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EL PROCESO DE TOMA DE DECISIONES FINANCIERAS MEDIANTE EL EMPLEO DE LAS MATEMATICAS FINANCIERAS.

¿Qué son las matemáticas? Viene del Griego y quiere decir “aprendizaje” o lo que puede ser aprendido, o estudiar, ciencia o todo lo relacionado al aprendizaje o estudioso. Las matemáticas es un arte, pero también una ciencia de estudio, informalmente se puede decir que es el estudio de los números y símbolos. Es la investigación de estructuras abstractas definidas a partir de axiomas, utilizando la lógica y la notación matemática.

Históricamente la matemática surgió con el fin de hacer: - Cálculos en el comercio. - Para medir la Tierra. - Para predecir los acontecimientos astronómicos. Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma con la subdivisión amplia de las matemáticas en el estudio de la cantidad, la estructura, el espacio y el cambio.

Matemáticas Financiera Definición: Las matemáticas financieras es una especialidad de las matemáticas con aplicación financiera (dinero) en los siguientes aspectos: - Estudio del comportamiento del valor del dinero en el tiempo. - El comportamiento de las tasas de interés y su efecto en el valor del dinero, así como sus equivalencias. - El estudio de los créditos y de sus diferentes formas de amortización.

Valor del dinero en el tiempo Según algunos economistas existen factores básicos que afectan de manera directa el costo del dinero: a)

Oportunidades de producción

a)

Consumo actual

a)

Riesgo

a)

Inflación

Las oportunidades de producción. Se refiere a los rendimientos disponibles dentro de una economía y que provienen de las inversiones en activos productivos, la cual se puede entender como la posibilidad de destinar los recursos de un negocio esto indica que dichos recursos no estarán disponibles en el mercado para prestarlos a nadie mas. Si el dinero no esta disponible entonces es escaso y si es escaso entonces el precio por conseguirlo es mayor.

El Consumo (Compras Diarias) Es preferido por la gente en lugar de ahorrar y efectuar compras futuras; por ejemplo, si la totalidad de la población de un país estuviese viviendo al nivel de subsistencia entonces las tendencias por el consumo actual serian necesariamente altas, con los ahorradores nulos, las tasas de interés altas y la formación de cantidades de capital muy difícil. Si no hay quien ahorre entonces no habrá recursos disponibles para que alguien mas los utilice.

Al haber escasez de dinero, los individuos, las empresas y las instituciones estarían dispuestos a pagar mejores precios con tal de conseguir los recursos. En este caso debemos entender que el dinero es como una mercancía y las leyes de la oferta y la demanda afectaran el precio de este. Si hay muchas mercancías en el mercado el premio tendera a bajar; por el contrario, si hay escasez siempre habrá alguien dispuesto a pagar un mayor precio por obtener las mercancía. Los cual genera que los precios suban.

El Riesgo Es otro factor que afecta el costo del dinero, en el contexto de los mercados financieros. El riesgo consiste en la probabilidad de que un préstamo no sea reembolsado tal y como se prometió, mientras mayor sea el riesgo, mas alto será el costo del dinero. La Inflación Es la tendencia de los precios a aumentar a lo largo del tiempo, lo que trae como consecuencia el aumento en el costo del dinero y la pérdida del poder adquisitivo de los consumidores. Si los precios de los bienes y productos se incrementan es lógico pensar que el prestamista impactara en el costo del dinero ese incremento.

INTERÉS Definición: Es el costo del dinero por su uso y durante un período de tiempo. Para su estudio el interés se puede dividir en: a) Interés simple b) Interés compuesto. Interés simple. Se emplea sobre préstamos de dinero a corto plazo (de un año o menos) y se calcula sobre el importe que se debe (Capital inicial o valor actual del presupuesto) durante cierto período y aplicando una tasa de interés.

