• Author / Uploaded
• barbara

• Categories
• Física teórica
• Física y matemáticas
• Física
• Matemáticas
• Mecánica

Citation preview

89

Modelos matemáticos de sistemas físicos

m

d2x dx +b + k x = f (t ) 2 dt dt

(3.23)

a la que le corresponde la siguiente expresión en el dominio s: X ( s) = F ( s)

ms2

1 +bs+k

(3.24)

La representación en bloques de las ecuaciones (3.20), (3.22) y (3.24) se muestra en la figura (3.11). Figura 3.11 Diagrama de bloques de los componentes del solenoide.

V(s)

1 Ls  R Parte eléctrica

I(s)

F(s) Ks

1 ms2  bs k

Transductor

Parte mecánica

X(s)

Cuando el flujo de información entre elementos es unidireccional, se dice que entre bloques existe una impedancia infinita (que impide la bidireccionalidad de información o interacción entre componentes). Esto permite simplificar la configuración de los bloques de la figura 3.11 (bloques en serie, capítulo 4, sección 4), de donde se obtiene la representación equivalente mostrada en la figura 3.12. La desventaja de dicha simplificación es que las variables intermedias I(s) y F(s) se pierden. V(s)

Figura 3.12 Diagrama de bloques simplificado del solenoide.

X(s)

Ks (Ls+R) (ms2  bs k)

La ecuación diferencial equivalente asociada a la figura 3.12 es: ⎡ d 3 ⎛ b R ⎞ d 2 ⎛ k bR ⎞ d Rk⎤ + ⎢ 3 +⎜ + ⎟ 2 + ⎜ + ⎥ x = K s V ( s) ⎝ m m L ⎟⎠ d t L m ⎥⎦ ⎝ m L ⎠ dt ⎢⎣ d t

(3.25)

∞ EJEMPLO 3.4

Simule el comportamiento del solenoide al cual se le acopla una masa M, según se muestra en la figura 3.13. Considere que la fuerza contraelectromotriz que se genera en la bobina es proporcional a la velocidad instantánea. Los datos se dan a continuación: Figura 3.13 Masa M sujeta a un solenoide.

v(t) L, R

i m

C03_1a SISTEMAS–Hdz.indd 89

k M

2/11/10 10:34:20 PM

90

Introducción a los sistemas de control: conceptos, aplicaciones y simulación con MATLAB

Características: L = 0.1 hy m = 0.15 Kg k = 0.8 Nw/m

Kv = 0.45 v/(m/seg) Kf = 0.45 Nw/amp

R = 0.25 ⍀ M = 5 Kg v=5v

Solución: 1. Parte eléctrica: L

di + R i + v b = v (t ) dt

(3.26)

donde vb = K v

dx dt

(3.27)

es el voltaje de la fuerza contraelectromotriz proporcional a la velocidad instantánea. Al sustituir la ecuación (3.27) en la ecuación (3.26) y reordenando: ⎤ di 1 ⎡ dx = ⎢− Ri − K v = v(t )⎥ dt L ⎣ dt ⎦

(3.28)

El circuito eléctrico asociado a la ecuación (3.26) se muestra en la figura 3.14. Figura 3.14 Representación de la parte eléctrica del solenoide.

R 

L 





Vb 



 v(t)

i(t) 

2. Acoplamiento electromecánico: f (t ) = K f i(t )

(3.29)

d 2x dx + b + kx = f (t ) 2 dt dt

(3.30)

3. Parte mecánica: (m + M )

Al considerar que el amortiguamiento b = 0, sustituimos la ecuación (3.29) en la ecuación (3.30) y reordenamos: d 2x 1 = [ −kx + k f i(t )] 2 m+M dt

(3.31)

Las ecuaciones (3.28) y (3.31) se representan en Simulink, según muestra la figura 3.15, con la finalidad de llevar a cabo una simulación del sistema acoplado a una masa M. Nota: Aunque es posible introducir el valor de los coeficientes del sistema en Simulink, éstos se escribirán desde Matlab; se llevarán a cabo extracciones del modelo

C03_1a SISTEMAS–Hdz.indd 90

2/11/10 10:34:21 PM

100

Introducción a los sistemas de control: conceptos, aplicaciones y simulación con MATLAB

Los términos de la ecuación (3.56) que contienen el coeficiente (N1/N2)2 son elementos que pasaron del secundario hacia el primario; en la figura 3.26 se aprecia el circuito equivalente de la figura 3.25.

Figura 3.26 Sistema equivalente con la carga reflejada al primario.

W1

V

D1

J1

2 J2

( ) ( ) N1 N2

N1 N2

2 D2

∞ EJEMPLO 3.6

Obtenga el circuito equivalente y la función de transferencia resultante para el sistema mostrado en la figura 3.27, para lo que hay que considerar: a) Masa despreciable de los engranes. Figura 3.27 Sistema de engranes en donde se reflejará el secundario hacia el primario.

