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Esenciales de Matemáticas Financieras Book · March 2008

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1 author: Arturo Ortiz Tapia Instituto Mexicano del Petroleo 62 PUBLICATIONS 84 CITATIONS SEE PROFILE

Available from: Arturo Ortiz Tapia Retrieved on: 02 June 2016

Prefacio Cuando se escucha el nombre de “matemáticas financieras”, tal vez venga a la mente del lector imágenes de bancos nacionales y empresas trasnacionales. Pero las matemáticas financieras pueden ayudar al “hombre de la calle”, el ciudadano común y corriente. ¿Quién no a entrado en una tienda que ofrezca descuentos, expresados como porcentajes? ¿Qué persona no sería afectada por la tasa de interés mientras ahorra o ha pedido un préstamo? Se puede pensar también que matemáticas financieras y economía son sinónimas. Aunque es cierto que la matemática que es útil para matemáticas financieras se puede usar en economía, lo cierto es que a un economista se ocupa de saber (por ejemplo) por qué los bancos pueden subir o bajar las tasas de interés de ahorro o préstamos, mientras que en finanzas esas tasas se toman como algo dado, un dato, para poder aplicarlo en las distintas fórmulas para cálculo de pago de capital e intereses. El o la economista puede decidir si a un gobierno le podría convenir vender bonos de la tesorería o bien en cuánto se deberían vender las acciones de una empresa que cotice en la bolsa de valores, pero es tarea de las matemáticas financieras el calcular explícitamente la ganancia de un bono o acción en concreto. En suma, pudiéramos definir un tanto libremente que la economía se encarga de explicar los grandes “por qués” relacionados con las transacciones comerciales entre los países del mundo, las grandes empresas, y el conjunto de empresas, negocios y actividades económicas que realicen las personas como miembros de un colectivo, mientras que la matemática financiera se encarga de cuantificar los rendimientos o las obligaciones monetarias para casos particulares, con los datos numéricos que ya existen, y que son consecuencia de los movimientos de la economía mundial, usando las conceptos matemáticos aplicados a las finanzas. Con esto no se quiere decir que no se vayan a abordar algunos problemas de micro y macroeconomía, aunque sea con fines ilustrativos de aplicaciones de las matemáticas. Entonces, en donde sea pertinente se marcará [Macroeconomía] ó [Microeconomía] (respectivamente) para enfatizar que el problema es de ese tipo. Este libro se ha enfocado en ser extenso en cuanto a la aplicación de las matemáticas aprendidas en los primeros semestres de preparatoria, y no tanto en el desarrollo conceptual de las mismas. Tampoco pretende ser un sustituto de la teoría de los libros que revisan con profundidad los conceptos de matemáticas financieras. Sin embargo, lo que sí se pretende es que este libro sea una colección de ejemplos y ejercicios, un primer enlace entre la parte abstracta y la aplicada de las matemáticas, en este caso a las finanzas. Por lo mismo es que la organización de esta obra ha sido en el orden matemático, y los temas financieros se han agrupado respecto de esos temas. De esta manera, en el índice se encontrarán los temas matemáticos agrupados en orden creciente de dificultad. Al final de cada indexación por capítulo se hace una lista de los temas financieros que se han de tratar con las herramientas matemáticas aludidas hasta ese momento (en cursivas, encerradas en llaves), pero esto no necesariamente en el orden en que se encuentran enlistadas. Es importante hacer mención que si bien en México, al momento de escribir estas líneas (octubre de 2007), se usa como un estándar el “punto” para separar las cantidades enteras de los decimales; además, y especialmente en círculos financieros, es común separar cada tres cifras (por ejemplo) con una coma. El punto es un símbolo que ayuda

a la base del sistema de conteo (en este caso decimal, pero puede ser cualquier otro, incluyendo el binario, octal y hexadecimal), cuando incluye fracciones más pequeñas que la unidad de la base, para separar la parte entera (generalmente a la izquierda del punto) de la fraccionaria (a la derecha del punto). Por ejemplo en 0.5, lo que me esta diciendo es que hay “cero unidades” y “.5” de unidad. Sin embargo, hay otros países en donde la situación es al revés: el símbolo para separar las fracciones es la coma y aquél para los grupos de cifras enteras (o incluso decimales) es el punto. Los países que usan el punto como separador de enteros y decimales incluyen al nuestro, Estados Unidos de América, Gran Bretaña y la República Popular China. Entre los países que usan la coma se encuentran Argentina, Francia, la República Checa, Serbia, España y Venezuela. Además, hay países llamados “Momayyez”, los cuales usan una especie de “/” para separar los decimales de los enteros. Estos últimos países incluyen a Iran, Iraq, Arabia Saudita y la Unión de Emiratos Árabes. Se recomienda que las personas que entren en negociaciones con personas de otros países, se informen de este tipo de peculiaridades, y que una vez que se adopte un estándar, éste se mantenga consistentemente. La página donde se puede consultar la usanza en otros países que no se hayan mencionado aquí es en http://en.wikipedia.org/wiki/Decimal_point#Dot_countries O su equivalente en castellano (aunque esta última página no es tan exhaustiva, ni menciona a los países Momayyez) http://es.wikipedia.org/wiki/Separador_decimal

ISO (Organización Internacional de Estándares, por sus siglas en inglés) ha considerado que para documentos de carácter internacional, se use la coma, como separador de decimales y enteros. No obstante, debido a la tradición que todavía se sigue en México, en este libro se usará el punto decimal, para evitar posibles confusiones. La página consultada para el estándar fijado por ISO es http://isotc.iso.org/livelink/livelink/fetch/2000/2489/Ittf_Home/PubliclyAvailableStand ards.htm (a la cual se tuvo acceso en octubre de 2007). Se consultó la sección “Information technology—Vocabulary—Part 5: Representation of data” (ISO/IEC 2382-5:1999) Para la elaboración de este libro se han consultado una serie de obras, cuya bibliografía se enlista al final (incluyendo, por supuesto, la Wikipedia) y que se podrían usar como material de estudio de los conceptos en profundidad. El autor espera que esta obra cumpla con el cometido para el cuál fue concebida.

Capítulo 1: Lógica 1.1. Propósito de estudiar lógica en un marco financiero La lógica se define, de una manera muy sucinta, como el estudio de los principios y criterios que hacen válidos la inferencia y la demostración. Dicho de otra manera, la lógica es parte del proceso de abstracción y formalización de una situación para convertirla a términos matemáticos, por un lado, pero también es parte sustancial de la interpretación correcta del lenguaje. Ejemplo 1: la fórmula “X” requiere que le de proporcione el tiempo en cantidades discretas de años (es decir en, términos de números enteros); se me ocurre transformar meses en años, obteniendo como resultado 4.5, para introducirlo en la fórmula. El resultado será a) Correcto, hice la transformación necesaria b) Incorrecto, porque la fórmula me pide enteros y yo le estoy proporcionando un número racional con decimales (o real positivo). La respuesta es b), ya que si una fórmula se dedujo para usar números enteros, la introducción de números que contengan decimales arrojará un error numérico. Ejemplo 2: En un contrato de tiempo compartido me aseguran que podré ir a hacer uso de mi habitación de hotel las veces que yo quiera, previo aviso a la administración del hotel. Encuentre usted las inconsistencias lógicas de este párrafo. Respuesta: La primera parte de este párrafo me debería inducir a pensar cuántas veces al año realmente puedo hacer uso de este servicio, es decir, no es solo lo que quiera, si no también lo que pueda lo que ha de tomarse en cuenta en la firma de este contrato. La segunda parte de este párrafo (“previo aviso”) me dice que yo no soy tan libre de hacer uso de este servicio. No es como llegar a mi casa con mi llave, abro y ya esta. Se puede ver, entonces, que el estudio de la lógica, tanto matemática como relacionada con el lenguaje (dialéctica, retórica, etc.) le puede servir al estudiante de matemáticas financieras para ser un individuo crítico (quizá incluso un matemático financiero, formalmente hablando) y no solamente un calculista, alguien con manos y ojos que manipule una calculadora o un numerólogo, es decir, alguien que crea mágica y tácitamente en la validez de las fórmulas matemáticas (sin cuestionarlas), solamente porque tienen un aspecto abstracto. Aparte de los ejemplos ofrecidos en este capítulo, a lo largo del libro se hará la anotación [Lógica] para indicar que además de la parte estrictamente matemática, el ejemplo invita a razonarlo en cuanto a su validez.

1.2. Argumentos y conclusiones Un argumento es la afirmación de que un conjunto dado de enunciados { P1 , P2 ,..., Pn } , llamados premisas, implica (tiene como consecuencia) otro enunciado C llamado la conclusión. Luego el argumento completo (conjunto de premisas y la conclusión que de ellas se desprende) se podría escribir como

{P1 , P2 ,..., Pn } ⇒ C Nótese que puesto que las premisas y la conclusión son enunciados, el argumento completo es también un enunciado, por lo que a la vez que podemos asignarles valores de verdad a las premisas y a la conclusión, el argumento entero puede ser verdadero, en cuyo caso decimos que el argumento es válido; si es falso estamos hablando de una falacia. Ejemplo 3 P1 : Algunos animales que tienen cerebro pueden razonar P2 : Los seres humanos somos animales con cerebro C : Los seres humanos podemos razonar

Aunque es cuestionable cuáles animales en concreto sí pueden usar su cerebro para razonar (sin mencionar que “razonar” es un fenómeno cuya definición precisa es todavía incompleta), lo cierto es que tenemos un ejemplo concreto de lo que un argumento es Ejemplo 4 El cielo es azul Es un enunciado verdadero, pero no es un argumento, ya que no existe una conclusión o una premisa que arme completo al argumento (el cielo es azul, ¿y qué?). Compare en cambio. Ejemplo 5 P1 : La luz de una estrella como nuestro Sol, a través de una atmósfera como la de la Tierra, hacen ver al cielo azul, desde el suelo del planeta “X”. P2 : Desde el suelo de nuestro planeta el cielo se ve azul. C : Por lo tanto la Tierra es un claro ejemplo de planeta “X”. Parece una obviedad, ya que desde la premisa 1 prácticamente se define todo aquello con lo cual habrá de concluirse. Sin embargo, debería ser clara la diferencia entre un enunciado aislado y un argumento (aunque, y solo por ser puntilloso, nótese que la premisa 2 habla de “nuestro planeta”, no se habló de “la Tierra”, con lo cual aunque la conclusión en ambos casos sería verdadera, se hace de una forma un tanto forzada). Ejercicios Determine cuál es simple enunciado y cuál es un argumento completo, sin pretender asignar valores de verdad. 6. ¡Felicidades! 7. P1: Algunos animales son chistosos P2: Mi gato es un animal C: Mi gato es chistoso 8. P1: algunos empresarios son ricos P2: Carlos Slim es un empresario C: Por lo tanto Carlos Slim es rico 9. ¿Qué pasa? 10. El archivero esta lleno de papeles 11. P1: Un cinéfilo es alguien que conoce y ve muchas películas P2: Fulana conoce y ve muchas películas

C: ello implica que Fulana es cinéfila 12. P1: Para tener una caja de seguridad bancaria necesito tener al menos 100 mil pesos. P2: tengo 99,999.00 pesos C: por lo tanto ya puedo pedir mi caja de seguridad bancaria. 13. tengo un reloj nuevo 14. Transforme el ejemplo 5 de tal manera que su interpretación sea directa, y no forzada. Respuestas: 6. Enunciado, 7. Argumento, 8. Argumento, 9. Enunciado, 10. Enunciado, 11. Argumento, 12. Argumento, 13. Enunciado. 14. Hay varias maneras de transformar al ejemplo 5, en un argumento más consistente, así que digamos que: P1 : La luz de una estrella como nuestro Sol, a través de una atmósfera como la de la Tierra, hacen ver al cielo azul, desde el suelo del planeta “X”. P2 : Desde el suelo de la Tierra el cielo se ve azul. C : Por lo tanto la Tierra es un claro ejemplo de planeta “X”. Otra forma podría ser P1 : La luz de una estrella como nuestro Sol, a través de una atmósfera como la de la Tierra, hacen ver al cielo azul, desde el suelo del planeta “X”. P2 : Desde el suelo de nuestro planeta el cielo se ve azul. C : Por lo tanto nuestro planeta es un claro ejemplo de planeta “X”. 1.3. Silogismos Los argumentos de la sección anterior son ejemplos de silogismos. Un silogismo es una forma de argumento lógico, en donde una proposición (la conclusión) es inferida de otras dos (o más) las premisas. En muchos libros a este tipo de lógica se le denomina Aristotélica. Aunque no tenemos la seguridad de que haya sido Aristóteles quien inventó este tipo de argumentación, es a través de los escritos filosóficos de Aristóteles, principalmente Analytica Priora, escrita en el 4º siglo antes de nuestra era. Uno puede transformar un fragmento de texto en un silogismo. Ej. 15 El hierro adquiere una capa rojiza, llamada óxido, en presencia de oxígeno, lo cual degrada la calidad del hierro. Como el agua contiene oxígeno, una buena manera de evitar la oxidación de objetos ferrosos expuestos a la intemperie, es cubriéndoles de una capa de pintura. P1. El hierro se oxida en presencia de oxígeno P2. El agua contiene oxígeno C. El agua oxida al hierro Además

