• Author / Uploaded
• Ghersy Bernardo

Citation preview

Modelos estocásticos

Producto Académico N° 02

Producto Académico N° 02 Instrucciones: Desarrolla los siguientes ejercicios utilizando Microsoft Word o en hojas sueltas a mano y luego scannearlas, luego enviarlo mediante el aula virtual Distribución de probabilidad 1. En los ejercicios a y b, determine si se trata de una distribución de probabilidad. En los casos en que no se describe una distribución de probabilidad, identifique los requisitos que no se satisfacen. Para los casos en los que se describe una distribución de probabilidad, calcule su media y desviación estándar. a) Experimento de genética. Un experimento de genética incluye vástagos de guisantes en grupos de cuatro. Un investigador reporta que, para un grupo, el número de plantas de guisantes con flores blancas tiene una distribución de probabilidad como la que se presenta en la siguiente tabla.

b) Estudio de mortalidad. Para un grupo de cuatro hombres, la distribución de probabilidad del número x que sobreviven al año siguiente es como la que se presenta la siguiente tabla.

2.

Determinar si un proceso de selección de miembros de un jurado es discriminatorio. Suponga que se seleccionan 12 jueces al azar de una población en la que el 80% de los habitantes son méxicoestadounidenses. Remítase la tabla 5-1 y calcule las probabilidades indicadas. a. b.

Calcule la probabilidad de que haya exactamente 5 méxico-estadounidenses en un total de 12 miembros del jurado. Calcule la probabilidad de que haya 5 o menos méxico-estadounidenses en un total de 12 miembros del jurado.

c.

¿Qué probabilidad es relevante para determinar si 5 jueces de un total de 12 son excepcionalmente pocos: el resultado del inciso a) o el del inciso b)

d.

¿Cinco méxico-estadounidenses de un total de 12 miembros del jurado sugieren que el proceso de selección discrimina a los méxico-estadounidenses? ¿Por qué?

Procesos de conteo 3. Ejemplifique un proceso de conteo con incrementos independientes y con incrementos estacionarios, en ambos casos, fundamente descriptiva y simbólicamente el por qué de cada uno de ellos.

1|Página

Modelos estocásticos

Producto Académico N° 02

Aplicación de la distribución de Poisson.

En los ejercicios siguientes, utilice la distribución de Poisson para calcular las probabilidades indicadas. 4. Sea X el número de imperfecciones superficiales de una caldera seleccionada al azar de un tipo que tiene una distribución de Poisson con parámetro λ=5. Calcular las siguientes probabilidades: a. P(X ≤ 8) b. P(X = 8) c. P(9 ≤ X) d. P(5 ≤ X ≤ 8) e. 5.

¿Cuál es la probabilidad de que el número observado de imperfecciones sobrepase el número esperado por más de una desviación estándar?

Llamadas telefónicas. Adiel descubrió que en un mes (30 días), hizo 47 llamadas por teléfono celular, las cuales se distribuyeron de la siguiente manera: durante 17 días no hubo llamadas, 7 días hizo una llamada cada día, 2 días hizo 3 llamadas cada día, 2 días hizo 4 llamadas cada día, un día hizo 12 llamadas y otro día hizo 14 llamadas. a) Calcule la media de llamadas por día. b) Utilice la distribución de Poisson para calcular la probabilidad de un día sin llamadas y compare el resultado con la frecuencia relativa real del número de días sin llamadas. c)

Utilice la distribución de Poisson para calcular la probabilidad de hacer una llamada en un día y compare el resultado con la frecuencia relativa real del número de días con una llamada.

d) Con base en los resultados anteriores, ¿las llamadas que Adiel hizo por teléfono celular en un día parecen ajustarse razonablemente bien a la distribución de Poisson? ¿Por qué? 6.

Terremotos. Durante un periodo reciente de 100 años hubo 93 terremotos importantes en el mundo (de al menos 6.0 grados en la escala de Richter) (según datos del Worid Almanac andBook ofFacts). Suponiendo que la distribución de Poisson es un modelo adecuado, calcule el número medio de terremotos importantes por año, después calcule la probabilidad de que el número de terremotos en un año seleccionado al azar sea a. O b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 f. 5 g. 6 h. 7 Los resultados reales son: 47 años (ningún terremoto importante); 31 años (1 terremoto importante); 13 años (2 terremotos importantes); 5 años (3 terremotos importantes); 2 años (4 terremotos importantes); O años (5 terremotos importantes); 1 año (6 terremotos importantes); 1 año (7 terremotos importantes). Después de comparar las probabilidades calculadas con los resultados reales, ¿es un buen modelo la distribución de Poisson?

