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• Joel Merino Navarro

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2.1.3 Operador Diferencial Anulador Si L es un operador diferencial con coeficientes constantes y f es una función suficientemente diferenciable tal que: 𝑳(𝒇(𝒙)) = 𝟎, se dice que L es un anulador de la función; por ejemplo, una función constante como y = k es anulada por D porque Dk = 0. La función y = x es anulada por el operador diferencial D2 porque la primera y segunda derivadas de x son 1 y 0, respectivamente. En forma similar, D3x2 = 0, etcétera. El operador diferencial Dn anula cada una de las siguientes funciones: 1, x, x2,..., xn-1.

(3)

Como consecuencia inmediata de la ecuación (3) y del hecho de que la diferenciación se puede llevar a cabo término a término, un polinomio C0 + C1x + C2x2 +... + Cn-1xn-1.

(4)

se puede anular definiendo un operador que anule la potencia máxima de x. Las funciones que anula un operador diferencial lineal L de orden n son aquellas que se pueden obtener de la solución general de la ecuación diferencial homogénea 𝑳(𝒚) = 𝟎. El operador diferencial (D – α)n anula cada una de las siguientes funciones eαx, xeαx, x2eαx,…, xn-1eαx.

(5)

Para comprobarlo, observemos que la ecuación auxiliar de la ecuación homogénea (D – α)ny = 0 es (m – α)n = 0. Puesto que α es una raíz de multiplicidad n, la solución general es y = C1eαx + C2xeαx +… + Cn-1xn-1eαx.

(6)

Ejemplos: Determine el operador diferencial anulador de las siguientes funciones: 1) 𝑓(𝑥) = 𝑥 4𝑥 𝐿 = (𝐷 − 4) … 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑎𝑛𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟 𝐿(𝑓(𝑥)) = (𝐷 − 4)(𝑓(𝑥)) 𝐿(𝑓(𝑥)) = (𝐷 − 4)(𝑒 4𝑥 ) 𝐿(𝑓(𝑥)) = 𝐷(𝑒 4𝑥 ) − 4(𝑒 4𝑥 ) 𝐿(𝑓(𝑥)) =

𝑑 4𝑥 (𝑒 ) − 4(𝑒 4𝑥 ) 𝑑𝑥

𝐿(𝑓(𝑥)) = 4(𝑒 4𝑥 ) − 4(𝑒 4𝑥 ) = 0 2) 𝑓(𝑥) = 𝑒 −7𝑥 𝐿 = (𝐷 − 5)2 … 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑎𝑛𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟 𝐿(𝑓(𝑥)) = (𝐷 + 7)(𝑓(𝑥)) 𝐿(𝑓(𝑥)) = (𝐷 + 7)(𝑒 −7𝑥 ) 𝐿(𝑓(𝑥)) = 𝐷(𝑒 −7𝑥 ) + 4(𝑒 7𝑥 ) 𝐿(𝑓(𝑥)) = −7(𝑒 −7𝑥 ) + 7(𝑒 −7𝑥 ) = 0 3) 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒 2𝑥 cos(3𝑥) 𝐿 = (𝐷2 − 2(2)𝐷 + 22 + 32 ) 𝐿 = (𝐷2 − 4𝐷 + 13)2 … 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑎𝑛𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟

Ejercicios Propuestos: Determine el operador diferencial anulador de las siguientes funciones: 1.

e−4x

2.

8𝑥 3 − 5𝑥 2 + 3

3.

5𝑒 3𝑥 + 6𝑥𝑒 3𝑥

4.

6e−2x cos(4𝑥)

5.

7 − 𝑥 + 6𝑠𝑒𝑛(4𝑥)

Solución: 1.

(D + 4)𝑒 −4𝑥 = 0

2.

𝐷 4 (8𝑥 3 − 5𝑥 2 + 3) = 0

3.

(𝐷 − 3)3 (5𝑒 3𝑥 − 6𝑥𝑒 3𝑥 ) = 0 Sol: α = 3, n = 1

4.

(𝐷2 − 2(−2)𝐷 + (−2)2 + 42 )1 = (𝐷2 + 4𝑑 + 16) 𝛼 =2,

𝛽 = 4,𝑛 = 1

(𝐷2 + 4𝐷 + 20)(6𝑒 −2𝑥 cos(4𝑥)) = 0 5.

𝑃𝑎𝑟𝑎 7 − 𝑥 𝐷 2 (7 − 𝑥) = 0 𝑃𝑎𝑟𝑎 6𝑠𝑒𝑛(4𝑥), 𝛼 = 0 , 𝛽 = 4 , 𝑛 = 0 1

(𝐷2 − 2(0)𝐷 + (02 + 42 )) = (𝐷2 + 16)1 (𝐷2 + 16)(6𝑠𝑒𝑛(4𝑥)) = 0 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝐷 2 (𝐷 2 + 16)(7 − 𝑥 + 6𝑠𝑒𝑛(4𝑥)) = 0 4𝐷 = 1 → 𝐷 =

1 4

−4𝑐 = 0 → 𝐶 = 0 1 1 1 𝑦𝑝 = 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑥 2 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 4 2 4 1 1 1 𝑦 = 𝐶1 cos(𝑥) + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑥 2 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 4 2 4