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MECÁNICA DE FLUIDOS

Ing. Karina Mina Octubre 2017 – Febrero 2017

CONTENIDO

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Clasificación del tipo de fluidos Ecuaciones de flujo Flujo continuo Flujo no continuo o transitorio Flujo semicontinuo Factor de daño Factor de flujo turbulento Principio de Superposición

MECÁNICA DE FLUIDOS

INTRODUCCION

El flujo de fluidos en los yacimientos de petróleo requiere del conocimiento de relaciones basadas en dos conceptos fundamentales: la Ley de Darcy y el Balance de Materiales y sus variaciones dependen de las características del yacimiento, entre las cuales deben considerarse: la configuración geométrica del sistema, la compresibilidad de los fluidos, la invariabilidad de las tasas de flujo y de la presión con el tiempo, o bien el flujo de una o más fases simultáneas.

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1. CLASIFICACIÓN DEL FLUJO DE FLUIDOS

1.1 TIPOS DE FLUIDO

1.2 REGÍMENES DE FLUJO

1.3 ÁNGULO DE BUZAMIENTO

1.4 GEOMETRÍA DE FLUJO

1.5 NÚMERO DE FASES FLUYENTES

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1.1 TIPOS DE FLUIDOS Se toma en cuenta el coeficiente de compresibilidad isotérmica, c

En términos del volumen de fluido

En términos de densidad del fluido

Fluidos incompresibles

Fluidos ligeramente compresibles

𝑐=−

𝑐=

1 𝜕𝑉 𝑉 𝜕𝑝

1 𝜕𝜌 𝜌 𝜕𝑝

(1.1)

(1.2)

Fluidos compresibles

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1.1 TIPOS DE FLUIDOS 1.1.1 FLUIDOS INCOMPRESIBLES

Volumen o densidad no cambian con la Presión:

𝜕𝑉 =0 𝜕𝑝 𝜕𝜌 =0 𝜕𝑝

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1.1 TIPOS DE FLUIDOS 1.1.2 FLUIDOS LIGERAMENTE COMPRESIBLES El cambio de volumen o densidad debido a la Presión es bastante reducido. Aplica para sistemas de petróleo crudo y agua. 𝑝

−𝑐

𝑉

𝑑𝑝 = 𝑝𝑖

𝑉𝑖

𝑒 𝑐(𝑝𝑖 −𝑝) =

Donde:

𝑑𝑉 𝑉

p = presión, lpca V = volumen a presión p, pie pi = presión inicial, lpca Vi = volumen a pi, pie

𝑉 𝑉𝑖

𝑉 = 𝑉𝑖 𝑒 𝑐(𝑝𝑖 −𝑝)

(1.3)

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1.1 TIPOS DE FLUIDOS 1.1.2 FLUIDOS LIGERAMENTE COMPRESIBLES La expresión 𝑒 𝑥 se representa por la expansión de la serie: 2 3 𝑛 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑒𝑥 = 1 + + + + ⋯+ 1! 2! 3! 𝑛!

(1.4)

Considerando x muy pequeño, término 𝑐 𝑝𝑖 − 𝑝 , entonces:

𝑒𝑥 = 1 + 𝑥

(1.5)

Combinando las ec. 1.3 y 1.5 se obtiene:

𝑉 = 𝑉𝑖

1 + 𝑐(𝑝𝑖 − 𝑝)

(1.6)

Por analogía para la ec. 1.2 se obtiene:

𝜌 = 𝜌𝑖 1 + 𝑐(𝑝 − 𝑝𝑖 )

(1.7)

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1.1 TIPOS DE FLUIDOS 1.1.3 FLUIDOS COMPRESIBLES Experimentan un gran cambio de volumen debido a la presión. Todos los gases se consideran compresibles.

𝑧𝑛𝑅𝑡 𝑉= 𝑝

𝑉 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

𝑧 𝑝

Diferenciando con respecto a la presión y manteniendo T constante:

𝑑𝑉 𝑛𝑅𝑇 𝑑𝑧 𝑧𝑛𝑅𝑇 𝑧𝑛𝑅𝑇 1 𝑧𝑛𝑅𝑇 1 = − 2 = − 𝑑𝑝 𝑝 𝑑𝑝 𝑝 𝑝 𝑧 𝑝 𝑝 Simplificando:

1 𝑑𝑉 1 𝑑𝑧 1 = − 𝑉 𝑑𝑝 𝑧 𝑑𝑝 𝑝

(1.8)

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1.1 TIPOS DE FLUIDOS 1.1.3 FLUIDOS COMPRESIBLES Finalmente 𝑐 = −

1 𝑑𝑉 , 𝑉 𝑑𝑝

1 1 𝜕𝑧 𝑐𝑔 = − 𝑝 𝑧 𝜕𝑝

al sustituir en la ec. 1.8, resulta:

(1.9) 𝑇

Donde 𝑐𝑔 es el factor isotérmico de compresibilidad del gas en lpc -1 Para un gas ideal z = 1, dz / dp = 0. Entonces:

𝑐𝑔 =

1 𝑝

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1.1 TIPOS DE FLUIDOS

Relación presión – volumen para diferentes tipos de fluidos

Densidad del fluido en función de presión diferentes tipos de fluidos

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1.2 REGÍMENES DE FLUJO Existen tres tipos de condiciones o regímenes de flujo en función de la presión y el tiempo.

Steady State Flow

Flujo continuo Pseudosetady State Flow

Flujo semicontinuo Unsteady State or Transient Flow

Flujo no continuo

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1.2 REGÍMENES DE FLUJO 1.2.1 FLUJO CONTINUO Existe cuando en cada sección transversal a la dirección de flujo, la densidad es constante en el tiempo; es decir, no existen cambios de presión ni de velocidad del fluido con el tiempo.

𝜕𝑝 𝜕𝑡

=0 𝑖

Los yacimiento de gas alcanzan condiciones de estado continuo más rápidamente que los de petróleo, debido a que la viscosidad del gas es mucho más baja, compensada por el aumento en la compresibilidad del fluido y la reducción del tiempo de readaptación*. El comportamiento del estado continuo es adecuado cuando el tiempo de readaptación es pequeño comparado con el tiempo transcurrido entre variaciones grandes de la tasa de flujo. En el caso de yacimientos, es adecuado cuando este tiempo es pequeño comparado con la vida productiva del yacimiento.

* Tiempo que transcurre desde el momento en que se produce un disturbio de presión hasta que se alcanzan las condiciones de flujo continuo. MECÁNICA DE FLUIDOS

1.2 REGÍMENES DE FLUJO 1.2.2 FLUJO SEMICONTINUO Denominado flujo variable, existe cuando la presión declina linealmente con el tiempo en cualquier posición del yacimiento. La tasa de declinación de la presión es directamente proporcional a la tasa de producción del yacimiento e inversamente proporcional al volumen de drenaje.

𝜕𝑝 𝜕𝑡

= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑖

1.2.2 FLUJO NO CONTINUO Es el flujo de la formación al pozo, en el cual la presión del yacimiento no cambia linealmente con el tiempo.

𝜕𝑝 𝜕𝑡

= 𝑛𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑖

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1.2 REGÍMENES DE FLUJO

Condiciones o regímenes de flujo

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1.3 ÁNGULO DE BUZAMIENTO Cuando el ángulo de buzamiento es cero, se tiene un flujo horizontal y por lo tanto, la fuerza de gravedad no será una fuerza de empuje durante el flujo de fluidos.

Si el flujo no es horizontal, se debe considerar el gradiente de gravedad. El término gravitacional está relacionado con la densidad del fluido y con el cambio de elevación por la distancia (dz / dx). Si el ángulo de buzamiento es mayor de 5 grados, la gravedad contribuye de manera importante al flujo de fluidos

𝑞

𝑘 𝑑𝑝 𝑑𝑥

v= 𝐴 = − 𝜇

𝜌𝑔

𝑑𝑧

+ 1.0133∗106 𝑑𝑥

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1.4 GEOMETRÍA DE FLUJO

Flujo lineal

Flujo esférico

Geometría

Flujo radial

Flujo semiesféric

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1.4 GEOMETRÍA DE FLUJO 1.4.1 FLUJO LINEAL Las líneas de flujo son paralelas y el fluido fluye en una sola dirección. Además la sección transversal expuesta al flujo es constante. Un ejemplo muy común del flujo lineal es el flujo de fluidos en fracturas hidráulicas verticales.

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1.4 GEOMETRÍA DE FLUJO 1.4.2 FLUJO RADIAL Las líneas de flujo son rectas y convergen en dos dimensiones a un centro común, por ejemplo, un pozo. La sección transversal expuesta al flujo disminuye a medida que se aproxima al centro.

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1.4 GEOMETRÍA DE FLUJO

1.4.3 FLUJO ESFÉRICO Las líneas de flujo son rectas y convergen en tres dimensiones hacia un centro común. Dependiendo del tipo de configuración de la terminación de pozos, es posible tener un flujo esférico o semiesférico cerca de los pozos. Un pozo perforado en un pequeño intervalo podría resultar con este flujo en las cercanías de las perforaciones.

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1.4 GEOMETRÍA DE FLUJO 1.4.4 FLUJO SEMIESFÉRICO Un pozo que sólo penetra parte de la zona productiva podría resultar en flujo semiesférico. Esta condición puede ocurrir al formarse un cono de agua (conificación) en la parte inferior del pozo cuando existe un empuje hidráulico.

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1.4 GEOMETRÍA DE FLUJO

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1.5 FASES FLUYENTES EN EL YACIMIENTO

Una sola fase

• Petróleo • Agua • Gas

Dos fases

• Petróleo – agua • Petróleo – gas • Gas - agua

Tres fases

• Petróleo, agua y gas

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1.5 FASES FLUYENTES EN EL YACIMIENTO

-

El flujo de una sola fase ocurre cuando sólo existe movimiento de un fluido en el medio poroso, bien sea petróleo, gas o agua; sin embargo, puede existir simultánemente una segunda fase inmóvil como agua connata a la saturación de agua irreducible.

-

En el flujo multifásico existen dos o más fases fluyendo simultáneamente en el medio poroso.

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2. ECUACIONES DE FLUJO

Ec. Conservación de la Masa

Ec. Del Transporte

Varias ec. de Estado

LEY DE DARCY

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2.1 LEY DE DARCY La Ley Fundamental que rige el flujo de fluidos en el medio poroso es la LEY DE DARCY, introducida por primera vez en 1856 por Henry Darcy. Esta expresión matemática establece que la velocidad de un fluido homogéneo en un medio poroso es proporcional al gradiente de presión e inversamente proporcional a la viscosidad del fluido. Para un sistema lineal horizontal esta relación es: 𝑞

𝑘 𝑑𝑝

v= 𝐴 = − 𝜇 𝑑𝑥

Donde: v = velocidad aparente del fluido a través de la arena (cm/seg) q = tasa de flujo volumétrica (cm3/seg) A = área total transversal de la roca (cm2)= área del material de la roca y de los canales porosos 𝜇 = viscosidad del fluido (centipoise) dp/dx = gradiente de presión (atm/cm) k = constante de proporcionalidad, permeabilidad de la roca (darcy) Signo negativo se debe a que el gradiente de presión es negativo en la dirección del flujo

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2.1 LEY DE DARCY Si el flujo no es horizontal, se tiene una forma más generalizada de la Ecuación de Darcy: 𝑞

𝑘 𝑑𝑝 𝑑𝑥

v= 𝐴 = − 𝜇 𝑑𝑧 = 𝑑𝑥

𝜌𝑔

𝑑𝑧

+ 1.0133∗106 𝑑𝑥

sin 𝛼

Donde: v = velocidad aparente del fluido a través de la arena (cm/seg) dp/dx = gradiente de presión en la dirección x (atm/cm) 𝜌 = densidad del fluido (g/cm3) 𝛼 = ángulo de buzamiento desde la horizontal (𝛼 > 0 = buzamiento arriba; 𝛼 < 0 = buzamiento abajo) 𝜌𝑔 𝑑𝑧 = gradiente de gravedad en la dirección del flujo (atm/cm) 6 1.0133∗10 𝑑𝑥

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2.1 LEY DE DARCY Para un sistema radial horizontal, el gradiente de presión es positivo y la ecuación de Darcy se puede expresar así: 𝑞

𝑘 𝑑𝑝 𝑑𝑟

v= 𝐴 = 𝜇 𝑟

Donde: q = tasa de flujo volumétrica en el radio r 𝐴𝑟 = área de la sección transversal de flujo en el radio r dp/dr = gradiente de presión al radio r v = velocidad aparente del fluido al radio r El área de la sección transversal al flujo a un radio r es el área de un cilindro y para un pozo totalmente penetrado con un espesor neto h, viene dada por 𝐴𝑟 = 2π𝑟ℎ

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2.1 LEY DE DARCY

Flujo continuo

Flujo laminar NRe < 4000

Fluidos incompresibles

LEY DE DARCY

Formación homogénea

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3. FLUJO CONTINUO Representa la condición que existe cuando la presión a través de todo el yacimiento no cambia con el tiempo. Fluidos incompresibles

Flujo lineal

Fluidos ligeramente compresibles Fluidos compresibles

Fluidos incompresibles

Flujo continuo

Flujo radial

Fluidos ligeramente compresibles

Flujo multifásico

Fluidos compresibles

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3.1 FLUJO LINEAL DE FLUIDOS INCOMPRESIBLES Si el medio poroso es un sistema lineal horizontal, se supone que el flujo ocurre a través de un área A seccional constante, de tal forma que los extremos del sistema sean planos paralelos abiertos al flujo y que la presión en cada extremo del sistema sea constante sobre la superficie.

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3.1 FLUJO LINEAL DE FLUIDOS INCOMPRESIBLES Si un fluido incompresible fluye a través del elemento dx, entonces la velocidad del fluido v y la tasa de flujo q son constantes en todos los puntos: 𝑞 𝐴

𝐿

𝑑𝑥 = − 0

𝑘 𝜇

𝑃2

𝑑𝑝 𝑃1

Resolviendo la integral se obtiene: 𝑞=

𝑘𝐴 𝑃1 − 𝑃2 𝜇 𝐿

En unidades de campo: 𝑞=

0.001127𝑘𝐴 𝑃1 − 𝑃2 𝜇 𝐿

Donde: k = permeabilidad absoluta, md 𝜇 = viscosidad, cp A = área seccional, pie2

q = tasa de flujo, BY/día p = presión, lpca L = distancia, pies

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3.1 FLUJO LINEAL DE FLUIDOS INCOMPRESIBLES EJERCICIO 1:

Un fluido incompresible de 2 cp está fluyendo en un medio poroso que tiene las siguientes características: Longitud, pies…………………………………………..2000 Espesor, pies………………………………………….…20 Ancho, pies………………………………………………300 Permeabilidad, md……………………………………100 Porosidad, %................................................15 Presión a la entrada del sistema, lpc….…….2000 Presión a la salida del sistema, lpc….……….1990 Calcule: a) Tasa de flujo en BY/día b) Velocidad aparente del fluido en pie/día c) Velocidad real del fluido en pie/día

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3.1 FLUJO LINEAL DE FLUIDOS INCOMPRESIBLES La diferencia en la presión (P1-P2) no es la única fuerza de empuje en el yacimiento. También existe la gravitacional, que debe tomarse en cuenta para determinar la dirección y la tasa de flujo, puesto que la fuerza que ejerce el gradiente líquido siempre está dirigida verticalmente hacia abajo; mientras que los resultados de la que se genera debido a una caída de presión pueden ser en cualquier dirección. La fuerza que causa el flujo sería entonces la suma de estos dos vectores. El potencial de un fluido (ɸ), en dimensiones de presión, en cualquier punto del yacimiento se define como la presión en ese punto menos la presión que podría ejercer una columna líquida extendida hasta un datum arbitrario: 𝜌 ∆𝑧𝑖 144 ɸ𝑖 = 𝑝𝑖 − 0.433𝛾∆𝑧𝑖

ɸ𝑖 = 𝑝𝑖 −

Donde: ɸ𝑖 = potencial del fluido en el punto i, lpc 𝑝𝑖 = presión en el punto i, lpc ∆𝑧𝑖 = distancia vertical desde el punto i hasta el nivel de datum seleccionado, cm 𝜌 = densidad del fluido, lb/pie3 𝛾 = densidad del fluido, g/cm3

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3.1 FLUJO LINEAL DE FLUIDOS INCOMPRESIBLES El datum suele seleccionarse en el contacto agua – petróleo o en el punto más alto de la formación. Para calcular el potencial de líquidos ɸ𝑖 en el punto i, la distancia vertical ∆𝑧𝑖 se asigna como un valor positivo cuando el punto i está por encima del nivel de referencia, y como negativo cuando está por debajo del nivel de referencia. •

Cuando el punto i está por encima del nivel de referencia ɸ𝑖 = 𝑝𝑖 +

•

𝜌 ∆𝑧𝑖 144

ɸ𝑖 = 𝑝𝑖 + 0.433𝛾∆𝑧𝑖

Cuando el punto i está por debajo del nivel de referencia ɸ𝑖 = 𝑝𝑖 −

𝜌 ∆𝑧𝑖 144

ɸ𝑖 = 𝑝𝑖 − 0.433𝛾∆𝑧𝑖

De forma general, en función de potenciales la ec. 1.15 queda de esta forma 𝑞=

0.001127𝑘𝐴 ɸ1 − ɸ2 𝜇 𝐿

Conclusión: La caída de potencial es igual a la caída de presión sólo cuando el sistema de flujo es horizontal. MECÁNICA DE FLUIDOS

3.1 FLUJO LINEAL DE FLUIDOS INCOMPRESIBLES EJERCICIO 2:

Resuelva nuevamente el ejercicio anterior, suponiendo que el medio poroso se inclina con un ángulo de buzamiento de 5° y que el fluido incompresible tiene una densidad de 42 lb/pie3:

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3.2 FLUJO LINEAL DE FLUIDOS LIGERAMENTE COMPRESIBLES La Ec. 1.6 describe la relación que existe entre la presión y el volumen para fluidos ligeramente compresibles.

