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• Kazador De Almas Perdidas

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¿CÓMO SE LEEN LAS FRACCIONES? COMPARAMOS  LA FRACCIÓN CON LA UNIDAD      Una fracción representa una división entre un número y otro, y a la vez nos indica las partes de un  entero que se están tomando.   Así, por ejemplo, cuando vamos a la panadería y pedimos medio kilo de pan estamos usando fracciones.  Si el entero representa 1 kilo de pan, luego medio kilo de pan es ½ (un medio) del entero.    

                                     1 Kg de Pan                                                     ½ Kg de Pan                        En la figura, cuatro panes iguales representan 1 Kg de pan, entonces ½ Kg de pan serán  dos panes, es decir la mitad.       

¿CÓMO EXPRESAMOS UNA FRACCIÓN?      En toda fracción podemos distinguir dos partes un numerador y un denominador separados por una  línea horizontal.                                                                                                        Numerador                                                                                                          Denominador       El denominador es un número que indica en cuantas partes se divide la unidad, y el numerador es el  número que indica cuantas de esas partes se han de tomar.   Veamos la siguiente fracción a modo de ejemplo. 

                                              3                  Esta fracción se lee: tres cuartos        4    1 

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También una misma fracción se puede escribir de distintas maneras, como vemos a  continuación.       

            =           

         =          3 ÷ 4         =          3 : 4           

¿CÓMO DIBUJAMOS UNA FRACCIÓN?      Si queremos representar gráficamente la fracción   , por ejemplo, tenemos que hacer lo siguiente: 

    Elegimos una figura para representar la unidad (el entero) 

                                                                                                           Rectángulo        Dividimos la unidad en cuatro partes iguales y pintamos tres partes 

   

                                                                                                    Procediendo de esta forma, podemos representar cualquier fracción. 

          Vamos a ver ahora como se leen las fracciones y algunos ejemplos:      2 

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Fracción 

Representación gráfica 

¿Cómo se lee? 

1   2

Un medio 

1   3

Un tercio 

3   4

Tres cuartos 

2   5

Dos quintos 

                                         

 

   

4   6

Cuatro sextos   

 

5   7

       

Cinco séptimos   

3 

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      3   8              

7   9               1   10      

Tres octavos   

Siete novenos       

Un décimo 

Una vez que el denominador supera el valor diez, al número  le agregamos la terminación avo.     

3   11    

Tres onceavos

7   20

Siete veinteavos 

5 43

Cinco cuarenta y tres avos 

4 

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Si el denominador alcanza el valor 100, se dice centésimo.  Si se supera el valor 100, entonces se vuelve a completar con  la terminación avo.    5 100

Cinco centésimos

15 140

Quince ciento cuarenta avos

         

RESOLVEMOS ALGUNOS EJERCICIOS CON FRACCIONES      La figura sombreada representa un cuarto del entero. Dibujar el entero.      a)             Resolución: Sabemos que la figura representa ¼ del entero, por lo tanto el entero es igual a 4/4.    

4 4

1 

  Entonces para dibujar el entero debemos dibujar 4 veces la figura, ya que cada una equivale a ¼, de esta  manera:   

            5 

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1 4



1 4



1 4



1 4



4 4

1 

 

b) La siguiente figura representa 2/4 del entero  

                                                                                                                                 Si trazamos una línea desde uno de sus vértices como vemos en el dibujo, resulta más claro ver que   

           

                                                                    De esta manera, para completar el entero necesitamos agregar otra figura como la que planteamos  recién 

      Finalmente 

6 

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1 

          Ejercicio 1: nombrar las siguientes fracciones. 

  8/5 = …………………………………………………………………………………………………………….     11/30 = …………………………………………………………………………………………………………        Ejercicio 2: Resolver con fracciones. 

  Juan, Lucas y Cristian compraron un alfajor y lo dividieron en cuatro partes iguales. Si cada uno comió la  misma cantidad. Dibujar la fracción de lo que comieron e indicar que fracción de alfajor sobró.   

