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• Jesús Fernandez Santiago

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UNIDAD 1: MATRICES 2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS II

1.- CONCEPTO DE MATRIZ. 1.1. Definición. Las matrices son una de las herramientas más usadas dentro del Álgebra Lineal y están asociadas a un conjunto de datos numéricos ordenados. Encontramos matrices en muchas ciencias: Sociología, Economía, Demografía, Física, Biología, etc. La idea intuitiva de matriz es muy sencilla, pudiéndose definir una matriz como una tabla de números ordenados, números que pueden provenir de experimentos, encuestas, análisis económicos, etc. Por tanto: Se llama matriz de orden m x n a un conjunto de números reales dispuestos en m filas y en n columnas, de la forma:

⎛a a ... a1n ⎞ ⎜ 11 12 ⎟ ⎜a ⎟ a ... a 21 22 2n ⎜ ⎟ A = ⎜ ! ! " ! ⎟ ⎜ ⎟ ⎜a ⎟ ⎝ m1 am2 ... amn ⎠ Las matrices se representan por letras mayúsculas A, B, C, … Los elementos de la matriz (los números) se representan en general por aij , donde los subíndices (i, j) nos dan la posición que

⎧i = 1, 2,..., m → fila ocupa el término: ⎨ ⎩ j = 1, 2,..., n → columna Así, el término a13 es el elemento que está en la primera fila y en la tercera columna. 1.2. Dimensión de una matriz. El número de filas (m) y el número de columnas (n) nos da la dimensión de la matriz m × n . Ejemplo:

1.3. Igualdad de matrices. Dos matrices son iguales si tienen la misma dimensión y si los términos que ocupan la misma posición son iguales: ⎛a a a13 ⎞ 11 12 ⎟ A =⎜ ⎜a ⎟ ⎝ 21 a22 a23 ⎠

⎛b b b13 ⎞ 11 12 ⎟ B =⎜ ⎜b ⎟ ⎝ 21 b22 b23 ⎠

⎧ a11 = b11; a21 = b21 ⎪ A = B ⇒ ⎨ a12 = b12 ; a22 = b22 ⇒ aij = bij ⎪ ⎩ a13 = b13; a23 = b23

1

Profesora: María Sánchez Boyero

UNIDAD 1: MATRICES 2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS II

⎛a Ejemplo: Si A = ⎜ ⎜1 ⎝

−1 y

4⎞ ⎟ − 9 ⎟⎠

⎛3 b 4⎞ ⎟ , para que A = B debe cumplirse que: y B =⎜ ⎜x 5 z⎟ ⎝ ⎠ ⎧⎪ a = 3; b = −1

A = B ⇒ ⎨

⎪⎩ x = 1; y = 5; z = −9



Ejercicios: Indicar la dimensión de las siguientes matrices:

⎛5 A =⎜ ⎜1 ⎝

4⎞ ⎟ − 9 ⎟⎠

−1 7

(

B= 3 2

−6

0

)

⎛0⎞ ⎜ ⎟ C = ⎜1 ⎟ ⎜2⎟ ⎝ ⎠

⎛ 0 0 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ D = 0 1 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜1 0 0 ⎟ ⎝ ⎠

La matriz A es de dimensión 2 x 3 porque tiene dos filas y 3 columnas. La matriz B es de dimensión 1 x 4 porque tiene una fila y 4 columnas. La matriz C es de dimensión 3 x 1 porque tiene 3 filas y 1 columna. La matriz D es de dimensión 3 x 3 porque tiene 3 filas y 3 columnas. Determina los valores de a, b y c para que las matrices A y B sean iguales.

(

A = 3 a

−6 b

(

)

B= x

)

2 y 0

Para que dos matrices sean iguales deben tener la misma dimensión, requisito que cumplen A y B. Además, han de ser iguales los términos que ocupan la misma posición. Por tanto debe ser: x = 3 a = 2 y = - 6 b = 0 2.- TIPOS DE MATRICES.

Si el número de filas es distinto del número de columnas ( m ≠ n ) la matriz se llama rectangular. Dentro de las matrices rectangulares tenemos los siguientes tipos: • Matriz fila: Es aquella que sólo tiene una fila.

(

A = 3

2

)

−6 5

• Matriz columna: Es la que sólo tiene una columna. ⎛0⎞ ⎜ ⎟ C = ⎜1 ⎟ ⎜2⎟ ⎝ ⎠ Si el número de filas es igual al número de columnas ( m = n) se habla de una matriz cuadrada. Dentro de las matrices cuadradas es importante destacar que los elementos aij en los que los dos subíndices son iguales forman la diagonal principal, y los elementos principales en que i + j= n + 1 (donde n es el orden de la matriz) forman la diagonal secundaria. 2

Profesora: María Sánchez Boyero

UNIDAD 1: MATRICES 2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS II Diagonal secundaria

Diagonal principal En el conjunto Mn de las matrices cuadradas de orden n, cabe destacar los siguientes tipos de matrices: • Matriz triangular: Es aquella matriz en la que los elementos situados por encima o por debajo de la diagonal principal son nulos. ⎛ ⎞ ⎛1 2 ⎞ 1 0 0 ⎟ 3 ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 4 −1 ⎟ ⎜ 2 −1 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 − 2⎟ ⎜3 2⎠ ⎝0 0 ⎝ ⎠ Matriz Triangular Superior Matriz Triangular Inferior • Matriz Diagonal: Es aquella matriz en la que los elementos que no están en la diagonal principal son nulos aij = 0 si i ≠ j .

⎛1 0 0 ⎞ ⎛1 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 4 0 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 0 2⎟ ⎜0 0 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ • Matriz Escalar: Es aquella matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son todos iguales. ⎛2 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 2 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 0 2⎟ ⎝ ⎠ • Matriz Unidad (Identidad): Es la matriz escalar en la que los elementos no nulos son iguales a 1. Se representa por I. ⎛1 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ I 3 = 0 1 0 ⎟ En ocasiones se añade un subíndice que indica la dimensión de la matriz. ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 1⎟ ⎝ ⎠

⎛ 0 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ • Matriz Nula: Es aquella en la que todos sus elementos son cero. ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3

Profesora: María Sánchez Boyero

UNIDAD 1: MATRICES 2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS II

Ejercicio: Clasifica las matrices siguientes: ⎛ 1 0 1 ⎞ a) A = ⎜ ⎟ Es rectangular de dimensión 2 x 3. ⎝ 2 1 0 ⎠

⎛ 0 2 1 ⎞ ⎜ ⎟ b) B = ⎜ 1 0 −1 ⎟ Es cuadrada de dimensión 3 x 3. ⎜ 0 4 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎜ c) C = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

2 −1 1 1 ⎞ ⎟ 0 0 1 0 ⎟ Es cuadrada de dimensión 4. 2 1 1 1 ⎟ 0 0 0 1 ⎟⎠

⎛ 0 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ d) D = ⎜ 0 0 0 ⎟ Es una matriz cuadrada de 3 x 3, matriz nula de dicha dimensión. ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠

(

e) E = 1 0 4 7

) Matriz fila de dimensión 1 x 4.

3.- OPERACIONES CON MATRICES. 3.1. Suma. Dadas dos matrices A y B de dimensión m x n, se define la suma de matrices (A + B) como aquella matriz cuyos elementos son la suma de los elementos que ocupan la misma posición: C = A + B cij = aij + bij

⎛ a a12 11 ⎜ a21 a22 ⎝

A = ⎜

⎛ b a13 ⎞ b ⎟ B = ⎜ 11 12 ⎜ b21 b22 a23 ⎟⎠ ⎝

⎛ a +b b13 ⎞ a12 + b12 ⎟ C = A + B = ⎜ 11 11 ⎜ a21 + b21 a22 + b22 b23 ⎟⎠ ⎝

a13 + b13 ⎞ ⎟ a23 + b23 ⎟⎠

Ejemplo:

⎛ 2 −1 3 ⎞ ⎛ 3 1 7 ⎞ ⎛ 1 2 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 3 2 ⎟ B = ⎜ −2 3 4 ⎟ C = A + B = ⎜ −3 6 6 ⎟ ⎜ 0 −2 1 ⎟ ⎜ −3 −1 5 ⎟ ⎜ −3 −3 6 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ La suma de matrices es una consecuencia de la suma de números reales, por lo que las

propiedades de la suma de matrices serán las mismas que las de la suma de números reales: - Propiedad Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C - Elemento neutro ( la matriz nula). - Elemento opuesto ( - A): A + (- A) = 0 - Propiedad Conmutativa: A+ B = B + A 4

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UNIDAD 1: MATRICES 2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS II

3.2. Producto de un número (escalar) por una matriz. El producto de un número real k por una matriz A = (aij) es otra matriz de la misma dimensión cuyos elementos son los productos de los elementos de la matriz A por el número k: k ⋅ A = k ( aij ) = k aij

(

⎛ a ⎜ 11 A = ⎜ a21 ⎜⎜ ⎝ a31

a12 a22 a32

)

⎛ ka a13 ⎞ ka12 ⎟ ⎜ 11 a23 ⎟ kA = ⎜ ka21 ka22 ⎟ ⎜⎜ a33 ⎟⎠ ⎝ ka31 ka32

ka13 ⎞ ⎟ ka23 ⎟ ⎟ ka33 ⎟⎠

⎛ 1 2 4 ⎞ ⎜ ⎟ Ejemplo: Dada la matriz A = ⎜ −1 3 2 ⎟ , el producto de la matriz A por 5 es: ⎜ 0 −2 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 5 10 20 ⎞ ⎜ ⎟ 5A = ⎜ −5 15 10 ⎟ ⎜ 0 −10 5 ⎟ ⎝ ⎠ El producto de un número por una matriz tiene las siguientes propiedades: - Propiedad Distributiva respecto de la suma de matrices: k ⋅ ( A + B) = k ⋅ A + k ⋅ B - Propiedad Distributiva respecto de la suma de números: ( k + l ) ⋅ A = k ⋅ A + l ⋅ A

- Propiedad Asociativa mixta: k ⋅ (l ⋅ A) = ( k ⋅ l ) ⋅ A - Elemento Neutro: 1⋅ A = A El conjunto de matrices M mxn respecto de las operaciones suma de matrices y producto por un número real ( M mxn, +,⋅k ) tiene estructura de espacio vectorial. 3.3. Producto de matrices. El producto de matrices no es una operación tan sencilla como la suma de matrices o el producto de una matriz por un número real, que no necesitan de grandes condiciones. Para poder multiplicar dos matrices, sus dimensiones deben cumplir unas condiciones. Sean las matrices A y B de dimensiones m x n y n x p ( es decir, el número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B). Se define el producto A · B, y en ese orden, como una matriz C de dimensiones m x p cuyos elementos son de la forma: n A = ( aij )⎫⎪ ⎬ → C = A ⋅ B = ( aij ) ( bij ) = ( cij ) cij = ∑ aik ⋅ bkj B = ( bij ) ⎭⎪ k=1

