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1 Este material educativo es para uso exclusivo de los alumnos del Programa de Educación a Distancia del Liceo Naval “Almirante Guise”

2018

“CAMINANTE NO HAY CAMINO, SE HACE CAMINO AL ANDAR”

2 Este material educativo es para uso exclusivo de los alumnos del Programa de Educación a Distancia del Liceo Naval “Almirante Guise”

TERCER BIMESTRE 1º año 2018

ESTADÍSTICA ……………………………………………………………………

4

Tabla de distribución de frecuencias. Gráficos estadísticos. Medidas de tendencia central. TANTO POR CIENTO …………………………………………………………

9

RELACIONES ……………………………………………………………………

11

producto cartesiano Grafica de una relación

FUNCIONES ……………………………………………………………………

18

Función. Variables. Gráfica. Análisis de una función. Dominio y rango. SEGMENTOS Y ÁNGULOS …………………………………………………

25

Perpendicularidad y paralelismo Ángulos Formados por rectas paralelas cortadas por una secante

3 Este material educativo es para uso exclusivo de los alumnos del Programa de Educación a Distancia del Liceo Naval “Almirante Guise”

ESTADÍSTICA

La estadística tiene por objeto recopilar datos sobre fenómenos de las más diversas índoles y presentarlos en forma de tablas o gráficos para deducir de ellas valiosas conclusiones. RECOLECCIÓN DE DATOS: Para formular una estadística, lo primero que se hace es recopilar los datos, referente a un asunto. LA ENCUESTA: Es un instrumento que puede contener una o más preguntas para recoger información sobre un asunto cualquiera. La información recogida por una encuesta se puede organizar en una TABLA DE DATOS que nos permiten apreciar los resultados obtenidos a simple vista, facilitando su comprensión y estudio. Esta operación recibe el nombre de TABULACIÓN. Para alcanzar una mayor compresión de las relaciones numéricas expresadas en la tabla de datos, se utilizan los gráficos de barras, las cuales destacan los hachos con mayor claridad. Ejemplo: Información sobre la edad que tienen las alumnas de 2º año de secundaria. 

En primer lugar entregamos a cada niña una encuesta como el que se muestra en el recuadro: para recopilar datos.

Encuesta para 1º año de Secundaria Marca con una x la edad que tienes. 12 años 13 años 14 años 15 años

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

Una vez que se tiene los datos es preciso organizarlos, clasificarlos y presentarlos en la tabla de datos.

Tabla de datos Edad 12 13 14 15

Cantidad de alumnos 10 20 15 5

Luego presentamos los datos existentes mediante el gráfico de barras.

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

Los números del siguiente recuadro representan la edad de 30 niños que participan en un concurso de matemática. 11 13 12 10 13

10 9 10 13 9

9 12 13 13 10

13 13 10 13 12

13 13 12 12 11

10 11 9 13 9

La edad es una variable Estadística que se representa con valores numéricos. Cada valor numérico se llama dato y se representa con la letra x. 5 Este material educativo es para uso exclusivo de los alumnos del Programa de Educación a Distancia del Liceo Naval “Almirante Guise”

Variable Estadística es una Característica que puede tomar diferentes Valores Numéricos. Datos

Frecuencia

9

‫ ׀׀׀׀׀‬ 5

10

‫ ׀׀׀׀׀׀‬ 6

11

‫׀׀׀‬

12

‫ ׀׀׀׀׀‬ 5

13

‫ ׀׀׀׀׀׀׀׀׀׀׀‬ 11

 3

Para poder estudiar los datos con facilidad, es conveniente ordenarlos y agruparlos. Observa que al lado de cada dato se ha colocado el número de veces que se repite. Este número se llama frecuencia y se representa con la letra f.

Frecuencia es el número de veces que se repite un dato o valor numérico de la variable. Datos

Frecuencia

9

5

10

6

esta tabla se llama distribución de frecuencia y nos permite

11

3

agrupar los datos de una variable estadística.

12

5

13

11

Distribución de frecuencias es una tabla donde se registran los datos de una variable estadística y la frecuencia de cada uno de ellos.

