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• Fredo Bahena

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FORMULARIO MATEMÁTICAS III FORMULA GENERAL Si ax2+bx+c=0, entonces:

x=

− b ± b 2 − 4ac 2a

TRIGONOMETRIA En triángulos rectángulos:

C.O. H C.O. tan φ = C. A. H sec φ = C. A.

C. A. H H csc φ = C.O. C. A. cot φ = C.O.

senφ =

cos φ =

Identidades Fundamentales:

1 1 csc φ = sec φ = senφ cos φ senφ 1 tan φ = cot φ = cos φ tan φ 2 2 sec φ − tan φ = 1 sen 2φ + cos 2 φ = 1 csc 2 φ − cot 2 φ = 1 sen(− φ ) = − senφ cos(− φ ) = cos φ Suma y resta de ángulos:

sen(x ± y ) = senx cos y ± cos xseny cos(x ± y ) = cos x cos y  senxseny tan x ± tan y tan ( x ± y ) = 1  tan x tan y

Ing. Miguel Enrique Raya Ayala

FACTORIZACIÓN Diferencia de cuadrados: a2-b2=(a+b)(a-b) Diferencia de cubos: a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) Suma de cubos: a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) Binomio al cuadrado: (a±b)2=a2±2ab+b2 DERIVADAS

f ' (x ) =

dy d f (x + h ) − f (x ) = y' = f ( x ) = lim →0 h dx dx h

Siendo u, v y w funciones de x y c una constante: 1.

d c=0 dx

2.

d x =1 dx

3.

d d cu = c u dx dx

4.

d n d u = nu n−1 u dx dx

5.

d (u ± v ) = d u ± d v dx dx dx

6.

d (uv ) = u d v + v d u dx dx dx

8.

d 1 d ln u = u dx u dx

d d u −u v d u 7.   = dx 2 dx dx  v  v v

9.

d u d e = eu u dx dx

10.

1 d d log a u = u dx u ln a dx

Angulo doble:

11.

d u d a = a u ln a u dx dx

12.

d d senu = cos u u dx dx

cos(2 x ) = cos 2 x − sen 2 x =

13.

d d cos u = − senu u dx dx

14.

d d tan u = sec 2 u u dx dx

15.

d d cot u = − csc 2 u u dx dx

16.

d d sec u = sec u tan u u dx dx

17.

d d csc u = − csc u cot u u dx dx

18.

1 d d arcsenu = u dx 1 − u 2 dx

19.

−1 d d arccos u = u dx 1 − u 2 dx

20.

d 1 d u arctan u = dx 1 + u 2 dx

21.

d −1 d arc cot u = u dx 1 + u 2 dx

Propiedades logaritmos

22.

d 1 d arc sec u = u 2 dx u u − 1 dx

23.

−1 d d arc sec u = u dx u u 2 − 1 dx

ln(xy ) = ln x + ln y x ln  = ln x − ln y  y

sen(2 x ) = 2 senx cos x

cos(2 x ) = 2 cos 2 x − 1 = 1 − 2 sen 2 x 2 tan x tan (2 x ) = 1 − tan 2 x Suma-Producto

x+ y x− y senx + seny = 2 sen  cos   2   2  x+ y x− y senx − seny = 2 cos  sen   2   2  x+ y x− y cos x + cos y = 2 cos  cos   2   2  x+ y x− y cos x − cos y = −2 sen  sen   2   2  Producto-Suma

1 senxseny = [cos( x − y ) − cos( x + y )] 2 1 cos x cos y = [cos( x − y ) + cos( x + y )] 2 1 senx cos y = [sen( x + y ) + sen( x − y )] 2

Distancia entre dos puntos:

D=

(x1 − x0 )2 + ( y1 − y 0 )2

Pendiente de una recta: y − y0 m= 1 x1 − x0 Ecuación de la recta: y=mx+b

de

ln x P = P ln x

GEOMETRÍA ANALÍTICA Ecuación de la recta punto – pendiente: y-y0=m(x-x0) Ecuación del círculo con centro en (h,k) y radio r: (x-h)2+(y-k)2=r2 Ecuación de la elipse con centro en (h,k) y semiejes “a” y “b”:

( x − h ) 2 + ( y − k )2 a

b

=1

los

FORMULARIO MATEMÁTICAS III

Ing. Miguel Enrique Raya Ayala

INTEGRALES

1. ∫ dx = x 2.

∫ udv = uv − ∫ vdu

3. ∫ u n du =

n +1

u +C n +1

16.

∫ csc udu = ln csc u − cot u + C

9.

∫ sec

17.

∫

18.

∫a

19.

∫u

20.

∫a

2

21.

∫u

2

∫ csc

udu = tan u + C 2

∫ csc u cot udu = − csc u + C

13.

∫ tan udu = ln sec u + C

∫ a du = ln a + C

14.