P1. Una capa de pintura aísla al hierro de quedar expuesto al oxígeno P2. Al aislar al hierro del oxígeno, este ya no se oxida C. La pintura protege al hierro de la oxidación. Obsérvese el papel que juegan las palabras “lo cual” y “Como” (sin acento), que son indicadoras de algún tipo de conclusión. Convierta los siguientes textos en silogismos

16. Hatch logró pasar la valla de hierro del edificio y luego colocó una escalera sobre la fachada; subió rápidamente antes de que fuera detenido por la policía. Para que Hatch cumpliera con su misión, varios militantes de la agrupación distrajeron a los guardias en la puerta principal del palacio 17. "Nuestra sospecha de que hay varias anomalías sumamente preocupantes no es infundada", aseguró. Por ejemplo: "nos hemos enterado de que la Patrulla Fronteriza traslada al centro de detención de Tucson no sólo a los connacionales que manifiestan su interés en ser repatriados a México, sino también a cualquier compatriota que los agentes consideran que corren mayor riesgo en caso de un nuevo intento de cruzar la frontera". Añadió que esto último se hace sin que se conozcan los criterios que utilizan para tomar tal determinación. 18. Cuando se comparan unos con otros, para que tenga validez la comparación, a todos se les mide con la misma vara. [El] Times británico, que evaluó a las universidades, [usó] cinco criterios y a todas se les evaluó con esos mismos cinco criterios. 19. el juez Juan Guzmán Tapia ordenó el arresto domiciliario del ex dictador Augusto Pinochet, pero la aplicación de la medida quedó en suspenso por un recurso de habeas corpus presentado por los abogados de Pinochet, por lo que el arresto no se concretará hasta que la Cuarta Sala de la Corte se pronuncie sobre el amparo. 20. El escritor estadunidense Gore Vidal considera a George W. Bush el presidente más tonto y peligroso que ha tenido su país…Estados Unidos no ama la guerra, pero constantemente hemos estado involucrados en la guerra porque, según nuestra política, ésta es la forma de hacer dinero. 21. Revive el turismo en el lago al recuperar, por las lluvias, 40% de su capacidad 22. Con la decadencia del lago, la vitalidad que inundaba esas casas también se apagó. Cuando el agua se empezó a distanciar de su ribera natural, los visitantes tradicionales y los turistas también se alejaron. 23. Puesto que la Cámara de Diputados, que fue la de origen, no podía hacer ya nuevos cambios a la minuta, el Senado le pidió remitir al Ejecutivo el proyecto 24. se eliminaron de la minuta enviada por la Cámara de Diputados los párrafos segundo y tercero del artículo cuarto transitorio, donde se establecía indebidamente un gobierno corporativo para Pemex y la posibilidad de incluir en el consejo de administración de la empresa a los llamados consejeros independientes, porque "no

queremos que se busquen por ahí nuevas vías para intentar la privatización de la empresa". 25. Cuando un libro se vende bien no es gracias a grandes campañas publicitarias, sino por la recomendación oral, que es infalible, pero para que surta efecto, los libros requieren mayor tiempo de exhibición 26. El valor creciente de un recurso que escasea más y más es una forma de renta monopólica… M. King Hubbert fue un connotado geólogo que, en 1956, profetizó que la producción petrolera estadunidense alcanzaría su clímax en los años 70 y de ahí comenzaría su declive irreversible.[Estamos en 2007 y algunas de las predicciones de este geólogo se han transformado en una realidad parcialmente correcta]. 27. La huella los condujo hasta el año 400 antes de Cristo. Encontraron[…] hornos[…] la destilación del mezcal no la introdujeron los españoles a nuestras tierras. sino que es un proceso realizado mucho antes, desde la época prehispánica. Las evidencias: los hornos hallados contienen restos de maguey. 28. En las luchas entre bandas, escribe el poeta alemán, siempre son los perdedores quienes disparan contra otros perdedores, los desdichados contra otros desdichados. De este modo cualquier vagón del metro puede convertirse en una Bosnia en miniatura. 29. El año pasado el presidente promulgó una ley que autorizó a las fuerzas armadas de Estados Unidos a enviar tropas a La Haya, en caso necesario, para rescatar a cualquier soldado estadounidense presentado ante la Corte Penal Internacional [Por ] que sólo están defendiendo a sus ciudadanos ante casos "políticamente motivados". Respuestas: 16. P1. Para que Hatch cumpliera su misión, los guardias tenían que ser distraídos. P2. Varios militantes de la agrupación de Hatch distrajeron a los guardias C. Hatch logró pasar la valla de hierro[…] subió rápidamente antes de que fuera detenído. 17. P1. Sospechamos que hay varias anomalías P2. La Patrulla Fronteriza traslada […] sin que se conozcan los criterios que utilizan para tomar tal determinación. C. Por lo tanto nuestra sospecha no es infundada. 18. P1. Para que una comparación sea válida, a todos se les debe aplicar el mismo criterio. P2. El Times Británico evaluó a las universidades usando los mismos cinco criterios para todas. C. Por lo tanto la comparación es válida. 19. P1. Para que la orden de arresto del juez pueda ser efectuada, no debe haber recursos interpuestos. P2. Se interpuso el recurso de Habeas Corpus C. El arresto no se concretará hasta que la Cuarta Sala de la Corte se pronuncie sobre el amparo.

20. P1. El escritor[…] considera a […] Bush el presidente más tonto y peligroso de la historia P2. [Bush] constantemente involucra a Estados Unidos en la guerra porque, […] ésa es la forma de hacer dinero. C. Bush es el presidente más tonto y peligroso de la historia. 21. P1. Al turismo le gusta visitar un lago con agua. P2. el lago recuperó con las lluvias 40% de su capacidad. C. Se revivió el turismo. 22. P1. A los visitantes tradicionales y turistas les gusta un lago con agua. P2. el agua se empezó a distanciar de su ribera natural. C. Los visitantes[…] también se alejaron. 23. P1. Si la Cámara de Diputados ya no puede hacer nuevos cambios a la minuta, el Senado puede pedir remitir el proyecto al Ejecutivo. P2. La cámara de Diputados ya no podía hacer nuevos cambios a la minuta. C. El Senado pidió remitir al Ejecutivo el proyecto. 24. P1. [En] los párrafos segundo y tercero del artículo cuarto transitorio se establecía indebidamente un gobierno corporativo para PEMEX y la posibilidad de incluir en el consejo de administración de la empresa a los llamados consejeros independientes. P2. No se quiere que se busquen por [los párrafos segundo y tercero del artículo cuarto transitorio] nuevas vías para intentar la privatización de [PEMEX] C. Se eliminaron de la minuta los párrafos segundo y tercero del artículo cuarto transitorio. 25. P1. Un libro se vende bien por la recomendación oral P2. La recomendación oral funciona si mucha gente ha visto el libro. C. Para que surta efecto la recomendación oral, los libros requieren mayor tiempo de exhibición. 26. P1. El valor creciente de un recurso que escasea más y más es una forma de renta monopólica P2. Hubbert[…] profetizó que la producción petrolera después los años 70 comenzaría su declive P3. Estamos en 2007 y algunas de las predicciones[…] son correctas. C. El petróleo se esta convirtiendo cada vez más en una renta monopólica. 27. P1. Se encontraron hornos de destilación de mezcal del año 400 antes de Cristo. P2. Los hornos contienen restos de maguey P3. Los españoles llegaron a México en 1512, es decir, más de 1900 años después. C. Por lo tanto los españoles no pudieron haber enseñado la técnica de destilación del mezcal a los aborígenes mexicanos. 28. P1. En las luchas entre bandas[…] siempre son los perdedores quienes disparan contra otros perdedores. P2. Cualquier vagón de metro contiene al menos algunos perdedores. P3. Bosnia es una región europea donde en alguna parte de su historia todo mundo se disparaba contra todo mundo.

C. Cualquier vagón de metro puede convertirse en una Bosnia en miniatura. 29. P1. Estados Unidos rescataría a cualquiera de sus ciudadanos ante casos “políticamente motivados”. P2. Los soldados estadounidenses podrían ser llevados a la Corte Penal Internacional por motivos políticos. C. el presidente promulgó una ley que autorizó a las fuerzas armadas de Estados Unidos a enviar tropas a La Haya[…] para rescatar a cualquier soldado estadounidense presentado ante la Corte Penal Internacional.

1.4. Diagramas de Venn El matemático y filósofo británico John Venn (1834-1923) desarrolló el concepto de diagrama de Venn en 1881, con el propósito de mostrar gráficamente las posibles relaciones matemáticas o lógicas entre conjuntos. Ejemplo 30. Dibujar un diagrama de Venn para la siguiente frase Las matemáticas financieras son parte de las matemáticas aplicadas, y estas a su vez, son parte de las matemáticas en general.

Nótese que se ha designado a las “Matemáticas” como el “Universo” del discurso, porque en este caso sabemos que ese es el caso. En caso de que desconociera cuál es exactamente el Universo del discurso, se podría dibujar la relación anterior como tres círculos anidados. Haga el diagrama de Venn para las siguientes proposiciones 31. Los pinos son árboles que pertenecen a las coníferas y a las gimnospermas. 32. El índigo esta entre los azules y los violetas. 33. La estación del metro Pantitlán es parte de las líneas 1, 5, 9 y A 34. La ingeniería es parte de la física, las matemáticas y otras materias específicas al tipo de ingeniería. 35. Un economista computacional conoce de economía y de programación. 36. Debian es un tipo de Linux, y a su vez Linux es un sistema operativo. 37. Los números racionales son parte de los números reales y estos a su vez de los complejos, pero los números imaginarios, aunque son parte de los números complejos, no lo son de los reales.

38. Las cajas de ahorro son una parte de las instituciones financieras, y los bancos poseen una sección de ahorro, traslapándose con las cajas de ahorro y también son parte de las instituciones financieras, como un todo. 39. El interés compuesto es una aplicación de las progresiones geométricas. 40. El porcentaje se encuentra en varios temas de las matemáticas financieras. 41. Algunos relojes de cuarzo son de manecillas y otros son digitales. 42. El Valor Presente se puede estudiar con ayuda de las progresiones geométricas, pero las progresiones geométricas, estrictamente hablando, no son parte de la geometría. 43. La anualidad simple es una posibilidad de anualidad, y esta a su vez es una forma de progresión geométrica. 44. Los cheques son un instrumento negociable, al igual que el papel moneda, pero no son parte de las tarjetas de crédito y todos ellos son formas de dinero.

Respuestas:

31.

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33.

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41.

42.

43.

44.

1.5 Argumentos y Cuantificadores Los argumentos lógicos se pueden cuantificar en términos existencia y generalidad, es decir, se pueden separar los casos particulares de los generales y esto se puede expresar en forma simbólica Ejemplo 45. En el habla cotidiana se pueden escuchar afirmaciones generalizadoras como “todas las plantas tienen clorofila”. Esta frase se podría simbolizar con la, así llamada, lógica de primer orden (la lógica de segundo orden es usada generalmente en demostraciones matemáticas y no será discutida en esta obra): ∀p∃c(c ∈ p, p = planta, c = clorofila ) En donde los símbolos ∀ se lee “para todo…”, ∃ se lee “existe…” y lo que esta entre paréntesis es la descripción de lo que se esta cuantificando, que se puede leer como “…de tal manera que…”. El símbolo ∈ se lee “…pertenece a…”. Si queremos negar la pertenencia, la generalidad o la existencia de un caso particular, esto lo podemos hacer de la siguiente manera: ∼ ∀y No para toda "y" ∼ ∃x No existe un "x" ∉ No pertenece Otros símbolos auxiliares a los cuantificadores son aquellos para expresar unión o alternativa inclusiva. Alternativa inclusiva (el “o” inclusivo) quiere decir que ante dos posibilidades, cualquiera de ellas puede darse o ambas a la vez. ∧ "y" ∨ "o" (inclusivo) Ejemplo 46. En los supermercados las transacciones se hacen con dinero en efectivo o por medios electrónicos (tarjetas de crédito y de débito) ∀S ∃p

( p = pago, p ∈ efectivo ∨ medios electrónicos=m.e., m.e. ∈ {tarjetas de crédito}   p ∈ ∨  m.e. ∈ tarjetas de débito  { }  

Nótese que este ejemplo no es exhaustivo, es decir, no se incluyeron “pagos con cheques”, ni “vales de despensa”, o en general, algún otro “instrumento negociable”. Nótese además que seguimos la convención matemática de simbolizar conjuntos por medio de llaves, con su descripción en el interior de los mismos. Así mismo, nótese que el orden de los cuantificadores es esencial, ya que si hubiéramos dicho que existe una “x” forma de pago en todos los supermercados, en general esto no tiene que ser cierto, ya que puede haber algunos supermercados que no acepten alguna forma concreta de pago (por ejemplo, los vales de despensa).

