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FUNDAMENTOS DE ANALISIS NUMERICOS

PARTE DOS

RAÍCES DE ECUACIONES

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II. 1 MOTIVACIÓN Desde hace años, se aprendió a usar la formula cuadrática:

− b ± b 2 − 4ac x= 2a

[II.1]

f ( x) = ax 2 + bx + c = 0

[II.2]

Para resolver:

A los valores calculados con la ecuación (II.1) se les llama “raíces” de la ecuación (II.2). Estos representan los valores de x que hacen que la ecuación (II.2) igual a cero. Por lo tanto, se puede definir la raíz de una ecuación como el valor de x que hace f(x) = 0. Por esta razón algunas veces a las raíces se les conoce como ceros de la ecuación . Aunque la forma cuadrática es útil para la resolver la ecuación (II.2), hay muchas funciones diferentes que no se pueden resolver de manera tan fácil. En estos casos, los métodos numéricos descritos en el capitulo 4 y 5 proporciona medios eficientes para obtener la respuesta. II.1.1 Métodos empleados antes de la era de la computadora para determinar raíces Antes del advenimiento de las computadoras digitales, había una serie métodos para encontrar las raíces de las ecuaciones algebraicas o trascendentales. Para algunos casos, las raíces se podían obtener por métodos directos. Como se hace con la ecuación (II.1). Aunque había ecuaciones, como esta que se podían resolver directamente, habían muchas otras que no lo eran, por ejemplo, hasta una función aparentemente simple tal como f(x) = e-x – x no se puede resolver analíticamente. En estos casos, la única alternativa es una técnica de solución aproximada. Un método para obtener una solución aproximada es la de graficar la función y determinar dónde cruza al eje x. Este punto, que representa el valor de x para el cual f(x)=0, es la raíz. Las técnicas gráficas se discuten al principio de los capítulos 4 y 5. Aunque los métodos gráficos son útiles en la obtención de estimaciones aproximativas de las raíces, están limitadas por la carencia de precisión. Una aproximación alternativa es usar lo técnica de prueba y error. Esta "técnica" consiste en escoger un valor de x y evaluar si f(x) es cero. SÍ no es así (como sucederá en la mayor parte de los casos), se hace otra conjetura y se evalúa nuevamente f(x) para determinar si el nuevo valor da una

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mejor estimación de la raíz. El proceso se repite hasta que se obtenga un valor que genere una f(x) cercana a cero. Estos métodos fortuitos, obviamente son ineficientes e inadecuados para las exigencias en la práctica de la ingeniería. Las técnicas descritas en la parte III representan alternativas que no sólo aproximan sino emplean estrategias sistemáticas para encaminarse a la raíz verdadera. Además, se adaptan idealmente a la implementación en computadoras personales. Tal como se presenta en las páginas siguientes, la combinación de estos métodos sistemáticos con la computadora hace de la solución de la mayor parte de los problemas sobre raíces de ecuaciones una tarea simple y eficiente. II.1.2 Raíces de ecuaciones y su práctica en lo ingeniería Aunque las raíces de ecuaciones caben dentro de otro contexto, frecuentemente aparecen en el área de diseño en ingeniería. El cuadro IÍ.1 muestra un conjunto de principios fundamentales que se utilizan frecuentemente en trabajos de diseño. Las ecuaciones matemáticas o los modelos derivados de estos principios se emplean en la predicción de las variables dependientes en función de las variables independientes y de los parámetros. Nótese que en cada caso, las variables dependientes reflejan el estado o funcionamiento del sistema, ya sea que los parámetros representen sus propiedades o su composición. Un ejemplo de tales modelos se presenta en la ecuación derivada de la segunda ley de Newton, usada en el capítulo 1 para la velocidad del paracaidista:

v=

[

gm 1 − e −(c / m) c

]

[11.3]

Donde la velocidad v es la variable dependiente, el tiempo t es la variable independiente y g la constante gravitacional, el coeficiente de rozamiento c y la masa m son parámetros. Si se conocen los parámetros, la ecuación (II.3) se puede usar para predecir la velocidad del paracaidista como una función del tiempo. Estos cálculos se pueden llevar a cabo directamente ya que v se expresa explícitamente como una función del tiempo. Esto es, está aislada a un lado del signo igual. Sin embargo, supóngase que se tiene que determinar el coeficiente de rozamiento para un paracaidista de una masa dada, para alcanzar una velocidad prescrita en un periodo dado de tiempo. Aunque la ecuación (II.3) proporciona una representación matemática de la interrelación entre las variables del modelo y los parámetros, no se puede resolver explícitamente para el coeficiente de rozamiento. Pruébese. No hay forma de reordenar la ecuación paro

