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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍN DE AREQUIPA FACULTAD DE INGENIERÍA DE PROCESOS ESCUELA DE INGENIERÍA AMBIENTAL

“EJERCICIOS DE RAZONAMIENTO CON ENFOQUE A LA INGENIERIA AMBIENTAL”

CURSO: RAZONAMIENTO LOGICO MATEMATICO DOCENTE: JAIME RUBEN VIZA CARLOS VIZA ESTUDIANTES: GRUPO: A

AREQUIPA – PERÚ 2018

FACULTAD DE INGENIERÍA DE PROCESOS ESCUELA DE INGENIERÍA AMBIENTAL

ÍNDICE INTRODUCIÓN ...................................................................................................................... 2 MARCO TEÓRICO ................................................................................................................ 3 I.

RAZONAMIENTO ALGEBRÁICO .......................................................................... 3

1. ECUACIONES .............................................................................................................. 3 2. ECUACIONES DE PRIMER GRADO ...................................................................... 4 3. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO........................................................................ 4 4. OTROS TIPOS DE ECUACIONES ........................................................................... 5 4.1 Tipo (x-a)·(x-b)·…..=0 ............................................................................................... 6 4.2 Inecuaciones con una incógnita ................................................................................ 6 4.3 Inecuaciones de primer grado................................................................................... 7 4.4 Inecuaciones de segundo grado................................................................................. 7 4.5 Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas .................................................. 7 4.6 Importante .................................................................................................................. 8 II.

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS .......................................................................... 9

1.

TEOREMA 1 (AA) ................................................................................................ 9

2.

TEOREMA 2 (LAL) ............................................................................................ 10

3.

TEOREMA 3 (LLL) ............................................................................................ 10

4.

TEOREMA 4........................................................................................................ 11

5.

TEOREMA 5........................................................................................................ 11

III.

EJERCICIOS CON ENFOQUE A LA INGENIERIA AMBIENTAL .............. 12

A.

RAZONAMIENTO ALGEBRÁICO ................................................................. 12

B.

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS .................................................................... 21

CONCLUSIÓN ...................................................................................................................... 26 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................. 27

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INTRODUCIÓN Los ejercicios de Razonamiento Lógico Matemático con enfoque ambiental,

permitirá

ampliar los contenidos del curso y mostrará cómo estos principios aplican a las ciencias ambientales, permitiendo el proceso de aprendizaje del curso de matemática básica impartido en la Facultad de Ingeniería Ambiental de la Universidad Nacional San Agustín. Razonamiento Lógico Matemático se aplica en diversas disciplinas, pero es necesario contar con textos orientados a las ciencias ambientales, que expliquen los fundamentos de la matemática básica y muestre su aplicación en los problemas del medio ambiente, por lo que es necesario que el estudiante de ingeniería ambiental conozca

de los contenidos del

Razonamiento Lógico Matemático que le permitirá resolver modelos matemáticos con ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones lineales, ecuaciones cuadráticas, inecuaciones lineales y cuadráticas; de esa manera optimizar los recursos y aplicarlos en los problemas ambientales. Objetivos específicos siguientes: 

Desarrollar en los estudiantes la capacidad de plantear, resolver e interpretar los modelos de ejercicios de Razonamiento Lógico Matemático con enfoques de ingeniería ambiental.



Motivar al estudiante y despertar el interés en los ejercicios de Razonamiento Lógico Matemático mostrando diversas aplicaciones relacionadas con los problemas ambiental

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MARCO TEÓRICO Los textos de Razonamiento Lógico Matemático, trasmiten los principios invariables del análisis matemático e indican simultáneamente las diversas aplicaciones de sus contenidos lo que nos permitirá tener acceso a una diversidad modelos matemáticos que nos brindaran mayor orientación en los modelos del campo ambiental; a continuación presentaremos el soporte teórico de los capítulos de RAZONAMIENTO ALGEBRAICO Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS que se desarrollan en el presente trabajo:

I.

RAZONAMIENTO ALGEBRÁICO

1. ECUACIONES Elementos de una ecuación En las ecuaciones distinguimos varios elementos: 

Incógnita: La letra (o variable) que figura en la ecuación.



Miembro: Es cada una de las dos expresiones algebraicas separadas por el signo =.



Término: Cada uno de los sumandos que componen los miembros de la ecuación.



