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• ArturoVazquezAyala

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MODELOS DE INVENTARIOS MODELOS MATEMÁTICOS 2.1 MODELOS DETERMINISTICOS En esta sección se presentan una colección de modelos de inventarios de un solo artículo para los cuales la tasa de demanda se supone que se conoce con certeza y que es contante. También se supone que el tiempo de entrega y otros parámetros de modelo, tales como costos, son conocidos con certeza, son constantes e independientes de cantidad pedida. Los modelos para tales sistemas de inventarios, se dice que son modelos determinísticos de un solo artículo. Finalmente se supone que todos los faltantes pueden ser satisfechos cuando las órdenes de suministros son recibidas. Mientras que las suposiciones pueden parecer irreales, estos modelos muy frecuentemente sirven como una aproximación útil a muchos sistemas de inventarios del mundo real, y darán una introducción relativamente simple al proceso de modelación y control de inventarios. El problema fundamental para estos sistemas de inventarios es determinar cuándo colocar un pedido y cuál es el monto de dicho pedido. Dado que la tasa de producción es contante, adoptaremos una política de ordenar en lotes de tamaño fijo, siempre que el nivel de inventarios llegue al punto de reorden. El proceso es entonces qué valores usar para el tamaño del lote y el punto de reorden. Para responder estas preguntas, se formulara un modelo matemático que exprese el costo promedio anual como una función de estas dos variables de decisión, y entonces determinaremos la cantidad a pedir y el punto de reorden que minimice el costo total.

Para desarrollar una expresión para el costo anual promedio para los modelos, son necesarias algunas definiciones y notaciones. Sea:

Nomenclatura: D = Tasa de demanda constante P = Tasa de producción en unidades por año A = Costo fijo de una orden de suministro C = Costo unitario variable de producción ( o compra) h= Costo de llevar el inventario por año, usualmente expresada como h=ic, donde i es la tasa anual del costo de llevar inventario. ∏= Costo de faltante por unidad, independientemente de la duración del faltante = Costo de faltante, por unidad por año τ = Tiempo de entrega, el tiempo entre la colocación y el recibo de un pedido. Q = Cantidad a pedir r = Punto de reorden Imax = Nivel máximo de inventario a la mano b = Nivel máximo de faltante permitido T = Longitud del ciclo, la longitud de tiempo entre la colocación (o recibo) de órdenes de suministro K = Costo anual promedio el cual es una función de la política de inventarios 2.1.1 MODELO CON TASA DE PRODUCCION Y COSTO DE FALTANTE

Costo de pedir por ciclo:A + CQ Costo de mantener inventario por ciclo: Tiempo de ciclo:

Número de ciclos: El costo por ciclo es: El costo total es:

=

Pesos

Cantidad a Pedir

2

0;

;

0

!"#$" %# &í()&"

Entonces

* 2 + 2 *

Tiempo óptimo de ciclo: +

-

2 *

Número óptimo de ciclos: =

=

./ 0

Ejemplos:

Lote económico de pedido

√2

*

1- Un fabricante de accesorios para automóvil recibe un pedido de 120,000 tableros, que tiene que entregar en el curso de un año a un ritmo de demanda constante, cada vez que envíe un pedido incurre en un costo de $3,000 y almacenar un tablero durante un día tiene un costo de 3.5 centavos; ¿Cómo debe planear su inventario si no puede admitirse atraso en las entregas? A= $3,000.00 por pedido h= $0.035 por unidad por día D= 120,000 tableros por año Suponiendo 360 días laborables en el año +

2 1 3,000 1 120,000 0.35 360

7559 360 120,000

-

√2

22.7

7559 $:; %

16.8 í:#

Sharp, Inc., una empresa que comercializa las agujas hipodérmicas indoloras en los hospitales, desea reducir sus costos de inventario mediante la determinación del número de agujas hipodérmicas que debe obtener en cada orden. La demanda anual es de 1000 unidades; el costo de preparación o de ordenar es de 10 dólares por orden; y el costo de manejo por unidad de año es de 50 centavos de dólar. Utilizando estos datos, calcule el número óptimo de unidades por orden (Q*), el número de órdenes (N), el tiempo transcurrido (T), y el coso total anual del inventario. Utilizar un año laboral de 250 días.

