• Author / Uploaded
• jose luis

Citation preview

Soluciones

Soluciones y"

1.

Escriba la ecuación diferencial ordinaria y' =

-:,

en la forma

v-

P(x, y)dx + Q(x, Y)dY = 0

y halle su solución general. Exprésela en forma de función y en forma de curva integral.

Solución.

Poniendo

,dy 'dx

resulta

d,

_*"

dx= y'

Multiplicamos por y'dx,paradejar la EDO en la forma pedida'

x'dx+y'dy-0, Para resolver esta EDO, devolvemos la variable quierda y la variable x al de la derecha

y al miembro de la

Y'dY=-f¿x Integrando ambos miembros se obtiene .1

!- =-!-+c

33

En consecuencia, la solución general viene dada por

y=tJC} en donde C es una constante arbitraria (tenemos infinitas soluciones). Obsérvese que no es necesario poner 3C en vez de C, porque también 3C representa una constante arbitraria.

4.

soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales

Apartirdelaecuación(1),esfácilponerlasoluciónenformadecurva intLgral, es decir, como una familia de curvas 11

x' +! =C

33

2. l

(x' v)' con v = xy'para resolver el Aplique el cambio de variables (¡, y) + siguiénte problema de valores iniciales (

{'ly, = -I+./x x l.Y(4) =

t

l, Solución. puesto que ]* = t.n"-o

,r' = ff'

sustituyendo en la

ecuación diferencial del enunciado

w'-!__r,r

*rt,t

f

Simplificando resulta

v'=

x3l2

y al integrar

l'-

/, -5t2 LA

-+L Deshacemos ahora el cambio de variable cordando que es indiferente poner C o 5C

,\) =

y

2xt't +C __r_

En consecuencia, la solución general es

-

v-

206

2.[7 +C )-r

agrupamos la constante'

Soluciones

Para que la solución pase por el punto de coordenadas ne que cumPlir

,

¡

= 4' y =

l'se tie-

244'+C

'==l-

LasolucióndeestaecuaciónesC=44y,porlotanto'lasolucióndel problema de valores iniciales es

24x' t:__r_ 44

Compruébesequeestafunciónsatisfacelascondicionesrequeridas.

3.

Las ecuaciones lineales de primer orden son de la forma

y'* ao!),

= g(x)'

SeaFunaprimitivadelafunciónrl9,esdecir,unafuncióncuyaderivada (-r, y) + (x' v)' con v = yeF para ' sa& a¡.Aplíquese el cambio de variables hallar la solución de la EDO lineal de primer orden'

Solución.

Si derivamos la función y(x) = v(x)e-'@ ' resulta

!'=v'e-'Al sustituir

F've-'=v'e-F - agv €

F'

en la EDO queda

(r' n-' -

ao v e

F)

+ ao(ve') = 8.

Simplificando,v'= g eo. Alintegrar se obtiene v --l s@)

e'@)

dx' Final-

mente

\)=¿-Ftt)Ig(x)etG)dx

4.

problema de Aplíquese la fórmula hallada en ejercicio 3 para resolver el valores iniciales cos .t 1+ ¡ cos {l'* l o = IY(zr) =

-x

4.

Soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales

i

(c)

El error que se comete al reemplazar y(-r) con

i,(¡)

es

e(x)=ly(¡)-Í,(.x)l Recordando cómo se suman los términos de una progresión geométrica, podemos escribir la solución exacta de la siguiente manera

Y(x) =

t..trt

-;:1+x+"'+"r'

+

t-

x

En consecuencia, Para 0 < -r < I

e(r) = ]

"'

*? x' +!

-tu

+

*'.*

¿9¡

obsérvese que el error se hace enorme si x se acerca a L EI método sirve para aproximar tanto como queramos la solución en un intervalo i0, 61 siempre que ó < 1. Por supuesto, para conseguir una aproximación tun bu"nu como queramos en el intervalo (0, é) habría qu" to-u, un número suficiente de aproximaciones sucesivas. Por

ejemplo, si 6 =

€(x)

6.

I

i

v calculamos hasta !3, entonces

=i "* *i -r' +|,ro +u* r'.*

Calcule las aproximaciones sucesivas io, valores iniciales del ejercicio 4.

