• Author / Uploaded
• may

Citation preview

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Soluciones de los problemas propuestos. Tema 1

1

TEMA 1. Matrices Problemas Resueltos Operaciones con matrices 1. Dadas A

2

3

5

, B

2

11 12

, halla dos números a y b para que se 1 7 14 41 4 9 verifique que a· A b·B C . Solución: Escribiendo la ecuación extendida y operando, se tiene: 2 3 5 2 11 12 2a 3a 5b 2b 11 12 a b 1 7 4 9 14 41 a 7a 4b 9b 14 41 2a 5b 3a 2b 11 12 2a 5b 11 3a 2b 12 a 2 . a 4b 7a 9b 14 41 a 4b 14 7a 9b 41 b 3 Puede comprobarse el resultado: 2 3 5 2 4 6 15 6 11 12 . 2 3 1 7 4 9 2 14 12 27 14 41 2. Dadas las matrices A orden, X e Y, que cumplan:

1

2

2

4 2X X

yC

y B Y

A

3Y

2B

2

6

1

3

, halla otras dos matrices del mismo

.

Solución: Primero conviene resolver el sistema en función de A y B; después se hacen los cálculos. Por el método de reducción: 2X Y A 2X Y A 2X Y A 1 Y 4B A X 3Y 2 B 2 E 2 2 X 6Y 4 B E 2 E1 7Y 4 B A 7 Sustituyendo este valor de Y en la segunda ecuación inicial, se tiene: 3 3 2 X 4B A 2B X A B 7 7 7 Por tanto: 1 18 / 7 3 1 2 2 2 6 X · · 3 8 / 7 18 / 7 7 2 4 7 1

Y

2 1 · 4· 1 7

6

1

2

1

22 / 7

3

2

4

2/7

8/7

3. Para las matrices A

1

0

, B

1

1

yC

2

3

2 1 3 2 0 5 cumplen las siguientes propiedades: A B C a) A B C b) A B C AB AC c) A B C AC BC d) A BC AB C Solución:

www.matematicasjmmm.com

, comprueba que se

José María Martínez Mediano

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Soluciones de los problemas propuestos. Tema 1

a) A

1

B C

A B

2

1

1

0

2

1

1

0 0

2

1

1

0

2

0

2

1

·

1

3 2

·

3

0

1

2

1

3

1

·

2

2

·

5 3

0

0

1

0 2

1

5

1

0

·

1

1

5

1

3

0

3

1

·

1 4

2

3

7

.

2 .

1

2

3

3

2

1 4

4

11

3

7

2

·

3

0

0

5

5

2

8

2

3

2

2

4

11

6

19

2

2

6

19

2

3

0

2

5

3

.

2

4

5

2

2

5 3

0

3

5

2

2

1

4

3

2

3

·

2

3

3

0

1

3

0

1

3

5

3

·

2

0

2 5

2

3

1

5

1

3 ·

2

1

2

·

·

3

1

2

0

0

2

1

5

2

1

5

3

1

1

3

0

0

2

1

5

2

1

3

0

2

2

1

·

3 2

1

3

1

·

1 1

3

1

1

BC

AB C

1

1

2

d) A BC

0

0

1

AC

2

2

1

2

1

3

2

c) A B C AC

1

1 1

C

b) A· B C AB

0

2

2

2

5

2

0 2

5 8

.

2 23 2

.

.

2 23

4. Calcula, si es posible, los productos AB y BA para las matrices siguientes: 3 1 1 0 1 1 2 0 1 a) A , B b) A 2 0 , B 2 1 3 2 4 1 3 4 2 c) A

1

1

2

1

1

, B

1

4

1

4 e) A

3

2

4

f) A

3

3

, B

1

0

1, B

2 3

2

d) A

4

1

3

0

7

2

0

1 , B

3

1

2

1

3

0

2

4

0

3

Solución: a) AB

b) AB

1

0

2

1

3

1

2

4

1

3

0

1

2

1

1 3

www.matematicasjmmm.com

1

1 3

3 2 4

1

1 4

0

4

2

2

1

2

0

4

BA

·

1 0 2

1

; BA

10 1 4

0

16 2

2 22

0 10

3

1

1

2 2

0 1

3

1

1

2

.

