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I.

PRESENTACIÓN

II.

INTRODUCCIÓN

En la carrera de ingeniería civil es importante tener conocimientos teóricos y prácticos para comprender el comportamiento estructural de cualquier edificación, teniendo consideración a los desplazamientos que eventualmente se da una serie de puntos; y los esfuerzos puntuales efectivos. El enfoque de comprender el método de una matriz de rigidez lateral está orientado al caso de edificaciones ante acciones laterales, sean fuerzas externas o movimientos en la base. En primer lugar, se revisarán los conceptos de rigidez lateral a partir de una simplificación del análisis en lo que se refiere, para la representación de una edificación. Los análisis pueden realizarse considerando un comportamiento lineal fuerza y desplazamiento

del

material;

eventualmente

pueden

considerarse

comportamientos no lineales para los análisis tiempo e historia. Es decir, la estructura está sometida a diferentes cargas y expuesta a diferentes oscilaciones que podría tener efectos relativos; es por ello que se realizan el análisis del comportamiento con uno de estos métodos de análisis estructural más común, incluyendo efectos de segundo orden (denominado también no linealidad geométrica), es decir, la consideración de esfuerzos adicionales debidos a la modificación de los ejes causada por las deformaciones. Las oscilaciones se producen en los elementos o sistemas estructurales debido a que tienen masas, elasticidad y una capacidad de amortiguamiento manifestado en diversas formas. Para realizar un análisis de la respuesta de estos sistemas se parte de algunas simplificaciones, con las que se aborda el problema de manera más sencilla y a menudo suficiente para fines prácticos de ingeniería.

ÍNDICE

I.

PRESENTACIÓN ........................................................................................ 1

II. INTRODUCCIÓN ......................................................................................... 2 III.

OBJETIVOS: ............................................................................................ 4

1.1. Objetivo principal ................................................................................... 4 2.1. Objetivo secundario............................................................................... 4 IV.

MARCO TEÓRICO ................................................................................... 5

3.1. Definición ............................................... Error! Bookmark not defined. V.

Conclusiones ............................................................................................ 5

III.

OBJETIVOS:

Objetivo principal  Importancia del conocimiento para determinar los parámetros de la matriz de rigidez lateral.

Objetivo secundario  Forma o método para calcular la rigidez lateral en una estructura que es sometida a un esfuerzo manteniendo el rango elástico.

IV.

MARCO TEÓRICO

Matriz de rigidez lateral Uno de los modelos más utilizados para el análisis sísmico espacial de edificios es el considerar tres grados de libertad por planta, que implica suponer que la losa es completamente rígida en su plano. Realmente se trata de un pseudo análisis espacial ya que se trabaja con pórticos planos unidos por una losa rígida pero es muy utilizado en el mundo. Para obtener la matriz de rigidez lateral se harán las mismas suposiciones que en la situación anterior, por ejemplo, los desplazamientos laterales son iguales a nivel de cada piso (deformaciones axiales no consideradas) y las acciones de inercia rotacionales no son tomadas en cuenta, solamente las acciones horizontales. Además, el modelo sería más apropiado para edificios de baja a mediana altura, en los cuales los efectos de las deformaciones axiales son poco considerables.

La matriz de rigidez total es representada por una serie de submatrices.

Desarrollando matricialmente las particiones (efectuando la condensación estática):

Luego, la rigidez lateral está dada por la expresión matricial:

Rigidez lateral de pórticos Durante el movimiento de una edificación por la acción sísmica, las solicitaciones sobre aquella son realmente de dirección diversa. Se ha llegado a considerar que el movimiento del suelo tiene seis componentes de movimiento independientes, tres traslacionales y tres rotacionales. Dentro de estas componentes, las traslacionales en las direcciones horizontales suelen ser tomadas en cuenta, en forma independiente, para fines de tener condiciones de carga en los análisis, dado que por lo general son los más importantes. En el caso de un pórtico plano, la sola consideración de un movimiento traslacional de la base implicaría la aparición de acciones de inercia traslacionales y rotacionales. Sin embargo, los giros ocasionados son relativamente pequeños, por lo que las acciones rotacionales también lo son y prácticamente no influyen en los efectos finales sobre la estructura, tanto a nivel de desplazamientos como de fuerzas internas. Por esta razón, se considera una acción de inercia traslacional, por lo que la "fuerza" sísmica tiene, para fines de análisis, un sentido horizontal. Sea el pórtico plano simple, sometido a la acción de una fuerza horizontal F, que representa la acción sísmica. La deformación axial de los elementos no se considera apreciable, de modo que los tres grados de libertad del sistema consisten en un desplazamiento lateral y dos giros en los nudos superiores.

