-125x9

d)(x+2y)3 e)(2x+4)3

Hallar P(5)

f)(3x-y2)3 g)(2x+y+2z)2

Operaciones algebraicas 3

h)x2-16

i)x3-64

3

1 .Efectuar:4x -7x 6

j) x3+27 k)x4-64 l)x6+8 6

2. Efectuar.-8x -4x

2. Efectuar:

2

3. Efectuar:(4x )(5x) 3

a)(x+8)2+(x-2)2 2

4 .Efectuar (-4xy) (-5x y)

b)(y+3)2-(y-3)2

2

5.(-2x )(2x+y)

c)(x+5)2+(x+3)2-2x2-34

6. Efectuar:(-4xy)(2x-3y) 2 3

4

d)(x+3)2+(2x-3)2-13x2-34 6 4

7. Efectuar:(3x y )(-5x y)+14x y

3. Efectuar:

8. Efectuar: x(x+6)-6(x-1)-x2

a) Si a+b=7;ab=16,calcular a2+b2

9. (2x+1)(4x)-8x(x+1)

b) Si a-b=11;ab=6:

10. x(x2-2x+4)-(x3-2x2)

Productos notables:

Calcular:a2+b2

Es un procesó directo para hallar ciertas multiplicaciones. 1. Cuadrado de la suma de un binomio (a+b)2=a2+2ab+b2 2. Diferencia de la suma de un binomio (a-b)2=a2-2ab+b2

c)Si a+b=√𝟓 ;ab=3: Calcular:a2+b2 c)Si 𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝒂 x+y=b Entonces:𝟒𝒙 + 𝟒𝒚 equivale

Aritmética

Segundo año de secundaria 3

Aritmética

Teoría de los números: Divisibilidad:

1. Indicar los 5 primeros múltiplos de 8.

Analiza cada una de las condiciones que debe tener un número para que sea divisible por otro

2. Indicar los 6 primeros múltiplos de 7.

2. Indicar los divisores de 18; 39; 60; 72 Nota:

3. Indicar los divisores de 18; 19; 60; 72. 4. Indicar verdadero (V) o falso (F). a) 32 es divisible por 4.

Un número A es divisible por otro B, cuando al dividir el primero entre el segundo, la división resulta ser exacta. → 𝑨 = 𝑩. 𝑪

A B

b)2 es divisor de todo número. c) El número 48 tiene 12 divisores. 5. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdadera?. a) 12 es múltiplo de 24.

Multiplicidad Un numero A es múltiplo de otro número B, cuando el primero contiene el segundo, un número exacto de veces.

b) 24 tiene 8 múltiplos. c) 70 es múltiplo de 4°+2. d) 60 tiene 20 divisores.

A=B°

6. ¿Cuántos múltiplos de 7 hay entre 30 y 100?

A=BK;K∈Z

7. Calcular la suma de todos los múltiplos de 3 que hay entre 30 y 50.

Los no múltiplos. a) Por defecto b) Por exceso

8. Hallar “x”, en : 240= 13°+x.

Nota: todo número tiene infinitos múltiplos.

9. ¿Cuántos números del 1 al 100 de 9°+3?

Propiedades.

10. Si el número 𝟗𝟐𝒂 es múltiplo de 13 más 5, calcular a.

   

n°+n°=n° n°-n°=n° n°k=n°,k ∈ Z (n°)m=n°,m∈Z+



N=

A°± r B°± r

N=𝒎𝒄𝒎(𝒂; 𝒃) ±r Ejercicios:

11. Si el siguiente número 𝟏𝟔𝟐𝒂 es divisible por 8, ¿Cuál es el valor de a?