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UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES FACULTAD DE INGENIERÍA INSTITUTO DE CIENCIAS BASICAS

Álgebra Lineal Ejercicios

Matrices y Sistemas de ecuaciones lineales

Matrices y Sistemas de ecuaciones lineales 1.

La siguiente figura muestra las rutas de una línea aérea internacional que une cinco ciudades. Una línea que une dos ciudades indica que existe un vuelo directo entre ellas. A

B

C D

E

Esta información se puede representar mediante una matriz A = (a ij ) dada por: hay vuelo directo entre las ciudades i y j 1 si a ij =  0 si no existe vuelo directo entre las ciudades i y j Calcule A 2 y compruebe que la entrada ij de A 2 representa el número de rutas con una escala entre las ciudades i y j. 2.

Escriba por extensión las matrices A = (a ij ) de orden 3 definidas como sigue y luego calcule sus respectivas trazas.

a ij = 2i − j, 3.

a ij = mín {i, j}

− 3 si i = j a ij =   2i si i ≠ j

Calcule la traza de A = (a ij ) y B = (bij ) matrices de orden n definidas por:

a ij = 5i − 3 j,

i 2 + j si i = j bij =   j si i ≠ j

4.

y + z   8 1  x−y  =   Resuelva la relación matricial en x, y, z, v,   3v + x 2 x − 4 v   7 6 

5.

 1 4    2 − 3 1  , B =  − 2 Dadas matrices A =  0  0 − 2 5  3 − 1  

 − 1 − 1  , determine y C =   3 − 4

( 2 A − B t ) t C y la matriz X que satisface 2 ( AB − X ) t = C 2 . 6.

Considere las matrices A =  y 2

1 −3  ,B =   3 − z  0

0  5 1 ,C =  − 1 3 

2 p ,D =   6 0

− 1 , 0 

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2

 p +1 E= 2 p + p

 t . Sabiendo que A·B = C y calculando previamente el  (p + 1) ⋅ (p − 1) − p p −1

valor de y, z, determine la matriz X en términos de p tal que

1  y − 4  2   y − 3 7.

 z − 4 − X  = D ⋅ E .  z − 2 

 − 1 3 2 Considerando las matrices: A =   y B= − 2 0 1

− 1 2   2 − 1 , determine:  

 a 0 a) los valores de a, b y c de modo que − 3 b  = (B ⋅ A )t .  0 c  b) usando los valores de a, b, c calculados anteriormente, obtenga la matriz X que satisface:

  5 − b 2  2 ⋅  A ⋅ A t +  − X t  = 2 ⋅ B ⋅ I2 ; donde I2 es la matriz identidad.  5 + a c − 4  

8.

1 3 2   Si A =  1 − 1 2  , muestre que A 3 − 2A 2 − 9A = 0 pero que A 2 − 2A − 9I3 ≠ 0 .  1 2 1  

9.

2 2   . Considere A =   3 −1

a) Si f ( x ) = x 3 − 3x 2 − 2 x + 4 , obtenga f (A). b) Si g ( x ) = x 2 − x − f ( x ) , obtenga g (A).

10.

Determine la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: a)

La suma de matrices diagonales es una matriz diagonal

b) La suma de matrices simétricas es una matriz simétrica c)

La suma de matrices antisimétricas es una matriz antisimétrica

d) El producto de matrices diagonales es una matriz diagonal e)

El producto de dos matrices simétricas es una matriz simétrica

f)

El producto de dos matrices antisimétricas es una matriz antisimétrica

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3

 1 − 1  Considere las matrices A =  1 −1

11.

y

 2 1 − 2  para verificar que B =  −1 0 3 

Bt AB es simétrica. Suponga que A es una matriz simétrica cualquiera y que B es una matriz tal que Bt AB está definida para demostrar que Bt AB es simétrica. 12.

Suponga que A, B ∈ M n (ℜ) conmutan y son tales que A es simétrica y B es antisimétrica. Demuestre que A·B es antisimétrica.

13.

Si A es una matriz antisimétrica, demuestre que A 2 es simétrica. Si A es una matriz simétrica, ¿qué puede decir de A 2 ? Demuestre que ∀A ∈ M n (ℜ) , la matriz

14.