N1

J

W1 V

W2 D N2

Solución: El circuito equivalente se obtiene de la ecuación (3.56), que anula los términos inexistentes en la figura 3.27, por lo que a los términos que provienen del secundario se les añadirá el coeficiente (N1/N2)2: 2 2 ⎤ d␪ ⎤ d 2␪ ⎡ ⎡ ⎛ N1 ⎞ ⎛ ⎞ 1 ⎢ ⎥ 1 ⎥ ⎢ J + N1 ⎢ 1 ⎜ N ⎟ J 2⎥ d t 2 + ⎢ ␤1 + ⎜ N ⎟ ␤ 2⎥ d t = ␶ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎥⎦ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎢⎣

a) Masa despreciable de los engranes: 2

∴

C03_1a SISTEMAS–Hdz.indd 100

⎛ N1 ⎞ ⎛ d2 d⎞ ⎜ ⎟ ⎜ J 2 + ␤ ⎟␪ 1 = ␶ d t⎠ ⎝ N 2 ⎠ ⎝ dt

2/11/10 10:34:32 PM

122

Introducción a los sistemas de control: conceptos, aplicaciones y simulación con MATLAB

La ecuación anterior es una función irracional, por lo que se procederá a obtener un equivalente a forma racional, considerando la representación en serie de Mc Laurin de una exponencial e x: d

ex 

¤ x n  1 x 

n 0

x2 x3 xn   { n! 2 ! 3!

Al sustituir x por −sT: e sT 

1 e sT



1 ( sT )2

( sT )3 1  sT   { 2! 3!

(3.95)

Esto nos lleva a obtener diferentes aproximaciones con respecto a la forma de truncar la serie infinita: Aproximación de primer grado: e − sT ≈

1 1 + sT

Aproximación de segundo grado: e − sT ≈

1 1 + sT +

( sT )2 2!

∞ EJEMPLO 3.13

Al utilizar la ecuación (3.95), obtenga y grafique las aproximaciones de grado 1, 2 y 3, para lo cual habrá de considerarse un atraso de tiempo T = 2 segundos. Solución: El código en Matlab para generar la respuesta (figura 3.52) de las aproximaciones para un atraso de tiempo de dos segundos es: >> % Aprox grado1: G1=1/(2s+1) >> % Aprox grado2: G2=1/(2s^2+2s+1) >> % Aprox grado3: G3=1/((4/3)s^3+2s^2+2s+1) >> num=[1]; >> den1=[2 1]; den2=[2 2 1]; den3=[(4/3) 2 2 1]; >> G1=tf(num,den1) Transfer function: 1 ______ 2s+1 >> G2=tf(num,den2) Transfer function: 1 ____________ 2 s^2 + 2 s + 1

C03_1b SISTEMAS_Hdz.indd 122

2/11/10 10:35:58 PM

123

Modelos matemáticos de sistemas físicos

>> G3=tf(num,den3) Transfer function:

1 _______________________ 1.333 s^3 + 2 s^2 + 2 s + 1

>> step(G3) >> hold on >> step(G2), step(G1) >> hold off Figura 3.52 Aproximaciones de diversos grados para e–2s.

Step Response 1.4 Aprox. grado 3

1.2

Aprox. grado 2

Amplitude

1 Aprox. grado 1

0.8 0.6 0.4 0.2 0 0

5

Time (sec)

10

15

Para obtener una aproximación más cercana al comportamiento real del atraso de tiempo, el número e x se representa por: e − x = e − x /2 e − x /2 =

e − x /2 e x /2

Al sustituir x por sT, se obtiene la siguiente expresión:

e sT 

e sT /2 e sT /2

( sT / 2)2 ( sT / 2)3

{ 2! 3!  ( sT / 2)2 ( sT / 2)3 1  ( sT / 2)   { 2! 3! 1 ( sT / 2) 

(3.96)

Esto da lugar a la aproximación de Padé de grado 1, grado 2, etcétera. Con Matlab es posible obtener directamente la aproximación de Padé del grado requerido n para un atraso de tiempo T con la instrucción: pade(T,n)

C03_1b SISTEMAS_Hdz.indd 123

(3.97)

2/11/10 10:35:59 PM

157

Reducción de sistemas

taria, esto es, H(s) = 1, cuya correspondiente función de transferencia de lazo cerrado es T(s): T ( s) =

Figura 4.20 Sistema de control con retroalimentación unitaria.

