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Iñaki Carrascal Mozo. Trigonometría. Fórmulas y Problemas de Yahoo! Respuestas v1.5. 07/02/2013

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Trigonometría. Iñaki Carrascal Mozo. fí[email protected] http://www.carrascal.net46.net/físicas/ v1.0: 22/11/2012. Última actualización: v1.5: 07/02/2013 Autor

Iñaki Carrascal Mozo

Título del documento de Matemáticas

Trigonometría

Fecha creación - Nº preguntas resueltas / páginas cuando fue creado

V 1.0 - 22/11/2012 – 11 preguntas / 8 pág.

Fecha actualización - Nº preguntas resueltas / páginas en la actualidad

V 1.5 - 07/02/2013 – 20 preguntas / 14 pág.

Enlace (Link) del documento

http://es.scribd.com/I%C3%B1akiCarrascal

http://www.scribd.com/doc/114224936/Matematicas-Trigonometria-by-Carrascal

Puesto 3º en “Los mejores de Física”. 93 % Mejor Respuesta. 79 fans. Nivel 7. 25.680 puntos. 1759 preguntas (07/02/2013)

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El 11 de octubre de 2012 me hice miembro de Yahoo! Respuestas y me puse a resolver ejercicios que planteaba la comunidad. Me gustaba el planteamiento de que alguna duda que tuviera alguien pudiera resolverla uno o varios compañeros a través de internet. En (exactamente) un mes alcancé el Nivel 6 (superando los 10.000 puntos). Y en (justamente) dos meses he superado los 17.000 puntos y me he colado hasta el 3º puesto de los “Mejores de Física”. Desde el 07 de febrero de 2013 ocupo el Nivel 7. Soy “Colaborador destacado” en Física, Matemáticas e Ingeniería (y también lo fui en Software). Desde el 23 de noviembre estoy entre los 10 primeros puestos de “Los mejores de Física”, el 03 de diciembre ocupé el 7º puesto, el 15 de diciembre el 5º lugar y el 07 de febrero de 2013, el tercer puesto. He alcanzado un 93 % de Mejor Respuesta. A fecha 07/02/2013 llevo contestadas 1759 preguntas, con 25.680 puntos (nivel 7), tengo un 93 % de Mejor Respuesta, ocupo la 3ª posición de “Los Mejores de Física” y tengo 79 “fans”. A continuación presento unas cuantas preguntas de Yahoo! Respuestas que yo mismo resolví, con la fecha en que lo hice. En la mayoría de ellas he respetado la pregunta original. Quizá haya corregido alguna falta de ortografía o mejorado un poco el enunciado para hacerlo mas claro. Con el tiempo iré ordenando los ejercicios por orden de dificultad creciente. Aunque muchos problemas pueden resolverse de otra forma, creo que las respuestas que he dado son la manera más adecuada de hacerlo, fruto de años de docencia de Física y Matemáticas a nivel universitario. Las respuestas están tal y como las respondí en su momento, con el (sencillo) editor de textos de Yahoo. He procurado poner paréntesis para clarificar las mismas. Las potencias las indico con: ^ (5^4); la raíz cuadrada, con ^(1/2), con SQRT o con “raiz” (ej. raiz (2) = 2^(1/2)); la integral como “integral”. No puedo emplear subíndices (ej. radio de la Tierra: RT; épsilon sub o)... Si alguna de las respuestas es incorrecta, que puede, pues todos somos humanos y de vez en cuando nos confundimos, podéis comunicármelo por correo electrónico: fí[email protected] . Revisaré mi respuesta y la que me indiquéis y la corregiré si es necesario. El 18/11/2012 me agregué al foro100cia y el 09/12/2012 al Grupo de Facebook Ayudémosnos en matemáticas por lo que también he incluido mis respuestas a ejercicios que he resuelto a través del foro o de Facebook. Tras este pequeño prólogo, indico las fórmulas más usuales que aparecen en el tema. Con el tiempo quizá explique cómo usarlas y cómo resolver determinados “problemas modelo”. También señalo otras secciones relacionadas con el capítulo que estamos estudiando con su enlace al documento de Scribd correspondiente. Siempre podéis recurrir a mi página web para consultar mas fórmulas y datos: http://www.carrascal.net46.net/físicas/ y a Wikipedia: http://es.wikipedia.org/ . Podéis difundir este documento entre vuestros compañeros. Respetad, eso sí, el formato del mismo, su autoría y la marca de agua con mi foto. ¿A que molo de pequeño? Este documento se estará actualizando continuamente por lo que es recomendable que consultéis la última versión (actualizada con nuevos ejercicios) desde mi perfil en Scribd: http://es.scribd.com/I%C3%B1akiCarrascal Gracias a quienes habéis preguntado y respondido también. Un saludo a todos y espero que estos problemas os puedan servir en vuestros estudios. Iñaki Carrascal Mozo. Desde Castrillo de Don Juan, un pequeño pueblo de Palencia (España) Si queréis visitar mi pueblo, echad una ojeada a mi web: http://www.castrillodedonjuan.netai.net/

