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• Gabriel Erazo Fierro

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• Análisis matemático

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INDICE

INDICE ...................................................................................................................................................................................... 1 INTRODUCCIÓN ....................................................................................................................................................................... 2 OBJETIVOS ............................................................................................................................................................................... 2 Objetivo general .................................................................................................................................................................. 2 Objetivos específicos. .......................................................................................................................................................... 2 MARCO TEÓRICO ..................................................................................................................................................................... 3 Operador Anulador .............................................................................................................................................................. 3 Coeficientes indeterminados............................................................................................................................................... 4 Síntesis del proceso de resolución de ecuaciones diferenciales lineales por coeficientes indeterminados (método del anulador) .............................................................................................................................................................................. 5 RESOLVER ................................................................................................................................................................................ 6 Ejercicio 4.5, páginas 156-157 ............................................................................................................................................. 6 Ejercicio 1......................................................................................................................................................................... 6 Ejercicio 5......................................................................................................................................................................... 6 Ejercicio 11....................................................................................................................................................................... 6 Ejercicio 14....................................................................................................................................................................... 7 Ejercicio 15 ...................................................................................................................................................................... 7 Ejercicio 19....................................................................................................................................................................... 8 Ejercicio 23....................................................................................................................................................................... 8 Ejercicio 39....................................................................................................................................................................... 9 Ejercicio 43..................................................................................................................................................................... 11 Ejercicio 47..................................................................................................................................................................... 12 Ejercicio 54..................................................................................................................................................................... 13 Ejercicio 68..................................................................................................................................................................... 14 Ejercicio 69..................................................................................................................................................................... 15 Ejercicio 72..................................................................................................................................................................... 18 CONCLUSIONES...................................................................................................................................................................... 19 RECOMENDACIONES ............................................................................................................................................................. 19

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INTRODUCCIÓN Existen muchas formas de cómo se puede presentar una ecuación diferencial lineal, y los diferentes tipos de resolución de estas ecuaciones están en función de la forma de las ecuaciones. Es decir, para resolver una ecuación diferencial se pueden usar varios métodos de acuerdo al que mejor se adapte a la forma de la E.D., existen ecuaciones que si se conoce que método este brindara un mejor panorama para su resolución, por tal motivo es de vital importancia conocer dichos métodos, existen casos que se debe aplicar dos métodos ya que uno solo simplemente arrojara una solución homogénea más no la particular y es ahí cuando se debe usar estas herramientas. El método anulador consiste en esencia en hallar un coeficiente que anule a función g(x) que está en la parte izquierda de la ecuación, una vez que se ha hallado este coeficiente se continuara con una serie de pasos y así se podrá obtener tanto la solución particular como la homogénea.

OBJETIVOS Objetivo general Aprender el método anulador mediante la investigación formativa para así poder resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales lineales.

Objetivos específicos. Reconocer el coeficiente anulado para las diferentes funciones que se presenten. Sistematizar de una forma ordenada la resolución de una ecuación diferencial lineal mediante el método anulador. Encontrar las solucione homogénea y particular mediante el método de los coeficientes anuladores.

2

MARCO TEÓRICO Como ya es de conocimiento, a partir de un sistema fundamental de soluciones de la ecuación homogénea asociada y aplicando el método de variación de constantes, se puede encontrar una solución particular de esta ecuación, con lo que se tendría su solución general. Sin embargo, cuando el termino independiente F(x) tiene la propiedad de que se anula bajo la acción de algún operador con coeficientes constantes, hay un método alternativo al de variación de constantes que permite obtener una solución particular de la ecuación lineal completa. Este procedimiento recibe el nombre de método del anulador o también de la conjetura prudente. Operador Anulador Proposición: Sea L(y) = F(x) una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes (y F(x) continua). Si K ≡ K (D) es un operador diferencial con coeficientes constantes que anula F (x), entonces una solución particular de la ecuación se obtiene resolviendo la ecuación lineal homogénea (𝐾 ∙ 𝐿)(y) = 0 Entonces se dice que (K o L) es un anulador de la función. Por ejemplo, D anula una función constante y = k puesto que Dk = 0. El Operador diferencial D2 anula la función y = x puesto que la primera y segunda derivada de x son 1 y 0 respectivamente. De manera similar D3x2 = 0, etc.

