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• Wilson Sarmiento

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Fundación Universitaria Tecnológico Comfenalco Programas Petroquímicos – Plásticos Tecnología en Operación de Plantas Modelamiento Avanzado

METODO DE EULER Y EULER MEJORADO 1. MÉTODO DE EULER Este método consiste en dividir el intervalo [x 0,xf] en “n” subintervalos de ancho h esto es: h

X f  X0 n

Lo que permite determinar un conjunto de n+1puntos discretos, i.e.: X0, X1, X2,..., Xn-1, Xn x1

x2

x3

...

xi

xi+1 ...

xn-1

xn xf

x0

Observando que: Para cualquier punto se tiene. x1  x0  h  x1  x0  h x 2  x1  h  x2  x1  h  x 2  x0  2h x3  x 2  h  x3  x 2  h  x3  x0  3h

En general xi  x0  ih , i  0,1,2,3,..., n

Paso muy similar al paso de integración numérica. CONDICIÓN INICIAL 1.

y ( x 0 )  y 0 representa el punto P0  ( x 0 , y 0 ) , por donde pasa la

curva solución de la ecuación PVI. lo que será denotado por F(x) = y, en lugar de F(x,y,c1) = 0.

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2.

Consecuentemente: teniendo el punto P0 podemos evaluar la

primera derivada de F(x) en ese punto P0. Esto es: F ' ( x) 

3.

dy dx

 f ( x0 , y0 ) P0

…………........................................................(6)

Teniendo esta información (6) trazamos una recta la que pasa por P 0

y de pendiente f ( x 0 , y 0 ) :

y  y0  f ( x0 , y 0 ) : .......L3 que aproxima F(x) en una x  x0

vecindad de X0.

4.

Tomamos la recta L3 en lugar de F(x) y localizamos en esta recta el

valor de y1 que corresponde a x1. Esto es: x1  y 0  f ( x0 , y 0 ) x1  x0 ....................................................................................(7) x1  y 0  f ( x0 , y 0 )  y1  y 0  f ( x0 , y 0 )h x1  x 0 ...............................................(8)

y1  y 0  hf ( x0 , y 0 ) y 2  y1  hf ( x1 , y1 ) . . y i 1  y i  hf ( xi , y i ) . . y n  y n 1  hf ( x n1 , y n 1 ) La ordenada y1  F ( x1 ) pues existe un error

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Gráfica F(xf) f(x1) y1

error

y0

P0(x0,y0) x1

x0

x0 x 1

x3

f(x0,y0)

x4

xi

xi

xi+1

xn

(1) En esencia se trata de aproximar la curva y = F(x) por medio de una serie de segmentos de líneas rectas. (2) El método comete un error de truncamiento que es propio del método. (3) El error de (2) se puede anular tanto como se quiera, reduciendo la longitud de “h”

teóricamente.

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(4) Debido a (3) se comete un error de redondeo más alto. Ejemplos.1 Resolver el PVI usando el método de Euler.

 dy  dx  x  y   y ( 0)  2  y (1)  ?  

f ( x, y )  x  y y ( x0 )  y 0



y( x f )  ?

Solución 1) El intervalo de interés [x0,xf] = [0,1] 2) Determinando h

h:

dividimos

el

intervalo

[0,1]

en

5

subintervalos

1 0  0.2 5

3) Determinar los argumentos: xi  x0  ih x0  0 x1  x0  1h  x1  0  1(0.2)  0.2 x 2  x 0  2h  x 2  0  2(0.2)  0.4 x3  x 0  3h  x3  0  3(0.2)  0.6 x 4  x 0  4h  x 4  0  4(0.2)  0.8 x5  x 0  5h  x5  0  5(0.2)  1

4) Determinando los valores de yi y i 1  y1  hf ( x i , y i ) y1  y 0  hf ( x 0 , y 0 )  y1  2  0.2 f (0.2)  2  0.2(0  2)  1.6 y 2  y1  hf ( x1 , y1 )  y 2  1.6  0.2 f (0.2,1.6)  1.6  0.2(0.2  1.6)  1.32 y 3  y 2  hf ( x 2 , y 2 )  y 3  1.32  0.2 f (0.4,1.32)  1.32  0.2(0.4  1.32)  1.136 y 4  y 3  hf ( x3 , y 3 )  y 4  1.136  0.2(0.6  1.136)  1.0288 y 5  y 4  hf ( x 4 , y 4 )  y 5  1.0288  0.2(0.8  1.0288)  0.98304

