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• Jhossiel Martineau

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PUNTO DE EQUILIBRIO

TOMA DE DECISIÓN BAJO RIESGO E INCERTIDUMBRE

ARBOL DE DECISIÒN

1

ACME Manufacturing desea aumentar su capacidad con el fin de evitar una operación cuello de botella mediante la adquisición de nuevo equipo. Dos empresas han presentado sus propuestas. La propuesta A tiene costos fijos anuales de $ 50,000 y un costo variable por unidad de $ 12. La propuesta B tiene costos fijos anuales de $ 70,000 y un costo variable por unidad de $10. El precio de venta para ambas propuestas sería de $ 20 por unidad. a) Determine el punto de equilibrio en unidades y en dólares para la propuesta A. b) Determine el punto de equilibrio en unidades y en dólares para la propuesta B. c) Determine el volumen de producción para el cuál sería indiferente escoger la propuesta A o la propuesta B. (Grafique ambas funciones de costo total). d) Si el volumen esperado es de 8,500 unidades, ¿cuál alternativa debe escogerse? Solución: a. Punto de equilibrio de A: QA = CFA / (PA – VA) = 50,000 / (20 – 12) = 6,250 unidades $A = CFA / (1 – VA / PA) = 50,000 / (1 – 12 / 20) = $ 125,000.00 b. Punto de equilibrio de B: QB = CFB / (PB – VB) = 70,000 / (20 – 10) = 7,000 unidades $B = CFB / (1 – VB / PB) = 70,000 / (1 – 10 / 20) = $ 140,000.00 c. Punto de Indiferencia: UTILIDADA = UTILIDADB VENTAA – COSTO TOTALA = VENTAB – COSTO TOTALB Q VA + CFA = Q VB + CFB Q (VA – VB) = CFB – CFA Q = 20,000 / 2 = 10,000 unidades

2

Costo Total ($)

A B

8,500

10,000

Q (unidades)

d. Para un volumen de 8,500 unidades se debe elegir la propuesta A pues ofrece el menor costo.

3

Mauricio Deportes produce una variedad de raquetas: raqueta para tenis, para frontón y para squash.

La siguiente tabla muestra los datos importantes para los productos

fabricados. Producto

Precio de Venta ($)

Costo Variable ($)

% de las Ventas

Raqueta de Tenis

40

30

50

Raqueta de Frontón

25

15

40

Raqueta de Squash

25

15

10

Los costos fijos anuales ascienden a $ 200,000.

La capacidad de producción es de

$ 1,000,000 de ventas anuales. A la Gerencia de Mauricio Deportes le interesa saber lo siguiente: a) ¿Cuál es el punto de equilibrio en dólares de la empresa? b) Para alcanzar el punto de equilibrio, ¿qué cantidad de cada tipo de raqueta deberìa venderse al año? c) ¿Cuál sería la utilidad o pérdida si se opera al 70 % de la capacidad. Solución: Tipo de Raqueta

Pi

Vi

Vi / Pi

1 - V i / Pi

Wi

Wi (1 - Vi / Pi)

Tenis

40

30

0.75

0.25

0.50

0.125

Frontón

25

15

0.60

0.40

0.40

0.160

Squash

25

15

0.60

0.40

0.10

0.04

a) Para evaluar la primera pregunta deduciremos la ecuación que se emplea para dicho cálculo: UTILIDAD = Q1 (P1 - V1) + Q2 (P2 - V2) + … + QN (PN - VN) - (CF1 + CF2 + … + CFN) UTILIDAD = Q1 (P1 - V1) + Q2 (P2 - V2) + … + QN (PN - VN) - CF

4

UTILIDAD = Q1 P1 (1 - V1 / P1) + Q2 P2 (1 - V2 / P2) + … + QN PN (1 - VN / PN) - CF UTILIDAD = S [ (Q1 P1 / S) (1 - V1 / P1) + (Q2 P2 / S) (1 - V2 / P2) + … + (QN PN / S) (1 - VN / PN) - CF ] UTILIDAD = S [ W1 (1 - V1 / P1) + W2 (1 - V2 / P2) + … + WN (1 - VN / PN) - CF ] Recordando que el punto de equilibrio se obtiene cuando la utilidad es de cero: SEQUILIBRIO = CF / ∑ WI (1 - VI / PI) SEQUILIBRIO = 200,000 / 0.325 = $ 615,384.62 b) Para el cálculo de las cantidades a vender de cada tipo de raqueta, se calcula de la siguiente forma: Raquetas

