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• Consolación Ruiz

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3/6/2020

MCS2 Final

Nombre:

MCS2

Apellidos:

1.- La tabla es la matriz asociada a un sistema de ecuaciones lineales, di para qué valores de a el sistema es compa ble y resuélvelo cuando lo sea. a-1

0

3

-3

-3

a-2

3

-3

-2

-2

2

a

El determintante de la matriz de coeficientes no se anula para a≠ -2 -1 . Para estos valores se puede resolver por Cramer:

x=

-3 -3 a

0 a-2 -2

a-1 -3 -2

0 a-2 -2

3 3 2

y=

3 3 2

a-1 -3 -2

-3 -3 a

3 3 2

a-1 -3 -2

0 a-2 -2

3 3 2

z=

a-1 -3 -2

0 a-2 -2

-3 -3 a

a-1 -3 -2

0 a-2 -2

3 3 2

Para a=-2 -1 Se sus tuye a en la matriz total del sistema y resulta, para cada valor de a, un sistema sin parámetros que se puede resolver por el método de Gauss en esta página Si a =-2 -3

0

3

-3

-3

-4

3

-3

-2

-2

2

-2

Mul plicamos las filas que sea necesario por -1 para que todos los términos de la columna empiecen por posi vos

3 0 -3 3 3 4 -3 3 2 2 -2 2

Hacemos ceros en la primera columna restando a cada fila una proporcional a la Fila1 A Fila2 le restamos la Fila1 A Fila3 por 3 le restamos la Fila1 por 2

3 0 -3 3 0 4 0 0 0 6 0 0 Se repite el proceso con la matriz sin sombrear:

3 0 -3 3 0 4 0 0 0 6 0 0 www.solin.16mb.com/MCS2tareas/examenesmcs2/1resultado.php

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Hacemos ceros en la primera columna restando a cada fila una proporcional a la Fila2 A Fila3 por 2 le restamos la Fila2 por 3

3 0 -3 3 0 4 0 0 0 0 0 0 Se repite el proceso con la matriz sin sombrear:

3 0 -3 3 0 4 0 0 0 0 0 0

Ha acabado la transformación, el rango de la matriz total es 2 el rango de la matriz de coeficientes es 2 Sistema Compa ble Indeterminado, grado de indeterminación = 1 Resolvemos Escribimos el sistema asociado a esta matriz, dejando en el primer miembro de cada ecuación solo la primera incógnita de cada fila 3 x1 = 3 + 3x3 4 x2 = 0 + 0 x3 Despejamos x1 = 3/3 + 3/3 x3 x2 = 0/4 + 0 x3 Hay una incógnita por determinar: x3. Escribimos la solución ordenada, así se ve que es una subvariedad lineal a n de dimensión 1, que pasa por el vector que determina la constante de la solución y de directores los coeficientes de cada incógnita sin determinar. Es decir, en la solución ordenada, la primera columna define un punto de la solución y el resto de columnas dan los vectores directores de la solución.

x1=

3  3

+  3 x3

x2=

0  4

+0 x3

x3 =

0

+1 x3

3

Simplificamos x1=

1

+1 x3

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x2= x3 =

+0 x3 0

+1 x3

Si a =-1 -2

0

3

-3

-3

-3

3

-3

-2

-2

2

-1

Mul plicamos las filas que sea necesario por -1 para que todos los términos de la columna empiecen por posi vos

2 0 -3 3 3 3 -3 3 2 2 -2 1

Hacemos ceros en la primera columna restando a cada fila una proporcional a la Fila1 A Fila2 por 2 le restamos la Fila1 por 3 A Fila3 le restamos la Fila1

2 0 -3 3 0 6 3 -3 0 2 1 -2 Se repite el proceso con la matriz sin sombrear:

2 0 -3 3 0 6 3 -3 0 2 1 -2

Hacemos ceros en la primera columna restando a cada fila una proporcional a la Fila2 A Fila3 por 3 le restamos la Fila2

2 0 -3 3 0 6 3 -3 0 0 0 -3 Se repite el proceso con la matriz sin sombrear:

2 0 -3 3 0 6 3 -3 0 0 0 -3

Ha acabado la transformación, el rango de la matriz total es 3 el rango de la matriz de coeficientes es 2 www.solin.16mb.com/MCS2tareas/examenesmcs2/1resultado.php

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Sistema Incompa ble, Sin solución

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2.- Dibuja el recinto definido por las inecuaciones: x>0

y>0

3 x + y ≥ 12

y≤9x

Maximiza y mininiza en él la función z = 6 x + 4 y

El mínimo se alcanza en (x = 4, y = 0) min = 24 El máximo se alcanza en (x = NO , y= NO) Max = +inf