!,,

i, i,

< 7.1 1 x 10-'z

para el problema de

Solución. Enestecasosetiene, lo =Il,lo =Ío =0,

f(x,

210

y')

= | + xcos r - y cos r = 1 + (x -y) cos x

Soluciones

Por lo tanto

Ío(r):)o =0 !,(r) = o+f

{t+{r-lo)

i,(t) =o + f {r+ (¡ - Í') =

f {sen'

.x

cos x) dx cos

=r+cos/+t

sen t

-ft +r

x) dx =

- r cos r sen r +(1r -

1)

cos x) d"t =

i, -izr-J cos r sen r +|t cos' t + (n -1) sen r !,(r) = o+ f {t+{x-i,) cos x) dx = =

=

+ cos' f l, 0 +'¡ @ + n)cos,r |

sen

f - j.r

cos'

l1 nnor t-l =f+;cosf+12,1 ¡ sen t + ) rsen f - ii cos' ¡-6 5

+)@ -1) cos'

t

.x

+ (1 -

z) cos x

sen x) dx

=

¡ cos 'fsenf+

+|-|n

por lo que Se aprecia que los cálculos Se Van complicando enorTnemente,

7.

que el método de las aproximaciones sucesivas tiene más interés teórico práctico. problema de Calcule las aproximaciones sucesivas io,i'ir,Í, Ptra el valores iniciales siguiente

)l'=2xl

lY(o) = I

Solución.

Como ro = 0, yo=

!,f(x,y)=Zxy'

se tiene

!o=)o=l i,(¡) = ),, * l".f(¡, io(r)) clx=l+ loztat =l+t2

i

rG)=v,

* l" .f (¡,

Í, (¡)) dx -- | + lo z'

{r' + l) dx :

t+

t'

+

}t'

211

j

4.

Soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales

i,(/):

i

-n,

*

J:. .f

ioQ):,r, *J"

.f

(x,l,G) dx=r+f ," (x,1,(x)dx:r+f

I

" = l+f- +_{ + 8.

l^ +-tI 6f

+

[t

x'

++o)*=r+t2

.]* .Ir

,r[t +"'+)'o *!u"')o-:

*

del ejercicio 7' Consideremos de nuevo el problema de valores iniciales Ahora

(a)

se Pide:

Demostrar que la énesima aproximación sucesiva

fr

viene dada por

f,(')=t+ ft) (c)

Hallar la solución exacta y("r) del problema' la soComprobar que el error lfr ('r) - y (-r)l cometido al reemplazar que lución exacta y(x) por la aproximación ñ(x) es menor o igual 1

tn + 1)!

Para todo x

e [0. ll'

Solución.

(a)Parademostrarquelafórmulapropuestaenelenunciadoesconecta, hay que comprobar que satisface las siguientes condiciones

'fo(¡)=Yo

.

l:-'+,Q)=)o*

1""

f(",Í,@))dx

En efecto, tenemos r0 = 0, yo = l,

f (x, y) = 2xy' luego 0

flf

f0

!o(¡)=t:--=-l-l', 'fikt o! -n,

212

* J- frx.Y^(x)) dx= r *

[

2S^tx\ dx :

Soluciones

r*

f ,"2

dx =

r+

l,r|

+ =t*zf l,+dx=...zf

=

=,*á n+l izk

#

o,

:

,ffi=

ffi=,*¿ #=á.8

_: L

l,l

=Z;=Í'i(r) (b)

enunciado como Separamos las variables escribiendo la EDO del

L:2" y

e integramos Para obtener

lnY=fag En consecuencia

Y=l*' C 0' de maneComo debe cumplirse y(0) - 1, hay que seleccionar = es iniciales ra que la solución del problema de valores

Y=f (c)

0 El polinomio de Taylor de orden n alrededor del punto x = de la función exPonencial ! = e' es

P(x)=z*

213

4.

Soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales

del punto Por lo tanto, el polinomio de Taylor de orden n alrededor x = 0 de la función ) = ¿''- es

+ (.r,),:fLt {:ír"(.u .

i

P(x-\= L

I

En consecue*,",

t.t

m tt,

-,

t,t

n

,"ri., J'""o'

cometido al aproximar la del

función mediante su polinomio de Taylor de orden n alrededor tenemos punto -r = 0. Aplicando la fórmula de Lagrange para el resto' F.?n+2

|

lñ' t*l - v (x)l = (n+1)!l para un cierto

f

-l

desconocido del intervalo [0'

x]' Si 0 < ¡