Problemas 47-51 Exprésense en términos de cuantificadores los problemas 39 al 43 de la sección “1.4 Diagramas de Venn” Respuestas:

47.

48.

49.

50.

 i.c = interés compuesto,    ∀i.c.∃P.G.  P.G. = Progresión geométrica,   P.G. ∈ Matemáticas     porcentaje ∈ {tema} ∧  ∀porcentaje∃tema   tema ∈ {Matemáticas Financieras}     r.c. = reloj de cuarzo,    x ∈ {manecillas} ∨   ∀r.c∃x  x ∈ {digitales}     ∧ r.c. ∈ relojes     v. p = valor presente,    v. p. ∈ tema,   ∀v. p.∃tema  tema ∈ {Matemáticas Financieras} ,     ∧tema ∈ {Progresiones geométricas}    ∧ ∼ ∃v. p. ( v. p. ∈ { geometría})

 a.s. = anualidad simple,     a.s ∈ { Anualidad } ,  51. ∀a.s   Anualidad ∈ {M.Financieras}    ∧ Anualidad ∈ {Progresión Geométrica}    1.6 Razonamiento deductivo e inductivo Los argumentos pueden ser divididos en tres clases: deductivos, inductivos y abductivos.

El razonamiento deductivo consiste en que la conclusión necesariamente se desprende de o esta implicada por las premisas. Por ejemplo, los silogismos contienen con frecuencia razonamiento deductivo, cuando están armados de tal manera que la conclusión se infiera rigurosamente de las premisas. Ejemplo 53. P1. Las hembras de los osos tienen mamas (“mama” sin acento, pues se refiere a la parte anatómica, la cual es palabra ortográficamente grave). P2. Todos los mamíferos tienen mamas. C. Los osos son mamíferos. El razonamiento inductivo es un proceso en el cual las premisas de un argumento se cree que apoyan a la conclusión, pero no la garantizan. Se usa para establecer propiedades o relaciones basadas en un número pequeño de observaciones o experiencias; o bien para formular leyes basadas en una cantidad limitada de observaciones de patrones recurrentes. Muchas fórmulas matemáticas son establecidas por inducción. Se toman algunos casos, se observan los patrones recurrentes y a partir de ellos se formula una ley general que abarque muchos (posiblemente todos) los casos concernientes al patrón observable. Sin embargo, en muchas ocasiones, la única garantía de que esta fórmula obtenida por inducción sea correcta, se puede establecer apoyándola con razonamientos deductivos, es decir, demostrando que la inducción a lo general es válida considerando los axiomas (premisas) del problema matemático en cuestión. Ejemplo 54. Sean los números pares 2, 4, 6, 8, 10… Obténgase por inducción alguna fórmula general que los describa. Solución: Un número par, parece ser el “doble” de cualquier número, por lo tanto: pares = {2n} , n ∈ ℕ (ℕ =naturales) Se demuestra considerando los axiomas de divisibilidad: puesto que los números pares son divisibles entre 2, y la definición inductiva que se acaba de dar multiplica por dos cualquier número de la serie de números naturales (1, 2, 3, …n+1), entonces siempre tendremos 2 {1, 2,3,..., n + 1} =

{2 ×1, 2 × 2, 2 × 3,..., 2 × (n + 1)}

Puesto que “n” es un número natural arbitrario, entonces cualquier número definido de esta forma es un número par y por lo tanto nuestra fórmula es válida. Nótese que esta fórmula no abarca a los números pares negativos, ni aquellos números complejos o vectores o matrices cuyo módulo (“tamaño”) se divisible entre 2. Pero siempre y cuando estemos claros que nos referimos a una propiedad de los números naturales, la inferencia es correcta. Ejemplo 55. Este balón de fútbol se movió cuando lo pateó ese jugador Por lo tanto, siempre que el balón sea pateado por cualquier jugador, de cualquier manera y en cualquier circunstancia, el balón de fútbol se moverá.

Pero, a menos que podamos sistemáticamente establecer la falsedad de que algún balón de fútbol se quede quieto cuando sea pateado, en alguna circunstancia, de alguna manera, por algún jugador, la conclusión puede de hecho ser falsa. Sin embargo, puesto que en la abrumadora mayoría de los casos se observa que un balón se mueve cuando se le patea, podemos decir que hay una inducción fuerte, y que la posibilidad de que el balón en alguna circunstancia se quede quieto después de patearlo aunque permanece, queda oculta semánticamente. Supondremos, entonces, que hablamos de inducción fuerte, cuando a ella nos refiramos. Ejemplo 56. Yo me he refrescado con un ventilador toda la vida Por lo tanto todas las personas se refrescan con ventiladores. Este es un ejemplo de inducción débil. No todas las personas usan ventiladores para refrescarse, puesto que hay quienes usan algún sistema de aire acondicionado (aunque alguien pudiera observar que estos sistemas contienen al menos algún tipo de ventilador para expulsar el aire enfriado); o algún abanico (nuevamente, si cambiamos la palabra “ventilador” por “abanico eléctrico”, pudiéramos incluir a los “abanicos manuales” dentro de todas las formas de abanicarse); o bien hay personas que se sienten más frescas bebiendo algo frío, o algo caliente (su cuerpo suda y se enfría un poco, luego sienten menos algún calor seco, como en el desierto). En general, la inducción débil pretende hacer generalizaciones a partir de casos muy particulares, sin ninguna otra evidencia que permita hacer válida ese tipo de generalizaciones. Es común encontrarse que el pensamiento deductivo va de “…de lo general a lo particular…”, mientras que el pensamiento inductivo va “de lo particular a lo general”. Aunque, como vimos en el caso matemático, hay técnicas de demostración inductivas, no es necesariamente cierto que lo deductivo particularice y que lo inductivo generalice. Ejemplo 57. “Pedro es glotón, por lo tanto alguien es glotón.” Es un argumento deductivo que va de lo particular a lo general. Ejemplo 58 “Todos los alumnos del posgrado de la UNAM son inteligentes, por lo tanto, este alumno en particular es inteligente”. Se puede notar que es un razonamiento inductivo, ya que usa un caso particular para intentar apoyar una conclusión general, pero obsérvese que esta inducción va de la generalidad a un caso particular. El razonamiento abductivo es la inferencia hacia la mejor explicación. Es un método de razonamiento en el cual uno escoge una hipótesis de trabajo, la cual, si resultase cierta, explicaría de la mejor manera la evidencia. Ejemplo 59. Este tipo de razonamiento (junto con el inductivo fuerte) es el que con mayor frecuencia usaba el famoso detective ficticio Sherlock Holmes. Rara vez usaba pensamiento realmente deductivo. Tal es el caso de cierta ocasión, dentro de la historia “Estudio en escarlata”, el Dr. Watson hace mención de que Holmes le llegó a mostrar salpicaduras de lodo en sus pantalones, y por el color y la consistencia de las mismas, le podía decir en que parte de Londres las había obtenido.

La explicación, aunque plausible, permite la posibilidad de que no sea necesariamente cierta, ya que, si bien el conocimiento geológico de Londres pudiera ser extenso, no es exhaustivo, es decir, existe la posibilidad, aunque sea pequeña y muy remota, de que (digamos) algún fragmento del suelo de una parte de Londres haya sido transportada de alguna manera a otra parte de Londres, con lo que la “deducción” (de hecho abducción) de Holmes quedaría invalidada. Situaciones parecidas crean en las historias de Sherlock Holmes paradojas, con las que se juega a fin de hacer más interesante la historia. Problemas Decida si los siguientes argumentos son deductivos, inductivos o abductivos. Si puede, mencione si es inductivo fuerte o débil. 60. El dueño del banco “x” es rico, por lo tanto todos los banqueros son ricos. 61. P1. Todos los relojes tienen alguna forma de registrar algún tipo de cambio repetitivo que se le toma como medida del tiempo. P2. Algunos relojes de manecillas contienen un arreglo de engranajes y resortes que permiten un movimiento interno repetitivo, que se registra periódicamente en algún engrane que mueve las manecillas. C. Los relojes de manecillas pueden medir el tiempo a través de su juego de engranes y resortes. 62. Yo compré este objeto a un precio “x” y lo vendí al doble de su precio con lo que tuve una ganancia del 100%, por lo tanto siempre que se aplique la regla “compro barato y vendo caro” tiene que haber ganancia. 63. Siempre te he visto con el mismo traje, pero hoy tienes un traje nuevo y reloj de oro. Además, el día de ayer escuche que alguien se había sacado la lotería, y que esa persona recogió el premio con un traje del mismo color y estilo que el que tenías antes, por lo que infiero que tú eres esa persona que se sacó la lotería. 64. P1. Todas las fórmulas de interés compuesto se deducen de la misma manera que las progresiones geométricas. C. Por lo tanto, la fórmula de interés compuesto es una forma de progresión geométrica. 65. El objeto que tienes en tu casa se puede conseguir en esta ciudad en dos lugares distintos, pero uno de ellos es difícil de acceder, ya que varias calles a su alrededor están en reparación; la otra tienda queda más lejos, pero ayer no tenías ese objeto y ahora lo veo en tu casa, por lo que pienso que lo compraste en la tienda que queda más lejos, pero que es mucho más fácil de acceder a la misma. Respuestas: 60. Inductivo (fuerte) 61. Deductivo 62. Inductivo (fuerte) 63. Abductivo 64. Deductivo 65. Abductivo

1.7. Consistencia, Solidez, Completitud Cuando una persona cualquiera supone que algo es “lógico”, implícitamente supone que un argumento contiene las siguientes características: Consistencia: ninguna de las partes del argumento (o de un sistema de argumentos) se contradice una con otra. Ejemplo 66. “Puesto que un año tiene doce meses, los pagos anuales prorrateados (distribuidos) a mensualidades los puedo dividir entre 12.” Ninguna parte del argumento anterior se contradice, por lo tanto, es consistente. Solidez: significa que el sistema de argumentos nunca permitirá una conclusión falsa a partir de premisas verdaderas. Si un sistema es sólido y las partes que componen al argumento o sistema de argumentos son verdaderas, entonces todo lo que se derive de este sistema tiene la garantía de ser verdadero. Ejemplo 67. “Si yo tenía 20,000 pesos y me acaban de pagar 5 deudores, la suma de cuyas deudas se remonta a 12,000 pesos, entonces ahora tendré 32,000 pesos. “ Este argumento se sostiene gracias a los axiomas –reglas- de la aritmética; si cambiáramos las reglas de la aritmética, entonces tendríamos resultados distintos a lo expresado. Completitud: no hay frases verdaderas que pertenezcan al sistema, que de alguna manera no puedan ser demostradas a partir de los elementos que conforman al sistema. Ejemplo 68. Los sistemas de ahorro bancarios permiten una ganancia con intereses. Yo tengo un ahorro en el banco “x”. Por lo tanto el banco “x” (sin importar cual sea) debería darme un cierto porcentaje de ganancia en forma de intereses por el hecho de que yo tenga ahorrada la cantidad “y” de dinero en ese banco. Este es un ejemplo de razonamiento deductivo: partiendo de que conocemos todas las premisas y todas ellas son verdaderas, entonces cualquier caso particular que este contemplado por las premisas, debería ser verdadero. Efectividad: Cuando existe un algoritmo que puede revisar y correctamente decidir si acaso una secuencia de argumentos es una prueba válida o no. Esta última propiedad se puede requerir cuando uno esta proponiendo un programa nuevo de computadora que resuelva algún problema o grupos de problemas financieros. Un algoritmo programado en una computadora puede estar arrojando resultados numéricos que no tienen ningún sentido, pero a menos que se tenga otro algoritmo (a mano o programado aparte) que puede ir revisando los resultados, no hay manera de garantizar que los resultados del programa nuevo sean confiables.