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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Media Aritmética ( X ) Es el valor promedio de una serie de datos estadísticos.

x



a1  a2  a3 ...  an n

Ejemplo 1. La tabla del recuadro representa las notas obtenidas por un niño en seis asignaturas. Asignatura

Nota

Castellano

11

Ciencias Nat.

15

Matemática

14

X

Historia

13

Inglés

16



Educ. Física

15

Para calcular la media aritmética se suman todos los datos y se dividen por el número de ellos. En este caso:

11  15  14  13  16  15 84   14 6 6

X  14

La media aritmética es el mismo concepto que conocemos como promedio

Ejemplo 2. Calcular la media aritmética de un conjunto de datos representados en un grafico de barras.

X

10  20  30  40  50  60 210   35 6 6



x  35 7 Este material educativo es para uso exclusivo de los alumnos del Programa de Educación a Distancia del Liceo Naval “Almirante Guise”

MEDIANA La mediana es el valor central de los datos una vez que los ordenamos de menor a mayor. Ejemplo: Datos: 7 5 10

3

2

6

Ordenamos: 2 3 3 datos antes

4 4

5

6

7 10 3 datos después

Entonces: la mediana es 5 Si el número de datos es par, se toma el valor medio de los dos datos centrales Ejemplo: Dato: 2 12 15 13 20 32 Ordenamos: 2 12 13 15 20

32

Mediana = (13 + 15) : 2 = 14

MODA Es el valor de la variable que tiene mayor frecuencia absoluta. Ejemplo: Notas obtenidas por 20 alumnos en una práctica de matemática. 11 12 14 11

12 13 12 12

13 10 11 12

11 12 12 12

14 11 12 10

Variable (altura)

xi

10

11

12

13

14

Frecuencia

Fi

2

5



2

2

Mayor frecuencia = 9

Entonces la Moda es 12

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EL TANTO POR CIENTO Se denomina tanto por ciento al número de partes que se consideran de las 100 partes iguales en que se ha dividido una determinada cantidad.

Luego, se tiene que:

Ejemplos: Calcule los siguientes porcentajes:

9 Este material educativo es para uso exclusivo de los alumnos del Programa de Educación a Distancia del Liceo Naval “Almirante Guise”

Halle el número en cada caso:

Halle el número en cada caso:

Halle el número en cada caso:

Relación parte - todo aplicado al tanto por ciento La relación parte - todo es una comparación por cociente (Razón Geométrica) de una cantidad (a la cual la llamamos parte) respecto de otra cantidad (a la cual la llamamos todo). ¿Qué tanto por ciento es 3 respecto de 12? Resolución: Si comparamos 3 respecto de 12, notamos que el primero es la cuarta parte del segundo.

10 Este material educativo es para uso exclusivo de los alumnos del Programa de Educación a Distancia del Liceo Naval “Almirante Guise”

RELACIONES PRODUCTO CARTESIANO El producto cartesiano es un conjunto de pares ordenados. El PRODUCTO CARTESIANO de dos conjuntos A y B, puede ser expresado también así: A x B = { (a; b) / a Є A ^ b Є B }

Se lee así: “El PRODUCTO CARTESIANO A x B cuyos elementos son los pares ordenados (a; b) tal que las primeras componentes a pertenecen al conjunto A y las segundas componentes b pertenecen al conjunto B”

Ejemplo: Sean los conjuntos H y M, de modo que:

H = {s, l } M = {s, l , c}

El producto cartesiano H x M:

H x M = {(s; s), (s;1), (s; c), (1; s), (1; s), (1; 1), (1; c) }

Gráficamente el producto cartesiano puede ser representado así: Diagrama sagital o de Flechas

H

●s s●

M

●1

1●

●c

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RELACION BINARIA

Dados dos conjuntos A y B, la RELACIÒN BINARIA de A e B, es un subconjunto del PRODUCTO CARTESIANO. A  B, en el que las componentes de sus pares ordenados guardan

una

correspondencia

de

acuerdo

a

una

condición

o

regla

de

correspondencia.