0 2 ; 2 .

José María Martínez Mediano

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Soluciones de los problemas propuestos. Tema 1

c) AB

1

1

1

·

1

3 2

1

; BA

2 1 4 1 2 3 En este caso puede observarse que AB = –BA. 2

d) AB

3

3

·

2

4

4

2 3

1

11 ;

1· 0

f) AB

2

4

0

7

3 2

1 2

0

1

0

2

1

2

2

1

2

3

3

2

4

1

3

0 1

4 · 4 3

7

8

4 2

0

1

3

2

14

8

15 ;

14

6

2

3

5

3

13

9

27

10 1 .

1 1

·

2

12

3

5

8

0 ·2 3

BA

3

0

2

0

3

3

1·

0 BA

3

1

4

3 1

1

1

·

No puede realizarse. BA

4 e) AB

1

19

5

B· A

0

0 3

2 1 4

1 0

0 3

2

5 6 6. Dadas las matrices A

1

2

1

1

0

0

6

4

3

9

8

5 23

12

2

6

.

4

0

0

0 .

6

9

3

5 3

0

6

1 13 2

7

4 8 . 6

.

, halla los productos AB y BA. Además de 2 4 1 3 que no se cumple la propiedad conmutativa, ¿qué otro comentario puede hacerse? Solución: 1 2 2 6 0 0 2 6 1 2 10 20 AB BA ; 2 4 1 3 0 0 1 3 2 4 5 10 Además de que no se cumple la propiedad conmutativa, puede observarse la propiedad www.matematicasjmmm.com

y B

.

12

5. Calcula todos los productos posibles de dos factores con las matrices: 1 0 0 2 1 1 0 0 2 1 4 ; B ,C A 0 3 2 3 4 2 3 5 6 Solución: Pueden hallarse los productos: A·C, C·A y B·A. 0 2 0 2 1 1 0 1 2 1 1 0 A·C 1 4 1 4 ; C· A 0 3 2 7 6 0 3 2 2 3 2 3

1

3

José María Martínez Mediano

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Soluciones de los problemas propuestos. Tema 1

4

relativa a divisores de cero: el producto de dos matrices no nulas da la matriz nula. 7. Dadas las matrices A

1

2

2

4

, B

2

1

1

3

2 5

yC

, comprueba que AB =

1 0

AC, y sin embargo, B C. Solución: 1 2 2 1 0 5 1 2 2 5 0 5 ; AC AB 2 4 1 3 0 10 2 4 1 0 0 10 En efecto, AB = AC, y sin embargo, B C. Esta advierte que en el cálculo matricial no puede simplificarse. 8. Para la matriz A

1

a 0

, calcula el valor de a para que A 2

a

A

12

1

0

20

.

Solución: A2

A

12

1

0

20

1

a 0

a

a2

A( A I )

a 1 0

1

12

1

0

20

12

a 1

0

20

4; a

3

a 4; a a a 20 La única solución común es a = 4.

5

a 12

a

2

9. a) Halla las matrices A

0 a

a2

1

1

a 0

a

que cumplen que A3

b 0

2

a

Para que A3

a b

A es necesario que

a

a

0;

1

0

20

A.

b) Para esas matrices y para el valor a = –2, calcula A10 A11 A12 . Solución: ab 0 0 a 0 a 0 a ab 0 a) A 2 ; A3 A 2 · A 0 ab b 0 b 0 b 0 0 ab 2

12

b

0

a 2b

ab 2

0

0

2

ab 1; b 1 / a ab b La solución a = b = 0 no tiene interés, pues es evidente. 0 a Por tanto, la matriz pedida es A 1/ a 0

b) Para a = –2, se tiene: 0 2 A2 A 1/ 2 0 Por tanto: 1 0 A10 A11 A12 = 0 1

www.matematicasjmmm.com

1 0 0 1 0 1/ 2

A3

A ; A4

I …; A10

2

1 0

2

0 1

1/ 2

0

I ; A11

A ; A12

I.