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Comparando con la solución analítica La solución analítica es: 1.10364 El error absoluto

E A  y 5*  y 5  0.98304  1.10364  0.12060

El error relativo

ER 

EA y5

ER 

0.12060  0.1092 1.10364

El error porcentual

E %  10.92%

Solución Analítica En general la forma de una Ecuación diferencial lineal de orden “A” es: a n ( x)

dny d n 1 y dy  a ( x )  ....  a1 ( x )  a0 ( x) y  0 n 1 n n 1 ………...........................(1) dx dx dx

La solución de (1) son soluciones exponenciales, o se construyen a partir de funciones exponenciales. En donde su solución general es: y ( x)  y1 ( x)  y p ( x)

Solución particular

i.e.: y p ( x)  a x  b , hallar y ' p  a en nuestro caso: 1) y '  x  y  y ' y  x , 2) y ' p  a

y p  ax  b

luego

entonces a  ax  b  x , i.e. ,

Entonces a  1  yp  x 1



b  1

ax  (a  b)  x

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3) Determinando y1 (x) y ' y  0

Dy  y  0  y ( D  1)  0  D  1

i.e.

Luego y1 ( x)  C1e 1x

4) La solución General y ( x)  C1e  x  x  1

Aplicando C.I. X0 = 0

y (0)  C1e 0  0  1  2 

C1  1  C1  3 e0

 y ( x)  3e  x  x  1

El valor de x = 1 y (1)  3e 1  1  1  y (1)  3e 1  1.10364

Ejemplo 2. Dada la siguiente ecuación diferencial con la condición inicial:

Aproximar

.

NOTA Primero observamos que esta ecuación sí puede resolverse por métodos tradicionales de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, podemos aplicar el método de separación de variables. Veamos las dos soluciones. Solución Analítica.

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Sustituyendo la condición inicial:

Por lo tanto, tenemos que la curva solución real está dada:

Y por lo tanto, el valor real que se pide es:

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Solución Numérica Aplicamos el método de Euler y para ello, observamos que la distancia entre y

no es lo suficientemente pequeña. Si dividimos esta distancia

entre cinco obtenemos un valor de

y por lo tanto, obtendremos la

aproximación deseada en cinco pasos. De esta forma, tenemos los siguientes datos:

Sustituyendo estos datos en la formula de Euler, tenemos, en un primer paso:

Aplicando nuevamente la formula de Euler, tenemos, en un segundo paso:

Y así sucesivamente hasta obtener

. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

n 0 1 2 3 4 5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

1 1 1.02 1.0608 1.12445 1.2144

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Concluimos que el valor aproximado, usando el método de Euler es:

Puesto que en este caso, conocemos el valor verdadero, podemos usarlo para calcular el error relativo porcentual que se cometió al aplicar la formula de Euler. Tenemos que:

Ejemplo 3 Aplicar el método de Euler para aproximar

, dada la ecuación diferencial.

Solución Nuevamente vemos que nos conviene dividir en pasos la aproximación. Así, elegimos nuevamente

para obtener el resultado final en tres pasos. Por lo

tanto, aplicamos el método de Euler con los siguientes datos:

En un primer paso, tenemos que:

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Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

n 0 1 2 3

1 1.1 1.2 1.3

2 2.3 2.6855 3.1901

De lo cual, concluimos que la aproximación buscada es:

2. Método de Euler Modificado En el método de Euler se tomó como válida para todo el intervalo la derivada encontrada en un extremo.

F(x0,y0)obtener una exactitud razonable se toma h muy pequeña, a cambio Si queremos Y0

Y = F(x) de un mayor error de redondeo

El método presente trata de evitar tal problema utilizando un valor promedio de la derivada tomada en los extremos del intervalo. Constado de 2 pasos: X0 hde X(x 1° Se inicia usar el método de Euler para determinar “y” 1 0,y0),

correspondiente a x1, valor que será denotado por y1 , puesto que se trata de un valor transitorio de y1. Este paso se le llama paso predictor. 2° Este paso se llama corrector, pues trata de corregir la predicción en el nuevo punto ( x1 , y1 ) se evalúa la derivada f ( x1 , y1 ) usando la ecuación diferencial

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ordinaria P.V.I. que se está resolviendo, se obtiene la media aritmética de esta derivada y la derivada en el punto inicial (x 0,y0) Derivada Promedio =

1  f ( x0 , y 0 )  f ( x1 , y1 ) 2

Usamos la derivada promedio para calcular el nuevo valor y 1 con la ecuación de Euler, que será mas exacto que y1 y1  y 0 

x1  x0  f ( x0 , y0  f ( x1 , y1 ) 2

Que será el valor definitivo de y1.