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UNIDAD 1: MATRICES 2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS II

Es decir, el elemento c11 se obtiene multiplicando escalarmente los elementos de la primera fila de la matriz A por los elementos de la primera columna de la matriz B, y así sucesivamente- Ejemplo: Calcular A · B ⎛ 2 1 ⎞ ⎛ 1 2 3 ⎞ ⎛ 1⋅ 2 + 2 ⋅ 3+ 3⋅ 4 1⋅1+ 2 ⋅ 2 + 3⋅1 ⎞ ⎛ 20 8 ⎞ ⎜ ⎟ A =⎜ ⎟ B =⎜ 3 2 ⎟→ A⋅B =⎜ ⎟=⎜ ⎟ 4 ⋅ 2 + 5⋅ 3+ 6 ⋅ 4 4 ⋅1+ 5⋅ 2 + 6 ⋅1 47 20 ⎝ 4 5 6 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ 4 1 ⎟ ⎝ ⎠ Dim

2 x 3

3x 2

2 x 2



El número de columna de A es igual al número de filas de B, por tanto se pueden multiplicar en ese orden. La matriz producto tiene tantas filas como A y tantas columnas como B. Que el producto A · B esté definido no implica que lo esté el producto B · A. Ejemplo: Dadas las matrices A y B comprobar si están definido A · B y B · A

⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 2 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎧⎪ A ⋅ B definido A = ⎜ ⎟ B =⎜ 3 ⎟→⎨ ⎝ 3 2 4 ⎠ ⎜ 3 ⎟ ⎩⎪ B ⋅ A no definido ⎝ ⎠ Para que estén definidos ambos productos tiene que cumplirse que si la dimensión de la matriz A es m x n, la dimensión de la matriz B debe ser n x m, siendo las dimensiones de las matrices productos:

⎧⎪ A ⋅ B → m x m → 2x3 3x1 ⎨ ⎩⎪ B ⋅ A → n x n → 3x1 2x3 De aquí se deduce que el producto de matrices NO TIENE LA PROPIEDAD CONMUTATIVA. Si las matrices son cuadradas de orden n, el producto de matrices tiene las siguientes propiedades: - Propiedad Asociativa: A · (B · C) = (A · B) · C - Elemento Neutro ( I ): A · I = I · A = A - Propiedad Distributiva respecto de la suma de matrices: A · (B + C) = A · B + A · C 3.4.- Matriz Inversa. Entre las propiedades de las matrices no se ha nombrado la existencia de elemento simétrico o elemento inverso, ya que no existe dicha propiedad. Sin embargo, hay matrices cuadradas para las cuales existe otra matriz que multiplicada por ellas nos da la matriz unidad (elemento neutro). 6

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UNIDAD 1: MATRICES 2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS II

3.4.1. Definición. Si dada una matriz cuadrada A existe otra matriz B, también cuadrada, que multiplicada por la matriz A nos da la matriz unidad, se dice que la matriz A es una matriz regular o inversible y a la matriz B se le llama matriz inversa de A y se representa por A-1: −1

−1

A ⋅ A = A ⋅ A = I

Si una matriz cuadrada no tiene matriz inversa, se dice que la matriz es singular. La matriz inversa verifica las siguientes propiedades: - La inversa de la matriz inversa es la matriz original: A −1

( )

−1

=A

- La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas de las matrices −1

cambiando su orden. ( A ⋅ B) = B −1 ⋅ A −1 - La inversa de la traspuesta de una matriz es igual a la traspuesta de la matriz inversa: t −1

−1 t

( ) = (A )

A

Para hallar una matriz inversa dispondremos de varios métodos distintos. En este tema veremos dos: Resolver un sistema de ecuaciones El método de Gauss – Jordan

⎛ 0 1 ⎞ Ejemplo: Sea A = ⎜ ⎟ . Halla la matriz inversa A-1 mediante un sistema de ⎝ 2 0 ⎠ ecuaciones.

⎛ a b ⎞ Planteamos la matriz inversa como A −1 = ⎜ ⎟ y hallamos el producto: ⎝ c d ⎠ −1

⎛ 0 1 ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ c d ⎞ ⎟⋅ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ 2 0 ⎠ ⎝ c d ⎠ ⎝ 2a 2b ⎠

A ⋅ A = ⎜

Debe verificarse que:

⎧⎪ a = 0 b = 1 / 2 ⎛ c d ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎧⎪c = 1 d = 0 A⋅ A = I ⇒ ⎜ ⇒⎨ ⎟=⎜ ⎟⇒⎨ ⎝ 2a 2b ⎠ ⎝ 0 1 ⎠ ⎩⎪2a = 0 2b = 1 ⎩⎪c = 1 d = 0 −1

−1

⎛ 0 1/ 2 ⎞ ⎟ ⎝ 1 0 ⎠

A = ⎜

⎛ 1 2 ⎞ Sea A = ⎜ ⎟ , halla la matriz inversa A-1 mediante un sistema de ecuaciones. ⎝ 3 4 ⎠ 7

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UNIDAD 1: MATRICES 2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS II

⎛ a b ⎞ De nuevo, planteamos la matriz A −1 = ⎜ ⎟ y hallamos el producto: ⎝ c d ⎠ ⎛ 1 2 ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ a + 2c b + 2d ⎞ A ⋅ A −1 = ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎟⋅ ⎜ ⎝ 3 4 ⎠ ⎝ c d ⎠ ⎝ 3a + 4c 3b + 4d ⎠ Debe verificarse que A ⋅ A −1 = I , por tanto:

⎛ a + 2c b + 2d ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎧⎪ a + 2c = 1 b + 2d = 0 A⋅ A = I ⇒ ⎜ ⎟=⎜ ⎟⇒⎨ ⎝ 3a + 4c 3b + 4d ⎠ ⎝ 0 1 ⎠ ⎪⎩3a + 4c = 0 3b + 4d = 1 −1

Resolviendo para a, b, c y d:

⎧ a + 2c = 1 ⎧ a + 2c = 1 ⎧c = 3 / 2 ⎫ ⎯F⎯⎯ → →⎨ ⎨ ⎨ ⎪ −2 F ⎛ −2 ⎩3a + 4c = 0 2 1 ⎩ a = −2 ⎩ a = −2 ⎪ 1 ⎞ ⎬ ⇒ A −1 = ⎜ ⎟ ⎧b + 2d = 0 ⎧b + 2d = 0 ⎧ d = −1 / 2⎪ ⎝ 3 / 2 −1 / 2 ⎠ ⎯F⎯⎯ →⎨ →⎨ ⎨ −2 F ⎪ ⎩3b + 4d = 1 2 1 ⎩b = 1 ⎩b = 1 ⎭ Este método resulta laborioso (y sólo lo hemos utilizado con matrices de orden 2). Es simple imaginar que se complica enormemente si hay muchos términos no nulos y cuanto mayor es la dimensión de la matriz. Además, debemos tener en cuenta que no siempre existe matriz inversa, por lo que podríamos haber estado trabajando en balde.

⎛ 1 2 ⎞ Sea A = ⎜ ⎟ , hallar la matriz inversa A-1 mediante un sistema de ecuaciones. ⎝ 3 6 ⎠ ⎛ a b ⎞ De nuevo planteamos la matriz A −1 = ⎜ ⎟ y hallamos el producto: ⎝ c d ⎠ ⎛ 1 2 ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ a + 2c b + 2d ⎞ A ⋅ A −1 = ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎟⋅ ⎜ ⎝ 3 6 ⎠ ⎝ c d ⎠ ⎝ 3a + 6c 3b + 6d ⎠ ⎛ a + 2c b + 2d ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎧⎪ a + 2c = 1 b + 2d = 0 A ⋅ A −1 = I ⇒ ⎜ ⎟=⎜ ⎟⇒⎨ ⎝ 3a + 6c 3b + 6d ⎠ ⎝ 0 1 ⎠ ⎪⎩3a + 6c = 0 3b + 6d = 1 ⎧ a + 2c = 1 ⎧−3a − 6c = −3⎫ ⎯F⎯⎯ → ⎨ ⎨ ⎪ −3F ⎩3a + 6c = 0 2 1 ⎩3a + 6c = 0 ⎪ ⎬ ⇒ No tiene solución ⎧b + 2d = 0 ⎧−3b − 6d = 0 ⎪ ⎯F⎯⎯ →⎨ ⎨ −3F ⎩3b + 6d = 1 2 1 ⎩3b + 6d = 1 ⎪⎭

⎛ 1 2 ⎞ Por tanto, la matriz A = ⎜ ⎟ no tiene matriz inversa. ⎝ 3 6 ⎠ 8

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UNIDAD 1: MATRICES 2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS II

3.4.2. Método de Gauss – Jordan. El método de Gauss – Jordan para hallar la matriz inversa consiste en convertir la matriz inicial en la matriz identidad, utilizando transformaciones elementales. Llamamos transformaciones elementales por filas a: §

Permutar dos filas i y j. Lo escribimos como Fi ↔ Fj

§

Sustituir la fila i por el resultado de multiplicar o dividir todos sus elementos por un número a ≠ 0 . Lo escribimos como Fi = a ⋅ Fi .

§

Sustituir la fila i por un múltiplo (no nulo) de ella más otra fila j multiplicada por un número b. Lo escribimos como Fi = a ⋅ Fi + b ⋅ Fj , con a ≠ 0 .

Ampliamos la matriz original, escribiendo junto a ella la matriz identidad, y aplicamos las transformaciones elementales de modo que la matriz inicial se transforme en la matriz identidad.

⎛ 0 1 ⎞ Calcular con el método de Gauss – Jordan la inversa de la matriz A = ⎜ ⎟ ⎝ 2 0 ⎠ Escribimos la matriz identidad junto a la matriz A:

⎛ 0 1 1 0 ⎞ ⎟ ⎝ 2 0 0 1 ⎠

T = ⎜

Vamos realizando transformaciones elementales a la izquierda, buscando convertirla en la matriz identidad:

⎛ 0 1 1 0 ⎞ ⎛ 2 0 0 1 ⎞ ⎛ 1 0 0 1/ 2 ⎞ ⎛ 0 1/ 2 ⎞ −1 T =⎜ → ⎯ ⎯ → → A = ⎟ ⎯F⎯⎯ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 ↔F ⎝ 2 0 0 1 ⎠ 1 2 ⎝ 0 1 1 0 ⎠ 2 F1 ⎝ 0 1 1 0 ⎠ ⎝ 1 0 ⎠ Comparando este método con el anterior, podemos ver que es mucho más simple y rápido.