Operaciones a Interés Simple: 1. Cuentas de inversión inmediata 2. Cuentas a plazo 3. Certificados de depósitos 4. Se invierte dinero en forma productiva 5. Se consigue o se otorga algún préstamo 6. Se adquieren bienes o servicios en operaciones crediticias. El concepto de Interés se representa con una I La cantidad de dinero prestado o invertido se conoce como: Capital ( C ). La operación financiera que con el tiempo se incrementa a un valor M (Monto del Capital)

El Capital también se conoce como valor presente o valor actual y el monto de Capital como valor futuro o valor acumulado dependiendo de la aplicación. El Interés Simple (dinero ganado) se calcula como: ( I ) Interés Simple = M(Monto de Capital – C(Capital) Formula: I = M – C El plazo o tiempo. Es el número de días, meses o años que transcurren en un intervalo dado entre la fecha inicial y la fecha final de una operación financiera: C Plazo (n) Fecha Inicial

M Fecha final

La unidad de tiempo que se acostumbra usar para expresar la tasa de interés es de un año pero también se puede expresar en períodos menores al año y se representa con una (n) o (t) La tasa de interés se calcula como; - La razón entre el interés (I) y el capital ( C) por unidad de tiempo: Fórmula: i = I / C(n) El interés se acostumbra expresarlo en porcentajes y se obtiene, multiplicando por cien la tasa de interés. Una tasa de interés del 20% se calcula de la siguiente forma

Por cada $1,000.00 de deudor deberá pagar $200 de interés en un año: Formula: i=I/C(n) i=200/1000(1) = 0.2 x 100=20% Por lo tanto el interés es del 20% Algunas veces se acostumbra expresar la tasa de interés en porcentaje sin indicar el período; sin embargo se debe entender que el período es de un año. En nuestro país las tasas de interés no son constantes por largos períodos de tiempo, por lo que es necesario fijar tasas de referencia, de las cuales las mas utilizadas son: a) Tasa de Interés Interbancario de Equilibrio (TIIE) b) Costo porcentual promedio de capitalización (CPP)

c) Costo de capitalización a plazo (CCP) d) Certificación de la Tesorería de la Federación (Cetes) Estas tasas de interés se aplican cuando se realizan operaciones financieras y comerciales. - Tasa de interés activa. Son tasas que los bancos cobran por los diferentes tipos de crédito a los usuarios de estos. - Tasa de interés pasiva. Son las tasas de interés que los bancos pagan a los ahorradores e inversionistas.

Tasa de interés interbancario de equilibrio (TIIE) Es el punto de equilibrio entre las tasas de interés activas y pasivas. Se obtiene a partir de la información que proporciona diariamente el Banco de México a los diferentes bancos. Las tasas son precios reales que los bancos están dispuestos a pedir prestado o prestar al Banco de México. - Existen diferentes plazos de la TIIE, el mas usual es a 28 días. - Costo porcentual promedio de capitalización (CPP) Mide el costo con el que se fondean los bancos para cubrir sus pasivos. -

El Banco de México es el encargado de calcularlo y publicarlo en el Diario Oficial de la Federación. - Costo de Capitalización a Plazo (CCP) Es la estimación mensual de la tasa de interés de los pasivos a plazo en moneda nacional a cargo de la banca múltiple y éste se utiliza para la tasa de interés de crédito en pesos. El Banco de México es el encargado de calcularlo y publicarlo en el Diario Oficial de la Federación. - Certificados de la Tesorería de la Federación (Cetes) La tasa de interés tiene un plazo de 28, 90 o 180 días y se utiliza como tasa de referencia.