De manera general se dice entonces que el operador diferencial Dn anula cada una de las funciones:

1, x, x2, …………., x n-1

Debido a que la anterior secuencialidad podría formar un polinomio y este a su vez es factible de derivar termino a término se tiene que dicho polinomio se anula al encontrar un operador que liquide a la mayor potencia de x.: 𝐶0 + 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 𝑥 2 + ⋯ + 𝐶𝑛 𝑥 𝑛−1 Las funciones que se anulan por un operador diferencial lineal de n-ésimo orden L son simplemente aquellas funciones que se obtienen de la solución general de la ecuación diferencial homogénea L(y) = 0 El operador diferencial (D – α)n anula cada una de las funciones:

eαx, xeαx, x2eαx, …,

xn-1 eαx

Cuando α y β, β > 0 son números reales, la fórmula cuadrática revela que [(m2+2αm+(α2+β2)] n = 0 tiene raíces complejas α+iβ, α-iβ, ambas de multiplicidad n. Del análisis de esto se llega a lo siguiente.

3

El operador diferencial ሾ𝐷2 − 2 ∝ 𝐷 + (∝2 + 𝛽 2 )ሿ𝑛 anula cada una de las funciones:

eαxcosβx,

xeαxcosβx, x2eαxcosβx, …,

xn-1 eαxcosβx

eαxsenβx,

xeαxsenβx, x2eαxsenβx, …,

xn-1 eαxsenβx

Coeficientes indeterminados Cuando tenemos que g(x) es una combinación lineal de funciones con coeficientes constantes, es decir, suma y/o productos de funciones algebraicas, trigonométricas y logarítmicas, debemos de aplicar el principio de superposición en la solución propuesta suponiendo que L(y) = g(x), es decir, proponer funciones de acuerdo al tipo de combinación de funciones que exista en g(x). Ahora se sabe que una función tal como g(x) puede ser anulada por un operador diferencial L1 de menor orden. Al aplicar L1 a ambos lados de la ecuación L(y)= g(x) se obtiene que L1L(y) = L1(g(x)) = 0. Al resolver la ecuación homogénea de orden superior L1L(y) = 0 se descubre la forma de una solución particular Yp para la ecuación original no homogénea L(y)= g(x). Entonces sustituimos esta forma propuesta en L(y)= g(x) para encontrar una solución particular explícita. Este procedimiento para determinar Yp llamado método de los coeficientes indeterminados. Nota: El método de coeficientes indeterminados no puede ser aplicado a ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables ni tampoco cuando los coeficientes constantes de g(x) es una función del tipo: g(x) = ln(x), g(x) = 1/x,

g(x) = tan(x), g(x) = sen-1(x)

4

Síntesis del proceso de resolución de ecuaciones diferenciales lineales por coeficientes indeterminados (método del anulador)

1. Encuentre la función complementaria Yc para la ecuación homogénea L(y) = 0

2. Opere ambos lados de la ecuacion no homogenea L(y) = g(x) con un operador diferencial L1 que anula la función g(x)

6. Con la solución particular encontrada, forme la solución general Y= Yc+Yp

5. Sustituya Yp encontrada, en L(y) = g(x). Iguale los coeficientes de las distintas funciones en cada lado de la igualdad y resuleva el sistema resultante de ecuaciones para determinar los coeficeintes desconocidos de Yp

3. Determine la solución general de la ecuación diferencial homogenea de orden superior L1L(y) = 0

4. Elimine la solución del anterior paso, los términos que se duplican en la solucion complementaria Yc encontrada en el paso 1. Forme una combinación lineal Yp de los terminos resultantes de ecuaciones para determinar los coeficientes desconocidos de Yp

5

RESOLVER Ejercicio 4.5, páginas 156-157 En los problemas 1 a 10 escriba la ecuación diferencial en la forma L(y) = g(x), donde L es un operador diferencial lineal con coeficientes constantes. Si es posible, factorice L. Ejercicio 1 𝟗𝒚´´ − 𝟒𝒚 = 𝒔𝒆𝒏𝒙 (9𝐷 2 − 4)𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥

Solución: (𝟑𝑫 − 𝟐)(𝟑𝑫 + 𝟐)𝒚 = 𝒔𝒆𝒏𝒙 Ejercicio 5 𝒚′′′ + 𝟏𝟎𝒚′′ + 𝟐𝟓𝒚′ = 𝒆ˣ (𝐷 3 + 10𝐷2 + 25𝐷)𝑦 = 𝑒ˣ 𝐷(𝐷 2 + 10𝐷 + 25)𝑦 = 𝑒ˣ 𝐷(𝐷 + 5)²𝑦 = 𝑒ˣ 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 = 𝑫(𝑫 + 𝟓)𝟐 𝒚 = 𝒆ˣ

