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• Joel Paucar Sinche

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METODO DE BALANCE DE MATERIALES Consideraciones a tener en cuenta para realizar un balance: 1. Seleccionar un sistema adecuado de estudio, un sistema complejo puede desdoblarse en sistema sencillos. 2. Procurar el # de entradas y salidas en el sistema de estudio. 3. Establecer un sistema de unidades homogéneas. 1) En un proceso de concentración de un jugo de naranja, el zumo recién extraído y tamizado contiene 7,08 % en peso de solidos se alimenta a un evaporador al vacío. En el evaporador se extrae agua y el contenido de solidos aumenta 58 % en peso, para una entrada de 1000 kg/h calcular la cantidad de la salida de corrientes de solidos de jugo y agua. L2 , X 2 =0 X 1=7.08

X 3=58

L2=1000 kg /h EVAPORADOR L1=L2+ L3 100∗7.08=L2∗0+ L3∗58 kg L2=877.93 h 2) La papa se seca desde el 14% de solidos hasta 93% cual el producto

obtenido cada 1000 kg de papa debiendo que se pierde el 8% en el pelado. Se parte de 1000 kg de papa entera. L3 X 3=0 X 1=14

X 2=93 8

L1=920 kg

L1=1000−

DESDRATLACO

L2=138.494 kg /h

3 ∗1000=920 kg 920∗14 =93∗l 2 100

L2=138,494

L1=L2+ L3 L3=781 kg 3) Tenemos 500kg de soya que tiene una concentración en aceite de 50% añadimos 10kg de hexano en el secador rotatorio y sale por otro lado

aceite de 95% ¿Cuánto de orujo torta de soya sale y conque concentración? L4 X 4

X 1=50

X 1=95 SECADOR

L1=500

L3=¿

L1+ L2 =L3+ L 4 500∗50=L4∗X 4 + 95 ∗L3

L3=263.15 500+10=263.15+ L4

L4=246.85 L4 + L3=510

L3=510−L4 hexano

L2=10 kg , X 2=0,Y 2 =1

L1=500 kg , X 1=0,5 ,Y 2=0,5

L4 , X 4 , Y 2=0 Extracción

L3 , X 1 =0,95 ,Y 2=0,01 Ecuacion General

L1+ L2 =L3+ L 4=510

Balanza en funcion al aceite: 500−0.5+ 10∗0=L3∗0.95+ L4∗X 4

250=L3∗0.95+ L4∗X 4 200 ------100%

X ----------5 % L4=300 kg 250=210∗0.95+300∗X 4

X 4 =0.1683=16.83 PROCESO

INGRESA

SALE

MATERIA Prima Selección Lavado Pelado Cortado y eliminacion de pelos Pulpeado Acidificacion Pasteurizacio n Envasado

Kg

Kg 80 --150 L -----

-8 150 L 1,6 2.4

-0.0174 ---

----

CONCENTRAD O Proceso 80 72 72 70,4 0.8

RENDIMIENT O 100 90 90 88 85

68 68,0174 68,0174

85, 02175 85, 02175 85, 02175

68,0174

85, 02175

CLASIFICACIÓN DE LOS FLUIDOS DE ACUERDO A SU VISCOSIDAD 1. Fluidos newtonianos. 2. Fluidos No newtonianos. 2.1. Fluidos no newtonianos independientes del tiempo. 2.1.1. Fluidos plásticos beanglon. 2.1.2. Fluidos pseudoplasticos. 2.1.3. Fluidos dilatantes. MEZCLA I,II

2.2. Fluidos N,N dependientes del tiempo. 2.2.1. Fluidos miotropicos 2.2.2. Fluidos reopecticos

FLUIDOS NEWTONIANOS Es aquel fluido cuya viscosidad no varía con la aplicación del esfuerzo cortante son aquellos fluidos para los cuales el π es DP a la rapidez de deformación. Diagrama Reológico: Son aquellos diagramas que relaciona o proporcionan infinito del comportamiento de o respuesta de un fluido al ser sometido a un esfuerzo de corte a una velocidad angular determinada. Reología: Es una ciencia de flujos y deformación de fluidos. y = ax T

La viscosidad es la pendiente Ejemplos: agua

T=u

dv θ1 = dy 45º θ2 = 30º θ3 = 75º

FLUIDOS NO: Son aquellos fluidos que se caracterizan por tener una u q´ varea con la θ o bien con el tiempo de aplicación de la misma. En F.N.N. independiente del tiempo la viscosidad adquiere ≠ valor y a esto se le llama viscosidad aparente. T=u

uB =

T dv dy

dv dy FLUIDOS PLASTICOS BEAGLON: Son aquellos fluidos que requieren de un π inicial para que el fluido se deforme o fluya y luego alcance las características de un F.N.

