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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas, tecnologías e ingeniería Contenido didáctico del curso Teoría de decisiones

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIAS E INGENIERÍA

200608 – TEORIA DE LAS DECISIONES WILLIAM EDUARDO MOSQUERA LAVERDE (Director Nacional)

NUBIA SALAZAR Acreditador

BOGOTÁ D.C. Marzo 2010 1

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INDICE DE CONTENIDO INTRODUCCION GENERAL

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UNIDAD 1. CONCEPTOS BASICOS Y DECISIONES BAJO INCERTIDUMBRE 11 CAPITULO 1. GENERALIDADES CONCEPTOS BASICOS

DE

LA

TOMA

DE

DECISIONES

Lección 1. Tipos de toma de decisiones Lección 2. Proceso de tomas de decisiones Lección 3. Elementos en los modelos de análisis de toma de decisión Lección 4. Pasos para la toma de decisiones Lección 5. Criterios de decisión Taller CAPITULO 2. DECISIONES BAJO INCERTIDUMBRE VALOR ESPERADO Lección 6. Criterio del valor esperado Lección 7. Diseño y conducción de la investigación de merado Lección 8. Valor esperado de la información muestra Lección 9. Valor esperado con la información perfecta Lección 10.Criterio nivel de aceptación Taller

Y 13 14 18 20 22 25 29

30 31 32 34 35 38 41

CAPITULO 3. DECISONES BAJO INCERTIDUMBRE ARBOLES DE DECISON 42 Lección 11. Elementos de los arboles de decisión Lección 12. Selección de alternativa de decisión Lección 13. Regla de bayes y arboles de decisión Lección 14. Teoría de la utilidad Lección 15. Aplicaciones de la teoría de la utilidad Taller

43 44 48 53 55 60

AUTOEVALUCION UNIDAD 1

62

UNIDAD 2. DECISIONES BAJO RIESGO

63

CAPITULO 4. DECISIONES BAJO RIESGO- TEORIA DE JUEGOS

65

Lección 16. Conceptos Lección 17. Método estrategias dominadas

66 67 2

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Lección 18. Método suma cero y punta de silla Lección 19. Métodos estrategias mixtas Lección 20. Método grafico Taller

68 70 71 79

CAPITULO 5. DECISIONES BAJO RIESGO- CADENAS DE MARKOV.

80

Lección Lección Lección Lección Lección Taller

21. Procesos estocásticos 22. Cadenas de Markov. 23. Clasificación de estados en una cadena de markov. 24. Procesos de decisión markoviano 25. Problema estático y dinámico

81 84 86 88 98 102

CAPITULO 6. DECISIONES BAJO RIESGO - PROGRAMACION META.

103

Lección 26. Conceptos fundamentales. Lección 27. Formulación del modelo. Lección 28. Programación con recursos limitados Lección 29. Objetivos múltiples Lección 30. Aplicaciones Taller

104 106 111 117 120 122

CAPITULO 7. DECISIONES BAJO RIESGO – SIMULACIÓN.

125

Lección 31. Definiciones. Lección 32. Tipos de simulación Lección 33. Métodos de simulación Lección 34. Aplicaciones de la simulación. Lección 35. Métodos de observaciones estadísticas

126 127 136 139 141

AUTOEVALUCION UNIDAD 2

145

BIBLIOGRAFIA.

147

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LISTADO DE TABLAS Tabla 1. Matriz para procesos de decisión

22

Tabla 2. Matriz ejemplo 1.

28

Tabla 3. Decisiones según criterio maximin

28

Tabla 4. Decisiones según criterio maximax

28

Tabla 5. Penalizaciones ejemplo 1.

29

Tabla 6. Estimaciones de ganancia

34

Tabla 7. Ganancia sin información perfecta

34

Tabla 8. Indicadores favorables y desfavorables

36

Tabla 9. Probabilidades condicionales dadas por resultados

36

Tabla 10. Probabilidades conjuntas y marginales

36

Tabla 11. Probabilidades posteriores

36

Tabla 12. Indicador I1

36

Tabla 13. Indicador I2

37

Tabla 14. Decisiones óptimas y ganancias esperadas I1 y I2

37

Tabla 15. Ejemplo 5 compañía Certon

45

Tabla 16. Información ejemplo 6.

47

Tabla 17. Iteraciones ejemplo 7.

53

Tabla 18. Pagos y utilidades ejemplo 8.

58

Tabla 19. Atributos programación meta

100

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LISTADO DE GRÁFICOS Y FIGURAS Figura 1. Ideas

20

Figura 2. Función de utilidad

41

Figura 3. Árbol de decisión

44

Figura 4. Árbol decisión compañía certon

46

Figura 5. Resultado ejemplo 5.

46

Figura 6. Árbol ejemplo 6.

47

Figura 7. Resultados árbol ejemplo 6.

48

Figura 8. Evolución de las probabilidades

50

Figura 9. Programación meta según PERT

111

Figura 10. Requerimientos de actividad por metas

112

Figura 11. Programa de actividades propuesto

112

Grafica 1. Esquema para toma de decisiones

15

Grafica 2. Razonamiento estadístico

17

Grafica 3. Componentes de un modelo probabilístico

21

Grafica 4. Resultados valor esperado

31

Grafica 5. Tipo de decisiones

54

Grafica 6. Función utilidad para el dinero

55

Grafica 7. Árbol ejemplo 8

57

Grafica 8. Función utilidad ejemplo 8

59

Grafica 9. Árbol ejemplo 8 con función utilidad

60

Grafica 10. Juego estrategias dominadas

70

Grafica 11. Solución método grafico

72

Grafica 12. Esquema de matriz de transición

85

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ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO El contenido didáctico del curso academico: Teoría de decisiones fue diseñado inicialmente en el año 2004 por la licenciada Gloria lucia Guzmán, docente de la UNAD, ubicada en el CEAD de Neiva, como parte del modulo de Métodos Probabilísticos. La separación de temáticas y ajustes de los contenidos los ha desarrollado el I.Q. William Eduardo Mosquera Laverde, Tutor del CEAD José Acevedo y Gómez, Ingeniero Químico de la Universidad Nacional de Colombia, y especialista en Educación Superior a Distancia de UNAD 2009, En curso de Maestría en Gestión y Auditorias en tecnologías e ingeniera ambiental de CEPES- México. Se ha desempeñado como tutor de la UNAD desde el 2005. El contenido didáctico ha tenido dos actualizaciones: desarrolladas por el mismo Ing. Mosquera en los años 2007 y 2009 quien se desempeña actualmente como director del cuso a nivel nacional. La version del contenido didáctico que actualmente se presenta tiene como características: 1) Incorpora nuevos contenidos relacionados con la Unidad 1, pues en la version anterior no se tiene separado en lecciones y no presenta énfasis en el uso de software libre WINQSB 2.0. 2) Profundiza en las temáticas de simulación y programación por metas. La Dra. Nubia Salazar, tutora del CEAD Sogomoso, apoyó el proceso de revisión de estilo del contenido didáctico e hizo aportes disciplinares, didácticos y pedagógicos en el proceso de acreditación del material didáctico desarrollado en el mes de Mayo de 2010.

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INTRODUCCIÓN GENERAL

fuente:www.universia.es/.../decisiones-interactivas.jpg

El curso académico de Teoría de Decisiones, consta de 2 (dos) créditos académicos, cuyo campo de formación es la Disciplinar y tiene carácter profesional- electiva en los programas de ingeniería Industrial, Sistemas y Administración de Empresas que oferta la UNAD; además, es de tipo teórico. Después de comprender e interiorizar los conocimientos de los tres cursos preliminares de Investigación de operaciones (programación lineal, métodos deterministicos, métodos probabilísticos) y el apoyo en los conocimientos adquiridos en estadística descriptiva y probabilidad el estudiante está en capacidad de iniciar el curso de teoría de las decisiones, teniendo en cuenta que lo anterior son los presaberes básicos para este curso, en donde se busca entender los métodos, operaciones y definiciones sobre las diferentes técnicas de aplicación en las decisiones dependiendo del tipo y calidad de la información obtenida, las bases estadísticas en la formulación de decisiones bajo incertidumbre, mientras con las bases de probabilidad desarrolla la formulación de decisiones bajo riesgo, también esquemas gráficos como los arboles de decisión que llevan a los estudiantes a visualizar mejor el proceso de toma de decisión, estos métodos y esquemas son indispensables para la toma de decisiones que se manejan cotidianamente en todas las empresas en el mundo. El objetivo fundamental es que los estudiantes comprendan e interioricen las temáticas que cubren el curso, con el fin de adquirir las herramientas matemáticas, metodológicas y analíticas que le permitan resolver problemas que requieren de la toma de decisiones con un soporte científico y poder manejar bien la toma de decisiones en las diferentes áreas del desarrollo profesional. Respecto a las competencias, se busca que el estudiante identifique los fundamentos del tema, interprete sus requerimientos y características, aprenda su utilidad y aplique lo aprendido en diversas áreas del saber. El curso de Teoría de decisiones es el último escalón de la línea de Investigación de operaciones utilizada en Ciencias, Tecnología, Ingeniería e Investigación, ya que a través de esta, se diseñan, emplean, analizan y desarrollan diversas habilidades y competencias. Pero para que esto se cumpla, es necesario un trabajo planificado, colaborativo y sistemático, lo que indica que su entendimiento e interiorización debe ser metódico, estructurado y secuencial. 7

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Este curso es importante en la medida que sirve para desarrollo, análisis y comprensión de los diferentes métodos matemáticos para la toma de decisiones necesarias en las diversas empresas que se manejan, orientan o dirigen en el país. Las Unidades Didácticas que conforman el curso son: Conceptos básicos y Decisiones bajo incertidumbre; Decisiones bajo riesgo. En donde se debe resaltar el repaso de Estadística en el manejo de mediciones y procesos inferenciales, Probabilidad en el conocimiento y manejo de los variados valores esperados y desviaciones, Algebra lineal en el manejo y uso de las matrices necesarias para las decisiones con cadenas de markov. Dichas temáticas permiten el desarrollo de competencias de orden superior especialmente la interpretación, el análisis, los requerimientos y análisis económico para un proceso especifico. Este curso está compuesto por dos Unidades didácticas a saber: Unidad 1. Conceptos básicos y decisiones bajo incertidumbre: Se inicia con los conceptos de análisis de decisión donde se pretende que el estudiante valore la importancia de la teoría de decisiones pues tiene que ver con la ciencia de la toma de decisiones, se pretende además desarrollar técnicas para medir los gustos o valores de las personas por medio de una función de utilidad. Esto proporciona también una medida de la actitud individual de una persona a la incertidumbre. También se pretende mostrar como las creencias de una persona, en términos de probabilidades subjetivas, por medio del desarrollo de los arboles de decisión. Unidad 2. Decisiones bajo riesgo: Se plantean los diferentes métodos empleados para solucionar problemas relacionados con la teoría de juegos, cadenas de Markov y programación meta con los que se pretende que el estudiante posea más herramientas para que busque la solución óptima a problemas simples y complejos que se le puedan presentar tanto en la cotidianidad como en el ejercicio de su vida profesional y/o laboral. Además un último capítulo donde tenga una introducción a los procesos de simulación.

UNIDAD 1 8

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Nombre de la Unidad Introducción Justificación Intencionalidades Formativas Denominación de capítulo 1 Denominación de Lección 1 Denominación de Lección 2 Denominación de Lección 3 Denominación de Lección 4 Denominación de Lección 5 Denominación de capítulo 2 Denominación de Lección 6 Denominación de Lección 7 Denominación de Lección 8 Denominación de Lección 9 Denominación de Lección 10 Denominación de capítulo 3 Denominación de Lección 11 Denominación de Lección 12 Denominación de Lección 13 Denominación de Lección 14 Denominación de Lección 15

Conceptos Básicos y Decisiones Bajo incertidumbre

Generalidades de la Toma de Decisiones y Conceptos básicos. Tipos de toma de decisiones Proceso de toma de decisiones Elementos en los modelos de análisis de toma de decisión Pasos para la toma de decisiones Criterios de decisión Decisiones Bajo Incertidumbre Valor Esperado Criterio de valor esperado Diseño y conducción de la investigación de mercado Valor esperado de la información muestra. Valor esperado con la información perfecta. Criterio nivel de aceptación. Decisiones Bajo Incertidumbre Arboles de Decisión Elementos de los arboles de decisión Selección de alternativa de decisión Regla de bayes y arboles de decisión. Teoría de la utilidad Aplicaciones de la teoría de la utilidad. UNIDAD 2

Nombre de la Unidad Introducción Justificación Intencionalidades Formativas Denominación de capítulo 4 Denominación de Lección 16 Denominación de Lección 17 Denominación de Lección 18 Denominación de Lección 19 Denominación de Lección 20 Denominación de capítulo 5

Decisiones Bajo Riesgo

Decisiones Bajo Riesgo- Teoría de juegos Conceptos Método estrategias dominadas Método suma cero y punta de silla Métodos estrategias mixtas Método grafico Decisiones Bajo Riesgo –Cadenas de 9

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Markov. Denominación de Lección 21 Denominación de Lección 22 Denominación de Lección 23

Denominación de Lección 26 Denominación de Lección 27 Denominación de Lección 28 Denominación de Lección 29 Denominación de Lección 30

Procesos estocásticos Cadenas de de Markov Clasificación de estados en una cadena de Markov Procesos de decisión Markoviano Problema estático y dinámico Decisiones Bajo Riesgo- Programación Meta. Conceptos fundamentales. Formulación del modelo. Programación con recursos limitados. Objetivos múltiples. Aplicaciones.

Denominación de capítulo 7 Denominación de Lección 31 Denominación de Lección 32 Denominación de Lección 33 Denominación de Lección 34 Denominación de Lección 35

Decisiones Bajo Riesgo- Simulación. Definiciones. Tipos de simulación. Métodos de simulación. Aplicaciones de simulación. Métodos de observaciones estadísticas.

Denominación de Lección 24 Denominación de Lección 25 Denominación de capítulo 6

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UNIDAD .1 CONCEPTOS BÁSICOS Y DECISIONES BAJO INCERTIDUMBRE.

Fuente: sigc.wikidot.com/.../conocimiento.JPG

INTRODUCCIÓN: Esta unidad desarrollará, las bases necesarias y recopilación de información para llevar a cabo el curso de teoría de decisiones, en la unidad se mostraran los pasos para un proceso y por ende para una buena toma de decisión y por ende ver la necesidad de tener métodos matemáticos para lo mismo. En el siguiente capítulo empezará el estudiante a desarrollar el manejo de los criterios de decisión y la forma de interactuarlos con los procesos investigativos y el manejo estadístico de esta investigación de mercados. Por último aplicará lo visto en los capítulos anteriores por medio modelos más gráficos y sencillos como se resuelven los arboles de decisión.

OBJETIVO GENERAL: Dar a conocer a los estudiantes las generalidades necesarias para la toma de decisiones y una vista genérica de los modelos para resolver la toma de decisiones bajo incertidumbre, sus características y los conceptos básicos que permitan manejar el vocabulario necesario en el curso.

OBJETIVOS ESPECIFICOS: - Conocer los conceptos básicos para los manejos de los métodos en la teoría de decisiones.

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- Aplicar los métodos matemáticos estadísticos para resolver la toma de decisiones bajo incertidumbre. -Diferenciar entre los métodos para las tomas de decisiones bajo incertidumbre desde la percepción de una investigación de mercados con o sin información muestra. - Conocer los diferentes criterios de decisión para aplicar en el modelo específico. - Observar cómo se puede aplicar los modelos decisorios en la empresa en general.

COMPETENCIAS: El estudiante después de estudiar la unidad deberá ser competente en los criterios de decisión necesarios para aplicar en los métodos de toma de decisión. También en las formas graficas para resolución los problemas con incertidumbre. Diferenciar entre las diferentes clases de decisiones, los métodos de solución.

JUSTIFICACION El profesional debe continuamente aplicar decisiones en su labor, por lo tanto, las herramientas de criterios de decisión, valor esperado y árbol de decisión debe aplicar sus conocimientos en estadística y probabilidad para poder escoger de forma rápida y grafica una acertada decisión sin necesidad de aplicar cálculos matemáticos exigentes. INTENCIONALIDADES FORMATIVAS La intención formativa tiene que ver con las capacidades para tomar decisiones por medio del uso de diferentes métodos como lo son los criterios de decisión, el valor esperado y los arboles de decisión, cuando se tienen diferentes alternativas o solo dos. Pero esto no es posible sí no se desarrolla previamente un estudio de mercado y no se desarrollan los cálculos de probabilidades. Por lo cual el estudiante aplicará los conocimientos adquiridos en los cursos previamente nombrados, observando la aplicación real y útil en cada uno de sus campos profesionales.