Ejercicio 11

𝑫⁴; 𝒚 = 𝟏𝟎𝒙𝟑 − 𝟐𝒙 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 4 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑎 𝒚 𝟏. 𝑦 ′ = 30𝑥 2 − 2 𝟐. 𝑦 ′′ = 60𝑥 𝟑. 𝑦′′′ = 60 𝟒. 𝑦⁴ = 0 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 = 𝑦 4 = 0, 𝐸𝑙 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝐷 4 𝑠𝑖 𝑎𝑛𝑛𝑢𝑙𝑎 𝑎 𝑓(𝑥)

6

Ejercicio 14 𝑫𝟐 + 𝟔𝟒; 𝒚 = 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟖𝒙 − 𝟓 𝐬𝐢𝐧 𝟖𝒙 (𝐷 2 + 64)(𝑦) = (𝐷 2 + 64)(2 cos 8𝑋 − 5 sin 8𝑥)

5(𝐷 2 + 64)(sin 8𝑥)

2(𝐷 2 + 64)(cos 8𝑥) − 5(𝐷 2 + 64)(sin 8𝑥)

5(𝐷 2 sin 8𝑥 + 64 sin 8𝑥)

2ሾ𝐷 2 (cos 8𝑥) + 64(cos 8𝑥)ሿ

5(𝐷 2 8 cos 8𝑥 + 64 sin 8𝑥)

2(−64 cos 8𝑥 + 64(cos 8𝑥))

5(−64 sin 8𝑥 + 64 sin 8𝑥)

2(0)=0 0=0

5(0)=0 0=0

(𝐷 2 + 64)(𝑦) = 2(𝐷 2 + 64)(cos 8𝑥) − 5(𝐷 2 + 64)(sin 8𝑥) 0=0

En los problemas 15 a 26 determine el operador diferencial lineal que anula la función dada Ejercicio 15 𝟏 + 𝟔𝒙 − 𝟐𝒙𝟑 𝑫𝒏  Fórmula 𝑛=4 𝑫𝟒 Método de Comprobación 𝑦´ = 6 − 6𝑥 2 𝑦´´ = −12𝑥

𝑦´´´ = −12 𝒚(𝟒) = 𝟎 Por lo tanto: El operador (𝐷 4 ) si anula a

7

Ejercicio 19 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙) (𝐷 2 − 2 ∝ 𝐷 + (∝2 + 𝛽 2 ))′′ ∝=0

𝛽=2

n=1 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 = (𝑫𝟐 + 𝟒)

𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦′ = −2𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 𝑦′′ = −4 cos(2𝑥) + 4cos(2𝑥) 𝑦′′ = 0 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 = (𝑫𝟐 + 𝟒)

Ejercicio 23 𝒆ˉˣ + 𝟐𝒙𝒆ˣ − 𝒙²𝒆ˣ 𝟏. −𝑥 2 𝑒ˣ 𝒂𝒏𝒖𝒍𝒂 (𝐷 − 1)³ 𝟐. 2𝑥𝑒ˣ 𝒂𝒏𝒖𝒍𝒂 (𝐷 − 1)² 𝟑. 𝑒ˉˣ 𝒂𝒏𝒖𝒍𝒂 (𝐷 + 1) Operador diferencial que anula la función es: 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 = (𝑫 + 𝟏)(𝑫 − 𝟏)³

