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Matematicas III Solucionario tercera practica calificada Alberto Andre Tellez Lopez 20151376D Ingeniero Manuel Arevalo

1. Evalue

RR

Ω ||x

− y| − x| dxdy,

Ω = {(x, y)/ |x| + |y| ≤ 2}.

SOLUCION

1

Si

u=x+y

v =y−x

y

despejando

u+v u−v + ≤ 2 −→ −2 ≤ u ≤ 2 2

2

U sando ∂(x,y) ∂(v,u)

∂v

1 2

∂u

R2 R2 I = −2 −2 |−v| −

u−v 1 2 2 dvdu



= 8.88

. 2. Evalue la siguiente integral doble

RR

Ωe

x2 +y 2 2x

dxdy,

 Ω = (x, y)/x2 + y 2 ≤ 4 .

2

u+v 2 y

−2≤v ≤2

y

Jacobiano ∂x ∂x ∂v ∂u = − 1 −→ ∂(x,y) = = ∂y ∂y 2 ∂(v,u)

y=

x=

u−v 2

SOLUCION

En

coordenadas

Reemplazando

en

polares la

x = r cos θ

e

y = r sin θ, r

condicion

f (x, y) = e 2 cos θ ,

3

x2 + y 2 = r 2 r ≤ 4 cos θ

RR

Ω f (x, y)dxdy

I=

R 4 cos θ 0

P or

=

R Π/2 R 4 cos θ −Π/2 0

r

e 2 cos θ rdrdθ

r

e 2 cos θ rdr

partes

u=r

r

dv = e 2 cos θ dr −→ du = dr

y

r

y

v = 2 cos θe 2 cos θ

h i4 cos θ R r r 4 cos θ − 0 2 cos θe 2 cos θ dr I = 2r cos θe 2 cos θ 0

I = 2(cos 2θ + 1)(e2 + 1) R Π/2

2 −Π/2 2(cos 2θ + 1)(e + 1)dθ

=

2(e2 + 1)

R Π/2

−Π/2 (cos 2θ

+ 1)dθ =

= 2Π(e2 + 1) 3. Determine extremales para la funcional siguiente R 3 los valores 2 J [y] = 0 (y0(y) + y(y0)2 )dx y(0)=1 y(1)=2.

SOLUCION F = y0(y)2 + y(y0)2 ∂F ∂y0

siendo

el

caso

III,

∂F ∂y0 y0

−F =C

= (y 2 + 2yy0) −→ y 2 y0 + 2yy0y0 − y0(y)2 − y(y0)2 = C

y(y0)2 = C −→ √

x=

R

0=

2 3C1

C1 =

y

=

C1 √ y

−→ dx =

√ y C1 dy

3

C1 dy =

2y 2 3C1

+ C2

√ 4 2−2 3

dy dx

y

+ C2 1=

y

√ 4 2 3C1

reemplazamos + C2 √

y

C2 = − 1+23

hallamos

(0, 1) y C1

y

(1, 2)

C2

2

. 4. Use integrales dobles para calcular el volumen del solido acotado por un hexaedro de caras regiones triangulares equilateras de arista l .

4

SOLUCION

Vtotal = 12V 0≤x≤

;

V =

RR S

f (x; y)dA −→ f (x; y) = z

√

l 2

,

0≤y≤

dA = dxdy

√

−

3l 3 x

y

z = tan θy

√

V =

R l/2 R 0

0

√ 3l − 33l x 6

3l 6

y

tan θydydx = tan θ

5

R l/2 0

(2x−l)2 24 dx

3

l = tan θ 144

Del

√ tan θ = 2 2 V =

graf ico √

Vtotal = 12

2l3 72

√

2l3 72

√

2l3 6

=

. 5. Use coordenadas polares para evaluar el area de la regien acotada por las curvas regulares: ς1 : b2 x2 + a2 y 2 = a2 b2 y ς2 : x2 a2 + y 2 b2 = a2 b2 .