WI

PI

SEQ (WI / PI)

Tenis

0.50

40

7,692

Frontón

0.40

25

9,846

Squash

0.10

25

2,461

c) Para el cálculo de la utilidad si se trabaja al 70 % de la capacidad de la planta: UTILIDAD = S Σ WI (1 - VI / PI) – CF UTILIDAD = (0.70 x 1,000,000) (0.325) – 200,000 UTILIDAD = $ 27,500.00

5

La gerencia de Producción Empaques Colón está considerando cuatro métodos alternativos para la fabricación de empaques de cartón corrugado. La rentabilidad que depende del método de fabricación y del nivel de demanda de los consumidores, se ha estimado como se muestra en la siguiente tabla: Unidad anual (en miles de dólares) Método de Fabricación I II III IV Probabilidad

Baja 100 175 250 100 0.25

NIVEL DE DEMANDA Moderada Alta 200 300 300 400 300 350 300 400 0.35 0.20

Muy Alta 600 500 425 450 0.20

¿Cuál es el mejor método de fabricación de acuerdo con los siguientes criterios?: a. Valor Esperado. b. Máximax c. Maximin d. Mínimax e. Criterio de Hurwixz con coeficiente de optimismo de α = 0.40. f. De la Razón Insuficiente (Laplace). Solución: VALOR ESPERADO Método I II III IV

Cálculos 0.25 (100) + 0.35 (200) + 0.20 (300) + 0.20 (600) 0.25 (175) + 0.35 (300) + 0.20 (400) + 0.20 (500) 0.25 (250) + 0.35 (300) + 0.20 (350) + 0.20 (425) 0.25 (100) + 0.35 (300) + 0.20 (400) + 0.20 (450)

Resultado 275.00 328.75 322.50 300.00

“ La mejor opción es la del Método de Fabricación II ”

6

MÁXIMAX

Método I II III IV

Observe que se coloca el valor más grande de la demanda probable que se presentó en la tabla para cada método de fabricación.

Demanda Máxima 600 500 425 450

“La mejor opción es la del Método de Fabricación I” MAXIMIN

Método I II III IV

Observe que se coloca el valor más bajo de la demanda probable que se presentó en la tabla para cada método de fabricación.

Demanda Máxima 100 175 250 100

“La mejor opción es la del Método de Fabricación III” MÍNIMAX Nivel de Demanda

Método de fabricación

BAJA

MODERADA

ALTA

MUY ALTA

I II III IV

150 75 0 150

100 0 0 0

100 0 50 0

0 100 175 150

Máximo de cada costo por método

150 100 175 150

“La mejor opción es la del Método de Fabricación II”

7

HURWICZ ( α = 0.40 ) Método I II III IV

D Máx. 600 500 425 450

D Mín. 100 175 250 100

α D Máx. + ( 1 – α) D Mín. 0.40 (600) + (1 – 0.40) (100) 0.40 (500) + (1 – 0.40) (175) 0.40 (425) + (1 – 0.40) (250) 0.40 (450) + (1 – 0.40) (100)

Resultado 300 305 320 240

“La mejor opción es la del Método de Fabricación III” LAPLACE Método I II III IV

D Promedio 300.00 343.75 331.25 312.50

Observe que es el mismo cálculo del valor esperado, con la diferencia de que todos los tipos de demandas tienen igual ponderación de ocurrencia.

“La mejor opción es la del Método de Fabricación II”

8

Usted se dedica a la venta de fresas frescas en un ambiente de gran competencia. Usted compra las fresas en $ 3

00

la caja y las vende a $ 8

00

la caja. Este margen relativamente

alto refleja lo perecedero del artículo y gran riesgo de almacenarlo; el producto no tiene ningún valor después del primer día en que se ofrece a la venta. Usted se enfrenta al problema de cuánto ordenar el día de hoy para satisfacer la demanda de mañana. La siguiente tabla muestra las ventas pasadas de los últimos 90 días. Ventas Diarias 10 11 12 13

