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• Consolación Ruiz

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17/6/2020

MCS2 Final

MCS2

Nombre: Apellidos:

1.- La tabla es la matriz asociada a un sistema de ecuaciones lineales, di para qué valores de a el sistema es compa ble y resuélvelo cuando lo sea. a-2

-3

-3

-3

-4

a-2

-4

0

8

7

a+9

-3

El determintante de la matriz de coeficientes no se anula para a≠ -1 -2 -2. Para estos valores se puede resolver por Cramer:

x=

-3 -3 0 a-2 -3 7 a-2 -4 8

-3 -4 a+9

-3 a-2 7

y=

-3 -4 a+9

a-2 -4 8

-3 -3 0 -4 -3 a+9

a-2 -4 8

-3 a-2 7

-3 -4 a+9

z=

a-2 -4 8 a-2 -4 8

-3 a-2 7 -3 a-2 7

-3 0 -3 -3 -4 a+9

Para a=-1 -2 -2 Se sus tuye a en la matriz total del sistema y resulta, para cada valor de a, un sistema sin parámetros que se puede resolver por el método de Gauss en esta página Si a =-1 -3

-3

-3

-3

-4

-3

-4

0

8

7

8

-3

Mul plicamos las filas que sea necesario por -1 para que todos los términos de la columna empiecen por posi vos

3 3 3 3 4 3 4 0 8 7 8 -3

Hacemos ceros en la primera columna restando a cada fila una proporcional a la Fila1 A Fila2 por 3 le restamos la Fila1 por 4 A Fila3 por 3 le restamos la Fila1 por 8

3 3 3 3 0 -3 0 -12 0 -3 0 -33 Se repite el proceso con la matriz sin sombrear:

3 3 3 3 0 -3 0 -12 0 -3 0 -33 www.solin.16mb.com/MCS2tareas/examenesmcs2/1resultado.php

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Mul plicamos las filas que sea necesario por -1 para que todos los términos de la columna empiecen por posi vos

3 3 3 3 0 3 0 12 0 3 0 33

Hacemos ceros en la primera columna restando a cada fila una proporcional a la Fila2 A Fila3 le restamos la Fila2

3 3 3 3 0 3 0 12 0 0 0 21 Se repite el proceso con la matriz sin sombrear:

3 3 3 3 0 3 0 12 0 0 0 21

Ha acabado la transformación, el rango de la matriz total es 3 el rango de la matriz de coeficientes es 2 Sistema Incompa ble, Sin solución Si a =-2 -4

-3

-3

-3

-4

-4

-4

0

8

7

7

-3

Mul plicamos las filas que sea necesario por -1 para que todos los términos de la columna empiecen por posi vos

4 3 3 3 4 4 4 0 8 7 7 -3

Hacemos ceros en la primera columna restando a cada fila una proporcional a la Fila1 A Fila2 le restamos la Fila1 A Fila3 le restamos la Fila1 por 2

4 3 3 3 0 1 1 -3 0 1 1 -9 Se repite el proceso con la matriz sin sombrear: www.solin.16mb.com/MCS2tareas/examenesmcs2/1resultado.php

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4 3 3 3 0 1 1 -3 0 1 1 -9

Hacemos ceros en la primera columna restando a cada fila una proporcional a la Fila2 A Fila3 le restamos la Fila2

4 3 3 3 0 1 1 -3 0 0 0 -6 Se repite el proceso con la matriz sin sombrear:

4 3 3 3 0 1 1 -3 0 0 0 -6

Ha acabado la transformación, el rango de la matriz total es 3 el rango de la matriz de coeficientes es 2 Sistema Incompa ble, Sin solución

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2.- Dibuja el recinto definido por las inecuaciones: x>0

y>0

2 x + y ≤ 14

x + 3 y ≤ 12

Maximiza y mininiza en él la función z = 4 x + 5 y

El mínimo se alcanza en (x = 0, y = 0) min = 0 El máximo se alcanza en (x = 6 , y= 2) Max = 34

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3.- Halla los valores de a y b para que la función f(x) sea con nua y derivable. Dibuja la gráfica de y=f(x) para dichos valores. a0=0 a1=-1 Calcula para esos valores de a y b el área comprendida entre y=f(x) e y=3 y las rectas x=-3 y x=1

ax + b Si x ϵ (-∞, -1) −x2 − 2x − 2 Si x ϵ[-1, +∞) Solución Calculemos f'(x):

a Si x ϵ (-∞, -1) −2x − 2 Si x ϵ(-1, +∞) Debido a que las dos funciones de cada tramo de f(x) son con nuas y derivables, para que f lo sea basta con que

2 f(-1-)=f(-1+) → a·(-1)+b=−( − 1) − 2( − 1) − 2 f '(-1-)=f '(-1+)→ a=−2( − 1) − 2 La solución de este sistema es:

a = 0 b = -1 GRÁFICA DE y=f(x)

