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• JC Guzmán

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2.2 Métodos abiertos: Iteración punto fijo, Método de Newton Raphson y Método de la secante. Métodos para raíces múltiples. Introducción....

Los métodos abiertos utilizan una f'ormula para predecir la raíz. Esta formula puede d iteración simple de punto fijo (también llamada iteración de un punto o sustitución punto fijo).

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Las raíces múltiples

Las raíces múltiples son determinados de ecuaciones polinómicas que tienen la forma fx = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn

Donde n es el grado del polinomio y son los coeficientes. Las raíces de los polinomios p complejos, y cumplir con las tres reglas: * En una ecuación de grado n, hay n raíces reales o complejas. Cabe señalar que las r necesariamente diferentes. * Si n es impar hay al menos una raíz real. * Si hay raíces complejas, estas se encuentran en pares conjugados.

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Método de Punto Fijo

El método de punto fijo o de aproximaciones sucesivas es, junto con el de Bisección métodos que se utilizaron para resolver ecuaciones algebraicas y trascendentes. N actualidad existen otros métodos más eficientes, el de punto fijo se considera el más sim en él se pueden apreciar claramente todas las características de un método de aproxim

Sea F(x) = 0 una ecuación algebraica o trascendente caulquiera. Se suma x en a obtiene: F(x) + x = x donde el miembro izquierdo es otra función de x que se define como G(x) +

x = x

Se sustituye en la ecuación (1): x = G(x)

Obsérvese ahora que cualquier ecuación puede representarse en esta forma, siguiendo anterior. Si x = a es una raíz de la ecuación, entonces F (a) = 0 o bien, al sustituir en la ecuación (3) a = G (a)

El método de aproximaciones sucesivas consiste en sustituir un valor inicial (x0) aprop raíz) en el segundo miembro de la ecuación (3). Si x0 es la raíz, se deberá cumplir la ec x0 = G(xo)

pero esto será difícil de que ocurra; seguramente el valor inicial principal proporciona valor cercano a la raíz. Entonces, en el caso general: x0 =/ G(x0)

o bien,

x1 = G(x0)

donde x1 es la nueva aproximación de la raíz a. se sustituye x1 en el segundo miembro obtiene: x2 = G(x1) Al proceder reiteradamente en esta forma se induce que la n-ésima aproximación es: Xn = G(Xn-1) n = 1,2,3,.....

De acuerdo con lo visto en los temas anteriores, puede afirmarse que si el método conv valor absoluto entre valores proporcionados en dos iteraciones sucesivas será cada ve medida que n aumnete, y con esto se tendrá un criterio para saber cuándo termina la a

Es posible afirmar que si en la n-ésima iteración el método se está aproximando a la ra entonces: |G´(t)| = |a - Xn| / |a - Xn-1|