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CAPITULO 1: GENERALIDADES DE LA TOMA DE DECISIONES Y CONCEPTOS BASICOS

Fuente:www.monografias.com/.../Image815.gif

INTRODUCCIÓN En este capítulo el estudiante desarrollará los siguientes temas concernientes al manejo óptimo de una decisión como son: - Tipos de toma de decisiones. - Proceso para la toma de decisiones. - Pasos para la toma de decisiones - Criterios de decisión. OBJETIVOS: 1.- Conocer la importancia de seguir un proceso y secuencia para tomar bien una decisión. 2.- Observar diferentes formas para seguir rutas en las decisiones cotidianas 3.- Estudiar unos procesos y esquemas matemáticos como base para una optima decisión. 4.- Tener a mano un criterio matemático que apoye una decisión tomada.

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Lección 1: TIPOS DE TOMA DE DECISIONES

Fuente: www.scielo.org.co/.../cadm/v20n34/a04g3.jpg

Para iniciar los análisis en la toma de decisiones se iniciara con tener en cuenta los tipos de decisiones que se nos presentan a diario en nuestra vida profesional y particular, con tal concepto se debe diferenciar de la siguiente manera: . Decisiones programadas: Estas decisiones son las basadas en un esquema de planeación, organización, control, planteamiento de objetivos y cumplimiento de metas preestablecidas, son desarrolladas por el sector productivo principalmente y algunos de nosotros en nuestro proyecto de vida. Por ejemplo: Construcciones de vivienda, Planificación de estudios, Adquisición de bienes a crédito. . Decisiones no programadas: Estas decisiones no se basan en ningún tipo de proyecto o estructura son las que se dan de forma espontánea ó sin la programación que requiere una optima toma de decisiones. Son las que tomamos según se vayan presentando las circunstancias tiene que ver con los eventos. Por ejemplo: Las decisiones de apostar en los juegos de azar, el asistir a reuniones programadas de última hora, los pagos extemporáneos de obligaciones. . Decisiones coercitivas: Son las decisiones que se toman por obligación y sin la participación o consenso de las partes involucradas. Son completamente direccionadas por agentes externos. Por ejemplo: El cambio de vivienda cuando se es menor de edad, el despido de un empresa, el cambio de ruta por cierre de una vía. 14

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La influencia de los agentes externos en la decisiones son poco manejables en este aparte se tendrá en cuenta solo el esquema donde se tenga control del mismo o sea las decisiones programadas, estas se inician con un problema previo el cual se debe resolver; Entonces como en los desarrollos de modelos de programación lineal después de tener un problema ya sea planteado en forma verbal o escrita debemos proceder de la siguiente manera: Esquema para la toma de decisiones

Grafico 1. Esquema para la toma de decisiones

Diagnóstico: Es el análisis sistemático de una situación particular y un instrumento cognoscitivo para identificar y descubrir problemas relevantes; en planeación, la necesidad de contar con un buen diagnóstico es imperativa. La ventaja de pensar estratégicamente es (en relación al diagnóstico) que siempre se deberán tomar en cuenta las visiones de la realidad de otros grupos (que pueden ser discrepantes entre ellas), incluirlas como parte del mismo y obtener de más preguntas y alternativas de solución. Estrategia: Esta parte consiste en designar todos los medios posibles para resolver el diagnostico, es por lo tanto, un punto que involucra la racionalidad orientada a un objetivo, también se utiliza para designar los procedimientos usados en una situación de confrontación con el fin de privar al oponente de sus medios de lucha y obligarlo a abandonar el combate; es una cuestión, entonces, de los medios destinados a obtener una victoria. (DELEUZE, Guilles. (1987) Foucault. Ediciones Paidos. Barcelona España)

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Decisión: En esta parte la empresa o la persona ya determino una ruta especifica a seguir para conseguir lo optimo es su objetivo primario. Acciones: Son los pasos a tomar en la decisión escogida cado uno de los parámetros determinados en un esquema de proyectos PERT-CPM, la secuencia necesaria para cumplir además tiene inmerso los desarrollos estratégicos por si algún punto no se puede lograr o eventualmente no se puede realizar o se debe cambiar. Evaluación de resultados: Luego de desarrollado el proyecto o solucionado el problema se debe hacer un alto para mirar cómo se va avanzando y hacer los cambios del caso esto se asocia con los principios del mejoramiento continuo. Por lo tanto una evaluación sistemática que permita verificar el avance de las acciones y la pertinencia pública de las estrategias. Para evaluar correctamente, se deben distinguir los diversos indicadores y su alcance: - Indicadores de control: expresan metas cuantitativas en el corto plazo; son incluidos generalmente en los Programas Operativos Anuales (POA's). - Indicadores de eficiencia: son aquellos que se definen para cada unidad o subproducto de la acción; expresan la "productividad" de cada acción y permiten corregir el rumbo de los componentes o proyectos del subprograma. - Indicadores de eficacia: estos indicadores permiten observar el grado en que los objetivos de cada acción y de cada subprograma han sido cumplidos; muestran el grado de satisfacción institucional y social.

Ya con la evaluación se lograr que los hechos se conviertan en conocimiento, cuando son utilizados en la complementación exitosa de un proceso de decisión. Una vez que se tenga una cantidad masiva de hechos integrados como conocimiento, entonces su mente será sobrehumana en el mismo sentido en que, con la escritura, la humanidad es sobrehumana comparada a la humanidad antes de escribir. La grafica 2 ilustra el proceso de razonamiento estadístico basado en datos para construir los modelos estadísticos para la toma de decisión bajo incertidumbre.

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Grafico 2. Razonamiento estadistico

De donde: Level of Exactness of Statistical Model = Nivel de Exactitud del Modelo Estadístico. Level of improvements on decisión making = Nivel de Mejoramiento en la Toma de Decisiones La figura anterior representa el hecho que a medida que la exactitud de un modelo estadístico aumenta, el nivel de mejoramiento en la toma de decisión aumenta. Esta es la razón del porqué necesitamos la estadística de negocio. La estadística se creó por la necesidad de poner conocimiento en una base sistemática de la evidencia. Esto requirió un estudio de las leyes de la probabilidad, del desarrollo de las propiedades de medición, relación de datos. La inferencia estadística intenta determinar si alguna significancia estadística puede ser adjunta luego que se permita una variación aleatoria como fuente de error. Una inteligente y crítica inferencia no puede ser hecha por aquellos que no entiendan el propósito, las condiciones, y la aplicabilidad de las de diversas técnicas para juzgar el significado. Considerando el ambiente de la incertidumbre, la posibilidad de que “las buenas decisiones” sean tomadas incrementa con la disponibilidad “de la buena información”. El chance de la disponibilidad de “la buena información” incrementa con el nivel de estructuración del proceso de Dirección de Conocimiento. La figura anterior también ilustra el hecho que mientras la exactitud de un modelo estadístico aumenta, el nivel de mejora en la toma de decisiones aumenta. El conocimiento es más que simplemente saber algo técnico. El conocimiento necesita la sabiduría. La sabiduría es el poder de poner nuestro tiempo y nuestro conocimiento en el uso apropiado. La sabiduría viene con edad y experiencia. La sabiduría es la aplicación exacta del conocimiento exacto. La sabiduría es sobre saber como algo técnico puede ser mejor utilizado para cubrir las necesidades de los encargados de tomar decisiones. La sabiduría, por ejemplo, crea el software estadístico que es útil, más bien que técnicamente brillante. 17

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Lección 2: Proceso de Toma de Decisiones La toma de decisiones requiere un proceso específico con el fin de llevar a buen término lo que se pretende decidir, el proceso a desarrollar es: - Percepción de la situación que rodea algún problema. - Análisis y definición de un problema. - Contar con un sistema de información oportuno, confiable y actualizado. - Conocer los factores internos formales e informales de la organización. - Conocer los factores externos, definir restricciones y limitaciones. - Elegir correctamente las técnicas o herramientas a utilizar. - Especificar los rendimientos y las metas esperadas. - Evaluar costo - beneficio. - Definir los objetivos. - Búsqueda de alternativas más adecuadas para el alcance de los objetivos. - Evaluación y comparación de las alternativas. - Implementación de esas alternativas. Los anteriores pasos los requerimos para todo tipo de toma de decisiones pero en términos de análisis matemáticos la toma de decisiones desde un punto de vista estadísticos tiene en cuenta los siguientes pasos: 1. 2. 3. 4.

Simplificar Construir un modelo de decisión Probar el modelo Usando el modelo para encontrar soluciones: o El modelo es una representación simplificada de la situación real o No necesita estar completo o exacto en todas las relaciones o Se concentra en las relaciones fundamentales e ignora las irrelevantes. o Este es entendido con mayor facilidad que un suceso empírico (observado), por lo tanto permite que el problema sea resuelto con mayor facilidad y con un mínimo de esfuerzo y pérdida de tiempo. 5. El modelo puede ser usado repetidas veces para problemas similares, y además puede ser ajustado y modificado.

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Afortunadamente, los métodos probabilísticos y estadísticos para el análisis de toma de decisiones bajo incertidumbre son más numerosos y mucho más poderosos que nunca. Las computadoras hacen disponible muchos usos prácticos. Algunos de los ejemplos de aplicaciones para negocios son los siguientes: Un auditor puede utilizar técnicas de muestreo aleatorio para auditar las cuentas por cobrar de un cliente. Un gerente de planta puede utilizar técnicas estadísticas de control de calidad para asegurar la calidad de los productos con mínima inspección y menor número de pruebas. Un analista financiero podría usar métodos de regresión y correlación para entender mejor la analogía entre los indicadores financieros y un conjunto de otras variables de negocio. Un analista de mercadeo podría usar pruebas de significancia para aceptar o rechazar una hipótesis sobre un grupo de posibles compradores a los cuales la compañía está interesada en vender sus productos. Un gerente de ventas podría usar técnicas estadísticas para predecir las ventas de los próximos periodos. Análisis de Decisiones: Tomando Decisiones Justificables y Defendibles El análisis de decisiones es la disciplina que consiste en evaluar alternativas complejas en términos de valores (habitualmente en $ porque es lo que a los gerentes les importa) y de incertidumbre (lo que no conocemos). El análisis de decisiones brinda información sobre las diferencias entre las alternativas definidas, y genera sugerencias de nuevas y mejores alternativas. Usamos números para cuantificar valores e incertidumbres subjetivas, lo cual nos permite comprender la situación de decisión. Los resultados numéricos deben reconvertirse para generar información cualitativa. Los seres humanos pueden comprender, comparar y manipular números. Por lo tanto, para crear un modelo de análisis de decisiones es necesario crear la estructura del modelo y asignar las probabilidades y los valores para poblar el modelo de computación. Aquí se incluyen los valores para las probabilidades, las funciones de valor para evaluar alternativas, las ponderaciones de valor para medir la concesión que se debe hacer entre los objetivos, y la preferencia de riesgo. Una vez definida la estructura y los números, el análisis puede comenzar. El Análisis de Decisiones implica mucho más que calcular la utilidad esperada y ponderada de cada alternativa. Si nos detuviéramos aquí, los decisores no tendrían demasiada información. Tenemos que examinar la sensibilidad de la utilidad esperada y ponderada para las probabilidades clave, y los parámetros de ponderación y preferencia de riesgo. Como parte del análisis de sensibilidad

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podemos calcular el valor de la información perfecta para incertidumbres que han sido modelizadas explícitamente. Entre las comparaciones cuantitativas adicionales se incluye la comparación directa de la utilidad ponderada para dos alternativas en todos los objetivos y la comparación de todas las alternativas en dos objetivos seleccionados, demostrando la optimalidad de Pareto para estos dos objetivos. La complejidad del mundo moderno, junto con la cantidad de Información, la Incertidumbre y el Riesgo, requieren un marco racional para la toma de decisiones. Las metas del análisis de decisiones son las siguientes: incorporar orientación, información, discernimiento y estructura al proceso de toma de decisión, para que ésta pueda ser mejor y más "racional".

Figura 1. Ideas

Toda decisión necesita un decisor responsable. El decisor tiene varias alternativas, y debe elegir una. El objetivo del decisor es elegir la mejor alternativa. Después de que se ha tomado la decisión, pueden producirse eventos sobre los que el decisor no tiene control. Cada combinación de alternativas elegida, seguida por un evento, conduce a un resultado con algún valor mensurable. Los gerentes toman decisiones en situaciones complejas. Las matrices de árbol de decisiones y pago describen estas situaciones y añaden estructura a los problemas. Lección 3: Elementos de los Modelos de Análisis de Decisión Las teorías y las técnicas matemáticas que se toman en consideración en el análisis de decisiones se ocupan de las teorías de elección prescriptivas (acción). Es decir, la cuestión aquí es ver exactamente de qué modo se comporta un decisor cuando se enfrenta a una elección entre cursos de acción, cuyos resultados están regidos por el azar o las acciones de los competidores. El análisis de decisiones es un proceso que le permite al decisor seleccionar una decisión (sólo una) entre un conjunto de alternativas posibles de decisión, cuando existe incertidumbre con respecto al futuro, con el objetivo de optimizar el pago (retorno) resultante, en términos de algún tipo de criterio de decisión numérico.

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Los elementos de los problemas de análisis de decisiones son los siguientes:

Grafico 3. Componentes de un modelo probabilístico

1. Hay un decisor responsable individual. Por ejemplo, el Representante legal de una compañía que quizás deba rendir cuentas ante los accionistas. 2. Un número finito de eventos (futuros) posibles, llamados Estados de la Naturaleza, es decir, un conjunto de escenarios posibles. Las circunstancias en las cuales se toma una decisión se llaman estados de la naturaleza. Los estados de la naturaleza se identifican y agrupan en el conjunto S; los miembros se denotan como s. El conjunto S es un grupo de conjuntos mutuamente excluyentes. Es decir, sólo puede ocurrir un estado de la naturaleza. ¿Qué puede hacer la naturaleza? 3. Un número finito de alternativas posibles de decisión. Hay una acción a, miembro del conjunto A, que puede ser adoptada por el decisor. Sólo puede adoptar una. ¿Qué puedo hacer? Una buena decisión requiere buscar un conjunto más rico de alternativas que las que se presentaron inicialmente o que las aceptadas tradicionalmente. 4. Sea breve en la parte de la lógica y la razón de su decisión. Es probable que existan mil cosas en un automóvil, pero usted no las necesita todas para tomar la decisión. Con media docena es suficiente. 5.La manera más sencilla de formular el problema de decisión es usando una matriz de beneficios (tabla). Hay una matriz de beneficios X bien definida, monetaria (y luego de utilidad) sobre dos conjuntos de dominio dimensionales A y S. Las filas y las columnas se asignan a las alternativas de decisión posibles y a los estados posibles de la naturaleza, respectivamente. Normalmente no es tarea sencilla construir esta matriz; por lo tanto, puede requerir algo de práctica. Fuente de Errores en la Toma de Decisiones: La fuente principal de errores en los problemas de toma de decisiones arriesgadas son las presunciones falsas, no tener una estimación exacta de las probabilidades, depender de la expectativa, dificultades en medir la función de utilidad, y los errores de pronóstico. Cuando tomamos alguna decisión se puede incurrir en algunos errores que sesgan las decisiones ya sea para bien o para mal, entre los más frecuentes errores tenemos: 21

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- Focalizarse en una sola fuente de información. - Sobreestimar el valor de la información recibida de otros. - Subestimar el valor de la información recibida de otros. - Escuchar y ver sólo lo que queremos. - No escucharnos - No ofrecer participación - Hacer de forma unilateral u obligada Como se estudio en este capítulo, hay una secuencia previa para la toma de decisiones, se observo desde el análisis del problema hasta las secuencias para una óptima decisión, pero solo con análisis empíricos hasta el momento y no con modelos matemáticos para analizar en los siguientes capítulos. Ejemplo de decisión de inversión: Los estados de la naturaleza son los estados de la economía durante un año. El problema es decidir qué acciones tomar entre los tres cursos posibles, con las tasas de retorno dadas tal y como son mostradas en la tabla.

