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• Gema Sanchez

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(un pase de modelos)

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Contenidos

• Introducci´ on • Modelos de la Mec´ anica – La braquistocrona. – Mec´anica lagrangiana. – Movimiento girosc´opico. – Pel´ıculas de jab´on. Experiencias

• Ondas – Transmisi´on del calor. – El formato JPEG. – Ondas electromagn´eticas. Experiencias

• Tomograf´ıa. – Reconstrucci´on algebraica. – Transformada de Radon. Experiencias

• Modelos probabil´ısticos. – El teorema central del l´ımite. – Paseos aleatorios. – Difusi´on y movimiento browniano. Experiencias

• Fluidos – Ecuaciones de Euler. – Fluidos estacionarios irrotacionales. – Ecuaciones de Navier-Stokes. Experiencias

• Direcciones en la red • Programas

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Prefacio Antes de nada me gustar´ıa aclarar que he llegado a esta asignatura casualmente, por ausencia de otras peticiones de docencia. Como la mayor´ıa de los matem´aticos, necesitando descansar del peso de las abstracciones puras, tengo inter´es en el tema, pero no un conocimiento especializado. Aunque la especializaci´on sea en parte un contrasentido en una asignatura como ´esta que trata de tocar superficialmente temas muy dispares, quiero indicar que no poseo un conocimiento ´ıntegro, simult´aneo y global de muchos modelos particulares. La selecci´on de ellos ha sido bastante casual. En un principio escog´ı temas que me parecieron interesantes y que conoc´ıa o me gustar´ıa conocer. Rechac´e algunos por su dificultad, mientras que otros quedaron fuera simplemente porque ya me resultaba demasiado gravosa la escritura de estas notas y hab´ıan alcanzado una extensi´on suficiente para la duraci´on del curso. Sirva todo esto para dejar meridianamente claro que las siguientes p´aginas tienen unas coordenadas bien definidas. Son para la asignatura X impartida el a˜ no Y por el profesor Z (no es mi identidad secreta). No pretendo de ninguna manera determinar los contenidos en cursos venideros ni insinuar las ventajas de los del presente. En virtud de lo se˜ nalado anteriormente, no hay que buscar unidad en el fondo de los contenidos. No obstante he tratado de dar cierta uniformidad a la manera de presentarlos. Cada secci´on comienza con una introducci´on en la que se describen las leyes b´asicas involucradas en el fen´omeno o problema a tratar. Despu´es se establece un diccionario que conforma el modelo matem´atico propiamente dicho. Finalmente se prueban resultados que, la mayor´ıa de las veces, sirven para anticipar nuevos fen´omenos o explicar los ya conocidos. (Ni que decir tiene que en el mundo real las cosas son mucho m´as complicadas. A fin de cuentas todo es mentira y la Modelizaci´on no iba a ser excepcional). Cada secci´on se completa con sugerencias de temas de trabajo y algunos ejercicios. Al t´ermino de cada cap´ıtulo se describen experimentos caseros que he dise˜ nado, y verificado con mis manazas, para que cualquiera los pueda llevar a cabo con ´exito. Por u ´ltimo, es justo dar cr´edito por algunas citas textuales. Las de la introducci´on est´an tomadas de [Yo], por exposici´on prolongada mientras escrib´ıa estas notas; los fragmentos tras las sugerencias de trabajos son de [Po], el u ´nico libro con citas a prop´osito que me dio tiempo a leer; y algunos de los experimentos y una peque˜ na parte del texto de los modelos est´an copiados de [Ch], sin permiso escrito del autor. Una vez que cada uno tiene lo suyo, sin m´as dilaci´on, pasemos a ver la colecci´on de modelos Primavera/Verano 2003. Madrid, enero de 2003 Fernando Chamizo

Intro Observaci´on, formulaci´on de hip´otesis, comprobaci´on de hip´otesis, formulaci´on de la ley y expresi´on matem´atica de la ley. Seg´ un podemos leer en alg´ un texto, ´estas son las fases que conforman el m´etodo experimental en el que se fundamentan las llamadas actualmente ciencias naturales o experimentales, las que estudian los fen´omenos de la Naturaleza. Todas estas fases, excepto quiz´a la primera, se ajustan a lo que se suele denominar Modelizaci´on (palabra que, por cierto, al igual que modelizar, no aparece en el diccionario), y la u ´ltima a la Modelizaci´on Matem´atica en concreto. En resumidas cuentas, la Modelizaci´on es en gran medida el m´etodo de lo que en el lenguaje corriente se entiende como Ciencia. Lo que fue una aspiraci´on en la Ilustraci´on se ha convertido en realidad desde hace casi cien a˜ nos, y es que la Ciencia se ha objetivado a trav´es de la Tecnolog´ıa y ha cambiado, para bien o para mal, la faz de la Tierra, marcando la direcci´on de progreso. Detr´as de toda esa Tecnolog´ıa que nos rodea, ocultos para la mayor´ıa de los espectadores, est´an los modelos matem´aticos. Nunca como ahora han sido las Matem´aticas tan u ´tiles, aunque la utilidad no sea esencial a ellas [Va 2]. Rechazar la Tecnolog´ıa implica excluirse de la sociedad y civilizaci´on actuales, y rechazar las Matem´aticas es perder la esperanza de comprender y crear la Tecnolog´ıa. Satellites send me picture Get it in the eye, take it to the world spinning like a dynamo Feel it going round and round

Los ´exitos de la Ciencia en la comprensi´on de muchos fen´omenos no deben dogmatizar su valor epistemol´ogico. Modelizar es reflejar algunos aspectos de la realidad, pero la identificaci´on de los modelos con la propia realidad es dif´ıcilmente sostenible. No podemos decir que el electr´on no existiera antes del siglo XIX, ni que en las primeras d´ecadas del siglo XX pasase de ser una esferita a una funci´on que toma valores complejos. Es evidente que los modelos son reflejos parciales e imperfectos. Tampoco hay que exagerar el papel desempe˜ nado por las Matem´aticas ni su apriorismo, como hizo Galileo llegando a afirmar que “la verdad de la que nos dan conocimiento las demostraciones matem´aticas, es la misma que conoce la sabidur´ıa divina” ([Ga] p. 93). Es sorprendente que se pueda explicar en gran medida el ´atomo de hidr´ogeno representando el electr´on como una funci´on que resuelve una ecuaci´on en derivadas parciales con coeficientes complejos, y un f´ısico de la talla de E.P. Wigner dir´a que “la enorme utilidad de las Matem´aticas en las ciencias naturales es algo que raya el misterio”. Sin embargo, tambi´en es cierto que las derivadas y los n´ umeros complejos no son elucubraciones completamente artificiales. La derivada se cre´o tratando de entender fen´omenos mec´anicos y es heredera de la noci´on de velocidad; y los n´ umeros complejos, aunque su origen fue otro, sirven para representar algo tan natural como los giros en el plano, y por tanto son adecuados para indicar una fase en la onda asociada 1

al electr´on. No podemos explicar matem´aticamente el electr´on con las Matem´aticas que desconocemos, y por ello debemos echar mano de conocimientos previos; pero tambi´en los modelos sugieren naturalmente nuevos entes matem´aticos. No es tan milagroso que en Mec´anica Cu´antica se emplee el An´alisis Funcional habida cuenta que el desarrollo de ´este estuvo ligado a los problemas que surgieron de ella. En definitiva, los modelos no est´an subordinados a las Matem´aticas sino que tambi´en los modelos sirven para crear Matem´aticas. Who made who, who made you? Who made who, ain’t nobody told you? Who made who, who made you? If you made them and they made you Who picked up the bill, and who made who?

Una vez rechazada la realidad de los modelos y sustituida por un reflejo lo m´as fiel posible, cabe preguntarse qu´e otras propiedades son deseables a la hora de crear un modelo. Quiz´a la principal sea la simplicidad, la econom´ıa en la descripci´on. A ´esta hay que a˜ nadir algo completamente fundamental en Matem´aticas, la belleza, la est´etica del resultado. Pero no hay que permitir que en favor de ella se subvierta el proceso de modelizaci´on. Por ejemplo, la idea heredada de los griegos cl´asicos de que la circunferencia es la curva m´as bella y perfecta repercuti´o en el error, mantenido hasta comienzos del siglo XVII, de que los movimientos planetarios eran composiciones de movimientos circulares, error en el que tambi´en incurrieron Cop´ernico y su gran ap´ologo Galileo ([Ga] p. 18). Con respecto al principio de econom´ıa, no es casual que dentro de la historia del pensamiento apareciera expl´ıcitamente con el nominalismo de Ockham, que marca el final de la Edad Media y el despertar de la Ciencia. Hasta entonces la raz´on y la fe no estaban perfectamente separadas. Ockham utiliza su famosa navaja (el principio de econom´ıa) para dar prioridad a los conocimientos intuitivos directos provenientes de observaciones individuales y desligarlos de la fe. Es el comienzo del camino de la Ciencia en el que se adentrar´ıan ya algunos de sus inmediatos seguidores. Here comes the razor’s edge Here comes the razor’s edge Well here it comes to cut to shreds The razors edge

El nominalismo y m´as tarde el empirismo se˜ nalaron el papel fundamental desempe˜ nado por la experiencia y los experimentos en el conocimiento. Por otra parte se hace evidente el problema de inducci´on incompleta, consistente en la contradicci´on que supone tratar de verificar juicios universales a partir de un n´ umero finito de experimentos singulares quiz´a imperfectos. La historiograf´ıa cient´ıfica a menudo ha deificado el valor decisorio del experimento, como si la veracidad de una teor´ıa quedara inmediata y f´acilmente sentenciada yendo a un laboratorio; y simult´aneamente ha suavizado su valor gnoseol´ogico 2

para exagerar la gloria de los grandes cient´ıficos. Es posible criticar estas dos tendencias a partir de casos sacados incluso de la aristocracia de la Ciencia. Por ejemplo, Einstein y de Haas midieron el valor de una constante at´omica (la relaci´on giromagn´etica) a partir de la torsi´on de ciertas barras met´alicas, corroborando que coincid´ıa con el predicho por la teor´ıa. En realidad, su valor es dos veces mayor que el que midieron debido al spin, entonces desconocido. No hay raz´on para sospechar que manipulasen los resultados, simplementes sus prejuicios al obtenerlos motivaron el error. Como ejemplo de la segunda tendencia, a veces se presenta la rotaci´on del perihelio de Mercurio como un experimento confirmando la relatividad general, cuando realmente al crear la ecuaci´on fundamental de esta teor´ıa, Einstein busc´o ajustarla para que respondiera a este fen´omeno observado much´ısimo antes. La experimentaci´on no es un trabajo sucio pero necesario o conveniente para verificar posibles errores, como la prueba del nueve de la multiplicaci´on, sino que es crucial en la elaboraci´on de los modelos. Tampoco es un trabajo f´acil, ni un juez inapelable e infalible que autom´aticamente da un veredicto. Por ejemplo, si alguien tratase de medir por s´ı mismo sin instrumental sofisticado la aceleraci´on de la gravedad llevando a la pr´actica los problemas de tiro parab´olico de balones o piedras de los manuales b´asicos de F´ısica, no obtendr´ıa un valor medianamente parecido, y sin embargo no es dif´ıcil conseguir un resultado muy preciso empleando un sencillo p´endulo. La realizaci´on del experimento presupone conocer la gran influencia del rozamiento del aire en el tiro parab´olico, y la poca en el periodo del p´endulo. Es cient´ıficamente un poco tramposo discriminar las experiencias sin m´as explicaciones para ponderar la realidad de una teor´ıa. For a fee I’m happy to be Your back door man Dirty Deeds Done Dirt Cheap Dirty Deeds and they’re Done Dirt Cheap

La falibilidad de los experimentos y su dependencia de unos modelos que no est´an desligados del momento hist´orico ni son totalmente fieles, pueden conducir a una visi´on esc´eptica del valor de la Ciencia. Esta actitud que recoge Poincar´e en alguno de sus contempor´aneos ([Po] cap. X), y critica poderosamente, corresponde a un nominalismo exagerado, por el cual la Ciencia estar´ıa compuesta de convenciones, de nombres, en las que descansa su aparente certeza. De manera que los hechos cient´ıficos son una obra artificial debida a los propios investigadores. Hoy en d´ıa este punto de vista est´a muy atenuado por la gran repercusi´on de la Tecnolog´ıa pero no exento de ciertas motivaciones. T´omese como ejemplo el neutrino, ´esta es una part´ıcula elemental que se introdujo en 1930 con el u ´nico fin de explicar una falta de energ´ıa en la desintegraci´on beta. Casi por definici´on, no ten´ıa masa (ahora se cree que puede ser insignificante) ni carga y podr´ıa recorrer distancias casi astron´omicas sin interactuar con la materia; incluso el denostado 3

´eter lum´ınico ten´ıa propiedades f´ısicas m´as tangibles. En 1953 se registro el neutrino y pas´o a ser una realidad cient´ıfica. El experimento dur´o miles de horas y lo que se midi´o realmente fue que ciertas reacciones que conjeturalmente ten´ıan lugar tras la muerte del neutrino, se produc´ıan con la probabilidad esperada. Si solamente se toma en cuenta esto, cabe preguntarse hasta qu´e punto el neutrino fue s´olo un nombre artifical para cubrir un hueco en un modelo forzando la conservaci´on de la energ´ıa. La misma cr´ıtica, y con mayor fundamento, se puede hacer ante muchos “descubrimientos definitivos” que nos presentan los diarios acerca de la Cosmolog´ıa, durante bastante tiempo una de las ´areas m´as divulgadas de la Ciencia. No hace falta ir al interior del ´atomo ni a los confines del Universo para darse cuenta de que muchas veces ante nuestras infantiles preguntas del porqu´e de las cosas, que son la base de la Ciencia, nos contentamos con poco m´as que los ni˜ nos. Por citar un ejemplo relacionado con uno de los cap´ıtulos m´as originales de [Fe-Le-Sa], consid´erese algo tan com´ un como una tormenta. Siempre se nos ha dicho que el rayo es una descarga el´ectrica. Esto es como decir que tiene relaci´on con las chispas en un cortocircuito de un enchufe casero, lo cual ya es bastante y a Franklin le dio gran prestigio cuando todav´ıa no exist´ıan los enchufes, pero muy pocos se plantean que esto lleva a infinidad de preguntas sencillas aparentemente sin respuesta, ¿por qu´e hay una diferencia de potencial entre el cielo y la tierra si est´an en contacto?, ¿por qu´e se produce la descarga s´ ubitamente?, ¿por qu´e despu´es de ´esta no se igualan los potenciales? De modo que cabe preguntarse si ha a˜ nadido m´as al conocimiento de los no expertos saber que el rayo es el´ectrico, del que a˜ nadi´o a los antiguos griegos pensar que era la manifestaci´on de Zeus tonante. La Ciencia, y la modelizaci´on que entra˜ na, trata de ir m´as all´a, y no s´olo de poner nombre a los fen´omenos, sino tratar de explicarlos desde primeras causas, en definitiva, de racionalizarlos. My mind raced And I thought what could I do (Thunder) And I knew There was no help, no help from you (Thunder) Sound of the drums Beatin’ in my heart The thunder of guns Tore me apart You’ve been - thunderstruck

4

1. Modelos de la Mec´ anica 1.1. Te diste mucha prisa El famoso problema de la braquistocrona no s´olo permite contar una bella historia que incluso es verdad, sino que estuvo en el origen de una nueva ´area de las Matem´aticas, el C´alculo de Variaciones, que m´as tarde y hasta nuestros d´ıas se revelar´ıa como fundamental para entender la Mec´anica en cualquiera de sus variantes (cl´asica, relativista, cu´antica). En este terreno las famosas palabras de Euler: “Nada tiene lugar en el mundo cuyo significado no sea el de alg´ un m´aximo o m´ınimo” [Ti] se han vuelto prof´eticas. El problema fue propuesto en 1696 por Johann Bernoulli (de los Bernoulli de toda la vida, la famosa y no muy bien avenida familia de Matem´aticos de los siglos XVII y XVIII) como un reto a la comunidad cient´ıfica. Consiste en encontrar la curva, digamos la forma del tobog´an, que une dos puntos de manera que los cuerpos, digamos humanos, que caen por ella lo hagan en el menor tiempo posible. De ah´ı lo de braquistocrona, del griego βραχυς= breve y χρoνoς= tiempo. Varios matem´aticos ilustres respondieron al reto resolvi´endolo. Entre ellos Newton, al que s´olo le llev´o unas horas (Newton ten´ıa la habilidad de humillar a sus adversarios y tambi´en la de ser un genio). De su soluci´on, publicada an´onimamente, dijo J. Bernoulli que pod´ıa reconocer “al le´on por sus garras” [Mu]. Una primera conjetura que se podr´ıa hacer es que la braquistocrona es una recta, a fin de cuentas la recta es la curva m´as corta que une dos puntos. Pero basta realizar unos c´alculos para percatarse de que los ni˜ nos se divertir´an m´as en menos tiempo con un arco curvo. De hecho ya Galileo, mucho antes de la propuesta de Bernoulli, pensaba err´oneamente que la braquistocrona era un arco de circunferencia [Ti]. La soluci´on correcta, sin embargo, es un arco de cicloide, la curva descrita por un punto en el borde de una moneda que rueda a lo largo de una regla. Concretamente es un arco que parte de uno de sus puntos picudos. O

y

x

Situemos un sistema de coordenadas en el punto de partida O, girado −π/2 con respecto a su posici´on habitual, para que la coordenada x mida la altura desde O. Como la aceleraci´on de la gravedad es g, para un cuerpo en ca´ıda libre (quitamos la curva) la √ altura en funci´on del tiempo es x = 12 gt2 y la velocidad v = gt, as´ı que v = 2gx. Por el principio de conservaci´on de la energ´ıa ( 21 mv 2 = mgx) esta u ´ltima f´ormula sigue siendo 5

cierta para un cuerpo que cae a lo largo de una curva. Por la definici´on de velocidad y la regla de la cadena s r p ¡ ¢ ¡ ¢ 1 + (y 0 (x))2 dt dx 2 dy 2 dt dt v + = 1 + (y 0 (x))2 ⇒ = = . dx dx dt dt dx 2gx Entonces el tiempo que se tarda en salvar una altura H a lo largo de cierta curva y = y(x) es

T =

Z

H 0

s

1 + (y 0 (x))2 dx. 2gx

Dados H e y(H), tenemos que buscar la funci´on y = y(x) que haga m´ınimo T .

Diccionario: • Forma del tobog´an −→ Funci´ Z Honpy = y(x) con y(0) = 0. • Tiempo de ca´ıda −→ T = (1 + (y 0 (x))2 )/(2gx) dx. 0

• Braquistocrona −→ Funci´on uniendo (0, 0) y (H, y(H)) para la que T es m´ınimo. Lo que necesitamos es una especie de m´etodo de m´aximos y m´ınimos “a lo grande” donde los puntos son sustituidos por funciones. Resulta que esto no es tan dif´ıcil como pudiera parecer al principio (si damos por supuestas la existencia y unicidad), y con el truco universal de integrar por partes se deduce del m´etodo de m´aximos y m´ınimos de C´alculo I. (Una forma alternativa de complicar las cosas siguiendo a Euler es considerar que una funci´on es un mont´on de puntos muy pr´oximos y emplear C´alculo II o C´alculo III, [La] p. 52, [Ch] p. 73). Proposici´ on 1.1 . Sea F ∈ C 2 . Si la integral I=

Z

b

F (y(x), y 0 (x), x) dx a

alcanza un extremo (m´aximo o m´ınimo) en el conjunto de funciones C 2 ([a, b]) que verifican y(a) = c, y(b) = d; entonces la funci´on para la que se alcanza dicho extremo debe satisfacer la ecuaci´on de Euler-Lagrange ¶ µ d ∂F ∂F = 0 dx ∂y ∂y 6

donde ∂F/∂y y ∂F/∂y 0 indican las derivadas con respecto a la primera y segunda variables, y se suponen evaluadas en (y(x), y 0 (x), x). Nota: El C´alculo de Variaciones es una rama de las Matem´aticas que se ocupa principalmente de calcular extremos de expresiones integrales similares a I (funcionales), en las que el integrando depende de ciertas funciones inc´ognita. Dem.: Supongamos que el extremo se alcanza para y = y0 (x), y sea η ∈ C ∞ con η(a) = η(b) = 0 arbitraria. Entonces la funci´on f : R −→ R definida mediante f (²) =

Z

b a

F (y0 (x) + ²η(x), y00 (x) + ²η 0 (x), x) dx

debe alcanzar un extremo en ² = 0. Por consiguiente 0

0 = f (0) =

Z

b a

µ

¶ ∂F ∂F 0 η + 0η . ∂y ∂y

Integrando por partes el segundo sumando del integrando, se deduce

0=

Z

b a

µ

¶¶ µ d ∂F ∂F η. − ∂y dx ∂y 0

Como η es una funci´on C ∞ arbitraria salvo porque se anula en los extremos, la u ´nica posibilidad es que el otro factor sea nulo. En el caso de la braquistocrona, si cerramos los ojos ante la singularidad en x = 0 y confiamos en que es parte del enunciado que la funci´on y en la que se alcanza el p m´ınimo sea regular, podemos aplicar la proposici´on anterior con F = (1 + (y 0 )2 )/(2gx). Evidentemente ∂F/∂y = 0 y µ ¶ ∂F y0 d ∂F ∂F p = cte. ⇒ = cte ⇒ = dx ∂y 0 ∂y ∂y 0 2gx(1 + y 02 )

Esta constante s´olo se anula en el caso de ca´ıda libre que no consideramos. Escrib´amosla √ por conveniencia como 1/ 4gC, entonces la ecuaci´on anterior, despu´es de despejar, es 0

y = Por tanto basta calcular la integral de

√

r

x . 2C − x

√ x/ 2C − x. Uno puede conseguirlo con sus propias 7

manos, con esfuerzo, llevando a cabo algunos cambios de variable, o con menos esfuerzo utiliz´andolas para coger el pesado tomo [Gr-Ry] (v´ease 2.225.2 con x = 1/t), pero es m´as conveniente para presentar la soluci´on efectuar un solo cambio de variable llovido del cielo dado por x = C(1 − cos u). Con ´el la integral se transforma en C

Z

sen u

r

1 − cos u du = C 1 + cos u

Z

sen u

r

(1 − cos u)2 du = C 1 − cos2 u

Z

(1−cos u) du = C(u−sen u).

De este modo, la braquistocrona en forma param´etrica responde a la ecuaci´on de la cicloide (1.1)

x = C(1 − cos u),

y = C(u − sen u).

La constante C se ajusta de forma que para x = H, y tome el valor y(H) especificado. El problema que plantea la singularidad en x = 0 no es relevante porque siempre en la demostraci´on de la proposici´on se puede imponer que la funci´on η tienda a cero en los extremos tan r´apido como se desee “matando” la singularidad. Cuando u var´ıa en [0, 2π], la x decrece en la segunda mitad del intervalo y por tanto no define una funci´on (univaluada) y = y(x). πC

2 πC

y

u =2 π u =π

2C x

El punto de retroceso corresponde a x = 2C, y = πC. De modo que para condiciones iniciales con y(H) > πH/2 el tobog´an dado por la braquistocrona se comba hacia arriba, lo cual no es muy intuitivo: todos dir´ıamos que para ir r´apido por un tobog´an siempre deber´ıamos bajar. Si y no es una funci´on de x el razonamiento antes empleado para deducir la ecuaci´on (1.1) a trav´es de la proposici´on no tiene sentido, pero todo vuelve a funcionar buscando ahora una soluci´on en la que los nombres de los ejes est´en intercambiados. Ep´ılogo: Al igual que en el c´alculo de una variable existe un criterio de la derivada segunda, en el C´alculo de Variaciones existe la llamada segunda variaci´on para detectar si algo es un m´aximo o un m´ınimo [La], [Du-Fo-No] §36. Pero se muestra mucho menos eficiente que en C´alculo I. La dificultad es esencialmente topol´ogica: es mucho m´as dif´ıcil trabajar con espacios de dimensi´on infinita, los de funciones, que con los n´ umeros reales. Incluso teoremas tan naturales como los “tres teoremas fuertes” de [Sp], pueden ser complicad´ısimos o incluso falsos. 8

Ejercicios Rb 1) Sin mirar la teor´ıa: a) Deducir la ecuaci´on de Euler-Lagrange para a F (y, y 0 , x) dx. b) Obtener la f´ormula que da el tiempo de ca´ıda en funci´on de la forma del tobog´an. 2) Probar que la cicloide x = C(1 − cos u), y = C(u − sen u), corresponde a la curva descrita por un punto en el borde de una moneda que rueda a lo largo de una regla situada en el eje Y . ¿De qu´e radio es la moneda? 3) En la Luna (gravedad menor) o en J´ upiter (gravedad mayor), ¿tiene una forma diferente la braquistocrona que en la Tierra? ¿Es el tiempo de ca´ıda igual? 4) Escribir la ecuaci´on de Euler-Lagrange correspondiente al problema de C´alculo de Variaciones que se deriva de “La l´ınea m´as corta uniendo dos puntos es la l´ınea recta”. 5) Suponiendo que el problema tiene una soluci´on C 2 , hallar la funci´on y = y(x) con R1 R1 y(−1) = y(1) = 0 para la que −1 (y 0 )2 + 4 −1 y es m´ınimo. Utilizar el resultado para probar que bajo condiciones de regularidad adecuadas, Z 1 Z 1 8 0 2 u≥− . (u ) + 4 u(−1) = u(1) = 0 ⇒ 3 −1 −1 6) Un animal se mueve en un terreno pantanoso que es m´as denso a mayor profundidad, de forma que la velocidad que desarrolla es proporcional a la altura sobre el fondo. Probar que para ir de un punto a otro en menor tiempo debe seguir un arco de circunferencia. (Sup´ongase que el problema tiene soluci´on C 2 ). 7) Hallar la integral y la ecuaci´on diferencial correspondiente, cuando en el problema de la braquistocrona se considera x = x(y). 8) La desigualdad de Wirtinger afirma que para cualquier f ∈ C 1 ([a, b]) con f (a) = Rb Rb f (b) = 0 se cumple a f 2 ≤ π −2 (b − a)2 a (f 0 )2 . Demostrar que la constante π −2 (b − a)2 es ´optima, no se puede reducir conservando la desigualdad. 9) Una part´ıcula de masa 2 que se mueve por velocidad 1 y al cabo de un segundo tiene velocidad energ´ıa potencial en cada punto x es x(x − 1), y que el la integral de la energ´ıa total, cin´etica m´as potencial, movimiento.

la recta real parte en t = 0 con 0, deteni´endose. Sabiendo que su movimiento se realiza de modo que es m´ınima; calcular la ecuaci´on de

10) Probar que si a < 0 < b, A 6= B y n ≥ 1, entonces

extremo entre las funciones y ∈ C 2 con y(a) = A, y(b) = B.

Rb a

xn (y 0 )2 dx no alcanza un

11) En C 1 ([0, 1]) se tiene la norma natural kyk = sup |y(x)| + sup |y 0 (x)|. Probar que R1 2 I = 0 y (1 − (y 0 )2 ) con y ∈ C 1 , y(0) = y(1) = 0, alcanza un m´ınimo relativo en y ≡ 0, en el sentido de que en el entorno {y ∈ C 1 : kyk < 1}, el m´ınimo de I se alcanza en ella. Demostrar, sin embargo, que I no tiene m´ınimo (absoluto), ya que inf y∈C 1 I = −∞. 9

´ n 1.1 Seccio

Trabajos sugeridos a s´ olo 3 centauros (el precio de esta fotocopia) De la secci´on: ◦ Historia del C´alculo de Variaciones (la contribuci´on de cada autor y problemas de la F´ısica-Matem´atica de los que surgi´o). ◦ Formulaci´on de las ecuaciones b´asicas de la relatividad general a partir del C´alculo de Variaciones (s´olo aconsejable si se tienen conocimientos s´olidos de Geometr´ıa).

Generales: ◦ Algoritmos de ordenaci´on y b´ usqueda y sus aplicaciones. ◦ El ´atomo de hidr´ogeno.

Y por el mismo precio, las palabras del sabio: La historia lo prueba; la f´ısica no solamente nos ha obligado a elegir entre los problemas que se presentaban en tropel; nos ha informado de problemas en los cuales, sin ella, nunca habr´ıamos pensado. [Po] p. 99.

10

1.2. M´ as sencillo Uno de los primeros ejemplos del curso de F´ısica para Matem´aticos seguramente fue el p´endulo simple [Al-Fi] §12.5. Se ten´ıa una part´ıcula de masa m que oscilaba unida a una varilla (supuesta inextensible, r´ıgida de masa cero) y hab´ıa que aplicar como siempre F~ = m~a. En principio ~a = ~r 00 (t) con ~r(t) = (x(t), y(t)), el vector de posici´on de la part´ıcula, y F~ = (0, −mg), el peso. Pero esto no da resultado porque la part´ıcula est´a ligada a moverse en x2 + y 2 =cte. Los libros de F´ısica introducen una fuerza de tensi´on que compensa la componente normal del peso, lo que indica que la part´ıcula no se puede mover a lo largo de la varilla. Al final, hacen desaparecer x e y escribiendo todo en funci´on del ´angulo. A los principiantes las tensiones les suelen parecer en este y otros problemas unas fuerzas fantasmag´oricas que nunca se ven y que s´olo se introducen como un truco para eliminar las componentes normales.

Tension

C

Fuerza Efectiva Peso

La aparici´on de las tensiones se debe a que tratamos con dos coordenadas (x, y) un problema que es intr´ınsecamente unidimensional porque x2 + y 2 =cte. En general, supongamos que tenemos en R3 una part´ıcula ligada a una curva C, es decir, una cuenta de collar ensartada en un alambre curvo. Aunque el vector de posici´on tenga tres coordenadas est´a claro que con un solo par´ametro q, por ejemplo la longitud de arco, se describe la posici´on de la part´ıcula ~r = (x(q), y(q), z(q)). Si estudiamos c´omo var´ıa q en funci´on del tiempo, q = q(t), sabremos todo acerca del comportamiento mec´anico. Digamos que la fuerza es conservativa, esto es F~ = −∇V con V s´olo dependiendo de la posici´on. Como antes, lo que tenemos que hacer es quedarnos s´olo con la parte tangencial a C de la ecuaci´on F~ = m~a. Al ser d~r/dq un vector tangente a C, se tiene: d~r d~r Proyec. de m~r 00 en la tang.= Proyec. de F~ en la tang. ⇔ m~r 00 · = −∇V · dq dq (donde aqu´ı y en lo sucesivo, prima o doble prima en ~r indican derivadas con respecto del tiempo). Esto se puede escribir de una forma m´as retorcida pero equivalente, como d~r ¢ d ¡ d~r ¢ dV d¡ . m~r 0 · = m~r 0 − dt dq dt dq dq Ya que V (q) = V (~r(q)) ⇒ dV /dq = ∇V ·d~r/dq. (V´ease [Sp] p. 236 y [Ch] p. 12 para comen11

tarios acerca del abuso de notaci´on cometido). Considerando ~r 0 (t) = (x0 (q), y 0 (q), z 0 (q))q 0 = r on de dos variables, q y q 0 , se puede retorcer todav´ıa m´as la ecuaci´on anq 0 d~ dq como funci´ terior a ∂~r 0 ∂~r 0 ¢ dV d¡ m~r 0 · 0 = m~r 0 · − . dt ∂q ∂q dq Definiendo el lagrangiano L = T − V donde T es la energ´ıa cin´etica 21 m~r 0 · ~r 0 en funci´on de q y q 0 , la u ´ltima ecuaci´on se escribe como (recu´erdese que V s´olo depende de q) ¶ µ ∂L d ∂L . = 0 dt ∂q ∂q R Seg´ un hab´ıamos visto en la secci´on anterior esto equivale a que la integral L dt alcance un valor estacionario (m´as adelante definiremos exactamente este t´ermino). Es como si la part´ıcula para ir de un punto a otro pensara primero todas las posibles formas de ir, calculase las integrales del lagrangiano, y escogiese la que corresponde al valor estacionario (no es extra˜ no que algunos precursores de este tipo de m´etodos les dieran un sentido filos´ofico o metaf´ısico [La]). El Principio de Hamilton [Co-Hi] afirma que esto es una ley fundamental general que funciona con ligaduras m´as complicadas en el movimiento o con m´as part´ıculas, considerando L como la diferencia de las energ´ıas cin´etica y potencial totales. Todo lo que se pide es que las coordenadas est´en ligadas por ecuaciones que definan subvariedades que podamos parametrizar con algunos par´ametros q 1 , . . . , qk . En este caso, en Mec´anica se dice que las ligaduras son hol´onomas y que el sistema tiene k grados de libertad [Go]. Principio de Hamilton: El movimiento de un sistema mec´anico descrito por los par´ametros q1 , q2 , . . . , qk se lleva a cabo entre los instantes t0 y t1 de tal modo que la integral Z t1 J= L dt t0

es estacionaria entre todas las posibles funciones qi con qi (t0 ) y qi (t1 ) fijos.

Nota: El significado exacto de estacionario es que al cambiar q i por qi + ²i ηi , donde ηi es una funci´on regular que se anula en t0 y t1 , la funci´on J(²1 , ²2 , . . . , ²k ) sea estacionaria en el origen, esto es, ∇J(~0) = ~0. Para abreviar se suele escribir δJ = 0.

Diccionario: • Movimiento de sistemas mec´anicos −→ Funciones q1 , q2 , . . . , qk tales que δJ = 0. 12

Para que el Principio de Hamilton sea efectivo debemos encontrar las ecuaciones de Euler-Lagrange que le corresponden. El gran avance es que en ellas s´olo aparecer´an las funciones qi que nosotros hayamos elegido al parametrizar el sistema. Teorema 1.2 . Sea L funci´on C 2 de 2k + 1 variables. La integral Z una t1 L(q1 (t), . . . , qk (t), q10 (t), . . . , qk0 (t), t) dt J= t0

es estacionaria para ciertas funciones qi ∈ C 2 ([t0 , t1 ]) con extremos prefijados, si y s´olo si satisfacen las ecuaciones de Euler Lagrange µ ¶ ∂L d ∂L = 0 dt ∂qi ∂qi

i = 1, 2, . . . , k.

Dem.: Todo lo que hay que hacer es adaptar la prueba para el caso unidimensional utilizada en el problema de la braquistocrona. As´ı pues, para η i funciones regulares que se anulen en los extremos, se define Z t1

J(²1 , ²2 , . . . , ²k ) = Al imponer ∇J(~0) = ~0, se tiene

t0

L(q1 (t) + ²1 η1 (t), . . . , qk0 (t) + ²1 ηk0 (t), t) dt.

∂J 0= = ∂xi

Z

t1 µ

t0

¶ ∂L 0 ∂L ηi + 0 ηi dt. ∂qi ∂qi

d Integrando por partes el segundo sumando se transforma en −ηi dt (∂L/∂qi0 ) y se siguen las ecuaciones del enunciado.

Por ejemplo, si en el p´endulo simple elegimos como coordenada el ´angulo θ con la vertical entonces L = T − V = 21 m((x0 )2 + (y 0 )2 ) − mgy = 12 ml2 (θ0 )2 + mgl cos θ, y las ecuaciones de Euler-Lagrange se reducen a la bien conocida del p´endulo θ 00 + gl sen θ = 0. y

y x

θ

x

l

θ1

l m

m l θ2

m

Si unimos a este p´endulo otro similar (p´endulo doble), hay dos grados de libertad que 13

pueden representarse con los dos ´angulos θ1 y θ2 con las verticales. En este caso el lagrangiano se complica pero conceptualmente es mucho m´as sencillo que tratar de aplicar directamente F~ = m~a: 1 1 L = T − V = m((x01 )2 + (y10 )2 ) + m((x02 )2 + (y20 )2 ) − mgy1 − mgy2 2 2 1 =ml2 ((θ10 )2 + (θ20 )2 + θ10 θ20 cos(θ1 − θ2 )) + mgl(2 cos θ1 + cos θ2 ). 2 Hay diversas variantes del teorema anterior. Por ejemplo, si se permite que L pueda depender de las derivadas de qi de hasta orden m, es f´acil ver que las ecuaciones de EulerLagrange pasan a ser µ ¶ ¶ µ µ ¶ l d2 ∂L ∂L ∂L d ∂L l+1 d − 2 + . . . + (−1) . = 0 00 dt ∂qi dt ∂qi dtl ∂q (l) ∂qi i

R R Si se buscan valores estacionarios de L condicionados a que M =cte, el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange estudiado en C´alculo II o C´alculo III se puede incorporar a la demostraci´on anterior. Con ello se prueba que el u ´nico cambio en las ecuaciones de Euler-Lagrange correspondientes es que hay que reemplazar L por L − λM (v´ease [La]). Otra variante que tiene un inter´es capital tanto te´orico como pr´actico es el caso en que las funciones inc´ognitas dependen de varias variables. En este caso en las ecuaciones de EulerLagrange hay que contabilizar las derivadas con respecto a todas las derivadas parciales. Con ello se establece una equivalencia en algunos casos de inter´es entre ecuaciones en derivadas parciales y problemas de extremos. Por ejemplo, calcular la soluci´on de ∆u = f R en Ω con u = 0 en la frontera es lo mismo que calcular el m´ınimo de Ω k∇uk2 + 2f u. El m´etodo de elementos finitos de C´alculo Num´erico II aprovecha de esta relaci´on buscando m´ınimos aproximados escribiendo u como combinaci´on lineal de funciones sencillas [StBu] §7.7, por ejemplo lineales a trozos. Con el desarrollo de los ordenadores, ´este m´etodo se ha mostrado fundamental en ingenier´ıa. Si una part´ıcula est´a ligada a moverse en una superficie S sin verse sometida a ning´ un campo de fuerzas externas, V = 0, el lagrangiano es L = 21 mkγ 0 (t)k2 donde γ, con Im γ ⊂ S, es la curva que representa la trayectoria de la part´ıcula. El Principio de Hamilton R requiere que el valor de la “energ´ıa” kγ 0 (t)k2 dt sea estacionario. A continuaci´on veremos que minimizar la energ´ıa implica minimizar la longitud. Esta u ´ltima propiedad caracteriza localmente a las geod´esicas. Por ello no es sorprendente que estas viejas amigas nuestras de la Geometr´ıa II coincidan con las trayectorias de las part´ıculas en S. Proposici´ on 1.3 . Sea S ⊂ R3 una superficie regular y p, q ∈ S. Si γ : [0, 1] −→ R3 14

R1 es una curva regular incluida en S con γ(0) = p, γ(1) = q tal que 0 kγ 0 (t)k2 dt es m´ınima entre todas las curvas de este tipo, entonces kγ 0 k es constante y γ tambi´en tiene longitud m´ınima. Dem.: Localmente la superficie vendr´a dada por una parametrizaci´on X(u 1 , u2 ) y la curva γ corresponde a cierta dependencia u1 = u1 (t), u2 = u2 (t). Con lo cual P kγ 0 (t)k2 = gij u0i (t)u0j (t). Estos gij = gij (u1 , u2 ) son los coeficientes de la primera forma fundamental [Do]. Llamando L a este sumatorio, un c´alculo prueba que u01

(1.2)

∂L ∂L + u02 0 − L = L. 0 ∂u1 ∂u2

Si γ tiene la propiedad minimizante del enunciado, por las ecuaciones de Euler-Lagrange d 0 i . Al derivar con respecto de t el primer miembro de (1.2), condt (∂L/∂ui ) = ∂L/∂u ¡ ¢ siderando L = L u1 (t), u2 (t), u01 (t), u02 (t) ; se obtiene: u001

¶ ¶ µ µ d ∂L ∂L ∂L 0 d 00 ∂L 0 d + u1 + u2 0 + u2 − L 0 0 0 ∂u1 dt ∂u1 ∂u2 dt ∂u2 dt

que se anula al transformar el segundo y el cuarto sumandos con las ecuaciones de EulerLagrange y aplicar la regla de la cadena a dL/dt. De modo que (1.2) implica que kγ 0 (t)k2 es constante en el tiempo. Digamos kγ 0 (t)k = E. R1 La longitud de γ es 0 kγ 0 (t)k dt = E. Si no fuera m´ınima existir´ıa otra curva λ(t) R1 e < E. Quiz´a reparametrizando (tomando t proporconectando p y q con 0 kλ0 (t)k dt = E cional a la longitud de arco), se puede suponer que kλ0 (t)k es constante y por tanto que e De aqu´ı vale E. Z

1

e2 < E 2 = kλ (t)k dt = E 0

0

2

Z

1

0

kγ 0 (t)k2 dt,

lo que contradice la propiedad minimizante de γ.