T

y=ax+b

ECUACION DE LA POTENCIA: T = TO + K

dv dy ¿

T = TO + uB dv ( ) dy

n

)

n=1

Donde: TO K n

Esfuerza cortante inicial Indice de consistencia Indice reologico

Ejemplo: Suspensiones, jaraba Margarina, grasa, mezcla de chocolates.

FLUIDOS PSEUDOPLASTICOS: Es aquel fluido cuya viscosidad aparente disminuye cuando se incrementa el esfuerzo constante, es quizás la clase más grande de F.N.N. cuyo comportamiento lo veremos en el siguiente grado: lugos, nectores, bebidas azucaradas. T

T=

K

dv dy ¿

)n

;n >1

FLUIDOS DILATANTES: Son aquello fluidos cuya u a aumenta (se incrementa) al aumentar el π goma arábiga, alquitrán, miel. T U

T

T=T=

K

dv dy ¿

)n

;n >1

MEZCLAS I PLASCTICOS BINGLON VS PSEUDOPLASTICO: T

T

Ejemplo: . Puré . Concentración de tomate . Cremas

T

T = T O + UB

T MEZCLA II

dv dy ¿

)n

;n >1

T

PLASTICOS BENGLON VS DILATANTES: Ejemplo: Mantequilla

T

dv dy ¿

T = TO + UB

)n ; n > 1

DETERMINACIÓN DE LOS VALORES k,n Los valores de k y n pueden ser determinados mediante la gráfica logarítmica utilizando la ley de la potencia representada por la ecuación. T =T 0+ k

dv dy

n

( )

DETERMINACIÓN

DE

LOS

VALORES

k

PSEUDOPLATICOS Y DILATANTES T ❑ =k dv T log T =log K dy

n

( )

log T 1 log T 2 K

dv dy

n

( )

log T =log k + nlog

( dvdy )

y

n

PARA

FLUIDOS

log

( dvdy ) log ( dvdy ) 1

2

Para el cálculo de k y n se hará en base de datos experimentables obtenidos mediante visco simétrico. 1. Datos experimentales. T T1 T2 ⋮ Tn

dv dy dv dy dv dy ⋮ dv dy

( ) ( )

1

2

( )

n

2. Representar los datos experimentales de en un papel logarítmico. Log T

3. Grafica promedio:

4. Luego para determinar n se toman 2 puntos A y B, luego determinamos el valor Log.

log T B

log T A

( dvdy )

( dvdy )

B

A

5. Luego determínanos el valor de n:

log n=

( dvdy ) −log ( dvdy ) B

A

log T B −log T A

6. Para el valor de k, se toma cualquier punto de la recta experimental. Tomando el punto A n dv T ❑=k dy

( )

T A =k

logk=log T −nlog

n

dv dy

( )

( dvdy )

A

A

 log T A =logk +nlog

( dvdy )

A

k =antilog ( logk )

FLUIDOS NO NEWTONIANOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO: Son los tiempos muy comunes como podría esperarse el variable tiempo completo el zonalisis, un procedimiento de análisis es el llamado técnico rizo en el cual se somete una sustancia o un experimento de tensión o t y después con una disminución de tensión hasta llegar a cero. Si no existe dependencia del tiempo las curvas, podrán coincidir, sin embargo a la u a varia con el tiempo entonces la curva es separada y tienen ≠ forma. T

T

T Índice reológico

FLUIDOS REOPEPTICOS: Estos fluidos muestran un p u a con respecto al tiempo las fechas indican la trayectoria con respecto al tiempo, es decir el rizo está formándose al ↑ y ↓ él y las flechas indican el orden cronológico que aseguran los datos a ser formados

los valores A y B, son tenciones diferentes. Para una misma velocidad de formación pero para una duración ≠. Ejemplo: Clara de huevo, mayonesa,etc. FLUIDOS TIXOTROPICOS: La tixotrópicos

es la características opuesta a la eupepsia. Los fluidos

tixotrópicos muestran una disminución de la µa con respecto al tiempo que se aplica el r los datos en la misma forma ya obscrita para los fluidos reopepheas proporciona también con diagrama de núcleo o rizo pero el camino indicado por las fechas está invertido el comportamiento tixotrópico e encuentra en la gelatina, masa de pan, pintura y masa de kétchup. T

