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• Jorge Castillo Minaya

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MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 1. Sean las matrices:  1  2 3  , A    2  5 4

 5 2  7  , B    4 3  3

Determina: a) b) c) d)

A+B A-B A + 2B 3A - 2B

2. Sean las matrices: 0 3 2 5 1 3   1 2 4  , C     , B   A    0  3  1 1 1 2  2 7 6 Determina: a)

a21  b12  c23

b) 3A + B - C c) A - 2B + C 3. Sean las matrices: 2 0  1  2 1   1 2  1      , , A   0 2  3  B   1  1 C  1 2  3  4 3  1 2 4  1  1 3       

Determina si es posible los siguientes productos: a) AxB b) AxC c) BxC d) BxA 4. Sean las matrices:   1  2  3  1 2 3 1  2 1   ,    , A    4  5  6  B   4 5 6  C   3 1  3 7 8 0 1 0   7  8  9 3       Determina si es posible las siguientes operaciones: a) A + BT b) AT + CT c) BT - CT 5. Dadas las siguientes matrices

Efectúe si es posible: a) A + B b) B + A c) 2B+A

6.

Dadas las siguientes matrices

Efectúe si es posible: a) A. B b) B. A 7. Sean las matrices: 0 1 1   A 3 2  3  1  2 0   

 1 2 1    B   0 2  5  2 0 0   

 1 2 0    C   0 2  5   2 1 1  

Halla: a) La determinante de A b) La determinante de B c) La determinante de C 8. Si

1  2 3 2 A  hallar : E  A  3 A  3 A 2  3  

9. Halla la inversa de la matriz A y B.

1 2   2 4  B    A   1 1   1 3 10. Discuta y resuelva el sistema:

 x1  2 x2  x3  1   x1  3 x2  x3  1  x  x  x =4 3  1 2 11.- Discuta y resuelva el sistema:

 x1  2 x2  x3  1   2 x1  3 x2  x3  1  x  x  x =4 2 3  1

PROBLEMAS DE APLICACIÓN CON MATRICES 1.Supóngase que un constructor de edificios a aceptado contratos para 5 casas de estilo rústico, 7 casa de estilo imperial y 12 casa estilo colonial. El constructor está familiarizado con las clases de materiales que necesita cada tipo de casa. Supongamos que los materiales son acero, madera, vidrio, pintura y trabajo. Los números de la matriz que sigue dan las cantidades de cada material que entra en cada tipo de casa, expresadas en unidades convenientes. (los números están expuestos arbitrariamente y no es el propósito que sean realistas. Casa Rústica Imperial colonial

Acero 5 7 6

Madera 20 18 25

Vidrio 16 12 8

Pintura 7 9 5

Trabajo 17 21 13

Calcular cuánto debe obtener, el contratista, de cada material para cumplir con sus contratos. Que precio tiene que pagar por estos materiales, suponiendo que el acero cuesta $ 15 por unidad, la madera $ 8 por unidad, vidrio $ 5 por unidad, pintura $ 1 por unidad, y el trabajo $ 10 por unidad. ¿Cuál es el costo de los materiales para toda la casa. 2. Juan necesita comprar una docena de huevos, otra de naranjas, media docena de manzanas y otra de pera y tres de limones. En una tienda A las manzanas valen 4 soles cada una, los huevos 6 soles cada uno, los limones 9 soles cada una, las naranjas 5 soles cada uno y las peras 7 soles cada uno. En la tienda B, los precios son ligeramente diferentes, s/ 5 la manzana, s/. 5 por huevo, s/. 10 por limón, s/. 10 por naranja, y s/ 6 por pera. ¿Cómo le resultará a Juan la compra más económica? 3. En una urbanización hay dos tipos de viviendas: N, normales y L lujosas. Cada vivienda N tiene 2 ventanas grandes, 9 medianas y dos pequeñas. Cada vivienda L tiene 4 ventanas grandes, 10 medianas y 3 pequeñas. Cada ventana grande tiene 4 cristales y 8 bisagras. Cada ventana mediana 2 cristales y 4 bisagras y cada ventana pequeña tiene 1 cristal y 2 bisagras. a. Escriba una matriz que describa el número y tamaño de las ventanas en cada tipo de casa. b. Escribir una matriz que describa el número de cristales y bisagras en cada tipo de ventana. c. Escribe una matriz que exprese el número de cristales y bisagras en cada tipo de vivienda. 4. Una pequeña empresa editorial lanza al mercado un mismo título en tres encuadernaciones diferentes: piel (p); cartón (c) y Rústica (r). Cada encuadernación necesita las cantidades de cada uno de los siguientes conceptos, relacionados en la matriz C, en unidades, convenientemente asignadas: material (M), personal (P), impuestos (I) y transporte (T). C=

; P=

; V=

La matriz P representa la producción semanal y la matriz V el valor de una unidad de cada concepto. Obtenga de manera razonada, las matrices que representan: a) b)

Las unidades semanales necesarias de cada concepto (materiales, personal, impuestos y transporte. Los costos de un libro con cada tipo de encuadernación.

5. Una empresa fabrica tres tipo de artefactos: A, B y C. Los precios de costo de cada unidad son 600, 920 y 1430 soles, respectivamente. Los correspondientes precios de venta de cada unidad son s/. 1800, s/. 2800 y s/. 4000. El número de unidades vendidas anuales es de 2240, 1625 y 842, respectivamente. Sabiendo que las matrices de costos (C ) y ventas (I) son diagonales y que la matriz de unidades vendidas anuales (V) es una matriz fila; se pide: a. Determinar la matriz C, I y V b. Obtener a partir de las matrices anteriores, la matriz de ventas anuales correspondientes a los tres artefactos y la matriz de gastos anuales.