2 2

José María Martínez Mediano

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Soluciones de los problemas propuestos. Tema 1

1 a

10. Dada la matriz A

0 1

5

, encuentra la expresión general de A n . ¿Cuál es la matriz

10

A 10 A ? Solución: Segunda y tercera potencias: 1 a 1 a 1 2a 1 2a 1 a 1 3a ; A3 A 2 · A A2 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 na Puede hacerse la conjetura: A n 0 1 Es evidente que se cumple para n = 1 (también para n = 2 y n = 3). Supuesto que se cumple hasta n hay que ver que se cumple para el siguiente, para n + 1. 1 na 1 a 1 a na 1 (n 1)a An 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 na Por tanto, la conjetura es cierta y puede afirmarse que A n 0 1 En consecuencia, 1 10a 1 a 1 10a 10 10a 9 0 = 10 A10 10 A = 0 1 0 1 0 1 0 10 0 9

Comprobación de algunas propiedades 11. Una matriz A se llama nilpotente si A· A·...· A O . Comprueba que la matriz 1 1 3

A

5

2

2

6

1

es nilpotente.

3

Solución: Multiplicando tres veces se tiene que A· A· A A3 O . En efecto: 1 1 3 1 1 3 0 0 0

A· A

5

2

2

A· A· A

1

6

5

2

3

2

6

1

3

3

3

1

9 :

1

3

0

0

0

1

1

3

0 0 0

3

3

9

5

2

6

0 0 0 .

3

0 0 0

1

1

3

2

1

12. Una matriz A se llama involutiva si cumple que A2 7 6 A es involutiva. 8 7 Solución: En efecto:

www.matematicasjmmm.com

A· A

I . Comprueba que la matriz

José María Martínez Mediano

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Soluciones de los problemas propuestos. Tema 1

7

A2

6

8

7

7

6

8

49 48

7

42 42

56 56

1 0

48 49

1

1

I

0 1

13. Una matriz A se llama idempotente si cumple que A2 1 2 6 matriz A 2 1 6 es idempotente.

6

A . Comprueba que la

A· A

4

Solución:

1 A·A

6

1

2

6

1 4 6

1

6

2 2 6

4 1 6

1

1

4

1

4

1 2 4

2 1 4

1

1

6

1

1

4

5

A

4 1

1 2

2

A ·A

A

A . Comprueba que la matriz

0

5

4

1

4 es periódica de periodo 3.

Solución: Hay que ver que se cumple que A4 A . 4 3 3 4 3 3 4

A

3

0

4

4 · 5

4

4

4

3

1 .

1

0

1

0

1

1

1

1

4

3

0

4

3

0

4

3

3

4

3

1 · 4

3

1

5

4

4

1

1

1

0

1

1

1

1 3

Puede ser interesante comprobar que A 15. Dadas las matrices A

1

1

y B

1

I. 1

1

. 2 1 4 1 a) Calcula A·B y B· A . ¿Se cumple que A·B B· A ? 2 b) Comprueba que A B A2 B 2 . Solución: 1 1 1 1 3 2 1 1 1 a) A·B · B·A · 2 1 4 1 2 3 4 1 2 Es evidente que A·B B· A . b) Dado que A·B = B· A y que A B A B

2

6 6 16

6

2

2

12 6 24 =

6 · 2

2

1

6 12 24

1

14. Una matriz A se llama periódica de período p si A p 4 3 3

A

2 2 6

2 1

=

2

A2

2

A2

1

3

2

1

2

3

A·B B· A B2 = A2

B· A B· A B2

B2 .

www.matematicasjmmm.com

José María Martínez Mediano

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Soluciones de los problemas propuestos. Tema 1

7

También puede verse multiplicando. 16. Una matriz A es ortogonal si cumple que A· At

I ; esto es, cuando su inversa coincide a 0 a con su traspuesta. Halla el valor de a para que sea ortogonal la matriz A a 0 a ,

0 1

0

Solución:

a 0 A· A

a

a 0

t

0

1

0

a 1

a

0

a

a · 0

0 1

2a 2

a

1

0 1 0

0

2a

a 0

0 0 1

0

0

2

3

1 3

t

A

a) A

0

4

A

5

1

2

3

b) A B

c) kA

Bt

3

0

4 At

1

t

5

5 1

3

2k

3k

0

4k

5k

4

0

t

3

0 ·

4

5

2 4

www.matematicasjmmm.com

0

0 1 0

1

0 0 1

3

0

1 0 6 3

.