No. de días con esa venta 18 36 27 9

1. Asumiendo que la ventas futuras se comportarán de igual forma que las ventas históricas: a. Desarrolle la matriz de utilidades condicionales. b. Empleando el criterio del Valor Esperado, determine la cantidad de cajas a comprar. c. Determine la Utilidad que se obtendría con información perfecta. d. Determine el Valor de la Información Perfecta. 2. Asumiendo una situación de toma de decisiones bajo incertidumbre, determine la mejor alternativa utilizando. a. Maximax b. Maximin c. Mínimax d. Criterio de Hurwicz con coeficiente de optimismo de α = 0.70

9

Solución: PARTE I a. Matriz de Utilidades Condicionales Para el cálculo de los coeficientes de la Matriz de Utilidad se basará en la ecuación: Utilidad = 8 00 Cantidad Vendida – 3 00 Cantidad Comprada Para el cálculo de la Utilidad esperada, primero se establecieron las probabilidades para cada demanda según las frecuencias: Demanda

F. Absoluta

F. Relativa

Probabilidad

10

18

0.20

20 %

11

36

0.40

40 %

12

27

0.30

30 %

13

9

0.10

10 %

Totales

90

1.00

100 %

Por último la utilidad esperada se obtiene de la fórmula: Utilidad Promedio Esperada = Σ U i * P i : U.E. 10 = 50 (0.20) + 50 (0.40) + 50 (0.30) + 50 (0.10) = 50 U.E. 11 = 47 (0.20) + 55 (0.40) + 55 (0.30) + 55 (0.10) = 53 U.E. 12 = 44 (0.20) + 52 (0.40) + 60 (0.30) + 60 (0.10) = 54 U.E. 13 = 41 (0.20) + 49 (0.40) + 57 (0.30) + 65 (0.10) = 51

10

Compras

Demanda

Utilidad Promedio

10

11

12

13

Esperada

10

50

50

50

50

50

11

47

55

55

55

53

12

44

52

60

60

54

13

41

49

57

65

51

Probabilidad

0.20

0.40

0.30

0.10

b. La mejor opción resulta ser la de comprar 12 cajas pues con ella se obtiene la mayor Utilidad Esperada con un valor de 54. c.

La Utilidad Esperada con información perfecta será de $ 56 50, la cual resulta de: 50 (0.20) + 55 (0.40) + 60 (0.30) + 65 (0.10) = 56 50

d. El valor esperado con información perfecta no es más que la diferencia de tomar de la matriz de utilidades el mejor valor de cada columna y multiplicarlo por su probabilidad correspondiente y el de la utilidad esperada con información perfecta. V. E. I. P. = U. E. I. P. – U. E. B. R. ( Ū ) V. E. I. P. = [ 50 (0.20) + 55 (0.40) + 60 (0.30) + 65 (0.10) ] – 54 = $ 2 50 PARTE II a. MÁXIMAX

Alternativa 10 11 12 13

Utilidad Máxima 50 55 60 65

Observe que se coloca el valor más grande de la demanda probable que se presentó en la tabla para cada alternativa.

“La mejor opción es la Alternativa de comprar 13”

11

b. MÁXIMIN

Alternativa 10 11 12 13

Observe que se coloca el valor más bajo de la demanda probable que se presentó en la tabla para cada alternativa.

Utilidad Mínima 50 47 44 41

“ La mejor opción es la Alternativa de comprar 10 ”

c. MINIMAX

Compras

Máximo Costo de

Demanda 10

11

12

13

Oportunidad

10

0

5

10

15

15

11

3

0

5

10

10

12

6

3

0

5

6

13

9

6

3

0

9

Observe que se toma la utilidad más alta de cada columna (demanda) y ese se hace cero. “ La mejor opción es la Alternativa de comprar 12 ” d. CRITERIO DE REALISMO ( α = 0.70 ) Alternativa 10 11 12 13

U Máx. 50 55 60 65

U Mín. 50 47 44 41

α U Máx. + ( 1 – α) U Mín. 0.70 (50) + (1 – 0.70) (50) 0.70 (55) + (1 – 0.70) (47) 0.70 (60) + (1 – 0.70) (44) 0.70 (65) + (1 – 0.70) (41)

Resultado 50 53 55 58

“ La mejor opción es la Alternativa de comprar 13 ”

12

La Compañía Frescura del Mar es una distribuidora de langostas frescas. La compañía las compra en $ 6

00

y las vende en $ 10 00. Las langostas que no se vendan durante el día no

tienen ningún valor para la empresa. La distribución de la demanda diaria histórica se muestra en la siguiente tabla: Demanda 20 25 40 60