Estados de la Naturaleza

Bonos

Crecimiento

Crecimiento Sin Bajo medio cambio

C

CM

SC

B

12%

8

6

3

7

3

-2

7

7

7

Cursos de Acciones 15 Acción Depósito 7

Tabla 1. Matriz para procesos de decisión

Lección 4: PASOS PARA LA TOMA DE DECISIONES Definido el proceso para la toma de decisiones, se une el proceso escogido y definido con una serie de pasos para la decisión como los siguientes, donde cada uno de ellos plantea unas preguntas que se deben resolver así: Definir el Problema Se puede preguntar lo siguiente:

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- ¿Qué cree que causa el problema? - ¿Dónde, cómo y qué está pasando? - ¿Con quién está pasando? - ¿Por qué está pasando? Describa de manera específica el problema. - Si se presenta un problema considerado como complejo es aconsejable que se proceda a contestar las preguntas mencionadas hasta que se logren escribir los problemas relacionados. - Es importante verificar el entendimiento de los problemas. Esto se puede lograr con el diálogo con un par para clarificar conceptos. - Otro aspecto a considerar es establecer un orden o prioridad en los problemas a tratar. Para ello es útil distinguir entre “urgente” e “importante”. - El entender nuestro rol en el problema es importante, pues influye grandemente en como uno percibe el rol de los demás. Buscar las Causas Potenciales del Problema. - En esta fase es importante recibir la retroinformación de los que notan el problema o quienes están siendo afectados por él. - Escribe cuáles son tus opiniones y que has escuchado de otros. - Haz una descripción de la causa del problema, en términos de lo que está pasando, dónde, cuándo, cómo, con quién y por qué. Identificar Alternativas para Resolver el Problema. - Desarrollar una “tormenta de ideas” para la solución del problema. - La “tormenta de ideas” consiste en colectar el mayor número de ideas posibles y luego cernir las mismas para encontrar la mejor idea. Seleccionar una alternativa para resolver el problema. Se ha de considerar: - ¿Cuál alternativa resolverá el problema a largo plazo? - ¿Cuál alternativa es más realista al momento? 23

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- ¿Qué recursos tenemos? ¿Están accesibles? - ¿Tenemos el tiempo suficiente para implementar la alternativa? - ¿Cuál es el riesgo asociado a cada alternativa? Establecer el plan de acción para la implementación de la mejor alternativa. Considerar lo siguiente: - ¿Cómo la situación se verá cuando el problema sea resuelto? - ¿Qué pasos se han de tomar para la implementación de la mejor alternativa para resolver el problema? - ¿Qué sistemas o procesos deberían ser cambiados por una política o procedimiento? - ¿Cómo sabemos que los pasos se están llevando a cabo? - ¿Qué recursos se necesitan en términos de personas, facilidades y finanzas? - ¿Cuánto tiempo se necesita para implementar la alternativa? Para ello es necesaria la creación de una agenda. - ¿Quiénes será responsable de asegurarse de la implementación del plan? Monitorear la Implementación del Plan. Algunos aspectos a considerar: - Observar que se estén dando lo esperado a través de la implementación. - Cotejar que se esté llevando a cabo el itinerario o agenda programada. - Si el plan establecido no está dando los resultados esperados favor de revisar el plan. Verificar si el plan ha sido efectivo o no. - Una manera de ver su efectividad es verificar que las operaciones vuelvan a la normalidad. - Verificar si los cambios realizados evitarán el mismo problema en el futuro. - Preguntarnos que hemos aprendido del proceso de toma de decisiones (conocimiento, entendimiento, destrezas).

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- Realizar un memorando que describa los logros del esfuerzo durante el proceso de resolver el problema y compartirlo con todos/as. Lección 5: Criterio de decisión

fuente: elearning.semarnat.gob.mx/cte /MATERIALESAPOYO...

Para el estudio de los criterios de decisión, primero debemos definir que son criterios de decisión y los tipos de criterios que debemos estudiar: Clasificación de Criterios de Decisión: Los criterios los clasificamos de acuerdo a la forma o estado de la naturaleza (eventos) que se nos presentan para la decisión, por lo cual encontramos la siguiente clasificación: 1. DECISIÓN TOMADA BAJO CERTEZA Los estados de la naturaleza que ocurrirán se asumen conocidos. En este caso el que toma las decisiones sabe con claridad o exactitud cual estado de la naturaleza ocurrirá. 2. DECISIÓN TOMADA BAJO RIESGO Existe conocimiento de la probabilidad que un estado de la naturaleza ocurra, por lo cual es necesario un buen manejo de las densidades de probabilidad y el manejo matemático se desarrollan con base en información estadística. Para estados de la naturaleza se tiene en cuenta lo siguiente: - maximizar el perjuicio esperado, medido en perjuicio neto esperado. - maximizar el perjuicio esperado, medido por su utilidad. - minimizar el perjuicio esperado, en este caso perjuicio y utilidad conducen la misma decisión. 25

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3. DECISIÓN TOMADA BAJO INCERTIDUMBRE La probabilidad de que ocurra un estado de la naturaleza es absolutamente desconocida. En este caso se supone que el que toma las decisiones tiene como conocimiento de la probabilidad con que ocurrirán los estados de la naturaleza (evento) y para ello se tiene en cuenta los siguientes criterios: - maximizar el rendimiento neto mínimo. - maximizar el rendimiento neto máximo. - minimizar el perjuicio máximo. Para iniciar el curso en los procesos matemáticos se definirán a continuación los criterios básicos para la toma de decisión así: - CRITERIO DE PENA MINIMAX (SAVAGE) Criterio de toma de decisiones que minimiza la penalidad máxima asociada con no haber tomado la mejor decisión posible. Penalidad = (ganancia por la mejor decisión) – (ganancia por la decisión no óptima).

Cuando la penalidad se aproxima o es igual a cero (0) la opción seleccionada es la mejor alternativa para la inversión. - CRITERIO PROBABILÍSTICO Consiste en incorporar la probabilidad de cada uno de los resultados que se puedan presentar. Pasos para desarrollarlo: - Estimar la probabilidad de cada resultado. - Utilizar estas propiedades para calcular una ganancia esperada para cada alternativa. - Escoger la alternativa que tenga la mayor ganancia esperada. Permite incorporar su conocimiento (o creencias) acerca de la probabilidad relativa de cada resultado, para el caso del canal de televisión usted podría creer, basado en la experiencia, que hay una misma probabilidad de que la serie sea un éxito o un fracaso, pero que existe una menor probabilidad que la serie sea un gran éxito, para cada uno de los resultado posibles, usted debe: 1. Estimar la probabilidad de cada resultado. 2. Utilizar estas probabilidades para calcular una ganancia esperada. 3. Escoja la alternativa que tenga la mayor ganancia esperada. 26

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- CRITERIO OPTIMISTA (MAXIMAX) Consiste en escoger la alternativa que nos represente mayor ganancia en inversión. - CRITERIO PESIMISTA (MAXIMIN) El objetivo principal de este criterio es seleccionar la alternativa que maximice ganancia mínima posible, es decir, asegurar la mínima perdida. - CRITERIO HURWICZ Este criterio combina los criterios pesimista y optimista, decidiendo que tan optimista o que tan pesimista se desea ser. - se escoge el coeficiente de optimismo alfa que tiene valores de 0 a 1 (entre más cerca este de uno es más optimista). - fórmula para cada alternativa: - Ganancia pesada = alfa * (ganancia máxima) + (1- alfa) * (ganancia mínima).

- seleccione la alternativa que presente la mayor ganancia pesada. EJEMPLO 1:

El vendedor de periódicos Felipe Rodríguez vende en la esquina de la Avenida Caracas y la Calle 53, y cada día debe determinar cuantos periódicos pedir. Felipe compra a $20 cada periódico y lo vende a $.25 Los periódicos que no vende al final del día no tiene valor. Felipe sabe que cada día puede vender entre 6 y 10 periódicos, siendo igual cada probabilidad. Indique como se ajusta este problema en el modelo según el estado del mundo. SOLUCION En este ejemplo, los miembros S = 6, 7, 8, 9,10 son los valores posibles de la demanda diaria de periódicos. Se sabe que p6 = p7 = p8 = p9 = p10 =1/5. Felipr debe escoger una acción que es el número de periódicos que debe pedir cada día entre A= 6, 7, 8, 9,10 . Si Felipe compra i periódicos y la demanda es de j, entonces se compran i a un costo de $20 i, y se venden min(i,j) periódicos a $25 cada uno. Así, se Felipe compra i periódicos y le piden j, tiene una ganancia neta rij donde rij = 25i - 20i = 5i i j rij = 25j - i i ≥ j) En la tabla 2, aparecen los valores de rij

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DEMANDA DE PERIODICOS PERIODICOS PEDIDOS 6 7 8 9 10

6 $30 $10 -$10 -$30 -$50

7 $30 $35 $15 -$5 -$25

8

9

$30 $30 $35 $35 $40 $40 $20 $45 $ 0 $25

10 $30 $35 $40 $45 $50

Tabla 2. Matriz costos de ejemplo 1.

Aplicando el criterio de decisión maximin se obtienen los siguientes resultados:

PERIODICOS PEDIDOS 6 7 8 9 10

EL PEOR ESTADO DEL MUNDO 6, 7, 8, 9,10 6 6 6 6

RECOMPENSA EN EL PEOR ESTADO DEL MUNDO $30 --- maximin $10 -$10 -$30 -$50

Tabla 3. Decisiones según Criterio maximin

Por lo tanto si opta por la decisión de mitigar el peor de los casos, quizá ya pueda sacar provecho de la buena fortuna, por lo cual Felipe nunca ganará menos de $30, pero nunca ganará más de $30. Por lo cual se recomienda ordenar 6 periódicos. Aplicando el criterio de decisión maximax se obtiene los siguientes resultados: PERIODICOS PEDIDOS 6 7 8 9 10

EL PEOR ESTADO DEL MUNDO 6, 7, 8, 9,10 7, 8, 9,10 8, 9,10 9,10 10

RECOMPENSA EN EL PEOR ESTADO DEL MUNDO $30 $35 $40 $45 $50 --- maximax

Tabla 4. Decisiones según Criterio maximax

Este criterio de decisión produce una ganancia de $ 50 con la recomendación de pedir 10 periódicos, pero deja abierta la posibilidad que la demanda sea solo 6 periódicos en cuyo caso perderá $50. Aplicando el criterio Savage, penalización o minimax se debe primero tener en cuenta la penalización previa o sea la diferencia entre la mayor utilidad obtenida 28

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por demanda menos cada una de las utilidades por periódico vendido, tal como se muestra en la tabla siguiente: DEMANDA DE PERIODICOS PERIODICOS PEDIDOS 6 7 8 9 10

6

7

8

$30 - $30 = $ 0 $30 - $10 = $20 $30 + $10 = $40 $30 + $30 = $60 $30 + $50 = $80

$35 - $30= $ 5 $35 - $35= $ 0 $35 - $15 = $20 $35 + $ 5 = $20 $35 + $25 = $60

9

$40 - $30= $10 $40 - $35 =$ 5 $40 - $40 = $ 0 $40 - $20 = $20 $40 - $ 0 = $40

$45 - $30= $15 $45 - $35 = $10 $45 - $40 = $ 5 $45 - $45 = $ 0 $45 - $ 0 = $40

10 $50 - $30= $20 $50 - $35 = $15 $50 - $40 = $10 $50 - $45 = $ 5 $50 $50 $50

Tabla 5. Penalizaciones ejemplo 1.

Los resultados obtenidos son las penalizaciones por lo cual los resultados son: PERIODICOS PEDIDOS 6 7 8 9 10

PENALIZACION MAXIMA $20 $20 $40 $60 $80

Según este criterio se recomienda pedir entre 6 y 7 periódicos ya que la pérdida seria mínima solo de $20. TALLER 1. PIZZA King y Noble greek son dos restaurantes competidores. Deben

determinar en forma simultánea, si emprenden campañas de publicidades pequeñas, medianas o grandes. Pizza King cree que es igualmente probable que Noble Greek lleve a cabo una campaña pequeña, mediana o grande. En la tabla se muestran las ganancias de Pizza King, dadas las acciones de los dos restaurantes. Determinar la campaña elegida por Pizza King según los criterios maximin, maximax y minimax. ELECCION DE PIZZAS KING Pequeña Mediana

ELECCION DE NOBLE GREEK Pequeña Mediana Grande 6000 5000 2000 5000 6000 0

2. Sodaco planea producir una novedad: chocovan. Calcula que la demanda anual de chocovan, D (miles de empaques) tiene la siguiente función de masa: P(D =30) = .30, P(D = 50) = .40, P(D = 80 ) = .30. Cada empaque de Chocovan se vende a $5 y se encurre en un costo variable de $3. Se necesitan $800000 para construir la planta productora de Chocovan. Suponga que se recibe, por siempre $1 cada año, equivale a recibir $10 ahora. Considerando la recompensa para cada acción y estado del mundo en términos del valor presente neto, usar cada uno de los criterios de decisión estudiados en el capitulo para determinar se sodaco debe construir la planta. 29

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CAPITULO 2: DECISIONES BAJO INCERTIDUMBRE – VALOR ESPERADO.

Fuente: http://scielo.isciii.es/scielo.php?pid=S0213-9111200...

INTRODUCCIÓN Este capítulo desarrollará los siguientes temas un poco más a fondo en donde se tendrán en cuenta datos numéricos recolectados de un estudio de mercados previo los temas son: - Características del valor esperado. - Diseño y conducción de la investigación de mercados. - Valor esperado de la información muestra OBJETIVOS: 1.- Conocer los desarrollos necesarios para evaluar una investigación de mercados. 2.- Emplear los criterios de valor esperado para tomar la decisión de una investigación. 3.- Estudiar el criterio del valor esperado cuando se tiene una información perfecta o una muestra especifica.

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Lección 6: CRITERIO DEL VALOR ESPERADO

Fuente:juangabrielcendales.com/.../acuerdos-y-certezas/

En las decisiones bajo incertidumbre esteremos soportados en la estadística por medio del valor esperado o esperanza matemática. También tendremos un fuerte apoyo en los manejos de investigación de mercados lo que permite estudiar un poco mejor la teoría de la utilidad o criterio de utilidad. Todo esto nos da el manejo de informaciones que tenga algo de muestra o sin información muestra. - Valor Esperado

Grafica 4. Resultados de valor esperado Fuente: www.monografias.com/trabajos48/medicinas-alte...

En estadística el valor esperado o esperanza matemática (o simplemente esperanza) de una variable aleatoria es la suma de la probabilidad de cada suceso multiplicado por su valor. Por ejemplo en un juego de azar el valor esperado es el beneficio medio. Si todos los sucesos son de igual probabilidad la esperanza es la media aritmética. 31

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Se refiere a una información que en un futuro haciendo retrospectiva permite ver que escogimos la mejor opción o alternativa. Características: Información del futuro que en retrospectiva, le permitirá haber escogido la mejor alternativa. El cálculo del valor esperado de la información perfecta se obtiene mediante: - La estimación de la probabilidad de cada resultado. - El uso de estas probabilidades para encontrar la recuperación esperada sin información perfecta, mediante la aplicación de criterios. - El cálculo del valor con información perfecta se obtiene de acuerdo a: - Identificación de la mejor decisión y la correspondiente ganancia para cada resultado. - Determinar la ganancia con relación a la probabilidad dada. - Multiplicación de la ganancia para cada resultado futuro por la probabilidad correspondiente de ese resultado y sumando los productos resultantes.

Lección 7: DISEÑO Y CONDUCCION DE LA INVESTIGACION DE MERCADO El propósito de la I.M. es diseñar y llevar a cabo una investigación que tenga como resultado un indicador descriptivo o estimación del proyecto propuesto. Para determinar la confiabilidad de la investigación, se necesita hacer una evaluación en base a los resultados esperados. - Reporte favorable del estudio I.M; la muestra tomada expresa un interés considerable en el producto de la X Cía. - Reporte no favorable del estudio de I.M; a muestra tomada expresa poco interés por producto de la X Cía. Se evalúa para cada resultado, la probabilidad de que cada indicador sea resultado de la investigación. Revisión de las probabilidades en la investigación de mercados: Probabilidades: permite estimar decisiones para resultados posibles. 32

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Investigación de Mercados: permite diseñar y llevar a cabo una investigación que tiene como resultado un indicador descriptivo; además permite que el administrador estime probabilidades más precisas. Árbol de Probabilidad: herramienta que permite visualizar y llevar a cabo análisis de decisiones y observar las probabilidades de los resultados, están conformados por nodos y arcos. Tipos de probabilidades: Probabilidad Conjunta: probabilidad de que se presenten dos sucesos. Probabilidad Marginal: probabilidad de que se presente un suceso en particular. Estas probabilidades permiten llegar a las probabilidades posteriores. Probabilidades Posteriores: probabilidades revisadas de los resultados obtenidos sobre la base de los indicadores de una investigación de mercado.

EJEMPLO 2: Colombia.com es una empresa que se encarga de ensamblar computadores, quieren incluir al mercado un nuevo equipo que cumpla con las necesidades de los clientes, pero la empresa necesita conocer la acogida que va tener ante el mercado, los administradores se hacen dos preguntas:

a) ¿Cuánto debe invertir en este producto experimental? b) ¿El producto tendrá un éxito o será un fracaso?

Para responder a estas preguntas es necesario hacer un estudio de mercadeo. - Formulación del problema: identificar un numero de alternativas de decisión para ello se debe tener en cuenta: - La cantidad a invertir - Estrategia para la inversión. - La inversión se divide en 3 niveles: - Nivel Inferior (L): los computadores no son conocidos en el mercado. - Nivel Moderado (M): el procesador es conocido pero, otras partes son poco conocidas. - Nivel Alto(A): a pesar de que los demás componentes no son conocidos, demuestran ser de buena calidad. - Con base en lo anterior identificamos posibilidades. - Fracaso (F): menos del 10% los clientes compran el producto. - Éxito (S): entre el 10% y 20% los clientes compran el producto. - Gran éxito (G): más del 20% compran el producto.