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despejar c de un lado del signo igual. En estos casos, se dice que c es implícita. Esto representa un dilema real, ya que muchos de los problemas de diseños en ingeniería, involucran la especificación de las propiedades o la composición de un sistema (representado por sus parámetros) para asegurar que funciona de la manera deseada (representada por sus variables). Por lo tanto, estos problemas a menudo requieren que se determinen sus parámetros de forma explícita. La solución del dilema las proporcionan los métodos numéricos para raíces de ecuaciones. Para resolver el problema usando métodos numéricos es conveniente cambiar la ecuación (11.3). Esto se hace restando lo variable dependiente v de ambos lados de la ecuación, obteniendo:

f (c ) =

[

]

gm 1 − e −( c / m ) − v c

[II.4]

Por lo tanto, el valor de c que cumple f(c) = 0, es la raíz de la ecuación. Este valor también representa el coeficiente de rozamiento que soluciona el problema de diseño. La parte II de este libro analiza una gran variedad de métodos numéricos y gráficos para determinar raíces de relaciones tales como la ecuación (II.4). Estas técnicas se pueden aplicar a los problemas de diseño en ingeniería basados en ¡os principios fundamentales delineados en el cuadro II.1 así como tantos otros problemas que se afrontan frecuentemente en la práctica de la ingeniería.

11.2 FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS En la mayor parte de las áreas mencionadas en este libro, en general existen algunos prerrequisitos de fundamentos matemáticos necesarios para conocer a fondo el tema. Por ejemplo, los conceptos de estimaciones de errores y la expansión en serie de Taylor, analizadas en el capítulo 3, tienen importancia directa en el análisis de raíces de ecuaciones. Adicionalmente, antes de este punto se mencionaron los términos de ecuaciones "algebraicos" y "trascendentales". Puede resultar útil definir formalmente estos términos y discutir como se relacionan con esta parte del libro. Por definición, una función dada por y = f (x) es algebraica si se puede expresar de la siguiente manera:

f n y n + f n −1 y n −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + f 1 y + f 0 = 0

[II.5]

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Donde las f son polinomios en x. Los polinomios son un caso simple de funciones algebraicas que se representan generalmente como:

f ( x ) = a 0 + a1 x + ⋅ ⋅ ⋅ + a n x n

[II.6]

Donde las a son constantes. Algunos ejemplos específicos son: f(x) = 1 - 2.37x+ 7.5x2

[II.7]

f(x) = 5x2 - x3 + 7x6

[II.8]

y

Una función trascendental es una que no es algebraica. Incluye funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas y otras menos familiares. Algunos ejemplos son: f(x) = e-x-x f(x) = sen x f(x) = In x2 -1

[II.9] [II.10] [II.11]

Las raíces de las ecuaciones pueden ser reales o complejas. Un ejemplo simple de raíces complejas es el caso para el cual el término b2-4ac de la ecuación (II.1) es negativo. Por ejemplo, dado el polinomio de segundo orden: f(x) = 4x2- 16x + 17 La ecuación (II.1) se puede usar para determinar que las raíces son:

x=

16 ± (−16) 2 − 4(4)17 2( 4)

=

16 ± − 16 8

Por lo tanto, una raíz es:

1 x = 2+ i 2 Aunque hay algunos casos donde las raíces complejas de las funciones no polinomiales son de interés, ésta situación es menos común que para polinomios. Por lo tanto, los métodos estándar para encontrar raíces, en general caen en dos áreas de problemas

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parecidas en principio, pero fundamentalmente diferentes: 1. La determinación de raíces reales de ecuaciones algebraicas y trascendentales. Estas técnicas se diseñaron para determinar el valor de una raíz simple de acuerdo a un conocimiento previo de su posición aproximada. 2. La determinación de todas las raíces reales y complejas de un polinomio. Estos métodos se diseñaron específicamente paro polinomios. Determinan sistemáticamente todas las raíces del polinomio en lugar de simplemente una, dada una posición aproximada. Este libro está enfocado al área del primer caso. Los métodos diseñados expresamente para polinomios no se analizan ya que van más allá del alcance de este libro. Sin embargo, en el epílogo al final de la parte II se recomiendan algunas referencias para estas técnicas.