Ejemplo 1: Sean los conjuntos A y B, de modo que: A = {1; 3; 5} B = {2; 4}

El producto cartesiano A x B:

A x B = {(1; 2), (1; 4), (3; 2), (3; 4), (5; 2), (5; 4)}

Si (a; b) representa a cualquiera de estos pares ordenados, procedemos a extraer aquellos que cumplen con la siguiente condición o regla de correspondencia: a >b

Entonces con los pares ordenados que cumplan con dicha condición estaremos formando una RELACION R. Así: R = {(3; 2), (5; 2), (5; 4)}

Como las primeras componentes de cada par ordenado pertenecen al conjunto A y las segundas componentes pertenecen al conjunto B, tal RELACIÓN se dice que es una:

RELACION BINARIA DE A EN B

Se simboliza así: R: A → B

A es el conjunto de partida, B es el conjunto de Llegada 12 Este material educativo es para uso exclusivo de los alumnos del Programa de Educación a Distancia del Liceo Naval “Almirante Guise”

Grafico de la relación en el diagrama sagital y el diagrama cartesiano. A

B 1●

●2

3● ● 4 5●

B 5 

4 3





2 1 1

2

3

4

5

6

A

Ejemplo 2:

Dados los conjuntos: A = x  N / x es impar; x   3; 7   B = x  N / x es impar; x   3; 11 

Determinar la relación R definida por b = a + 2 Solución:  Considerando los INTERVALOS Determinamos por extensión los conjuntos A y B A = {3; 5; 7} B = {5; 7; 9}  Escribimos el producto cartesiano A x B: A x B = {(3;5), (3;7), (3;9), (5;5), (5;7), (5;9), (7;5), (7;7), (7;9)}  Seleccionamos de A x B los pares ordenados que cumplan con la regla de correspondencia b = a + 2 13 Este material educativo es para uso exclusivo de los alumnos del Programa de Educación a Distancia del Liceo Naval “Almirante Guise”

R = {(3; 5), (5; 7), (7;9)} DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN DOMINIO DE UNA RELACIÓN, es el conjunto formado por las primeras componentes de los pares ordenados de dicha relación. Se representa así D(R) RANGO DE UNA RELACIÓN, es el l conjunto al conjunto formado por las segundas componentes de los pares ordenados de dicha relación. Se representa así: R (R) Ejemplo: Dados los conjuntos P y M, hallar el Dominio y el Rango de la Relación R de P en M cuya regla de correspondencia es: y = x + 3 P = {x/x Є Z ; -2 ≤ x < 2} M = {x/x Є N ; 0 < x ≤ 3}

Solución:  

Escribimos P y M por extensión: P = {-2; -1; 0;1} M = {1; 2; 3} En el producto cartesiano P x M, extraemos solo los pares ordenados que cumplen con la condición: y = x + 3 los cuales constituyen la relación R de P en M :

R = {(0;3), (-1;2), (-2;1)} Dominio: D (R) = {0; -1; -2} Rango: R (R) = {3; 2; 1} La grafica Y 5 4 3  

2 1 X

-2

-1

0

1

2

3 14

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RECUERDA: PLANO CARTESIANO El PLANO CARTESIANO consta de dos rectas:  Una horizontal llamada EJE DE ABSCISAS O EJE DE LAS x  Una vertical llamada EJE DE ORDENADAS O EJE DE LAS y

El PLANO CARTESIANO, divide al plano en cuatro regiones, las cuales reciben el nombre de cuadrantes y se enumeran así como se indica en la siguiente figura: Eje de Ordenadas

+Y 2° Cuadrante II

0

–X 3° Cuadrante III

Origen de Coordenadas

1° Cuadrante I

Eje de abscisas

+X 4° Cuadrante IV –y

Entonces el punto P lo representamos por un PAR ORDENADO cuyos elementos se llaman COMPONENTES o COORDENADAS DE P. P (x;y) Ordenada Abscisa

Ejemplo 1: Ubicar en el sistema de coordenadas cartesianas el punto P (6; 4) Solución  Ubicamos 6 en el eje de las x (Abscisa)  Ubicamos 4 en el eje de las y (Ordenada)  Trazamos por estos puntos, rectas paralelas a los ejes x e y

15 Este material educativo es para uso exclusivo de los alumnos del Programa de Educación a Distancia del Liceo Naval “Almirante Guise”

+y 6 5 4  3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

(6,4) punto P buscado.  1 2 3 4 5 6

X

-1 -2 -3 -4 -5 -6

–y Ejemplo 2: Ubicar en el plano cartesiano, el punto P = (0; 3) Solución Abscisa: cero (0) Ordenada: -3, luego el punto se encuentra en el eje de las y +y 4 3 2 1