Ejemplos 1. Calcular el Interés ganado, tasa de interés, tipo de interés. Datos: Un comerciante invierte $1,000.00, después de un año recibe la cantidad de $1,200.00 por su inversión. a) Interés ganado. Formula: I=M-C I=1,200.00 – 1,000.00 I= $200 b) Tasa de Interés. Fórmula: i=I/Cn i=200/1000(1) i=200/1000 = 0.20 anual. c) Tipo de Interés. Fórmula: T=i x 100 T=0.2 x 100 = 20%

2. Cálculo del Interés Ganado. a) Datos: La señora Gómez solicito un préstamo de $6,500 al 9% anual durante un año. Calcule el interés simple a pagar. C=6,500.00 n=1 año T=9% anual I=? Solución: I=Cni I= 6,500 (1)(0.09) I=585 b) Datos. El señor Godinez compra un automóvil para su negocio y pacta pagarlo en dos años, con una tasa de interés de 36% anual. El automóvil cuesta $98,500. Determinar el interés simple a pagar. C= 98,500 n=2 años i= 36% anual I= Cni I= 98,500 (2)(0.36) I= 70,920

3. Calculo de tasa de Interés. c). Datos. ¿Cuál es la tasa de interés por un préstamo de $15,000 a un año, si se pagaron intereses de $3,000? I=3,000 C=15,000 n=un año Solución. i=I/Cn i=3,000/15,000(1) i=0.20 x 100= 20% anual. d) A cierto fabricante de bicicletas se le presto un capital de $2,500,000 para pagarlo durante tres años, la compañía pago un interés preferencial de $660,000. ¿Cuál fue la tasa de interés pactado? C= 2,500,000 I=660,000 n=3 años Solución. i=I/Cn i=660,000/2,500,000 (3) i=660,000/7,500,000=0.088 x 100 = 8.8% anual

e) La tasa de interés aplicable a las personas que compran a crédito en una tienda comercial es la TIIE de 12.19% anual mas 12.30 puntos porcentuales. ¿Cuál es la tasa de interés aplicable? Datos: TIIE 12.19% anual Puntos porcentuales 12.30% T= ? (tasa de Interés) Solución: T= TIIE + puntos porcentuales = porcentaje anual T= 12.19 + 12.30 = 24.49%

f) Un banco paga 8% anual en sus cuentas de inversión inmediata los intereses simples se abonan trimestralmente. ¿Cuánto recibirá de intereses por los primeros 90 días si el depósito fue de $3,800? Datos: C= 3,800 i=8% anual n=90 días Solución: I= C (i/100)(n/360) I=3,800 (8/100)(90/360) I=3,800(0.08)(.25) I=$76 g) Se compra un automóvil en $76,600 para pagarse en un año, con una tasa de interés simple del 24% anual. Calcular el interés correspondiente al primer mes de pago. Datos: C=76,600 i=24% anual n=1 mes Solución: I=C (i/100)(n/12) I= 76,600 (24/100)(1/12) I=76,600(0.24)(0.0833333) I= 1,531.99

h) ¿Cuál es el interés simple que produce un capital de $15,000 que debe pagarse dentro de 13 semanas, con una tasa de interés de 28% anual? Datos: C=15,000 i=28% anual n=13 semanas Solución: I= C(i/100)(n/52) I=15,000(28/100) (13/52) I=15,000(0.28)(.25) I=$1,050

4. Cálculo de Capital. a) Una persona gano en una inversión $10,000 en una año a una tasa de interés del 6.5%. ¿Cuánto dinero necesito invertir? Datos: C=? I=10,000 i=6.5%/100 n=1 Solución: C=I/ni C=10,000/(1)(0.065) C=10,000/0.065 C= 153,846 5. Cálculo del tiempo. a) Se invirtieron $70,000 a una tasa de interés de 7.8% anual y por el cual gano un total de $2,730. ¿Durante cuanto tiempo estuvo invertido el dinero? Datos: n=? C= 70,000 I= 2,730 i= 7.8%/100 Solución: n=I/Ci n=2,730/(70,000)(0.078) n=0.50