    Resolución:    Lo primero que vamos a hacer es representar al alfajor con una figura y dividirla en 4 partes iguales. 

        Porción que  le      corresponde  a Juan          Porción que sobra         

Porción que le corresponde a  Lucas 

Porción que le corresponde a  Cristian 

En el gráfico podemos ver que cada uno comió   del alfajor y solamente sobró una porción (la vemos en  color gris).    

La fracción que comieron en total:    (tres cuartos)    La fracción de lo que sobró:   (un cuarto)  7 

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¿CÓMO SE CLASIFICAN LAS FRACCIONES?      Debemos saber que las fracciones se pueden clasificar en propias, impropias y aparentes. 

    

Las fracciones propias son aquellas en donde el numerador es menor que el denominador y la  fracción representa un número menor que el entero. 

  Ejemplo:                               

 

               

Fracción propia: vemos que el área  sombreada es menor que el área  sombreada del entero.  Comprobamos que la fracción  propia es menor que el entero. 

El entero (o unidad)  representado por un  círculo completamente  sombreado 

 

      1 

 

 

> 

 

      

 

Signo de desigualdad: la boquita abierta  “>”  siempre mira al número que es mayor. De  esta manera, leemos 1 es mayor que   

Este tipo de fracciones se llaman propias.        

Las fracciones impropias son aquellas en donde el numerador es mayor que el denominador,  en este caso el número que se representa es mayor que la unidad. 

 

    Ejemplo:            8 

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Fracción impropia: vemos que el  área sombreada es mayor que el  área sombreada del entero.  Comprobamos que la fracción  impropia es mayor que la unidad,  es decir, necesitamos más de un  entero para representar la  fracción. 

El entero (o unidad)  representado por un  círculo completamente  sombreado 

   

 

      1   

 

        c)

Comparar 10/2 con 20/5 

         

         

 

   

                     0             1              2                                     0             1              2       

    3 

      4           5  

 

     

    3 

      4           5  

 

Como podemos ver, veinte quintos ( ) es igual a cuatro y diez medios ( ) es igual a cinco, como  cinco es mayor que cuatro, entonces veinte quintos ( ) es menor que diez medios ( ).   Indicamos lo anterior de la siguiente forma: 

     

 y .  23,487   >   2,993 

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Se lee:  Veintitrés enteros y cuatrocientos ochenta y siete milésimos es mayor que dos enteros y novecientos  noventa y tres milésimos.    b) Comparar 4,25 y 4,251                                                                   Para comparar estas expresiones vamos a completar con ceros el primer número (4,25       4,250). De  esta forma ambos números tienen la misma longitud y es más sencillo compararlos cifra a cifra.  Podemos darnos cuenta de que tanto la parte entera como los primeros dos números después de la  coma (de izquierda a derecha) son iguales para ambas expresiones decimales, pero el número que  ocupa la posición de los milésimos es distinta. Entonces, como 1 (correspondiente a 4,251) es mayor que  0 (perteneciente a 4,250), escribimos:    4,250     15,799   

Al comparar estas cifras vemos que 9 es  mayor que 0 y podemos pensar,  erróneamente, que al tener la segunda  expresión (15,799) números mayores,  entonces ésta expresión es mayor que la  primera (15,800). Esto no es cierto; no  olvidemos que los números decimales  son posicionales. 

Se lee:  Quince enteros y ocho décimos es mayor que quince enteros y setecientos noventa y nueve milésimos.         

Observación: al comparar dos números decimales, debemos asegurarnos que ambos números  tengan la misma longitud (como hemos visto en los ejemplos anteriores) colocando tantos ceros  después de la coma como sean necesarios. 

   

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CLASIFICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES      Los números decimales pueden ser finitos, lo cual quiere decir que encontramos una cantidad de  números, que podemos contar, después de la coma.    0,45       2,078         12,4702         3215,022         875,001295    Por ejemplo, el número decimal 12,4702 tiene cuatro números después de la coma, es decir, tiene  cuatro decimales.   Los números decimales también los podemos clasificar en infinitos o periódicos. Esto quiere decir que  después de la coma hay una cantidad de números que no podemos contar.    2,589763125874…         4789,5423333333…              14,8888888888….            41,25252525…    Como vemos, estos números tienen una cantidad de decimales que no podemos contar (los puntos  suspensivos “…” indican que la serie de números continúa).     

APROXIMACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES – REDONDEO Y  TRUNCAMIENTO    Muchas veces para no trabajar con números tan extensos, como en el caso de los números decimales  infinitos o números con muchos decimales, recurrimos a la aproximación.   Aproximar un número quiere decir que vamos a buscar un número con menos decimales que el  primero, que represente más o menos la misma cantidad.    Para aproximar tenemos dos caminos:     

Truncamiento:   Este camino es el más sencillo. Por ejemplo, si tenemos que aproximar un  número a los décimos simplemente debemos eliminar el número que ocupa el lugar de  los centésimos y todos los que se encuentren a la derecha de éste. Si en cambio  debemos aproximar a los centésimos, entonces eliminamos el número que ocupa el  lugar de los milésimos y todos los números que se encuentran a su derecha, y así  sucesivamente.     

       

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Ejemplos:  1.

Aproximar el número 4,273 a los décimos, es decir, al primer lugar después de la coma. 

  4,273    El número que ocupa el lugar del centésimo es el 7, por lo tanto eliminamos este número y todos los  que se encuentran a su derecha, eliminando también  el 3.  El resultado de aproximar 4,273 por truncamiento es:                                4,2    2.

Aproximar el número 23,58823 a los centésimos, es decir, al segundo lugar después de la coma. 

  23,58823    El número que ocupa el lugar del milésimo es el 8, por lo tanto eliminamos este número y todos los que  se encuentran a su derecha, eliminando también el 2 y el 3.  El resultado de aproximar 23,58823 por truncamiento es:                                         23,58    

Redondeo:  Para redondear un número, procedemos de la siguiente manera:    

Por ejemplo, si tenemos que aproximar un número a los décimos, entonces debemos fijarnos  en el número que ocupa el lugar de los centésimos.    Si el número que ocupa el lugar de los centésimos es menor que 5, entonces se deja el número  como está y se eliminan las cifras que ocupan el lugar de los centésimos, así como todos los números  que se encuentran a su derecha.      

El número que se encuentra en el lugar de los  4,432874                                            centésimos es 3 y es un número menor que 5. Por lo  tanto el número redondeado es:       Décimos  Centésimos 

4,4 

            

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Si en cambio el número que ocupa el lugar de los centésimos es mayor o igual que 5, entonces  a la cifra anterior (es decir a los décimos) le sumamos 1 y luego eliminamos todos los números que se  encuentren a su derecha.         

El número que se encuentra en el lugar de los  centésimos es 8 y es un número mayor que 5. Por lo  tanto el número redondeado es: 

12,68459       Décimos  Centésimos 

12,7 

    De esta misma forma debemos proceder si queremos redondear en cualquier otra posición decimal, es  decir que, si deseamos redondear a los centésimos, por ejemplo, entonces nos debemos fijar en el  número que se encuentra en el lugar del milésimo y así sucesivamente.    Ejemplos:   

Redondear los siguientes números al décimo: 

 

  a)

 

 

 

 

 

 

           Resultado 

7,5489                      Como 4 es un número menor que 5                            7,5      

  b) 542,1756                 Como 7 es un número mayor que 5                            542,2    Redondear los siguientes números al milésimo:   

  a)

 

 

 

 

 

 

           Resultado 

47,12831                  Como 3 es un número menor que 5                            47,128  

  b) 6,125578                               Como 5 es igual a 5                                            6,126               

FRACCIONES DECIMALES    A las fracciones que tienen como denominador la unidad seguida de ceros por ejemplo 10, 100, 1000,  10000,  etc. las llamamos fracciones decimales.                                   

                 

                                                    

              

                             

 

  Las fracciones decimales también se pueden expresar como un número decimal.    Los números decimales se pueden obtener a partir de las fracciones. 