–X

0 -4 -3 -2 -1 1 -2 -3  -4

1 2 3 4 +X P(0 ; -3)

–y

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GRAFICA DE UNA RELACIÓN Dados los conjuntos: A = {1; 3; 5} B = {2; 4} Determinar la relación definida por: a

>b

Solución: A x B = {(1; 2), (1; 4), (3; 2), (3; 4), (5; 2), (5; 4)} Regla de correspondencia para hallar R de A en B: a

>b

R = {(3; 2), (5; 2), (5; 4)} Si determinamos el mismo conjunto R por Comprensión tendremos R = {(a; b)  A x B / a

> b}

Según N x N, x e y pueden ser solo números naturales entonces, llenamos la siguiente tabla dando valores a x y calculando y, según la regla de correspondencia dada x

1

2

3

4

5

6

y

3

5

7

9

11

13

B 5 

4

3 



2 1

1

2

3

4

5

6

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FUNCIÓN ¿QUÉ ES UNA FUNCIÓN? Una función es la relación que existe entre dos variables, relacionadas a través de una expresión matemática. Podemos asemejarla a una fábrica de números, de tal manera que ingresamos materia prima (números) y obtenemos como producto otros números.

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LAS FUNCIONES REALIZAN DISTINTAS ACCIONES

FUNCIÓN Formalmente, una función es una relación entre dos variables de manera que, a cada valor de la primera, le corresponde un único valor en la segunda. A estas variables se les denomina: Independiente: Corresponde a la primera variable y se le suele asignar la letra x. Dependiente: Es la que se deduce de la variable independiente y se le suele designar con la letra y, o como f (x).

ELEMENTOS DE UNA FUNCIÓN Una función f (x) está constituida por: El dominio y el recorrido o rango.

Analizaremos cada uno de estos conceptos: Llamaremos dominio de la función y lo escribiremos Dom f ( ) al conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente. El conjunto formado por los valores que puede tomar la variable dependiente se denomina recorrido, rango o imagen de la función y lo escribiremos Ran f ( ) o Im f ( ). Una función es una relación que asigna a cada elemento del dominio uno y solo un elemento del recorrido.

FUNCIONES EN LA VIDA COTIDIANA A continuación, veremos algunos ejemplos de situaciones en las que se utilizan funciones lineales 19 Este material educativo es para uso exclusivo de los alumnos del Programa de Educación a Distancia del Liceo Naval “Almirante Guise”

Ejemplo

Existe una relación entre el número de minutos que hablamos cuando realizamos una llamada desde un celular de prepago y el monto de dinero que debemos pagar. En cierta compañía si habla un minuto debe pagar $ 80, si habla 2 minutos $ 160, y así sucesivamente. Esta situación se puede representar como una función que relaciona la variable «número de minutos hablados» con la variable «monto que pagamos a la compañía».

En este caso, el número de minutos hablados será la variable independiente x, y el monto que cancelaremos será la variable dependiente y = f (x), porque depende del número de minutos que hablamos. Al representar esta situación como una función tenemos:

Si analizamos el dominio de esta función, es decir, el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente asignada por x, nos debemos centrar en lo que esta variable representa, en este caso el número de minutos. Esto indica que x puede tomar solo valores positivos y el cero, por lo tanto, el dominio de la función será el conjunto los números reales no negativos. Si analizamos el recorrido de esta función, es decir, los valores que puede tomar la variable dependiente f (x), debemos observar que el valor f (x) se obtiene de multiplicar 80 por x, donde x será un número positivo, debido a esto solo obtendremos valores positivos y por lo tanto el recorrido de la función será el conjunto los números reales positivos. 20 Este material educativo es para uso exclusivo de los alumnos del Programa de Educación a Distancia del Liceo Naval “Almirante Guise”

FUNCIÓN AFÍN Se denomina función afín a aquella de la forma:

Ejemplo Juan es un taxista que cobra $280 por bajada de bandera y $ 60 por cada tramo de 200 metros recorridos. Si llamamos x al número de tramos recorridos, la función que permite determinar el costo de un viaje en el taxi de Juan es:

