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• Carlozs Luizs'

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UNIDAD II:MODELACIÓN DINÁMICA DE SISTEMAS DE CONTROL 2.1 DEFINICIONES El término sistema ha sido ampliamente referido en la literatura científica. Son numerosas las definiciones que pueden encontrarse acerca del mismo. El concepto se introduce como una idea abstracta que puede aplicarse a fenómenos de distinta naturaleza. Como primera aproximación, de forma intuitiva, puede considerarse que un sistema es un objeto formado por un conjunto de partes que interaccionan entre si y el entorno (Aracil y Gordillo, 1997). Las técnicas y herramientas asociadas con el concepto de sistema juegan un papel importante en diversas áreas de la tecnología y han sido aplicadas en una amplia variedad de disciplinas científicas, entre ellas pueden citarse: robótica, ingeniería, economía, control de procesos, procesado de señales, sociología, antropología, psicología etc. En todas estas aplicaciones subyace la intención de modelar y analizar distintos tipos de fenómenos e interacciones (físicas, biológicas, económicas, sociales etc.) La naturaleza de un sistema está determinada por las partes que lo componen y las interacciones que se establecen entre las mismas. Los elementos que cobran especial importancia a la hora de su estudio son: *Atributos: Magnitudes que representan cualidades perceptibles del sistema. Los atributos permiten realizar una descripción cualitativa del sistema. *Interacciones: Relaciones entre las distintas partes del sistema o el entorno, que modifican el valor de los atributos. *Comportamiento: Evolución temporal de los atributos del sistema en una situación particular. Aunque la naturaleza física de los sistemas y las interacciones que los caracterizan son bien diferentes, todos tienen algo en común: los sistemas responden a una excitación

(interacción externa) con un comportamiento o señal de respuesta concreta (evolución de los atributos) que dependerá del estado en que se encuentren las partes del sistema (interacción interna). Un sistema también puede representarse como un proceso en el que una señal de entrada (interacción externa) se transforma en una señal de salida (atributo):

Principales conceptos: *Variables de estado: representan el menor conjunto posible de magnitudes variables en el tiempo que permiten describir el estado (valor de los atributos) de un sistema (Ogata, 1980).

*Parámetros: son magnitudes que afectan al valor de los atributos del sistema pero que se mantienen fijas a lo largo del tiempo. Son los responsables de las diferencias entre un sistema u otro.

*Variables de entrada: son magnitudes que afectan al valor de los atributos del sistema y que pueden cambiar como consecuencia de una interacción externa.

*Variables de salida: son magnitudes cuyo conocimiento interesa especificar y cuyo valor es función de las variables de estado y las variables de entrada. En ocasiones las variables de salida pueden coincidir con las variables de estado. Ejemplo: llenado de un depósito.

2.2 MODELOS DE PROCESOS QUÍMICOS Uso de modelos en procesos químicos: *Mejorar la comprensión de los procesos *Optimizar diseño y condiciones de operación *Para diseñar y mejorar estrategias de control *Entrenamiento de personal *Planificación de operaciones *Paradas y puesta en marcha

Principios generales de modelación: *Las ecuaciones del modelo son una aproximación al proceso real * Todos los modelos son inexactos pero útiles. *La construcción de un modelo envuelve un compromiso entre exactitud y complejidad (costo de desarrollo v/s costo de uso. *La modelación de procesos es tanto un arte como una ciencia. Se requiere creatividad para diseñarlo y conocimientos para asumir las simplificaciones correctas *Los modelos dinámicos de procesos resultan en ecuaciones diferenciales totales y/o parciales más relaciones algebraicas (sistemas algebro-diferenciales).

Pasos para el desarrollo del modelo: 1. Definir los alcances y objetivos del modelo. ¿Que se desea? ¿Para qué lo usare? 2. Poner el problema es un esquema de sistema. : Diagrama de información, variables Entrada/Salida. 3. Seleccionar los límites de análisis: El (los) Volumen de control. (Microscópico – distribuido)

4. Enumere todas las suposiciones realizadas. Tratar de simplificar en lo posible para alcanzar los objetivos de modelación. 5. Escriba las ecuaciones de conservación necesarias (masa, componente, energía, y Cantidad de movimiento) para cada V.C. 6. Incorpore las ecuaciones constitutivas que relacionan las cantidades conservativas con las entradas y salidas: termodinámicas, de transporte, cinéticas, geométricas, etc. Ej.: Q = h A (∆T) r A = k 0 e -E/RT 7. Análisis del modelo (G de libertad, dimensional) 8. Simplificar y ordenar el modelo para fines de solución. (Reducción de ecuaciones, arreglos matriciales, etc. 9. Solución del modelo. 10. Análisis de resultados

¿Qué balance se debe utilizar?