5

A B 4

0 3k

2k

0

3

5 4k

4

t

2

1 0

4

11

6

3

28

26

6 3

5 1

3

2 0

15

5

2

5

. 4

k · At

5

comprueba que A·B

6 0

2

5 5

2 k

5k

5

10

0

5

k

y B

kAt

2

3

2

2

2

t

5

5 1

3

kA

t t

4

5 3

c) kA

Bt

A

2

4 Solución: t 4) A·B Bt · At . 1 2

1 0 0

comprueba las siguientes propiedades:

1

3

5

18. Para las matrices A

0

0

At

4 5

1

AB

t

2 0

4

2 0

k

3

2

1

2

1

5 b) A B

2

3

2

3

5

y B

0

4 a) At Solución: 1

0

.

2

17. Para las matrices A

2a 2

1 0 0

10 AB

t

11 6

6 3 0

t

Bt · At .

28 26 15

José María Martínez Mediano

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Soluciones de los problemas propuestos. Tema 1

2 t

B A

4

1

t

1

6 ·

0

3

2 0

3

10

4

6

11

5

28

3

6

8

26

0

15

19. (Propuesto en Selectividad 2006, Castilla y León) Halla las matrices A cuadradas de orden 2, que verifican la igualdad: A Solución: a b Si A se desea que: c d a b 1 0 1 0 a b

a b b

c d 1 1 1 1 c d a b a

b

b

c d

d

1 0

1 1

1 1

A.

b

a c b d

b = 0; a = d; c = c

a c

d

c d

a

1 0

b d a 0

La solución del sistema viene en función de dos indeterminadas, a y c. Luego, A

3

Una de las matrices es A

0

2 3

c a

.

, que se obtiene dando los valores a = 3 y c = -2.

Rango de una matriz 20. Utilizando transformaciones de Gauss halla el rango de las siguientes matrices: 1 2 3 1 0 2 1 3 1 1

2

a) A

0

5

0

5 b) B

c) C

1

A

F 2 2 F1 0

4

7

F 3 F1 0

1

3

1

2

6

2 1

www.matematicasjmmm.com

1 0 2

8 0

1

0 2

rango = 2

2 3

Su rango es 2.

6 1

C

3

2

14

1 2

6

1 3

F 2 2 F1 0

B

8

3

8 2

1

2

c) C

1

2

2

1

2

F 3 5 F1 0

1 1

1

1 1

1

2 1 0

2

2

2 3

2 1

b) B

2 1

Solución: 1 a) A

1

3

1

1

F 2 2 F1 0

0

0

2

F 3 F1 0

0

0

1

Su rango es 2.

José María Martínez Mediano

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Soluciones de los problemas propuestos. Tema 1

9

21. Determina, en función de los valores de a, el rango de las matrices: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a) A b) A 1 2 1 c) A 0 1 1 2 2 1

1 1 a

1 1 a2

1 1 a

Solución: 1 1 1 a) A 2 2 1

1 1

1

F 2 2 F1 0 0

A

1 1 a

el rango es 2 para cualquier valor de

1

F 3 F1 0 0 a 1

a: en todos los casos, las filas 2 y 3 son proporcionales.

