• Author / Uploaded
• Raúl Barrio Perotti

• Categories
• Fluido
• Moléculas
• Gases
• Densidad
• Fuerza

Citation preview

Contenido 1 Caracter´ısticas Generales de los Fluidos 1.1 S´ olidos, l´ıquidos y gases . . . . . . . . . . . . 1.2 Estructura molecular de la materia . . . . . . 1.3 La hip´ otesis del medio continuo . . . . . . . . 1.4 Interpretaci´ on estad´ıstica de algunas variables 1.4.1 Energ´ıa interna . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Presi´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Entrop´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

7 7 8 11 14 14 16 18

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . magnitud fluida

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

25 25 26 27 28 29 30 30 37

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . termodin´ amicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Termodin´ amica de los Procesos Fluidomec´ anicos 2.1 Termodin´ amica del equilibrio . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Equilibrio termodin´ amico local . . . . . . . . . . . . . 2.3 Gases perfectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 L´ıquidos perfectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Mezclas de gases perfectos . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Fen´ omenos de transporte . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Fen´ omenos de transporte difusivo . . . . . . . . 2.6.2 Transporte convectivo. Flujo convectivo de una

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

3 Cinem´ atica de los Fluidos 3.1 Especificaci´on del campo fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 L´ıneas de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Traza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Derivada sustancial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Teorema del transporte de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 An´ alisis de las velocidades en el entorno de un punto . . . . . . . . 3.4 Funci´ on de Corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Campo de velocidades inducido por una distribuci´ on de vorticidad

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

41 41 42 43 44 44 45 47 52 54

4 Fuerzas Macrosc´ opicas sobre los Fluidos. Fluidost´ atica 4.1 Fuerzas de Volumen y Fuerzas de Superficie. . . . . . . . . . . 4.2 Tensor de esfuerzos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Caracterizaci´on del tensor de esfuerzos. Fluidos Newtonianos. 4.4 Tensi´on superficial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Condiciones de equilibrio a trav´es de la entrefase . . . 4.5 Fluidost´ atica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Condiciones de equilibrio. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

61 61 62 64 67 70 73 74

1

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

2

CONTENIDO 4.5.2 4.5.3 4.5.4 4.5.5

Hidrost´ atica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Determinaci´ on de la entrefase de dos fluidos en reposo. . . . . Fuerza sobre un cuerpo sumergido. Principio de Arqu´ımedes. Equilibrio de gases. Atm´ osfera est´andar. . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

75 77 81 82

5 Ecuaciones generales de la Mec´ anica de Fluidos 5.1 Ecuaciones de conservaci´on en forma diferencial. Ecuaciones de Navier-Stokes 5.1.1 Principio de conservaci´ on de la masa. Ecuaci´ on de continuidad. . . . . 5.1.2 Ecuaci´ on de cantidad de movimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Ecuaci´ on de la energ´ıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Consideraciones generales sobre las ecuaciones de Navier-Stokes. . . . . . . . 5.2.1 Resumen de las ecuaciones de Navier-Stokes. . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Condiciones iniciales y de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Ecuaciones de conservaci´on en forma integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 M´etodos de estudio de los problemas fluidomec´anicos. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

85 85 86 87 88 91 91 92 93 95

6 An´ alisis dimensional y semejanza f´ısica 6.1 Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Cantidades dimensionales y adimensionales. Semejanza geom´etrica. . . . . 6.3 Teorema π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Ejemplos de aplicaci´ on del An´ alisis Dimensional. . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Gasto de l´ıquido a trav´es de un vertedero. . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2 Movimiento estacionario de un fluido incompresible alrededor de un 6.5 Semejanza f´ısica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Movimientos unidireccionales 7.1 Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Movimiento unidireccional de l´ıquidos . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Movimientos unidireccionales estacionarios. . . . . . . . 7.2.2 Corriente de Hagen-Poiseuille en un conducto de secci´on 7.2.3 Movimientos unidireccionales no estacionarios. . . . . . 7.2.4 Flujos unidireccionales con geometr´ıa cil´ındrica. . . . . . 7.3 Corriente de Couette compresible . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Temperatura de recuperaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Perfiles de velocidad en la corriente de Couette . . . . .

. . . .

115 . . . . . 115 . . . . . 116 . . . . . 116 . . . . . 118 . . . . . 118 obst´ aculo.120 . . . . . 123

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . circular constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 Movimiento casi-unidireccional de l´ıquidos con viscosidad dominante. 8.1 Flujo en conductos de secci´ on lentamente variable. . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Tubos de longitud finita. Efecto de entrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Movimiento en capas l´ıquidas. Lubricaci´ on fluidomec´ anica. . . . . . . . . . 8.4 Capas l´ıquidas tridimensionales. Ecuaci´ on de Reynolds. . . . . . . . . . . . 8.5 Movimiento de un lubricante en un cojinete . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.1 Cojinetes largos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.2 Cojinetes cortos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.3 Cavitaci´ on. Condiciones medio Sommerfeld y soluci´ on de Reynolds.

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

129 129 129 131 133 135 143 147 149 150 155 155 159 161 166 169 171 173 174

CONTENIDO 9 Movimientos de fluidos a n´ umeros de Reynolds peque˜ nos 9.1 Introducci´ on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Movimiento alrededor de obst´ aculos. Ecuaciones de Stokes . . . . . 9.3 Movimiento alrededor de una esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1 Ley de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.2 Aproximaci´ on de Oseen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Movimiento alrededor de un cilindro circular. Paradoja de Stokes. 9.5 Velocidad de sedimentaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6 Movimiento de fluidos a trav´es de medios porosos. . . . . . . . . . 9.6.1 Descripci´on macrosc´opica y ecuaciones del flujo. . . . . . . 9.6.2 Condiciones iniciales y de contorno . . . . . . . . . . . . . .

3

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

177 177 178 181 181 183 185 188 190 191 194

10 Flujos a grandes n´ umeros de Reynolds. Ecuaciones de Euler. 10.1 Introducci´ on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Ecuaciones de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Condiciones iniciales y de contorno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Continuidad, existencia y unicidad de la soluci´ on. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5 Movimientos isentr´ opicos y homentr´ opicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6 Ecuaci´ on de Euler-Bernouilli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7 Magnitudes de remanso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.8 Movimiento casi-unidireccional de fluidos ideales. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.8.1 Movimiento de l´ıquidos ideales en conductos. . . . . . . . . . . . . . . . 10.8.2 Flujo estacionario de gases en conductos de secci´on lentamente variable. 10.9 Vorticidad y circulaci´ on del vector velocidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.10L´ıneas y tubos de vorticidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.11Teorema de Bjerkness-Kelvin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.12Potencial de velocidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.13V´ ortices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.14Forma semi-integral de las ecuaciones de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.14.1 Movimiento de un fluido a trav´es de una turbom´ aquina. . . . . . . . . . 10.14.2 Aplicaci´ on a la carga de dep´ ositos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

197 197 199 200 201 204 204 206 207 209 212 217 218 220 222 223 225 226 230

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

11 Flujo potencial alrededor de obst´ aculos 233 11.1 Introducci´ on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 11.2 Ecuaciones y condiciones de contorno de flujos potenciales . . . . . . . . . . . . . . 237 11.3 Movimiento bidimensional de l´ıquidos ideales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 11.3.1 Soluciones elementales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 11.3.2 Superposici´ on de una corriente uniforme y un manantial bidimensional. . . 243 11.4 Corriente alrededor de un cilindro circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 11.4.1 Flujos potenciales en las proximidades de rincones y esquinas y alrededor de cu˜ nas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 11.4.2 Flujos potenciales axilsim´etricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 11.5 Flujos potenciales no estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 11.6 Fuerza sobre un perfil. F´ ormula de Kutta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 11.7 Generaci´on de circulaci´ on en un perfil bidimensional. Hip´ otesis de Kutta-Joukowski. 253 11.8 Caracter´ısticas aerodin´ amicas de perfiles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 11.9 Teor´ıa linealizada de perfiles en r´egimen incompresible. . . . . . . . . . . . . . . . . 256 11.9.1 Problema de espesor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 11.9.2 Problema sustentador. Curvatura y a´ngulo de ataque. . . . . . . . . . . . . 260 11.10Alas de envergadura finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

4

CONTENIDO 11.10.1 Teor´ıa de la l´ınea sustentadora . . . . . . . 11.10.2 Soluci´ on de la ecuaci´on integral de Prandtl 11.11M´etodos num´ericos en flujos potenciales. . . . . . . 11.11.1 F´ ormula de Green. . . . . . . . . . . . . . . 11.11.2 M´etodo de paneles. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

267 268 270 271 273

12 Ondas Lineales en Fluidos 12.1 Ondas sonoras. Introducci´ on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.1 Ecuaci´ on de la energ´ıa para el campo sonoro. . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.2 Ondas planas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.3 Ondas monocrom´aticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.4 Reflexi´ on y transmisi´ on de ondas sonoras. . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.5 Silenciadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.6 Emisi´ on de sonido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.7 Efectos de la viscosidad y de la conducci´ on t´ermica en la propagaci´ on ondas sonoras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Ondas en l´ıquidos con superficie libre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.1 Ondas lineales en una corriente uniforme de profundidad constante. . . 12.3 Propagaci´ on de ondas en medios no homog´eneos . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.1 Ondas detr´ as de una embarcaci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . de . . . . . . . . . .

13 Ondas No-Lineales. 13.1 Introducci´ on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Movimiento unidireccional de un gas. . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3 Discontinuidades en los movimientos de fluidos ideales. . . . . . . 13.4 Ecuaciones de conservaci´ on a trav´es de una discontinuidad. . . . 13.4.1 Discontinuidad tangencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.2 Discontinuidad normal u onda de choque . . . . . . . . . 13.5 Relaci´on de Hugoniot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.6 Ondas de choque normales en gases perfectos. . . . . . . . . . . . 13.7 Ondas de Mach y ondas de choque oblicuas en gases perfectos. . 13.8 Expansi´ on de un flujo supers´ onico. . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.8.1 Expansi´ on de Prandtl-Meyer . . . . . . . . . . . . . . . . 13.8.2 Ondas simples estacionarias en una corriente supers´ onica 13.9 Movimiento unidireccional no estacionario de aguas someras. . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

321 321 321 329 330 332 333 334 336 337 341 341 345 346

14 Efectos de la viscosidad y de la conducci´ on de calor. 14.1 Concepto de capa l´ımite. . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2 Ecuaciones y condiciones de contorno. . . . . . . . . . 14.3 Algunas propiedades de las ecuaciones de capa l´ımite. 14.4 Soluciones de semejanza de Falkner-Skan. . . . . . . . 14.5 Capa l´ımite con simetr´ıa axial. . . . . . . . . . . . . . 14.5.1 Caso a) δ
Ro . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.5.2 Caso b) Ro ∼ δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.6 Estructura de un v´ ortice viscoso . . . . . . . . . . . . 14.7 Soluciones num´ericas de capa l´ımite. . . . . . . . . . . 14.7.1 M´etodos integrales. . . . . . . . . . . . . . . . . 14.7.2 M´etodos num´ericos en capa l´ımite . . . . . . . 14.8 Capa l´ımite t´ermica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.9 Convecci´on forzada. Analog´ıa de Reynolds. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

357 357 358 361 368 373 373 375 376 379 379 384 387 390

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

277 277 280 281 284 285 288 289 301 303 305 314 317

CONTENIDO 14.9.1 Influencia del n´ umero de Prandtl en el flujo de calor. 14.10Soluciones de semejanza en convecci´on forzada. . . . . . . . 14.11Convecci´on libre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.12Estructura de las ondas de choque . . . . . . . . . . . . . .

5 . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

393 395 397 401

15 Estabilidad hidrodin´ amica. 15.1 Introducci´ on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2 An´ alisis modal de la estabilidad hidrodin´ amica . . . . . . . . . . 15.3 Estabilidad de una entrefase. Inestabilidad de Kelvin-Helmholtz 15.4 Rotura de un chorro capilar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5 Inestabilidad centr´ıfuga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.6 Estabilidad de corrientes paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.6.1 Estabilidad no viscosa. Ecuaci´ on de Rayleigh. . . . . . . . 15.6.2 Estabilidad de una capa de mezcla . . . . . . . . . . . . . 15.6.3 Estabilidad de la capa l´ımite de Blasius . . . . . . . . . . 15.7 Inestabilidad t´ermica. Problema de B´enard. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

405 405 406 407 412 420 427 429 433 436 438

16 Flujo turbulento en conductos y canales. 16.1 Introducci´ on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2 Hip´ otesis b´asicas y ecuaciones del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . 16.3 Flujo de l´ıquidos en conductos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.3.1 Movimiento casi-estacionario de l´ıquidos en conductos . . . . . . 16.3.2 Movimiento no-estacionario de l´ıquidos en conductos . . . . . . . 16.4 Movimiento casi-estacionario de gases en conductos . . . . . . . . . . . . 16.4.1 Movimientos de gases a bajos n´ umeros de Mach . . . . . . . . . 16.4.2 Conducto de secci´ on constante aislado t´ermicamente . . . . . . . 16.4.3 Conducto de secci´ on constante con adici´ on de calor y sin fricci´ on 16.5 Flujo turbulento en canales abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.5.1 Flujo lentamente variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.5.2 Aplicaci´ on pr´ actica al c´alculo del flujo detr´ as de una presa . . . . 16.5.3 Flujo r´ apidamente variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

447 447 448 452 453 455 466 469 471 476 479 480 486 488

6

CONTENIDO

Cap´ıtulo 1

Caracter´ısticas Generales de los Fluidos 1.1

S´ olidos, l´ıquidos y gases

La capacidad para deformarse indefinidamente bajo la acci´ on de fuerzas exteriores es la propiedad fundamental que distingue a los fluidos, l´ıquidos y gases, de los s´ olidos. Un trozo de s´ olido posee una forma definida que cambia u ´nicamente cuando lo hacen las condiciones externas que act´ uan sobre ´el. Por el contrario, una misma porci´ on de fluido carece de forma definida, pudiendo adquirir formas diferentes bajo unas mismas condiciones externas. As´ı un gas tender´ a a llenar completamente el recipiente que lo contiene, independientemente de la forma de ´este, y un l´ıquido se deformar´ a bajo la acci´on de su propio peso hasta llenar una parte del espacio determinado por el recipiente, tambi´en independientemente de la forma de este u ´ltimo. Se deduce, por tanto, que un fluido no presenta resistencia a la deformaci´on misma, aunque, como se ver´ a, s´ı la presenta a la velocidad con que se deforma. Dicha resistencia est´a directamente relacionada con una propiedad del fluido denominada viscosidad. Es bien conocido que el proceso de verter cierto volumen de agua desde un recipiente a otro es mucho m´as r´apido que el de verter el mismo volumen de miel entre los mismos recipientes. Al final del proceso los dos fluidos habr´ an experimentado la misma deformaci´on, mientras que la velocidad de deformaci´ on habr´ a sido muy distinta en uno y otro caso debido a las diferentes viscosidades de ambos fluidos. Para un fluido de viscosidad dada, la resistencia a la velocidad de deformaci´on depende de la magnitud de las fuerzas que act´ uan sobre ´el; por tanto, fuerzas peque˜ nas dar´ an lugar a velocidades de deformaci´ on peque˜ nas, pero pueden originar deformaciones muy grandes si act´ uan durante un tiempo suficientemente largo. En cualquier caso y aun cuando posteriormente se precisen m´as las ideas anteriores, la frontera de separaci´on entre s´olido y fluido no es completamente clara, ya que existen sustancias que exhiben un car´ acter dual (s´ olido y fluido) en su comportamiento. En efecto, ciertas sustancias, como las pinturas o la gelatina, se comportan como s´ olidos el´ asticos si se las deja reposar durante un tiempo suficientemente largo, pero si se las agita violentamente pierden su elasticidad y se comportan como l´ıquidos. Otras sustancias, como la brea, o incluso el hielo o las rocas, se comportan como s´ olidos durante tiempos relativamente cortos, pero si una fuerza act´ ua sobre estas sustancias durante un tiempo suficientemente largo sufren deformaciones extraordinariamente grandes que dan lugar al comportamiento pl´ astico del material (flujo de glaciares o movimientos de la capa tect´ onica terrestre). Afortunadamente, los fluidos m´ as comunes, entre los que se incluyen el aire y el agua, son bastante m´as simples que las sustancias anteriores, y esto justifica sobradamente una concentraci´on de la atenci´ on sobre estos fluidos en un curso introductorio de Mec´ anica de Fluidos. 7

8

Cap´ıtulo 1. Caracter´ısticas Generales de los Fluidos

La distinci´ on entre l´ıquidos y gases es menos fundamental desde un punto de vista din´ amico. Gases y l´ıquidos son fluidos que, como se indic´ o anteriormente, presentan la propiedad de su f´ acil deformabilidad. La densidad de una sustancia en fase l´ıquida es, normalmente, mucho mayor que la de una sustancia en fase gaseosa (t´ıpicamente mil veces mayor), aunque esto no pueda considerarse como una caracter´ıstica definitoria (la diferencia en densidades conduce a una diferencia en la magnitud de las fuerzas requeridas para conseguir una aceleraci´ on dada, pero no a una diferencia en el tipo de movimiento). La propiedad que de un modo m´ as substancial diferencia l´ıquidos y gases es la compresibilidad, o capacidad para cambiar el volumen que ocupa una determinada masa de fluido), que es mucho mayor para los u ´ltimos. En movimientos en los que aparezcan variaciones apreciables en la presi´ on, el fluido experimentar´ a variaciones de densidad que ser´ an mucho mayores, para la misma variaci´ on de presi´on, en el caso de un gas que en el de un l´ıquido. Variaciones apreciables de presi´on en un fluido aparecen por ejemplo, en meteorolog´ıa, como un resultado de la acci´ on de la gravedad sobre la atm´ osfera, o en el movimiento a altas velocidades de un s´ olido a trav´es de un fluido (bal´ıstica y aeron´ autica). A lo largo de este libro se encontrar´ an situaciones en que aparecen variaciones muy peque˜ nas de la presi´ on en el movimiento fluido y por tanto gases y l´ıquidos se comportan de manera semejante debido a que en ambos casos los cambios de densidad son muy peque˜ nos.

1.2

Estructura molecular de la materia

Las propiedades de los s´ olidos, l´ıquidos y gases est´an directamente relacionadas con su estructura molecular. La materia est´a compuesta de mol´eculas en constante movimiento de agitaci´on e interacci´on mutua. Si wi representa la velocidad de la mol´ecula i-´esima de masa mi , la velocidad media de un conjunto de N mol´eculas puede definirse como la velocidad de su centro de masas, es decir, N


v=

mi wi

i=1 N


.

(1.1)

mi

i=1

La velocidad de agitaci´on de la mol´ecula i-´esima se define como su velocidad relativa respecto de la velocidad media, (1.2) ci = wi − v . Las velocidades de agitaci´on molecular exhiben un comportamiento irregular (ca´ otico), siendo sus tiempos caracter´ısticos de variaci´on en magnitud y direcci´ on muy cortos comparados con los asociados a variaciones de la velocidad media, como se representa cualitativamente en la figura 1.1. Aparte del movimiento de agitaci´on molecular, al considerar la estructura molecular de la materia debe tenerse en cuenta, tambi´en, la existencia de fuerzas de interacci´on mutua entre pares de mol´eculas. Si, en una descripci´ on simplificada, se consideran las mol´eculas del sistema como centros de fuerzas, la fuerza que la mol´ecula i-´esima ejerce sobre la mol´ecula j-´esima, igual y contraria a la que la mol´ecula j-´esima ejerce sobre la i-´esima, estar´a dirigida seg´ un la l´ınea que une sus centros y su magnitud depender´ a de la distancia que las separa, es decir, Fji = Fji (|ri − rj |)

rj − ri = −Fij |ri − rj |

,

(1.3)

donde Fji es una cantidad positiva (negativa) dependiendo del car´ acter repulsivo (atractivo) de dicha fuerza.

