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5.4 APLICACIÓN DE MODELOS DE INVENTARIOS DETERMINÍSTICOS.

Quienquiera que haya adquirido artículos de consumo en grandes volúmenes, mayores de los que se requieren inmediatamente, ha podido pagar un precio unitario menor (dólares por libra, por galón, etc.), Cuando la demanda se conoce con certeza, la entrega se vuelve instantánea (no hay "fueras de existencia") y el precio de los productos varía de acuerdo con el volumen ordenado. El resultado es una situación del lote económico modificado, llamada el caso de descuento por volumen" Aun cuando el concepto de descuento por volumen también se aplica a otras situaciones de inventarios, para nuestro caso introductorio sólo se modificará la situación del lote económico que se expuso en el capítulo 12. La figura 13.1 ilustra el concepto de descuento por volumen, cuya base es el análisis de los cambios en los precios. A medida que el volumen ordenado ( Q ) se incrementa, el proveedor a menudo puede producir y embarcar su mercancía a más bajo precio. Para estimular las compras por volumen, el proveedor comparte las ventajas de las economías de escala con el cliente. En la figura 13.1 las líneas continuas representan los costos promedio anuales para distintas probables cantidades ordenadas. Obsérvese, sin embargo, que las líneas continuas se vuelven discontinuas en las zonas en que se rompe la base de los precios; a cada tipo de valores de Q se le aplican diferentes curvas de costos. En la doctrina de operación para los descuentos por volumen el punto de reorden es para un inventario nulo, pues se considera que la entrega es instantánea. El procedimiento general para determinar la cantidad a ordenar principia por verificar la curva de costo mínimo para una Q óptima. Si no se tiene éxito, entonces se verifica en forma sistemática cada una de las curvas superiores hasta que se encuentra la óptima. Hay que seguir los siguientes pasos: 1. Calcúlese la cantidad económica ordenada (CEO) usando la fórmula de lote económico para el precio unitario más bajo. 2. Determínese si la CEO del inciso 1 es factible, estableciendo si se encuentra dentro del margen para ese precio. Si es factible, deténgase. Calcúlese el costo total para esta cantidad, así: como el costo total mínimo en cada corte en el precio y seleccionar la cantidad con el costo total más bajo.

FIGRURA 13.1 Descuentos por volumen o cantidad.

3. Si la CEO de la etapa 1 no es factible. Calcúlese el costo total para cantidad más baja factible para el precio unitario más bajo. 4. Dénse el primero y el segundo pasos para el siguiente precio unitario más alto. Si se tiene una solución factible, deténgase y sígase el procedimiento del paso 2; si no es así, dése el tercer paso. La "mejor" relación precio/cantidad a la fecha se tiene para el costo total más bajo de todos los costos evaluados en el paso 3. 5. Repítase el paso 4 hasta que se obtenga una solución factible o hasta que todos los precios se hayan evaluado. Si no se encontró una cantidad óptima factible con la CEO. Escójase el cambio o salto del precio con el costo total más bajo. Esencialmente, este procedimiento permite encontrar el punto del costo más bajo en la curva de costos más baja" verifica la factibilidad, y si nada resulta factible, calcula el costo en el cambio de precios que permita una solución factible. Luego, es posible moverse hacia la siguiente curva superior de costos (ver la figura 13.1) Y se repiten los procedimientos. De esta manera, se calcularán todas las CEO de costo mínimo y con el tiempo todos los cambios de precios serán verificados si antes no. se hubiera descubierto una solución óptima. Como en todas las doctrinas de operación para inventarios, la cantidad óptima a ordenar es la cantidad que ofrece el costo total más bajo. Un ejemplo puede aclarar este procedimiento.

La demanda anual es de 400 cajas; el costo de colocación de cada orden es de 12 dólares y el de manejo de inventarios es del 20 por ciento. Existen dos cortes en el precio; el precio por caja es de 29 dólares, de 1 hasta 49 cajas, de 28.59 dólares de 50 hasta 99 cajas, y de 28 dólares de 100 cajas en adelante.

Para determinar la cantidad óptima, iniciamos con la curva de costos más baja y se calcula Q para un precio de 28 dólares la caja.