8

En los problemas 35 a 64 resuelva la ecuación diferencial dada usando coeficientes indeterminados. Ejercicio 39 𝒚′′+4y'+4y=2x+6 Solución de la ecuación diferencial homogénea: 𝑦′′ + 4𝑦′ + 4𝑦 = 0 𝑚2 + 4𝑚 + 4 = 0 (𝑚 + 2)(𝑚 + 2) = 0 𝑚₁, 𝑚₂ = −2 𝑌𝑐 = 𝐶₁𝑒ˉ2 ˣ + 𝐶₂𝑥𝑒ˉ²ˣ 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒍 𝒏𝒐 𝒉𝒐𝒎𝒐𝒈𝒆𝒏𝒆𝒂 𝑦′′ + 4𝑦′ + 4𝑦 = 2𝑥 + 6 (𝐷 2 + 4𝐷 + 4)𝑦 = 2𝑥 + 6 𝐷 2 (𝐷2 + 4𝐷 + 4)𝑦 = 2𝑥 + 6 𝐷 2 (𝐷 + 2)(𝐷 + 2)𝑦 = 2𝑥 + 6 𝐷 2 (𝐷 + 2)(𝐷 + 2) = 0 𝑚²(𝑚 + 2)(𝑚 + 2) = 0 𝑚₁, 𝑚₂ = −2 ; 𝑚₃, 𝑚₄ = 0 𝒀𝒄 = 𝑪₁𝒆ˉ²ˣ + 𝑪₂𝒙𝒆ˉ²ˣ + 𝑪₃𝒙 + 𝑪₄ 𝑌𝑝 = 𝐶₃𝑥 + 𝐶₄ 𝑌𝑝 = 𝐴𝑥 + 𝐵 𝑌𝑝′ = 𝐴 𝑌𝑝′′ = 0 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑟 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 0 + 4𝐴 + 4(𝐴𝑥 + 𝐵) = 2𝑥 + 6 4𝐴 + 4𝐴𝑥 + 4𝐵 = 2𝑥 + 6 𝟏. 4𝐴𝑥 = 2𝑥 𝑨=

𝟐. 4𝐴 + 4𝐵 = 6

𝟏 𝟐

1 2

4𝐴 ( )+4B=6 𝑩=𝟏 𝟏 𝒀𝒕 = 𝑪₁𝒆ˉ𝟐 ˣ + 𝑪₂𝒙𝒆ˉ𝟐 ˣ + 𝒙 + 𝟏 𝟐

9

A=1 y B=1

10

Ejercicio 43 𝒚′′ − 𝒚′ − 𝟏𝟐𝒚 = 𝒆⁴ˣ 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑎 𝑦′′ − 𝑦′ − 12𝑦 = 0 𝑚2 − 𝑚 − 12 = 0 (𝑚 − 4)(𝑚 + 3) = 0 𝑚₁ = 4 𝑚₂ = −3 𝒀𝒄 = 𝑪₁𝒆⁴ + 𝑪₂𝒆ˉ³ˣ 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑛𝑜 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑎 𝑦′′ − 𝑦′ − 12𝑦 = 𝑒⁴ˣ (𝐷 2 − 𝐷 − 12)𝑦 = 𝑒⁴ˣ (𝐷 − 4)(𝐷 2 − 𝐷 − 12)𝑦 = 𝑒⁴ˣ (𝐷 − 4)(𝐷 − 4)(𝐷 + 3)𝑦 = 𝑒⁴ˣ (𝐷 − 4)(𝐷 − 4)(𝐷 + 3) = 0 (𝑚 − 4)(𝑚 − 4)(𝑚 + 3) = 0 𝑚₁, 𝑚₂ = 4 ; 𝑚₃ = −3 𝒀𝒄 = 𝑪₁𝒆⁴ˣ + 𝑪₂𝒙𝒆⁴ˣ + 𝑪₃𝒆ˉ³ˣ 𝑌𝑝 = 𝐶₂𝑥𝑒⁴ˣ 𝑌𝑝 = 𝐴𝑥𝑒⁴ˣ 𝑌𝑝′ = 𝐴𝑒 4 ˣ + 4𝐴𝑥𝑒⁴ˣ 𝑌𝑝′′ = 4𝐴𝑒 4 ˣ + 4𝐴𝑒 4 ˣ + 16𝐴𝑥𝑒⁴ˣ 4𝐴𝑒 4 ˣ + 4𝐴𝑒 4 ˣ + 16𝐴𝑥𝑒 4 ˣ − 𝐴𝑒 4 ˣ − 4𝐴𝑥𝑒 4 ˣ − 12𝐴𝑥𝑒 4 ˣ = 𝑒⁴ˣ 7Ae⁴ˣ= e⁴ˣ 𝟏

A=𝟕 𝟏 𝒀𝒕 = 𝑪₁𝒆⁴ˣ + 𝑪₂𝒆ˉ𝟑 ˣ + 𝒙𝒆⁴ˣ 𝟕

A=1 y B=1

11

Ejercicio 47 𝒚′′ + 𝟐𝟓𝒚 = 𝟔𝐬𝐢𝐧 𝒙 [𝑫𝟐 − 𝟐 ∝ 𝑫 + (∝𝟐 + 𝜷𝟐 )] ∝= 0

𝑛=1

𝒏

ሾ𝐷 2 + 1ሿ1 6sin 𝑥 = 0

𝛽=1

ሾ𝐷 2 + 1ሿ(𝑦 ′′ + 25𝑦) = ሾ𝐷 2 + 1ሿ 6sin 𝑥 ሾ𝐷 2 + 1ሿ(𝑦 ′′ + 25𝑦) = 0 ሾ𝐷 2 + 1ሿ(𝐷 2 + 25) = 0 (𝐷 2 + 25)