1.2. Estructura molecular de la materia



9

 ·




Figura 1.1: Componente k de la velocidad de una mol´ecula t´ıpica i y su descomposici´on en velocidades de agitaci´ on molecular y media. Aunque en la actualidad no se posee un conocimiento completo de las fuerzas intermoleculares en un fluido, los resultados experimentales y te´ oricos sobre la estructura molecular de los fluidos m´as simples sugieren que la energ´ıa potencial de interacci´ on entre dos mol´eculas neutras, no polares y que no reaccionan qu´ımicamente, se puede representar de forma bastante aproximada mediante el denominado potencial de Lennard-Jones    6  12 do do − φij (d) = φji = φo , (1.4) d d donde d = |ri − rj |, y φo y do son constantes que dependen del tipo de mol´eculas consideradas. A on molecular partir de φij se puede derivar la fuerza de interacci´     7  13 do do ∂ φij φo rj − ri Fji = − . (1.5) =6 − 2 ∂ rj do d d |rj − ri |

  
  








Figura 1.2: Variaci´ on de la fuerza intermolecular como funci´ on de la distancia entre los centros moleculares. En la figura, la fuerza repulsiva se representa como positiva. El comportamiento de Fji frente a d se representa cualitativamente en la figura 1.2. Se observa que cuando la distancia entre mol´eculas es menor que cierta distancia ligeramente menor que do , on del orden del tama˜ no caracter´ıstico molecular (do ∼ 3 × 10−10 m), existe una fuerte repulsi´

10

Cap´ıtulo 1. Caracter´ısticas Generales de los Fluidos

electrost´atica entre ellas debida al solape de las nubes electr´onicas y a la proximidad entre sus on n´ ucleos. Para distancias mayores que do las mol´eculas se atraen d´ebilmente debido a la formaci´ de dipolos el´ectricos inducidos (fuerzas de Van der Waals), variando la fuerza de atracci´ on, a grandes distancias, como d−7 . Si las mol´eculas poseen la capacidad de formar estructuras m´as complejas mediante reacciones qu´ımicas, existe entonces una fuerza atractiva intermolecular de origen cu´ antico, no contenida en la descripci´ on anterior, que act´ ua a distancias muy cortas una vez superada la barrera de repulsi´ on electrost´atica. La distancia t´ıpica entre mol´eculas de una sustancia se puede estimar a partir de su masa molar y de su densidad. As´ı , por ejemplo, la densidad de un gas t´ıpico (ox´ıgeno) en condiciones normales an (20o C, 1 atm.) es de 1.33 kg/m3 . Como la masa molar del ox´ıgeno es 32 kg/kmol, se tendr´ 0.0416 kmoles/m3 y teniendo en cuenta el n´ umero de Avogadro (NA = 6.023 × 1023 mol´eculas/mol se obtiene n = 2.5 × 1025 mol´eculas/m3 . La distancia media entre mol´eculas de O2 es, pues, del orden de n−1/3 ∼ 4.1 × 10−9 m, que es unas diez veces la distancia do . Sin embargo, para un l´ıquido t´ıpico (por ejemplo, agua, de masa molar 18 kg/kmol y densidad a temperatura ambiente de 103 kg/m3 ) la distancia media intermolecular resulta del orden de n−1/3 ∼ 3 × 10−10 m, que es olidos, la distancia intermolecular t´ıpica es tambi´en del orden de do . del orden de do ; para los s´ En gases, por tanto, las mol´eculas est´an, en media, tan alejadas unas de otras que las fuerzas intermoleculares pueden considerarse despreciables en primera aproximaci´on. S´ olo ocasionalmente, y despu´es de haber recorrido una distancia del orden del camino libre medio molecular (mucho mayor que do en el caso de gases no enrarecidos), dos mol´eculas se aproximan lo suficiente para que entren en juego las fuerzas repulsivas, experimentando lo que se denomina una colisi´ on (figura 1.3).

F

F

Figura 1.3: Colisi´ on intermolecular en un gas. Las colisiones que experimenta una mol´ecula de un gas en condiciones normales de presi´ on y temperatura son ocasionales y de corta duraci´ on en comparaci´ on con el tiempo medio entre colisiones, por lo que se puede despreciar la fracci´ on de mol´eculas del gas que en un instante dado est´an en colisi´ on, y suponer que la energ´ıa potencial de una mol´ecula t´ıpica del gas sometida al campo de fuerzas de sus vecinas es, por tanto, despreciable en todo instante frente a su energ´ıa cin´etica (este modelo se conoce en teor´ıa cin´etica de gases con el nombre de gas ideal). Por el contrario, en s´ olidos y l´ıquidos, las mol´eculas est´an tan cercanas unas de otras como lo permiten las fuerzas repulsivas y cada mol´ecula est´a sometida a un fuerte campo de fuerzas producido por sus vecinas, existiendo por tanto una interacci´ on continua entre ellas. En l´ıquidos, la energ´ıa cin´etica de las mol´eculas es comparable a su energ´ıa potencial, mientras que en s´ olidos la energ´ıa cin´etica molecular es despreciable frente a la energ´ıa potencial. Este hecho explica la peque˜ na capacidad de deformaci´on de los s´olidos frente a la de los fluidos (l´ıquidos y gases).

1.3. La hip´ otesis del medio continuo

11

El car´ acter de las fuerzas intermoleculares permite, tambi´en, explicar la gran diferencia en la compresibilidad de gases y l´ıquidos. En efecto, las mol´eculas de un gas est´an lo suficientemente as a´ un bajo la acci´ on de fuerzas externas separadas (d  d0 ) como para que se puedan aproximar m´ sin que aparezcan fuerzas de repulsi´on electrost´aticas apreciables; sin embargo, en los l´ıquidos, con distancias intermoleculares t´ıpicas del orden de d0 , aparecen fuerzas repulsivas muy intensas (que on de l´ıquido debe ser sometida a fuerzas var´ıan como d−13 ), lo que implica que cualquier porci´ externas extraordinariamente grandes si se desea comprimirlo apreciablemente.

1.3

La hip´ otesis del medio continuo

Desde un punto de vista molecular, el estudio de los fluidos es extremadamente complejo debido al enorme n´ umero de mol´eculas involucradas: en 1 mm3 de un gas en condiciones normales existen alrededor de 1016 mol´eculas, mientras que un mismo volumen de un l´ıquido t´ıpico contiene aproximadamente un n´ umero de mol´eculas mil veces mayor. L´ogicamente, un procedimiento basado en seguir la historia de cada mol´ecula del fluido sujeta a las interacciones con el resto representar´ıa un esfuerzo computacional tan desmesurado como in´ util. Adem´ as, desde un punto de vista cl´ asico, y en el supuesto de que se conociera exactamente la expresi´on de las fuerzas intermoleculares, para la integraci´ on del sistema din´ amico resultante, se presentar´ıa el problema adicional de conocer con precisi´on las condiciones iniciales, velocidad y posici´ on, de un n´ umero enorme de mol´eculas. A´ un si esta dificultad fundamental pudiera soslayarse, permanecer´ıa el problema de interpretar la informaci´ on microsc´opica obtenida en la forma de resultados experimentales macrosc´opicos, los cuales se obtienen con instrumentos de medida que, en realidad, promedian sobre cierto volumen que, aunque lo suficientemente peque˜ no como para considerar la medida como local (en el punto alrededor del cual se considera centrado el instrumento), es todav´ıa lo suficientemente grande como para contener un n´ umero de mol´eculas inmenso. As´ı , si L es la dimensi´on caracter´ıstica de la regi´ on ocupada por el fluido, y d es la distancia t´ıpica entre mol´eculas, el volumen δ Ω sobre el cual se realiza la medida, verifica la condici´ on: d
(δ Ω)1/3
L. Es f´ acil ver que mientras el promedio se realice sobre vol´ umenes δ Ω que satisfagan la condici´ on anterior, el resultado ser´ a sensiblemente independiente del valor concreto de (δ Ω)1/3 (ver figura 1.4), adquiriendo la medida, por tanto, un car´ acter objetivo, independiente de los detalles particulares de cada instrumento de medida de una serie de instrumentos de caracter´ısticas similares. 
 x

(dW)1/3~

(dW)1/3

(dW)1/3~

(dW)1/3

Figura 1.4: Variaci´ on de la medida local con el volumen de promediado. Si el promedio se realizase sobre vol´ umenes tales que (δ Ω)1/3 ∼ d, el resultado obtenido fluctuar´ıa ca´oticamente al variar δ Ω debido a que as´ı lo har´ıa el n´ umero de mol´eculas contenido en ´el;

12

Cap´ıtulo 1. Caracter´ısticas Generales de los Fluidos

a variaciones apreciables al variar δ Ω, debido a asimismo, si (δ Ω)1/3 ∼ L, la medida experimentar´ que las magnitudes fluidas var´ıan en distancias del orden de L. Por otra parte, si d
(δ Ω)1/3
L es f´acil deducir que al desplazar de forma continua sobre la regi´ on ocupada por el fluido el punto de centrado del instrumento de medida, el valor de ´esta experimentar´a variaciones muy aproximadamente continuas, siendo despreciable la magnitud de las fluctuaciones respecto a valores medios asociados al car´acter discreto molecular del fluido. 1 Las consideraciones anteriores justifican, en la gran mayor´ıa de las situaciones pr´acticas, la descripci´on del comportamiento macrosc´opico de un fluido mediante un modelo matem´ atico continuo, en el cual se supone que en cada instante el fluido ocupa de forma continua una cierta regi´ on del espacio (dominio fluido) sobre la que se tienen definidas funciones continuas y derivables de la posici´ on y del tiempo (campos o variables fluidas). Dichas variables fluidas se definen en cualquier punto x de la regi´ on ocupada por el fluido en el instante t como el l´ımite formal de cantidades f´ısicas de inter´es (masa, cantidad de movimiento y energ´ıa) promediadas sobre un elemento de volumen δ Ω centrado en x, cuyas dimensiones se hacen tender a cero pero sin llegar nunca a ser tan peque˜ nos como para que el volumen contenga s´ olo unas pocas mol´eculas. De esta forma, y como se indic´o anteriormente, se podr´ a hacer abstracci´on de las fluctuaciones asociadas a la estructura molecular frente a valores medios, pudi´endose considerar que, formalmente, dicho l´ımite da lugar a una funci´ on suave (continua y derivable) de la posici´ on y del tiempo definida sobre el dominio fluido. Se define, entonces, la densidad local del fluido como el l´ımite formal N (δ Ω)




ρ(x, t) = lim

mi

i=1

(1.6)

δΩ

δ Ω→0

siendo N (δ Ω) el n´ umero de mol´eculas contenido en δ Ω en el instante t. 2 Del mismo modo, la velocidad local del fluido en cada punto y en cada instante v(x, t), se puede definir como el l´ımite formal de la media de las velocidades moleculares ponderadas con la masa molecular, es decir, N (δ Ω)




v(x, t) = lim

δ Ω→0

mi wi

i=1 N (δ Ω)




,

(1.7)

mi

i=1

obs´ervese que (1.7) representa tambi´en la cantidad de movimiento media por unidad de masa alrededor del punto x en el instante t. En general, al considerar la energ´ıa total asociada a una porci´ on de fluido se deber´ an tener en cuenta, tanto las energ´ıas cin´eticas asociadas a los movimientos de traslaci´on, rotaci´ on y vibraci´ on de las mol´eculas, como las energ´ıas potenciales asociadas a las fuerzas de interacci´on molecular. En el caso de un fluido monoat´ omico (posteriormente se generalizar´a dicha definici´ on para incluir el caso de los fluidos poliat´ omicos) cuyas mol´eculas (´atomos) s´olo poseen tres grados de libertad 1 Un sistema se denomina erg´ odico si las medias espaciales coinciden con las temporales para tiempos de promediado grandes frente al tiempo entre colisiones. 2 Las ecuaciones (1.6) - (1.8), que introducen funciones continuas a partir de cantidades discretas promediadas sobre un volumen que no tiende matem´ aticamente a cero, son puramente formales y no estrictamente correctas desde un punto de vista matem´ atico. En rigor, dichas ecuaciones deben entenderse en el sentido de que las variables que aparecen en los primeros miembros de las mismas representan, dentro del modelo matem´ atico continuo, a las cantidades f´ısicas discretas que se especifican en los segundos miembros.

1.3. La hip´ otesis del medio continuo

13

(los traslacionales), la energ´ıa total por unidad de masa puede definirse mediante el l´ımite formal

N (δ Ω)
1 1
mi |wi |2 + 2 2 i=1 i=1

N (δ Ω)

(x, t) = lim

δ Ω→0

N (δ Ω)




N (δ Ω)




j=1 (j=i)

φij .

(1.8)

mi

i=1

Se ver´ a posteriormente que dicha energ´ıa puede expresarse como la suma de la energ´ıa cin´etica macrosc´opica de traslaci´on por unidad de masa, 12 |v(x, t)|2 , de un elemento de fluido centrado en el punto x en el instante t, m´as una energ´ıa interna e(x, t) contenida en dicho elemento, que est´ a a su vez asociada al movimiento de agitaci´on molecular relativo al movimiento macrosc´ opico y a las fuerzas intermoleculares. Por tanto, desde el punto de vista continuo la resoluci´ on de un problema fluido-mec´ anico consiste en el c´alculo de las tres componentes de la velocidad local del fluido v(x, t), la densidad ρ(x, t) y la energ´ıa interna e(x, t) como funciones de la posici´on y del tiempo. Naturalmente, las relaciones entre dichas variables se obtendr´ an a partir de leyes de conservaci´ on de la masa, cantidad de movimiento y energ´ıa aplicadas a cualquier porci´ on (infinitesimal o finita) del medio fluido continuo. Conviene indicar que existen casos excepcionales donde la descripci´on del fen´ omeno mediante un modelo continuo no es adecuada, por ejemplo: el movimiento de gases a densidades extremadamente bajas, el vuelo de un misil o sat´elite a grandes alturas por encima de la superficie de la Tierra, o los instantes finales, del orden de microsegundos, del proceso de separaci´on de una gota de una corriente l´ıquida. En estas situaciones el modelo no es aplicable, bien porque no es posible elegir un volumen suficientemente peque˜ no que pueda ser considerado como local y a la vez contener un n´ umero suficiente de mol´eculas para que los valores medios sean representativos, como sucede en el caso de un gas enrarecido, o bien porque las magnitudes fluidas experimenten variaciones apreciables en longitudes del orden de la distancia intermolecular, como en el caso de los instantes finales de formaci´ on de una gota, donde una descripci´ on macrosc´opica resultar´ıa en situaciones f´ısicamente inadmisibles como, por ejemplo, la existencia de dos velocidades en el punto de rotura. 3 No obstante, estas situaciones, cuya descripci´on pertenece al campo de la teor´ıa cin´etico molecular (F´ısica Estad´ıstica, Teor´ıa Cin´etica de Gases), son de un inter´es marginal desde el punto de vista de las aplicaciones pr´ acticas comunes. Los problemas fluidos m´as frecuentes est´an caracterizados por escalas locales que, como muy peque˜ nas, son del orden de 10−6 m y, debido a que un volumen del orden de 10−18 m3 contiene 3 × 107 mol´eculas de un gas t´ıpico en condiciones normales y un n´ umero a´ un mayor en el caso de un l´ıquido t´ıpico, su descripci´ on mediante un modelo continuo est´ a plenamente justificada.

3 Las

entrefases de separaci´ on entre fluidos inmiscibles son tambi´en casos en los que su estructura no admite una descripci´ on continua, ya que la densidad y otras propiedades experimentan variaciones apreciables en distancias del orden de la de interacci´ on molecular.

14

1.4 1.4.1

Cap´ıtulo 1. Caracter´ısticas Generales de los Fluidos

Interpretaci´ on estad´ıstica de algunas variables termodin´ amicas Energ´ıa interna

Es f´ acil comprobar haciendo uso de (1.7) que la media de las velocidades de agitaci´ on molecular definidas en (1.2) es nula N (δ Ω)
mi c i = 0 ; (1.9) i=1

de donde se deduce que N (δ Ω)




N (δ Ω)




2

mi |wi | =

i=1

N (δ Ω) 2

2

mi (|v| + |ci | + 2v · ci ) =

i=1




mi (|v|2 + |ci |2 ) .

(1.10)

i=1

Por tanto, la energ´ıa total por unidad de masa (1.8) puede escribirse en la forma (x, t) =

1 |v(x, t)|2 + e(x, t) 2

,

(1.11)

donde el primer t´ermino representa la energ´ıa cin´etica por unidad de masa asociada a la velocidad de traslaci´on v(x, t), de un elemento de fluido centrado en el punto x en el instante t, y el segundo t´ermino, N (δΩ) N (δΩ)

N (δΩ)

e(x, t) = lim

δΩ→0


1 mi |ci |2 2 i=1 N (δΩ)




1 2

+ lim

δΩ→0







φij

i=1 j=1(j=i) N (δΩ)

mi

i=1




= ec (x, t) + ep (x, t)

,

(1.12)

mi

i=1

representa la energ´ıa interna, por unidad de masa, contenida en dicho elemento, y est´ a asociada a la energ´ıa cin´etica debida a las velocidades de agitaci´ on molecular [ec (x, t)] y a la energ´ıa potencial otesis de isotrop´ıa, las energ´ıas cin´eticas debida a las fuerzas intermoleculares [ep (x, t)]. 4 En la hip´ medias asociadas a cada grado de libertad traslacional, deben coincidir y, por tanto, ec (x, t) =

3 2 c 2

,

(1.13)

donde c2 /2 = c2x /2 = c2y /2 = c2z /2 es la energ´ıa cin´etica media por unidad de masa asociada al movimiento de agitaci´ on molecular seg´ un cada grado de libertad. Boltzmann estableci´ o una proporcionalidad entre dicha energ´ıa cin´etica y la temperatura T m c2 = k T

,

(1.14)

siendo m la masa de una mol´ecula t´ıpica del fluido (masa de una mol´ecula ideal resultante de un promedio en el caso de una mezcla) y k = 1.38 × 10−23 J/K, una constante universal denominada constante de Boltzmann. 4 En la ecuaci´ on (1.12) se ha supuesto que no existen especies reactantes. En caso contrario, debe a˜ nadirse a esta ecuaci´ on, la contribuci´ on debida a la energ´ıa del enlace electr´ onico (energ´ıa de formaci´ on) de cada especie ya que su variaci´ on, cuando la reacci´ on qu´ımica tiene lugar, se traduce en un aumento o disminuci´ on de la energ´ıa de agitaci´ on molecular (traslaci´ on, rotaci´ on y vibraci´ on) que se intercambia mediante colisiones con el entorno y da lugar al denominado calor de reacci´ on qu´ımica.

1.4. Interpretaci´ on estad´ıstica de algunas variables termodin´ amicas

15

De (1.13) y (1.14) se deduce que, para un fluido monoat´ omico, ec (x, t) =

3R 3 k T (x, t) = T (x, t) 2m 2M

,

(1.15)

siendo R = NA × k = 8.31 JK −1 mol−1 , la constante universal de los gases y M , la masa molar del fluido. Si el fluido es biat´ omico, aparecen grados de libertad adicionales en las mol´eculas del mismo, como son los de rotaci´on en torno a sus ejes principales de inercia, y vibraci´ on a lo largo del eje que une los centros de los ´atomos. Bajo condiciones usuales de presi´ on y temperatura, los grados de libertad vibracionales no est´ an excitados apreciablemente, pudiendo despreciarse su energ´ıa. As´ı , para un fluido biat´ omico, se tiene en primera aproximaci´ on: N (δΩ)

ec (x, t) = lim


1 (mi c2i + Ixi Ω2xi + Iyi Ω2yi ) 2 i=1 N (δΩ)




δΩ→0

,

(1.16)

mi

i=1

donde Ixi , Iyi representan momentos de inercia de la mol´ecula i-´esima respecto a los ejes principales y Ωxi y Ωyi velocidades angulares respecto a los mismos ejes. Se admitir´ a, basado en la experiencia, que las energ´ıas asociadas a los grados de libertad traslacionales y rotacionales respectivamente, tienden a igualarse mediante colisiones moleculares en tiempos caracter´ısticos que son generalmente muy cortos comparados con los necesarios para que existan variaciones locales apreciables de las variables macrosc´opicas del problema; de acuerdo con este principio denominado de equipartici´ on de la energ´ıa, se tiene, ec (x, t) =

1 5 k (3 + 2)c2 = T (x, t) 2 2 m

.

(1.17)

En general, para un fluido de mol´eculas poliat´ omicas con Z grados de libertad excitados supuestos en equilibrio con los grados de libertad traslacionales, se postula, ec (x, t) =

k 1 (3 + Z) T (x, t) 2 m

.

