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MATERIAL DE APOYO FISICA 1 Universidad de San Carlos de Guatemala Facultad de Ingenieria Departamento de Fisica Ing. Jorge Gilberto Gonzalez Padilla Bibliografia: Fisica Universitaria Sears Semansky Capitulo 9, 12va. Edición.

Objetivo: El objetivo de este material es realizar un material el cual ayude a los estudiantes de ingenieria que cursan fisica 1 el cual les sirva para resolver dudas sobre el contenido realizado del curso. I.

U NIDAD 1: M OVIMIENTO ROTACIONAL

I-A. Posición, Velocidad y Aceleración angular(instantáneas y medias) Ejercicio 9.5 P agina 308 Un niño está empujando un carrusel (tiovivo). El ángulo que describe el carrusel al girar varía con el tiempo según rad θ(t) = at + bt3 donde a = 0.400 rad seg y b = 0.0120 seg 3 a) Calcule la velocidad angular del carrusel en función del tiempo. b) ¿Qué valor inicial tiene la velocidad angular? c) Calcule el valor instantáneo de la velocidad ω en t = 5.00s. Solucion: primero observamos los datos que tenemos. Datos: tenemos la ecuacion para obtener la posicion angular θ(t) = at + bt3 y rad savemos que a = 0.400 rad seg y b = 0.0120 seg 3 dθ a) Savemos que ω(t) = entonces realizamos la deriviada: dt dθ d(at + bt3 ) = = a + 3bt2 dt dt b) En el inciso b nos pide la velocidad angular inicial la cual es la velocidad en t=0 la cual es el valor de a por lo que: ω(t) =

ω(0) = a + 3b(0)2 = a = 0.400 rad seg c) El valor de la velocidad en t = 5seg es valuar el valor de t en la ecuacion ω(t) = a + 3bt2 por lo que valuamos el valor de t y sustituimos los valores de .a "b.entonces tenemos que: 2

ω(5) = (0.400 rad seg ) + 3(0.0120

rad )(5)2 = 1.3 rad seg seg 3

Ejercicio 9.8 : P aginga 309 Una rueda gira en torno a un eje que está en la dirección z. La velocidad angular ω es de -6.00 rad/s en t=0.00, aumenta linealmente con el tiempo y es de +8.00 rad/s en t=7.00 s. Se

considera positiva la rotación antihoraria. a) ¿La aceleración angular durante este intervalo de tiempo es positiva o negativa? b) Determine el desplazamiento angular de la rueda en t=7.00 s. Solución: ∆ω a) Savemos que α = entonces savemos que: ∆t rad +8 − (−6) = +2 α= 7−0 seg 2 R// La aceleracion es positiva en el intervalo dado. b) Savemos de θ = ω ∗ t y savemos el valor de ω en t=7s entonces encontramos el valor del desplazamiento angular. θ = (+8.00rad/seg) ∗ (7.00seg) = 56rad. I-B.

Rotación con aceleración angular constante

Ejercicio 9.10: Página 309 Un ventilador eléctrico se apaga, y su velocidad angular disminuye uniformemente de 500rev/min a 200rev/min en 4.00 s. a) Calcule la aceleración angular en rev/s2 y el número de revoluciones que el motor giró en el intervalo de 4.00 s. b) ¿Cuántos segundos más tardará el motor en parar, si la aceleración angular se mantiene constante en el valor calculado en el inciso a)? Solución: a) observamos que las velocidades angulares que nos dan estan en rev/min y el tiempo nos lo dan en segundos por lo que convertimos las velocidades angulares a rev/seg de lo cual tenemos: rev 1min rev ωo = 500 ∗ = 8.33 y min 60seg seg rev 1min rev ωf = 200 ∗ = 3.33 min 60seg seg ωf − ωo Savemos que α = sustituyendo los valores de las t velocidades angulares y el tiempo tenemos: 3.33 − 8.33 rev α= = −1.25 4 seg 2 b) Savemos que la ecuacion para encontrar el tiempo es: ωf − ωo t = ahora savemos que la aceleracion va a ser α la misma que encontramos anteriormente y que ahora la velocidad angular inicial va a ser 3.33 rev/seg y la velocidad angular final va a ser 0 por lo que obtenemos que el tiempo en que se detiene va a ser igual a:

2

0 − (3.33) = 2.67seg −1.25 Ejercicio 9.19 Página 309 En t =0, la velocidad angular de una rueda de afilar era de 24.0rad/s, y tuvo una aceleración angular constante de 30.0rad/s2 , hasta que un interruptor de circuito se abrió en t =2.00 s. A partir de ese momento, la rueda giró 432 rad con aceleración angular constante hasta parar. a) ¿Qué ángulo total giró la rueda entre t =0 y el instante en que se detuvo? b) ¿En qué tiempo se detuvo? c) ¿Qué aceleración tenía al irse frenando?