Un resultado como ´este tiende un puente entre la Mec´anica y la Geometr´ıa. Incluso bajo la presencia de un potencial los movimientos de una part´ıcula se pueden identificar con geod´esicas en ciertas subvariedades [Du-Fo-No] §33.3.

Ep´ılogo: En el campo gravitatorio resulta que todas las part´ıculas de prueba sufren la misma aceleraci´on, independientemente de su masa, cuando son atra´ıdas por una masa mucho mayor. Si la geod´esica que sigue una part´ıcula no depende de su masa, se puede entender la gravitaci´on como algo puramente geom´etrico, una curvatura universal del espacio que hace que las geod´esicas no sean rectas. Para ser coherente con la concepci´on 15

de Minkowski del espacio y el tiempo dentro de un mismo continuo, la curvatura tambi´en ´ debe afectar al tiempo. Estos son a grandes rasgos los puntos de partida de la relatividad general. Lo m´as complejo de esta teor´ıa es la dif´ıcil ecuaci´on que relaciona la curvatura con la masa. Dicho sea de paso, Einstein lleg´o a ella con mucho esfuerzo de forma no muy sistem´atica, tanteando diversas posibilidades; mientras que D. Hilbert (que public´o su resultado unos d´ıas antes que el propio Einstein) dedujo esta ecuaci´on b´asica de la relatividad general con t´ecnicas de C´alculo de Variaciones, como un teorema a partir del postulado f´ısico de que esencialmente el espacio-tiempo trata de curvarse lo menos posible [Du-Fo-No] §39.

16

Ejercicios 1) Sin mirar la teor´ıa: a) Enunciar el Principio de Hamilton y explicar sus ventajas. b) Escribir las ecuaciones de Euler-Lagrange. 2) Utilizando el Principio de Hamilton, estudiar el movimiento de una part´ıcula que cae por un plano inclinado. 3) Hallar las ecuaciones de Euler-Lagrange y resolverlas, para el sistema formado por dos masas m1 y m2 que cuelgan, una a cada lado, de una polea de masa despreciable, por medio de una cuerda inextensible de longitud L. 4) De entre todas las gr´aficas de longitud π de funciones pares positivas conectando (−1, 0) y (1, 0), hallar la que limita ´area m´axima con el eje X. (Se supone que hay una funci´on f ∈ C 2 ((−1, 1)) de la que proviene la gr´afica). 5) Hallar el n´ umero de grados de libertad y el lagrangiano para el sistema formado por dos part´ıculas que se mueven dentro del paraboloide z = x2 + y 2 + 1 sin que act´ ue ning´ un potencial. 6) Se dice que qi es una variable ignorable si no aparece expl´ıcitamente en el lagrangiano. Este caso es muy interesante f´ısicamente porque conduce a una cantidad que se conserva a lo largo del movimiento del sistema. Explicar c´omo. 7) Empleando coordenadas polares, escribir las ecuaciones de Euler-Lagrange correspondientes a una part´ıcula que se mueve en el plano suponiendo la energ´ıa potencial gravitatoria −GM m/r debida una masa M fija en el origen. 8) Pru´ebese que en el problema anterior se cumple la segunda ley de Kepler: “El vector de posici´on de la part´ıcula barre ´areas iguales en tiempos iguales”. 9) En la relatividad especial el lagrangiano correspondiente a una part´ıcula libre, p con V = 0, es L = mc c2 (t0 )2 − (x0 )2 − (y 0 )2 − (z 0 )2 donde x, y, z, t (que ahora son q1 , q2 , q3 , q4 ) dependen de lo que se llama el tiempo propio τ , que es el tiempo medido por un observador que viaja con la part´ıcula. Probar que las part´ıculas libres se mueven describiendo rectas. Explicar qu´e relaci´on guarda L con la famos´ısima f´ormula E = mc 2 para part´ıculas en reposo. 10) Sea γ ∈ C 2 la curva en la esfera unidad S 2 que conecta (0, 0, 1) y (1, 0, 0) miniR1 mizando la “energ´ıa” 0 kγ 0 (t)k2 dt. Hallar su ecuaci´on. R1 R1 11) Hallar el polinomio de grado 2 con P (0) = 0, P (1) = 1, para el que 0 (P 0 )2 + 0 P 2 es m´ınimo. Escribiendo u(x, y) = u1 (x)u2 (y), hallar la soluci´on de −∆u + 2u = 0 en Q = [0, 1] × [0, 1] satisfaciendo u(x, y) = u(y, x) en la frontera de Q y u(0, 0) = 0, u(1, 1) = 1. Comprobar num´ericamente que u(x, y) ≈ P (x)P (y) y dar razones para ello.

17

´ n 1.2 Seccio

Trabajos sugeridos a s´ olo 3 centauros (el precio de esta fotocopia) De la secci´on: ◦ Principios variacionales en Mec´anica y sus aplicaciones. ◦ Elementos finitos en ingenier´ıa. ◦ El teorema de Noether en Mec´anica y Teor´ıa de Campos. ◦ Mec´anica Celeste. Generales: ◦ Aplicaciones de la Teor´ıa de Grafos. ◦ Grupos cristalogr´aficos planos (mosaicos de la Alhambra).

Y por el mismo precio, las palabras del sabio: Supongamos un sistema formado por n puntos materiales, visibles o no; esto har´ a en total 3n coordenadas; consider´ emoslas como las coordenadas de un punto u ´nico en un espacio de 3n dimensiones. En virtud de las ligaduras de que acabamos de hablar, este punto u ´nico estar´ıa sujeto a permanecer sobre una superficie de un n´ umero cualquiera de dimensiones < 3n; para ir de un punto a otro, sobre esta superficie, se tomar´ıa siempre el camino m´ as corto; ese ser´ıa el principio u ´nico que resumir´ıa toda la mec´ anica Cualquier cosa que se piense de esta hip´ otesis, que nos seduzca por su simplicidad o nos choque por su car´ acter artificial, el solo hecho de que Hertz haya podido concebirla y considerarla como m´ as c´ omoda que nuestras hip´ otesis habituales, basta para probar que nuestras ideas ordinarias y, en particular, las tres dimensiones del espacio, de ning´ un modo se imponen al mec´ anico con una fuerza invencible. [Po] p. 85, 86.

18

1.3. Bailando al aire Si tomamos un ortoedro homog´eneo (algo con forma de ladrillo) tal que las tres aristas que confluyen en cada v´ertice tengan longitudes bien distintas podemos observar un curioso fen´omeno. Al lanzarlo al aire imprimi´endole un giro de eje vertical, el ortoedro se “dejar´a girar” cuando el eje sea paralelo a la arista mayor o a la menor, pero no cuando lo sea a la intermedia sin presentar grandes cabeceos. Incluso con la caja de una cinta de v´ıdeo se puede observar el fen´omeno (aunque no es la mejor forma de hacerlo). Para hallar las ecuaciones que rigen el cabeceo de un s´olido r´ıgido que gira es necesario enunciar una de las leyes fundamentales en Mec´anica: la ley de conservaci´on del momento angular, la cual, parad´ojicamente, indica a grandes rasgos la tendencia que tienen los sistemas a mantener un eje de rotaci´on fijo. Para una part´ıcula de masa m describiendo una trayectoria ~r = (x(t), y(t), z(t)) con velocidad ~v = d~r/dt, el momento angular se define en cada instante t como ~ = m~r × ~v . L

Si la part´ıcula gira en movimiento circular alrededor de un eje que pasa por el origen, se llama velocidad angular ω ~ al vector en la direcci´on de este eje (con sentido compatible con el de giro) y cuyo m´odulo es la variaci´on del ´angulo en funci´on del tiempo, dθ/dt. Su relaci´on con la velocidad de la part´ıcula es d~r =ω ~ × ~r). (1.3) ~v = ω ~ × ~r (es decir dt L

ω

v

L r

r ω

v

~ = m~r × (~ Al sustituir se tiene L ω × ~r) y despu´es de desarrollar el doble producto vectorial con ~r = (x, y, z) se puede escribir

~ = mM~ L ω

donde



y2 + z2 M =  −xy −xz

−xy 2 x + z2 −yz

 −xz −yz  2 x + y2

~ no se Evidentemente en un movimiento circular de una part´ıcula como el descrito, L conserva a no ser que el origen est´e en el plano de rotaci´on, lo cual est´a relacionado f´ısicamente con el hecho de que al hacer girar una pelota unida a una cuerda como una honda, podemos hacer que la cuerda genere un c´ırculo, pero no un cono. En un s´olido r´ıgido que rota, el momento angular se define como la “suma” de los 19

momentos angulares que lo componen, es decir Z ~ = I~ L ω con I = ρM dxdydz

donde ρ = dm/dVol es la densidad, y la integral de M se realiza componente a componente. Es posible probar que la matriz I es definida positiva. La ley de conservaci´on del momento angular es una sencilla consecuencia del equilibrio de fuerzas en un sistema de part´ıculas que pueden interactuar dos a dos en la direcci´on de la recta que las une (v´ease [Al-Fi] ~ no §9.4, [Ru] p. 18). Implica que para un s´olido r´ıgido en ausencia de fuerzas externas L var´ıa. Es decir ~ dL = ~0 (conservaci´on del momento angular). (1.4) dt Sobre la superficie terrestre no es f´acil deshacerse de la fuerza externa F~ dada por la gravedad que se aplica en el centro de masas situado en ~r0 y (1.4) debe modificarse reemplazando el segundo miembro por ~r0 × F~ [Al-Fi] §9.4, con lo que el eje de giro var´ıa en general (lo que plantea cierto problema al definir ω ~ como variaci´on del ´angulo [Go] §1.2, §4.8). Esto queda ilustrado a grandes rasgos en el movimiento de una peonza [Al-Fi] §10.6. Cuando su eje se ha inclinado un poco por las fuerzas de rozamiento, deja de estar fijo adquiriendo un movimiento rotatorio alrededor de la vertical, llamado precesi´on, debido al t´ermino ~r0 × F~ . Si lanzamos verticalmente un s´olido r´ıgido que rota libremente entonces ~r0 y F~ son paralelos con lo que (1.4) es v´alida. Fijando un sistema de referencia unido r´ıgidamente al s´olido, digamos situado en el centro de gravedad, se tiene que I es una matriz constante, llamada tensor de inercia, (lo de “tensor” indica c´omo cambia al transformar el sistema de referencia). Para el ejemplo de un ortoedro homog´eneo de masa M y dimensiones a × b × c, a > b > c, y unos ejes de coordenadas en la direcci´on de las aristas, situados en el centro del ortoedro, el tensor de inercia es una matriz diagonal, por la simetr´ıa. Su primer R c/2 R b/2 R a/2 2 M (y + z 2 ) dxdydz = (b2 + c2 )M/12, y permutando las elemento es I1 = abc −c/2 −b/2 −a/2 variables, se tiene que los otros dos no nulos son I2 = (a2 + c2 )M/12, I3 = (a2 + b2 )M/12. Nuestro objetivo es utilizar las ecuaciones que describen ω ~ en un sistema de referencia pegado al s´olido para estudiar c´omo cabecea al girar. La existencia del cabeceo, que parece contradecir la conservaci´on del momento angular, es f´acil de intuir din´amicamente pensando en una regla rectangular clavada por su centro oblicuamente a una varilla que gira.

F. centr.

F. centr.

F. centr.

F. centr.

20

La fuerza centr´ıfuga crea un par que trata de poner la regla horizontal dando lugar a oscilaciones arm´onicas simples. Para escribir el modelo matem´atico, n´otese que una base ortonormal B = {~u 1 , ~u2 , ~u3 }, que suponemos positivamente orientada, debe cumplir, seg´ un (1.3), d~u i /dt = ω ~ × ~ui si est´a pegada al s´olido (consid´erese la velocidad de una part´ıcula en la punta de ~u i o enti´endase esto como la definici´on de la velocidad angular). Lo que vamos a hacer es cambiar de base la ecuaci´on (1.4) con un poco de ingenio para que el resultado sea manejable. Aunque la elecci´on de un sistema adecuado de coordenadas sugiere un acercamiento lagrangiano (que es posible, [Ge]), aqu´ı seguiremos un camino m´as directo.

Diccionario: • Sistema de referencia ligado al s´olido −→ Base ortonormal B = {~u 1 , ~u2 , ~u3 } orientada positivamente con d~ui /dt = ω ~ × ~ui . • Eje de giro −→ Direcci´on del vector ω ~. ~ = I~ • Momento angular −→ L ω con I definida positiva y constante en B. ~ • Conservaci´on del momento angular −→ dL/dt = ~0 en la base can´onica. ´ Un conocido teorema de Algebra Lineal asegura que una matriz definida positiva se diagonaliza con un cambio ortogononal. En consecuencia es posible orientar los ejes definidos por los vectores de B conservando sus propiedades y de manera que I sea diagonal y por tanto Li = Ii ωi , i = 1, 2, 3, para ciertos Ii > 0, donde Li y ωi son las coordenadas de ~ yω L ~ en la base B. Quiz´a reordenando los vectores de la base y cambi´andolos de sentido se puede suponer I1 ≤ I2 ≤ I3 sin perder la orientaci´on positiva. Proposici´ on 1.4 . Sea B = {~u1 , ~u2 , ~u3 } una base ortonormal positivamente orientada con ~ui = ~ui (t) y tal que d~ui /dt = ω ~ ×~ui para cierto vector (variable) ω ~ = ω1 ~u1 +ω2 ~u2 +ω3 ~u3 . ~ ~ Sea L = I1 ω1 ~u1 + I2 ω2 ~u2 + I3 ω3 ~u3 con I1 , I2 , I3 constantes positivas. Entonces dL/dt = ~0 si y s´olo si  I ω 0 = (I2 − I3 )ω2 ω3   1 1 (1.5) I2 ω20 = (I3 − I1 )ω3 ω1   I3 ω30 = (I1 − I2 )ω1 ω2 ~ y la regla del producto Dem.: Por la definici´on de L Xd X ~ dL = (Ii ωi ~ui ) = (Ii ωi0 ~ui + Ii ωi (~ ω × ~ui )). dt dt Sustituyendo ω ~ = ω1 ~u1 + ω2 ~u2 + ω3 ~u3 . y empleando ~u1 × ~u2 = ~u3 , ~u2 × ~u3 = ~u1 , etc. por 21

Fernando Chamizo.

´ n II Modelizacio

ser base ortonormal positivamente orientada, la ecuaci´on i-´esima de (1.5) se deduce de la anulaci´on del coeficiente de ~ui . Incluso sin resolver expl´ıcitamente (1.5) es posible conocer el aspecto de las trayectorias. Lo cual desde el punto de vista f´ısico es natural por la conservaci´on de la energ´ıa. Proposici´ on 1.5 . Cualquier trayectoria de una soluci´on no nula (ω1 , ω2 , ω3 ) de (1.5) pertenece a la intersecci´on de los elipsoides I12 x2 + I22 y 2 + I32 z 2 = C,

I1 x2 + I2 y 2 + I3 z 2 = K,

para ciertas constantes C, K > 0. Dem.: La derivada de I12 ω12 + I22 ω22 + I32 ω32 es 2I12 ω1 ω10 + 2I22 ω2 ω20 + 2I32 ω3 ω30 . Sustituyendo Ii ωi0 empleando (1.5), se llega a 2I1 (I2 − I3 )ω1 ω2 ω3 + 2I2 (I3 − I1 )ω1 ω2 ω3 + 2I3 (I1 − I2 )ω1 ω2 ω3 = 0.

La derivada de I1 ω12 + I2 ω22 + I3 ω32 da el mismo resultado sin los coeficientes Ii frente a los par´entesis, por lo que tambi´en se anula. Supongamos que I1 , I2 e I3 son distintos. La intersecci´on de estos elipsoides es t´ıpicamente una curva (llamada polhode [Al-Fi] p. 310) pero si C = I i K se reduce a un punto (y su sim´etrico) en el i-´esimo eje de coordenadas. Esto corresponde a las soluciones obvias ω ~ = (cte, 0, 0), (0, cte, 0), (0, 0, cte). Es decir, que justamente al girar por los ejes de B, llamados ejes principales, ni el observador exterior que usa la base can´onica ni el que est´a subido al s´olido que usa B, notar´an ninguna variaci´on del momento angular. Estas soluciones corresponden a puntos cr´ıticos del sistema aut´onomo (1.5). Uno de ellos es inestable y peque˜ nas perturbaciones iniciales provocar´an a la larga grandes variaciones. Seg´ un la proposici´on anterior, todo lo que tenemos que hacer para entender las trayectorias es hacer la intersecci´on de dos elipsoides, y la estabilidad est´a incluida en el siguiente lema geom´etrico. Es un buen reto de percepci´on espacial tratar de visualizarlo. Recu´erdese que el di´ametro de un subconjunto de R3 es la m´axima distancia entre cada par de sus elementos. Por convenio tomamos diam6 o = 0. Lema 1.6 . Sea EC y EK los elipsoides de la proposici´on anterior con 0 < I1 < I2 < I3 y K > 0 fijados, y consideremos su intersecci´on positiva AC,K = EC ∩ EK ∩ {x, y, z ≥ 0}. Entonces limC→Ii K diam AC,K = 0 ⇔ i = 1, 3.

Dem.: Si i = 1, multiplicando la ecuaci´on de EK por I1 y restando la de EC , se tiene I2 (I2 − I1 )y 2 + I3 (I3 − I1 )z 2 = C − I1 K. Como I2 − I1 , I3 − I1 > 0, al tomar l´ımites se sigue y = z = 0 (es una elipse cada vez menor) y AC,K “tiende” a ser el punto p ( K/I1 , 0, 0). El caso i = 3 es an´alogo. Si i = 2, sea C = I2 K +² con ² > 0 suficientemente peque˜ no y sean P = AC,K ∩ {x = 0} y Q = AC,K ∩ {y = 0}. Es f´acil ver que P y Q p son no vac´ıos y se reducen a un punto. Adem´as lim²→0 P = (0, K/I2 , 0), de modo que p diam AC,K ≥ d(P, Q) ≥ K/I2 . 22

Ejercicios 1) Sin mirar la teor´ıa: a) Enunciar y explicar la ley de conservaci´on del momento angular. b) Definir el tensor de inercia. 2) Explicar matem´aticamente por qu´e para cada ~r fijado existe una matriz M tal que ~r × (~ ω × ~r) = M~ ω para todo ω ~ . Partiendo de esta definici´on de M, demostrar que es semidefinida positiva (esto es, ω ~ t M~ ω ≥ 0, ∀~ ω ) y que su n´ ucleo es {~ ω : ω ~ × ~r = ~0}. Concluir que el tensor de inercia es definido positivo. ~ ~r y ~v pasan 3) Si movemos la cabeza con un giro cuya matriz es A, los vectores L, ~ a ser AL, A~r y A~v . Explicar por qu´e esto sugiere que para todo ~x, ~y ∈ R 3 se cumple A~x × A~y = A(~x × ~y ). Estudiar c´omo hay que modificar esta relaci´on para que sea v´alida para toda matriz ortogonal A. 4) Sean I1 = 1, I2 = 2, I3 = 3 y K = 1. Hallar las proyecciones en los planos Y Z, XZ y XY de la trayectorias cuando C vale 1 + ², 2 ± ² y 3 − ², respectivamente. Explicar el resultado del problema anterior en t´erminos de la estabilidad. 5) Calcular I1 , I2 , I3 para una esfera y para una barra cil´ındrica. 6) Para que una palanca de primera especie (un balanc´ın) con dos masas en los extremos est´e en equilibrio, el producto de cada masa por su brazo (distancia al punto de apoyo) debe dar lo mismo. Deducir esta ley est´atica de la conservaci´on de la conservaci´on ~ del momento angular. (Probar primero que para una part´ıcula d L/dt = ~r × F~ con F~ la fuerza). 7) En F´ısica se suele llamar energ´ıa cin´etica de rotaci´on de un cuerpo que gira, a ER = 21 ω ~ t I~ ω . Probar que ´esta no es m´as que la “suma” de las energ´ıas cin´eticas de las part´ıculas que componen el cuerpo, teniendo en cuenta que ~r 0 = ω ~ × ~r. 8) Escribir las ecuaciones de Euler-Lagrange para el sistema formado por dos part´ıculas de masas m1 y m2 unidas por una cuerda inextensible que pasa por una polea homog´enea de radio R = 00 5 y masa M = 2. T´engase en cuenta en el lagrangiano las energ´ıas cin´eticas de las part´ıculas y la de rotaci´on de la polea. 9) Si un tronco de masa m cae por una rampa (un plano inclinado) rodando sin delizarse y sin rozamiento, razonar si llega antes abajo cuando es fino o cuando es grueso. 10) Estudiar si el sentido de la precesi´on de una peonza que gira r´apidamente coincide con el sentido de giro, con el opuesto, o no hay relaci´on entre ambos. 11) Supongamos que ω es el m´odulo de la velocidad angular de una peonza por su eje, y Ω es el de la velocidad angular de precesi´on. Probar que si ω es mucho mayor que Ω, entonces Ωω es aproximadamente constante para cada peonza.

23

´ n 1.3 Seccio

Trabajos sugeridos a s´ olo 3 centauros (el precio de esta fotocopia) De la secci´on: ◦ Estudio detallado del movimiento girosc´opico. ◦ El concepto matem´atico de estabilidad en problemas de F´ısica y otras ciencias. ◦ Sistemas din´amicos. Generales: ◦ Algoritmos de primalidad y factorizaci´on y sus aplicaciones en criptograf´ıa. ◦ Funcionamiento de las centralitas telef´onicas y distribuci´on de las llamadas en los tel´efonos m´oviles.

Y por el mismo precio, las palabras del sabio: Es imposible representarse el espacio absoluto; cuando quiero representarme simult´ aneamente objetos y a m´ı mismo en movimiento en el espacio absoluto, en realidad me represento a m´ı mismo, inm´ ovil, mirando moverse a mi alrededor diversos objetos y un hombre que es exterior a m´ı pero que convengo en llamar yo. ¿Estar´ a resuelta la dificultad cuando se consienta en referir todo a estos ejes ligados a nuestro cuerpo? ¿Sabemos esta vez qu´ e es un punto, definido as´ı por su posici´ on relativa con respecto a nosotros? Mucha gente responder´ a que s´ı y dir´ a que “localiza” los objetos exteriores. [Po] p. 58.

24

1.4. De pel´ıcula Gracias a ciertas propiedades qu´ımicas [Al-Ta], [Is], cuando un alambre que determina una curva cerrada se sumerge en una soluci´on jabonosa y despu´es se extrae de ella, se forma una pel´ıcula muy delgada que tiene como frontera a dicha curva. Todos sabemos c´omo contin´ ua la historia: despu´es de meter un aro, soplamos y tenemos una pompa de jab´on. Su forma esf´erica se explica por la presi´on que ejerce el aire encerrado en su interior, como en un globo homog´eneo. Si no soplamos, y simplemente introducimos curvas de formas caprichosas, nos sorprenderemos de las curiosas superficies obtenidas [Is], y parafrasenado a [Hi-Tr] p. 91, pasaremos de un divertimento para ni˜ nos a un divertimento para ni˜ nos y matem´ aticos (v´eanse las fotos en [Hi-Tr] p. 93 y la primera hoja de [Mo]). Pero antes de desempolvar nuestro libro de Geometr´ıa II, debemos adentrarnos unas l´ıneas en el modelo f´ısico. Si en la superficie de una membrana delgada y tensa damos un peque˜ no corte, los dos bordes se separan (el rasg´on cuando no se usa la lej´ıa adecuada es la prueba). Lo cual indica que hay una fuerza tangencial a la superficie y perpendicular a los bordes, la tensi´on, que sujeta ambos bordes cuando est´an unidos. Se llama tensi´on superficial a la magnitud τ de tal fuerza por unidad de longitud (parece claro que cuanto m´as largo sea el roto m´as fuerza se habr´a desatado al hacerlo). Quiz´a en una membrana el´astica real τ est´e lejos de ser constante (aunque as´ı se supone en los modelos cl´asicos [Fe-Le-Sa] 12-7), pero en una pel´ıcula jabonosa esto es cierto con gran aproximaci´on. Si consideramos un peque˜ no “parche cuadrado” de pel´ıcula de jab´on centrado en un punto p y de lado ², las tensiones actuando en cada lado medir´an todas lo mismo, ²τ . Para que este parche est´e en equilibrio los vectores tangenciales que definen, deben cancelarse. Para ello no pueden apuntar todos hacia abajo o hacia arriba (concavidad o convexidad), sino que en p debe haber un punto de silla.

p

Σ Ti = 0

p

Σ Ti = 0

Para concretar m´as lo que entendemos por un parche cuadrado de lado ² centrado en p, consideremos dos secciones normales por planos perpendiculares entre s´ı a trav´es de p. Los cortes dan lugar localmente a dos curvas γ1 y γ2 , que suponemos parametrizadas por longitud de arco y con γ1 (0) = γ2 (0) = p. Considerando los planos perpendiculares a estas 25

curvas en γ1 (±²/2) y γ2 (±²/2), se obtiene algo as´ı como un cuadrado curvil´ıneo, el parche del que habl´abamos.

γ’ (ε/2) 2

N

γ1

p

ε/2

−γ ’ (ε/2) 1

γ2

p −γ ’ (−ε/2) 2

ε/2

γ’ (ε/2) 1

Las tensiones tienen, con aproximaci´on hasta orden uno en ², la direcci´on de los vectores tangentes ±γ10 (±²/2), ±γ20 (±²/2). Seg´ un lo dicho, que la pel´ıcula de jab´on est´e en equilibrio requiere que se cancelen hasta orden uno cuando ² es suficientemente peque˜ no, es decir, que 0 0 0 0 ~0 = lim γ1 (²/2) − γ1 (−²/2) + γ2 (²/2) − γ2 (−²/2) = γ100 (0) + γ200 (0) = (κ1 + κ2 )n. ²→0 ²

.

Donde se ha usado t = κ n (f´ormula de Frenet [Do]). As´ı pues la suma de las curvaturas de γ1 y γ2 en el punto p debe ser nula. Con esto llegamos a un modelo intr´ınsecamente geom´etrico.

Diccionario: • Pel´ıcula jabonosa −→ Superficie tal que en cada punto la suma de las curvaturas de curvas perpendiculares obtenidas por secciones normales es nula.

F´ısicamente, la tensi´on superficial en los fluidos est´a asociada al hecho de que cuesta trabajo estar en la superficie [Va 1], de manera que hay una energ´ıa potencial asociada al ´area, y las leyes de la Est´atica sugieren que el equilibrio se alcanza en los valores cr´ıticos del potencial, en este caso del ´area. Antes de probarlo matem´aticamente, como una concesi´on a los m´as olvidadizos, recordaremos algunos de los temas de Geometr´ıa II [Do]. Dado un punto p de una superficie regular S ⊂ R3 , siempre existe una parametrizaci´on ab ab local X : U ⊂ R2 −→ V ⊂ R3 con p ∈ Im X = S ∩ V. Los vectores tangentes a S en X(u, v) est´an generados por Xu (u, v) y Xv (u, v) (las parciales ∂/∂u, ∂/∂v). El ´area de una porci´on 26

de superficie X(K) con K ⊂ R2 (digamos compacto para poder integrar bien) es la integral A=

Z Z

dS = X(K)

Z Z

K

kXu × Xv k dudv.

Desde Gauss se suele denotar E = Xu · Xu , F = Xu · Xv , G = Xv · Xv (los coeficientes de la primera forma fundamental). De k~a × ~bk2 = k~ak2 k~bk2 − (~a · ~b)2 , se sigue A=

Z Z p K

EG − F 2 dudv.

Si en p ∈ S cortamos con secciones normales (planos que contienen al vector normal) una de las curvas obtenidas tendr´a curvatura k1 m´axima, y otra curvatura k2 m´ınima. Se define la curvatura media H como su semisuma, H = (k1 + k2 )/2. Se prueba que estas curvas “m´axima” y “m´ınima” son perpendiculares en p, y que si tomamos una secci´on normal que forme un ´angulo θ con la curva “m´axima”, la curva as´ı obtenida tiene en p curvatura k1 cos2 θ + k2 sen2 θ (f´ormula de Euler). La diferencial de la aplicaci´on de Gauss que asigna a cada p ∈ S la normal unitaria N se puede considerar como una funci´on DN : Tp (S) −→ Tp (S), que tendr´a cierta matriz (aij ) en la base {Xu , Xv } del espacio tangente. Es decir (1.6)

(

Nu =a11 Xu + a12 Xv Nv =a21 Xu + a22 Xv

Se prueba que las curvaturas k1 y k2 son los autovalores cambiados de signo de (aij ). Comencemos viendo que es indiferente suponer que γ1 y γ2 son las curvas “m´axima” y “m´ınima”. Proposici´ on 1.7 . La semisuma de las curvaturas en p ∈ S de las curvas determinadas por dos secciones normales ortogonales entre s´ı coincide con la curvatura media. Dem.: Si una de las secciones normales forma un ´angulo θ con la “curva m´axima”, la otra forma un ´angulo θ + π/2. La f´ormula de Euler asegura que la semisuma de las curvaturas es κ1 + κ2 (k1 cos2 θ + k2 sen2 θ) + (k1 cos2 (θ + π/2) + k2 sen2 (θ + π/2)) k1 + k 2 = = . 2 2 2 Donde se ha usado cos2 (θ + π/2) = sen2 θ y sen2 (θ + π/2) = cos2 θ. 27

Introduciendo esto en el modelo se tiene que las pel´ıculas jabonosas corresponden a superficies de curvatura media nula en todo punto. En Geometr´ıa, usando un nombre cl´asico poco correcto, se llaman superficies m´ınimas a las que tienen esta propiedad. Actualmente se conocen decenas de familias de ellas. A continuaci´on vamos a transformar la condici´on de curvatura media nula en algo m´as anal´ıtico que podamos comprobar “a mano” si nos dan la parametrizaci´on. Lema 1.8 . La curvatura media se anula si y s´olo si GNu · Xu + ENv · Xv = F (Nu · Xv + Nv · Xu ). Dem.: Multiplicando escalarmente la primera ecuaci´on de (1.6) por GX u y F Xv y restando los resultados, se obtiene GNu · Xu − F Nu · Xv = a11 (EG − F 2 ). De la misma forma, si en la segunda se multiplica por EXv y F Xu , y se resta, se llega a ENv · Xv − F Nv · Xu = a22 (EG − F 2 ).

Por Cauchy-Schwarz EG > F 2 , con igualdad estricta porque Xu y Xv son linealmente independientes. Por tanto la suma de los primeros miembros de las dos ecuaciones anteriores es nula si y s´olo si a11 + a22 = 0, lo que equivale a H = 0, ya que la traza es la suma de los autovalores. Ahora veremos que las superficies m´ınimas tienen ´area quiz´a no m´ınima, pero s´ı cr´ıtica (estacionaria) entre todas las perturbaciones peque˜ nas de la superfice. Primero vamos a definir lo que entendemos por una perturbaci´on. Dada una parametrizaci´on local de S, X : U −→ R3 , consideremos X² = X + ²hN

donde N(u, v) es la normal en X(u, v) y h = h(u, v) es una funci´on regular arbitraria. S

ε

A
(ε)



























































































































































A


























ε

X (K)

X(K)

S

Cuando ² es peque˜ no esto define, quiz´a en un abierto V un poco menor que U, una parametrizaci´on de una superficie S ² obtenida a partir de S moviendo cada punto un poco a lo largo de la normal. Diremos que X² define una variaci´on normal. Si K ⊂ V ⊂ U, designaremos por A(²) al ´area de la porci´on de superficie X² (K). Es decir, en alg´ un sentido 28

A(²) es el ´area en la que se transforma A = |X(K)| cuando perturbamos una cantidad comparable a ² la porci´on de superficie elegida. Teorema 1.9 . La funci´on A(²) alcanza un valor cr´ıtico en ² = 0 (para toda h) si y s´olo si la curvatura media se anula. Dem.: Sea una variaci´on normal X² como antes, parametrizando una superficie S ² . Los coeficientes de la primera forma fundamental de S ² son E ² =X²u · X²u = Xu · Xu + 2²hNu · Xu + ²2 H1 = E + 2²hNu · Xu + ²2 H1 G² =X²v · X²v = G + 2²hNv · Xv + ²2 H2

F ² =X²u · X²v = F + ²h(Nu · Xv + Nv · Xu ) + ²2 H3

Para ciertas funciones H1 , H2 y H3 . Operando se llega a E ² G² − (F ² )2 = EG − F 2 + 2²hH + ²2 H4 , para cierta funci´on H4 que no depende de ² y H = GNu · Xu + ENv · Xv − F (Nu · Xv + Nv · Xu ). Por tanto A(²) =

Z Z p K

0

E ² G² − (F ² )2 dudv ⇒ A (0) =

Z Z

K

√

hH dudv. EG − F 2

As´ı pues A0 (0) = 0 cuando H = 0, y seg´ un el lema anterior esto ocurre si y s´olo si la curvatura media es nula. Por otra parte, si ´este no fuera el caso, tomando h = H se tendr´ıa A0 (0) 6= 0. Ep´ılogo: No siempre las superfies m´ınimas son m´ınimas en realidad, en el sentido de que ninguna otra superficie con la misma frontera tenga menor ´area, sin embargo es posible probar este resultado para cualquier porci´on de superficie m´ınima que se pueda escribir como el grafo de una funci´on definida sobre un convexo [Mo]. Es decir, que en cierto sentido las superfies m´ınimas son al menos m´ınimas localmente. Aqu´ı hemos considerado s´olo superficies diferenciables de R3 pero uno podr´ıa preguntarse si existen contornos “raros” para los que la pel´ıcula de jab´on no da lugar a una ´ superficie diferenciable. Este problema est´a ´ıntimamente relacionado con el estudio de la regularidad de la soluci´on de ecuaciones en derivadas parciales no lineales (esto es, muy dif´ıciles). Algunos dibujos [Du-Fo-No] p. 401, son suficientes para sospechar que no podemos esperar siquiera la unicidad en el caso general. El problema de lo “buena” que debe 29

ser la soluci´on de las ecuaciones en derivadas parciales que derivan de buenos problemas del C´alculo de Variaciones fue uno de los famosos problemas que propuso Hilbert en 1900. Las experiencias con soluciones jabonosas nos muestran que al introducir el armaz´on de un cubo (el esqueleto determinado por las aristas) la superficie obtenida no es diferenciable sino que tiene algunas aristas.

Tambi´en se puede comprobar que las superficies que minimizan el ´area no var´ıan continuamente cuando modificamos el contorno. Por ejemplo, empleando como contorno dos aros id´enticos enfrentados (determinando un cilindro recto), seg´ un var´ıa la distancia entre ellos la superficie minimizante pueden ser los c´ırculos interiores o un catenoide que los une [Is] p. 79, p. 163.

30

Ejercicios 1) Sin mirar la teor´ıa: a) Explicar qu´e es la tensi´on superficial. b) Describir brevemente el podelo de las pel´ıculas de jab´on. 2) Al aplicar un movimiento del espacio a una superficie m´ınima se obtiene una superficie m´ınima. Explicar esto geom´etricamente y en t´erminos de pel´ıculas jabonosas. 3) Explicar en t´erminos de la tensi´on superficial, por qu´e es natural que sea indiferente sumar las curvaturas principales o las de otras dos secciones normales cualesquiera ortogonales. 4) Comprobar que el helicoide parametrizado por X(u, v) = (v cos u, v sen u, u) es una superficie m´ınima. 5) Estudiar para qu´e valores de a, una pel´ıcula de jab´on podr´ıa tener la forma de una porci´on de la superficie x2 + y 2 = a cosh2 z. 6) Si la superficie descrita por una pel´ıcula de jab´on viene dada por z = f (x, y), hallar una ecuaci´on en derivadas parciales que deba satisfacer f . 7) Empleando la parametrizaci´on X(u, v) = (v cos u, v sen u, h(v)) de una superficie de revoluci´on, hallar la ecuaci´on diferencial que debe satisfacer h para que X defina una superficie m´ınima. 8) Estudiar qu´e superficies de revoluci´on pueden ser descritas por pel´ıculas de jab´on, resolviendo la ecuaci´on del problema anterior. ¢ 9) Probar que X(u, v) = (u− 13 u3 +uv 2 , v − 31 v 3 +vu2 , u2 −v 2 parametriza localmente una superficie m´ınima. p

10) Utilizando el C´alculo de Variaciones, hallar la superficie de revoluci´on f (z) =

x2 + y 2 con borde las circunferencias x2 + y 2 = 1, z = ±a, para que el ´area sea estaR p cionaria. (Apl´ıquese la f´ormula A = 2π f 1 + (f 0 )2 de C´alculo I). Probar que si a > 1/2 no hay soluci´on con f ∈ C 2 .

11) Aproximar con dos cifras decimales el valor de R a partir del cual una pel´ıcula de jab´on con forma de catenoide x2 + y 2 = λ2 cosh2 (z/λ) conectando x2 + y 2 = R2 , z = ±1, tiene ´area menor que la suma de las ´areas de los c´ırculos limitados por estas circunferencias.

31

´ n 1.4 Seccio

Trabajos sugeridos a s´ olo 3 centauros (el precio de esta fotocopia) De la secci´on: ◦ Estudio matem´atico de los fen´omenos relacionados con la tensi´on superficial. Generales: ◦ Los eclipses.

Y por el mismo precio, las palabras del sabio: Todas las leyes son, pues, obtenidas de la experiencia, pero para enunciarlas es necesaria una lengua especial; el lenguaje ordinario es demasiado pobre y, por otra parte, demasiado vago para expresar relaciones tan delicadas, tan ricas y tan precisas. He ah´ı, pues, una primera raz´ on por la cual el f´ısico no puede pasarse sin las matem´ aticas: le suministran la u ´nica lengua que ´ el puede hablar. [Po] p. 95.

32

´jame alguna experiencia, de ´jame participar 1 De

Jugar al gua Material: - Cart´on o cartulina. - Dos canicas iguales. - Una calculadora.

