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Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco Curso: Análisis Numérico Práctica:  METODO DE EULER MEJORADO

Profesor: Miguel Jiménez Guzmán Alumno: Zamora Hernández Omar Grupo: 3AV6 México D.F., Diciembre de 2015

PRÁCTICA .METODO DE EULER MEJORADO.

OBJETIVO: Aplicar métodos numéricos para aproximar soluciones de algunas ecuaciones diferenciales, viendo así la importancia de los métodos numéricos que radica en la aparición de ecuaciones diferenciales que no pueden resolverse por métodos tradicionales, y de ahí la necesidad de implementar algún método de aproximación.

INTRODUCCION: Este método se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes. La fórmula es la siguiente:

Donde

En la gráfica, vemos que la pendiente promedio corresponde a la pendiente de la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condición inicial y la "recta tangente" a la curva en el punto donde es la aproximación obtenida con la primera fórmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz se traslada paralelamente hasta el punto de la condición inicial, y se considera el valor de esta recta en el punto la aproximación de Euler mejorada.

CODIGO DEL PROGRAMA EN MATLAB

como

clear all disp('METODO DE EULER MODIFICADO') clc syms x syms y f=inline(input('ingrese la derivada:','s')); x=input('ingrese el valor de x:'); y=input('ingrese el valor de y:'); h=input('ingrese el valor de h:'); n=input('ingrese numero de iteraciones:'); clc disp('x(n) y´(n) hy´(n) y(n+1),p hy´(n+1),p y(n+1),c'); for i=1:n s=h+x; y1=feval(f,x,y); hy1=h*y1; y2=y+hy1; y3=feval(f,s,y2); hy2=y3*h; yn=y+((hy1+hy2)/2); fprintf('\n%0.1f %0.4f %0.4f %0.4f %0.4f %0.4f',x,y,hy1,y2,hy2,yn); y=yn; x=x+h; x=0:1/20:4; plot(x, hy1,x, y1); grid on; end

DIAGRAMA DE FLUJO

EJEMPLO DE APLICACIÓN

Aplicar el método de Euler mejorado, para aproximar

si:

Solución Vemos que este es el mismo ejemplo 1 del método anterior. Así que definimos y encontraremos la aproximación después de cinco iteraciones. A diferencia del método de Euler 1, en cada iteración requerimos de dos cálculos en vez de uno solo: el de primero y posteriormente el de

.

Para aclarar el método veamos con detalle las primeras dos iteraciones. Primero que nada, aclaramos que tenemos los siguientes datos iniciales:

En nuestra primera iteración tenemos:

Nótese que el valor de coincidir, pues para calcular

coincide con el se usará

(Euler 1), y es el único valor que va a y no

.

Esto lo veremos claramente en la siguiente iteración:

Nótese que ya no coinciden los valores de (Euler 1) y el de . El proceso debe seguirse hasta la quinta iteración. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

n 0

0

1

1

0.1

1.01

2

0.2

1.040704

3

0.3

1.093988

4

0.4

1.173192

5

0.5

1.28336

Concluímos entonces que la aproximación obtenida con el método de Euler mejorado es:

CONCLUSION: El método modificado si la EDO, no es lineal, se requiere de un método iterativo para cada intervalo. Ambos métodos ( Euler/Euler mejorado) poseen una desventaja, que consiste en que los órdenes de precisión son bajos. Esta desventaja tiene dos casos, para mantener una alta precisión se necesita una h pequeña, lo que aumenta el tiempo de cálculo y provoca errores de redondeo.