Solución.

t=

Solución: a) Savemos que para encontrar el angulo total que giro la rueda es el angulo que giro la rueda hasta que el interruptor se abrio mas la distancia que recorrio despues que el circuito se abrio, para encontrar el angulo que giro la rueda hasta que el interrupotor se abrio utilizamos esta ecuacion: θf − θo = vo t + 12 αt2 se la cual savemos que θo = 0 y vo = 24rad/seg y α = 30rad/seg 2 ) y t=2.00 seg., entonces obtenemos el angulo recorrido el cual nos da: 1 θ = 0 + (24 ∗ 2) + ( )(30)(2)2 = 108rad 2 la hacer la suma de angulos obtenemos el angulo total que recorrio la rueda: θtot = 108rad + 432rad = 540rad Nota: la distancia de 432 rad nos la da el problema. b) Para encontrar el tiempo en que se detuvo usamos la 2(θf − θo ) siguietne ecuacion t = de la cual savemos ωf + ωo que θf = 432rad y θo = 0rad y ωf = 0rad/seg y ωo = 84rad/seg tomamos esos valores porque tomamos como punto inicial cuando el interruptor se abrio entonces obtenemos que el tiempo que tardo en detenerse es de: 2(432 − 0) = 10.3seg 84 + 0 c) Para obtener la aceleracion angular con la que se detuvo ωf − ωo usamos la siguiente ecuacion α = de los cuales t usamos los datos antes utilizados de lo cual obtenemos que la aceleracion con la que se detuvo es: 0 − 84 α= = −8.15rad/seg 2 10.3 Nota: El signo negativo nos dice que es una contra aceleracion al movimiento la cual hace que se frene y se dentenga la rueda. t=

I-C.

Relación entre cinemática lineal y angular

Ejercicio 9.23: Página 310 Una rueda con diámetro de 40.0 cm parte del reposo y gira con una aceleración angular constante de 3.00rad/s2 . En el instante en que la rueda ha completado su segunda revolución, calcule la aceleración radial de un punto en el borde de dos maneras: a) usando la relación arad = ω 2 r a partir de la relaciónarad = v 2 /r

Para realizar el problema mostrado nos indica que tenemos dos formas diferentes de hacer las cuales nos pide el primer metodo solicitado es por medio de utilizar arad = ω 2 r el metodo el cual utilizaremos la siguiente ecuación ωf2 = ωo2 +2α(θf −θo ) de la cual encontramos valuamos datos y obtenemos el valor de ωf p ωf = 2α(θf − θo ) + ωo2 al sutituir datos en la ecuacion savemos que la velocidad angular inicial es cero al igual que la posición inicial entonces tenemos que: p ωf = 2(3)(4π) = 8.68rad/seg Para el segundo inciso tenemos que hayar la velocidad radial la cual la obtenemos de la siguiente ecuación: v = rω de la cual tenemos que: v = ω ∗ r = (8.68)(0.40) = 3.472m/s a) Obteniendo la aceleracion radial del primer metodo solicitado obtenemos: arad = ω 2 r = (8.68)2 (0.40) = 30.13m/seg 2 b Obteniendo la aceleracion radial por el segundo metodo solicitado obtenemos que: arad = v 2 /r = (3.472)2 /(0.40) = 30.13m/s2 P roblema 9.30 Página 310 En t=3.00 s, un punto en el borde de una rueda con radio de 0.200 m tiene una rapidez tangencial de 50.0 m/s, mientras la rueda se frena con aceleración tangencial de magnitud constante de 10.0 m/s2 . a) Calcule la aceleración angular constante de la rueda. b) Calcule las velocidades angulares en t=3.00 s y t =0.0 c) ¿Qué ángulo giró la rueda entre t=0 y t=3.00 s? d) ¿En qué instante la aceleración radial es igual a g? Solucion: a) Para resolver el primer enunciado tenemos que saver que la ecuación que relaciona la aceleracion angular de la rueda con la aceleración tangencial de la rueda es la siguiente α = atan /r de la cual tenemos lo que es la aceleracion tangencial (Nota: atan se toma negativa porque esta frenando)y el radio de la rueda por lo que hayamos la aceleracion agular de la rueda de la siguiente manera. −10 sm2 atan α= = = −50.0 rad s2 r 0.200mts. b) Para encontrar las velocidades angulares en t=0 y t=3 primero encontraremos la velocidad tangencial en t=0 por la siguiente ecuación: vo = vf +a(∆t) = 50m/s+(−10m/s2 )(0s−3.0s) = 80m/s Ahora encontramos las velocidades angulares por la siguiente ecuacion: ω= ω0 =

v r

80 = 400rad/seg 0.200

3

50 = 250rad/seg 0.200 c) para encontrar la distancia recorrida entre el intervalo de tiempo de o a 3 segundos savemos que la posicion angular o distancia recorrida se puede hallar con la siguiente ecuación: 250 + 400 ωf + ωo )t = ( )(3) = 975rad = 155rev θ=( 2 2 ω3 =

I-D.