Realizaremos con el cart´on o cartulina dos toboganes conectando los puntos (0, h) y (l, 0) de un plano vertical. El primero ser´a simplemente una rampa recta y el segundo tendr´a el perfil de una curva cicloide que responde a la parametrizaci´on x = a(t − sen t),

y = h + a(cos t − 1).

El valor de a se calcula de manera que la curva pase por (l, 0) con lo cual se debe resolver el sistema a(t − sen t) = l, a(1 − cos t) = h. Dividiendo ambas ecuaciones y operando se llega a una ecuaci´on para t que se puede resolver aproximadamente con la calculadora usando el m´etodo de Newton estudiado en C´alculo Num´erico I (esto es, xn+1 = xn − f (xn )/f 0 (xn )), despu´es basta tomar a = h/(1 − cos t). Los datos correspondientes a un experimento real * son h = 10 cm, l = 16 cm, de donde se dedujo de esta forma a ≈ 50 002. 

 
 




 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       

Una vez construidos ambos toboganes los pondremos uno al lado del otro y dejaremos caer las canicas simult´aneamente desde ambos. Con ello comprobaremos experimentalmente *

N. del A. Utilic´ e una cartulina un poco blanda por lo cual encajon´ e los toboganes usando un juego de construcci´ on. Para obtener el perfil con forma de cicloide simplemente di valores a t y pint´ e los puntos correspondientes en la cartulina. Si uno utiliza un ordenador con este prop´ osito hay que asegurarse de que no modifica las escalas de x e y . Es conveniente que la pendiente a salvar por los toboganes sea mayor del 60% (concretamente h/l≥2/π , para que la cicloide no se combe hacia arriba). Las condiciones ideales del experimento ser´ıan ausencia de rozamiento y que las canicas m´ as que rodar se deslizasen, pero esto u ´ltimo, casi imposible de conseguir, no parece demasiado cr´ıtico.

33

que el tobog´an de la cicloide es m´as r´apido por ser la braquistocrona. Si uno tiene paciencia y ganas, puede reemplazar el tobog´an recto por cualquier otro. Dentro de unos l´ımites razonables, la braquistocrona siempre vencer´a con claridad.

34

´jame alguna experiencia, de ´jame participar 2 De

Otro eslab´ on Material: - Una cadena homog´enea con eslabones peque˜ nos (por ejemplo de joyer´ıa). - Una hoja de papel milimetrado. - Un cart´on. - Dos chinchetas. - Un rotulador de punta fina. - Una calculadora.

Elijamos dos puntos destacados (digamos de coordenadas enteras) en una misma horizontal del papel milimetrado y clavemos all´ı con las chinchetas los eslabones de los extremos de la cadena poniendo debajo el cart´on. Se˜ nalemos la mediatriz (perpendicular en el punto medio) del segmento que une las chinchetas. Cuando pongamos el cart´on en vertical y dejemos a la cadena colgar libremente, por la simetr´ıa, el punto m´as bajo pertenecer´a a dicha mediatriz. Se˜ nal´emoslo con el rotulador y marquemos tambi´en los puntos de la cadena que pertenecen a las paralelas a la mediatriz a distancias 1, 2, 3, etc. Todo esto se puede hacer c´omodamente en horizontal abatiendo el cart´on con cuidado para que no se deforme la curva descrita por la cadena.




 






Despu´es de desclavar la cadena, consideremos unos ejes cartesianos cuyo origen es el punto m´as bajo y calculemos, mirando las divisiones del papel milimetrado, las coordenadas del 35

resto de los puntos se˜ nalados, los cuales ser´an de la forma (xn , yn ) con xn = n ∈ Z. Aqu´ı citaremos los siguientes datos obtenidos de un experimento real* y0 =0

y2 =00 65

y4 =20 9

y6 =70 55

y8 =150 75

y1 =00 2

y3 =10 6

y5 =40 95

y7 =110 1

y9 =230 5

Sea (r0 , s0 ) el punto donde est´a una de las chinchetas, en el caso antes citado (r0 , s0 ) = (±9, 230 5), y hallemos la soluci´on aproximada, a, de la ecuaci´on ¢ ¡ r0 −1 . s0 = a cosh a Esto puede hacerse aplicando el m´etodo de Newton a f (x) = s0 /a − cosh(r0 /a) + 1. Para r0 = 9, s0 = 230 5 se obtiene a = 30 20241 . . . Calculemos finalmente para cada yn el valor de a arc cosh(1 + yn /a). En nuestro caso y1 = 00 2 7→ 10 126

y4 = 20 9 7→ 40 037

y3 = 10 6 7→ 30 081

y6 = 70 55 7→ 60 025

y2 = 00 65 7→ 20 007

y5 = 40 95 7→ 50 081

y7 = 110 1 7→ 60 971

y8 = 150 75 7→ 70 891

y9 = 230 5 7→ 9

y, obviamente, y0 7→ 0. A la vista de estos datos, se cumple con gran aproximaci´on xn = a arc cosh(1 + yn /a), o lo que es lo mismo, hemos comprobado experimentalmente que la ecuaci´on de una cadena que cuelga de sus extremos es (salvo traslaciones) de la forma ¡ ¢ x y = a cosh − 1 a A la curva representada por esta ecuaci´on (o a su trasladada) se le llama catenaria.

Explicaci´on: Cada particulita o eslaboncito de la cadena, al estar en equilibrio, s´olo cuenta con energ´ıa potencial, E = mgh donde m es la masa, g es la aceleraci´on de la gravedad (90 8 en el Sistema Internacional) y h la altura (de height no de “h /altura”). \ Al “sumar” la energ´ıa de todas las porciones infinitesimales de la cadena, la energ´ıa total *

N. del A. Utilic´ e una cadena como las que se usan para llevar medallas. Los eslabones eran de 2 mm y la longitud total de unos 53 cm. Clav´ e las chinchetas con una separaci´ on de 18 cm, con lo cual se˜ nal´ e 9 puntos a cada lado. La pr´ actica muestra que es muy importante forzar la simetr´ıa con respecto a la mediatriz, lo que asegurar´ a la perfecta horizontalidad. Para mayor precisi´ on reemplac´ e yn por (yn +y−n )/2.

36

vendr´a dada por E=

Z

gh dm = ρg

Z

h ds

donde ρ es la densidad lineal ρ = dm/ds (masa por unidad de longitud) que por la homogeneidad es constante, de modo que el incremento de masa dm es proporcional al incremento de longitud ds. Para cada valor de x se tiene h = y(x) y es f´acil convencerse p geom´etricamente de que ds/dx = 1 + (y 0 )2 (por Pit´agoras (ds/dx)2 = (dx/dx)2 + (dy/dx)2 ), con lo cual E = ρg

Z

y

p

1 + (y 0 )2 dx.

Es natural suponer que esta energ´ıa debe ser lo menor posible por la tendencia de las part´ıculas a caer (menor altura ⇒ menor energ´ıa potencial). En contra de esta tendencia, las chinchetas sujetan la cadena en puntos sim´etricos (−c, H) y (c, H); y por mucho que quiera caer cada punto la cadena es inextensible y consecuentemente su longitud L invariante. Esto conduce a que la ecuaci´on de la catenaria es una funci´on y : [−c, c] −→ R que resuelve el problema matem´atico Z

c

y −c

p

1+

(y 0 )2

dx

es m´ınimo,

con

Z

c

−c

p

1 + (y 0 )2 dx = L,

y(−c) = y(c) = H.

Para ello hay que resolver las ecuaciones de Euler-Lagrange con multiplicadores. Esto es ¶ µ ∂F d ∂F = 0 dx ∂y ∂y

donde

F =y

p p 1 + (y 0 )2 − λ 1 + (y 0 )2 ,

lo que conduce a (y − λ)y 00 = 1 + (y 0 )2 . Ahora solo hay que aplicar la tecnolog´ıa del curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias: y0 y0 y 0 /A 1 00 2 0 2 2 p y = ⇒ (integrando) A (1+(y ) ) = (y−λ) ⇒ = . 0 2 1 + (y ) y−λ A ((y − λ)/A)2 − 1 Una u ´ltima integraci´on [Gr-Ry] 2.261, 1.622.6, conduce a arc cosh((y − λ)/A) = x/A + B, con A y B constantes, esto es ¡x ¢ y = λ + A cosh +B . A 37

La condici´on y(−c) = y(c) implica B = 0. Situando el origen de coordenadas de manera que y(0) = 0 se tiene una ecuaci´on como la comprobada experimentalmente. La constante Rp A se relaciona con la longitud por medio de L = 1 + (y 0 )2 . Tampoco en este problema de C´alculo de Variaciones acert´o Galileo, pues pens´o que la catenaria era una par´abola [Gr]. Hubo que esperar hasta casi 50 a˜ nos despu´es de su muerte para que Huygens, Leibniz y Johann Bernoulli encontraran la ecuaci´on correcta.

38

Fernando Chamizo.

´ n II Modelizacio

´jame alguna experiencia, de ´jame participar 3 De

A velocidad Material: - Una silla giratoria. - Dos libros gruesos iguales. Una vez sentados en la silla, cojamos los libros con los brazos extendidos y hag´amosla girar impuls´andonos con los pies. Una vez que hayamos alcanzado una velocidad de rotaci´on suficiente para que demos alguna vuelta con las piernas estiradas sin necesidad de impulso; recogiendo los pies y llevando los brazos con los libros al pecho notaremos m´agicamente un sensible aumento de la velocidad. Este aumento ser´a mayor cuanto m´as pesados sean los libros* .

Este experimento es una pobre imitaci´on de otro que se puede realizar en muchos Museos de la Ciencia. En vez de girar la silla se hace girar una rueda de bicicleta (mejor una un poco m´as pesada y menor para que sea m´as manejable) por un eje que sostenemos en las manos paralelo al suelo y perpendicular a nuestro cuerpo. Al poner de golpe el eje vertical, la silla en contra de toda intuici´on comenzar´a a girar con nosotros encima. Explicaci´on: Para simplificar consideremos s´olo la masa M de cada libro represent´andolos como masas puntuales. Si la distancia de cada libro al eje de giro (nuestro cuerpo) es R, el m´odulo del momento angular total correspondiente es ~ = M Rv + M Rv = 2M Rv, kLk *

N. del A. Utilic´ e una silla de oficina y los dos tomos de la 21a edici´ on del diccionario de la R.A.E. con tapas duras. Aunque no son muy pesados (a no ser que uno los lea de una tacada) el cambio de velocidad es aprecible. Prob´ e con libros mayores y aparentemente daban mejor resultado pero era m´ as dif´ıcil sostenerlos sim´ etricamente.

39

con v el m´odulo de la velocidad. Si el momento angular debe permanecer constante (al menos en intervalos de tiempo peque˜ nos, para que no le d´e tiempo a actuar al rozamiento), entonces al encoger los brazos reduciendo R, la velocidad v aumentar´a. Las piernas tambi´en entran en el balance del momento angular y al encogerlas al tiempo que los brazos se aumenta m´as la velocidad. Este fen´omeno lo aprovechan los patinadores art´ısticos para efectuar giros muy r´apidos.

40

2. Ondas 2.1. Y dale calor En la historia de las Matem´aticas, y seguramente en la Universal, no hay escasez de leyendas arriesgadas, apoteosis agradecidas y nombres impropios. Aunque las series de Fourier no constituyen un ejemplo paradigm´atico, cabe se˜ nalar que en realidad ya hab´ıan sido empleadas anteriormente por Euler, y Fourier no resolvi´o satisfactoriamente, desde el punto de vista actual, las cuestiones m´as b´asicas de convergencia. Incluso para sus contempor´aneos, hab´ıa serias faltas de rigor en los razonamientos de Fourier y as´ı se hizo constar cuando su memoria fue galardonada. Por otro lado, tambi´en ser´ıa injusto olvidar que la “Teor´ıa Anal´ıtica del Calor” de Fourier [Fo], publicada en 1822, marc´o un hito constituyendo el primer tratado sistem´atico de lo que hoy llamamos An´alisis Arm´onico o An´alisis de Fourier. Como el t´ıtulo indica, Fourier se ocup´o de estudiar la transmisi´on del calor. Aunque menciona varias veces la gran aplicabilidad de su teor´ıa, lo cierto es que pr´acticamente no incluye ning´ un dato num´erico experimental (lo cual es l´ogico dada la dificultad de medir con precisi´on peque˜ nas variaciones de la temperatura) y el grueso de su trabajo se dedica a resolver el problema matem´atico al que conduce su modelo. Esto ya es un gran avance cient´ıfico porque marca un camino sistem´atico para la termodin´amica, hasta entonces inexistente. En sus palabras: “Las nuevas teor´ıas explicadas en nuestra obra est´an unidas para siempre a las ciencias matem´aticas y reposan, como ellas, sobre fundamentos invariables; conservar´an todos los elementos que hoy poseen y adquirir´an continuamente m´as alcance”. M´as adelante ([Fo] I §20), arrobado de entusiasmo, escribir´a: “El an´alisis matem´atico tiene, pues, relaciones necesarias con los fen´omenos f´ısicos sensibles; su objeto no ha sido creado por la inteligencia humana, es un elemento preexistente del orden universal y no tiene nada de contingente ni fortuito; est´a impreso en la naturaleza”. Antes de ver los problemas matem´aticos que le preocupaban a Fourier y por qu´e los incluimos en un cap´ıtulo que trata acerca de ondas, debemos plantear el sencillo modelo que conduce a la ecuaci´on del calor. Seguiremos al pie de la letra [Ch] §5.3. El calor no es m´as que una forma de energ´ıa, por eso en la caja de cereales del desayuno aparece el contenido energ´etico tanto en kilojulios (KJ) como en kilocalor´ıas (Kcal), com´ unmente llamadas calor´ıas, por error, en Diet´etica. La temperatura absoluta (en grados Kelvin), que denotaremos por u, es la energ´ıa media, de modo que el calor total en una porci´on s´olida homog´enea V de cierta sustancia, es Q=K

Z

u V

donde K es una constante positiva que depende del tipo de sustancia considerada. Cuando 41

Fernando Chamizo.

´ n II Modelizacio

un cuerpo caliente se pone en contacto con otro fr´ıo la energ´ıa (el calor) fluye del primero al segundo. Por ejemplo, en una dimensi´on si tenemos un punto x a temperatura u(x) y otro “al lado”, x + ∆x, a temperatura u(x + ∆x), parece l´ogico (incluso para Simplicio [Ga] p. 29) suponer que el calor fluir´a del primero al segundo en una magnitud proporcional a u(x) − u(x + ∆x) ≈ −∆x ∂u/∂x. La ley de enfriamiento de Newton no es otra cosa que esta suposici´on llevada a tres dimensiones. Concretamente afirma que el vector flujo de energ´ıa es proporcional a −∇u (recu´erdese que la direcci´on opuesta al gradiente es siempre la de m´aximo decrecimiento) y por tanto el flujo del calor a trav´es de la frontera de V , que denominaremos ∂V , es, para cierta constante K 0 > 0, igual a la integral de superficie F = −K

0

Z

∂V

∇u.

Si el calor se escapa de los puntos calientes a los fr´ıos, la temperatura cambia con el tiempo, como nos demuestra cualquier taza de caf´e, digamos u = u(x, y, z, t). Parece obvio que las p´erdidas de calor de la porci´on de sustancia V que hemos seleccionado, se hacen a trav´es de la frontera, es decir, que la variaci´on del calor en V por unidad de tiempo se cancela con el flujo a trav´es de la frontera. Escrito con f´ormulas d K dt

Z

V

u−K

0

Z

∂V

∇u = 0.

N´otese que lo u ´nico que estamos diciendo es que para sacar algo (en nuestro caso calor) de un cuerpo hay que hacerlo a trav´es de su frontera. Para que la f´ormula quede bonita, siempre podemos medir el espacio o el tiempo en un sistema de unidades tomado de la Ciencia Ficci´on o de nuestra imaginaci´on, de manera que el cambio de escala provoque la igualdad K/K 0 = 1. Z Z ∂u − ∇u = 0. ∂V V ∂t Por el teorema de la divergencia Z

V

¢ ¡ ∂u − ∆u = 0 ∂t

con

∆u = div(∇u) =

∂2u ∂2u ∂2u + 2 + 2. ∂x2 ∂y ∂z

Si esta igualdad se cumple para cualquier porci´on V de la sustancia elegida, no queda m´as remedio que el integrando se anule (la funci´on nula es la u ´nica que integrada en cualquier parte da cero). Llegamos entonces finalmente a la ecuaci´on del calor ∂u = ∆u ∂t 42

Diccionario: • El calor fluye hacia los sitios m´as fr´ıos −→ flujo = −cte

Z

∂V

∇u.

Z d • El calor se escapa por la frontera −→ u = cte · flujo. dt V ∂u • Estas propiedades se cumplen en cada entorno −→ = ∆u. ∂t A pesar de que la propia situaci´on f´ısica y nuestros razonamientos son en principio tridimensionales, podemos repetirlos en dimensiones uno y dos considerando varillas o superficies totalmente aisladas del medio exterior y empleando el teorema de la divergencia en la dimensi´on adecuada (en dimensi´on uno es el teorema fundamental del c´alculo y en dimensi´on dos una variante del teorema de Green). Ya en el caso unidimensional se ve la importancia de la topolog´ıa de la varilla que consideremos y servir´a para ilustrar lo importante que se muestra analizar en ondas. Si tenemos una varilla infinita (una recta), f´ısicamente parece claro que la evoluci´on de su temperatura depende s´olo de la temperatura inicial (t = 0) en cada punto u(x, 0) = f (x). Si la varilla en lugar de ser infinita est´a curvada formando un aro, digamos de longitud uno, podemos identificar x con la longitud de arco y as´ı u(x, t) y f (x) deben ser funciones peri´odicas en x de periodo uno. Matem´aticamente en este caso nos enfrentamos al problema de hallar una soluci´on de ∂2u ∂u = , t > 0, con u(x, 0) = f (x), donde f (x) = f (x + 1). (2.1) ∂t ∂x2 Fourier se dio cuenta de que hab´ıa infinitas soluciones sencillas de periodo uno en x de la ecuaci´on del calor, dadas por e−4π

2

n2 t

sen(2πnx),

e−4π

2

n2 t

cos(2πnx)

n = 0, 1, 2, 3, . . .

En t = 0 dan lugar a senos y cosenos de frecuencias enteras. Si tuvi´eramos la suerte de que f fuera una combinaci´on lineal (incluso “infinita”) de senos y cosenos de este tipo habr´ıamos 2 2 resuelto (2.1) sin m´as que introducir el factor e−4π n t correspondiente para t > 0. La gran sorpresa es que no hace falta tener suerte, siempre podemos expresar cualquier funci´on f decente y peri´odica en t´erminos de senos y cosenos como antes. F´ısicamente se tiene el important´ısimo adagio: Toda onda peri´odica se expresa como una superposici´on de tonos puros Para simplificar el tratamiento matem´atico recurrimos a un artificio t´ecnico consistente 1 en que debido a las relaciones sen t = 2i (eit − e−it ), cos t = 12 (eit − e−it ), basta expresar toda funci´on en t´erminos de las funciones complejas e(nx) = e2πinx = cos(2πnx) + i sen(2πnx) 43

n ∈ Z.

No deben darnos miedo los n´ umeros complejos, son s´olo para escribir dos funciones en una. El teorema fundamental es el que establece el ahora llamado desarrollo de Fourier. Teorema 2.1 . Sea f ∈ C 2 una funci´on de periodo uno, entonces f (x) =

∞ X

an e(nx)

con

an =

n=−∞

donde la suma se entiende como l´ımite de

P

Z

1

f (y)e(−ny) dy, 0

y la convergencia es absoluta y uniforme.

|n|≤N

Una consecuencia inmediata que se sigue simplemente sustituyendo es: Corolario 2.2. La siguiente funci´on es soluci´on de (2.1): u(x, t) =

∞ X

an e

−4π 2 n2 t

e(nx)

con

an =

n=−∞

Z

1

f (y)e(−ny) dy. 0

ucleo de Dirichlet DN (x) = Dem. (del Teorema): Sea el n´ prueba que X

an e(nx) =

|n|≤N

Z

1 0

DN (x − y)f (y) dy =

Z

P

|n|≤N

e(nx). Un c´alculo

1/2 −1/2

DN (t)f (x − t) dt,

donde la u ´ltima igualdad se sigue del cambio de variable t = x − y, y notando que el intervalo de integraci´on (aqu´ı elegido como [−1/2, 1/2]) es arbitrario con tal de que se R extienda a todo un periodo. Por otra parte, en cada periodo DN = 1 y por tanto f (x) −

X

|n|≤N

an e(nx) =

Z

1/2

−1/2

DN (t)(f (x) − f (x − t)) dt.

Utilizando la f´ormula para sumar una progresi´on geom´etrica, despu´es de simplificar adecuadamente, se obtiene DN (t) = sen((2N + 1)πt)/ sen(πt). La funci´on hx (t) = (f (x) − f (x − t))/ sen(πt) es C 1 en t, as´ı que integrando por partes f (x) −

X

|n|≤N

1 an e(nx) = − (2N + 1)π

Z

1/2 −1/2

h0x (t) cos((2N + 1)πt) dt.

Lo que prueba la convergencia uniforme a la funci´on f . La convergencia absoluta se sigue P −2 simplemente integrando dos veces por partes en la f´ormula de an ya que n < ∞.

La regularidad de f se puede rebajar sin perder la convergencia uniforme [Dy-Mc]. Buena parte de los esfuerzos en An´alisis Arm´onico se han dedicado a entender en diferentes 44

contextos en qu´e sentido se pueden representar funciones con tonos puros bajo condiciones de m´ınima regularidad [We]. En general la regularidad se refleja en la rapidez de convergencia. Cuando la funci´on es C ∞ , la aproximaci´on es incre´ıblemente buena. Por ejemplo, los siguientes gr´aficos muestran f (x) = ecos(2πx) (en l´ınea discontinua) aproximada por P |n|≤N an e(nx) para N = 1, 2 y 3. 3

3

3

2.5

2.5

2.5

2

2

2

1.5

1.5

1.5

1

1

1

0.5

0.5

0.5

0

0

0.5

1

0

0

0.5

0

1

0

0.5

1

Una vez que sabemos expresar las funciones peri´odicas de periodo uno mediante su desarrollo de Fourier, podemos hacer lo propio con una funci´on de periodo L simplemente con un cambio de variable x 7→ x/L. As´ı se tiene que f es superposici´on de ondas del tipo sen(2πnx/L) y cos(2πnx/L), o con la notaci´on empleada anteriormente,

(2.2)

f (x) =

∞ X

an e(nx/L)

con

n=−∞

Z

1 an = L

L

f (y)e(−ny/L) dy. 0

Con ello podemos construir la soluci´on de la ecuaci´on para un aro de cualquier longitud. N´otese que para un aro de longitud L debemos analizar en ondas de frecuencias m´ ultiplos enteros de 1/L. Si pensamos que un aro de longitud L → ∞ se aproxima a una varilla infinita (y an´alogamente que una funci´on no peri´odica es de “periodo infinito”), para analizar las temperaturas en ella necesitar´ıamos todas las frecuencias. Para ser m´as precisos, (2.2) se puede escribir como f (x) = h

X

g(ξn )e(ξn x)

con

ξn

g(t) =

Z

L/2

f (y)e(−yt) dy −L/2

donde ξn = nh y h = 1/L. Esto es como una suma de Riemann de una integral, y cuando L → ∞, bajo condiciones adecuadas de regularidad se debe tener la llamada f´ormula de inversi´on f (x) =

Z

∞ −∞

fb(ξ)e(ξx) dξ

con 45

fb(ξ) =

Z

∞ −∞

f (y)e(−yξ) dy.

A la funci´on fb se le llama transformada de Fourier de f . La f´ormula de inversi´on expresa f como una superposici´on continua (integral) de los “tonos puros” e(ξx) = cos(2πξx) + i sen(2πξx). Estas f´ormulas vuelven a ser ciertas para funciones integrables con dos derivadas integrables (en realidad mucha menos regularidad es suficiente [Dy-Mc]). Por tanto, en el caso de una varilla infinita podemos partir como antes de las solu2 2 2 2 2 2 ciones “obvias” e−4π ξ t sen(2πξx) y e−4π ξ t cos(2πξx), sintetizadas en e−4π ξ t e(ξx), para probar que la soluci´on de la ecuaci´on del calor para una varilla infinita con dato inicial u(x, 0) = f (x) es para t > 0

u(x, t) =

Z

∞

e−4π

2 2

ξ t

−∞

fb(ξ)e(ξx) dξ.

√ R 2 2 2 Si se sustituye la definici´on de fb y se emplea e−4π ξ t e(rξ) dξ = e−r /(4t) / 4πt (v´ease [Gr-Ry] 17.23.13), se llega a una representaci´on m´as sencilla 1 u(x, t) = √ 4πt

Z

∞

e−(x−y)

2

/(4t)

f (y) dy

para

t > 0.

−∞

No hay ning´ un problema en extender a m´as dimensiones los desarrollos y transformadas de Fourier usando una funci´on e(·) por cada variable. Por ejemplo, en R 3 se define fb(ξ1 , ξ2 , ξ3 ) =

Z

∞ −∞

Z

∞ −∞

Z

∞

f (y1 , y2 , y3 )e(−y1 ξ1 )e(−y2 ξ2 )e(−y3 ξ3 ) dy1 dy2 dy3 .

−∞

Y se tiene una f´ormula como la de R para la soluci´on de la ecuaci´on del calor en R 3 . Ep´ılogo: Cuando se estudian otros problemas o la misma ecuaci´on del calor en dominios m´as complicados, las “soluciones naturales” (obtenidas por separaci´on de variables) pueden no ser senos y cosenos sino funciones m´as complejas (funciones de Bessel, arm´onicos esf´ericos, etc.). Sin embargo vuelve a ocurrir el milagro, de nuevo todo se desarrolla en ´ t´erminos de ellas. Esto tiene que ver lejanamente con el conocido resultado de Algebra Lineal que afirma que toda matriz sim´etrica diagonaliza en una base ortonormal, lo cual se puede reformular diciendo que los autovectores de un endomorfismo autoadjunto en un espacio vectorial de dimensi´on finita producen una base ortogonal. Hay teoremas espectrales (cf. [Co-Hi] III §5) que extienden esto a dimensi´on infinita. As´ı por ejemplo sen(2πnx) y cos(2πnx) son autovectores (autofunciones) del operador lineal derivada segunda en el espacio vectorial de las funciones de periodo uno.

46

Ejercicios 1) Sin mirar la teor´ıa: a) Deducir la ecuaci´on del calor. b) Explicar qu´e es el desarrollo de Fourier 2) Sea una varilla infinita (la recta real) en la que la temperatura inicial es positiva en un entorno del origen y nula fuera de ´el. Demostrar que en cualquier instante posterior al inicial, la temperatura es positiva en todo punto. ¿Por qu´e se dice que la velocidad del calor es infinita? 3) Explicar por qu´e al estudiar la temperatura en un s´olido cuya frontera est´a t´ermicamente aislada se impone en ella ∇u · ~n = 0, con ~n la normal.

4) Probar que seg´ un el modelo de esta secci´on, el promedio de la temperatura de un aro permanece constante a lo largo del tiempo. ¿Qu´e ocurre en la pr´actica? R1 5) Para f de periodo uno, hallar su momento de orden dos, esto es 0 |f |2 , en t´erminos de los coeficientes de Fourier. Utilizar este hecho para probar que en un aro el momento de orden dos de la temperatura siempre decrece. (Sup´ongase la convergencia). R1 6) Probar que hf, gi = 0 f g define un producto escalar en la funciones continuas (reales o complejas) de periodo uno. Probar que e(nx) son ortonormales y deducir que P P an e(nx) = bn e(nx) con convergencia uniforme a una funci´on continua ⇒ an = bn para todo n ∈ Z. (Unicidad del desarrollo de Fourier). 7) Un modelo plausible [Dy-Mc] para la temperatura en el interior de la Tierra a profundidad x (peque˜ na) es que u(x, t) sea peri´odica en t de periodo uno (un a˜ no) por P efecto de las estaciones, y se√tenga u(x, t) = cn (x) e(nt) con cn (x) acotada para x > 0. −x(1±i) π|n| Deducir cn (x) = an e de la ecuaci´on del calor, donde an son los coeficientes de Fourier de la temperatura en la superficie f (t) = u(0, t) y el signo ± es el de n.

8) Hallar expl´ıcitamente u(x, t) cuando en el problema anterior se toma f (t) = sen(2πt)+cte (de este modo pleno invierno y pleno verano corresponden a t = 1/4 y t = 3/4, respectivamente). Deducir que las estaciones no act´ uan con la misma intensidad ni al mismo tiempo en la superficie que en el interior. ¢ R ∞ ¡ −(x−v)2 /(4t) 1 −(x+v)2 /(4t) f (v) dv, con f sue − e 9) Comprobar que u(x, t) = √4πt 0 ficientemente regular, resuelve la ecuaci´on del calor para x ∈ [0, +∞) bajo las condiciones u(0, t) = 0 y u(x, 0) = f (x), x > 0. P∞ −π 2 n2 t 10) Comprobar que u(x, t) = sen(πnx) satisface formalmente la n=1 an e ecuaci´on del calor para la “varilla” x ∈ [0, 1] con extremos “fr´ıos” u(0, t) = u(1, t) = 0. R1 Calculando 0 u(x, t) sen(πnx) dx, hallar an en funci´on de la temperatura inicial f (x) = u(x, 0). Si es posible, con la ayuda de un ordenador trazar gr´aficas de u para diferentes tiempos cuando f (x) = 1/2 − |x − 1/2|.

11) Si an y bn son los coeficientes de Fourier de f y g (de periodo uno), hallar los R1 coeficientes de Fourier de h(x) = 0 f (x − t)g(t) dt. 47

´ n 2.1 Seccio

Trabajos sugeridos a s´ olo 3 centauros (el precio de esta fotocopia) De la secci´on: ◦ Termodin´amica. ◦ Ecuaciones de la combusti´on. Generales: ◦ An´alisis Funcional y Teor´ıa de Distribuciones en Mec´anica Cu´antica. ◦ Redes neuronales.

Y por el mismo precio, las palabras del sabio: La serie de Fourier es un precioso instrumento del cual el an´ alisis hace un uso continuo; por ese medio es c´ omo ha podido representar funciones discontinuas. Si Fourier lo ha inventado fue para resolver un problema de f´ısica, relativo a la propagaci´ on del calor. Si este problema no se hubiera planteado naturalmente, nunca se habr´ıa osado resistir al continuo sus derechos; durante mucho tiempo, todav´ıa, se habr´ıa considerado a las funciones continuas como las u ´nicas verdaderas. [Po] p. 101.

48

2.2. Todo en blanco y negro No es necesario comprarse un esc´aner ni una c´amara digital, basta darse un garbeo por la red para toparse con montones de fotos cuya extensi´on es .jpg que corresponden al formato JPEG (seg´ un parece, ser´ıa m´as propio decir JFIF). La raz´on de su insistente presencia es que permite conservar una calidad fotogr´afica bastante aceptable con ficheros de tama˜ no relativamente peque˜ no y por tanto susceptibles de ser transmitidos con rapidez. Lo que hay en estos ficheros es una versi´on filtrada y comprimida de los coeficientes de Fourier discretos de diferentes trocitos de la fotograf´ıa. As´ı que puede que las Matem´aticas no sirvan para nada, pero podemos recibir por e-mail una foto con beso de nuestra pareja ausente, almacenar en nuestro disco duro una imagen del nuevo sobrinito reci´en tomada con una c´amara digital, o retocar la cara de nuestro profesor sin efectos secundarios, gracias a que alguien entendi´o las t´ecnicas estudiadas en la asignatura Ecuaciones Diferenciales y An´alisis Funcional o en Variable Real. En primer lugar definiremos qu´e es una fotograf´ıa, o para ser m´as modernos, una foto digitalizada. Usualmente es un rect´angulo formado por pixels (cuadraditos), cada uno de ellos dotados de un color. Matem´aticamente se puede considerar como un funci´on F : R −→ C

R = ([a, b] × [c, d]) ∩ Z2 ,

con

asignando al pixel (i, j) del rect´angulo R el color F (i, j). Los colores se especifican por tres bytes (la cantidad de rojo, verde y azul que contienen), de modo que hay 2 8 · 28 · 28 = 16 777 216 colores diferentes. En el formato JPEG hay un tratamiento previo del color (se hace un cambio de coordenadas a las llamadas coordenadas de luminancia y crominancia) porque la fisiolog´ıa de nuestro ojo causa que seamos capaces de distinguir mejor unos colores que otros. Para librarnos de este detalle t´ecnico digamos que nuestra fotograf´ıa es en blanco y negro. De todos los colores anteriores s´olo 256 corresponden a tonos de gris. Numer´andolos del −128 (negro) al 127 (blanco) se tiene C = {−128, −127, . . . , 0, . . . , 127}. Como puede haber partes de la foto m´as dif´ıciles de analizar que otras, se subdivide el rect´angulo R en cuadraditos Qi de 8 × 8 pixels. La restricci´on de F a cada uno de ¯ ellos es una subfotito, f = F ¯Q , que en la jerga se llama data unit y aqu´ı denominaremos i simplemente bloque. Todos ellos se tratan de la misma forma, as´ı que se puede suponer f : Q −→ C

con

Q = {0, 1, 2, . . . , 7} × {0, 1, 2, . . . , 7}

y

C = {−128, . . . , 127}.

Evidente todas estas posibles funciones f que determinan un bloque pueden identificarse con un subconjunto del espacio vectorial V = {f : Q −→ R}. Lo que vamos a hacer es hallar una base B de V y representar f por sus coordenadas en dicha base. Asignaremos a cada elemento de la base un n´ umero que indique lo distinguible que es a simple vista, y eliminaremos las coordenadas peque˜ nas de los elementos poco visibles, o las almacenaremos con menos precisi´on. Con este filtrado de las coordenadas perderemos informaci´on acerca 49

de f , pero apenas notaremos los cambios a simple vista. Es decir, habremos conseguido una compresi´on razonable del espacio en memoria que ocupa cada bloque y, por tanto, la imagen total F .

Diccionario: • Foto en blanco y negro −→ • Bloque de 8 × 8 pixels −→

F : R −→ C = {−128, . . . , 127}

f : Q = {0, 1, 2, . . . , 7}2 −→ C

• An´alisis del bloque f −→ Expresi´on de f en cierta base B de V = {f : Q −→ R}

• Compresi´on −→ Eliminaci´on o modificaci´on de algunas coordenadas. La pregunta natural es c´omo escoger una base B de V . Evidentemente hay infinitas posibilidades, pero buscamos una que sea adecuada. La idea parte del an´alisis de Fourier, que nos dice que “cualquier” funci´on (se˜ nal) peri´odica de periodo L se puede expresar como una suma quiz´a infinita de sen(2πkx/L) y cos(2πkx/L) con ciertos coeficientes. De modo que para una funci´on definida en [0, L] la serie de Fourier es su extensi´on peri´odica. Si sacrificamos esta u ´ltima propiedad hay varios artificios para usar s´olo senos o cosenos (a fin de cuentas sen(x + π/2) = cos x), lo cual puede ser u ´til computacionalmente, y con un poco de ingenio se puede acelerar la convergencia con respecto a la serie de Fourier usual. Por ejemplo, una funci´on definida en [0, L] se expresa como una suma de cosenos de la forma cos(πk(x + 1/2)/L), con ciertos coeficientes. Para extender el resultado a dos dimensiones basta considerar productos de cosenos de esta forma, uno por cada variable. En nuestro caso L = 8 y s´olo queremos analizar funciones discretas, es decir, con (x, y) = (n, m) ∈ Z2 . Si todo funcionase igual que en el caso continuo, las funciones φkl (n, m) = cos

¢ ¡ πl ¢ ¡ πk (2n + 1) · cos (2m + 1) 16 16

deber´ıa dar lugar a una base. Ciertamente el argumento anterior es s´olo un leve indicio o una ayuda a nuestra intuici´on. Necesitamos una prueba rigurosa. Proposici´ on 2.3 . B = {φkl }7k,l=0 es una base de V = {f : Q −→ R}. De hecho es una base ortogonal con respecto al producto escalar “usual” hf, gi =

7 X

f (n, m)g(n, m).

n,m=0

Dem.: Cada funci´on f ∈ V queda determinada por su valor en los 64 elementos de Q, 50

por tanto dim V = 64, y como B ⊂ V con |B| = 64, B es una base si y s´olo si sus elementos son linealmente independientes. Para verlo basta comprobar que son ortogonales, ya que en ese caso 7 X

k,l=0

λkl φkl = 0 ⇒

7 X

k,l=0

λkl hφkl , φk0 l0 i = 0 ⇒ λk0 l0 = 0.

N´otese que para a ∈ Z, 0 < |a| < 16, 7 7 ¢ ¢ ¡ iπa/16 X ¢ ¡X ¡ πa iπa(2n+1)/16 = Re e eiπan/8 = 0. (2n + 1) = Re e cos 16 n=0 n=0 n=0 7 X

(La u ´ltima igualdad se sigue de la f´ormula para sumar una progresi´on geom´etrica o usando las propiedades de las ra´ıces de la unidad). Partiendo de la f´ormula elemental

2 cos

¡ πk1 ¢ ¡ πk2 ¢ ¡ π(k1 + k2 ) ¢ ¡ π(k1 − k2 ) ¢ (2n+1) ·cos (2n+1) = cos (2n+1) +cos (2n+1) , 16 16 16 16

seg´ un lo anterior al sumar en n con 0 ≤ k1 , k2 ≤ 7 el resultado es nulo excepto si k1 −k2 = 0. Cambiando k1 , k2 y n por l1 , l2 y m, se deduce en definitiva que hφk1 l1 , φk2 l2 i = 0 excepto si k1 − k2 = l1 − l2 = 0. N´otese que hφ00 , φ00 i = 82 = 64 y del c´alculo de la demostraci´on se deduce que en el resto de los casos hφkl , φkl i es 4 · 8 o 4 · 4 dependiendo de si k o l son cero o no. Una consecuencia inmediata es el desarrollo de Fourier en serie discreta de cosenos [Ma]: Corolario 2.4. Si f ∈ V entonces f=

7 X

k,l=0

λkl φkl

con

λkl = δk δl hf, φkl i

con δn =

(

1/8 si n = 0 1/4 si n 6= 0

En vez de guardar los valores de los colores indicados por f en los 64 elementos de Q, podemos almacenar los coeficientes λkl , pero con ello todav´ıa no hemos ganado nada, siguen siendo 64 n´ umeros, incluso es peor, porque los λkl no son enteros en general, y al guardarlos en la memoria discreta de una computadora perdemos decimales. El corolario anterior permite expresar un bloque f : Q −→ C como una superposici´on (suma) de las fotos b´asicas correspondientes a ciertos m´ ultiplos de las funciones de B. Como todas las φkl , excepto φ00 , tienen promedio cero, todas estas fotos b´asicas, menos 51

la primera, se ver´an como un cuadrado del color correspondiente a cero (un gris medio) cuando estemos suficientemente lejos o si tenemos una vista poco aguda. Pero las m´as oscilatorias (k y l mayores) dejan de distinguirse antes. Con un ejemplo quedar´a m´as claro. Consideremos los cuadrados

Los tres primeros representan m´ ultiplos de las funciones base φ40 , φ44 y φ77 . mientras que el u ´ltimo es un cuadrado de color cero. Si miramos desde lejos (quiz´a a unos metros) el tercero y el cuarto parecer´an iguales: una mancha gris. Desde mucho m´as lejos puede que lleguemos a ver el segundo igual; y cuando apenas podamos distinguir los cuadrados, todos nos pareceran similares. En las im´agenes en formato JPEG estos cuadrados suelen ser menores y por tanto el efecto es m´as acusado (adem´as aqu´ı est´a empobrecido por la poca calidad de impresi´on y porque seguramente el papel no est´a blanqueado). La conclusi´on es que en general no pasa nada grave si cometemos un error peque˜ no en λ77 ya que φ77 no se distingue demasiado de la funci´on nula. El error que nos podemos permitir en λ44 es menor, y en λ04 menor todav´ıa. Los chicos del JPEG son, como indica el acr´ostico (Joint Photographic Experts Group), unos expertos que (¿ayudados por buenos “videntes”?) han mirado con cuidado los errores enteros m´aximos en cada coeficiente de manera que a simple vista no se note un gran cambio en la calidad de la imagen. Como en el mundo de la inform´atica y aleda˜ nos todo debe tener un nombre ampuloso, estos n´ umeros (los errores) se conocen como coeficientes de cuantizaci´on, y la tabla formada por ellos matriz de cuantizaci´on. Su elecci´on es en principio arbitraria pero ellos recomiendan



e00  e10 E=  ...

e70

e01 e11 .. .