No. de días que ocurrió 10 30 50 10

La empresa desea determinar la cantidad de langostas que deberá comprar cada día. a. Desarrolle la matriz de utilidades condicionales. b. ¿Qué cantidad de langostas debe comprar la empresa diariamente a fin de maximizar la utilidad esperada? c. ¿Cuál es el valor esperado de la información perfecta para la empresa? d. Si no se conocieran las probabilidades de ocurrencia de los posibles niveles de demanda, determine la decisión óptima utilizando: 1. Criterio Maximax 2. Criterio Maximin 3. Criterio Minimax 4. Criterio de Hurwicz ( α = 0.7 )

13

Solución a. Matriz de Utilidades Condicionales Para el cálculo de la Utilidad esperada, primero se establecieron las probabilidades para cada demanda según las frecuencias: Demanda

F. Absoluta

F. Relativa

Probabilidad

20

10

0.10

10 %

25

30

0.30

30 %

40

50

0.50

50 %

60

10

0.10

10 %

Totales

100

1.00

100 %

Aquí se expone la matriz de utilidades:

Compras

Demanda 20

25

40

60

20

80

80

80

80

25

50

100

100

100

40

( 40 )

10

160

160

60

( 160 )

( 110 )

40

240

Probabilidad

0.10

0.30

0.50

0.10

b. Utilidad Promedio Esperada = Σ U i * P i : U.E. 20 = 80 (0.10) + 80 (0.30) + 80 (0.50) + 80 (0.10) = 80 U.E. 25 = 50 (0.10) + 100 (0.30) + 100 (0.50) + 100 (0.10) = 95 U.E. 40 = - 40 (0.10) + 10 (0.30) + 160 (0.50) + 160 (0.10) = 95 U.E. 60 = - 160 (0.10) - 110 (0.30) + 40 (0.50) + 240 (0.10) = ( 5 )

14

Observe que tanto la opción de comprar 25 como 40 langostas diarias dan igual valor de utilidad esperada, por tanto ambas son buenas. Aunque aconsejaría comprar 40 pues hay menos riesgo de tener clientes insatisfechos si se excede de 25 langostas la demanda. c. Para el cálculo del valor esperado de la información perfecta se empleará la siguiente ecuación: V. E. I. P. = U. E. I. P. - U. E. B. R. Donde U. E. I. P. no es mas que la diferencia de tomar de la matriz de utilidades el mejor valor de cada columna y multiplicarlo por su probabilidad correspondiente: U. E. I. P. = 80 ( .10 ) + 100 ( .30 ) + 160 ( .50 ) + 240 ( .10 ) V. E. I. P. = 142 - 95 = 47 d. Para los criterios de decisión bajo incertidumbre, se detalla lo siguiente: MÁXIMAX

Demanda 20 25 40 60

Utilidad Máxima 80 100 160 240

Observe que se coloca el valor más grande de la demanda probable que se presentó en la tabla para cada alternativa.

“ La mejor opción es la Alternativa de comprar 60 ” MÁXIMIN Demanda 20 25 40 60

Utilidad Mínima 80 50 ( 40 ) ( 160 )

Observe que se coloca el valor más bajo de la demanda probable que se presentó en la tabla para cada alternativa.

“ La mejor opción es la Alternativa de comprar 20 ”

15

MINIMAX

Compras

Demanda

Máximo Costo de

20

25

40

60

Oportunidad

20

0

20

80

160

160

25

30

0

60

140

140

40

120

90

0

120

120

60

240

210

120

240

240

Observe que se toma la utilidad más alta de cada columna (demanda) y ese se hace cero. “ La mejor opción es la Alternativa de comprar 40 ” d. CRITERIO DE REALISMO ( α = 0.70 ) Alternativa 20 25 40 60

U Máx. 80 100 160 240

U Mín. 80 50 ( 40 ) ( 160 )

α U Máx. + ( 1 – α) U Mín. 0.70 (80) + (1 – 0.70) (80) 0.70 (100) + (1 – 0.70) (50) 0.70 (160) + (1 – 0.70) (- 40) 0.70 (240) + (1 – 0.70) (- 160)

Resultado 80 85 100 120

“ La mejor opción es la Alternativa de comprar 60 ”

