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• Victor Hernandez

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17.4 Utilice la regresión por mínimos cuadrados para ajustar una línea recta a

Además de la pendiente y la intersección, calcule el error estándar de la estimación y el coeficiente de correlación. Haga una gráfica de los datos y la línea de regresión. Después repita el problema, pero ahora efectúe la regresión de x versus y, es decir, intercambie las variables. Interprete sus resultados. X   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∑

x

y

xy

x2

y2

( y− ´y )2

( y−a0−a1 x )2

0 2 4 6 9 11 12 15 17 19 95

5 6 7 6 9 8 7 10 12 12 82

0 12 28 36 81 88 84 150 204 228 911

0 4 16 36 81 121 144 225 289 361 1277

25 36 49 36 81 64 49 100 144 144 728

10.24 4.84 1.44 4.84 0.64 0.04 1.44 3.24 14.44 14.44 55.6

23.1361 20.3846651 17.8073535 35.1034209 15.8580841 32.3437775 49.5563624 25.9797658 14.4549987 20.3122468 254.936775

PENDIENTE:

n=10Σx=95 Σy=82

a 1=

Σxy=911 Σ x 2=1277 ´x =9.5 ´y =8.2

a 1=

ERROR:

nΣxy−( Σx ) ( ∑ y )

sy / x=

2

n ∑ x 2 −( ∑ x )

10 ( 911 )−( 95 ) ( 82 ) (10)1277−( 95 )2

sy / x=

√

√

Sr n−2

254.936775 10−2

s y / x =5.64509

a 1=0.352469 _____________________________ INTERSECCIÓN:

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN:

a 0= ´y −a1 ´x a 0=8.2− ( 0.352469 )( 9.5 ) y=a1 x +a 0 y=0.352469 x +4.8515

r=

r=

n ∑ xy−∑ x ∑ y 2

√ n ∑ x −( ∑ x ) − √ n ∑ y − ( ∑ y ) 2

2

10 ( 911 )−(95)(82) 2

√ 10(1277)− ( 95 ) −√ 10(728)−( 82 )

2

2

REGRESIÓN X VS Y

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∑

x

y

xy

x2

y2

( y− ´y )2

( y−a0−a1 x )2

5 6 7 6 9 8 7 10 12 12 82

0 2 4 6 9 11 12 15 17 19 95

0 12 28 36 81 88 84 150 204 228 911

25 36 49 36 81 64 49 100 144 144 728

0 4 16 36 81 121 144 225 289 361 1277

90.25 56.25 30.25 12.25 0.25 2.25 6.25 30.25 56.25 90.25 374.5

3.62102841 5.184729 7.02833121 2.968729 5.75664049 3.89983504 28.6107312 1.50454756 2.31526656 0.22886656 61.118705

n=10Σx=82 Σy=95 Σxy=911 2

Σ x =728 ´x =8.2

PENDIENTE:

a 1=

nΣxy−( Σx ) ( ∑ y ) 2

n ∑ x 2 −( ∑ x )

10 ( 911 )−( 82 ) ( 95 ) a 1= (10)728−( 82 )2 a 1=2.3741

ERROR:

sy / x=

sy / x=

√

√

Sr n−2

61.118705 10−2

s y / x =2.76402

y=a1 x +a 0 y=2.3741 x−9.9676

INTERPRETACIÓN: Al intercambiar variables, la pendiente cambió su coeficiente pero se mantuvo en el mismo sentido. Es el mismo caso el de la intersección, que se mantuvo positiva en ambos casos pero tienen diferentes valores. A consecuencia de que Sr cambió, el valor del error también. Por otra parte, el coeficiente de correlación conservó su valor pero en esta segunda prueba se presentó negativo.

17.5 Use la regresión por mínimos cuadrados para ajustar una línea recta a

Además de la pendiente y la intersección, calcule el error estándar de la estimación y el coeficiente de correlación. Haga una gráfica de los datos y la línea de regresión. ¿Si otra persona hiciera una medición adicional de x = 10, y = 10, usted pensaría, con base en una evaluación visual y el error estándar, que la medición era válida o inválida? Justifique su conclusión.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ∑

x 6 7 11 15 17 21 23 29 29 37 39 234

y 29 21 29 14 21 15 7 7 13 0 3 159

n=11Σx=234 Σy=159

x2 36 49 121 225 289 441 529 841 841 1369 1521 6262

xy 174 147 319 210 357 315 161 203 377 0 117 2380

y2 841 441 841 196 441 225 49 49 169 0 9 3261

PENDIENTE:

a 1=

nΣxy−( Σx ) ( ∑ y )

Σxy=2380 Σ x 2=6262

11 ( 2380 ) −( 234 ) ( 159 ) a 1= (11)(6262)−( 234 )2

( y−a0−a1 x )2

211.57157 42.8435703 211.57157 0.20657025 42.8435703 0.29757025 55.5695703 55.5695703 2.11557025 208.93257 131.20557 962.727273

6.90254765 21.0885764 42.6378963 28.6035641 10.3218911 0.11207095 37.2616239 2.01989471 20.9651347 4.74033047 5.68235941 180.33589

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN:

r=

2

n ∑ x 2 −( ∑ x )

( y− ´y )2

r=

n ∑ xy−∑ x ∑ y 2

√ n ∑ x −( ∑ x ) − √ n ∑ y − ( ∑ y ) 2

2

11 ( 2380 )−(234)(159) 2

√ 11( 6262)−( 234 ) −√ 11(3261)−( 159 )

´x =21.27 a 1=−0.7805 _____________________________

2

ERROR:

2

¿Si otra persona hiciera una medición adicional de x = 10, y = 10, usted pensaría, con base en una evaluación visual y el error estándar, que la medición era válida o inválida? Justifique su conclusión.

Para conocer el error, evaluamos la función een x = 10 y, y = 10. Recordemos que el valor de a 0=31.05573 y a 1=−0.7805 e= y – a0 – a1 x e=10 – (31.05573 ) – (−0.7805 )( 10 ) e=−13.2507 Éste valor no coincide en absoluto con el error estándar, el cual es 4.4763. Por lo tanto, la medición es inválida.