II.3 ORIENTACIÓN Antes de proceder con los métodos numéricos para determinar raíces de ecuaciones, será útil dar algunas orientaciones. El siguiente material es una introducción a los temas de la parte II. Además, se han incluido algunos objetivos que orientarán al lector en sus esfuerzos al estudiar el material. II.3.1 Campo de acción y avance La figura II.1 es una representación esquemática de la organización de la parte II. Examine esta figura cuidadosamente, iniciando en la parte de arriba y avanzando en el sentido de las manecillas del reloj. Después de esta introducción, el capítulo 4 desarrolla los métodos que usan intervalos para encontrar raíces. Estos métodos empiezan con suposiciones que encierran o que contienen a la raíz y reducen sistemáticamente el ancho del intervalo. Se cubren dos métodos: el de bisección y el de la regla falsa. Los métodos gráficos proporcionan conocimiento visual de las técnicas. Se desarrollan formulaciones especiales paro ayudar a determinar cuanto esfuerzo computacional se requiere para estimar la raíz hasta un nivel de precisión previamente especificado. En el capítulo 5 se cubren los métodos abiertos. Estos métodos también involucran iteraciones sistemáticas de prueba y error pero no requieren que la suposición inicial encierre a la raíz. Se descubrirá que estos métodos, en general son más eficientes computacionalmente que los métodos que usan intervalos, pero no siempre trabajan. Se

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analizan los métodos de la iteración de punto fijo, el método de Newton-Raphson y el método de la secante. Los métodos gráficos proporcionan conocimiento en los casos donde los métodos abiertos no funcionan- Se desarrollan las fórmulas que proporcionan una idea de qué tan rápido un método abierto converge a la raíz.

Figura II.1 esquema de la organización del material del parte II: Raíces de las ecuaciones

El capítulo 6 extiende los conceptos anteriores a los conceptos actuales de la ingeniería. Los casos de estudio se emplean para ilustrar las ventajas y las desventajas de cada uno de los métodos y para proporcionar conocimiento sobre las aplicaciones de las técnicas en la práctica profesional. Los casos del capítulo ó también resaltan los elementos de Juicio (estudiados en la parte I) asociados con cada uno de los métodos. Se incluye un epílogo al final de la parte II. Éste contiene una comparación detallada de los métodos discutidos en los capítulos 4 y 5. Esta comparación incluye una descripción de los elementos de juicio relacionados con el uso correcto de cada técnica. En esta

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sección se proporciona también un resumen de las fórmulas importantes, con referencias a algunos métodos numéricos que van más allá del alcance de este texto. Ciertas capacidades automáticas de cálculo se integran de diferentes maneras en la parte II. En primer lugar, programasen NUMERICOMP legibles para el usuario del método de bisección disponible para la Apple II y la IBM PC. Pero también se dan los códigos en FORTRAN Y BASIC para el método de bisección directamente en el texto. Con esto se tiene la oportunidad de copiar y aumentar el código para implementarlo en su propia computadora personal o supercomputadora. Se incluyen los algoritmos y diagramas de flujo para la mayor parte de los otros métodos expuestos en el texto. Este material puede servir de base para el desarrollo de un paquete de programación y aplicarlo a una serie de problemas de ingeniería. 11.3.2 Metas y objetivos Objetivos de estudio. Después de terminar la parte II, se debe tener la suficiente información para aprovechar satisfactoriamente una amplia variedad de problemas de ingeniería que se relacionan con las raíces de ecuaciones. En términos generales se dominarán las técnicas, se habrá aprendido a valorar su confiabilidad y se tendrá la capacidad de escoger el mejor método (o métodos) para cualquier problema en particular. Además de estas metas globales, se deben asimilar los conceptos específicos del cuadro II.2 para comprender mejor el material de la parte II. Objetivos de computación. El libro proporciona algunos programas simples, algoritmos y diagramas de flujo para implementar las técnicas analizadas en la parte II. Como herramientas de aprendizaje todos ellos tienen gran utilidad. Los programas opcionales son legibles para el usuario. Incluye método de la bisección para determinar las raíces reales de las ecuaciones algebraicas y trascendentales. Las gráficas asociadas con NUMERICOMP le facilitarán al lector visualizar el comportamiento de la función en análisis. Los programas se pueden usar para determinar convenientemente las raíces de las ecuaciones a cualquier grado de precisión. Es fácil de aplicar NUMERICOMP para resolver muchos problemas prácticos y se puede usar para verificar los resultados de cualquier programa que el usuario desarrolle por sí mismo. También se proporcionan directamente en e) texto los programas en FORTRAN y BASIC para los métodos de bisección y para la iteración simple de punto rijo. Además, se proporcionan algoritmos y diagramas de flujo generales para la mayor parte de los otros métodos de la parte 11. Esta información permitirá aumentar la biblioteca de programas del usuario que sean más eficientes que el método de la bisección. Por ejemplo, puede desearse tener sus propios programas para los métodos de lo regla falsa, Newton-