∫ senudu = − cos u + C

15. ∫ sec udu = ln sec u + tan u + C

u

∫ cot udu = ln senu + C

ALGEBRA VECTORIAL.

CALCULO VECTORIAL

Vector de posición de A a B: Coordenadas de B menos coordenadas de A.

Longitud de arco:

Siendo A=A1i+A2j+A3k B=B1i+B2j+B3k Modulo o magnitud de A:

A = A1 + A2 + A3 2

2

y

a

2

∇=

A• B = B

Producto escalar de A y B:

A • B = A B cos φ A • B = A1 B1+A2 B2+A3B3 AxB = A B senφ u i AxB = A1 B1

j A2 B2

du 1 u−a = ln +C 2 −a 2a u + a

j ∂ ∂y A2

De polares (r, φ ) rectangulares (x,y): x=rcos φ

r=

∫

x2 + y2

φ = arctan(y x )

2

2

 dx   dy  f ( x , y )ds = ∫ f [x(t ), y (t )]   +   dt  dt   dt 

1 y ρ ( x, y ) dA m ∫∫R

1 xdA A ∫∫ R

y=

I x = ∫∫ y 2 dA

k ∂ ∂z A3

A ( S ) =∫∫ R

De cilíndricas (r, φ ,z) a rectangulares (x,y,z): x=rcos φ y=rsen φ z=z vectores: er=cos φ i+sen φ j

I y = ∫∫ x 2 dA

∫

R

2

 ∂z   ∂z  1 +   +   dA  ∂x   ∂y  2

De rectangulares esféricas (r, φ , θ ):

(x,y,z)

a

r = x2 + y2 + z2 θ = arccos( z r ) φ = arctan(y x ) (graficar)

De esféricas (r, φ , θ ) rectangulares (x,y,z):

x = rsenθ cos φ y = rsenθsenφ z = r cos θ

eφ =-sen φ i+cos φ j

e z =k TEOREMA DE GREEN Siendo F=Pi+Qj y r=xi+yj

∫

C

1 ydA A ∫∫ R

Área superficial:

∫

F • dr = Pdx + Qdy = (graficar) C C z=z INTEGRAL DE LÍNEA en el espacio:

INTEGRAL DE LÍNEA en el plano:

C

a

y=rsen φ De rectangulares (x,y,z) a cilíndricas (r, φ ,z):

donde: r=xi+yj+zk r0= vector de posición de un punto conocido del plano. n= Vector perpendicular al plano

y=

Momentos de inercia:

j=ersen φ + eφ cos φ

(graficar)

Ecuación del plano: n • r= n • r0

1 x ρ ( x, y ) dA m ∫∫R

Centroide:

i=ercos φ - eφ sen φ

2

φ = arctan(y x )

donde: r0= vector de posición de un punto conocido de la recta. v= Vector paralelo o colineal a la recta.

x=

R

φ ):

x +y

R

R

ECUACIONES DE RECTAS Y TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS De rectangulares (x,y) a vectores: PLANOS. r=

V = ∫∫ f ( x, y ) dA

A = ∫∫ dA

m = ∫∫ ρ ( x, y ) dA

∂A1 ∂A2 ∂A3 + + ∂x ∂y ∂z

i ∂ ∇xA = ∂x A1

INTEGRALES

Volumen:

x=

2

1 u arc sec + C a a

du 1 u+a = ln +C 2 −u 2a u − a

Área:

Rotacional de A:

Ecuación de la recta: l=r0+tv

=

Masa y centro de masa:

Donde: u es un vector unitario en la dirección en que se quiere calcular la derivada.

polares (r,

2

R

∇φ • u

k A3 B3

u −a 2

φ

Derivada direccional:

∇• A=

du

V

∂ ∂ ∂ i+ j+ k ∂x ∂y ∂z

Divergencia de A:

du 1 u = arctan + C 2 +u a a

2

∫∫∫ dV

φ: ∂φ ∂φ ∂φ ∇φ = i+ j+ k ∂x ∂y ∂z

Producto vectorial de A y B:

a2 − u2

u +C a

Volumen:

2

Gradiente de

A A

Proyección de A sobre B:

Pr oy A→ B

2

Siendo A =A1i+A2j+A3k un campo vectorial, una función escalar y

Vector unitario de A:

a=

2

L=∫

= arcsen

APLICACIONES DE DOBLES Y TRIPLES:

 dx   dy   dz    +   +   dt  dt   dt   dt 

b

du

udu = − cot u + C

12.

u

a

2

11. ∫ sec u tan udu = sec u + C

5. ∫ e u du = e u + C

7.

∫ cos udu = senu + C

10.

1 du 4. ∫ du = ∫ = ln u + C u u

6.

8.

2

 ∂Q

∂P 

∫∫  ∂x − ∂y dA R

2

2

 dx   dy   dz  f ( x , y , z )ds = ∫ f [x(t ), y (t ), z (t )]   +   +   dt  dt   dt   dt 

a