... ... .. .

e11

...



16 12    e07  14 e17    14 = ..    18 .   24 e77  49 72

11 12 13 17 22 35 64 92

10 14 16 22 37 55 78 95

16 24 19 26 24 40 29 51 56 68 64 81 87 103 98 112

 40 51 61 58 60 55   57 69 56   87 80 62  . 109 103 77   104 113 92   121 120 101 100 103 99

Lo que realmente se almacena (de manera comprimida) en un fichero .jpg no son los λ kl sino la parte entera de λkl /ekl que ocupa muy poca memoria, y que para las frecuencias altas (k, l grandes) tiene grandes posibilidades de ser cero porque los e kl son en ese caso grandes. Evidentemente un fichero que tiene muchos ceros es susceptible de ser comprimido con diferentes algoritmos que no se discutir´an aqu´ı, aunque son una parte fundamental del ´exito del formato. Cuando nos llega a trav´es de la red un fichero .jpg, despu´es de 52

descomprimirlo, nuestro ordenador trata de reconstruir los λkl aproximadamente a partir de las partes enteras de λkl /ekl . Simplemente multiplicando por ekl se comete un error m´aximo de ekl seg´ un el siguiente sencillo resultado: e = e E(λ/e), donde E = E(x) es la funci´on Lema 2.5 . Sea e ∈ Z+ y λ ∈ R. Si λ e < e. parte entera, entonces 0 ≤ λ − λ

Dem.: Dividiendo λ entre e se obtiene un cociente entero q y un resto 0 ≤ r < e de forma que λ = qe + r. Por tanto e E(λ/e) = eq = λ − r. Pe Finalmente el ordenador aproxima cada bloque de la imagen por λkl φkl , mostrando en pantalla algo muy parecido a la foto digitalizada original. (Esta explicaci´on es un poco esquem´atica. En realidad los ficheros .jpg contienen tambi´en una cabecera con informaci´on por ejemplo acerca de la matriz de cuantizaci´on. Adem´as en la pr´actica en la codificaci´on se emplea la funci´on entero m´as cercano en vez de la parte entera [Wa]). El proceso descrito para la creaci´on de un fichero .jpg a partir de una fotograf´ıa se ´ puede entender como un filtrado de frecuencias eliminando casi siempre las mayores. Esta es una situaci´on que se repite en otros contextos: Por muy bien que queramos grabar un sonido, nos podemos olvidar de las frecuencias mayores que 20 000 Hz porque quiz´a a nuestro perro le gusten, pero superan nuestro nivel de audici´on (son ultrasonidos); o por mucha calidad que queramos dar a una pel´ıcula no es necesario que proyectemos los ultravioletas porque los espectadores no van a notar su existencia (a no ser que incrementemos su intensidad y se pongan morenos). Veamos el efecto del filtrado de frecuencias sobre una imagen que conocemos bien.

En la primera imagen se han eliminado todos los λkl excepto λ00 (esto es como elegir 53

ekl = 256 y e00 = 1). En la segunda se incluyen tambi´en λ01 , λ10 , λ11 y λ02 , con lo cual la calidad mejora sensiblemente. Comparando estas im´agenes podemos apreciar la singularidad de la funci´on base φ00 frente al resto de las φkl . Al ser φ00 constante, en la primera imagen cada bloque tiene el color de su promedio y el resultado es cubista o “cuadradista”. Las otras φkl son oscilatorias de promedio cero y sirven para representar las variaciones que dan lugar a los detalles. En la jerga al uso, al coeficiente de φ 00 se le llama DC, y al resto AC. Estos AC y DC significan lo mismo que en el High Voltage o en los alimentadores de nuestros dispositivos electr´onicos, puesto que son las siglas de Altern Current y Direct Current (evidentemente, corriente alterna y corriente continua). En la siguiente imagen se consideran todos los λkl con 0 ≤ k, l < 4. A pesar de ser u ´nicamente la cuarta parte de los coeficientes, la calidad es bastante aceptable. Podemos potenciar ciertos efectos notando por ejemplo que los φkl con k peque˜ no presentan pocas variaciones horizontales y por tanto no permiten distinguir detalles en esta direcci´on. Como se ve en la u ´ltima imagen, anulando todos los λkl excepto las que tienen k = 0, se logra perder precisi´on en las l´ıneas horizontales frente a la verticales.

De nuevo hay que tener en cuenta que la calidad de impresi´on (y un ligero filtrado previo para poder manipular los ficheros) perjudican en cierta medida la calidad de las im´agenes tal como aparecen aqu´ı.

54

Ejercicios 1) Sin mirar la teor´ıa: a) Indicar por qu´e y en qu´e sentido las frecuencias grandes se suelen despreciar en el formato JPEG. b) Explicar para qu´e sirve la matriz de cuantizaci´on. 2) Hallar los λkl de una foto que consta de un solo punto. 3) Repetir el problema anterior para una recta horizontal, simplificando al m´aximo los λkl . 4) Demostrar que todos los valores de las funciones φkl (n, m) se pueden calcular a partir de cos(π/16) efectuando s´olo sumas restas y multiplicaciones. (Una forma computacionalmente u ´til de organizar las operaciones da lugar a la conocida FFT Fast Fourier Transform [Ge], [Ta]). 5) Probar que si los bloques tuvieran j×j pixels en lugar de 8×8, entonces φ kl (n, m) = πl + 1)) · cos( 2j (2m + 1)) con k, l ∈ {0, 1, . . . , j − 1}, ser´ıa una base ortogonal de

cos( πk 2j (2n

V . Hallar δn .

6) Suponiendo un bloque de 3 × 3 pixels con f (n, m) = −128 si n, m ∈ {0, 1} y f (n, m) = 0 si n = 2 o m = 2; calcular los λkl con la base del problema anterior. Hallar tambi´en los valores de f que se reconstruir´ıan si la matriz de cuantizaci´on tuviera e ij = 20(1 + i + j), i, j ∈ {0, 1, 2} y se cuantizara redondeando al entero m´as cercano. 7) Probar que Be = {ψkl }7k,l=0 con ψkl (n, m) = e((kn+lm)/8) es una base de V = {f : P Q −→ C}, y que es ortogonal con el producto escalar hf, gi = f (n, m)g(n, m). Hallar la f´ormula para los λkl y tratar de encontrar alguna ventaja y alg´ un incoveniente si B se e reemplaza por B. P7 8) Hallar una f´ormula para n,m=0 (f (n, m))2 en t´erminos de los λkl . ¢ ¡ πlm ¢ ¡ · sen es una base ortogonal 9) Probar que {ψkl }6k,l=1 con ψkl (n, m) = sen πkn 7 7 del subespacio de V formado por las funciones que se anulan en el borde de Q.

10) Calc´ ulese la serie de Fourier (introducida en la secci´on anterior) de la funci´on parte fraccionaria. Comprobar que la serie no converge absolutamente y que en 0 y 1 ni siquiera converge al valor de la funci´on tomando el l´ımite de las sumas parciales con |n| ≤ N , N → ∞. (Esto prueba los efectos negativos globales que tienen las discontinuidades sobre la serie de Fourier, y refleja las deficiencias del formato JPEG al enfrentarse a bordes abruptos). 11) Dada f : [0, L] −→ R se define su extensi´on par fp : [−L, L] −→ R como fp (x) = f (|x|). Dando por supuestas buenas propiedades de convergencia de la serie de P Fourier de fp en [−L, L], demostrar que f (x) = cn cos( πn L x) para x ∈ [0, L]. Concluir que, bajo buenas condiciones de convergencia, para f : [−1/2, L − 1/2] −→ R se tiene ¡ ¢ P f (x) = dn cos πn (2x + 1) . 2L 55

´ n 2.2 Seccio

Trabajos sugeridos a s´ olo 3 centauros (el precio de esta fotocopia) De la secci´on: ◦ Compresi´on fractal de im´agenes y otros m´etodos de compresi´on. ◦ Tratamiento y an´alisis de se˜ nales. ◦ El principio de incertidumbre. Generales: ◦ Prospecciones geol´ogicas. ◦ Estrategias en las apuestas quiniel´ısticas.

Y por el mismo precio, las palabras del sabio: Detr´ as de la serie de Fourier, otras series an´ alogas han entrado en los dominios del an´ alisis y lo han hecho por la misma puerta; han sido imaginadas en vista de sus aplicaciones. [Po] p. 101.

56

2.3. Buscando la luz Uno de los descubrimientos cient´ıficos que han influido m´as dr´asticamente en nuestra vida cotidiana es el de las ondas electromagn´eticas. Hist´oricamente dicho descubrimiento lo llev´o a cabo H. Hertz en un primitivo laboratorio en 1888, y su aplicaci´on pr´actica a las telecomunicaciones fue obra en gran medida de G. Marconi, a caballo entre los siglos XIX y XX. Pero dif´ıcilmente esto habr´ıa sido posible sin el modelo te´orico introducido por J.C. Maxwell en 1873. En su famoso tratado [Mx] describe minuciosamente experimentos y resultados anteriores, y despu´es de pasarlos por los m´etodos del incipiente C´alculo Vectorial (una de las primeras pruebas del teorema de Stokes est´a en [Mx]), los transforma en las famosas ecuaciones de Maxwell. Como ´este no es el lugar adecuado para estudiar Electrodin´amica, nos limitaremos a una descripci´on somera e incompleta de la situaci´on f´ısica (v´ease [Fe-Le-Sa] para profundizar). Los campos el´ectrico y magn´etico se indican respectivamente mediante dos ~ y B. ~ La propia ley de Coulomb en el caso est´atico y, en cualquier funciones vectoriales E caso, experimentos muy precisos, muestran que el flujo del campo el´ectrico a trav´es de una ´ superficie cerrada que no encierra cargas es nulo. Esta es la ley de Gauss. En t´erminos matem´aticos, en ausenciaZde cargas ~ =0 ~ · dS E para S superficie cerrada. (2.3) S

Esto es algo as´ı como decir que si no hay fuentes de campo el´ectrico internas, lo que entra en S por un lado sale por otro.

La relaci´on entre el campo el´ectrico y el magn´etico es hoy d´ıa bien conocida por medio del principio de la dinamo. Al pasar un im´an por una espira conductora L aparece una corriente el´ectrica circulando por ella, y cuanto m´as deprisa pasemos el im´an o cuantos m´as imanes pongamos en la superficie S que limita la espira, mayor es la fuerza electromotriz inducida.

N

S

Esto hace pensar que la variaci´on del flujo del campo magn´etico es proporcional a la circulaci´on del campo el´ectrico por la espira. En una f´ormula: d dt

Z

S

~ =K ~ · dS B

Z

L

~ · d~l. E

Cuando el flujo aumenta, la circulaci´on el´ectrica va en sentido negativo, as´ı que K < 0, y se 57

han elegido las unidades en el Sistema Internacional de forma que K = −1. En definitiva, se tiene la ley de Faraday-Henry: (2.4)

d dt

Z

S

~ =− ~ · dS B

Z

L

~ · d~l E

para S superficie con frontera L.

Los fen´omenos el´ectricos y magn´eticos son en cierto modo sim´etricos, y al igual que la ley de Coulomb conduce a (2.3), la ley de Amp`ere-Laplace [Al-Fi] o, siguiendo a Maxwell, los “monopolos magn´eticos” (no se sabe si existen) [Go] p. 157, conducen a la ley de Gauss para el campo magn´etico: Z

(2.5)

S

~ =0 ~ · dS B

para S superficie cerrada.

Por ello no es extra˜ no que se cumpla el an´alogo de (2.4) aunque no se puedan ajustar simult´aneamente las unidades, de manera que el −1 debe reemplazarse por otra constante m´as fea, que esta vez es positiva y denotaremos con c2 . Este an´alogo de (2.4) se llama ley de Amp`ere-Maxwell o quiz´a m´as propiamente ley de Maxwell: (2.6)

d dt

Z

S

~ =c ~ · dS E

2

Z

L

~ · d~l B

para S superficie con frontera L.

Donde se supone que no hay cargas (corrientes) atravesando S. En realidad esta ecuaci´on R ~ ~l. es dif´ıcil de comprobar experimentalmente por el t´ıpicamente peque˜ n´ısimo valor de L B·d Maxwell lleg´o a ella considerando el caso en que hab´ıa cargas libres y probando que si no se cumpliese (2.6) con una constante espec´ıfica, la carga total no se conservar´ıa [Al-Fi], [FeLe-Sa]. Actualmente se conoce que c2 = 80 9874 · 1016 , la estimaci´on de Maxwell fue algo peor [Mx]. Quiz´a por la notaci´on, o extrayendo su ra´ız cuadrada, muchos se percatar´an de que no es una constante tan fea.

Diccionario: ~ yB ~ que satisfacen (2.3), • Campos el´ectrico y magn´etico −→ Funciones vectoriales E (fuera de las cargas)

(2.4), (2.5) y (2.6).

~ yB ~ son ondas, en el sentido de que cada una Vamos a probar que necesariamente E de sus componentes verifican la ecuaci´on de ondas. Con este fin escribiremos, al igual que hizo Maxwell, las ecuaciones anteriores en una forma m´as sint´etica. 58

~ = E(x, ~ ~ = B(x, ~ Proposici´ on 2.6 . Sean E y, z, t) y B y, z, t) funciones vectoriales regu3 ~ ~ lares E, B ∈ R verificando (2.3), (2.4), (2.5) y (2.6). Entonces tambi´en satisfacen las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial ~ = 0, div E

(2.7)

~ = 0, div B

~ ∂B ~ = −rot E, ∂t

~ ∂E ~ = c2 rot B. ∂t

Adem´as cada una de sus componentes verifican la ecuaci´on de ondas ∂ 2 u/∂t2 = c2 ∆u donde ∆ es el operador laplaciano ∂ 2 /∂x2 + ∂ 2 /∂y 2 + ∂ 2 /∂z 2 . Dem.: Aplicando el teorema de la divergencia a (2.3) y (2.5) se tiene Z

~ dVol = 0 div E

y

R

Z

~ dVol = 0 div B R

~ = 0 donde R es la regi´on s´olida acotada por S. Como S es arbitraria se deduce div E ~ = 0. y div B Introduciendo la derivada bajo el signo integral en (2.4) y (2.6), y aplicando el teorema de Stokes Z

S

~ ∂B ~ =− · dS ∂t

Z

S

~ ~ · dS rot E

y

Z

S

~ ∂E ~ = c2 · dS ∂t

Z

S

~ ~ · dS. rot B

~ ~ y de ∂ E/∂t ~ ~ Al pasar todo a un miembro, se tiene que los flujos de ∂ B/∂t + rot E − c2 rot B son nulos a trav´es de cualquier superficie, por lo que ambos campos deben ser nulos. Antes de seguir mencionaremos la relaci´on ∆F~ − ∇(div F~ ) = −rot rot F~ donde el laplaciano act´ ua sobre F~ coordenada a coordenada. Probarlo se reduce a un c´alculo tedioso. (2.8)

Al derivar con respecto de t la cuarta ecuaci´on de (2.7) y sustituyendo la tercera, se sigue ~ ∂2E ~ (2.9) = −c2 rot rot E. 2 ∂t ~ = 0 se llega inmediatamente a la ecuaci´on de ondas. De la misma Empleando (2.8) y div E forma, al derivar con respecto de t la tercera ecuaci´on de (2.7) y sustituir la cuarta, se llega ~ en lugar de E, ~ y por tanto B ~ tambi´en satisface la ecuaci´on de ondas. a (2.9) con B En 1873 nadie cre´ıa haber visto nunca una onda electromagn´etica, pero Maxwell conjetur´o que se enga˜ naban porque la luz era una onda electromagn´etica. Su conjetura 59

ven´ıa avalada por el hecho de que la velocidad c de las soluciones de la ecuaci´on de ondas era parecida seg´ un sus c´alculos (e id´entica seg´ un los actuales) a la velocidad de la luz. Con la maquinaria matem´atica adecuada es posible deducir propiedades ´opticas como la difracci´on a partir de las ecuaciones de Maxwell [Co]. Por otro lado, cuando Hertz descubri´o las primeras ondas electromagn´eticas invisibles, dedic´o parte de sus esfuerzos a comprobar las propiedades que compart´ıan con la luz, en especial la reflexi´on. Para explicar en qu´e sentido las soluciones de la ecuaci´on de ondas son ondas de velocidad c, fij´emonos en el caso de una dimensi´on espacial, en el que la ecuaci´on se reduce a 2 ∂2u 2∂ u = c . ∂t2 ∂x2 Su soluci´on general es u = u1 + u2

con

u1 = f (x − ct),

u2 = g(x + ct)

donde f y g son funciones C 2 arbitrarias. N´otese que la gr´afica de u1 para t = 0 coincide con la de f ; para t = 1 se traslada c unidades a la derecha; para t = 2 se traslada 2c unidades, etc. Lo mismo ocurre con u2 salvo que ahora la gr´afica viaja a la izquierda con velocidad c. El caso tridimensional general es geom´etricamente m´as complejo [Co], [FeLe-Sa] §20) pero cualitativamente similar: un “pulso” que pasa por cierto punto tarda en llegar a otro punto situado a distancia d un tiempo d/c. Por ejemplo, la soluci´on general cuando u(~x, 0) = 0 viene dada por [Dy-Mc] u(~x, t) = t

−1

Z

f (~x + ct~v ) dS(~v )

donde la integral se extiende a la esfera unidad k~v k = 1. Para f muy concentrada en el origen, al cabo de t segundos observaremos una onda esf´erica en k~xk = ct. Al igual que en el caso de la ecuaci´on del calor, los desarrollos de Fourier y sus generalizaciones se muestran como un instrumento fundamental para el estudio de las soluciones de la ecuaci´on de ondas que satisfacen ciertas condiciones de contorno especificadas. Ep´ılogo: A principios del siglo XX hab´ıa evidencias te´oricas y experimentales que suger´ıan que las ecuaciones de Maxwell eran ciertas en cualquier sistema inercial (para observadores en reposo o con velocidad constante), y ´esta fue la base para la creaci´on de la Teor´ıa de la Relatividad [Po] §VIII. Sin entrar en detalles, sup´ongase que buscamos cambios lineales entre diferentes sistemas de referencia que dejen fijos el operador correspondiente a la ecuaci´on de ondas, = c2 ∆ − ∂ 2 /∂t2 , entonces se llega indefectiblemente a que la u ´nica posibilidad son las transformaciones de Lorentz. Proposici´ on 2.7 . Las aplicaciones lineales invertibles T : R4 −→ R4 que verifican (u◦T ) = ( u)◦T para toda u = u(x, y, z, t) ∈ C 2 , coinciden con las que dejan invariante 60

la forma cuadr´atica Q(x, y, z, t) = x2 +y 2 +z 2 −c2 t2 , llamadas transformaciones de Lorentz (generalizadas). Nota: Orientando adecuadamente los ejes espaciales, las transformaciones de Lorentz generalizadas se reducen a la transformaci´on de Lorentz por antonomasia que aparece en los libros de F´ısica [Al-Fi] §6.6. Siguiendo a Minkowski (que hab´ıa sido profesor de Einstein), estas transformaciones se pueden entender como los movimientos r´ıgidos en R 4 dotado de una distancia “rara” (no es positiva) que viene definida a trav´es de la forma cuadr´atica de la proposici´on [Gl]. Esta interpretaci´on geom´etrica le pareci´o inicialmente in´ util a Einstein, pero m´as tarde se mostr´o necesaria para llegar a entender la gravitaci´on. Dem.: Para u suficientemente regular, por la f´ormula de inversi´on u(T ~x) =

Z

~ ~ dξ1 dξ2 dξ3 dξ4 u b(ξ)e(−T ~x · ξ)

~ y aplicando Escribiendo T ~x · ξ~ = ~x · (T t ξ) (u ◦ T )(~x) = 4π

2

Z

con ~x = (x, y, z, t).

se llega a

~ (ξ)e(−T ~ ~ dξ1 dξ2 dξ3 dξ4 u b(ξ)P ~x · ξ)

~ = (T t ξ) ~ t D(T t ξ) ~ y D la matriz diagonal con d11 = d22 = d33 = c2 , d44 = −1. donde P (ξ) ~ = ξ~t Dξ. ~ De aqu´ı T DT t = D Al comparar con ( u)(T ~x) se tiene que debe cumplirse P (ξ) o equivalentemente (T −1 )t c2 D−1 T −1 = c2 D−1 . Como c2 D−1 es la matriz de Q, se sigue que Q(T −1 ~x) = Q(~x), o cambiando ~x por T ~x, Q(~x) = Q(T ~x).

61

62

Ejercicios ~ = 0 indica que el flujo el´ectrico es 1) Sin mirar la teor´ıa: a) Explicar por qu´e div E ~ ~ a partir de su significado experimental. nulo. b) Deducir la ecuaci´on ∂ B/∂t = − rot E ~ = rot A ~ yE ~ = −∇φ − ∂ A/∂t ~ 2) En electrodin´amica se suele escribir B donde φ y ~ son funciones que verifican c2 div A ~ + ∂φ/∂t = 0 llamadas potencial escalar y potencial A vectorial, respectivamente. Probar, usando las ecuaciones de Maxwell, que F~ = ~0 donde ~ y F~ es un campo vectorial de R4 definido por F~ = (c−1 φ, A)

= c2 ∆ − ∂ 2 /∂t2 .

3) Sea φ ∈ C02 y ~n un vector unitario. Comprobar que u(~x, t) = φ(ct−~n ·~x) es soluci´on de la ecuaci´on de ondas. Tratar de explicar por qu´e se dice que ´esta es una onda plana. 4) Supongamos que E3 = 0 y que E1 y E2 no dependen de la variable z. Demostrar que si en alg´ un instante B1 y B2 se anulan, entonces se anulan para todo tiempo. 5) Sea A+ y A− los operadores A± = ∂/∂t ± c∂/∂x. Comprobar que la ecuaci´on de ondas se puede escribir como A− A+ u = 0. Escribiendo u(x, t) = v(x + ct, x − ct) con ¢ ¡ a−b on general es u(x, t) = f (x − ct) + g(x + ct). v(a, b) = u a+b 2 , 2c , demostrar que su soluci´

6) En presencia de una distribuci´on continua de cargas, la primera ecuaci´on de ~ = ²−1 ρ donde ²0 es una constante y ρ es la densidad de Maxwell debe modificarse a div E 0 R ~ = ²−1 Q donde Q ~ · dS carga (carga por unidad de volumen). Probar que en ese caso S E 0 es la carga total encerrada por la superficie cerrada S.

7) Consid´erese la ecuaci´on de ondas unidimensional en 0 ≤ x ≤ 1 bajo las condiciones R1 de contorno u(0, t) = u(1, t) = 0 para todo t ∈ R. Probar que la energ´ıa 0 (∂u/∂t)2 dx + R1 c2 0 (∂u/∂x)2 dx es constante. Tratar de generalizar este hecho al caso tridimensional (para ello conviene recordar la identidad de Green). ~ verifica 8) Sea G un giro de ´angulo α alrededor de uno de los ejes. Probar que si E ~ ◦ G−1 tambi´en lo hace. Tratar de explicar la primera ecuaci´on de Maxwell entonces G E el significado f´ısico. ¡ ¢ 9) La transformaci´on de Lorentz act´ ua como (x, t) 7→ γ(x − vt), γ(t − vx/c2 ) con p γ = 1 − v 2 /c2 . Comprobar que deja la forma cuadr´atica x2 −c2 t2 invariante y demostrar directamente que si una funci´on satisface la ecuaci´on de ondas unidimensional, al transformar las variables de esta forma la sigue cumpliendo. R R d ~ se conoce con el nombre 10) Explicar por qu´e la relaci´on dt ρ dVol = − ρ~v · dS R S de “ley de conservaci´on de la carga” donde ρ es la densidad de carga, ~v es la velocidad de las cargas en cada punto, y R es una regi´on s´olida arbitraria con frontera S. 11) Demostrar que ∆F~ = ∇(div F~ ) − rot rot F~ .

63

Fernando Chamizo.

´ n II Modelizacio

´ n 2.3 Seccio

Trabajos sugeridos a s´ olo 3 centauros (el precio de esta fotocopia) De la secci´on: ◦ Difracci´on. ◦ Comentario paso a paso del famoso art´ıculo de Einstein en 1905 sobre la relatividad especial. ◦ La ecuaci´on de Dirac (s´olo aconsejable si se tienen conocimientos previos de F´ısica). ◦ Circuitos electr´onicos. Generales: ◦ Aplicaciones de la Teor´ıa de Grupos. ◦ Ecuaciones b´asicas de la F´ısica Cu´antica.

Y por el mismo precio, las palabras del sabio: Cuando Maxwell hubo comenzado sus trabajos, las leyes de la electrodin´ amica admitidas hasta entonces daban cuenta de todos los hechos conocidos. No hab´ıa ninguna experiencia nueva que hubiera venido a invalidarlas. Pero examin´ andolas seg´ un un a ´ngulo nuevo, Maxwell reconoci´ o que las ecuaciones se vuelven m´ as sim´ etricas cuando se les agrega un t´ ermino. Por otra parte, este t´ ermino era demasiado peque˜ no para introducir efectos apreciables con los m´ etodos antiguos. Se sabe que los concimientos a priori de Maxwell han esperado veinte a˜ nos una confirmaci´ on experimental. Si prefer´ıs, Maxwell ha precedido en veinte a˜ nos a la experiencia. ¿C´ omo se ha obtenido este triunfo? Porque Maxwell estaba profundamente impregnado del sentimiento de la simetr´ıa matem´ atica. ¿Habr´ıa sido lo mismo si otros no hubieran investigado antes esa simetr´ıa por su propia belleza? [Po] p. 97.

64

´jame alguna experiencia, de ´jame participar 4 De

Corriente alterna, corriente continua Material: - Una rueda que se pueda hacer girar r´apido (por ejemplo de un juguete). - Cartulina blanca. - Un rotulador oscuro. - Una linterna a pilas

Comenzaremos cortando un c´ırculo de cartulina blanca que podamos pegar o ajustar con cuerdas a la rueda que gira. Si ´esta tiene alg´ un eje que sobresalga se puede dar a la cartulina forma ligeramente c´onica (como un gorro chino). Dividiremos el c´ırculo en cierto n´ umero par de sectores iguales y colorearemos uno de cada dos con el rotulador (como una sombrilla). A no ser que la rueda se pueda hacer girar realmente muy r´apido no conviene hacer un n´ umero de sectores inferior a 20 o 30* . 



















 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 















































































 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 











 































































 
 
 
 
 
  
  
  
  
  
 
 
 
 
 
  
 
 









                  










 




                 

























 











   
 
  
  
  
  
  
 
 
 
 
 
  
 
 






















































  
 
 
















 
    


  


















  
   


  
















 
    


  
   




















 
 
 
  


  








































































































































 






 


















 
    



 



  
  



















 















  





 
 
  


   












 



 


 


 


 



 



 



 



 



 



 



 



 



 

   
 




 
 

















 




   



 




























 




    









  
  





















 







    






 



 

  




















































































 

 
 
  

 
 
    


































 








 












 



    


  
  


 
 
  


  







   
 
 
  









 




 
 
 
  





Lo que vamos a reproducir es el fen´omeno que tantas veces se ve en la televisi´on o el cine, consistente en que las aspas de un helic´optero o los tapacubos de un coche parecen estar por un instante detenidos o girar en sentido contrario. Para ello daremos impulso en sentido positivo a la rueda lo m´as r´apido posible y utilizaremos para ver el fen´omeno la luz artificial de cualquier l´ampara dom´estica con bombillas de incadescencia (normales y corrientes). Casi todo el tiempo veremos la rueda de color uniforme, pero en cierto momento los sectores avanzar´an lentamente en el sentido de giro hasta detenerse un instante y cambiar de sentido. Si la rueda gira muy deprisa veremos el efecto m´as de una vez. Por si no fuera ya curioso el fen´omeno, resulta que desaparece completamente al iluminar la rueda con la luz de la linterna o al usar luz natural. Explicaci´on: La corriente el´ectrica de uso dom´estico es una onda sinusoidal que oscila 50 veces por segundo (frecuencia 50 Hz). Es decir, el voltaje que sale de nuestros enchufes *

N. del A. Ajust´ e con cuerdas la cartulina dividida en 24 sectores a una rueda hueca (con radios) de 7 cm de di´ ametro de una peque˜ na calesa decorativa.

65

viene determinado por una ecuaci´on del tipo V (t) = V0 sen(100πt). Lo que aprovechan los aparatos electrodom´esticos de esta tensi´on oscilante que var´ıa entre −V 0 y V0 cada T = 1/50 = 00 02 segundos es lo que se llama tensi´on eficaz [Ru] §6.10, que viene dada por RT 2 la norma dos normalizada en cada periodo, esto es, Vef = T −1 0 |V (t)|2 dt. Sustituyendo, √ Vef = V0 / 2. En la electricidad dom´estica Vef = 220 V , de modo que el voltaje de √ nuestros enchufes alcanza picos de V0 = 220 2 = 3110 1 V . En los intervalos de la forma (−T /8+nT /2, T /8+nT /2) se cumplir´a |V (t)| < V ef , con lo cual la bombilla de nuestra l´ampara alumbrar´a poco, mientras que el resto del tiempo se cumple la desigualdad contraria. Es decir, cada T /2 segundos habr´a habido una fase de “luz” y otra de “oscuridad”. Es como encender y apagar la luz con periodo T /2.

osc. luz osc.

luz osc. luz

osc. luz

osc. Vef −Vef

Si miramos a un punto fijo de la rueda, los sectores blancos y oscuros se suceder´an con un periodo peque˜ no. Por ejemplo, si hay 15 sectores oscuros y la rueda da seis vueltas por segundo el periodo es T 0 = 1/90. Si T 0 = T /2 entonces justamente la luz estar´a encendida siempre en el instante en que un mismo tipo de sector (blanco u oscuro) est´a en el punto fijado, con lo cual nos parecer´a que los sectores se paran. En el instante anterior la rueda iba un poco m´as r´apida y por tanto T 0 = T /2 − ². As´ı pues, tras los T /2 segundos que transcurren desde que la luz se enciende hasta que se vuelve a encender, como los sectores oscilan un poco m´as r´apido, les habr´a dado tiempo a ir un poco m´as lejos de la siguiente posici´on y parecer´a que se desplazan en sentido positivo. El efecto contrario se produce cuando por causa de la deceleraci´on T 0 = T /2 + ².

T’=T/2 T’=T/2

3T/2

T

T’T/2 T’

2T’

Como la linterna funciona con pilas (corriente continua), su luz, al igual que la del sol, no presenta oscilaciones y anula el efecto descrito. 66

´jame alguna experiencia, de ´jame participar 5 De

Subes o bajas Material: - Un im´an de nevera. - Un objeto ferromagn´etico pesado. - Una cuerda resistente. - Un cordel. Colguemos el objeto pesado de la cuerda resistente para formar un p´endulo. Atemos el im´an de nevera con el cordel y pegu´emoslo al objeto pesado asegur´andonos de que con un leve tir´on se despega, y el p´endulo queda oscilando liger´ısimamente * Ahora, partiendo de la posici´on de equilibrio y con el im´an pegado, hay que tener un poco de paciencia, y tirar del cordel imperceptiblemente tratando de seguir las casi invisibles oscilaciones del p´endulo. Despu´es de unos cuantos intentos, el p´endulo se habr´a puesto en movimiento.

θ

θ

Si seguimos haciendo que el estiramiento del cordel acompa˜ ne al movimiento del p´endulo podremos conseguir una amplitud en las oscilaciones asombrosa. Sobre todo teniendo en cuenta que al principio hab´ıamos comprobado que el im´an apenas ten´ıa fuerza para modificar la posici´on de equilibrio. Explicaci´on: Igualando la fuerza a la componente tangencial del peso, como es bien conocido, se sigue la ecuaci´on que rige el p´endulo simple lθ 00 = g sen θ, donde l es la longitud y g es la aceleraci´on de la gravedad. Para ´angulos no muy grandes, sen θ ≈ θ y la ecuaci´on se reduce a θ 00 = gθ. Si el movimiento parte del punto de m´axima elongaci´on, la soluci´on de esta ecuaci´on es de la forma: p θ(t) = A cos(ω0 t) con ω0 = g/l. *

N. del A. Emple´ e un cubo met´ alico cargado con algunas cosas. Su peso era de 60 3 kg . Para debilitar m´ as todav´ıa la fuerza del im´ an, lo recubr´ı con papel. De esta manera el p´ endulo apenas se desviaba de su posici´ on inicial antes de que se soltase el im´ an.

67

Para ser realistas, el movimiento de un p´endulo siempre se amortigua por el rozamiento del aire, y ´este, dentro de cierta aproximaci´on, viene dado por un m´ ultiplo peque˜ no de la velocidad [Al-Fi] §7.10 (mayor velocidad ⇒ mayor resistencia). Por tanto, un modelo bastante aproximado del movimiento del p´endulo sin nuestra acci´on externa es: g para cierto δ > 0. θ00 + θ + 2δθ 0 = 0 l El an´alogo de la soluci´on anterior, es ahora, para δ < ω0 , ¢ ¡q θ(t) = Ae−δt cos t ω02 − δ 2 .

Es decir, el movimiento se amortigua, como era de esperar. Adem´as la frecuencia no var´ıa con el tiempo ([Ga] p. 201). La situaci´on descrita en nuestro experimento corresponde a aplicar una fuerza s´ıncrona con el p´endulo, de frecuencia ω muy pr´oxima a ω0 . Esta fuerza estar´a representada por un nuevo t´ermino de la forma ² cos(ωt) con ² peque˜ no. Hay que resolver, por tanto g θ00 + θ + 2δθ 0 = ² cos(ωt). l Una soluci´on particular de esta ecuaci´on es B cos(ωt + η0 ) con un η0 adecuado y ² B=p 2 . 2 (ω0 − ω )2 + 4δ 2 ω 2

Mientras que la soluci´on general es de la forma θ(t) = Ae

−δt

¡q 2 ¢ cos t ω0 − δ 2 + α + B cos(ωt + η0 ).

Con A y α dependiendo de las condiciones iniciales. Seg´ un crezca el tiempo, el primer t´ermino se har´a despreciable, y si ω ≈ ω0 el t´ermino restante tendr´a amplitud B ≈ ²/(2δω). Si el rozamiento del aire es poco significativo, el resultado ser´a mucho mayor que ². De hecho B → ∞ si δ → 0. Por tanto con peque˜ nas fuerzas, a la larga se pueden obtener ´ grandes amplitudes si se emplea la frecuencia correcta. Este es el famoso fen´omeno de la resonancia. Aqu´ı nos hemos centrado en un ejemplo mec´anico, pero hay ecuaciones similares que regulan los circuitos electr´onicos b´asicos [Ru]. De esta forma, la resonancia es el principio por el cual los receptores de radio y televisi´on pueden “cazar” selectivamente la frecuencia correspondiente a una sola emisi´on. Ya nos ocuparemos nosotros de cambiar r´apidamente de canal para ver y o´ır todos al tiempo. 68

3. Tomograf´ıa 3.1. Sala de espera, fase primera Desde los a˜ nos setenta se han desarrollado diversos m´etodos [Na] para poder rajar a la gente de forma virtual (desafortunadamente los m´etodos reales son m´as antiguos), lo cual es de gran utilidad en la pr´actica m´edica. El m´etodo m´as espectacular quiz´a sea la Resonancia Magn´etica Nuclear. Su complejidad, aunque no extrema, la saca fuera del contenido del curso. A cambio veremos en esta secci´on, parcialmente plagiada de [Ch], un sencillo m´etodo llamado de reconstrucci´on algebraica, y en la secci´on posterior otro m´as eficiente y m´as pr´oximo al empleado habitualmente cuando se realiza una TAC (tomograf´ıa axial computerizada). En este tipo de tomograf´ıas se emplea la atenuaci´on que sufren los rayos X al atravesar los tejidos, lo que nos lleva a introducir un peque˜ no model´ın previo, el cual es una versi´on simplificada de la llamada ecuaci´on del transporte [Ra-Ka]. Ya sabemos que ni la persona m´as robusta puede detener los rayos X (que si se enfadan incluso pueden convertirle en un superh´eroe o algo peor), pero las luces y sombras de las radiograf´ıas prueban que hasta el m´as alfe˜ nique es capaz de atenuarlos un poco. Parece claro que cuando una muestra es atravesada por un fino haz de rayos X de intensidad I, la disminuci´on de dicha intensidad depende de la densidad ρ de la muestra (el plomo es m´as opaco a los rayos X que el aire) y de su grosor (un muro de dos metros aten´ ua menos que otro de cinco). Si dividimos la zona atravesada por los rayos en peque˜ nas rodajas transversales de tama˜ no infinitesimal, en las que la densidad sea pr´acticamente constante, es natural suponer que la proporci´on en que disminuye la intensidad es directamente proporcional a ambas cantidades, digamos con constante de proporcionalidad uno mediante una elecci´on adecuada de las unidades. ∆x I0

muestra If

−∆ I = ρ ∆x I







rayos X

Pasando al l´ımite en la anchura de las rodajas: −dI = ρIdx ⇒ I 0 = −ρI ⇒ −(log I)0 = ρ.

De modo que si I0 es la intensidad inicial (antes de entrar en la muestra) e If la final (despu´es de salir), integrando se tiene log I0 − log If = 69

Z

ρ.

