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• Mariela Rojas Rojas

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ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

CARRERA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

CURSO: ANALISIS ESTRUCTURAL II

TEMA: MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL DE UN PORTICO

PROFESOR: ING. HUGO ALBERTO SALAZAR CORREA

ALUMNA: MARIELA ROJAS ROJAS

TURNO: TARDE

AULA: 108

AÑO: 2018 – 1

Análisis Estructural II

MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL DE UN PÓRTICO

En un pórtico de varios pisos, la matriz de rigidez total es una operación repetitiva de ensambles de matrices de los elementos, sean estas vigas, columnas, muros o arriostres, como se muestra en la Figura 2. Para obtener la matriz de rigidez lateral se harán las mismas suposiciones que en la situación anterior, por ejemplo, los desplazamientos laterales son iguales a nivel de cada piso (deformaciones axiales no consideradas) y las acciones de inercia rotacionales no son tomadas en cuenta, solamente las acciones horizontales. Además, el modelo sería más apropiado para edificios de baja a mediana altura, en los cuales los efectos de las deformaciones axiales son poco considerables.

Análisis Estructural II

La matriz de rigidez total es representada por una serie de submatrices.

Desarrollando matricialmente las particiones (efectuando la condensación estática):

Luego, la rigidez lateral está dada por la expresión matricial:

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RIGIDEZ LATERAL DE PORTICOS

Durante el movimiento de una edificación por la acción sísmica, las solicitaciones sobre aquella son realmente de dirección diversa. Se ha llegado a considerar que el movimiento del suelo tiene seis componentes de movimiento independientes, tres traslacionales y tres rotacionales. Dentro de estas componentes, las traslacionales en las direcciones horizontales suelen ser tomadas en cuenta, en forma independiente, para fines de tener condiciones de carga en los análisis, dado que por lo general son los más importantes.

En el caso de un pórtico plano, la sola consideración de un movimiento traslacional de la base implicaría la aparición de acciones de inercia traslacionales y rotacionales. Sin embargo, los giros ocasionados son relativamente pequeños, por lo que las acciones rotacionales también lo son y prácticamente no influyen en los efectos finales sobre la estructura, tanto a nivel de desplazamientos como de fuerzas internas. Por esta razón, se considera una acción de inercia traslacional, por lo que la "fuerza" sísmica tiene, para fines de análisis, un sentido horizontal.

Sea el pórtico plano simple, sometido a la acción de una fuerza horizontal F, que representa la acción sísmica. La deformación axial de los elementos no se considera apreciable, de modo que los tres grados de libertad del sistema consisten en un desplazamiento lateral y dos giros en los nudos superiores.

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MATRIZ DE RIGIDEZ ESPACIAL “SE” EN PÓRTICOS

Una estructura espacial puede ser considerada como un ensamble de pórticos planos, la hipótesis fundamental es la relativa a las losas de piso, las cuales son consideradas como cuerpos rígidos que conectan a los pórticos.

La ecuación que determina la matriz de rigidez espacial se representa mediante:

Donde: Ai - Matriz de compatibilidad de deformaciones para el pórtico “i” Ait - Matriz de compatibilidad transpuesta de deformaciones para el pórtico “i” SLi - Matriz de rigidez lateral del pórtico “i”

n - Número de pórticos de la estructura

Contribución de un pórtico plano a la matriz SE:

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Simplificando la escritura de cada submatriz, la matriz de rigidez SE también puede escribirse de la siguiente manera:

6.3.1. Rigidez Lateral Supongamos la siguiente columna empotrada, sujeta a un desplazamiento lateral Por equilibrio: V = 12 E I I h3 Siendo: kc = II h Ko Se obtiene: V = (1 2 E Ko I h2) kc Multiplicando por: a = 1 Resulta: V = (12 E Ko I h2) (a kc) Se define a la Rigidez Lateral Absoluta (K o Da) como aquella fuerza cortante (V) capaz de originar un desplazamiento lateral unitario, relativo entre los extremos de la columna, bajo esta definición se obtiene:

Rigidez Lateral Absoluta= K= Da =Vid= (12 E Ko I h2) a k e= Do (a kc) =Do D Donde Do es la denominada Rigidez Lateral Estándar (con unidades de fuerza entre longitud, usualmente ton I cm) calculada como: Rigidez Lateral Estándar= Do= 12 E Ko/h2 La Rigidez Lateral Estándar depende de la altura de cada columna, pero, como usualmente las columnas que conforman un entrepiso tienen la misma altura, entonces esas columnas tendrán el mismo valor Do. Por otro lado, se define a la Rigidez Lateral Relativa (adimensional) al valor:

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Rigidez Lateral Relativa= D= K/Do = a kc

El coeficiente "a" contempla el grado de empotramiento que tiene la columna en sus extremos; para el caso que la columna esté empotrada (vigas muy rígidas) el valor de "a" es 1. En cambio, si la columna está biarticulada "a" es cero (no tiene rigidez lateral, o no opone resistencia al desplazamiento lateral); por otro lado, si la columna está articulada en su base (por ejemplo, zapata sobre un suelo muy blando) y empotrada en su extremo superior (vigas rígidas). Se demostrará que "a" es ¼ Por equilibrio: V = 3 E : o I no> = 12 E Ka kc b / (4 h2 ) Siendo: Do = 1 2 E Ko / h2

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CÁLCULO DEL COEFICIENTE "a" A través de una serie de comparaciones contra resultados obtenidos mediante métodos matriciales, Muto recomienda emplear las siguientes fórmulas para calcular "a": - Columnas que Pertenecen a Entrepisos Superiores al Primero Si k ~ El método es válido sólo cuando Ji ~ 0.2, de lo contrario, la fórmula resulta imprecisa. El valor k es menor que 0.2 cuando las vigas son muy flexibles en relación con la columna (vigas chatas). o cuando la columna trata de transformarse en una placa.

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Subcasos para las Columnas del Primer Piso a.- Base Semiempotrada Aparte de existir vigas de cimentación (Ve). La rigidez aportada por los pilotes o el suelo de cimentación ( Ke ) se contempla mediante la expresión:

Cuando la base de la columna esté semiempotrada, el valor que se obtenga de "a", deberá ser inferior al caso en que la base esté empotrada (subcaso "b").

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Conclusiones

1. El conocimiento del parámetro llamado rigidez lateral es fundamental para la determinación de muchos parámetros mecánicos de un pórtico, sin cuyo valor nada podría hacerse para calcular el periodo de vibración, por ejemplo. 2. Se ha desarrollado un método general para determinar la rigidez lateral de un pórtico rectangular axialmente rígido y que trabaja en el rango elástico, empleando fórmulas y métodos algebraicos en vez de métodos matriciales, pero deducidos de éstos, fundamentalmente del método estático de condensación de la matriz de rigidez.

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