5. Cálculo del Monto. El monto es la suma del capital más el interés simple ganado. Se simboliza mediante la letra M M= C + I Sustituyendo: M = C+ Cin Factorizando: M = C (1+ni) Ejemplos: a) Calcular el monto de un préstamo de $13,000 con un interés simple del 26% durante dos años. Datos: C=13,000 i=26% anual i=0.26 n= 2 años Solución: M=C(i+ni) M=13,000 [1+(0.26)(2 años)] M=13,000 [1.52] M=19,760

b) ¿Cuál es el monto que se debe pagar al ISSSTE por un crédito a corto plazo de $8,500 con un interés del 9% anual, después de un año y seis meses? Datos: C=$8,500 i=9% anual i=0.0075 mensual n=18 meses. Solución: M=C(1+ni) M=8,500[1+(0.0075)(18 meses) M=8,500 (1.135) M=9,647.50 c) Calcular el monto acumulado hasta el 25 de marzo de 2009, de un deposito de 25,000 realizado el 15 de Octubre del 2008 en una cuenta que abona una TIIE de 22.3% anual mas un 4.2% puntos porcentuales. Datos: C=25,000 i=26.5%/100 anual n=160/360 días Solución: M=C(1+ni) M=25,000[1+(0.265)(0.444444)] M=27,944.44

6. Calculo del Valor Presente. Es el valor del dinero en el presente (Al día de hoy). Se calcula conociendo el valor final o monto de una transacción. Formula: C = M/(1+ni) Ejemplo: a) Encontrar el valor presente de $10,000 pagaderos en 9 meses con tasa de interés simple del 20% Datos: M=10,000 i=20% anual n= 9 meses Solución: C=M/(1+ni) C=10,000/[1+(9/12)(0.20/12)] C=10,000/[1+(0.75)(0.20)] C=10,000/(1+0.15) C=10,000/1.15 C=8,695.65

7. Calculo del Tiempo para Prestamos o Inversión Formula: n= (M/C) – 1 / i a) El primero de diciembre del 2008 se depositan $8,500. ¿En cuanto tiempo se acumularan $9,647.50 con una tasa de interés del 9%? Datos: M=9,647.50 C=8,500 i=9% anual n=? Solución: n=(9,647.50/8,500)-1 /0.09 n=1.135 -1 /0.09 n= 0.135/0.09 n= 1.5 Resultado: Un año seis meses b) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que un capital de $3,000 sea un Monto de $7,000 si la inversión se hizo con un 5% de interés simple mensual?

Datos: C=3,000 M=7,000 i=5% anual Solución: n=(7,000/3,000)-1 / 0.05 n= 2.33333-1/0.05 n=1.33333 – 1 /0.05 n= 26.6666 meses 8. Descuento Comercial.

Datos: C=3,000 M=7,000 i=5% anual Solución: n=(7,000/3,000)-1 / 0.05 n= 2.33333-1/0.05 n=1.33333 – 1 /0.05 n= 26.6666 meses 8. Descuento Comercial. El descuento es la disminución que se hace a una cantidad por pagarse antes de su vencimiento, es decir: El pago anticipado de un valor que vence a futuro. Cuando se obtiene un préstamo por una cantidad (C ) - Se elabora un pagaré que es una promesa de pago - La promesa de pago ampara cierta cantidad de dinero con o sin interés, con fecha determinada por

El deudor y el acreedor o dueño del documento. El documento se suscribe a favor del acreedor El descuento a los documentos se puede realizar de dos maneras: 1. Descuento comercial o bancario 2. Descuento real o justo 9. El Descuento Comercial o Bancario o simplemente descuento, consiste en: Cobrar el interés cuando se realiza el préstamo: es decir se cobran los intereses por anticipado y no hasta la fecha de vencimiento. El cobro del interés se calcula considerando el valor final del documento o valor futuro del capital

10. Descuento ( D ) - Es la cantidad descontada en cierto tiempo ( n ) - Con una tasa de descuento siempre ( d ) - El monto o valor final del documento es la cantidad solicitada en el préstamo, pero nunca se recibe. - Formula: D = Mnd - Ejemplo: ¿Cuál es el descuento que se hace por un préstamo de $50,000.00 para pagarse con un plazo de 6 meses, con una tasa de descuento simple del 24% anual? - Datos: M= 50,000 n=6 meses d=24% anual - Solución: D=Mnd D=50,000(6 meses)(0.24) - D=50,000 (0.12) D= 6,000