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  Cuando las fracciones son decimales pasarlas a número decimal es muy sencillo. El método es el  siguiente: se escribe el número entero que representa al numerador (recordar que en todo número  entero la coma se encuentra a la derecha del número, por este motivo no se escribe) y luego se corre la  coma tantos lugares a la izquierda del número como ceros tenga el denominador. Por ejemplo, tenemos  la siguiente fracción decimal:        Como podemos ver el numerador es 23 y el denominador es 100, entonces:    Escribimos el numerador como está                            23,                                                                                                                Coma en la posición inicial  Corremos la coma dos lugares a la izquierda porque el denominador es cien (100) y tiene dos ceros                                                                                             0,23,                   0,23   

 

 

 

 

 

 

 

   Número decimal que obtenemos 

   = 0,23    Veamos otro ejemplo:      El numerador es 57, entonces:                     Escribimos el numerador                                57,                                                                         Coma en la posición inicial  Corremos la coma un lugar a la izquierda porque el denominador es diez (10) y tiene un cero                                                                                              5,7,                   5,7                                                                                                                                  Número decimal que obtenemos  Como vemos, convertir una fracción decimal en un número decimal es muy fácil. Ahora vamos a realizar  el camino inverso, es decir, vamos a pasar de número decimal a fracción. Siguiendo el mismo  razonamiento, planteamos lo siguiente:    Partiendo del número decimal, por ejemplo:  0,458  Primero copiamos el número completo sin la coma y nos queda de esta manera:  458  Ahora sabemos que para obtener el número 458 tuvimos que correr la coma tres lugares a la derecha                                                                     0,458,                  458 

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Como corrimos la coma tres lugares el denominador tiene que tener 3 (tres) ceros, es decir, el  denominador debe ser 1000.    Finalmente escribimos la fracción decimal:      ¡Un ejemplo más!    0,02                Número decimal  0,02,               Corremos la coma dos lugares a la derecha          2 

        Obtenemos como resultado el número dos 

  Como tuvimos que correr la coma dos lugares a la derecha, entonces el denominador es la unidad ‐el  uno (1)‐ seguido de dos ceros, es decir, el denominador es 100.                      Fracción decimal 

   

SUMA Y RESTA DE NÚMEROS DECIMALES    Como ustedes saben, cuando sumamos o restamos números naturales, debemos sumar o restar las  unidades con las unidades, las decenas con las decenas, las centenas con las centenas y así  sucesivamente.  De la misma forma se opera con los números decimales, se suman o se restan los décimos con los  décimos, los centésimos con los centésimos, etc. Ubicando un número decimal debajo del otro  alineando una coma debajo de otra. 

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Ejemplos:  a)

Realizar la siguiente suma:    

12 + 0,112 + 2,5  Antes de comenzar con la suma vamos a buscar que todos los números tengan la misma longitud  decimal completando con ceros después de la coma. Como podemos ver el número que tiene una  mayor cantidad de decimales es 0,112 entonces completamos los números restantes de la siguiente  manera: 

  Número inicial 

     

Número extendido 

12, 

12,000 

2,5 

2,500 

  En la primera fila encontramos al número entero (12) recuerden que todo número entero tiene la coma  “,” a su derecha. Es por este motivo que generalmente no se escribe.    Una vez que completamos los número podemos, entonces, alinearlos uno debajo del otro (respetando  la posición de la coma) para sumarlos. 

  12,000            +    2,500    0,112  Como resultado final de la  14,612                            suma obtenemos: 14,612      b) Realizar la siguiente suma:      

78,02 + 105,23 + 1,459  Como ya sabemos, inicialmente buscamos que todos los números tengan la misma longitud,  entonces:  

 

 

 

 

78,020 + 105,230 + 1,459 

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Luego disponemos un número debajo de otro respetando la posición de la coma: 

                                                      1   1   105,230            +     78,020       1,459  Como resultado final de la   184,709                            suma obtenemos: 184,709      Para restar el procedimiento es similar, con la diferencia de que en vez de sumar los números los  restamos.    Ejemplo:  Realizar la siguiente resta:    

                                                124,0251 – 45, 3501   En este caso ambos números tienen la misma longitud decimal, por lo tanto no hace falta completar con  ceros.   Como es debido al número más grande ‐ 124,0251 ‐ (minuendo) le restamos el más pequeño ‐ 45, 3501  ‐ (sustraendo). De esta forma, vamos a alinear una vez más un número debajo del otro respetando la  posición de las comas.   