Evidentemente, si los rayos siguen una recta L, en vez del eje OX, la integral anterior es la integral de l´ınea a lo largo de L. En definitiva, lo que debemos tener en mente es que midiendo intensidades iniciales y finales podemos saber las integrales de la densidad a lo largo de las l´ıneas rectas que siguen los rayos. Los algoritmos de reconstrucci´on algebraica comienzan considerando una versi´on discretizada (digitalizada) de la secci´on que se quiere examinar. Con tal fin, introducimos una malla cuadrada de M × M cuadraditos (pixels). Si la malla es suficientemente fina, la densidad es aproximadamente constante en cada cuadradito. As´ı que se puede considerar que hay una matriz de densidades M × M donde el elemento ρij es la densidad en el cuadradito cij . Por otra parte, la atenuaci´on de un rayo a lo largo de una recta L permite R conocer L ρ que, en esta versi´on digitalizada, se aproxima por una suma de Riemann, y de hecho coincide con ella suponiendo ρ es realmente constante en cada c ij , (3.1)

log(I0 /If ) =

Z

ρ= L

X

ρij |cij ∩ L|

Diccionario: • Secci´on cuadrada digitalizada −→ malla formada por cuadrados c ij . ¯ • Densidad del pixel ij constante −→ ρ¯c = ρij . ij

• log(I0 /If ) =

Z

ρ −→ log(I0 /If ) =

X

ρij |cij ∩ L|.

Aparentemente el problema ya est´a resuelto: queremos calcular el valor de las inc´ognitas un (3.1), para cada rayo tenemos una x1 = ρ11 , x2 = ρ12 , x3 = ρ13 , . . . xM 2 = ρM M y, seg´ ecuaci´on lineal en estas inc´ognitas; basta tomar un n´ umero suficiente de rayos y resolver el sistema lineal correspondiente. rayo 1

rayo 2

ρ11 ρ12 ρ13 ρ14 ρ21 ρ22 ρ

23

log

ρ

24

log

ρ31 ρ32 ρ33 ρ34 ρ41 ρ42 ρ43 ρ44

h

I2 0 I2 f

I1 0 I1 f

=h(ρ11 +ρ21 +ρ31 +ρ41 )

√ =h 2 (ρ41 +ρ32 +ρ23 +ρ14 )

. . . etc . . .

 x + x5 + x9 + x13 =b1   1 ⇒ x13 + x10 + x7 + x4 =b2   . . . etc . . .

Puede que esto resuelva el problema desde el punto de vista te´orico, pero la aplicaci´on pr´actica requiere ir m´as all´a. Supongamos por ejemplo que deseamos tener una resoluci´on 70

comparable a la de un monitor y para ello imaginamos una malla de 1000 × 1000 pixels que contiene la secci´on del cuerpo humano que vamos a examinar (en [Ka-Sl] se apunta 256×256 pixels como una resoluci´on posible en la pr´actica, y por la im´agenes all´ı mostradas 128 × 128 pudiera ser a veces deficiente). Entonces habr´a 106 inc´ognitas ρij que calcular. El sistema lineal correspondiente tendr´a una matriz de 106 × 106 = 1012 elementos lo cual podr´ıa causar algunos problemas de memoria en ordenadores convencionales si los tenemos que almacenar todos (necesitar´ıamos algo comparable a un Terabyte de memoria libre). Las estimaciones generales del n´ umero de operaciones para resolver un sistema lineal por eliminaci´on de Gauss es del orden del cubo del n´ umero de variables, en nuestro caso 10 18 . A una velocidad de 1 GHz esto llevar´ıa del orden de 30 a˜ nos (lo que no ayudar´ıa mucho a reducir las listas de espera de la Seguridad Social). Necesitamos, por tanto, un m´etodo maravilloso que requiera incomparablemente menos operaciones que el de Gauss. Quiz´a tal m´etodo no exista en general (si no se le ocurri´o a Gauss. . . ) pero aqu´ı estamos considerando sistemas muy especiales y hay esperanzas sobre todo si nos contentamos con soluciones aproximadas. N´otese que t´ıpicamente un rayo atraviesa M pixels, con lo cual en cada ecuaci´on s´olo aparecen M inc´ognitas de las M 2 que hay en total. Es decir, la matriz de coeficientes es muy dispersa, est´a llena de ceros. Vamos a mostrar un m´etodo iterativo creado por S. Kaczmarz en 1937 que no altera la dispersi´on de la matriz, de hecho no modifica la matriz de coeficientes, lo que redunda en que las operaciones s´olo se hacen con los “pocos” coeficientes no nulos. La idea subyacente es la generalizaci´on a dimensiones mayores de un hecho muy sencillo: Podemos aproximar el punto donde se cortan dos rectas en R2 partiendo de un punto cualquiera y proyectando alternativamente en cada una de las rectas. x1 x3 punto de corte

x x2 4

x0

punto inicial x 0

Teorema 3.1 . Sea un sistema compatible determinado de N ecuaciones con N inc´ognitas: f~1 · ~x = b1 , f~2 · ~x = b2 , f~3 · ~x = b3 , . . . . . . f~N · ~x = bN

con ~x = (x1 , x2 , . . . , xN ) el vector de inc´ognitas. Introduciendo las aplicaciones afines Li : RN −→ RN definidas como Li (~x) = Pi (~x) + bi

f~i kf~i k2

con 71

f~i Pi (~x) = ~x − (f~i · ~x) , kf~i k2

se tiene que, para cualquier ~x0 ∈ RN , el algoritmo iterativo ~xn+1 = (LN ◦ LN −1 ◦ . . . ◦ L1 )(~xn ) genera una sucesi´on que converge a la soluci´on del sistema. Nota: En nuestro caso cada f~i s´olo tiene M coordenadas no nulas y N = M 2 ; as´ı pues evaluar cada Li requiere del orden de M operaciones y cada iteraci´on completa algo comparable a M 3 . Si M = 1000, mil millones de operaciones es algo asequible para un ordenador bien aprovechado. La rapidez de convergencia depende, en analog´ıa con el caso bidimensional, de los ´angulos entre los hiperplanos [Sm-So-Wa]. ´ Dem.: Un poco de Algebra Lineal prueba que Pi (~v ) es la proyecci´on de ~v sobre el hiperplano f~i · ~x = 0 (y Li lo es sobre f~i · ~x = bi , [Gr] p. 143). Por tanto kP1 (~v )k < k~v k excepto si f~1 · ~v = 0 (si ~v pertenece al hiperplano), en cuyo caso P1 (~v ) = ~v . De la misma forma, k(P2 ◦ P1 )(~v )k < k~v k excepto si f~1 · ~v = f~2 · ~v = 0. Como el sistema es compatible determinado, la u ´nica soluci´on de f~1 · ~v = f~2 · ~v = . . . = f~N · ~v = 0 es la trivial, con lo cual, repitiendo el argumento anterior, se concluye que k(PN ◦ PN −1 ◦ . . . ◦ P1 )(~v )k ≤ Ck~v k para alguna constante C < 1. (N´otese que por la compacidad de la bola unidad, se tiene que k(PN ◦ PN −1 ◦ . . . ◦ P1 )(~v /k~v k)k alcanza un m´aximo, menor que 1, en RN − {~0}). Consideremos el operador Q = LN ◦ LN −1 ◦ . . . ◦ L1 , entonces Q : RN −→ RN es una funci´on contractiva ya que kQ(~x)−Q(~y )k = k(LN ◦LN −1 ◦. . .◦L1 )(~x −~y )k = k(PN ◦PN −1 ◦. . .◦P1 )(~x −~y )k ≤ Ck~x −~y k. El teorema de la aplicaci´on contractiva (C´alculo Num´erico I, Topolog´ıa, C´alculo III) asegura que tiene un solo punto fijo que puede obtenerse como l´ımite del algoritmo iterativo que se indica en el enunciado. Este punto fijo es la soluci´on del sistema lineal, ya que es evidente que los Li dejan invariante a dicha soluci´on. Ep´ılogo: En la pr´actica, por razones de estabilidad, se utilizan m´as rayos que los N = M 2 necesarios. De manera que se obtiene un sistema con m´as ecuaciones que inc´ognitas y que en general (por el m´as m´ınimo error de redondeo, experimental o del modelo) no es compatible determinado pero est´a “cerca” de serlo. Incluso en este caso, se aplica el algoritmo del teorema anterior, entendiendo los ~xn como soluciones aproximadas (por grande que sea n). En [Ka-Sl] §7 pueden consultarse algunas variantes del m´etodo y ejemplo pr´acticos de los resultados obtenidos con M = 128.

72

Ejercicios 1) Sin mirar la teor´ıa: a) Explicar el modelo de atenuaci´on de los rayos X. b) Indicar la ecuaci´on lineal para las densidades que corresponde a un rayo determinado por una recta L. 2) En el caso unidimensional estacionario, la ecuaci´on del transporte dice que si un chorro de part´ıculas se mueve a lo largo del eje X y la densidad de probabilidad de que una de ellas sea absorbida en el punto x es σ(x), entonces se debe cumplir φ 0 (x) = −σ(x)φ donde φ es la densidad de part´ıculas del chorro. Explicar el significado de esta ecuaci´on. 3) Si tuvi´eramos un sistema N × N compatible indeterminado, ¿tiene sentido llevar a cabo la reconstrucci´on algebraica? Al menos intuitivamente, tratar de decidir si en este caso la sucesi´on ~xn converge. 4) Dado el sistema 2x + y = 3, x − 3y = −2; partiendo de ~x0 = ~0 calcular ~x1 con el algoritmo de esta secci´on y comparar su valor con la soluci´on real. 5) Verificar que x + 2y = 3, 2x − y = 1, x − y = 00 01, es un sistema incompatible. Demostrar que ~x1 , ~x2 , ~x3 . . . es una sucesi´on constante y comprobar que da una soluci´on aproximada. 6) Supongamos una malla 3 × 3 y que consideramos los tres rayos horizontales y los tres verticales que pasan por los centros de los cuadrados, y los tres oblicuos paralelos a y = x que pasan por los centros de todos los cuadrados excepto por los de las esquinas inferior derecha y superior izquierda. Comprobar que la reconstrucci´on algebraica no se puede llevar a cabo porque el determinante del sistema es nulo. 7) Demostrar que si A es una matriz N × N con todos sus autovalores (reales y complejos) de m´odulo menor que 1, entonces para todo ~x ∈ RN se cumple limn→∞ An ~x = ~0. 8) El m´etodo iterativo de Jacobi para resolver el sistema compatible determinado A~y = ~b viene dado por ~yn+1 = (I − D −1 A)~yn + D−1~b donde D es la matriz diagonal cuyos elementos son los de la diagonal principal de A, que se suponen no nulos. Probar que converge a la soluci´on del sistema para cualquier ~y0 si los autovalores de I − D −1 A tienen m´odulo menor que 1. 9) Explicar por qu´e, en caso de que converja, el m´etodo anterior es muy u ´til para sistemas cuyas matrices son muy dispersas (pocos elementos no nulos). Demostrar que si det(A) 6= 0 siempre es posible reordenar las ecuaciones y las inc´ognitas de manera que los elementos de la diagonal sean no nulos. 10) Demostrar que en el caso de sistemas 2 × 2 la constante C de contractividad de la aplicaci´on Q en la prueba del teorema de esta secci´on es C = cos θ donde θ es el ´angulo entre las rectas que conforman el sistema. 11) Demostrar que si las filas f~1 f~2 . . . f~N de un sistema N × N son ortogonales (y no nulas), entonces ~xn es la soluci´on exacta cualquiera que sea ~x0 y n ≥ 1. 73

´ n 3.1 Seccio

Trabajos sugeridos a s´ olo 3 centauros (el precio de esta fotocopia) De la secci´on: ◦ Sistemas lineales con matrices dispersas. M´etodos y aplicaciones. Generales: ◦ Propagaci´on de enfermedades y epidemias. ◦ L´ogica difusa y sistemas expertos.

Y por el mismo precio, las palabras del sabio: Habituados a contemplar lo infinitamente grande, nos hemos vuelto aptos para comprender lo infinitamente peque˜ no. Gracias a la educaci´ on que ha recibido, nuestra imaginaci´ on, como el ojo del a ´guila que el Sol no deslumbra, puede mirar cara a cara a la verdad. [Po] p. 109.

74

3.2. Segundo asalto La reconstrucci´on algebraica vista en la secci´on anterior, a pesar de su sencillez, no es del todo satisfactoria en la pr´actica salvo en situaciones especiales [Ka-Sl] por su lentitud e imprecisi´on. Parte de esta imprecisi´on se debe a que desde el principio se discretiza (se digitaliza) mediante una malla que s´olo simula bien los cambios continuos en la densidad cuando el sistema lineal asociado tiene dimensiones gigantescas. Para evitar esta situaci´on, vamos a partir directamente de un modelo continuo, sin modificar la idea original de representar con una funci´on ρ = ρ(x, y) la densidad (el tono de gris) en el punto (x, y) de la secci´on considerada. Por cierto, aunque no requiramos que ρ sea continua, el m´etodo de esta secci´on ser´a m´as eficiente cuanto m´as regular sea ρ. Supongamos que atravesamos la muestra con un haz paralelo de rayos X que se proyectan ortogonalmente sobre una recta exterior que forma un ´angulo θ con el eje OX.

rec

ta

de

tec

tor

a

O



































































































































































’ 

























 θ angulo











































 















































 
































 










’ de la muestra











































 seccion 











t

xc

os

origen O

θ+ ys en θ =t θ

θ+π

Esta recta se puede identificar con la recta real R y situar el origen en el punto de intersecci´on con el rayo que pasa por (0, 0). Un simple dibujo muestra que el rayo s θ,t que pasa por el punto t de esta recta tiene ecuaci´on sθ,t ≡ x cos θ + y sen θ − t = 0. Como vimos en la secci´on anterior, la atenuaci´on que ha experimentado el rayo cuando llega a t depender´a de la cantidad de masa que haya atravesado, es decir, de la integral de l´ınea: Z ρ.

Pθ (t) =

sθ,t

Notando que sθ,t y sθ+π,−t son rectas id´enticas o simplemente imaginando la muestra rodeada de rectas detectoras con orientaci´on compatible, se tiene Pθ (t) = Pθ+π (−t).

El operador que asigna a una funci´on escalar su integral de l´ınea sobre cada recta es esencialmente lo que se llama transformada de Radon o, por razones obvias, transformada de rayos X. Para cada θ, la funci´on Pθ (t) indica la “sombra” de la muestra, que es transl´ ucida a los rayos X, sobre una pared que forma ´angulo θ con la horizontal. En 1917 J. Radon hall´o una f´ormula [Sm-So-Wa] que permite recuperar la funci´on original ρ a partir de todas sus sombras Pθ (t), lo cual tiene algunas consecuencias en las Matem´aticas puras (por ejemplo permite deducir una f´ormula de D’Alambert para la ecuaci´on de ondas 75

en R3 [Dy-Mc]). Pero hubo que esperar unos 60 a˜ nos para que se convirtiera en un tema fundamental de las Matem´aticas aplicadas. Diccionario: • Densidad de la secci´on de la muestra −→ ρ = ρ(x, y).

• Haz de rayos perpendiculares al ´angulo θ −→ sθ,t ≡ x cos θ + y sen θ = t, t ∈ R.

• log(I0 /If ) para el rayo sθ,t del haz −→ Pθ (t) =

Z

ρ

.

sθ,t

• Simetr´ıa del haz −→ sθ,t = sθ+π,−t , Pθ (t) = Pθ+π (−t). El problema matem´atico al que nos enfrentamos es hallar una funci´on conociendo sus integrales de l´ınea en todas las direcciones. Con la notaci´on anterior, lo que buscamos es una f´ormula, como la de Radon, que permita recuperar ρ a partir de las funciones P θ (t). Hay varias f´ormulas equivalentes con este prop´osito [Ra-Ka] §2.2. Aqu´ı veremos una que esencialmente es lo que se bautiza en la literatura tomogr´afica como Fourier Slice Theorem (teorema de las rebanadas de Fourier). Seguramente para muchos analistas de Fourier el nombre es desmesurado (hay una demostraci´on de dos l´ıneas en [Ra-Ka] si uno se atreve con las deltas de Dirac) porque refleja un hecho muy sencillo que ilustramos a continuaci´on: Si θ = 0 entonces Pθ (t) no es m´as que la integral sobre la recta vertical x = t, R P0 (t) = ρ(t, u) du. Por la definici´on de la transformada de Fourier ρb(ξ1 , 0) =

Z Z

c0 (ξ1 ). ρ(t, u) e(−ξ1 t − 0 u) dtdu = P

Por tanto la transformada de Fourier (bidimensional) de ρ evaluada en el eje X se puede hallar integrando ρ en la recta vertical s0,t y despu´es calculando la transformada de Fourier (unidimensional) de la funci´on resultante. En Matem´aticas y en F´ısica las cosas no suelen cambiar mucho por girar la cabeza, de modo que ρb evaluada en una recta de ´angulo θ que cθ . Tomando transformadas inversas se pase por el origen deber´ıa coincidir siempre con P puede despejar ρ.

Teorema 3.2 . Sea Pθ (t) la integral de l´ınea de ρ sobre la recta x cos θ + y sen θ = t, entonces para ρ suficientemente regular se tiene

ρ(x, y) =

Z

π 0

Z

∞ −∞

cθ (r) e(xr cos θ + yr sen θ) drdθ. |r|P 76

Nota: Lo de “suficientemente regular” es simplemente un requerimiento t´ecnico para aplicar la f´ormula de inversi´on. Con funciones de soporte compacto acotadas e integrables ya se tienen igualdades en casi todo punto, de modo que al menos desde el punto de vista te´orico, no vamos a dejar de ver un tumor o cualquier cosa que tenga grosor porque ρ no sea C ∞ . Pero s´ı es cierto que en la pr´actica la falta de regularidad combinada con los m´etodos aproximados que se emplean, crea unas sombras inexistentes. El an´alogo de este fen´omeno en las series de Fourier es el conocido fen´omeno de Gibbs [Dy-Mc]. cθ (r) = P[ Dem.: Por la simetr´ıa P aloga para Pθ , la θ+π (−r), que se deduce de la an´ f´ormula del teorema se puede escribir como (3.2)

ρ(x, y) =

Z

2π 0

Z

∞ 0

cθ (r) e(xr cos θ + yr sen θ) drdθ. rP

RR De la f´ormula de inversi´on, ρ(x, y) = ρb(ξ1 , ξ2 ) e(xξ1 + yξ2 ) dξ1 dξ2 , cambiando a coordenadas polares ξ1 = r cos θ, ξ2 = r sen θ, se tiene ρ(x, y) =

Z

2π 0

Z

∞

rb ρ(r cos θ, r sen θ)e(xr cos θ + yr sen θ) drdθ.

0

cθ (r) = ρb(r cos θ, r sen θ). Para ello consid´erese Comparando con (3.2), basta probar que P el giro de ´angulo −θ alrededor del origen, T : R2 −→ R2 . Seg´ un la Geometr´ıa I, en coordenadas cartesianas T es la funci´on vectorial ¡ ¢ T : (x, y) 7→ T1 (x, y), T2 (x, y) = (x cos θ + y sen θ, −x sen θ + y cos θ). ´ Es f´acil ver (con un simple dibujo o en su defecto con un poco de Algebra Lineal) que T transforma la recta sθ,t definida como antes, en la recta vertical x = t (con y = u arbitraria). De modo que cambiando la variable

Pθ (t) =

Z

ρ= sθ,t

Z

T sθ,t

ρ◦T

−1

=

Z

∞ −∞

(ρ ◦ T −1 )(t, u) du.

Por definici´on cθ (r) = P

Z

∞ −∞

µZ

∞ −∞

(ρ ◦ T

−1

¶

)(t, u) du e(−tr) dt =

Z

R2

(ρ ◦ T −1 )(t, u) e(−tr) dtdu.

Y tras el cambio de variable (t, u) = (T1 (x, y), T2 (x, y)) la u ´ltima integral se transforma en ρb(r cos θ, r sen θ); lo que seg´ un hab´ıamos visto, concluye la prueba. 77

Ep´ılogo: Una vez conseguida una f´ormula exacta que resuelve el problema, el matem´atico se puede ir a casa a hacer el cubo de Rubik, pero mientras se aleja el ingeniero protesta: “¿y ahora c´omo meto yo esta f´ormula en el ordenador?”; su trabajo todav´ıa no ha terminado. El m´etodo natural para tratar num´ericamente expresiones que involucren integrales o series de Fourier es la transformada de Fourier r´apida [Ge], [Ta], m´as conocida por sus siglas en ingl´es FFT. Este m´etodo, combinado con el desarrollo de las computadoras, ha revolucionado muchos m´etodos num´ericos en ingenier´ıa desde su introducci´on en los a˜ nos 60. Curiosamente, seg´ un parece Gauss ya lo conoc´ıa en una forma equivalente m´as de 150 a˜ nos antes de su invenci´on oficial [He-Jo-Bu]. Para no desviarnos demasiado, aqu´ı mencionaremos algo un poco m´as directo, que es una versi´on simplificada y clarificada de §3.3.3 [Ka-Sl]. Escribiendo ρ(x, y) =

Z

π

F (θ, x cos θ + y sen θ) dθ

con F (θ, u) =

0

Z

∞ −∞

cθ (r) e(ru) dr, |r|P

todo el problema se reduce a saber aproximar F (θ, u), porque una vez hecho eso, podr´ıamos pasarle al ingeniero nuestros apuntes de C´alculo Num´erico I con un mont´on de m´etodos para aproximar integrales sobre el intervalo finito [0, π] (regla del trapecio, de Simpson, cuadratura de Gauss. . . ). Por otra parte, seguro que sus apuntes son m´as gordos y completos que los nuestros. Desarrollando por Fourier en [−1/2, 1/2] la funci´on f (x) = |x|, [Gr-Ry] 1.444.6, |x| =

∞ X

an e(nx),

con a0 =

n=−∞

(−1)n − 1 1 , an = . 4 2π 2 n2

P Sustituyendo x = rh, se tiene |r| = h−1 an e(nhr) para r ∈ I = [−1/2h, 1/2h]. Si h es peque˜ no, I se parece a (−∞, ∞) y se cumple F (θ, u) ≈

Z

I

cθ (r) e(ru) dr = h−1 |r|P

X

an

Z

I

cθ (r) e((u + nh)r) dr. P

cθ (r), por tanto La u ´ltima integral extendida a R es la transformada inversa de P F (θ, u) ≈ h−1

∞ X

an Pθ (u + nh).

n=−∞

A esta f´ormula no se le pueden poner pegas: no hay ni transformadas de Fourier ni cosas raras, simplemente una suma que de hecho es finita porque Pθ es de soporte compacto (la proyecci´on ortogonal de un compacto es un compacto). 78

Ejercicios 1) Sin mirar la teor´ıa: a) Indicar por qu´e Pθ (t) = Pθ+π (−t). b) Demostrar la relaci´on ρb(ξ, 0) = Pb0 (ξ)

2) En la pr´actica, los detectores no son rectas, sino una circunferencia que rodea a la muestra. Halla la funci´on que proyecta una circunferencia, digamos S 1 , desde su centro sobre una recta tangente, digamos y = 1. 3) ¿Puede tener Pθ (t) una discontinuidad de salto, para alg´ un θ? En caso afirmativo dar un ejemplo y en caso negativo una demostraci´on.

4) Se dice que una funci´on f = f (~x) es radial, si s´olo depende del “radio” r = k~xk, esto es, si f (~x) = g(k~xk) para alguna g. Explicar por qu´e si se sabe que la densidad es una funci´on radial, entonces basta una proyecci´on para reconstruirla. p R∞ Rπ c0 (r)e(r cos θ x2 + y 2 ) dθdr. 5) Probar que si ρ es radial entonces ρ(x, y) = −∞ 0 |r|P Rπ (La integral interior, de la forma 0 e(λ cos θ) dθ, es una de las llamadas funciones de Bessel, muy comunes en F´ısica y Matem´aticas). 6) Calcular Pθ (t) para una muestra que est´e confinada dentro de la circunferencia unidad y tal que 1 − ρ sea en cada punto el cuadrado de la distancia al origen. c0 (t) para la muestra de densidad uno comprendida entre los cuadra7) Hallar P0 (t) y P dos [−2, 2] × [−2, 2] y [−1, 1] × [−1, 1]. √ √ 8) Sea la muestra de densidad uno comprendida entre los cuadrados [−2 2, 2 2] × √ √ √ √ √ √ [−2 2, 2 2] y [− 2, 2] × [− 2, 2]. Calcular Pd π/4 (t). 9) Comprobar que el desarrollo de Fourier de la funci´on 1−peri´odica que coincide con f (x) = |x| en [−1/2, 1/2] es el que se indica en esta secci´on, esto es, que los coeficientes de Fourier son a0 = 1/4 y an = ((−1)n − 1)/(2π 2 n2 ) para n ∈ Z − {0}.

10) Demostrar que si A es una matriz no singular, la transformada de Fourier de ~ f (A ~x) es fb(A−1 ξ)/det(A). Tratar de deducir del caso en que A represente un giro, que t

la transformada de Fourier de una funci´on radial es tambi´en radial. (Recu´erdese que las matriz de un giro es ortogonal y por tanto A · At = I). Rπ P∞ 11) Probar rigurosamente ρ(x, y) = limh→0 h−1 n=−∞ an 0 Pθ (x cos θ + y sen θ + nh) dθ para cualquier ρ ∈ C03 (R2 ). (Comenzar demostrando, integrando por partes, que cθ (r) est´a acotada). |r|3 P

79

´ n 3.2 Seccio

Trabajos sugeridos a s´ olo 3 centauros (el precio de esta fotocopia) De la secci´on: ◦ Principios de Resonancia Magn´etica Nuclear. Generales: ◦ Uso de la Estad´ıstica en ensayos cl´ınicos y dise˜ no de experimentos. ◦ El cubo de Rubik y otros rompecabezas similares.

Y por el mismo precio, las palabras del sabio: Los hombres m´ as desde˜ nosos de la teor´ıa, sin duda encuentran en ella un alimento cotidiano. Si se les privara de ese alimento, el progreso se dentendr´ıa y pronto nos estancar´ıamos en la inmovilidad de China. [Po] p. 93.

80

Fernando Chamizo.

´ n II Modelizacio

´jame alguna experiencia, de ´jame participar 6 De

Su luz puede valer Material: - Cartulina. - Pl´astico semitransparente (por ejemplo de una bolsa). - Una linterna. - Una calculadora. Como es una verdad universal que ni la carne de burro ni la nuestra se transparentan, no podemos cambiar los rayos X por rayos de luz visible en las aplicaciones m´edicas (o veterinarias). Lo que vamos a hacer aqu´ı es sustituir los tejidos por unos burdos cubitos transl´ ucidos con los que podamos ilustrar la reconstrucci´on algebraica. El experimento en s´ı es bastante tonto (el pr´oximo es mucho mejor) y quiz´a s´olo sirva para reciclar una briznita de [Ch], de donde est´a tomado. Con la cartulina fabricaremos nueve cubos y en sus caras laterales abriremos “ventanas” para que pueda pasar la luz, las cuales cubriremos en algunos de ellos con el pl´astico semitransparente* . Al poner tres cubos seguidos y enfocarlos con la luz de la linterna, se pueden detectar en una pantalla (una hoja de papel) cuatro posibles intensidades dependiendo de si ninguno, uno, dos o los tres cubos tienen pl´astico en sus ventanas.



  


Convencionalmente designaremos estas intensidades por I = 1, 1/2, 1/3, 1/4 respectivamente. Para llevar a cabo el experimento, es importante familiarizarse con ellas de manera que podamos distinguirlas a simple vista. En otro caso, debemos cambiar el tipo de pl´astico. *

N. del A. Constru´ı los cubos de 4 cm de arista y las ventanas de 2×2. Como pl´ astico semitransparente utilic´ e el de una bolsa blanca de las que dan en los supermercados. Tiene el inconveniente de que difunde la luz porque no queda totalmente lisa, pero en cuanto a transparencia es muy aceptable. Quiz´ a el papel de celof´ an de colores tambi´ en sea adecuado.

81

Dispongamos los cubos formando un cuadrado (si queremos darle emoci´on y aguantar las burlas, podemos pedirle a alguien que lo haga por nosotros y que tape el resultado con un folio por encima). Dirigiendo la linterna en las tres direcciones horizontales, en las tres verticales y en las oblicuas correspondientes a tres de las cuatro esquinas, tendremos una relaci´on entre el n´ umero de cubos semitransparentes en las secciones consideradas y las intensidades registradas. I4

I5

I6












 


 
 
 
 

























 


































2




3


















       
 C 1





C C 








 




     










 








 




 











     











  










 




 






  
 
     




  


4



 C 5 

C
C6 














 
 
 
 
 







 
 
 
 
  









 
 C
 
 
  C 




 





 C 7 


 
 
 8
 
  9 





 






 
 
 
 
 
 

I1 I7 I2 I8 I3 I9

Supongamos que numeramos los cubos como en la figura y asignamos al cubo i−´esimo el valor Ci = 0 si est´a hueco y Ci = 1 si es semitransparente. Entonces se tienen las relaciones

(3.3)

C1 + C2 + C3 =I1−1 − 1

C1 + C4 + C7 =I4−1 − 1

C7 + C8 + C9 =I3−1 − 1

C3 + C6 + C9 =I6−1 − 1

C2 + C5 + C8 =I5−1 − 1

C4 + C5 + C6 =I2−1 − 1

C1 = I7−1 − 1,

C7 = I8−1 − 1,

C9 = I9−1 − 1

En el caso de la figura, habr´ıamos obtenido el vector de intensidades ¡1 1 1 1 1 1 ¢ I~ = (I1 , . . . , I9 ) = , , , , , , 1, 1, 1 . 3 2 2 2 3 2 Lo que da lugar a un sistema de nueve ecuaciones con nueve inc´ognitas. Se puede comprobar que (si no usamos que Ci ∈ {0, 1}) dicho sistema tiene infinitas soluciones, es compatible indeterminado. A˜ nadiendo una nueva relaci´on: la intensidad I 10 = 1/2 que pasa por la esquina C3 , obtenemos finalmente un sistema determinado. Evidentemente si en vez de nueve celdillas tuvi´eramos miles, esto ser´ıa muy costoso de comprobar, y en la pr´actica simplemente a˜ nadir´ıamos m´as ecuaciones de las necesarias, pensando que habr´ıa que tener muy mala suerte para que todav´ıa el rango de la matriz no fuera el adecuado. El sistema se resuelve directamente previo pago de hacer unas cuentas, y la soluci´on es ~ C = (C1 , . . . , C9 ) = (0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0). Pero como queremos ilustrar la reconstrucci´on 82

algebraica, usaremos el algoritmo correspondiente ~xn+1 = (L10 ◦ L9 ◦ . . . ◦ L1 )(~xn )

partiendo de ~x0 = ~0. Donde Li son las proyecciones en los hiperplanos que definen las ecuaciones de (3.3) y la a˜ nadida despu´es (de hecho podr´ıamos reemplazar una de las ecuaciones por ella). Con una calculadora y un poco de paciencia, se pueden hacer una o dos iteraciones. Con un peque˜ no programilla se puede ir m´as all´a. Por ejemplo, algunos de los ~xn obtenidos de esta forma son: ~x5 =(0, 00 8595, 1, 00 7278, 00 3468, −00 0746, 0, 00 7937, 0)

~x10 =(0, 00 9081, 1, 00 8908, 00 1925, −00 0832, 0, 00 8994, 0)

~x15 =(0, 00 9472, 1, 00 9449, 00 1068, −00 0517, 0, 00 9460, 0)

~x20 =(0, 00 9704, 1, 00 9701, 00 0593, −00 0294, 0, 00 9703, 0)

~x25 =(0, 00 9836, 1, 00 9835, 00 0329, −00 0164, 0, 00 9835, 0)

N´otese que la aproximaci´on de ~xn a la soluci´on hace posible adivinar enseguida d´onde ~ est´an los cubos semitransparentes (Ci = 1) y los huecos (Ci = 0). En el l´ımite ~xn → C.

83

Fernando Chamizo.

´ n II Modelizacio

84

´jame alguna experiencia, de ´jame participar 7 De

Pinta el tubo Material: - Una calculadora progamable o un ordenador con un programa de c´alculo. - Un programa para dibujar gr´aficas (opcional).

Tampoco es plan que vayamos por las tiendas pidiendo una m´aquina de rayos X para comprobar si verdaderamente podemos recuperar con el m´etodo indicado ρ a partir de las radiograf´ıas Pθ . Por eso vamos a considerar secciones muy particulares, con simetr´ıa radial, de las que nosotros mismos podemos hallar la sombra a mano. Para fijar el contexto en el que trabajamos, imaginemos que tenemos unos tubos con simetr´ıa radial acotados por S 1 × R y queremos saber, sin romperlos, si son macizos, si tienen una parte hueca, o si tienen un alma (zona central) de mayor densidad. Consideremos justamente tres tubos que respondan a estas caracter´ısticas: Uno macizo de radio 1 y densidad 1, otro igual que el anterior pero con la zona central 0 ≤ r ≤ 1/2 hueca, y un tercero con esta zona central rellena de un material de densidad 2. Por la simetr´ıa radial, la funci´on “sombra” S(t) = Pθ (t) no depender´a del ´angulo θ y podemos calcularla f´acilmente.

3 2

1

−1

S1 (x) =

( p 2 1 − x2 0

0

si |x| < 1

si |x| ≥ 1

1

−1

0

1

−1

0

1

1 1 , S2 (x) = S1 (x) − S1 (2x), S3 (x) = S1 (x) + S1 (2x) 2 2 85

Esto es lo que podr´ıamos haber deducido si hubi´eramos podido hacer el experimento con rayos X. Lo ideal, pero ut´opico, es que convenci´eramos a un amigo (al menos hasta antes de ped´ırselo) para que se inventara una estructura interna de un tubo, siempre con simetr´ıa radial y secci´on dentro del c´ırculo unidad, e hiciera los c´alculos monstr´andonos la ecuaci´on de la funci´on sombra S = S(x). El experimento consistir´a en que haciendo trabajar a la calculadora o al ordenador, podremos adivinar la estructura del tubo a partir de la funci´on S. Exactamente, lo que tenemos que hacer es fijar una precisi´on h peque˜ na (aunque si lo es demasiado nos aburriremos antes de que se terminen los c´alculos y quiz´a se acumulen los errores de redondeo) y hacer un programilla que para cada coordenada radial R calcule µ 2 X π2 S(R cos θj ) − D(R) = 2 π 8 θj

X

1≤k 0 y f como antes con ² = σ 3/N , entonces lim gN (x) =

N →∞

2 2 1 √ e−x /(2σ ) . σ 2π

Aqu´ı vemos aparecer m´agicamente la famos´ısima campana de Gauss, que es familiar para cualquiera que haya seguido un curso b´asico de Estad´ıstica (en Alemania ni siquiera se exig´ıa este requisito, porque la campana, su ecuaci´on y su autor, aparec´ıan en los antiguos billetes de diez marcos). ∗b=b a bb, Dem.: De la definici´on de la transformada de Fourier, es f´acil deducir que ad y un c´alculo muestra fb(t) = sen(2π²t)/(2π²t). Por tanto ¡ ¢N senN (2π²t) . ∗ f ⇒ gbN (t) = fb(t) = (2π²t)N Como gN es de soporte compacto y suficientemente regular cuando N es grande, se puede aplicar la f´ormula de inversi´on, obteni´endose gN = f ∗

N veces

····

gN (x) =

Z

∞ −∞

senN (2π²t) e(tx) dt = I1 + I2 , (2π²t)N

donde I1 es el valor de la integral sobre A = [−(2π²)−1 , (2π²)−1 ] e I2 sobre su complemenp R∞ tario R − A. Obviamente |I2 | ≤ 2 (2π²)−1 (2π²t)−N dt =(π(N − 1)σ)−1 N/3 que tiende a cero con N . De hecho se podr´ıa comprobar que el decaimiento de |I2 | es exponencial. Sea hN (u) = (u − u3 /6)−N senN Zu, entonces ¡ ¢N I1 = 1 − (2π²t)2 /6 hN (2π²t) e(tx) dt. A

Sustituyendo ² = σ

p 3/N , se tiene que para cada t fijado ¡

1−

2 2 2 (2π²t)2 ¢N ¡ 2π 2 σ 2 t2 ¢N = 1− −→ e−2π σ t . N →∞ 6 N 0

Por otra parte |hN | < 1 y no es dif´ıcil ver que por ejemplo para |t| < N 0 1 , hN (2π²t) → 1. Usando los teoremas habituales (convergencia dominada, convergencia uniforme), queda justificado introducir en I1 el l´ımite bajo el signo integral, obteni´endose [Gr-Ry] 17.23.13 lim I1 =

N →∞

Z

∞

e−2π

2

σ 2 t2

e(tx) dt =

−∞

91

2 2 1 √ e−x /(2σ ) . σ 2π

Como se quer´ıa demostrar. La consecuencia de este resultado es que t´ıpicamente en la pr´actica el error viene dado por una variable aleatoria ξ de media cero y desviaci´on t´ıpica σ, de forma que 1 Prob(ξ > σX) = √ σ 2π

Z

∞

e

−t2 /(2σ 2 )

σX

1 dt = √ 2π

Z

∞

e−t

2

/2

dt.

X

Esta u ´ltima funci´on, llamada Erfc(X), se puede aproximar de diferentes formas y aparece en las tablas estad´ısticas. Algunos valores (redondeados hasta cuatro decimales) u ´tiles para 0 0 0 0 los ejercicios de la secci´on son Erfc(0 1) = 0 4602, Erfc(0 4630) = 0 3217, Erfc(00 6481) = 00 2585, Erfc(1) = 00 1587. Ep´ılogo: Dadas N variables aleatorias ηi equidistribuidas e independientes de media √ η y varianza σ, se puede considerar que ξi = (ηi − η)/(σ N ) son peque˜ nos errores, adem´as ξ = ξ1 + . . . + ξN cumple E(ξ) = 0 y V (ξ) = 1. Si confiamos que el teorema central del l´ımite es aplicable, para cada X se tiene Z ∞ √ ¢ ¡ 2 1 e−t /2 dt = Erfc(X). (4.1) lim Prob (η1 +η2 +. . .+ηN −N η)/(σ N ) > X = √ N →∞ 2π X En el caso de variables continuas, sea cual sea la funci´on de densidad f de ξ i , E(ξi ) = √ R R f = 0 y V (ξi ) = x2 f = 1/N implican por Taylor que fb(t) ≈ 1 − (2πt/ N )2 para t “peque˜ no”. Y esto, con una leve condici´on de regularidad para que I 2 → 0, permite copiar la demostraci´on del teorema y dar una prueba rigurosa de (4.1). En definitiva, una vez normalizados los errores infinitesimales, da igual la distribuci´on que tengan, siempre se llega a una normal [Ze-Ra-So]. En el caso de variables discretas, (4.1) sigue siendo cierto, pero hay que tratar con funciones de distribuci´on o con probabilidades en vez de con funciones de densidad, que en este caso no existen. Como se ha indicado, para las variables continuas en principio se necesita un m´ınimo de regularidad que asegure el decaimiento de la transformada de Fourier, pero esto es gratis con algunos trucos sucios del an´alisis [Dy-Mc] §2.7. Uno siempre puede huir de todos estos tecnicismos cayendo en otros que no requieren en absoluto la transformada de Fourier, como se muestra en [Fe] VIII.4. Quien desee conocer con rigor muchas de las variantes que conducen a la ubicua campana de Gauss, que mire con cuidado todos los teoremas del curso de Probabilidad II que terminan diciendo “converge . . . a una distribuci´on normal” [Fe], [Ko].