FUNCIÓN LINEAL La forma algebraica de la función lineal puede representarse Variables involucradas: cantidad de dinero a pagar por viaje, cantidad de tramos recorridos. de la siguiente manera:

Ejemplo: Francisco acompañó a su padre a comprar y ha visto que 1 kg de tomates vale $ 500. Al preguntar cómo se calcula el precio para diferentes kilos de tomates su padre le explica que debe relacionar el número de kilos de tomates con el precio final. Las variables en esta situación son «número de kilogramos» (variable independiente) y «precio» 21 Este material educativo es para uso exclusivo de los alumnos del Programa de Educación a Distancia del Liceo Naval “Almirante Guise”

(variable dependiente). Si llamamos x al número de kilogramos y f (x) al precio, la función que las relaciona es la función lineal, que se expresa de la siguiente manera:

EVALUACIÓN DE FUNCIONES Evaluar una función consiste en determinar el valor de la variable dependiente, dado el valor de la variable independiente. Si la función se escribe como f (x), la función evaluada para un valor numérico, como 5, se escribe ƒ(5). Para realizar la evaluación se sustituye el valor numérico en donde aparece la variable x y se realizan las operaciones aritméticas necesarias. Ejemplos:

22 Este material educativo es para uso exclusivo de los alumnos del Programa de Educación a Distancia del Liceo Naval “Almirante Guise”

23 Este material educativo es para uso exclusivo de los alumnos del Programa de Educación a Distancia del Liceo Naval “Almirante Guise”

6) Claudia quiere invitar a tres de sus amigas al cine y la entrada al cine más cercano a su casa tienen un costo de $ 3.500. ¿Cuál es la variable dependiente e independiente? Una variable dependiente que se identifica en esta situación es «el valor que cancelará Claudia por el total de las entradas al cine», que depende de la variable independiente x, que representa «número de amigas que Claudia invitará al cine». La función que relaciona estas variables es la función lineal f (x) = 3500x Evaluar la función es útil para saber cuánto dinero tendrá que cancelar según el número de amigos que invite. a) ¿Cuál es el valor que debe cancelar Claudia por 3 entradas? Al evaluar la función en x = 3 lo sabremos: f (3) = 3.500 • 3 = $ 10.500 Respuesta: Si Claudia invita a 3 amigas al cine debe cancelar $ 10.500 por las entradas. b) ¿Cuánto pagará Claudia si invita a 5 amigas? Al evaluar la función en x = 5 sabremos el valor que debe cancelar por las 5 entradas: f (5) = 3.500 • 5 = 17.500 Respuesta: Si Claudia invita a 5 amigas al cine debe cancelar $ 17.500 por las entradas. 7) El sueldo de un vendedor está dado por la función lineal y = f (x) = 0,1 x + 300.000, donde x representa el valor de las ventas que el vendedor realizó durante el mes. Si vendió $ 100.000 durante el mes de julio, ¿cuál fue el sueldo que recibió ese mes? Solución: Para saberlo evaluaremos la función en 100.000 f (100.000) = 0,1 • 100.000 + 300.000 = 10.000 + 300.000 = 310.000 Respuesta: El sueldo del vendedor en el mes de julio fue de $ 310.000

24 Este material educativo es para uso exclusivo de los alumnos del Programa de Educación a Distancia del Liceo Naval “Almirante Guise”

SEGMENTOS Y ÁNGULOS PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO RECTAS PARALELAS, cuando no tienen puntos comunes.

L

 L1

 L

L1

RECTAS SECANTES, cuando tienen un punto común, pueden ser: 

Perpendiculares, dos rectas son perpendiculares si al intersecarse forman un ángulo de 90º L

L1





 L

 L1

Oblicuas, si no son perpendiculares. L

L1

 L

  L1

25 Este material educativo es para uso exclusivo de los alumnos del Programa de Educación a Distancia del Liceo Naval “Almirante Guise”

ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE Observa que se forman ocho ángulos cuando dos rectas paralelas (L1 Y L2) son cortadas por una secante (S) S 1 3

2 4

L1

5

6 7

8

L2

PROPIEDADES

Si las rectas L1 y L2 son paralelas y están cortadas por la secante S; se cumple las siguientes propiedades: Cada par de ángulos correspondientes son congruentes 1