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Fórmulas de trigonometría (by Carrascal) Triángulo de catetos a (contiguo al ángulo) y b (opuesto al ángulo) e hipotenusa c Seno: sen θ = b / c ; Coseno cos θ = a / c; Tangente: tan θ = b / a = sen θ / cos θ Cosecante: cosec θ = 1 / sen θ Secante: sec θ = 1 / cos θ Cotangente: ctg θ = 1 / tg θ 2

2

sen θ+ cos θ=1

Teorema del seno (A es el ángulo opuesto al lado a...) :

a b c = = ̂ sin ̂ A sin ̂ B sin C

Teorema del coseno (q es ángulo opuesto al lado a): a 2=b2+ c 2 – 2 b c cosθ

seno coseno

0º

30º

45º

60º

0

1 2

√2

√3

2

3

√3

√2

3

2

1

1 2

90º 1 0

Mis respuestas a las preguntas de Yahoo! Respuestas v 1.5 (07/02/2013. 20 preguntas) Evaluando expresiones Pregunta 01. Resuelta el 08/12/2012 Calcular la expresión: (Sec 30 csc 45) / (Cot 45 tan 30) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Mozo Mozo Un Genio es un usuario brillante en una categoría. -La secante es la inversa del coseno sec 30º = 1 / cos 30º El cos 30º = (raiz 3) / 2, luego sec 30º = 2 / raiz 3 -La cosecante es la inversa del seno cosec 45º = 1 / sen 45º El sen 45º = (raiz 2) / 2, luego cosec 45º = raiz 2 (después de racionalizar) - La cotangente es el coseno entre el seno ctg 45º = cos 45 / sen 45 = 1 (pues el sen y el cos de 45 coinciden) - la tangente es el seno entre el coseno tg 30º = sen 30º / cos 30º = (1/2) / (raiz 3)/2 = 1 / raiz 3 El cociente que pides es, pues: (2 / raiz 3)·raiz 2 Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 22/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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-------------------- = 2 · raiz 2 1 · 1/(raiz3) Comprobar identidades Pregunta 02. Resuelta en octubre de 2012 ¿Ayuda para solucionar una identidad Trigonométrica!? sen2x + csc2x = sec2x csc2x Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Mejor respuesta - Elegida por la comunidad Lado izquierdo: cosec 2x = 1 / sen 2x sen 2 x + cosec 2 x= ( (sen 2x)^2 +1 ) / (sen 2x) Lado derecho: sec 2x = 1 / (cos 2x) ; sec 2 x · cosec 2 x = 1 / ( cos 2x · sen 2x) Así pues: ((sen 2x)^2 + 1) / sen 2x = 1 / ( cos 2x · sen 2x) simplificamos sen 2x del denominador, queda 1 + (sen 2x)^2 = 1 / cos 2x Tal y como esta copiado, la igualdad no se verifica. Pregunta 03. Resuelta el 07/11/2012 Problema de verificación de identidades trigonométricas: cot x cos x / cos^3 x = cscx/1+sen x Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Acostumbra a poner paréntesis. se supone que lo que quieres comprobar es que (cot x) . (cos x) / (cos x)^3 ¿=? (cosec x) / (1 + sen x) La relación anterior tal y como está escrita NO SE CUMPLE. En efecto: lado izquierdo: (cot x) . (cos x) / (cos x)^3 = (cot x) / (cos x)^2 = [(cos x) / (sen x)] / (cos x)^2 = 1 / [ (sen x) · (cos x)] lado derecho: (cosec x) / (1 + sen x) = (1 / sen x) / (1 + sen x) = 1 / [ (sen x) · (1 + sen x) ] vemos que no son iguales, pues cos x no es igual a 1 + sen x Pregunta 04. Resuelta el 10/11/2012 Resolver las siguientes identidades trigonométricas a) (1 + cscx) / (cosx + ctgx) = secx b) (1+cos t/sen t) + (sen t / 1+ cos t) =2csc t c) tan^2x= sec^2 x / csc^2 x Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal

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Respuestas (3) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Mas que "resolver", lo que te piden es "comprobar" que se verifican las identidades anteriores. cosec x = 1 / sen x sec x = 1 / cos x ctg x = cos x / sen x 1) ( 1 + (1/senx) ) / (cos x + (cosx)/(sen x)) = sen x + 1........cos x sen x + cos x..................sen x + 1 ------------- : ----------------------------- = ---------------------..sen x......................sen x ........................cos x (sen x +1) = 1 / cos x = sec x 2) Pon PARENTESIS. Creo que quieres decir: ( 1 + (cos t / sen t) ) + (sen t / (1+ cos t)) =2csc t …...sen t + cos t...........sen t........ ...------------------- + --------------.= ........sen t...................1 + cos t .....sent + cost + cost sen t + cos^2 t + sen^2 t = -----------------------------------------------------… …........................(1 + cos t) sen t .........sent + cost + cost sen t + 1 = ----------------------------------------… ................(1 + cos t) sen t .....sent + cost (1 + sen t) + 1 = ----------------------------------… ..........(1 + cos t) sen t …..(1 + cost) (1 + sen t) = ----------------------------- = cosec t + 1. No sale ….......(1 + cos t) sen t así que voy a interpretar que tienes: ( 1 + cos t) / sen t) + (sen t / (1+ cos t)) =2csc t …....1 + cos t..........sen t...... ...--------------- + --------------.= ..........sen t...........1 + cos t ...(1 + cos t)^2 + (sen t)^2 ...--------------------------------.= .......(sen t) (1 + cos t) 1 + 2 cos t + cos^2 t + sen^2 t..............2 (1 + cos t) --------------------------------------… -------------------------.......(sen t) (1 + cos t).........................(sen t) (1 + cos t) = 2 / sen t = 2 cosec t c) tan^2x= sec^2 x / csc^2 x lado izquierdo: (sen x)^2 / (cos x)^2 lado derecho: (1/ cos^2 x) / (1 / sen^2 x) = (sen x)^2 / (cos x)^2 Ok. Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 22/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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Pregunta 05. Resuelta el 22/12/2012 Comprobar lo siguiente: tg^2 x – sen^2 x=tg^2 x * sen^2 x Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (2) Mozo Mozo Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Tg^2 x – sen^2 x = tg^2 x * sen^2 x lado izquierdo (sen^2x / cos^2x)-sen^2x denominador común (sen^2 x - sen^2 x cos^2 x) / cos^2 x pero cos^2 x = 1 - sen^2 x luego (sen^2 x - sen^2 x (1 - sen^2 x)) / cos^2 x (sen^2 x - sen^2 x + sen^4 x) / cos^2 x (*) lado derecho: tg^2x*sen^2x = (sen^2x / cos^2x) · sen^2x sen^4 x / cos^2 x (**) comprobado, vemos que (*) = (**) Simplificar expresiones Pregunta 06. Resuelta el 04/11/2012 1) Simplifica : ?Secx - Cosx / Cscx – Senx --> Todo eso es raiz cúbica 2) Si : Tanx - Cotx = ?5 , hallar : Tan²x + Cot²x Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (2) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. 1) …..sec x - cos x............(1 / cos x) - cos x.............(1 - (cos x)^2 ) / cos x ------------------------ = -------------------------- = -----------------------------cosec x - sen x.............(1 / sen x) - sen x.............(1 - (sen x)^2 ) / sen x (sen x)^2 / cos x..............(sen x)^3 ------------------------ = --------------(cos x)^2 / sen x.............