SOLUCION

Igualando En

ς1

y

coordenadas

ς2

b2 x2 + a2 y 2 = x2 a2 + y 2 b2 −→ x = y

polares

x = ar cos θ

e

y = br sin θ

ar cos θ = br sin θ −→ θ = arctan ab En

ς1 : b2 a2 r2 (cos θ)2 + a2 b2 r2 (sin θ)2 = a2 b2 −→ r = 1

0 ≤ θ ≤ arctan ab y 0 ≤ r ≤ 1 U sando Jacobiano ∂x ∂x ∂(x,y) ∂θ = abr(cos θ)2 + abr(sin θ 2 ) = abr ∂r ∂y ∂(r,θ) = ∂y ∂r

A=8

∂θ

R arctan ab R 1 0

0

abrdrdθ =4ab arctan ab 6

6. Sea < la parte de una bola de radio a removida por una barrena cilindrica de diametro a cuyo lado pasa por el centro de la esfera. a) Bosqueje < b) Observe que < consta de cuatro pedazos congruentes. Halle el volumen de uno de estos pedazos.

SOLUCION 7. Use integrales dobles en coordenadas rectangulares, para calcular el volumen del solido acotado por las superficies S1 : 4z = 1 − x2 − 4y 2 y S2 : 4z = x2 + 4y 2 − 1.

SOLUCION

7

Igualamos S1 y S2 ; x2 + 4y 2 − 1 = 1 − x2 − 4y 2 entonces q q q 2 1−x2 1−x2 −→ −1 ≤ x ≤ 1 y − ≤ y ≤ y = ± 1−x 4 4 4 1−x2 −4y 2 4

f (x; y) =

y

g(x; y) = q

RR

S (f (x; y)−g(x; y))dA =

R1 −1

2

(1−x2 ) 3

dx =

R1 R −1

−

x2 +4y 2 −1 4 1−x2 4

q

1−x2 4

2−2x2 −8y 2 dydx 4

=

Π 8

8. Exprese por integrales dobles el volumen del solido acotado por el tronco de cilindro circular recto. Las longitudes de las gener atrices del tronco son a y b (a¿b), y la longitud del radio de la base es R.

8

SOLUCION

La

ecuacion

x2 +y 2 = R2

del

plano

pasando

a

z = f (x; y) = tan αy + polares

x = r cos θ

9

e

a+b 2

y

el

y = r sin θ

dominio reemplaz.

r = R −→ 0 ≤ θ ≤ 2Π y Sea

el

volumen

V =

R 2Π R R

V =

R 2Π

R 2Π 0

0

0

0

V =

0≤r≤R

y

RR

Ω f (x; y)dA

z = tan αr sin θ +

=

a+b 2

RR

Ω f (r cos θ; r sin θ)rdrdΠ

tan αr2 sin θ + ( a+b 2 )rdrdθ = 3

tan α R3 sin θdθ +

sin θdθ = 0 −→ V =

R 2Π 0

R 2Π 0

2

R ( a+b 2 ) 2 2

R ( a+b 2 ) 2 =

pero : 2 a+b 2 ΠR

9. Un le˜ nador corta una pieza con forma de cu˜ na de un arbol cilindrico de radio r, mediante dos cortes de sierra hacia el centro del arbol, uno horizontal y otro a un angulo θ . Calcule el volumen de la cu˜ na usando el principio de Cavalieri.

SOLUCION

RR 10. Demuestre que 16 ≤ D con vertices (0;0), (1;1), (1;0).

dA y−x+3

≤ 14 , donde D es la region triangular

10

SOLUCION

Sabemos

que

M aximo

y

mA ≤

M inimo

RR

Ω f (x; y)dA

en

el

≤ MA

recinto.

11

donde

P uede

M

y

son

alcanzarlos

el en

el

interior

o

f rontera : ∂f ∂x

−1 (y−x+3)2

En

el

interior

no

hay

puntos

criticos.

En

la

f rontera

y=0

df1 dx

En df2 dy

1 (x−3)2

=

la

En

la

El

area

1 6

≤

≤

< 0 −→ es

recinto

Ω f (x; y)dA

1 Ω y−x+3 )dA

RR

1 Ω y−x+3 )dA

RR

;

1 3

≤ f1 (x) ≤

1 3

≤

es

1 2

;

≤ MA

≤

1 (y−x+3)2

11 22

1 4

12

6= 0

1 −x+3

1 2

0 ≤ y ≤ 1 −→ f2 (y) =

decreciente

A

=

0 ≤ x ≤ 1 −→ f1 (x) =

x = y −→ f (x; y) =

f rontera del

;

∂f ∂y

6= 0 y

creciente

x=1

RR

mA ≤ 11 32

> 0 −→ es

f rontera

−1 (y+2)2

=

=

1 y−x+3

f (x; y) =

≤ f2 (x) ≤

1 y+2

1 2

1 3

M=

1 2

;

m=

1 3