(1.18)

Como se indic´o anteriormente (Secci´on 1.2), en un gas en condiciones normales de presi´ on y temperatura, se pueden despreciar las fuerzas de interacci´on molecular (gas ideal), siendo su energ´ıa interna debida u ´nicamente a la energ´ıa cin´etica de agitaci´on molecular (e = ec ), si, adem´as, se puede despreciar la energ´ıa de oscilaci´on de los grados de libertad vibracionales, el gas se denomina perfecto. Por tanto, para un gas perfecto, e=

1 (3 + Z)Rg T 2

(1.19)

donde Rg = k/m = R/M se denomina constante del gas. Obs´ervese que la energ´ıa interna por unidad de masa de un gas perfecto es proporcional a la temperatura, siendo el calor espec´ıfico a volumen constante  ∂ e  = (3 + Z) Rg /2 . (1.20) cv = ∂ T ρ

16

Cap´ıtulo 1. Caracter´ısticas Generales de los Fluidos

En el caso de l´ıquidos, habr´ a que tener tambi´en en cuenta la contribuci´ on a la energ´ıa interna por unidad de masa (ep ) de las fuerzas intermoleculares N (δΩ) N (δΩ)

 e=

3+Z 2



k T + lim δΩ→0 m

1 2







φij

i=1 j=1(j=i) N (δΩ)




= ec + ep

;

(1.21)

mi

i=1

ep estar´a afectada por la densidad (al aumentar ´esta disminuye la distancia media intermolecular) e, independientemente, por la temperatura. 5 En efecto, aunque el conocimiento del estado l´ıquido es todav´ıa incompleto, investigaciones realizadas en este campo sugieren que la estructura molecular de los l´ıquidos est´ a parcialmente ordenada, con grupos de mol´eculas que tienen movilidad como un todo, estructur´ andose a veces con otros grupos de mol´eculas, y a veces dividi´endose en grupos m´as peque˜ nos. Variaciones de temperatura pueden originar redistribuciones de estos grupos, afectando a las interacciones moleculares. Como se ver´a posteriormente, los coeficientes de compresibilidad y dilataci´on de un l´ıquido son peque˜ nos, de manera que para las variaciones de presi´ on y temperatura encontradas en la mayor´ıa de las aplicaciones pr´acticas, su densidad puede considerarse constante (l´ıquido perfecto). En este caso la energ´ıa interna de un l´ıquido depende s´ olo de la temperatura, tanto a trav´es de la energ´ıa cin´etica asociada a la agitaci´ on molecular (ec ) como a trav´es de la energ´ıa potencial intermolecular ´ltima contribuci´ on hace que para un l´ıquido perfecto el calor espec´ıfico sea (ep ). Esta u c(T ) =

1 k d ep de = (3 + Z) + dT 2 m dT

.

(1.22)

Un aumento de temperatura (agitaci´ on t´ermica) tiende a disgregar los grupos moleculares con mayor n´ umero de mol´eculas y favorece la formaci´on de grupos m´ as peque˜ nos, por lo que ep aumenta con la temperatura (d ep /d T > 0) y, en general, el calor espec´ıfico de los l´ıquidos es mayor que el de los gases.

1.4.2

Presi´ on

Ense˜ na la experiencia que a trav´es de cualquier elemento de superficie, de ´area dσ y orientaci´ on n, en el seno del fluido aparece una fuerza macrosc´ opica que el fluido del lado de n ejerce sobre el fluido del otro lado de la superficie (figura 1.5). La magnitud de esta fuerza es proporcional al a´rea del elemento de superficie considerado y, si el fluido est´a en reposo o en movimiento como s´olido r´ıgido respecto a un cierto sistema de referencia, su magnitud no depende de la orientaci´ on del mismo y su direcci´on es normal al elemento y de sentido hacia el mismo. N´otese que esta fuerza es la que actuar´ıa sobre una superficie s´ olida o membrana coincidente con el elemento de superficie considerado. La magnitud de dicha fuerza por unidad de superficie es la presi´ on en el punto considerado, p(x, t) =

|dF| dσ

.

(1.23)

5 Las fuerzas intermoleculares en l´ ıquidos se hacen patentes en los fen´ omenos de vaporizaci´ on y condensaci´ on del fluido. En la vaporizaci´ on las mol´eculas del l´ıquido cercanas a la entrefase deben absorber energ´ıa del entorno (calor de vaporizaci´ on) para, manteniendo su temperatura constante, separarse (aumentar su energ´ıa potencial) y pasar a la fase gas; en la condensaci´ on, la disminuci´ on de energ´ıa potencial intermolecular cuando las mol´eculas pasan a la fase l´ıquido se convierte en energ´ıa t´ ermica que es cedida al entorno, manteni´endose constante la temperatura de la entrefase.

1.4. Interpretaci´ on estad´ıstica de algunas variables termodin´ amicas

17

n

s

F !x"
ns

x

Figura 1.5: Fuerza sobre un elemento de superficie en un fluido en reposo. El origen microsc´ opico de esta fuerza se debe a la cantidad de movimiento neta, por unidad de tiempo, transportada por las mol´eculas que atraviesan el elemento de superficie en su movimiento de agitaci´ on molecular y que es transferida a las mol´eculas del otro lado por colisiones (gases y l´ıquidos), y, en el caso de l´ıquidos, se debe tambi´en a las fuerzas intermoleculares existentes entre las mol´eculas de ambos lados de la superficie. En el caso de un gas perfecto, se pueden despreciar las fuerzas de interacci´on molecular y la presi´on es debida u ´nicamente al efecto de la agitaci´ on molecular. Para dilucidar la relaci´ on existente entre la presi´ on y las dem´as variables termodin´amicas consid´erese, en este caso, un elemento de superficie δ σ de orientaci´ on n centrado en un punto gen´erico x en el seno del fluido como se muestra en la figura 1.6. 6

ds

n

-n

$

#

 %


Figura 1.6: Interpretaci´ on molecular de la presi´ on para un gas. El n´ umero de mol´eculas que pasan desde A hasta B a trav´es de la superficie δ σ en el tiempo δ t con una componente normal de la velocidad cni (cni = c · n < 0) deben estar contenidas en el 6 Cuando se considere expl´ ıcitamente la estructura molecular del fluido se denotar´ an por δ σ, δ Ω, δ t, etc., elementos de superficie, volumen, tiempo, etc., que son peque˜ nos comparados con las longitudes y tiempos caracter´ısticos para variaciones macrosc´ opicas, pero grandes comparados con la distancia intermolecular y el tiempo entre colisiones. Cuando se opera con el modelo continuo, estas cantidades se representan por los diferenciales matem´ aticos d σ, d Ω, d t, etc. (puesto que en dicho modelo se hace abstracci´ on de la estructura molecular del fluido, estos diferenciales pueden tender arbitrariamente a cero sin las restricciones impuestas a las cantidades f´ısicas que representan).

18

Cap´ıtulo 1. Caracter´ısticas Generales de los Fluidos

umero es prisma de base δ σ y altura |cni |δ t, y su n´ 1 N |cni |δ t δ σ 2

,

(1.24)

donde N es el n´ umero de mol´eculas por unidad de volumen en x en el instante t, y el factor 1/2 se ha introducido debido a que s´ olo la mitad de las mol´eculas contenidas en el volumen |cni | δ t δ σ poseen velocidades dirigidas hacia la superficie. Teniendo en cuenta que cada mol´ecula posee una cantidad de movimiento m|cni |(−n), la cantidad de movimiento por unidad de tiempo transportada por las mol´eculas que cruzan la superficie de A a B es 1 2 ρ c δ σ(−n) , 2 ni

(1.25)

siendo ρ = m N la densidad del fluido en x en el instante t. Es f´ acil ver que la contribuci´ on de las que cruzan de B a A viene tambi´en dada por (1.25). Sumando ambas contribuciones y promediando sobre las velocidades moleculares, se tiene δ F = −ρ < c2ni > n δ σ

.

(1.26)

Comparando (1.26) con la definici´ on (1.23) correspondiente al modelo continuo, se tiene p = ρ < c2ni >. Como < c2ni >= k T /m = Rg T , se llega finalmente a p = Rg ρ T

,

(1.27)

que es la ecuaci´on de los gases ideales.

1.4.3

Entrop´ıa

La segunda ley de la Termodin´ amica postula la existencia de una variable, denominada entrop´ıa, cuyo valor para un sistema cerrado y aislado t´ermicamente del exterior no puede decrecer con el tiempo. Adem´as, si un sistema est´a en un estado de equilibrio termodin´ amico, que corresponde a una situaci´ on en que las propiedades termodin´ amicas de la materia no var´ıan ni con la posici´ on ni el tiempo, la Termodin´ amica del equilibrio asegura que la entrop´ıa es una funci´ on de estado, cuyo valor est´a determinado u ´nicamente por los valores de las variables que definen el estado macrosc´opico del sistema. En lo que sigue, esta formulaci´on axiom´ atica del segundo principio de la Termodin´ amica, se justificar´ a desde un punto de vista molecular. Cuando un sistema se describe a escala macrosc´opica, especificando la distribuci´ on espacial y temporal de las variables macrosc´opicas locales (presi´on, temperatura, velocidad, etc.), se pierde informaci´ on sobre su estado microsc´opico. Dicho estado microsc´opico se encuentra en incesante cambio debido a las interacciones moleculares, siendo su tiempo caracter´ıstico de variaci´ on muy corto comparado con el necesario para que ocurran variaciones apreciables del estado macrosc´opico (si el estado macrosc´opico es estacionario, su tiempo caracter´ıstico de variaci´ on es infinito). Esto indica que sistemas con un n´ umero enorme de grados de libertad poseen un gran n´ umero de estados microsc´opicos (microestados) que pueden dar lugar a un mismo estado macrosc´ opico (macroestado). Desde un punto de vista molecular, la entrop´ıa de un sistema que se encuentra en un estado macrosc´opico dado se define como S = k ln W , (1.28) donde k es la constante de Boltzmann y W es el n´ umero de microestados, tambi´en denominado peso estad´ıstico , correspondiente al macroestado considerado. 7 7 La

definici´ on (1.28), debida a Boltzmann y a Planck, asegura que la entrop´ıa es una magnitud aditiva. En efecto,

1.4. Interpretaci´ on estad´ıstica de algunas variables termodin´ amicas

19

Como se ver´a posteriormente, para un sistema aislado W presenta un m´aximo muy acusado para el estado de equilibrio termodin´ amico. Por tanto, una vez alcanzado dicho estado, el sistema tender´ a a permanecer en ´el, ya que es muy improbable que las mol´eculas, en su estado de agitaci´on, pasen a ocupar alguna vez los muy escasos microestados correspondientes a macroestados que difieren apreciablemente del de equilibrio termodin´ amico. Sin embargo, si dicho sistema se encuentra inicialmente en un macroestado que no es el de equilibrio termodin´ amico, las interacciones o colisiones moleculares conducir´ an, de acuerdo con las leyes de la probabilidad, a microestados pertenecientes a macroestados de cada vez mayor entrop´ıa, es decir mayor W , hasta alcanzar, finalmente, la situaci´on de equilibrio termodin´ amico. De acuerdo con su definici´ on, la entrop´ıa puede tambi´en considerarse como una medida del grado de informaci´ on detallada (microsc´ opica) que se posee sobre un sistema, siendo mayor el grado de informaci´ on cuanto menor es la entrop´ıa. En efecto, en un estado macrosc´opico de entrop´ıa muy baja s´ olo ser´an posibles un n´ umero muy limitado de configuraciones microsc´opicas, por lo que ´estas estar´an m´ as localizadas, y en el l´ımite, a un macroestado de entrop´ıa nula corresponder´ıa una u ´nica configuraci´ on microsc´opica perfectamente determinada. Una interpretaci´ on alternativa de la entrop´ıa puede darse en t´erminos de orden de un estado macrosc´opico. En efecto, si se conviene que un macroestado est´a m´as ordenado cuanto mayor es la diferencia entre sus partes, lo que implica una variaci´ on espacial m´as acentuada de las variables macrosc´opicas, entonces, a un estado muy ordenado corresponder´ a una entrop´ıa baja, puesto que s´olo habr´ a un grupo muy reducido de estados microsc´ opicos que sean capaces de reproducir las peculiaridades del macroestado considerado. A continuaci´ on se ilustrar´ a el tratamiento mec´anico-estad´ıstico de la entrop´ıa para el caso simple de un gas ideal monoat´ omico. 8 Consid´erense N mol´eculas de un gas ideal monoat´ omico, contenidas en un recipiente de volumen Ω cerrado y aislado t´ermicamente, siendo la energ´ıa total del sistema conocida e igual a E. La determinaci´on completa del estado mec´anico de una mol´ecula cualquiera del gas puede especificarse matem´aticamente mediante un punto (x, y, z, cx , cy , cz ) perteneciente a un espacio de 6 dimensiones denominado espacio de fases, donde las tres primeras dimensiones hacen referencia a la posici´on de la part´ıcula, y las tres u ´ltimas a su velocidad. 9 Si se considera el espacio de fases dividido en celdas no lo suficientemente grande contiguas de igual tama˜ no δ x δ y δ z δ cx δ cy δ cz (siendo dicho tama˜ como para contener un gran n´ umero de mol´eculas pero, a su vez, lo suficientemente peque˜ no para ser considerado como local), a un estado macrosc´opico dado corresponder´ a un n´ umero determinado umero de microestados de que Ni de mol´eculas en cada celda i del espacio de fases. Por tanto, el n´ consta dicho macroestado es el n´ umero de maneras diferentes en las que N mol´eculas se pueden distribuir de tal forma que se asignen N1 , N2 , ...Ni , ... mol´eculas a las respectivas celdas 1, 2, ...i, ... del espacio de fases; dicho n´ umero es W =

N! N1 ! N2 !...Ni !...

,

(1.29)

si cualquier sistema, en un macroestado dado, se divide en dos subsistemas, en correspondientes macroestados de pesos estad´ısticos W1 y W2 respectivamente, cada microestado del primer subsistema puede combinarse con uno del segundo resultando un total de W = W1 W2 microestados correspondientes al sistema original, cuya entrop´ıa es entonces S = k ln W = k ln W1 + k ln W2 = S1 + S2 . 8 El lector interesado en la aplicaci´ on de la Mec´ anica Estad´ıstica a sistemas m´ as complejos (mol´eculas con grados de libertad internos, energ´ıa de interacci´ on molecular, sometidos a un campo externo, etc.) puede consultar las referencias citadas al final del cap´ıtulo, en las que tambi´en se presenta la Mec´ anica Estad´ıstica desde el punto de vista, m´ as riguroso que el expuesto aqu´ı, de la Mec´ anica Cu´ antica. 9 Las velocidades moleculares se consideran relativas al recipiente (el cual se supone en reposo). La velocidad media tomada sobre todas las mol´eculas es evidentemente nula pero, no obstante, fuera del estado de equilibrio pueden existir regiones dentro del recipiente donde la velocidad media local es no nula. En tal caso la energ´ıa total E se debe en parte a energ´ıa interna y en parte a energ´ıa cin´ etica macrosc´ opica; en general, s´ olo en el estado de equilibrio E coincide con la energ´ıa interna del recipiente.

20

Cap´ıtulo 1. Caracter´ısticas Generales de los Fluidos

donde se ha tenido en cuenta que permutaciones entre mol´eculas que pertenecen a una misma celda dan lugar a un mismo microestado. Dicha distribuci´ on de mol´eculas debe satisfacer las condiciones de conservaci´on del n´ umero de part´ıculas y de la energ´ıa total del sistema:
Ni = N , (1.30) i




Ni i = E

,

(1.31)

i

donde i = m(c2xi + c2yi + c2zi )/2. La restricci´on impuesta por el volumen del recipiente consiste en limitar el n´ umero de celdas del espacio de fases a las que pueden asignarse mol´eculas a aquellas cuyas coordenadas espaciales se encuentren dentro de la regi´on ocupada por el recipiente (la entrop´ıa del sistema disminuye, por tanto, al disminuir su volumen). En lo que sigue, las celdas que no verifican esta condici´ on se considerar´ an excluidas de antemano, por lo que s´ olo ser´a necesario tener en cuenta expl´ıcitamente las restricciones (1.30) y (1.31). Si se hace uso de la aproximaci´on de Stirling [ln N ! N ln(N/e), N  1] para evaluar las cantidades factoriales en (1.29), la entrop´ıa (1.28) se puede escribir en funci´ on de los n´ umeros de ocupaci´on Ni como S = k N ln N − k




Ni ln Ni = −k N


Ni

i

i

N

ln

Ni N

.

(1.32)

La distribuci´ on de mol´eculas que maximiza la entrop´ıa (1.32) sujeta a las restricciones (1.30) (1.31) puede calcularse introduciendo los multiplicadores de Lagrange α y β tal que
δS − α δ N − β δ E = − (ln Ni + α + β i ) δ Ni = 0 , k i

(1.33)

donde se ha tenido en cuenta que

δS = − (ln Ni + 1)δ Ni = − ln Ni δ Ni . k i i La soluci´ on de (1.33) es

Ni∗ = e−α e−β i

(1.34)

.

(1.35) Ni∗

Ni∗ ,

+ ∆ Ni con ∆ Ni
se tiene Para una distribuci´ on que difiera ligeramente de (1.35), Ni = a partir del desarrollo de (1.32) en serie de Taylor en torno a la distribuci´ on de m´ axima entrop´ıa, Ni∗ ,
1 S − Smax = k 2 i



∂2 S ∂ Ni2

 Ni =Ni∗

(∆ Ni )2 = −

1
2 i



∆Ni Ni∗

2

Ni∗ = −

1 2



∆ Ni Ni∗

2 N

, (1.36)

donde < ∆ Ni /Ni∗ > denota un valor medio de la desviaci´ on respecto a (1.35). Por ejemplo, para umero de microestados 1 cm3 de aire en condiciones normales (N 2 × 1019 ) la relaci´on entre el n´ correspondientes a una distribuci´ on para la que < ∆ Ni /Ni∗ ≥ 10−3 y el correspondiente a Ni∗ es 13 W = e(S−Smax )/k = e−10 Wmax

.

(1.37)

Esta cifra da una idea del escaso n´ umero de microestados correspondientes a un macroestado que no es de m´axima entrop´ıa. Por tanto, el macroestado de m´ axima entrop´ıa debe ser el de equilibrio termodin´ amico, puesto que si el sistema se encuentra en ´el, la probabilidad de que experimente una

1.4. Interpretaci´ on estad´ıstica de algunas variables termodin´ amicas

21

fluctuaci´ on espont´ anea que lo aleje de dicho estado es despreciable. Obs´ervese que esta probabilidad aumenta sustancialmente cuando disminuye el n´ umero de part´ıculas del sistema; por ejemplo, si en 1 cm3 de aire hay N = 106 part´ıculas (gas muy enrarecido), se tiene W/Wmax = e−1/2 para < ∆ Ni /Ni∗ >= 10−3 . Las constantes α y β que aparecen en la distribuci´ on de equilibrio (1.35) pueden relacionarse con las magnitudes macrosc´opicas que caracterizan el sistema considerado haciendo uso de las condiciones de conservaci´on (1.30) - (1.31). En efecto, de (1.30) y (1.35) se obtiene e−α =


N e−β i

,

(1.38)

.

(1.39)

i

y de (1.31) - (1.35),




i e−β i

E i =
N e−β i i

El numerador y denominador de (1.39) se pueden evaluar mediante integraci´ on, ya que  3/2 ∞ ∞ ∞
2 2 2 2π e−β i δ cx δ cy δ cz e−βm(cx +cy +cz )/2 d cx d cy d cz = , βm −∞ ∞ −∞ i y, an´ alogamente,




i e−β i δ cx δ cy δ cz =

i

3 2β



2π βm

(1.40)

3/2 .

(1.41)

Por tanto, 3 1 E 3 1 = = kT , β= . (1.42) 2 β N 2 kT En (1.42) se ha hecho uso de la proporcionalidad de Boltzmann (1.14) entre la energ´ıa interna media por mol´ecula y la temperatura. Sustituyendo (1.42) y (1.38) en (1.35), la distribuci´ on de equilibrio se puede escribir de la forma

m 3/2 2 2 2 m Ni∗ = e− 2 k T (cxi +cyi +czi ) δ cx δ cy δ cz , (1.43) N 2πkT que proporciona la fracci´ on de mol´eculas cuyas velocidades est´an comprendidas en el intervaon, denominada de Maxwelllo (cxi , cyi , czi ) y (cxi + δ cx , cyi + δ cy , czi + δ cz ). Dicha distribuci´ Boltzmann, es independiente de la posici´ on dentro del volumen considerado (debido a la ausencia de campos externos, como el gravitatorio) y, por tanto, se verifica para cualquier porci´ on de dicho volumen en equilibrio. Finalmente, la ecuaci´on (1.33) implica que, para variaciones entre estados de equilibrio pr´ oximos, (δ S)N,Ω = k β δ E, o´   ∂S 1 = , (1.44) T ∂ E N,Ω que es una conocida relaci´ on de la Termodin´ amica de equilibrio. Combinando dicha ecuaci´ on con la expresi´on del primer principio de la Termodin´ amica, d E = (d Q)rev − p d Ω, para un proceso infinitesimal entre estados de equilibrio (proceso reversible) en el que el sistema recibe un calor (d Q)rev y realiza un trabajo p d Ω, se obtiene dS =

(d Q)rev T

,

(1.45)

22

Cap´ıtulo 1. Caracter´ısticas Generales de los Fluidos

y para cualquier proceso reversible entre dos estados de equilibrio A y B,

B

SB − SA = A

(d Q)rev T

.

(1.46)

1.4. Interpretaci´ on estad´ıstica de algunas variables termodin´ amicas

23

Referencias 1. A. Barrero, Apuntes de Mec´ anica de Fluidos, E.T.S.I. Industriales, Universidad de Sevilla. 2. G.K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1967. 3. R. Fern´ andez-Feria, Apuntes de Mec´ anica de Fluidos, E.T.S.I. Industriales, Universidad de M´ alaga. 4. L. Landau y L. Lifshitz, F´ısica Estad´ıstica, Curso de F´ısica Te´ orica Vol. 5, Reverte, 1.958. 5. M. Planck, Theory of Heat, Course on Theoretical Physics Vol. 5, Longmans, 1.937. 6. F. Reif, F´ısica Estad´ıstica, Berkeley Physics Course, Vol. 5, Editorial Revert´e, 1975. 7. R.C. Tolman, The Principles of Statistical Mechanics , Dover, 1.979. 8. W.G. Vincenti y Ch.H. Kruger, Jr., Introduction to Physical Gas Dynamics, Krieger, New York, 1977.