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Raphson y de la secante, que en general son más eficientes que el método de bisección. CUADRO 11.2 Objetivos de estudio específicos de la parte II 1. Entender la interpretación gráfica de una raíz 2. Conocer la interpretación gráfica del método de la reglo falsa y por qué, en general, es superior al método de bisecciones. 3. Entender las diferencias entre los métodos que usan intervalos y los métodos abiertos para la localización de las raíces. 4. Entender los conceptos de convergencia y de divergencia. Usar el método de las dos curvas para proporcionar una manifestación visual de los conceptos. 5. Conocer por qué los métodos que usan intervalos siempre convergen, mientras que los métodos abiertos algunas veces pueden divergir. 6. Entender que la convergencia en los métodos abiertos es más probable si el valor inicial está cercano a lo raíz. 7. Entender el concepto de convergencia lineal y cuadrática y sus implicaciones en la eficiencia de los métodos de iteraciones de punto fijo y de NewtonRaphson. 8. Saber las diferencias fundamentales entre los métodos de la regla falsa y la secante y cómo se relaciona su convergencia. 9. Entender los problemas que contienen las raíces múltiples y las modificaciones que se les pueden hacer para resolverlos a medias.

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CAPÍTULO CUATRO

MÉTODOS QUE USAN INTERVALOS

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En este capítulo sobre raíces de ecuaciones se analizan los métodos que aprovechan el hecho de que una función, típicamente, cambia de signo en la vecindad de una raíz, A estas técnicas se les llama métodos que usan intervalos porque se necesita de dos valores iniciales para la raíz. Como su nombre lo indica, estos valores deben "encerrar" o estar uno de cada lado de la raíz. Los métodos particulares descritos sobre este punto emplean diferentes estrategias para reducir sistemáticamente el tamaño del intervalo y así, converger a la respuesta correcta. Como preámbulo de estas técnicas, se discutirán los métodos gráficos para graficar funciones y sus raíces. Además de la utilidad de los métodos gráficos para determinar valores iniciales, también son útiles para visualizar las propiedades de las funciones y el comportamiento de los métodos numéricos,

4.1 MÉTODOS GRÁFICOS Un método simple para obtener una aproximación a la raíz de la ecuación f(x) =0 consiste en granear la función y observar en donde cruza el eje x. Este punto, que representa el valor de x para el cual / (x) = 0. Proporciona una aproximación inicial de la raíz. EJEMPLO 4.1 Métodos gráficos Enunciado del problema: empléense gráficas para obtener una raíz aproximada de la función f(x) = e-x - x Solución: se calculan los siguientes valores: x 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

f(x) 1.000 0.619 0.270 -0.051 -0.351 -0.632

Estos puntos se muestran en la gráfica de la figura 4.1. La curva resultante cruza al eje x entre 0.5 y 0.6. Un vistazo a la gráfica proporciona una aproximada estimación de la raíz de 0.57, que se acerca a la raíz exacta de 0.567 143 28…, que se debe determinar con métodos numéricos. La validez de la estimación visual se puede verificar sustituyendo su valor en la ecuación original para obtener:

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f(0.57) = e-0.57 - 0.57 = -0.004 5 la cual se acerca a cero.

FIGURA 4.1 Método gráfico para la solución de ecuaciones -x algebraicas y trascendentales. Representación de f(x) = e - x contra x. La raíz corresponde al valor de x donde f(x) = O, esto es, el punto donde la función cruza el eje x. Una inspección visual de la gráfica muestra un valor aproximado de 0.57.

Las técnicas gráficas tienen un valor práctico limitado ya que no son precisas. Sin embargo, los métodos gráficos se pueden usar para obtener aproximaciones de la raíz. Estas aproximaciones se pueden emplear como valores iniciales para tos métodos numéricos analizados en este capítulo y en el siguiente- Por ejemplo, los programas de NÜMERICOMP que acompañan este texto le permiten graficar funciones sobre un rango específico, Esta gráfica puede hacerse seleccionando un par d valores iniciales de un intervalo donde está contenida la raíz antes de implementar el método numérico. 1-a posibilidad de graficar aumenta considerablemente la utilidad de los programas. Las interpretaciones geométricas, además de proporcionar aproximaciones iniciales de la raíz, son herramientas importantes en el aislamiento de las propiedades de las funciones previendo las fallas de los métodos numéricos. Por ejemplo, la figura 4.2 muestra algunas formas diferentes en tas que la raíz puede encontrarse en un intervalo definido por un limite inferior x1y y un límite superior Xu. La figura 4.2b bosqueja el caso donde los valores positivo y negativo de f(x1) y f(xu) tienen signos opuestos respecto al eje x, encierran tres