(cos x)^3 al sacar la raiz cubica, quedara: (sen x) / (cos x) = tg x 2) Por el cuento de la vieja: 2) tg x - 1 / (tg x) = raiz(5) (tg x)^2 - 1 = raiz (5) · tg (x) de donde (tg x)^2 = 1 + raiz (5) · tg (x) (tg x)^2 - raiz (5) · tg (x) - 1 = 0 Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 22/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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Resolviendo la ecuación se obtiene: tg x = 2,62 ó tg x = -0,38 Si tg x = 2,62 ; ctg x = 1/2,62 de modo que (tg x)^2 + (ctg x)^2 = (2,62)^2 + 1 / 2,62^2 = 7 >>>>> La otra solución de tg x = -0,38, conduce al mismo resultado para (tg x)^2 + (ctg x)^2 , es decir,7. Pregunta 07. Resuelta el 11/11/2012 1) Si tg (45° + x) = 5/7, calcular : tg x 2) Si sen (x + y) = 3 sen (x - y) , hallar M = tg x · ctg y Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (2) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. 1) Recuerda que: tan (a + b) = (tan a + tan b) / (1 - tan a · tan b) tan (45+x) = (tan 45 + tan x) / (1 - tan 45 · tan x) = (1 + tan x) / (1 - tan x) pues tan 45º = 1 1 + tan x ------------- = 5/7 1 - tan x 7 (1 + tan x) = 5 (1- tan x) 7 + 7 tan x = 5 - 5 tan x 12 tan x = -2 tan x = -1/6 2) Recuerda: sen (a+b) = sen a cos b + sen b cos a sen (a-b) = sen a cos b - sen b cos a en nuestro caso sen x cos y + sen y cos x = 3 (sen x cos y - sen y cos x) 2 sen x cos y = 4 sen y cos x ( sen x cos y ) / (sen y cos x) = 4 / 2 tg x · ctg y = 2, que es lo que pides Nota: tan = tg Pregunta 08. Resuelta el 11/11/2012 1) Calcular el valor de : P = tg 21° + tg 24° + tg 21° · tg 24° 2) Si : x + y = 60°. Hallar : R = sen x cos y + cos x sen y / cos x cos y – sen x sen y Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. 1) tan 45º = tan (21 + 24) = 1 tan (x + y) = (tan x + tan y) / (1 - tan x tan y) de donde tan 21 + tan 24 = (1 - tan 21 tan 24) · tan 45º = (1 - tan 21 tan 24) P = Tg21° + Tg24° + Tg21° . Tg24° = P = (1 - tan 21 tan 24) + tan 21 tan 24 = 1 ¡yupi! Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 22/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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2) sen (a+b) = sen a cos b + sen b cos a cos (a+b) = cos a cos b - sen a sen b R = SenxCosy + CosxSeny / CosxCosy - SenxSeny = R = sen (x+y) / cos (x+y) = tan (x+y) = tan 60 = raiz (3) Pregunta 09. Resuelta el 11/11/2012 Sabiendo que 3 tg^2 x = 1 y que x entre 0º y 360º, calcular, sin utilizar calculadora: a) cos x, b) sen x ; c) x Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. 3 tg^2 x = 1 Te lo voy a resolver en orden (según lo que te piden). Porque es mas fácil: primero sacar el angulo y luego el coseno y el seno. a) cos x ? 3 (sen^2 x) / (cos^2 x) = 1 3 (1 - cos^2 x) = cos^2 x 3 - 3 cos^2 x = cos^2 x ; 3 = 4 cos^2 x de donde cos^2 x = 3/4 por lo que : cos x = + raiz(3) / 2 cos x = - raiz(3) / 2 b) sen x ; sen^2 x + cos^2 x = 1 de donde sen^2 x = 1 - cos^2 x sen^2 x = 1 - 3/4 = 1/4, por lo que sen x = 1/2 sen x = -1/2 c) el ángulo puede ser 30º , 180-30=150º , 180+30 = 210º y 360-30 = 330º ó -30º pues el seno de 30 es 1/2 Ecuaciones trigonométricas Pregunta 10. Resuelta en octubre de 2012 Resolver la ecuación: (sen x)^3 -1.5 (sen x)^2 +1 = 0 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. ¿Donde está la x? Supongo que querrás decir: (sen x)^3 -1.5 (sen x)^2 +1 = 0 Cambio sen x = t t^3 - 3/2 t^2 + 1 = 0 2 t^3 - 3 t^2 +1 = 0 resuelves por Ruffini, t = 1 (doble) es solución, la otra es t = -1/2 Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 22/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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sen x = 1 ; x = 90º + 360 k (donde k es un numero entero) sen x = -1/2, x = -30º + 360 k, o bien x = 210º + 360 k Pregunta 11. Resuelta en octubre de 2012 ¿Me ayudan por favor a encontrar la solución de (intervalo de solución [0, 2 pi] = [0',360']? 