24

Cap´ıtulo 1. Caracter´ısticas Generales de los Fluidos

Cap´ıtulo 2

Termodin´ amica de los Procesos Fluidomec´ anicos 2.1

Termodin´ amica del equilibrio

Los estados de equilibrio de la materia est´an caracterizados por una distribuci´ on espacial uniforme de cada una de las propiedades de la sustancia; cada elemento material est´ a en equilibrio mec´ anico y t´ermico con los elementos materiales que le rodean. La Termodin´amica del equilibrio se refiere a estados de equilibrio o, como se indic´ o anteriormente, a estados en reposo en los que las propiedades termodin´ amicas de la materia no var´ıan con la posici´ on ni el tiempo. En esta situaci´on, la Termodin´ amica demuestra que el estado macrosc´opico de los fluidos en equilibrio puede especificarse mediante los valores de algunas variables de estado: presi´on, densidad, temperatura, energ´ıa interna, entrop´ıa, etc. Ense˜ na tambi´en, que si el fluido es homog´eneo en composici´on basta conocer los valores de dos variables cualesquiera para poder determinar en funci´ on de ellas todas las dem´as. Las relaciones que las ligan son las ecuaciones de estado. De hecho, basta determinar emp´ıricamente una de esas relaciones (aunque no cualquiera, ya que la apropiada depende de las variables de estado elegidas), y la Termodin´amica ense˜ na a calcular te´ oricamente todas las dem´as. Adem´as, la primera y segunda ley de la Termodin´ amica relacionan el calor y el trabajo aportado a un volumen fluido con el incremento de su energ´ıa interna y entrop´ıa en una transformaci´ on reversible , es decir, una sucesi´on continua de estados de equilibrio, T d S = de + p d

1 ρ

,

(2.1)

siendo S y e la entrop´ıa y energ´ıa interna por unidad de masa, y ρ la densidad del sistema; n´ otese que el inverso de la densidad es el volumen espec´ıfico (volumen de la unidad de masa de fluido). As´ı , conocida la funci´ on de estado S = S(ρ, e) se pueden calcular T y p anal´ıticamente a partir de la ecuaci´on (2.1)       ∂S 1 ∂S ∂S = , p=T = −ρ2 T ; (2.2) T ∂e ρ ∂(1/ρ) e ∂ρ e los sub´ındices en (2.2) indican que las derivadas se calculan, o equivalentemente, los procesos se realizan a ρ y e constantes. Generalmente conviene utilizar las variables de estado T y p, cuya medici´ on es f´ acil mediante term´ometros y man´ometros, determinar emp´ıricamente e = e(p, T ) y ρ = ρ(p, T ), y a partir de 25

26

Cap´ıtulo 2. Termodin´amica de los Procesos Fluidomec´anicos

ellas calcular S(p, T ) mediante (2.1). Obs´ervese que en este caso no basta una sola ecuaci´on de estado e = e(p, T ), ρ = ρ(p, T ) o´ S(p, T ) = S para calcular las restantes. Del mismo modo se pueden definir, a partir de las anteriores, otras magnitudes termodin´ amicas de inter´es como la entalp´ıa h y la energ´ıa libre de Helmholtz f , h=e+

p ρ

,

f =e−T S

,

y los calores espec´ıficos a presi´on y volumen constantes,     ∂S ∂S y cv = T cp = T ∂T p ∂T ρ

(2.3)

.

(2.4)

Otras variables de estado de un fluido son la relaci´ on de calores espec´ıficos γ, el coeficiente de on del sonido, compresibilidad kT , el coeficiente de expansi´on t´ermica β y la velocidad de propagaci´ que se definen       ∂p 1 ∂ρ 1 ∂ρ , β=− , a2 = . (2.5) γ = cρ /cv , kT = ρ ∂p T ρ ∂T p ∂ρ S

2.2

Equilibrio termodin´ amico local

Tanto la existencia de las variables de estado y relaciones que las ligan como las leyes que rigen las transformaciones del fluido exigen, de acuerdo con las hip´ otesis de la Termodin´amica del equilibrio, que el fluido se encuentre siempre en estados de equilibrio, lo que implica uniformidad espacial de las variables termodin´ amicas, as´ı como procesos infinitamente lentos. En principio, las situaciones consideradas por la Termodin´ amica del equilibrio carecer´ıan de inter´es en la Mec´anica de Fluidos, que se caracteriza precisamente por la existencia de no uniformidades espaciales y temporales en las propiedades mec´anicas y t´ermicas del fluido. Sin embargo, para gases, la Teor´ıa Cin´etica demuestra que siempre que el camino libre medio entre colisiones sea peque˜ no frente a la longitud caracter´ıstica de las no uniformidades macrosc´ opicas, y que el tiempo entre colisiones sea peque˜ no frente al tiempo necesario para que las variables macrosc´ opicas sufran cambios locales apreciables, existe lo que se llama equilibrio termodin´amico local ´o casi equilibrio. Es decir, en cada instante t, las variables termodin´ amicas, en cada punto x del fluido, est´ an relacionadas entre s´ı como lo estar´ıan si todo el fluido estuviese en equilibrio a la presi´ on y temperatura locales: e(x, t) = e[p(x, t), T (x, t)], ρ(x, t) = ρ[p(x, t), T (x, t)], etc. La hip´ otesis de equilibrio termodin´ amico local se explica desde un punto de vista microsc´opico por el hecho de que si el n´ umero de Knudsen Kn , definido como el cociente entre el camino libre medio molecular λ (λ ∼ 4 × 10−7 cm para aire en condiciones normales) y la longitud caracter´ıstica no, Kn = de las no uniformidades macrosc´ opicas L (como m´ınimo L ∼ 10−3 cm) , es muy peque˜ λ/L
1, entonces alrededor de cualquier punto x de la regi´on ocupada por el fluido se puede considerar un volumen δΩ de dimensiones tales que λ
(δΩ)1/3
L, en el que los valores de las variables fluidas difieren muy poco de los existentes en x. Por tanto, las mol´eculas contenidas en δΩ presentan un estado de agitaci´ on (del que las variables termodin´ amicas son su manifestaci´on macrosc´opica) cuyas caracter´ısticas ser´an, en primera aproximaci´ on, las mismas que las que se tendr´ıan si dicho volumen estuviese a una temperatura y presi´ on uniformes de valor igual a las existentes en x. Asimismo, si tc es el tiempo entre colisiones (tc ∼ 10−9 s para el aire en condiciones on de las magnitudes fluidas, y se verifica que normales) y to es el tiempo caracter´ıstico de variaci´ on de las mol´eculas contenidas en δ V se adapta gradualmente tc /to
1, el estado de agitaci´ mediante colisiones a las condiciones macrosc´opicas existentes, perdiendo memoria de condiciones anteriores. Resulta por tanto que, en cada instante, el estado macrosc´ opico en torno a cualquier

2.3. Gases perfectos

27

punto de la regi´ on ocupada por el fluido es, en primera aproximaci´ on, el que corresponde a una situaci´ on de equilibrio termodin´ amico local con los valores de la presi´on y temperatura existentes na la experiencia que esta situaci´ on tambi´en en dicho punto y en dicho instante. 1 Asimismo, ense˜ se da en l´ıquidos y es debido, naturalmente, a que la distancia media entre mol´eculas es mucho menor que la longitud caracter´ıstica para variaciones macrosc´ opicas y a que cada mol´ecula est´a en todo instante en interacci´ on (colisi´ on) con sus vecinas (ver 1.2). Obs´ervese que la hip´ otesis de equilibrio termodin´ amico local implica que cualquier variaci´ on infinitesimal, espacial o temporal, de las variables termodin´ amicas locales, se lleva a cabo entre estados de equilibrio termodin´ amico y debe satisfacer, por tanto, la relaci´ on (2.1). As´ı , si φ(x, t) representa cualquier variable termodin´ amica local, d φ = φ(x + d x, t) − φ(x, t) = d x · ∇ φ ser´a su variaci´ on en cualquier desplazamiento infinitesimal d x, y d φ = (∂φ/∂t)dt su variaci´ on en cualquier incremento infinitesimal de tiempo dt; por tanto (2.1) implica   1 , (2.6) T ∇S = ∇e + p∇ ρ y ∂e ∂ ∂S = +p T ∂t ∂t ∂t

  1 ρ

.

(2.7)

Finalmente, conviene indicar que las variables intensivas referidas a vol´ umenes finitos carecen de sentido cuando las variables locales no son uniformes espacialmente. No se puede hablar de temperatura de una fracci´ on finita de fluido si ´esta var´ıa de punto a punto. Por esta raz´ on, generalmente no se usan en la Mec´anica de Fluidos ecuaciones de estado para vol´ umenes finitos (a diferencia de lo que ocurre en la Termodin´ amica del equilibrio). Las variables extensivas se definen para vol´ umenes finitos mediante integraci´ on de las variables intensivas. Por ejemplo, la energ´ıa interna de un volumen finito Ω es ρed7 . (2.8) Ω

A continuaci´on se recordar´an las ecuaciones de estado que relacionan entre s´ı las variables termodin´ amicas intensivas para dos fluidos t´ıpicos, gases y l´ıquidos perfectos. Se usar´ an los resultados de la Termodin´ amica del equilibrio (2.1), una vez que ya se han justificado para situaciones de equilibrio termodin´ amico local.

2.3

Gases perfectos

Los gases perfectos obedecen a una ecuaci´on de estado de la forma: p = Rg T ρ

,

(2.9)

donde la constante del gas Rg = R/M es la relaci´on entre la constante universal de los gases R y la masa molar del gas M . La constante R, relacionada con la constante de Boltzmann, vale R = 8.314 J K −1 mol−1 (se recuerda que el mol se define como la masa de gas que contiene un 1 Aunque en el caso de gases la interacci´ on molecular es irrelevante en el c´ alculo de las variables macrosc´ opicas, este proceso es, sin embargo, primordial para asegurar una situaci´ on de equilibro termodin´ amico local. En efecto, el tiempo de duraci´ on de una colisi´ on es una fracci´ on peque˜ na del tiempo entre colisiones, por lo que en un instante dado, la fracci´ on de mol´eculas que interaccionan y, por tanto, la energ´ıa asociada a esta interacci´ on son peque˜ nas frente al total de mol´eculas y a su energ´ıa cin´ etica microsc´ opica. Sin embargo, se producen un n´ umero enorme de colisiones en tiempos grandes frente al de duraci´ on de una colisi´ on pero peque˜ nos frente al tiempo macrosc´ opico de variaci´ on de las magnitudes fluidas, lo que localmente asegura una igualaci´ on muy efectiva de las magnitudes fluidas (supuesto que las masas moleculares de las especies que forman el gas son del mismo orden).

28

Cap´ıtulo 2. Termodin´amica de los Procesos Fluidomec´anicos

umero de Avogadro); para el aire n´ umero determinado de mol´eculas, 0.6024 × 1024 , denominado n´ M = 29 × 10−3 kg mol−1 y Rg = 287 m2 s−2 K −1 . La energ´ıa interna es funci´ on s´olo de la temperatura y proporcional a ella e − e0 = cv (T − T0 )

,

(2.10)

siendo el calor espec´ıfico a volumen constante, cv , constante para un gas perfecto. Tanto en (2.10) como en lo que sigue, el sub´ındice cero denota el valor de la correspondiente variable a la temperatura de referencia T0 . La entalp´ıa h se puede escribir usando (2.3), (2.9) y (2.10) como p p0 − e0 − = cp (T − T0 ) , ρ ρ0

h − h0 = e +

(2.11)

donde el calor espec´ıfico a presi´ on constante cp es, para un gas perfecto, cp = cv + Rg

.

(2.12)

La relaci´on entre calores espec´ıficos es γ=

cp = 1 + Rg /cv cv

.

(2.13)

Teniendo en cuenta la expresi´on del calor espec´ıfico a volumen constante para un gas monoat´ omico, omicos, como por discutida en 1.4.1 , cv = 3k/(2m) = 3Rg /2, resulta γ = 5/3. Para gases biat´ ejemplo el aire, cv = 52 Rg y γ = 75 . Finalmente, la entrop´ıa puede integrarse utilizando (2.1) junto con las ecuaciones de estado (2.9) y (2.10), p dρ , (2.14) T d S = cv d T − 2 d ρ = cv d T − Rg T ρ ρ para dar:

T /To p/po S − So = cv ln = cv ln . (2.15) (ρ/ρo )γ−1 (ρ/ρo )γ

2.4

L´ıquidos perfectos

Se define un l´ıquido perfecto como aquel para el que se cumple ρ = constante

,

e − eo = c(T − To ) ,

c = constante.

(2.16)

Puesto que la entrop´ıa es s´olo funci´ on de la temperatura, de (2.4) se sigue que los calores espec´ıficos a presi´ on y volumen constante son iguales cp = cv = c

,

γ = cp /cv = 1

.

(2.17)

La entrop´ıa, que en forma diferencial viene expresada en este caso por T d S = de = c d T

,

(2.18)

adopta la forma S − So = c ln(T /To ) .

(2.19)

Muchos l´ıquidos en intervalos no muy grandes de temperatura y presi´ on parecen comportarse como l´ıquidos perfectos. Por ejemplo, puede suponerse, en muchas situaciones, el agua como un l´ıquido perfecto de densidad ρ = 1000kg m−3 y calor espec´ıfico c = 4.18 × 103 J kg −1 K −1 .

2.5. Mezclas de gases perfectos

29

Naturalmente, ning´ un l´ıquido es rigurosamente incompresible y la ecuaci´ on ρ = constante es s´olo una aproximaci´ on. Los l´ıquidos var´ıan su densidad al variar la presi´ on y temperatura ρ = ρ(p, T ), y por tanto ∂ρ ∂ρ dp + dT , (2.20) dρ = ∂p ∂T que en funci´ on de los coeficientes de compresibilidad y expansi´on t´ermica del fluido [ver (2.5)] se expresa: dρ = ρ kT d p − ρ β d T , d ρ/ρ = kT d p − β d T . (2.21) Ahora bien, para agua en condiciones normales los valores de kT y β son muy peque˜ nos kT = 0.51 × 10−9 m2 N −1

,

β = 1.5 × 10−4 K −1

,

(2.22)

por tanto, como se deduce de estos valores num´ericos, las variaciones de densidad relativas a la propia densidad son peque˜ nas para variaciones t´ıpicas de presi´on y temperatura y la densidad puede considerarse constante con suficiente aproximaci´ on.

2.5

Mezclas de gases perfectos

Cuando el fluido es una mezcla de varias componentes que pueden variar, es necesario especificar, adem´as de las dos variables termodin´ amicas de estado, la composici´on de la mezcla. As´ı, por ejemplo, para describir el estado de una mezcla de N componentes, hay que indicar las masas moleculares Mi de los diferentes componentes (1 ≤ i ≤ N ) y sus fracciones molares Xi definidas como el n´ umero de moles por unidad de volumen de la especie i-´esima dividido por el n´ umero total de moles, o, lo que es lo mismo, el n´ umero de mol´eculas de esa especie dividido por el n´ umero total de mol´eculas. Esta definici´ on implica que: X1 + X2 + ... + XN = 1

,

(2.23)

lo que quiere decir que para conocer el estado del fluido hay que especificar, adem´ as de las dos variables de estado, N − 1 fracciones molares cuando las N especies son inertes. Si las distintas especies pueden reaccionar qu´ımicamente y se consideran estados de equilibrio qu´ımico es necesario tener en cuenta la dependencia de dichas fracciones molares con la presi´ on y temperatura, que vendr´ an expresadas por la ley de acci´ on de masas. En Mec´ anica de Fluidos suele ser m´as conveniente operar con fracciones m´asicas en lugar de fracciones molares. La fracci´on m´ asica se define como la masa de una componente dividida por on la masa total. La masa de la especie i-´esima contenida en un mol de mezcla es Xi Mi , la fracci´ m´asica Yi ser´a por tanto: Yi = Xi Mi /M

,

N N

Yi = Xi /M = M −1 M i 1 1

donde la masa molecular M representa el valor medio M =

N


,

(2.24)

Mi X i .

1

Llevando las expresiones anteriores a la ecuaci´on de estado, supuesto gas perfecto, se tiene: pi =

ρi R T ρ Yi R T ρ Xi R T = = Mi Mi M

,

(2.25)

30

Cap´ıtulo 2. Termodin´amica de los Procesos Fluidomec´anicos

ρYi ser´ıa la densidad de cada gas si ´el s´olo ocupase todo el volumen de la mezcla y pi es la presi´on parcial de cada componente. Sumando para todas las especies se tiene p=

N


pi =

1

N
ρ Xi R T

M

1

=

ρRT M

,

(2.26)

que se conoce con el nombre de Ley de Dalton y se enuncia expresando que la suma de las presiones parciales de las componentes de una mezcla de gases es igual a la presi´on de la mezcla. Los calores espec´ıficos de la mezcla vienen dados por: cv =

N


cvi Yi

,

cp =

1

N


cpi Yi

,

(2.27)

1

donde cvi y cpi son los calores espec´ıficos de cada uno de los componentes. La energ´ıa interna y entalp´ıa de la mezcla tambi´en se pueden expresar como: e − eo =

N


(ei − eio )Yi =

1

h − ho =

N
1

N


cvi (T − To )Yi = cv (T − To )

,

(2.28)

cpi (T − To )Yi = cp (T − To ) .

(2.29)

1

(hi − hio )Yi =

N
1

La entrop´ıa, por el contrario, no puede expresarse en esta forma, sino que aparece un t´ermino adicional, debido al efecto irreversible del mezclado, que es siempre positivo.   N
T /To S − So = cp ln Rgi Yi ln Xi . (2.30) − γ−1 (p/po ) γ 1

2.6

Fen´ omenos de transporte

Como se indic´o anteriormente, los estados de equilibrio de la materia se caracterizan por una uniformidad espacial y temporal de las propiedades mec´ anicas y t´ermicas. Ense˜ na la experiencia que en un sistema aislado del exterior en el que alguna propiedad de la materia no sea inicialmente uniforme, ocurren cambios en las propiedades mec´ anicas y t´ermicas de los elementos materiales que tienden a llevar el sistema hacia un estado de equilibrio; esto es, tienden a disminuir las no uniformidades iniciales. El conjunto de tales cambios constituye lo que se denomina fen´ omenos de transporte, cuyas tres clases b´asicas corresponden al transporte de masa, cantidad de movimiento y energ´ıa. El transporte de dichas cantidades puede tener un car´ acter convectivo, asociado a la velocidad local del fluido v(x, t), o difusivo, asociado a los gradientes de las variables fluidas: concentraci´ on, velocidad y temperatura.

2.6.1

Fen´ omenos de transporte difusivo

El transporte difusivo es una manifestaci´ on macrosc´opica de procesos que tienen lugar a escala molecular, asociados al movimiento de agitaci´ on de las mol´eculas y a las fuerzas de interacci´on entre ellas. Debido a que el camino libre medio molecular en gases y las distancias intermoleculares en l´ıquidos son mucho menores que las longitudes caracter´ısticas de las variaciones de las variables fluidas macrosc´opicas, los fen´omenos de transporte tienen un car´ acter local, y se manifiestan

2.6. Fen´ omenos de transporte

31

macrosc´opicamente a trav´es de la superficie que separa dos porciones adyacentes cualesquiera de fluido si entre ellas existe un gradiente de las variables fluidas. La transferencia difusiva de masa aparece en una mezcla de fluidos cuya composici´ on var´ıa con la posici´ on. Imaginemos que las mol´eculas pertenecientes a uno de los constituyentes de la mezcla son marcadas de alguna forma. Todas las mol´eculas tienen una velocidad de agitaci´ on aleatoria superpuesta a la velocidad media. Como consecuencia de esta velocidad de agitaci´on molecular, las mol´eculas tienen tendencia a emigrar de su posici´ on inicial. Entonces, si en cualquier instante la proporci´ on de mol´eculas marcadas que se encuentran en uno de los lados del elemento de superficie, e inmediatamente pr´ oximos a ´el, es mayor que la del otro lado, el movimiento aleatorio de mol´eculas marcadas en ambas direcciones a trav´es de la superficie conducir´ a, en general, a un flujo de mol´eculas marcadas a trav´es de la superficie distinto de cero, y cuyo signo tiende a igualar la proporci´ on de mol´eculas marcadas a ambos lados de la superficie. Este flujo neto de un constituyente del fluido debido al movimiento de agitaci´ on molecular constituye la difusi´ on de masa. Consid´erese ahora el transporte de energ´ıa interna por difusi´ on a trav´es de un elemento de superficie cualquiera en el seno del fluido. Debido al movimiento de agitaci´ on molecular, las mol´eculas situadas a un lado de la superficie y a una distancia de ella del orden del camino libre medio, en el caso de un gas, o del orden de la distancia intermolecular en el caso de l´ıquidos, podr´ an cruzar la superficie y, una vez en el otro lado, transferir energ´ıa cin´etica de agitaci´on a las mol´eculas all´ı existentes, bien mediante colisiones (gases) o mediante fuerzas de interacci´on molecular (l´ıquidos); asimismo, en el caso de l´ıquidos, existen contribuciones adicionales al transporte difusivo de energ´ıa interna asociadas al transporte de energ´ıa potencial cuando mol´eculas cruzan la superficie en el mismo sentido y a la interacci´ on entre mol´eculas situadas en lados distintos de la superficie, figura 2.1. F

c

F 

&

n

c

c

c

c 

F

F f 







c

Figura 2.1: Mecanismos moleculares de transporte difusivo.a) Transporte (cantidad de movimiento y energ´ıa interna) asociado a las fuerzas intermoleculares y al cruce de mol´eculas a trav´es de la superficie; b) Transporte de energ´ıa potencial de interacci´ on asociado al cruce de mol´eculas en el mismo sentido; c) Difusi´ on de cantidad de movimiento y energ´ıa interna debida a mol´eculas que no cruzan la superficie Es claro, por tanto, que si a trav´es del elemento de superficie existe un gradiente de temperaturas se producir´ a a trav´es del mismo un flujo difusivo de energ´ıa interna desde la zona donde la temperatura es mayor y, por tanto, el movimiento de agitaci´ on es m´as intenso, hacia la zona de menor temperatura. Este flujo difusivo neto de energ´ıa interna, cuando la temperatura no es uniforme, constituye el transporte de calor por conducci´ on.