Ejemplo 69. Digamos que hacemos un programa, ya sea en alguna hoja de cálculo o dentro de algún lenguaje de programación de alto nivel (por ejemplo: Java, Fortran 90, C++), que se encargue de prorratear los pagos a “12 meses sin intereses”. Omitiendo el resto de los detalles de este tipo de promociones, nuestro programa tendría que ser capaz de al menos poder dividir cualquier cantidad que le demos entre doce. La forma de comprobar que nuestro programa esta haciendo lo correcto, es simplemente aplicando la operación inversa de la división: multiplicamos el resultado de la división por doce y el resultado nos tiene que dar la cantidad original. Entonces, por lo menos en el sentido “lógico-matemático” no tenemos error, sin embargo, ello no quiere decir que el programa nos de resultados correctos, ya que tenemos que tener en cuenta si al momento de dividir hemos redondeado las cifras (ver el siguiente capítulo); al redondear perdemos una parte de la información original, por lo que si la cantidad redondeada es multiplicada por doce, dependiendo de cómo hayamos hecho el redondeo y la multiplicación posterior, no necesariamente obtendremos la cantidad que originalmente hemos prorrateado. Para que este tipo de error no suceda, entonces tendríamos que buscar la manera de que el objeto a vender tenga un precio tal que sea divisible entre doce, ya sea de forma exacta (enteros) o bien que incluya hasta un máximo de dos decimales, o que del tercero en adelante no nos importe lo que pase. Problemas. Decida si los siguientes argumentos son consistentes, sólidos y completos y proponga alguna forma de comprobar los resultados. 70. Un contrato es un vínculo legal de intercambio de promesas o acuerdos entre dos partes, de tal manera que la ley obligue a su cumplimiento (“los pactos deben ser mantenidos”). La empresa “x” se dedica a la renta, compra y venta de videos de películas en diversos formatos. El contrato de dicha empresa establece con claridad todos los fundamentos legales que la sustentan; las características que deben de tener sus clientes, incluyendo solvencia económica y mayoría de edad; y las condiciones de renta, compra y venta de videos. Una vez firmado este contrato, yo tendré derecho a rentar todos los videos que allí se ofrezcan. 71. Un seguro de vida es un contrato legal. Los eventos asegurados incluyen la muerte y la muerte accidental y describe las limitaciones de los eventos asegurados en caso de suicidio, fraude, o guerra. Se muere la señora “x” suponiéndose muerte por enfermedad, con lo cual suponemos que la aseguradora debe de pagar el seguro. Respuestas: 70. Es consistente, ya que este contrato en particular cumple con la definición de contrato en general. El argumento es sólido, por cuanto a que la forma de definir un contrato en general no permite que se establezca un contrato en donde, habida cuenta de todas sus cláusulas, no se cumpla el contrato por alguna de sus partes. Es completo, porque todos los casos particulares o situaciones exclusivas a mi persona están contemplados en el contrato, incluso aquellas que normalmente no uso. Por último, la efectividad del contrato se puede comprobar simplemente intentando rentar un video, siempre y cuando yo sea el firmante, en donde se supone que tengo dinero para rentar el video y que soy mayor de edad, principalmente.

71. Es consistente, ya que el seguro cumple con la definición de contrato en general. Es sólido, por cuanto habida cuenta de todas sus cláusulas, siempre el seguro deberá pagar a las personas que haya designado explícitamente el asegurado. No es completo, porque en el seguro no se definió el caso de “muerte por enfermedad”. La efectividad del contrato se ve al momento de que la aseguradora haya pagado a los destinatarios del seguro, cuando alguien hubiese muerto en circunstancias muy similares a las de otra persona cuya caso esta en disputa. Suponiendo que el seguro de vida cubriese el caso de muerte por enfermedad, la aseguradora de todos modos no necesariamente estaría obligada a pagar, a menos que se le hiciera un estudio al cadáver, con el fin de descartar envenenamiento, lo cual puede ser fraude o suicidio, que sí se contemplan en este seguro.

1.8 Una condición necesaria para un cierto argumento debe ser satisfecho con el fin de que el argumento sea verdadero. Formalmente, una premisa P es una condición necesaria para el argumento Q, si Q implica P. Coloquialmente esto equivale a decir “Q no puede ser verdadera a menos que P también lo sea”, es decir, Q implica P, o P siempre que sea el caso Q. Ejemplo 72: Comer es necesario para que un ser humano este vivo. “Comer” implica “estar vivo” Una condición suficiente es aquella en la que, de ser satisfecha, asegura que el argumento sea verdadero. Formalmente, una premisa P es una condición suficiente para la afirmación Q, si P implica Q (nótese cómo se invierte la implicación). Ejemplo 73: Saltar al interior de una alberca llena de agua es suficiente para mojarse. Hay premisas que aunque sean necesarias, no son suficientes, y viceversa. Ejemplo 74: Comer es necesario, pero no suficiente para estar vivo (se necesita que la persona, respire, beba agua, y en general que pueda cumplir con todas sus necesidades fisiológicas). Ejemplo 75: Saltar al interior de una piscina llena de agua es suficiente para mojarse, pero no necesaria, ya que uno también puede mojarse con el aspersor de un jardín, o con los chorros de una fuente, o bajo una cascada, y en general, en cualquier situación que involucre entrar en contacto directo con agua en estado líquido. Matemáticamente la necesidad y la suficiencia establecen una dualidad, ya que al decir que “P es suficiente para Q” es lo mismo que decir “Q es necesaria para P”, puesto que ambas afirmaciones significan que “P implica Q”. Ejemplo 76: Si nació en México, esa persona necesariamente es mexicana. Si es mexicana, es suficiente con que haya nacido en México.

(Pero obsérvese que estas frases no son exactamente equivalentes, ya que no es necesario que una persona haya nacido en México, para poder ser mexicana).

Ejercicios: Diga en cuáles casos se establece una relación de necesidad, suficiencia o equivalencia. 77. Si ahorro, tendré dinero para el futuro. 78. Yo tengo más dinero, porque he trabajado más. (los ejercicios 79-81 son adaptaciones del código de Hammurabi) 79. Si “x” tiene un objeto parecido al de “z”, y “x” trae testigos de que es la legítima dueña, entonces “z” es una ladrona. 80. Si alguien es atrapado in fragrante (en el acto) de tomar la posesión de otra persona, y hay testigos del hecho, entonces es declarado ladrón. 81. Si a alguien se le rompe su represa de agua para regar cultivos, es porque fue muy flojo para conservarla. 82. Si es un número par, entonces es divisible entre 2. Respuestas: 77. Suficiente (pero no necesaria, ya que hay otras formas de acumular dinero; a través de una inversión que rinda intereses, por ejemplo). 78. Necesaria (pero no suficiente, ya que además se requiere que sus gastos no sean comparables numéricamente con lo que gana). 79. Necesaria (pero no suficiente, ya que el objeto parecido no tiene que ser el mismo que a la otra persona le fue hurtada) 80. Suficiente y necesaria. 81. Suficiente (pero no necesaria, ya que catástrofes naturales o personas que quieran ver involucrada en un problema a la persona declarada “floja”) 82. Suficiente y necesaria. De hecho, en todas las fórmulas, si se conocen todas las variables que involucra y se conoce el resultado, entonces ambos lados de la fórmula son numéricamente equivalentes. 1.9 Lógica modal En lingüística, la modalidad se refiere a que las partes de una frase pueden cambiar su semántica (significado) por ciertos verbos especiales (deber, tener, poder, entre otros) o partículas modales (“quizá”, “tal vez”, o preposiciones como “algún”, o universales como “todo”, “siempre” y sufijos que modifican a los verbos). Ejemplo 83 “Los bancos prestan a los ahorradores” “Los bancos prestan a algunos ahorradores” “Los bancos deberían prestar a los ahorradores” Ninguna de las tres frases significa lo mismo desde el punto de vista de la lógica modal. En el primer caso la frase implica que los bancos prestan sin mayor distinción que el hecho de ser ahorrador. La segunda frase es más restrictiva, ya que al decir ‘algunos’ se supone que solo se presta a aquellos ahorradores que reúnan ciertos requisitos. La última frase es una recomendación

Ejemplo 84 “Esta fórmula tiene que dar el resultado correcto” “Esta fórmula podría dar el resultado correcto” ”Esta fórmula puede dar el resultado correcto” En la primera frase el verbo ‘tiene’ es un requerimiento, una obligación, no deja opción o alternativa. La segunda frase implica que la ‘fórmula’ es una opción. La tercera frase indica que es posible que la fórmula funcione. Ejemplo 85 “Este contrato siempre se ha de cumplir al pie de la letra” “Este contrato algunas veces se ha de cumplir al pie de la letra” “Este contrato nunca se ha de cumplir al pie de la letra” La primera frase implica que no hay restricciones para que el contrato se cumpla tal y cual esta escrito. La segunda indica que hay condicionantes para que se cumpla o no el contrato, tal y cual esta escrito, dependiendo de las circunstancias. La tercera frase nos dice que necesariamente tenemos que interpretar el contrato para que se cumpla “en su espíritu” o a través de alguna regla implícita o preestablecida, y no rigurosamente tal y cual lo vemos escrito. La mayoría de los verbos modales tiene dos interpretaciones distintas: Epistémico, es decir que expresan que tan certero es el estado factual de una proposición Deóntico, que involucra nociones de permiso y obligación Ejemplo 86 Epistémico: Debes de estar sediento (“es necesariamente el caso de que tu te encuentres sediento” –porque acabas de cruzar el desierto o acabas de hacer ejercicio-) Deóntico: Te debes quedar (“estas obligado a quedarte”) Ambiguo: Tú debes de saber matemáticas Primer caso, epistémico: “es seguramente el caso que tu sepas matemáticas” (por ejemplo, después de haber estudiado la licenciatura, la maestría y el doctorado en matemáticas) Segundo Caso, deóntico: “es un requerimiento que tú sepas matemáticas” (por ejemplo, si quieres solicitar trabajo involucrado con el diseño y funcionamiento de reactores nucleares “portátiles”, en un centro de diseño de submarinos nucleares)

Las palabras “suficiente”, “demasiado”, “poco”, y todas aquellas que indiquen cantidad, también pueden cambiar el sentido exacto de la frase que se quiere establecer. Ejemplo 87 “Me gusta mucho” “Me gusta demasiado” “Me gusta” La primera frase es un superlativo acerca de la atracción que yo tengo hacia un “algo” o “alguien”. En el segundo caso se implica que puede ser el caso que “algo” o “alguien” me guste más allá de lo que se podría considerar saludable para mi persona (por cierto, el uso de la segunda frase como sinónima de la primera es un disparate). La tercera frase no usa ningún cuantificador, simplemente establece un hecho.

Hay que aclarar que el uso de cuantificadores, verbos modales y otras palabras o partículas que modifiquen el sentido exacto de la frase, si se llegan a encontrar en algún contrato, deben de tomarse con mucho cuidado, porque para fines legales muchas veces se debe de ser totalmente específico. Ejemplo 88 “…que el cliente sea solvente económicamente…” (¿A qué le llaman ‘solvente’? ¿Es la persona que tiene el efectivo o se incluyen aquellas personas con propiedades, digamos casas, automóviles, joyas, y otros bienes muebles o inmuebles? ) “..para todos los casos probables…” (¿Qué probabilidad debe de tener para que se considere ‘probable’? ¿o que circunstancias determinan que esos casos se puedan demostrar?)

Ejercicios Califique si necesariamente la segunda afirmación se puede inferir de la primera, o diga si la conclusión es falsa o verdadera, o si es ambigua, según el caso. Explíquese. 89. La memoria de esta computadora podría ser de mala calidad, por lo que es seguro que tendrás problemas. 90. Puesto que en México el Sol es intenso, es posible que algunos mexicanos y mexicanas usen sombrero, siempre y cuando caminen bajo el sol. 91. Esa caja debe de estar llena. 92. La persona que fuma demasiado abusa de sus pulmones. 93. La persona que come demasiado se esta alimentando bien. 94. Si un seguro de gastos médicos cubre algunos accidentes, y me caigo al escalar una montaña, la aseguradora debe cubrir mis gastos hospitalarios. 95. Si un seguro de gastos médicos cubre algunos accidentes, y me caigo al esquiar una montaña, la aseguradora podría cubrir mis gastos hospitalarios. Respuestas: 89. Falso. No existe certeza en cuanto a que la memoria sea de mala calidad, por lo que el que la computadora cause problemas es solo una posibilidad. 90. Verdadero. Basta con que al menos un mexicano o mexicana use sombrero para protegerse del Sol, a fin de que este argumento sea verdadero. 91. Ambiguo: no sabemos si es obligatorio que la caja este llena, o si es consecuencia de algún proceso que la ha estado llenando. 92. Verdadero. Demasiado en este contexto implica un abuso. 93. Falso. Demasiado en este contexto no implica que sea bondadoso. 94. Falso, ya que la aseguradora no necesariamente contempla accidentes relacionados con deportes de riesgo. 95. Verdadero, porque basta con que al menos una aseguradora, de alguna manera sí pueda cubrir accidentes causados por algunos deportes riesgosos, para que exista la posibilidad de que la aseguradora pague por el percance.