ua

Variación de la µ de los alimentos (liquido) con la temperatura siempre de asume que la Δ de la consistencia sigue una ecuación de primer orden que lo x lo que afirma que se adecua a la ley ARRENHRUS, cuyo grafico es una línea recta por otro lado debemos indicar que: Los alimentos líquidos varían en su viscosidad cuando tiene Δ, inclusive muy pequeña de temperatura. Para tener una precisión en la medición µ de los alimentos se debe aceptar un rango de Δ de 0 a 1º c en error máximo. FLUIDOS NEWTOTIANOS: FLUIDOS NO NEWTOTIANOS:

B

u= A e Tº B

K= A e Tº

:

B

K= A e Tº B

log k =log A +log e Tº K

ln e =ln A+

B T

En un proceso que produce KN0 3 el evaporador se alimenta con 10 3 kg/h de una solución que contiene 20% de KNC 3 al 50% de sólidos en peso y se concentra a 422 ºk para obtener una solución KN0 3 al 50% de sólidos en peso esta solución se alimenta a un cristalizador a 311ºk donde se obtienen cristales de KN03 al 96% de sólidos en peso. La solución saturada que contiene 37,5% de KN03 de sólidos en peso de recircula al evaporador ¿Calcula la cantidad de corriente de circulación en kg/h y la cantidad de corriente de salida de cristales en kg /h? L1 = 1000kg /h

T = 422 k

T = 311k

X = 20 %

cristales KNO3 con Evaporador

Cristalizador

S = 37,5 % pureza L1=M +W 1000 ( 0,2 )=M ( 0,5 ) +W ( 0 )

M=

L2 = ¿?

400 kg −−→ W =600 kg ❑ h h

M =L2 +S 400 ( 0, 5 )=0,90 L2 +0,375 S 200=0,96 L2 +0,375 S

334=0,96 L2+ 0,96 S 184=0,545 S

S=314,53

kg h

L2=85,47

kg h

el 95 % de pureza

DESMOSTRACIÓN DE LA ECUACIÓN GENERAL DE TRASNFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCIÓN Y

q k + dy

q k/ z + dz

y

dx

dy

q k + dx x

X

qk x

dz

qk z

qk

Z

y

Considere un pequeño elemento de cuerpo sólido, el elemento tiene la forma de un paralepipedo rectangular con sus lados dx, dy , dz paralelo a los ejes x,y,z respectivamente luego realizamos un B.E. para el elemento en un tiempo pequeño d θ BALANCE DE ENERGIA E INGRESA + E GENERADA = E SALE + E ACUMULADA………………(I) E INGRESA =

q k/ x +q k/ y +q k/ z ………………(a)

E SALE

q k/ x +dx +q k/ y +dy +q k/ z + dz ………………(b)

=

EXPRESANDO LA ENERGIA QUE SALE EN FUNCIÓN A LA SERIE DE TAYLOR SIMPLIFICADA A DOS TERMINOS.

q k/ x +dx=qk / x +

∂ ( q ) dx ∂ x k /x

q k/ y + dy=qk / y +

∂ ( q ) dy ∂ y k/ y

q k/ z + dz=q k/ z +

∂ ( q ) dz ∂ z k/ z EXPRESANDO LA ENERGIA QUE INGRESA

EN FUNCIÓN DE LA EDUCACIÓN FENEGER q k/ x =−KA ∎

∂T ∂T =−kdydz ∂x ∂x

q k/ y =−KA ∎

∂T ∂T =−kdxdz ∂y ∂y

q k/ z =−KA ∎

∂T ∂T =−kdxdy ∂z ∂z

E. Generada: Es la energía que se acumula en la masa de salida por unidad de tiempo y volumen. E g=qv= ´ q´ dxdydz=

BTU 3 hf t

E. Acumulada: Es la energía que se acumula en la masa del solido por unidad de tiempo y es expresada como: Ea =mC p

∂T ∂x

Por otro lado sabemos: ρ=

m −→ m=ρv v

Para el cado particular: m=ρ . dxdydz

Ea =ρdxdydz c p

∂T ∂θ

Reemplazando en (I) q k/ x +q k/ y +q k/ z + qdxdydz =qk / x +

q´ dxdydz =

∂ ∂T ∂ ∂T ∂ ∂T −kdxdydz dx+ −kdxdz dy+ −kdxdy dz + ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z

(

ρdxdydz c p

q´ dxdydz =

)

(

)