A=$ 10 h= $ 0.5 D=1000 unidades

1000 200 N = 5 órdenes por año

N=

4.- Costo total Anual=

Número de días laborales/año N 250 días laborales/año T= 5 órdenes T = 50 días entre órdenes

3.T =

D 2. N = Q*

=

$CD E CDDD DD

11000

DD

1$0.5

$100

! 1000

2.1.1 MODELO CON TASA DE PRODUCCION INFINITA Y COSTO DE FALTANTE FINITO

Inventario Máximo: Imax= (Q-b) Tiempo de ciclo : Número de Ciclos : -1 -

;

-

F -1 -2 -

; ;

-

F -2

; ;-

;

Costo por periodo: Costo de pedir = CQ + A Costo de mantener inventario = * Costo de faltante =

LM

; H

IC

KI

;

-

G

-C

JK

Costo total para N periodos o ciclos: ,;

,;

N

*

N

-1

*

JK

,;

-1

;

2

;

2

QK P

; -2 O 2 ; O LM 2

LM

Ecuación a minimizar

Para encontrar los Q y b que minimizan K(Q,b), es necesario obtener R

,;

0

S

R Y resolviendo simultáneamente se obtiene

R;

,; R;

0

;

2 +

*

LM +

LM

*

S

;

+

√2

* LM LM *

Se puede demostrar fácilmente que Q* y b* minimizan K(Q,b) Tiempo óptimo de ciclo: +

-

2 *

LM +

LM

*

El costo mínimo será √2

,;

*+

*

LM

LM

Ejemplo: Un subcontratista se compromete a surtir motores diésel a un fabricante de camiones, a razón de 25 por día. Hay una clausula en el contrato que lo multa con $10 por motor por día que no cumpla con la fecha predeterminada de entrega. El subcontratista encuentra que el costo de mantener un motor completo en el almacén, es de $16 por mes. La Producción de motores es en lotes, y cada vez que se inicia un nuevo lote, hay costos de arranque de $10,000. ¿Qué tan frecuentemente deben inciarse los lotes de producción, y cuál debe ser el nivel inicial de inventario al tiempo que se completa cada lotes? D= 25 motores por día LM $10/motor -día h= $16/motor-mes = $ 0.53/motor-día A=$10,000 QT P

-

Q P

QT P P Q

=

E CD,DDD U E D.U

=

E CD,DDD E U D.U

CDTD.U CD

CDTD.U CD

= 40 días

=993 motores

2.1.3 MODELO CON TASA DE PRODUCCION FINITA Y COSTO DE FALTANTE FINITO Y

VWXE

-

-C

: Inventario Máximo : Tiempo de ciclo : Número de ciclos

-C -

Y

VWXE

G

VWXE G

Y

-

1

Y

1

Y

Y

Costo de ordenar por ciclo = 1

Costo de mantener inventario por ciclo = Costo Total

1

[

R

El número óptimo de ciclos :

El costo total mínimo:

] * 2

* \1 2

R

El tiempo óptimo de ciclo:

Z

-

Z

2 + * 1

1 Y

]

Y

0

Z / ^

CJ

/ ^

CJ

2

* 1

Z

Ejemplo: Un subcontratista tiene que suministrar 10,000 cojinetes diarios a un fabricante de automóviles. Encuentra que cuando inicia un lote de producción puede trabajar a una tasa de 25,000 cojinetes por día. El costo de mantener un cojinete en el almacén por un año, es de 2 centavos y el costo de arranque de un lote de producción es de $18.00 ¿Qué tan frecuentemente deben fabricarse los lotes de producción? A= $18.00 D= 10,000 cojinetes por día P= 25,000 cojinetes por día h= 0.02/cojinete-año

-

/ CJ ^

E C> E CDDDD E ?U

D.D E CJ

= / ^

CJ

=

=

_```` a```

CDU,DDD CD,DDD

= 105,000 cojinetes

= 10.5 días

2.1.4 MODELO CON TASA DE PRODUCCION FINITA Y COSTO DE FALTANTE INFINITO -

: Tiempo de ciclo : Número de ciclos

-Z

VWXE

VWXE -C

Z

: Tiempo de producción de un lote Z K

ZJ

Y

\1

Y

]

; : Inventario máximo -

;

bcde

bcde

-

ZJ

-f

Costo de pedir por ciclo: C

Costo de mantener inventario por ciclo: * 1 g 2 Y

* Y g 2 Y *

Costo de faltante por ciclo

+2

bcde ZJ

1

- VWXE * bcde

hV

h g \1

i1

2

2 + * 1 ;

-

\1

1

Z

Z

j

Z

WXE

Y

]

;h

;

* +

VWXE

L

L

]+ Y L L

*

*

K

VWXE

VWXE Y

\1

Y

]

;