Q

2 DS  IC

2(400 )(12 )  41 .40 .2(28 )

 41 .Cajas Hay que ordenar hasta 100 cajas o más para obtener un precio de 28 dólares por caja, la = 41 no es factible. Calculando el costo total (TC) a la cantidad más baja factible, 100 se tiene

TC  CD  S

Q D  IC Q 2

 100   28(400)  12   2   $11,528

Pasando a la siguiente curva hacia arriba,

Q

2 DS  IC

2(400 )(12 )  41 .04 .2(28 .5)

 41 .Cajas

El precio de 28.50 dólares es para un volumen de 50 a 99 cajas, por lo que = 41 no es factible. Calculando el costo total en la primera cantidad factible (50) en este grado se obtiene,

TC  CD  S

Q D  IC Q 2

 400   50   28.50(400)  12   .2(28.50)   50   2  $11,638.50

Pasando a la siguiente curva superior, que es la última,

Q

2 DS  IC

2(400 )(12 )  41 .68 .2(29 )

 41 .Cajas

Esta es una cantidad factible, pues 29 dólares es el precio por 1 a 49 unidades. Ahora hay que calcular el costo total para Q = 41:

TC*  CD  S

Q* D  IC Q* 2

 400   41   29(400)  12   .2(29)   41   2  $11,835.97

Comparando todos los costos totales se ve que el costo total más bajo es de 11,528 dólares al ordenar una cantidad de 100. Por tanto, la doctrina de operación para el paquete sanitario desechable es:

Q*  100 R*  0 TC*  $11,528 Para los paquetes sanitarios desechables, el descuento por volumen dio como resultado mayores costos de manejo. El total para los costos de ordenamiento y de manejo fue de $328.00 para Q =100, $238.50 para Q = 50 y $235.97 para Q =41. Sin embargo, el descuento por volumen de 1 dólar por caja para 400 cajas (comparando Q = 100 contra

Q =41) superó a los $92,03 adicionales por concepto de ordenamiento y manejo, haciendo que Q = 100 fuera la alternativa más atractiva. En el capítulo 12, y en la situación anterior de descuento por volumen, se explicaron diversos modelos deterministas. En la realidad, rara vez se encuentran las condiciones simplificadas que se muestran en estos modelos. Relájense o suéltense ahora las condiciones deterministas y se procederá a examinar algunos modelos de una naturaleza más práctica, los modelos estocásticos de inventarios. PAG: 531, 532, 533,534.

MODELOS DETERMINISTAS DE INVENTARIOS.

La derivación más antigua comúnmente denominada fórmula del lote económico fue sugerida por Ford Harris en 1915. Aparentemente, la obtuvo en forma independiente R.H. Wilson, quien la popularizó. En su honor, algunas veces se menciona como fórmula de Wilson. Esta situación de inventarios supone que: l. El inventario está siendo controlado en un punto (en un almacén, o como materia prima, por ejemplo). 2. La demanda es determinista y a una tasa anual constante conocida. 3. No se permiten escasez o falta de existencias. 4. El tiempo de espera es constante e independiente de la demanda. 5. El costo de adquisición por unidad es fijo. Para simplificar aún más el caso, el tiempo de espera se puede suponer cero, esto es, la entrega es instantánea. ¿Cómo se puede ver la ecuación del costo relevante total anual (CT)? Modifíquese la ecuación 12.1 para ajustarla a esta situación: Costo relevante total anual = Costos de adquisición + costos de manejo (12.2) Siempre haya existencias, y el costo anual de productos adquiridos se excluye, porque el costo de adquisición por unidad es fijo. Sólo se incluyen los costos que se pueden afectar por la selección de Q . Al desarrollar la ecuación 12.2.

  Costo.de  Número. promedio  Costo  Númerode       CT   de    manejo.de  de.unidades  Órdenes 12.3   Orden  Colocadas / año   una.unidad. manejadas.         Número.de   Número. promedio   IC   S   de . unidades Órdenes . colocadas / año    

El número de órdenes colocadas por año se puede expresar en términos de la demanda anual y por la cantidad ordenada.

 Cantidad.Ordenada  Número.de.Órdenes  12.4  Demanda.anual    en . cada . pedido colocadas / año    entonces Número.de.órdenes.colocadas / año 



Demanda.anual Cantidad.ordenada.en.cada. pedido

D Q

¿Cómo se puede determinar el inventario promedio anual por año? Véase nuevamente la situación de uso constante de la figura 12.6 ¿Cuál es el inventario máximo, el mayor que puede haber en cualquier momento? Es la cantidad Q ordenada. ¿Cuál es el inventario más bajo? Como hay que reordenar cuando las existencias están totalmente vacías, el más bajo es cero. Este modelo, en el que los inventarios varían de máximo a mínimo y luego de nuevo a un máximo, se denomina ciclo. Para cualquier ciclo, el inventario promedio sería:

Inventario. pormedio. / .ciclo 

Inventario. max imo.  Inventario. min imo 2 Q0 2 Q  2 

Piense acerca de los diversos ciclos de órdenes de inventario de la figura 12.6. El promedio para cualquiera de estos ciclos es Q /2, ¿pero cuál es el inventario promedio por año? Sigue siendo Q /2. El inventario promedio es independiente del tiempo.