32

Cap´ıtulo 2. Termodin´amica de los Procesos Fluidomec´anicos

Si se supone que lo que hay en los lados de la superficie son fluidos de distinta velocidad media, se obtiene mediante argumentos similares al anterior una interpretaci´ on molecular de la difusi´ on de cantidad de movimiento, que macrosc´ opicamente se manifiesta en una fricci´ on entre porciones adyacentes de fluido asociada a la viscosidad del mismo (se volver´a m´as adelante sobre este punto). En el caso de gases se puede precisar m´as, mediante argumentos microsc´opicos intuitivos, la relaci´on existente entre los flujos difusivos antes descritos y los gradientes de las variables macrosc´opicas. En efecto, consid´erese un elemento de superficie centrado en un punto cualquiera x, y por comodidad, t´ omese el eje x2 del sistema de referencia coincidente con su direcci´on normal (figura 2.2). *+D*",+D,"-+D-

'( l )( l)( x

*","-

Figura 2.2: Relaci´ on entre los flujos difusivos y los gradientes de las variables macrosc´ opicas en un gas. Las mol´eculas situadas en un entorno de x y a una distancia λ/2 por debajo de la superficie cruzar´ an la superficie debido a un movimiento de agitaci´ on y, en media, experimentar´ an una colisi´ on con las mol´eculas del otro lado a una distancia del orden de λ/2. Debido a que Kn = λ/L
1, siendo L la longitud caracter´ıstica de variaci´ on de las variables fluidas macrosc´opicas, la diferencia de ´estas entre los puntos x − λe2 /2 y x + λe2 /2 se puede aproximar por el primer t´ermino de la serie de Taylor en torno al punto x. Es decir, la diferencia de temperaturas ser´a, salvo t´erminos del orden (λ/L)2 , ∆T = T (x + λe2 /2, t) − T (x − λe2 /2, t) = λ

∂T (x, t) ∂x2

.

(2.31)

Si consideramos que a trav´es de la superficie existe tambi´en un gradiente de concentraci´ on de la especie Y y un gradiente de velocidades, por ejemplo en la componente v1 de la velocidad, se tiene tambi´en ∂ v1 ∂Y , ∆ v1 = λ . (2.32) ∆Y = λ ∂ x2 ∂ x2 Si va = |c2 | es el valor absoluto de la componente seg´ un el eje 2 de la velocidad de agitaci´ on t´ermica, habr´ a un transporte difusivo neto de energ´ıa interna en la direcci´ on x2 , que por unidad de superficie y unidad de tiempo, vendr´ a dado por, q(x, t) ∼ ρ cv [T (x − λe2 /2) − T (x + λe2 /2, t)] va = −ρ cv va λ

∂T ∂x2

;

(2.33)

en gases, la velocidad de agitaci´on t´ermica es proporcional a la ra´ız cuadrada de la temperatura absoluta va ∼ (Rg T )1/2 . An´ alogamente, la masa y cantidad de movimiento transportadas por difusi´ on ser´ an: f (x, t) ∼ −ρ va λ

∂Y ∂x2

,

(2.34)

2.6. Fen´ omenos de transporte

33

y ∂v1 . (2.35) ∂x2 Obs´ervese que τ12 representa el flujo por unidad de superficie de la componente x1 de la cantidad de movimiento transportada en la direcci´ on −x2 . Este transporte de cantidad de movimiento se puede interpretar como que las mol´eculas que parten del lado de la superficie donde la velocidad media es menor (mayor), frenan (aceleran), al colisionar una vez cruzada la superficie, a las mol´eculas del otro lado en donde existe una velocidad media mayor (menor). Este proceso se manifiesta  . macrosc´opicamente como un esfuerzo tangencial τ12 Como se ve, la teor´ıa cin´etica de gases sugiere que, siempre que Kn = λ/L
1, existe una relaci´ on local y lineal entre los flujos difusivos y los gradientes espaciales de las variables fluidas; la experiencia ense˜ na que lo mismo es cierto en el caso de l´ıquidos. No obstante, el c´ alculo exacto de los coeficientes de proporcionalidad en dichas relaciones (coeficientes de transporte) es complicado mediante los m´etodos de la Teor´ıa Cin´etica, y en la mayor´ıa de las situaciones pr´acticas se determinan experimentalmente. A continuaci´ on se dar´ a una descripci´ on de los fen´ omenos de transporte difusivo desde el punto de vista del modelo de medio continuo basada en leyes emp´ıricas: Ley de Fourier, Ley de Fick y Ley del esfuerzo de Newton.  τ12 ∼ ρ va λ

Transporte de calor por conducci´ on. Ley de Fourier Macrosc´opicamente, el transporte de calor por conducci´ on se puede caracterizar mediante un vector flujo de calor. En efecto, consid´erese un tetraedro infinitesimal que se mueva con la velocidad local del fluido v(x, t) y cuyo v´ertice en el instante t coincide con el punto x. La suma del calor transferido hacia el interior del tetraedro a trav´es de las caras ortogonales difiere de la transferida hacia el exterior a trav´es de la cara inclinada en una cantidad del orden del volumen (ver figura 2.3) se tiene entonces . n '. '( '-

(

-

Figura 2.3: Tetraedro infinitesimal para la demostraci´ on del car´ acter vectorial del transporte difusivo de calor. q(n1 ) d σ − (q1 d σ1 + q2 d σ2 + q3 d σ3 ) = 0 , d σ1 = n1 d σ , d σ2 = n2 d σ , d σ3 = n3 d σ

, (2.36)

donde n1 , n2 , y n3 son los cosenos directores de la normal exterior n a la cara inclinada del tetraedro de la figura. Por tanto, el calor neto por unidad de tiempo transferido al tetraedro se puede escribir

34

Cap´ıtulo 2. Termodin´amica de los Procesos Fluidomec´anicos

en funci´ on del vector flujo de calor q de componentes q1 , q2 y q3 , q(n1 ) = q1 n1 + q2 n2 + q3 n3 = q · n ; q ser´a en general funci´ on de la posici´ on y del tiempo, q(x, t). El flujo de calor a trav´es de una superficie finita Σ ser´ a: q · ndσ .

(2.37)

(2.38)

Σ

Si la superficie Σ es cerrada y q es continua en el interior (no hay fuentes de calor puntuales), el calor que por conducci´ on sale del volumen Ω encerrado por la superficie Σ ser´ a: q · ndσ = ∇ · qd7 , (2.39) Σ

Ω

y por tanto ∇ · q es el calor que sale de la unidad de volumen en la unidad de tiempo. La hip´ otesis que se efect´ ua ahora es que el flujo de calor q(x, t) depende de las variaciones locales de la temperatura solamente. Esta hip´ otesis se basa en que, como se dijo anteriormente, las desviaciones del equilibrio est´ an asociadas a las colisiones moleculares, y la distancia (camino libre medio) entre dos colisiones es mucho menor que la distancia macrosc´ opica de variaci´ on de la temperatura. El flujo de calor en un punto no depende de lo que pase en otro punto lejano al considerado, s´olo depende de lo que suceda en ese punto. Las variaciones espaciales de temperatura en el entorno de un punto est´ an determinadas, en primera aproximaci´ on, por las derivadas espaciales primeras de la temperatura en ese punto, y por tanto el flujo de calor s´ olo depende de las derivadas primeras de la temperatura. Se completa la hip´ otesis admitiendo que la dependencia con las derivadas primeras es lineal qi = Kij

∂T ∂xj

=

q =K ·∇T

;

,

(2.40)

otropo, el tensor Kij ser´a donde Kij representa el tensor de conducci´on de calor. Si el medio es is´ diagonal ya que no existen direcciones privilegiadas Kij = −Kδij , y qi = −K ∂ T /∂ xi

,

q = −K ∇ T

,

(2.41)

que se conoce con el nombre de Ley de Fourier (el signo menos indica que el flujo de calor es en el sentido de las temperaturas decrecientes). K se denomina coeficiente de conducci´on t´ermica y depende de la densidad y fundamentalmente de la temperatura. Transporte de masa por difusi´ on. Ley de Fick. Del mismo modo que un gradiente de temperaturas da lugar a flujos de energ´ıa t´ermica, un gradiente de la concentraci´on de una especie da lugar a un flujo de esa especie. En efecto, sup´ ongase un fluido formado por dos componentes A y B que est´ a en reposo. Si las mol´eculas de estos componentes no est´an en igual proporci´ on en el medio, existir´a un flujo de las mismas que tender´ a a homogeneizar dicha proporci´ on de mol´eculas. El flujo de masa de la especie A a trav´es de un elemento de superficie d σ y normal n, se puede expresar en la forma fA · n d σ

.

El flujo total de masa por difusi´ on de la especie A a trav´es de una superficie Σ ser´a fA · n d σ . Σ

(2.42)

(2.43)

2.6. Fen´ omenos de transporte

35

De la misma forma se define el flujo m´asico por difusi´ on fB de la especie B; se debe cumplir que fA + fB = 0 ya que al estar el medio en reposo la cantidad de movimiento media debe ser nula. Los flujos m´ asicos difusivos permiten definir las velocidades de difusi´ on ρ YA vDA = fA

,

ρ YB vDB = fB

.

(2.44)

En el caso en que el fluido se mueva con una velocidad macrosc´ opica v, la velocidad de cada una de las especies ser´a (2.45) vA = v + vDA , vB = v + vDB , por tanto, v = YA vA + YB vB . Cuando el fluido es una mezcla de dos especies (mezcla binaria) ense˜ na la experiencia y demuestra la Teor´ıa Cin´etica de Gases que se verifica la Ley de Fick YA vDA = −DAB ∇ YA

,

(2.46)

YB vDB = −DAB ∇YB

,

(2.47)

on de la mezcla (en mezclas binarias DAB es funci´ on de la siendo DAB el coeficiente de difusi´ presi´on y temperatura). En mezclas no binarias la dependencia respecto a los gradientes de concentraci´ on, aunque lineal, es m´as complicada. Se remite al lector interesado a cualquier tratado de Teor´ıa Cin´etica para el estudio de esta dependencia. Sin embargo, cuando existe una especie preponderante en la mezcla y siempre que las fracciones m´asicas de las restantes especies sean peque˜ nas, puede utilizarse para evaluar la difusi´ on de estas especies la Ley de Fick con un coeficiente de difusi´on D correspondiente a la mezcla de la especie preponderante y la especie cuya difusi´ on se estudia. Aunque el aire no responde a este modelo de gas, tambi´en en ´el puede utilizarse la Ley de Fick por las siguientes razones: no molecular es muy parecido. • En el aire predominan dos especies N2 y O2 cuyo tama˜ • A la hora de estudiar la difusi´ on de N2 y O2 se puede despreciar la existencia de otras especies. • Al estudiar la difusi´ on de otras especies poco abundantes, por ejemplo CO2 , se puede considerar que ´este se mueve en una especie de tama˜ no molecular intermedio al de N2 y O2 y con un coeficiente de difusi´ on intermedio al de las mezclas CO2 , O2 y CO2 , N2 . Sirvan estas observaciones para indicar la amplia variedad de situaciones en que en forma aproximada es aplicable la Ley de Fick de las mezclas binarias. Transporte difusivo de cantidad de movimiento Como se mencion´o al principio de la lecci´ on, la falta de uniformidad en la distribuci´ on de velocidades da lugar a la aparici´ on de fuerzas de superficie en el fluido. Sin embargo dado el car´ acter vectorial de la magnitud que se transporta, en este caso la cantidad de movimiento, no resulta tan f´ acil encontrar una relaci´ on que ligue esas fuerzas superficiales con las derivadas de los componentes del vector velocidad (antes deben estudiarse las propiedades cinem´ aticas del campo fluido). No obstante, y aunque este problema se examinar´ a m´as profundamente en cap´ıtulos posteriores, se estudiar´ a aqu´ı un caso particular sencillo que permita ver la analog´ıa existente entre este fen´omeno y los dos antes descritos. Sup´ ongase un campo de velocidades tal que s´ olo exista componente en la direcci´on del eje 1 y que ´esta var´ıe en la direcci´on 2.

36

Cap´ıtulo 2. Termodin´amica de los Procesos Fluidomec´anicos

v = v1 (x2 )e1

.

(2.48)

La componente tangencial del esfuerzo τ12 = τ21 , es distinta de cero como consecuencia primero de la existencia de no uniformidad de la velocidad del flujo y segundo de la interacci´ on de las mol´eculas sobre las dos caras del elemento de superficie, bien sea a trav´es del movimiento de las mol´eculas que cruzan la superficie o por las fuerzas intermoleculares ejercidas a trav´es del elemento de superficie. Los argumentos que conducen a la hip´ otesis de una relaci´ on lineal entre el flujo y el gradiente local de un escalar pueden ser aplicados ahora. En efecto, las interacciones moleculares se extienden sobre una distancia peque˜ na, y el transporte molecular de cantidad de movimiento a trav´es del elemento de superficie depender´a exclusivamente del gradiente local ∂v1 /∂x2 ; no puede depender de la velocidad v debido a que ´esta depende del sistema de referencia empleado. Por u ´ltimo, y an´ alogamente al transporte de calor por conducci´ on y de masa por difusi´ on, el esfuerzo es proporcional a ∂ v1 /∂x2 , ∂v1 τ12 = µ , (2.49) ∂x2 donde el par´ ametro µ, denominado coeficiente de viscosidad del fluido, depende de la presi´ on y, fundamentalmente, de la temperatura. Coeficientes de transporte A continuaci´ on se discutir´ a la variaci´ on de los coeficientes de transporte µ, K y D con las variables termodin´ amicas locales. ´nicamente de la En gases, la Teor´ıa Cin´etica demuestra que µ/ρ, K/(ρ cv ) y D dependen u temperatura y no de la presi´ on. En efecto, de las definiciones (2.33-2.35) junto con (2.41), (2.44), (2.46) y (2.49) se establecen las relaciones K ∼ ρ D ∼ µ ∼ ρ va λ . cv

(2.50)

La velocidad de agitaci´on t´ermica es proporcional a la ra´ız cuadrada de la temperatura T , va ∼ (Rg T )1/2 , y la Teor´ıa Cin´etica demuestra que el camino libre medio es directamente proporcional a la masa de las mol´eculas e inversamente proporcional a la densidad del gas y a la secci´ on eficaz de las colisiones ς, m ; (2.51) λ∼ ρς para gases en condiciones normales, ς es pr´acticamente independiente de la temperatura y por tanto ρ λ es muy aproximadamente constante. De (2.50) se tiene entonces √ K ∼ ρ D ∼ µ ∼ ρλ T cv

,

(2.52)

que demuestra que los coeficientes de transporte K/cv , ρ D y µ aumentan en gases como la ra´ız cuadrada de la temperatura. De (2.50) se deduce tambi´en que para el caso de gases, los tres fen´omenos de transporte difusivo (conducci´ on, difusi´ on y viscosidad) est´ an basados en la agitaci´ on molecular y por tanto los coeficientes K µ ∼ D ∼ ∼ va λ , (2.53) ρ cv ρ son del mismo orden. Los argumentos anteriores no son completamente rigurosos y por tanto no se puede establecer una igualdad entre las cantidades de la relaci´ on (2.53), que adem´ as no son iguales, en realidad,

2.6. Fen´ omenos de transporte

37

aunque difieran poco entre si. A K/ρ cv se le llama difusividad t´ermica y al cociente µ/ρ = ν viscosidad cinem´atica y a veces difusividad de cantidad de movimiento. Por razones que aparecen claras m´as tarde, la difusividad t´ermica α se define con el calor espec´ıfico a presi´ on constante, α = K/ρ cp . En el caso de l´ıquidos, se comprueba experimentalmente que los coeficientes de transporte tambi´en dependen u ´nicamente de la temperatura. Por ejemplo, las fuerzas de cohesi´on intermolecular, que determinan en gran parte las fuerzas de viscosidad, disminuyen al aumentar la temperatura y disminuyen en consecuencia el coeficiente de viscosidad. Por el contrario, en l´ıquidos se observa experimentalmente que la difusividad m´ asica aumenta al hacerlo la temperatura (al disminuir las fuerzas de cohesi´on, se facilita la transferencia de masa por agitaci´ on molecular). Tambi´en de la experiencia se conoce que el coeficiente de conducci´on de calor en l´ıquidos depende muy d´ebilmente de la temperatura (al aumentar la temperatura se facilita la transferencia de energ´ıa interna por agitaci´on molecular, pero el aumento tiende a compensarse por la disminuci´ on de la transferencia debida al efecto de las fuerzas de cohesi´ on que disminuyen con la temperatura). En la pr´ actica es usual medir la importancia relativa de estos fen´ omenos de transporte definiendo n´ umeros adimensionales que sirven de comparaci´ on entre ellos. Por ejemplo el n´ umero de Prandtl on, cantidad de P r = ν/α = µ cp /K compara la capacidad de un fluido para transferir, por difusi´ movimiento y calor. Del mismo modo se definen los n´ umeros de Schmidt, Sc = ν/D, y Lewis, Le = D/α. En gases, como se indica en (2.53), los n´ umeros de Prandtl, Schmidt y Lewis son del orden de la unidad, no var´ıan con la presi´ on y apenas lo hacen con la temperatura (P r = 0.73 para aire). En l´ıquidos, el n´ umero de Prandtl es una funci´ on decreciente de la temperatura. En los aceites ligeros el n´ umero de Prandtl es grande frente a la unidad (P r ∼ 1000), mientras que en los l´ıquidos met´ alicos es muy inferior a la unidad (P r = 0.027 para el caso de mercurio a 283 K). Para el agua a 288 K, P r = 8. Cabe indicar finalmente que, en l´ıquidos, Sc es siempre mucho mayor que la unidad, mientras que Le es mucho menor que la unidad.

2.6.2

Transporte convectivo. Flujo convectivo de una magnitud fluida

Sea φ(x, t) una magnitud fluida extensiva por unidad de volumen. Si d σ es un elemento de superficie fijo en el sistema de referencia elegido, de normal unitaria n, es f´acil ver en la figura 2.4 que el volumen de fluido que atraviesa d σ en la direcci´on n y en un tiempo d t es d σ v · n d t. n

S

vx"


s x

Figura 2.4: Flujo convectivo a trav´es de un elemento de superficie d σ.

38

Cap´ıtulo 2. Termodin´amica de los Procesos Fluidomec´anicos

Por tanto, la cantidad de esa magnitud que atraviesa con el fluido la superficie Σ en la unidad de tiempo es φ v · ndσ . (2.54) Σ

La expresi´on (2.54) se denomina flujo convectivo de la magnitud φ a trav´es de la superficie Σ. Si φ es un escalar, φv es un vector denominado vector flujo de φ, por ejemplo, si se trata de la densidad ρ, la cantidad ρv es el vector flujo m´asico. Si φ es un vector, φv es un tensor denominado tensor flujo de la cantidad φ, por ejemplo, si se trata de la cantidad de movimiento ρv, la cantidad ρvv es el tensor flujo de cantidad de movimiento. Si la superficie es cerrada y φ v es continuo en su interior, el teorema de Gauss proporciona φv · ndσ = ∇ · (φ v)d 7 , (2.55) Σ

Ω

donde n es la normal unitaria exterior a Σ, y Ω la regi´ on encerrada por dicha superficie. Para una regi´ on infinitesimal de volumen d Ω situada alrededor de un punto fijo x del dominio fluido, el valor de la integral (2.55) es [∇ · (φ v)](x,t) d Ω, salvo infinit´esimos de orden superior que resultan de evaluar la divergencia en x y no tomar su valor medio en el interior de d Ω. Se deduce por tanto que [∇ · (φv)](x,t) representa el flujo neto de la cantidad de la magnitud φ que por convecci´on abandona, a trav´es de su superficie, la unidad de volumen que encierra al punto dado x. Si el elemento de superficie posee en el instante considerado una velocidad vc , la velocidad relativa del fluido respecto a la de la superficie es (v − vc ), y el flujo convectivo de φ a trav´es de d σ en dicho instante ser´ a, naturalmente, φ(v − vc ) · n d σ

.