2 cos x + 1= 0 , sen*x + tan*x = 0 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Mejor respuesta - Elegida por la comunidad El problema esta mal planteado o NO TIENE SOLUCION. Pues de la primera ecuación cos x = -1/2 de donde x = 120º, pero si sustituimos en la segunda ecuación sin 120 + tan 120 no es cero. Pregunta 12. Resuelta el 09/11/2012 ¿Ayuda ecuación trigonométrica? 2 / (cos x – 1) + cos x = 2 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. No tiene solución (en el cuerpo de los números REALES). En efecto (suponiendo cos x distinto de 1) 2 + (cos x) (cos x - 1) = 2 (cos x - 1) 2 + (cos x)^2 - cos x = 2 cos x - 2 (cos x)^2 - 3 cos x + 4 = 0 si despejas "cos x" de la ecuación de segundo grado anterior, se obtienen resultados (números) complejos. Pregunta 13. Resuelta el 02/12/2012 ¿Quien me puede ayudar a resolver esta ecuación 2 sen^2 (x/2) - 3 sen(x/2) + 1 = 0 ? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Ecuación de segundo grado en sen (x/2) ......x.....3 +- raiz (9 - 8)....3+-1 sen - = ----------------------- = ------......2..............2·2..............4 solución 1: sen x/2 = (3+1)/4 = 1 de donde x/2 = 90º + 360k siendo k un numero entero k=0,1,2,... de donde x = 180º + 720 · k solución 2: sen x/2=(3-1)/4=1/2 de donde x/2 = 30º + 360 k; x = 60º + 720 · k o bien x/2 = 180-30 + 360 k = 300º + 720 · k Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 22/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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Pregunta 14. Resuelta el 25/11/2012 ¿Cómo se resuelve esto? 1) cos x + 3 sen x =1 2) 2 cos ² x - 3 cos x + 1 = 0 3) 2 cos² x = cos x + 1 4) 4 cos² x - 3 cos x - 1 = 0 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. 4) ecuación de segundo grado en cos x .............3 +- raiz (9 + 16).....3 +- 5 cos x = ------------------------- = ---------........................8.............… cos x = 1, de donde x = 0º + 360 · k siendo k un numero entero cos x = -1/4 , de donde x = arc cos (-1/4) + 360 · k 3) igual, ecuación de segundo grado en cos x 2 cos^x - cos x - 1 = 0 ............1 +- raiz (1+8).....1 +- 3 cos x = -------------------- = ----------...................4..................… de donde cos x = 1, de donde x = 0º + 360 · k siendo k un numero entero cos x = -1/2, de donde x = 120º + 360 · k y también: x = 240º + 360 · k 2) igual, ecuación de segundo grado en cos x 2 cos^x - 3 cos x + 1 = 0 ..............3 +- raiz (9-8)........3 +- 1 cos x = -------------------- = --------.......................4..................….4 de donde cos x = 1, de donde x = 0º + 360 · k siendo k un numero entero cos x = 1/2, de donde x = 60º + 360 · k y también: x = 300º + 360 · k 1) jeje, éste es mas difícil cos x = (1 - 3 sen x) eleva al cuadrado cos ^2 x = 1 + 9 sen^2 x - 6 sen x 1 - sen^2 x = 1 + 9 sen^2 x - 6 sen x pues sen^2 x + cos^2 x = 1 10 sen^2 x - 6 sen x = 0 2 sen x (5 sen x - 3) = 0 de donde sen x = 0, x = 0º + 360 · k siendo k un numero entero y sen x = 3/5, de donde x = arc sen (3/5) Pregunta 15. Resuelta el 08/12/2012 ¿Como compruebo la siguiente identidad? (1 - cos^2 x)(1 + cos^2 x) = 1 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal

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Mozo Mozo Un Genio es un usuario brillante en una categoría. No puede comprobarla porque no es cierta la igualdad anterior. Sustituye un valor para x, por ejemplo x=60º cos 60=1/2 (1 - (1/2)^2) · (1 + (1/2)^2) = (1-1/4) · (1 + 1/4) = (3/4)·(5/4) = 15 / 16 que no es 1 Otra cosa es que quieras resolver la ecuación anterior, para determinar los valores de "x" que la verifican. En este caso 1 - cos^4 x = 1 pues suma por diferencia = diferencia de cuadrados cos^4 x = 0 de donde cos x = 0, por lo que x = 90º + 360 · k siendo k un número entero o x = 270º + 360 · k, siendo k un número entero Por ejemplo x = 90º es solución de la ecuación, pues cos 90º = 0, sustituyendo en la ecuación del enunciado, (1 - 0) · (1+ 0) = 1 Ok, verifica. Pregunta 16. Resuelta el 16/12/2012 ¿Cómo resuelvo la siguiente ecuación entre 0 y 2pi: sen^2 x - cos^2 x = 1? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (2) Mozo Mozo Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Sencillo si tienes en cuenta que cos^2 x - sen^2 x = cos 2x luego la ecuación queda mas sencilla: cos 2 x = -1 de donde 2 x = pi ó 3 pi si 2 x = pi , x = pi /2 >>> solución 1 si 2 x = 3 pi , x = 3 pi / 2 >>> solución 2 Otra manera de resolverlo: Ten en cuenta que cos^2 x = 1 - sen^2 x por lo que si sustituimos en la ecuación, queda sen^2 x - (1 - sen^2 x) = 1 2 sen^2 x =2 sen^2 x =1 una solución: sen x = 1 , de donde x = pi/2 la otra solución sen x = -1, de donde x = 3 pi / 2 Problemas resueltos utilizando trigonometría Pregunta 17. Resuelta el 25/10/2012 En el patio del colegio hay un árbol de 10 m de altura, calcula la longitud de la sombra cuando los rayos del sol proyectan un ángulo de 40 grados, sobre la horizontal. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 22/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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Respuestas (2) Iñaki Iñaki. Un Genio es un usuario brillante en una categoría. ...!\ ...!.\ h.!..\ ...!...\ ...!....\ theta ...------…..x tangente de theta = cateto opuesto (h) / cateto contiguo (x = longitud de la sombra) tan 40º = 10 / x de donde x = 10 / tan 40º = 11,92 m Pregunta 18. Resuelta el 02/02/2013 a las 19:54 (hora española). Respuesta número 1665 Triángulo rectángulo es isósceles y su hipotenusa vale 7?2 calcula las razones trigonométricas de cualquiera? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal

Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Sea x cualquiera de los catetos, son iguales pues es isósceles. Por el teorema de Pitágoras: x^2 + x^2 = (7 raiz 2)^2 2 x^2 = 7^2 · 2 de donde x = 7 Sea theta el angulo (dicho angulo lo sabemos pues al ser rectángulo e isósceles es de 45º -la suma de los tres angulo es 180º-) ! !.\..7 raiz 2 !...\ !------ theta ..7 cos theta = 7 / (7 raiz 2) = 1 / raiz 2 sen theta = 7 / (7 raiz 2) = 1 / raiz 2 tg theta = 7 / 7 = 1 ctg theta = 1 / tg theta = 1 / 1 = 1 sec theta = 1 / cos theta = 1 / (1 / raiz 2) = raiz 2 cosec theta = 1 / sen theta = 1 / (1 / raiz 2) = raiz 2 Pregunta 19. Resuelta el 02/02/2013 a las 20:24 (hora española). Respuesta número 1668 En un museo hay un cuadro de 2 m de alto. Una persona situada frente al cuadro ve la parte superior de éste con un ángulo de elevación de medida pi/3 radianes y la parte inferior con un ángulo de depresión cuya medida es pi/6 radianes. De las siguientes medidas la que más se aproxima a la distancia del cuadro al ojo del observador es: Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 22/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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a) 0,7 m ; b) 1,5 m ; c) 0,87 m ; d) 1,75 m Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. ......./...!.! ....../....! x ...../.60.!.! ..../---y-!-! .....\.30!...! .......\...!...! 2 - x .........\.!...! tg 60º = x / y tg 30º = (2 - x) / y Necesitamos calcular y de la primera ecuación x = y · tg 60º y · tg 30º = 2 - y · tg 60º y (tg 30º + tg 60º) = 2 de donde y = 2 / [tg 30º + tg 60º] = 0,87 m. Opcion C Pregunta 20. Resuelta el 05/02/2013 a las 17:28 (hora española). Respuesta número 1720 Una fuente de agua está en el centro de un prado circular. Un estudiante quiere calcular la altura de la fuente pero no debe pisar el prado, camina alrededor y calcula que su circunferencia es de (18, 35 ± 0, 05) m a continuación desde el borde del prado mide el ángulo de elevación de la parte alta de la fuente y encuentra que es de 55, 0° ± 0, 2° ¿Cuál es la altura de la fuente? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Si has calculado la longitud de la circunferencia L = 2 pi R, el radio de la misma será: R = L / (2 pi) = 2,92 ± 0, 05 m Y si conoces el ángulo de elevación, tienes un triangulo que puedes determinar a partir de la relación trigonométrica correcta: ...../! .../..!.h ./....! theta es el angulo en el vértice izquierdo ------..R.. tg theta = h / R de donde h = R · tg theta h = 2,92 · tg 55º = 4,17 m Para determinar el error, quizá sea un poco complicado para tu nivel, pues se determinar a partir del diferencial de una función , en este caso de dos variables, R y theta y necesitas hacer derivadas Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 22/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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parciales, ¿sabes hacerlas?

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