92

Ejercicios 1) Sin mirar la teor´ıa: a) Hallar la varianza de ξ1 + ξ2 + . . . + ξN con ξi independientes y uniformemente distribuidas en [−², ²]. b) Indicar por qu´e se pide la independencia de las variables en el modelo estudiado. 2) En Estad´ıstica I se prueba que la suma de dos variables aleatorias independientes con una distribuci´on normal tambi´en tiene una distribuci´on normal. Explicar este hecho interpretando las normales como acumulaci´on de errores infinitesimales independientes. 3) Se dice que una se˜ nal recibida tiene ruido gaussiano si la diferencia con la se˜ nal emitida se comporta como una variable aleatoria con distribuci´on normal de media cero y varianza t´ıpicamente peque˜ na. Y se dice que tiene ruido de sal y pimienta (salt &pepper noise) si la diferencia es nula salvo en cierta proporci´on t´ıpicamente peque˜ na de puntos, en los que se comporta como una distribuci´on uniforme en cierto intervalo no necesariamente peque˜ no. Explicar por qu´e el primer tipo de ruido es el habitual en las transmisiones anal´ogicas y el segundo en las digitales. 4) Sean η1 , η2 , . . . , η10 las variables aleatorias que dan las sucesivas puntuaciones de un dado al lanzarlo diez veces. La probabilidad de que la suma de puntuaciones sea 32 se puede escribir evidentemente como Prob(310 5 ≤ η1 + . . . + η10 < 320 5). A partir de esta p expresi´on y aplicando el teorema central del l´ımite a ξ1 +. . .+ξ10 con ξi = (ηi −30 5) 6/175, aproximar dicha probabilidad (y compararala con el valor exacto 3801535/60466176). 5) Aproximar la probabilidad de que al tirar una moneda un mill´on de veces, la diferencia entre el n´ umero de caras y de cruces sea mayor que mil. 6) Si al tirar dardos en una diana apuntando al centro, la desviaci´on t´ıpica es σ = 5 cm, calcular la probabilidad de acertar en el c´ırculo central que tiene un radio de 0 0 5 cm. 7) Con los datos del problema anterior hallar la probabilidad de acertar al menos una vez tras cinco intentos. −2 R x −2 8) Dada f (x) = ex u−2 e−u du ∈ C ∞ , hallar su polinomio de Taylor de grado 0

tres alrededor de cero (puede ser u ´til notar que x3 f 0 (x) + 2f (x) = x). Con el cambio √ √ 2 t = 2/u, deducir la aproximaci´on Erfc(x) ≈ e−x /2 (x−1 − x−3 )/ 2π para x grande. 9) Demostrar que si f y g son suficientemente regulares f[ ∗ g = fbgb.

10) Sea f la funci´on que vale uno en [−1/2, 1/2] y cero en el resto. Hallar expl´ıcitamente 2p f ∗ f ∗ f como funci´on definida a trozos, y comparar su gr´afica con la de e −2x 2/π explicando la similitud. 11) Hallar la funci´on de densidad en coordenadas cartesianas x e y cuando se apunta al centro de una diana ilimitada (que se supone R2 ) con varianza σ 2 = 1/2. Esto es, la funci´on f : R2 −→ R tal que la probabilidad de que un dardo caiga en A ⊂ R2 sea R f (x, y) dxdy. A 93

´ n 4.1 Seccio

Trabajos sugeridos a s´ olo 3 centauros (el precio de esta fotocopia) De la secci´on: ◦ El teorema erg´odico y sus aplicaciones. ◦ Interpretaci´on de Copenhague de la Mec´anica Cu´antica. Generales: ◦ Teor´ıa de Juegos y sus aplicaciones.

Y por el mismo precio, las palabras del sabio: Aun m´ as, cuando realizo una experiencia debo hacer algunas correcciones en el resultado, porque s´ e que he debido cometer errores. Estos errores son de dos clases: unos son accidentales y los corregir´ e tomando el valor medio, otros son sistem´ aticos y no podr´ e corregirlos m´ as que por un estudio profundo de sus causas. [Po] p. 143.

94

4.2. Simple visitante Un aburrido domingo salimos de casa, y en nuestra indecisi´on lanzamos una moneda para saber si vamos hacia la derecha o hacia la izquierda. Despu´es del primer paso repetimos el procedimiento, y as´ı sucesivamente. La pregunta que se plantea es si es probable que en un largo paseo aleatorio de estas caracter´ısticas volvamos muchas veces a casa. Recordando a nuestra hermana menor, la Modelizaci´on I, esto es algo muy parecido a las cadenas de Markov all´ı estudiadas, pero la gran diferencia es que esta vez los pasos se dan sobre un conjunto discreto infinito, digamos Z (puede que el mundo sea redondo, pero nos moriremos de viejos, de dolor de pies, o nos ahogaremos, antes de que demos la vuelta completa; por lo que es natural considerar un conjunto infinito). Se puede representar convencionalmente cada paso a la derecha con un signo “+” y cada paso a la izquierda con un signo “−”, lo que corresponde a sumar o sustraer una unidad en Z. De este modo, un paseo es un conjunto ordenado de mases y menos. En dos dimensiones la situaci´on es an´aloga, pero ahora hay que considerar Z 2 y podemos dar pasos en las direcciones norte N , sur S, este E y oeste O. De modo que un paseo queda representado como una tira con estos s´ımbolos. Z

casa

+++−−−−−−+

Z

2

casa

NESESOSOO

En general, en dimensi´on D se consideran 2D s´ımbolos indicando los 2D posibles sentidos en ZD y las listas formadas con ellos corresponden a paseos aleatorios en Z D . Sea Nn el n´ umero de paseos aleatorios de n pasos que terminan en el punto de partida (en el origen, en casa). Evidentemente hay (2D)M posibles paseos de M pasos en ZD y Nn (2D)M −n de ellos pasar´an por casa exactamente en el paso n-´esimo, de modo que el n´ umero medio de visitas a casa de un camino aleatorio de M pasos es M ¡ ¢ X (2D)−M N1 (2D)M −1 + N2 (2D)M −2 + . . . + NM (2D)0 = (2D)−n Nn . n=1

95

Para D = 1, Nn no es m´as que el n´ umero de listas ordenadas de longitud n e igual n´ umero de mases que de menos; an´alogamente para D = 2, debe haber igual n´ umero de enes que de eses y de es que de oes, para as´ı poder acabar en el origen. En general N n = 0 si n es impar, y con el lenguaje de la combinatoria Nn no es m´as que el n´ umero total de permutaciones con repetici´on de 2D s´ımbolos tomados de n en n, de manera que el n´ umero de repeticiones de los s´ımbolos sea igual por parejas. Diccionario: • Paseos aleatorios en ZD −→ Listas ordenadas formadas con 2D s´ımbolos. • N´ umero de paseos que despu´es de n pasos −→ N´ umero total de permutaciones con vuelven a casa.

repetici´on de 2D s´ımbolos tomados de n

• N´ umero medio de vueltas a casa −→

r2D

∞ X

en n con repeticiones iguales dos a dos. (2D)−n Nn .

n=1

La f´ormula para las permutaciones con repetici´on de 2D s´ımbolos con r 1 + r2 + . . . + = n repeticiones es n! . r1 !r2 ! · · · r2D !

P Rrn1 ,r2 ,...,r2D =

(Hay n! formas de permutar n elementos distintos, si r1 de los elementos son iguales se reducen a n!/r1 !, si otros r2 son iguales, a n!/(r1 !r2 !), etc.). Por consiguiente

(4.2)

X

Nn =

2k1 +2k2 +...+2kD =n

n! . (k1 !)2 (k2 !)2 · · · (kD !)2

P El sorprendente resultado debido a P´olya es que (2D)−n Nn diverge si y s´olo si D = 1, 2. Es decir, que para dimensi´on uno o dos, en media se vuelve a casa infinitas veces, mientras que en dimensiones mayores s´olo un n´ umero finito. Un curioso efecto de la dimensi´on sobre los paseos aleatorios. P Teorema 4.2 . La serie (2D)−n Nn diverge para D = 1 y D = 2, y converge para D ≥ 3. De hecho en este caso se tiene la f´ormula: ∞ X

n=1

(2D)

−n

D Nn = −1+ D 2π

Z

π 0

Z

π

... 0

Z

π 0

¡

sen2 96

u1 u2 uD ¢−1 du1 . . . duD . +sen2 +. . .+sen2 2 2 2

En la demostraci´on se necesitar´a evaluar una integral suficientemente sencilla e ingeniosa como para que hagamos el c´alculo aparte. Lema 4.3 . Sea m un entero no negativo, entonces Z

1 −1

xm √ dx = 1 − x2

(

0

si m es impar

2−2k π(2k)!/(k!)2

si m = 2k

Dem.: Para m impar el resultado es trivial porque el integrando es una funci´on impar. Si m = 2k, con el cambio x = cos t = (eit + e−it )/2 se sigue Z

1 −1

x2k 1 √ dx = 2 2 1−x

Z

π

cos

2k

t dt = 2

−π

−2k−1

¶Z 2k µ X 2k j=0

j

π

e(2k−2j)it dt. −π

Y basta notar que la u ´ltima integral es nula excepto si j = k. Dem.(del teorema): Al igual que los n´ umeros combinatorios vienen generados por la potencia de un binomio, las permutaciones con repetici´on lo est´an por la de un multinomio. Concretamente X

(x1 + x2 + . . . + xD )n =

m1 +m2 +...+mD

n! x m1 x m2 . . . x mD . m !m ! . . . m ! 1 2 D =n

La suma de los coeficientes tiene un aspecto similar a la f´ormula (4.2) para N n , pero a fin de que coincida exactamente hay que reemplazar cada mi ! por (ki !)2 con mi = 2ki . Esto se consigue gracias al lema, que a trav´es de (4.2) y la f´ormula anterior, implica 2n Nn = D π

Z

1

−1

Z

1 −1

···

Z

1 −1

(x1 + x2 + . . . + xD )n p dx1 dx2 . . . dxD . (1 − x21 )(1 − x22 ) . . . (1 − x2D )

Con el cambio de variable xi = 1 − 2 sen2 (ui /2) = cos ui , se tiene (2D)n Nn = πD

Z

π 0

Z

π 0

···

Z

π 0

¡

1−

2 u1 u2 uD ¢ n (sen2 + sen2 + . . . + sen2 ) du1 du2 . . . duD . D 2 2 2

Si se conviene que N0 = 1, esta igualdad tambi´en es cierta para n = 0. De esta forma, P∞ P∞ −n Nn = −1 + n=0 (2D)−n Nn . Sustituyendo Nn por la f´ormula integral anten=1 (2D) 97

rior y empleando que 1 + r + r 2 + r3 + . . . = 1/(1 − r) para |r| < 1, se tiene D −1 + D 2π

Z

π 0

Z

π 0

···

Z

π 0

¡

sen2

u1 u2 uD ¢−1 + sen2 + . . . + sen2 du1 du2 . . . duD . 2 2 2

¡ ¢ Cuando los ui tienden a cero, sen2 u21 +sen2 u22 +. . .+sen2 u2D /(u21 +u22 +. . .+u2D ) → 1/2, R de modo que la integral converge si y s´olo si B k~xk−2 < ∞ con B un entorno del origen, por ejemplo la bola unidad en RD . Pasando a esf´ericas (generalizadas), esta integral es, R1 salvo un factor constante, 0 r−2 · rD−1 dr, que claramente converge para D > 2 y diverge en otro caso.

98

Ejercicios 1) Sin mirar la teor´ıa: a) Explicar por qu´e en ZD hay (2D)M paseos de longitud M . b) Explicar por qu´e hay Nn (2D)M −n paseos en ZD que vuelven a casa en el paso n-´esimo. 2) Hallar la probabilidad de estar a diez pasos de distancia de casa despu´es de haber dado 20. ¿Cu´al es la respuesta si se dan 21? 3) En el caso D = 1 escribir el n´ umero medio de vueltas a¡ casa ¢ como una serie √ 2n −2n que involucre n´ umeros combinatorios. Sabiendo que lim 2 πn n = 1, demostrar la divergencia de la serie. 4) Repetir el problema anterior si la probabilidad de dar un paso a la derecha es p > 00 5, pero demostrando ahora la convergencia de la serie. Indicar por qu´e este resultado es natural. 5) Calcular la varianza de la variable aleatoria que indica la posici´on tras n pasos. √ Concluir que es muy raro llegar a una distancia mucho mayor que n. 6) Si BR es el n´ umero de puntos de ZD en la bola de radio R, probar que lim n/B√n = 0 si y s´olo si D > 2. A partir del problema anterior, explicar por qu´e es l´ogico que justamente para D > 2 un camino a la larga no vuelva a visitar un punto y por tanto el n´ umero de regresos al origen se deba fundamentalmente a lo que ocurre con caminos cortos y por tanto sea finito. 7) Utilizando que x ≥ sen x en [0, π/2], y que [0, π]3 incluye al primer octante de la bola de radio π, dar una cota inferior para la integral del teorema de esta secci´on cuando D = 3. 8) Generalizar el resultado del problema anterior para D > 3. 9) En [Dy-Mc], despu´es de concluir que el n´ umero medio de vueltas a casa es finito para D ≥ 3, se afirma: “Como el origen no es de ning´ un modo especial, lo mismo debe D ocurrir para cualquier punto de Z . Pero esto significa que para cualquier R < ∞ la part´ıcula [el paseante] acaba dejando de visitar la bola k~xk < R, y esto es lo mismo que decir Prob(limn→∞ |sn | = ∞) = 1 [donde sn es la posici´on tras n pasos]”. Explicar este argumento con todo el rigor que sea posible. 10) A partir de la varianza de la posici´on, indicar intuitivamente, en el caso D = 1, por qu´e t´ıpicamente cada vez se tarda m´as en volver al origen. Dar con ello una explicaci´on de las rachas de mala o buena suerte que mencionan muchos jugadores. 11) Supongamos un circuito en forma de pol´ıgono regular tal que en cada v´ertice hay probabilidades no nulas p y 1 − p de ir a la derecha y a la izquierda (no necesariamente las mismas en diferentes v´ertices). ¿Es siempre infinito el n´ umero medio de retornos al punto de partida?

99

´ n 4.2 Seccio

Trabajos sugeridos a s´ olo 3 centauros (el precio de esta fotocopia) De la secci´on: ◦ Teor´ıa de Colas y sus aplicaciones. ◦ Modelos del tr´afico. Generales: ◦ Generaci´on de n´ umeros aleatorios.

Y por el mismo precio, las palabras del sabio: El demonio imaginario de Maxwell, que puede entresacar las mol´ eculas una a una, bien podr´ıa constre˜ nir al mundo a volverse atr´ as. ¿Puede volver all´ı por s´ı mismo? Esto no es imposible, no es m´ as que infinitamente poco probable; hay probabilidades de que deber´ıamos esperar mucho tiempo el concurso de las circunstancias que permitieran el retroceso, pero tarde o temprano ellas se realizar´ an despu´ es de tantos a˜ nos que para escribir su n´ umero ser´ıan menester millones de cifras. [Po] p. 119.

100

4.3. Vienen o van En 1827 el bot´anico R. Brown observ´o el movimiento browniano consistente en que peque˜ nas part´ıculas de polen suspendidas en una disoluci´on se trasladan siguiendo caminos ca´oticos. Sus contempor´aneos (y en parte ´el mismo) pensaron que esto era un signo de vida primaria, pero m´as tarde el desarrollo de la teor´ıa at´omica prob´o que representaba los empellones que dan las mol´eculas a las part´ıculas de polen en direcciones aleatorias. De la misma forma, podemos estudiar los fen´omenos de difusi´on de un gas ocultando nuestro desconocimiento submicrosc´opico diciendo que las mol´eculas que lo conforman se mueven totalmente al azar, ya que las colisiones entre ellas las hacen cambiar continuamente de direcci´on. Para simplificar vamos a restringirnos al caso unidimensional, esto es, como si las part´ıculas de un gas estuvieran metidas en un tubo largo y delgado y s´olo pudieran ir a la derecha o a la izquierda. Si hici´eramos fotos de las part´ıculas cada h segundos durante cierto periodo de tiempo, s´olo ocupar´ıan un conjunto discreto de valores (las ver´ıamos saltar a trompicones, como ocurre con las luces estrobosc´opicas en las discotecas). Por ello no es descabellado suponer que cada una describe un paseo aleatorio en ²Z donde ² > 0 es un n´ umero muy peque˜ no. En los instantes 0, h, 2h, 3h, etc. cada part´ıcula puede trasladarse ² unidades (una casilla) a la derecha o hacia la izquierda con la misma probabilidad (el 50%). t=0

−4ε −3ε −2ε −ε 0 ε 2ε 3ε 4ε

t=h

t=2h

−4ε −3ε −2ε −ε

0

ε

2ε 3ε 4ε

−4ε −3ε −2ε −ε

0

ε

2ε 3ε 4ε

Fijado un tiempo tk = kh, k ∈ Z+ ∪ {0}, habr´a cierta densidad (porcentaje) de part´ıculas p(xn , tk ) en el punto xn = n², n ∈ Z. Esto es, p(xn , tk ) =

n´ umero de part´ıculas en xn . n´ umero total de part´ıculas

Se puede entender p como una probabilidad (la de encontrar una part´ıcula en x n ) y eviP dentemente n p(xn , tk ) = 1, lo que manifiesta la conservaci´on del n´ umero de part´ıculas.

El problema que consideramos es predecir la evoluci´on de esta densidad o probabilidad suponi´endola conocida s´olo en el tiempo inicial t0 = 0. A modo de ilustraci´on, imaginemos que se dejan de golpe en el origen de coordenadas un mont´on de hormigas rastreadoras. Cada una de ellas seguir´a un camino aleatorio y aunque no seamos capaces de saber d´onde 101

estar´a al cabo de un rato la hormiga j-´esima, desde lejos veremos una mancha negra que se expande. Lo que queremos es capturar esa idea y deducir el comportamiento a gran escala a partir de la distribuci´on inicial, sin importarnos las part´ıculas u hormigas individuales, haciendo, como se dice en [Va 2], “predicciones sobre lo no exacto”. Con esta idea, debemos considerar una cantidad innumerable de part´ıculas y, para que el modelo represente fen´omenos reales, la densidad de probabilidad p/², debe acercarse a una funci´on suave al pasar al caso continuo en el que ² y h tienden a cero (de forma adecuada). Es posible concretar m´as la forma en la que ² y h se deben hacer peque˜ nos para que el modelo discreto tienda a uno continuo con sentido. Considerando la variable aleatoria que da la posici´on de una part´ıcula que parte del origen en un paseo aleatorio √ de k pasos en ²Z, su desviaci´on t´ıpica es ² k. Esto implica que t´ıpicamente en kh = 1 √ segundo una part´ıcula se ha desplazado ² k = ²h−1/2 metros de su posici´on inicial. Si no queremos que el conjunto de part´ıculas “explote” o que permanezca inm´ovil, deberemos hacer que esta velocidad media en el primer segundo, ²h−1/2 , sea una constante positiva. Volviendo a las hormigas, puede haber unas que se alejen m´as por seguir caminos m´as rectos y otras que se alejen menos, pero no queremos que en promedio toda la nube avance infinito o cero en el primer segundo (aunque no descartamos que alguna lo haga), sino cierta cantidad positiva. Parece muy complicado controlar una infinidad de paseos aleatorios, sin embargo hay una ecuaci´on muy sencilla que regula la evoluci´on de p, simplemente conviniendo que cada part´ıcula que llega a xn en t = tk+1 tiene un 50% de posibilidades de provenir de xn−1 (de la izquierda) en el tiempo anterior t = tk , y otro 50% de provenir de xn+1 (de la derecha). Es decir, (4.3)

p(xn , tk+1 ) =

¢ 1¡ p(xn−1 , tk ) + p(xn+1 , tk ) . 2

Diccionario: • Posiciones posibles −→ xn = n², n ∈ Z. • Tiempos posibles −→ tk = kh, k = 0, 1, 2, . . . • Concentraci´on (densidad, probabilidad) −→ p(xn , tk ) ≥ 0 con

P

n

p(xn , tk ) = 1.

• Al encontramos con una part´ıcula hay la misma probabilidad de que el instante previo estuviera a derecha o izquierda −→ p(xn , tk+1 ) = (p(xn−1 , tk ) + p(xn+1 , tk ))/2.

• Velocidad media finita −→ ²h−1/2 = cte.

• Discreto → continuo −→ p/² → u = funci´on suave. 102

La f´ormula (4.3) es una relaci´on de recurrencia que permite estudiar la evoluci´on de nuestro modelo discretizado, sin embargo aspiramos a estudiar el l´ımite cuando ² → 0. El razonamiento que vamos a hacer es realmente sencillo. Escribimos simplemente la relaci´on (4.3) como

²2 p(xn−1 , tk ) + p(xn+1 , tk ) − 2p(xn , tk ) p(xn , tk+1 ) − p(xn , tk ) . = h 2h ²2 Usando el lenguaje de la asignatura de C´alculo Num´erico II, ´este es el m´etodo de diferencias finitas aplicado a ∂u/∂t = 41 α ∂ 2 u/∂x2 con α = 2²2 /h. Dicho de otra forma, el miembro izquierdo aproxima a la derivada respecto a la segunda variable cuando h → 0 mientras que en el segundo miembro aparece una derivada segunda. Por si esto u ´ltimo no se cubri´o en el curso de C´alculo I, lo enunciamos a continuaci´on: Lema 4.4 . Sea f : R −→ R. Si f 00 (a) existe, entonces f (a + ²) + f (a − ²) − 2f (a) . ²→0 ²2

f 00 (a) = lim

Dem.: Aplicando la regla de L’Hˆopital, f (a + ²) + f (a − ²) − 2f (a) f 0 (a + ²) − f 0 (a) f 0 (a − ²) − f 0 (a) = lim + lim . ²→0 ²→0 ²→0 ²2 2² −2² lim

Y basta aplicar la definici´on de derivada. Retomando el argumento anterior, si ² y h tienden a cero con α = 2²2 /h, constante, y p/² tiende en un sentido apropiado a una funci´on suave u, ´esta debe cumplir ∂u/∂t = 41 α ∂ 2 u/∂x2 . Partiendo de una concentraci´on inicial u(x, 0) = f (x) (una funci´on de densidad suficientemente regular), para estudiar la posterior evoluci´on del sistema hay que resolver la ecuaci´on del calor

(4.4)

 α ∂2u ∂u   = x ∈ R, t > 0  ∂t 4 ∂x2    u(x, 0) = f (x)

En la secci´on correspondiente, ya vimos c´omo emplear la transformada de Fourier para obtener la soluci´on general de esta ecuaci´on bajo hip´otesis adecuadas de regularidad 103

sobre f . El coeficiente α/4 no cambia el aspecto de la soluci´on, que es

u(x, t) = (παt)

−1/2

Z

∞

e−α

−1 −1

t

(x−y)2

f (y) dy.

−∞

El caso α = 4 corresponde a la soluci´on de la ecuaci´on del calor habitual, ∂u/∂t = ∂ 2 u/∂x2 . N´otese que cuando t → +∞ la funci´on u tiende a cero, lo que indica que las part´ıculas est´an cada vez distribuidas de manera m´as uniforme en R. El aumento de la difusi´on hace que la densidad se aproxime puntualmente a cero. Esto deja de ser cierto si se plantea (4.4) en un dominio acotada en lugar de en R, pero siempre la densidad tender´a a su valor promedio.

´nico que se hace es Ep´ılogo: En cierto modo en la f´ormula anterior para u(x, t) lo u “sumar” (integrar) todas las campanas de Gauss correspondientes a aplicar el teorema central del l´ımite a los paseos aleatorios de cada part´ıcula (la interpretaci´on de ciertas integrales similares a ´esta como sumas sobre “todos los caminos aleatorios” [Ze-Ru-So] es muy importante en F´ısica Cu´antica [Yn] y no del todo fundamentada matem´aticamente). Por simplicidad, aqu´ı s´olo hemos tratado el problema en una dimensi´on; pero el m´etodo se extiende a dimensiones superiores con f´ormulas similares simplemente cambiando ∂ 2 u/∂x2 por ∆u. Una “pega” que se puede poner al modelo en cualquier dimensi´on es que si f tiene soporte compacto, u(x, t) no lo tiene para ning´ un t > 0 ya que u(x, t) > 0, lo que implica que todo funciona como si inicialmente las part´ıculas viajasen arbitrariamente r´apido. Aunque esto sea mec´anicamente imposible (relatividad especial), el decaimiento exponencial de u cuando x → ∞ provoca que u sea pr´acticamente indistinguible de una funci´on de soporte compacto. S´olo en condiciones extremas debemos modificar el modelo reemplazando la ecuaci´on del calor por la ecuaci´on de los medios porosos.

104

Ejercicios 1) Sin mirar la teor´ıa: a) Explicar el significado de la f´ormula de recurrencia b´asica p(xn , tk+1 ) = (p(xn−1 , tk ) + p(xn+1 , tk ))/2. b) Indicar qu´e representa que la soluci´on de la ecuaci´on del calor tienda a cero cuando t → +∞.

2) Explicar por qu´e la ecuaci´on del calor ∂u/∂t = 14 α ∂ 2 u/∂x2 , x > 0, t > 0 con u(x, 0) = f (x) y u(0, t) = 0 corresponde al caso en que el origen hay un “agujero” que absorbe las part´ıculas. 3) Si en el problema anterior en x = 0 hay una barrera que impide que las part´ıculas pasen hacia la izquierda, tratar de justificar por qu´e se debe imponer ∂u/∂x(0, t) = 0 en lugar de u(0, t) = 0. P 4) Traducir la relaci´on n p(xn , tk ) = 1 para todo k en alguna ley de conservaci´on para la ecuaci´on del calor en R (con f de decaimiento r´apido) y demostrarla. Estudiar si tal ley se sigue cumpliendo para la ecuaci´on del calor en [0, ∞) bajo las condiciones especificadas en los dos problemas anteriores. 5) Supongamos que cada part´ıcula puede con igual probabilidad moverse a la derecha, a la izquierda, o quedarse inm´ovil. Indicar los cambios en el modelo y estudiar si hay diferencias cuando se pasa al l´ımite. 6) La concentraci´on de part´ıculas en los cuatro v´ertices de un cuadrado es del 12 0 5%, 120 5%, 370 5% y 370 5%. Calcular la concentraci´on esperada despu´es de tres unidades de tiempo, sabiendo que en cada una de ellas cada part´ıcula se dirige aleatoriamente a uno de los dos v´ertices adyacentes. 7) Si f es continua de soporte compacto probar que u ∈ C ∞ . El proceso de reemplazar una se˜ nal f = f (x) por u(x, t) con t peque˜ no se emplea habitualmente para reducir ruidos. Explicar por qu´e. (En teor´ıa de la se˜ nal se llama a esto un filtro gaussiano). 8) Escribir la ecuaci´on de recurrencia para p si la probabilidad de una part´ıcula de ir a la derecha y a la izquierda no coinciden. Argumentar por qu´e en este modelo se observa transporte (traslaci´on) m´as que difusi´on. 9) Generalizar el modelo de esta secci´on al caso bidimensional escribiendo la relaci´on de recurrencia para p y la ecuaci´on l´ımite. 10) Hallar una funci´on f : R −→ R que no tenga derivada segunda en cero pero tal que exista el l´ımite limh→0 (f (h) + f (−h) − 2f (0))/h2 . ¡ 11) Sea f ∈ C 4 (R2 ) y Lh (x, y) = ∆f (x, y) − f (x + h, y) + f (x − h, y) + f (x, y + h) + ¢ f (x, y −h)−4f (x, y) /h2 . Utilizando la f´ormula de Taylor, demostrar que limh→0 Lh /hα = 0 para todo α < 2.

105

Fernando Chamizo.

´ n II Modelizacio

´ n 4.3 Seccio

Trabajos sugeridos a s´ olo 3 centauros (el precio de esta fotocopia) De la secci´on: ◦ Procesos de difusi´on en Matem´atica Financiera. ◦ Relaci´on entre el movimiento browniano y el n´ umero de Avogadro (puede ser interesante indagar los errores te´oricos y pr´acticos que llevaron a Einstein a deducir en su tesis que el n´ umero de Avogadro era aproximadamente 20 1 · 1023 mientras que el valor real es casi el triple). ◦ Mec´anica Estad´ıstica. ◦ Ecuaciones diferenciales estoc´asticas. Generales: ◦ M´etodos matem´aticos en Astrof´ısica.

Y por el mismo precio, las palabras del sabio: No podemos prever en qu´ e sentido vamos a extendernos; quiz´ as sea la teor´ıa cin´ etica de los gases la que se desarrollar´ a y servir´ a de modelo a las otras. Entonces, los hechos que primeramente aparec´ıan como simples, no ser´ an m´ as que las resultantes de un n´ umero muy grande de hechos elementales que s´ olo las leyes del azar har´ıan concurrir a un mismo fin. La ley f´ısica, por lo tanto, tomar´ıa un aspecto completamente nuevo. Ya no ser´ıa solamente una ecuaci´ on diferencial; adquirir´ıa el car´ acter de una ley estad´ıstica. [Po] p. 136.

106

´jame alguna experiencia, de ´jame participar 8 De

Puede que poder pudieras Material: - Diez dados. - Un cubilete. - Material para dibujar una gr´afica.

Consideremos la variable aleatoria que asigna la cara de puntuaci´on n de un dado p el n´ umero (n − 30 5)/ 175/6. Se comprueba con un c´alculo que tiene esperanza nula y varianza 00 1. El teorema central del l´ımite sugiere que si consideramos el lanzamiento de 10 p dados y la suma S de sus puntuaciones, entonces (S − 35)/ 175/6 tiene aproximadamente una distribuci´on N (0, 1). Equivalentemente, S tiene aproximadamente una distribuci´on p N (35, 175/6). Es decir, cabe esperar 2 1 Prob(S = n) ≈ p e−3(n−35) /175 . 175π/3

La cantidad de formas en que se puede obtener suma igual a n, 10 ≤ n ≤ 60 al lanzar 10 dados est´a recogida en la siguiente tabla: 10 → 1 11 → 10 12 → 55 13 → 220 14 → 715 15 → 2002 16 → 4995 17 → 11340 18 → 23760 19 → 46420 20 → 85228 21 → 147940 22 → 243925 23 → 383470 24 → 576565 25 → 831204 26 → 1151370 27 → 1535040 28 → 1972630 29 → 2446300 30 → 2930455 31 → 3393610 32 → 3801535 33 → 4121260 34 → 4325310 35 → 4395456 36 → 4325310 37 → 4121260 38 → 3801535 39 → 3393610 40 → 2930455 41 → 2446300 42 → 1972630 43 → 1535040 44 → 1151370 45 → 831204 46 → 576565 47 → 383470 48 → 243925 49 → 147940 50 → 85228 51 → 46420 52 → 23760 53 → 11340 54 → 4995 55 → 2002 56 → 715 57 → 220 58 → 55 59 → 10 60 → 1 La probabilidad de S = n es por tanto el n´ umero asignado a n dividido por el n´ umero 10 de casos posibles 6 = 60 466 176. Con ello se comprueba que la bondad de la aproximaci´on anterior es incre´ıble teniendo en cuenta que s´olo usamos N = 10 dados mientras que la teor´ıa nos habla de lo que ocurre cuando N → ∞. Si representamos en una gr´afica ambos 107

miembros de la aproximaci´on, no es posible detectar diferencias a simple vista, salvo quiz´a en los tres puntos centrales donde el error relativo es menor que el 2%. Una vez que hemos visto lo extraordinariamente bien que una normal aproxima a la distribuci´on de la suma de las puntuaciones de 10 dados, el experimento consistir´a en comprobar que si estimamos las probabilidades estad´ısticamente tirando nosotros mismos los dados, nos cansaremos antes de ver una campana de Gauss decente. La moraleja es que debemos creer ciegamente en la Estad´ıstica pero no siempre en las estad´ısticas. Concretamente, el experimento es muy simple y consiste en lanzar los dados con el cubilete un n´ umero de veces grande A, hasta que nos aburramos, y apuntar en cada caso la suma. Al terminar, tras desperezarnos, compararemos las gr´aficas obtenidas al representar los puntos con abcisa 10 ≤ n ≤ 60 y ordenadas no de veces en que la suma es n , A

2 1 p e−3(n−35) /175 . 175π/3

Por ejemplo, en un experimento real* con A = 100 se obtuvo 0.1

0.1

0.09

0.09

0.08

0.08

0.07

0.07

0.06

0.06

0.05

0.05

0.04

0.04

0.03

0.03

0.02

0.02

0.01

0.01

0 10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

0 10

60

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

El error en el punto central n = 35 es de m´as del 30% y en el punto anterior n = 34 de casi el 60%. Explicaci´on: En principio no hay ninguna contradicci´on: la aproximaci´on es tan buena como antes s´olo si A es suficientemente grande (ley de los grandes n´ umeros [Fe]). La pregunta natural es por qu´e 100 o 200 (donde s´olo habr´an llegado los m´as pacientes) no es un n´ umero suficientemente grande. Evidentemente con un ordenador podr´ıamos simular *

N. del A. Como el experimento es un poco largo, m´ as vale hacerlo con comodidad. Lanc´ e los datos en un barre˜ no para que no se desperdigaran. Despu´ es de cada tirada los llevaba hacia el borde aline´ andolos y copiaba las puntuaciones en una hoja de c´ alculo que efectuaba las sumas en mi lugar. Con ello tambi´ en quise recopilar datos sobre las fecuencias para tratar de desmentir la queja t´ıpica cuando se juega al parch´ıs de que existe “el dado de los seises”.

108

el lanzamiento de los dados un mill´on de veces y entonces el resultado ser´ıa bastante aproximado, pero hacer el experimento 100 o 200 veces de verdad, sin delegar en las tripas de un ordenador, conlleva tanto esfuerzo que es descorazonadora la pobreza de la aproximaci´on. Demos a nuestra pregunta una forma matem´atica un poco m´as concreta y calculemos por ejemplo de qu´e tama˜ no debe ser t´ıpicamente A para que el error en el punto central n = 35 sea menor que el 10%. Para tal fin, consid´erese la variable aleatoria que al tirar los dados A veces cuenta el n´ umero de veces en que la suma es 35 (n´ umero de ´exitos). Esta variable aleatoria claramente tiene una distribuci´on binomial B(A, p) con p la probabilidad de obtener suma igual a 35. Seg´ un la tabla, p = 4395456/6 10 ≈ 00 074. La esperanza de p esta binomial es pA, y la desviaci´on t´ıpica p(1 − p)A, por tanto cuando hagamos el experimento A veces, lo normal es que en vez de obtener pA veces suma 35 la obtengamos p pA + error veces con error una cantidad comparable a p(1 − p)A. Si queremos que el error relativo sea t´ıpicamente menor que el 10%, se deber´ıa cumplir p

p(1 − p)A


1−p . (00 1)2 p

Sustituyendo p por 00 074, esto conduce a A > 1251.

El error cometido al efectuar nuestra estad´ıstica preguntando a muchos dados qu´e n´ umero se obtiene como suma, ha sido bastante burdo: simplemente no deber´ıamos haber preguntado a muchos, sino a much´ısimos, a m´as de mil. Errores como ´este no se producen en las estad´ısticas serias (que no son todas las que aparecen en los medios de comunicaci´on), porque son de alg´ un modo de naturaleza matem´atica. Aunque ´estos pueden llegar a ser realmente sutiles [Ju], seguramente los errores m´as graves en las estad´ısticas y que posiblemente invalidan un n´ umero no desde˜ nable de ellas, est´an ligados a factores psicol´ogicos. Por ejemplo, es muy f´acil obtener un “no sabe/no contesta” o una mentira al preguntar sobre temas escabrosos. Tambi´en la forma de las estad´ısticas est´a muchas veces influida por lo que se quiere demostrar o por los propios prejuicios. Por ejemplo, si la imagen I de un suceso tr´agico e impresionante ha aparecido muchas veces en televisi´on, las preguntas: “¿Cree usted que se ha emitido demasiadas veces I?”, “¿Cree usted que se deber´ıa evitar la emisi´on de I? “y ¿Cree usted que deber´ıan prohibir emitir I?”; arrojar´ıan resultados desiguales. Si hici´eramos la primera pregunta la respuesta ser´ıa seguramente “s´ı”, pero si hici´eramos la segunda o la tercera, casi todos intentamos no involucrarnos en algo que sugiera escabullirse o prohibir, de modo que la respuesta tender´ıa m´as al “no”. Las conclusiones que alguien sacara de los resultados podr´ıan llegar a ser opuestas aunque 109

las preguntas no lo sean. Los que hayan hecho la experiencia anterior con los dados, probablemente ya habr´an notado una curiosa manifestaci´on experimental de lo psicol´ogico. Al tirar los 10 dados casi todas las veces parece que las puntuaciones obtenidas tienen algo de singular e improbable: hay muchos seises, hay varios dados seguidos con puntuaci´on ascendente, casi todas las puntuaciones son menores que cuatro, etc. La mayor´ıa de las veces pensamos que hemos tenido “buena” o “mala suerte”, sin saber reconocer lo rutinario.

110

´jame alguna experiencia, de ´jame participar 9 De

Todo por igual Material: - Un mont´on de jud´ıas blancas crudas (sin cocinar). - Un mont´on de jud´ıas pintas similares a las anteriores. - Un programa para generar n´ umeros aleatorios y dibujar gr´aficas (opcional).

¿Qu´e ocurre cuando dos empresas compiten lanzando al mercado productos similares e incompatibles? Estamos acostumbrados a ver que en esta situaci´on (sistemas de v´ıdeo, sistemas operativos de ordenadores), despu´es de una pugna inicial con altibajos, la empresa que logra una ventaja significativa acaba con la otra, independientemente de la calidad del producto, ya que el pez grande se come al chico. Lo que vamos a comprobar, gracias a un bello, interesante y sorprendente modelo conocido como urna de P´olya, es que el mundo matem´atico es menos violento y pemite una coexistencia pac´ıfica. ´ Metamos una jud´ıa de cada color en un bote. Estas representar´an los productos iniciales de cada empresa. No es descabellado suponer que los clientes eligen al azar entre los nuevos productos, por tanto si hay una desproporci´on en la oferta a favor de uno de ellos, lo elegir´an m´as. Escojamos pues, una jud´ıa al azar del bote, y despu´es de verla, repong´amosla y a˜ nadamos otra jud´ıa del mismo color. Ahora habr´a dos jud´ıas de un tipo y una de otro, con lo cual es m´as f´acil escoger las primeras. Repitamos el procedimiento un n´ umero grande de veces* .

P

P

B

Cabr´ıa esperar que una mayor´ıa clara obtenida al azar, en unas cuantas iteraciones se convierte en aplastante. Pero el experimento nos muestra, pr´acticamente siempre, volcando el bote, que hay una proporci´on apreciable de la minor´ıa que no s´olo no tiende a desaparecer sino que parece estabilizarse. *

N. del A. Repet´ı el proceso 200 veces anotando los resultados en una hoja de c´ alculo para poder representar la evoluci´ on del sistema.