El área pedida es

|∫

1 −3

|

(ƒ(x) − (3))dx y es igual

a la suma del trozo rojo y el azul Trozo rojo= TR =

|∫

−1 (ƒ(x) − (3))dx −3 −1 = ∫−3 ( − 4)dx

|

|

| = |∫

−1 ( − 1 − (3))dx −3

|

I(x) = −4x > > TR = | I( − 1) − I( − 3) | = | 4 − 12 | = 8 www.solin.16mb.com/MCS2tareas/examenesmcs2/1resultado.php

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Trozo azul=TA =

|∫ |∫

1 −1 1 −1

|

(ƒ(x) − (3))dx = ( − x2 − 2x − 5)dx 3

|

2

I(x) =  −1x +  −2x + −5x > > TA = 3 2 | I(1) − I( − 1) | ∼ 10.667 El área pedida es ∼ 18.667

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4.- Se pide el dominio, corte con los ejes, asíntotas, derivada, intervalos de crecimiento, máximos y mínimos de y=f(x)

ƒ(x) =   −8x

( x − 2)2

Dominio = IR-2 Corta al eje X en 0. Corta al eje Y en 0 Asíntota ver cal en x=2 f(2-)=- y f(2+)=Asíntota horizontal en y=0, pues al dividir -8 x entre (x -2)2 el cociente es 0, si consideramos el divisor y el resto de esta división, el signo de R(x) =   resto =   −8x en +inf y en -inf indica si la curva va por encima o debajo de la asíntota divisor (x − 2)2 cuando x-->inf y cuando x-->-inf: R(+inf) = -, R(-inf) = + Dibujamos los datos hallados hasta ahora:

2 Derivada: ƒ'(x) =  −8 · ( x − 2 ) − 2 ( x − 2 ) ( −8x ) (x − 2 )4

Simplificamos por (x -2): ƒ'(x) =  −8 ( x − 2 ) − 2 ( −8x ) ( x − 2)3

ƒ'(x) =  8x + 16

(x − 2)3

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Crecimiento Resolvemos la inecuación 8x + 16 > 0 y resulta f es creciente en (-inf,-2)U(2, +inf) .   ( x − 2)3 Máximos y mínimos locales Se alcanzan en los valores de x tales que f'(x)=0, luego cuando 8x + 16 = 0 es decir x=-2 y observando el crecimiento, vemos que este es un Máximo local. GRÁFICA DE   −8x (x − 2)2

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5.- En la prueba acceso a la universidad en cierta comunidad autónoma se puede elegir realizar una de las tres opciones: A, B, C. El porcentaje de aprobados (a) fue del 30.14 %. El 2.65 % de los aprobados eligieron la opción A. El 0.6 % de los aprobados eligieron la opción B y el resto de aprobados eligió la opción C. El 21.76 % de los suspensos eligieron la opción A. El 4.04 % de los suspensos eligieron la opción B y el resto de suspensos eligió la opción C.

2.65 0.6 30.14

96.75

69.86

21.76 4.04 74.21

p(A)= p(a) · p(A/a) + p(b) · p(A/b) = 0.3014 · 0.0265 + 0.6986 · 0.2176 = 0.16 p(a/A) = p(a y A) / p(A) = p(A/a) · p(a) / p(A) = 0.0265 · 0.3014 / 0.16 = 0.05 p(a y A) = p(A/a) · p(a) = 0.0265 · 0.3014 = 0.008 p(a) = 0.3014 p(a o A) = p(a) + p(A) - p(a y A) = 0.3014 + 0.16 - 0.008 = 0.4534 a y A ¿Son dependientes? Solo si p(a)= p(a/A), a y A son independientes. a y A son dependientes, pues p(a) y p(a/A) son diferentes a y A ¿Se favorecen? Solo si p(a/A)>p(a). se desfavorecen pues p(a/A) p(A/a) = 0.0265

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6.-

La asistencia anual al cine de los habitantes de determinada ciudad sigue una distribución normal con desviación pica 8. Una muestra aleatoria de 256 personas da como resultado una cifra media de 45.5 asistencias al año. A. Obtener el intervalo de confianza del 99.74 % para la asistencia media anual. zc se ob ene mirando en la tabla (1+Nc)/2=0.9987 --> zc=3 --> error= 3 • 8 / 256 = 1.5 IC = (45.5-1.5, 45.5-1.5) = (44, 47) B. ¿Cuál es el tamaño mínimo que debe tener la muestra para que el error come do al es mar la media con un nivel de confianza del 59.9 % sea un cuarto del obtenido en el apartado anterior? error = 1.5 / 4 = 0.375 zc se ob ene mirando en la tabla (1+Nc) / 2 = 0.7995 --> zc=0.84 0.375 = 0.84 • 8 / x --> x = 0.84 • 8 / 0.375 = 18 La muestra será de al menos 182 personas, es decir, 324 personas

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