⎛ 1 2 ⎞ Hallar la matriz inversa A-1 de A = ⎜ ⎟ con el método de Gauss – Jordan. ⎝ 3 4 ⎠ ⎛ 1 2 1 0 ⎞ ⎛ 1 2 1 0 ⎞ ⎛ 1 2 1 ⎛ 1 0 −2 0 ⎞ 1 ⎞ T =⎜ →⎜ →⎜ ⎟ ⎯F⎯⎯ ⎟ ⎯ ⎯⎯ ⎟ ⎯F⎯⎯ ⎟ 1 →⎜ 2 −3F1 1 −2 F2 − F ⎝ 3 4 0 1 ⎠ ⎝ 0 −2 −3 1 ⎠ 2 2 ⎝ 0 1 3 / 2 −1 / 2 ⎠ ⎝ 0 1 3 / 2 −1 / 2 ⎠ −1

⎛ −2 1 ⎞ ⎟ ⎝ 3 / 2 −1 / 2 ⎠

A = ⎜

⎛ −1 1 2 ⎞ ⎜ ⎟ Hallar la matriz inversa A-1 de A = ⎜ 1 0 3 ⎟ con el método de Gauss – Jordan. ⎜ 4 1 1 ⎟ ⎝ ⎠

9

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UNIDAD 1: MATRICES 2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS II

⎛ −1 1 2 1 ⎜ ⎜ 1 0 3 0 ⎜ 4 1 1 0 ⎝ ⎛ 1 ⎜ ⎯F⎯⎯⎯ →⎜ 0 1 =−F1 1 ⎜ 0 F3 =− F3 16 ⎝ ⎛ 1 ⎜ ⎯F⎯⎯⎯ →⎜ 0 2 =F2 −5F3 ⎜ 0 ⎝

⎛ −1 1 2 1 0 0 ⎞ ⎛ −1 0 0 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 0 ⎟ ⎯F⎯⎯⎯ → 0 1 5 1 1 0 ⎯ ⎯⎯⎯ → ⎜ ⎟ ⎜ 0 =F +F F =F −5F 2 2 1 3 3 2 F =F +4 F ⎜ 0 0 1 ⎟⎠ 3 3 1 ⎜⎝ 0 5 9 4 0 1 ⎟⎠ ⎝ ⎞ ⎛ 1 0 3 −1 −2 −1 0 0 0 ⎟ ⎜ 1 5 1 1 0 →⎜ 0 1 5 1 ⎟ ⎯F⎯⎯⎯ 1 =F1 +F2 ⎟ ⎜ 0 1 1 /16 5 /16 −1 /16 ⎠ ⎝ 0 0 1 1 /16 0 3 0 1 0 1 0 11 /16 −9 /16 5 /16 0 1 1 /16 5 /16 −1 /16

⎛ −3 /16 1 /16 3 /16 ⎜ −1 A = ⎜ 11 /16 −9 /16 5 /16 ⎜ 1 /16 5 /16 −1 /16 ⎝

1 2 1 0 0 ⎞ ⎟ 1 5 1 1 0 ⎟ 0 −16 −1 −5 1 ⎟⎠ ⎞ 1 0 ⎟ 1 0 ⎟ 5 /16 −1 /16 ⎟⎠

⎞ ⎛ 1 0 0 −3 /16 1 /16 3 /16 ⎟ ⎜ → ⎜ 0 1 0 11 /16 −9 /16 5 /16 ⎟ ⎯F⎯⎯⎯ 1 =F1 −3F2 ⎟ ⎜ 0 0 1 1 /16 5 /16 −1 /16 ⎠ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

3.5. Matriz traspuesta y matriz opuesta. La matriz traspuesta de una matriz A es la que se obtiene al cambiar las filas por las columnas. t t Se denota por A . Así, si A = ( aij )mxn , su traspuesta es A = ( a ji )nxm . Otras formas de designar la

traspuesta de A son A’ o A . Una matriz cuadrada se dice que es simétrica cuando coincide con su traspuesta: A = At. Para que una matriz sea simétrica, los elementos simétricos respecto de la diagonal principal deben ser iguales.

⎛ 1 1 3 ⎞ ⎛ 1 1 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ t A = ⎜ 1 2 4 ⎟ → A = ⎜ 1 2 4 ⎟ ⎜ 3 4 5 ⎟ ⎜ 3 4 5 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Si una matriz cuadrada es igual a la opuesta de su traspuesta, A = −A t , se dice que es antisimétrica. Para que una matriz sea antisimétrica debe cumplirse que los elementos simétricos respecto de la diagonal principal sean opuestos, y los elementos de la diagonal principal nulos.

⎛ 0 1 −3 ⎞ ⎛ 0 −1 3 ⎞ ⎛ 0 1 −3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ t t A = ⎜ −1 0 −4 ⎟ → A = ⎜ 1 0 4 ⎟ → −A = ⎜ −1 0 −4 ⎟ = A ⎜ 3 4 0 ⎟ ⎜ −3 −4 0 ⎟ ⎜ 3 4 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Con las matrices traspuestas se cumplen las siguientes propiedades: - La traspuesta de una suma de matrices es igual a la suma de las matrices traspuestas: t

t t ( A + B ) = A + B

10

Profesora: María Sánchez Boyero

UNIDAD 1: MATRICES 2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS II

- La traspuesta de un producto de matrices es igual al producto en orden inverso de las matrices traspuestas: t

t t ( A ⋅ B ) = B ⋅ A

Ejercicio: realizar el producto Dt · At

⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ y D =⎜ 1 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1 4 ⎞ ⎜ ⎟ D t ⋅ A t = 2 1 3 ⋅ ⎜ −1 0 ⎟ = ⎜ 2 −3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ 1 −1 2 ⎞ ⎜ 2 ⎟ ⎛ 7 A⋅D =⎜ ⎟⋅ ⎜ 1 ⎟ = ⎜ ⎝ 4 0 −3 ⎠ ⎜ 3 ⎟ ⎝ −1 ⎝ ⎠ ⎛ 1 −1 2 ⎞ A =⎜ ⎟ ⎝ 4 0 −3 ⎠

(

)

(7

−1

)

⎞ t ⎟ → ( A ⋅ D) = ⎠



(7

)

−1 = D t ⋅ A t

La matriz opuesta de una matriz A es la que se obtiene al cambiar de signo todos los elementos de la matriz A; se designa por −A = (−aij )mxn

⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 1 −3 2 ⎞ ⎜ ⎟ t ⎟ . Ejemplo: Si A = ⎜ −3 6 ⎟ su traspuesta es A = ⎜ 0 6 5 ⎝ ⎠ ⎜ 2 5 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −1 0 ⎞ ⎜ ⎟ Su opuesta es −A = ⎜ 3 −6 ⎟ ⎜ −2 −5 ⎟ ⎝ ⎠ 3.6. Rango de una matriz. Se llama rango de una matriz al número de filas o columnas de la matriz que son linealmente independientes, es decir, que no pueden obtenerse a partir de las demás filas o columnas de la misma matriz. Ejemplo: Determinar el rango de las matrices:

⎛ 0 1 −3 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 0 −4 ⎟ ⎜ −1 1 −7 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ 0 −1 3 ⎞ ⎜ ⎟ y B =⎜ 1 0 4 ⎟ ⎜ −1 −2 2 ⎟ ⎝ ⎠

La tercera fila de A se obtuvo sumando las dos primeras filas. Estas dos primeras filas son independientes, por lo que el rango de A es 2. La tercera fila de B se obtuvo restando la segunda fila al doble de la primera. El rango de B es 2. 11

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UNIDAD 1: MATRICES 2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS II

Para hallar el rango de una matriz se pueden usar las transformaciones elementales para intentar hacer el máximo número posible de ceros, intentando triangular la matriz (método de Gauss); sin embargo, será más fácil hallar el rango usando determinantes, como veremos en la unidad siguiente. Ejercicio: Calcular el rango de la siguiente matriz según los valores del parámetro a:

⎛ a−2 a+2 ⎞ A = ⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ 1 El rango de esta matriz será como máximo 2 pues es una matriz de dimensión 2 x 2. Vamos realizando transformaciones elementales hasta convertirla en una matriz triangular. Intercambiamos filas para tener un 1 en la posición a11, a la segunda fila la restamos la primera multiplicada por (a – 2).

⎛ 1 ⎛ 1 ⎞ 2 ⎞ 2 A =⎜ → ⎟ ⎯F⎯⎯⎯ ⎜ ⎟ −( a−2) F1 ⎝ a−2 a+2 ⎠ 2 ⎝ 0 −a + 6 ⎠ Si –a + 6 = 0, la segunda fila es nula, por lo que su rango sería 1. Por tanto:

−a + 6 = 0 ⇒ a = 6 ⎪ a ≠ 6 ⇒ rg ( A) = 2 ⎧ ⎨ ⎩⎪ a = 6 ⇒ rg ( A) = 1 12

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UNIDAD 1: MATRICES 2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS II

EJERCICIOS RESUELTOS 1. Matrices traspuestas. • Dadas las siguientes matrices:

⎛ 2 1 ⎞ ⎛ 4 0 −1 ⎞ ⎛ 1 −2 1 ⎞ ⎜ ⎟ A =⎜ ⎟ C = ⎜ −1 0 ⎟ ⎟ B =⎜ ⎝ 3 0 1 ⎠ ⎝ −2 1 0 ⎠ ⎜ 0 3 ⎟ ⎝ ⎠ Comprobar que: a)

t

( A + B) = At + Bt t ( A + B) = At + Bt ⎛ 5 ⎛ 5 −2 0 ⎞ ⎜ t ⎟ → ( A + B) = ⎜ −2 ( A + B) = ⎜ ⎝ 1 1 1 ⎠ ⎜ 0 ⎝ ⎛ 1 3 ⎞ ⎛ 4 −2 ⎞ ⎛ 5 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ A t + B t = ⎜ −2 0 ⎟ + ⎜ 0 1 ⎟ = ⎜ −2 ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ −1 0 ⎟ ⎜ 0 ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝

b)

( A ⋅ C)

t

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 1 ⎞ ⎟ 1 ⎟ 1 ⎟⎠ 1 1 1

= C t ⋅ At

⎛ ⎛ 1 −2 1 ⎞ ⎜ 2 ⎟⋅ ⎜ −1 ( A ⋅ C) = ⎜ ⎝ 3 0 1 ⎠ ⎜ 0 ⎝ ⎛ 1 ⎛ ⎞ 2 −1 0 ⎜ C t ⋅ At = ⎜ ⎟⋅ ⎜ −2 ⎝ 1 0 3 ⎠ ⎜ 1 ⎝