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raíces dentro del intervalo. En general, si f(x1) y f(xu) tienen signos opuestos, existe un número impar de raíces dentro del intervalo definido por los mismos. Como se indica en la figura 4.2a ye, si f(x1) y f(xu) tienen el mismo signo, no hay raíces o hay un número par de ellas entre los valores dados. Aunque estas generalizaciones son usualmente verdaderas, existen casos en que no se cumplen. Por ejemplo, las raíces múltiples, esto es, funciones tangenciales al eje x (Fig. 4.3a) y las funciones discontinuas (Fig. 4.3b) pueden no cumplir estos principios- Un ejemplo de una función que tiene una raíz múltiple es la ecuación cúbica f(x) = (x - 2) (x - 2) (x - 4). Nótese que x = 2 anula dos veces al polinomio, de ahí que a x se le conozca como raíz múltiple. Al final del capítulo 5, se presentan técnicas que están diseñadas expresamente para localizar raíces múltiples. La existencia de casos del tipo mostrado en la figura 4.3 dificulta el desarrollo de algoritmos generales que garanticen la localización de todas las raíces en el intervalo. Sin embargo, cuando se usan los métodos expuestos en las siguientes secciones en conjunción con esquemas gráficos, son de gran utilidad en la solución de problemas de muchas raíces, frecuentemente se presentan en el área de ingeniería y matemáticas aplicadas. EJEMPLO 4.2 Uso de gráficas por computadora para localizar raíces FIGURA 4.2 Ilustración de las formas que puede tener una raíz en un intervalo prescrito por los límites inferior, x1 y superior Xy. Los incisos a) y b) indican que si f(x1) y f(xu) tienen el mismo signo, entonces no habrá raíces dentro del intervalo o habrá un número par de ellas. Los incisos c) y d) indican que si f(x1) y f(xu) tienen signos opuestos en los extremos, entonces habrá un numero impar de raíces dentro del intervalo.

Enunciado del problema: las gráficas por computadora pueden informar y acelerar los esfuerzos para localizar raíces de una función. Este ejemplo se desarrolló usando los programas de NÜMERICOMP disponibles con el texto. Sin embargo, de esta manera es posible entender como la graficación por computadora ayuda a localizar raíces. La función:

f ( x) = sin 10 x + cos 3 x

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Tiene varias raíces sobre el rango de las x = - 5 hasta x = 5. Empléese la opción de graficación del programa para profundizar en el comportamiento de esta función. Solución: Como se ilustro en el ejemplo 2.1 se puede usar NUMERICOMP para graficar funciones. En la figura 4.4a se muestra la grafica de f(x) desde x = - 5 hasta x = 5. La grafica muestra la existencia de varias raíces, incluyendo posiblemente una doble alrededor de x = 4.2 en donde f(x) parece ser tangente al eje x. Se obtiene una descripción más detallada del comportamiento de f(x) cambiando el rango de graficación desde x = 3 hasta x = 5, como se muestra en la figura 4.4b. Finalmente, en la figura 4.4c, se acorta la escala vertical a f(x) = -0.15 y f(x) = 0.15 y la horizontal a x = 4.2 y x = 4.3Esta gráfica muestra claramente que no existe una raíz en esta región y que, en efecto, hay dos raíces diferentes alrededor de x = 4.229 y x = 4.264. Las gráficas por computadora tienen gran utilidad en el estudio de los métodos numéricos. Esta habilidad también puede aplicarse en otras materias así como en las actividades profesionales.

FIGURA 4.3 Ilustración de algunas excepciones de los casos generales mostrados en Fig. 4.2 a) Pueden ocurrir figuras múltiples cuando la funciones tangencial al eje x. En este caso aunque los extremos son signos opuestos, hay un número par de raíces en el intervalo. b) Las funciones discontinuas en donde los extremos tienen los signos opuestos también contienen un número par de raíces. Se requieren estrategias especiales para determinar las raíces en es estos casos,

Fig. 4.4 Escala miento progresivo f(x) = sen 10x + cos 3x mediante la computadora. Estas graficas interactivas le permiten al analista determinar que existen dos raíces entre x=4.2 y x=4.3

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4.2 MÉTODO DE BISECCIÓN Cuando se aplicaron las técnicas gráficas, en el ejemplo 4.1, se observó (Fig. 4.1) que f(x) cambió de signo hacia ambos lados de la raíz. En general, si} (x) es real y continua en el intervalo de x1 y xu y f(x1) y f(xu) tienen signos opuestos, esto es, f(x1)f(xu) < 0

[4.1]

Entonces hay, al menos una raíz real entre x1 y xu. Paso 1: Expóngase los valores iniciales de x1 y xu de forma tal que la función cambies de signo sobre el intervalo. Esto se puede verificar asegurándose de que f(x1) y f(xu) < 0. Paso 2: La primera aproximación a la raíz x, se determina como:

xr =

xi + xu x

Paso 3: Realice las siguientes evaluaciones determínese en que subintervalo cae la raíz: a) f(x1)f(xr) < 0, entonces la raíz se encuentra dentro del primer subintervalo. Por lo tanto resuelve xu = xr y continúese con el paso 4. b) f(x1)f(xr) > 0, entonces la raíz se encuentra dentro del segundo subintervalo. Por lo tanto resuelve x1 = xr y continúese con el paso 4. c) f(x1)f(xr) = 0, entonces la raíz se igual a x1 y se terminan los cálculos. Paso 4: Calcule una nueva aproximación a la raíz mediante:

xr =

xi + xu x

Paso 5: Decídase si la nueva aproximación es tan exacta como se desea. Si es así, entonces los cálculos terminan, de otra manera regrese al paso 3. Fig. 4.5 Algoritmo de Bisección