                                                           1 13    9  12 4,101251          ‐       4 5,  3 501     Como resultado final de la     78,  6 750                            resta obtenemos: 78,6750       

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES    MULTIPLICACIÓN DE UN NÚMERO DECIMAL POR UN NÚMERO NATURAL  Este caso es muy sencillo, simplemente debemos multiplicar los números como si se tratara de dos  números naturales. Contando previamente cuantos lugares encontramos después de la coma (para el  número decimal); colocamos la coma, en el resultado final, en el mismo lugar. 

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Ejemplos: 

                     1      12,05                    X        3        36,15                                  Como podemos ver después de la coma    hay dos lugares, por lo tanto, en el    resultado final 3615 contamos de    derecha a izquierda dos lugares y    colocamos la coma obteniendo como    resultado final 36,15.           

  46,2              X    12    924         +   462              554,4   Como podemos ver después de la coma  hay un lugar, por lo tanto, en el  resultado final 5544 contamos de  derecha a izquierda un lugar y  colocamos la coma obteniendo como  resultado final 554,4. 

MULTIPLICACIÓN DE UN NÚMERO DECIMAL POR LA UNIDAD SEGUIDA DE CEROS    Este tipo de multiplicaciones se resuelve como el caso anterior, solo que al multiplicar por la unidad  seguida de ceros (10, 100, 1000, etc.) la cuenta resulta muy sencilla y se puede resolver mentalmente  corriendo la coma tantos lugares o cifras a la derecha (en el número decimal) como ceros tenga el  número natural.  Ejemplos:  a)

124,52 x 10 = 1245,2            

 

Al multiplicar por diez tenemos un  cero después de la unidad, entonces   corremos la coma a la derecha un  sólo lugar. 

    b) 14,15487 x 1000 = 14154,87   

Al multiplicar por mil tenemos tres  ceros después de la unidad, entonces   corremos la coma a la derecha tres  lugares. 

  c)      

75,3 x 100 = 7530, = 7530 

Al multiplicar por cien tenemos dos  ceros después de la unidad, entonces   corremos la coma a la derecha dos  lugares agregando un cero. Como  resultado obtenemos un número  entero con la coma a la derecha. En  estos casos, la coma “,” no se escribe  y sólo colocamos el número 7530. 

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MULTIPLICACIÓN DE DOS NÚMEROS DECIMALES     El procedimiento es muy parecido al primer caso. Multiplicamos ambos números como si se tratara de  dos números naturales. Luego, contando previamente cuantos lugares decimales hay en total entre los  números, se coloca la coma (en el resultado final) contando esa misma cantidad de lugares de derecha a  izquierda.    Ejemplos: 

                                  1                                                               1        12,15          16,201              X     3,1                    X       1,2  1215          32402             + 3645               +   16201               37,665                   19,4412     Como podemos ver, en el primer número decimal 

  (12,15) hay dos lugares después de la coma, y en el  segundo número decimal (3,1) solo hay un lugar 

  después de la coma. En total, entre ambos números,  contamos tres lugares decimales, por lo tanto, en el  resultado final 37665 contamos de derecha a    izquierda tres lugares y colocamos la coma  obteniendo como resultado final 37,665. 

 

Como podemos ver, en el primer número decimal  (16,201) hay tres lugares después de la coma y en el  segundo número decimal (1,2) sólo hay un lugar  después de la coma. En total, entre ambos números  contamos cuatro lugares decimales, por lo tanto, en el  resultado final 194412  contamos de derecha a  izquierda cuatro lugares y colocamos la coma  obteniendo como resultado final 19,4412. 