1 (A + A t ) 2

es simétrica y la matriz

1 (A − A t ) es antisimétrica. Use estos resultados para demostrar que toda matriz 2 cuadrada A se puede escribir como la suma de una matriz simétrica y una antisimétrica. 15.

Encuentre la forma característica que tienen todas las matrices que conmutan con la  2 − 1  . matriz A =   1 2

16.

Demuestre que si A es una matriz de orden n, A 2 = I ⇔ (I - A) (I + A) = 0.

3 1 5 17. Considere e1 = ( 1 0 0 ) , e2 = ( 0 1 0 ) , e3 = ( 0 0 1 ) y A = 2 0 1  . 1 1 7  a) Determine ei ·A, para i variando de 1 a 3.

18.

19.

b)

Si A es una matriz cualquiera de orden 3, describa e1 ·A.

c)

Generalice la situación observada para el caso en que A ∈ M n (ℜ) 1 5 7 − 3  , B =   Si A =   1 2  8 − 3 AXB = C.

y

 1 4  , resuelva para X la ecuación C =   −1 2

1 2  Sea A = 3 4  . Determine todas las matrices B tales que B·A = I.   1 4 

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4

 X t + Y  X − 2Y t

= At

con A, B ∈ M n (ℜ)

20.

Resuelva para X e Y el sistema

21.

an  a 1  , con a ∈ ℜ , demuestre que ∀n ∈ IN, A n =  Si A =  0 0 a 

22.

 1 1 1   Considere la matriz M =  0 1 1  0 0 1  

= 2B

na n −1  a n 

para determinar M 2 , M 3 y M k , con k ∈ IN .

n

Determine además Sn = ∑ M k . k =1

23.

 1 0 1   Sea A =  0 0 0  ; demuestre que ∀n ∈ IN, A n = 2n −1 A.  1 0 1  

24.

Calcule el determinante de las siguientes matrices.

1 1 1 A = 1 2 3 0 1 1

 1 2 3 B = − 1 0 5  0 1 2 1  F = − 1 0  2

 3 2 − 1 E = 0 4 − 3 1 − 2 2  25.

1 2 1 C = 1 3 2 1 0 1

1 2 G=  2  − 1

2 0 2 − 1 2 0 − 2  0 0 5

1 0

4 − 6 1 3 2 1 . 1 7 1  0 1 2

Calcule los determinantes:

a)

sen α − cos α

1

cos α

b) 1

sen α

1

26.

1 2 3 D = 4 5 6 3 1 2

2

a

a

b c

b2 c2

c)

a

1

1

1

1

a

1

1

1

1

a

1

1

1

1

a

Encuentre los valores de x que satisfacen: x−2 2 −1

x

1

2

1 −1 = 2

3

x−2 2 −1 x

1

1 −1 . 2 3

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5

27.

Demuestre que los siguientes determinantes tienen el valor que se indica:

a

a+b

b c

b = a 3 + b3 + c3 − 3abc b c a

a) c a

28.

a a a

a

a+b a a a+b a

a

a a a

= (4a + b) b3

a+b

Use el determinante de la matriz A para encontrar todos los valores de a de modo que A sea invertible: a)

29.

b)

a

a 1  1   A =  − a − 3 0  3 5 1  

1  a 1   b) A =  2 0 − 2a   3 1 a − 2  

Utilizando la matriz adjunta, obtenga, si existe, la inversa de cada una de las siguientes matrices:

3 2 −1 A = 0 4 − 3 1 − 2 2  1 D = 4   3

2 5 1

3 6  2 

 1 2 3 B = − 1 0 5  0 1 2 E=

 1  2   2  − 1

4 − 6 1 3 2 1  1 7 1  0 1 2

1 C = 1  1

F=

1 −1  0  2

2 3 0

1 2  1 

1 0 2 0 2 −1 2 0 − 2  0 0 5

30.

1+ a  a  es invertible y que A −1 = A . Demuestre que ∀a ∈ ℜ , la matriz A =  1 − a − a 

31.