16

La Gerencia del Grupo Industrial HYLSA ha detectado la necesidad de expandir la capacidad de sus instalaciones para fabricar un nuevo producto con una vida estimada de explotación de 8 años y lo han contratado a Usted para que evalúe las distintas alternativas disponibles y recomiende la mejor. El Grupo HYLSA está considerando dos alternativas de expansión: La primera consiste en aumentar la capacidad de sus instalaciones en 40 000 unidades por año de una sola vez. La segunda alternativa consiste en aumentar la capacidad en 15 000 unidades por año y considerar una segunda expansión de 25 000 unidades por año 3 años más tarde. Las predicciones del mercado indican una probabilidad de un 60 % de que haya una gran demanda en el horizonte de planeación y una probabilidad del 40 % de que la demanda sea baja. Las ganancias estimadas bajo cada una de los resultados posibles: ƒ

Una planta con capacidad de 40 000 unidades por año produciría una ganancia neta de $ 800 000 anuales por los próximos 8 años si la demanda es alta y de $ 100 000 anuales si la demanda es baja.

ƒ

Una planta de 15 000 unidades por año produciría una ganancia neta anual de $ 300 000 si la demanda es alta y de $ 150 000 si la demanda es baja.

ƒ

Una segunda expansión de 25 000 unidades por año al cabo de tres años produciría una ganancia neta anual de $ 700 000 si la demanda es alta y de $ 120 000 si la demanda es baja.

Utilizando el modelo del Árbol de Decisión, ayude al Gerente a decidir que opción es la más conveniente.

17

800 k / año

DEMANDA ALTA (0.60) DEMANDA BAJA (0.40)

100 k / año

2 EXPANSION TOTAL

6 EXPANDIR

1

EXPANSION PARCIAL

DEMANDA ALTA (0.60)

DEM. ALTA (0.60)

700 k / año

DEM. BAJA (0.40)

120 k / año

DEM. ALTA (0.60)

4

NO EXPANDIR

300 k / año

7

DEM. BAJA (0.40)

150 k / año

8

DEM. ALTA (0.60)

700 k / año

3

DEMANDA BAJA (0.40)

EXPANDIR

DEM. BAJA (0.40)

5

DEM. ALTA (0.60) NO EXPANDIR

9

DEM. BAJA (0.40)

120 k / año 300 k / año 150 k / año

18

CALCULOS DEL VALOR ESPERADO V. E. 2 = (0.60) (8) (800) + (0.40) (8) (100) = 4,160 k V. E. 6 = V. E. 8 = 5 [ (0.60) (700) + (0.40) (120) ] = 2,340 k V. E. 7 = V. E. 9 = 5 [ (0.60) (300) + (0.40) (150) ] = 1,200 k V. E. 3 = 0.60 [ (3) (300) + 2,340 ] + 0.40 [ (3) (150) + 2,340 ]= 3,060 k

“La expansión total es más beneficiosa, pues ofrece mayor valor esperado”

19

La situación financiera de la Compañía ACME no ha sido buena durante los últimos años. La empresa está considerando dos alternativas para mejorar esta situación: 1. Expandir la línea de productos. 2. Aumentar los inventarios para proveer un mejor servicio a los clientes. Existe una probabilidad del 70 % de que la economía general del país mejore, en cuyo caso hay un 80 % de probabilidad para una gran demanda por los productos por los productos de la Compañía ACME. Si la demanda aumenta y se ha expandido la línea de productos, se espera una utilidad anual de $ 1 000 000. Si la demanda es baja, sólo se anticipan $ 800 000 de utilidad con la expansión. Si los inventarios se aumentan, se espera una utilidad de $ 900 000 si la demanda es grande y de $ 600 000 si la demanda es baja. En caso de que la economía no mejore, se anticipa una leve recesión. En este caso hay una probabilidad de 50 % para una gran demanda y 50 % para una baja demanda. Las utilidades se estiman en este caso como sigue: Expansión y gran demanda $ 750 000. Expansión y baja demanda $ 600 000. Inventarios y gran demanda $ 550 000. Inventarios y baja demanda $ 400 000. Una expansión de la línea de productos requeriría una inversión de $ 100 000 mientras que el aumentar los inventarios requiere de $ 12 000. ¿ Qué alternativa recomendaría Usted a la Compañía ACME ?