11.Valor descontado. Es la cantidad de dinero que recibe el solicitante del préstamo después de haber descontado anticipadamente los intereses del monto también se conoce como valor efectivo o liquido o actual. Formula: C=M-D Ejemplo: el arquitecto González solicita un préstamo de $100,000 con un plazo de tres meses y una tasa de descuento de 2.5% mensual. a) ¿A cuanto asciende el descuento en el momento de recibir el préstamo? b) ¿Qué cantidad en realidad recibe el arquitecto González? Datos: Préstamo = 100,000 Plazo = 3 meses Tasa de descuento = 2.5% D=? C=?

Solución: D=Mnd D=100,000(3 meses)(0.025) D=7,500. a) El descuento será de $7,500 b) La cantidad que recibirá el Arq. González es de: C=M-D C=100,000-7,500 C=92,500 La cantidad es de $92,500, sin embargo en tres meses deberá pagar $100,000. 12. Tasa de Descuento. 1. Las ganancias de capital se obtienen al comprar un pagaré o documento con menor valor y cobrarlo a futuro con su valor nominal. 2. Estas operaciones son frecuentes en documentos (valores) que se venden con descuentos.

La diferencia que se tiene entre el precio de venta y el precio de cobro es la ganancia de capital. 4. . Los precios de venta en los documentos que se venden con un precio inferior al que tiene en su fecha de vencimiento se determina calculando la tasa de descuento. Formula: d = D / Mn Ejemplo: El dueño de una empresa vendió a un Banco un Documento con 6 meses antes de su vencimiento, con valor nominal de $28,550, el Banco pago $20,835. ¿Cuál es la tasa de descuento? Datos: C=20,835 M=28,550 n= 6 meses Solución: a) Se determina D 3.

D = M-C D=28,550-20,835 D= 7,715 b) Después se determina la tasa de descuento d=D/Mn d=7,715/(28,550)(6 meses) d= 7,715/171,330 d=0.045 mensual d=(0.045)(6 meses) d=0.27 x 100 = 27% por seis meses. 13. Tasa de Rendimiento. En el descuento comercial, el prestamista dispone de inmediato del dinero generado por los intereses, al cobrarlo por adelantado. El deudor al pagar por adelantado los intereses del préstamo, en realidad esta pagando más intereses que los estipulado o pactado, a esta tasa se le conoce como “Tasa de Rendimiento” ( R )

Formula: R = M-C/Cn en donde: R= Tasa de rendimiento M= Monto a pagar C= Valor descontado N= plazo. Ejemplo: un banco descuenta $17,400. al señor López por un préstamo para pagar en cuatro meses con un tasa de descuento de 39% anual. ¿Cuál es la tasa de Rendimiento? Datos: D=17,400 n= 4 meses d=39% anual Solución: 1. Primero se calcula el monto M=D/dn D=17,400/(39/100)(4/12) M= 17,400/(0.39)(0.333333) M=17,400/0.1299999 M=133,846.25

2. Calcular el valor descontado. C = M–D C=133,846.25 – 17,400 C=116,446.15 3. Cálculo de la tasa de Rendimiento. Fórmula: R=M-C/Cn Solución: R=133,846.25–116,446.15/(116,446.15)(4 meses) R=17,400.10/465,784.60 R=0.0373563 Mensual R=(0.0373563)(4 meses) R=(0.1494252)(100) R= 14.94% por los 4 meses. Ejemplo 2: Calcular la tasa de Rendimiento, si el valor descontado a los 6 meses es de $25,894 y el monto es de $35,000

Datos: M=35,000 C=25,894 n=6 meses Solución: R=M-C/Cn R=35,000-25,894/(25894)(6 meses) R=9,106/155,364 R=0.0586 mensual R=(0.0586)(12)=0.7033 R=(0.7033)(100) R=70.33%