EJEMPLO: PROCESO DE MEZCLADO

Objetivo: conocer composición de salida x Balance a realizar: Balance de masa total y por componente

Donde w1, w2 y w son los flujos másicos. El balance por componente es:

Y se tiene que:

Aplicando la regla de la cadena y reemplazando:

En términos de x:

Reordenando se obtiene el siguiente sistema:

2.3.- LINEARIZACIÓN DE PROCESOS NO LINEALES En las secciones anteriores hemos visto como representar los sistemas lineales. En esta sección se estudia una manera de obtener una aproximación lineal de un sistema no lineal. La primer pregunta que uno se debe hacer es ¿cómo se representa un sistema no lineal? Los objetivos son 1) obtener representaciones o soluciones lineales aproximadas de las funciones o sistemas no lineales, 2) entender el comportamiento de un sistema no lineal al ser perturbado alrededor de una solución o punto de operación nominal. Se considera un sistema dinámico no-lineal se puede representar por un conjunto de ecuaciones diferenciales de la forma general en donde f y h son funciones que representan la dinámica del sistema y la salida de este dados en términos de la variable de estado x y la entrada u x˙(t) = f(x(t),u(t)) , x(t0) = x0 y(t) = h(x(t)) Donde f es una función vectorial de n × 1 elementos, expresada en términos de un vector de estado lo cual es una variable de estado de dimensión x ∈ R n×1 . El número de estados n es conocido como el ´orden del sistema. La solución x(t) de la ecuación corresponde a una curva en el espacio de estado donde t varia de cero hasta infinito. Esta curva es conocida como la trayectoria de estado. Interpretación gráfica Analogía entre una función no lineal de cierta curvatura cuya representación lineal es la línea recta que pasa tangente en uno de sus puntos y las ecuaciones que describen un sistema dinámico no lineal cuya representación lineal se obtiene a partir de las derivadas parciales de la misma función con respecto a sus variables. Considere que una determinada función f(t) es no lineal. Por lo tanto, esta se representa como una gráfica con ciertas curvaturas dependiendo de los términos que contenga. El comportamiento no lineal de esta curva obedece a cada uno de los términos que contiene. Suponiendo que se desea analizar la forma lineal en que se comporta esta

curva, entonces se deberá realizar un análisis en un solo punto del espacio. Esto se puede describir gráficamente por medio de una línea tangente a ese punto, la cual describirá linealmente a la función. La línea representa la derivada de la función analizada en cierto punto específico, lo cual es la representación lineal de la curva en un punto específico. El análisis en un sistema dinámico no lineal se realiza de manera similar. Las ecuaciones de los sistemas no lineales se pueden entender de la misma forma que se describe este comportamiento gráfico de una curva. La interpretación gráfica de una linealización es encontrar la forma de la línea tangente en un punto de la función de una curva. Este punto se tomará en cuenta como el punto de operación o el punto de equilibrio. curva x(t) entonces la tangente en el punto de linealización t = t1 es x(t1), y la línea que describe el comportamiento del sistema en dicho punto es la tangente a dicho punto. En una vecindad alrededor de este punto se dice que la tangente no cambia, de igual manera sucederá alrededor del punto de operación para el cual se encuentra la linealización del sistema dinámico. Poner una grafica describiendo esta interpretación usando matlab.

2.4.- SISTEMAS DE PRIMER ORDEN dc(t )  a0 c (t )  b0 r (t ) dt

Los sistemas de primer orden continuos son aquellos que

responden a una ecuación diferencial de primer orden

C (s) b  0 R ( s ) s  a0

La función de transferencia es:

Reacomodando términos también se puede escribir como: C (s) K  R ( s ) s  1

Dónde: K

b0 a0 Es la ganancia estable.



1 a0 Es la constante de tiempo perdido.

s   a0   El valor

1  se denomina polo.