1 1 1 b) A

1 2 1

A

1 1

1

F 2 F1 0 1

0

el rango es 2 si a = 1; es 3 en los demás

F 3 F1 0 0 a 1

1 1 a casos.

c) A

1 1

1

0 1

1

1 1 a

1 1

1

0 1

A

2

1

F 3 F1 0 0 a

2

el rango es 2 si a = ±1; es 3 en los

1

demás casos. 22. Determina, en función de los valores de a, b y c, el rango de la matriz 1 1 1

A

a

b

.

c

b c a c a b Solución: 1

1

1

A

b

c

a

A

1

1

1

a

b

c

F3 F 2 a b c a b c a b c

b c a c a b

Por tanto: Si a, b y c son iguales (cualquiera que sea su valor) el rango es 1: las tres filas serán proporcionales. Si a, b y c no son iguales (cualquiera que sea su valor) el rango es 2: las filas 1ª y 3ª siempre son proporcionales. Inversa de una matriz 23. Dada la matriz A

2

3

1

2

, comprueba que su inversa es ella misma; esto es, que

A 1 A. Solución: Para comprobarlo basta con ver que A· A

www.matematicasjmmm.com

1

I . En efecto, si A

1

2

3

1

2

, multiplicando:

José María Martínez Mediano

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Soluciones de los problemas propuestos. Tema 1

A· A

1

2

3

1

2

·

2

3

4 3

6 6

1 0

1

2

2 2

3 4

0 1

10

I.

24. Halla por dos métodos distintos (directamente y aplicando el método de Gaus–Jordan) la inversa de cada una de las siguientes matrices, si existe. 1 3 1 3 3 1 a) A b) B c) C 2 5 2 6 2 2 Solución: a) Directamente: a b 1 3 a b a 3c b 3d 1 0 Sea A 1 A· A 1 c d 2 5 c d 2a 5c 2b 5d 0 1 a 3c 1

2a 5c

0

b 3d

0

a = –5, c = 2; b = 3, d = –1

2b 5d 1 Por el método de Gauss–Jordan: 1 31 0 1 AI F 2 2 F1 0 2 50 1

F1 3 F 2 1 0 5

3

0 1 2 b) Directamente: a b Sea B 1 c d 3a c 1

2a 2c 3b d

1

B·B

0

A

1

3

3 1

A

1 31

1 2 1

F2 0 1 2

1

5 2

3 1

1 a b

2 2 c d

1

2 a 6c

0

b 3d

0

2b 6d

1

www.matematicasjmmm.com

1

0 1

.

3a c

3b d

1 0

2a 2c

2b 2d

0 1

F1 3 F 2 1 0 6 / 8

F2 /8 0 1 2 /8 3/8 C·C

.

1

0

2b 2d 1 Por el método de Gauss–Jordan: 3 11 0 F1 F 2 1 3 1 1 BI 2 20 1 2 20 1

1 3 1

3

2

a = 1/4, c = 1/4; b = –1/8, d = 3/8

0

c) Directamente: a b Sea C 1 c d a 3c 1

5

1

0 1 2/8

B

1/ 4

1

1/ 8

1/ 4

3/8

.

1 31 1 F 2 2 F1 0 8 2 3 1/ 8 3/8

B

1

1/ 4 1/ 4

1 3 a b

a 3c

b 3d

1 0

2 6 c d

2a 6c 2b 6d

0 1

1/ 8 3/8

.

El sistema es incompatible. Esto indica que la matriz no es invertible.

José María Martínez Mediano

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Soluciones de los problemas propuestos. Tema 1

11

Por el método de Gauss–Jordan: 1 31 0 1 3 1 0 En la matriz de la izquierda aparece CI F 2 2 F1 0 0 2 1 2 60 1 una fila de ceros, lo que significa que la matriz no es invertible. 25. Aplicando el método de Gaus–Jordan halla, cuando exista la inversa de cada una de las siguientes matrices. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a) A 0 1 1 b) B c) C 1 2 1 1 2 1