111

Una simulaci´on con ordenador nos muestra que ´este es el caso. Simulaci´on Ejemplo real 1

1

0.9

0.9

0.8

0.8

0.7

0.7

0.6

0.6

0.5

0.5

0.4

0.4

0.3

0.3

0.2

0.2

0.1

0.1

0

50

100

150

200

250

0

300

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

Explicaci´on: Sea Xn la variable aleatoria que toma el valor 1 si en la n-´esima extracci´on la jud´ıa es blanca y 0 si es pinta. La propiedad importante de estas variables aleatorias es que aunque no son independientes, son intercambiables. Esto quiere decir que para cualquier vector de ceros y unos ~v ∈ {0, 1}N , se tiene la igualdad de probabilidades ¡ ¢ ¡ ¢ P (X1 , X2 , . . . , XN ) = ~v = P (Xσ(1) , Xσ(2) , . . . , Xσ(N ) ) = ~v

donde σ es cualquier permutaci´on en SN (reordenamiento de 1, 2, . . . , N ). Este hecho, muy poco intuitivo, es rid´ıculamente sencillo de comprobar escribiendo las cuentas. Por ejemplo, las probabilidades de que las tres primeras extracciones sea BBP, BPB o PBB, son repectivamente (abajo se indica las que hay de cada tipo en el bote): 1 2 · 2 3 B 1 2 P 1 1

1 4 3 3 1 2

·

1 1 · 2 3 B 1 2 P 1 1

1 1 · 2 3 B 1 1 P 1 2

2 4 2 3 2 2

·

2 4 2 3 2 2

·

La probabilidad de que al extraer N jud´ıas, las primeras m sean blancas y las N − m restantes pintas, es 1 2 3 m 1 2 3 N −m m!(N − m)! · · · ... · · · · · ... · = . 2 3 4 m+1 m+2 m+2 m+2 N +1 (N + 1)! Por la propiedad de intercambiabilidad, la probabilidad de que despu´es de N extracciones haya exactamente m + 1 jud´ıas blancas en el bote es, por tanto P (X1 + X2 + . . . + XN = m) =

µ

N m

¶

1 m!(N − m)! = . (N + 1)! N +1

Es decir, que todas las proporciones de jud´ıas blancas y pintas son equiprobables. La distribuci´on de esta proporci´on es la uniforme (para la existencia y sentido de la “distribuci´on l´ımite”, v´ease [Fe]). 112

5. Fluidos 5.1. Navegando Cuando o´ımos la palabra fluido imaginamos algo que potencialmente puede manar de un sitio a otro y que puede sortear obst´aculos y estrechamientos. Aunque empleemos o leamos expresiones como fluido el´ectrico, o incluso fluido cal´orico, el Bachillerato y el diccionario nos recuerdan que en primer lugar debemos pensar en l´ıquidos y gases. Los fluidos mantienen una suerte de oposici´on frente a los s´olidos, cuyas mol´eculas son tan gregarias que avanzan en grupos inalterables permitiendo s´olo movimientos r´ıgidos. Las mol´eculas de los fluidos se tienen menos apego unas a otras y, al menos idealmente, no ponen reparos a cambiar las distancias con sus vecinas buscando nuevas amistades. Hay dos formas de describir el movimiento de las part´ıculas de un fluido. Una es perseguir a cada part´ıcula dando su ecuaci´on de movimiento (descripci´on lagrangiana), y la otra es quedarnos quietos en un punto y medir la velocidad de la part´ıcula que pasa por all´ı (descripci´on euleriana). Esta segunda forma se muestra m´as natural a la hora de escribir las ecuaciones b´asicas de la Mec´anica de Fluidos. Matem´aticamente corresponde a dar una funci´on ~v = ~v (~x, t) que para cada valor de t nos diga cu´al es la velocidad de la part´ıcula que est´a en el punto ~x perteneciente al dominio en el que vive el fluido. En definitiva, fijado t, la funci´on ~v es un campo vectorial en R3 , el campo de velocidades. La primera ecuaci´on que veremos, es la llamada ecuaci´on de continuidad, que expresa la conservaci´on de la masa. Supongamos un fluido de densidad ρ (en principio no constante) R ocupando una regi´on V de R3 . La masa correspondiente es V ρ. Puede que parte de la masa del fluido escape de la regi´on V , pero siempre debe hacerlo fluyendo a trav´es de la frontera, que denotamos con ∂V . Por tanto, la variaci´on de la masa dentro de V y el flujo a trav´es de ∂V deben compensarse.Z En una Z ecuaci´on: d ~ = 0. ρ+ ρ~v · dS dt V ∂V La segunda integral representa el flujo a trav´es de la frontera porque si dA es un peque˜ no “cuadradito” en ∂V , en un tiempo dt el fluido pasar´a de dA a dA + ~v dt. El paralelep´ıpedo ~ |dA|dt. Por tanto la cantidad de masa determinado por estos cuadraditos tiene masa ρ~v · N que atraviesa la frontera por unidad de tiempo (el flujo) es la integral de superficie. La otra ecuaci´on que introduciremos no es m´as que la ecuaci´on fundamental de la din´amica F = ma. Si ~x(t) = (x(t), y(t), z(t)) es la ecuaci´on de movimiento de una part´ıcula de fluido, entonces debe cumplirse ~x 0 (t) = ~v (~x(t), t). A las soluciones de esta ecuaci´on diferencial se les llama trayectorias. Derivando una vez m´as, la aceleraci´on ser´a ∂~v ∂~v ∂~v ∂~v ∂~v ~a = ~x 00 = + v1 + v2 + v3 = + (~v · ∇)~v . ∂t ∂x ∂y ∂z ∂t 113

Donde la u ´ltima igualdad es simplemente notaci´on (bastante l´ogica pensando que ∇ es el vector de derivadas parciales). R La fuerza que sufre la porci´on de fluido en la regi´on V es, por tanto, V ρ~a, entendiendo esta integral de volumen “vectorial”, coordenada a coordenada. En ausencia de fuerzas externas, esta fuerza provendr´a de que la porci´on de fluido en V es empujada (presionada) por las part´ıculas de fluido de las regiones adyacentes. Para simplificar, supongamos el fluido dividido en peque˜ nos cubitos. La fuerza de unos sobre otros ser´a perpendicular a la superficie de las caras (suponemos que no son “pegajosos”, que no hay rozamiento en los desplazamientos paralelos) y se dirige hacia el interior de cada cubito. Se llama presi´on p al m´odulo de esta fuerza de empuje por unidad de superficie. Las fuerzas debidas a la presi´on en las direcciones x, y, z que act´ uan sobre la superficie ∂V de un elemento de R R R ~ ~ y− ~ respectivamente. fluido, son pues − ∂V (p, 0, 0) · dS, − ∂V (0, p, 0) · dS (0, 0, p) · dS, ∂V

Puede haber tambi´en fuerzas externas al fluido. Por ejemplo la gravedad, que en la superficie terrestre se empe˜ na en tirar de las cosas hacia abajo con aceleraci´on g, dando R lugar a una fuerza V (0, 0, −ρg). Consideraremos s´olo fuerzas conservativas, es decir, tales que la aceleraci´on se puede escribir como −∇φ, donde φ es cierta funci´on, llamada potencial, que s´olo depende de la posici´on. Estas fuerzas externas contribuyen F~ext = R − V ρ∇φ. En el caso anterior φ = gz.

El modelo consiste simplemente en a˜ nadir a la ecuaci´on de continuidad el balance de fuerzas (ecuaci´on din´amica).

Diccionario: • Velocidad en cada punto e instante Z −→Z ~v = ~v (~x, t). d ~ = 0. • La masa no desaparece −→ ρ+ ρ~v · dS dt V ∂V Z ¡ ∂~v ¢ ~ • F = ma en una porci´on de fluido −→ F = ρ + (~v · ∇)~v . ∂t V Z Z Z ¡ ~ ~ ~ (p, 0, 0) · dS, (0, p, 0) · dS, • Fuerzas de presi´on −→ F1 = − • Fuerzas externas −→ F~2 = −

Z

∂V

∂V

∂V

~ (0, 0, p) · dS

¢

ρ∇φ. V

• Equilibrio de fuerzas −→ F~ = F~1 + F~2 . Para hacer las ecuaciones del modelo m´as manejables aplicamos el teorema de la 114

divergencia. La ecuaci´on de continuidad produce d dt

Z

ρ+ V

Z

V

div(ρ~v ) = 0 ⇒

Z

V

¡ ∂ρ ¢ ∂ρ + div(ρ~v ) = 0 ⇒ + div(ρ~v ) = 0; ∂t ∂t

donde la u ´ltima igualdad se sigue de que V es una regi´on arbitraria. De la misma forma F~1 = −

¡

Z

V

∂p , ∂x

Z

V

∂p , ∂y

Z

V

∂p ¢ =− ∂z

Z

V

∇p.

¡ v ¢ Y junto con F~ = F~1 + F~2 se sigue ρ ∂~ + (~ v · ∇)~ v = −∇p − ρ∇φ. Entonces, el equilibrio ∂t de fuerzas (conservaci´on del momento lineal, si uno quiere quedar bien) y la ecuaci´on de continuidad, se pueden resumir en las llamadas ecuaciones de Euler

(5.1)

 ∂~v + (~v · ∇)~v + ρ−1 ∇p + ∇φ =~0    ∂t   

∂ρ + div(ρ~v ) =0 ∂t

Como estas ecuaciones son bastante complicadas se consideran diferentes situaciones especiales. As´ı un fluido incompresible homog´eneo es aqu´el cuya densidad ρ es una funci´on constante. Limitarse a fluidos incompresibles homog´eneos deja algunos fen´omenos interesantes propios de los gases, pero se ajusta bien a los l´ıquidos y al aire en las condiciones habituales. A partir de ahora nos ocuparemos s´olo de este tipo de fluidos que, con cierta impropiedad, denominaremos simplemente fluidos incompresibles. Para ellos las ecuaciones de Euler se reducen a

(5.2)

( ∂~v ∂t

¡ ¢ + (~v · ∇)~v + ∇ p/ρ + φ =~0 div ~v =0

Aqu´ı las inc´ognitas son ~v y p, ya que se supone que podemos conocer f´acilmente la densidad del fluido y φ viene dada por influencias externas. Si tenemos el fluido contenido en un recipiente estanco, o choca contra un obst´aculo, es natural imponer la condici´on ~v · ~n = 0 en la frontera, con ~n el vector normal, lo que significa que el fluido no la atraviesa, sino que s´olo puede deslizarse a lo largo de ella. Querr´ıamos partir de una velocidad inicial ~v0 (~x) = ~v (~x, 0) y deducir la evoluci´on del fluido. Evidentemente la presi´on s´olo puede estar definida salvo una constante (∇(p + cte) = ∇p, lo importante es su incremento; n´otese la necesidad de la descompresi´on en el buceo) pero esperamos determinar la velocidad. Para 115

dar una idea de la dificultad matem´atica del modelo, hay que mencionar que no se sabe todav´ıa si existen siempre soluciones bien definidas para todo tiempo, aunque se conoce la existencia y unicidad para tiempo peque˜ nos, y la existencia y unicidad global en el caso bidimensional (fluidos que se mueven en capas planas) [Ma-Pu]. Siguiendo con los casos especiales, si el campo de velocidades ~v no depende del tiempo, se dice que le fluido es estacionario. Esto no significa que se est´e quieto, sino que la velocidad de las part´ıculas que lo componen s´olo depende del punto por el que pasan. En este caso, en la primera ecuaci´on desaparece el t´ermino ∂~v /∂t. A la funci´on ω ~ = rot ~v se le llama vorticidad. Por el teorema de Stokes, si D es una R ~ De modo ~ · dS. superficie con frontera ∂D, la circulaci´on de ~v a lo largo de ∂D es D ω que la vorticidad mide de alguna forma “los remolinos” locales, la posibilidad de que un elemento de fluido no s´olo avance y se deforme, sino que gire (v´ease [Va 1] §5.6, [Ch-Ma] §1.2). Si la vorticidad es nula, se dice que el fluido es irrotacional. El primer resultado que veremos afirma que los remolinos no pueden salir de la nada, siempre que las part´ıculas no desaparezcan o se creen espont´aneamente. Proposici´ on 5.1 . Supongamos que se cumplen las ecuaciones (5.2) y las trayectorias est´an definidas para todo tiempo. Si la vorticidad ω ~ se anula en t = 0 entonces es id´enticamente nula. Dem.: Partimos de la identidad del c´alculo vectorial ([Gr-Ry] 10.31.3’ con f = g): 1 (5.3) (F~ · ∇)F~ = (rot F~ ) × F~ + ∇(kF~ k2 ), 2 cuya prueba se reduce a aburrirse un rato. Sustituyendo en la primera ecuaci´on de (5.2) 1 ∂~v +ω ~ × ~v + ∇( k~v k2 + φ + p/ρ) = 0. ∂t 2 Al tomar rotacionales se tiene (recu´erdese que rot ∇ = 0) ∂~ ω = rot(~v × ω ~ ). (5.4) ∂t En este punto en [Fe-Le-Sa] §40-2 se termina la prueba diciendo “Si ω ~ = ~0 en cualquier lugar y en cualquier instante t, ∂~ ω /∂t tambi´en es cero, as´ı que ω ~ es cero en cualquier lugar en t + ∆t”. Esto no parece riguroso en absoluto [Ch-Ma] y nosotros trabajaremos un poco m´as. Empleamos un nuevo monstruo del c´alculo vectorial ([Gr-Ry] 10.31.7’): ~ = (G ~ · ∇)F~ − (F~ · ∇)G ~ + F~ div G ~ −G ~ div F~ . rot(F~ × G) Por la ecuaci´on de continuidad y div rot = 0, (5.4) equivale a ∂~ ω (5.5) + (~v · ∇)~ ω = (~ ω · ∇)~v . ∂t Sea ~x = ~x(t) la trayectoria que sigue una part´ıcula inicialmente en ~x 0 , es decir, la soluci´on de ~x 0 = ~v (~x, t), ~x(0) = ~x0 . Como hab´ıamos visto al deducir las ecuaciones de Euler, el primer miembro de (5.5) es la derivada de la curva parametrizada ~γ (t) = ω ~ (~x(t), t). Por 116

tanto, dada ~v , (5.5) se escribe como una ecuaci´on diferencial ordinaria ~γ 0 = H(~γ , t). De acuerdo con la teor´ıa, esta ecuaci´on tiene soluci´on u ´nica, que en este caso es obviamente ~ ~ ~γ = 0. Por tanto ω ~ = 0, ya que todo punto est´a en alguna trayectoria que parti´o de t = 0. En diferentes aplicaciones pr´acticas (por ejemplo en Aeron´autica) es importante estudiar c´omo act´ ua un fluido sobre un objeto inmerso en ´el que ocupa una regi´on s´olida V . Seg´ un el modelo, tal objeto debe sufrir una fuerza debida a la presi´on de los elementos de fluido adyacentes, dada por ~ =− E

¡

Z

∂V

~ (p, 0, 0) · dS,

Z

∂V

~ (0, p, 0) · dS,

Z

∂V

¢ ~ . (0, 0, p) · dS

Por razones obvias se llama empuje a esta fuerza. Veamos dos resultados b´asicos concernientes a los fluidos estacionarios. El primero, bien conocido, nos dice cu´al es el empuje si el fluido est´a completamente parado. Proposici´ on 5.2 (Principio de Arqu´ımedes). Si ~v es id´enticamente nula y φ = gz (el potencial gravitatorio) entonces Z ~ = (0, 0, g E

ρ).

V

R Nota: como V ρ es la masa de la regi´on V si estuviera llena de fluido, lo que dice este resultado es que “todo cuerpo sumergido en un fluido (incluso no incompresible), sufre un empuje vertical y hacia arriba igual al peso del volumen de fluido que desaloja”. R ~ = − Dem.: Como ya hab´ıamos visto, por el teorema de la divergencia, E ∇p. V R ~ Seg´ un la primera ecuaci´on de (5.1), si ~v es id´enticamente nula E = V ρ∇φ. Sustituyendo φ = gz se tiene el resultado deseado. Proposici´ on 5.3 (Teorema de Bernoulli). En un fluido (incompresible) estacionario, la cantidad 12 ρk~v k2 + p + ρφ permanece constante a lo largo de cada trayectoria. Dem.: Multiplicando la primera ecuaci´on de (5.2) por ρ y aplicando (5.3), en el caso estacionario se obtiene ¢ ¡1 ρ~ ω × ~v + ∇ ρk~v k2 + p + ρφ = 0. 2 ¢¢ ¡ ¡ Multiplicando escalarmente por ~v , se elimina la vorticidad, ∇ 12 ρk~v k2 + p + ρφ · ~v = 0. d ∂ dx ∂ dy ∂ dz Y la regla de la cadena en la forma dt = ∂x ormula dt + ∂y dt + ∂z dt , prueba que esta f´ equivale a ¢ d ¡1 ρk~v (~x(t))k2 + p(~x(t)) + ρφ(~x(t)) = 0, dt 2 como se quer´ıa demostrar. 117

Una de las muchas aplicaciones es el estudio de la ca´ıda de presi´on cuando una tuber´ıa cil´ındrica de secci´on S1 se estrecha hasta una secci´on S2 . Suponemos, como es natural, que la velocidad es perpendicular a la secci´on antes y despu´es del estrechamiento; pasando de tener m´odulo v1 a v2 . S1 S2 v1

v2

Siguiendo el camino inverso al empleado para deducir la ecuaci´on de continuidad 0=

Z

div ~v = V

Z

∂V

~ = S 2 v 2 − S 1 v 1 ⇒ v 2 = S1 v 1 . ~v · dS S2

Como era de esperar, por el lado m´as estrecho el agua sale m´as r´apido ([Ga] p. 374). Seg´ un el teorema de Bernoulli 1 2 1 ρv1 + p1 = ρv22 + p2 . 2 2 Sustituyendo v2 se deduce p1 − p 2 = ρ

v12 (S 2 − S22 ). 2S22 1

As´ı pues, con v1 constante, S2 → 0 ⇒ p1 − p2 → +∞. Entonces, como reflejan los dibujos animados, si pisamos una mangera no explotar´a por el sitio por el que la hemos pisado, sino por alguno de secci´on mayor (all´ı donde hay m´as agua esperando).

118

Ejercicios 1) Sin mirar la teor´ıa: a) Explicar por qu´e el campo de velocidades de un fluido incompresible homog´eneo debe tener divergencia nula. b) Si ~v = ~v (~x, t) es el campo de velocidades de un fluido y la aceleraci´on se define como derivada temporal de la velocidad, ¿por qu´e la aceleraci´on de las part´ıculas del fluido no es la derivada de ~v respecto a la u ´ltima coordenada, t? 2) Si ~v = (x2 + x + z, −2xy + t, az + etx ) es el campo de velocidades de un fluido incompresible, hallar a y calcular la aceleraci´on que tiene la part´ıcula que pasa por el origen en t = 0. 3) Un fluido compresible homog´eneo es aqu´el cuya densidad ρ s´olo depende de t. Esto es, tal que la densidad puede variar pero siempre por igual en todos los puntos. Demostrar que en este tipo de fluidos si la divergencia del campo de velocidades es positiva entonces ρ debe decrecer. ¿Qu´e significa esto f´ısicamente? ¡ ¢ 4) Comprobar que el campo de velocidades ~v = (x2 −y 2 )/(x2 +y 2 )2 , 2xy/(x2 +y 2 )2 , 0 corresponde a un fluido incompresible estacionario, y demostrar que cada trayectoria (x(t), y(t), z(t)) verifica y(t) = C(x2 (t) + y 2 (t)) para cierta constante C. (Esto u ´ltimo 2 2 equivale a verificar que la derivada de y(t)/(x (t) + y (t)) es nula). 5) Consid´erese un hexaedro regular (cubo) homog´eneo de lado l = 10 cm y densidad ρ = 00 9 gr/cm3 . Suponiendo que permanece en equilibrio flotando en el agua en su posici´on habitual, calcular por d´onde llegar´a la l´ınea de flotaci´on. 6) Repetir el problema anterior cuando el objeto que flota es un cono invertido que tiene altura 10 cm, di´ametro de la base 20 cm y densidad 00 5 gr/cm3 . 7) ¿D´onde correr´ıa m´as deprisa un mismo r´ıo, aqu´ı o en la Luna? (Sup´ongase nula en ambos casos la presi´on “atmosf´erica”). 8) Una tuber´ıa horizontal de secci´on circular tiene un estrechamiento, pasando su radio de 2 cm a 1 cm. Si el agua mana por la parte ancha a 1 m/s y la presi´on en la parte estrecha es 200 000 N/m2 , hallar la presi´on en la parte ancha y la velocidad en la estrecha. 9) Suponiendo que la tuber´ıa del problema anterior tiene un metro de longitud, repetir el problema cuando la tuber´ıa est´a inclinada 30o con el lado estrecho hacia abajo. (Se supone que el caudal de agua se ajusta perfectamente a la tuber´ıa, sin estrecharse). 10) Probar que si el campo de velocidades de un fluido incompresible irrotacional y estacionario tiene dos coordenadas constantes, la tercera tambi´en lo debe ser. 11) Si una pelotita flota en el agua y la empujamos ligeramente hacia abajo, comenzar´a a oscilar. Estudiar si el movimiento es arm´onico simple (esto es, si la fuerza es proporcional a la distancia a la posici´on de equilibrio) cuando se supone despreciable el campo de velocidades del fluido. 119

´ n 5.1 Seccio

Trabajos sugeridos a s´ olo 3 centauros (el precio de esta fotocopia) De la secci´on: ◦ Ondas en fluidos. Generales: ◦ Las funciones de Bessel y sus aplicaciones.

Y por el mismo precio, las palabras del sabio: Ser´ıa menester haber olvidado completamente la historia de la ciencia para no recordar que el deseo de conocer la naturaleza ha tenido la influencia m´ as constante y m´ as afortunada sobre el desarrollo de las matem´ aticas. En primer lugar, el f´ısico nos plantea problemas cuya soluci´ on espera de nosotros. Pero proponi´ endolos nos ha pagado ampliamente por anticipado el servicio que podemos hacerle si llegamos a resolverlos [Po] p. 99.

120

5.2. No creo en ti Ahora nos fijaremos en los fluidos incompresibles que son estacionarios e irrotacionales, es decir, con ∂~v /∂t = ~0 y rot ~v = ~0. Como ya hemos visto, la “irrotacionalidad” corresponde en cierto modo a la ausencia de remolinos. Creerse que esta situaci´on representa la realidad f´ısica de los fen´omenos que nos son familiares, depende de la fe de cada uno. Lo cierto es que para este tipo de fluidos se pueden obtener algunos resultados matem´aticos y algunas explicaciones cualitativas. Por (5.3), los fluidos irrotacionales deben cumplir (~v · ∇)~v = 12 ∇k~v k2 , y si adem´as son estacionarios la primera de las ecuaciones de Euler (5.2) requiere (~v · ∇)~v = −∇(p/ρ + φ). Por tanto, salvo constantes la presi´on es 1 p = − ρk~v k2 − ρφ. 2 ´ Este es un caso particular del Teorema de Bernoulli en el que no s´olo se tiene que la cantidad all´ı considerada es constante a lo largo de las trayectorias, sino en todos los puntos de fluido (que suponemos conexo). Seg´ un esto, la primera de las ecuaciones de Euler equivale a la determinaci´on de la presi´on y por tanto s´olo queda la ecuaci´on de continuidad, a la que hay que a˜ nadir que el fluido es irrotacional y que no cambia con el tiempo (es estacionario). La gran ventaja del nuevo modelo es que es lineal. Diccionario: • Fluido estacionario e irrotacional −→ ~v = ~v (x, y, z), div ~v = 0, rot ~v = ~0. Pasemos a ver ahora un curso de Variable Compleja en menos de diez l´ıneas. Consideremos una funci´on f que pasa n´ umeros complejos a n´ umeros complejos. Digamos que f es derivable en z0 , en el sentido de que existe el l´ımite limh→0 (f (z0 + h) − f (z0 ))/h con h complejo. A las funciones derivables complejas se les llama funciones holomorfas. Si separamos f (x + iy) en sus partes real e imaginaria, que suponemos C 1 , y derivamos aplicando la regla de la cadena derivando con respecto a x e y, f (x + iy) = a(x, y) + ib(x, y) ⇒ f 0 =

∂a ∂b +i , ∂x ∂x

if 0 =

∂a ∂b +i . ∂y ∂y

Despejando f 0 e igualando, se deducen las llamadas ecuaciones de Cauchy-Riemann ∂a ∂b − = 0, ∂x ∂y

∂a ∂b + = 0. ∂y ∂x

De forma que sin comerlo ni beberlo, hemos probado el siguiente resultado: 121

Proposici´ on 5.4 . Sea f (x + iy) = a(x, y) + ib(x, y) una funci´on holomorfa, entonces ~v (x, y, z) = (a(x, y), −b(x, y), 0) = (Re f , Im f , 0) satisface div ~v = 0, rot ~v = ~0. Estos campos de velocidades corresponden a fluidos “bidimensionales” en el sentido de que la componente z no participa en el resultado y las part´ıculas de fluido se desplazan en capas horizontales. El resultado anterior permite establecer una correspondencia biyectiva entre funciones holomorfas y fluidos estacionarios irrotacionales bidimensionales [Va 1]. Veamos un ejemplo interesante. Supongamos una corriente de aire que act´ ua sobre un cilindro de radio uno de manera que en un corte transversal vemos que el aire se mueve en la direcci´on positiva del eje X tropezando con el c´ırculo unidad

Es razonable pensar que el aire lejos del c´ırculo no se ve afectado por ´el, digamos ~v → (1, 0, 0) si x2 + y 2 → ∞. Como hab´ıamos visto, la condici´on de contorno natural es que el viento resbale en la frontera, de modo que ~v es tangente a la circunferencia unidad en cada punto de ella. Si encontramos una funci´on holomorfa en |z| > 1 − ² con lim z→∞ f (z) = 1 umero complejo tangente a la circunferencia unidad para de forma que f (z) defina un n´ cada |z| = 1, tendremos “la soluci´on”. Tal funci´on es f (z) = 1 − z −2 . N´otese que |z| = 1 ⇒ f (z) = 1 − z −2 = 1 − z 2 y con un dibujo se ve que 1 − z 2 y z son perpendiculares. Por tanto ¡ ¢ x2 − y 2 2xy ~v (x, y, z) = (Re f , Im f , 0) = 1 − 2 , 2 ,0 . 2 2 2 2 (x + y ) (x + y ) En cierto modo se puede probar que ´esta es “la soluci´on”, la u ´nica soluci´on, siempre que supongamos que no hay circulaci´on de aire alrededor del c´ırculo (para el caso en que hay circulaci´on, v´ease [Va 1]). Que f (z(t)) sea tangente a la curva determinada por z(t) equivale a que f (z(t))z 0 (t) sea real (dib´ ujense los n´ umeros complejos). Escribiendo z(t) = g(w(t)) se tiene que 0 (f ◦ g)(w(t))g(w(t))w (t) es real, y por tanto (f ◦ g)(w(t))g(w(t)) es tangente a la curva determinada por w(t) = g −1 (w(t)). Esto permite resolver el problema anterior para obst´aculos cuya frontera es una curva diferente de la circunferencia unidad pero relacionada 122

´ n II Modelizacio

Fernando Chamizo.

con ella mediante una funci´on holomorfa con inversa holomorfa. Seg´ un un conocido teorema de Riemann, todas las curvas regulares se pueden obtener de esta manera. Recu´erdese que las trayectorias asociadas al campo de velocidades son las soluciones del sistema aut´onomo d~x/dt = ~v . Tambi´en las funciones holomorfas nos ayudan a calcularlas. Proposici´ on 5.5 . Sea ~v = (Re f , Im f , 0) y F una funci´on holomorfa tal que F 0 = f , entonces las trayectorias cumplen Im F (x(t), y(t)) = cte. Dem.: Sea f = a + ib y F = A + iB. Derivando F = F (x + iy) con respecto a x e y, se tiene ∂B/∂x = b, ∂B/∂y = a. As´ı pues dx/dt =a dy/dt = − b

)

⇒ b

dy ∂B dx ∂B dy dx +a =0 ⇒ + = 0. dt dt ∂x dt ∂y dt

Por la regla de la cadena esto implica B = B(x(t), y(t)) =cte. Consideremos como antes una corriente de aire con velocidad en el infinito ~v = (1, 0, 0) que choca en el plano XY con un obst´aculo, no necesariamente circular, representado por un dominio simplemente conexo (sin agujeros) Ω ⊂ R2 con frontera regular. Como hab´ıamos visto, las part´ıculas de aire ejercen una fuerza sobre el obst´aculo, el empuje, cuya proyecci´on en el plano XY (sus dos primeras coordenadas) es ¡ F~ = −

Z

∂Ω

~ − (p, 0) · dl,

Z

∂Ω

¢ ~ . (0, p) · dl

Si C ⊂ R2 es una curva cerrada que rodea al objeto se llama circulaci´on a la integral de la velocidad a lo largo de C recorrida en sentido positivo, que denotaremos con Γ. El siguiente resultado implica que Γ est´a ´ıntimamente relacionado con la fuerza de empuje. Teorema 5.6 (Kutta-Zhukovskii). Bajo las hip´otesis anteriores la fuerza de empuje es F~ = (0, −ρΓ). Dem.: Escribiendo como antes f = a + ib, se tiene p = − 12 ρ(a2 + b2 )+cte. Si x = x(t), y = y(t) es una parametrizaci´on de ∂Ω, (dy, −dx) es el vector normal “infinitesimal”, y se tiene F~ =

µ Z ¶ Z ρ ρ 2 2 2 2 (a + b )dy, − (a + b )dy . 2 ∂Ω 2 ∂Ω 123

En ∂Ω se cumple −b/a = dy/dx porque la velocidad debe ser paralela al vector tangente. Por tanto −2a2 dy − 2abdx = −2b2 dx − 2abdy = 0.

A˜ nadiendo estas cantidades a las integrales anteriores (5.6)

ρ F~ = 2

µZ

2

∂Ω

2

(b − a )dy − 2abdx,

Z

2

∂Ω

2

¶

2abdy + (b − a )dx .

Si h(z) = i(a + ib)2 , entonces los campos que se integran en cada una de las coordenadas de (5.6) son (Re h, Im h) (Re ih, Im ih); en particular son irrotacionales y, por el teorema de Stokes (o de Green), da igual integrar en ∂Ω, que en una circunferencia C de radio R grande. Un resultado de Variable Compleja (el desarrollo de Laurent) asegura que para |z| ≥ R se tiene f (z) ∼ a0 + a1 /z, donde el s´ımbolo “∼” indica que ambos miembros son iguales salvo a˜ nadir una cantidad menor en m´odulo que cteR −2 . La condici´on f (∞) = 1 implica a0 = 1. Si a1 = α + iβ, operando se tiene que si (x, y) ∈ C (5.7) De aqu´ı,

a ∼ 1 + (αx + βy)/R2

b ∼ (βx − αy)/R2 .

y

b2 − a2 ∼ −a2 ∼ −1 − 2(αx + βy)/R2

y

2ab ∼ 2(βx − αy)/R2 .

Sustituyendo estas aproximaciones en (5.6) y tomando R → ∞, el t´ermino de error desaparece, esto es, ρ lim (I1 , I2 ) F~ = 2 R→∞ con I1 e I2 las integrales Z

C

¡

¢ ¢ 2 2 −1− 2 (αx+βy) dy− 2 (βx−αy) dx, R R

Z

C

¢ ¡ ¢ 2 2 (βx−αy) dy+ −1− 2 (αx+βy) dx. 2 R R

La parametrizaci´on x = R cos t, y = R sen t conduce a I1 = −4πα, I1 = 4πβ. Por tanto F~ = (−2παρ, 2πβρ).

(5.8)

Por la irrotacionalidad y la relaci´on −b/a = dy/dx en la frontera, se siguen las igualdades siguientes: Z

bdx + ady = C

Z

bdx + ady = 0. ∂Ω

Sustituyendo (5.7) en la primera integral y tomando R → ∞, se sigue α = 0. As´ı que 124

a ∼ 1 + βy/R2 , b ∼ βx/R2 . De esto y la definici´on de circulaci´on, Γ=

Z

C

adx − bdy = lim

R→∞

Z

C

(1 + βy/R2 ) dx − βx/R2 dy = −2πβ.

Finalmente, sustituyendo en (5.8) se tiene el resultado. Ahora podr´ıamos emocionarnos y creer, como se puede leer en varios lugares, que ya sabemos por qu´e los aviones pueden volar: la fuerza de empuje es la sustentaci´on que tira de ellos hacia arriba compensando la fuerza del peso. Pero lo cierto es que este resultado plantea m´as preguntas que respuestas [Hu-Ma]. Por ejemplo, que la primera coordenada de F~ sea nula indica que no hay fuerza de arrastre, es decir, que al soplar un objeto no lo podemos mover. Esto no s´olo es poco intuitivo sino una flagrante mentira. N´otese que por ejemplo en el caso anteriormente estudiado del c´ırculo, la velocidad es igual en m´odulo por delante que por detr´as, lo que de acuerdo con el Teorema de Bernoulli conlleva presiones iguales. Pero todos sabemos que cuando el aire o el agua inciden sobre un objeto se forma una estela en la parte trasera del objeto, all´ı las part´ıculas de fluido pierden velocidad y se forman remolinos. No podremos explicar estos fen´omenos adecuadamente sin tener en cuenta una caracter´ıstica importante que ha sido omitida en nuestro an´alisis: la viscosidad. Aparte de la demoledora realidad, se puede dar un argumento te´orico que muestra que no podemos aferrarnos demasiado al modelo. En el caso tridimensional, con un obst´aculo Ω ⊂ R3 acotado y regular, se pueden utilizar t´ecnicas de ecuaciones en derivadas parciales para probar que ~v es constante salvo t´erminos acotados por cte R −3 , p con R = x2 + y 2 + z 2 . Un razonamiento parecido al empleado en la demostraci´on del resultado anterior, prueba matem´aticamente que el empuje es nulo (en este caso no hay t´erminos de orden R−1 ). Pero si la fuerza de empuje fuera nula, ning´ un avi´on tridimen´ sional podr´ıa volar. Esta es la paradoja de d’Alambert [Ma-Pu].

125

Fernando Chamizo.

´ n II Modelizacio

126

Ejercicios 1) Sin mirar la teor´ıa: a) Indicar la relaci´on entre las funciones holomorfas y los fluidos incompresibles irrotacionales estacionarios. b) Enunciar el Teorema de Kutta-Zhukovskii. 2) Seg´ un el principio de los vasos comunicantes, si un l´ıquido est´a en equilibrio en un tubo abierto en forma de “U”, siempre el nivel de ambos coincide. Deducir esto del teorema de Bernoulli para fluidos irrotacionales empleando que la presi´on a ras de agua es la atmosf´erica. Los primeros bar´ometros de Torricelli eran esencialmente tubos de esta forma con un extremo tapado y no cumpl´ıa el principio de vasos comunicantes (la diferencia de alturas se relacionaba con la presi´on atmosf´erica). Tratar de explicar la paradoja. 3) Hallar el campo de velocidades correspondiente a la funci´on holomorfa en el semiplano superior f (z) = (z − 1)−2 ; indicando tambi´en la forma de las trayectorias. ¡ ¢ 4) Comprobar que ~v = y/(x2 + y 2 ), −x/(x2 + y 2 ), 0 corresponde al campo de velocidades de un fluido irrotacional estacionario , y sin embargo sus trayectorias son circunR ~ 6= 0. ¿C´omo es ferencias centradas en el origen y a lo largo de cualquiera de ellas ~v · dl C

posible que haya un remolino?

5) En el ejemplo mencionado en esta secci´on de un cilindro circular inmerso en un chorro de aire, hallar expl´ıcitamente las funciones x = f (y) cuyas gr´aficas dan la forma de las trayectorias en el primer cuadrante. 6) Si el cilindro circular inmerso en un chorro de aire con velocidad en el infinito (1, 0, 0) es de radio R en vez de 1, hallar el campo de velocidades. 7) Generalizar todav´ıa m´as el problema anterior resolvi´endolo cuando la velocidad en el infinito es (v0 , 0, 0) con v0 > 0. Indicar pgeom´etricamente cu´al ser´ıa la soluci´on si la 2 + v 2 = v , y hallar la funci´ on holomorfa velocidad en el infinito fuera (v01 , v02 , 0) con v01 0 02 que le corresponde. 8) Un chorro de l´ıquido cae desde el reposo y sin presi´on (s´olo la atmosf´erica) desde una altura de 1 m. Calcular la velocidad de las part´ıculas de fluido cuando llegan abajo. Explicar por qu´e la incompresibilidad implica que si el chorro no se disgrega en gotas, se debe ir estrechando. 9) Sea la funci´on holomorfa en |z| > 1 dada por f (z) = 1 − z −2 − iz −1 . Comprobar que el campo de velocidades correspondiente es tangente a la circunferencia unidad en cada punto de ella y su circulaci´on es no nula alrededor de una curva que la rodee. Hallar el empuje que sufrir´ıa el cilindro circular correspondiente seg´ un el Teorema de KuttaZhukovskii, indicando si es hacia arriba (si se elevar´ıa) o hacia abajo (si descender´ıa). 10) Comprobar que las ecuaciones div ~v = 0, rot ~v = ~0 para ~v = (a(x, y), −b(x, y), 0) coinciden con las ecuaciones de Cauchy-Riemann para f (x + iy) = a(x, y) + ib(x, y). 11) Demostrar que div y rot son operadores lineales, concluyendo que si ~v 1 y ~v2 son campos vectoriales que corresponden a fluidos irrotacionales y estacionarios, entonces ~v1 + ~v2 tambi´en lo es. 127

´ n 5.2 Seccio

Trabajos sugeridos a s´ olo 3 centauros (el precio de esta fotocopia) De la secci´on: ◦ Aplicaciones de la Variable Compleja en F´ısica. Generales: ◦ Econometr´ıa.

Y por el mismo precio, las palabras del sabio: De este modo, en el estudio de las funciones de variables complejas, el analista, al lado de la imagen geom´ etrica que es su instrumento habitual, encuentra muchas im´ agenes f´ısicas que puede utilizar con el mismo ´ exito. Gracias a estas im´ agenes, puede ver de una ojeada lo que la deducci´ on pura no le mostrar´ıa sino sucesivamente. Re´ une as´ı los elementos dispersos de la soluci´ on y, por una especie de intuici´ on, adivina antes de poder demostrar. [Po] p. 102.