⎞ ⎟ ⎛ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 ⎞ ⎛ ⎟ 0 ⎟=⎜ 1 ⎟⎠ ⎝

1 0 3

⎛ 4 6 ⎞ t 4 4 ⎞ ⎟ ⎟ → ( A ⋅ C) = ⎜ 6 6 ⎠ ⎝ 4 6 ⎠

4 6 ⎞ ⎟ 4 6 ⎠

c) Justificar si la matriz A · C es simétrica. La matriz A · C no es simétrica porque no coincide con su traspuesta, como acabamos de ver. t

d) Comprueba que: ( A + B) ⋅ C t = A t ⋅ C t + B t ⋅ C t

⎛ 5 1 ⎜ ( A + B) ⋅ C t = ⎜ −2 1 ⎜ 0 1 ⎝ ⎛ 1 ⎜ t t t t A ⋅ C + B ⋅ C = ⎜ −2 ⎜ 1 ⎝ t

⎞ ⎟ ⎛ 2 ⎟⋅⎜ ⎟ ⎝ 1 ⎠ 3 ⎞ ⎛ ⎟ 0 ⎟⋅⎜ 1 ⎟⎠ ⎝

⎛ 11 −5 3 ⎞ ⎜ −1 0 ⎟ = ⎜ −3 2 3 0 3 ⎠ ⎜ ⎝ 1 0 3 ⎛ 4 −2 2 −1 0 ⎞ ⎜ ⎟+⎜ 0 1 1 0 3 ⎠ ⎜ ⎝ −1 0

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ 11 −5 3 ⎞ ⎞ ⎟ ⎟ ⎛ 2 −1 0 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ −3 2 3 ⎟ ⎟⋅⎜ ⎟ ⎝ 1 0 3 ⎠ ⎜ 1 0 3 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠

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UNIDAD 1: MATRICES 2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS II

2. Cálculo de los elementos de una matriz. • Sea A una matriz de orden 2. Hallar los valores de x e y para que se cumpla que A2 = A. ⎛ x 3 ⎞ ⎟⎟ A = ⎜⎜ ⎝ −2 y ⎠ ⎞ ⎛ x 3 ⎞ ⎛ x 3 ⎞ ⎛ x2 − 6 3x + 3y ⎟ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ A 2 = ⎜⎜ 2 ⎝ −2 y ⎠ ⎝ −2 y ⎠ ⎜⎝ −2x − 2y −6 + y ⎟⎠ ⎧ ⎧ 2 ⎧ x1 = −2 ⎪ 2 ⎪x − x − 6 = 0 → ⎨ ⎩ x2 = 3 ⎪x − 6 = x ⎫ ⎪ ⎪3x + 3y = 3⎬ → ⎨ ⎧ y1 = 3 ⎭ ⎪ ⎪ y = 1− x → ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ y2 = −2 ⎩ ⎛ ⎞ 2 ⎛ x 3 ⎞ ⎪ x − 6 3x + 3y ⎟=⎜ ⎟ → ⎨−2x − 2y = −2 A2 = A → ⎜ ⎜ −2x − 2y −6 + y 2 ⎟ ⎜⎝ −2 y ⎟⎠ ⎪ 2 ⎝ ⎠ ⎪−6 + y = y ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

⎛ −2 3 ⎞ Hay dos soluciones: A1 = ⎜ ⎟ ⎝ −2 3 ⎠

⎛ 3 3 ⎞ y A2 = ⎜ ⎟ ⎝ −2 −2 ⎠

Las matrices que cumplen A2 = A se llaman idempotentes. ⎛ 12 −1 ⎞ • Dada la matriz X de orden 2. Halla a para que X 2 − X = ⎜ ⎟ ⎝ 0 20 ⎠

⎛ a 1 ⎞ X =⎜ ⎟ ⎝ 0 −a ⎠ ⎛ a 1 ⎞ ⎛ a 1 ⎞ ⎛ a2 X2 = ⎜ ⎟⋅ ⎜ ⎟ = ⎜⎜ ⎝ 0 −a ⎠ ⎝ 0 −a ⎠ ⎝ 0 ⎛ 2 a X − X = ⎜⎜ ⎝ 0 2

⎞ 0 ⎟ a 2 ⎟⎠

⎞ ⎛ 0 ⎟ ⎛ a 1 ⎞ ⎜ a2 − a −1 − = ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ 2 a ⎠ ⎝ 0 −a ⎠ ⎝ 0 a +a



⎞ ⎛ ⎞ ⎪⎧ a 2 − a = 12 ⎟ = ⎜ 12 −1 ⎟ → ⎨ → a = ±4 ⎟ 2 ⎠ ⎝ 0 20 ⎠ ⎪⎩ a + a = 20

3. Operaciones con matrices. • Dadas las matrices A e I, calcular: a) Las matrices A2 y A3. ⎛ 17 29 ⎞ A =⎜ ⎟ ⎝ −10 −17 ⎠

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UNIDAD 1: MATRICES 2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS II

⎛ 17 29 A2 = ⎜ ⎝ −10 −17 ⎛ −1 A3 = A 2 ⋅ A = ⎜ ⎝ 0

⎞ ⎛ 17 29 ⎞ ⎛ −1 ⎟⋅ ⎜ ⎟=⎜ ⎠ ⎝ −10 −17 ⎠ ⎝ 0 0 ⎞ ⎛ 17 29 ⎞ ⎛ ⎟⋅ ⎜ ⎟=⎜ −1 ⎠ ⎝ −10 −17 ⎠ ⎝

0 ⎞ ⎟ = −I −1 ⎠ −17 −29 ⎞ ⎟ = −A 10 17 ⎠



b) Los números reales m y n para los que se verifica (A + I)3 = m I + n A. Calculamos (A + I)3 teniendo en cuenta que A2 = - I y que I2 = I. 3

( I + A) = ( I + A) ⋅ ( I + A) ⋅ ( I + A) = ( I 2 + 2A + A 2 ) ⋅ ( I + A) = ( I + 2A − I ) ⋅ ( I + A) = = 2A ⋅ ( I + A) = 2A + 2A 2 = 2A − 2I



⎧n = 2 3 Como ( I + A) = 2A − 2I = mI + nA ⇒ ⎨ ⎩ m = −2 • Halla los valores de a para los cuales la matriz X verifica la ecuación X2 – 3X+ 2I = 0. ⎛ a 0 ⎞ X = ⎜ ⎟ ⎝ 0 2 ⎠

⎛ a 0 ⎞ ⎛ a 0 ⎞ ⎛ a2 X2 = ⎜ ⎟⋅ ⎜ ⎟ = ⎜⎜ ⎝ 0 2 ⎠ ⎝ 0 2 ⎠ ⎝ 0 ⎛

⎞ a 2 0 ⎟ − 3⎛⎜ a 0 ⎟ ⎝ 0 4 ⎠ ⎝ 0 2 ⎛ 2 ⎞ ⎛ ⎜⎜ a − 3a + 2 0 ⎟⎟ = ⎜ 0 0 ⎠ ⎝ ⎝

⎜⎜

⎞ 0 ⎟ 4 ⎟⎠

⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 0 0 ⎞ ⎟ + 2⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎠ ⎝ 0 1 ⎠ ⎝ 0 0 ⎠



⎧ a1 = 1 0 0 ⎞ ⎟ → a 2 − 3a + 2 = 0 → ⎨ 0 0 ⎠ ⎩ a2 = 2

4. Interpretación de matrices. • Una fábrica de bolígrafos P, encendedores Q y llaveros R necesita para su elaboración tinta M1, gas M2, plástico M3 y metal M4. Dos almacenes E1 y E2 se encargan de distribuir el producto a las tiendas. Se consideran estas matrices: A: Demanda de los almacenes.

P

A=

Q

R

E1 ⎛ 500 300 200 ⎞ ⎜ ⎟ E2 ⎝ 600 400 300 ⎠

B: Cantidad de cada material, en gramos, para fabricar una unidad de cada producto. M1 M 2 M 3 M 4



P ⎛ 10 0 50 10 ⎞ ⎜ ⎟ B = Q ⎜ 0 20 60 5 ⎟ R ⎜⎝ 0 0 30 30 ⎟⎠ 15

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UNIDAD 1: MATRICES 2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS II

C: Coste de un gramo de cada material. M1 ⎛ 0, 02 ⎞ ⎜ ⎟ M 2 ⎜ 0, 03 ⎟ C = M 3 ⎜ 0, 01 ⎟ ⎜ ⎟ M 4 ⎜⎝ 0, 04 ⎟⎠ Calcular e interpretar: a) A · B

⎛ ⎞ ⎛ 500 300 200 ⎞ ⎜ 10 0 50 10 ⎟ ⎛ 5000 6000 49000 12500 ⎞ A⋅B =⎜ ⎟⋅ ⎜ 0 20 60 5 ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ 600 400 300 ⎠ ⎜ 0 0 30 30 ⎟ ⎝ 6000 8000 63000 17000 ⎠ ⎝ ⎠ La matriz obtenida expresa la cantidad, en gramos, de cada uno de los materiales necesarios para fabricar todos los artículos que demandan los almacenes E1 y E2. b) B · C ⎛ ⎞ ⎛ 10 0 50 10 ⎞ ⎜ 0, 02 ⎟ ⎛ 1,1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0, 03 ⎟ ⎜ B ⋅ C = ⎜ 0 20 60 5 ⎟ ⋅ ⎜ = 1, 4 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 0 0 30 30 ⎟ ⎜ 0, 01 ⎟ ⎜ 1, 5 ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ 0, 04 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ La matriz B · C representa el coste de los materiales utilizados en una unidad de cada producto P, Q y R. c) A · B · C ⎛ 1,1 ⎞ ⎛ 500 300 200 ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 1270 ⎞ A ⋅ B ⋅ C = A ⋅ (B ⋅ C) = ⎜ ⎟⋅ ⎜ 1, 4 ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ 600 400 300 ⎠ ⎜ 1, 5 ⎟ ⎝ 1670 ⎠ ⎝ ⎠

Este último producto de matrices, nos indica el coste, en materiales de fabricación, de todos los artículos que demanda cada uno de los dos almacenes E1 y E2. 5. Matrices conmutables. • Dada la matriz A, obtener todas las matrices B que conmutan con A, es decir, que A · B = B · A ⎛ a b ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ A = ⎜ ⎟ ⎟ B =⎜ ⎝ 2 0 ⎠ ⎝ c d ⎠

⎛ 1 1 ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎟=⎜ ⎟⋅ ⎜ ⎟⋅ ⎜ ⎟ ⎝ 2 0 ⎠ ⎝ c d ⎠ ⎝ c d ⎠ ⎝ 2 0 ⎠

A ⋅ B = B ⋅ A = ⎜

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UNIDAD 1: MATRICES 2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS II