2 1

1 1 2

0

1

0

3

Solución: a) A I

1 1 11 0 0

1 1 1 1

0 0

0 1 10 1 0

0 1 1 0

1 0

1 1 20 0 1

F 3 F1 0 0 1 1 0 1

F1 F 3 1 1 0 2

0

1

F1 F 2 1 0 0 1

F 2 F3 0 1 0 1

1

1

0 1 0 1

1

0 0 1 1

0

0 0 1 1 0

1

1 La matriz inversa buscada es A

1

1

1

b) B I

0

1 1 0 0

1

1

1 2

10 1 0

F 2 F1 0

1

2 1

0 0 0 1

F 3 2 F1 0

1 1

1

1

2 1 1

0 1

2 1 1 0

0 1

F3 F 2 0 0

4 3 1 1

(F 3) /( 4) 0 0

1/ 4

F 2 2F 3 0 1 0 1 / 2

1/ 2

0 0 1 3/ 4

1/ 4

1/ 4

La matriz inversa buscada es B

1/ 2 3/ 4

1

c) C I

1 1

1 11 0 0

1

0 0

2 0 1 1

1

2

1

1 3/ 4

0

0

1

0

1/ 4

1/ 4

F1 F 3 1 1 0 1 / 4

1/ 2

0 1 0 1/ 2

1/ 4

0 0 1 3/ 4

1/ 4 1

1

2 1 1 0

0 0

F1 F 3 1 1 0 1 / 4

1

1 . 1

1 1

1 1

0

0

1

1

1

1/ 4

1/ 2 1/ 4

3/ 4 1/ 2 1/ 4

3/ 4

1/ 2

1/ 2 . 1/ 4

1/ 4 1

1/ 4

1 1 1

0 0

2

10 1 0

F 2 F1 0

1

2 1

1 0

0

30 0 1

F 3 F1 0

1

2 1 0 1

Como en la submatriz izquierda aparecen dos filas repetidas, la matriz C no tiene inversa.

www.matematicasjmmm.com

José María Martínez Mediano

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Soluciones de los problemas propuestos. Tema 1

1 3

26. Calcula la matriz A que haga que

12

2 1

. Halla la solución de dos maneras: 4 2 5 3 1) Sin calcular la matriz inversa; 2) Calculándola. Solución: 1 3 a b 2 1 1 3 2a 5b a 3b a b 1) Si A 4 2 c d 5 3 4 2 2c 5d c 3d c d 1 2a 5b a 12

3

a 3b

b

5

4

2c 5d

c

2

2

c 3d

d

0

1 3

4 2 5 3 Cálculo de la inversa: 2 11 0 MI 5 30 1

4 2

A

1

0

.

1

2 1

A.

5 3

5

5

F1

3

0

1 1/ 2 1/ 2

1

1

0 1 5 1

1 3

4 2 5 3

3

4 2

IM

2

1

5

0

F 2 5 F1 0 1 / 2 5 / 2 1

F2 / 2 1 0 3

2

1 3 2 1

Por tanto, A

·

2

F1 / 2 1 1 / 2 1 / 2 0

1 1/ 2 1/ 2 0 2F 2 0

12 5

A

2 1

1 3

2) De

A

12 5

2

2

1

.

0

27. (Propuesto en Selectividad 1997, Madrid) Calcula los valores del parámetro

2

para que la inversa de la matriz A

coincida

5

con su opuesta. Solución: Si A

1

A 1·A

A 2

10

0

A· A

5

1 0

0 2

10

2

I

10

0 1

2

1 0

5 2

0 1

= ±3.

1

Otros problemas

28. Resuelve el sistema

2X

3Y

A

3X

4Y

B

1 0 , siendo A

3

1

2

1

1 1 0

2 y B

0 2

1 1 1

3 . 2 1

Solución: Aplicando el método de reducción para la resolución de sistemas: 2 X 3Y A 2 X 3Y A 3X

4Y

B

2 E 2 3E1 17Y

www.matematicasjmmm.com

2B 3 A

José María Martínez Mediano

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Soluciones de los problemas propuestos. Tema 1

2 17Y

1 1

2· 0

1

1 0

1

7

1 =

3

3· 3

1

2 1

2

1

0

Si se elimina la matriz Y se tiene: 2 X 3Y A 2X

3Y

2

3X

4Y

3E 2 4 E1 17 X

B

1 0 17X

4· 3

1

2

1

1 0

1

2

29. Dadas las matrices: A

1

4

0

1

9

1

9

2

7

2

Y

1 · 17

7

2

1

9

1

9 .