𝑉 = 𝑉𝑖

1 + 𝑐(𝑝𝑖 − 𝑝)

En términos de tasa de flujo:

𝑞 = 𝑞𝑟𝑒𝑓 1 + 𝑐(𝑝𝑟𝑒𝑓 − 𝑝) Donde 𝑞𝑟𝑒𝑓 es la tasa de flujo a una presión de referencia

𝑞 𝑞𝑟𝑒𝑓 1 + 𝑐(𝑝𝑟𝑒𝑓 − 𝑝) 𝑘 𝑑𝑝 = = −0.001127 𝐴 𝐴 𝜇 𝑑𝑥 Separando variables se tiene:

𝑞𝑟𝑒𝑓 𝐴

𝐿 0

𝑘 𝑑𝑥 = −0.001127 𝜇

𝑃2 𝑃1

𝑑𝑝 1 + 𝑐(𝑝𝑟𝑒𝑓 − 𝑝)

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3.2 FLUJO LINEAL DE FLUIDOS LIGERAMENTE COMPRESIBLES Integrando resulta:

𝑞𝑟𝑒𝑓

1 + 𝑐(𝑝𝑟𝑒𝑓 − 𝑝2 ) 0.001127𝑘𝐴 = 𝑙𝑛 𝜇𝑐𝐿 1 + 𝑐(𝑝𝑟𝑒𝑓 − 𝑝1 )

Si se selecciona la presión de entrada P1 como la presión de referencia y se sustituye en la ecuación anterior, queda:

𝑞𝑟𝑒𝑓

0.001127𝑘𝐴 = 𝑙𝑛 1 + 𝑐(𝑝1 − 𝑝2 ) 𝜇𝑐𝐿

Si se selecciona la presión de entrada P2 como la presión de referencia y se sustituye en la ecuación anterior, queda:

𝑞𝑟𝑒𝑓

0.001127𝑘𝐴 1 = 𝑙𝑛 𝜇𝑐𝐿 1 + 𝑐(𝑝2 − 𝑝1 )

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3.2 FLUJO LINEAL DE FLUIDOS LIGERAMENTE COMPRESIBLES EJERCICIO 3:

Considere que el líquido que pasa a través del sistema lineal propuesto en el ejercicio 1 es ligeramente compresible y tiene una compresibilidad promedio de 21 x 10-6 lpc-1. se desea calcular la tasa de flujo en los extremos del sistema lineal.

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3.3 FLUJO LINEAL DE FLUIDOS COMPRESIBLES En un flujo laminar de un gas en un sistema homogéneo lineal, se aplica la ecuación de estado correspondiente a un gas real para calcular el número de n moles de gas a una presión p, temperatura T y volumen V:

𝑛=

𝑝𝑉 𝑧𝑅𝑡

En condiciones normales, el volumen ocupado por estos n moles es:

𝑉𝑠𝑐 =

𝑛𝑧𝑠𝑐 𝑅𝑇𝑠𝑐 𝑃𝑠𝑐

Combinando estas dos expresiones y suponiendo 𝑧𝑠𝑐 =1, se obtiene:

𝑝𝑉 𝑃𝑠𝑐 𝑉𝑠𝑐 = 𝑧𝑇 𝑇𝑠𝑐 En términos de tasa de flujo se obtiene:

𝑝𝑞 𝑃𝑠𝑐 𝑄𝑠𝑐 5.615 = 𝑧𝑇 𝑇𝑠𝑐

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3.3 FLUJO LINEAL DE FLUIDOS COMPRESIBLES Arreglando esta ecuación, se obtiene finalmente:

𝑞=

𝑝𝑠𝑐 𝑇𝑠𝑐

𝑧𝑇 𝑝

𝑄𝑠𝑐 5.615

Donde:

q = tasa de flujo del gas a la presión p , BY/dia 𝑄𝑠𝑐 = tasa de flujo del gas en condiciones normales, PCN/dia

z = factor de compresibilidad del gas 𝑇𝑠𝑐 𝑦 𝑃𝑠𝑐 = temperatura y presión en condiciones normales, °R y lpca, respectivamente Reemplazando la tasa de flujo de gas q por la Ley de Darcy, se obtiene la ecuación: 𝑘 𝑑𝑝

𝑞

-0.001127𝜇 𝑑𝑥 = 𝐴 =

𝑝𝑠𝑐 𝑇𝑠𝑐

𝑧𝑇 𝑝

𝑄𝑠𝑐 5.615

1 𝐴

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3.3 FLUJO LINEAL DE FLUIDOS COMPRESIBLES Separando variables e integrando entre P1 y P2 y suponiendo que z y 𝜇 son constantes en este intervalo de presiones, resulta:

𝑄𝑠𝑐 =

0.003164𝑇𝑠𝑐 𝑘𝐴 𝑝1

2

− 𝑝2

2

𝑝𝑠𝑐 𝑇𝐿𝑧𝑢𝑔

Donde: 𝑄𝑠𝑐 = tasa de flujo del gas en condiciones normales, PCN/dia k = permeabilidad absoluta, md 𝜇𝑔 = viscosidad del gas, cp T = temperatura, °R A = área transversal, pies2 L = longitud del sistema lineal, pies Si 𝑝𝑠𝑐 = 14.7lpca y 𝑇𝑠𝑐 = 520°R, la expresión anterior se convierte en:

𝑄𝑠𝑐 =

0.111924𝑘𝐴 𝑝1

2

− 𝑝2

2

𝑇𝐿𝑧𝑢𝑔

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3.3 FLUJO LINEAL DE FLUIDOS COMPRESIBLES La ecuación anterior es válida para aplicaciones donde la presión es menor de 2000 lpc. Las propiedades del gas deben ser evaluadas a una presión promedio 𝑝 definida por:

𝑝=

𝑝1

2

+ 𝑝2 2

2

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3.3 FLUJO LINEAL DE FLUIDOS COMPRESIBLES EJERCICIO 4:

Un gas cuya gravedad específica es de 0.72 fluye en un medio poroso lineal con una permeabilidad absoluta de 60 md y a una temperatura de 140°F. las corrientes de presión a la entrada y salida del sistema son 2100 lpc y 1894.73 lpc, respectivamente. El área seccional transversal es 4500 pie2, la longitud total es 2500 pie. Calcule la tasa de flujo del gas en PCN/dia. Se conoce además que 𝑝𝑠𝑐 = 14.7lpca y 𝑇𝑠𝑐 = 520°𝑅

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3.4 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS INCOMPRESIBLES En un sistema radial, los fluidos se mueven hacia el pozo productor en todas las direcciones. Antes de que el flujo tenga lugar, existe una diferencia de presión y, por lo tanto, si un pozo es productor de petróleo, el flujo de los fluidos ocurre de la formación hacia la boca del pozo, donde la presión debe ser menor que la existente en un punto de la formación situado a cierta distancia del pozo. La presión de la formación en el hoyo del pozo productor se conoce como presión de fondo fluyente, Pwf. Considérese un pozo tal como se muestra en la Figura, situado en una formación cilíndrica horizontal de radio exterior re y espesor h. El pozo tiene un radio rw y las presiones en el pozo y en el radio exterior son Pwf y Pe, respectivamente. Para la aplicación de la ecuación que rige este flujo se parte de la ec. de Darcy:

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3.4 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS INCOMPRESIBLES Para la aplicación de la ecuación que rige este flujo se parte de la ec. de Darcy:

𝑣=

𝑞 𝑘 𝑑𝑝 = 0.001127 𝐴𝑟 𝜇 𝑑𝑟

Donde: v = velocidad aparente del fluido, BY/dia-pie2 Haciendo en este ecuación x = r y A = 2𝜋𝑟ℎ y tomando en cuenta que para un sistema radial, r aumenta en la misma dirección que la presión p, lo que implica que positivo y por lo tanto, no se requiere el signo menos, resulta:

𝑣=

𝜕𝑝 𝜕𝑟

es

𝑞 𝑞 𝑘 𝑑𝑝 = = 0.001127 𝐴𝑟 2𝜋𝑟ℎ 𝜇 𝑑𝑟

La tasa de flujo para un sistema de petróleo crudo se expresa generalmente en unidades de superficie, esto es, en BN. Usando el símbolo Qo para representar al flujo de petróleo en BN/día, tenemos:

𝑞 = 𝐵𝑜 𝑄𝑜 Donde: Bo = factor volumétrico de petróleo en la formación en BY/BN MECÁNICA DE FLUIDOS

3.4 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS INCOMPRESIBLES La tasa de flujo en la ecuación de Darcy se puede expresar así:

𝐵𝑜 𝑄𝑜 𝑘 𝑑𝑝 = 0.001127 2𝜋𝑟ℎ 𝜇𝑜 𝑑𝑟 Separando variables y considerando k, h, uo constantes, se puede integrar la ec anterior entre los radios r1 y r2 cuando las presiones son p1 y p2: 𝑟2

𝑟1

𝑄𝑜 𝑑𝑟 = 0.001127 2𝜋ℎ 𝑟

𝑝2

𝑘 𝑑𝑝 𝜇𝑜 𝐵𝑜

𝑝1

Para un sistema incompresible en una formación homogénea, la ec. Anterior se simplifica:

𝑄𝑜 2𝜋ℎ

𝑟2

𝑟1

𝑑𝑟 𝑘 = 0.001127 𝑟 𝜇𝑜 𝐵𝑜

𝑝2

𝑑𝑝 𝑝1

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3.4 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS INCOMPRESIBLES Resolviendo la integral:

0.00708𝑘ℎ 𝑝2 − 𝑝1 𝑄𝑜 = 𝜇𝑜 𝐵𝑜 ln(𝑟2 /𝑟1 ) Frecuentemente, los dos radios de interés son el radio del pozo rw y el radio de drenaje re. Asi se tiene:

0.00708𝑘ℎ 𝑝𝑒 − 𝑝𝑤𝑓 𝑄𝑜 = 𝜇𝑜 𝐵𝑜 ln(𝑟𝑒 /𝑟𝑤𝑓 ) Donde: 𝑄𝑜 = tasa de flujo de petróleo, BN/día 𝑝𝑒 = presión en el radio de drenaje, lpc 𝑝𝑤𝑓 = presión de fondo fluyente, lpc k = permeabilidad absoluta, md 𝜇𝑜 = viscosidad del petróleo, cp h = espesor, pies 𝐵𝑜 = factor volumétrico del petróleo en la formación, BY/BN 𝑟𝑤 y 𝑟𝑒 = radios del pozo y de drenaje, respectivamente, pies

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3.4 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS INCOMPRESIBLES El radio de drenaje o radio exterior, re, se determina usualmente a partir del área de espaciamiento entre los pozos. Si se considera, por ejemplo, que ésta es un círculo, se tiene:

𝜋𝑟𝑒 2 = 43560𝐴

𝑟𝑒 =

43560𝐴 𝜋

Donde: A = espaciamiento entre pozos, acres La ecuación de caudal se puede arreglar para calcular la presión p a cualquier radio r, entonces se tiene:

𝑝 = 𝑝𝑤𝑓 +

𝑄𝑜 𝐵𝑜 𝜇𝑜 𝑟 𝑙𝑛 0.00708𝑘ℎ 𝑟𝑤

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3.4 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS INCOMPRESIBLES EJERCICIO 5:

Un pozo de petróleo está produciendo a una tasa de flujo de 600 BN/día y a una presión de flujo estabilizada de 1800 lpc. El análisis de los datos de una prueba de restauración de presión indica que la zona productora tiene una permeabilidad de 120 md y un espesor uniforme de 25 pies. El pozo está desarrollado en el centro de un cuadrado cuya área es 40 acres. Con los siguiente datos adicionales: Factor volumétrico del petróleo, BY/BN…………………………………………..1.25 Viscosidad del petróleo, cp………………………………………………………………2.5 Radio del pozo, pies…………………………..………………………………………….…0.25 Calcule el perfil de presión y liste las caídas de presión en intervalos de 1 pie desde rw hasta 1.25 pies, 4 hasta 5 pies, 19 hasta 20 pies, 99 hasta 100 pies y 744 hasta 745 pies.

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3.4 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS INCOMPRESIBLES La presión en el radio de drenaje, pe, no puede ser medida fácilmente, pero en caso de estar presente un acuífero fuerte y activo, se mantiene cercana a la presión inicial del yacimiento. Craft y Hawkins demostraron que la presión promedio del yacimiento está localizada a una distancia cercana al 61% del radio de drenaje, si se mantienen condiciones de flujo continuo. Así en la ecuación de Pwf se sustituye r por 0.61𝑟𝑒 y se obtiene:

𝑝𝑟 = 𝑝𝑤𝑓 +

𝑄𝑜 𝐵𝑜 𝜇𝑜 0.61𝑟𝑒 𝑙𝑛 0.00708𝑘ℎ 𝑟𝑤

En términos de tasa de flujo:

0.00708𝑘ℎ 𝑝𝑟 − 𝑝𝑤𝑓 𝑄𝑜 = 0.61𝑟𝑒 𝜇𝑜 𝐵𝑜 𝑙𝑛 𝑟𝑤 Como 𝑙𝑛

0.61𝑟𝑒 𝑟𝑤

𝑄𝑜 =

= ln

𝑟𝑒 𝑟𝑤

− 0.5:

0.00708𝑘ℎ 𝑝𝑟 − 𝑝𝑤𝑓 𝑟 𝜇𝑜 𝐵𝑜 ln 𝑟𝑒 − 0.5 𝑤 MECÁNICA DE FLUIDOS

3.5 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS LIGERAMENTE COMPRESIBLES Craft utilizó la ecuación de la relación de volumen y presión para expresar la dependencia de la tasa de flujo con presión para fluidos ligeramente compresibles. Si esta ecuación se sustituye en la forma radial de la Ley de Darcy, entonces:

𝑞𝑟𝑒𝑓 1 + 𝑐(𝑝𝑟𝑒𝑓 − 𝑝) 𝑞 𝑘 𝑑𝑝 = = 0.001127 𝐴𝑟 2𝜋𝑟ℎ 𝜇 𝑑𝑟 Separando variables e integrando, se obtiene la siguiente expresión:

𝑞𝑟𝑒𝑓 2𝜋𝑘ℎ

𝑟𝑒 𝑟𝑤

𝑑𝑟 𝑘 = 0.001127 𝑟 𝜇

𝑃𝑒

𝑑𝑝 𝑃𝑤𝑓 1 + 𝑐(𝑝𝑟𝑒𝑓 − 𝑝)

Despejando qref, resulta:

𝑞𝑟𝑒𝑓

1 + 𝑐 𝑝𝑒 − 𝑝𝑟𝑒𝑓 0.00708𝑘ℎ = 𝑙𝑛 𝑟𝑒 1 + 𝑐 𝑝𝑤𝑓 − 𝑝𝑟𝑒𝑓 𝜇𝑐𝑙𝑛 𝑟 𝑤

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3.5 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS LIGERAMENTE COMPRESIBLES Seleccionando la presión de fondo fluyente Pwf como la presión de referencia y expresando la tasa de flujo en BN/día, se obtiene finalmente:

𝑄𝑜 =

0.00708𝑘ℎ 𝑟 𝜇𝑜 𝐵𝑜 𝑐𝑜 𝑙𝑛 𝑟𝑒 𝑤

𝑙𝑛 1 + 𝑐𝑜 𝑝𝑒 − 𝑝𝑤𝑓

Donde: 𝑄𝑜 = tasa de flujo de petróleo, BN/día 𝑝𝑒 = presión en el radio de drenaje, lpc 𝑝𝑤𝑓 = presión de fondo fluyente, lpc 𝑐𝑜 = coeficiente isotérmico de compresibilidad del petróleo, lpc-1 k = permeabilidad absoluta, md

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3.5 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS LIGERAMENTE COMPRESIBLES EJERCICIO 6:

Una formación productora tiene las siguientes característica: un espesor de 25 pies; presión del yacimiento, 2506 lpc; presión de fondo fluyente, 1800 lpc; radio de drenaje, 745 pies; radio del pozo, 0.25 pies; permeabilidad, 0.12 darcy. La viscosidad del petróleo es 2.5 cp y el factor volumétrico, 1.25 BY/BN. Suponiendo que le fluido es ligeramente compresible y que le coeficiente de compresibilidad es 25*10-6 lpc-1, estime la tasa de flujo. Compare los resultados si se considera que le fluido es incompresible.