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas, tecnologías e ingeniería Contenido didáctico del curso Teoría de decisiones Resultado Decisiones

Fracaso (F)

Éxito (S)

Baja (L)

-2

5

Moderada (M) Alta (A)

-5 -8

10 6

Gran éxito G) 8 12 15

Tabla 6. Estimaciones de Ganancia.

La administración utilizo la experiencia para estimar las siguientes probabilidades para los 3 resultados posibles para la venta del nuevo producto. a) 0,4 Fracaso (F) b) 0,4 Éxito (E) c) 0,2 Gran éxito (G). Alternativa Baja Moderada Alta

Ganancia Esperada 0,4(-2)+0,4(5)+0,2(8)=2,8 0,4(-5)+0,4(10)+0,2(12)=4,4 0,4(-8)+0,4(6)+0,2(15)=2,2

Tabla 7. Ganancia sin Información Perfecta.

Lección 8: Valor esperado de la información muestra: El objetivo de la investigación de mercados (IM) es el de ayudar al administrador a realizar estimaciones de probabilidad más precisas. El uso de la investigación de mercado para modificar las probabilidades implica lo siguiente: - Diseño y ejecución de la investigación de mercado. - Revisión de las probabilidades de los diferentes resultados basados en el resultado de la investigación de mercado. - Identificación de la decisión optima basada en las probabilidades revisadas. Enfoque de valor esperado - Si las estimaciones de probabilidad de los estados de naturaleza están disponibles, podemos utilizar el enfoque de valor esperado (EV).

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- Aquí el valor esperado de cada decisión es calculada sumando el producto de los pagos bajo cada estado de naturaleza y la probabilidad de que dicho estado de naturaleza ocurra. - Se selecciona la decisión que proporcione el mejor valor esperado. Valor esperado de una alternativa de decisión: - El valor esperado de una alternativa de decisión es la suma de los pagos ponderados correspondientes a la alternativa de decisión. - El valor esperado (EV) de una alternativa de decisión di se define así:

Donde: N = número de estados de naturaleza P(sj ) = probabilidad del estado de naturaleza sj Vij = el pago correspondiente a la alternativa de decisión di y estado de naturaleza sj Limitaciones del valor esperado: - Si las consecuencias de un resultado potencialmente desfavorable pueden sobrellevarse sin mayores sobresaltos, el VE es un criterio razonable para la acción. - Cuando las consecuencias de un resultado potencialmente desfavorable no pueden ignorarse (cuando se ponen en juego grandes sumas de dinero en términos relativos), el VE puede no ser el mejor criterio de decisión.

Lección 9: Valor Esperado de la Información Perfecta. La ganancia esperada con información perfecta se toma el valor más grande de cada columna de la tabla de ganancia y se multiplica por los porcentajes estimados.

= 0,4(-2)+0,4(10)+0,2(15)=6,2

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Formula general del valor esperado de la información perfecta:

Valor esperado de la información perfecta

Ganancia esperada con información perfecta

=

Ganancia esperada sin información perfecta

-

Valor esperado de la información perfecta = 6,2 – 4,4 = 1,8 En otras palabras el tener información perfecta vale $1.8 millones a Colombia.com. Indicador I1 I2

Descripción < 10% compra producto (computador) > 10% compra producto(computador)

Tabla 8. Indicadores favorables y desfavorables. Indicador

F

I1 I2

0,8 0,2

S

G

0,3 0,7

0,1 0,9

Tabla 9. Probabilidades condicionales dadas por los resultados. Indicador I1 I2

Fracaso (F) 0,32 0,08

Éxito (S) 0,12 0,28

Gran éxito (G) 0,02 0,18

P.Marginal 0,46 0,54

Tabla 10. Probabilidades conjuntas y marginales. Indicador I1 I2

Fracaso (F) 0,7 0,15

Éxito (S) 0.3 0,52

Gran éxito (G) 0,04 0,33

Tabla 11. Probabilidades Posteriores. Decisiones Baja Moderada Alta

Ganancia esperada 0,7(-2) + 0,3(5) + 0,04(8) = 0,42 0,7(-5) + 0,3(10) + 0,04(12) = 0,02 0,7(-8) + 0,3(6) + 0,04(15) = -3,2

Tabla 12. Indicador I1.

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas, tecnologías e ingeniería Contenido didáctico del curso Teoría de decisiones Decisiones

Ganancia esperada

Baja

0,15(2) + 0,52(5) + 0,33(8) = 4,94

Moderada

015(-5) + 0,52(10) + 0,33(12) = 8,41

Alta

0,15(-8) + 0,52(6) + 0,33(15) = 6,87

Tabla 13. Indicador I2. Indicador I1 I2

Decisión optima Baja Moderada

Ganancia esperada 0,42 8,4

Tabla 14. Decisiones óptimas y ganancias esperadas por I1 y I2

Ganancia esperada con información de muestra

=

Ganancia esperada cuando el indicador es I1

*P (1) +

Ganancia esperada cuando el indicador es I2

*P (2)

Ganancia esperada con información de muestra = (0,42*0,46) + (8,4*0,54) = 4,7

Finalmente el valor esperado de la información de muestra es: Valor esperado de la información de muestra

=

Ganancia esperada con información de muestra

_

Ganancia esperada sin información de muestra

= 4,7 – 4,4 = 0,28

Esto significa que la ganancia esperada por Colombia.com aumentara en $279990 si se utiliza los resultados de la investigación. Eficiencia de la información de muestra

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Eficiencia de la información de muestra

Valor esperado de la información de muestra = Valor esperado de la información perfecta

*100

= 0,28 / 1,8 = 15,6%

EJEMPLO 3: El vendedor de periódicos Felipe Rodríguez vende en la esquina de la Avenida Caracas y la Calle 53, y cada día debe determinar cuantos periódicos pedir. Felipe compra a $20 cada periódico y lo vende a $.25 Los periódicos que no vende al final del día no tiene valor. Felipe sabe que cada día puede vender entre 6 y 10 periódicos, siendo igual cada probabilidad. Indique como se ajusta este problema en el modelo según el estado del mundo. DEMANDA DE PERIODICOS PERIODICOS PEDIDOS 6 7 8 9 10

6 $30 $10 -$10 -$30 -$50

7 $30 $35 $15 -$5 -$25

8 $30 $35 $40 $20 $ 0

9

10

$30 $30 $35 $35 $40 $40 $45 $45 $25 $50

Para el criterio del valor esperado se tiene en cuenta la probabilidad del estado de la naturaleza que es para todas las posibles opciones de 1/5 por el pago correspondiente para cada decisión y el valor mayor es la mejor decisión así: RECOMPENSA ESPERADA PERIODICOS PEDIDOS 6 7 8 9 10

1/5( $30+$30+$30+$30+$30) = 1/5( $10+$35+$35+$35+$35) = 1/5(-$10+$15+$40+$40+$40) = 1/5(-$30-$5+$20+$45+$45) = 1/5(-$50-$25+$0+$25) =

$30 $30 $25 $15 $0

Este criterio recomendaría que se pidan 6 o 7 periódicos. Lección 10: Criterio nivel de aceptación Este criterio no proporciona una decisión óptima en el sentido de maximizar beneficio o minimizar un costo. Más bien es un medio de determinar cursos de acción aceptables. Considere por ejemplo, la situación que ocurre cuando una 38

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persona anuncia la venta de un auto usado. Al recibir una oferta, el vendedor debe decidir dentro de un tiempo razonable, si está es aceptable o no. En este aspecto, el vendedor establece un precio límite abajo del cual el auto no será vendido. Este es el nivel de aceptación que permitirá al vendedor aceptar la primera oferta que lo satisfaga. Tal criterio no puede proporcionar el óptimo; Una oferta posterior puede ser más alta que la aceptada. Al tomar una decisión en el ejemplo de los autos usados, no se menciono una distribución de probabilidad. ¿Entonces porque el criterio de nivel de aceptación se clasifica como una toma de decisiones con riesgo? Se puede argumentar que al seleccionar el nivel de aceptación, el propietario del automóvil tiene conocimiento del valor en el mercado de unidades similares. Este equivale a decir que él tiene una “noción” de la distribución de los precios de los autos usados, decididamente, esto no da una definición formal de una función densidad de probabilidad pero se tiene una base para adjuntar datos que se puedan emplear a fin de desarrollar dicha función. En realidad, se debe suponer que este es el caso, ya que la ignorancia completa acerca de la distribución puede hacer que el propietario fije el nivel de aceptación demasiado alto y en esta caso ninguna oferta seria aceptable; o bien fijarlo muy bajo y en este caso quizás el propietario no llegue a tener un noción adecuada del valor real del automóvil. En cualquier caso una de las ventajas de aceptar el nivel de aceptación es que quizás no sea necesario definir con exactitud la función densidad de probabilidad. La explicación anterior destaca la utilidad del criterio del nivel de aceptación cuando todos los cursos de acción alternativos no están disponibles cuando se toma la decisión. Esta no necesita ser la única situación donde se utiliza este criterio. Considérese, por ejemplo, el caso donde una estación de servicio (lavandería, restaurante, peluquería) puede atender con diferentes tasas de servicio. Una tasa alta de servicio aunque proporciona un servicio más rápido y conveniente, puede ser demasiado costosa para el propietario. Recíprocamente un servicio lento no puede ser tan costoso, pero ocasiona la pérdida de clientes y por último el beneficio. El objetivo es llegar al punto óptimo de realizar el servicio. En estos casos es posible determinar la distribución de probabilidad para el servicio tanto en llegada como en el tiempo de atención, debido a que estas instalaciones operan durante largo tiempo parece ideal determinar la optimalidad basado en la minimización del costo de la instalación por unidad de tiempo en total. Incluyendo el costo esperado de operar mas el costo esperado de la inveniencia para el cliente, siendo ambos función del nivel de servicio siendo el primero más alto, el más bajo el segundo y viceversa. Sin embargo este criterio será impráctico debido a la dificultad de determinar el costo del cliente. Otros factores intangibles no se pueden determinar fácilmente en relación al costo ya que depende del cliente y su personalidad. EJEMPLO 4: Se supone que la demanda x por periodo de cierta mercancía está dada por la función continua de probabilidad f(x), si la cantidad al comenzó del periodo no es suficiente puede ocurrir escasez. Si se tiene demasiado hay 39

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inventario ocioso. Ambas situaciones son costosas la primera da perdida beneficio potencial, la segunda aumenta el costo del inventario. Supuestamente se debe equilibrar estos costos, ya que generalmente es difícil estimar el costo de escasez, se puede determinar el nivel de inventario tal que la escasez esperada no exceda de A1 y el exceso esperado no pase de A2. Matemáticamente, esto se expresa de la siguiente manera. Sea I el nivel de inventario que se va a determinar. Por lo tanto, Escasez esperada = ∫ (x – I) f(x) dx ≤ A1 Exceso esperado

= ∫ (I – x) f(x) dx

A2

Como A1 y A2 no puede ser factible para algunos valores I. Se supone que 20 / x2

10

x

20

F(x) = 0

en cualquier otro valor

Se deduce que =

= 20

ln 20/I + I/20 – 1

=

= 20

ln 10/I + I/10 -1

El criterio de aceptación se simplifica y se tiene Ln I - I/20 ≥ ln 20 – A1/20 – 1 = 1.996 - A1/20 Ln I - I/10 ≥

ln 10 – A2/20 – 1 = 1.302 – A2/20

Esto significa que los niveles de aceptación A1 y A2 deben ser tales que las dos desigualdades se satisfagan simultáneamente para al menos un valor de I. El valor de I debe estar entre 10 y 20 por ser los límites de demanda I Ln I – I/20 Ln I – I/10

12 1.88 1.28

13 14 1.91 1.94 1.26 1.24

15 1.96 1.21

16 17 1.97 1.98 1.17 1.13

18 1.99 1.09

19 20 1.99 1.99 1.04 0.99 40

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Se satisface para 13 < I < 17. Por consiguiente para cualquiera de estos valores se proporciona una respuesta al problema. TALLER: 1. El Restaurante Ave Roja está contemplando abrir un nuevo restaurante en Medellín. Tiene tres modelos distintos, cada uno con diferente capacidad de asientos. Burger Prince estima que el número promedio de clientes por ahora será de 80, 100 o 120. La tabla de pago para los tres modelos es el siguiente: Promedio De Clientes Por Hora s1 = 80 s2 = 100 s3 = 120 Modelo A Modelo B Modelo C

$10,000 $ 8,000 $ 6,000

$15,000 $18,000 $16,000

$14,000 $12,000 $21,000

2. Un vendedor de recuerdos de viaje descubre que sus ventas dependen del clima, en gran medida. Él debe ordenar sus mercancias en enero. El mayorista le ofrece paquetes, con una variedad grande o pequeña, a precios especiales, y le vendedor ha decidido comprar uno u otro. Su tabla de utilidades en términos de ganancia neta en dólares aparece en seguida: ESTADO NATURAL DECISION PEQUEÑO GRANDE

FRIO

FRESCO

CALIDO

TÓRRIDO

0

1000

3000

4000

- 3000

-1000

4000

8000

En la figura 2, aparece la función de utilidad del dinero. Si el vendedor cree que cada estado de la naturaleza es probable: 2

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-¿Cuál decisión maximiza el beneficio neto esperado en dólares? -¿Cuál decisión maximiza la utilidad esperada?

CAPITULO 3: DECISIONES BAJO INCERTIDUMBRE - ARBOLES DE DECISION

INTRODUCCION El capitulo muestra otra forma de tomar decisiones cuando hay un grado de incertidumbre en la información pero bajo un modelo que permite gráficamente observar la posible decisión, además se emplea los criterios de valor esperado como apoyo a la misma, en el capítulo se estudiará: - Las características de los arboles de decisión. - Selección de alternativas de decisión. - Las limitaciones cuando se emplea arboles de decisión. - La teoría de la utilidad.

OBJETIVOS: 1.- Identificar cuando se puede emplear un árbol de decisión. 2.- Emplear los arboles de decisión en un proceso decisorio especifico. 3.- Reconocer cuando se puede emplear un árbol de decisión y sus limitantes.

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4.- Analizar la teoría de utilidad como una herramienta para la toma de decisiones.

Lección 11: ELEMENTOS DE LOS ARBOLES DE DECISIÓN. Un árbol de decisión es una representación grafica de las alternativas, probabilidades y pagos o ganancias asociadas con un problema de decisiones. - El primer paso para resolver problemas complejos es descomponerlos en sub-problemas más simples. - Los árboles de decisión ilustran la manera en que se pueden desglosar los problemas y la secuencia del proceso de decisión. - Un nodo es un punto de unión. - Una rama es un arco conector. - La secuencia temporal se desarrolla de izquierda a derecha. - Un nodo de decisión representa un punto en el que se debe tomar una decisión. Se representa con un cuadrado. - De un nodo de decisión salen ramas de decisión que representan las decisiones posibles. - Un nodo de estado de la naturaleza representa el momento en que se produce un evento incierto. Se representa con un círculo. - De un nodo de estado de la naturaleza salen ramas de estado de la naturaleza que representan los posibles resultados provenientes de eventos inciertos sobre los cuales no se tiene control. - La secuencia temporal se desarrolla de izquierda a derecha. - Las ramas que llegan a un nodo desde la izquierda ya ocurrieron. Las ramas que salen hacia la derecha todavía no ocurrieron. - Las probabilidades se indican en las ramas de estado de la naturaleza. Son probabilidades condicionales de eventos que ya fueron observados. - Los valores monetarios en el extremo de cada rama dependen de decisiones y estados de la naturaleza previos.

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Características: - Un Árbol de Decisión es una representación cronológica del problema de decisión. - Cada Árbol de Decisión tiene dos tipos de nodos: Nodos redondos corresponden a los estados de naturaleza, Representará situaciones cuyas ocurrencias son inciertas. Nodos cuadrados corresponden a las alternativas de decisión

- Las Ramas que salen de cada nodo redondo representan los diferentes estados de naturaleza, representará un posible acontecimiento

- Las ramas que sales de los nodos cuadrados representan las diferentes alternativas de decisión. - Al final de cada rama de un árbol están los pagos obtenidos de una serie de divisiones que componen ese árbol. Ejemplo. Suponga que el estado del tiempo es variable y puede que llueva o no. Usted tiene que tomar la decisión de llevar paraguas o no. Fig. 3. Nodo de Decisión Rama

Nodo de Probabilidad

Fig. 3. Árbol de decisión

Lección 12: SELECCIÓN DE ALTERNATIVAS DE DECISIÓN - Trabajando de atrás hacia adelante en el árbol, se calcula el valor esperado para cada nodo de estado de la naturaleza. - Dado que quien toma las decisiones controla las ramas que salen de cada nodo de decisión, se elige la rama que resulte en el mayor valor esperado. - Se van tachando todas las ramas que no sean seleccionadas. 44

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- Se prosigue el análisis hacia la derecha del árbol, hasta seleccionar la primera decisión. - La decisión que resulta de un análisis del árbol de decisión no es una decisión sino una estrategia condicional a la ocurrencia de eventos que sucedan a la decisión inmediata. LIMITACIONES DE LOS ÁRBOLES DE DECISIÓN - Un árbol de decisión da una buena descripción visual en problemas relativamente simples, pero su complejidad aumenta exponencialmente a medida que se agregan etapas adicionales. - En algunas situaciones, la especificación de la incertidumbre a través de probabilidades discretas resulta en una sobre simplificación del problema.