ሾ𝐷 2 + 1ሿ

𝐷 2 = −25

𝐷 2 = −1

𝐷 = √−25

𝐷 = √−1

𝐷 = ±5𝑖

𝐷 = ±1𝑖 𝒚 = 𝒆∝𝒙 ሾ𝑪𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝜷𝒙 + 𝑪𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝜷𝒙ሿ

∝= 𝑎=1

−𝑏 2𝑎

𝑏=0

𝛽= 𝑐 = 25

𝑎=1 ∝=

𝛽=

𝑖√𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑏=0

𝑐=1

−0 =0 2𝑎

𝑖√02 − 4(1)(25) =5 2(1)

𝛽=

𝑖√02 − 4(1)(1) =1 2(1)

𝑦𝐶 = 𝑒 0𝑥 ሾ𝐶1 𝑐𝑜𝑠 5𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛 5𝑥ሿ

𝑦𝑝 = 𝑒 0𝑥 ሾ𝐶3 𝑐𝑜𝑠 1𝑥 + 𝐶4 𝑠𝑖𝑛 1𝑥ሿ

𝑦𝐶 = 𝐶1 𝑐𝑜𝑠 5𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛 5𝑥

𝑦𝑝 = 𝐶3 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶4 𝑠𝑖𝑛 𝑥

𝑦𝑝 = 𝐶3 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶4 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑦𝑝 ′ = −𝐶3 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝐶4 cos 𝑥 𝑦𝑝 ′′ = −𝐶3 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝐶4 𝑠𝑖𝑛 𝑥

(−𝐶3 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝐶4 𝑠𝑖𝑛 𝑥) + 25(𝐶3 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶4 𝑠𝑖𝑛 𝑥) = 6sin 𝑥 −𝐶3 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝐶4 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 25𝐶3 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 25𝐶4 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 6sin 𝑥 24𝐶3 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 24𝐶4 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 6sin 𝑥 24𝐶3 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 0

24𝐶4 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 6 𝑠𝑖𝑛 𝑥

𝐶3 = 0

𝐶4 = 1⁄4 𝑦𝑝 = 0 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 1⁄4 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 1⁄4 𝑠𝑖𝑛 𝑥 Solución: 𝒚𝑻 = 𝑪𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟓𝒙 + 𝑪𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟓𝒙 + 𝟏⁄𝟒 𝒔𝒊𝒏 𝒙

𝑦𝑇 = 𝑦𝐶 + 𝑦𝑝

12

Ejercicio 54 𝟏 𝒚″ + 𝒚′ + 𝒚 = 𝒆𝒙 (𝐬𝐢𝐧 𝟑𝒙 − 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝒙) 𝟒 1 =0 4 √1 − 1 = 0 −1 ± 0 1 𝑥= =− 2 2 𝑚2 + 𝑚 +

𝑥

𝑥

𝑦1 = 𝑒 −2

𝑦2 = 𝑒

−

𝑥 2

∫

𝑒 −2 𝑥

𝑒 −2

𝑑𝑥 𝑥

𝐱

𝑦2 = 𝑥𝑒 −2

𝐱

𝐲𝐜 = 𝐂𝟏 𝐞−𝟐 + 𝐂𝟐 𝐱𝐞−𝟐 𝐃𝟐 − 𝟐𝐃 + 𝟏𝟎 1 1 𝟐 (𝐷𝟐 − 2𝐷 + 10) (𝐷𝟐 + 𝐷 + ) (𝑦) = (𝐷𝟐 − 2𝐷 + 10) (𝐷 + ) (𝑦) = 0 4 2 𝑥