Se dice que A ∈ M n ( κ) es involutiva si A 2 = In , que es idempotente si A 2 = A y que es ortogonal si AA t = In . ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? a) Si A es involutiva y ortogonal, entonces A es simétrica b) Si A es simétrica e involutiva, entonces A es ortogonal c) Si A es simétrica y ortogonal, entonces A es involutiva d) Si A es idempotente, entonces 2A − I n es involutiva

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6

32.

 1 2 0   Considere el polinomio p( x ) = x − x − 5x + 5 y la matriz A =  2 − 1 0  para  0 0 1   3

2

verificar que p(A ) = A 3 − A 2 − 5A + 5I3 = 0 . Use este hecho para demostrar que A es invertible y para calcular A −1. 33.

Una matriz A ∈ M n ( κ) se dice matriz escalar si A = αIn , para algún α ∈ κ . Sea A una matriz escalar; demuestre que A p = α p I n , p ∈ IN .

34.

Demuestre que si A ∈ M n ( κ) es invertible, entonces a) A·X = A·B ⇒ X = B -1 -1 b) A·B = B·A ⇒ A ·B = B·A .

35.

36.

37.

Si A ∈ M n ( κ) es una matriz idempotente, demuestre que 2A – I es invertible y que su inversa es ella misma

 1 1   Sean A =  2 2   −1 0   existe, determínela.

 3 1  . ¿Existe una matriz C tal que CA = B? Si y B =   − 4 4

Sean A, B, C ∈ M n ( κ) tales que B y C conmutan, C2 = 0 y A = B + C. Demuestre que a) CBn = Bn C , ∀n ∈ IN b) A n +1 = Bn (B + (n + 1)C) , ∀n ∈ IN

38.

Encuentre la matriz escalonada reducida por filas equivalente a:

 1 1 − 1   a)  1 2 0 3 4 2   0 1 −3 4   c)  2 − 5 7 1  0 −1 1 − 2  

 1 1 − 1   b)  1 2 0 3 4 2   1 0 3 − 3     2 2 −1 − 4 d)  3 1 2 − 8   −1 4  1 7  

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7

39.

Determine el rango de cada una de las matrices del ejercicio anterior.

40.

Encuentre todos los valores de k ∈ ℜ de modo que el rango de la matriz M sea 3, si 3 − 1 2 2   M = 3 1 1 0 k −1 − 2 1 

41.

42.

 1   3 Analice el rango de la matriz A =  a  −1  Encuentre todos los valores de k ∈ ℜ rango mínimo. 3 k A=  1  2

4 4 10 1  7 17 3  2 4 3

1

1

y

1 2 3 0 de

1  − 1 3 para a ∈ ℜ . − 2 0  − 4 3  modo que las matrices A y B tengan un 0

1 k − 1 2 B = 2 − 1 k 5  . 1 10 − 6 1 

43.

Determine las condiciones que debe cumplir h y k para que el rango de la matriz A 0 2 1   2 k − 2 0 sea dos, si A =  0 k −1 h + 2   0 −1 1 

44.

Calcule la inversa de las siguientes matrices usando operaciones elementales fila:

1 3 −5   a)  0 2 − 1 0 0 − 1   1 1 0   b)  2 1 1  3 2 2  

45.

1 3 1    c)  2 4 1   0 2 −1   0 −2  0  1 0  1 d)  −1 0 0   0 −1 1 

0  0 1  1

 − 1 k − 1   ¿Para cuáles valores de k ∈ ℜ la matriz A =  k − 3 0  es invertible? − 3 5 − 1 

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8

46.

Calcule la inversa de la matriz A = (a ij ) , de orden 4, definida por: para a ∈ ℜ ,

 1 si  a ij = − a si  0 si  47.

i=j j = i +1 otros

Resuelva para X la ecuación matricial

AX − Bt =

1 2 A 2

 2 − 2  A =  5 − 4

y

 1 1 1   A =  0 1 2  3 1 0  

y

si

 − 4 2  . B =   − 8 6 48.

49.