⎧ a + c = a + 2b → c = 2b ⎛ a + c b + d ⎞ ⎛ a + 2b a ⎞ ⎪⎪ d + d = a ⎜ ⎟=⎜ ⎟→⎨ 2b ⎠ ⎝ c + 2d c ⎠ ⎪2a = c + 2d ⎝ 2a ⎪⎩2b = c Sustituimos c = 2b en la tercera ecuación: 2a = 2b + 2d → a = b + d , y obtenemos la segunda. Es decir, los elementos de B deben cumplir estas dos condiciones: c = 2b y d = a − b Por tanto, hay infinitas matrices que conmutan con A, todas ellas de la forma: ⎛ a b ⎞ B =⎜ ⎟ a, b ∈ IR ⎝ 2b a − b ⎠ • Dada la matriz A, obtener todas las matrices B que conmutan con A. ⎛ a b ⎞ ⎛ 1 2 ⎞ A = ⎜ ⎟ ⎟ B =⎜ ⎝ 0 1 ⎠ ⎝ c d ⎠

⎛ 1 2 ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ 1 2 ⎞ A⋅B = B⋅ A =⎜ ⎟=⎜ ⎟⋅ ⎜ ⎟⋅ ⎜ ⎟ ⎝ 0 1 ⎠ ⎝ c d ⎠ ⎝ c d ⎠ ⎝ 0 1 ⎠ ⎧ a + 2c = a → c = 0 ⎛ a + 2c b + 2d ⎞ ⎛ a 2a + b ⎞ ⎪⎪b + 2d = 2a + b → d = a ⎜ ⎟=⎜ ⎟→⎨ c d ⎝ ⎠ ⎝ c 2c + d ⎠ ⎪c = c → c = 0 ⎪⎩ d = 2c + d

⎛ a b ⎞ Por tanto, B = ⎜ ⎟ , con a, b ∈ IR ⎝ 0 a ⎠ 6. Matriz inversa de sí misma. • Sean A y B dos matrices regulares de orden n e I la matriz identidad del mismo orden. Demostrar que si A2 = A y B = 2A - I, entonces B-1 = B. Si B-1 = B entonces el producto B · B sería igual a I B ⋅ B = ( 2A − I ) ⋅ ( 2A − I ) = 4A 2 − 2AI − I 2A + I 2 A 2 = A,



2AI = I 2A y que I 2 = I

B ⋅ B = 4A − 4A + I = I

Queda demostrado que B −1 = B • Prueba que si A2 = A + I, entonces A es invertible (invertible es sinónimo de regular).

A2 = A + I A2 − A = I → A ( A − I ) = I → A − I



A − I es la inversa de A, luego A es invertible. 17

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UNIDAD 1: MATRICES 2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS II

7. Ecuación con matrices.

⎛ 4 5 ⎞ ⎛ 0 1 ⎞ • Dadas estas matrices: A = ⎜ ⎟ B =⎜ ⎟ ⎝ −3 −4 ⎠ ⎝ 1 0 ⎠ a) Hallar una matriz X tal que: AX + B = I ⎛ a b ⎞ Sea X = ⎜ ⎟ la matriz que buscamos. Podemos obtenerla de dos formas: ⎝ c d ⎠ - Operando con sus elementos en la igualdad AX + B = I de manera que lleguemos a dos sistemas de ecuaciones con dos incógnitas, o bien: ⎛ 4 5 ⎞ ⎛ 0 1 ⎞ A =⎜ ⎟ B =⎜ ⎟ ⎝ −3 −4 ⎠ ⎝ 1 0 ⎠ ⎛ a b ⎞ X =⎜ ⎟ ⎝ c d ⎠ ⎧ 4a + 5c = 1 ⎛ 4 5 ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ 0 1 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎪⎪−3a − 4c = −1 AX + B = I → ⎜ → ⎟⋅ ⎜ ⎟+⎜ ⎟=⎜ ⎟→⎨ ⎝ −3 −4 ⎠ ⎝ c d ⎠ ⎝ 1 0 ⎠ ⎝ 0 1 ⎠ ⎪ 4b + 5d = −1 ⎪⎩−3b − 4d = 1

a = −1, c = 1, b = 1, d = −1 ⎛ −1 1 ⎞ Luego X = ⎜ ⎟ ⎝ 1 −1 ⎠ - Despejar X multiplicando adecuadamente por la matriz inversa de A. −1

POR A POR LA IZQUIERDA AX + B = I → AX = I − B ⎯MULTLICAMOS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → A −1 AX = A −1 ( I − B)

Calculamos la matriz inversa de A por el método de Gauss: ⎛ 4 5 1 0 ⎞ ⎛ 4 5 1 0 ⎞ ⎛ 4 0 16 20 ⎞ →⎜ → ⎜ ⎟ ⎯4⎯⎯ ⎟ ⎯F⎯⎯ ⎜ ⎟ F2 +3F1 +5F ⎝ −3 −4 0 1 ⎠ ⎝ 0 −1 3 4 ⎠ 1 2 ⎝ 0 −1 3 4 ⎠ ⎛ 1 0 4 5 ⎞ ⎛ 1 0 4 5 ⎞ ⎯F⎯ →⎜ ⎯2 → ⎜ ⎟ ⎯−F ⎟ 1 /4 ⎝ 0 −1 3 4 ⎠ ⎝ 0 1 −3 −4 ⎠

⎛ 4 5 ⎞ A −1 = ⎜ ⎟ ⎝ −3 −4 ⎠ Por tanto,

⎛ 4 5 ⎞⎡⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 0 1 ⎞⎤ ⎛ 4 5 X = A −1 ( I − B) → X = ⎜ ⎟⎢⎜ ⎟−⎜ ⎟⎥ = ⎜ ⎝ −3 −4 ⎠⎢⎣⎝ 0 1 ⎠ ⎝ 1 0 ⎠⎥⎦ ⎝ −3 −4

⎞⎛ 1 −1 ⎞ ⎛ −1 1 ⎞ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎠⎝ −1 1 ⎠ ⎝ 1 −1 ⎠



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b) Encontrar una fórmula general para Bn, donde n ∈ IR Calculamos las primeras potencias de la matriz B: ⎛ 0 1 ⎞ 2 ⎛ 0 1 ⎞ ⎛ 0 1 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ B =⎜ ⎟; B = ⎜ ⎟⋅ ⎜ ⎟=⎜ ⎟= I ⎝ 1 0 ⎠ ⎝ 1 0 ⎠ ⎝ 1 0 ⎠ ⎝ 0 1 ⎠

B3 = B 2 ⋅ B = I ⋅ B = B 4

2

2

B = B ⋅B = I Por tanto, B n = I si n es par, y B n = B si n es impar. ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 2 1 ⎞ • Halla la matriz X que cumple AXA =2BA siendo A = ⎜ ⎟ ⎟; B = ⎜ ⎝ 3 2 ⎠ ⎝ 2 3 ⎠

⎛ a b ⎞ Sea X = ⎜ ⎟ ⎝ c d ⎠ En la ecuación AXA =2BA multiplicamos por A-1 a la izquierda y a la derecha: A −1 A ⋅ X ⋅ AA −1 = A −1 ⋅ 2BA ⋅ A −1 → X = 2A −1B ⎛ a b ⎞ A −1 = ⎜ ⎟ ⎝ c d ⎠ ⎛ 2 1 ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ 2a + c 2b + d ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ A ⋅ A −1 = ⎜ ⎟=⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎟⋅ ⎜ ⎝ 3 2 ⎠ ⎝ c d ⎠ ⎝ 3a + 2c 3b + 2d ⎠ ⎝ 0 1 ⎠ ⎧2a + c = 1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪2b + d = 0 ⎪ →⎨ ⎬ → a = 2, b = −1, c = −3, d = 2 ⎪3a + 2c = 0⎪ ⎪⎩3b + 2d = 1⎪⎭ ⎛ 2 −1 ⎞ A −1 = ⎜ ⎟ ⎝ −3 2 ⎠ ⎛ 2 −1 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 0 −6 ⎞ X = 2⎜ ⎟=⎜ ⎟⋅ ⎜ ⎟ ⎝ −3 2 ⎠ ⎝ 2 3 ⎠ ⎝ 2 12 ⎠ 8. Matriz inversa del producto de dos matrices. • Demostrar que si A y B son invertibles, se verifica que la inversa de A · B es B-1 · A-1; es decir, que (A · B)-1 = B-1 · A-1. Si B-1 · A-1 es la inversa de A · B, el producto de ambas debe ser igual a la matriz unidad I (es lo que demostraremos). ( A ⋅ B) ⋅ B −1 ⋅ A −1 = A ⋅ B ⋅ B −1 ⋅ A −1 = A ⋅ I ⋅ A −1 = A ⋅ A −1 = I

(

)

(

)

−1

Por tanto, es cierto que ( A ⋅ B) = B −1 ⋅ A −1 19

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UNIDAD 1: MATRICES 2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS II

9. Despejar una matriz multiplicando por las inversas de otras dos. a) Despejar la matriz X en la ecuación C ( A + X ) B = I . Multiplicamos por C-1 por la izquierda y por B-1 por la derecha. C −1C ( A + X ) BB −1 = C −1IB −1 → A + X = C −1B −1 ⇒ X = C −1B −1 − A



⎛ 3 4 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ b) Obtener X siendo A = ⎜ ⎟, B = ⎜ ⎟ y C =⎜ ⎟ ⎝ 1 2 ⎠ ⎝ 0 1 ⎠ ⎝ 1 1 ⎠ Obtenemos B-1 y C-1 por el método de Gauss: ⎛ 1 1 1 0 ⎞ ⎛ 1 0 1 −1 ⎞ ⎛ −1 → → B = ⎜ ⎟ ⎯F⎯⎯ ⎜ ⎟ ⎜ −F ⎝ ⎝ 0 1 0 1 ⎠ F12 2 ⎝ 0 1 0 1 ⎠ ⎛ 1 0 1 0 ⎞ ⎛ 1 0 1 0 ⎞ ⎛ −1 → → C = ⎜ ⎟ ⎯F⎯⎯ ⎜ ⎟ ⎜ −F ⎝ ⎝ 1 1 0 1 ⎠ F12 1 ⎝ 0 1 −1 1 ⎠

1 −1 ⎞ ⎟ 0 1 ⎠ 1 0 ⎞ ⎟ −1 1 ⎠

Hallamos X:

⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 1 −1 ⎞ ⎛ 3 4 ⎞ ⎛ −2 −5 ⎞ X = C −1B −1 − A = ⎜ ⎟ ⎟⋅ ⎜ ⎟−⎜ ⎟=⎜ ⎝ −1 1 ⎠ ⎝ 0 1 ⎠ ⎝ 1 2 ⎠ ⎝ −2 0 ⎠