(2.56)

El flujo convectivo a trav´es de una superficie finita Σ se obtiene de (2.56) mediante integraci´ on φ(v − vc ) · n d σ . (2.57) Σ

Haciendo φ = ρ, φ = ρv y φ = ρe se obtienen, a partir de (2.57), los flujos convectivos de masa, cantidad de movimiento y calor a trav´es de Σ que son, respectivamente, ρ(v − vc ) · n d σ , ρ v(v − vc ) · n d σ , ρ e(v − vc ) · n d σ . (2.58) Σ

Σ

Σ

Obs´ervese que los flujos convectivos anteriores son nulos a trav´es de cualquier superficie que en cada punto se mueva, en el instante considerado, con la velocidad local del fluido en dicho punto an existir a trav´es de Σ flujos difusivos de masa, cantidad (vc = v(x, t)). En este caso s´olo podr´ de movimiento y energ´ıa. En general, a trav´es de cualquier superficie Σ existir´an flujos difusivos y convectivos, siendo el flujo total la suma de ambos. As´ı , el flujo total de calor a trav´es de Σ vendr´ a dado por, Σ

−K ∇ T · n d σ +

Σ

ρ e(v − vc ) · n d σ

y el flujo total de cantidad de movimiento, =, τ ·ndσ + ρ v(v − vc ) · n d σ − Σ

=,

,

,

Σ

siendo τ (x, t) el tensor de esfuerzos de viscosidad que se considerar´a en detalle en 4.3 .

(2.59)

(2.60)

2.6. Fen´ omenos de transporte

39

Finalmente, en fluidos no homog´eneos en composici´on, el flujo de masa de la especie Yi a trav´es de la superficie Σ se escribe, −ρ Di ∇ Yi · n d σ + ρ Yi (v − vc ) · n d σ , (2.61) Σ

donde v es la velocidad media de la mezcla.

40

Cap´ıtulo 2. Termodin´amica de los Procesos Fluidomec´anicos

Referencias 1. G.K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics , Cambridge University Press, 1967. 2. S.R. de Groot y P. Mazur, Non Equilibrium Thermodynamics, Dover (New York)m 1.984. 3. J.O. Hirschfelder, C.F. Curtis y R.B. Bird, Molecular Theory of Gases and Liquids, John Wiley and Sons (New York), 1.964. 4. E.M. Lifshitz y L.P. Pitaevskii, Landau y Lifshitz: Course of Theoretical Physics, Vol. 10, Kinetic Theory , Pergamon Press, 1.981. 5. F. Reif, F´ısica Estad´ıstica, Berkeley Physics Course, Vol. 5, Editorial Revert´e, 1975. 6. W.G. Vincenti y Ch.H. Kruger, Jr., Introduction to Physical Gas Dynamics, Krieger, New York, 1977. 7. L.C. Woods, The Thermodynamics of Fluid Systems , Oxford Engineering Science Series, Clarendon Press, Oxford, 1.975.

Cap´ıtulo 3

Cinem´ atica de los Fluidos 3.1

Especificaci´ on del campo fluido

Para la descripci´ on del movimiento del medio continuo fluido se pueden utilizar dos alternativas. En la primera, debida a Lagrange, cada punto del fluido se identifica mediante su posici´ on inicial xo y se sigue en el tiempo la evoluci´on de su posici´ on y la de las magnitudes fluidas ligadas al mismo. Un punto as´ı definido se denominar´ a en lo que sigue punto material. As´ı , la funci´ on trayectoria xT = xT (xo , to , t)

(3.1)

determina la posici´on en sucesivos instantes t del punto material que en el instante to estaba en la posici´ on xo . Las ecuaciones (3.1) pueden interpretarse tambi´en como las de la transformaci´on punto a punto entre los dominios ocupados por el fluido en los instantes to y t. La velocidad y aceleraci´on de dicho punto son entonces: ∂xT , (3.2) ∂t ∂ 2 xT a(xo , to , t) = . (3.3) ∂t2 Aunque la descripci´ on Lagrangiana es u ´til en ciertos problemas especiales como el caso del flujo unidimensional, no estacionario, de un gas no viscoso o el modelado de flujos dominados por grandes vortices, la realidad es que su uso en la descripci´ on de las corrientes fluidas da lugar a expresiones y c´alculos complejos que, en general, no aconsejan su uso. Por esta raz´on, para la descripci´on de los movimientos fluidos se utiliza el denominado punto de vista de Euler, o descripci´on Euleriana, en la que no se sigue a los puntos materiales del fluido sino que en cada instante las magnitudes fluidomec´ anicas se especifican en cada punto x fijo respecto al sistema de referencia y perteneciente al dominio fluido. En esta descripci´ on la posici´ on y el tiempo son, por tanto, variables independientes. La conexi´ on entre ambas descripciones se establece expresando que los valores de las magnitudes asociadas a un punto material, cuya posici´ on coincide en un instante determinado con la del punto fijo x, son iguales a los de la descripci´on Euleriana en dicho punto e instante. En la descripci´ on Euleriana del movimiento, la velocidad local del fluido v(x, t) se toma como variable fundamental. Cuando v es independiente del tiempo el movimiento se denomina estacionario. Obs´ervese que un movimiento puede ser estacionario en un sistema de referencia y no serlo en otro. En efecto, consid´erese como ejemplo el caso de un obst´aculo que se mueve con velocidad constante respecto a un fluido ilimitado y en reposo en el infinito. Es f´ acil comprobar que respecto v(xo , to , t) =

41

42

Cap´ıtulo 3. Cinem´atica de los Fluidos

a un sistema de referencia ligado a tierra, las variables fluidomec´ anicas experimentan variaciones con el tiempo (de hecho, un punto que en cierto instante pertenezca al dominio fluido puede no pertenecer a ´el en un instante posterior cuando el s´ olido pase por dicho punto); sin embargo, en ejes ligados al obst´ aculo, la corriente de fluido alrededor del obst´ aculo es estacionaria. Un movimiento se denomina uniforme cuando las magnitudes fluidas son en cada instante las mismas para cualquier punto del dominio fluido, v = v(t). Un movimiento se dice plano cuando la velocidad en cada punto del espacio fluido es perpendicular a una direcci´ on; si adem´as no var´ıa en esa direcci´on el movimiento es bidimensional. Tomando esa direcci´on como el eje 3, se tiene v = v1 (x1 , x2 , t)e1 + v2 (x1 , x2 , t)e2

.

(3.4)

Cuando el movimiento presenta simetr´ıa de revoluci´ on respecto a un eje, es decir, no depende de la coordenada azimutal alrededor de dicho eje, se denomina axilsim´etrico. Si z es la coordenada a lo largo del eje de simetr´ıa, se tiene, en coordenadas cil´ındricas v = vr (r, z, t)er + vz (r, z, t)ez + vφ (r, z, t)eφ

3.1.1

.

(3.5)

Trayectorias

Las trayectorias de los puntos materiales se definen mediante el sistema de ecuaciones diferenciales dx = v(x, t) dt

,

(3.6)

que, junto con las condiciones iniciales x(to ) = xo , proporcionan las trayectorias x = xT (xo , to , t)

.

(3.7)

En forma param´etrica, la expresi´on (3.7) representa la senda o curva descrita por el punto material en su movimiento. Si un conjunto de puntos materiales forman inicialmente una l´ınea, por continuidad, seguir´ an formando en instantes posteriores una l´ınea denominada l´ınea fluida que, en el instante gen´erico t, se denotar´ a por Lf (t). La violaci´ on de esta condici´on implicar´ıa la existencia en un instante determinado de dos velocidades distintas en un mismo punto, contradiciendo as´ı la hip´ otesis del medio continuo. Por tanto, si la l´ınea primitiva es cerrada se mantiene posteriormente cerrada. on de Si xo = xo (λ) es la ecuaci´on param´etrica de una l´ınea fluida en el instante inicial, la ecuaci´ dicha l´ınea en el instante t ser´a: (3.8) x = xT [xo (λ), to , t] . An´ alogamente se define la superficie fluida, Σf (t): si xo = xo (α, β) es la ecuaci´on param´etrica de la superficie fluida en el instante inicial, su ecuaci´ on en el instante t ser´a, x = xT [xo (α, β), to , t]

.

(3.9)

Eliminando los par´ ametros α y β de las tres ecuaciones anteriores se obtendr´ıa la ecuaci´on f (x, t) = 0 de la superficie fluida. Si la superficie fluida es inicialmente cerrada, por continuidad se mantendr´a cerrada a lo largo del movimiento y el fluido encerrado por esta superficie permanece siempre en su interior y constituye lo que se denomina un volumen fluido, Ωf (t); 1 n´ otese que la 1 Desde un punto de vista microsc´ opico, la conservaci´ on de la masa de un volumen fluido puede interpretarse teniendo en cuenta que, respecto a una superficie que se mueva con la velocidad macrosc´ opica del fluido, las mol´eculas pr´ oximas a dicha superficie poseen u ´ nicamente velocidad de agitaci´ on molecular, que es ca´ otica en direcci´ on y magnitud; por tanto, el n´ umero de mol´eculas que abandonan el volumen fluido es, en media, igual al n´ umero de las que entran en dicho volumen. Asimismo, si el fluido no es homog´eneo en composici´ on, la definici´ on (1.7) para la velocidad media local permite asegurar que la masa total de la mezcla contenida en un volumen fluido permanece tambi´ en constante en el tiempo; sin embargo, la masa de cada componente dentro de dicho volumen puede variar debido a que su velocidad media local ser´ a en general distinta de la de la mezcla.

3.1. Especificaci´on del campo fluido

43

conservaci´on de la masa en el interior de un volumen fluido implica, en el caso de un l´ıquido, que la deformaci´ on que experimenta en su movimiento es siempre a volumen constante. La evoluci´on de un volumen fluido puede observarse si se marca de alguna forma (con tinta, humo, burbujas de hidr´ ogeno, etc.) una porci´ on de fluido y posteriormente se la sigue en su movimiento. Un volumen fluido infinitesimal d Ωf (t) se deforma en su movimiento permaneciendo sus dimensiones infinitesimales, puesto que, por continuidad, la diferencia de velocidades entre sus puntos es peque˜ na; dicho volumen fluido se denomina part´ıcula fluida. 2

3.1.2

L´ıneas de corriente

Las l´ıneas de corriente se definen como aquellas l´ıneas que en un instante dado son tangentes en cada punto al vector velocidad. Estableciendo la proporcionalidad entre el vector tangente y el vector velocidad se obtiene el sistema de ecuaciones diferenciales que satisfacen las l´ıneas de corriente. En coordenadas cartesianas estas ecuaciones son dx1 dx2 dx3 = = v1 (x, t) v2 (x, t) v3 (x, t)

,

(3.10)

en las que el tiempo juega el papel de un par´ ametro. Para resolver el sistema (3.10) es necesario imponer dos condiciones de contorno (por ejemplo para x3 = x30 , x1 = x10 y x2 = x20 ). Obs´ervese que en movimientos estacionarios las l´ıneas de corriente coinciden con las sendas de los puntos materiales del fluido. No ocurre as´ı en movimientos no estacionarios, en los que las l´ıneas de corriente dependen, en general, del tiempo. En este caso, dos puntos fijos A y B que en un instante dado t0 pertenezcan a una misma l´ınea de corriente, no pertenecer´ an en general a la misma l´ınea de corriente en un instante posterior t, como se indica en la figura 3.1. vx$"


$ vx#"
 #

vx$"


vx#"


Figura 3.1: L´ıneas de corriente en el instante t que pasan por dos puntos que en un instante anterior t0 pertenec´ıan a la misma l´ınea de corriente (l´ınea a trazo) Por otra parte, si se toma una l´ınea del espacio, las l´ıneas de corriente que se apoyan en ella forman una superficie de corriente; si la l´ınea de partida es cerrada, la superficie de corriente se denomina tubo de corriente. 2 Obs´ ervese que, como cualquier otro volumen fluido, la part´ıcula fluida est´ a formada por un conjunto continuo de puntos materiales. Cuando sucede que la extensi´ on espacial de la part´ıcula fluida no es relevante en la situaci´ on considerada (es decir, si no es necesario tener en cuenta su deformaci´ on ni las fuerzas que act´ uan en cada punto de su superficie o de su volumen) este concepto y el de punto material se usan indistintamente.

44

Cap´ıtulo 3. Cinem´atica de los Fluidos

Los puntos donde la velocidad es nula se denominan puntos de remanso, y los puntos donde la velocidad es infinita, puntos singulares. Obs´ervese que tales puntos son puntos singulares de (3.10)donde la pendiente de las l´ıneas de corriente est´a indeterminada. Por tanto, en un mismo instante de tiempo dos l´ıneas de corriente no se pueden cortar en un punto (ya que ello implicar´ıa la existencia de dos velocidades diferentes en ese punto, lo que es f´ısicamente imposible) salvo naturalmente que lo hagan en un punto de remanso o un punto singular. En la figura 3.2 se muestra la topolog´ıa de las l´ıneas de corrientes en un entorno de los puntos de remanso (nodo, centro y puerto) y singulares (fuente o sumidero, torbellino y puerto) para un movimiento plano.



&



Figura 3.2: L´ıneas de corriente en torno a puntos singulares o de remanso en un movimiento plano. a) Nodo o sumidero (fuente si la direcci´ on del flujo es saliente); b) Centro o torbellino; c) Puerto

3.1.3

Traza

Es la l´ınea en el instante t en que est´an todas las part´ıculas fluidas que en instantes t anteriores a on, ser´ıa t pasaron por un punto determinado xo . Su utilidad radica en que, si se desprecia la difusi´ la l´ınea que se ver´ıa si en un punto se inyectase lentamente un colorante. Naturalmente, coincide con las l´ıneas de corriente y con las sendas en movimientos estacionarios. Para obtener su ecuaci´ on hay que calcular la posici´ on de los puntos materiales que pasaron por el punto de referencia xo en diferentes instantes t ≤ t (3.11) x = xT (xo , t , t) , y eliminar t entre las tres ecuaciones escalares (3.11).

3.1.4

Derivada sustancial

Sea φ(x, t) una magnitud fluida intensiva cualquiera (por ejemplo densidad, temperatura, etc.). Si se sigue a un punto material en su movimiento, la magnitud φ asociada a dicho punto variar´ a, en una descripci´ on Euleriana, no s´ olo por cambiar t sino tambi´en por cambiar su posici´ on x. Si se calcula su variaci´ on con el tiempo se obtiene d φ = φ(x + d x, t + d t) − φ(x, t) = d x · ∇ φ +

∂φ dt ∂t

,

(3.12)

y dφ ∂φ d x = + · ∇φ dt ∂t dt

.

(3.13)

3.2.

Teorema del transporte de Reynolds

45

Para un observador que se mueve con la velocidad del fluido v(x, t) = d x/d t, la expresi´ on (3.13) resulta  ∂φ dφ  Dφ = + v · ∇φ . (3.14) = dt d x/d t = v Dt ∂t Al operador D/Dt = ∂/∂t + v · ∇ se le llama derivada sustancial o derivada siguiendo al punto material; el primer sumando representa la derivada local, que mide la variaci´ on que experimenta con el tiempo la magnitud φ en un punto x fijo en el espacio, y el segundo, la derivada convectiva, que representa el cambio experimentado por la magnitud φ ligada al punto material al moverse ´este a una posici´ on donde el valor de φ es diferente. Obs´ervese que el concepto de derivada sustancial aparece debido a la necesidad de expresar variaciones siguiendo a los puntos materiales en la descripci´on de Euler, en la que el tiempo y el espacio son variables independientes. Obs´ervese que en la descripci´on de Lagrange, las derivadas temporales son sustanciales, puesto que el tiempo es la u ´nica variable independiente y el concepto de derivada sustancial pierde relevancia. Aceleraci´ on La aceleraci´on del fluido en la descripci´ on Euleriana del movimiento es la derivada de la velocidad, siguiendo al punto material, ∂v Dv = + v · ∇v , (3.15) a= Dt ∂t siendo como antes la suma de una aceleraci´on local y una aceleraci´ on convectiva. Naturalmente, si el sistema de referencia no es inercial, para obtener la aceleraci´on absoluta se ha de a˜ nadir a la aceleraci´ on relativa, calculada antes, la aceleraci´ on debida al movimiento del sistema de referencia. Si el origen del sistema se mueve con una aceleraci´on lineal ao y el sistema gira con velocidad angular Ω, la aceleraci´on debida al movimiento no inercial del sistema de referencia ser´a: dΩ × x + Ω × (Ω × x) + 2Ω × v . (3.16) ar = ao + dt suma de la aceleraci´on de arrastre, tangencial, centr´ıpeta y de Coriolis. Ecuaci´ on de una superficie fluida Si f (x, t) = 0 representa la ecuaci´on de cualquier superficie en un instante t, los puntos x + d x que en t + d t pertenecen a la superficie satisfacen asimismo f (x + d x, t + d t) = 0, por lo que se tiene d f = f (x + d x, t + d t) − f (x, t) = d x · ∇ f + d t

∂f =0 . ∂t

(3.17)

Por tanto, si la superficie se mueve con el fluido, d x/d t = v, debe satisfacer la ecuaci´on Df ∂f = + v · ∇f = 0 . Dt ∂t

3.2

(3.18)

Teorema del transporte de Reynolds

Como se ver´a posteriormente, las ecuaciones de la Mec´anica de Fluidos se generan aplicando las ecuaciones de conservaci´on de la masa, cantidad de movimiento y energ´ıa a vol´ umenes fluidos. Dado que se usar´ a el enfoque Euleriano para la formulaci´ on del movimiento, es necesario obtener en esta descripci´on expresiones para los valores de cambio en el movimiento fluido de las integrales de las magnitudes extensivas ligadas a vol´ umenes fluidos, o´, en general, a vol´ umenes que pueden variar con el tiempo de forma arbitraria, que desde ahora se denominar´ an vol´ umenes de control.

46

Cap´ıtulo 3. Cinem´atica de los Fluidos

Consid´erese una superficie cerrada Σc (t) situada en el seno del fluido, tal que la velocidad y la normal exterior unitaria en un punto gen´erico de la misma y en el instante considerado sean vc (en general distinta de la del fluido en dicho punto e instante, v) y n respectivamente. Si Ωc (t) es la regi´ on limitada por dicha superficie en el instante considerado y φ(x, t) es cualquier magnitud fluida extensiva por unidad de volumen, la cantidad de esta magnitud que en el instante t est´a contenida en Ωc (t) es φ(x, t)d 7 . (3.19) Ωc (t)

N´ otese que la integraci´ on en (3.19) se efect´ ua para un instante dado, es decir, en ella el tiempo juega el papel de par´ ametro. Naturalmente, el valor de dicha integral var´ıa con el tiempo tanto por variar la magnitud φ en su interior como la regi´ on de integraci´ on. La magnitud del cambio experimentado por unidad de tiempo es d φ(x, t)d 7 = d t Ωc (t)   1 φ(x, t + ∆ t)d 7 − φ(x, t)d 7 , (3.20) lim ∆t→0 ∆ t Ωc (t+∆ t) Ωc (t) y desarrollando (3.20) en serie de Taylor se obtiene, d ∂φ (x, t) d 7+ φ(x, t)d 7 = d t Ωc (t) Ωc (t) ∂ t 1 lim ∆ t→0 ∆ t







Ωc (t+∆ t)

φ(x, t) d 7 −

φ(x, t)d 7

.