Resuelva

para

X

la

ecuación

(AX −1B) t = AB ,

donde

 0 0 1   B =  1 2 0 .  1 1 0   Mediante un modelo matemático el departamento de adquisiciones controla el stock H de tres artículos. El procedimiento consiste en ingresar diariamente las cantidades vendidas, las cantidades cotizadas por los clientes y el número de artículos defectuosos (actualización). Sabiendo que en cierto día la matriz de actualización es:  2 0 1 t A =  0 2 1  , calcule el stock H mediante la ecuación: ( 3·I3 − A)·H + B = C·H, en   1

1

 1 

donde B = [ 30 28 42 ] y C = 2·I3.

50.

 1 − 1    − 1 1 1  y B =  0 Considere las matrices A =  1 para obtener la matriz X tal  2 0 1  1 2   que X t AB = Bt A t . ¿Es BA invertible?

51.

52.

 2A t X + Y = Bt Resuelva para X e Y el sistema  t X − Y t B−1 = 0

1 1    Sea X = 1 2  ; determine si la matriz 1 1    ¿Cuál es el rango de A?

si A, B ∈ M n (ℜ) .

A = I − X (X t X ) −1 X t

es idempotente.

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9

53.

Para

k  1 0  2 k ∈ ℜ , se define A k =  − k 1 − k  . Demuestre que ∀k ∈ ℜ, A k 2  0 0 1 

es

invertible y calcule A −k 1 . Además demuestre que ∀p, q ∈ ℜ, A p + A q = A p + q . 54.

Exprese la inversa de cada una de las matrices del ejercicio 38 como producto de matrices elementales.

55.

En cada caso, determine si las siguientes matrices admiten una factorización LU. En caso afirmativo, encuentre una factorización para cada una de ellas:

56.

57.

1 4  a)   2 3

 − 1 5  b)   6 3

 1 4 6   c)  2 − 1 3   3 2 5   9 − 2 3   8 e)  6 − 3 4 6 5  

3 2 4   d)  3 6 − 1  0 −1 2   1 2 −1  0 −1 5 f)  2 3 1  1 −1 6 

En cada caso, escriba la ecuación matricial AX = B que sistemas de ecuaciones lineales:  x+y  x1 − x 2 + 5x 3 − 2 x 4 = 1    2x − 5y 2 x1 + 3x 2 − x 3 + 4 x 4 = 7 − x + 6 y 

4  8 4  4  representa a los siguientes

=

5

= −3 = 10

Encuentre todas las soluciones de los siguientes sistemas homogéneos:

a)

 x1 + 5x 2 + 11x 3   2 x1 + 3x 2 + 8x 3  − x + 2 x + 3x 2 3  1

= 0 = 0 = 0

b)

2 x1 + 4 x 2 + 6 x 3   4x1 + 5x 2 + 6 x 3  3x + x − 2 x 1 2 3 

= 0 = 0 = 0

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10

58.

59.

60.

61.

62.

c)

2 x1 + 3x 2 + x 3   x1 + 2 x 2 + x 3  − x1 + x 2 

e)

 − x + 2 y + 5z + w = 0   3x − 2 y − 9 z + w = 0  x − 4 y − 8z − 3 w = 0 

d)

 x+y−z  4x − y + 5z   − 2x + y − 2z  3x + 2y − 6z

f)

 x1 + 5x 2 + 11x 3   2 x1 + 3x 2 + 8x 3  − x + 2 x + 3x 2 3  1

= 0 = 0 = 0

= 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0

Determine el o los valores de k ∈ ℜ de modo que el sistema AX = 0 tenga 1 − 1 1   soluciones no triviales si A =  2 − 4 k  3 7 − 1  3 1 −2   ¿Para cuáles valores de a ∈ ℜ , el sistema AX = 0, con A =  4 1 − 1 tiene 2 −1 a    solución única? x1 + x 2 + ax 3 = 0  Analice las soluciones del sistema x1 + ax 2 + x 3 = 0 dependiendo de los ax + x + x = 0 2 3  1 valores de a ∈ ℜ .