El proceso se repite hasta llegar a yn. Primero: Paso de Predicción y i 1  y i  hf ( xi , y i )

Segundo: Una vez obtenida y i 1 se calcula f ( xi 1 , y i 1 ) , la derivada en el punto ( x i 1 , y i 1 ) y se promedia con la derivada previa

f ( xi , xi ) para encontrar la

derivada promedio Derivada Promedio:

1  f  xi , yi   f  xi 1 , y i 1   2

Tercero: se sustituye f ( xi , xi ) con este valor promedio en la ecuación de Euler obtenemos: y i 1  y i 





h f  xi , y i   f xi 1 , y i 1 2



Resolver los ejemplos anteriores usando el Método de Euler modificado Ejemplo 1, Resolver

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 dy  dx  x  y   y ( 0)  2  y (1)  ?   Solución Considerando las mismas condiciones del ejercicio tenemos: h=0.2; y0=2; f(x0,y0)=f(0,2)=0-2=-2 Primera iteración 1°

y 1  y 0  hf ( x 0 , y 0 )  2  0.2(0  2)  1.6

2°

1 1 f ( x0 , y 0 )  f ( x1 , y1 )   (0  2)  (0.2  1.6)  1.7 derivada promedio 2 2





Luego y1  y 0  0.2( 1.7)  2  0.2( 1.7)  1.66

Segunda integración 1°

y 2  y1  hf ( x1 , y1 )  1.66  0.2(0.2  1.66)  1.368

2°

1  f ( x1 , y1 )  f ( x 2 , y 2 )  1  (0.2  1.66)  (0.4  1.368)  1.214 2 2 y ( x 2 )  y 2  1.66  0.2(1.214)  1.4172

Tercera integración 1°

y 3  y 2  hf ( x 2 , y 2 )  1.4172  0.2(0.4  1.4172)  1.21376

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2°

1  f ( x2 , y 2 )  f ( x3 , y3 )  1  (0.4  1.4172)  (0.6  1.21376)  2 2

Ejemplo 2 Aplicar el método de Euler mejorado, para aproximar

si:

Solución Vemos que este es el mismo ejemplo 1 del método anterior. Así que definimos y encontraremos la aproximación después de cinco iteraciones. A diferencia del método de Euler 1, en cada iteración requerimos de dos cálculos en vez de uno solo: el de

primero y posteriormente el de

.

Para aclarar el método veamos con detalle las primeras dos iteraciones. Primero que nada, aclaramos que tenemos los siguientes datos iniciales:

En nuestra primera iteración tenemos:

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Nótese que el valor de

coincide con el

a coincidir, pues para calcular

se usará

(Euler 1), y es el único valor que va y no

.

Esto lo veremos claramente en la siguiente iteración:

Nótese que ya no coinciden los valores de

(Euler 1) y el de

. El proceso

debe seguirse hasta la quinta iteración. Resumimos los resultad os en la siguiente tabla:

n 0 1 2 3 4 5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

1 1.01 1.040704 1.093988 1.173192 1.28336

Concluimos entonces que la aproximación obtenida con el método de Euler mejorado es:

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Con fines de comparación, calculamos el error relativo verdadero:

Vemos que efectivamente se ha obtenido una mejor aproximación con este método, reduciendo el error relativo verdadero de un 5.4% hasta un 0.05%. En nuestro tercer método veremos cómo se reduce aún más este error prácticamente a un 0%! Veamos un segundo ejemplo. Ejemplo 2 Aplicar el método de Euler mejorado para aproximar

Solución Tenemos los siguientes datos:

En una primera iteración, tenemos lo siguiente:

y(1.3) si tenemos :

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Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

n 0 1 2 3

1 1.1 1.2 1.3

2 2.385 2.742925 3.07635

Concluimos entonces que la aproximación buscada es: Ejercicios. Aplique la fórmula de Euler para hallar una aproximación al valor indicado con cuatro decimales de precisión. Primero use h = 0.1 y después h = 0.05. 1. Y’=2X-3Y+1; Y(1)=5 ; Y(1.5)