(

)

∂T ∂θ

∂ ∂T ∂ ∂T ∂ ∂T ∂ ∂T −kdxdydz + −kdxdydz +¿ −kdxdydz dy + −kdxdydz dz ∂x ∂x ∂ y ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ´¿

(

+ ( ρdxdydz c p

q´ =

∂ ∂ ∂T q k / x ) dx +q k / y + q k/ y ) dy + ρdxdydz c p ( ( ∂x ∂y ∂θ

) (

)

(

)

(

∂T ∂θ

∂ ∂T ∂ ∂T ∂ ∂T ∂T −k + −k + −k +ρ cp ∂x ∂ x ∂x ∂ y ∂x ∂x ∂θ

(

) (

) (

)

∂2T ∂2T ∂2T ∂T q´ =−k 2 −k 2 −k 2 + ρ c p ∂θ ∂x ∂y ∂z q´ ∂ 2 T ∂2 T ∂2 T ρ c p ∂ T 1 ∂T + + + = = k ∂ x 2 ∂ y 2 ∂ z2 k ∂θ ∝ ∂θ

DIFUSIDAD TECNICA Y LA PROPIEDAD Es la propiedad física que mide la facilidad con que un cuerpo varía su tiempo respeto al tiempo (0). ∝=

k ρ cp

q´ 1 ∂T 2 −´v T = k ∝ ∂θ Esta es la Ec. General de trans de Q por conducción que gobierna la Δ de Tº y la conducción de flujo de calor en un sólido de prop. Física uniformes.

)

TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCIÓN DE EN ESTADO ESTACIONARIO O ESTABLE A TRAVÉS DE UNA PARED PLANA.

CONDICIONES: 

Proceso estacionario. ∂2 T ∂2 T ∂2 T q´ 1 ∂T + + + + ∂ x 2 ∂ y 2 ∂ z 2 k ∝ ∂θ



Propiedades Térmicas.



Sin generación de calor.



Transferencia de calor en una sola dirección.



Transferencia de calor a través de una pared plana.

∂2 T =0 ∂ x2 d

( dTdx )=0

solución general

=∫ 0 ∫ d ( dT dx ) dT =C 1 dx CONDICION DE FRONTERA Si:

X = 0  T = Tc X = L  T = Tf

T =C1 X +C 2

APLICANDO LA CONDICIONES DE FRONTERA Aplicando (a) en

(∝)

Si x = 0  T = Tc Tc = C1 (0) + C2

Aplicando (b) en ( ∝¿ Si x = L T = Tf Tf = C1 L + C2 Tf = C1 L + Tc

Tc = C2

Tf - Tc = C1 L C1 = (Tf -TC)/L

Por lo tanto, en (α) tenemos:

(

T=

T f −T c x +T c L

)

T =T c −

( T c −T f ) L

x

POR LA EC DE FOURLER Sabemos: q k/ x =−kA

dT dx

T −T f dT =− c dx L

(

{(

q k/ x =−kA −

q k/ x =kA

)

T c −T f L

)}

{( )}

T c −T f potenciatermica = L resistencia termica K

dT dx q k/ x . dx=−kAdT dx q k/ x =−dT kA q k/ x =−kA

Tc

qk / x x=1 Tc ∫ dx=∫ dT =|T|Tf k x=2 T f

Tc

q k/ x

1 L Tc [ x ] = dT =|T|Tf kA o ∫ T f

Tf

qk / x x=1 ∫ dx=−∫ dT kA x=2 T c

L =(T c −T f ) KA T −T f q k/ x = c L/kA q k/ x

TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCIÓN EN ESTADO DE ESTACIONARIO O ESTABLE A TRAVES DE UN CILINDRO.

Ri

Re L

Ec. de Fourier q k/ x =−kA

dT dr

q k/ x =−k 2 πrl

A L=2 πrL

dT dr

q k/ x

1 dr =−dT 2 πkL r

q k/ x

1 dr =−∫ dT 2 πkL r∫ r =ri T

r=ℜ

Tf

c

q k/ x

1 [ lnre−lnri ] =( T c −T f ) 2 πkL

q k/ x

ℜ 1 ln =(T c −T f ) 2 πkL ri

[ ]