5;

2

6

Cada par de ángulos opuestos por el vértice son congruentes 1

4;

2

3

5

8;

6

7

Cada par de ángulos alternos internos son congruentes 3

6;

4

5

Cada par de ángulos alternos externos son congruentes 1

8;

2 

7

Cada par de ángulos conjugados externos son suplementarios m

1 + m

7 = 180º

m

2 + m

8 = 180º

Cada par de ángulos conjugados internos son suplementarios m

3 + m

5 = 180º

m

4 + m

6 = 180º

26 Este material educativo es para uso exclusivo de los alumnos del Programa de Educación a Distancia del Liceo Naval “Almirante Guise”

Ejemplos 1.

En la siguiente figura; si m

1 es 120º. ¿Cual es la medida de cada uno de los otros ángulos? Solución:

S 1

2

3

5

4

L1

6

7 8

L2

m

2 = 180º - m

1

m

2 = 180º - 120º = 60º (Prop: Par Lineal)

m

3=m

2 = 60º (opuesto por el vértice)

m

4=m

1 = 120º (opuestos por el vértice)

m

5=m

1 = 120º (correspondientes)

m

6=m

3 = 60º (alternos internos)

m

7=m

3 = 60º (correspondientes)

m

8=m

1 = 120º (alternos externos)

2. En la siguiente figura L1 / / L2. Calcular los valores de  y . Solución:

 L1

54º son opuestos por el vértice.

Por lo tanto:  = 54º

α

L2

y



54° β

Por ser ángulos conjugados internos  + 54º = 180º  = 180º - 54º

 = 126º 3. En la siguiente figura L1 // L2. Calcular los valores de x e y. Solución:

 y L1 L2

110°

x

Por ser ángulos correspondientes: y = 110º



Por ser ángulos suplementarios y + x = 180º 110º + x = 180º x = 180º - 110º x = 70º

27 Este material educativo es para uso exclusivo de los alumnos del Programa de Educación a Distancia del Liceo Naval “Almirante Guise”

1.

Si L1 //L2 , hallar el valor de x en la siguiente figura: Solución: Por ser ángulos conjugados internos L1

7x + 2x = 180º 7x

L2

9x = 180º

2x

x

180º 9

x = 20º

2.

Halla las medidas de los ángulos agudos y obtusos. Solución: 

Por ser ángulos alternos internos:

3x - 40



2x

Luego: 2x

3x – 40º y + 20º



3x - 40º = 2x 3x - 2x = 40º x= 40º

Por ser ángulos opuestos por el vértice:

y+20 =

3x - 40º

y + 20º = 3x - 40º y + 20º = 3 (40º) – 40º y + 20º = 120º - 40º y = 80º - 20º y = 60º

Respuesta: los ángulos agudos 80º y los obtusos 100º

28 Este material educativo es para uso exclusivo de los alumnos del Programa de Educación a Distancia del Liceo Naval “Almirante Guise”

6. Hallar los valores de x e y en la siguiente figura: Solución: 3x – 10º + 2x = 180º 3x – 10°

5x - 10º = 180º 5x = 180º + 10º 5x = 190º x =

190 5

y

2x

x = 38º

El ángulo: y + 2x = 180º (ángulos suplementarios) y + 2(38) = 180º y + 76º = 180º y = 180º - 76º y = 104º

29 Este material educativo es para uso exclusivo de los alumnos del Programa de Educación a Distancia del Liceo Naval “Almirante Guise”

BIBLIOGRAFÍA



MATRIX 1,2

Editorial Norma



SÍMBOLOS 1,2

Ediciones Santillana



MATEMÁTICA 1,2

Manuel Coveñas Naquiche Editorial Coveñas



MATEMÁTICA PROGRESIVA ALGEBRA Y GEOMETRIA

Nelson Londoño Hernando Bedoya



MATEMÁTICA 1,2

Alfonso Rojas Puémape Colección SKANNERS



GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO José Santibáñez Marín Colección Euclides.



ÁLGEBRA ESTRUCTURAL

SALVADOR TIMOTEO Editorial SAN MARCOS

30 Este material educativo es para uso exclusivo de los alumnos del Programa de Educación a Distancia del Liceo Naval “Almirante Guise”