EJEMPLO 5: La compañía Certon ha desarrollado una nueva línea de productos. El gerente está atento para decidir el mercado apropiado y la estrategia de producción. Hay tres estrategias consideradas, A = agresiva, B = básica, C = cautelosa. El estudio de mercado ha denotado F = fuerte, D = débil; los estimativos en pesos en cada caso están en la tabla 15:

Decisión A B C

Estado de la naturaleza F D 30 -8 20 7 5 15

Donde F = 0,45, D = 0,55 Tabla 15. Ejemplo 5. Compañía Certon. – ¿cuál será la mejor estrategia? Una manera más conveniente de representar este problema es usando árboles de decisión, como en la figura 4. Un nodo cuadrado representará un punto en el cual se debe tomar una decisión, y cada línea abandonando el cuadrado representará una posible decisión. Un nodo círculo representará situaciones cuyas ocurrencias son inciertas, y cada línea abandonando el círculo representará un posible acontecimiento

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas, tecnologías e ingeniería Contenido didáctico del curso Teoría de decisiones P (F) =, 45 F D

A

P (D) =, 55

P (F) =, 45 F

B D

P (D)=,55

C P (F)=,45 F D

P (D)=,55

Figura 4. Árbol de decisión para Compañía Certón

El proceso de usar un árbol de decisión para encontrar la decisión óptima se denomina resolver el árbol. Para resolver el árbol se trabaja desde atrás hacia adelante. Esto se llama retornando el árbol. Primero, las ramas terminales se llevan hacia atrás calculando un valor esperado para cada nodo Terminal. Primero se calculan los valores de cada rama, se multiplica el valor estimado en pesos y el valor de cada estado de la naturaleza y después se suman los valores con el fin de obtener un solo resultado, Ver la figura 5. ERA = 9.10 A B ERB = 12.85 C

ERC = 10,58

Figura 5: Resultado ejemplo 5.

La Administración debe resolver un problema más simple que es el de elegir la alternativa que lleva al valor esperado más alto del nodo Terminal. De esta forma un árbol de decisión provee una forma más gráfica de ver el problema. Se utiliza la misma información que antes y se realizan los mismos cálculos. EJEMPLO 6. Considérese La información suministrada en la tabla 16, utilice diagramas de árbol para solucionar el problema 46

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas, tecnologías e ingeniería Contenido didáctico del curso Teoría de decisiones DECISIONES BAJA(l) MODERADA(M) ALTA(H) PROBABILIDAD

FRACASO(F) -2 -5 -8 0.4

ÉXITO(S) 5 10 6 0.4

GRAN ÉXITO (G) 8 12 15 0.2

RESULTADOS: DECISIONES BAJA(l) MODERADA(M) ALTA(H)

FRACASO(F) 0.6 0.4 0.2

ÉXITO(S) 0.3 0.4 0.5

GRAN ÉXITO(G) 0.1 0.2 0.3

Tabla 16. Información ejemplo 6

Figura 6. Árbol ejemplo 6.

GANANCIA ESPERADA = (0.4*(-2)) + (0.4*(5))+(0.2*(8))= 1.6 GANANCIA ESPERADA = (0.4*(-5)) + (0.4*(10))+(0.2*(12))=4. GANANCIA ESPERADA = (0.4*(-8)) + (0.4*(6))+(0.2*(15))=2.2

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Figura 7. Resultados árbol ejemplo 6.

Por tanto se toma la decisión Moderada debido a que da la MAYOR ganancia con un valor de 4.4. Lección 13: Regla de Bayes y arboles de decisión Para desarrollar una unión entre los arboles de decisión y el teorema de bayes que es una herramienta clave para la solución de estos problemas es mas fácil entenderlo a partir de la siguiente explicación: de un conjunto de entrenamiento D de tamaño N y de una función parametrizable F(x; W) (p.e. una red neuronal) siendo W el conjunto de parámetros asociados a la función (p.e. los pesos de la red neuronal), el problema del aprendizaje estadístico pasa por calcular W de manera que se consiga un objetivo estadístico, p.e. minimizar una función de costo estadística. Para ello se utilizará algún método de optimización. El sistema de ecuaciones obtenido al aplicar el método de optimización sobre la función de costo estadístico es lo que se conoce como algoritmo de entrenamiento. Dicho algoritmo es en realidad un sistema dinámico, es decir un conjunto de ecuaciones que evolucionan en el tiempo. Este sistema dinámico deberá converger hacia el mínimo de la función de costo. No obstante, será habitual definir un criterio de parada del algoritmo que permita parar la ejecución del mismo antes de que converja. EJEMPLO 7. Ahora se va a considerar un ejemplo muy simple. Los caramelos sorpresa son de dos sabores: CEREZA y LIMA. El fabricante de los caramelos tiene un sentido del humor muy peculiar, y envuelve los caramelos en un envoltorio opaco en el que no

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se indica el sabor. Los caramelos se introducen en grandes bolsas que son de cinco tipos, otra vez indistinguibles desde afuera: h1: 100% cereza h2: 75% cereza + 25% lima h3: 50% cereza + 50% lima h4: 25% cereza + 75% lima h5: 100% lima Dada una nueva bolsa, la variable aleatoria H (para las hipótesis) denota el tipo de bolsa, así que puede tomar valores desde h 1 hasta h5. Por supuesto, H no es directamente observable. Cuando se abren y se inspeccionan los caramelos, se revelan los datos D1, D2,…, Dn, donde cada Di es una variable aleatoria con valores posibles de CEREZA y LIMA. La tarea básica a la que se enfrenta el agente es predecir el sabor del siguiente caramelo. A pesar de que aparentemente parece trivial, este escenario sirve para introducir muchos de los aspectos principales. Realmente, el agente necesita inferir una teoría de su mundo, aunque sea muy simple. El aprendizaje bayesiano simplemente calcula la probabilidad de cada hipótesis dados los datos, y realiza predicciones sobre estas bases. Es decir, se realizan las predicciones utilizando todas las hipótesis, ponderadas por sus probabilidades, y no utilizando únicamente la "mejor" hipótesis. De esta forma, el aprendizaje se reduce a inferencia probabilística. Si D representa todos los datos, y d el valor observado; la probabilidad de cada hipótesis se obtiene aplicando la regla de Bayes:

(1) Ahora suponga que queremos hacer una predicción sobre una cantidad desconocida X. tenemos (2) (3) Donde se ha asumido que cada hipótesis determina una distribución de probabilidades de X. esta ecuación muestra que las predicciones son el resultado de ponderar las predicciones de las hipótesis individuales. Las hipótesis son en sí mismas intermediarios entre los datos crudos y las predicciones. Las cantidades clave en el enfoque bayesiano son las hipótesis a priori. P(hi) y la verosimilitud de los datos dada cada una de las hipótesis, P(d/hi).

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En este ejemplo asumiremos, como información proporcionada por el fabricante, que la distribución a priori sobre h1,…,h5 viene dada por [0.1 , 0.2 , 0.4 , 0.2 , 0.1]. La verosimilitud de los datos se calcula asumiendo que las observaciones son independientes e idénticamente distribuidas (iid) así que (4) La figura 8 muestra cómo cambian las probabilidades a posteriori de las cinco hipótesis a medida que se van observando los 10 caramelos de lima. Nótese que las probabilidades comienzan con sus valores a priori, por lo que h 3 es inicialmente más probable que las demás, incluso después de que se desenvuelva el primer caramelo. Después de desenvolver dos caramelos de lima, h 4 es la más probable; después de tres o más, h5 (la terrorífica bolsa con todos los caramelos de lima) es la más probable. Después de 10, estamos bastante seguros de nuestro destino. El ejemplo muestra que, a la larga, la verdadera hipótesis domina la predicción bayesiana. Esto es característico del aprendizaje bayesiano. Para cualquier a priori fija que no excluya la hipótesis verdadera, la probabilidad a posteriori de cualquier hipótesis falsa finalmente desaparecerá, simplemente porque la probabilidad de generar datos no característicos de forma indefinida es cada vez más pequeña. Más importante, la predicción bayesiana es óptima, tanto si el conjunto de datos es pequeño, como si es grande. Dada la hipótesis a priori, cualquier otra predicción será correcta con menos frecuencia. Por supuesto, la optimalidad del aprendizaje bayesiano tiene un precio. En los problemas reales de aprendizaje, el espacio de hipótesis es normalmente muy grande. En algunos casos, el cálculo del sumatorio de la ecuación (2) (o la integración en caso continuo) es tratable, pero en la mayoría de los casos debemos recurrir a métodos aproximados o simplificados.

Figura 8. Evolución de las probabilidades condicionales de h1, h2, h3, h4 y h5

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Probabilidades para el momento en el que se destapa el primer caramelo

=0

= 0.1

= 0.4

= 0.3

= 0.2 Probabilidades para el momento en el que se destapa el segundo caramelo

=0

= 0.038

= 0.307

= 0.346

= 0.307 51

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Probabilidades para el momento en el que se destapa el tercer caramelo

=0

= 0.0131

= 0.210

= 0.355

= 0.421 Como se observa en las ecuaciones anteriores; a medida que se van destapando caramelos las ecuaciones se van actualizando con las nuevas probabilidades, cosa que hace más exactas las probabilidades a posteriori. A continuación se muestra la tabla 17. Para 10 iteraciones, es decir para los diez primeros caramelos destapados. h1 h2

h3

h4

h5

A priori

0,1 0,2

0,4

0,2

0,1

1

0

0,1

0,4

0,3

0,2

2

0

0,03846 0,30769 0,34615 0,30769

3

0

0,01316 0,21053 0,35526 0,42105

4

0

0,00413 0,13223 0,33471 0,52893

5

0

0,00122 0,07805 0,29634 0,62439

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6

0

0,00034 0,04405 0,25086 0,70475

7

0

9,4E-05 0,02407 0,20562 0,77021

8

0

2,5E-05 0,01285 0,16468 0,82245

9

0

6,6E-06 0,00675 0,12968 0,86357

10

0

1,7E-06 0,0035 0,10087 0,89563

Tabla 17. Iteraciones ejemplo 7.

Lección 14: TEORIA DE LA UTILIDAD. La utilidad es una forma alternativa para medir el atractivo del resultado de una decisión. Dicho de otro modo, de encontrar los valores a llenar una tabla de pagos. Se emplea en los criterios de decisión y de valor esperado los beneficios netos y el arrepentimiento como medidas de la bondad de una combinación concreta de una decisión con un estado natural. La utilidad sugiere otras mediciones como la razón de la utilidad y la función de utilidad específica para cada problema de decisión. Entre estos desarrollos tenemos: - Una única oportunidad para tomar la decisión y ésta tiene riesgos considerables. - Un boleto de lotería tiene una ganancia esperada negativa. - Una póliza de seguros cuesta más que el valor actual de las pérdidas esperadas de la compañía aseguradora.

Características de la Teoría de la utilidad - El valor de la utilidad, U (V) refleja la perspectiva del tomador de decisiones. - El valor de la utilidad se calcula para cada posible ganancia. - El menor resultado obtenido tiene un valor de utilidad de 0. - El mayor resultado obtenido tiene un valor de utilidad de 1.

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- La decisión óptima se elige usando el criterio de la utilidad esperada.

Sobre la indiferencia para asignaciones de valores de utilidad - Listar todas las posibles ganancias en la matriz de ganancias en orden ascendente. - Asignar una utilidad 0 al valor más bajo y un valor 1 al más alto. - Para todas las otras posibles ganancias formular al tomador de decisiones la siguiente pregunta: “suponga que Ud. Podría recibir esa ganancia en forma segura o recibiría, ya sea la mayor ganancia con probabilidad p y la menor ganancia con probabilidad (1-p). ¿Qué valor para p lo haría indiferente ante esas dos situaciones? La respuesta a esta pregunta son las probabilidades de indiferencia con respecto a la ganancia y se usan como valores para la utilidad.

DETERMINANDO LA RAZON DE LA UTILIDAD: - La técnica provee una cierta cantidad de riesgo para cuando el tomador de decisiones debe elegir una opción. - La técnica se basa en tomar la ganancia más segura versus arriesgar la obtención de la más alta o baja de las ganancias. - Tres tipos de tomadores de decisiones 1.El no arriesgado - prefiere una ganancia segura a una probabilidad de una misma ganancia esperada. 2. El arriesgado - prefiere una ganancia probabilística a una misma ganancia segura esperada. 3. El neutral es indiferente a una ganancia segura o probabilística.

Utilidades.

No arriesgado al determinar la decisión

Neutral al determinar la decisión Arriesgado al determinar la decisión

Ganancia Grafico 5. Tipo de decisiones.

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Hasta ahora hemos supuesto que el pago esperado en términos monetarios es la medida adecuada de las consecuencias de tomar una acción. Sin embargo en muchas situaciones esto no es así y se debe utilizar otra escala de medida para las acciones que realizamos Lección 15: APLICACIONES DE LA TEORIA DE UTILIDAD: Suponga que se le ofrece a una persona Ganar $40000 fijos: 50% de posibilidades de ganar $100000 50% de posibilidades de no ganar nada

E {p(a 1 ,q)}= 0.5* $100000 + 0.5*0= $50000 E {p(a 2 ,q)}= 1* $40000 = $40000

Aunque la alternativa 1 tiene un pago esperado mayor, muchas personas preferirán los $40000 pesos fijos, En muchas ocasiones los tomadores de decisiones no están dispuestos a correr riesgos aunque la ganancia esperada sea mucho mayor. Se pueden transformar los valores monetarios a una escala apropiada que refleje las preferencias del tomador de decisiones, llamada función de utilidad del dinero U(M) 5 4 3 2 1

$10000 $ 20000 $30000 $40000 $50000 $60000

$100000

Grafico 6. Función de utilidad para el dinero

Una función de utilidad para el dinero de este tipo nos muestra una utilidad marginal decreciente para el dinero. La pendiente de la función disminuye conforme aumenta la cantidad de dinero M. Porque la segunda derivada < 0 cuando ésta existe. 55

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Pero se puede observar que no todas las personas tienen una utilidad marginal decreciente para el dinero. Hay personas que tienen funciones de utilidad marginal creciente para el dinero. El hecho de que distintas personas tienen funciones de utilidad diferentes para el dinero tiene una aplicación importante para el tomador de decisiones cuando se enfrenta a la incertidumbre. Por lo tanto cuando una función de utilidad para el dinero se incorpora en un análisis de decisiones de un problema, esta función de utilidad debe construirse de manera que se ajuste a las preferencias y valores del tomador de decisiones. La clave para considerar que la función de utilidad para el dinero se ajusta al tomador de decisiones es la siguiente propiedad de las funciones de utilidad: “Bajo las suposiciones de la teoría de utilidad, la función de utilidad para el dinero de un tomador de decisiones tiene la propiedad de que éste se muestra indiferente ante dos cursos de acción alternativos si los dos tienen la misma utilidad esperada”. Para la aplicación que se está estudiando y según el grafico 6 se obtiene que: Se le ofrece Ganar $100000 con probabilidad p (utilidad = 4), No ganar nada con probabilidad 1-p (utilidad = 0) El valor esperado de la utilidad con esta oferta es E (utilidad) = 4 * p El tomador de decisiones será entonces indiferente ante cualquiera de estos 3 pares de alternativas: - Ganar $100000 con probabilidad 0.25 E (utilidad = 1). Obtener $10000. - Ganar $100000 con probabilidad 0.5 E (utilidad = 2). Obtener $30000. - Ganar $100000 con probabilidad 0.75 E (utilidad = 3). Obtener $60000.

Construcción de la función de utilidad para el dinero: 1. Se le hace al tomador de decisiones una oferta hipotética de obtener una gran suma de dinero con probabilidad p o nada. 2. Para cada una de las pequeñas cantidades se le pide al tomador de decisiones que elija un valor de p que lo vuelva indiferente ante la oferta y la obtención definitiva de esa cantidad de dinero.

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Cuando se usa la función de utilidad para el dinero, del tomador de decisiones, para medir el valor relativo de los distintos valores monetarios posibles, la regla de Bayes sustituye los pagos monetarios por las utilidades correspondientes; Por lo tanto, la acción óptima es la que maximiza la utilidad esperada. EJEMPLO 8. GOFERBROKE COMPANY, En estos momentos la compañía no atraviesa por una situación financiera sólida y está operando con poco capital. Una pérdida de $100000 sería bastante seria. El peor escenario sería conseguir $30000 para el sondeo sísmico y después todavía perder $100000 en la perforación cuando no haya petróleo.

Grafica 7 Árbol para ejemplo 8.