EJEMPLO La Morrison, Inc. Ordena charolas nuevas y las envía desde sus almacenes centrales a diversas cafeterías. Si la Morrison ordena 1,000 charolas ocho veces al año, ¿cuál es el inventario promedio anual en charolas, suponiendo que casi todas las suposiciones básicas de la fórmula del tamaño simple o, del lote económico se cumplen? El inventario promedio para primero, segundo y así sucesivamente, hasta el octavo ciclo sería 1,000/2 o 500. Inténtese representar el ciclo de los inventarios ocho y el efecto anual de este ciclaje. Para todo el año, el máximo sería 1 y el mínimo, y el uso uniforme produciría un inventario promedio de 500 charolas nuevas. Sustituyendo la expresión por el número de órdenes colocadas por año y el inventario promedio en la ecuación 12.3, la ecuación del costo total será:

CT  S

Q S  IC D 2

(12.5)

De esta ecuación de costo total se puede obtener la fórmula para la cantidad óptima ordenada, la cantidad en el punto mínimo de la curva de costo total de la figura 12.8.

Q* 

2 DS IC

(12.6)

Como la entrega es instantánea, el punto de reorden debería establecerse en el punto mínimo posible, cero, para evitar el manejo de un exceso de existencias. La doctrina de operación será entonces

2 DS IC En.el. punto.R*  0

Orden.Q* 

Si se desea ver cómo se empleó el cálculo en la derivación de estas expresiones, léase el suplemento, al final de este capítulo.

Sensibilidad del modelo: Se puede comparar la sensibilidad de los costos totales de cualquier sistema operativo, con los costos totales de un sistema óptimo de inventarios (CT*) usando la relación

Q / Q. *

CT / CT * . Para poder realizar esto se puede calcular CT / CT * , como una función de

D D  IC Q 2 CT  Q* D CT * S  IC Q* 2 S

Sustituyendo a

(12.7)

Q*  2 DS / IC en la ecuación 12.7 y resolviendo algebraicamente se puede

encontrar la relación general

CT 1 Q * Q     CT * 2  Q Q * 

(12.8)

Obsérvese que la relación de costos totales en esta ecuación se expresa únicamente en términos de Q Y Q *. Si la cantidad ordenada ( Q ) se encuentra muy cerca de Q * óptima, la relación es

CT / CT * ligeramente mayor que la unidad. A medida que Q se aleja de Q * se puede esperar que CT / CT * crezca. Gráficamente, la relación Q / Q * y CT / CT * para el caso del tamaño del lote simple o lote económico (ecuación. 12.7) se muestra en la figura 12.9. Obsérvese lo plano de la curva en la cercanía del punto mínimo, 1.0 en ambos ejes. Si la Q real se encuentra alejada de la óptima en cualquier dirección por un factor de dos, los costos se han incrementado solamente en un 25 %. Esto tiene implicaciones prácticas de gran importancia. Para casos en los que se cumplen casi todas las suposiciones básicas del modelo del tamaño de lote simple o lote económico" el mejorar las reglas de pedido no ahorra mucho dinero. El corregir una regla de pedido, aun cuando se esté lejos del óptimo, puede no dar como resultado ahorros considerables.

FIGURA 12.9 Sensibilidad en los inventarios caso del lote económico. Fuente: G" Adley and T. M. Whitin, Analysis of Inventory Systems (Englewood Cliffs, N.J : Prentice Hall, 1963), p. 36.

EJEMPLO La empresa Thompson Tooling tiene un contrato con el Departamento de la Defensa por 150,000 rodamientos al año. La Thompson ordena a un proveedor el metal para los rodamientos en lotes de 40,000 unidades. Cuesta 40 dólares colocar un pedido, y los costos de manejo se calculan 20 por ciento del costo del producto, 0.15 dólares. La Thompson desea conocer el porcentaje de variación de la cantidad pedida con respecto a la óptima y cuánto les cuesta esta variación, si es que les cuesta. Encontrando la cantidad óptima ordenada.

Q*  

2 DS IC

2(150,000)(40) 0.2(0.15)

 20,000

Comparando la cantidad óptima ordenada con la real

Q:

CT 1Q* Q      CT * 2  Q Q *  1  20 ,000 40 ,000      2  40 ,000 20 ,000   1.25 Estas operaciones muestran que aun cuando la cantidad pedida se desvíe de las óptimas 20,000 unidades, o 100 por ciento, los costos solamente son 25 por ciento más elevados que los óptimos. Los costos suplementarios (marginales) de la cantidad ordenada no óptima son calculados de la siguiente manera:

Costos m arg inales  0.25(CT *)  D Q *   0.25 S  IC Q * 2    40(150,000) 0.2(0.15)(20,000)   0.25   2  20,000   0.25(300)  300)  $150

De manera alternativa,

 D Q *  CT *   S  IC 2   Q*  40(150,000) 0.2(0.15)(20,000)     2  20,000   (300)  300)  $600 Y

CT actual 

(40)(150,000) (0.20)(0.15)(40,000)  40,000 2

 150  600  $750

El costo marginal del sistema no óptimo es $750- $600, o $150.

PAG: 510, 511, 512, 513, 514,515.