Grado: Es el mayor de los exponentes de las incógnitas, una vez realizadas todas las operaciones (reducir términos semejantes)

Solución de una ecuación 

La solución de una ecuación es el valor de la incógnita que hace que la igualdad sea cierta.



Si una ecuación si no tiene se dice incompatible.

tiene

solución

se

llama: Compatible,

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

Dos ecuaciones que tienen las misma soluciones se dicen que equivalentes.

2. ECUACIONES DE PRIMER GRADO Solución Una ecuación de primer grado con una incógnita es una igualdad algebraica que se puede expresar en la forma ax+b=0, con a≠0. La solución de una ecuación del tipo ax+b=c es: x=-b/a

3. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Solución Las ecuaciones de segundo grado son de la forma: ax2 + bx + c =0 Para resolverlas empleamos la fórmula:

Ecuaciones incompletas Cuando b, c o los dos son 0 estamos ante una ecuación de segundo grado incompleta.

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En estos casos no es necesario aplicar la fórmula sino que resulta más sencillo proceder de la siguiente manera: 

Si b=0 ax2 + c =0 ax2=-c / x2=-c/a



Si –c/a>0 hay dos soluciones



Si –c/a 0 Hay dos soluciones.



b2-4ac = 0 Hay una solución doble: x=-b/2a



b2-4ac < 0 No hay solución.

4. OTROS TIPOS DE ECUACIONES Ecuaciones bicuadradas A las ecuaciones del tipo ax4+bx2+c=0 se les llama bicuadradas. Para resolverlas basta hacer x2=t, obteniendo una ecuación de segundo grado: at2+bt+c=0, en la que

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4.1 Tipo (x-a)·(x-b)·…..=0 Para calcular la solución de este tipo de ecuaciones, factorizadas, se igualan a cero cada uno de los factores y se resuelven las ecuaciones resultantes.

4.2 Inecuaciones con una incógnita Definición. Solución. Dos expresiones algebraicas separadas por los signos , ≤, ≥ forman una inecuación. La solución de una inecuación son todos los puntos que cumplen la desigualdad. La solución de una ecuación siempre va a ser un conjunto de puntos, un intervalo. Comprobemos las propiedades

63>9 1. Sumo 10 a los dos miembros, queda: 73>19 que sigue siendo cierto. 2. por 10 miembros, queda: 630>190 que sigue siendo cierto.

Multiplico a los dos

3. Multiplico por -1 los dos miembros, queda: -63>-9, que no es cierto, para qué lo sea cambio el sentido de la desigualdad. -635·500 4x+7(500-x)>2500 -3x>-1000 x< 1000/3 x =333,3... 4x+3500-7x 3 500 =166,6... Respuesta: x puede tomar cualquier valor entre 167 y 333 litros.

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EJERCICIO 7: Planta de tratamiento de aguas residuales Una plata de tratamiento de aguas residuales cobra 100 euros al trimestre más 15 euros por visita. Otra empresa del sector cobra 400 Euros fijos al trimestre y no cobra las visitas. ¿En qué condiciones conviene elegir una u otra empresa?

Solución: Se plantea la inecuación: “x” es el número de visitas 100 + 15x < 400;

x < 20

Para menos de 20 visitas al trimestre es más barata la tarifa de la empresa que cobra 100 fijo + 15 visitas. EJERCICIO 8: En un área de reserva nacional del Perú, hay dos establecimientos que disponen de máquinas de monitoreo de animales en vías de extinción que los turistas puede observar. En el de la izquierda se cobran 2 Euros de tarifa fija y 40 céntimos de euro por hora, en el establecimiento de la derecha 1 Euro de fijo y otro por cada hora de alquiler. ¿Si Stefano de nacionalidad Alemana observara por 4h en qué establecimiento debe quedarse para observas dichas especies? Obtén el resultado mediante una inecuación.

Solución: Se plantea la inecuación (se ponen los datos en céntimos): “x” es el número de horas Hay que plantear que uno de los dos establecimientos sea más barato independientemente del número de horas y el resultado que se obtenga se compara con las 4h del enunciado. 200 + 80x < 100 + 100x; x > 5 Este resultado indica que la caseta de la izquierda es más rentable si observamos por más de 5 horas.