Respuesta de un sistema de primer orden ante una entrada impulso La salida en Laplace es R(s)  1

C (s) 

b0 R( s) s  a0

Utilizando transformada inversa de Laplace 

1    s  a0 

c(t )  b0L1 

 a0 t  c(t )  b0 e



Se obtiene la salida en función del tiempo

Se evalúa la ecuación anterior en tiempos múltiplos de

2.4.- SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN En ingeniería de control un sistema de segundo orden se caracteriza porque tiene dos polos, la función de transferencia genérica de un sistema de segundo orden en bucle cerrado tiene la siguiente forma:

K ≡ Ganancia δ ≡ Factor de amortiguamiento o frecuencia propia no amortiguada ωn ≡ Frecuencia natural Si sacamos las raíces del denominador observaremos que los sistemas de segundo orden pueden clasificarse en tres tipos diferente de sistemas, las raíces son:

Observando las raíces vemos que se nos presentan tres posibilidades según el valor que tome

ya que puede ser mayor, menor o igual a 1, así pues la clasificación

quedaría Sistemas Subamotiguados Los sistemas subamortiguados sólo se dan cuando

, así pues obtenemos un par

de números complejos, desarrollándolo obtenemos: ωd ≡ Frecuencia forzada Sistema críticamente amortiguado y sistema sobreamortiguado Este tipo de sistema lo obtenemos cuando

, la gráfica que siguen estos tipos de

sistemas son una sigmoide y es el caso frontera, por decirlo de alguna manera, es el caso que separa un sistema subamortiguado de un sistema sobreamortiguado. La gráfica que describe un sistema críticamente amortiguado es parecida a la siguiente: Los sistemas Sobreamortiguados se dan cuando

la curva que representa a estos

tipos de sistemas es también una sigmoide como en el caso anterior pero todas las curvas que pueden seguir los sistemas Sobreamortiguados están por debajo de la que sigue uno críticamente amortiguado con lo que podemos deducir que es más lento que el caso frontera.

Especificaciones de Transitorio Las

especificaciones

del

transitorio

solo

tienen

sentido

para

los

sistemas

subamortiguados, presentaremos primero la gráfica que seguiremos para la explicación y seguidamente pasaremos a definir cada termino.

2.5.- SISTEMA DE ORDEN SUPERIOR Los sistemas de orden superior contienen ceros y polos adicionales que afectan al comportamiento tanto en régimen transitorio como permanente La función de transferencia de un sistema de segundo orden con polo adicional es la siguiente: P1

n 1 H ( s)  2 2 s  2  n s   n 1  bs  2

Im(s) 

P3

p

d

 

-1/b

P2

o

Re(s)

La respuesta transitoria viene dada por la siguiente expresión: y (t )  1 



e d tctg  t ctg sen d t    p sen   p   e d p sen 2 p 2 sen 



K n 1  2 2   s  2 n s  n s    n  t   K  1 e sen  t    d 1  2  



2

y (t )  L-1 H ( s )U ( s )  L-1 

Que podemos comparar con la de un

sistema de segundo orden puro.

Sistema de 2º Orden (b=0) 2º Orden + polo adicional (b=0.2)

Su efecto sobre la respuesta transitoria dependerá de la posición relativa del nuevo b=0.33 polo con respecto al par de polos complejos conjugados:

b=10

Respuestas transitorias de orden superior Partimos de una función de transferencia genérica del tipo:

s  z  m

j

H ( s)  K

j 1 n

s  p  i

i 1

H (s) 

bm s m  bm 1s m 1    b1s  bo an s n  an 1s n 1    a1s  ao

Separando polos en el origen, polos reales y polos complejos queda:

s  z  m

j

j 1

H ( s)  K s

l

q



 s    s  h

h

h 1

h 1

k

 j k 

k

 s   k  j k  

k

q h  k A Bhu Cku Cku H ( s )   uu      u u  s   k  jk  u u 1 s h 1 u 1  s   h  k 1 u 1  s   k  j k  *

l

Y descomponiendo en

fracciones simples:

Agrupando términos: l

H ( s)   u 1

 k Au q h Bhu M ku s  N ku     u u 2 2 2 s h 1 u 1  s   h  k 1 u 1 s  2 s   k k  k







u

Con lo que estos sistemas pueden verse como una combinación de sistemas de primer y segundo orden.  k M u q h N hu Pku     u u u u 1 s h 1 u 1  s   h  k 1 u 1  s   k  j k  l

Y ( s )  

*

Pku   tér min osdebidosaU ( s)   s   k  j k  u 

La respuesta ante escalón vendrá dada

por Y(s)=H(s)/s. Descomponiendo en fracciones simples:

Pasando al dominio temporal:

M u u 1 q  h N hu u 1  h t  t e u 1  u  1! h 1 u 1  u  1! l

y (t )   

k

u



2 Pku u 1  k t t e cos k  arg  Pku     L-1  tér min osdebidosaU ( s ) k 1 u 1  u  1!