     

DIVISIÓN CON NÚMEROS DECIMALES    DIVISIÓN DE UN NÚMERO DECIMAL POR UN NÚMERO ENTERO  Realizar este tipo de divisiones es muy sencillo. Comenzamos dividiendo la parte entera del dividendo y  luego colocamos la coma en el cociente para continuar dividiendo la parte decimal. 

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Ejemplos:                 

Como 5 es mayor que 4, tomamos  los primeros dos números para  efectuar la división. 

Buscamos un número que,  multiplicado por 5, de 47 o cerca  de 47.  

Estamos dividiendo la parte  entera. 

El número buscado es el 9, ya que  9 x 5 = 45. Luego restamos. 

       

Al bajar el 6 (en el dividendo)  colocamos la coma en el cociente. 

   

Dividimos ahora la parte decimal  del número. 

   

Buscamos un número  que multiplicado por 5,    de 26 o cerca de 26.  

Finalmente buscamos un  número que, multiplicado  por 5, nos de 10. 

 

El número buscado es  el 5, ya que 5 x 5 = 25.    Luego restamos. 

El número buscado es 2. 

           

Al efectuar la resta: 26 – 25 obtenemos como  resultado resto 1. Como ya colocamos la coma  en el cociente, podemos continuar con la  división (buscando llegar, en caso de ser  posible, al resto 0) agregando un 0 en el  dividendo. 

Obtenemos resto 0, por lo  tanto la división concluye. 

Bajamos el 0 y continuamos con la división. 

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  DIVISIÓN DE UN NÚMERO DECIMAL POR OTRO NÚMERO DECIMAL  Para resolver estas divisiones, lo que debemos hacer es correr la coma la misma cantidad de lugares a la  derecha, tanto en el dividendo como en el divisor, hasta que el divisor quede como un número entero.  Luego resolvemos la división como en el caso anterior. 

Ejemplos:             

Para realizar esta división corremos la coma a la  derecha tantos lugares como sea necesario (tanto en el  dividendo como en el divisor), hasta lograr que el  divisor sea un número entero. 

         

Tomamos los primeros dos  números del dividendo para  comenzar con la división.  Una vez efectuada la resta,  bajamos el número 4. 

           

Como 4 no es posible  dividirlo en 12 partes,  colocamos un 0 en el  cociente y bajamos el 5  colocando la coma en el  cociente, ya que pasamos a  dividir la parte decimal del  dividendo.

   

Podemos agregar  todos los ceros  que necesitemos  para continuar  dividiendo.  Al llegar a resto 0  finalizamos la  operación. 

     

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  Continuamos con la división buscando    un número que, multiplicado por 12 de  45 o de cerca de 45. 

Al haber colocado la coma en el cociente,  podemos agregar un 0 en el dividendo y así  LAS FRACCIONES Y LOS NÚMEROS DECIMALES  continuar con la división.  El número buscado es 3.    Bajamos ese 0. Las expresiones decimales también se obtienen al resolver la división que indica una fracción. De esta  manera podemos convertir una fracción en un número decimal y viceversa.     Veamos los siguientes ejemplos:    a)

   

 

3   4

 

30 28

3÷4 

4 0,75

0,75 =   

20 20 0

       

Como podemos ver la fracción   es igual a un número decimal finito que a la vez es menor que uno.   

  b)                       Es decir que   = 0,875  41    www.elbibliote.com

      c)                        

Es decir que   = 3,75 

    d)                  

Es decir que   = 1,5 

 

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  e)         Es decir que   = 0,4      EJERCICIO  Ordenar de mayor a menor las siguientes fracciones, convirtiendo previamente a número  decimal.                                                    Aprovechando las cuentas que realizamos previamente, obtenemos lo siguiente:     = 0,75   = 0,875   = 3,75 

Ordenar las fracciones de mayor a menor  resulta más sencillo si comparamos sus  respectivas expresiones decimales. 

 = 1,5   = 0,4                                                                                            Comparando…     

3,75 > 1,5 > 0,875 > 0,75 > 0,4  Expresamos los números en forma  de fracción  

   >   >   >   >     

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