2|Página

Modelos estocásticos 7.

Producto Académico N° 02

A una gasolinera que permanece abierta las 24 horas del día llegan clientes de la siguiente forma: desde las 24:00 h a las 7:00 los clientes llegan, en media, con tasa 2 clientes por hora; de 7:00 a 17:00 crece linealmente hasta alcanzar los 20 clientes por hora, permaneciendo esta tasa hasta las 22:00, momento en que empieza a decrecer hasta alcanzar los 2 clientes por hora a las 24:00. Si suponemos que el número de clientes que llegan a la gasolinera, durante periodos de tiempos disjuntos son independientes, y teniendo en cuenta la siguiente función de intensidad:

a)

¿cuál es la probabilidad de que llegue un cliente entre la 1:00 y las 3:00?.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen dos clientes entre las 16:00 y 18:00h? c) 8.

¿cuál es el número esperado de llegadas entre las 8:00 y las 10:00?.

Las llamadas ingresan al conmutador de un call center, ingresan de acuerdo a una distribución de Poisson no homogéneo con la siguiente función de intensidad: 𝑡, 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑡 ≤ 5 2𝑡 − 17, 𝑠𝑖 5 ≤ 𝑡 ≤ 10 𝜆(𝑡) = 4𝑡 − 45, 𝑠𝑖 10 ≤ 𝑡 ≤ 15 3𝑡 − 40, 𝑠𝑖 15 ≤ 𝑡 ≤ 20 𝑠𝑖 20 ≤ 𝑡 ≤ 24 { 𝑡 − 22, a)

¿Cuál es la probabilidad de que no hayan llamadas entre las 10 y 12 de la noche?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que ingresen más de 5 llamadas entre las 2 y las 4? c)

¿Cuál es la probabilidad de que ingresen entre 2 y 5 llamadas desde las 8 hasta 4 de la tarde?

Aplicación de la distribución exponencial

En los ejercicios siguientes, utilice la distribución exponencial para calcular las probabilidades indicadas. 9.

Sparagowsky & Associates hace un estudio sobre los tiempos necesarios para atender a un cliente en la ventanilla de su automóvil en los restaurantes de comida rápida. En McDonald´s el tiempo medio para atender a un cliente fue 2.78 minutos (The Cincinnati Enquirer, 9 de julio de 2000). Tiempos de servicio como los de estos restaurantes suelen seguir una distribución exponencial. a.

¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo para atender a un cliente sea menor que 2 minutos?

b.

¿De que el tiempo para atender a un cliente sean más de 5 minutos?

c.

¿De que el tiempo para atender a un cliente sean más de 2.78 minutos?

d.

¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo para atender a un cliente sea de entre 2 y 3 minutos?

10. El tiempo requerido para pasar por la inspección en los aeropuertos puede ser molesto para los pasajeros. El tiempo medio de espera en los periodos pico en el Cincinnnati/Northern Kentucky Internacional Airport es de 12.1 minutos (The Cincinnati Enquirer, 2 de febrero de 2006). Suponga que los tiempos para pasar por la inspección de seguridad tienen una distribución exponencial. a.

¿Cuál es la probabilidad de que durante los periodos pico se requieran 10 minutos para pasar la inspección de seguridad?

b.

¿De que durante los periodos pico se requieran más de 20 minutos para pasar la inspección de seguridad?

3|Página

Modelos estocásticos

Producto Académico N° 02

c.

¿De que durante los periodos pico se requieran entre 10 y 20 minutos para pasar la inspección de seguridad?.

d.

Son las 8 de la mañana (periodo pico) y usted se acaba de formar en la fila para la inspección de seguridad. Para alcanzar su avión, tiene que estar en la puerta de arribo en no más de 30 minutos. Si necesitara 12 minutos una vez pasada la inspección de seguridad para llegar a la puerta de arribo, ¿cuál es la probabilidad de que pierda el avión?

4|Página