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3.- Halla los valores de a y b para que la función f(x) sea con nua y derivable. Dibuja la gráfica de y=f(x) para dichos valores. a0=-1 a1=0.5 Calcula para esos valores de a y b el área comprendida entre y=f(x) e y=-13 y las rectas x=0 y x=5

ax + b Si x ϵ (-∞, 2) 0.5x2 − 3x − 4 Si x ϵ[2, +∞) Solución Calculemos f'(x):

a Si x ϵ (-∞, 2) x − 3 Si x ϵ(2, +∞) Debido a que las dos funciones de cada tramo de f(x) son con nuas y derivables, para que f lo sea basta con que

2 f(2-)=f(2+) → a·(2)+b=0.5(2) − 3(2) − 4 f '(2-)=f '(2+)→ a=(2) − 3 La solución de este sistema es:

a = -1 b = -6 GRÁFICA DE y=f(x)

El área pedida es

|∫ (ƒ(x) − ( − 13))dx | y es 5 0

igual a la suma del trozo rojo y el azul Trozo rojo= TR =

|∫ (ƒ(x) − ( − 13))dx | = |∫ ( − x − 6 − ( − 13))dx | = |∫ ( − x + 7)dx | 2 0 2 0 2 0

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2

I(x) =  −1x + 7x > > TR = | I(2) − I(0) | = 2

| 12 − 0 | = 12 Trozo azul=TA =

|∫ (ƒ(x) − ( − 13))dx | = |∫ (0.5x2 − 3x + 9)dx | 5 2 5 2

3

2

I(x) =  0.5x +  −3x + 9x > > TA = 3 2 | I(5) − I(2) | ∼ 15 El área pedida es ∼ 27

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4.- Se pide el dominio, corte con los ejes, asíntotas, derivada, intervalos de crecimiento, máximos y mínimos de y=f(x)

ƒ(x) =  −4x³ + x² − 2 = −4x + 1 −  2 x²

x²

Dominio = IR-{0} Corta al eje X en las soluciones de la cúbica -4x³+ x²-2 = 0. No corta al eje Y Asíntota ver cal en x=0 f(0-)=- y f(0+)=Asíntota oblicua en y=-4x+1, pues al dividir -4x³+ x²-2 entre x2 el cociente es -4x +1 , si consideramos el divisor x² y el resto de esta división (-2), el signo de R(x) = resto = −2 en +inf y en -inf indica si la curva va por encima o debajo  divisor   x² de la asíntota cuando x-->inf y cuando x-->-inf: R(+inf) = -, R(-inf) = Dibujamos los datos hallados hasta ahora:

2 · −2 ) = −4x³ + 4 Derivada: ƒ'(x) = −4 −   (   x³ x³ Crecimiento Resolvemos la inecuación −4x³ + 4 > 0 y resulta f es creciente en (0,1) .   x³ Máximos y mínimos locales Se alcanzan en los valores de x tales que f'(x)=0, luego cuando −4x³ + 4 = 0 es decir

x=

√3  −4 −4

=1

y observando el crecimiento, vemos que este es un máximo local. www.solin.16mb.com/MCS2tareas/examenesmcs2/1resultado.php

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GRÁFICA DE ƒ(x) = −4x³ + x² − 2 = −4x + 1 − 2    x² x²

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5.- En la prueba acceso a la universidad en cierta comunidad autónoma se puede elegir realizar una de las tres opciones: A, B, C. El porcentaje de aprobados (a) fue del 35.36 %. El 38.18 % de los aprobados eligieron la opción A. El 8.14 % de los aprobados eligieron la opción B y el resto de aprobados eligió la opción C. El 6.96 % de los suspensos eligieron la opción A. El 9.47 % de los suspensos eligieron la opción B y el resto de suspensos eligió la opción C.

38.18 8.14 35.36

53.68

64.64

6.96 9.47 83.57

p(A)= p(a) · p(A/a) + p(b) · p(A/b) = 0.3536 · 0.3818 + 0.6464 · 0.0696 = 0.18 p(a/A) = p(a y A) / p(A) = p(A/a) · p(a) / p(A) = 0.3818 · 0.3536 / 0.18 = 0.75 p(a y A) = p(A/a) · p(a) = 0.3818 · 0.3536 = 0.135 p(a) = 0.3536 p(a o A) = p(a) + p(A) - p(a y A) = 0.3536 + 0.18 - 0.135 = 0.3986 a y A ¿Son dependientes? Solo si p(a)= p(a/A), a y A son independientes. a y A son dependientes, pues p(a) y p(a/A) son diferentes a y A ¿Se favorecen? Solo si p(a/A)>p(a). se favorecen pues p(a/A)>p(a) p(A/a) = 0.3818

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6.-

Los gastos diarios de una familia en una ciudad siguen una distribución normal de desviación pica 12.5 euros. Para es mar el gasto medio se elige una muestra de 625 familias. ¿Con qué nivel de confianza debe realizarse la es mación si el error come do es de 0.4 euros? √ U lizamos la fórmula error = zc ·   σ --> 0.4 = zc ·   12.5 --> zc = 0.4 ·   625 = 0.4 ·   25 = 0.8 12.5 12.5 √n √ 625

1 + Nc Mirando en las tablas concluimos que p(z