R(s)

E(s)

Y ( s) G ( s) = R ( s) 1 + G ( s) Y(s)

T(s)

G(s) 

(4.6)

R(s)

G(s)



Y(s)

1G(s)

12. Conversión de un sistema con retroalimentación no unitaria a un sistema con retroalimentación unitaria, figura 4.21. En muchas ocasiones resulta muy conveniente representar un sistema expresado originalmente con retroalimentación no unitaria en forma de sistema retroalimentado unitariamente, como se muestra a continuación (figura 4.21). Figura 4.21 Conversión de un sistema con retroalimentación no unitaria a forma unitaria.

Y(s)

R(s)

R(s)

G(s) 

Y(s)

1 H(s)

H(s) 



G(s)



H(s)

∞ EJEMPLO 4.3

Utilice álgebra de bloques para reducir a un solo bloque [función de transferencia de lazo cerrado T(s)] los diagramas de las siguientes figuras. a) Para este caso, además, obtenga los polos de lazo abierto G(s), así como los polos de lazo cerrado T(s). Figura 4.22

R(s) 

2

1 s4

Y(s)

s2  9

 s1

Solución: El diagrama de la figura 4.22 corresponde a la configuración típica de un sistema retroalimentado, por lo que se procederá a definir la función de transferencia de trayectoria directa G(s), así como la función de transferencia de trayectoria de retroalimentación H(s); luego se aplicará directamente la ecuación (4.5) para obtener la reducción del diagrama y, por ende, T(s). G ( s) =

C04_a SISTEMAS–Hdz.indd 157

2 ( s + 4 )( s 2 + 9)

y

H ( s) = s + 1

2/11/10 10:37:43 PM

158

Introducción a los sistemas de control: conceptos, aplicaciones y simulación con MATLAB

Al aplicar la ecuación (4.5) se obtiene la función de transferencia de lazo cerrado T(s): 2 G ( s) ( s + 4 )( s 2 + 9) T ( s) = = 1 + G ( s) H ( s) 2 ( s + 1) 1+ ( s + 4 )( s 2 + 9) ∴ T ( s) =

+4s2

s3

2 + 11 s + 38

Los polos de lazo abierto Pla (trayectoria directa) son: >> numg = [2]; >> deng = [1 4 9 36]; >> Pla = roots(deng) Pla = −4.0000 0.0000 + 3.0000i 0.0000 − 3.0000i Los polos de lazo cerrado Plc son: >> numlc= [2]; >> denlc= [1 4 11 38]; >> Plc= roots(denlc) Plc = −3.7614 −0.1193 + 3.1762i −0.1193 − 3.1762i b) Reduzca el diagrama de bloques de la figura 4.23a. Figura 4.23a

12 

R(s) 





1 s4 

1 s



1

Y(s)

s2  9

10 s6

Solución: El punto de suma asociado a la función de transferencia individual G1(s) = 12, se reposiciona entre los dos primeros puntos de suma (figura 4.23b).

C04_a SISTEMAS–Hdz.indd 158

2/11/10 10:37:45 PM

Reducción de sistemas

Figura 4.23b

12 1(s  4)



R(s) 

159

1 s4





1 s2  9

1 s

Y(s)





10

s6

Los bloques enmarcados (figura 4.23b) pueden reducirse a una función de transferencia parcial T1(s) mediante la ecuación (4.5): G ( s) 1 = 2 1 + G ( s ) H ( s ) s + 4 s + 10

T 1 ( s) =

La figura 4.23c muestra el resultado de sustituir la función de transferencia parcial T1(s), con lo que nuevamente se puede simplificar la configuración si se utiliza una vez más la ecuación (4.5): Figura 4.23c 12 (s  4) 

R(s)  

1 s2  4s  10



Y(s)

1 s2  9

s6

T 2 ( s) =

s4

+ 4s3

1 + 19 s 2 + 48 s + 138

La configuración resultante se muestra en la figura 4.23d. Figura 4.23d

R(s)

1

Y(s)

s4  4s3  19s2  48s  138

 

s6

Finalmente, la función de transferencia de lazo cerrado T(s) es: T ( s) =

C04_a SISTEMAS–Hdz.indd 159

s4

+ 4s3

1 + 19 s 2 + 49 s + 144

2/11/10 10:37:45 PM

191

Características de respuesta de los sistemas

1. Método de la constante de tiempo ␶. Si se considera el hecho de que cuando transcurre una constante de tiempo el sistema ha alcanzado el 63.212% de su valor final (como se muestra en la figura 5.6), se procede a trazar una recta paralela a la abscisa t que corresponda al 63.212% del valor final y(∞) hasta que corte la curva de respuesta; en ese punto se proyecta una recta paralela a la ordenada hasta que corte el eje de tiempo t, que es el punto del valor de la constante de tiempo ␶. 2. Método de la pendiente máxima. En este caso se traza una recta con pendiente máxima, desde el origen sobre la curva de respuesta hasta cortar la recta de valor final y(∞), y en el punto de cruce se traza una recta perpendicular a la abscisa t, hasta cortar el eje del tiempo, cuyo punto es el valor de la constante de tiempo ␶.