Los métodos de búsqueda incrementa! se aprovechan de esta característica para localizar un intervalo donde !a función cambie de signo. Por lo tanto, la localización del cambio de signo (y por ende, de la raíz), se logra más exactamente dividiendo e! intervalo en una cantidad definida de subintervalos. Se rastrea cada uno de estos subintervalos para encontrar el cambio de signo. El proceso se repite y la aproximación a !a raíz mejora cada vez más a medida que los subintervalos se dividen en intervalos más y más pequeños. Se estudia más sobre el tema de búsquedas increméntales en la sección 4.4. El método de bisección, conocido también como de corte binario, de partición en dos intervalos iguales o método de Bolzano, es un método de búsqueda incrementa! donde el intervalo se divide siempre en dos, Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se determina

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situándola en el punto medio del subintervalo dentro del cual ocurre un cambio de signo. El proceso se repite hasta obtener una mejor aproximación. La figura 4.5 muestra un algoritmo para la bisección y en la figura 4.6 se muestra un bosquejo gráfico del método. FIGURA 4.6 Gráfica del método de bisección. Esta gráfica incluye las primeras tres iteraciones del ejemplo 4.3.

EJEMPLO 4.3 Bisección Enunciado del problema; úsese el método de la bisección para determinar la raíz de f(x)=e-x - x. Solución: Recuérdese de acuerdo a la gráfica de la función (Fig. 4.1) que la raíz se encuentra entre O y 1. Por lo tanto, el intervalo inicial se puede escoger desde x1 = 0 hasta x1 = 1. Por consiguiente, la estimación inicial de la raíz se sitúa en el punto medio de este intervalo:

xr =

0 +1 = 0 .5 2

Esta estimación representa un error de (el valor exacto es 0.567 143 29. . .) Ev = 0.567 143 29 - 0.5 = 0.067 143 29 o, en términos relativos:

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εν =

0.06714329 100% = 11.8% 0.56714329

Donde el subíndice v indica que el error es con respecto a! verdadero. Ahora se calcula: f(0)f(0.5) = (1)(0.10653) = 0.10653 Que es mayor de cero, y por consiguiente no hay cambio de signo entre x1 y xr. Y por lo tanto, la raíz se encuentra dentro del intervalo y = 0.5 y x = 1. E! límite inferior se redefine como x1 = 0,5, y la aproximación a la raíz en la segunda iteración se calcula como;

xr =

0 .5 + 1 = 0.75 2

ε ν = 32.2%

El proceso se puede repetir para obtener aproximaciones más exactas. Por ejemplo, la tercera iteración es: f(0.5)f(0.75) = -0.030 1, entonces los errores crecen. Nótese también que si la derivada es positiva, los errores serán positivos, y por lo tanto, la solución iterativa será monótona (Figs. 5.3 a y c). Si la derivada es negativa, entonces los errores oscilarán (Figs. 5.3b y d),

Un corolario de este análisis demuestra que cuando el método converge, el error es casi proporcional a y menor que el error del paso anterior. Por esta razón, la iteración de punto fijo se dice que es linealmente convergente.

5.1.1 Convergencia Nótese que el error relativo exacto en cada iteración del ejemplo 5,1 es casi proporcional (por un factor de 0.5 a 0.6) al error de la iteración anterior. Esta propiedad, conocida como convergencia lineal, es característica de la iteración de punto fijo. En el recuadro 5.1 se presenta una base teórica para esta observación. Dos métodos gráficos alternativos para determinar la raíz de f(x) = e-x-x. a) Raíz en el punto donde ésta cruza al eje x; b} raíz en la intersección de los funciones componentes.