1.10 Falacias Una falacia es el componente de un argumento que se demuestra incorrecto ya sea en su lógica o en su forma, lo que hace inválido al argumento como un todo. Ejemplo 96 Si votar es democracia, entonces los criminales y trastornados mentales deben de votar. Esta una falacia por accidente, ya que argumenta erróneamente desde una regla general a un caso particular, sin tomar en cuenta la circunstancia concreta que pudiera viciar la aplicación de la regla general. Ejemplo 97 Si la gente no vota por mi, habrá terribles consecuencias para el país. Esto es una conclusión irrelevante, esto es, la argumentación no busca demostrar un hecho en disputa, pero sí “demostrar” su verdad distrayendo la atención hacia algún hecho ajeno al argumento. En este argumento en concreto, se apela al miedo en la audiencia, aunque también se podría apelar con base al pensamiento popular (“el sentimiento de esta nación…”), o creencias comunes (“el tiempo es oro”). Ejemplo 98 Nosotros debemos estar aquí, porque hasta aquí hemos llegado. Esta es una petición de principio, o razonamiento en círculos. La conclusión se “demuestra” a través de premisas que presuponen la conclusión. Ejemplo 99 Si han caído tres rayos antes de que el reloj toque las tres de la mañana, entonces mañana a las tres ganaré la lotería. Esta es una falacia de causa falsa, en donde un evento se le supone consecuencia de otro, particularmente si hay una sucesión cronológica (temporal). Ejemplo 100 ¿Es verdad que ya no has robado? Esta es la falacia de las muchas preguntas, o falacia de la pregunta cargada. Consiste en agrupar varias impropiamente varias preguntas de tal manera que aparentemente formen una, la cual exige una respuesta categórica. En este caso hay dos preguntas: 1) ¿Alguna vez has robado? 2) ¿Ya no robas? La pregunta original presupone que la persona interrogada “ha robado” alguna vez en su vida, quizá por algún tiempo, y sin tener tal certeza, pregunta a la vez si acaso la persona ha dejado de hacerlo.

Ejercicios Diga si acaso alguno de los siguientes argumentos es una falacia, y en su caso, de que tipo 101. Puesto que los pingüinos viven en la Antártica, probablemente les guste el frío. 102. ¿Es verdad que ya no le pega a su esposa? 103. P1. Dios es amor P2. El amor es ciego. C. Dios es ciego. 104. Si se cae, es porque ha descendido. 105. Si “z” es buena en matemáticas financieras, entonces es una buena persona. 106. Si esta persona no quiere pagar, es porque no desea pagar. 107. P1. El tiempo es oro P2. Los relojes miden el tiempo C. Los relojes miden la cantidad de oro. 108. Todas las personas en puestos ejecutivos altos, seguro que se han humillado ante sus superiores. 109. ¿Es verdad que usted ya respeta los semáforos en “alto”? 110. Adolf Hitler gustaba de leer a Frederick Nietzche, por lo tanto lo que escribió Nietzche debe ser malo. 101. No es una falacia. 102. Pregunta cargada 103. Falacia por accidente 104. razonamiento en círculos 105. causa falsa 106. Razonamiento circular. 107. Falacia por accidente. 108. Causa falsa 109. Pregunta cargada 110. conclusión irrelevante. (El que una persona calificada como personificación del mal se haya inspirado en algún filósofo, no quiere decir que el filósofo en sí haya tenido un propósito maligno en todo lo que escribió).

1.11. Tablas de Verdad Las tablas de verdad son tablas matemáticas aplicables a la lógica, que permiten visualizar las posibles alternativas de falsedad o veracidad al combinar los valores lógicos de los argumentos individuales. Una vez que tenemos la tabla de verdad, ésta puede ser usada en un proceso de decisión, por ejemplo, dentro de algún algoritmo. Históricamente el desarrollo de las tablas de verdad datan de al menos 1880, con los trabajos de los matemáticos Frege, Peirce y Schröder . Charles Lutwidge Dodgson, mucho mejor conocido como Lewis Carroll (así es, el autor de “Alicia en el país de las maravillas” y “A través del espejo”), llegó a usar tablas de verdad ya desde 1894, pero su trabajo no se reveló, sino hasta 1977, cuando se revisaron sus documentos personales. Sin embargo, el trabajo matemático-filosófico que realmente impulsó el uso de tablas de verdad fue el “Tractatus Logico-Philosophicus” del filósofo de las matemáticas y la lengua austriaco, Ludwig Josef Johann Wittgenstein.

Conjunción: La conjunción lógica exige la veracidad de todas las premisas que la conforman. Ejemplo 111. Una de las tablas de verdad más sencillas es la de conjunción de dos premisas p q p∧q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F F F Nos podemos dar cuenta que para que el resultado sea verdadero, ambas premisas tienen que ser verdaderas. En todos los demás casos, si al menos una de las premisas es falsa, entonces todo el argumento es falso, ya que la conjunción exige la veracidad de todas las premisas simultáneamente. En las hojas de cálculo (como Calc de Open Office y Excel) existe la función “Y” (o “AND” para las hojas de cálculo en inglés), la cual puede contener todas las premisas que uno desee, pero la mecánica es idéntica: todas las premisas deben de ser verdaderas para que la celda de como resultado un valor “verdadero”. La función lógica “.AND.” existe en Fortran 77, Fortran 90 y en otros lenguajes computacionales, con algunas diferencias de sintaxis. En “Mathematica” (todas sus versiones) usa el símbolo “&&” para construir la conjunción lógica, mientras que “MATLAB” usa “&”. Las calculadoras electrónicas programables también poseen esta función desde mediados de los 1970’s (es la función “AND”). Una aplicación clara de esta tabla de verdad es al aplicar algunas reglas de tránsito Ejemplo 112: “Sí viene ‘borracho’ y esta manejando, aplicar sanciones diversas”. Aunque es evidente que exigimos la veracidad de ambas premisas, la primera exige que se haga una distinción cuantitativa, ya que no cualquier persona que haya bebido alcohol necesariamente esta ebria. Para ello se aplican los “alcoholímetros”, y entonces la tabla de verdad en realidad debería escribirse como p > x q ( p > x) ∧ q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F F F En donde “x” es el umbral de alcoholización en la sangre, arriba del cual se considera que la persona ha bebido más de lo que se supone le permitiría manejar con prudencia. (Que una persona este sobria no es garantía que sea prudente manejando, pero desde el punto de vista de la lógica, no esta violando la ley)

Negación: La negación cambia los valores verdaderos a falsos y viceversa Ejemplo 113: Usando la misma tabla que el ejemplo 111, pero negando la segunda premisa p q ¬q p ∧ ¬q V

V

F

F

V

F

V

V

F F V F Nótese que ahora se ha usado el símbolo “ ¬ ” que es lo mismo que si hubiéramos usado el símbolo “ ∼ ”

O inclusivo Esta conjunción lógica admite que al menos una de las premisas sea verdadera para que el argumento sea verdadero Ejemplo 114 p q p∨q V

V

V

F V

F V

V V

F F F Solamente se obtiene “Falso” cuando ambas premisas lo son. En los lenguajes computacionales, las hojas de cálculo en inglés, y las calculadoras electrónicas programables se simboliza como “OR” (en castellano es “O”), en “Mathematica” se usa “ ∨ ” (o “||”) y en “MATLAB” y otros sistemas algebraicos se usa “|”. Al igual que el operador lógico “AND”, “OR” puede ser usado para tantas premisas como se requiera.

O exclusivo (XOR) Este operador no admite que sean verdaderas simultáneamente dos premisas, es decir, exige que ambas tengan valores distintos para que el argumento sea verdadero. Ejemplo 115 p q pXORq V

V

F

V

F V

F

V

V

F F F La función “XOR” es manejada por muchas calculadoras programables y en algunos sistemas algebraicos que incluso pueden evaluar todos las premisas que uno desee, en cuyo caso da verdadero, siempre que exista un número impar de premisas que sean verdaderas y el resto sean falsas (y evalúa a falso de otra manera), pero (en el caso de Mathematica), “Xor” tiene que evaluar siempre todos sus argumentos, y esto causa que

no sea una buena estructura de control. Como alternativa se usa el “OR” (“O” inclusivo) y la negación de alguna de las premisas. XOR también se simboliza con “ ⊕ ” o “ ≠ ”.

“Ni ‘A’ ni ‘B’” o “NOR” Es operador lógico solo produce “verdadero”, cuando ambos valores son falsos (o todos ellos, cuando se usa en algún sistema algebraico que admite multiplicidad de premisas) Ejemplo 116 p q pNORq V

V

F

V

F

F

F

V

F

F F V “NOR” También se simboliza con “ ↓ ” o “ ⊥ ”.

“No ambos a la vez” o “NAND” Este operador lógica da como resultado “verdadero”, siempre que al menos una de las premisas sea “falsa”. “NAND” existe en algunas calculadoras programables y sistemas algebraicos computacionales como “Mathematica”; en esta última “NAND” se simboliza como “ ∧ ”, y en otros contextos se puede simbolizar como “ ↑ ”. Ejemplo 117 p q pNANDq V

V

F

V

F V

F

V

V

F F V Coloquialmente esto se puede ejemplificar con: “ese programa seguramente dará resultados incorrectos si no se tienen los datos correctos y las fórmulas correctas”. A reserva de las varias interpretaciones que se le pudiera dar a esta frase, lo cierto es que la única garantía de que el programa falle es cuando se carezcan de dos premisas a la vez: los datos y las fórmulas; de otra manera, a lo mejor con algunos datos correctos, que sean “especiales” numéricamente, es posible que nos de resultados correctos. Por otro lado, podemos tener las fórmulas correctas, y aunque algunos datos no estén correctos, es posible que de resultados correctos de todas formas, sobre todo para ámbito de datos, en donde a las fórmulas no les afecte demasiado el valor numérico concreto de que estemos hablando.

Condicional “Si” En computación es común ver la función “Si” (para hojas de cálculo en castellano) o “IF” en general, para los lenguajes de programación y algunas calculadoras programables. Este condicional no es exactamente lo mismo que el “Si” de implicación en lógica (al menos directamente), y su uso es para ramificar la secuencia de operaciones dentro de algún proceso de cálculo.

Ejemplo 118: “Sea el número real ‘A’; si ‘A’ es igual o mayor que cero, entonces aplicar raíz cuadrada, de lo contrario, imprimir ‘raíz imaginaria’”. En este algoritmo lo que hacemos es evitar que ocurra un error numérico, ya que solo tienen raíz cuadrada real aquellos números que sean iguales o mayores que cero; de lo contrario, el programa tiene la instrucción de ramificar hacia el mensaje de error apropiado,

Aunque las tablas de verdad que se han ilustrado hasta el momento usan los símbolos “V” y “F” para significar “verdadero” y “falso” respectivamente, matemáticamente ambas son equivalentes a los valores numéricos 1 y 0, es decir: V =1 F =0 Muchos de los elementos del lenguaje común también pueden ser “matematizados”; las expresiones “aunque”, “tal vez”, “quizá” y otras similares, quieren expresar, en general, que existen alternativas en algún argumento dado. Esto se traduce al condicional “Si”, en donde “Si ‘x’ es verdadero entonces se procede al caso 1, de lo contrario, se procede al caso 2”. Hay expresiones que tal vez requieran de condicionales anidados. Ejemplo 119 “Una persona puede ganar más dinero trabajando más, aunque también puede estudiar y hacer un trabajo diferente que le pague mejor”, se traduce con ayuda del condicional: Si(trabaja o estudia) Si(trabaja más) Por lo tanto más dinero Si no Mismo estado económico (Fin del primer condicional interno) Si (estudia para otro trabajo mejor remunerado) Por lo tanto más dinero (Fin del segundo condicional interno) Si no estudia y además no trabaja más Por lo tanto Mismo estado económico (Fin del condicional que abarca a los dos condicionales internos) Nótese que este condicional no contempla eventos fortuitos, como heredar o ganarse la lotería. Implicación: “p” implica “q”; o bien “q” es consecuencia (necesaria) de “p”, o bien “p” es suficiente para que sea posible “q”. La única forma en que un argumento de implicación sea falso, es cuando la consecuencia es falsa Ejemplo 120 La tabla de verdad de la implicación es como sigue:

p q

p⇒q

V

V

V

V

F

F

F V

V

F F V Nótese que la implicación no tiene la misma función que la estructura de control computacional “IF”, ya que este última es una conexión ramificada de acuerdo a una condición, mientras que en la implicación se presupone una relación lógica entre dos premisas.