2

7

2

A

1 1

3· 0

1

3B 4 A

2

1

2

13

2

3

12

2 1

14

, B

x

2

0

x

3 7 7

5

X

2 3 1 8

yC

0 1

2 1 · 12 17 14

3 7 7

5 .

2 3

.

a) Encuentra el valor de x para que B2 A . b) Encuentra el valor de x para que A 2B C I , siendo I la identidad de orden 2. Solución: x 2 x 2 1 4 x2 4x a) B 2 A x 1. 2 0 x 0 x 0 1 0 x b) A 2 B C

I

2 2x

0

0

2 2x

1

4

2x

4

1 8

1 0

0

1 0 1 0

2x

0 1

0 1

2 2x 1

0 1

1

30. Resuelve la ecuación matricial: X ·

1 2

x

4

1

3

0

1 1

5

.

1 7

Solución: Puede hacerse de dos formas.

4 1) Utilizando la matriz inversa

3

0

X

5

2) Suponiendo que la matriz X

b

c

d

e

f

Hay que observar X debe ser de dimensión 3 Aquí se resolverá de la segunda forma: a b 4 3 a b a 1 1 c d 0 5 c d c 1 1 e f 1 7 e f e

www.matematicasjmmm.com

1

1

.

1 1

1 7 a

1

2.

b

4

d

0

f

3 5 1 7

José María Martínez Mediano

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Soluciones de los problemas propuestos. Tema 1

a b

4

a b

3

Por tanto, X

a

1 ;b 2

7 , 2

1/ 2

7/2

5/ 2

5/ 2 .

3

c d

0

c d

5

c

5 ;d 2

5 , 2

14

1

e

f

e

f

7

e 3; f

4.

4

31. Una fábrica de electrodomésticos ha vendido en los últimos tres años lavadoras (L) y secadoras (S). La matriz A expresa las unidades vendidas; la matriz B da el precio de venta, en euros, de cada electrodoméstico. L S 2013 2014 2015 480 370 2013 3500 7500 4200 L 2014 B 460 360 A 2200 6000 5300 S 500 340 2015 a) Halla la matriz B· A . ¿Cuánto se ingresó cada año por la venta de esos electrodomésticos? ¿Qué elementos de la matriz B· A dan esa información? b) ¿En qué orden hay que multiplicar las matrices para obtener los ingresos por venta de cada electrodoméstico durante esos tres años? ¿Qué elementos de esa matriz dan esa información? Solución: 480 370 2494000 5820000 3977000 3500 7500 4200 a) B· A 460 360 · 2402000 5610000 3840000 C . 2200 6000 5300 500 340 2498000 5790000 3902000 En el 2013 ingresó el resultado del elemento c11 480·3500 370·2200 2494000 €. En 2014, c22 460·7500 360·6000 5610000 €. En 2015, c33 500·4200 340·5300 3902000 €. Los demás elementos de la matriz C no tienen ningún significado en este contexto. b) Hay que multiplicar A por B.

A·B

3500 7500 4200 2200 6000 5300

480 370 · 460 360 500 340

7230000 5423000 6466000 4776000

D.

El elemento d11 3500·480 7500·460 4200·500 7230000 € da los ingresos obtenidos por la venta de lavadoras en esos tres años. El elemento d22 2200·370 6000·360 5300·340 4776000 € da los ingresos obtenidos por la venta de secadoras en esos tres años. 32. En una prueba de pentatlón, que constan de carreras de 200 y 1500 m, de salto de longitud y lanzamientos de disco y jabalina, de tres atletas A1, A2 y A3 han obtenido las puntuaciones que se indican en la matriz A

www.matematicasjmmm.com

200 1500 Lon Dis

Jab

A1

8 7 6 5

6

A2

6 4 6 3 10

A3

9 6 7 2

. La ponderación de cada prueba varia

5

José María Martínez Mediano

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Soluciones de los problemas propuestos. Tema 1

15

J1 J 2 J 3 200

según el jurado Ji (i = 1, 2, 3) que califique, como muestra la matriz J

2 1 1,5

1500

2 3

2

Lon

2 2 3,5

Dis

2 2 1,5

.