5.2.3 Sistema de primer orden en lazo abierto y en lazo cerrado En esta sección se estudiará el comportamiento de un sistema de primer orden Gp(s), tanto en lazo abierto como en lazo cerrado, cuando al sistema se le aplica una ganancia ajustable Gc(s) (según se muestra en la figura 5.7); dicha ganancia ajustable, a la postre, se definirá como un control proporcional K y desempeñará un papel relevante en el diseño de los sistemas de control.

Figura 5.7 Sistema de lazo abierto con ganancia ajustable K.

R(s)

Ganancia ajustable

Proceso por controlar

Gc(s)

Gp(s)

Y(s)

Análisis en lazo abierto Se pretende establecer el comportamiento del sistema de lazo abierto representado en la figura 5.7 cuando la ganancia ajustable K varía en un determinado rango de valores. Tanto la ganancia ajustable Gc(s) = K (no confundir la ganancia ajustable con la ganancia del sistema) como el proceso por controlar Gp(s) (ecuación 5.2), quedan definidos como: G c ( s) = K

y

G p ( s) =

bo c /a = s + (b / a ) s + a o

Por lo que la función de transferencia de lazo abierto resultante es: G( s ) = Gc ( s )G p ( s ) =

K bo

(5.10)

s + ao

Para llevar a cabo el análisis del comportamiento del sistema, se considerarán los siguientes parámetros: K = Ganancia ajustable: 0 < K < 5, b0 = 0.25

y

a0 = 2.

La figura 5.8 muestra la respuesta del sistema al escalón unitario. Se observa que las variaciones de ganancia no afectan la velocidad de respuesta del sistema, ya que su polo permanece en la misma posición; lo que sí varía es la magnitud de la respuesta de estado estable.

C05_a SISTEMAS–Hdz.indd 191

2/11/10 10:40:07 PM

192

Introducción a los sistemas de control: conceptos, aplicaciones y simulación con MATLAB

Figura 5.8 Respuesta al escalón de un sistema de primer orden para diversos valores de ganancia.

Step Response

0.5 K4 Amplitude

0.4 0.3 0.2

K2

0.1

K1

0 0

0.5

K  0.5 1.5 2 Time (sec)

1

2.5

3

Análisis en lazo cerrado Para el sistema con retroalimentación unitaria de la figura 5.9, se consideran los mismos parámetros que en el caso anterior: G( s ) =

K bo K (c / a ) 0.25 K = = s + (b / a ) s + ao s+2

y

H ( s) = 1

por lo que al aplicar la ecuación T ( s) =

G ( s) 1 + G ( s) H ( s)

la función de transferencia de lazo cerrado resultante es: T ( s) =

0.25 K s + ( 2 + 0.25 K )

(5.11)

Del resultado anterior, se observa que el polo del sistema de lazo cerrado es p = −(2 + 0.25 K ), el cual, además de estar en función de los coeficientes a0 y b0, depende también de la ganancia ajustable K dentro del rango elegido: 0 < K < 5. Figura 5.9 Sistema de lazo cerrado con ganancia ajustable K.

R(s) 

C05_a SISTEMAS–Hdz.indd 192

Ganancia ajustable

Proceso por controlar

Gc(s)

Gp(s)

Y(s)



2/11/10 10:40:08 PM

193

Características de respuesta de los sistemas

La figura 5.10 ilustra la respuesta al escalón del sistema de lazo cerrado para diversos valores de K. Figura 5.10 Comportamiento del sistema en lazo cerrado cuando se varía la ganancia dentro del rango 0 < K < 5.

Step Response 0.35 K4

0.3

Amplitude

0.25 0.2 K2 0.15 0.1

K1

0.05 0

K  0.5 0

0.5

1

1.5 Time (sec)

2

2.5

3

El polo de lazo cerrado, denominador de la ecuación (5.11), se desplazará hacia la izquierda del eje real, como consecuencia del incremento de la ganancia K, por lo que la velocidad del sistema se hace cada vez menos lenta (figura 5.10). La figura 5.11 muestra el diagrama de los polos de lazo cerrado del sistema considerado. Figura 5.11 Variación en la ubicación del polo de lazo cerrado como consecuencia del incremento de ganancia.

Root Locus

1 0.8 0.6

Imag Axis

0.4

Desplazamiento del polo de lazo cerrado hacia la izquierda del eje real debido a incrementos de ganancia K

0.2 0

xx x

xx x x x x x x x x

0.2 Polo de lazo abierto p  2

0.4 0.6 0.8 1 5 4.5

C05_a SISTEMAS–Hdz.indd 193

4 3.5

3 2.5 2 1.5 Real Axis

1 0.5

0

2/11/10 10:40:10 PM