⎛ 1 −1 ⎞ ⎛ 4 1 ⎞ c) Halla la matriz X que verifica AXB = A + B siendo A = ⎜ ⎟; B = ⎜ ⎟ ⎝ 0 1 ⎠ ⎝ −1 0 ⎠ Multiplicamos por A-1 por la izquierda y por B-1 por la derecha:

A −1 AXBB −1 = A −1 ( A + B) B −1 → X = ( A −1 A + A −1B) B −1 = ( I + A −1B) B −1 = B −1 + A −1BB −1 = B −1 + A −1

⎛ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎝

⎛ 1 0 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ 1 −1 1 0 ⎞ −1 → → A = ⎟ ⎯F⎯⎯ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 1 0 1 ⎠ F12+F2 ⎝ 0 1 0 1 ⎠ ⎝ 0 1 ⎠ ⎛ 1 1/ 4 1/ 4 0 ⎞ ⎛ 1 1/ 4 1/ 4 0 ⎞ 4 1 1 0 ⎞ → ⎯ ⎯⎯ → ⎟ ⎯F⎯ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −1 0 0 1 ⎠ 41 ⎝ −1 0 0 1 ⎠ F2 +F1 ⎝ 0 1 / 4 1 / 4 1 ⎠ ⎛ 1 0 ⎛ 1 0 0 −1 ⎞ ⎛ 0 −1 ⎞ 0 −1 ⎞ −1 ⎯F⎯⎯ → ⎯ ⎯ → → B = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4 F2 1 −F2 ⎝ 1 4 ⎠ ⎝ 0 1/ 4 1/ 4 1 ⎠ ⎝ 0 1 1 4 ⎠



⎛ 0 −1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎟ ⎟+⎜ ⎟=⎜ ⎝ 1 4 ⎠ ⎝ 0 1 ⎠ ⎝ 1 5 ⎠

X = ⎜

10. Ecuación matricial: sacar factor común.

⎛ 2 −1 ⎞ • Hallar la matriz X que verifica la ecuación XA − 2X = A siendo A = ⎜ ⎟ . ⎝ 3 −2 ⎠ 20

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UNIDAD 1: MATRICES 2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS II

Para despejar la matriz X, debemos extraerla como factor común en el primer miembro. Para ello hay que tener en cuenta que 2X = 2XI = X2I ⇒ X ( A − 2I ) = A . −1

Multiplicamos los dos miembros por ( A − 2I ) por la derecha: −1

−1

−1

X ( A − 2I ) ( A − 2I ) = A ( A − 2I ) → X = A ( A − 2I ) −1

Calculamos ( A − 2I )

⎛ 2 −1 ⎞ ⎛ ⎟ − 2⎜ ⎝ 3 −2 ⎠ ⎝ ⎛ −1 ( A − 2I ) ( A − 2I ) = I → ⎜ ⎝

( A − 2I ) = ⎜

c = −1,

d = 0,

a = −4 / 3,

1 0 ⎞ ⎛ 0 ⎟=⎜ 0 1 ⎠ ⎝ 3 0 −1 ⎞⎛ a ⎟⎜ 3 −4 ⎠⎝ c

−1 ⎞ ⎟ −4 ⎠ ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ b ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ −c −d ⎟=⎜ ⎟→⎜ ⎟=⎜ ⎟ d ⎠ ⎝ 0 1 ⎠ ⎝ 3a − 4c 3b − 4d ⎠ ⎝ 0 1 ⎠

b =1/ 3

⎛ −4 / 3 1 / 3 ⎞ −1 Por tanto, ( A − 2I ) = ⎜ ⎟ 0 ⎠ ⎝ −1 Obtenemos X:

⎛ 2 −1 ⎞⎛ −4 / 3 1 / 3 ⎞ ⎛ −5 / 3 2 / 3 ⎞ −1 X = A ( A − 2I ) → X = ⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟ 0 ⎠ ⎝ −2 1 ⎠ ⎝ 3 −2 ⎠⎝ −1

⎛ 1 −1 ⎞ ⎛ 3 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ • Dadas las matrices A = ⎜ ⎟; B = ⎜ ⎟; C = ⎜ ⎟ Halla la matriz X que verifica: ⎝ 0 1 ⎠ ⎝ −1 1 ⎠ ⎝ 1 0 ⎠ AX − A = B − C . A ( X − I ) = B − C → A −1 A ( X − I ) = A −1 ( B − C ) → X = I + A −1 ( B − C )

⎛ 1 −1 1 0 ⎞ ⎛ 1 0 1 1 ⎞ ⎛ 1 −1 → → A = ⎜ ⎟ ⎯F⎯⎯ ⎜ ⎟ ⎜ +F ⎝ 0 ⎝ 0 1 0 1 ⎠ 1 2 ⎝ 0 1 0 1 ⎠ ⎛ 3 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 2 0 ⎞ B − C = ⎜ ⎟−⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ −1 1 ⎠ ⎝ 1 0 ⎠ ⎝ −2 1 ⎠ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 2 0 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 0 X =⎜ ⎟+⎜ ⎟+⎜ ⎟⋅ ⎜ ⎟=⎜ ⎝ 0 1 ⎠ ⎝ 0 1 ⎠ ⎝ −2 1 ⎠ ⎝ 0 1 ⎠ ⎝ −2

1 ⎞ ⎟ 1 ⎠

1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎟=⎜ ⎟ 1 ⎠ ⎝ −2 2 ⎠

11. Potencia de una matriz. ⎛ 1 0 ⎞ • Sean la matriz A = ⎜ ⎟ y un número natural cualquiera n. ⎝ 3 1 ⎠ a) Calcular An. ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ A2 = ⎜ ⎟⋅ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ 3 1 ⎠ ⎝ 3 1 ⎠ ⎝ 6 1 ⎠

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UNIDAD 1: MATRICES 2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS II

⎛ A3 = A 2 ⋅ A = ⎜ ⎝ ⎛ A 4 = A3 ⋅ A = ⎜ ⎝

1 0 ⎞ ⎛ ⎟⋅ ⎜ 6 1 ⎠ ⎝ 1 0 ⎞ ⎛ ⎟⋅ ⎜ 9 1 ⎠ ⎝

1 0 ⎞ ⎛ ⎟=⎜ 3 1 ⎠ ⎝ 1 0 ⎞ ⎛ ⎟=⎜ 3 1 ⎠ ⎝

1 0 ⎞ ⎟ 9 1 ⎠ 1 0 ⎞ ⎟ 12 1 ⎠





⎛ 1 A2 = ⎜ ⎝ 3⋅ 2 Observamos que: ⎛ 1 An = ⎜ ⎝ 3⋅ n

0 ⎞ ⎟; 1 ⎠ 0 ⎞ ⎟ 1 ⎠

⎛ 1 0 ⎞ A3 = ⎜ ⎟; ⎝ 3⋅ 3 1 ⎠

⎛ 1 0 ⎞ A4 = ⎜ ⎟ ⎝ 3⋅ 4 1 ⎠



Si comprobamos que esta expresión de An es válida para An+1, entonces será válida para cualquier n (método de inducción). ⎛ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 1 1 0 ⎞ 0 ⎞ ⎜ ⎟ A n+1 = A n ⋅ A = ⎜ ⎟⋅ ⎜ ⎟=⎜ ⎟=⎜ ⎝ 3n 1 ⎠ ⎝ 3 1 ⎠ ⎝ 3n + 3 1 ⎠ ⎝ 3 ( n +1) 1 ⎟⎠ b) Hallar A50 – A20. ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 1 0 A 50 = ⎜ ⎟=⎜ ⎝ 3⋅ 50 1 ⎠ ⎝ 150 1 ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 1 A 50 − A 20 = ⎜ ⎟−⎜ ⎝ 150 1 ⎠ ⎝ 60

⎞ ⎟ ⎠

⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ A 20 = ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ 3⋅ 20 1 ⎠ ⎝ 60 1 ⎠ 0 ⎞ ⎛ 0 0 ⎞ ⎟=⎜ ⎟ 1 ⎠ ⎝ 90 0 ⎠



⎛ 1 1 ⎞ • Dada la matriz A = ⎜ ⎟ , calcular An. ⎝ 1 1 ⎠ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 2 2 ⎞ ⎛ 2 2 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 4 4 ⎞ A2 = ⎜ ⎟⋅ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ A3 = ⎜ ⎟⋅ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ 1 1 ⎠ ⎝ 1 1 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 1 1 ⎠ ⎝ 4 4 ⎠ ⎛ 4 4 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 8 8 ⎞ A 4 = A3 ⋅ A = ⎜ ⎟ ⎟⋅ ⎜ ⎟=⎜ ⎝ 4 4 ⎠ ⎝ 1 1 ⎠ ⎝ 8 8 ⎠ ⎛ n−1 ⎞ 2 2 n−1 ⎟ A n = ⎜⎜ n−1 2 n−1 ⎟⎠ ⎝ 2 12. Rango de una matriz. • Estudiar el rango de la matriz M según los valores de a. ¿Existe algún valor de a para el que sea rg(M) = 1?. ⎛ 1 2 a ⎞ ⎜ ⎟ M = ⎜ 1 1 a ⎟ ⎜ a 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 22

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UNIDAD 1: MATRICES 2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS II

→ ⎛ 1 2 ⎛ 1 2 a ⎞ ⎧ ⎯F⎯ a ⎜ ⎟ ⎪⎪ 1 ⎜ → ⎜ 0 −1 0 ⎜ 1 1 a ⎟ ⎨ ⎯F⎯⎯ 2 −F1 ⎜ a 0 1 ⎟⎪ ⎜ 0 −2a 1− a 2 →⎝ ⎝ ⎠ ⎪⎩ ⎯F⎯⎯ 3 −aF1

⎞ ⎛ 1 2 a ⎟ ⎜ → ⎜ 0 −1 0 ⎟ ⎯F⎯⎯ 3 −2aF2 ⎟ ⎜ 0 0 1− a 2 ⎠ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠



Hacemos 1− a 2 = 0 → a 2 = 1 → a = ±1 ⎛ 1 2 1 ⎞ ⎜ ⎟ Ø Si a = 1, M = ⎜ 1 −1 1 ⎟ → rg ( M ) = 2 ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ 1 2 −1 ⎞ ⎜ ⎟ Ø Si a = - 1, M = ⎜ 1 −1 1 ⎟ → rg ( M ) = 2 ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ Ø Si a ≠ ±1 , → rg ( M ) = 3 Ø El rango de M no puede ser igual a 1 para ningún valor de a, porque las dos primeras filas son linealmente independientes para cualquier valor de a. • Estudia el rango de la siguiente matriz según los distintos valores de m. ⎛ 1 1 2 ⎞ ⎜ ⎟ 1 2 ⎟ B = ⎜ m ⎜ 1 m +1 0 ⎟ ⎝ ⎠