(3.21)

Ωc (t)

El t´ermino entre corchetes en la expresi´on (3.21) representa la integral de la magnitud φ extendida a la diferencia entre las regiones Ωc (t + ∆t) y Ωc (t) (Fig. 3.3) cuyo elemento de volumen es d 7 = vc · n d σ ∆ t

S 


.

s

(3.22)

n

v S 
+D


Figura 3.3: Superficie de control en dos instantes pr´ oximos

3.3. An´ alisis de las velocidades en el entorno de un punto La sustituci´ on de (3.22) en (3.21) conduce finalmente a la expresi´ on ∂φ d d7 + φd7 = φ vc · n d σ d t Ωc (t) Ωc (t) ∂ t Σc (t)

47

,

(3.23)

que constituye el teorema del transporte de Reynolds. Obs´ervese que (3.23) es una generalizaci´ on para el caso tridimensional de la conocida f´ ormula de Leibniz para la derivada de una integral con respecto a un par´ ametro. Si el volumen de control es fijo Ωc (t) = Ω0 (vc = 0) se tiene ∂φ d d7 . (3.24) φd7 = d t Ω0 Ω0 ∂ t Para el caso particular de una regi´ on infinitesimal fija de volumen d Ω que contiene a un punto dado x, el valor de (3.24) es, salvo infinit´esimos de orden superior, [∂φ(x, t)/∂ t]d Ω, por lo que ∂φ/∂t representa la variaci´on en la unidad de tiempo de la cantidad de la magnitud φ contenida en la unidad de volumen que rodea a x. Para un volumen fluido, cuya superficie se mueve en cada punto e instante con la del fluido (vc = v), se obtiene de (3.23) 3 d ∂φ D d7 + φd7 ≡ φd7 = φv · ndσ , (3.25) d t Ωf (t) D t Ωf (t) Ωf (t) ∂ t Σf (t) donde, de acuerdo con (3.24), el primer sumando representa la variaci´ on con el tiempo de la cantidad φ contenida en un volumen fijo Ω0 que en el instante considerado coincide con el volumen fluido (Ωf (t) ≡ Ω0 ), mientras que, de acuerdo con (2.57), el segundo sumando representa el flujo convectivo de la magnitud φ a trav´es de una superficie fija, Σ0 , que en t coincide con la superficie fluida (Σf (t) ≡ Σ0 ). Obs´ervese que si un volumen de control y un volumen fluido coinciden en un instante, Ωc (t) ≡ Ωf (t) y Σc (t) ≡ Σf (t), de (3.23) y (3.25) se obtiene para dicho instante la relaci´on D d φd7 = φd7 + φ (v − vc ) · n d σ , (3.26) D t Ωf (t) d t Ωc (t) Σc (t) donde el segundo sumando representa el flujo convectivo de la cantidad φ relativo a la superficie m´ovil.

3.3

An´ alisis de las velocidades en el entorno de un punto

Como se anticip´ o en el Cap´ıtulo 1, la fuerza resistente a la deformaci´on del fluido es proporcional a la velocidad con que ´este se deforma. Por tanto, para caracterizar esta fuerza es necesario analizar la deformaci´on de la part´ıcula fluida o, lo que es lo mismo, estudiar el movimiento del fluido en el entorno de un punto fijo cualquiera x que en el instante considerado se encuentra en el interior de dicha part´ıcula. Como se ver´ a en lo que sigue dicho movimiento puede interpretarse como la superposici´on de tres movimientos m´as simples: un movimiento de rotaci´ on como s´olido r´ıgido alrededor del punto x, m´as un movimiento de deformaci´ on alrededor de dicho punto, m´ as un movimiento de traslaci´ on. Naturalmente, la superposici´ on de los movimientos de rotaci´on y deformaci´on constituye el movimiento relativo entre los puntos de la part´ıcula fluida. 3 Como se observa en (3.25), en el caso de integrales extendidas a vol´ umenes fluidos es usual cambiar la notaci´ on de derivada temporal (d/d t) por la de derivada sustancial (D/D t). El significado de ambos operadores es, en este caso, id´ entico y representan la derivada con respecto al tiempo del valor resultante de la integraci´ on como se indica en (3.20).

48

Cap´ıtulo 3. Cinem´atica de los Fluidos

En efecto, consid´erese una part´ıcula fluida y dos puntos materiales P y Q de la misma cuyas posiciones en el instante t son x y x+d x, como se muestra en la figura 3.4. Si v(x, t) y v(x+d x, t) son las velocidades en x y x+d x en dicho instante, los puntos P y Q experimentar´ an en el intervalo de tiempo d t los desplazamientos v(x, t) d t y v(x+d x, t) d t (figura 3.4). El desplazamiento relativo que en d t experimenta Q respecto de P es

W 


vx+x"



/

/

W 
+


x

x

vx"



0

0

x+x x

Figura 3.4: Deformaci´ on de una part´ıcula fluida d v d t = v(x + d x, t)d t − v(x, t)d t

,

(3.27)

donde d v, que representa el desplazamiento relativo por unidad de tiempo, viene dado por d v = v(x + d x, t) − v(x, t) = d x · ∇v(x, t)

,

(3.28)

o, en notaci´on indicial, d vi =

∂ vi d xj ∂ xj

,

(3.29)

donde, como se indica expl´ıcitamente en (3.28), las derivadas est´an evaluadas en el punto x, y por tanto, dentro de la aproximaci´ on en que se opera, d v es directamente proporcional a d x. Obs´ervese que si dl representa el elemento de l´ınea fluida P Q (que en el instante t coincide con dx), dv representa el cambio por unidad de tiempo experimentado por la l´ınea material dl para un observador ligado a ella. Se tiene, por tanto D(dl) = dv = dx · ∇v. Dt

(3.30)

Para facilitar el an´ alisis es usual descomponer el tensor ∇ v en dos partes, una sim´etrica y otra antisim´etrica,     ∂ vi 1 ∂ vi ∂ vj ∂ vj 1 ∂ vi = + − (3.31) + = γij + ξij , ∂ xj 2 ∂ xj ∂ xi 2 ∂ xj ∂ xi =

=

donde γ , que se denomina tensor de velocidades de deformaci´ on, representa la parte sim´etrica, y ξ la antisim´etrica. La contribuci´ on de cada uno de estos t´erminos a la velocidad relativa del punto x + d x respecto a la del punto x es =

=

dv = dx · ∇v = dx· γ +dx· ξ = dvd + dvr

,

(3.32)

que dan lugar, como se expres´o anteriormente y se ver´ a a continuaci´ on, a unas velocidades de on como s´olido r´ıgido dvr . En efecto, respecto a la deformaci´on del fluido dvd , y a una rotaci´

3.3. An´ alisis de las velocidades en el entorno de un punto

49

contribuci´ on de la parte antisim´etrica, dvr , cuyas componentes cartesianas vienen dadas a partir de (3.31) y (3.32) por   ∂ vi 1 ∂ vj d vri = d xj − , (3.33) 2 ∂ xj ∂ xi es f´acil comprobar que dichas componentes son las del producto vectorial 12 ω×d x, donde ω = ∇×v se denomina vector vorticidad del fluido. As´ı pues, 1 ω(x, t) × d x , (3.34) 2 que representa una rotaci´ on como s´olido r´ıgido de la part´ıcula fluida alrededor del punto x con velocidad angular ω/2. = La contribuci´ on de la parte sim´etrica, d vd = d x· γ (x, t), se escribe en notaci´on indicial 4 d vr =

d vdi = γij (x, t)d xj

.

(3.35)

Para interpretar el significado f´ısico (3.35) consid´erese un elemento de l´ınea fluida con origen en un punto P y de direcci´on seg´ un el vector unitario n (figura 3.5). Si Q es un punto de dicho elemento cuya posici´on relativa a P es, en el instante t, d x = |d x|n, el desplazamiento relativo de Q respecto de P en el intervalo d t es d v d t = d x · ∇ v d t = |d x|n · ∇ v d t

.

(3.36)

La componente de (3.36) en la direcci´ on n es n

/

x1n =1 x 

·n v 
 
v

/

P

Figura 3.5: Dilataci´ on de un elemento de l´ınea fluida d v d t · n = |d x|n · ∇ v · n d t

,

(3.37) =

=

y teniendo en cuenta (3.31) y que, debido a la antisimetr´ıa del tensor ξ , n· ξ ·n = ni ξij nj = 0, se deduce que la dilataci´ on que experimenta el elemento de l´ınea fluida considerado en la direcci´ on del propio elemento es = d v d t · n = |d x|n· γ ·n d t . (3.38) 4 Obs´ ervese que debido a la simetr´ıa de γij , el campo de velocidades de deformaci´ on en el entorno de un punto es irrotacional. En efecto, si d x1 , d x2 y d x3 representan las coordenadas de un punto gen´erico de dicho entorno en un sistema de coordenadas con origen en x se tiene

ijk

∂(dvdj ) ∂(d xl ) = ijk γjl (x, t) = ijk γjl δlk = 0 , ∂ (d xk ) ∂(d xk )

on. De hecho, a partir de (3.35) se deduce que d vdi = ∂ φ/∂ (d xi ), donde la donde ijk es el s´ımbolo de permutaci´ adricas semejantes en torno al punto x denominadas funci´ on escalar φ = 12 d xl γkl (x, t)d xk define una familia de cu´ cu´ adricas de velocidades de deformaci´ on.

50

Cap´ıtulo 3. Cinem´atica de los Fluidos

La velocidad de dilataci´ on lineal unitaria en la direcci´ on n, o dilataci´ on que experimenta la unidad de longitud seg´ un n en la unidad de tiempo es por tanto =

n· γ ·n = ni γij nj

.

(3.39)

Consecuentemente, los elementos de la diagonal principal del tensor de velocidades de deformaci´on on de x1 (n ≡ e1 ) con que (por ejemplo γ11 = ∂ v1 /∂ x1 ) representan la velocidad en la direcci´ se dilata un elemento de l´ınea fluida de longitud unidad y dirigido seg´ un el eje x1 . Los restantes elementos de la diagonal principal, γ22 y γ33 , poseen interpretaciones an´ alogas. Un elemento del tensor que est´a fuera de la diagonal principal, por ejemplo γ12 = (1/2)(∂ v1 /∂ x2 + ∂ v2 /∂ x1 ), representa la mitad de la velocidad angular con que disminuye el a´ngulo recto que inicialmente forman dos elementos de l´ıneas fluidas cuyas direcciones coinciden con la de los ejes x1 y x2 . En efecto, en la figura 3.6 se puede comprobar que −

d α1 d α2 dx1 e1 · ∇v · e2 d t dx2 e2 · ∇v · e1 d t dα = + = + = dt dt dt d t d x1 d t d x2 ∂ v2 ∂ v1 + = 2 γ12 ∂ x1 ∂ x2

.

(3.40)

'( '(e(2Ñv2e-


$

$

'(e(2Ñv 


#

a( '(e(

'-e-2Ñv 


'-e-2Ñv2e(


a1 '-e-

0

#

'-

Figura 3.6: Interpretaci´ on de los elementos no diagonales del tensor de velocidades de deformaci´on Los restantes elementos no diagonales del tensor tienen interpretaciones an´alogas.

5

De la

=

5 Como es sabido, la simetr´ ıa del tensor γ permite asegurar que para cada punto x del dominio fluido existen, en cada instante, tres direcciones ortogonales, denominadas direcciones principales de deformaci´ on, tal que puntos en un entorno de x situados sobre una direcci´ on principal poseen velocidades de deformaci´ on dirigidas en dicha direcci´ on. Las direcciones principales vienen determinadas por el problema de autovalores =

n· γ (x, t) = λ n , n · n = 1 , =

donde cada autovalor λ es real ( γ sim´ etrico) y, de acuerdo con (3.39), representa la velocidad de dilataci´ on lineal unitaria de un elemento de l´ınea situado seg´ un la correspondiente direcci´ on principal. Seg´ un la interpretaci´ on de = las componentes no diagonales de γ (x, t), ´ estas son nulas si dicho tensor se refiere a un sistema de ejes paralelos a las direcciones principales.

3.3. An´ alisis de las velocidades en el entorno de un punto

51

misma forma, puede comprobar el lector que la componente de la vorticidad seg´ un el eje 3, ω3 =

dα2 ∂v2 ∂v1 dα1 − − = ∂x1 ∂x2 dt dt

(3.41)

representa el giro neto en el sentido contrario de las agujas del reloj, que por unidad de tiempo, efect´ ua la diagonal del paralelogramo definido por los lados P A y P B (figura 3.6). Por tanto, el valor dado por (3.41) es el doble de la componente seg´ un el eje 3 de la velocidad angular de giro como s´olido r´ıgido de la part´ıcula fluida que coincide con dicho paralelogramo. Si dicho valor es cero no existe rotaci´on como s´olido r´ıgido de la part´ıcula fluida, debido a que el giro alrededor de P de los elementos de l´ıneas materiales situados a un lado de la diagonal es igual y contrario al de los situados en el lado opuesto y el movimiento resultante es de deformaci´on pura. Las otras dos componentes de la vorticidad pueden interpretarse an´ alogamente. Finalmente se examinar´a el significado f´ısico de la traza, suma de los elementos de la diagonal = principal del tensor ∇ v, que naturalmente coincide con la traza de γ por ser nula la traza del =

tensor antisim´etrico ξ . Dicha traza es la divergencia del vector velocidad, ∇ · v, que como se ver´a a continuaci´ on representa el cambio que experimenta la unidad de volumen de fluido en la unidad de tiempo 1 D(d Ω) . (3.42) dΩ Dt En efecto, para una part´ıcula fluida alrededor de un punto fijo x en un instante t se tiene, de acuerdo con la expresi´ on (3.25) particularizada para el caso φ = 1, D d7 = v · ndσ = ∇ · v d 7 = ∇ · v(x, t)d Ω(t) , (3.43) D t d Ωf (t) dΣf (t) dΩf (t)  donde dΩ(t) = dΩf (t) d 7 es el volumen de la regi´on d Ωf (t) ocupada por la part´ıcula fluida en el instante t, y donde se ha tenido en cuenta que v es continua en el interior de d Ωf (t) (para la aplicaci´ on del teorema de Gauss), y que el valor del integrando en el interior de d Ωf (t) se puede aproximar (salvo infinit´esimos del orden superior) por su valor en el punto x.6 El cambio de volumen D(dΩ) que experimenta la part´ıcula fluida en el intervalo de tiempo d t es, pues, D(dΩ) = dΩ(t + dt) − dΩ(t) = ∇ · v(x, t)dΩ(t)d t

,

(3.44)

y, por tanto, 1 D(d Ω) = ∇ · v(x, t) = γii (x, t) , (3.45) dΩ Dt con lo que se comprueba que ∇ · v es la velocidad de dilataci´ on c´ ubica unitaria, o dilataci´ on que experimenta la unidad de volumen de fluido en la unidad de tiempo. El campo de velocidades de un fluido incompresible (l´ıquido), que no experimenta dilataciones ni compresiones, no puede ser, por tanto, arbitrario, sino que en cada punto del dominio fluido y en cada instante debe, para garantizar el requisito de incompresibilidad, satisfacer la condici´ on ∇·v =0

,

(3.46)

que, como se ver´a m´as adelante, constituye la ecuaci´ on de conservaci´on de la masa para un fluido incompresible. 6 De acuerdo con el modelo continuo, toda porci´ on de fluido (infinitesimal o finita) es, a su vez, infinitamente divisible, por lo que el significado de una integral extendida a una regi´ on infinitesimal es el mismo que el de la extendida a una regi´ on finita. Mediante el desarrollo del integrando en serie de Taylor es f´ acil comprobar que la integral extendida a una regi´ on infinitesimal puede calcularse, salvo infinit´esimos de orden superior al de volumen, como el producto del integrando evaluado en un punto cualquiera interior a la regi´ on por el volumen de ´esta.

52

Cap´ıtulo 3. Cinem´atica de los Fluidos

Resumiendo lo anterior, el campo de velocidades en una regi´ on de dimensiones infinitesimales d x que rodea a cada punto fijo x del dominio fluido puede expresarse, en cada instante t, como superposici´ on de un movimiento de traslaci´ on pura v(x, t), m´as un movimiento de deformaci´ on de = velocidad d vd =γ (x, t) · d x, m´as uno de rotaci´ on con velocidad angular ω/2 (donde ω = ∇ × v) y velocidad lineal d vr = [ω(x, t) × d x]/2. A˜ nadir finalmente que la teor´ıa aqu´ı desarrollada coincide con la de las deformaciones infinitamente peque˜ nas de los medios continuos, que se estudia, por ejemplo, en la Teor´ıa de la Elasticidad. Sin embargo conviene hacer dos observaciones: • Mientras aqu´ı el problema es cinem´atico, puesto que se estudian velocidades de deformaci´on, all´ı es geom´etrico, puesto que se estudian estados deformados estacionarios. • En Mec´anica de Fluidos la teor´ıa es exacta en el sentido de que si las velocidades son finitas y continuas las deformaciones producidas en un tiempo arbitrariamente peque˜ no son infinitamente peque˜ nas; mientras que en la Teor´ıa de la Elasticidad hay que suponer que las deformaciones son infinitamente peque˜ nas y s´ olo entonces sus resultados coinciden con los obtenidos aqu´ı si se sustituye la velocidad v por el desplazamiento infinitesimal u.

3.4

Funci´ on de Corriente

Como se ha visto anteriormente [ecuaci´on (3.46)], el campo de velocidades correspondiente al movimiento de un l´ıquido es solenoidal (campo vectorial de divergencia nula). Si sucede adem´ as que el movimiento es bidimensional o posee simetr´ıa axial, la divergencia del vector velocidad contiene solo dos u ´nicos sumandos cuya suma es nula. Se puede definir, entonces, una funci´ on escalar Ψ, denominada funci´ on de corriente, a partir de la que, por derivaci´ on, se obtienen las componentes de v. En efecto, consid´erese el movimiento plano de un l´ıquido cuyas componentes u y v seg´ un los ejes x e y satisfacen la ecuaci´on (3.46) ∂u ∂v + =0 . ∂x ∂y

(3.47)

El teorema de igualdad de las derivadas cruzadas (Teorema de Schwarz) asegura entonces que existe una funci´ on escalar Ψ tal que u=

∂Ψ ∂y

v=−

∂Ψ ∂x

,

(3.48)

que satisface id´enticamente la ecuaci´on de continuidad. Para movimientos de l´ıquidos con simetr´ıa axial, la ecuaci´ on (3.46), que en coordenadas cil´ındricas (x, φ, r) se escribe, ∂(r vx ) ∂(r vr ) + =0 , (3.49) ∂x ∂r se satisface id´enticamente si se definen las componentes de la velocidad vx y vr seg´ un las coordenadas x y r en la forma 1 ∂Ψ 1 ∂Ψ , vr = − , (3.50) vx = r ∂r r ∂x para el caso axilsim´etrico Ψ se denomina funci´ on de corriente de Stokes. Del mismo modo puede demostrarse f´acilmente que para movimientos axilsim´etricos de l´ıquidos en coordenadas esf´ericas (R, θ, φ) se tiene vR =

∂Ψ 1 R2 sin θ ∂ θ

,

vθ = −

∂Ψ 1 R sin θ ∂ R

,

(3.51)

3.4. Funci´ on de Corriente

53

un donde, como es usual, vR y vθ representan respectivamente las componentes de la velocidad seg´ R y θ. Como se ver´a en el Cap´ıtulo 5, en el movimiento estacionario de gases el vector ρv es tambi´en solenoidal [v´ease Eq. (5.4)]. Por tanto, y como sucede en el caso de l´ıquidos, si el movimiento del gas es adem´as bidimensional o axilsim´etrico se puede definir tambi´en la funci´ on de corriente en la forma: ∂Ψ ∂Ψ , ρv = − . (3.52) ρu = ∂y ∂x En el movimiento estacionario axilsim´etrico de gases resulta ρ vx =

1 ∂Ψ r ∂r

ρ vr = −

,

1 ∂Ψ r ∂x

,

(3.53)

si el sistema de coordenadas utilizado es cil´ındrico, y ρ vR =

∂Ψ 1 R2 sin θ ∂ θ

,

ρ vθ = −

∂Ψ 1 R sin θ ∂ R

,

(3.54)

si se utilizan coordenadas esf´ericas. Obs´ervese que la densidad ρ juega aqu´ı el papel de un factor integrante. Una de las ventajas del uso de la funci´ on de corriente en la formulaci´ on matem´atica de los movimientos fluidos es la reducci´ on en el n´ umero de inc´ ognitas y por tanto las ecuaciones del problema: una inc´ ognita, el escalar Ψ, en lugar de las dos componentes de los campos (bidimensionales o axilsim´etricos) v (l´ıquidos) y ρ v (gases). Adem´as la funci´ on de corriente posee otras propiedades interesantes que se describen a continuaci´on: a) La funci´ on de corriente se mantiene constante a lo largo de las l´ıneas de corriente en los movimientos bidimensionales y sobre las superficies de corriente en los axilsim´etricos. En efecto, para un campo de velocidades bidimensional (u, v) seg´ un los ejes (x, y), la ecuaci´on de las l´ıneas de corriente es de acuerdo con (3.10) vdx − udy = 0

.