DETERMINACIÓN DE CALOR POR CONDUCCIÓN EN ESTADO ESTACIONARIO A TRAVÉS DE ESTRUCTURA CONDUCTIVA A ) PAREDES PLANAS EN SERIE

q k/ x Tc

T1

T2 Tf

L1L2 L3

K1≠ K2 ≠ K3

A 1= A 2=A 3= A q k/ x =

K 1 A ( T c −T 1 ) L1

q k/ x =

K 2 A ( T 1−T 2 ) L2

q k/ x =

K 3 A ( T 2−T ❑) L3

T c −T 1=qk / x

L1 k1 A

T 1 −T 2=qk / x

L2 k2 A

T 2 −T f =qk / x

L3 k3 A

T c −T f =qk / x

1 L 1 L2 L 3 + + A k1 k2 k3

[

]

q k/ x =

q k/ x =

T c −T f

(

T c −T f n

(∑ )

L1 L 2 L 3 + + k1 k2 k3 q k/ x =

RTki

) T c −T f 3

(∑ ) RTki

i=1

i=1

Transferencia de calor por conducción y convección a través de estructura compuestas en el medio ambiente.

q k/ x Tc

T1

T2 Tf

L1L2 L3

T ∝ c R T c1 R T 2 RT c 3 R T c 4

L❑ L1 L2 L3 L❑ h1 A h 1 A h1 A h 1 A h 2 A

q k/ x =

q k/ x =

U=

(T ∝ c −T ∝f ) L L L L❑ L + 1 + 2 + 3 + ❑ h1 A h1 A h1 A h 1 A h 1 A

(T ∝ c −T ∝f ) L L L L l l + 1+ 1+ 1+ A h1 K 1 K 2 K 3 h2

(

l L L L l l + 1+ 1 + 1 + h1 K1 K 2 K 3 h2

)

q k/ x =UA ( T ∝c −T ∝ f )

A través de estructura compuesta en serie y en paralelo

0,5 m KaKb KCkDTf L!Lb LCLdX

0,5 m

T c =50º C T f =20º C La=1 cm=0,01 m Lb=Lc =3 cm=0,03 m Ld =2cm =0,02 m K a=200 w/mºC K b=50 w/mºC K c =40 w/mºC K d =90 w /mºC

Calculo el flujo de calor en la pared compuesta mostrada a continuación: suponga que el flujo de calor es unidimensional. RTK2

TC

RTK1

La

Lb kbAb

RTK2

Ld

En la fig. el Q fluye a través del material A y a lo largo de la trayectoria a través de B y C y finalmente a través del material D la cantidad de Q trayectoria el flujo de calor será: (T ∝c −T ∝ f )

q k/ x = k a A a+

q k/ x =

q k/ x =

[

]

La L L + + Lb Lc Kd Ad K b A b K c Ac 30 ºC

2

2

[

0,01m ºC 0,02 m ºC 1 1 + + + 2 200 w A a 90 w A a 0,03 m ºC 0,03 m2 ºC 50 wAb 40 wAb

]

−1

0,01 m2 ºC 2000 w

q k/ x =3195,66 W

Ecuación de trans de Q por conducción con generación de calor en estructura estable o estacionario.

T

Tmax Tp

Tp

Eg-Calor generado por unidad de volumen

X =0 L L

q k/ x T ∝ f ∝ , h2 Algunos sistemas se genera Q en el interior del medio conductor esto es Xq existe una fuente de Q distribuida uniformemente. Entre los ejemplos de esta situación están los calentadores de resistencia electrica, otro ejemplo lo tenemos en el proceso de alimentos donde tras resp. De frutas y vegetales frescos estos Qs. Pueden llegar a ser tan altos como (0,3-0,6) W/ kg a (0,5-4)BTU/h. Por otro lado indicaremos que además del calor I 2R de los conductores eléctricos la generación de Q se produce en reactores y en sistemas de Rx químicos CASOS: PARED PLANA Condiciones: -

Pared infinita con fuentes de generación interna de Q uniformemente

-

distribuidas. Propiedades térmicas constantes K, Cp, ∝ Transf. de Q por conducción estacionario a través de una sola dirección. Considerar la Tº de Tp en ambas caras dela pared. ECUACIÓN GENERAL

∂2 T ∂2 T ∂2 T q´ 1 ∂ T + + + = ∂ x2 ∂ y2 ∂ z2 k ∝ ∂ θ d 2 T q´ + =0 …(1) d x2 k d 2 T −q´ = ∂d k −´q =∫ dx ∫ d ( dT dx ) k dT −´q = x +C 1 dx k

∫ dT =∫ ( −´kq x +C1 ) 2

T=

−q´ x +C1 X +C 2 ……….(3) k 2

Condiciones de frontera Si

X = 0 T = Tp…….(4) X = 2L  T = Tp……(5)