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B. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

EJERCICIO 1: Un ingeniero ambiental necesita con urgencia ampliar una fotografía de campo para comparar sus datos estadísticos sobre los afluentes del rio con la foto anterior que tomo el año pasado, sabiendo que debe ampliar de manera que el lado mayor mida 26 cm. ¿Cuánto medirá el lado menor? Las dimensiones de una fotografía son 6,5 cm. por 2,5 cm. Calculamos la razón de semejanza

𝑘=

26 6.5

=4

Luego: lado= 2.5 x 4 =10 cm

EJERCICIO 2: Un ingeniero ambiental necesita cruzar hasta el castillo para poder traer un pH metro y así medir la acidez del rio, ya que se detectó una extraña coloración. ¿Cuál es la distancia que tendrá que recorrer el ing.?

Tenemos dos triángulos en posición de Tales (si, por ejemplo, giramos el pequeño y lo “encajamos” dentro del grande. Entonces, y teniendo en cuenta que la distancia que queremos hallar es (3,3 + 𝑥): 16 𝑥 = 17.6 3.3 16x3.3 x= 17.6

x= 30 metros

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Entonces, la distancia es: 30 +3,3 = 33,3 metros es la distancia entre la persona y la torre.

EJERCICIO 3: Calcula la altura de un árbol que proyecta una sombra de 12 metros en el momento en que otro árbol que mide 2,5 m proyecta una sombra de 4 metros.

4

=

2.5

X=

12 𝑥 30 4

X= 7.5m EJERCICIO 4: En la imagen se muestra la zona afectada por la contaminación ambiental (segmento circular) y los caminos posibles para llegar a esa área. Calcular la superficie y el perímetro de este segmento circular:

SOLUCIÓN:

EJERCICIO 5:

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Para llegar a la cuenca de un rio un ingeniero ambiental necesita saber el área y el perímetro de un trapecio rectángulo de bases 11 cm y 20 cm, y lado inclinado de 15 cm. Hallar el área y el perímetro SOLUCIÓN:

EJERCICIO 6: Para ingresar a un área natural protegida de forma de una circunferencia de 10 cm de radio, un ingeniero ambiental necesita cortar camino en línea recta (tipo cuerda) que está separada 6 cm del centro de la circunferencia. ¿Cuál es la longitud del camino?

SOLUCIÓN

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EJERCICIO 7: Actualmente los residuos sólidos que emiten las industrias y los domicilios no tienen un manejro adecuado, por ello un ingeniero ambiental desea construir un contenedor para poder realizar un relleno sanitario. Al hacer los planos por ellos se borro un dato. Calcular es la longitud “l”.

SOLUCIÓN:

EJERCICIO 8: Un ave silvestre se ha subido a un poste. Leticia (Ing. ambiental) necesita registrar su especie poniéndole un rastreador, esta ave es reflejado en un charco. Toma las medidas que se indican en el dibujo y mide la altura de sus ojos: 144 cm. ¿A qué altura se encuentra el ave silvestre

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SOLUCIÓN: Los triángulos formados por Leticia y el charco y el poste con el charco, son rectángulos. Además, los ángulos que forman con el charco son iguales. Luego, los dos triángulos son semejantes.

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CONCLUSIÓN Razonar, en matemáticas, es darse cuenta de cómo y del porqué de procesos que se siguen para llegar a soluciones, justificar las estrategias junto con procedimientos en acción en el tratamiento de problemas, formular hipótesis, hacer conjeturas, predicciones, encontrar contraejemplos, usar hechos conocidos, propiedades y relaciones para explicar otros hechos, encontrar patrones y expresarlos matemáticamente, así como utilizar argumentos propios para exponer ideas, comprendiendo que las matemáticas más que una memorización de reglas y algoritmos, son lógicas y potencian la capacidad de pensar.

El desarrollo de los contenidos del curso permitió ampliar nuestros horizontes en la resoluciones de problemas aplicando principios de las ciencias ambientales, creando un ambiente investigativo en el aula y una atmósfera positiva en función de elevar a niveles superiores el pensamiento lógico matemático de los alumnos y con ello la calidad de la educación que se imparte en la Facultad de Ingeniería Ambiental de la Universidad Nacional San Agustín.

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Baldor, A. (s.f.). Geometr´ıa Plana y del Espacio y Trigonometr´ıa . Meneses, R. (s.f.). Matematica 8: enseñanza-aprendizaje. scribd. (mayo de 2018). Obtenido de https://es.scribd.com/doc/15571753/ejercicios-resueltossemejanza Stanley R. , C. (s.f.). Geometría. . webcolegios. (s.f.). Obtenido de https://www.webcolegios.com/madrecarmen/guias/366447.pdf

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