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Universidad Autonoma del estado de M´exico Control de robot Tarea 3 ´ Angulos de Euler

Victor Manuel Monta˜ no Serrano 6 de marzo de 2017

Los ´ angulos de Euler

Figura 1: Dos marcos de coordenadas. Uno de los m´ etodos m´ as com´ un para especificar una matriz de rotaci´ on en t´ erminos de tres variables son los ´ angulos de Euler. Un marco de coordenadas fijo F como: o0 x0 y0 z0 y un marco de coordenadas rotado R como: o1 x1 y1 z1 tal como se muestra en la Figura 1. Se puede representar la orientaci´ on del marco R con relaci´ on a F mediante tres ´ angulos (φ, θ, ψ), el cual se obtiene mediante tres rotaciones sucesivas de la siguiente manera: Girar alrededor de Z un a´ngulo φ Girar alrededor de el eje Y un ´angulo θ Girar alrededor del eje Z actual un a´ngulo ψ

Figura 2: Rotaciones por angulos de euler. En la Figura 2 el marco oa xa ya za representa el nuevo sistema de coordenadas despu´ es de la rotaci´ on por θ y o1 x1 y1 z1 es el resultado final despu´ es de la rotaci´ on por ψ. En t´ erminos de matrices la transformaci´ on R10 es el resultado generado por el producto de tres rotaciones. R10 = Rz,φ Ry,θ Rz,ψ     Cθ 0 S θ Cψ −Sψ 0 Cφ −Sφ 0       0 1 0   Sψ Cψ 0 = S C 0 φ φ     0 0 1 0 0 1 −Sθ 0 Cθ   Cφ Cθ Cψ − Sφ Sψ −Cφ Cθ Cψ − Sφ Sψ Cφ Sθ    = Sφ Cθ Cψ + Cφ Sψ −Sφ Cθ Sψ + Cφ Cψ Sφ Sθ   −Sθ Cψ Sθ Sψ Cθ A partir de esta matriz () debemos encontrar  r11 r12  R= r21 r22 r31 r32

los ´ angulos.  r13  r23   r33

(1)

(2)

Supongamos que de r13 , r23 no son cero. A continuaci´ on, las ecuaciones anteriores muestran que sθ = 0, y por lo tanto que r31 , r32 no son cero. Si no ambos r13 y r23 son p 2 iguales a cero, entonces r33 = ±1, y cθ = r33 , sθ = ± 1 − r33 de manera que: q 2 θ = Atan(r33 , 1 − r33 ) (3) pero tambien q 2 θ = Atan(r33 , − 1 − r33 )

(4)

La funci´ on de θ = Atan(x, y) calcula la funci´ on de arco tangente, donde x e y son el coseno y seno, respectivamente, del ´ angulo θ. Esta funci´ on utiliza los signos de x e y para seleccionar el cuadrante apropiado para el ´ angulo θ. Si elegimos el valor de θ dada por la ecuaci´ on (5), entonces sθ > 0, entonces: φ = Atan(r13 , r23 )

(5)

ψ = Atan(−r31 , r32 )

(6)

Si elegimos el valor de θ dada por la ecuaci´ on (6), entonces sθ < 0, entonces: φ = Atan(−r13 , −r23 )

(7)

ψ = Atan(r31 , −r32 )

(8)

Hay dos soluciones dependiendo del signo elegido para θ. Si r13 = r23 = 0, entonces el hecho de que R es ortogonal implica que r33 = ±1, y que r31 = r32 = 0. Por lo tanto R tiene la forma:

  r11 r12 0    R= r r 0   21 22 0 0 ±1

(9)

Si r33 = 1, entonces Cθ = 1 y Sθ = 0, de modo que θ = 0. En este caso (4) se convierte en:

      r11 r12 0 Cφ+ψ −Sφ+ψ 0 Cφ Cψ − Sφ Sψ −Cφ Cψ − Sφ Sψ 0       Sφ Cψ + Cφ Sψ −Sφ Sψ + Cφ Cψ 0 =  Sφ+ψ Cφ+ψ 0 = r21 r22 0       0 0 1 0 0 1 0 0 1

(10)

Por lo tanto la suma φ + ψ se puede determinar como: φ + ψ = Atan(r11 , r21 )

(11)

= Atan(r11 , −r12 ) Puesto que s´ olo la suma φ + ψ se puede determinar en este caso un n´ umero infinito de soluciones. Podemos tomar φ = 0, por convenci´ on, y ψ definida por (11). Si r33 = −1, entonces cθ = −1 y sθ = 0, de modo que θ = π. En este caso (3) se convierte:     −Cφ−ψ −Sφ−ψ 0 r11 r12 0      Sφ−ψ  = r21 r22 0  C 0 φ−ψ     0 0 −1 0 0 −1

(12)

La soluci´ on es: φ − ψ = Atan(−r11 , −r12 ) = Atan(−r21 , −r22 ) Al igual que antes, hay un n´ umero infinito de soluciones.

(13)