Rigidez Lateral Supongamos la siguiente columna empotrada, sujeta a un desplazamiento lateral Por equilibrio: V = 12 E I I h3 Siendo: kc = II h Ko Se obtiene: V = (1 2 E Ko I h2) kc Multiplicando por: a = 1 Resulta: V = (12 E Ko I h2) (a kc) Se define a la Rigidez Lateral Absoluta (K o Da) como aquella fuerza cortante (V) capaz de originar un desplazamiento lateral unitario, relativo entre los extremos de la columna, bajo esta definición se obtiene: Rigidez Lateral Absoluta= K= Da =Vid= (12 E Ko I h2) a k e= Do (a kc) =Do D Donde Do es la denominada Rigidez Lateral Estándar (con unidades de fuerza entre longitud, usualmente ton I cm) calculada como: Rigidez Lateral Estándar= Do= 12 E Ko/h2 La Rigidez Lateral Estándar depende de la altura de cada columna, pero, como usualmente las columnas que conforman un entrepiso tienen la misma altura, entonces esas columnas tendrán el mismo valor Do. Por otro lado, se define a la Rigidez Lateral Relativa (adimensional) al valor: Rigidez Lateral Relativa= D= K/Do = a kc

El coeficiente "a" contempla el grado de empotramiento que tiene la columna en sus extremos; para el caso que la columna esté empotrada (vigas muy rígidas) el valor de "a" es 1. En cambio, si la columna está biarticulada "a" es cero (no tiene rigidez lateral, o no opone resistencia al desplazamiento lateral); por otro lado, si la columna está articulada en su base (por ejemplo, zapata sobre un suelo muy blando) y empotrada en su extremo superior (vigas rígidas). Se demostrará que "a" es ¼ Por equilibrio: V = 3 E : o I no> = 12 E Ka kc b / (4 h2 ) Siendo: Do = 1 2 E Ko / h2

Cálculo del coeficiente "a" A través de una serie de comparaciones contra resultados obtenidos mediante métodos matriciales, Muto recomienda emplear las siguientes fórmulas para calcular "a": - Columnas que Pertenecen a Entrepisos Superiores al Primero Si k ~ El método es válido sólo cuando Ji ~ 0.2, de lo contrario, la fórmula resulta imprecisa. El valor k es menor que 0.2 cuando las vigas son muy flexibles en relación con la columna (vigas chatas). o cuando la columna trata de transformarse en una placa.

Subcasos para las Columnas del Primer Piso a.- Base Semiempotrada Aparte de existir vigas de cimentación (Ve). La rigidez aportada por los pilotes o el suelo de cimentación ( Ke ) se contempla mediante la expresión: Cuando la base de la columna esté semiempotrada, el valor que se obtenga de "a", deberá ser inferior al caso en que la base esté empotrada (subcaso "b").

Desarrollo Matriz de rigidez lateral: Se define matriz de rigidez lateral, KL a la matriz de rigidez asociada a las coordenadas laterales de piso. ¿Cómo se calcula la matriz de rigidez lateral? Se calcula mediante la condensación estática

Coordenadas generalizadas

Coordenadas laterales

4.4.1. Existen tres formas de encontrar la matriz de rigidez condensada:  La primera involucra la inversión de una matriz.  La segunda implica la solución de un conjunto de ecuaciones lineales  La tercera, que es la más se utiliza, mediante la eliminación de Gauss.

4.4.2. Cálculo de matriz de rigidez lateral mediante la condensación estática En el sistema de coordenadas de una estructura, se puede diferenciar un grupo de coordenadas a las que se denomina ``coordenadas a'', que en el ejemplo siguiente es la uno y las restantes, a las que se denomina "coordenadas b''.

Coordenadas Generalizadas

Coordenadas laterales

La ecuación básica de análisis estático

Al reemplazar Q y q y al trabajar con submatrices, la matriz de rigidez de la estructura, también estará particionada, de la siguiente forma:

La condensación estática de la matriz de rigidez se da cuando Qa o Qb son ceros.

Este caso se presenta cuando el vector Qb=0.

Luego:

Sea KL la matriz de rigidez condensada a las coordenadas "a".

V.

Conclusiones

El conocimiento del parámetro llamado rigidez lateral es fundamental para la determinación de muchos parámetros mecánicos de un pórtico, sin cuyo valor nada podría hacerse para calcular el periodo de vibración, por ejemplo. Se ha desarrollado un método general para determinar la rigidez lateral de un pórtico rectangular axialmente rígido y que trabaja en el rango elástico, empleando fórmulas y métodos algebraicos en vez de métodos matriciales, pero deducidos de éstos, fundamentalmente del método estático de condensación de la matriz de rigidez.