Por otro lado, encontrar petróleo es una perspectiva interesante, ya que una ganancia de $700000 daría a la compañía una base financiera sólida. Para aplicar la función de utilidad para el dinero del tomador de decisiones es necesario conocer todos los pagos posibles.

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Utilidad -150 -105 60 90 580 600

Tabla 18. Pagos y utilidad ejemplo 8.

Veamos la manera como se obtuvo esta tabla 18; El punto de inicio adecuado para construir la función de utilidad es considerar el peor y el mejor de los escenarios. Suponga que sólo tiene dos alternativas: Alternativa 1 No hacer nada, utilidad = 0, pago = 0 Alternativa 2 • Probabilidad p, • Probabilidad 1-p,

pago= 700 pago= -130

¿Qué valor de p haría que el tomador de decisiones fuera indiferente ante las dos alternativas? Suponga que la elección del tomador de decisiones es p = 1/5 4/5 u (-130) + 1/5 u (700) = 0 Uno de los valores de u (-130) y u (700) puede establecerse arbitrariamente, con la salvedad de que el primero sea negativo y el segundo positivo Suponga que seleccionamos u (-130) = -150 4/5 (-150) + 1/5 u (700) = 0 u (700) = 600 Para identificar u (-100), se selecciona un valor de p que haga que el tomador de decisiones sea indiferente entre un pago de -130 con Probabilidad p o la de definitivamente puede incurrir en un pago de -100. Si p = 0.7 entonces u (-100) = p u (-130) = 0.7(-150) = -105

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Para obtener u (90), se selecciona un valor de p que haga que el tomador de decisiones sea indiferente entre un pago de 700 con probabilidad p o la obtención de un pago definitivo de 90.

Si p = 0.15 entonces u (90) = p U (700) = 0.15 (600) = 90 Con estos valores se puede dibujar una curva suavizada.

Grafica 8. Función de utilidad ejemplo 8.

Resumiendo: Para f > 0 halle un valor de p tal que sea indiferente tener $700 con ese valor de p, o tener a la fija f y se plantea u (f) = u (700)* p + 0 * (1-p) u (f) = u (700)* p Se halla u(f) Para f < 0 halle un valor de p tal que sea indiferente tener -$130 con ese valor de p, o tener a la fija f u (-130)* p = u (f) Se halla u (f) Observe que u (M) es en esencia igual a M para valores pequeños (positivos o negativos) de M, y después se separa gradualmente para valores grandes de M; Esto es característico de una persona que tienen una aversión moderada al riesgo. 59

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Dada la función de utilidad para el dinero del dueño de la compañía, el proceso de toma de decisiones se puede desarrollar por cualquiera de los métodos estudiados anteriormente excepto que ahora se sustituyen las utilidades por los pagos monetarios. El uso de la teoría de la utilidad refleja la actitud del tomador de decisiones respecto al riesgo.

Grafica 9. Árbol ejemplo 8 con función de utilidad. FUENTE: http://www.investigacion-operaciones.com/Curso_inv-Oper_carpeta/Clase25_II.pdf

TALLER: 1) La compañía de limpieza Jorge recibe contratos preliminares de dos fuentes, de un agente propio de la empresa y de los gerentes de los edificios. Históricamente, 3/8 de los contratos son obtenidos por el agente y 5/8 de los gerentes, desafortunadamente, no todos los contratos preliminares resultan para efectuarse. Actualmente, solamente ½ de los contratos obtenidos de los gerentes resultan, sin embargo 3/4 de los obtenidos por el agente se efectúan, por un contrato se obtienen $64000, el costo de procesamiento y seguimiento de un contrato que no se realiza es de $3200. ¿Cuál es el pago esperado asociado con los contratos preliminares. 2) Jorge está contratado para realizar una presentación el 10 de mayo, las ganancias dependen fuertemente del tiempo, si particularmente el tiempo es lluvioso, el espectáculo pierde $28000 y si es soleado obtiene utilidad de 60

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$12000 (suponiendo que todo el día estará tanto lluvioso como soleado), Jorge puede decidir cancelar el espectáculo, pero si lo hace pagara una multa de $1000. Históricamente el 10 de mayo tiene 1/4 del tiempo lluvioso. ¿Qué decisión deberá Jorge tomar para maximizar sus ganancias esperadas? -¿Cual es el valor esperado de la información perfecta? Jorge tiene la opción de conseguir la información del tiempo en la oficina meteorológica. Cuando ha sido lluvioso la oficina ha estado en lo correcto (pronosticada lluvia) en el 90%. Cuando ha sido soleado, está él en lo correcto (pronosticado sol) solamente en el 80% del tiempo. - Si Jorge obtiene el estado del tiempo, ¿Qué estrategia deberá seguir para maximizar sus expectativas de ganancias? 3) OILCO debe determinar si perforar o no en el mar para buscar petróleo. Cuesta 100000 dólares perforar y, si encuentra petróleo, su valor se calcula en 600000 dólares. Actualmente OILCO cree que hay 45 % de probabilidades que el campo contenga petróleo. Antes de perforar OILCO puede contratar por 10000 dólares un geólogo para obtener mas información acerca de la probabilidad que haya petróleo en el lugar. Hay un 50% que el geólogo emita un dictamen favorable contra el 50% que el dictamen sea desfavorable. Si el dictamen es favorable hay probabilidad del 80% que el campo tenga petróleo. Si el dictamen es desfavorable hay 105 de probabilidad que haya petróleo. Determinar las acciones optimas de OILCO, también calcular VEIM (Valor Esperado de Información Muestra) y VEIP (Valor Esperado de Información Perfecta) 4) Un cliente acude a un banco para obtener un préstamo de 50000 dólares a un año con 12% de interés. Si el banco no aprueba el préstamo los 50000 se invertirán en bonos que ganaran un 6% anual. Sin mayores informes, el banco cree que hay el 4% de probabilidad que el cliente se declare totalmente insolvente. En este caso el banco pierde los 50000. A un costo de 500 dólares el banco puede investigar en detalle el historial de crédito del cliente y emitir un concepto a favor o en contra. La experiencia anterior indica que: P (recomendación favorable/cliente no insolvente)=70/96 P (recomendación favorable/cliente insolvente) = ¼ ¿Cómo puede el banco maximizar sus ganancias? ¿Calcular el VEIM y VEIP?

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AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD 1. 1.- Considere la siguiente matriz de pagos (|beneficios): Θ1

θ2

θ3

θ4

θ5

α1

15

10

0

-6

17

α2

3

14

8

9

2

α3

1

5

14

20

α4

7

19

10

2

-3 0

No se conocen probabilidades para la ocurrencia de los estados de la naturaleza. Compare las soluciones obtenidas con cada uno de los criterios. (a) (b) (c) (d)

Laplace Maximin. Savage. Hurwicz. (Suponga que α = 0.5.)

2. La red de televisora NBS gana un promedio de 400000 dólares cuando un espectáculo tiene éxito y pierde un promedio de 100000 dólares cuando no lo tiene. De todos los espectáculos que ha revisado esa red, sucede que el 25% fueron éxitos y el 75% fracasos. Una empresa de investigación de mercados puede, a un costo de 40000 dólares, hacer que una concurrencia presencie una muestra del espectáculo propuesto y de su opinión acerca de si será éxito o fracaso. Si en realidad va a ser un éxito, hay 90% de probabilidad que la empresa de investigación de mercado prediga que será éxito. Si en realidad va a ser un fracaso, hay 80% de probabilidades que la predicción sea fracaso. Determinar por medio de arboles de decisión cómo puede la red televisora elevar al máximo sus ganancias esperadas. También calcular el VEIM y el VEIP. RESPUESTAS: 1. a) a4 b) a2 c) a2 d) a4 2. Contratar a la empresa. Si predice éxito, transmitir el programa. Si predice fracaso, no transmitirlo. Ganancia esperada= 35000 dólares; VEIM= 50000 dólares; VEIP= 75000 dólares.

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UNIDAD 2. DECISIONES BAJO RIESGO

INTRODUCCIÓN: Esta unidad desarrollará, los criterios de decisión específicos para cuando no se conoce la información o sea que se presenta un mayor riesgo Al tomar la decisión, en otras palabras como si se avanzara a ciegas en las empresas o vida cotidiana, en la unidad se mostrara la utilidad de las probabilidades en la toma de decisiones, además de programar decisiones con secuencia o metas escalonadas, como también la simulación de los procesos decisorios. En los siguientes capítulos el estudiante conocerá el manejo de las decisiones cuando solo tiene un competidor, como también cuando su producto tiene varios competidores y depende de su comportamiento con el tiempo. Por último aplicará los conceptos de programación lineal pero en decisiones con metas y el algoritmo específico, así como las aplicaciones de los modelos de simulación.

OBJETIVO GENERAL: Dar a conocer a los estudiantes las modelos para apoyo en las decisiones cuando no se conoce a futuro ninguna certeza por ende se debe basar todo en el estudio probabilístico, las características, elementos esenciales, algoritmos de solución y la aplicabilidad de la probabilidad en una empresa.

OBJETIVOS ESPECIFICOS: - Identificar y aplicar los diferentes tipos de probabilidades en las decisiones de una empresa o la vida diaria. - Aplicar los métodos de solución para la toma de decisiones donde solo hay dos participantes y se debe suponer las decisiones del otro. -Diferenciar las necesidades de un producto con respecto a otro y la influencia del tiempo en las ventas de este en un mercado específico. 63

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- Conocer y aplicar las cadenas de markov. - Observar y aplicar los algoritmos para la solución optima en un proyecto donde se deben programar las metas a conseguir y determinar la prioridad entre ellas. - Reconocer las aplicaciones de la simulación en la toma de decisiones.

COMPETENCIAS: El estudiante después de estudiar la unidad deberá ser competente en la teoría de juegos para aplicarlo no solo con un competidor si no con un rival especifico. Diferenciar el comportamiento de un producto en el tiempo y con otros productos similares. Diferenciar entre los diferentes métodos para desarrollar una simulación y la secuencia para definir un problema que tiene varias metas específicas.

JUSTIFICACION El profesional además de las decisiones con incertidumbre debe afrontar aquellas donde el riesgo es alto y fuertemente apropiado por el azar, por lo tanto, con las herramientas de teoría de juegos, cadenas de markov y la programación por metas le permite desarrollar habilidades en los esquemas con dos jugadores o tendencias en el tiempo, además de medir decisiones con varias aproximaciones previas y en donde se debe avanzar metódicamente. Por último se aproxima a la simulación de sus decisiones y en donde se le exigirá la apropiación matemática previa para desarrollar los métodos markovianos, por metas y de simulación. INTENCIONALIDADES FORMATIVAS La intención formativa tiene que ver con las capacidades para tomar decisiones con riesgo por medio del uso de diferentes métodos como lo son la teoría de juegos, las decisiones con procesos de markov. Adicionalmente aplicar modelos de programación cuando son varias las posibles decisiones y determinar los desarrollos por medio de las simulaciones en los procesos de decisión. Esto lo pueden realizar con apoyo de los conocimientos adquiridos en el cálculo diferencial, programación lineal y ecuaciones diferenciales. Por lo cual el estudiante aplicará integralmente sus conocimientos básicos en el campo profesional, teniendo un criterio claro para las diversas decisiones en las empresas donde laboren.

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Capitulo 4. DECISIONES BAJO RIESGO –TEORIA DE JUEGOS

INTRODUCCIÓN En el mundo real, tanto en las relaciones económicas como en las políticas o sociales, son muy frecuentes las situaciones en las que, al igual que en los juegos, su resultado depende de la conjunción de decisiones de diferentes agentes o jugadores. La técnica para el análisis de estas situaciones es llamada Teoría de juegos la cual es sin duda un modelo para empresas ganadoras o exitosas en un ambiente competitivo: Por ejemplo, existen muchos factores importantes a considerar cuando se hace una oferta importante, entre los cuales están: Establecer y mantener una posición de preferencia como oferente, desarrollar una relación de preferencia por parte de los clientes, de lo que se oferta en sí mismo, y del precio. Es una fascinante aplicación de la matemática pura y la psicología pura, e incorpora series de modelos capaces de simplificar problemas complejos de competencia o interacción incierta entre dos o más agentes. OBJETIVOS 1.-Conocer en qué consiste la Teoría de Juegos. 2.- Desarrollar destreza para la toma de decisiones. 3.- Poder elegir la mejor estrategia mediante un proceso matemático. 4.- Saber elegir la mejor decisión de acuerdo a sus intereses. 5.- Reconocer y desarrollar los diferentes métodos de la Teoría de Juegos

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Lección 16. CONCEPTOS

Fuente: http://julioguti.bligoo.com/tag/psicologia

La teoría de juegos es una Teoría matemática, que estudia las características generales de las situaciones competitivas y hace parte de la teoría general de decisiones como mecanismo para el manejo de las estrategias. En la teoría de Juegos un oponente se designa como jugador, cada jugador tiene un numero de elecciones llamadas estrategias. Los resultados a pagar de un juego se resumen como funciones de las diferentes estrategias para cada jugador, en donde la ganancia de un jugador es igual a la pérdida del otro. Se debe tener en cuenta siempre las siguientes definiciones elementales como son: Juego: es la situación de conflicto en la que dos o más adversarios intentan alcanzar un objetivo seleccionando cursos de acción de entre todos los que sean permitidos por las reglas. Reglas: posibles cursos de acción que pueden ser elegidos y deben ser conocidas por todos los jugadores. Resultados: asociados a cada posible combinación de elecciones, estos son definidos por adelantado y conocidos por todos los jugadores. Movida: elección de un curso de acción en particular de entre un conjunto de alternativas posibles. Partida: secuencias de movidas que se suceden en un juego desde el principio hasta el final; Debe tenerse una secuencia por cada jugador. Estrategia de un jugador: Es la regla de decisión predeterminada que permite a un jugador elegir cada una de las movidas que conforman a una partida, ante el análisis de todas las posibles elecciones de los competidores. Estrategia pura: es aquella en la cual cada una de las movidas hechas por un jugador a lo largo de una partida corresponde a una única opción o curso de acción particular. Estrategia mixta: es aquella en la cual no siempre se opta por el mismo curso de acción a lo largo de una partida. Valor del juego: Es el resultado de jugar una partida, cada jugador con su estrategia. Indica cual es el beneficio o perjuicio que recibe cada jugador. Solución del juego: es el conjunto de estrategias óptimas para cada jugador y valor del juego resultante de la aplicación de esas estrategias. IDEAS FUNDAMENTALES - Una característica básica en muchas de las situaciones de conflicto y 66

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competencia es que el resultado final, depende de la combinación de estrategias seleccionadas por los adversarios. - La Teoría de juegos estudia las características generales de las situaciones competitivas de una manera formal y abstracta. - Da una importancia especial a los procesos de toma de decisiones de los adversarios. - Se llaman juegos con suma cero por que un jugador gana lo que el otro pierde, de manera que la suma de sus ganancias netas es cero. Este juego consiste en que los dos jugadores muestran al mismo tiempo uno o dos dados. Si el número de dados coincide con el jugador que apuesta a pares (jugador 1) gana la apuesta ($1) al jugador que va por impares (jugador 2). Si el número no coincide el jugador 1 paga ($1) al jugador 2. Un juego de dos personas se caracteriza por: 1. Las estrategias del jugador 1 2. Las estrategias del jugador 2 3. La matriz de pagos METODOS DE SOLUCIÓN Existen 4 métodos para la solución de Teoría de juegos: -

Estrategias Dominadas Punto de silla y suma cero Estrategias mixtas Grafico

Lección 17. Método de estrategias Dominadas.

Fuente: http://isegara.blogspot.com/2010/05/el-mundo-del-adolescente-dominado-por.html

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Este método consiste en eliminar una serie de estrategias inferiores hasta que quede una sola para elegir. Específicamente se puede eliminar una estrategia cuando está dominado por otra, es decir, si existe otra estrategia que siempre es al menos tan buena como esta, sin importar lo que hace el oponente. Se debe tener en cuenta que el jugador que se ubica en la casilla 1 es el que prima en las decisiones, podríamos decir que este somos nosotros y que el otro es nuestro oponente. Además es clave decir que son las estrategias que más se buscan en las contiendas políticas. La mejor forma de entender estos métodos es por medio de un ejemplo como el de a continuación.

EJEMPLO 9: Jugador 2 Estrategias Jugador1

1

1 6

2 10

3 12

2

6

0

14

3

0

6

-6

El jugador 1 elimina la estrategia 3 (dominada) ya que ésta representa menos ganancias: Estrategias

Jugador 2

Jugador1

Jugador 2

1 2

1 6 6

2 10 0

3 12 14

3

0

6

-6

Estrategias

Jugador1

1

2

3

1

6

10

12

2

6

0

14

El jugador 2 elimina la estrategia 3 (dominante) ya que con ésta obtendrá mayores pérdidas. Jugador 2

Estrategias

Jugador1

1

1 6

2 10

3 12

2

6

0

14

Jugador 2

Estrategias Jugador 1

1

1 6

2 10

2

6

0

El jugador 1 elimina la estrategia 2 (dominada): Jugador 2

Jugador2

estrategias

Jugador1

1

2

1

6

10

2

6

0

Estrategias

Jugador 1

1

1

2

6

10

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El jugador 2 elimina la estrategia 2: Jugador 2

Jugador 1

Jugador2

Estrategias

Estrategias 1

1

2

6

10

Jugador1

1 3

6

- Entonces sabemos que el jugador 1 recibe un pago de 6 por parte del jugador 2. - El pago para el jugador, cuando ambos jugadores juegan de manera óptima recibe el nombre de Valor de Juego.