Ejercicios 121. Demuestre que la tabla de verdad para implicación es equivalente a la tabla de verdad que tendría el negar la primera premisa y usar la conjunción lógica “O” para conectarla con la segunda premisa (es decir, demuestre que p ⇒ q = ¬p ∨ q )

122. Establezca la tabla de verdad para p ∨ ( q < x ) . Problemas 123-129 Usando los ejemplos 111, 113, 114, 115, 116, 117 y 120, niegue la primera premisa y construya su tabla de verdad correspondiente. Use “0” y “1” en lugar de “F” y “V”. Respuestas: p ¬p q ¬p ∨ q V

F

F

F

121. F

V

V

V

F

V

F

V

V

F V

V

122. p

q

V V F F

V V F V V V F F

p ∨ (q < x)

123. p ¬p q ¬p ∧ q 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0

124. p ∼ p q ∼ q ∼ p∧ ∼ q

1 1 0 0

0 0 1 1

1 0 1 0

0 1 0 1

0 0 0 1

125. p ∼ p q ∼ p∨q 1

0 1

1

1

0

0

0

0

1

0

1

0

1

1

1

126. p ¬p q ¬p ⊕ q 1

0

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

1

127. p ∼ p q ∼ p⊥q 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 128. p ¬p q ¬pNANDq 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 129. p ∼ p q ∼ p⇒q 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0

2) Fundamentos numéricos 2.1 Los números Los sistemas numéricos que más se usan en matemáticas financieras son: a) Los números enteros (positivos y negativos), siendo aquellos mayores a cero usados principalmente para conteos e indexación. Ejemplo 130 −3, −2, −1, 0,1, 2,3 b) Los racionales (expresables como fracciones comunes o decimales y mezclas de enteros con fracciones): Ejemplo 131 1 1 1 − , − , − , 0.25,.5,1.5 4 3 2 c) Y los algebraicos en general, es decir, soluciones de polinomios no nulos con coeficientes racionales: Ejemplo 132 ax 2 + bx + c = 0 ∴

± b 2 − 4ac 2a “ x ” es la raíz de algún polinomio cuadrático y " a "," b "," c " son números racionales, x=

donde además, exigimos que 4ac < b 2 , ac ≥ 0 , si queremos tener números reales. Nótese que si el producto de “ a ” y “ c ” es negativo, entonces no importa que magnitud tenga este producto, ya que al multiplicarse por el signo negativo que antecede al “4”, se volverá una magnitud positiva. Ocasionalmente se usan aproximaciones de números transcendentales (números que no son soluciones de ningún polinomio no nulo, con coeficientes racionales) Ejemplo 133 π ≈ 3.1415926535 e ≈ 2.7182818284590452354 La razón por la que se usa la palabra “aproximaciones” es porque la cantidad de dígitos representables en una calculadora o computadora, por poderosa que sea, siempre es finita, cuando los números reales se pueden representar en forma exacta únicamente a condición de usar una cantidad infinita de dígitos; dicha aproximación equivale a un número racional. De hecho las aproximaciones se pueden (y tienen) que usarse para expresar los números algebraicos y algunos racionales, como veremos más adelante.

A los números los podemos agrupar de acuerdo al siguiente diagrama de Venn:

Ejemplo 134: Nótese que la anidación que tienen los diferentes conjuntos de números sugiere, por ejemplo, que los naturales son parte de los enteros (pero no todos, ya que los enteros abarcan también al negativo de todos los naturales más el cero), o que los algebraicos abarcan a todos los conjuntos que allí estén anidados, incluyendo aquellos que aunque no sean racionales, ni enteros, sean soluciones de polinomios no nulos con coeficientes racionales. Sin embargo, en este libro, cuando hablemos de “racionales” (por ejemplo) nos estamos refiriendo a todos aquellos números que sean abarcados nada más por la definición de racional, es decir, que incluya fracciones y de ninguna manera incluimos a sus subconjuntos. Además, en este libro no se usarán los números complejos ni imaginarios, aunque algunas ramas de la [economía] sí hagan uso ocasional de ellos, que consideran a los movimientos económicos como sistemas dinámicos lejanos del equilibrio, y que usan fractales o inteligencia artificial. Recordemos que en lo que se refiere a las operaciones aritméticas fundamentales: Nombre de la operación Nombre del resultado Se compone de Adición Suma Sumandos Sustracción Diferencia Minuendo y sustraendo Multiplicación Producto Factores División Cociente Dividendo y divisor

Ejercicios: Diga si los siguientes números son racionales, enteros, o algebraicos. 135. x = b a ; a ∧ b ∈ ℕ 136. −315898989897 137. 5.789

Respuestas: 135. Algebráico (porque " x " es solución de la ecuación polinomial xb − a = 0 , donde " a " y " b " pertenecen al conjunto de los números naturales. 136. Entero 137. Racional

2.2 Breve descripción de conceptos financieros usados en este capítulo. Con el fin de hacer más eficiente la combinación de los conceptos financieros y las matemáticas que los componen, en esa sección se hará una descripción somera de ellos, y los ejemplos matemáticos serán distribuidos a lo largo del resto de las secciones de este capítulo. Un tratamiento similar será expuesto en todos los capítulos subsecuentes. Registro de transacciones: Una transacción financiera es el cambio en el estado de las finanzas de dos o más negocios o individuos; de esta manera, las compras y ventas son parte de las transacciones, y su registro se puede hacer, por ejemplo, con números racionales negativos (compras) y positivos (ventas). Ejemplo 138 Compras Ventas 20 Kg Papel@$30/Kg 100 revistas@$20/pieza 2 litros de tinta@$5/litro =-610 =2000

Reconciliación de informes bancarios y chequera: Un informe bancario es un documento emitido por una entidad bancaria con el fin de informar a sus clientes sobre las transacciones realizadas en un cierto período, digamos, mensualmente. Las transacciones registradas suelen incluir los ingresos, egresos, transferencias bancarias, y pagos a cheques emitidos desde una cierta cuenta bancaria que los clientes posean. Los pagos con la chequera son una parte de las transacciones realizables dentro de alguna cuenta bancaria. Suponiendo que se tuviese una cuenta bancaria dedicada únicamente a la chequera, entonces el balance de la chequera consistiría en comparar las ganancias monetarias que van a dar a la cuenta de esta chequera, contra la suma de los cheques emitidos por esta persona durante el período de tiempo respectivo. Por ejemplo, si la chequera pertenece a una cuenta de nómina, y la persona recibe dinero cada mes, entonces el balance es la suma de los cheques emitidos en el mes anterior y luego sustraer esta suma al depósito de la nómina. Ejemplo 139: Cheque #...a favor de 1…”x” 2…”y” 3…”z”

Cantidad 2000 3000 1200 6400 (total gastado)

Balance (ingresos): 7000

(diferencia):7000-6400 =600

Nómina: (del plural en latín de nomen = nombre) es la lista de personas que cobran en una empresa o institución, y que deben de justificar dicho cobro mediante su firma. Ejemplo 140: Una firma tiene 2000 empleados y en promedio se les paga $10,000 mensuales ¿cuánto paga la firma por sus empleados anualmente? Respuesta: 2000 × 10000 ×12 = 240millones Salario anual: es la percepción monetaria de una persona por año. Algunas veces nos puede interesar cuánto gana la persona por mes. O al revés, sabiendo cuánto recibe en la nómina cada quince días o mensualmente, nuestro propósito sería saber cuánto gana anualmente. Ejemplo 141: si a una persona se le paga mensualmente y gana $60,000 anuales, 60000 ¿cuánto gana mensualmente? R: = $5000 12 Honorarios por hora: Algunas personas cobran por hora devengada de trabajo. Sus ganancias son iguales al número de horas trabajadas, multiplicadas por sus honorarios. Ejemplo 142: Un técnico de computadoras cobra $245/hora, ¿cuántas horas habrá de trabajar, si quiere juntar al menos $2450? R: 2450 ÷ 245 = 10 Honorarios por destajo: Algunas personas (como algunos albañiles) cobran por trabajo terminado. Entonces sus ingresos dependen literalmente de cuán arduo trabajen y de en cuanto se pague el trabajo que se supone deben terminar. Ejemplo 143: Si a un albañil se le pagaría $500 por construir una barda y al final del primer día ha terminado el 80% de la misma, ¿cuánto recibe el primer día? Respuesta: 500 × 0.8 = 400 Precio de venta y ganancia: Entre el costo de producción de un artículo y el precio de venta al consumidor final hay una diferencia. Dicha diferencia representa una ganancia y puede haber varios niveles de compra/venta. Entre la fábrica y los vendedores al consumidor directo (también llamados detallistas, o vendedores al menudeo) suele haber intermediarios o compradores al mayoreo, es decir, gente que compra en grandes cantidades y cuya ganancia reside más en el volumen de ventas que en la diferencia entre lo que le costó y el precio en que vendió la mercancía. Ejemplo 144: Si una persona compra una joya a $3000, y le quiere ganar al menos el 10%, ¿a qué precio debería ofrecerla para su venta? 3000 = $3300 Respuesta: 3000 + 10 Comisiones: Es el porcentaje sobre el precio de algún artículo que puede ganar un vendedor perteneciente a una empresa. Ejemplo 145: A un vendedor se le da un 5% de comisión sobre el precio de venta, de cada coche que logre vender. ¿Cuánto ganaría, si vende un automóvil en $60000 y otro de $40000?

Respuesta: 60000 × 0.05 + 40000 × 0.05 = 5000 Deducciones de nómina: Las empresas, instituciones o contratistas de construcción por ley necesitan hacer pagos a los seguros de gastos médicos (u otros, como vivienda o aportaciones para la jubilación, dependiendo de la ley de cada país); dicho pago suele ser complementado por pagos que se requieren directamente del salario en bruto del trabajador; es decir, a su salario declarado en las oficinas dedicadas a la recaudación de impuestos, se les descuenta todos aquellos pagos que se deban hacer a los diferentes rubros de asistencia social a que tenga derecho el trabajador, y puesto que es un descuente que se debe hacer por ley, en este sentido también son una obligación estos rubros de asistencia social. Ejemplo 146: Una persona recibe de la nómina $10000 mensuales en bruto, pero antes de recibir su dinero le deducen $145 de su aportación para el ahorro de jubilación y $254 para el seguro de gastos médicos. ¿Cuánto gana en salario neto esta persona? Respuesta: 10000 − (145 + 254 ) = 9601 Acciones: Una acción es cada una de las partes alícuotas (es decir, resultado de una división equitativa) en que se divide el capital de una sociedad anónima. Esta parte alícuota puede ser representada en un documento oficial, que para la mayoría de las grandes empresas, es una forma de posesión de la misma. Dependiendo de los movimientos económicos que existan en el mercado de valores, las acciones pueden subir o bajar de precio, lo cual se puede volver una oportunidad de ganancia (o un evento de pérdida) para los poseedores de las mismas. Ejemplo 147: Las acciones de la Apple valen $100 en noviembre del 2000; pero el 23 de Octubre del 2001, Apple lanza al mercado el “iPod” (en aquel entonces únicamente capaz de reproducir algunos archivos de audio) y sus acciones valen ahora un 250% sobre del precio que tenían en ese momento; además, la firma Toshiba fabrica los discos duros que almacenan la información dentro de los iPods, y por lo tanto, sus acciones también subieron, aunque un 30% menos que lo que pudieron subir las acciones de Apple, con un precio original también de $100. ¿Cuál es el precio final de las acciones de la Apple y de la Toshiba? Apple :100 + 100 × 2.5 = 350 Respuesta: Toshiba : (100 + 100 × 2.5) × (1 − 0.3) = 245 Bonos: En general, los bonos son documentos que emiten los gobiernos de muchos países para financiarse, y que prometen pagar a su poseedor la suma que allí se estipule, más un cierto porcentaje de rendimiento. Dicho rendimiento se suele relacionar con algún período de tiempo, generalmente anual. Ejemplo 148: Los bonos de la tesorería nacional se venden con un valor de $100, y pagan un rendimiento anual del 11%. Si al final del año cambio mi bono por efectivo, ¿cuánto me habrán de pagar? Respuesta: 100 + (100 × .11) = 111 Tarjetas de Crédito: Las tarjetas de crédito son instrumentos de compra, a través de un objeto plástico plano, de forma cuadrangular y de un tamaño entre 5-7 cm de largo y 3-4 cm de alto. Suelen poseer un microprocesador sencillo, una pista

magnética y otros elementos de seguridad, entre ellos el nombre y la firma del poseedor de la tarjeta, llamado tarjetahabiente. Financieramente hablando, las tarjetas de crédito representan un dinero que la persona no tiene ahorrado en ningún lado, y que sin embargo puede hacerse uso de él. Los bancos que emiten tarjetas de crédito suelen ganar un porcentaje sobre el saldo insoluto, es decir, sobre la cantidad de dinero que aún no ha sido pagada del crédito que se ha usado. Ejemplo 149: Una persona tiene un crédito de $35000, y ha usado del mismo $30000 con su tarjeta de crédito. Supongamos que la tasa de interés es del 15% anual. ¿Qué porcentaje de su crédito ha usado? Si la persona decide saldar su crédito un mes después, ¿cuánto deberá pagar de intereses? 30000 %usado : × 100 ≈ 85.71% 35000 Respuesta: pago : 30000 + ( 30000 × .15 ) ÷ 12 = 30375