⎧ → ⎛ 1 ⎛ 1 1 2 ⎞ ⎪ ⎯F⎯ 1 2 ⎜ ⎟⎪ 1 ⎜ 1 2 ⎟ ⎨ ⎯F⎯⎯ → ⎜ 0 1− m 2 − 2m ⎜ m 2 −mF1 ⎪ ⎜ 1 m +1 0 ⎟ ⎜ m −2 → ⎝ 0 ⎝ ⎠ ⎪⎩ ⎯F⎯⎯ 3 −F1 ⎛ 1 1 1 ⎜ ⎯F⎯⎯ →⎜ 0 1 2 3 −mF2 ⎜ 0 0 −2 − 2m ⎝

→ ⎞ ⎧ ⎯F⎯ ⎛ 1 1 1 ⎞ ⎟ ⎪⎪ 1 ⎜ ⎟ → 0 1 2 ⎟ ⎨ ⎯F⎯⎯ ⎜ ⎟ / 1−m ) 2 ( ⎟⎪ ⎜ 0 m −2 ⎟ ⎠ ⎪⎩ ⎯F⎯ ⎝ ⎠ → 3

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

−2 − 2m = 0 → m = −1

⎛ 1 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ Ø Si m = - 1, ⎜ 0 1 2 ⎟ → rg ( B) = 2 ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1 2 −1 ⎜ 1 Ø Si m ≠ −1, ⎜ 1 −1 ⎜ 0 0 −2 − 2m ⎝

⎞ ⎟ ⎟ → rg ( B) = 3 ⎟ ⎠

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UNIDAD 1: MATRICES 2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS II

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS § OPERACIONES CON MATRICES. MATRIZ INVERSA. 1. Efectúa, si es posible, las siguientes operaciones: A · B B · D 3B – 2C B · C D · Dt Siendo:

⎛ 2 −1 ⎞ ⎛ 3 −4 1 1 ⎜ ⎟ A = ⎜ 0 3 ⎟ B = ⎜ ⎝ 2 0 −2 −1 ⎜ 1 0 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ ⎜ ⎞ ⎛ 0 −1 1 2 ⎞ ⎜ C = D = ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ 3 1 −2 0 ⎠ ⎜ ⎝

5 −3 1 2

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

2. Dadas las siguientes matrices: ⎛ 2 −1 ⎞ ⎛ 0 1 ⎞ A =⎜ ⎟ B =⎜ ⎟ Calcula: ⎝ 3 2 ⎠ ⎝ 4 −2 ⎠ d) (A + B)·(A – B) g) A2 + B2 + 2AB e) A2 – B2 f) (A + B)2 ⎛ 3 0 8 ⎞ ⎜ ⎟ 3. Dada la matriz cuadrada A = ⎜ 3 −1 6 ⎟ comprueba que (A + I)2 = 0 y expresa A2 como ⎜ −2 0 −5 ⎟ ⎝ ⎠ a) A · B b) B · A c) B-1



combinación lineal de A e I. ⎛ 1 −1 ⎞ 4. Dada la matriz A = ⎜ ⎟ , averigua cuál de las siguientes matrices es su inversa: ⎝ 0 2 ⎠

⎛ 3/2 3/2 ⎞ M =⎜ ⎟ ⎝ 1/ 2 1/ 2 ⎠

⎛ 1 1/ 2 ⎞ N =⎜ ⎟ ⎝ 0 1/ 2 ⎠

⎛ 1 0 1 ⎞ ⎛ 1 2 ⎞ ⎛ −1 0 ⎞ ⎜ ⎟ 5. Halla las matrices inversas de A = ⎜ ⎟ B =⎜ ⎟ C =⎜ 0 1 0 ⎟ ⎝ −1 0 ⎠ ⎝ 2 4 ⎠ ⎜ 0 1 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 0 2 −1 ⎞ ⎜ ⎟ 6. a) Dada la matriz A = ⎜ 0 0 1 ⎟ , prueba que A3 es la matriz nula. ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ b) Demuestra después que la matriz I + A + A2 es la matriz inversa de I – A. ⎛ 5 −4 2 ⎞ ⎜ ⎟ 2 7. a) Comprueba que A = 2ª - I, siendo A = ⎜ 2 −1 1 ⎟ e I la matriz unidad de orden 3. ⎜ −4 4 −1 ⎟ ⎝ ⎠ b) Utiliza la igualdad anterior para calcular A4. 24

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UNIDAD 1: MATRICES 2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS II

⎛ 0 3 4 ⎞ ⎜ ⎟ 8. Dada la siguiente matriz: A = ⎜ 1 −4 −5 ⎟ , prueba que se verifica A3 + I = 0 y utiliza esta ⎜ −1 3 4 ⎟ ⎝ ⎠ igualdad para obtener A10. § RANGO DE UNA MATRIZ. 9. Estudia el rango de las matrices siguientes:

⎛ 1 −2 3 ⎞ ⎛ 1 2 3 ⎞ ⎛ 1 −2 3 4 ⎞ ⎛ 1 3 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A =⎜ ⎟ B =⎜ ⎟ C = ⎜ −2 4 −6 ⎟ D = ⎜ 2 4 0 ⎟ ⎝ −2 4 −6 8 ⎠ ⎝ −1 0 0 ⎠ ⎜ 12 −24 36 ⎟ ⎜ 3 6 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1 0 3 0 ⎞ ⎛ 0 0 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ E =⎜ 0 2 0 3 ⎟ F =⎜ 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 1 ⎟ ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 10. Estudia el rango de estas matrices y di, en cada caso, el número de columnas que son Linealmente Independientes: ⎛ 2 1 3 ⎞ ⎛ 1 1 1 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ 2 3 5 11 ⎟ B = ⎜ 4 2 −1 ⎟ ⎜ 1 −1 6 29 ⎟ ⎜ 6 3 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎜ C =⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎛ 1 1 1 1 ⎞ 1 −3 −1 −1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 1 5 3 3 ⎟ 1 −1 1 −1 ⎟ ⎜ D= ⎜ 1 1 −1 −1 ⎟ 1 1 1 1 ⎟ ⎜ 1 1 1 −1 ⎟ ⎟ 3 7 5 5 ⎠ ⎝ ⎠

11. Estudia el rango de las matrices siguientes según los valores del parámetro m: ⎛ 1 −2 2 ⎞ ⎛ 1 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ 2 1 −1 ⎟ B = ⎜ 2 −4 −m ⎟ ⎜ 2 1 m ⎟ ⎜ 4 10 m 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ −1 0 ⎛ m m +1 ⎞ ⎜ C =⎜ ⎟ D =⎜ 0 m ⎝ 2m m −1 ⎠ ⎜ 2 0 ⎝ ⎛ m−2 ⎛ 2 1 −1 ⎞ ⎜ E =⎜ ⎟ F =⎜ 0 ⎝ 1 m −m ⎠ ⎜ 0 ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 0 0 ⎞ ⎟ m −1 ⎟ −1 m ⎟⎠ 1 0 2 m −1



§ ECUACIONES CON MATRICES.

⎛ 1 0 1 ⎞ ⎛ 1 0 −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 12. Calcula X tal que X – B2 = A · B, siendo: A = ⎜ 1 1 0 ⎟ B = ⎜ 1 1 1 ⎟ ⎜ 0 0 2 ⎟ ⎜ 0 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 25

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UNIDAD 1: MATRICES 2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS II

13. Resuelve el siguiente sistema dado en forma matricial: ⎛ 1 −1 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 1 x ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜ ⎜ ⎟⋅ ⎜⎜ ⎟ y y −1 3 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠ 14. Halla dos matrices A y B tales que: ⎛ 8 4 7 ⎞ ⎛ 9 −2 16 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2A + 3B = ⎜ 18 11 −6 ⎟ − A + 5B = ⎜ 17 1 −10 ⎟ ⎜ 8 3 13 ⎟ ⎜ 9 5 13 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ 1 5 ⎞ 15. Dadas las matrices M = ⎜ ⎟ ⎝ −1 3 ⎠

⎛ 1 0 ⎞ y N =⎜ ⎟ , halla dos matrices X e Y que ⎝ 3 0 ⎠

verifiquen estas condiciones: X – 2M = 3N M + N – Y = I

⎛ 1 1 ⎞ 16. Calcula una matriz X que conmute con la matriz A, esto es, A · X = X · A, siendo A = ⎜ ⎟ ⎝ 0 1 ⎠ 17. Considera las siguientes matrices:

⎛ 1 −2 ⎞ ⎛ 2 −1 0 ⎞ ⎛ 2 1 ⎞ ⎜ ⎟ A =⎜ ⎟ B =⎜ ⎟ C =⎜ 0 2 ⎟ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 0 2 −1 ⎠ ⎜ −2 0 ⎟ ⎝ ⎠ Calcula B-1 por el método de Gauss. Halla X tal que BX – A = Ct. Determina la dimensión de una matriz M para poder calcular AMC. ¿Cuál debe ser la dimensión de N para que CtN sea una matriz cuadrada? 18. Sea la siguiente ecuación matricial AX – B + C = 0, donde: ⎛ 1 2 0 −1 ⎞ ⎛ 0 −1 2 1 ⎞ ⎛ 4 1 ⎞ A =⎜ ⎟ C =⎜ ⎟ ⎟ B =⎜ ⎝ −1 0 ⎠ ⎝ −2 −1 1 0 ⎠ ⎝ 1 0 −3 0 ⎠ a) b) c) d)

a) Calcula A-1 aplicando la definición. b) Resuelve la ecuación. ⎛ 1 1 0 ⎞ ⎜ ⎟ 19. Dada la matriz A = ⎜ 0 1 0 ⎟ : ⎜ 2 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ a) Calcula A-1. b) Halla la matriz X que verifique AX + 2ª = I. ⎛ 3 1 ⎞ ⎛ 3 −1 ⎞ ⎛ −1 2 ⎞ 20. Sean A = ⎜ ⎟ B =⎜ ⎟ ⎟ C =⎜ ⎝ 1 1 ⎠ ⎝ 1 2 ⎠ ⎝ 2 0 ⎠ a) Despeja la matriz X en la ecuación XA – B= XC. b) Calcula X. 26

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⎛ 2 −3 ⎞ ⎛ 1 −4 ⎞ 21. Dadas las matrices A = ⎜ ⎟ B =⎜ ⎟ ⎝ −9 5 ⎠ ⎝ −3 5 ⎠ a) Calcula las matrices X e Y que verifiquen 2X – Y = A y X – 3Y = B. b) Halla la matriz Z tal que B + ZA – Bt = 3I donde I es la matriz unidad de orden 2. ⎛ x −1 ⎞ ⎟⎟ . 22. Sea la matriz A = ⎜⎜ ⎝ 1 y ⎠ a) Calcula A2.