Aplicando (4) a (5) Tp = 0 + 0 + C2 Tp = C2……………..(6) T f=

2 −´q ( 2 L ) +C 1 ( 2 L ) +Tp k 2

q´ 4 L2 =2 C1 L k 2 q´ C1 = L ….(7) k Reemplazando (6) (7) en (8) T=

−q´ x 2 q´ + Lx+ Tp 2k k

Tmáx−→

dT =0 dK

´ ´ qL dT −qx = + =0 dx k K X = L = T máx T=

−q´ L2 −q´ L2 q´ L2 +C1 L+C2 −→Tmáx= + +Tp k 2 2k k

Tmáx=

2 q´ L + Tp 2k

E g=qV

[

E g=2 −kA

dT dx

]

[ ( )]

E g=2 −kA

−qL K

E g=2 q´ V =´q V ´ ´ qL dT −qx = + =0 dx k k

x = 2L

´ qL ´ dT −2 qL = + dx k k ´ dT qL = dx k Ejercicio: En una pared de un material metálica se produce generación de calor con una temperatura máxima de 21 ªC, la pared tiene un grosor de 0.50 m la cual tiene una K 0 53W/mªc. Esta pared esta rodeada de un fluido con vapor de agua de 30ºC. Calcular (Eq) la generación de calor parcial y total.

X = 950 m L = 0,25 K = 53 w/mºC Tα = 30ºC Tº = 211ºC Área referncial = 1m2

EgToEg

2L

Tmáx=¿=

Eg=

( ¿−Te ) Eg 2 ( L ) +Te Eg= 2 2 K 2k L

( 211−30 ) º Cx 53 x 2 x 53 w /mº C (0.25 m)2

Eg=3 x 10

−5

w m3

Eg=Eg ( 2 AL )

5 Eg=3 x 10 ( 2 ) ( 1 )( 0.25 )

EgT=1.5 x 106 w/m3−→ energia generada total

TRANSFERENCIA DE CALOR PRO CONDUCCIÓN NO ESTACIONARIA TRANSCIENDE O INESTABLE En la ingeniería de procesos de los alimentos de transferencia de calor en estado estacionario es muy frecuente. De tal modo que en estos procesos cambie la Tº con el tiempo y las sustancias se calientan o enfrían. En muchas situaciones de trasferencia térmicos interesa conocer el y tiempo necesario para calentar, enfriar, cocinar o secar un alimento. Pueden encontrarse soluciones para estos problemas, teniendo en cuentas las ecuaciones de transferencia térmica en estado no estacionario las cuales describen el cambio de Tº para una posición determinado. La transferencia de calor en estado inestable es importante debido a gran número de problemas de calentamiento e enfriamiento que existe en la industria. En el procesamiento de alimento como en la industria de las conservas los alimentos enlatados se calientan por inmersión en varios en vapor o se enfrían sumergiéndolas en agua fría. ∂2 T ∂2 T ∂2 T q´ 1 ∂ T + 2+ 2+ = 2 ∂x ∂ y ∂ z k ∝ ∂ x No estacionario inestable se refiere a acumulación de energía por lo tanto al segundo término de la ecuación α no es igual a cero por lo que la T º va estar en función x, y, z y T = f(x, y, z,

θ

θ )

CASO I: Transferencia de Q unidireccionalmente transciende o no estacionario propiedades térmicas o no estacionarios propiedades térmicas constantes sin generación de calor interna. Por tanto la ecuación ( ∝ ) queda de la siguiente manera:

2 2 2 ∂ T ∂ T ∂ T q´ 1 ∂ T + + + = ∂ x2 ∂ y2 ∂ z2 k ∝ ∂ θ

∂2 T 1 ∂ T = ….(b) 2 ∂x ∝ ∂θ ∂T ∂2 T =∝ 2 ∂θ ∂x ∝=

T>T ∝

K P Cp

Difusividad térmica la Tº varía en función a x y

θ

Un ejemplo clásico de este tipo de flujo transitorio es el enfriamiento de un pequeño trozo de metal fundido en un baño templado después de sacar de un horno caliente. Se supone que el trozo se extrae del horno a una temperatura θ=0

uniforme To en un tiempo

y luego se sumerge de manera repentina en

el baño de agua fría que se mantiene a una temperatura contante Tα con respecto al tiempo supóngase que el h = w/m2k no varía con el tiempo. T > Tα

T = To Q = 0

T

Tα

transferencia de Q

h

por convección

Baño de agua fría

Cambio en la energía interna = transformación de Q por convección Llevándose a cabo un balance de calor con respecto al objeto sólido para un intervalo pequeño de tiempo d θ debe ser igual a la

∆ E del propio objeto.