Jab 2 2 1,5 ¿Cuál sería la puntuación de cada atleta dependiendo de cada jurado? Si la puntuación definitiva se halla sumando las de los tres jurados, ¿cómo se establece el podio de la prueba? Solución: La puntuación obtenida por A1 según J1 es: 8·2 7·2 6·2 5·2 6·2 64 ; según el juez J2: 8·1 7·3 6·2 5·2 6·2 63 , que son el resultado de multiplicar la primera fila de A por la primera y segunda columna de J, respectivamente. En los demás casos es análogo. Por tanto, haciendo el producto 2 1 1,5 J1 J 2 J 3 Sumas 8 7 6 5 6 2 3 2 A1 64 63 63,5 190,5 → A· J 6 4 6 3 10 · 2 2 3,5 A2 58 56 57,5 171,5 9 6 7 2 5 2 2 1,5 A3 58 55 60,5 173,5 2 2 1,5 Puede observarse, por ejemplo, que el juez 3, J3, daría 1º a A1 (63,5), 2º a A3 (60,5) y 3º a A2 (57,5). Haciendo las sumas de los tres jueces, el primer puesto será para A1, el segundo para A3 y el tercero para A2.

33. Comprueba que A2

determinar la inversa de A y A6. Solución: 1 0 1 0 Por una parte: A2 · 3 1 3 1 1 0 1 0 Por otra: 2 A I 2· 3 1 0 1 Efectivamente A2

1 0

2 A I , siendo A

3 1

. Utiliza la igualdad anterior para

1 0

. 6 1 2 0

1 0

1 0

6 2

0 1

6 1

.

2A I .

Si A2 2 A I I 2I A · A . I 2 A A2 Por tanto, existe una matriz, 2I A , que multiplicada por A da la identidad. Esa matriz es la inversa de A: A 1 2I A . 2 0 1 0 1 0 Luego, A 1 . 0 2 3 1 3 1 1 0 1 0 1 0 Comprobación: A· A 1 · I. 3 1 3 1 0 1 Cálculo de A6 : De A2 2 A I

A4

www.matematicasjmmm.com

2A I · 2A I

4 A2

4A I

(Se sustituye A2

2A I )

José María Martínez Mediano

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Soluciones de los problemas propuestos. Tema 1

A4 6

A

4 2A I 2

4

AA

16

4 A 3I .

4A I

8 A2 10 A 3I

2 A I · 4 A 3I

(Se sustituye A2

2A I )

6

8 2 A I 10 A 3I 6 A 5I 1 0 1 0 1 0 Por tanto: A6 6· . 5· 3 1 0 1 18 1 A

34. (Propuesto en Selectividad 2016, Andalucía) 1 2 2 1 3 Sean las matrices A , B yC 1 3 4 0 1

1 1 2

3

0 2

.

Resuelve la ecuación matricial A2· X C 2B . Solución: a) Como B y C son matrices de dimensión 2 × 3, para que la operación A2· X C 2B pueda hacerse es necesario que el producto A2· X sea también una matriz de dimensión 2 × 3; Luego a b c X debe ser de la forma: X . d e f La ecuación A2· X C 2B Como: 1 2 1 2 A2 · 1 3 1 3 2 1 3 y 2 B C 2· 4 0 1 Se tiene que: A2· X

C

2B

A2· X

A2· X

2B C .

1

4

. 2 7 1 1 0 2

3

2 1

2B C

Multiplicando e igualando: a 4d b 4e c 4 f

2 5

5

3 6

6

3 4 4 7

·

.

a b

c

5

3 6

d

f

6

3 4

e

.

3 6

2a 7d 2b 7e 2c 7 f 6 3 4 a 4d 5 a 59 b 4e 3 c 4f b 33 → ; → ; 2a 7 d 6 d 16 2b 7e 3 2c 7 f e 9 59 33 58 La matriz pedida es X . 16 9 16

6 4

→

c 58 f

16

.

Observación: La matriz X se encuentra con más rapidez aplicando la matriz inversa, pues: A2· X

C

2B

www.matematicasjmmm.com

A2· X

2B C

X

A2

1

· 2B C .

José María Martínez Mediano