1 a 1 1   Sea A =  1 a 1 1 con a ∈ ℜ . Demuestre que por lo menos para un valor  a − a 0 − 2   de a ∈ ℜ , el sistema AX = 0 tiene infinitas soluciones que se expresan en términos de dos parámetros. Resuelva los siguientes sistemas cuando ellos sean compatibles:

a)

 x + 2y − z = 1  y − 2z = 5  2 x − 3y + 3z = 3 

b)

x1 + x 2 + x 3 = 4   2 x1 + 5x 2 − 2 x 3 = 3  x + 2x + x = 8 2 3  1

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11

63.

c)

 2 x1 − 3x 2 + x 3   x1 + 5x 2 − 3x 3 5x + 12x − 8x 2 3  1

e)

 x1 + x 2 + 2 x 3 + x 4  2 x1 + 3x 2 − x 3 − 2 x 4  4 x1 + 5x 2 + 2 x 3 

d)

 x + 2y − w 4x + 2 y − 2z    x − y + 3w  9x + 3y + 3z

f)

 x1 + 2 x 2 − 3x 3 − 4x 4   x1 + x 2 + x 3 − 2 x 4 2 x + 5 x − 2 x − 5 x 2 3 4  1

= 0 = 3 = 9

= 5 = 2 = 7

= −4 = = =

0 6 −1 =

6

= 4 = 10

Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales usando la Regla de Cramer:

= 0  x + y −z  a) 6x − 12y + 9z = 0  3x + 7y − z = 0 

= 4  x1 + x 2 + x3  b) 2x1 + 5x 2 − 2x3 = 3  x + 2x + x = 8 2 3  1

 x + 2y − u 4 x + 2 y − 2 z  c)   x − y + 3u  9 x + 3y + 3z

= −4 =

0

=

6

=

−1

64.

Determine el o los valores que debe alcanzar k ∈ ℜ de manera que el sistema  3x1 − kx 2 + 2 x 3 = k − 1  2 x1 − 5x 2 + 3x 3 = 1 sea compatible.  x + 3x − (k − 1) x = 0 2 3  1

65.

Determine el o los valores que debe alcanzar k ∈ ℜ de modo que el sistema (5 − k ) x1 − 2 x 3 = 1   5 tenga solución única. 4 x1 − (1 − k ) x 2 + 3x 3 =  2 x1 + (1 − k ) x 3 = − 1 

66.

Determine el o los valores que debe alcanzar c ∈ ℜ de modo que el sistema x + 2y + z = c   sea incompatible. cx + y + (c + 1)z = 1  x + cy + (c − 1)z = 0 

67.

x+y−z = 1   Determine los valores de k ∈ ℜ de modo que el sistema: 2 x + 3y + kz = 3  x + ky + 3z = 2  a) No tenga solución.

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12

b) Tenga solución única. c) Tenga solución con más de un elemento 68.

69.

Analice la compatibilidad y las soluciones de los siguientes sistemas de acuerdo a los valores que tomen las constantes reales que aparecen.

a)

λ x + y + z = 1   x + λy + z = λ x + y + λz = λ2 

c)

x1 + 2 x 2 + x 3 = a   ax1 + x 2 + (a + 1) x 3 = 1  x + ax + (a − 1) x = 0 2 3  1

e)

(a + 1) x1 + x 2 + x 3  x1 + (a + 1) x 2 + x 3 x + x + (a + 1) x 2 3  1

b)

f)

= a = b = c

= a + b −1 = = =

a b 5a − 2b

2 x1 + x 2 + mx 3  x1 + x 3  2 x + mx + x 2 3  1

= m = 1 = m

En cada caso, resuelva el sistema AX = B usando una factorización LU para la matriz A:

1 4  − 2  B =   a) A =   2 3  4   1 4 6  − 1     c) A=  2 − 1 3  B=  7   3 2 5  2     2  2 −1  1     e) A=  − 6 0 − 2  B=  0   8 −1  4 5    

70.

−2 a

 x + 2y  3x − 7 y    x+y 5x − 13y

d)

= 2−a = =

2 x1 − 3x 2 + x 3  x1 + 2 x 2 − 3x 3  x1 − x 3 

1 b) A =  0 2  d) A=  4 2 

2  − 1  B =   3 4 1 7 6    3 5  B=  1  1 1 6   

3 −1  2  7 2  4 f) A =  −2 5 −2   0 −4 5 

6 1    1 0 B = 0 0     4 2   

Resuelva el sistema AX = B usando la factorización LU dada para la matriz A:

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 3 − 7 − 2   a) A= − 3 5 1  6 − 4 0    4 3 − 5   b) A= − 4 − 5 7  8 6 − 8   71.