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3.6 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS COMPRESIBLES La ecuación básica de la Ley de Darcy en su forma diferencial para flujo horizontal laminar es válida para describir el flujo de ambos sistemas líquidos y gases. Para flujo radial de un gas, la forma de ecuación de Darcy es:

𝑞𝑔 =

0.001127 2𝜋𝑟ℎ 𝑘 𝑑𝑝 𝜇𝑔 𝑑𝑟

Donde: 𝑞𝑔 = tasa de flujo de gas a un radio r, BY/día r = distancia radial, pies h = espesor de la zona, pies 0.001127 = constante de conversión para llevar de unidades darcy a unidades de campo

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3.6 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS COMPRESIBLES La ecuación básica de la Ley de Darcy en su forma diferencial para flujo horizontal laminar es válida para describir el flujo de ambos sistemas líquidos y gases. Para flujo radial de un gas, la forma de ecuación de Darcy es:

𝑞𝑔 =

0.001127 2𝜋𝑟ℎ 𝑘 𝑑𝑝 𝜇𝑔 𝑑𝑟

Donde: 𝑞𝑔 = tasa de flujo de gas a un radio r, BY/día r = distancia radial, pies h = espesor de la zona, pies 0.001127 = constante de conversión para llevar de unidades darcy a unidades de campo La tasa de flujo de gas se expresa generalmente en PCN/día. Designando la tasa de flujo de gas en condiciones normales como Qg, la tasa de flujo qg a una determinada presión y temperatura se puede convertir a la condiciones normales aplicanso la ecuación de estado para un gas real para ambas condiciones. Entonces:

𝑞𝑔 𝑝 𝑄𝑔 𝑝𝑠𝑐 5.615 = 𝑧𝑅𝑇 𝑧𝑠𝑐 𝑅𝑇𝑠𝑐 MECÁNICA DE FLUIDOS

3.6 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS COMPRESIBLES Despejando qg resulta:

𝑞𝑔 = 𝑄𝑔

𝑧𝑇 𝑝

𝑝𝑠𝑐 5.615𝑇𝑠𝑐

Donde: 𝑝𝑠𝑐 𝑦 𝑇𝑠𝑐 = presión y temperatura en condiciones normales, lpca y °R, respectivamente 𝑄𝑔 = tasa de flujo del gas en condiciones normales, PCN/dia 𝑞𝑔 = tasa de flujo del gas en el radio r, BY/dia

r = distancia radial, pies p = presión a un radio r, lpca T = temperatura del yacimiento, °R z = factor de compresibilidad del gas a p y T 𝑧𝑠𝑐 = factor de compresibilidad del gas en condiciones normales ≅ 1 Combinando las ecuaciones de qg, se obtiene:

𝑄𝑔

𝑧𝑇 𝑝

𝑝𝑠𝑐 5.615𝑇𝑠𝑐

=

0.001127 2𝜋𝑟ℎ 𝑘 𝑑𝑝 𝜇𝑔 𝑑𝑟

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3.6 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS COMPRESIBLES Suponiendo que 𝑇𝑠𝑐 = 520°𝑅 y 𝑝𝑠𝑐 = 14.7 𝑙𝑝𝑐𝑎

𝑇𝑄𝑔 𝑑𝑟 2𝑝 = 0.703 𝑑𝑝 𝑘ℎ 𝑟 𝜇𝑔 𝑧 Integrando la ecuación desde las condiciones en el pozo (rw, Pwf) hasta cualquier punto en el yacimiento (r, p), resulta: 𝑟

𝑟𝑤

𝑇𝑄𝑔 𝑑𝑟 = 0.703 𝑘ℎ 𝑟

𝑝

𝑝𝑤𝑓

2𝑝 𝑑𝑝 𝜇𝑔 𝑧

Si a esta ecuación se le imponen las condiciones de la Ley de Darcy, esto es: • Flujo continuo, lo cual requiere que Qg sea constante para cualquier radio • Formación homogénea, qu eimplica que k y h son constantes, se tiene

𝑇𝑄𝑔 𝑟 ln = 0.703 𝑘ℎ 𝑟𝑤

𝑝

𝑝𝑤𝑓

2𝑝 𝑑𝑝 𝜇𝑔 𝑧

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3.6 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS COMPRESIBLES El término 𝑝

𝑝𝑤𝑓

𝑝 2𝑝 𝑝𝑤𝑓 𝜇𝑔 𝑧

2𝑝 𝑑𝑝 = 𝜇𝑔 𝑧

𝑑𝑝 puede expandirse para dar: 𝑝

0

2𝑝 𝑑𝑝 − 𝜇𝑔 𝑧

𝑝𝑤𝑓

0

Combinando las dos expresiones, 𝑝 resulta:

𝑇𝑄𝑔 𝑟 ln = 0.703 𝑘ℎ 𝑟𝑤

La integral

𝑝 2𝑝 0 𝜇𝑔 𝑧

0

2𝑝 𝑑𝑝 𝜇𝑔 𝑧

2𝑝 𝑑𝑝 − 𝜇𝑔 𝑧

𝑝𝑤𝑓

0

2𝑝 𝑑𝑝 𝜇𝑔 𝑧

𝑑𝑝 se denomina potencial de un gas real o seudopresión de un gas

real y generalmente se representa por m(p) o 𝜓 𝑝

𝑚 𝑝 =𝜓= 0

2𝑝 𝑑𝑝 𝜇𝑔 𝑧

Esta ecuación fue introducida por Al – Hussainy con el fin de linealizar la ecuación que describe el flujo de un gas real.

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3.6 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS COMPRESIBLES En términos del potencial de un gas real se obtiene la ecuación:

𝑇𝑄𝑔 𝑟 ln = 0.703 𝜓 − 𝜓𝑤 𝑘ℎ 𝑟𝑤 O bien:

𝑇𝑄𝑔 𝑟 𝜓 = 𝜓𝑤 + ln 0.703𝑘ℎ 𝑟𝑤 La ecuación anterior indica que un gráfico de 𝜓 vs. ln pendiente

𝑇𝑄𝑔 0.703𝑘ℎ

𝑟 𝑟𝑤

da una línea recta de

e intercepto 𝜓𝑤 .

GRAFICO

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3.6 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS COMPRESIBLES La tasa de flujo viene dada por:

𝑄𝑔 =

0.703𝑘ℎ 𝜓𝑟 − 𝜓𝑤 𝑟 𝑇 ln 𝑟 𝑤

En el caso de que r = re, entonces:

0.703𝑘ℎ 𝜓𝑒 − 𝜓𝑤 𝑄𝑔 = 𝑟 𝑇 ln 𝑟𝑒 𝑤 Donde: 𝑄𝑔 = tasa de flujo del gas en condiciones normales, PCN/dia 𝜓𝑒 = potencial de un gas real evaluado desde 0 hasta 𝑝𝑒 , lpc2/cp

k = permeabilidad absoluta, md 𝑟𝑒 = radio de drenaje, pies 𝑟𝑤 = radio del pozo, pies h = espesor, pies

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3.6 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS COMPRESIBLES Como la tasa de flujo de gas se expresa comúnmente en MPCN/día, se tiene:

𝑄𝑔 =

𝑘ℎ 𝜓𝑒 − 𝜓𝑤 𝑟 1422𝑇 ln 𝑟𝑒 𝑤

La ecuación anterior se puede expresar en términos de la presión promedio del yacimiento 𝑝𝑟 en lugar de la presión inicial del yacimiento 𝑝𝑒 :

𝑄𝑔 =

𝑘ℎ 𝜓𝑟 − 𝜓𝑤𝑓 𝑟 1422𝑇 ln 𝑟𝑒 − 0.5 𝑤

Para calcular la integral de la ecuación de potencial de un gas real, los valores de calculan para varios valores de p. Entonces

2𝑝 𝜇𝑔 𝑧

2𝑝 𝜇𝑔 𝑧

se

versus p se representa en un papel de

escala cartesiana y el área bajo la curva se calcula en forma numérica o gráfica. Esta área desde p = 0 hasta cualquier punto p representa el valor de 𝜓 correspondiente a p.

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3.6 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS COMPRESIBLES EJERCICIO 7:

Un pozo de gas con un radio de 0.3 pies está produciendo a una presión constante de flujo de fondo de 3600 lpc. Las propiedades del gas en función de presión se presentan a continuación: p (lpc) 0 400 800 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 4000 4400

μg (cp) 0.01270 0.01286 0.01390 0.01530 0.01680 0.01840 0.02010 0.02170 0.02340 0.02500 0.02660 0.02831

z 1.000 0.937 0.882 0.832 0.794 0.770 0.763 0.775 0.797 0.827 0.860 0.896

Se conoce además que la presión inicial del yacimiento (presión de cierre) es 4400 lpc a 140°F. La formación tiene una permeabilidad de 65 md y un espesor de 15 pies. El radio del pozo es de 0.3 pies y re es de 1000 pies. Calcule la tasa de flujo del gas en MPCN/día.

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3.6 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS COMPRESIBLES 3.6.1 APROXIMACIÓN DE LA TASA DE FLUJO DE GAS Los valores exactos de la tasa de flujo de gas que se pueden estimar usando las

diferentes expresiones de la Ley de Darcy pueden aproximarse sacando el término

2𝑝 𝜇𝑔 𝑧

de la integral como una constante. Es importante señalar que (𝜇𝑔 𝑧) se considera constante sólo para presiones menores a los 2000 lpc. Luego, la ecuación de la tasa de flujo puede reescribirse así:

𝑄𝑔 =

𝑘ℎ

𝑟 1422𝑇 ln 𝑟𝑒 𝑤

𝑝𝑒

𝑝𝑤𝑓

2𝑝 𝑑𝑝 𝜇𝑔 𝑧

Sacando el término e integrando:

𝑘ℎ 𝑝𝑒 2 − 𝑝𝑤𝑓 2 𝑄𝑔 = 𝑟 1422𝑇 𝜇𝑔 𝑧 ln 𝑟𝑒 𝑤

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3.6 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS COMPRESIBLES 3.6.1 APROXIMACIÓN DE LA TASA DE FLUJO DE GAS El término 𝜇𝑔 𝑧 se evalúa a una presión promedio 𝑝 de finida por:

2

𝑝=

𝑝𝑤𝑓 + 𝑝𝑒

2

2

El método de aproximación anterior se conoce como método de las presiones al cuadrado y está limitado a cálculos de flujo cuando la presión del yacimiento es menor de 2000 lpc.

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3.6 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS COMPRESIBLES EJERCICIO 8:

Usando los datos del ejercicio anterior, calcule nuevamente la tasa de flujo del gas mediante el método de las presiones al cuadrado y compare con el método exacto.

3.7 FLUJO HORIZONTAL EN UN SISTEMA MULTIFÁSICO Cuando varias fases de fluidos están fluyendo en un medio poroso horizontal, se debe utilizar en la ecuaciones de Darcy el concepto de permeabilidades efectivas para cada fase y las propiedades físicas asociadas con cada una de ellas. Para un sistema radial, la forma generalizada de la Ley de Darcy aplicada a cada fase es:

0.001127 2𝜋𝑟ℎ 𝑑𝑝 𝑞𝑜 = 𝑘𝑜 𝜇𝑜 𝑑𝑟 𝑞𝑤 =

0.001127 2𝜋𝑟ℎ 𝑑𝑝 𝑘𝑤 𝜇𝑤 𝑑𝑟

𝑞𝑔 =

0.001127 2𝜋𝑟ℎ 𝑑𝑝 𝑘𝑔 𝜇𝑔 𝑑𝑟

Donde: 𝑘𝑜 , 𝑘𝑤 , 𝑘𝑔 = permeabilidades efectivas al petróleo, agua y gas, respectivamente, md 𝜇𝑜 , 𝜇𝑤 , 𝜇𝑔 = viscosidades del petróleo, agua y gas, respectivamente, cp 𝑞𝑜 , 𝑞𝑤 , 𝑞𝑔 = tasas de flujo del petróleo, agua y gas, respectivamente, BY/día

3.7 FLUJO HORIZONTAL EN UN SISTEMA MULTIFÁSICO Las permeabilidades efectivas pueden expresarse en términos de las permeabilidades relativas y de la permeabilidad absoluta, así::

𝑘𝑜 = 𝑘𝑟𝑜 𝑘

Donde:

𝑘𝑤 = 𝑘𝑟𝑤 𝑘

k = permeabilidad absoluta, md

𝑘𝑔 = 𝑘𝑟𝑔 𝑘 Usando este concepto en las ecuaciones de Darcy para cada fase y expresando las tasas de flujo en condiciones normales, se obtiene, finalmente:

𝑄𝑜 = 0.00708 𝑟ℎ𝑘

𝑘𝑟𝑜 𝑑𝑝 𝜇𝑜 𝐵𝑜 𝑑𝑟

𝑄𝑤 = 0.00708 𝑟ℎ𝑘

𝑘𝑟𝑤 𝑑𝑝 𝜇𝑤 𝐵𝑤 𝑑𝑟

𝑄𝑔 = 0.00708 𝑟ℎ𝑘

𝑘𝑟𝑔 𝑑𝑝 𝜇𝑔 𝐵𝑔 𝑑𝑟

Donde: 𝑄𝑜 , 𝑄𝑤 = tasas de flujo de petróleo y agua,

BY/día 𝑄𝑔 = tasa de flujo de gas, PCN/día 𝐵𝑜 , 𝐵𝑤 = factores volumétricos del petróleo y del agua en la formación, BY/BN 𝑧𝑇 𝐵𝑔 = 0.00504 =factor volumétrico del 𝑝 gas en la formación, BY/PCN k = permeabilidad absoluta, md

3.7 FLUJO HORIZONTAL EN UN SISTEMA MULTIFÁSICO Integrando las ecuaciones anteriores, resulta finalmente: Fase petróleo:

𝑄𝑜 =

0.00708 𝑘ℎ 𝑘𝑟𝑜 𝑝𝑒 − 𝑝𝑤𝑓 𝑟 𝜇𝑜 𝐵𝑜 𝑙𝑛 𝑟𝑒 𝑤

Fase agua:

0.00708 𝑘ℎ 𝑘𝑟𝑤 𝑝𝑒 − 𝑝𝑤𝑓 𝑄𝑤 = 𝑟 𝜇𝑤 𝐵𝑤 𝑙𝑛 𝑟𝑒 𝑤 Fase gas: En términos de potencial de un gas real:

𝑘ℎ 𝑘𝑟𝑔 𝜓𝑒 − 𝜓𝑤 𝑄𝑔 = 𝑟 1422𝑇 𝑙𝑛 𝑟𝑒 𝑤

En términos de presiones al cuadrado:

𝑘ℎ 𝑘𝑟𝑔 𝑝𝑒 2 − 𝑝𝑤𝑓 2 𝑄𝑔 = 𝑟 1422 𝜇𝑔 𝑧 𝑇 𝑙𝑛 𝑟𝑒 𝑤

Donde: 𝑄𝑔 = tasa de flujo de gas, MPCN/día

k = permeabilidad absoluta, md T = temperatura, °R

3.7 FLUJO HORIZONTAL EN UN SISTEMA MULTIFÁSICO Generalmente, es conveniente expresar la tasa de flujo de cualquier fase como una relación de las otra fases fluyentes. Dos relaciones importantes son: la relación agua – petróleo instantánea (RAP o WOR) y la relación gas – petróleo instantánea (RGP o GOR). La forma generalizada de la ecuación de Darcy se puede utilizar para determinar ambas relaciones de flujo. La relación agua – petróleo es define como la relación entre la tasa de flujo de agua y la tasa de flujo de petróleo, ambas expresadas en BN/día, esto es:

𝑄𝑤 𝑅𝐴𝑃 = 𝑄𝑜 Reemplazando 𝑄𝑤 y 𝑄𝑜 queda:

𝑅𝐴𝑃 =

𝑘𝑟𝑤 𝑘𝑟𝑜

𝜇𝑜 𝐵𝑜 𝜇𝑤 𝐵𝑤

Donde: RAP = relación agua – petróleo en BN/BN

3.7 FLUJO HORIZONTAL EN UN SISTEMA MULTIFÁSICO La relación gas – petróleo instantánea, RGP o GOR, expresada en PCN/BN, se define con tasa de flujo total de gas, esto es, gas libre más gas en solución dividido entre la tasa de flujo de petróleo:

𝑄𝑜 𝑅𝑠 + 𝑄𝑔 𝑅𝐺𝑃 = 𝑄𝑜

O también:

𝑅𝐺𝑃 = 𝑅𝑠 +

Sustituyendo 𝑄𝑜 y 𝑄𝑔 :

𝑅𝐺𝑃 = 𝑅𝑠 +

𝑘𝑟𝑔 𝑘𝑟𝑜

𝜇𝑜 𝐵𝑜 𝜇𝑔 𝐵𝑔

Donde: 𝐵𝑔 = factor volumétrico del gas en la formación, BY/PCN

RGP = relación gas – petróleo instantánea, PCN/BN 𝑅𝑠 = solubilidad del gas en PCN/BN 𝑄𝑔 = tasa de flujo de gas libre, PCN/día 𝑄𝑜 = tasa de flujo de petróleo, BN/día

𝑄𝑔 𝑄𝑜

3. FLUJO CONTINUO (RESUMEN ECUACIONES)

Flujo continuo

Flujo lineal 𝒒 𝒌 𝒅𝒑 =− 𝑨 𝝁 𝒅𝒙

Fluidos incompresibles

𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟏𝟐𝟕𝒌𝑨 𝑷𝟏 − 𝑷𝟐 𝝁 𝑳

𝒒=

Fluidos ligeramente compresibles

𝟏 + 𝒄(𝒑𝒓𝒆𝒇 − 𝒑𝟐 ) 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟏𝟐𝟕𝒌𝑨 𝒍𝒏 𝝁𝒄𝑳 𝟏 + 𝒄(𝒑𝒓𝒆𝒇 − 𝒑𝟏 )