Por lo tanto: ρ=

la transferencia de calor del objeto al baño

m −→ m=ρ . A . L … . ( 1 ) v

(1) En ( γ ) tenemos : −ρALp Tf =T

∫

¿=¿

dT =hA ( T −T ∝ ) dθ θ=0

dT −h = ∫ dθ (T −T ∝) ρLCp θ=0

−hθ

(T −Tα ) ρLCp −h ln ( T −T ∝ ) ⋮ = −→ =e ρ . L . Cp ( ¿−Tα ) T ¿

Esta ecuación describe la historia del tiempo y temperatura objeto solido a este tipo de análisis se le conoce con el nombre de método de capacidad térmica global a método de calentamiento a enfriamiento newtoniano. L  longitud característica del objeto. −hθ k L hL . . =NUMERO DE BIOT ρLCp L K K αθ =NUMERO DE FONRIER L2 T −Tα =e .Bi Fo ¿−Tα DEFINICIÓN DE NUMERO BIOT: es aquel que compara valores relativos d ela resistencia interna a conducción y dela resistencia correctiva superficial con la transformación de Q. -

Si el numero Biot es < 0.1 en este caso la Tº es función de θ Si el numero Biot es > 0.1 en este caso la Tº es función de (α y Lc: pared, cilindro, esfera

Pared: Lc =

V A. L = =L A A

Cilindro:

V π r2 L L R Lc = = = = A 2 π r2 r 2

θ )

Esfera:

V 4 π r3 R Lc = = = 2 A 3 x 2π r 3

−hθ

T −T ∝ =e ρLCp =e−BiFo ¿−T ∝

L 0.1 T −T ∝ ¿−T ∝

0.01

0.001 0

1

2

3

4

5

TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCION NO ESTACIONARIA TRANSCIENDE O INESTABLE PASOS A SEGUIR 1. Se calcula el N BIOT a) Si el BIOT < 0.1 solución analítica b) Si el BIOT > 0.1 solución mediante gráficos Si el BIOT > 0.1 INFORMACION EN LOS GRAFICOS a) Formas geométricas a.1. pared infinita a.2. cilindro infinito a.3. esfera b) Asunciones para poder los gráficos. Transferencia de calor no estacionarse sin generación interna de Q en una sola dirección (en la superficie exterior del solido que se encuentra en contacto debe tenerse encuentra las propiedades térmicas constantes. c) Se puede hallar c.1. Ti en el plano central c.2. Ti en localizaciones diferentes del centro c.3. cantidad de Q que gana o pierde el cuerpo

PARED PLANA Considere un ejemplo en caso de una placa infinita de espesor 2L la cual se encuentra inicialmente a una T = To como se observa en la figura suponga que repentinamente e pone la placa en contacto con un fluido líquido a una menor

T, la cual es constante y se desea conocer la historia de Tº de la placa en función de Q y la distancia. La ecuación que gobierna este fenómeno 222

k, ᵨ Cp

Tα, h

qk

qC Tα, h

2

dT d y =α 2 dx dx Valido: -1< x < 1 Condiciones de trasferencia: θ=0−→ T =¿ ( inicial ) Si θ>0 ( el calor aumenta y q no es igual en todo el cuerpo )

1. 2.

q k/ x= L=qc/ x= L

En forma de ecuación: −kA

[

∂ T ( xθ ) ∂x

]

x=2 L

=hA [ T ( xθ )−Tα ] x=2 L

dT dx x=0

Indica que en el punto central no varía la Tº con respecto al

θ . En la práctica

el problema anteriormente es descrito por simetría alaguna palca de espesor L la cual se encuentra asilado térmicamente como una de las superficies como se muestra en el grafico siguiente:

Aislamiento Térmico

qk qc =0 L

qc

TRANSFERENCIA DE CALOR NO ESTACIONARIA EN DOS Y TRES DIRECCIONES

XK y Cp T h1, T

En ciertos momentos la transferencia de Q se lleva a cabo en varis direcciones y además depende del ϴ la distribución no estacionaria de Tº en alguna de estas situaciones puede obtenerse sin dificultad usando el producto de las soluciones para problemas unidimensionales anteriormente descrito con ilustración de este método de análisis considere la barra de sección transversal rectangular mostrado en la figura suponga que esta barra es infinitamente grande en la dirección axial de tal manera que Tº