Lección 18. Método suma cero y Punto de Silla.

Fuente: http://blog.pucp.edu.pe/blog/economate

El método de punto silla se utiliza cuando no se puede aplicar el método de estrategias dominadas. Esto se debe a que no hay un dominio específico entre una estrategia y otra, Además debemos emplear para su solución los criterios de decisión estudiadas en los capítulos anteriores. El método consiste en que el jugador 1 debe elegir las estrategias de menor valor y entre ellas escoger la estrategia de mayor valor a ganar (Maximin), mientras que el jugador 2 debe elegir las estrategias de mayor valor y entre ellas escoger la estrategia de menor valor a pagar (Minimax). Cuando el Maximin es igual al Minimax tanto en el valor como en signo se dice que hay punto silla. Esa posición corresponde a la intersección de la columna y la fila (Punto Silla). El Punto Silla es el valor del juego. Cuando estos valores no coinciden no existe Punto Silla y se puede concluir que el juego no es justo o la solución es inestable - Si el juego tiene un valor de cero (0) o suma cero, se denomina Juego Justo, y si es diferente de cero (0) se denomina Juego Injusto.

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EJEMPLO 10. jugador 2 Estrategias

1

Jugador1

2

3

1

-3

-2

6

2

2

0

2

3

-2

4

3

El Jugador 1 elige el valor mínimo de cada fila y el jugador 2 elige el valor máximo de cada columna. jugador2

Estrategias

Jugador1

Punto silla

2

3

1

1 -3

-2

6

-3

2

2

0

2

0

3

5

-2

4

-2

5

0

6

máximin

mínimax

Grafica 10. Juego de estrategias dominadas.

El Jugador 1 elige el valor mayor entre los valores mínimos (Maximin). El Jugador 2 elige el valor mínimo entre los valores mayores (Minimax). El punto de silla es igual a (0) (valor del juego), en este caso el juego es justo.

Lección 19. Método de estrategias Mixtas:

Fuente: http://www.opabinia.com/teoria/MEDIDA/MEDIDA.htm

Este método se emplea cuando un juego no se puede resolver por los métodos anteriores (Estrategias dominadas y Punto Silla) utilizamos el método de estrategias mixtas, que consiste en combinar las estrategias dominadas con el procedimiento de Solución gráfica.

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Con este método se le asigna a cada estrategia una probabilidad. EJEMPLO 11. jugador 2 Estrategias

1

2

3

0

-2

2

2

5

4

-3

3

2

3

4

1 Jugador1

El jugador 1 elimina la estrategia 3 (dominada) jugador 2 Estrategias

1

2

3

0

-2

2

2

5

4

-3

3

2

3

4

1 Jugador1

Estrategias 1 jugador 1

2

jugador 2 Y Y 1 2

Y 3

0

-2

2

5

4

-3

Determinando cual estrategia se debe eliminar se continua el proceso con el método grafico, el cual se explicará a continuación. O se puede desarrollar por el método de punto de silla. Lección 20. Método Grafico

Fuente: http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0045-01/secciones/grafico.html

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Para desarrollar este método, el cual se emplea también en las estrategias mixtas tomamos la matriz de pagos del ejemplo 11 y la convertimos en un sistema de ecuaciones lineales donde X hacen referencia al jugador 1 y las Y hacen referencia al jugador 2; Así: Jugador 1. X1 + X2

=1

X1 = 1 - X2

Jugador 2. Y1 + Y2 + Y3 = 1 Para qué Y se tengan en función de X! y X2, se tiene en cuenta los valores de la matriz de pagos así: Y1 = 0X1 + 5X2

Y1 = 5X2

Y2 = -2X1 + 4X2

Y2 = -2 (1-X2)+ 4X2 = -2 + 2X2 + 4X2

Y2 = -2+6X2

Y3 = 2X1 - 3X2

Y3 = 2(1-X2) - 3X2 = 2 - 2X2 - 3X2

Y3 = 2 - 5X2

Con los valores anteriores se obtienen tres líneas rectas que debemos ubicar en el plano cartesiano, a continuación tenemos los puntos de corte respectivos con los ejes:

Y1 = 5x2

X=0 Y=0 X=1 Y=5

Y2 = -2+6X2 x = 0 Y = -2 x=1 Y=4

Y3 = 2- 5x2

x=0 Y=2 X = 1 Y = -3

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Grafica 11. solución metodo grafico

Solución óptima El punto de corte nos determina la solución óptima del juego. Que para este método se tiene aproximadamente 0,4 para X2; y por lo tanto 0,6 para X1. Para mejor análisis se puede desarrollar también por cualquiera de los métodos algebraicos así: IGUALACION Y2 = Y3 -2+6X2 = 2 -5X2 6X2+5X2 = 2+2 11X2 = 4 X2 = 4/11 = 0.36*100

X2 = 36% Y X1= 64% Jugador 1 (64%, 36%,0)

El vértice o corte de las dos rectas que optimizan el juego es: Y2= V = -2 +6X2 = -2 + 6 (4/11) = -2 + 24/11 = 2/11 Teniendo en cuenta las dos rectas que forman parte del punto maximin y con respecto ha Y son: -2Y2 +2Y3 = 2/11 4Y2 - 3Y3 = 2/11

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No se tiene en cuenta a Y1 debido a que no forma parte de la solución mínima: -2Y2 +2Y3 = 2/11 * 2 4Y2 - 3Y3 = 2/11 -4Y2 +4Y3 = 4/11 4Y2 - 3Y3 = 2/11 _________________ Y3 = 6/11 = 0,5454*100 Y3 = 54,54% y Y2 = 45,46% Jugador 2 (0, 45.46%,54.54%) Solución: Observando los valores de los porcentajes de las estrategias encontradas para los dos jugadores podemos realizar el análisis de la siguiente manera: El jugador 1 le gana al jugador 2 en el primer turno por un valor del 64%, en el segundo turno le gana el jugador 2 al jugador 1 por un porcentaje del 45.46, lo que da hasta el momento un empate entre los dos jugadores, sin embargo en el tercer y último juego el jugador 2 le gana al jugador 1 con un 54.54%, lo que da como resultado final, que el juego sea injusto, y tenga un valor de juego igual a 2/11. EJEMPLO 12: LA CAMPAÑA POLÍTICA: EJEMPLO DE PROTOTIPO Dos políticos contienden entre sí por la presidencia de la república de Colombia. En este momento ellos están haciendo sus planes de campaña para los dos últimos días antes de las elecciones; se espera que dichos días sean cruciales por ser tan próximos al final. Por esto, ambos quieren emplearlos para hacer campañas en dos ciudades importantes. Cali y Medellín para evitar pérdidas de tiempo, están planeando viajar en la noche y para un día completo en cada ciudad o dos días en solo una de las ciudades. Como deben hacer los arreglos necesarios por adelantado, ninguno de los dos sabrá lo que su oponente tiene planeado hasta después de concretar sus propios planes. Cada político tiene un Jefe de Campaña en cada ciudad para asesorarlo en cuanto al impacto que tendrá (en términos de votos ganados o perdidos). Las distintas combinaciones posibles de los días dedicados a cada ciudad por ellos o por sus oponentes. Ellos quieren emplear esta información para escoger su mejor estrategia para estos dos días. SOLUCIÓN

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FORMULACION: Los 2 jugadores, las estrategias de cada Jugador y la matriz de pagos. ESTRATEGIA 1: Pasar por un día en cada ciudad. ESTRATEGIA 2: Pasar ambos días en Cali. ESTRATEGIA 3: Pasar ambos días en Medellín. MATRIZ DE PAGOS Cantidad neta de votos ganados por el POLITICO 2 (en unidades de 1000 votos)

Cantidad neta de votos ganados por el POLITICO 1 (en unidades de 1000 votos)

Político 2

Político 2 Estrategias

1

2

3

0

-2

2

2

5

4

-3

3

2

3

4

1 Político 1

Estrategias 1

2

3

0

-2

2

2

5

4

-3

3

2

3

4

1 Político 1

METODO DE SOLUCIÓN: Para desarrollar este ejemplo se pueden emplear cualquiera de los criterios de decisión estudiados en la lección 5. En este ejemplo se empleará el criterio maximax para el político 1 y maximin para el político 2 Maximax

Político 2 Estrategias

1

2

3

0

-2

2

2

5

4

-3

3

2

3

4

0

-2

-3

1 Político 1

Maximin.

2 5 4

Al tomar estos criterios el juego no es equilibrado y tiene un ganancia en la estrategia 2 para el político 1 con un valor de 5, al cual se le debe sumar 0 del pago correspondiente del político 2 o sea que el valor del juego es de 5 para el político 1 con la estrategia 2 pasar ambos días en Cali, con respecto a la pérdida del político 2 de 0, al tomar la estrategia 1 de pasar un día en cada ciudad. EJEMPLO 13: En este juego se desarrollarán las estrategias dominadas para dos jugadores de la siguiente manera; Ambos jugadores deberán elegir su estrategia

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Escuela de Ciencias Básicas, tecnologías e ingeniería Contenido didáctico del curso Teoría de decisiones Jugador 2

Para el jugador 1: La estrategia 3 está dominada por la estrategia 1 ya que tiene pagos más altos (1>0, 2>1, 4>-1) Independiente de lo que haga el jugador 2.

Estrategias 1

2

3

1

2

4

2

1

0

5

3

0

1

-1

1 jugador 1

Jugador 2

Para el jugador 2

Estrategias 1 Jugador 1

2

1

2

3

1

2

4

1

0

5

La estrategia 3 está dominada Por la estrategia 1( 1 s y o es una operación binaria que suele ser r +, -, x ó XOR. Típicamente; Los elementos iníciales son enteros y la operación binaria es la suma módulo 2n. La caracterización del periodo máximo de los generadores de Fibonacci retardados está bien estudiada y se basan, de nuevo en el análisis de sucesiones lineales recursivas de enteros. GENERADORES NO LINEALES Dada la estructura reticular de los generadores lineales, algunos autores sugieren utilizar generadores no lineales. Se distinguen dos formas de introducir no linealidad en un generador: a. Usar un generador con función de transición lineal, produciendo la salida mediante una transformación no lineal del estado. b. Usar un generador con función de transición no lineal. Una propiedad común en estos generadores es que no producen una estructura reticular como la de los lineales. Su estructura es altamente no lineal: típicamente, un hiperplano t-dimensional tendrá a lo sumo t t-uplas solapantes de números.

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Sea rn un primo arbitrario y Fm = {0. 1, ...,m - 1} el álgebra finita de orden m. Para un entero z, se define que es la inversa de z para la multiplicación en Fm, si z =0 (mod m). Dados a, b, Fm, a0, la sucesión congruencial inversa explícita se define mediante el generador congruencial de inversión explícita se obtiene mediante normalización. Obviamente, las sucesiones {un} e {yn} son periódicas con periodo máximo m. COMBINACION DE GENERADORES Para incrementar el período e intentar evitar las regularidades que muestran los generadores lineales congruenciales se ha sugerido combinar diferentes generadores para obtener uno híbrido que tal vez sea de mayor calidad que los generadores originales. Tales combinaciones pueden considerarse heurísticas, algunas de las cuales han resultado bastante pobres. Aunque el fundamento de estos procedimientos es esencialmente empírico, también se han desarrollado algunos aspectos teóricos. En primer lugar, se ha observado que el periodo de un generador híbrido es, en general, bastante más largo que el de sus componentes siendo, además, posible su determinación. En segundo lugar, hay resultados teóricos que sugieren que algunas formas de combinación de generadores que mejoran su comportamiento estadístico. Lección 33. MÉTODOS DE SIMULACIÓN Existe diversidad de métodos para desarrollar la simulación. Mencionamos solamente una técnica que es la más fácil de comprender y es para muchas situaciones particulares que mencionan en este curso.

Juegos operacionales Se refiere a aquellas situaciones donde hay algún conflicto de intereses entre los jugadores o entre quienes toman decisiones, dentro de la estructura de un ambiente simulado. Ejemplo, administración de negocios, juegos militares, entre otros. Simulación de sistemas Es un método en el que la información utilizada en el análisis de un problema complicado, se procesa mediante el funcionamiento del modelo. Método de Montecarlo Consiste en el reemplazo del universo real de elementos por el universo teórico correspondiente. Por ejemplo, simular la llegada de clientes a una sitio de pago, se puede crear algo teórico asumiendo ciertos comportamientos. Es una simulación

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con técnicas de muestreo aleatorio, o sea, que en vez obtener muestras de una población real, se obtienen de un duplicado teórico 1 de la población real. El método de Montecarlo comprende la determinación de la distribución de probabilidad de la variable que se trata, para obtener luego una muestra de esa distribución mediante números aleatorios, con el fin de generar datos. El método se utiliza para resolver problemas que dependen de la probabilidad, donde la experimentación física es impracticable o muy costosa y donde es imposible la acción de una fórmula exacta. A partir de la siguiente situación se va a desarrollar un problema de simulación y la forma de manejarlo. EJEMPLO26. En un supermercado X, se ha tomado una muestra de 100 llegadas de clientes a un punto de control, y se ha efectuado un estudio del tiempo requerido para dar el servicio a los clientes en minutos. La recopilación de la información es: Tiempo entre llegadas 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Frecuencia Tiempo de servicio Frecuencia 2 5 12 6 10 21 10 15 36 25 20 19 20 25 7 14 30 5 10 7 100 4 2 100

Usando una muestra simulada de 20 clientes, estime el tiempo promedio de espera, el porcentaje de clientes y el porcentaje ocioso del dependiente. El primer paso es determinar la función de probabilidad acumulada a partir de la distribución de probabilidades (intervalo aleatorio) de los tiempos de frecuencias relativas obtenidas como porcentaje del número de casos, sobre el total. Tiempo de Llegada 5 10 15 20 25

Frecuencia relativa 0,02 0,06 0,10 0,25 0,20

Frecuencia relativa acumulada 0,02 0,08 0,18 0,43 0,63

Intervalo aleatorio 0,000 - 0.019 0,020 - 0,079 0,080 - 0,170 0,180 - 0,429 0,430 - 0,629 137

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30 35 40 45 50

0,14 0,10 0,07 0,04 0,02

0,77 0,87 0,94 0,98 1,00

0,630 - 0,769 0,770 - 0,869 0,870 - 0,939 0,940 - 0,979 0,980 - 0,999

Tiempo de servicio 5 10 15 20 25 30

0,12 0,21 0,36 0,19 0,07 0,05

0,12 0,33 0,69 0,88 0,95 1,00

0,000 - 0,119 0,120 - 0,329 0,330 - 0,689 0,690 - 0,879 0,880 - 0,949 0,950 - 0,999

A partir de la anterior distribución, se muestrea al azar a fin de determinar los tiempos efectivos de llegadas y de servicios que se usarán en la simulación de operación. Recuerde que cada muestra determina diferentes valores, por tanto, diferentes respuestas esperadas. Al observar la distribución acumulada con tres decimales y utilizando una tabla de números aleatorios, mediante un proceso que determina el investigador, se seleccionan dígitos de 000 a 100 y este número se localiza en la distribución acumulada para obtener los valores de estudio. Para nuestro ejercicio escogimos la primera columna para las llegadas y la última para los servicios, obteniendo los siguientes resultados. Número Aleatorio 680 897 911 918 925 001 009 017 025 033 002 010 018 026 034

llegada

30 40 40 40 40 5 15 15 20 20 10 15 20 20 20

Número aleatorio

Servicio

365 373 381 389 397 329 337 345 353 361 121 129 137 145 153

15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 10 10 10 10 10 138

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003 011 273 027 035

10 15 20 20 20

363 371 379 387 395

15 15 15 15 15

La simulación se inicia suponiendo que la jornada de trabajo comienza a las 8.a.m. Si hay una llegada se comienza el servicio inmediatamente; por ejemplo, la primera llegada ocurre a las 8.30 a.m., a esa hora empieza el servicio que terminará a las 8.45 a.m.; en este momento no hay ocio para el servidor ni tiempo de espera del cliente. Si se sigue la secuencia, la siguiente llegada ocurre a las 9.10 a.m., como hay tiempo disponible del servidor, se comienza inmediatamente y se termina a las 9.25 a.m. La tercera llegada ocurre a las 9.50 a.m., cuando está libre el sistema para comenzar el servicio que finalizará a las 10.05 a.m. Siguiendo la situación descrita en forma consecutiva se llega a la respuesta, teniendo en cuenta los tiempos de llegadas, los de inicio y las diferencias de los mismos. Otra forma de aplicar es teniendo una sola característica, por ejemplo, la demanda de un producto y la distribución de probabilidades. Con estos elementos y siguiendo los pasos pertinentes se puede establecer el promedio de la característica. Lección 34. APLICACIONES DE LA SIMULACIÓN La técnica de la simulación ha sido, una importante herramienta del proyectista, ya sea que esté simulando el vuelo de un avión en un túnel de viento, la distribución de una planta con modelos a escala de máquinas, o bien líneas de comunicación con un diagrama de organización. Con la llegada de las computadoras de alta velocidad, con las cuales conducir los experimentos simulados tiene gran facilidad, esta técnica ha incrementado también su importancia para el investigador de operaciones. En consecuencia, la simulación se ha convertido en la rama experimental de la investigación de operaciones. Hasta ahora se ha hecho hincapié en que si es posible se construyan modelos matemáticos que sean una idealización razonable de los problemas, y a la vez, tratables para su solución, este enfoque analítico por lo común es superior a la simulación. Sin embargo, muchos problemas son tan complejos que no se pueden resolver analíticamente. En consecuencia, aun cuando tiende a ser un procedimiento relativamente caro, la simulación suministra a menudo el único enfoque práctico para un problema. Típicamente la simulación no es otra cosa más que la técnica de efectuar experimentos de muestreo sobre el modelo del sistema. Los experimentos se