Además de la "velocidad" de convergencia, se debe hacer hincapié en este momento sobre la "posibilidad" de convergencia. Los conceptos de convergencia y de divergencia se pueden ilustrar gráficamente. Recuérdese que en la sección 4.1 se gráfico una función para visualizar su estructura y su comportamiento (Ej. 4.1). Esta función se vuelve a graficar en la figura 5.2o- Un planteamiento gráfico diferente es el de separar la ecuación f(x) = 0 en dos partes, como

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en: f1(x) = f2(x) Entonces las dos ecuaciones: y=f1(x)

[5.3]

y=f2(x)

[5.4]

y

Se pueden graficar por separado (Fig. 5.2b). Los valores de x correspondientes a las intersecciones de estas funciones representan las raíces de f(x) = 0. EJEMPLO 5.2 El método gráfico de dos curvas Enunciado del problema: sepárese la ecuación e-x-x = 0 en dos partes y determínese su raíz gráficamente. Solución: reformúlese la ecuación como y1=x y y2=e-x. Calcúlense los siguientes valores: x 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

y1 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

y2 1.000 0.819 0.670 0.549 0.449 0.368

Estos puntos se grafican en la figura 5.2b. La intersección de las dos curvas indica una aproximación de x == 0.57, que corresponde al punto donde la curva original en la figura 5.2a cruza al eje x. El método de las dos curvas se puede usar ahora para ilustrar la convergencia y divergencia de la iteración de punto fijo. En primer lugar, la ecuación (5.1) se puede expresar como un par de ecuaciones: y1 = x y y2= g(x). Estas dos ecuaciones se pueden graficar por separado. Tal fue e! caso de las ecuaciones (5.3) y (5.4), las raíces de f(x) = O son iguales al valor de la abscisa en la intersección de las dos curvas. En la figura 5.3 se grafican la función y1= x y cuatro

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esquemas diferentes de la función y2= g(x).

FIGURA 5.3 Esquema gráfico de la convergencia a) y b) y la divergencia c) y d) de la iteración de punto fino- A las gráficos a) y c) se les conoce como patrones monótonos, mientras que a b) y d) se les conoce como patrones oscilatorios o en espiral. Nótese que la convergencia se obtiene cuando |g'(x) | < 1.

En el primer caso (Fig. 5.3a), el valor inicial xo se usa para determinar el punto correspondiente a la curva y2 [X0, g(x0)]. El punto [xl , xl] se encuentra moviendo la curva y1 a la izquierda y horizontalmente. Estos movimientos son equivalentes a la primera iteración del método de punto fijo: x1=g(x0)

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De esta manera, en la ecuación y en la gráfica se usa un valor inicial XQ para obtener la aproximación xl. La siguiente iteración consiste en moverse al punto [x1, g(x1)] y después a [x2, x2}. Esta iteración es equivalente a la ecuación: x1=g(x1) La solución en la figura 5.3a es convergente ya que la aproximación de x se acerca más a la raíz con cada iteración. Lo mismo se cumple para la figura 5.3b. Sin embargo, éste no es el caso para las figuras 5.3c y d, en donde las iteraciones divergen de la raíz. Nótese que la convergencia ocurre únicamente cuando el valor de la pendiente de y2 = g(x) es menor al valor de la pendiente de y1 = x, esto es, cuando |g' (x)| < 1. En el recuadro 5.1 se presenta una derivación teórica de este resultado. 5.1.2 Programa para la iteración de punto fijo El algoritmo para la computadora de la iteración de punto fijo es extremadamente simple. Consiste en un ciclo que calcula iterativamente nuevas aproximaciones junto con una declaración lógica que determina cuando se ha cumplido el criterio de paro.

FIGURA 5.4 Programa para la iteración de punto fijo. Nótese que el algoritmo general es similar al de los métodos abiertos.

En la figura 5.4 se presentan tos programas en FORTRAN Y BASIC para el algoritmo. Se pueden programar de manera similar otros métodos abiertos, simplemente cambiando la fórmula iterativa (declaración 130).

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5.2 MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON Tal vez, dentro de las fórmulas para localizar raíces, la fórmula de Newton-Raphson (Fig. 5.5), sea la más ampliamente usada. Si el valor inicial de la raíces xi, entonces se puede extender una tangente desde el punto [xi, f(xi)]. El punto donde esta tangente cruza al eje x representa una aproximación mejorada a la raíz. El método de Newton-Raphson se puede derivar geométricamente (una forma de hacerlo es mediante el uso de la serie de Taylor, descrita en el recuadro 5.2). Como en la figura 5.5, la primera derivada en x es equivalente a la pendiente.

f ' ( xi ) =

f ( xi ) f ' ( xi )

[5.5]

Que se puede reordenar para obtener:

f ' ( x i +1 ) = x i +

f ( xi ) f ' ( xi )

[5.6]

A la que se conoce como fórmula de Newton-Raphson. FIGURA 5.5 Esquema gráfico del método de Newton-Raphson. Se extrapola una tangente o lo función en el punto xi [esto es, f’(x,)] hasta el eje x para obtener una estimación de la raíz en xi+1