− 7   B=  5   2    2   B=  − 4   6  

Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales usando descomposición LU:

 2x + 5y = 2 a)   − 3x − 4 y = 3

− 5 x + 3 y + 4 z = 0  c)  10 x − 8 y − 9z = 0  15x + y + 2z = 0 

72.

 1 0 0  3 − 7 − 2    A =  −1 1 0  0 − 2 −1  2 − 5 1  0 0 − 1      1 0 0  4 3 − 5    A =  −1 1 0  0 − 2 2   2 0 1  0 0 2   

b)

3x 1 − x 2 + 2 x 3   − 3x 1 − 2 x 2 + 10 x 3  9 x − 5x + 6 x 1 2 3 

d)

 2 x1 − 4 x 2 + 2 x 3   x1 + 5x 2 − 4 x 3 − 6 x − 2 x + 4 x 1 2 3 

= 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0

Un empresario tiene tres máquinas que son empleadas en la fabricación de cuatro productos diferentes. Para utilizar plenamente las máquinas, estas estarán en operación 8 horas diarias. El número de horas que cada máquina es usada en la producción de una unidad de cada uno de los cuatro productos está dado por

Máq. 1 Máq. 2 Máq. 3

Prod. 1 1 2 1

Prod. 2 2 0 2

Prod. 3 1 1 3

Prod. 4 2 1 0

¿Cuántas unidades de cada producto se deben producir en un día bajo el supuesto que cada máquina se usa diariamente durante 8 horas? 73.

Un dietista quiere combinar los alimentos A, B y C de manera que la mezcla obtenida contenga 900 unidades de vitaminas, 750 unidades de minerales y 350 unidades de grasa. En la siguiente tabla se indican las unidades de vitaminas, minerales y grasa contenidas en cada gramo de los tres alimentos

1 gr. A 1 gr. B 1 gr. C

Vitaminas 35 u 10 u 20 u

Minerales 15 u 20 u 15 u

Grasa 10 u 10 u 5u

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¿Cuántos gramos de cada alimento se deben emplear para obtener la mezcla requerida? 74.

Dos productos A y B compite. Las demandas x A y x B de estos productos están relacionadas con sus precios p A y pB mediante las ecuaciones de demanda: 1 1 x A = 17 − 2p A + p B y x B = 20 − 3p B + p A 2 2 1 1 1 y pB = 2 + x B + x A Las ecuaciones de oferta son: p A = 2 + x A + x B 3 2 4 que indican los precios a los cuales las cantidades x A y x B estarán disponibles en el mercado. Calcule los valores de equilibrio de x A , x B , pA y p B

75.

Un fabricante de ropa de algodón ha decidido dedicarse a producir sólo 5 artículos: P1 poleras sin mangas, P2 poleras manga corta, P3 poleras manga larga, P4 polerones con cuello y P5 polerones con capuchón. La producción pasa por tres etapas: E1 corte, E2 costura, E3 remates, E4 planchado y E5 empaquetado y, el tiempo requerido, en minutos, por cada producto en cada etapa aparece en la siguiente matriz:

P1 P 2 P3 P 4 P5 E1

9

12

15

15

20

E2

22 24

28

25 30

E3

6

8

8

8

8

E4

5

6

8

8

10

E5

3

2

2

3

4

Se ha estimado que los departamentos de corte, costura, remaches, planchado y empaquetado disponen diariamente de un máximo de 130, 240, 72, 68, 24 horas (hombre) de trabajo, respectivamente. ¿Cuántos artículos de cada tipo se pueden producir al día si la fábrica opera a toda su capacidad?

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Respuestas a los ejercicios impares

1.

3. 5.

7. 9. 11.

13. 15. 17.

19. 21. 23. 31. 33. 35. 37. 39. 41. 43.