(3.55)

Teniendo en cuenta las definiciones (3.48), la ecuaci´ on (3.55) se transforma en −

∂Ψ ∂Ψ dx − d y = −d Ψ = 0 , ∂x ∂y

(3.56)

y demuestra que la funci´ on de corriente Ψ se mantiene constante a lo largo de las l´ıneas de corriente. Sobre una superficie de corriente axilsim´etrica se tiene tambi´en vr d x − vx d r = −

1 ∂Ψ 1 1 ∂Ψ dx − dr = dΨ = 0 . r ∂x r ∂r r

(3.57)

Compruebe el lector que en el caso de gases la funci´on de corriente se mantiene tambi´en constante a lo largo de las l´ıneas de corriente. Basta para ello multiplicar (3.55) por ρ y usar (3.52) b) Otra propiedad interesante de la funci´ on de corriente estriba en el hecho de que el flujo volum´etrico (caudal) de fluido a trav´es de cualquier l´ınea que une dos puntos A y B de un dominio fluido bidimensional (figura 3.7) es igual al salto de la funci´ on de corriente ΨB − ΨA . En efecto, si u y v son las componentes seg´ un x e y de la velocidad v y d y y −d x son las componentes del vector n d s, el flujo volum´etrico a trav´es de AB se escribe B B B B ∂Ψ ∂Ψ dy+ dx = v · nds = u d y −v d x = d Ψ = ΨB − ΨA . (3.58) Q= ∂x A A A ∂y A

54

Cap´ıtulo 3. Cinem´atica de los Fluidos YA

# n



$

YB

Figura 3.7: Caudal entre dos l´ıneas de corriente. En movimientos axilsim´etricos, el caudal volum´etrico que circula entre dos superficies de corriente A y B es igual a 2 π veces la diferencia entre los valores de la funci´ on de corriente en las dos superficies  B B ∂Ψ ∂Ψ dr + d x = 2 π(ΨB − ΨA ) . (3.59) 2 π r(vx d r − vr d x) = 2 π Q= ∂r ∂x A A An´ alogamente, en el caso de gases, el gasto, o masa de gas por unidad de tiempo, entre dos l´ıneas de corriente es igual al salto de la funci´ on de corriente. En efecto, si se usa (3.55) en la definici´ on del flujo convectivo se tiene B B B B ∂Ψ ∂Ψ dy + dx = G= ρv · nds = ρ(u d y − v d x) = d Ψ = ΨB − ΨA . ∂x A A A ∂y A (3.60)

3.5

Campo de velocidades inducido por una distribuci´ on de vorticidad

En la secci´on 3.3 se ha definido el vector vorticidad del fluido ω = ∇×v y de su interpretaci´ on f´ısica se sabe que su valor corresponde al doble del valor de la velocidad angular con que un elemento infinitesimal de fluido gira como s´ olido r´ıgido alrededor del punto considerado. Como se ver´ a en lo que sigue el problema puede invertirse y calcular el campo de velocidades conocida la distribuci´ on de vorticidad. Adem´ as, y como se ver´a en el Cap´ıtulo 10, la descripci´on del movimiento fluido en t´erminos de la vorticidad posee la ventaja adicional de que ´esta satisface leyes de conservaci´on en muchas situaciones de inter´es ingenieril, de modo que su distribuci´ on, en cualquier instante del movimiento, se encuentra concentrada en regiones limitadas del dominio fluido. Es el caso, por ejemplo, de las estelas detr´as de un obst´ aculo que se mueve en el seno de un fluido en reposo. La estela de los aviones o de los ´alabes de una m´ aquina rotatoria son casos t´ıpicos. Otros ejemplos son el caso de chorros o capas de mezcla donde, como se ve en la Fig. 3.8,7 la vorticidad generada se concentra en tubos de vorticidad antes de que se produzca su posterior difusi´ on y rotura. Conviene plantearse, por tanto, el calculo del campo de velocidades generado por una distribuci´on de vorticidad ω(x, t), de modo que ω = 0 en un volumen Ωo finito y ω = 0 en cualquier punto exterior a Ωo . Nos limitaremos aqu´ı al caso de un fluido incompresible. El campo de velocidades viene dado en este caso por la ecuaci´on de continuidad para un l´ıquido ∇ · v = 0. 7 Werl´ e

1963, en An Album of Fluid Motion, M. Van Dyke, Parabolic Press, 1982

(3.61)

3.5. Campo de velocidades inducido por una distribuci´ on de vorticidad

55

Figura 3.8: Chorro axilsim´etrico descargando a trav´es de un orificio circular. Los v´ ortices anulares se visualizan mediante humo La ecuaci´on (3.61) se satisface id´enticamente si se define el potencial vector A tal que v = ∇ × A.

(3.62)

Obs´ervese que A no queda definido un´ıvocamente puesto que si se le suma el gradiente de cualquier funci´ on escalar, las ecuaciones (3.62) y (3.61) se satisfacen id´enticamente. El potencial vector A satisface la ecuaci´on diferencial ∇ × v = ∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇2 A = ω.

(3.63)

La ecuaci´on que satisface A se simplifica notablemente si entre todas las posibles soluciones de (3.63) se elige una de divergencia nula. Esto es, entre todas las posibles soluciones se elige aquella cuya parte potencial, la que deriva de un gradiente, es de divergencia nula. La ecuaci´ on que satisface este campo vectorial es por tanto la de Poisson ∇2 A = −ω, cuya soluci´ on es A(x, t) =

1 4π

Ωo

ω(xo ) d7 | x − xo |

(3.64)

(3.65)

donde xo son puntos interiores al dominio y x representa el punto donde se eval´ ua A. Para la obtenci´ on de la soluci´ on de la ecuaci´on de Poisson [ecuaci´ on(3.65)], que es lineal, el lector debe tener en cuenta las conocidas relaciones   1 2 (3.66) ∇ = −4πδ(x − xo ) |x − xo | y

ω(x, t) =

Ωo

ω(xo , t)δ(x − xo )d 7,

(3.67)

siendo δ la funci´ on de Dirac. Puede comprobarse f´ acilmente que el vector soluci´on de la ecuaci´on de Poisson, definido en(3.65), es solenoidal: ∇ · A = 0. En efecto, ω(xo ) 1 1 1 d7 = − d7 = ω(xo ) · ∇xo ∇x · 4π Ωo | x − xo | 4π Ωo | x − xo | 1 ω(xo ) − d7; (3.68) ∇xo · 4π Ωo | x − xo |

56

Cap´ıtulo 3. Cinem´atica de los Fluidos

t´engase en cuenta que en (3.68) la derivaci´ on debe efectuarse respecto a la variable indicada en el sub´ındice del operador ∇. Si se hace ahora uso del teorema de Green, la u ´ltima integral en la ecuaci´on (3.68) puede escribirse como una integral extendida a la superficie Σ que encierra Ωo 1 ω·n 1 ω(xo ) d7 = − dσ (3.69) − ∇xo · 4π Ωo | x − xo | 4π Σ | x − xo | Por ser ω un campo solenoidal que es nulo fuera del volumen Ωo , su flujo a trav´es de Σ en cualquier punto de la superficie es nulo, ω · n = 0, y por tanto las integrales en (3.69) son nulas y A es solenoidal como se quer´ıa demostrar. Una vez conocido A, el campo de velocidades se obtiene f´acilmente

1 1 ω(xo ) 1 d7 = ∇× ω(xo ) × ∇ v =∇×A= d7 = 4π Ωo | x − xo | 4π Ωo | x − xo | (x − xo ) × ω(xo ) 1 d7. (3.70) − 4π Ωo | x − xo |3 Como aplicaci´on de lo anterior, es conveniente considerar el caso de un tubo de vorticidad. Como se dijo anteriormente, estos tubos o filamentos de vorticidad aparecen con frecuencia en situaciones de inter´es. En la figura 3.9 8 se muestra inyectando fluido coloreado las l´ıneas de vorticidad concentrada que aparecen sobre el extrad´ os del ala de forma triangular (ala en delta) cuando el a´ngulo de ataque del ala es distinto de cero. Los torbellinos se generan debido a que al ser la presi´on en el intrad´ os del ala mayor que en el extrad´ os existe un flujo de fluido de abajo a arriba que se enrrolla y es arrastrado aguas abajo por la corriente incidente.

Figura 3.9: Torbellinos sobre el extrad´ os de un ala en delta a un a´ngulo de ataque de 20o Consid´erese un tubo de vorticidad de a´rea transversal dσ donde la vorticidad est´ a concentrada. El vector en la direcci´ on longitudinal del tubo dl y el vector vorticidad ω son paralelos (recu´erdese que ω es tangente a la superficie del dominio), esto es, ω = ωdl/dl, donde ω y dl representan los m´odulos de los vectores correspondientes, Fig.3.10. Aplicando (3.70), el campo de velocidades,teniendo en cuenta que d7 = dσdl, resulta ωdσdl × (x − xo ) 1 . (3.71) v= 4π Ωo | x − xo |3 Es conveniente en este punto definir la circulaci´on Γ en la forma Γ= ω · ndσ, dσ 8 R.

Drubka and H. Nagib, en An Album of Fluid Motion, M. Van Dyke, Parabolic Press, 1982

(3.72)

3.5. Campo de velocidades inducido por una distribuci´ on de vorticidad

57

 


  


Figura 3.10: Tubo de vorticidad donde n representa aqu´ı la normal a la secci´on transversal del tubo dσ. Γ es tambi´en la circulaci´on del vector velocidad. En efecto, como ense˜ na el teorema de Stokes  ω · ndσ = v · ds, (3.73) Γ= dσ

L

donde el vector ds es perpendicular a dl. En muchas situaciones de inter´es, el concepto de circulaci´ on como integral de la vorticidad exhibe propiedades de conservaci´ on y su uso resulta extraordinariamente u ´til por ser una integral primera del movimiento. En el Cap´ıtulo 10 se profundizar´ a en el estudio de este importante concepto. Utilizando (3.72), la ecuaci´ on (3.71) se expresa como dl × (x − xo ) Γ . (3.74) v= 4π | x − xo |3 que constituye la bien conocida ley de Biot-Savart. En el caso particular de que el tubo de torbellinos sea recto (hilo de torbellinos), la velocidad debida a un segmento del tubo en un punto P situado a una distancia d del tubo es perpendicular al plano definido por el tubo y el punto P y su magnitud viene dada por (3.74) y es l2 Γsenβ dl, (3.75) v= 4πr2 l1 r es la distancia entre un punto gen´erico l del segmento y el punto P considerado y β es el ´angulo que forman r y el hilo de torbellinos, Fig. 3.11. Definiendo ahora d dβ, (3.76) d = r cos(β − π/2), y dl = d[tan(β + dβ) − tan β] = cos2 β y sustituyendo estas definiciones en (3.75) se llega a β2 Γ Γ v= (cos β1 − cos β2 ). senβdβ = 4πd β1 4πd

(3.77)

58

Cap´ıtulo 3. Cinem´atica de los Fluidos

l

G





b

b 0

Figura 3.11: Campo de velocidades inducido por un hilo recto de torbellinos Para el caso de un hilo de torbellinos semi-infinito, β1 = π/2 y β2 = π, se tiene v=

Γ , 4πd

(3.78)

mientras que para un hilo infinito, β1 = 0, β2 = π, y v=

Γ . 2πd

(3.79)

Este valor coincide naturalmente con el de un torbellino bidimensional. En efecto, un torbellino bidimensional centrado en un punto cualquiera que se toma como origen induce un campo de velocidades cuyas l´ıneas de corriente son circunferencias con centro en el origen. La velocidad radial es nula y la tangencial vθ = k/r decae en forma inversamente proporcional a la distancia al origen. Compruebe el lector que la constante k est´a relacionada con la circulaci´ on Γ o intensidad del torbellino en la forma k = Γ/(2π) (3.80) y por tanto la expresi´ on (3.79) corresponde efectivamente al campo de velocidades inducido por un torbellino bidimensional.

3.5. Campo de velocidades inducido por una distribuci´ on de vorticidad

59

Referencias 1. G. K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1967. 2. A. Barrero, Apuntes de Mec´ anica de Fluidos, E.T.S.I. Industriales, Universidad de Sevilla. 3. R. Fern´ andez-Feria, Apuntes de Mec´ anica de Fluidos, E.T.S.I. Industriales, Universidad de M´ alaga. 4. A. Li˜ na´n, Apuntes de Mec´ anica de Fluidos , E.T.S.I. Aeron´ auticos, Universidad Polit´ecnica de Madrid. 5. F. M. White, Mec´ anica de Fluidos , McGraw-Hill, 1983.

60

Cap´ıtulo 3. Cinem´atica de los Fluidos

Cap´ıtulo 4

Fuerzas Macrosc´ opicas sobre los Fluidos. Fluidost´ atica 4.1

Fuerzas de Volumen y Fuerzas de Superficie.

Previamente a comenzar el estudio de la din´amica de los fluidos es necesario conocer las interacciones mec´anicas entre la porci´ on de volumen cuyo movimiento se desea analizar y la materia que lo rodea. Estas acciones pueden clasificarse en dos clases diferentes denominadas fuerzas de volumen y fuerzas de superficie. Las fuerzas de volumen, denominadas tambi´en de largo alcance, act´ uan sobre cada elemento del volumen fluido y son debidas, en general, a campos de fuerzas externos al fluido, como por ejemplo el campo gravitatorio terrestre. Se designar´ a por fv (x, t) la fuerza volum´etrica que en el instante t se ejerce sobre la unidad de volumen que contiene al punto fijo gen´erico x. La fuerza resultante sobre un volumen Ω es Fv = fv d 7 . (4.1) Ω

La fuerza por unidad de volumen correspondiente al campo gravitatorio es fv = ρ g

,

(4.2)

donde g es la aceleraci´on de la gravedad que se puede suponer independiente de la posici´ on si las dimensiones del volumen de fluido considerado son peque˜ nas comparadas con el tama˜ no de la Tierra. As´ı, la fuerza gravitatoria total sobre un cierto volumen Ω de fluido ser´ a: ρgd7 g ρd7 . (4.3) Fv = Ω

Ω

La fuerza gravitatoria es en realidad una fuerza m´ asica, siendo g la correspondiente fuerza por unidad de masa, que en general designaremos por fm . El producto de fm por la densidad del fluido proporciona la fuerza por unidad de volumen correspondiente. Otra fuerza m´ asica que aparecer´a en muchos problemas pr´ acticos es la asociada al movimiento del sistema de referencia si ´este no es inercial: dΩ × x − Ω × (Ω × x) − 2 Ω × v , (4.4) fm = −a0 − dt donde a0 y Ω son la aceleraci´on y la velocidad angular del sistema de coordenadas respecto a alg´ un sistema de referencia inercial. Otras fuerzas volum´etricas son las electromagn´eticas que 61

62

Cap´ıtulo 4. Fuerzas Macrosc´ opicas sobre los Fluidos. Fluidost´ atica

aparecen cuando el fluido est´ a cargado el´ectricamente o por ´el circula alguna corriente el´ectrica; la correspondiente fuerza por unidad de volumen es: fv = ρe E + J × B ,

(4.5)

donde ρe es la densidad de carga, E es el campo el´ectrico, J la densidad de corriente y B el campo magn´etico. Esta fuerza (denominada de Lorentz) no se considerar´ a aqu´ı ya que el estudio de los movimientos fluidos en los que esta fuerza es importante corresponde a ramas especializadas de la F´ısica de los Fluidos: F´ısica de Plasmas (gases ionizados), Electrohidrodin´ amica y Magnetohidrodin´ amica. 1 Las fuerzas de volumen (m´asicas y electromagn´eticas) que son el tipo de fuerzas puntuales que considera la din´ amica cl´asica de part´ıculas, aparecen en la Mec´anica de Medios Continuos actuando sobre cada porci´ on infinitesimal de fluido de acuerdo con la hip´ otesis de medio continuo. Otro tipo de fuerzas macrosc´opicas que act´ uan sobre los fluidos distintas de las volum´etricas, tienen su origen en la agitaci´ on molecular y en la interacci´ on entre mol´eculas. Son, por tanto, fuerzas de muy corto alcance, apreciables s´olo en distancias del orden de la interacci´ on molecular. Las mol´eculas interactuantes a trav´es de un ´area peque˜ na δ σ que separa porciones de fluido adyacentes est´an situadas en un volumen de secci´ on δ σ y espesor del orden del camino libre medio molecular λ (gases) o la distancia t´ıpica intermolecular d0 (l´ıquidos) [λ
(δ σ)1/2 , d0
(δ σ)1/2 ]. Por tanto, macrosc´ opicamente, estas fuerzas denominadas de superficie, son proporcionales al area del elemento y aparecen como la fuerza que cada porci´on de fluido ejerce sobre una porci´ ´ on adyacente a trav´es de la superficie que las separa. As´ı , en el modelo continuo, dada una superficie d σ de orientaci´ on n que pasa por un punto x en el interior de un fluido, el fluido del lado de n ejercer´a sobre la superficie una fuerza por unidad de a´rea, o esfuerzo, que se denotar´ a por fs (x, t, n) y que es funci´ on de la orientaci´ on de la superficie adem´ as de la posici´on del punto y del tiempo. Naturalmente, el principio de acci´ on y reacci´on exige que fs (x, t, n) = −fs (x, t, −n). En principio, para describir este estado de esfuerzos se necesita conocer en cada punto una doble infinitud de fuerzas (componentes normal y tangencial) correspondientes a todos los posibles valores de la orientaci´ on n. Sin embargo, como se ver´ a a continuaci´ on, los teoremas de cantidad de movimiento y momento cin´etico permiten reducir el n´ umero de inc´ ognitas a las seis componentes distintas de un tensor denominado tensor de esfuerzos.

4.2

Tensor de esfuerzos.

Se definen las componentes del tensor de esfuerzos τij como las componentes en las direcciones j de los ejes coordenados de las fuerzas que act´ uan sobre la unidad de superficie orientada seg´ un las direcciones i (Fig. 4.1). De acuerdo con esta definici´ on, se tiene τij (x, t) = fsj (x, t, ei ) .

(4.6)

Para demostrar que basta conocer las componentes del tensor de esfuerzos para caracterizar las fuerzas de superficie que act´ uan sobre un elemento de a´rea de fluido, se aplicar´ a la segunda Ley de Newton al volumen fluido infinitesimal d Ωf (t) que en t coincide con el tetraedro de volumen d Ω mostrado en la figura 4.2; la superficie fluida que limita a d Ωf (t) se puede dividir en la superficie d Σfn (t), que en t coincide con la cara del tetraedro de normal n y a´rea d Σ, y en las 1 Adem´ as de la fuerza de Lorentz (4.5), en medios diel´ectricos no uniformes aparecen otras como la fuerza diel´ ectrica y la fuerza de electrostricci´ on. El lector interesado en la electrofluidomec´ anica puede consultar, por ejemplo, el texto cl´ asico de Landau y Lifshitz Electrodynamics of Continuous Media (Pergamon, Nueva York, 1984), del que existe traducci´ on castellana en la editorial Revert´e.

4.2. Tensor de esfuerzos.

63

t13

.

t23

t33

t12 2

t22 t32

t11

t31

t21

1

x

x

x

Figura 4.1: Componentes del tensor de esfuerzos en un punto. superficies d Σfi (t) (i = 1, 2, 3), que en t coinciden con las caras de normales exteriores −ei y a´reas d Σi = ni d Σ, siendo ni los cosenos directores de n. Se tiene entonces D ρ (x , t) v(x , t) d 7 = fs (x , t, n) d σ + D t dΩf (t) dΣfn (t) 3
fs (x , t, −ei ) d σ + ρ (x , t) fm (x , t) d 7 , (4.7) i=1

dΣfi (t)

dΩf (t)

on) del tetraedro. La ecuaci´ on (4.7) expresa que siendo x un punto gen´erico (variable de integraci´ la variaci´ on con el tiempo de la cantidad de movimiento contenida en el volumen fluido es igual a la resultante de las fuerzas exteriores (m´asicas y de superficie) que se ejercen sobre ´el. Debido a na (regi´ on de integraci´ on infinitesimal) se tiene que la distancia |x − x| es peque˜ fs (x , t, n) = fs (x, t, n) + (x − x) · ∇ fs (x, t, n) + O(|x − x|2 )

,

(4.8)

. n e(

S(

e-

S SS .

-

( x

e.

Figura 4.2: Volumen fluido infinitesimal que en el instante t coincide con un tetraedro de v´ertice en el punto fijo x. y expresiones an´alogas para las fs (x, t, −ei ). Despreciando en (4.7) infinit´esimos de orden

64

Cap´ıtulo 4. Fuerzas Macrosc´ opicas sobre los Fluidos. Fluidost´ atica

d Ω ∼ |x − x| d Σ, se llega a fs (x, t, n) d Σ =

3


fs (x, t, ei ) d Σi =

i=1

3


fs (x, t, ei ) ni d Σ

,

(4.9)

i=1

y en notaci´on indicial, teniendo en cuenta la definici´ on (4.6) fsj (x, t, n) = τij (x, t)ni = ni τij

,

(4.10)

=

o en notaci´ ´ on vectorial fs = n· τ . En lo que sigue se demostrar´a que no todas las componentes del tensor de esfuerzos son independientes. En efecto, consid´erese un volumen fluido infinitesimal (part´ıcula fluida) que en el instante considerado rodea al punto fijo x y posee un volumen d Ω. Es f´ acil comprobar, utilizando razonamientos similares a los anteriores, que el momento respecto de x de todas las fuerzas que act´ uan sobre dicha part´ıcula fluida es, salvo infinit´esimos de orden |x − x|d Ω 0, α Rg

α