𝑥

𝑦 = 𝐶1𝑒 −2 + 𝐶2𝑥𝑒 −2 + 𝐶3𝑒 𝑥 cos 3𝑥 + 𝐶4𝑒 𝑥 sin 3𝑥

𝑦𝑝 = 𝐴𝑒 𝑥 cos 3𝑥 + 𝐵𝑒 𝑥 sin 3𝑥 𝑦 ′ 𝑝 = 𝐴𝑒 𝑥 cos 3𝑥 − 3𝐴𝑒 𝑥 sin 3𝑥 + 𝐵𝑒 𝑥 sin 3𝑥 + 3𝐵𝑒 𝑥 cos 3𝑥 𝑦 ″ 𝑝 = 𝐴𝑒 𝑥 cos 3𝑥 − 3𝐴𝑒 𝑥 sin 3𝑥 − 3𝐴𝑒 𝑥 sin 3𝑥 − 9𝐴𝑒 𝑥 cos 3𝑥 + 𝐵𝑒 𝑥 sin 3𝑥 + 3𝐵𝑒 𝑥 cos 3𝑥 + 3𝐵𝑒 𝑥 cos 3𝑥 − 9𝐵𝑒 𝑥 sin 3𝑥 (9𝐵 −

27𝐴 𝑥 27𝐵 𝑥 ) 𝑒 cos 3𝑥 − (9𝐴 + ) 𝑒 sin 3𝑥 = −𝑒 𝑥 cos 3𝑥 + 𝑒 𝑥 sin 3𝑥 4 4 −

27

𝐴 + 9𝐵=-1 27 −9𝐴 − 𝐵 = 1 4 4

−4 + 27𝐴 36 28 𝐵 = − 225

3 81𝐴 − =1 4 16 4 𝐴=− 225

𝐵=

−9𝐴 +

𝑥

𝑥

𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: 𝑦𝑡 = 𝐶1𝑒 −2 + 𝐶2𝑥𝑒 −2 −

13

4 𝑥 28 𝑥 𝑒 cos 3𝑥 − 𝑒 sin 3𝑥 225 225

En los problemas 65 a 72 resuelva el problema con valores iniciales. Ejercicio 68 𝒚″ + 𝟓𝒚′ − 𝟔𝒚 = 𝟏𝟎𝒆𝟐𝒙 ;𝒚(𝟎) = 𝟏;𝒚′ (𝟎) = 𝟏.

𝑦𝑐 = 𝐶1𝑒 𝑥 + 𝐶2𝑒 −6𝑥

𝑚2 + 5𝑚 − 6 = 0 −5 ± √25 + 24 𝑚= = 1; −6 2 𝐷−2 𝑦𝑝 = 𝐴𝑒 2𝑥 𝑦 ′ 𝑝 = 2𝐴𝑒 2𝑥 𝑦 ″ 𝑝 = 4𝐴𝑒 2𝑥 4𝐴𝑒 2𝑥 + 10𝐴𝑒 2𝑥 − 6𝐴𝑒 2𝑥 = 10𝑒 2𝑥 8𝐴𝑒 2𝑥 = 10𝑒 2𝑥 8𝐴 = 10 5 𝐴= 4

5 𝑦 = 𝐶1𝑒 𝑥 + 𝐶2𝑒 −6𝑥 + 𝑒 2𝑥 4

𝐶1 = − 𝐶2 =

3 7

5 𝑦 ′ = 𝐶1𝑒 𝑥 − 6𝐶2𝑒 −6𝑥 + 𝑒 2𝑥 2 1 𝐶1 + 𝐶2 = − 4 3 𝐶1 − 6𝐶2 = − 2

5 28

3

5

5

Solución: 𝑦 = − 7 𝑒 𝑥 + 28 𝑒 −6𝑥 + 4 𝑒 𝑥

14

Ejercicio 69 𝝅 𝟐

𝝅 𝟐

𝒚′′ + 𝒚 = 𝟖𝒄𝒐𝒔 (𝟐𝒙) − 𝟒𝒔𝒆𝒏(𝒙), 𝒚( ) = -1, y'( ) = 0 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑎 𝑦 ′′ + 𝑦 = 0 𝑚+1 = 0 m=

−0±√02 −4(1)(1) 2

𝑚 = 0 ± 1𝑖 ∝= 0; 𝛽 = 1 𝒀𝒄 = 𝑪₁𝒄𝒐𝒔(𝒙) + 𝑪₂𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑛𝑜 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑎 𝑦 ′′ + 𝑦 = 8 cos(2𝑥) − 4𝑠𝑒𝑛(𝑥) (𝐷 2 + 1)𝑦 = 8 cos(2𝑥) − 4𝑠𝑒𝑛(𝑥) (𝐷 2 + 1)(𝐷 2 + 1)(𝐷 2 + 4)𝑦 = 8 cos(2𝑥) − 4𝑠𝑒𝑛(𝑥) (𝐷 2 + 1)(𝐷 2 + 1)(𝐷 2 + 4) = 0 m=