𝒒𝒓𝒆𝒇 =

Fluidos compresibles

𝟐

𝑸𝒔𝒄 =

Flujo radial

Fluidos incompresibles

𝟎. 𝟎𝟎𝟕𝟎𝟖𝒌𝒉 𝒓 𝝁𝒐 𝑩𝒐 𝒄𝒐 𝒍𝒏 𝒆 𝒓𝒘

𝑸𝒐 =

Fluidos compresibles

Flujo multifásico

𝑸𝒈 =

𝑸𝒐 =

𝟎. 𝟎𝟎𝟕𝟎𝟖 𝒌𝒉 𝒌𝒓𝒐 𝒑𝒆 − 𝒑𝒘𝒇 𝒓 𝝁𝒐 𝑩𝒐 𝒍𝒏 𝒆 𝒓𝒘

𝑸𝒘 =

𝟎. 𝟎𝟎𝟕𝟎𝟖 𝒌𝒉 𝒌𝒓𝒘 𝒑𝒆 − 𝒑𝒘𝒇 𝒓 𝝁𝒘 𝑩𝒘 𝒍𝒏 𝒆 𝒓𝒘

𝑸𝒈 =

𝒌𝒉 𝒌𝒓𝒈 𝝍𝒆 − 𝝍𝒘 𝒓 𝟏𝟒𝟐𝟐𝑻 𝒍𝒏 𝒆 𝒓𝒘

𝟐

𝑻𝑳𝒛𝒖𝒈 𝟎. 𝟎𝟎𝟕𝟎𝟖𝒌𝒉 𝒑𝒆 − 𝒑𝒘𝒇 𝑸𝒐 = 𝝁𝒐 𝑩𝒐 𝐥𝐧(𝒓𝒆/𝒓𝒘𝒇 )

Fluidos ligeramente compresibles 𝒒 𝒌 𝒅𝒑 = 𝑨𝒓 𝝁 𝒅𝒓

𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟗𝟐𝟒𝒌𝑨 𝒑𝟏 − 𝒑𝟐

𝒍𝒏 𝟏 + 𝒄𝒐 𝒑𝒆 − 𝒑𝒘𝒇

𝒌𝒉 𝒑𝒆 𝟐 − 𝒑𝒘𝒇 𝟐 𝒓 𝟏𝟒𝟐𝟐𝑻 𝝁𝒈 𝒛 𝒍𝒏 𝒆 𝒓𝒘

𝑸𝒈 =

𝒌𝒉 𝒌𝒓𝒈 𝒑𝒆 𝟐 − 𝒑𝒘𝒇 𝟐 𝒓 𝟏𝟒𝟐𝟐 𝝁𝒈 𝒛 𝑻 𝒍𝒏 𝒆 𝒓𝒘

FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS

4. FLUJO NO CONTINUO O TRANSITORIO

Considerando la sección A de la Figura, la cual muestra un pozo cerrado que está centrado en un yacimiento circular homogéneo de radio re y con una presión uniforme pi a través del yacimiento. Las condiciones iniciales del yacimiento representan el tiempo de producción cero. Si luego se permite que el pozo fluya a una tasa constante q, ocurre un disturbio de presión en la formación. La presión en el pozo, pwf, caerá instantáneamente al abrirlo. El disturbio de la presión se moverá desde el pozo a una tasa que estará determinada por la permeabilidad, la porosidad, la viscosidad del fluido y las compresibilidades de la roca y de los fluidos. La sección B de la Figura muestra que a un tiempo t1, los disturbios o cambios de presión se han movido a una distancia r1 dentro del yacimiento. Los radios de tales cambios están aumentando continuamente con el tiempo. Estos radios, comúnmente como radios de investigación y se denotan por rinv. Es importante señalar también que a medida que el radio de investigación no alcanza el límite del yacimiento, esto es, re, éste estará actuando como un yacimiento de tamaño infinito, llamado así porque el radio de drenaje matemáticamente es infinito.

4. FLUJO NO CONTINUO O TRANSITORIO

Un análisis similar al señalado puede utilizarse para describir un pozo que está produciendo a una presión de fondo constante. La sección C en la Figura muestra esquemáticamente la propagación de los radios de investigación con respecto al tiempo. A un tiempo t4, los disturbios de presión alcanzan el límite, esto es rinv = re. Esto causa que el comportamiento de presión cambie. Basados en el análisis anterior, el flujo transitorio es definido como el período durante el cual el límite del yacimiento no tiene efecto sobre su comportamiento de presión, el cual se comportará como uno de tamaño infinito. La sección B de la Figura muestra que el período de flujo transitorio ocurre durante el intervalo de tiempo 0 < t < t1 para el caso de una tasa de flujo constante y durante el intervalo de tiempo 0 < t < t4 cuando existe producción a una presión de fondo pwf constante.

4. FLUJO NO CONTINUO O TRANSITORIO

4.1 ECUACIONES BÁSICAS

En condiciones de flujo continuo, la cantidad de fluido que entra al sistema de flujo es igual a la que sale. Por el contrario, en condiciones de flujo transitorio, la tasa de flujo que entra a un elemento de volumen del medio poroso no es la misma que sale de él. De acuerdo con esto, el contenido de fluidos en el medio poroso cambia con el tiempo. Las variables en flujo transitorio, adicionales a las consideradas en flujo continuo son: el tiempo, t; la porosidad, 𝜙 y la compresibilidad total, ct. La formulación matemática de las ecuaciones de flujo transitorio se basa en la combinación de tres ecuaciones independientes y en unas condiciones específicas iniciales y de contorno que las constituyen .

4.1 ECUACIONES BÁSICAS

Ecuación de Continuidad

• Ecuación de balance de materiales que toma en cuenta cada masa de fluido producido, inyectado o que permanece en el yacimiento

Ecuación de Transporte

• Es la combinación de la ecuación de continuidad con la de movimiento de fluido para describir la tasa de flujo que entra y la que sale del yacimiento. Es la ecuación de Darcy generalizada en su forma diferencial.

Ecuación de Compresibilidad

• Esta ecuación expresada en términos de densidad o volumen, se usa para formular la ecuación de flujo transitorio con el objeto de describir los cambios de volumen de fluido en función de presión.

4. FLUJO NO CONTINUO O TRANSITORIO

Condiciones iniciales y de contorno

Condiciones iniciales

El yacimiento se encuentra a una presión uniforme cuando comienza la producción, at=0

Condiciones límite o de contorno

La formación produce a tasa constante hacia el pozo

No existe flujo a través del límite exterior y el yacimiento se comporta como un yacimiento de tamaño infinito, re = ∞

FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS

4. FLUJO NO CONTINUO O TRANSITORIO

Considerando el elemento de flujo de la Figura, ésta tiene un ancho dr y está localizado a una distancia r del centro del pozo. El elemento poroso tiene un volumen diferencial dV. Aplicando el concepto de balance de materiales, la tasa másica de flujo que entra al elemento menos la tasa másica de flujo que sale de él durante un tiempo diferencial Δt debe ser igual a la acumulación durante este intervalo de tiempo, o sea:

𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑎𝑙 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛

− ∆𝑡

𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑒 𝑎𝑙 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛

= ∆𝑡

𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑚á𝑠𝑖𝑐𝑎 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛

∆𝑡

FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS

4. FLUJO NO CONTINUO O TRANSITORIO Primer término: Masa que entra al elemento de volumen durante un intervalo de tiempo Δt

𝑚𝑎𝑠𝑎

𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎

= ∆𝑡 𝐴𝑣𝜌

𝑟+𝑑𝑟

Donde: v=velocidad del fluido fluyendo, pie/día 𝜌 = densidad del fluido a (r+dr), lb/pie3

A = área a (r+dr), pie2 ∆𝑡 = intervalo de tiempo, días El área del elemento a la entrada es:

𝐴𝑟+𝑑𝑟 = 2𝜋 𝑟 + 𝑑𝑟 ℎ Combinando las dos ecuaciones se tiene:

𝑚𝑎𝑠𝑎

𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎

= 2𝜋 𝑟 + 𝑑𝑟 ℎ∆𝑡 𝑣𝜌

𝑟+𝑑𝑟

FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS

4. FLUJO NO CONTINUO O TRANSITORIO Segundo término: Masa que sale del elemento de volumen durante un intervalo de tiempo Δt Adoptando el mismo criterio:

𝑚𝑎𝑠𝑎

𝑠𝑎𝑙𝑒

= ∆𝑡 𝐴𝑣𝜌

𝑟

Donde: v=velocidad del fluido fluyendo, pie/día 𝜌 = densidad del fluido a (r+dr), lb/pie3

A = área a (r+dr), pie2 ∆𝑡 = intervalo de tiempo, días El área del elemento a la salida es:

𝐴𝑟 = 2𝜋𝑟ℎ Combinando las dos ecuaciones se tiene:

𝑚𝑎𝑠𝑎

𝑠𝑎𝑙𝑒

= 2𝜋𝑟ℎ∆𝑡 𝑣𝜌

𝑟

FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS

4. FLUJO NO CONTINUO O TRANSITORIO Tercer término: Masa total acumulada en el elemento de volumen durante un intervalo de tiempo Δt. El volumen total de un elemento de radio r viene dado por:

𝑉 = 𝜋𝑟 2 ℎ Diferenciando la ecuación anterior con respecto a r resulta:

𝑑𝑉 = 2𝜋𝑟ℎ 𝑑𝑟

O también:

𝑑𝑉 = 2𝜋𝑟ℎ 𝑑𝑟

Luego:

𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 ∆𝑡 = 𝑑𝑉 (𝛷𝜌)𝑡+∆𝑡 −(𝛷𝜌)𝑡 Sustituyendo por dV:

𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎 = 2𝜋𝑟ℎ 𝑑𝑟 (𝛷𝜌)𝑡+∆𝑡 −(𝛷𝜌)𝑡

FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS

4. FLUJO NO CONTINUO O TRANSITORIO Reemplazando los términos obtenidos en la ecuación de balance de materiales queda así:

2𝜋 𝑟 + 𝑑𝑟 ℎ∆𝑡 𝑣𝜌

𝑟+𝑑𝑟

− 2𝜋𝑟ℎ∆𝑡 𝑣𝜌

𝑟

= 2𝜋𝑟ℎ 𝑑𝑟 (𝛷𝜌)𝑡+∆𝑡 −(𝛷𝜌)𝑡

Dividiendo la ecuación anterior por 2𝜋𝑟ℎ 𝑑𝑟 y simplificando resulta:

1 𝑟 + 𝑑𝑟 𝑣𝜌 𝑟(𝑑𝑟)

𝑟+𝑑𝑟 − 𝑟 𝑣𝜌

𝑟

=

1 (𝛷𝜌)𝑡+∆𝑡 −(𝛷𝜌)𝑡 ∆𝑡

O también:

𝟏 𝝏 𝝏 𝒓(𝒗𝝆) = (𝜱𝝆) 𝒓 𝝏𝒓 𝝏𝒕 Donde: 𝛷 = porosidad, fracción v =velocidad del fluido fluyendo, pie/día 𝜌 = densidad del fluido, lb/pie3 Este ecuación se conoce como Ecuación de Continuidad y muestra el Principio de la Conservación de la masa en coordenadas radiales.

FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS

4. FLUJO NO CONTINUO O TRANSITORIO Para relacionar la velocidad de flujo con el gradiente de presión dentro de un volumen dV, debe introducirse la ecuación de transporte en la ecuación de continuidad. La ecuación de Darcy es esencialmente la ecuación básica de movimiento, la cual establece que la velocidad v es proporcional al gradiente de presión

𝜕𝑝 . 𝜕𝑟

De la ecuación de Darcy para flujo radial:

𝑘 𝜕𝑝 𝑣 = (5.615)(0.001127) 𝜇 𝜕𝑟 𝑘 𝜕𝑝 𝑣 = (0.006328) 𝜇 𝜕𝑟 Donde: 𝑘 = permeabilidad, md v =velocidad del fluido, pie/día

FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS

4. FLUJO NO CONTINUO O TRANSITORIO Reemplazando los términos obtenidos en la ecuación de balance de materiales queda así:

2𝜋 𝑟 + 𝑑𝑟 ℎ∆𝑡 𝑣𝜌

𝑟+𝑑𝑟

− 2𝜋𝑟ℎ∆𝑡 𝑣𝜌

𝑟

= 2𝜋𝑟ℎ 𝑑𝑟 (𝛷𝜌)𝑡+∆𝑡 −(𝛷𝜌)𝑡

Dividiendo la ecuación anterior por 2𝜋𝑟ℎ 𝑑𝑟 y simplificando resulta:

1 𝑟 + 𝑑𝑟 𝑣𝜌 𝑟(𝑑𝑟)

𝑟+𝑑𝑟 − 𝑟 𝑣𝜌

𝑟

=

1 (𝛷𝜌)𝑡+∆𝑡 −(𝛷𝜌)𝑡 ∆𝑡

O también:

𝟏 𝝏 𝝏 𝒓(𝒗𝝆) = (𝜱𝝆) 𝒓 𝝏𝒓 𝝏𝒕 Donde: 𝛷 = porosidad, fracción v =velocidad del fluido fluyendo, pie/día 𝜌 = densidad del fluido, lb/pie3 Este ecuación se conoce como ECUACIÓN DE CONTINUIDAD y muestra el Principio de la Conservación de la masa en coordenadas radiales.

FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS

4. FLUJO NO CONTINUO O TRANSITORIO Para relacionar la velocidad de flujo con el gradiente de presión dentro de un volumen dV, debe introducirse la ecuación de transporte en la ecuación de continuidad. La ecuación de Darcy es esencialmente la ecuación básica de movimiento, la cual establece que la velocidad v es proporcional al gradiente de presión

𝜕𝑝 . 𝜕𝑟

De la ecuación de Darcy para flujo radial:

𝑘 𝜕𝑝 𝑣 = (5.615)(0.001127) 𝜇 𝜕𝑟 𝑘 𝜕𝑝 𝑣 = (0.006328) 𝜇 𝜕𝑟 Donde: 𝑘 = permeabilidad, md v =velocidad del fluido, pie/día

FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS

4. FLUJO NO CONTINUO O TRANSITORIO Combinando la ecuación anterior y la ecuación de continuidad, resulta:

0.006328 𝜕 𝑘 𝜕𝑝 𝜕 𝜌𝑟 = 𝛷𝜌 𝑟 𝜕𝑟 𝜇 𝜕𝑟 𝜕𝑡 Expandiendo la parte derecha de la ecuación anterior, se obtiene:

𝜕 𝜕𝑝 𝜕𝛷 𝛷𝜌 = 𝛷 +𝜌 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑡 Como la porosidad se relaciona con la compresibilidad de la formación por medio de:

1 𝜕𝛷 𝑐𝑓 = 𝛷 𝜕𝑝

𝜕𝛷 = 𝛷𝑐𝑓 𝜕𝑝

Al aplicar la regla de la cadena de la diferenciación a

𝜕𝛷 𝜕𝑡

, resulta:

𝜕𝛷 𝜕𝛷 𝜕𝑝 = 𝜕𝑡 𝜕𝑝 𝜕𝑡

FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS

4. FLUJO NO CONTINUO O TRANSITORIO Sustituyendo la ecuación anterior en la ecuación de cf, se tiene:

𝜕𝛷 𝜕𝑝 = 𝛷𝑐𝑓 𝜕𝑡 𝜕𝑡 Finalmente, sustituyendo esta expresión en las dos primeras ecuaciones se tiene:

0.006328 𝜕 𝑘 𝜕𝑝 𝜕𝑝 𝜕𝜌 𝜌𝑟 = 𝜌𝛷𝑐𝑓 +𝛷 𝑟 𝜕𝑟 𝜇 𝜕𝑟 𝜕𝑡 𝜕𝑡

Describir el flujo de cualquier fluido que fluye en dirección radial en el medio poroso

Ecuación general en derivadas parciales Tomando en cuenta la Ecuación de Darcy; es decir flujo laminar, válida para líquidos y gases, son diferencias prácticas para la aplicación de las ecuaciones específicas.

FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS

4.1 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS LIGERAMENTE COMPRESIBLES Para simplificar la ecuación anterior, se supone que la permeabilidad y la viscosidad son constantes en el rango de presión, tiempo y distancia, lo que lleva a:

0.006328𝑘 𝜕 𝜕𝑝 𝜕𝑝 𝜕𝜌 𝜌𝑟 = 𝜌𝛷𝑐𝑓 +𝛷 𝜇𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑡 𝜕𝑡 Expandiendo la ecuación anterior:

𝑘 𝜌 𝜕𝑝 𝜕 2 𝑝 𝜕𝑝 𝜕𝜌 𝜕𝑝 𝜕𝜌 0.006328 +𝜌 2 + = 𝜌𝛷𝑐𝑓 +𝛷 𝜇 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑡 𝜕𝑡 Usando la regla de la cadena en las expresiones anteriores:

𝑘 𝜌 𝜕𝑝 𝜕2𝑝 𝜕𝑝 0.006328 +𝜌 2 + 𝜇 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟

2

𝜕𝜌 𝜕𝑝 𝜕𝑝 = 𝜌𝛷𝑐𝑓 +𝛷 𝜕𝑝 𝜕𝑡 𝜕𝑡

𝜕𝜌 𝜕𝑝

Dividiendo la expresión anterior para la densidad del fluido 𝜌, se obtiene:

𝑘 1 𝜕𝑝 𝜕 2 𝑝 𝜕𝑝 0.006328 + + 𝜇 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 2 𝜕𝑟

2

1 𝜕𝜌 𝜌 𝜕𝑝

= 𝛷𝑐𝑓

𝜕𝑝 𝜕𝑝 +𝛷 𝜕𝑡 𝜕𝑡

1 𝜕𝜌 𝜌 𝜕𝑝

FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS

4.1 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS LIGERAMENTE COMPRESIBLES La ecuación anterior se denomina ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD y es usada, particularmente en el análisis de datos de pruebas de pozos donde el tiempo t se expresa comúnmente en horas. De esta forma esta ecuación queda así:

𝝏𝟐 𝒑 𝟏 𝝏𝒑 𝜱𝝁𝒄𝒕 𝝏𝒑 + = 𝝏𝒓𝟐 𝒓 𝝏𝒓 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟐𝟔𝟒𝒌 𝝏𝒕 Donde: k = permeabilidad, md

r = distancia radial , pies p = presión, lpca 𝑐𝑡 = compresibilidad total, lpc-1 t = tiempo, horas 𝛷 = porosidad, fracción 𝜇 = viscosidad, cp

FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS

4.1 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS LIGERAMENTE COMPRESIBLES Cuando el yacimiento contiene más de un fluido, la compresibilidad total puede calcularse por:

𝑐𝑡 = 𝑐𝑜 𝑆𝑜 + 𝑐𝑤 𝑆𝑤 + 𝑐𝑔 𝑆𝑔 + 𝑐𝑓 Donde: 𝑐𝑜 , 𝑐𝑤 , 𝑐𝑔 = compresibilidades del petróleo, agua y gas 𝑆𝑜 , 𝑆𝑤 , 𝑆𝑔 = saturaciones del petróleo, agua y gas La introducción de ct en la ecuación de difusividad no hace que la misma sea aplicable a flujo multifásico; el uso de ct, definida en la ecuación anterior, simplemente toma en cuenta la compresibilidad de cualquier fluido inmóvil que puede estar en el yacimiento con el fluido que está fluyendo.