⎛ x +1 −2 ⎞ b) Determina x e y para que A 2 = ⎜ ⎟ −1 ⎠ ⎝ 2 ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎛ 1 −3 5 ⎞ ⎜ ⎟ 23. Dadas las matrices B = ⎜ 0 1 0 ⎟, C = ⎜ ⎟ ⎝ −2 4 −6 ⎠ ⎜ 0 −1 m ⎟ ⎝ ⎠

⎛ 1 2 3 ⎞ y D =⎜ ⎟ : ⎝ 0 1 0 ⎠

a) ¿Para qué valores de m existe B-1? Para m = 1, Calcular B-1. b) Para m = 1 halla la matriz X tal que X · B + C = D. ⎛ 2 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ 24. Dadas las matrices A = ⎜ 2 3 2 ⎟ e I (matriz unidad de orden 3): ⎜ −3 −3 −2 ⎟ ⎝ ⎠ a) Calcula las matrices ( A – I)2 y A (A – I). b) Justifica que la matriz A es invertible. c) Comprueba que no existe la matriz inversa de A – I. d) Determina el valor del parámetro real λ para que se verifique A −1 = λ ( A − 2I ) .

⎛ 1 0 ⎞ 25. Dada la matriz A = ⎜ ⎟ , halla la matriz X tal que XA + A t = 2I . ⎝ −1 1 ⎠ 26. Calcula An y Bn siendo: ⎛ 1 1/ 7 1/ 7 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎜ ⎟ A =⎜ 0 1 0 ⎟, B = ⎜ ⎟ 0 3 ⎠ ⎝ ⎜ 0 0 ⎟ 1 ⎠ ⎝

⎛ 4 5 −1 ⎞ ⎜ ⎟ 27. Dada la matriz A = ⎜ −3 −4 1 ⎟ , calcula A2, A3,…, A128. ⎜ −3 −4 0 ⎟ ⎝ ⎠ 2

28. Determina si es posible, un valor de k para que la matriz ( A − kI ) sea la matriz nula, siendo:

⎛ 0 −1 −2 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 0 −2 ⎟ ⎜ 1 1 3 ⎟ ⎝ ⎠ 27

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29. Estudia el rango de las siguientes matrices según el valor del parámetro k: ⎛ 1 3 2 −1 ⎞ ⎛ −1 1 0 2 ⎞ ⎛ 1 −1 −1 ⎞ ⎛ 2 −1 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ M = ⎜ 1 −1 2 ⎟, N = ⎜ −2 1 3 ⎟ P = ⎜ 2 6 4 k ⎟ Q = ⎜ 1 3 1 0 ⎟ ⎜ 2 1 k ⎟ ⎜ 1 k 2 ⎟ ⎜ 4 12 8 −4 ⎟ ⎜ 2 10 3 k ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 30. Calcula una matriz X que conmute con la matriz A, esto es, A ⋅ X = X ⋅ A, siendo ⎛ 1 1 ⎞ A =⎜ ⎟ . Después, calcula A 2 + 2A −1 ⋅ X . 0 1 ⎝ ⎠

⎛ 2 1 ⎞ 31. Sean las matrices A = ⎜ ⎟ ⎝ 3 2 ⎠

⎛ 1 0 ⎞ y B =⎜ ⎟ . Determina la matriz X que verifica ⎝ 2 3 ⎠

AXA = 2BA . 32. Sean A y B las matrices dadas por: ⎛ 5 2 0 ⎞ ⎛ a b 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ 2 5 0 ⎟, B = ⎜ c c 0 ⎟ ⎜ 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a) Encuentra las condiciones que deben cumplir los coeficientes a, b y c para que se verifique

A⋅B = B⋅ A b) Para a = b = c = 1, calcula B10. 33. Una matriz cuadrada se llama ortogonal cuando su inversa coincide con su traspuesta. ⎛ 3/5 x 0 ⎞ ⎜ ⎟ Calcula x e y para que esta matriz A sea ortogonal: A = ⎜ y −3 / 5 0 ⎟ ⎜ 0 0 1 ⎟⎠ ⎝

⎛ a 0 ⎞ 34. Halla todas las matrices X = ⎜ ⎟ con a, b ∈ IR , que satisfacen la ecuación matricial ⎝ b c ⎠

X 2 = 2X . ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 35. Dadas las matrices A = ⎜ 1 0 0 ⎟, C = ⎜ 2 1 0 ⎟ , halla la matriz X que verifica la ⎜ 1 0 0 ⎟ ⎜ 3 2 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ siguiente relación: XC + A = C + A 2 .

⎛ 0 −1 ⎞ 36. Halla la matriz X que verifica AX + B = 3X siendo A = ⎜ ⎟ ⎝ 1 0 ⎠

⎛ 1 2 ⎞ y B =⎜ ⎟ . ⎝ 3 4 ⎠

37. a) Despeja la matriz X en la siguiente igualdad: AXA + B = B ( 2A + I )

⎛ 1 −1 ⎞ b) Calcula la matriz X en el caso de que A = ⎜ ⎟ ⎝ 0 1 ⎠

⎛ 1 2 ⎞ y B =⎜ ⎟ . ⎝ −1 −1 ⎠ 28

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38. Una empresa conservera elabora tres tipos de latas de cangrejo L1, L2 y L3. Para ello necesita hojalata, cangrejo, aceite y sal. Dos almacenes se encargan de distribuir el producto a las tiendas. Considera las siguientes matrices: ⎛ 100 200 150 ⎞ A: Demanda de los almacenes A = ⎜ ⎟ ⎝ 120 250 100 ⎠ L1 ⎛ 90 30 50 10 ⎞ ⎜ ⎟ B: Cantidad de material en gramos por lata. B = L2 ⎜ 100 50 90 15 ⎟ L3 ⎜⎝ 105 40 75 10 ⎟⎠

El coste, en euros, de cada gramo de material es 0,01 la hojalata; 0,05 el cangrejo; 0,04 el aceite y 0,001 la sal. a) Escribe la matriz de costes C, de forma que puedas multiplicarla por la matriz de materiales. b) Calcula e interpreta AB, BC y ABC. 39. En un edificio residencial hay tres tipos de viviendas: L3, L4 y L5. Las viviendas L3 tienen 4 ventanas pequeñas y 3 ventanas grandes; las L4 tienen 5 ventanas pequeñas y 4 grandes, y las L5, 6 ventanas pequeñas y 5 grandes. Cada ventana pequeña tiene 2 cristales y 4 bisagras, y las grandes, 4 cristales y 6 bisagras. a) Escribe una matriz que describa el número y el tamaño de las ventanas de cada vivienda y otra que exprese el número de cristales y bisagras de cada tipo de ventana. b) Calcula la matriz que expresa el número de cristales y de bisagras de cada tipo de vivienda. 40. La tabla adjunta muestra la cantidad de vitaminas A, B y C que posee cada uno de los productos P, Q, R, S por unidad de peso:

A B C P Q R S

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

1 1 2 1

2 0 1 1

0 2 0 1

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

a) Queremos elaborar una dieta en la que entren todos los productos, de manera que contenga 20 unidades de vitamina a, 25 de vitamina B y 6 de C. ¿Es posible hacerlo? ¿De cuántas formas? b) Obtén en función de la cantidad de Q que entre en la dieta, las cantidades de los otros productos. ¿Entre qué valores habría de estar la cantidad de producto Q?. 41. a) Comprueba que si A es una matriz cuadrada tal que A 2 = 2A − I , donde I es la matriz identidad, entonces a es invertible. ¿Cuál es la expresión de A-1? ⎛ 5 −4 2 ⎞ ⎜ ⎟ b) Utiliza el apartado anterior para calcular la inversa de la matriz A = ⎜ 2 −1 1 ⎟ ⎜ −4 4 −1 ⎟ ⎝ ⎠ 29

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⎛ 1 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ 42. Dada la matriz A = ⎜ −3 1 −1 ⎟, halla una matriz X que verifique la ecuación ⎜ 5 −1 2 ⎟ ⎝ ⎠

XA + A = A −1 . ⎛ 0 3 4 ⎞ ⎜ ⎟ 43. Dada la matriz A = ⎜ 1 −4 −5 ⎟, prueba que se verifica A 3 + I = 0 y utiliza esta igualdad ⎜ −1 3 4 ⎟ ⎝ ⎠ para obtener A10. 44. Sean A y B dos matrices cuadradas del mismo orden. De la igualdad A ⋅ B = A ⋅ C no puede deducirse, en general que B = C. a) Prueba esta afirmación buscando dos matrices B y C distintas tales que A ⋅ B = A ⋅ C siendo ⎛ 1 1 ⎞ A =⎜ ⎟ . ⎝ 1 1 ⎠ b) ¿Qué condición debe cumplir la matriz A para que de A ⋅ B = A ⋅ C se pueda deducir que B = C?. 45. a) Si A es una matriz regular de orden n y existe una matriz B tal que AB + BA = 0 , probar que BA −1 + A −1B = 0 . ⎛ −3 −2 ⎞ b) Si A = ⎜ ⎟ halla una matriz B ≠ 0 tal que AB + BA = 0 . ⎝ 4 3 ⎠ 2

46. Despeja la matriz X en la igualdad ( X + A) = X 2 + XA + I 2 y obtén X en el caso

⎛ 1 2 ⎞ A =⎜ ⎟ . ⎝ −1 0 ⎠ 47. Demuestra que si A es una matriz regular, al despejar X en la ecuación XA 2 + BA = A 2 se obtiene X = I − BA −1 . 48. Halla una matriz cuadrada de orden 2, distinta de I y de – I, cuya inversa coincida con su traspuesta. 49. Obtén la forma general de una matriz de orden 2 que sea antisimétrica. 50. Una matriz cuadrada es mágica de suma k cuando la suma de los elementos de cada fila, de cada columna y de las dos diagonales es, en todos los casos, igual a k. ¿Cuánto vale k si una matriz mágica es antisimétrica? Halla todas las matrices mágicas antisimétricas de orden 3. 51. Obtén todas las matrices mágicas simétricas de orden 3 para k = 0. 52. Obtén todas las matrices mágicas simétricas de orden 3 para k = 3. 53. Sea A una matriz cuadrada que verifica la igualdad A 2 − 2A = 3I . a) Demuestra que A es invertible y expresa A-1 en función de A e I. b) Expresa A3 como combinación lineal de A e I. c) Halla todas las matrices simétricas de orden 2 que verifican A 2 − 2A = 3I .

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⎛ x −2 ⎞ 54. Estudia para que valores , la matriz inversa de A = ⎜ ⎟ coincide con su opuesta. ⎝ 5 −x ⎠ § EJERCICIOS PAU.

















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