128

5.3. Mares de hiel Pensemos en el siguiente experimento que no es conveniente hacer ni siquiera en presencia de un adulto: Tomamos dos vasos id´enticos, uno lleno de miel y otro de agua, y los volcamos repentinamente. Hay una gran diferencia en ambos casos. El agua cae enseguida mientras que a la miel le cuesta m´as salir del recipiente. La explicaci´on no est´a en la densidad, de hecho la miel es algo m´as densa y al pesar m´as podr´ıamos pensar que cae m´as r´apidamente (aunque Galileo y nuestro profesor de F´ısica se iban a echar las manos a la cabeza). Parece que la raz´on es que la miel se pega a las paredes del recipiente, y terminado el experimento hay que fregarlo bien. Pero esto no explica por qu´e la miel de la parte central tambi´en cae despacio. Hay una especie de rozamiento de la miel consigo misma que impide que part´ıculas r´apidas y lentas sean vecinas. Seg´ un el modelo introducido para obtener las ecuaciones de Euler, suponiendo el fluido dividido en peque˜ nos cubitos, sobre cada uno de ellos act´ uan unas fuerzas de presi´on perpendiculares a las caras. Ahora queremos introducir una fuerza de rozamiento que frene a un cubito si los adyacentes van mucho m´as despacio. Esto es como decir que los elementos de fluido son pegajosos, viscosos. v2 v1 Rozamiento

v2

Es natural suponer que este rozamiento ser´a proporcional a la tasa de variaci´on de la velocidad, es decir, que ser´a 100 veces m´as en´ergico tratando de evitar una variaci´on de 7m/s con respecto a los elementos adyacentes, que una de 00 07m/s. La fuerza de rozamiento actuar´a en la superficie de cada elemento de fluido ya que es ah´ı donde roza con otros elementos. Seg´ un lo dicho parece sensato considerar en nuestro balance de fuerzas, adem´as de las de presi´on y las externas, otra dada por (v´ease en [Va 1] una deducci´on a partir de primeros principios) F~3 = ν

Z

∂V

~ ∇~v · dS

donde ν es una constante positiva llamada viscosidad, que depende del apego que tengan las part´ıculas del fluido a que su velocidad no desentone con las de las part´ıculas de los alrededores. La notaci´on empleada significa que el gradiente se aplica a cada coordenada y se integra el resultado. Lo que estamos diciendo es que el rozamiento es proporcional a la 129

suma (integral) de todas las variaciones de la velocidad. La constante de proporcionalidad es la viscosidad y ´esta es m´as de mil veces mayor en la miel que en el agua, por eso su ca´ıda se ve en los instantes iniciales sensiblemente ralentizada. El modelo de fluido correspondiente a las ecuaciones de Euler no contempla esta fuerza, lo cual da cuenta de algunas de sus consecuencias poco intuitivas e irreales. Parafraseando a J. von Neumann [Fe-Le-Sa], utilizar exclusivamente las ecuaciones de Euler equivale a estudiar el agua seca. La viscosidad est´a detr´as de los fen´omenos turbulentos que parecen continuamente en Aerodin´amica e Hidrodin´amica. Sin ella, en la mayor´ıa de los casos s´olo obtendremos explicaciones cualitativas

Diccionario:

R ~ • Fuerza debida a la viscosidad −→ F~3 = ν ∂V ∇~v · dS. • Equilibrio de fuerzas −→ F~ = F~1 + F~2 + F~3 .

¢ R ¡ R R Ya sab´ıamos que F~ = V ρ ∂ρ v · ∇)~v , F~1 = − V ∇p y F~2 = − V ρ∇φ. Ahora, ∂t + (~ por el teorema de la divergencia F~3 = ν

Z

V

div ∇~v = ν

Z

∆~v . V

El equilibrio de fuerzas F~ = F~1 + F~2 + F~3 junto con la ecuaci´on de continuidad lleva ahora a las ecuaciones de Navier-Stokes (para fluidos incompresibles)

(5.9)

( ∂~v

+ (~v · ∇)~v + ρ−1 ∇p − ν∆~v + ∇φ = ~0

∂t div ~v = 0

En las ecuaciones de Euler la condici´on de frontera natural era que el fluido se deslizase por el obst´aculo o la frontera, es decir, que no hubiera componente normal de la velocidad. Ahora, como suponemos que las part´ıculas son “pegajosas”, en los puntos de contacto con un obst´aculo o frontera inm´oviles, se debe tener ~v = ~0 (condici´on de no deslizamiento). Los y las que se afeiten pueden hacerse una idea de ello, notando que los peque˜ nos vellos muchas veces se rebelan al intentar que el agua del grifo los arrastre. Si el estudio matem´atico de las ecuaciones de Euler no est´a completado, en el caso de las ecuaciones de Navier-Stokes la situaci´on es mucho m´as primaria. De hecho pertenece a los Problemas del Milenio del Clay Matematics Institute, concedi´endose un premio de 130

un mill´on de d´olares para el que sea capaz de resolver en sentido afirmativo o negativo los problemas b´asicos de existencia y regularidad de soluciones. Adem´as las ecuaciones de Navier-Stokes son especialmente refractarias a los m´etodos num´ericos, ya que la fenomenolog´ıa al uso sugiere que hay una fina “capa l´ımite”, de la que hablaremos m´as adelante, donde el campo de velocidades es casi discontinuo (v´ease un ejemplo sencillo e ilustrativo en [Va 1] §14.2). Para ver c´omo funcionan las ecuaciones de Navier-Stokes en relaci´on con las de Euler, pensemos en una situaci´on idealizada (demasiado) del mar cuando sopla un viento uniforme paralelo a la costa. Supongamos que esto hace que todas las part´ıculas de la superficie, representada por R × R+ , tengan inicialmente velocidad (v0 , 0), y queremos saber su evoluci´on cuando el viento deja de soplar de pronto. La simetr´ıa del problema sugiere buscar una soluci´on del tipo ~v (x, y, t) = (u(y, t), 0). Se puede comprobar que la u ´nica soluci´on de esta forma de las ecuaciones de Euler (5.9) con ~v y p acotadas y regulares, bajo la condici´on inicial ~v (x, y, 0) = (v0 , 0) y ~v ·~n(x, 0, t) = 0; es la soluci´on constante ~v (x, y, t) = (v0 , 0). Es decir, como no hay rozamiento las part´ıculas siguen su curso sin molestarse unas a otras y sin perder velocidad. En el caso de las ecuaciones de Navier-Stokes, la condici´on natural de no deslizamiento es que la costa sujete al mar, y el rozamiento se ir´a transmitiendo de manera que la velocidad pasa gradualmente de cero en la costa a v 0 en el infinito de forma cada vez m´as suave. Por efecto del roce con la costa, en ausencia de viento, el mar tiende a pararse. Proposici´ on 5.7 . La u ´nica soluci´on de la forma ~v (x, y, t) = (u(y, t), 0) de las ecuaciones de Navier-Stokes (5.9) en R × R+ con φ = 0 y con ~v y p acotadas y regulares, verificando las condiciones de contorno ~v (x, y, 0) = (v0 , 0),

~v (x, 0, t) = (0, 0),

lim ~v (x, y, t) = (v0 , 0),

y→∞

para y, t > 0; es

~v (x, y, t) =

µ

2v √0 π

Z

√ y/ 4νt

0

e

−v 2

¶

dv, 0 .

Dem.: Desarrollando (5.9), se obtiene ∂u ∂p ∂2u + ρ−1 − ν 2 = 0, ∂t ∂x ∂y

∂p = 0. ∂y

Por la segunda ecuaci´on, p s´olo depende de x y t. Como ∂u/∂t − ν∂ 2 u/∂y 2 s´olo depende 131

de y y t, la primera implica que ∂u ∂2u − ν 2 = f (t), ∂t ∂y

∂p = −ρf (t). ∂x

Integrando, p(x, t) = −ρf (t)x + g(t), y para que sea acotada, necesariamente f ≡ 0. De forma que u satisface una “ecuaci´on del calor” ∂2u ∂u − ν 2 = 0, ∂t ∂y

u(y, 0) = v0 ,

u(0, t) = 0,

lim u(y, t) = v0 ,

y→∞

con t, y > 0. Es f´acil comprobar que la funci´on del enunciado resuelve este problema (comp´arese con [Dy-Mc] p.109). La unicidad se sigue por un principio del m´aximo. N´otese que cuando y → ∞, t > 0, ~v (x, y, t) tiende a (v0 , 0) con rapidez exponencial √ 2 ( 0 e−v dv = 21 π, [Gr-Ry] 3.323.2). Apenas hay diferencia con la soluci´on de las √ ecuaciones de Euler si y/ νt >cte. Es decir, en tiempo t, el roce de la costa s´olo habr´a √ afectado sensiblemente a la capa 0 < y ≤cte νt. R∞

La no linealidad de las ecuaciones (5.9) implica que hay que tener cuidado al tratar de hacer experimentos a escala: Un avi´on comercial de 50 metros de longitud a 900 km/h no volar´a igual que una reproducci´on de medio metro en un t´ unel de viento con aire a 9 km/h. El siguiente sencillo pero importante resultado, cuya prueba se reduce a un c´alculo trivial, indica cu´al es la ley de escala. Lema 5.8 (Reynolds 1883). Si ~v (~x, t) satisface (5.9), entonces dadas constantes α y β, el campo de velocidades β −1~v (α~x, αt/β) tambi´en verifica (5.9) siempre que ν se sustituya por να−1 β −1 , y φ(~x) y ρ−1 p(~x, t) por β −2 φ(α~x) y β −2 ρ−1 p(α~x, αt/β). De esta forma, si queremos estudiar un objeto de longitud L inmerso en un fluido a valocidad V , podemos reducirlo todo a escala unitaria con α = L, β = V (n´otese que k~xk ≈ 1 ⇒ kα~xk ≈ L y k~v k ≈ V ⇒ kβ −1 ~xk ≈ 1). A la cantidad adimensional Re = ν −1 LV , se le llama n´ umero de Reynolds. Seg´ un la teor´ıa de la capa l´ımite de Prandtl (lo de “teor´ıa” es en gran medida una aspiraci´on), cuando el n´ umero de Reynolds es grande, entonces la soluci´on de las ecuaciones de Navier-Stokes se comporta como la de las ecuaciones de Euler fuera de una delgada capa de espesor aproximado Re−1/2 . Esta capa es responsable de la generaci´on de turbulencia y vorticidad [Hu-Ma], [Va 1]. Para terminar, veamos qu´e nos dicen las ecuaciones de Navier-Stokes acerca del flujo estacionario de un fluido a trav´es de una tuber´ıa. En el caso de las ecuaciones de Euler, vimos que las variaciones de presi´on estaban asociadas a estrechamientos de la tuber´ıa, 132

pero ahora ser´a necesaria una variaci´on de presi´on para que haya flujo en ausencia de fuerzas externas. La raz´on es el “rozamiento” de las paredes. Digamos que la tuber´ıa se extiende a lo largo del eje Z y es el cilindro x 2 + y 2 ≤ R2 . Suponemos el flujo estacionario y que la velocidad sigue la direcci´on de la tuber´ıa. Esto, la simetr´ıa del problema y la adherencia en las paredes, sugieren p (5.10) ~v (~x, t) = (0, 0, u( x2 + y 2 )) con u(R) = 0. x

R

z

y

Teorema 5.9 (Poiseuille 1840). Las soluciones de la forma (5.10) de las ecuaciones de Navier-Stokes (5.9) con φ = 0, tienen u(r) =

γ (R2 − r2 ) 4νρ

donde γ > 0 es una constante que indica la ca´ıda de presi´on por unidad de longitud, esto es, p = −γz+cte. Dem.: La ecuaci´on de continuidad se cumple trivialmente, mientras que la primera ecuaci´on implica, coordenada a coordenada, 0=−

∂p , ∂x

0=−

∂p , ∂y

0 = −ρ−1

∂p + ν∆f ∂z

con f (x, y) = u(

p

x2 + y 2 ).

De aqu´ı se deduce que p no depende de x ni de y. Como ∆f es funci´on de x e y, mientras que ρ−1 ∂p/∂z lo es a lo m´as de z, se deduce que ∂p/∂z es una constante, que llamaremos −γ. Como se afirma en el enunciado, p = −γz salvo constantes. Por otra parte, tras unos c´alculos, o inmediatamente usando la f´ormula del laplaciano en polares ([Va 1] Ap´endice II, [Gr-Ry] 10.612.5) p ∆f (x, y) = r −1 (ru0 )0 (r) con r = x2 + y 2 .

Al resolver la ecuaci´on diferencial 0 = ρ−1 γ + νr −1 (ru0 )0 se obtiene la soluci´on general u(r) = −

γ 2 r + A log |r| + B. 4νρ 133

Para que ~v sea diferenciable en x = y = 0, el centro de la tuber´ıa, se debe tener A = 0, mientras que u(R) = 0 implica B = γR2 /(4νρ). Como es intuitivo, la velocidad es mayor en el centro de la tuber´ıa porque es la zona m´as alejada de los bordes, donde se produce el rozamiento. Fijada la velocidad central u(0), si ν o ρ crecen, γ tambi´en debe crecer. Es decir, necesitamos hacer m´as presi´on para desplazar por una tuber´ıa fluidos m´as viscosos y densos. Si R disminuye, el centro estar´a m´as cerca de los bordes, con lo cual no s´olo disminuir´a la secci´on, sino que aumentar´a el rozamiento, y con el mismo esfuerzo el flujo ser´a menor. Concretamente, sea Q el R ~ con D el disco flujo a trav´es de cualquier secci´on transversal, esto es, Q = D ρ~v · dS {x2 + y 2 ≤ R, z = cte}. Entonces con la notaci´on anterior, un c´alculo prueba: Corolario 5.10 (Ley de la cuarta potencia). El flujo viene dado por Q=

πγ 4 R . 8ν

Podemos pensar en t´erminos m´edicos las consecuencias de la dependencia altamente no lineal en R. Si queremos conservar el flujo de sangre a trav´es de una arteria que se ha estrechado a la mitad (¿colesterol?) el gradiente de presi´on γ debe multiplicarse por 16, lo que producir´a una notable hipertensi´on [Mz]. El ejemplo no es hist´oricamente anecd´otico, ya que Poiseuille desarroll´o sus investigaciones para entender el flujo de la sangre a trav´es de los capilares.

134

Ejercicios 1) Sin mirar la teor´ıa: a) Indicar en qu´e consiste la condici´on de no deslizamiento y por qu´e es natural. b) Definir, al menos intuitivamente, la viscosidad. 2) Queremos hacer pruebas a escala para construir una avioneta de 10 m de longitud que vaya a 300 km/h. En nuestro t´ unel de viento podemos emplear un gas enrarecido cuya viscosidad es el 25% de la del aire, y hacer que se mueva hasta a 150 km/h. Estimar la longitud del modelo a escala de la avioneta que podr´ıamos usar. ¡ R y/√4νt −v2 3) Comprobar que el campo de velocidades 0 e dv, 0, 0) realmente satisface las ecuaciones de Navier-Stokes con p = φ = 0. 4) Buscar el an´alogo de la ley de Poiseuille para un fluido que fluye entre los planos z = 0 y z = δ de forma que la velocidad sea constante en cada plano intermedio paralelo a ellos, y que adem´as sea siempre paralela al eje OX. 5) Si hacemos pasar un chorro a presi´on por una tuber´ıa cil´ındrica y fotografiamos el momento en el que sale, hallar qu´e forma tendr´ıa te´oricamente usando la ley de Poiseuille. 6) En ausencia de gravedad, un astronauta puede beberse su lata de refresco (330 ml) en dos minutos aspirando por una pajita. Suponiendo aplicable la ley de la cuarta potencia, calcular cu´anto tiempo tardar´ıa si aspirarse con igual presi´on pero el radio de la pajita se redujera a la mitad. 7) En ausencia de viscosidad hab´ıamos probado la f´ormula p1 − p2 = 12 ρv12 (S12 S2−2 − 1) cuando una tuber´ıa se estrecha. Tratar de argumentar, al menos intuitivamente, por qu´e tipo de desigualdad (mayor o menor) habr´ıa que reemplazar la igualdad cuando hay viscosidad. 8) Estudiar en qu´e cambia la ley de Poiseuille p si se supone que φ es el potencial ¡ ¢ gravitatorio gz y ~v sigue siendo de la forma 0, 0, u( x2 + y 2 ) . Estudiar tambi´en los cambios si el tubo se traslada a velocidad v0 por el eje OZ, de forma que la condici´on de no deslizamiento pase a ser u(R) = v0 . 9) Aparentemente, seg´ un la ley de la cuarta potencia, si ν → 0 el flujo tiende a infinito. Esto es f´ısicamente il´ogico e incongruente con el hecho de que formalmente las ecuaciones de Euler se obtienen a partir de las de Navier-Stokes cuando ν = 0. Explicar esta paradoja. p 10) Comprobar que si f : R2 −→ R es radial, esto es, f (x, y) = u(r) con r = x2 + y 2 ; entonces ∆f = r −1 (ru0 )0 . 11) Probar que la vorticidad ω ~ = rot ~v verifica ∂~ ω /∂t = rot(~v × ω ~ ) + ν∆~ ω.

135

´ n 5.3 Seccio

Trabajos sugeridos a s´ olo 3 centauros (el precio de esta fotocopia) De la secci´on: ◦ El movimiento de las olas. ◦ Resistencia del aire, ley de Stokes. ◦ Modelos de circulaci´on de la sangre. Generales: ◦ Geometr´ıa proyectiva y visi´on artificial.

Y por el mismo precio, las palabras del sabio: ¿C´ omo es necesario tratar las ecuaciones de la f´ısica matem´ atica? ¿Debemos simplemente deducir de ellas todas las ecuaciones y considerarlas como realidades intangibles? Lejos de ello; lo que deben ense˜ narnos, sobre todo, es lo que se puede y se debe cambiar en ellas. As´ı es como obtendremos de las mismas algo u ´til. [Po] p. 98.

136

´jame alguna experiencia, de ´jame participar 10 De

¡Eureka! Material: - Una pelota peque˜ na. - Un cazo con agua. - Una regla. - Un cordel. - Un rotulador. - Un peso de cocina. - Un calibre o nonio (opcional).

Dejemos la pelota en el cazo de agua y marquemos la l´ınea de flotaci´on con el rotulador (para ello ser´a conveniente sujetar la pelota con la mano sin hundirla y quiz´a marcar s´olo algunos puntos que pueden unirse m´as f´acilmente con ella fuera del agua). En la circunferencia que conforma el paralelo determinado por la l´ınea de flotaci´on marquemos dos puntos diametralmente opuestos. Para ello podemos simplemente extender el cordel sobre ella, desenrollarlo, marcar el punto medio y volverlo a enrollar. l M M

R

Entre estos dos puntos situemos el cordel lo m´as tenso posible de manera que describa un arco de meridiano que pase por la parte antes sumergida y mid´amoslo. Midamos tambi´en el radio de la pelota (con el nonio esto es trivial, tambi´en se puede utilizar el cordel y a partir de la longitud del meridiano hallar el radio). Los valores para la longitud de arco y el radio correspondientes a un experimento real* fueron l = 80 9 cm y R = 20 8 cm. *

N. del A. Emple´ e una pelota de goma, parecida a las que se les suelen dar a los perros, algo menor que una de tenis. Marcar la l´ınea de flotaci´ on fue m´ as dificultoso de lo previsto. Se˜ nal´ e algunos puntos y si al volver a poner la pelota en el cazo no quedaban a ras de agua los correg´ıa. Despu´ es complet´ e aproximadamente la circunferencia ayud´ andome de un papel puesto a modo de cucurucho.

137

Apliquemos ahora la f´ormula l ¢ 4π 3 ¡ l R 3 − 2 sen2 sen4 3 4R 4R con l y R en cent´ımetros (que con los datos citados resulta 470 25). Podemos comprobar utilizando el peso de cocina que esto coincide con bastante precisi´on con el peso de la pelota en gramos (en nuestro caso ≈ 45 gr). Es decir, podemos saber cu´anto pesa una bola ligera sin m´as que examinar cu´anto flota. Explicaci´on: Para que la pelota est´e en equilibrio, el empuje debe coincidir en m´odulo con el peso. Seg´ un el Principio de Arqu´ımedes, esto equivale a mg = g

Z

ρ. V

En el sistema CGS (cent´ımetros, gramos, segundos) la densidad del agua es ρ = 1, y consecuentemente la f´ormula anterior implica que la masa coincide con el volumen. Lo u ´nico que hay que hacer es recordar los viejos tiempos de C´alculo II y C´alculo III, comprobando que la integral triple para hallar el volumen del segmento esf´erico que subtiende un arco de longitud l, da como resultado la fea f´ormula en t´erminos de l y R antes enunciada.

138

´jame alguna experiencia, de ´jame participar 11 De

Un soplo de aire Material: - Una servilleta. - Un l´apiz. - Una tarjeta de visita. - Un mechero.

Veamos dos sencillas pero sorprendentes experiencias. Para la primera, sujetemos con los dedos la servilleta de papel paralelamente a una de sus aristas, y cerca de ella, a lo largo del l´apiz; de manera que el resto de la servilleta caiga ligeramente con respecto a la horizontal por su propio peso. Si soplamos perpendicularmente al l´apiz en la direcci´on tangencial a la superficie de la servilleta, cabr´ıa esperar que ´esta cayese todav´ıa m´as por la fuerza del aire, sin embargo en contra de toda intuici´on la servilleta asciende levemente. Para la segunda, pongamos la tarjeta de visita frente a nosotros, a unos 20 cm, y el mechero encendido detr´as de ella. Cuando soplamos con fuerza contra la tarjeta, la llama del mechero de acerca hacia nosotros. Si variamos la posici´on del mechero, manteni´endolo siempre detr´as de la tarjeta, seguiremos observando una desviaci´on de la llama que contradice lo que cabr´ıa esperar.

Explicaci´on: En ambos casos se puede dar una explicaci´on cualitativa por medio del Teorema de Bernoulli. Recu´erdese que, seg´ un ´este, a lo largo de las trayectorias se debe cumplir 1 ρk~v k + p = cte. 2 Y bajo la hip´otesis de irrotacionalidad, esta constante es independiente de la trayectoria. 139

En el primer experimento, una mayor velocidad del aire en la cara de arriba genera una depresi´on que eleva la servilleta. En el segundo experimento, el aire del soplido despu´es de chocar con la tarjeta de visita se dispersa tangencialmente a ´esta. La velocidad grande en comparaci´on con las part´ıculas vecinas de la parte de atr´as, crea de nuevo una depresi´on que las aspira hacia adelante. En realidad, como ya hemos mencionado, esta explicaci´on es s´olo cualitativa, porque los fen´omenos son m´as complicados, y hay turbulencias que s´olo se podr´ıan entender teniendo en cuenta la viscosidad del aire.

140

´jame alguna experiencia, de ´jame participar 12 De

Rebosa el recipiente Material: - Una sart´en lo m´as amplia posible. - Una pajita de refresco articulada o un tubo flexible de goma. - Un reloj con segundero o cron´ometro. - Un vaso.

Llenemos la sart´en con agua y pong´amosla sobre alg´ un soporte que la mantenga a cierta altura. Adosemos la pajita articulada o el tubo a la sart´en de manera que un extremo est´e sumergido hasta el fondo y el otro (el m´as largo) asome por fuera a modo de sif´on. Para que no se mueva podemos solicitar la ayuda de alguien o utilizar una pinza que oprima muy poco. Aspirando por la pajita se consigue que el agua comience a salir y caiga en un vaso colocado justo a continuaci´on y de capacidad despreciable en comparaci´on con la de la sart´en.

A h





B


























Inclinando la pajita o moviendo el tubo podemos hacer que var´ıe la diferencia de alturas, h, entre la superficie del agua de la sart´en y el orificio de salida de la pajita. Si con ayuda del reloj (y quiz´a de una calculadora) hallamos el logaritmo del tiempo T que tarda en llenarse y rebosar en funci´on del logaritmo de h para unos cuantos valores, resulta que al representar los puntos correspondientes, ´estos se sit´ uan aproximadamente en una recta cuya pendiente est´a cercana a −1/2. Por ejemplo, en un experimento real se obtuvo la tabla log h → 20 07, log T → 20 48,

10 93, 10 79, 20 56, 20 64,

10 61, 10 41, 20 77, 20 89, 141

10 16, 30 04,

00 79, 30 26,

00 18 30 58

que est´a aproximada por la recta y = −00 59x + 30 71 con un error que t´ıpicamente es del orden de una cent´esima. 4 3.8 3.6 3.4 3.2 3 2.8 2.6 2.4 2.2 2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Explicaci´on: De nuevo apelaremos al Teorema de Bernoulli, ´esta vez en un caso que da lugar al llamdo Teorema de Torricelli. El agua que est´a m´as arriba va empujando a la de debajo, con lo cual es natural suponer que las trayectorias conectan un punto A situado en la superficie del agua de la sart´en, con un punto B en el orificio de salida. Por la gran capacidad de la sart´en podemos suponer que el nivel del agua no se modifica significativamente al llenarse el vaso y se tiene vA = 0. Por otra parte, tanto en A como en B la presi´on que act´ ua es la atmosf´erica (el l´ıquido no est´a “comprimido”), pA = pB = patm . Por el Teorema de Bernoulli: 1 2 1 2 2 ρvA + pA + ρghA = ρvB + pB + ρghB ⇒ vB /h = 2g. 2 2 Con lo cual el agua sale con la misma velocidad que alcanzar´ıa un objeto soltado en ca´ıda libre desde altura h al transformar su energ´ıa potencial en cin´etica (Teorema de Torricelli, √ n´otese que 12 mv 2 = mgh ⇒ v = 2gh). Por otra parte, dicha velocidad es inversamente proporcional al tiempo que tarda en llenarse el vaso (aunque la relaci´on entre velocidad y flujo no es tan f´acil como pudiera pensarse porque inicialmente las velocidades no son todas perpendiculares a la secci´on de la pajita [Fe-Le-Sa]). Es decir, hT 2 = cte, y tomando logaritmos se obtiene que log T depende linealmente de log h con pendiente −1/2. N´otese que experimentalmente, al relacionar log h y log T hemos obtenido una recta de pendiente −00 59 en lugar del valor te´orico −00 5, esto es, hay un error relativo de algo m´as del 15%. Es natural alg´ un tipo de error sensible debido a que no consideramos la viscosidad, pero es extra˜ no que la pendiente sea menos que la te´orica, ya que la viscosidad deber´ıa ralentizar el flujo. El error se reduce a la mitad si descartamos la primera medida (¿error experimental?), pero que sea por defecto en vez de por exceso permanece entre los misterios de los experimentos caseros. 142

Direcciones en la red Nota: Los sitios en la red tienen mucha volatilidad, con lo cual puede ser que algunas de estas direcciones ya no est´en activas o que hayan cambiado sus contenidos ostensiblemente. Applets Contenidos diversos

http://www.phy.ntnu.edu.tw/java/

Curso de F´ısica

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/default.htm http://xanadu.math.utah.edu/java/

Movimiento browniano

http://www.ideamas.cl/cursoProb/javaEstat/ central limit theorem/clt.html

Teorema central del l´ımite Ecuaciones de

http://www.uam.es/personal pdi/ciencias/vmunoz/edp.html ondas y del calor Braquistocrona

http://home.ural.ru/∼iagsoft/BrachJ2.html

http://lectureonline.cl.msu.edu/∼mmp/applist/chain/chain.htm en cadena http://bartok.ucsc.edu/peter/java/ising/keep/ising.html

Reacci´on

Modelo de Is-

ing Cin´etica de gases

http://comp.uark.edu/∼jgeabana/mol dyn/KinThI.html http://www.isds.duke.edu/sites/java.html

Probabilidad y estad´ıstica Contenidos diversos

http://home.a-city.de/walter.fendt/homepage.htm

P´ aginas Su-

http://www.msri.org/publications/sgp/jim/geom/minimal/mainc.html perficie m´ınimas http://www.phys.virginia.edu/CLASSES/252/home.html http://rkb.home.cern.ch/rkb/AN16pp/node1.html http://web.usxchange.net/elmo/jpeg.htm

Curso de F´ısica

An´alisis de datos

Formato JPEG

http://www.physics.udel.edu/faculty/ macdonald/Course%20Notes.htm#IntroQuantumMechanics

Curso de F´ısica

http://www.rasip.fer.hr/research/compress/algorithms/index.html ritmos de compresi´on

Algo-

http://www.adi.uam.es/Docs/Knowledge/Fundamental Theory/theory.html Qu´ımica cu´antica 143

144

Programas Excusa universal: Estos programas se realizaron r´apidamente como una ayuda para algunos c´alculos y para representar algunas gr´aficas. No se ha puesto cuidado en que sean “estructurados” ni especialmente comentados. Su finalidad era el uso personal. Desafortunadamente, por razones tipogr´aficas ha sido necesario suprimir los indentados que preceden a la mayor´ıa de las l´ıneas con lo cual no se reconocen a golpe de vista los saltos een los programas FORTRAN. Secci´ on: 2.1 Tipo: MATLAB Descripci´ on: Aproxima la soluci´on de la ecuaci´on del calor en [0, 1] con extremos a temperatura cero y dato inicial igual a una funci´on tri´angulo (Problema 2.1.10). %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % ECUACI´ ON DEL CALOR EN [0,1] % CON U(0,T)=U(1,T)=0 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % toma 40*2 t´ erminos de la serie de Fourier n=[0:1:40]; x=[0:.01:1]; %"vector Fourier" f=sin(pi*x’*(2*n+1)); %vector de coeficientes coef=4/pi^2*cos(pi*n)./(2*n+1).^2; %Dibujo para t=0.001 t=0.001 expo=exp(-(2*n+1).^2*pi^2*t); u=f*(coef.*expo)’; plot(x,u); hold on 145

%Dibujo para t=0.01 t=0.01 expo=exp(-(2*n+1).^2*pi^2*t); u=f*(coef.*expo)’; plot(x,u); hold on %Dibujo para t=0.1 t=0.1 expo=exp(-(2*n+1).^2*pi^2*t); u=f*(coef.*expo)’; plot(x,u); axis([0 1 0 0.5]) Secci´ on: 2.1 Tipo: MATLAB Descripci´ on: Aproxima exp(cos(2*pi*x)) por su serie de Fourier hasta N = 3. %%%%%%%%%%%%%% %%% APROXIMACI´ ON DE FOURIER %%%%%%%%%%%%%% x=[0:.009:1]; subplot(1,3,1) f=exp(cos(2*pi*x)); plot(x,f,’--’) hold on f1=1.26066+0.565159*2*cos(2*pi*x); plot(x,f1); hold off subplot(1,3,2) f=exp(cos(2*pi*x)); 146

plot(x,f,’--’) hold on f2=1.26066+0.565159*2*cos(2*pi*x)+0.135749*2*cos(4*pi*x); plot(x,f2); hold off subplot(1,3,3) f=exp(cos(2*pi*x)); plot(x,f,’--’) hold on f3=1.26066+0.565159*2*cos(2*pi*x)+ ... 0.135749*2*cos(4*pi*x)+0.022169*2*cos(6*pi*x); plot(x,f3); hold off print -eps fouri.eps Secci´ on: 2.2 Tipo: MATLAB6 Descripci´ on: A partir de la foto dpto.jpg crea las fotos filtradas jp*.eps en las que se cambian eliminan los coeficientes de Fourier correspondientes a ceros en la matriz mask. Con ´el se han creado los ejemplos de la secci´on. I = imread(’dpto.jpg’); I = im2double(I); T = dctmtx(8); B = blkproc(I,[8 8],’P1*x*P2’,T,T’); % Se~ nala los bloques y les da el color del promedio mask = [1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 147

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]; B2 = blkproc(B,[8 8],’P1.*x’,mask); I2 = blkproc(B2,[8 8],’P1*x*P2’,T’,T); imshow(I2) print -deps jp1.eps % Usa cinco coeficientes de Fourier mask = [1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]; B2 = blkproc(B,[8 8],’P1.*x’,mask); I2 = blkproc(B2,[8 8],’P1*x*P2’,T’,T); imshow(I2) print -deps jp2.eps % Usa 16 coeficientes de Fourier mask = [1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]; 148

B2 = blkproc(B,[8 8],’P1.*x’,mask); I2 = blkproc(B2,[8 8],’P1*x*P2’,T’,T); imshow(I2) print -deps jp3.eps % Detecta verticales mask = [1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]; B2 = blkproc(B,[8 8],’P1.*x’,mask); I2 = blkproc(B2,[8 8],’P1*x*P2’,T’,T); imshow(I2) print -deps jp4.eps Secci´ on: 2.2 Tipo: MATLAB6 ´ Descripci´ on: Esta es una versi´on simplificada del programa anterior %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%% CARGA UNA IMAGEN EN COLOR %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% xg=imread(’lenna.jpg’); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%% ESCOGE S´ OLO EL BLOQUE mxm DE CADA BLOQUE DE %%% COEFICIENTES DE FOURIER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 149

m=2; x=masc(xg,m); - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - function q=masc(I,n) I = im2double(I); T = dctmtx(8); B = blkproc(I,[8 8],’P1*x*P2’,T,T’); % Se~ nala los bloques y les da el color del promedio mask=zeros(8); mask(1:n,1:n)=1; B2 = blkproc(B,[8 8],’P1.*x’,mask); I2 = blkproc(B2,[8 8],’P1*x*P2’,T’,T); imshow(I2) q=100*n*n/64 Secci´ on: 2.2 Tipo: MATLAB6 Descripci´ on: Resuelve el problema 2.2.6 con diferentes cuantizaciones. Evidentemente estas cuentas se pueden hacer con muchas menos l´ıneas de programa. %% PAR´ AMETROS I=ones(64, 64); t=pi/6; v0=[1 cos(t*1) cos(2*t*1)]; v1=[1 cos(t*3) cos(2*t*3)]; v2=[1 cos(t*5) cos(2*t*5)]; %% MATRIZ DE PRODUCTOS ESCALARES L=[-512 -221.7025 128 -221.7025 -96 55.4256 128 55.4256 -32]; 150

delta=[1/3 2/3 2/3]’*[1/3 2/3 2/3]; %% MATRIZ DE LOS lambda kl L=L.*delta; %% CUANTIZACI´ ON TRIVIAL Cuant=[1 1 1; 1 1 1; 1 1 1] round(L./Cuant) Lc=Cuant.*round(L./Cuant) %% RECONSTRUCCI´ ON fr=round([v0*Lc*v0’ v0*Lc*v1’ v0*Lc*v2’;... v1*Lc*v0’ v1*Lc*v1’ v1*Lc*v2’; v2*Lc*v0’ v2*Lc*v1’ v2*Lc*v2’]) Imag=[fr(3,1)*I fr(3,2)*I fr(3,3)*I;... fr(2,1)*I fr(2,2)*I fr(2,3)*I;... fr(1,1)*I fr(1,2)*I fr(1,3)*I]; figure(1) imshow(Imag, [-128 127]) %% CUANTIZACI´ ON DEL PROBLEMA Cuant=[20 40 60; 40 60 80; 60 80 100] round(L./Cuant) Lc=Cuant.*round(L./Cuant) %% RECONSTRUCCI´ ON fr=round([v0*Lc*v0’ v0*Lc*v1’ v0*Lc*v2’;... v1*Lc*v0’ v1*Lc*v1’ v1*Lc*v2’; v2*Lc*v0’ v2*Lc*v1’ v2*Lc*v2’]) Imag=[fr(3,1)*I fr(3,2)*I fr(3,3)*I;... fr(2,1)*I fr(2,2)*I fr(2,3)*I;... fr(1,1)*I fr(1,2)*I fr(1,3)*I]; figure(2) imshow(Imag, [-128 127]) %%CUANTIZACI´ ON COMO LA DEL PRIMER BLOQUE 3X3 DEL JPEG Cuant=[16 11 10; 12 12 14; 14 13 16] 151

round(L./Cuant) Lc=Cuant.*round(L./Cuant) %%RECONSTRUCCI´ ON fr=round([v0*Lc*v0’ v0*Lc*v1’ v0*Lc*v2’;... v1*Lc*v0’ v1*Lc*v1’ v1*Lc*v2’; v2*Lc*v0’ v2*Lc*v1’ v2*Lc*v2’]) Imag=[fr(3,1)*I fr(3,2)*I fr(3,3)*I;... fr(2,1)*I fr(2,2)*I fr(2,3)*I;... fr(1,1)*I fr(1,2)*I fr(1,3)*I]; figure(3) imshow(Imag, [-128 127]) %%CUANTIZACI´ ON COMO LA DEL BLOQUE 0,3,6x0,3,6 DEL JPEG Cuant=[16 16 51; 14 29 80; 49 87 120] round(L./Cuant) Lc=Cuant.*round(L./Cuant) %%RECONSTRUCCI´ ON fr=round([v0*Lc*v0’ v0*Lc*v1’ v0*Lc*v2’;... v1*Lc*v0’ v1*Lc*v1’ v1*Lc*v2’; v2*Lc*v0’ v2*Lc*v1’ v2*Lc*v2’]) Imag=[fr(3,1)*I fr(3,2)*I fr(3,3)*I;... fr(2,1)*I fr(2,2)*I fr(2,3)*I;... fr(1,1)*I fr(1,2)*I fr(1,3)*I]; figure(4) imshow(Imag, [-128 127]) %%CUANTIZACI´ ON COMO LA MITAD DE LA DEL PROBLEMA Cuant=[10 20 30; 20 30 40; 30 40 50] round(L./Cuant) Lc=Cuant.*round(L./Cuant) %%RECONSTRUCCI´ ON fr=round([v0*Lc*v0’ v0*Lc*v1’ v0*Lc*v2’;... v1*Lc*v0’ v1*Lc*v1’ v1*Lc*v2’; v2*Lc*v0’ v2*Lc*v1’ v2*Lc*v2’]) 152

Imag=[fr(3,1)*I fr(3,2)*I fr(3,3)*I;... fr(2,1)*I fr(2,2)*I fr(2,3)*I;... fr(1,1)*I fr(1,2)*I fr(1,3)*I]; figure(5) imshow(Imag, [-128 127]) Secci´ on: 2.2 Tipo: MATLAB6 Descripci´ on: Filtra los coeficientes de Fourier de la foto lenna.jpg eliminando los que est´an por debajo de ciertos valores umbral. La funci´on de filtrado tr8x8bn es una modificaci´on de un programa elaborado por M. Teresa Carrillo con fines acad´emicos. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%% CARGA UNA IMAGEN EN BLANCO Y NEGRO %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% xg=imread(’lenna.jpg’); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%% HACE LA TRANSFORMADA DE COSENO EN BLOQUES 8X8 %%% Y ELIMINA LOS COEFICIENTES DE FOURIER MENORES QUE th %%% EL PORCENTAJE DE CEROS ES p0 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Umbrales=[0 40 80 120 1000] % LA IMAGEN ORIGINAL TIENE EL 29.7% DE CEROS imshow(xg); th=40; [p1,nada]=tr8x8bn(xg,gray(256),th); p1 th=80; [p2,nada]=tr8x8bn(xg,gray(256),th); p2 th=120; 153

[p3,nada]=tr8x8bn(xg,gray(256),th); p3 th=1000; [p4,nada]=tr8x8bn(xg,gray(256),th); p4 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - function [perf0,perfl2]=trcos8x8bn(X,map,t) % Aplica la transformaci´ on del coseno (dct2) a la imagen X, % con paleta map, % descompuesta en bloques 8x8. % X debe ser una matriz (2J × 2J ). % map una paleta de grises. % Pasa un threshold t , (vg.

(vg.

X, map obtenidas con load(’woman’)).

10).

% Representa: % la imagen original, % la imagen reconstruida por bloques 8x8 (idct2) despues % de haberla pasado el "threshold". % Calcula: % perf0:

tanto por ciento de ceros en la imagen transformada despues

% de pasar el "threshold". % perfl2:

cociente de las normas en l2 de la imagen transformada

% y de la imagen original. n=size(X); n=n(1)-7; for i=1:8:n for j=1:8:n xcl=dct2(X(i:i+7,j:j+7)); xc(i:i+7,j:j+7)=xcl(1:8,1:8); end 154

end % figure % imshow(log(abs(xc)),[ ],’notruesize’) xc(abs(xc)