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Carlos Andrés Flores Hernández

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Ecuaciones Diferenciales

1. Operador anulador Si aplicamos o componemos por un operador la ecuación a ambos lados, llamémoslo operador anulador, de forma que el lado derecho de la ecuación sea cero, nos quedaría Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior Si comparamos la ecuación anterior con lo que hemos visto de EDO homogéneas, tenemos que Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior Podemos inferir dos cosas: La primera que el operador anulador de la función f(t) debe de ser como la parte izquierda de la ecuación diferencial, en pocas palabras, un operador diferencial. La segunda, es que las funciones que bajo operadores diferenciales se anulan son soluciones de EDO lineales. ¿Cómo son las soluciones de EDO lineales con coeficientes constantes?. Pues son exponenciales, Senos y Cosenos, polinomios y combinaciones de ellas. Lo anterior nos restringe a tipos específicos en la forma de la función del lado derecho de la ecuación. Aunque también nos da la pauta como encontrar al operador anulador. Propiedades del operador anulador. 1. El operador anulador es un operador lineal. Como todo operador anulador es un operador diferencial y todo operador diferencial es lineal. Por tanto, todo operador anulador es un operador lineal. 2. El operador anulador de una suma de funciones es la composición de los operadores anuladores. 3. La composición de operadores diferenciales opera como si se estuvieran multiplicando polinomios en D. Una vez que tenemos el operador anulador se aplica a ambos lados de la EDO y queda una EDO lineal homogénea, pero de orden mayor. Los coeficientes de la parte homogénea se determinan con base en las condiciones iniciales, los coeficientes de la parte particular se deben encontrar sustituyendo directamente en la ecuación original para determinarlos. (De ahí el nombre de método de coeficientes indeterminados). Ejemplo

( d³y/dx³)-2(d²y/dx²)+(dy/dx)= x - exp(x) La solución a la homogénea asociada viene dada por: x

x

Yh(x)=C1+C2e +C3xe

x

2

El factor anulador de x-e es D (D-1) y aplicándolo a la ecuación diferencial, obtenemos la ecuación auxiliar: x x 2 2 x Ya(x)= C1+C2e +C3xe +C4x+C5x +C6x e Luego, descartando Yh(x) de Ya(x), obtenemos : 2 2 x Yb(x)=C4x+C5x +C6x e

Carlos Andrés Flores Hernández

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Luego hallamos la primera, segunda y tercera derivada de Yb(x), la cual remplazamos en la ec dif original, esta queda en términos de constantes C4,C5 y C6 que debemos hallar. Para hallar las constantes, remplazamos las derivadas de Yb(x) en la ec dif original, lo que nos genera este sistema de ecuaciones: C4-4C5=0 2C5=1 2C6=-1 Con lo que : C4=2 C5=1/2 C6=-1/2 Estas constantes las remplazamos en Yb(x). Luego, la solución de la ecuación diferencial es: Y(x)=Yh(x)+Yb(x)

2. Annihilator Operator Creation and annihilation operators are mathematical operators that have widespread applications in quantum mechanics, notably in the study of quantum harmonic oscillators and many-particle systems.[1] An annihilation operator lowers the number of particles in a given state by one. A creation operator increases the number of particles in a given state by one, and it is the adjoint of the annihilation operator. In many subfields of physics and chemistry, the use of these operators instead of wave functions is known as second quantization. Creation and annihilation operators can act on states of various types of particles. For example, in quantum chemistry and many-body theory the creation and annihilation operators often act on electron states. They can also refer specifically to the ladder operators for the quantum harmonic oscillator. In the latter case, the raising operator is interpreted as a creation operator, adding a quantum of energy to the oscillator system (similarly for the lowering operator). They can be used to represent phonons. The mathematics for the creation and annihilation operators for bosons is the same as for the ladder operators of the quantum harmonic oscillator.[2] For example, the commutator of the creation and annihilation operators that are associated with the same boson state equals one, while all other commutators vanish. However, for fermions the mathematics is different, involving anticommutators instead of commutators

3. Annihilator Method In mathematics, the annihilator method is a procedure used to find a particular solution to certain types of inhomogeneous ordinary differential equations. It is similar to the method of undetermined coefficients, but instead of guessing the particular solution in the method of undetermined coefficients, the particular solution is determined systematically in this technique. The phrase undetermined coefficients can also be used to refer to the step in the annihilator method in which the coefficients are calculated. The annihilator method is used as follows. Given the ODE , find another differential operator such that . This operator is called the annihilator, thus giving the method its name. Applying to both sides of the ODE gives a homogeneous ODE for which we find a solution basis as before. Then the original inhomogeneous ODE is used to construct a system of equations restricting the coefficients of the linear combination to satisfy the ODE.

Carlos Andrés Flores Hernández

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Ecuaciones Diferenciales

This method is not as general as variation of parameters in the sense that an annihilator does not always exist.

Example: Given of

, is

. The zeros of

solution basis of

is

Setting

we find

giving the system

which has solutions

, giving the solution set

. The simplest annihilator are

, so the

Carlos Andrés Flores Hernández

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This solution can be broken down into the homogeneous and nonhomogeneous parts. In

particular,

is a particular integral for the nonhomogeneous

differential equation, and

is a complementary solution to the corresponding

homogeneous equation. The values of and are determined usually through a set of initial conditions. Since this is a second-order equation, two such conditions are necessary to determine these values. The fundamental solutions

and

can be further rewritten using Euler's formula:

Then , and a suitable reassignment of the constants gives a simpler and more understandable form of the complementary solution,

.