El término

0.000264𝑘

𝛷𝜇𝑐𝑡

de la ecuación de difusividad, se denomina constante de difusividad y se

denota por el símbolo 𝜂, es decir:

𝜂=

0.000264k Φμct

Así le ecuación de difusividad queda así:

𝝏𝟐 𝒑 𝟏 𝝏𝒑 𝟏 𝛛𝐩 + = 𝛛𝒓𝟐 𝒓 𝝏𝒓 𝛈 𝛛𝐭

Se usa para estimar la presión en función del tiempo t y de la posición r.

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4.1 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS LIGERAMENTE COMPRESIBLES

Medio poroso homogéneo e isotrópico

Prop. de la roca y los fluidos independientes de la presión

Flujo laminar

Espesor uniforme

Ecuación de la difusividad

Flujo de una sola fase

FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS

4.1 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS LIGERAMENTE COMPRESIBLES Para condiciones de flujo continuo, la presión en cualquier punto del yacimiento es constante y 𝜕p

no cambia con el tiempo, esto es = 0. Po lo tanto, la ecuación de difusividad se reduce a la 𝜕t ecuación presentada a continuación, la cual se conoce ECUACIÓN DE LAPLACE para flujo continuo :

𝝏𝟐 𝒑 𝟏 𝝏𝒑 + =𝟎 𝛛𝒓𝟐 𝒓 𝝏𝒓

EJERCICIO 9: Muestre que la ecuación de Darcy en forma radial es la solución de la ecuación de Laplace.

FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS

4.1 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS LIGERAMENTE COMPRESIBLES

Para obtener una solución de la ecuación de difusividad, es necesario especificar una condición inicial e imponer dos condiciones de contorno o de límite. La condición inicial establece que el yacimiento se encuentra a una presión constante pi cuando comienza la producción. Las dos condiciones de límite requieren que el pozo esté produciendo a una tasa constante y que el yacimiento se comporte como un yacimiento infinito, re = ∞. De acuerdo a estas dos condiciones impuestas, la ecuación tiene dos soluciones generalizadas:

-

A presión terminal constante. A tasa terminal constante.

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4.1 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS LIGERAMENTE COMPRESIBLES La solución a presión terminal constante de la ecuación de difusividad está diseñada para calcular el flujo acumulado a cualquier tiempo para un yacimiento en el cual la presión en uno de los límites se mantiene constante. En esta solución, la tasa de flujo se considera constante a determinado radio, usualmente en el radio del pozo, y el perfil de presión alrededor del pozo se determina en función del tiempo y de posición. En este caso como la presión es constante a un radio en particular, la solución permite conocer el movimiento acumulado del fluido para este radio. Esta solución se utiliza comúnmente en los cálculos de intrusión de agua en yacimientos de petróleo y de gas. La solución a tasa terminal constante de la ecuación de difusividad para un sistema radial toma en cuenta los cambios de presión a través del sistema, donde la tasa de flujo se considera constante a cierto radio, usualmente el radio del pozo, y donde el perfil de presión en este radio se determina en función de tiempo y distancia. La solución a tasa terminal constante forma parte integral de los análisis de pruebas de caídas de presión (drawdown tests) y de restauración de presión (buildup analyses). La mayoría de estas pruebas se realizan con el pozo produciendo a una tasa de flujo constante y registrando la presión fluyente en función del tiempo, esto es, p(rw,t). Existen dos formas comunmente usadas en esta solución: • •

La solución de la función, Ei. La solución de la presión adimensional, pD.

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4.1.1 SOLUCIÓN DE LA FUNCIÓN Ei Matthews y Rusell propusieron una solución para la ecuación de difusividad basada en las siguientes suposiciones:

Yacimiento activo de tamaño infinito

El pozo produce a una tasa constante El yacimiento se encuentra a una presión uniforme pi cuando comienza la producción. El pozo, con un radio rw, se encuentra centrado en un yacimiento cilíndrico de radio re. No existe flujo en el límite exterior, es decir a r.

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4.1.1 SOLUCIÓN DE LA FUNCIÓN Ei Utilizando las condiciones anteriores, la solución presentada por Matthews y Rusell tiene la siguiente forma:

70.6𝑄𝑜 𝜇𝑜 𝐵𝑜 948𝛷𝜇𝑜 𝑐𝑡 𝑟 2 𝑝 𝑟, 𝑡 = 𝑝𝑖 + 𝐸𝑖 − 𝑘ℎ 𝑘𝑡 Donde: p(r,t) = presión a un radio r del pozo después de t horas t = tiempo, horas 𝛷 = porosidad 𝜇𝑜 = viscosidad, cp k = permeabilidad, md 𝑄𝑜 = tasa de flujo, BN/día La función matemática Ei, se denomina integral exponencial y se define por: ∞

𝐸𝑖 −𝑥 = 𝑥

𝑒 −𝑢 𝑑𝑢 𝑥 𝑥2 𝑥3 = ln 𝑥 − + + +⋯ 𝑢 1! 2 2! 3 3!

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4.1.1 SOLUCIÓN DE LA FUNCIÓN Ei Craft presenta los valores de la función Ei (x) en forma gráfica y tabulada como se muestra e la gráfica y en la Tabla, respectivamente:

FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS

4.1.1 SOLUCIÓN DE LA FUNCIÓN Ei La solución Ei expresada en la última ecuación se conoce como la solución de línea fuente. La integral exponencial Ei puede aproximarse por las siguientes ecuaciones cuando el argumento x es menor que 0.01:

𝐸𝑖 −𝑥 = ln(1.781𝑥) Donde el argumento x es expresado en este caso por:

948𝛷𝜇𝑜 𝑐𝑡 𝑟 2 𝑥= 𝑘𝑡 La ecuación anterior aproxima la función Ei con un error menor del 0.25%.

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4.1.1 SOLUCIÓN DE LA FUNCIÓN Ei Otra expresión que también puede utilizarse para aproximar la función Ei en el rango 0.01 𝑘 Donde: k = permeabilidad, md t = tiempo, horas

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4.1.1 SOLUCIÓN DE LA FUNCIÓN Ei EJERCICIO 11: Usando los datos del ejercicio anterior, estime la presión de flujo de fondo después de 10 horas de producción.

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4.1.2 SOLUCIÓN DE LA PRESIÓN ADIMENSIONAL, pD Los análisis de pruebas de pozos hacen el uso del concepto de variables adimensionales al resolver la ecuación de flujo transitorio. La importancia de estas variables es que simplifican la ecuación de difusividad y su solución por la combinación de parámetros del yacimiento como permeabilidad, porosidad, etc., y por lo tanto reducen el número de incógnitas. Para introducir el concepto de la solución de la presión adimensional, pD, es debe considerar por ejemplo, la ecuación de Darcy en su forma radial dada previamente por la siguiente ecuación:

0.00708𝑘ℎ 𝑝𝑒 − 𝑝𝑤𝑓 𝑄𝑜 = 𝜇𝑜 𝐵𝑜 ln(𝑟𝑒 /𝑟𝑤𝑓 ) Rearreglando la ecuación se tiene:

𝑝𝑒 − 𝑝𝑤𝑓 𝑟𝑒 = ln 𝑄𝑜 𝜇𝑜 𝐵𝑜 𝑟𝑤𝑓 0.00708𝑘ℎ

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4.1.2 DE LA PRESIÓN ADIMENSIONAL, pD Se observa que parte derecha de la ecuación anterior no tiene unidades, o sea, que es adimensional y, de acuerdo con esto, la parte izquierda de la ecuación debe ser también adimensional. Como 𝑝𝑒 − 𝑝𝑤𝑓 tiene las unidades de lpc, es lógico que el término 𝑄𝑜 𝜇𝑜𝐵𝑜 también tenga como unidades la presión. De hecho, cualquier diferencia de 0.00708𝑘ℎ 𝑄 𝜇 𝐵

𝑜 𝑜 𝑜 presión dividida por el término 0.00708𝑘ℎ es una presión adimensional, por lo tanto, la ecuación anterior puede escribirse en forma adimensional de la siguiente manera:

𝑝𝐷 = ln(𝑟𝑒𝐷 ) Donde: 𝑝𝐷 =

𝑝𝑒 − 𝑝𝑤𝑓 𝑄𝑜 𝜇𝑜 𝐵𝑜 0.00708𝑘ℎ

𝑟𝑒𝐷 =

𝑟𝑒 𝑟𝑤𝑓

FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS

4.1.2 DE LA PRESIÓN ADIMENSIONAL, pD Este concepto puede extenderse para considerar las ecuaciones de flujo transitorio donde el tiempo es una variable. En el análisis de flujo transitorio. La presión adimensional, pD, es siempre una función de un tiempo adimensional, tD, y ambos conceptos están definidos por las siguientes expresiones:

𝑝𝐷 =

𝑝𝑖 − 𝑝(𝑟, 𝑡) 𝑄𝑜 𝜇𝑜 𝐵𝑜 0.00708𝑘ℎ

0.000264kt 𝑡𝐷 = Φμct 𝑟𝑤 2 La expresión anterior es sólo una de las formas que existen para expresar el tiempo adimensional. Otra definición comúnmente utilizada es la de tDA, conocida como el tiempo adimensional basado en el área total de drenaje. Así se tiene:

𝑡𝐷𝐴

0.000264kt = Φμct 𝐴

𝑡𝐷𝐴 = 𝑡𝐷

Donde: A = área total de drenaje (= 𝜋𝑟𝑒 2 ) 𝑟𝑒 = radio de drenaje, pies

𝑟𝑤 2 𝐴

𝑟𝑤 = radio del pozo, pies FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS

4.1.2 DE LA PRESIÓN ADIMENSIONAL, pD La presión adimensional pD también varía con la localización en el yacimiento y está representada por las distancias radiales adimensionales, 𝒓𝑫 y𝒓𝒆𝑫 , definidas por:

𝑟𝐷 =

𝑟 𝑟𝑤

𝑟𝑒𝐷 =

𝑟𝑒 𝑟𝑤

Donde: 𝑝𝐷 = caída de presión adimensional 𝑟𝑒𝐷 = radio exterior adimensional 𝑡𝐷 = tiempo adimensional 𝑟𝐷 = radio adimensional t = tiempo, horas p(r,t) = presión a un radio r y tiempo t k = permeabilidad, md 𝜇 = viscosidad, cp Los grupos adimensionales definidos anteriormente, esto es 𝑝𝐷 , 𝑡𝐷 , 𝑟𝐷 pueden introducirse en la ecuación de difusividad para transformarla en la siguiente forma adimensional:

𝝏𝟐 𝒑𝑫 𝟏 𝝏𝒑𝑫 𝛛𝒑𝑫 + = 𝝏𝒓𝑫 𝟐 𝒓𝑫 𝝏𝒓𝑫 𝛛𝒕𝑫 FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS

4.1.2 SOLUCIÓN DE LA PRESIÓN ADIMENSIONAL, pD van Everdingen y Hurst propusieron una solución analítica para la ecuación anterior suponiendo: • • • •

Sistema radial perfecto El pozo productor se encuentra en el centro y produce a una tasa constante Q. Antes de la producción, la presión del yacimiento es uniforme e igual a Pi. No existe flujo en el radio exterior, re

Estos autores presentaron la solución de la ecuación anterior en forma de series infinitas con términos exponenciales y funciones de Bessel y evaluaron estas series para diferentes valores de 𝑟𝑒𝐷 en un amplio rango de 𝑡𝐷 . Chatas y Lee tabularon en forma conveniente estas soluciones para los siguientes casos: • •

Yacimiento con comportamiento infinito Yacimiento radial finito

FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS

4.1.2 SOLUCIÓN DE LA PRESIÓN ADIMENSIONAL, pD 4.1.2.1 YACIMIENTO CON COMPORTAMIENTO INFINITO Cuando un pozo se abre a producción a una tasa constante de flujo después de un período de cierre, la presión en el pozo comienza a caer y causa un disturbio en la presión que se esparce en el yacimiento. Ahora bien, este comportamiento no se afecta por los límites del yacimiento y la forma del área de drenaje, razón por la cual el flujo transitorio también se denomina estado de comportamiento infinito. Durante este período, la tasa de declinación de la presión en el pozo y la forma como el disturbio de presión se irradia, dependen de características de los fluidos y del yacimiento, tales como: porosidad, permeabilidad, compresibilidad total y viscosidad. Para un yacimiento con un comportamiento infinito, esto es: 𝑟𝑒𝐷 = ∞, la función de caída de presión adimensional 𝑝𝐷 , es estrictamente una función adimensional del tiempo 𝑡𝐷 , o sea:

𝑝𝐷 = 𝑓(𝑡𝐷 ) Chatas y Lee presentan en forma tabulada los valores de pD para un yacimiento con un comportamiento infinito tal como se muestra en la siguiente Tabla:

FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS

4.1.2 SOLUCIÓN DE LA PRESIÓN ADIMENSIONAL, pD

FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS

4.1.2 SOLUCIÓN DE LA PRESIÓN ADIMENSIONAL, pD 4.1.2.1 YACIMIENTO CON COMPORTAMIENTO INFINITO •

Para tD < 0.01:

𝑡𝐷 𝑝𝐷 = 2 𝜋 •

Para tD > 100:

𝑝𝐷 = 0.5 ln 𝑡𝐷 + 0.80907 •

Para 0.02< tD < 1000: 3

+ 𝑎5 𝑡𝐷 + 𝑎6 𝑡𝐷 2 + 𝑎7 𝑡𝐷 3 +

𝑎2 =0.29302022 𝑎5 =-4.7722225(10-4) 𝑎8 =-2.6723117(10-3)

𝑎3 =3.5264177(10-2) 𝑎6 =5.1240532(10-7)

𝑝𝐷 = 𝑎1 + 𝑎2 ln 𝑡𝐷 + 𝑎3 ln(𝑡𝐷 )

2

+ 𝑎4 ln(𝑡𝐷 )

𝑎8 𝑡𝐷

Con los coeficientes 𝑎1 hasta 𝑎8 definidos por:

𝑎1 =0.8085064 𝑎4 =-1.4036304(10-3) 𝑎7 =-2.303301710-10)

FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS

4.1.2 SOLUCIÓN DE LA PRESIÓN ADIMENSIONAL, pD 4.1.2.1 YACIMIENTO RADIAL FINITO La llegada del disturbio de presión al límite de drenaje del pozo marca el final del flujo transitorio y el comienzo de la etapa de flujo semicontinuo. Durante esta etapa, los límites del yacimiento y la forma del área de drenaje influyen en la respuesta de presión del pozo, así como en el comportamiento de la distribución de presión a través del yacimiento. Intuitivamente, no se puede esperar que el cambio de flujo transitorio a flujo semicontinuo en este sistema finito ocurra instantáneamente. De hecho, existe un período corto que separa las dos etapas, denominado última etapa de transición. Debido a su complejidad y corta duración, este flujo de esta etapa no se utiliza en los análisis de presión. Para un sistema radial finito, la función 𝑝𝐷 es una función que depende adimensionalmente del tiempo y del radio, es decir:

𝑝𝐷 = 𝑓(𝑡𝐷 , 𝑟𝑒𝐷 ) Donde: 𝑟𝑒𝐷 =

𝑟𝑒 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 𝑟𝑤 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑧𝑜

La Tabla siguiente presenta valores de 𝑝𝐷 en función de 𝑡𝐷 para 1.5 100 , la función 𝑝𝐷 se relaciona con Ei por la siguiente expresión:

1

𝑝𝐷 = 0.5(−𝐸𝑖 − 4𝑡 ) 𝐷

FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS

4.2 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS COMPRESIBLES La viscosidad y la densidad de un gas varían significativamente con la presión, y por lo tanto, las suposiciones de la ecuación de difusividad no satisfacen los sistemas de gas, esto es, de los fluidos compresibles. Para poder desarrollar una función matemática que describa el flujo de fluidos compresibles en el yacimiento, deben considerarse las siguientes ecuaciones para gases reales: •