 3 1 1 2 2   1 2 2 1 1 A2 =  1 2 3 2 1    2 1 2 4 1    2 1 1 1 2 tr(A) = n(n+1), tr(B) = n(n+1)(n+2)/ 3 13   − 15  12   t t (2A − B ) C =  − 8 20  , X =  29   34 − 43   2  

a) a = -3, b = 6, c = 3. − 4 f (A ) =   12  9  B= 3  − 15 

8   − 16 

;

33  2  − 23  2 

14 4   b) X =   4 3 12 − 8   g (A ) =  12 − 16 

− 15   1 −5  − 5 25  3

Si A es simétrica, A 2 también lo es.  a b  con a, b ∈ ℜ La forma es  − b a a) e1 ⋅ A = (3 1 5 ), e2 ⋅ A = (2 0 1),

e3 ⋅ A = (1 1 7)

b) e1 ⋅ A corresponde a la matriz formada por la primera fila de A. c) e i ⋅ A corresponde a la matriz formada por la i-ésima fila de la matriz A.  − 2 − 4x x + 1 x   , con x, y ∈ ℜ Las matrices B son las de la forma B =  3  − 4y y − 1 y  2  2  Indicación: use inducción matemática. Indicación: use inducción matemática. Todas son verdaderas. Indicación: use inducción matemática. Indicación: multiplique (2A – I) (2A - I) Indicación: use inducción matemática. a) 3 b) 3 c) 3 d) 3 si a = - 20 3 rango(A) =  4 si a ∈ ℜ - {- 20} h = -1 y k = 0

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45. 47. 49.

51.

Para k ∈ ℜ − {2, 3}  11 21   X =  29  24   2   14    H =  28   16   

53. 55. 57.

X = ( 2 A t + B t ) −1 B t , Y = B t ( 2 A t + B t ) −1 B t Para todo k, rango de A es 3. a) Sí b) Sí c) Sí d) No a) (-1, -2, 1) λ, λ ∈ ℜ b) c) (0, 0, 0) d) f) e) (4,4,2,0)λ + (−1,−1,0,1)µ; λ, µ ∈ ℜ

59.

a ∈ℜ− 5

61. 64. 66.

Si a = 1, las infinitas soluciones se expresan en términos de dos parámetros. k ∈ ℜ − {5} c=0 o c=2

68.

( λ +1) 2 a) Para todo λ ∈ ℜ − {1, − 2} existe solución única ( − λ +1 , 1 , )

e) Sí (0, 0, 0) (0, 0, 0) (0, 0, 0)

f) Sí

{3}

λ+2

λ+2

λ+2

Si λ = 1 , existen múltiples soluciones: (-1, 1, 0)a+(-1, 0, 1)b+(1, 0, 0); a, b ∈ ℜ Si λ = −2 el sistema es incompatible. b) Sistema compatible si y sólo si 2a + 3b – 7c = 0. En este caso las soluciones son múltiples y se expresan así: (1, 1, 1) λ + ( c , 2 c − a , 0 ), λ ∈ ℜ 3

3

3

2

3

c) Solución única ( a + 2 a − 2 , a − 2 a − 2 a + 2 , a − 2 a + 2 ), ∀a ∈ ℜ − {0, 2} 2 a (a − 2 )

2 a (a − 2)

2a (a − 2 )

d) Sistema compatible si y sólo si a = 2 y b = 4. En este caso la solución es (3, 1) e) Sistema con solución única ( 2 − a , − 2 , 1), ∀ a ∈ ℜ − {0 , − 3} a

a 1 f) Sistema con solución única ( , m − 2 , m − 2 ), ∀ m ∈ ℜ − { 1 } . Si m = 1, m − 1 m −1 m − 1

existen infinitas soluciones que se escriben ( − 1, 1, 1) λ + (1, 1, 0 ), λ ∈ ℜ 70.

72.

74.

1  3  4   a) X =  4  b) X =  2     − 6 1     Fabricar 3, 1, 1, 1 de los productos 1, 2, 3, 4 respectivamente, suponiendo que se produce por lo menos un artículo de cada tipo. También es solución producir 4 prod 1 y 2 prod 2. Y también es factible producir 2 prod 1, 2 prod 3 y 2 prod 4. x A = 4, x B = 6, p A = 8, p B = 6

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