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realizan sobre el modelo, en lugar de hacerlo sobre el propio sistema real, únicamente porque esto último sería demasiado inconveniente, tardado y costoso. EJEMPLO 27. Supóngase que se tiene la oportunidad de participar en un juego en el que se lanzaría repetidamente una moneda legal hasta que la diferencia entre el número de caras y el número de sellos que se obtengan sea tres. Se pediría pagar $1 por cada lanzamiento de la moneda, pero se recibirían $8 al final de cada jugada. No se permite abandonar durante una jugada; Por lo tanto, se gana dinero si el número de lanzamientos requeridos es menor que ocho, pero se pierde si se requieren más de ocho lanzamientos. ¿Cómo se tomaría la decisión de participar o no en este juego? Muchas personas basarían esta decisión en la simulación, aunque seguramente no le daría ese nombre. Los problemas donde se ha aplicado con éxito la simulación son demasiado numerosos; sin embargo, con algunos ejemplos se ilustra la gran adaptabilidad de esta técnica. • Simulación de las operaciones en un aeropuerto, por ejemplo Avianca, para cambiar sistema de operación de vuelos. • Simulación del manejo de una línea de producción. • Simulación de la operación de un sistema de mantenimiento. VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LAS TÉCNICAS DE SIMULACIÓN Ventajas: - Permiten experimentar con un modelo del sistema en vez del sistema real. - Permiten descomponer un sistema muy grande en subsistemas para simularlos en forma individual. - Facilitan la manipulación de la réplica del sistema. - Es un proceso relativamente eficiente y flexible. - Puede ser usada para analizar y sintetizar una compleja y extensa situación real, pero no puede ser empleada para solucionar un modelo de análisis cuantitativo convencional. - En algunos casos la simulación es el único método disponible. - Los modelos de simulación se estructuran y nos resuelve en general problemas trascendentes. - Los directivos requieren conocer como se avanza y que opciones son atractivas; el directivo con la ayuda del computador puede obtener varias opciones de decisión. - La simulación no interfiere en sistemas del mundo real. - La simulación permite estudiar los efectos interactivos de los componentes individuales o variables para determinar las más importantes. - La simulación permite la inclusión en complicaciones del mundo real.

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Desventajas: - No producen soluciones óptimas y cada corrida es como un experimento aislado que se efectúa. - Cuando se utiliza un modelo matemático puede ser imposible cuantificar todas las variables que afectan el comportamiento del sistema. - Un buen modelo de simulación puede resultar bastante costoso; a menudo el proceso es largo y complicado para desarrollar un modelo. - La simulación no genera soluciones óptimas a problemas de análisis cuantitativos, en técnicas como cantidad económica de pedido, programación lineal o PERT / CPM / LPU. Por ensayo y error se producen diferentes resultados en repetidas corridas en el computador. - Los directivos generan todas las condiciones y restricciones para analizar las soluciones. El modelo de simulación no produce respuestas por sí mismo. - Cada modelo de simulación es único. Las soluciones e inferencias no son usualmente transferibles a otros problemas. Lección 35. METODOS PARA OBSERVACIONES ESTADISTICAS DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Algunos experimentos consisten en la observación e una serie de pruebas idénticas e independientes, las cuales pueden generar uno de dos resultados. Para simular una distribución Binomial se emplean sus propiedades estadísticas. DISTRIBUCIÓN ERLANG Esta distribución se aplica en algunos problemas de líneas de espera, inicialmente para el caso de telefonía. Algunas formas para simular una distribución Erlang consisten en emplear los métodos de convolución y el de la transformada inversa. DISTRIBUCIÓN UNIFORME Se utiliza cuando se requiere el empleo de una función constante. Para la simulación de variables aleatorias tipo Uniforme se emplean sus propiedades estadísticas. DISTRIBUCIÓN GEOMETRICA Esta distribución indica exactamente el número de repeticiones del experimento hasta lograr la característica de interés. Se genera la simulación de variables aleatorias tipo Geométrica a partir del método de la transformada inversa. DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA Se utiliza a menudo en el estudio de problemas de producción, control de calidad y la aceptación de muestreo; se emplea para marcar y remarcar. Una de las formas para simular una distribución Hipergeométrica es emplear sus propiedades estadísticas.

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DISTRIBUCIÓN POISSON Sirve para trabajar en teoría de colas. Para simular una distribución Poisson se deben usar sus propiedades estadísticas. RELACIONES ENTRE DIFERENTES RELACIONES CONTINUAS - La distribución Normal es una buena aproximación de la distribución Binomial. Cuando en una distribución Binomial n tiende a cero, ésta se puede aproximar por una distribución de Poisson. - La Geométrica tiende a la distribución Exponencial cuando, en la primera distribución q tiende a cero y el tiempo entre llegadas también tiende a cero. - La distribución de Poisson describe el número de eventos por unidad de tiempo; la distribución exponencial representa el tiempo que transcurre entre dos eventos sucesivos. La distribución Exponencial puede derivarse de la de Poisson. - La distribución Exponencial es un caso especial de la distribución Gamma. Cuando en la distribución Gamma = 1, se tiene la distribución exponencial. Esto significa que la suma de variables aleatorias independientes que tienen una distribución Exponencial Negativa, es a su vez una variable aleatoria con distribución Gamma. - La distribución de Erlang es una generalización de la distribución Exponencial. Cuando en la distribución de Erlang el parámetro r = 1, se tiene la distribución Exponencial. - La distribución Gamma es una generalización de la distribución de Erlang y por consiguiente, de la distribución Exponencial. Cuando en la distribución Gamma el parámetro r es una constante, se tiene la distribución de Erlang. - La distribución de Weibull es una generalización de la distribución Exponencial. Cuando el parámetro = 1 en la distribución de Weibull, se tiene la distribución Exponencial. - La distribución Gamma y la de Weibull son generalizaciones de la distribución exponencial y sin embargo, no son una misma distribución. Existen distribuciones Gamma que no son Weibull y viceversa. - Cuando en la distribución beta los parámetros Uniforme.

= 1, se tiene la distribución

- La distribución Chi-cuadrada es un caso particular de la distribución Gamma. - La distribución de Student (distribución t) y la distribución F están relacionadas con la distribución Beta. 142

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RELACIONES ENTRE DIFERENTES RELACIONES DISCRETAS - La distribución Hipergeométrica tiende a la distribución Binomial, cuando el tamaño del lote N tiende a infinito y la relación del número de piezas defectuosas entre el total del lote permanece constante. - La distribución de Poisson es una buena aproximación de la distribución Binomial cuando el número de realizaciones de un experimento de Bernoulli n crece y la probabilidad del evento "aceptable”q disminuye. Esto equivale a que ambas distribuciones tengan el mismo valor esperado, es decir, = nq. - La distribución Binomial Negativa es una generalización de la distribución Geométrica. - La distribución Multinomial es una generalización de la distribución Binomial. LENGUAJES Y/O PAQUETES DE SIMULACION En esta parte haremos una descripción sucinta de algunos paquetes y/o lenguajes de Simulación de los más empleados en el medio. Los cuales tenían las siguientes ventajas: - La situación a analizar se puede modelar en forma más o menos sencilla para el programador por el conocimiento del lenguaje. - El proceso se puede describir con tanta precisión como le sea posible en el lenguaje conocido. - Se pueden realizar todas las depuraciones posibles. Emshoff y Sisson consideran que la Simulación Discreta requiere de ciertas funciones comunes que diferencian un lenguaje de Simulación de uno de propósito general, entre las cuales se encuentran las siguientes: - Generar números aleatorios. - Generar variables aleatorias. - Variar el tiempo hasta la ocurrencia del siguiente evento. - Registrar datos para salida. - Realizar análisis estadístico sobre datos registrados. - Construir salidas en formatos determinados. - Detectar inconsistencias y errores. Los lenguajes precursores en Simulación fueron los de propósito general, entre ellos por mencionar solo algunos tenemos: FORTRAN, ALGOL, COBOL, RPG, BASIC, PASCAL, MODULA, PL/1, etc.

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Los principales lenguajes utilizados en Simulación son: Simulación de cambio continuo y de cambio discreto en computadoras híbridas H01; Simulación de incremento continuo con orientación a ecuaciones directas con énfasis en ecuaciones diferenciales DSL/90, MIMIC, BHSL, DIHYSYS y S/360 CSMP; Simulación de incremento continuo con simuladores orientados a bloques con énfasis en ecuaciones diferenciales MIDAS, PACTOLUS, SCADS, MADBLOC, COBLOC y 1130 CSMP; Simulación de incremento continuo con simuladores orientados a bloques con énfasis en ecuaciones de diferencias DYNAMO, DYSMAP 2; Simulación de incremento discreto con orientación a actividades CSL, CLP, GSP, GERT, FORSIM, ESP, MONTECODE y MILITRAN; Simulación de incremento discreto con orientación a eventos SIMSCRIPT, GASP, SIMCOM, SIMULATE y SIMPAC; Simulación de incremento discreto con orientación a procesos SIMULA, OPS, SLAM y SOL; Simulación de incremento discreto con orientación a flujo de transacciones GPSS y BOSS. PAQUETES Los paquetes son una versión depurada de los diferentes lenguajes de propósito general y presentan algunas ventajas sobre los lenguajes de programación generales: - Reducción de la tarea de programación. - Definición exacta del sistema. - Flexibilización mayor para cambios. - Diferenciación mejor de las entidades que conforman el sistema. - Relación estrecha entre las entidades del sistema. Los paquetes de mayor utilización en Simulación son: EXCEL, STELLA, SIMAN, RISK, STORM, LINDO, CRYSTAL BALL, QSB, MOR/DS, OR/MS, BEER GAME, GREENPACE, SIMULACION, TAYLOR II, CAPRE, SIMNET II, PROMODEL, ITHINK, URBAN DYNAMICS y POWERSIM. En Simulación Gerencial podemos citar: FISH BANK, FINANACAT, BUGA-BUGA y MARKOPS, TREE PLAN entre otros.

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AUTOEVALUACION UNIDAD 2.

1.- Encuentre el punto de silla y el valor del juego para cada uno de los dos juegos siguientes. Los pagos son para el jugador A. B

A

B

8

6

2

8

8

9

4

5

7

5

3

5

A

4

-4

-5

6

-3

-4

-9

-2

6

7

-8

-9

7

3

-9

5

(1)

(2)

2.- Una compañía revisa el estado de uno de sus productos importantes sobre una base anual y decide si tiene éxito (estado 1) o no lo tiene (estado 2). Después, la compañía debe decidir si da publicidad o no al producto a fin de promover las ventas más a fondo. Las matrices P1 y P2 que se presentan aquí dan las probabilidades de transición con y sin publicidad durante un año cualquiera. Los rendimientos asociados están dados por las matrices R1 y R2. Determine las decisiones óptimas en los tres años siguientes. P1 =

0.9

0.1

,

R1 =

0.6 0.4

P2 =

0.7

0.3

0.2

0.8

2 –1 1

,

R2 =

–3

4

1

2

–1

3.- Bogotá debe determinar cómo asignar ambulancias durante el año venidero. Cuesta 5000 dólares anuales operar una ambulancia. Cada ambulancia se debe asignar a uno de dos distritos. Sea Xi = numero de ambulancias asignadas al distrito i (i=1,2). El tiempo promedio, en minutos, que tarda una ambulancia en atender una llamada del distrito i es, para el distrito 1, 40 - 3X1, y para el distrito 2, 50 – 4X2. Bogotá tiene tres metas:

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META 1: El tiempo promedio de respuesta en el distrito 1 debe ser cuando más 5 minutos. META 2: El tiempo promedio de respuesta en el distrito 2 debe ser cuando más 5 minutos META 3: se debe gastar cuanto muchos 100000 dólares anuales en el servicio de ambulancias. Bogotá cree, para cada distrito, que cada minuto extra que se prolonga el tiempo promedio de respuesta sobre la meta de 5 minutos equivale a un costo de 10000 dólares, y por cada dólar que se rebasa el presupuesto se incurre en un costo de un dólar. a) Plantear y resolver le modelo de programación lineal que se pueda emplear para determinar cuántas ambulancias se deben asignar a cada distrito. b) Para cada una de las siguientes prioridades ordenadas, aplicar el método simplex de programación de metas para determinar la asignación de ambulancias a los departamentos. Meta 1 > Meta 2 quiere decir que la meta 1 tiene mayor prioridad que la meta 2. Las prioridades son: meta 1>meta2>meta 3, meta 2>meta 1>meta 3; meta3>meta1>meta2. 4. Use el generador congruente lineal para obtener una sucesión de 10 números aleatorios, dado que a= 17, c=43, m=100 y X0= 31. RESPUESTAS: 1. 1) 7 2) -9 2. Años 1 y 2, anunciar sólo si el producto ni tiene éxito. Año 3: no publicitar 3. a) Min Z = 10000 s1+ + 10000 s2+ + s3+ s.a. 40 – 3 X1 + s1- - s1+ = 5 50 – 4X2

+ s2- - s2+

5000 x1

+ 5000 x2

= 5 +

s3- - s3+

= 100000

Todas las variables ≥ 0 b) Si P1>P2>P3, entonces la solución óptima es X1= 35/3, X2=45/4. Si P2>P1>P3, entonces la solución óptima es X1= 35/3, X2= 45/4. Si P3>P1>P2, entonces la solución óptima es X1= 35/3, X2=25/3. 4. 0.70, 0.33, 0.04, 0.11, 0.30, 0.53, 0.44, 0.91, 0.90, 0.73 146

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BIBLIOGRAFIA TAHA, Hamdy A. (1995). Investigación de operaciones. México. Editorial Alfaomega. 5 edición. EPPEN, Gould y Schimidt. (1999). Investigación de operaciones en las Ciencias de Ingeniería. Bogotá d.c. Editorial Prentice may. 3 edición GALLAGHER, Watson. (2005). Métodos Cuantitativos para la Toma de decisiones. Bogotá d.c. Editorial McGraw Hill SHAMBLIN, James. (2006).Investigación de Operaciones. México. Ed. limusa. KAUFMANN, A. Faure R. (2005).Invitación a la investigación de operaciones. México. CECSA. 7 edición. MARTHUR Y SOLOW.(2003). Investigación de Operaciones. Bogotá d.c. Editorial Prentice Hall. SASIENI, Yaspan. (2001). Investigación de operaciones. México. Limusa. BARROS, Oscar. (2003).Investigación operativa análisis de sistemas. Chile. Universitaria. MORA, Jose Luis.(1998). Investigación de operaciones e informática. España. Editorial Trillas. PRAWDA, Juan. (1979). Métodos y Modelos de investigación de operaciones. México. Editorial Limusa. THIERAUF, Robert. (1982). Introducción a la investigación de operaciones. México. Editorial Limusa. Russell Stuart J.(2004).Inteligencia artificial un enfoque moderno. Bógota d.c. 2a edición. Aprendizaje estadístico: http://petrus.upc.es/~microele/neuronal/xn/docs/2_aprend.pdf Redes Neuronales y Maquinas de Soporte Vectorial: Un enfoque global: http://www.uv.mx/anmarin/slides/180205Gonzalez.pdf Ejemplos cadenas de markov: http://www.iesxunqueira1.com/Download/pdf/ejmarkov.pdf Revistas: • ters & Industrial Engineering. 147

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• Computers & Operations Research. • IIE Solutions. • Industrial Engineering. • Industrial World en Español. • International Journal of Operations & Production Management. • Management Science. • Manufacturing Engineering. • Mathematical Programming. • Mathematics of Operations Research. • Operations Research.

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