Ecuación de densidad:

𝜌= •

𝑝𝑀 𝑧𝑅𝑇

Ecuación de compresibilidad del gas:

1 1 𝑑𝑧 𝑐𝑔 = − 𝑝 𝑧 𝑑𝑝 Combinando estas dos ecuaciones básicas con siguiente:

1𝜕 𝑝 𝜕𝑝 Φμct 𝑝 𝜕p r = r 𝜕r 𝜇𝑧 𝜕𝑟 0.000264k 𝜇𝑧 𝜕t

𝝏𝟐 𝒑 𝝏𝒓𝟐

+

𝟏 𝝏𝒑 𝒓 𝝏𝒓

=

𝜱𝝁𝒄𝒕 𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟐𝟔𝟒𝒌

𝝏𝒑 𝝏𝒕

resulta lo

4.2 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS COMPRESIBLES Al – Hussainy, Ramey y Crawford linealizaron la ecuación anterior introduciendo la definición de potencial para un gas real m(p). Así se tiene: 𝑝

𝑚 𝑝 = 0

2𝑝 𝑑𝑝 𝜇𝑧

Diferenciando la ecuación anterior con respecto a p, resulta:

𝜕𝑚(𝑝) 2𝑝 = 𝜕𝑝 𝜇𝑧 De donde se obtienen las siguientes relaciones aplicando la regla de la cadena:

𝜕𝑚(𝑝) 𝜕𝑚(𝑝) 𝜕𝑝 = 𝜕𝑟 𝜕𝑝 𝜕𝑟 𝜕𝑚(𝑝) 𝜕𝑚(𝑝) 𝜕𝑝 = 𝜕𝑡 𝜕𝑝 𝜕𝑡

4.2 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS COMPRESIBLES Sustituyendo la antepenúltima ecuación en las dos anteriores se tiene:

𝜕𝑝 𝜇𝑧 𝜕𝑚(𝑝) = 𝜕𝑟 2𝑝 𝜕𝑟 𝜕𝑝 𝜇𝑧 𝜕𝑚(𝑝) = 𝜕𝑡 2𝑝 𝜕𝑡 Combinando estas dos ecuaciones para la ecuación de difusividad para los gases se tiene:

𝜕 2 𝑚(𝑝) 1 𝜕𝑚(𝑝) Φμct 𝜕𝑚(𝑝) + = 𝜕𝑟 2 𝑟 𝜕𝑟 0.000264k 𝜕𝑡

Esta última ecuación es la ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD PARA FLUIDOS COMPRESIBLES, la cual relaciona el potencial de un gas real con el tiempo t y el radio r:

4.2 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS COMPRESIBLES

Al Hussainy señala que, en un análisis de pruebas de pozos para un pozo de gas, la solución de tasa constante tiene más aplicaciones prácticas que la solución de presión constante. El autor encontró la solución exacta de la ecuación de difusividad para fluidos compresibles comúnmente conocida como método de la solución m(p). Existen otras dos soluciones que se aproximan a la solución exacta, denominadas: método de las presiones al cuadrado y método aproximado de presión.. En síntesis, existen, pues tres formas de la solución matemática de la ecuación de difusividad:

• • •

El método de la solución m(p) o solución exacta El método de las presiones al cuadrado El método aproximados de presión

4.2 FLUJO RADIAL DE FLUIDOS COMPRESIBLES

Al Hussainy señala que, en un análisis de pruebas de pozos para un pozo de gas, la solución de tasa constante tiene más aplicaciones prácticas que la solución de presión constante. El autor encontró la solución exacta de la ecuación de difusividad para fluidos compresibles comúnmente conocida como método de la solución m(p). Existen otras dos soluciones que se aproximan a la solución exacta, denominadas: método de las presiones al cuadrado y método aproximado de presión.. En síntesis, existen, pues tres formas de la solución matemática de la ecuación de difusividad:

• • •

El método de la solución m(p) o solución exacta El método de las presiones al cuadrado El método aproximados de presión

4.2.1 MÉTODO DE LA SOLUCIÓN m(p) O SOLUCIÓN EXACTA A la ecuación de difusividad para fluidos compresibles se le impone la condición de tasa constante como una de las condiciones de borde para resolverla. Así, Al – Hussainy propone la siguiente solución exacta:

𝑚 𝑝𝑤𝑓

𝑝𝑠𝑐 = 𝑚 𝑝𝑖 − 57895.3 𝑇𝑠𝑐

𝑄𝑔 𝑇 𝑘ℎ

Donde: 𝑝𝑖 = 𝑝𝑒 = presión inicial del yacimiento, lpc 𝑝𝑤𝑓 = presión de flujo fluyendo, lpc 𝑄𝑔 = tasa de flujo del gas, MPCN/día t = tiempo, horas k = permeabilidad, md 𝑐𝑡𝑖 = compresibilidad isotérmica total a pi, lpc-1 𝜇𝑖 = viscosidad del gas a la presión inicial, cp 𝑝𝑠𝑐 = presión en condiciones normales, lpca 𝑇𝑠𝑐 = temperatura en condiciones normales, °R 𝑟𝑤 = radio del pozo, pies h = espesor, pies ∅ = porosidad

𝑙𝑜𝑔

𝑘𝑡 ∅𝜇𝑖 𝑐𝑡𝑖 𝑟𝑤

2

− 3.23

4.2.1 MÉTODO DE LA SOLUCIÓN m(p) O SOLUCIÓN EXACTA La solución de la ecuación de difusividad dada por la ecuaciones anteriores expresa la seudopresión de flujo de fondo de un gas real como una función del tiempo t del flujo transitorio. La solución expresada en términos de m(p) es la expresión matemática recomendada para realizar el análisis de presión en pozos de gas, debido a su aplicabilidad en un amplio rango de presiones. Para el caso de flujo radial de un gas real, la ecuación de difusividad puede expresarse en términos adimensionales de la caída de seudopresión de un gas real 𝜓𝐷 utlizando la siguiente relación:

𝑚 𝑝𝑤𝑓 = 𝑚 𝑝𝑖 −

1422𝑄𝑔 𝑇 𝜓𝐷 𝑘ℎ

Donde: 𝑄𝑔 = tasa de flujo del gas, MPCN/día k = permeabilidad, md La caída de seudopresión adimensional 𝜓𝐷 puede determinarse en función de 𝑡𝐷 usando la expresión apropiada desde ecuaciones anteriores. Cuando 𝑡𝐷 > 100, 𝜓𝐷 puede calcularse aplicando la ecuación:

𝜓𝐷 = 0.5 ln 𝑡𝐷 + 0.80907

4.2.1 MÉTODO DE LA SOLUCIÓN m(p) O SOLUCIÓN EXACTA EJERCICIO 13: Un pozo de gas con un radio de 0.3 pies está produciendo a una tasa constante de 2000 MPCN/día bajo condiciones de flujo transitorio. La presión inicial del yacimiento (presión de cierre) es 4400 lpc a 140°F. La formación tiene una permeabilidad de 65 md y un espesor de 15 pies. La porosidad es de un 15%. Las propiedades del gas en función de presión se presentan a continuación:

Suponiendo que la compresibilidad total inicial es de 3 * 10-4 lpc-1, se desea calcular la presión de flujo en el fondo después de 1.5 horas.

4.2.2 MÉTODO APROXIMADO DE LAS PRESIONES AL CUADRADO En este método, la primera aproximación a la solución exacta se realiza sacando el término que depende de presión (𝜇𝑧) fuera de la integral que definen m(pwf) y m(pi), para dar:

𝑚 𝑝𝑖 − 𝑚 𝑝𝑤𝑓 =

2 𝜇𝑧

𝑝𝑖

𝑝𝑑𝑝 𝑝𝑤𝑓

O bien,

𝑚 𝑝𝑖 − 𝑚 𝑝𝑤𝑓

𝑝𝑖 2 − 𝑝𝑤𝑓 2 = 𝜇𝑧

Donde los valores de viscosidad y del factor de desviación del gas se evalúan a la presión promedio 𝑝, la cual viene dada por:

𝑝=

𝑝𝑖

2

+ 𝑝𝑤𝑓

2

2

4.2.2 MÉTODO APROXIMADO DE LAS PRESIONES AL CUADRADO Combinando la ecuación anterior con las ecuaciones para obtener Pwf se tiene:

𝑝𝑤𝑓

2

1637𝑄𝑔 𝑇𝜇𝑧 = 𝑝𝑖 − 𝑘ℎ

𝑙𝑜𝑔

1637𝑄𝑔 𝑇𝜇𝑧 𝑘ℎ

𝑙𝑜𝑔

2

𝑘𝑡 ∅𝜇𝑖 𝑐𝑡𝑖 𝑟𝑤

2

− 3.23

O bien,

𝑝𝑤𝑓 2 = 𝑝𝑖 2 −

4𝑡𝐷 𝛾

O la expresión equivalente:

𝑝𝑤𝑓 2 = 𝑝𝑖 2 −

1422𝑄𝑔 𝑇𝜇𝑧 𝜓𝐷 𝑘ℎ

Las formas anteriores de la solución aproximada indican que el producto 𝜇 𝑧 se asume constante a la presión promedio 𝑝 . Esto limita la aplicabilidad del método de las presiones al cuadrado a presiones de yacimiento menores de 2000.

4.2.2 MÉTODO APROXIMADO DE LAS PRESIONES AL CUADRADO EJERCICIO 14: Un pozo de gas con un radio de 0.3 pies está produciendo a una tasa constante de 7454.2 MPCN/día bajo condiciones de flujo transitorio. La presión inicial del yacimiento es 1600 lpc a 140°F. La formación tiene una permeabilidad de 50 md y un espesor de 10 pies. La porosidad es de un 20%. Las propiedades del gas en función de presión se presentan a continuación:

Suponiendo que la compresibilidad total inicial es de 6.25 * 10-4 lpc-1, calcule la presión de flujo en el fondo después de 4 horas usando: a) El método m(p) b) El método de las presiones al cuadrado

4.2.3 MÉTODO APROXIMADO DE PRESIÓN El segundo método de aproximación a la solución exacta del flujo radial de gases consiste en tratar el gas como un seudolíquido. Recordemos que el factor volumétrico del gas en la formación expresado en BY/PCN está dado por:

𝐵𝑔 =

𝑝𝑠𝑐 5.615𝑇𝑠𝑐

𝑧𝑇 𝑝

Resolviendo la expresión anterior para p/z, se tiene:

𝑝 𝑇𝑝𝑠𝑐 = 𝑧 5.615𝑇𝑠𝑐

1 𝐵𝑔

La diferencia en la seudopresión de un gas real viene dada por: 𝑝𝑖

𝑚 𝑝𝑖 − 𝑚 𝑝𝑤𝑓 = 𝑝𝑤𝑓

2𝑝 𝑑𝑝 𝜇𝑧

4.2.3 MÉTODO APROXIMADO DE PRESIÓN Combinando las dos expresiones anteriores, resulta:

𝑚 𝑝𝑖 − 𝑚 𝑝𝑤𝑓

2𝑇𝑝𝑠𝑐 = 5.615𝑇𝑠𝑐

𝑝𝑖

𝑝𝑤𝑓

1 𝑑𝑝 𝜇𝐵𝑔

Fetkovich señaló que a presiones elevadas (p>3000), la figura:

1 𝜇𝐵𝑔

es casi constante como se muestra en

4.2.3 MÉTODO APROXIMADO DE PRESIÓN Imponiendo esta condición a la ecuación anterior e integrando se obtiene:

𝑚 𝑝𝑖 − 𝑚 𝑝𝑤𝑓

2𝑇𝑝𝑠𝑐 = 𝑝 − 𝑝𝑤𝑓 5.615𝑇𝑠𝑐 𝜇𝐵𝑔 𝑖

Combinando las ecuaciones anteriores se obtiene:

𝑝𝑤𝑓

162.5 ∗ 103 𝑄𝑔 𝜇𝐵𝑔 = 𝑝𝑖 − 𝑘ℎ

log

𝑘𝑡 − 3.23 𝜑𝜇𝑐𝑡 𝑟𝑤 2

162.5 ∗ 103 𝑄𝑔 𝜇𝐵𝑔 = 𝑝𝑖 − 𝑘ℎ

log

4𝑡𝐷 𝛾

O bien:

𝑝𝑤𝑓

O equivalentemente, en términos de la caída de presión adimensional:

𝑝𝑤𝑓

141.2 ∗ 103 𝑄𝑔 𝜇𝐵𝑔 = 𝑝𝑖 − 𝑝𝐷 𝑘ℎ

4.2.3 MÉTODO APROXIMADO DE PRESIÓN Donde: 𝑝𝑖 = presión inicial del yacimiento, lpc 𝑄𝑔 = tasa de flujo del gas, MPCN/día 𝑡 = tiempo, horas k = permeabilidad, md 𝑡𝐷 = tiempo adimensional 𝐵𝑔 = factor volumétrico promedio del gas en la formación, BY/PCN 𝑝𝐷 = caída de presión adimensional

Es importante observar que las propiedades del gas están evaluadas a la presión promedio definida así:

𝑝=

𝑝𝑖 + 𝑝𝑤𝑓 2

De nuevo, esta fórmula está limitada para presiones mayores de 3000 lpc. Cuando se resuelve para pwf, es suficiente evaluar las propiedades del gas a pi.

4.2.3 MÉTODO APROXIMADO DE PRESIÓN EJERCICIO 15: Repita el ejercicio 13 usando el método de aproximación de presión y compare los resultados con la solución exacta.

5. FLUJO SEMICONTINUO

En el flujo transitorio discutido previamente, se ha supuesto que un pozo está localizado en un yacimiento infinito y produciendo a una tasa de flujo constante, la cual crea un disturbio de presión que viaja a través del yacimiento. Tal como se señaló anteriormente, durante este período de flujo transitorio, los límites del yacimiento no tienen efecto sobre el comportamiento de presión del pozo. Obviamente, el período donde esta suposición puede ser impuesta es, a menudo, muy corto en longitud. Tan pronto como el disturbio de presión alcanza los límites de drenaje, finaliza el régimen de flujo transitorio y comienza un régimen de flujo diferente conocido como FLUJO SEMICONTINUO, en el cual es necesario imponer a la ecuación de difusividad diferentes condiciones de límites a fin de obtener la solución apropiada.

5. FLUJO SEMICONTINUO En la Figura se muestra un pozo en un sistema radial que está produciendo a una tasa constante por un período lo suficientemente largo para afectar el área total de drenaje.

5. FLUJO SEMICONTINUO Durante este período de flujo semicontinuo, el cambio en presión con tiempo es el mismo a través del área de drenaje. La sección (A) en la Figura muestra que la distribución de presión se hace paralela en los períodos sucesivos. Matemáticamente, esta condición tan importante puede expresarse por:

𝜕𝑝 𝜕𝑡

= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑟

La constante referida en la expresión anterior puede obtenerse de un simple balance de materiales usando la definición de compresibilidad, esto es:

𝑐=−

1 𝑑𝑉 𝑉 𝑑𝑝

Arreglando esta ecuación, resulta:

𝑐𝑉𝑑𝑝 = −𝑑𝑉 Diferenciando respecto al tiempo t, se obtiene:

𝑑𝑝 𝑑𝑉 𝑐𝑉 =− =𝑞 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑑𝑝 𝑞 =− 𝑑𝑡 𝑐𝑉

5. FLUJO SEMICONTINUO Si en la relación anterior se expresa la tasa de declinación de presión en lpc/hr, resulta:

𝑑𝑝 𝑞 𝑄𝑜 𝐵𝑜 =− =− 𝑑𝑡 24𝑐𝑉 24𝑐𝑉 Donde: 𝑄𝑜 = tasa de flujo de petróleo, BN/día 𝑡 = tiempo, horas q = tasa de flujo, BY/día dp/dt = tasa de declinación de la presión, lpc/hr V = Vp = volumen poroso, BY Para un sistema radial de drenaje, el volumen poroso viene dado por:

𝜋𝑟𝑒 2 ℎ𝜙 𝐴ℎ𝜙 𝑉 = 𝑉𝑝 = = 5.615 5.615 Combinando las ecuaciones anteriores, se obtiene:

𝑑𝑝 0.23396𝑞 0.23396𝑞 =− = − 𝑑𝑡 𝑐𝑡 𝜋𝑟𝑒 2 ℎ𝜙 𝑐𝑡 𝐴ℎ𝜙

Donde: A = área de drenaje, pie2

5. FLUJO SEMICONTINUO

Examinando la expresión anterior encontramos las siguientes características del comportamiento de la tasa de declinación de presión, dp/dt, durante la etapa de flujo semicontinuo. Esto es: •

• •

La presión del yacimiento declina más rápidamente con un aumento de la tasa de producción de los fluidos. La presión del yacimiento declina más lentamente en yacimientos con mayores coeficientes de compresibilidad total. La presión del yacimiento declina más lentamente en yacimiento con mayores volúmenes porosos.

5. FLUJO SEMICONTINUO EJERCICIO 16: Un pozo de petróleo está produciendo a una tasa constante de 1200 BN/día bajo condiciones de flujo semicontinuo. Los datos de presión del pozo muestran una declinación de la presión a una tasa constante de 4,655 lpc/hr. Se tienen los siguientes datos adicionales: Factor volumétrico del petróleo, BY/BN…………………………..1.3 Porosidad, %......................................................................15 Compresibilidad total, lpc-1……………………………………………..12*10-6 Espesor, pies…………………………………………………………………….25

Calcule el radio de drenaje del pozo.