= f(x,y, ϴ) la barra en

cuestión se encuentra inicialmente a una T conste = To y repentinamente se coloca en un medio cuya temperatura es Tα la ecuación diferencial que gobierna este proceso no estacionario es la siguiente. En la figura puede obtenerse que existen 2 problemas unidimensionales. -

Placa infinita de espesor 2L1 Placa infinita de espeso 2L2

De lo anterior se desprende que la solución del problema transitorio bidimensional de conducción en la barra de la fig. puede obtenerse como el producto de las soluciones de 2 placas infinitas una de espesor 2L 1 la otra de espesor 2L2, es decir para la barra bajo consideración tenemos. −T ∝ ( T¿−T ∝)

2 L 1 x2 L2

=

−T ∝ T −T ∝ x( ( T¿−T ) ∝ T −T ∝ ) 2 L1

TAMBIEN SE PUEDE EXPRESAR

2l 2

[

] [

T ( X , Y , θ )−T ∝ T ( X ,Y , θ ) −T ∝ = ¿−T ∝ ¿−T ∝ ❑

] [ X

2 L1

T ( X ,Y , θ ) −T ∝ ¿−T ∝

]

2l 2

LA TEMPERATUR A EN EL CENTRO DE L A BARRA O PARED DE SECCION RECTA INFINITA SERA

[

T ( X , Y , θ )−T ∝ ¿−T ∝

]

=

2 L1 X 2 L 2

[

T ( X , Y ,θ )−T ∝ ¿−T ∝

] [ X

2L 1

Y

[

]

cilindro finitode radio ro y altura2 L1

T(0,0,0)

=

[

]

2l2

H, Tα

h2, Tα

T ( X , Y , θ )−T ∝ ¿−T ∝

T ( X , Y ,θ )−T ∝ ¿−T ∝

T ( r , θ )−T ∝ ¿−T ∝

]

2L1 = ALTURA

x cilindro finitode Ro

[

T ( X , Y ,θ )−T ∝ ¿−T ∝

]

pared infinita2 L1

Tº en el centro de la base

[

T ( 0,0, θ ) −T ∝ ¿−T ∝

] [ =

rox2 L

T ( 0,θ )−T ∝ ¿−T ∝

] [ X

r2

T ( 0,θ )−T ∝ ¿−T ∝

]

2l1

NTERCAMBIADORES DE CALOR Una de los mas importantes aplicación de transf. de calor en la industria de alimentos es el

diseño de los intercambiadores de calor para producir

alimentos, si analizamos el concepto de intercambio de calor se puede decir

que es un equipo que transmite calor 2 elementos compuestos por ejemplo en el caso de fluidos: el caso mas

simple intercambio de calor esta

esquematizado en el siguiente gráfico: K T1

T2

A FLUIDO CALIENTE

B FLUIDO FRIO

Donde se puede se puede observar el proceso de transformación Q puede incluir conducción convec. Reducción en forma simultánea. Numerosos tipos de int. De Q son usados en planos de procesos de alimentos incluidos equipos de trans de Q tipo tubulares, planos, barridos con inyección de vapor. Los 3 primeros pueden ser usado para el calentamiento y enfriamiento de `producto alimentación en general el diseño de cualquier intercambiador depende sobre la evaluación del coeficiente de Q por convección para el caso de productos y el medio del calentamiento. En muchos situaciones el coeficiente de transformación para los productos especialmente el coeficiente siempre tiene en comportamiento de flujo no newtoniano puede indicar que el flujo ofrece un mayor considerablemente mayor resultado a la transferencia de Q que el medo de calentamiento int de Q se pueden hacer de diferente formas probablemente el más común es el intercambio de tubos ilustrado esquemáticamente en la fig 2.

Producto Vapor ingreso Producto salido Ingreso Vapor condesado salida

En este equipo el producto fluye a través del interior del tubo cuando el medio de calentamiento (usualmente H2O) fluye por la parte exterior puede ser en la misma dirección (llamado flujo concurrente) en dirección opuesta (contracorriente) PERFILES DE TERMPERATURA EN UN INTERCAMBIADOR DE CALOR T T

T

∆ Tm

T2

T1

L(A)

B) Evaporación

C) Flujo en Paralelo

T T T

T1

T1

∆ Tm

∆ Tm

T2

T2 T1

L:q

L:q

D) Flujo de contracorriente T

L(A) T1 T2 T3

T4

L

L

L(A)

L