20

4 MEJORA LA ECONOMIA (0.70)

DEM. ALTA (0.80) DEM. BAJA (0.20)

1,000 k / año 800 k / año

2 EXPANDIR LINEA NO MEJORA LA ECONOMIA (0.30)

MEJORA LA ECONOMIA (0.70)

1

AUMENTAR INVENTARIO

DEM. ALTA (0.50)

750 k / año

5

DEM. BAJA (0.50)

600 k / año

6

DEM. ALTA (0.80)

900 k / año

DEM. BAJA (0.20)

600 k / año

3

DEM. ALTA (0.50) NO MEJORA LA ECONOMIA (0.30)

7

DEM. BAJA (0.50)

550 k / año

400 k / año

21

CALCULOS DEL VALOR ESPERADO V. E. 4 = (0.80) (1,000) + (0.20) (800) = 960 k V. E. 5 = (0.50) (750) + (0.50) (600) = 675 k V. E. 6 = (0.80) (900) + (0.20) (600) = 840 k V. E. 7 = (0.50) (550) + (0.50) (400) = 475 k V. E. 2 = (0.70) (960) + (0.30) (675) = 874.50 k V. E. 3 = (0.70) (840) + (0.30) (475) = 730.50 k Finalmente: a) Propuesta de Expansión de la Línea: V. E. = V. E. 2 – Inversión Inicial = 874.50 – 100 = 774.50 k b) Propuesta de Aumentar el Inventario: V. E. = V. E. 3 – Inversión Inicial = 730.50 – 12 = 718.50 k

“La expansión de la línea es más beneficiosa, pues ofrece mayor valor esperado”

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La compañía de cosméticos “Hueles bien” ha desarrollado un nuevo perfume que, según la opinión de la administración, tiene un potencial tremendo. No sólo interactúa con la química del cuerpo de la persona que lo usa para crear una fragancia única, sino que es especialmente duradero. Se han diseñado dos planes de comercialización. El primero sigue la práctica usual de la compañía de regalar pequeñas muestras del nuevo producto en la compra de otros productos de esa línea y de colocar anuncios en las revistas populares de mujeres. Este plan costaría $50,000 se piensa que se puede obtener una respuesta alta, moderado o baja del mercado con probabilidades de 0.20, 0.50 y 0.30 respectivamente. Los ingresos serían de $200,000, $100,000 y $10,000 respectivamente. Si más tarde pareciera que la respuesta del mercado va a ser baja, todavía es posible realizar de manera inmediata una campaña de comerciales de televisión o dejar que se presente la respuesta de mercado baja. La campaña costaría otros $75,000 y cambiaría la respuesta a alta o moderada con ingresos iguales a los antes presentados, pero con probabilidades de ocurrencia de 0.50 cada una. El segundo plan de comercialización es más agresivo que el primero. Su mayor énfasis estará en comerciales de televisión. El costo total de este plan sería de $150,000 pero la respuesta del mercado sería excelente o buena con probabilidades de 0.40 y 0.60 respectivamente.

Los ingresos con los dos resultados posibles serían de $300,000 y

$250,000 respectivamente. Identifique la secuencia óptima de decisiones que se debe seguir.

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DEM. ALTA (0.20)

PLAN Nº 1

2

200 k DEM. ALTA (0.50)

DEM. MODERADA (0.50) 100 k 5

CAMPAÑA TV

DEM. BAJA (0.30) 4

200 k

100 k DEM. MODERADA (0.50)

1 SIN CAMPAÑA TV 10 k

PLAN Nº 2 DEM. EXCELENTE (0.50)

300 k

3 DEM. BUENA (0.50)

250 k

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CALCULOS DEL VALOR ESPERADO V. E. 5 = (0.50) (200) + (0.50) (100) = 150 k V. E. 4 = 150 - 75 = 75 k V. E. 2 = (0.20) (200) + (0.50) (100) + (0.30) (75) = 112.5 k V. E. 3 = (0.40) (300) + (0.60) (250) = 270 k Finalmente: c) Propuesta de Plan Nº 1: V. E. = V. E. 2 – Inversión Inicial = 112.5 – 50 = 62.5 k d) Propuesta de Plan Nº 2: V. E. = V. E. 3 – Inversión Inicial = 270 – 150 = 120 k

“El Plan Nº 2 de Mercadeo es más beneficioso, pues ofrece mayor valor esperado”

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