−0±√02 −4(1)(1) 2

𝑚 = 0 ± 1𝑖 ∝= 0; 𝛽 = 1 −0±√02 −4(1)(4) m= 2

𝑚 = 0 ± 2𝑖 ∝= 0; 𝛽 = 2 𝒀𝒕 = 𝑪₁𝒄𝒐𝒔(𝒙) + 𝑪₂𝒔𝒆𝒏(𝒙) + 𝑪₃𝒙𝒄𝒐𝒔(𝒙) + 𝑪₄𝒙𝒔𝒆𝒏(𝒙) + 𝑪₅𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙) + 𝑪₆𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙) 𝑌𝑝 = 𝐴𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝐵𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝐶𝑐𝑜𝑠(2𝑥) + 𝐷𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 𝑌𝑝′ = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 𝐴𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝐵𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝐵𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 2𝐶𝑠𝑒𝑛(2𝑥) + 2𝐷𝑐𝑜𝑠(2𝑥) 𝑌𝑝′′ = −2𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 2𝐵𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 4𝐶𝑐𝑜𝑠(2𝑥) − 4𝐷𝑠𝑒𝑛(2𝑥) − 𝐴𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 𝐵𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙

15

−2𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 2𝐵𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 4𝐶𝑐𝑜𝑠(2𝑥) − 4𝐷𝑠𝑒𝑛(2𝑥) − 𝐴𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 𝐵𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝐴𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝐵𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝐶𝑐𝑜𝑠(2𝑥) + 𝐷𝑠𝑒𝑛(2𝑥) = 8 cos(2𝑥) − 4𝑠𝑒𝑛(𝑥) −2𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 2𝐵𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 3𝐶𝑐𝑜𝑠(2𝑥) − 3𝐷𝑠𝑒𝑛(2𝑥) = 8 cos(2𝑥) − 4𝑠𝑒𝑛(𝑥) −2𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑥) = −4𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑨=𝟐 2𝐵𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 0 𝑩=𝟎 −3𝐶𝑐𝑜𝑠(2𝑥) = 8𝑐𝑜𝑠(2𝑥) 𝑪=−

𝟖 𝟑

−3𝐷𝑠𝑒𝑛(2𝑥) = 0 𝑫=𝟎 Reemplazar A, B, C, D en Yp 8 𝑌𝑝 = 2𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 0𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) − cos(2𝑥) + 0𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 3 8 𝑌𝑝 = 2𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) − cos(2𝑥) 3 𝟖 𝒀𝒕 = 𝑪₁𝒄𝒐𝒔(𝒙) + 𝑪₂𝒔𝒆𝒏(𝒙) + 𝟐𝒙𝒄𝒐𝒔(𝒙) − 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙) 𝟑 𝟏𝟔 𝒀𝒕′ = −𝑪𝟏 𝒔𝒆𝒏(𝒙) + 𝑪𝟐 𝒄𝒐𝒔(𝒙) + 𝟐𝒙𝒄𝒐𝒔(𝒙) − 𝟐𝒙𝒔𝒆𝒏(𝒙) + 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙) 𝟑 𝜋

𝜋

𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦 ( 2 ) = −1; 𝑦′ ( 2 ) = 0 𝑒𝑛 𝑌𝑡, 𝑌𝑡′ 8 −1 = 𝐶₁ cos(90) + 𝐶₂𝑠𝑒𝑛(90) + 180 cos(90) − cos(180) 3 8 −1 = 𝐶₂ + (𝟏) 3 16 0 = −𝐶₁𝑠𝑒𝑛(90) + 𝐶₂𝑐𝑜𝑠(90) + 2 cos(90) − 180sen(90) + sen(180) 3 0 = −𝐶₁ − π (𝟐) 𝐶₁ = −𝜋 𝐶₂ = −

11 3

𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐶₁, 𝐶₂ 𝑒𝑛 𝑌𝑡 𝒀𝒕 = −𝝅𝒄𝒐𝒔(𝒙) −

16

𝟏𝟏 𝟖 𝒔𝒆𝒏(𝒙) − 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙) + 𝟐𝒙𝒄𝒐𝒔(𝒙) 𝟑 𝟑