Inflación: es el alza de los precios en general; se le suele representar como un porcentaje respecto de los precios anteriores. Ejemplo 150: Supongamos que la inflación anual es del 7%. Si un objeto costaba $100 al principio del año ¿cuánto costará al cambiar el año? Respuesta: 100 + (100 × 0.07 ) = 107 Devaluación: Es la disminución del valor de la moneda de algún país, respecto de la de otro país. También se le suele representar como un porcentaje respecto del valor anterior. Ejemplo 151: Supongamos que al principio de un período de tiempo el dólar se cotizaba a la venta en $10. Si al final de ese período de tiempo subió el dólar a $11 ¿En qué porcentaje se devaluó el peso contra el dólar? ( −1/10 ) × 100 = −10% Impuesto de bienes y servicios (IVA o impuesto al valor agregado en México): Es un impuesto que cobra por la suma de los cambios que sufren los productos, al irse transformando de materias primas a objetos muy elaborados, por ejemplo, aparatos electrónicos. Lo inventó el economista francés Maurice Lauré en 1954, con el fin de que fuera más equitativa la distribución de costos en las cadenas de producción. De esta manera, los consumidores finales, en general, no se supone que puedan recuperar el IVA, pero todos los negocios o empresas intermedias que van transformando el producto, sí pueden recobrar el IVA sobre los materiales y servicios que ellos usaron, con el fin de poder proveer o dar servicios a los usuarios finales, y a quienes (cómo se dijo) se les cobra el IVA, directa o indirectamente. Cada país que use el IVA ha definido su magnitud, expresada como un porcentaje del costo del producto. Ejemplo 152: Si un producto cuesta $100 y la tasa de IVA es del 15%, ¿cuánto se habrá de pagar por dicho objeto? Respuesta: 100 + (100 × .15 ) = 115

Impuesto a la propiedad (predial): En muchos países se suele pagar un impuesto al gobierno por el hecho de ser el poseedor o dueño de algún terreno (sin construir) o de alguna construcción sobre de ese terreno, sea esta una casa o un edificio. Dicho impuesto puede depender de la zona en donde se encuentre la propiedad, de los servicios que tenga la zona (agua, luz, teléfono), del lujo de la propiedad y de la extensión del terreno (en unidades de área) y de la extensión construida (también expresada en unidades de área) por lo que el cálculo de impuesto predial depende de los criterios que cada país tenga sobre la forma de valorar una propiedad. Ejemplo 153: Supongamos el caso de México, en donde el cálculo bimestral del predial es la suma de una cuota fija, correspondiente a un ámbito (rango) de valor de la propiedad, más un porcentaje “de excedente”, que se le aplica a la diferencia del límite superior de este ámbito, menos el límite inferior correspondiente. El ámbito de valor de la propiedad, a su vez, es la suma del valor del terreno, que en la zona “x” tiene un valor de $300 por metro cuadrado, más el valor del metro cuadrado de construcción, que esta misma zona es de $200. Supongamos una construcción de 20 m 2 de terreno y 25 m 2 de construcción. Supongamos que esto coloca a la construcción en el ámbito de valor catastral entre $5000 y $15000, el cual tiene un porcentaje de excedente de 0.03157%. La cuota fija de este ámbito (o rango) es de 46.32, y aunque se usa como casa habitación, no tiene porcentaje de descuento en este ámbito. Calcule el predial bimestral de esta propiedad. v.c. = ( 300 × 20 ) + ( 200 × 25 ) = 11000;

l.s − l.i = 15000 − 5000 = 10000; excedente :10000 × 0.0003157 = 3.157; cuota fija : 46.32 predial : 3.157 + 46.32 = 49 Obsérvese que el cálculo del valor catastral es solamente para poder ubicar a la propiedad en un cierto ámbito de pago. Obsérvese también que se aplica la regla de redondeo (véase la sección correspondiente) en donde decimales iguales o mayores a “5” suben a la siguiente cifra significativa (si ya esta en los “décimos”, entonces sube a enteros), y cifras menores a “5” bajan a la siguiente cifra significativa. Impuesto al ingreso: En casi todos los países, los gobiernos cobran un porcentaje que puede ser mensual, trimestral o anual, sobre la cantidad de dinero que ingresa a las cuentas de alguna persona o empresa. Ejemplo 154: en México el impuesto al ingreso, mejor conocido como “impuesto sobre la renta” (I.S.R.), es de aproximadamente el 17% para empleados de gobierno (causantes cautivos, cálculo hecho en Octubre de 2007). Si una persona gana $12000 mensuales, ¿Cuánto paga de ISR? Respuesta: 12000 × 0.17 = 2040 Crédito al consumidor y pagos diferidos: Así como los bancos ofrecen tarjetas de crédito para impulsar el consumo, muchos comercios ofrecen a sus clientes la posibilidad de comprar sin necesidad de cubrir el total del costo de forma inmediata, sino prorrateada (dividida) en un cierto número de pagos, que suelen ser mensuales. Muchas veces estos comercios pueden ofrecer su mercancía a precios más elevados que en otros comercios, lo que por un lado estimula sus ventas a través de pagos

mensuales, y les da una ganancia “de riesgo”, ya que al vender de esta manera se arriesgan a que algún cliente tal vez no pueda pagar, y aunque recojan ese producto, ya no podrá ser ofrecido como mercancía nueva, y como resultado tal vez lo tengan que rematar, es decir, vender a un precio muy semejante al costo de fábrica. Los pagos diferidos son también una forma de crédito, y consisten en el tener la posibilidad de pagar después de cierto tiempo, a veces un mes o más tiempo después. Ejemplo 155: Una tiende vende un artículo en $12000, y se puede comprar a “doce meses sin intereses”, ¿cuánto pagaría mensualmente el comprador potencial de este producto? Respuesta: 12000 ÷ 12 = 1000 Descuentos: Cuando un comercio desea que algún producto tenga mayor movimiento (que se venda más rápido ese producto, por las razones que sean), entonces dicho comercio puede ofrecer algún porcentaje de descuento, el cual a veces puede estar combinado con otro porcentaje de descuento. Ejemplo 156: Supongamos que la sección de ropa de una tienda tiene un 30% de descuento. Además, una prenda en particular tiene un 20% de descuento. Si la prenda originalmente costaba $100, ¿cuánto es lo que realmente se deberá de pagar? Respuesta: (100 − (100 × .3) ) − (100 − (100 × .3) ) × .2 =

[100 (1 − 0.3)] × [1 − 0.2] =

100 × ( 0.7 × 0.8 ) = 100 × 0.56 = 56 Nótese que el descuento “real” es del 44%, y no del 50%, como mucha gente pensaría erróneamente. La hoja de balance: Los comercios y empresas, tanto grandes como pequeñas, suelen hacer un balance de lo que gastan (egresos) y lo que ganan (ingresos). Todo ello se suele expresar en un documento (físico o electrónico) llamado hoja de balance. La palabra “balance” implica que al final se han de comparar los ingresos con los egresos, y dependiendo de si el resultado es positivo o negativo, se dice que ha habido “ganancias” o “pérdidas”, respectivamente. Ejemplo 157: El ejemplo es casi el mismo que para lo de “registro de transacciones” salvo que se obtiene la diferencia entre lo gastado y lo ganado Compras Ventas Total 20 Kg Papel@$30/Kg 100 revistas@$20/pieza 2 litros de tinta@$5/litro =-610 =2000 =2000-610=1390 En este caso el balance es positivo, lo que se le suele llamar “números negros”. Si el balance hubiese sido negativo, entonces serían “números rojos”. 2.3 Fracciones Una fracción común (o “quebrado”) propia es un número menor a 1, pero mayor a cero, y es un tipo de racional. Se usa para expresar formas de dividir la unidad en varias partes. El número superior del quebrado es el numerador y el inferior el denominador.

En todos los ejercicios, se sobreentiende que, si es el caso, se simplifica la fracción resultante, obteniendo los factores comunes tanto en el numerador y el denominador y cancelándolos. Suma (algebraica) de fracciones Antes de comenzar, se aclara que el adjetivo “algebraica” aplicable para la adición, se refiere a que se pueden estar sumando cantidades positivas y negativas, no exclusivamente aquellas mayores a cero. En otras palabras, se puede adicionar respetando el signo algebraico original. Si deseamos sumar fracciones con el mismo denominador, lo único que tenemos que hacer es sumar los numeradores. En cambio, si deseamos sumar fracciones con distintos denominadores, entonces hay varios métodos. El más eficiente es encontrar el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores, y una vez encontrado se sustituyen los numeradores con el número que resulte de multiplicar el numerador original, con aquel número que de cómo resultado el denominador. A su vez, el mcm se obtiene descomponiendo los numeradores en potencias de sus factores primos (números naturales únicamente divisibles entre sí mismos y la unidad –“1”-), eligiéndose aquellos que tengan la máxima potencia de cada uno, y luego multiplicándose Ejemplo 158 Sean las fracciones 3 2 4 , , 45 120 75 Encuentre el mcm de los denominadores de estas fracciones y posteriormente efectúe su adición Respuesta: 45 = 20 × 32 × 51

120 = 23 × 31 × 51 75 = 20 × 31 × 52 ∴ mcm = 23 × 32 × 52 = 1800;

(1800 / 45 ) = 40 (1800 /120 ) = 15 (1800 / 75 ) = 24 ∴ 3 2 4 + + = 45 120 75 3 × 40 2 × 15 4 × 24 + + = 1800 1800 1800 120 30 96 + + = 1800 1800 1800 246 1800

El mcm se puede obtener a través del siguiente algoritmo (inspirado en el de Euclides): 45 120 75 | 2 45 60 75 | 2 45 30 75 | 2 45 15 75 | 3 15 5 25 | 3 5 5 25 | 5 1 1 5 |5 1 1 1 | Nótese que se acarrea la descomposición en factores primos contando las multiplicidades, es decir, los factores primos repetidos se pueden considerar como ese factor elevado a la potencia que le corresponda en su número de veces que se repita (multiplicidad). De esta manera vemos que el factor primo 2 se repite 3 veces, por lo tanto se eleva a la tercer potencia; el 3 se repite dos veces, entonces se eleva al cuadrado y lo mismo con el factor primo 5. Como se dijo este algoritmo se inspira en el de Euclides, el cual sirve para encontrar el Máximo Común Divisor (MCD). Aunque por supuesto que uno y otro algoritmo están relacionados, no se deben confundir, ya que la diferencia es que el MCD se usa principalmente para factorización de polinomios y la descomposición en factores primos no se acarrea hasta el final, como en el mcm y como se verá en su sección correspondiente. Ejercicios: Efectue la adición de las siguientes fracciones. Utilice el algoritmo de mcm para poder colocar a las fracciones bajo un común denominador. 5 4 2 159. − , , 7 9 15 1 3 1 160. − , ,− 4 10 23 2 1 1 161. ,− , 7 9 14 1 2 1 162. − ,− , 6 9 20 1 5 1 163. − , ,− 2 9 16 5 3 1 164. − ,− , 6 11 19 1 4 4 165. − ,− ,− 6 11 23 5 4 1 166. , ,− 8 9 19 4 4 1 167. ,− ,− 7 11 5 2 2 1 168. , ,− 7 9 19

1 1 3 , , 2 2 23 3 3 1 170. − ,− , 8 11 9 5 2 1 171. , , 7 9 4 1 1 3 172. − , , 8 11 20 1 1 5 173. − ,− ,− 2 10 21 1 1 4 174. − , ,− 3 5 17 1 1 5 175. , , 2 10 19 2 5 4 176. − ,− , 3 9 25 5 1 3 177. , ,− 6 11 17 1 1 1 178. , , 6 11 5 169.

2 2 5 , ,− 7 9 17 1 5 3 180. , ,− 3 11 14 4 1 2 181. − ,− ,− 7 10 19 2 5 2 182. − , , 7 11 9 1 1 1 183. − , , 3 5 16 5 1 1 184. − ,− ,− 6 10 23 1 2 1 185. − , ,− 2 11 15 2 1 4 186. ,− ,− 3 3 19 5 1 1 187. − , , 7 10 16 1 5 5 188. ,− ,− 7 11 17 179.

Respuestas: 43 315 3 160. 460 31 161. 126 61 162. − 180 1 163. − 144

159. −

1321 1254 1069 165. − 1518 1391 166. 1368 3 167. 385 545 168. 1197 26 169. 23 425 170. − 792 299 171. 252 51 172. 440 88 173. − 105 94 174. − 255 82 175. 95 239 176. − 225 839 177. 1122 151 178. 330 229 179. 1071 265 180. 462 1033 181. − 1330 271 182. 693 17 183. − 240 337 184. − 345 127 185. − 330 7 186. 57 309 187. − 560 793 188. − 1309 164. −

Multiplicación de fracciones

La multiplicación se logra simplemente multiplicando numeradores con numeradores, y denominadores con denominadores Ejemplo 189. 2 3 5 2 × 3 × 5 30 × × = = 4 5 6 4 × 5 × 6 120 Ejercicios Efectúe las siguientes multiplicaciones de fracciones 5 3 5 , ,− 7 10 12 1 1 2 191. − ,− , 8 5 7 2 3 5 192. − ,− , 7 10 13 1 1 1 193. − ,− , 6 5 22 1 4 1 194. ,− , 2 11 8 5 3 1 195. − ,− ,− 6 11 14 5 2 1 196. , ,− 6 11 4 2 4 1 197. ,− ,− 3 9 7 1 1 1 198. − ,− , 8 10 21 4 1 3 199. , , 7 5 13 5 1 2 200. , , 8 11 17 5 3 1 201. , , 8 11 4 2 1 1 202. − ,− , 3 11 23 2 2 1 203. − ,− , 3 11 10 1 3 3 204. ,− ,− 7 11 16 3 2 1 205. − ,− , 8 11 16 2 1 1 206. , , 7 11 7 1 4 5 207. − , , 4 9 16 1 2 2 208. − ,− , 7 9 17 3 3 2 209. ,− ,− 7 10 21

190.