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EJEMPLO 5.3 Método de Newton-Raphson Enunciado del problema: úsese el método de Newton-Raphson para calcular la raíz de e-x-x empleando el valor inicial de x0 = 0. Solución: la primera derivada de la función se puede evaluar como: f(x)= -e-x- 1 Que se puede sustituir, junto con la función original en la ecuación (5.6) para dar:

x i +1 = x i −

e − xi − x i − e − xi − 1

Empezando con el valor inicial xo = 0, se puede aplicar la ecuación iterativa para calcular: Iteración i 0 1 2 3 4

x 0 0.500000000 0.566311003 0.567143165 0.567143290

|εv|% 100 11.8 0.147 0.0000220 c2/(4m2). La ecuación (6.14)

proporciona la velocidad vertical del auto en función del tiempo- Los valores de los parámetros son c = 1.4 por 107 g/s, m = 1.2 por 106 g y k = 1.25 por 109 g/s2. Si x0 = 0,3, las consideraciones de diseño en la ingeniería mecánica requieren que se den los estimados en las tres primeras ocasiones que el auto pase a través del punto de equilibrio. Solución: este problema de diseño se puede resolver usando los métodos numéricos de los capítulos 4 y 5. Se prefieren los métodos que usan intervalos y el de la secante ya que la derivada de la ecuación (6.14) es complicada. Las aproximaciones a los valores iniciales se obtienen fácilmente con base a la figura 6.10. Este caso de estudio ilustra cómo los métodos gráficos proporcionan a menudo información muy importante para aplicar satisfactoriamente los métodos numéricos. La gráfica ilustra que este problema es complicado debido a la existencia de varias raíces,

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por lo que en este caso, se deben usar intervalos pequeños para evitar traslapes de raíces.

FIGLTRA 6.10 Gráfica de la posición de un amortiguador respecto al tiempo después que la rueda del auto cae en un hoyo del camino.

En el cuadro 6.3 se enlistan los resultados obtenidos por los métodos de bisección, la regla falsa y la secante, con un criterio de paro del 0.1%. Todos los métodos convergen rápidamente. Como era de esperarse, los métodos de la regla falsa y de la secante son más eficientes que el de bisección. Nótese que para todos los métodos los errores relativos porcentuales aproximados son mayores que los errores reales. De esta forma, los resultados son exactos al menos hasta el criterio de paro, el 0.1 %. Sin embargo, puede observarse también que el método de la regla falsa y el de la secante son muy conservadores en esta relación. Recuérdese el análisis de la sección 4.3 en que el criterio de paro constituye esencialmente una aproximación a la diferencia con la iteración anterior. De esta forma, para esquemas de convergencia rápida como los métodos de la regla falsa y de la secante, la mejora en exactitud entre dos iteraciones sucesivas es tan grande que fu será, en general, mucho menor que εv. El significado práctico de este comportamiento es de poca importancia cuando se va a determinar sólo una raíz. Sin embargo, si se requiere calcular varias raíces, la convergencia rápida viene a ser una propiedad muy valiosa como para tomarla en cuenta cuando se escoge un método en particular.

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CUADRO 6.3 Resultados obtenidos al usar los métodos de bisección, regla falsa y de la secante para localizar las primeras tres raíces de las vibraciones de un amortiguador. Se usó un criterio de paro del 0.1 para obtener estos resultados. Nótese que los valores exactos de las rafees son 0.055 209 532 9, 0.154 178 13 y 0.253 146 726

ERROR RELATIVO Valor inicial

Valor inicial

inferior

superior

Método

Aproximación Número de a la raíz

Iteraciones

PORCENTUAL PORCENTUAL Aproximado Verdadero

Bisección 0.0

0.1

0.0552246

n

0.088

0.027

0.1 0.2 0.0 0.1 0.2 0.0 0.1 0.2

0.2 0.3 0.1 0.2 0.3 0.1 0.2 0.3

0.1541992 0.2533203 0.0552095 0.1541790 0.2531475 0.0552095 0.1541780 0.2531465

10 9 5 4 4 5 5 5

0.063 0.077 0.002 0.069 0.043 0-038 0.020 0.017

0.014 0.069 0.0001 0.0006 0.0003 0.0001 0,0001 0.0001

Regla farsa Secante

PROBLEMAS Ingeniería en general 6.1 Usando Los programas propios, reprodúzcanse los cálculos realizados en el caso 6.1 6.2 Realícense los mismos cálculos del caso de estudio 6.1, pero usando una tasa de interés del 17% (i = 0,17). Si es posible, úsense los programas propios para determinar los puntos de equilibrio. De otra manera, úsese cualquiera de los métodos analizados en los capítulos 4 y 5 y realícense los cálculos. Justifíquese el uso del método escogido. 6.3 En el caso 6.1, determínese el número de años que se debe poseer la Micro dos para que genere ganancias. Esto es, calcúlese el valor de n en el cual A,, de la ecuación (6.4) sea positivo.