17

Ejercicio 72 𝒚(𝟒) − 𝒚‴ = 𝒙 + 𝒆𝒙 𝑚4 − 𝑚3 = 0 𝑚3 (𝑚 − 1) = 0 𝑚=0 𝑚=1 𝑦1 = 1

𝑦3 = 𝑥 2

𝑦2 = 𝑥

𝑦4 = 𝑒 𝑥

𝑦𝑐 = 𝐶1 + 𝐶2𝑥 + 𝐶3𝑥 2 + 𝐶4𝑒 𝑥 𝐷2 (𝐷 − 1) 3

4

𝑥

𝑦𝑝 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑥𝑒 𝑦 ′ 𝑝 = 3𝐴𝑥 2 + 4𝐵𝑥 3 + 𝐶𝑒 𝑥 + 𝐶𝑥𝑒 𝑥 𝑦 ″ = 6𝐴𝑥 + 12𝐵𝑥 2 + 2𝐶𝑒 𝑥 + 𝐶𝑥𝑒 𝑥 6𝐴𝑥 + 12𝐵𝑥 2 + 2𝐶𝑒 𝑥 + 𝐶𝑥𝑒 𝑥 − 3𝐴𝑥 2 − 4𝐵𝑥 3 − 𝐶𝑒 𝑥 − 𝐶𝑥𝑒 𝑥 = 𝑥 + 𝑒 𝑥 −4𝐵𝑥 3 + 12𝐵𝑥 2 − 3𝐴𝑥 2 + 6𝐴𝑥 − 𝐶𝑒 𝑥 = 𝑥 + 𝑒 𝑥 12𝐵 − 3𝐴 = 0 𝐵=

1 24

6𝐴 = 1

−𝐶 = 1

1 6

𝐶 = −1

𝐴=

1 3 4 𝑦𝑝 = 𝑥 3 + 𝑥 − 𝑥𝑒 𝑥 6 72 1 1 𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2𝑥 + 𝐶3𝑥 2 + 𝐶4𝑒 𝑥 + 𝑥 3 + 𝑥 4 − 𝑥𝑒 𝑥 6 24 1 1 𝑦 ′ = 𝐶2 + 2𝐶3𝑥 + 𝐶4𝑒 𝑥 + 𝑥 2 + 𝑥 3 − 𝑒 𝑥 − 𝑥𝑒 𝑥 2 6 1 𝑦 ″ = 2𝐶3 + 𝐶4𝑒 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 2 − 2𝑒 𝑥 − 𝑥𝑒 𝑥 2 𝑦 ‴ = 𝐶4𝑒 𝑥 + 1 + 𝑥 − 3𝑒 𝑥 − 𝑥𝑒 𝑥 𝐶1 + 𝐶4 = 0 → 𝐶1 = 2 𝐶2 + 𝐶4 + 1 = 0 → 𝐶2 = 1 2𝐶3 + 𝐶4 + 2 = 0 → 𝐶3 = 0 2 + 𝐶4 = 0 → 𝐶4 = −2 1 1 4 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: 𝑦 = 2 + 𝑥 − 2𝑒 𝑥 + 𝑥 3 + 𝑥 − 𝑥𝑒 𝑥 6 24

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CONCLUSIONES Para anular una constate 𝑪 ∈ 𝑹, se usa el operador D. Para anular las funciones 1, x, x2, …………., x n-1 Se usa el operador anulador Dn+1 Para anular las funciones eαx, xeαx,

x2eαx, …,

xn-1 eα, se usa (D – α)n+1

Para anula las funciones 𝒔𝒊𝒏 ∝ 𝒙 O 𝒄𝒐𝒔 ∝ 𝒙 se usa el operador (𝑫𝟐 +∝𝟐 ) Para anula las funciones 𝐱𝐬𝐢𝐧 ∝ 𝒙 O 𝒙 𝐜𝐨𝐬 ∝ 𝒙 se usa el operador (𝑫𝟐 +∝𝟐 )𝒏+𝟏 Se usa el operador diferencial ሾ𝑫𝟐 − 𝟐 ∝ 𝑫 + (∝𝟐 + 𝜷𝟐 )ሿ𝒏 para anulas las funciones: eαxcosβx,

xeαxcosβx,

x2eαxcosβx,

…,

xn-1 eαxcosβx

eαxsenβx,

xeαxsenβx,

x2eαxsenβx,

…,

xn-1 eαxsenβx

RECOMENDACIONES Para resolver una ecuación diferencial se recomienda identificar que tipo de operador se debe usar. Una vez que se ha determinad el operador anulador se recomienda mediante el método de Ruffini los polinomios de grado superior en caso de no ser perfectos Se recomienda identificar por el determinante de la ecuación general si el trinomio tiene dos raíces , una raíz doble, o si tiene raíz imginaria

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