Energía en el movimiento rotacional

Ejercicio 9.47 Página 311 Se almacenará energía en un volante con forma de disco sólido uniforme con radio R=1.20 m y masa de 70.0 kg. Para evitar que falle estructuralmente el volante, la aceleración radial máxima permitida de un punto en su borde es de 3500 m/s2 . ¿Qué energía cinética máxima puede almacenarse en el volante? Solución: Para resolver este ejercicio sabemos que la energia cinetica total para un disco es de K = 12 Iω 2 y sabemos tambien que arad = Rω 2 entonces despejamos ω 2 de la ecuacion, tambien sabemos que Idis = 21 M R2 entonces tenemos que: 2 arad ω2 = = 2916 rad s2 y R Idis = (0.50)(70.0)(1.20)2 = 50.4Kg.m2 Entonces tenemos que la energia total del disco es de: K = 12 Iω 2 = (0.5)(50.4)(2916) = 7.35 ∗ 104 J. Ejercicio 9.49 Una polea sin fricción tiene la forma de un disco sólido uniforme de masa 2.50 kg y radio 20.0 cm. Una piedra de 1.50 kg se une a un alambre muy delgado que se enrolla alrededor del borde de la polea (figura 9.32), y el sistema se libera del reposo. a) ¿Qué tan lejos debe caer la piedra para que la polea tenga 4.50 J de energía cinética? b) ¿Qué porcentaje de la energía cinética total tiene la polea?

r 2Kd 2(4.50) ω= = = 13.4rad/seg Id 0.0500 Ahora encontramos la velocidad tangencial del disco: vt = ω ∗ r = (0.200mts)(13.4rad/seg) = 2.68m/s = Vp r

Con la velocidad de la piedra encontramos la energia cinetica de la piedra Kp y luego por concervacion de la energia del sistema encontramos la altura total que recorrio la piedra, savemos que la energia inicial del sistema es cero xq esta en reposo y tomamos como referencia la poscicion del disco o polea. Kp = 1/2(Mp )(Vp2 ) = (0.5)(1.50)(2.68)2 = 5.39J Eo = Ef ⇒ 0 = Kp + Kd + Up 0 = (5.39) + (4.50) + (Mp (g)(−h) Despejamos h 9.89 9.89 = = 0.673mts. Esta es la distancia h= mg (9.8)(1.50) total que recorrio la piedra para que la polea tuviera una energia cinetica de 4.50 J. b) Para encontrar el porcentage total de energia cinetica que tiene la polea, sabemos que el 100 por ciento de la energia cinetica es de 9.89 entonces es la relacion de estas dos. Kd 4.50 = 45.5porciento = Ktot 9.89 I-E. Cálculos de momentos de inercia y Teorema de las ejes paralelos Ejercicio 9.56 Página 311 Use el teorema de los ejes paralelos para demostrar que los momentos de inercia dados en los incisos a) y b) de la tabla 9.2 son congruentes.

Gráfica 1: Titulo

Solución: a)Primero observamos que la velocidad tangencial de la polea va aser la misma velocidad con la que cae la piedra entonces por medio de la ecuacion de inercia de la polea que es la de un disco encontraremos la velocidad angular de la polea luego encontraremos la velocidad tangencial de la piedra, tambien savemos la enercia cinetica que debe tener la polea. K = 12 Iω 2 = (0.5)(2.50)(0.200)2 = 0.0500K.m2 Id = Entonces despejamos la velocidad angular de la primera ecuación y obtenemos que: 1 2 2 Md R

Gráfica 2: Titulo

Solución: a) Sabemos que para encontrar el momento de inercia de una barilla delgada por definición sabemos que en el centro el 1 momento es mL2 12 b) Para encontrar el momento de inercia de una barilla delgada por uno de sus costados utilizando el teorema de ejes paralelos tenemos que:

4

I = Icm + md2 =

1 2 12 mL

2

+ m( 2l ) =

ml2 3

Ejercicio 9.60 Página 312 Utilizando la información de la tabla 9.2 y el teorema de los ejes paralelos, calcule el momento de inercia de la varilla delgada de masa My longitud Lde la figura 9.23 alrededor de un eje que pasa por O, a una distancia arbitraria h de un extremo. Compare su resultado con el obtenido por integración en el ejemplo 9.11 (sección 9.6) Solución: Viendo el ejemplo de la seccion 9.6 del libro podemos observar que la distancia al centro de la barilla es de d = (l/2−h) por lo que usando el teorema de ejes paralelos para encontrar el momento de inercia al punto se hace de la siguiente manera: l2 I = Io + md2 = m[ + ( 2l − h)2 ] 12 l2 l2 l2 I = m[ + − hl + h2 ] = m[ − hl + h2 ] 12 4 3 I-F.

Torque o Momento de torsión respecto de un eje