5. FLUJO SEMICONTINUO Matthews, Brons y Hazebroek señalaron que una vez que el yacimiento está produciendo bajo las condiciones de flujo semicontinuo, cada pozo drenará dentro de sus propios límites independientemente de los otros pozos. Para que esta condición prevalezca, la tasa de declinación de presión dp/dt debe mantenerse aproximadamente constante en todo el yacimiento; si no, el flujo que ocurre a través de los límites causaría un reajuste en sus posiciones. Debido a que la presión en cada punto del yacimiento está cambiando a la misma tasa, se concluye que la presión promedio del yacimiento está cambiando al mismo ritmo. Ésta es esencialmente igual a la presión promedio volumétrico del yacimiento 𝑝𝑟 que se utiliza para representar los cálculos de flujo durante esta etapa de flujo semicontinuo. Por lo antes expuesto, 𝑝𝑟 indica que, en principio, la ecuación anterior obtenida puede ser usada para estimar la tasa de declinación de la presión, dp/dt, mediante la sustitución de ésta por 𝑝𝑖 −𝑝𝑟 , es decir: 𝑡

0.23396𝑞𝑡 𝑝𝑖 − 𝑝𝑟 = 𝑐𝑡 𝐴ℎ𝛷

0.23396𝑞𝑡 𝑝𝑟 = 𝑝𝑖 − 𝑐𝑡 𝐴ℎ𝛷

Donde: 𝑡 = tiempo aproximado transcurrido desde el final del flujo transitorio hasta el tiempo de interés.

5. FLUJO SEMICONTINUO Es importante señalar que cuando se realizan los cálculos de balance de materiales, la presión volumétrica promedio de todo el yacimiento se usa para calcular todas las propiedades. Esta presión puede determinarse del drenaje individual de cada pozo como sigue:

𝑝𝑟 =

𝑖 𝑝𝑟𝑖 𝑉𝑖 𝑖 𝑉𝑖

Donde: 𝑉𝑖 = volumen poroso del volumen de drenaje 𝑖𝑡ℎ 𝑝𝑟𝑖 = presión promedio volumétrica dentro del volumen de drenaje 𝑖𝑡ℎ

La figura ilustra el concepto de la presión volumétrica promedio. En la práctica, los diferentes volúmenes porosos 𝑉𝑖 son difíciles de determinar y, como las tasas de flujo son medidas rutinariamente a través del tiempo de vida del campo, es común usar la tasa de flujo qi en la ecuación penúltima, facilitando de este modo el cálculo de la presión volumétrica promedio. Así se tiene

𝑝𝑟 =

𝑖 𝑝𝑟𝑖 𝑞𝑖 𝑖 𝑞𝑖

5.1. FLUJO RADIAL DE FLUIDO LIGERAMENTE COMPRESIBLES La ecuación de difusividad para flujo transitorio es: 𝜕2 𝑝 𝜕𝑟 2

1 𝜕𝑝

+ 𝑟 𝜕𝑟 =

𝜑𝜇𝐶𝑡 0.000264𝑘

𝜕𝑝 𝜕𝑡

Para el flujo semicontinuo, el termino (𝜕𝑝/𝜕𝑡) es constante y se expresa por la ecuación previamente obtenida. Sustituyendo esta ecuación en la ecuación de difusividad, se obtiene: 𝜕2 𝑝 𝜕𝑟 2

+ 𝑟 𝜕𝑟 =

𝜕2 𝑝 𝜕𝑟 2

+ 𝑟 𝜕𝑟 = −

1 𝜕𝑝

𝜑𝜇𝐶𝑡 0.000264𝑘

1 𝜕𝑝

887.22𝑞𝜇 𝐴ℎ𝑘

−

0.23396𝑞 𝐶𝑡 𝐴ℎ∅

O bien:

La ecuación anterior puede expresarse también de la siguiente forma:

1𝜕 𝜕𝑝 887.22 𝑞𝜇 𝑟 =− 2 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜋𝑟𝑒 ℎ𝑘

5.1. FLUJO RADIAL DE FLUIDO LIGERAMENTE COMPRESIBLES Integrando la ecuación anterior, resulta:

1 𝜕𝑝 887.22 𝑞𝜇 𝑟 2 =− + 𝐶1 2 𝑟 𝜕𝑟 2 𝜋𝑟𝑒 ℎ𝑘 Donde 𝐶1 es la constante de integración y puede ser evaluada imponiendo la condición de limite exterior

𝐶1 =

𝜕𝑝 𝜕𝑟 𝑟𝑒

= 0 en la relación anterior. Se obtiene:

141.2 𝑞𝜇 ℎ𝑘

Combinando las dos expresiones anteriores, resulta

𝜕𝑝 141.2𝑞𝜇 1 𝑟 = − 2 𝜕𝑟 ℎ𝑘 𝑟 𝑟 𝑒 Integrando: 𝑃𝑖

𝑑𝑝 = 𝑃𝑤𝑓

141.2 𝑞𝜇 ℎ𝑘

𝑟𝑒

𝑟𝑤

1 𝑟 − 2 𝑟 𝑟 𝑒

𝑑𝑟

5.1. FLUJO RADIAL DE FLUIDO LIGERAMENTE COMPRESIBLES Resolviendo la integral anterior y considerando que la relación (𝑟𝑤 que se puede eliminar, resulta:

(𝑃𝑖 − 𝑃𝑤𝑓 )=

141.2 𝑞𝜇 ℎ𝑘

𝐼𝑛

𝑟𝑒 𝑟𝑤

2

/ 𝑟𝑒

2

) es tan pequeña

1

−2

Una forma más apropiada para expresar la ecuación anterior es resolver la integral para la tasa de flujo. Así, se obtiene:

0.00708 k h (𝑃𝑖 − Pwf ) Q= re μ β In r − 0.5 w

Donde: Q = es la tasa de flujo, BN/día 𝛽 = el factor volumétrico en la formación, BY/BN. k = la permeabilidad en md.

5.1. FLUJO RADIAL DE FLUIDO LIGERAMENTE COMPRESIBLES La presión volumétrica promedio del yacimiento 𝑃𝑟 se usa comúnmente para calcular la tasa de flujo de líquido bajo condiciones de flujo semicontinuo. Introduciendo esta variable en la ecuación anterior, resulta:

𝑄=

Nótese que:

In

0.00708kh(𝑃𝑟 − Pwf ) r μβ In e − 0.75 rw 0.471 re rw

= In

re rw

- 0.75

Esta observación sugiere que la presión volumétrica promedio 𝑃𝑟 ocurre cerca del 47% del radio de drenaje durante la condición de estado semicontinuo. Es importante señalar que la solución de la presión adimensional 𝑃𝐷 de la ecuación de difusividad puede usarse en la ecuación anterior. La función 𝑃𝐷 para un yacimiento limitado se presentó previamente como:

𝑃𝐷 =

2𝑡𝐷

𝑟𝑒𝐷

2

+ In 𝑟𝑒𝐷 − 0.75

5.1. FLUJO RADIAL DE FLUIDO LIGERAMENTE COMPRESIBLES Donde los tres parámetros adimensionales vienen dados por las siguientes ecuaciones como :

𝑃𝐷 =

(𝑃𝑖 −𝑃𝑤𝑓 ) 𝑄μ β 0.00708 𝑘 ℎ

0.000264 𝑘 𝑡

𝑡𝐷 =

𝑟𝑒𝐷

∅ 𝜇 𝐶𝑡 𝑟𝑤

2

𝑟𝑒 = 𝑟𝑤

Combinando las cuatros relaciones anteriores:

𝑃𝑤𝑓 = 𝑃𝑖 -

𝑄μ β 0.000527 𝑘 𝑡 0.00708 𝑘 ℎ ∅ 𝜇 𝑐 𝑟 2 𝑡 𝑒

+ 𝐼𝑛

𝑟𝑒 𝑟𝑤

− 0.75

5.1. FLUJO RADIAL DE FLUIDO LIGERAMENTE COMPRESIBLES Resolviendo la ecuación de presión volumétrica de yacimiento para el tiempo t, resulta:

t

𝑐 𝐴 ℎ ∅ (𝑃 −𝑃 ) = 𝑡 0.23396 𝑖𝑄 β𝑟

=

𝑐𝑡 (𝜋 𝑟𝑒

2

) ℎ ∅ (𝑃𝑖 −𝑃𝑟 )

0.23396 𝑄 β

Combinando las dos expresiones anteriores y resolviendo para la tasa de flujo 𝑄, se obtiene finalmente: 0.00708 𝑘 ℎ(𝑃𝑟 − 𝑃𝑤𝑓 )

𝑄=

𝑟

𝜇β 𝐼𝑛 𝑟 𝑒 − 0.75 𝑤

Es importante recordar que el flujo semicontinuo ocurre sin considerar la geometría del yacimiento. Sin embargo, las geometrías irregulares solo alcanzan este flujo cuando ellas han sido producidas lo suficiente como para que el área de drenaje total haya sido afectada. Por esta razón, en lugar de desarrollar una ecuación separada para cada geometría, Ramey y Cobb introdujeron un factor de corrección denominado factor de forma, 𝐶𝐴 , diseñado para tomar en cuenta la desviación del área de drenaje de una forma circular ideal. El factor de forma, como se muestra en la Tabla 7.5, presentada en Earlougher toma en cuenta la locación del pozo dentro del área de drenaje

5.1. FLUJO RADIAL DE FLUIDO LIGERAMENTE COMPRESIBLES

5.1. FLUJO RADIAL DE FLUIDO LIGERAMENTE COMPRESIBLES

5.1. FLUJO RADIAL DE FLUIDO LIGERAMENTE COMPRESIBLES

5.1. FLUJO RADIAL DE FLUIDO LIGERAMENTE COMPRESIBLES

5.1. FLUJO RADIAL DE FLUIDO LIGERAMENTE COMPRESIBLES Introduciendo 𝐶𝐴 en la ecuación (Pi – Pwf)y resolviéndola, se obtienen las siguientes dos soluciones:

•

En términos de la presión promedio volumétrica, 𝑃𝑟 :

𝑃𝑤𝑓 =𝑃𝑟 − •

162.6 𝑄 𝛽 𝜇 4𝐴 log 2 𝐾ℎ 1.781 𝐶𝐴 𝑟𝑤

En términos de la presión inicial del yacimiento, 𝑃𝑖

∶

La ecuación (Pi – Pwf) que muestra los cambios de la presión promedio del yacimiento en función de tiempo y de la presión inicial 𝑃𝑖 , es:

𝑃𝑟 =𝑃𝑖 −

0.23396 𝑞 𝑡 𝐶𝑡 𝐴 ℎ ∅

5.1. FLUJO RADIAL DE FLUIDO LIGERAMENTE COMPRESIBLES Combinando esta ecuación con la ecuación anterior, resulta:

𝑃𝑤𝑓 = 𝑃𝑖 −

0.23396𝑄𝛽𝑡 𝐶𝑡 𝐴 ℎ ∅

−

162.6 𝑄 𝛽 𝜇 4𝐴 log 2 𝐾ℎ 1.781 𝐶𝐴 𝑟𝑤

Donde

Q= la tasa de flujo, BN/día K= la permeabilidad, md A= área de drenaje, 𝑝𝑖𝑒𝑠 2 𝐶𝐴 = factor de forma, horas 𝐶𝑡 = Coeficiente total de compresibilidad, 𝑙𝑝𝑐 −1

Ahora bien, si la antepenúltima ecuación se resuelve para la tasa de flujo Q, se obtiene:

Q=

k h (𝑃𝑟 − 𝑃𝑤𝑓 ) 162.6 𝛽 𝜇 log

4𝐴 1.781 𝐶𝐴 𝑟𝑤

2

5.1. FLUJO RADIAL DE FLUIDO LIGERAMENTE COMPRESIBLES Si esta ecuación se aplica a un yacimiento circular de radio 𝑟𝑒 , entonces A = 𝜋 𝑟𝑒 de forma 𝐶𝐴 correspondiente a un área de drenaje circular, según la Tabla es:

2

y el factor

𝐶𝐴 = 31.62 En consecuencia, esta ecuación, se reduce a:

𝑃𝑤𝑓 = 𝑃𝑟 −

𝑄𝜇β 0.00708 𝑘 ℎ

𝐼𝑛

𝑟𝑒 − 0.75 𝑟𝑤

Obsérvese que el procedimiento descrito nos conduce a una ecuación idéntica a la ecuación vista anteriormente.

5.1. FLUJO RADIAL DE FLUIDO LIGERAMENTE COMPRESIBLES EJERCICIO 17 Un pozo de petróleo está desarrollado siguiendo un patrón cuadrado de 40 acres y está produciendo a una tasa constante de 800 BN/día bajo condiciones de flujo semicontinuo. El yacimiento tiene las siguientes propiedades:

Presión inicial del yacimiento, lpc………………….4500 Viscosidad, cp……………………………………………….1.5 Factor volumétrico del petróleo, BY/BN…………1.2 Porosidad, %...................................................15 Compresibilidad total, 𝒍𝒑𝒄−𝟏 …………………………25 x 𝟏𝟎−𝟔 Espesor, pies………………………………………...........30 Permeabilidad, md…………………………………………200 Radio del pozo, pies……………………………………....0.25 a) Calcule y construya el gráfico de presión de flujo de fondo en función de tiempo. b) Basándose en el gráfico anterior. Calcule la tasa de declinación de la presión. c) Estime la declinación de la presión promedio del yacimiento para un intervalo de tiempo entre 10 y 200 horas.

5.1. FLUJO RADIAL DE FLUIDO LIGERAMENTE COMPRESIBLES EJERCICIO 18 Un pozo de petróleo está produciendo a una presión de flujo constante de 1500 lpc. La presión actual del yacimiento, pr, es 3200 lpc. El pozo está desarrollado en el centro de un cuadrado cuya área es 40 acres. Con los siguientes datos adicionales, estime la tasa de flujo:

Factor volumétrico del petróleo, BY/BN…………1.15 Porosidad, %...................................................16 Compresibilidad total, 𝒍𝒑𝒄−𝟏 …………………………10 x 𝟏𝟎−𝟔 Espesor, pies………………………………………...........15 Viscosidad, cp………………………………………………..26 Permeabilidad, md…………………………………………50 Radio del pozo, pies……………………………………....0.25

5.2 FLUJO RADIAL DE FLUIDO COMPRESIBLES La ecuación de difusividad para flujo radial se desarrolló para estudiar el comportamiento de un fluido compresible bajo condiciones de flujo semicontinuo. La ecuación tiene la forma: 𝜕2 𝑚(𝑝) 𝜕𝑟 2

1 𝜕𝑚(𝑝) 𝜑𝜇𝐶𝑡 𝜕𝑚(𝑝) = 𝜕𝑟 0.000264𝑘 𝜕𝑡

+𝑟

Para el estado de flujo semicontinuo, la tasa de cambio de la seudopresión de un gas real con respecto al tiempo es constante, esto es: 𝜕𝑚(𝑝) 𝜕𝑡

= constante

Usando la misma técnica descrita anteriormente para describir los líquidos, se obtiene la siguiente solución exacta de la ecuación de difusividad:

𝑘ℎ 𝑚 𝑝𝑟 − 𝑚 𝑝𝑤𝑓 𝑄𝑔 = 𝑟 1422𝑇 ln 𝑟𝑒 − 0.75 𝑤

Donde: 𝑄𝑔 = tasa de flujo del gas, MPCN/día T = temperatura, °R k = permeabilidad, md

5.2.1 MÉTODO APROXIMADO DE LA PRESIÓN AL CUADRADO Como se ha dicho previamente, este método proporciona resultados compatibles cuando los valores de presión son menores de 2000 lpc. La solución tiene la siguiente forma:

2

2

𝑄𝑔 =

𝑘ℎ(𝑝𝑟 − 𝑝𝑤𝑓 ) 𝑟 1422𝑇 𝜇 𝑧 ln 𝑟𝑒 − 0.75 𝑤

Las propiedades del gas, 𝜇 y 𝑧 son evaluadas a 𝑝, donde:

𝑝=

𝑝𝑟 2 + 𝑝𝑤𝑓 2

2

5.2.2 MÉTODO APROXIMADO DE PRESIÓN Este método de aproximación es aplicable para presiones mayores de 3000 lpc y tiene la siguiente fórmula matemática:

𝑘ℎ(𝑝𝑟 − 𝑝𝑤𝑓 ) 𝑄𝑔 = 𝑟 1422𝑇𝜇 𝐵𝑔 ln 𝑟𝑒 − 0.75 𝑤 Con las propiedades del gas evaluadas a 𝑝, en este caso definida por:

𝑝𝑟 + 𝑝𝑤𝑓 𝑝= 2 Donde: 𝑄𝑔 = tasa de flujo del gas, MPCN/día k = permeabilidad, md 𝐵𝑔 = factor volumétrico del gas en la formación, BY/BN

El factor volumétrico del gas en la formación viene dado por la siguiente expresión:

𝑧𝑇 𝐵𝑔 = 0.00504 𝑝

6. FACTOR DE DAÑO

Al derivar las ecuaciones de flujo, se han considerado las siguientes suposiciones: • •

Permeabilidad uniforme a través del área de drenaje Flujo viscoso y laminar

Antes de utilizar cualquiera de estas ecuaciones de flujo, las mismas deben modificarse para tomar en cuenta las posibles desviaciones a las suposiciones señaladas, las cuales pueden eliminarse introduciendo los siguientes factores de corrección en la solución de dichas ecuaciones:

• •

Factor de daño Factor de flujo turbulento

6. FACTOR DE DAÑO Durante operaciones de completación y reacondicionamiento de pozos es posible que entren a la formación filtrados de lodo, mezclas de cemento o partículas de arcilla que reducen la permeabilidad alrededor del pozo. Este efecto, es comúnmente referido como daño (skin) del pozo y la región alterada de la formación se conoce como zona de daño, la cual puede extenderse desde unas pocas pulgadas hasta varios pies desde el pozo. En otros casos, los pozos son estimulados, bien acidificándolos o fracturándolos, con el fin de incrementar la permeabilidad cerca del pozo. En consecuencia, la permeabilidad alrededor del pozo siempre es diferente a la que existe a varios pies de la formación que no ha sido afectada por la perforación o la estimulación.

FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS

6. FACTOR DE DAÑO Los factores que causan daño en la formación pueden producir una caída adicional de presión durante el flujo durante el flujo, la cual se conoce como Pskin . En general, el efecto resultante de la alteración de la permeabilidad se conoce como efecto de daño o estimulación. En la figura se muestra las diferencias en la zona de daño cuando ocurre esta caída adicional de presión comparando tres posibles resultados:

• Pskin  0 , indica una caída de presión adicional debido a que ocurre daño alrededor del pozo, esto es: k skin  k • Pskin  0 ,indica una disminución de presión debido a que ocurre un mejoramiento alrededor del pozo, esto es: k skin  k • Pskin  0 , indica que no ocurre cambio alrededor del pozo, esto es: k skin  k

6. FACTOR DE DAÑO Hawkins mostró que la permeabilidad en la zona de daño, esto es k skin es uniforme y que la caída de presión a través de la zona puede aproximarse por la ecuación de Darcy, para lo cual propuso el siguiente planteamiento: Pskin  0  (p en la zona de daño debido a k skin )  (p en la zona de daño debido a k )

Aplicando la ecuación de Darcy, resulta:    rskin   Qo Bo  o   rskin  Qo Bo  o     pskin    ln   ln   0.00708 k skin h   rw   0.00708 kh   rw 

O bien:   k  r  Qo Bo  o pskin    1 ln  skin    0.00708 k skin h  k skin   rw 

Donde: k = permeabilidad de la formación, md k skin = permeabilidad de la zona de daño, md

6. FACTOR DE DAÑO La expresión anterior para determinar la caída adicional de presión en la zona de daño se expresa comúnmente de la siguiente forma:  QB  Q B   pskin   o o o  s  141 .2 o o o  s  0.00708 kh   kh 

Donde s es el factor de daño definido por:  k  r  s    1 ln  skin   k skin   rw 

La ecuación anterior tiene un significado que depende del signo del factor de daño s. Existen tres posibilidades: • Factor de daño positivo: s > 0. Cuando existe una zona de daño alrededor del pozo k skin  k y, por lo tanto, s es un número positivo. La magnitud del factor de daño aumenta a medida que k skin disminuye y que la profundidad del daño rskin aumenta. hhh • Factor de daño negativo: s < 0. Cuando la permeabilidad alrededor del pozo es mayor que la permeabilidad de la formación k skin  k y, por tanto, s es negativo. Este factor negativo indica un mejoramiento de las condiciones alrededor del pozo.

• Factor de daño cero: s = 0. Cuando no existe una alteración de la permeabilidad alrededor del pozo el factor de daño es cero y, por lo tanto k skin  k .

6. FACTOR DE DAÑO La última ecuación obtenida indica que un factor de daño negativo dará como resultado un valor negativo de pskin .Esto implica que un pozo estimulado requerirá menos caída de presión para producir a una tasa q equivalente a la de un pozo con permeabilidad uniforme.

La modificación propuesta en las ecuaciones anteriores se basa en el concepto de que la caída p ideal de presión total aumentará o disminuirá por una cantidad pskin . Suponiendo que hhhhh representa la caída de presión para un área de drenaje con permeabilidad uniforme k, entonces: (p) actual  (p)ideal  (p) skin

O bien:

( pi  pwf ) actual  ( pi  pwf )ideal  (p) skin El concepto anterior expresado por medio de la ecuación anterior puede aplicarse a todos los regímenes de flujo previos para tomar en cuenta la zona de daño alrededor del pozo; así, las ecuaciones resultantes para los siguiente casos son:

6.1 FLUJO RADIAL CONTINUO Sustituyendo la ecuación ecuación anterior resulta:

y

 Qo Bo  o   re   Qo Bo  o  ( pi  pwf ) actual   ln     s    0.00708 kh   rw   0.00708 kh  O bien:

Qo 

0.00708 kh( pi  pwf )   re     s  r   w 

 o Bo ln 

en la

6.2 FLUJO RADIAL TRANSITORIO 6.2.1 Para fluidos ligeramente compresibles. Sustituyendo la ecuación en la ecuación anterior resulta:

O bien:

y

y

6.2 FLUJO RADIAL TRANSITORIO 6.2.1 Para fluidos compresibles. Un enfoque similar al del caso anterior resulta:

Y, en términos de la aproximación de presiones al cuadrado:

6.3 FLUJO RADIAL SEMICONTINUO 6.3.1 Para fluidos ligeramente compresibles.

Introduciendo el concepto de factor de daño en la ecuación resultado

da como

6.3 FLUJO RADIAL SEMICONTINUO 6.3.2 Para fluidos compresibles.

O en términos de las presiones al cuadrado:

6. FACTOR DE DAÑO Mattews y Russell para tratar el efecto de daño introdujeron el término radio efectivo o aparente del pozo rwa y lo definen por medio de la siguiente ecuación:

rwa  rwe s Todas la ecuaciones de flujo radial pueden modificarse para introducir el efecto de daño, simplemente sustituyendo el radio del pozo rw por rwa. Por ejemplo:

pi  pwf

  Qo Bo o    kt   162.6  3.23 log 2    kh    ct rwa  

7. FACTOR DE FLUJO TURBULENTO Todas las ecuaciones presentadas hasta ahora se basan en la suposición de que, durante el flujo, las condiciones que predominan son las de flujo laminar. Sin embargo, durante el flujo radial, la velocidad aumenta a medida que se acerca a la boca del pozo, pudiendo causar flujo turbulento a su alrededor, en cuyo caso es probable que existan también gases, lo cual causa una caída de presión adicional parecida a la causada por el factor de daño. Este efecto se conoce en la industria con el término flujo no Darcy. Al designar como  la caída de seudopresión adicional de los gases reales debido al flujo turbulento, la caída total de presión vendrá dada por:

( ) actual  ( )ideal  ( ) daño  ( ) no Darcy Wattenbarger y Ramey propusieron la siguiente expresión para calcular

 T g  2 ( ) no Darcy  3.161 1012  Qg 2  h r  gw w 

( ) no Darcy

7. FACTOR DE FLUJO TURBULENTO La expresión anterior puede expresarse mas convenientemente así: ( ) no Darcy  FQg2

donde F es el coeficiente de flujo no Darcy y viene dado por:

F= 3.161𝑥10−12 Donde: 𝑄𝑔 𝜇𝑔𝑤 𝛾𝑔 h F 𝛽

𝛽𝑇𝛾𝑔 𝜇𝑔𝑤 ℎ2 𝑟𝑤

es la tasa de flujo de gas en MPCN/día. es la viscosidad del gas evaluada en el pozo a la presión 𝑝𝑤𝑓 en cp. es la gravedad especifica del gas. es el espesor en pies. es el coeficiente de flujo no Darcy en 𝑙𝑝𝑐 2 /𝑐𝑝 / (𝑀𝑃𝐶𝑁/𝑑í𝑎)2 . es el parámetro de turbulencia

7. FACTOR DE FLUJO TURBULENTO Jones propuso la siguiente expresión matemática para estimar el parámetro de turbulencia 𝛽:

𝛽 = 1.88(10−10 )𝑘 −1.47 𝜙 −0.53

Donde: K es la permeabilidad absoluta en md 𝜙 es la porosidad en fracción. El término F𝑄𝑔 2 puede incluirse en todas las ecuaciones de flujo de gas compresible en la misma forma que el factor de daño y se interpreta como una tasa dependiente del daño. Las modificaciones en las ecuaciones de flujo de gas para tomar en cuenta la condición de flujo turbulento se detallan a continuación.

7. FACTOR DE FLUJO TURBULENTO 7.1. Flujo radial no continuo o transitorio. La ecuación de flujo de gas para flujo radial no continuo está dada por la primera ecuación mostrada y puede ser modificada para incluir la caída de presión adicional:

1637𝑄𝑔 𝑇 𝑘𝑡 m(𝑝𝑤𝑓 )=𝑚 𝑝𝑖 − 𝑙𝑜𝑔 − 3.23 + 0.87𝑠 𝑘ℎ 𝜙𝜇𝑖 𝑐𝑡𝑖 𝑟𝑤 2 m(𝑝𝑖 )−m(𝑝𝑤𝑓 )=

1637𝑄𝑔 𝑇 𝑘𝑡 2 𝑙𝑜𝑔 − 3.23 + 0.87𝑠 + F𝑄 𝑔 𝑘ℎ 𝜙𝜇𝑖 𝑐𝑡𝑖 𝑟𝑤 2

Esta ecuación se escribe más convenientemente así:

1637𝑄𝑔 𝑇 𝑘𝑡 m(𝑝𝑖 )−m(𝑝𝑤𝑓 )= 𝑙𝑜𝑔 − 3.23 + 0.87𝑠 + 0.87𝐷𝑄𝑔 𝑘ℎ 𝜙𝜇𝑖 𝑐𝑡𝑖 𝑟𝑤 2 Donde el termino 𝐷𝑄𝑔 representa la tasa de flujo que depende del factor de daño. El coeficiente D se denomina factor de flujo turbulento o de inercia y está dada por:

𝐷=

𝐹𝑘ℎ 1422𝑇

7. FACTOR DE FLUJO TURBULENTO 7.1. Flujo radial no continuo o transitorio.

El verdadero factor de daño, s, que refleja el daño o la estimulación de la formación es usualmente combinado con la tasa no Darcy dependiendo del daño y se conoce como factor de daño total o aparente, s´. Por lo tanto:

𝑠´ = 𝑠 + 𝐷𝑄𝑔

7.2. Flujo radial semicontinuo. Las dos ecuaciones siguientes pueden modificarse para tomar en cuenta el factor de flujo turbulento. Así se tiene:

𝑘ℎ 𝑝𝑟 2 − 𝑝𝑤𝑓 2 𝑄𝑔 = 𝑟 1422𝑇 𝜇𝑧 𝐿𝑛 𝑟𝑒 − 0.75 + 𝑠 𝑤

𝑘ℎ 𝑚 𝑝𝑟 − 𝑚(𝑝𝑤𝑓 ) 𝑄𝑔 = 𝑟 1422𝑇 𝐿𝑛 𝑒 − 0.75 + 𝑠 𝑟𝑤

𝑘ℎ 𝑚 𝑝𝑟 − 𝑚(𝑝𝑤𝑓 ) 𝑄𝑔 = 𝑟 1422𝑇 𝐿𝑛 𝑟𝑒 − 0.75 + 𝑠 + 𝐷𝑄𝑔 𝑤 O en términos de la aproximación de las presiones al cuadrado:

𝑘ℎ 𝑝𝑟 2 − 𝑝𝑤𝑓 2 𝑄𝑔 = 𝑟 1422𝑇 𝜇𝑧 𝐿𝑛 𝑟𝑒 − 0.75 + 𝑠 + 𝐷𝑄𝑔 𝑤 Donde el coeficiente D es definido similarmente por:

𝐷=

𝐹𝑘ℎ 1422𝑇

7.3. Flujo radial continuo. Similarmente a las modificaciones presentadas en los casos anteriores, las ecuaciones siguientes pueden expresarse en este caso de la siguiente manera:

𝑘ℎ(𝑝𝑒 2 − 𝑝𝑤𝑓 2 ) 𝑄𝑔 = 𝑟 1422𝑇(𝑢𝑔 𝑧)𝐿𝑛 𝑟𝑒 𝑤

𝑘ℎ(𝜓𝑟 − 𝜓𝑤𝑓 ) 𝑄𝑔 = 𝑟 1422𝑇 𝐿𝑛 𝑟𝑒 − 0.5 𝑤

𝑘ℎ 𝑚 𝑝𝑖 − 𝑚 𝑝𝑤𝑓 𝑄𝑔 = 𝑟 1422𝑇 𝐿𝑛 𝑟𝑒 − 0.5 + 𝑠 + 𝐷𝑄𝑔 𝑤 𝑘ℎ(𝑝𝑒 2 − 𝑝𝑤𝑓 2 ) 𝑄𝑔 = 𝑟 1422𝑇 𝑢𝑧 𝐿𝑛 𝑟𝑒 − 0.5 + 𝑠 + 𝐷𝑄𝑔 𝑤 Donde D se define por la ecuación siguiente:

𝐷=

𝐹𝑘ℎ 1422𝑇

8. PRINCIPIOS DE SUPERPOSICIÓN Las soluciones de la ecuación de difusividad presentadas anteriormente son aplicables solamente para describir la distribución de presión en un yacimiento infinito, causada por la producción constante de un solo pozo. Como un sistema real de un yacimiento usualmente tiene varios pozos operando a diferentes tasa, se requiere una aproximación generalizada para estudiar el flujo de fluidos durante el período de flujo no continuo o transitorio. El principio de superposicón es una herramienta poderosa que se puede aplicar para eliminar las restricciones impuestas a las diferentes expresiones encontradas para el flujo transitorio. Matemáticamente este principio establece que cualquier suma de soluciones individuales de la ecuación de difusividad es también una solución de la ecuación. Este concepto puede aplicarse para tomar en cuenta los siguientes efectos en la solución de flujo transitorio:

• • •

Efectos de múltiples pozos Efectos de tasas de flujo variables Efectos de los límites del yacimiento

El principio de superposición también se usa en el caso de presión constante en el límite exterior.

8.1 EFECTOS DE MÚLTIPLES POZOS Frecuentemente, se requiere tomar en cuenta los efectos de más de un pozo sobre la presión en el mismo punto del yacimiento. El concepto de superposición establece que la caída de presión total en cualquier punto del yacimiento es la suma de los cambios de presión en ese punto, causados por el flujo de cada uno de los pozos en el yacimiento. En otras palabras, se superpone el efecto de uno sobre otro. En la Figura se muestran tres pozos que producen a diferentes tasas en un yacimiento infinito, esto es, bajo condiciones de flujo transitorio.

8.1 EFECTOS DE MÚLTIPLES POZOS Según el principio de superposición la caída de presión total observada en cualquiera de los pozos, por ejemplo, en el pozo 1 es:

(∆𝑝)𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑝𝑜𝑧𝑜 1 = (∆𝑝)𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑧𝑜 1 +(∆𝑝)𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑧𝑜 2 +(∆𝑝)𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑧𝑜 3 La caída de presión en el pozo 1 debido a su propia producción se calcula por la aproximación logarítmica de la solución de la función Ei presentada por la ecuación

𝑝𝑖 − 𝑝𝑤𝑓 = ∆𝑝

𝑝𝑜𝑧𝑜1

= 162.6

Donde: Qoi = tasa de flujo del pozo 1 t = tiempo, horas k = permeabilidad, md s = factor de daño

𝑄𝑜1 𝐵𝑜 𝜇𝑜 𝑘𝑡 𝑙𝑜𝑔 − 3.23 + 0.87𝑠 𝑘ℎ ∅𝜇𝑐𝑡 𝑟𝑤 2

8.1 EFECTOS DE MÚLTIPLES POZOS Por su parte, la caída de presión en el pozo 1 debido a la producción de los pozos 2 y 3, debe escribirse en términos de la función 𝐸𝑖 expresada por la ecuación original. La aproximación logarítmica no puede usarse debido a que se está calculando la presión a una distancia r muy grande del pozo, esto es: el argumento x>0.01 o sea: ∞ −𝑢 𝑒 𝑑𝑢

𝐸𝑖 −𝑥 =

𝑥

𝑢

𝑥 𝑥2 𝑥3 = 𝐿𝑛 𝑥 − + − +. . 1! 2 2! 3 3!

𝑄𝑜1 𝐵𝑜 𝜇𝑜 𝑘𝑡 𝑙𝑜𝑔 − 3.23 + 0.87𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑧𝑜 1 𝑘ℎ 𝜙𝜇𝑐𝑡 𝑟𝑤 2 70.6𝑄𝑜2 𝐵𝑜 𝜇𝑜 948𝜙𝜇𝑐𝑡 𝑟1 2 70.6𝑄𝑜3 𝐵𝑜 𝜇𝑜 948𝜙𝜇𝑐𝑡 𝑟2 2 − 𝐸𝑖 − − 𝐸𝑖 − 𝑘ℎ 𝑘𝑡 𝑘ℎ 𝑘𝑡

𝑝𝑖 − 𝑝𝑤𝑓 = ∆𝑝

= 162.6

Donde 𝑄𝑜1 , 𝑄𝑜2 y 𝑄𝑜3 son las tasas de producción de los pozos 1,2 y 3, respectivamente . Esta aproximación puede utilizarse para calcular la presión en los pozos 2 y 3. Además, puede extenderse para incluir cualquier número de pozos fluyendo bajo las condiciones de flujo no continuo . Es importante señalar que si el punto de interés es un pozo en operación, el factor de daño se incluye solamente para este pozo.

8.1 EFECTOS DE MÚLTIPLES POZOS

Otra expresión que también puede utilizarse para aproximar la función Ei en el rango 0.01