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Lunes 23 de Agosto del 2010

ECUACIONES DE EULER Las ecuaciones de Euler pueden ser: -Forma lineal -Grado n -Homogénea o no Homogénea -Coeficientes variables Y presenta la siguiente forma: Xn

2 d n y d n−1 y d y 2 d y  ⋯a x a 1 x a 0 y=0 2 n n −1 2 dx dx dx dx

Para resolver una ecuación diferencial de este tipo se emplea el cambio de variable con la regla de la cadena. CAMBIO DE VARIABLE

d y dt d y = =  dx dx dt

REGLA DE LA CADENA

Al sustituir en la formula general con la regla de la cadena obtenemos: d2 y d d y dt d d t d y =  2 dx dt dx dt dx dx dx

 





Por lo tanto si X =e t

 t=ln ⁡x

Entonces se tiene

dt 1 −t = =e dx x

Por consiguiente 2



  2

d y d y d −t =e  e −t  e−t d y2 2 d t d t dx dt

−2 t

=e



2

2

d y d y d y −2 t d y −2 t e =e − 2 2 dt dt dt dt

Cuando: d y dt d y = d x d x dt d y −t d y =e dx dt

Al sustituir tenemos: e

2t

  e

2t

2

d y d y − 2 dt dt

  t

e e

−t



d y  y= 0 dt

d2 y d y d y −   y=0 2 dt dt dt

Y el resultado es: d2 y  y=0    d t2

Ecuación diferencial de 2° orden,



lineal, homogénea y de coeficientes constantes. Sabemos que la forma general de una ecuación diferencial de 2° orden es:

a2 x

2

d2 y d y a1 x a 0 y=0 2 dx dx

Si sustituimos nuestra ecuación de cambio de variable en la forma general tenemos:

a2

d2 y d y d y −a 2 a 1 a 0 y=0 2 d t dt dt

Al simplificar:

a2

d2 y d y  a 1−a 2 a 0=0 2 dt dt

Ejemplo:  x−3 

2

d2 y d y  x3   y=0 2 dx dx

Cambio de variable x3=e t

Ejercicios pág. 125 del 665-674

Ejercicio: x 2 y ´ ´ 2 y ´ −6 y=0

Por lo tanto los valores de a son: a 2=1           a 1=2           a0 =−6

y ´ ´  t   y ´  t  −6 y  t  =0  e c u a c i o n   d i f e r e n c i a l   h o mo g é n e a   a s o c i a d a

 D2 D−6  y=0  o p e r a d o r   d e r i v a d a m2 m−6=0  p o l i n o mi o   a s o c i a d o

 m3   m−2  R a i c e s       m 1=−3                   m2=2 y H =c 1 e−3 t c 2 e 2 t

Y

H

=c 1  e

yH =

t −3



c1 x3

c 2  e

t



c 2 x 2

EJERCICIO 1: x 2 y ´ ´ −3 x y ´ 5 y=0

2

Los valores de a son:

a 2=1           a 1=−3             a 0=5

Le ecuación diferencial con los valores de a: y ´ ´  t  −4 y´  t  5 y  t  =0

 D2−4 D5=0 O P E R A D O R   D E R I V

AD A

m2 −4 m5=0  p o l i n o mi o   a s o c i a d o

Para encontrar las raíces: m 2 −4 m 4=−1

 m−2 2=−1

m−2=± −1=i m=2i y H =e 2 t  c 1 sin ⁡t c 2 cos ⁡t 

Recordando que:

et = x

y=x 2  c 1 sin ⁡ln ⁡ xc 2 cos ⁡ln ⁡x 

Nuestra ecuación diferencial es: 3 x 2 y ´ ´ 2 x y ´ 6 y ¿ 13 ln⁡x Donde los valores para a son: a 2=3                 a1=−2                   a 0=6

Recordando que e t =x Aplicamos el cambio de variable a nuestra ecuación: 3 y ´ ´  t  −5 y´  t  6 y  t =13  t 

3 y ´´ −5 y ´ 6 y =0         H o mo g e n e a   a s o c i a d a

 3 D2−5 D6  Y =0                  o p e r a d o r   d e r i v a d a   3 m 2−5 m6=0                 p o l i n o m i o   a s o c i a d o 5 2 m −  2=0 3

Completamos el trinomio cuadrado perfecto 5 3 2 5 25 = 2= 2 1 6 36

5 25 25 m2 −  2 =−2 2 3 36 36

 



2

2

m−



5 −47 = 3 36

5 ± −47 m2 − =  3 36

5 −47 m= ±  3 36 5 t 6

 

y H =e c1 sin ⁡

 

47 42 tc 2 cos⁡ t 36 36

PARTE NO HOMOGENEA 1+3t Solución particular y P = A0A1 t                               y p´ ´ =0

y P = A1 y P =−5   A16  A0  A1 t =1 3t   y P =−5   A1 6 A 0   6 A1 t =13 t  

A0 =

1 1 15 A1= 6 6

A0 =



15



1 2

11 1 11              y P= t  12 2 6





S O LU C I Ó N  G E N E R A L: 5 t 6

 

y g =e c 1 sin ⁡

  

47 42 1 11 tc 2 cos⁡ t  t 36 36 2 6

SOLUCIÓN TRANSFERIDA AL CAMPO X



e5 47 47 1 11 y= c1 sin⁡  ln ⁡xc 2 cos⁡  ln ⁡x ln ⁡x 6 36 36 2 6



Ejercicios: 1°               x 2 y ´ ´ x y ´ − y =0 a 2=1             a1=2               a 0=−1

y ´ ´  t  − y=0

 D2−1  y=0

m=± 1 m=−i m=i y H =c 1 sin ⁡1c2 cos ⁡−1