6. Una fábrica de muebles produce tres modelos de escritorios que llevan tiradores de metal y chapas especificada por la siguiente tabla A 8 3

Nº tiradores Nº Chapas

B 6 2

C 4 1

Si en el mes de agosto recibe un pedido de 15 del modelo A, 24 del modelo B y 17 del modelo C; y en el mes de setiembre recibe otro pedido de 25 del modelo A, 32 del modelo B y 27 del modelo C. Determina: El número de tiradores y chapas requeridos en cada mes. 7. Una compañía tiene 4 fábricas, cada una emplea administradores, supervisores y trabajadores calificados en la forma siguiente:

Administradores Supervisores Trabajadores

Fab 1 1 4 80

Fab. 2 2 6 96

Fab. 3 1 3 67

Fab. 4 1 4 75

Los administradores ganan $ 350 a la semana, los supervisores $ 275 y los trabajadores $ 200. Cuál es la nomina de cada fábrica. 8. Producción. Una compañía de artículos electrodomésticos fabrica televisores, VCR y reproductores de CD en dos plantas, A y B. La matriz X representa la producción de las dos plantas para el minorista X, y la matriz Y representa la producción de las dos plantas para el minorista Y. Escriba una matriz que represente la producción de las dos plantas para ambos minoristas. Las matrices X y Y son como sigue:

A TV  20 X  VCR  45 CD  15

B

A

40  30  , 10 

TV  15 Y  VCR  30 CD  10

B 25  25  5 

9. Ventas. Sea A la matriz que representa las ventas (en miles de dólares) de una compañía de juguetes para tres ciudades en 1998, y sea B la matriz que representa las ventas para las mismas ciudades en el año 2000, en donde A y B están dadas por.

 400 350 150   450 280 850  ,  

A

Acción Educativo

B

Acción  380 330 220  Educativo  460 320 750 

Si la compañía compra a un competidor, y en 2001 duplica las ventas que consiguió el año 2000, ¿cuál es el cambio de las ventas entre 1998 y 2001?

10 . Los precios (en dólares por unidad) para tres libros de texto están representados por el vector de precios

P  26,25 34,75 28,50 Una librería universitaria hace un pedido de estos libros en las

 250    cantidades dadas por el vector columna Q  325 . Determine el costo total (en dólares) de la compra.   175  11 . Para el día de las madres, un florista hace tres arreglos florales (I, II y III), cada uno incluye rosas, claveles y lilas. La matriz A muestra el número de cada tipo de flor utilizado en cada arreglo.

I

II

rosas  5 A  claveles  6 lilas  4

8 6 3

III 7  7  , 3 

El florista puede comprar estas flores de dos diferentes mayoristas (M1 y M2) pero quiere adquirir todo con uno sólo. El costo de los tres tipos de flores con los dos mayoristas se muestra en la matriz B.

M1 M 2 rosas  1.5 1.35  B  claveles  0.95 1.00  , lilas  1.3 1.35  Construya una matriz para mostrar el costo de hacer cada uno de los arreglos florales con flores proporcionadas por los dos diferentes mayoristas.

12 . Acciones. Un agente de bolsa vendió a un cliente 200 acciones del tipo A, 300 del tipo B, 500 tipo C y 250 tipo D. Los precios por acción de A, B, C y D son $100, $150, $200 y $300 respectivamente. a. Escriba un vector fila que represente el número de acciones compradas de cada tipo. b. Escriba un vector columna que represente el precio por acción de cada tipo. c. Encuentre el costo total de acciones. 13. Inventario. Una tienda de mascotas tiene 6 gatitos, 10 perritos y 7 loros en exhibición. Si el valor de un gatito es de S/. 55, el de cada perrito es de S/. 150 y el de cada loro es de S/. 35, por medio de la multiplicación de matrices, determine el valor total del inventario de la tienda de mascotas. 14. Producción de automóviles. Resuelva los problemas siguientes utilizando la Regla de Cramer. a) Un fabricante de automóviles produce dos modelos, A y B. El modelo A requiere 1 hora de mano de obra para pintarlo y ½ hora de mano de obra para pulirlo. El modelo B requiere de 1 hora de mano de obra para cada uno de los procesos. Durante cada hora que la línea de ensamblado está funcionando, existen 100 horas de mano de obra disponibles para pintura y 80 horas de mano de obra para pulido. ¿Cuántos automóviles de cada modelo pueden terminarse cada hora si se utilizan todas las horas de mano de obra? b) Suponga que cada modelo A requiere 10 partes de tipo 1 y 14 de tipo 2, mientras que cada modelo B requiere 7 partes tipo 1 y 10 de tipo 2. La fábrica puede obtener 800 partes tipo 1 y 1130 de tipo 2. ¿Cuántos automóviles de cada modelo se producen, si se utilizan todas las partes disponibles? 15. Si el ministerio promocionó las ventas de viviendas de tres tipos: Vive Mejor, Mi Hogar y Mi Vivienda, ¿a qué precio debe vender cada vivienda para recuperar el monto de la inversión según tabla adjunta? (Resuélvalo por algún método matricial). Prog.

Créd.

Vive Mejor

Mi Hogar

Mi Vivienda

21

12

15

$ 1 035 100

14

15

10

$ 812 500

13

17

8

$ 782 500

Monto de Inversión