Respuestas: 190. −

5 56

1 140 3 192. 91 1 193. 660 1 194. − 44 5 195. − 308 5 196. − 132 8 197. 189 1 198. 1680 12 199. 455 5 200. 748 15 201. 352 2 202. 759 2 203. 165 9 204. 1232 3 205. 704 2 206. 539 5 207. − 144 4 208. 1071 3 209. 245 191.

División de fracciones La división de una fracción entre otra se puede lograr a través de la técnica de “productos cruzados” (el numerador de la primera fracción multiplicado por el denominador de la segunda fracción y viceversa): Ejemplo 210: 3 2 3 2 − ÷ = × 4 5 4 5

=

−3 × 5 −15 = 4× 2 8

Otra opción es aplicar la “ley de la herradura” o “ley del sándwich” (producto de los términos medios se convierte en el nuevo denominador y producto de extremos se convierte en el nuevo numerador): Ejemplo 211:

−3 4 = −3 × 5 = −15 2 4× 2 8 5 Ejercicios: Efectúe la división de las fracciones dadas (Se entiende que es la primer fracción entre la segunda, recordando que la división no es conmutativa) 1 3 212. − , 7 17 3 1 213. − ,− 8 3 1 4 214. ,− 2 23 5 5 215. ,− 8 21 5 2 216. ,− 7 25 2 3 217. − , 3 25 1 1 218. − , 7 7 1 5 219. ,− 4 21 1 5 220. − , 2 14 2 2 221. ,− 3 7 5 1 222. − , 8 23 3 1 223. − ,− 7 17 1 4 224. − ,− 8 13 4 3 225. , 7 20 2 1 226. , 7 4

Respuestas: 17 21 9 213. 8 23 214. − 8 21 215. − 8 125 216. − 14 50 217. − 9

212. −

218. -1

21 20 7 220. − 5 7 221. − 3 115 222. − 8 51 223. 7 13 224. 32 80 225. 21 8 226. 7 219. −

2.4 Fracciones con enteros Las operaciones que incluyen a enteros o fracciones impropias, se realizan casi de la misma manera que las fracciones propias, excepto que antes de realizar cualquier operación hay que convertir la parte entera a la fracción indicada en el denominador y luego sumarla al numerador. Posteriormente se realiza el resto de las operaciones pertinentes, incluyendo la simplificación de la fracción resultante. Ejemplo 227 1 3 2 +5 = 3 4 2× 3 +1 5× 4 + 3 + = 3 4 7 23 4 × 7 + 3 × 23 97 + = = 3 4 12 12 Es interesante observar que la representación de enteros con fracciones es una de las pocas instancias algebraicas en donde el que dos objetos algebraicos estén juntos, no quiere decir que se estén multiplicando. Esta claro que la parte entera y fraccionaria se suman. Ejercicios Obtenga la suma, producto y cociente (en ese orden) de las siguientes fracciones con enteros. Para la división considere que la primera fracción impropia se divide entre la segunda: 5 5 228. 6 ,6 6 13 1 3 229. 9 ,5 6 23 1 1 230. 4 ,7 2 7 5 3 231. 3 ,9 7 17 2 4 232. 6 ,7 3 21

Respuestas (en orden de operación, es decir, primero adición, luego multiplicación y por último división:

1031 3403 533 , , 78 78 498 1973 3245 1265 229. , , 138 69 708 163 225 63 230. , , 14 7 100 1534 4056 17 231. , , 119 119 42 97 3020 140 232. , , 7 63 151

228.

2.5 Adición de decimales Otra forma de representar aquellos números intermedios a los números enteros (sean racionales, irracionales-algebraicos o trascendentales) es través de decimales, sobre de los cuales también podemos aplicar todas las operaciones aritméticas. Ejemplo 233: Obtenga la suma de la siguiente adición de decimales: 0.5 + 0.7 Respuesta: La adición es idéntica en todos los sentidos a la adición de números enteros, incluyendo el “acarreo” de cifras, excepto que al llegar a la posición de los “décimos” (la posición decimal justo a la derecha del punto decimal), el acarreo de cifras se va hacia los números enteros. De esta manera 5 + 7 = 12 , pero solamente el “2” se queda del lado decimal, “acarreándose” la década extra hacia la parte entera justo a la izquierda del punto decimal, quedándonos entonces: 0.5 + 0.7 = 1.2 Ejemplo 234: 12.92000134 + 69.08000457 82.00000591 Se comienza siempre desde el decimal de la extrema derecha y si no existe ninguno en la misma posición en el otro sumando, simplemente se mantiene igual, como en la adición de enteros. Nótese que hubo “acarreo” de cifras dentro de los decimales hasta llegar al grupo de ceros, y luego hubo un acarreo desde los centésimos a los décimos, de estos a las unidades de enteros, y por último desde las unidades enteras hasta las décadas.

La sustracción algebraica (es decir, la adición conservando el signo de cada sumando) se lleva a cabo de la misma manera que su correspondiente con enteros, atendiendo a lo observado con respecto del acarreo de cifras, y al hecho de que si los dos sumandos tienen el mismo signo, entonces se adición, pero si tienen signo contrario, entonces el de signo negativo funciona como sustraendo y el positivo como minuendo. De la misma manera que con enteros, el orden de sustracción es desde la parte más a la derecha y en hacia la izquierda. Ejercicios:

Obtenga la suma (algebraica, es decir, adición si ambos tienen el mismo signo y sustracción en caso de signo contrario) de las siguientes pares de sumandos 235 : -36.8015 , -8.1623 236 : 38.9774 , -57.7487 237 : -55.4172 , -43.1465 238 : 50.2196 , -71.2482 239 : -82.4796 , -43.7011 240 : -66.3215 , 38.4759 241 : -33.5771 , 88.3828 242 : -66.1833 , -27.1396 243 : 97.6318 , -71.4062 244 : 4.9306 , -67.2898 Respuestas: 235 : -44.9638 236 : -18.7713 237 : -98.5637 238 : -21.0286 239 : -126.181 240 : -27.8456 241 : 54.8057 242 : -93.3229 243 : 26.2256 244 : -62.3592 2.6 Multiplicación de decimales La multiplicación de números con decimales se realiza de manera similar a la multiplicación con enteros. De hecho se multiplican todas las cifras, como si no existiesen los puntos decimales. Es solo hasta que se termina la multiplicación que se cuentan el número de cifras significativas a la derecha de los puntos decimales, y en el producto se recorre el punto decimal tantas cifras como la suma de cifras significativas de ambos factores, contando desde la derecha y hacia la izquierda. En el caso de que sean factores con signos contrarios, el signo del producto será negativo, mientras que si son del mismo signo, el producto siempre será positivo. Ejemplo 245:

−145.089 × 5.4123 435267 290178 145089 580356 725445 −785.2651947 Nótese que la suma de cifras significativas de los dos factores es igual a siete, que es el número de lugares que tenemos que recorrer el punto decimal, contando desde la extrema derecha y hacia la izquierda, una vez que se haya terminado la multiplicación. Además, nótese que por ser los factores de signos contrarios (uno positivo y otro negativo) entonces el resultado es negativo, pero la cuestión del signo es lo último que

se toma en cuenta. En general, si se tiene una cantidad impar de factores negativos, el resultado será negativo, y si el número de factores con signos negativos es par, entonces el resultado será positivo (nótese que en el conteo de “par/impar” no se tienen en cuenta los factores positivos). En el ejemplo teníamos solo un factor negativo, y uno es un número impar, por lo tanto el resultado debe ser negativo. Ejercicios Obtenga el producto de la multiplicación de los siguientes factores: 246 : -87.0986 , -80.0448 247 : 32.7016 , -66.7159 248 : -59.3652 , 16.0156 249 : -27.6162 , -50.365 250 : 31.6955 , -53.6717

251 : 94.94 , 81.17 , 8.09 252 : 36.43 , 25.45 , -78.06 253 : -62.6 , 70.05 , -59.44 254 : 41.88 , -91.19 , -26.61 255 : -25.72 , -20.86 , -62.27 Respuestas. 246 : 6971.79001728 247 : -2181.71667544 248 : -950.769297120 249 : 1390.88991300 250 : -1701.15136735 251 252 253 254 255

: : : : :

62343.8035820 -72372.8216100 260652.127200 101624.579892 -33409.0505840

2.7 División de decimales Probablemente a estas alturas muchos estudiantes podrían pensar “habiendo tantas computadoras y calculadoras, ¿Para qué habría uno de aprender a realizar las operaciones a ‘mano’?” La respuesta es que las operaciones con aparatos electrónicos, si bien es cierto que pueden llegar a dar una precisión y confiabilidad mucha mayor y más rápida que la que un ser humano podría alcanzar, también es cierto que si a una computadora o calculadora se le programa mal, va a dar resultados poco confiables. La regla número UNO de todo programador o matemático financiero (o de cualquier programador o matemático o físico aplicado) que intente implementar un algoritmo numérico en un programa confiable debería ser el tener que hacer “corridas en papel” es decir, probar las corridas de sus algoritmos programados contra resultados conocidos en cada paso del programa. Obviamente primero se comprueba con cantidades pequeñas de datos, y luego ya se verá qué pasa cuando se escala el problema a cantidades masivas de datos numéricos. Existen varios métodos numéricos para comprobar los resultados de los algoritmos, y uno de los más sencillos es que si uno ha aplicado un operador aritmético, para saber si el resultado es correcto se puede usar el operador inverso. La división es la operación inversa de la multiplicación, por lo que si hemos hecho una

multiplicación, podemos dividir el producto entre cualquiera de los factores (incluyendo el signo original del factor) y el cociente debería ser el factor complementario. Recordando un poco, en la división de enteros, cuando el cociente es exacto y también es una cantidad entera, sabemos que el cociente es un submúltiplo exacto del dividendo; lo mismo se puede decir del divisor: éste es un submúltiplo exacto del dividendo y por ello la división de enteros es exacta. Algebraicamente un submúltiplo exacto equivale a un factor común, es decir, son uno y el mismo objeto matemático. Ejemplo 256:

Entonces podemos ver que de manera similar a la multiplicación, que es una adición abreviada, la división es una sustracción abreviada, en donde el divisor se sustrae sucesivamente del dividendo, tantas veces como “quepa” en el dividendo, y la medida de esta “cabida” es el cociente, es decir, el cociente indica cuántas veces el divisor ha de sustraerse del dividendo. En el caso de que el divisor no tenga cabida una cantidad exacta de veces, entonces existe un residuo, y el cociente se expresaría como el entero calculado, junto con una fracción común, que sería el residuo como numerador y el divisor como denominador. Ejemplo 257 8 5 7 61 = 8 7 5 Nótese que se ha omitido la sustracción intermedia y se ha expresado directamente el residuo.

Ahora supongamos que no queremos el entero con fracciones vulgares (aunque este resultado es exacto), sino que queremos el cociente como la mejor aproximación decimal que podamos. Entonces lo que se hace es colocar un punto decimal después de la primera cifra de la derecha en el dividendo, lo mismo en el divisor; se agregan ceros a la derecha del punto decimal, y se continúa dividiendo, pero en adelante se estará dividiendo dentro de las posiciones decimales que sean necesarias para se acabe la división, o bien hasta que aparezca en el cociente un grupo de cifras que se repiten periódicamente. El mismo tratamiento recibe la división en donde el dividendo ya tenga cifras decimales.

Ejemplo 258

20.83.. 6 125.000 050 20 20 20 2 Después del 8 en la posición de los “décimos”, y de los centésimos en adelante, el 3 se repite indefinidamente en el cociente. En muchos libros se simboliza este período de cifras decimales con una barra superior a ese grupo. Nótese que en este caso la división no termina en sentido estricto, sino que hemos decidido darla por “terminada”, puesto que el resto es una cola interminable de números “3”. El caso más elaborado para la división con decimales es cuando existen decimales tanto en el dividendo, como en el divisor. En este caso, lo que usualmente se hace es “eliminar” las posiciones decimales del divisor, recorriendo el punto totalmente a la derecha, de tal manera que parezca un entero, y lo mismo se hace con el dividendo, recorriéndose tantos lugares decimales, como aquellos que fueron necesarios para que “parezca” entero el divisor. Esto se hace así, porque la división con enteros ya la conocemos; convirtiendo al divisor en un entero, hacemos que la búsqueda de factores (para el cociente) y minuendos (dentro de la cola de residuos) sea más sencilla en el proceso de división. Si no hubiese cifras decimales en el dividendo, se agregan ceros a la derecha del mismo y se recorre el punto decimal hasta el último cero (tantos como decimales se hubieran tenido que recorrer para el divisor). Ejemplo 259 2.5 30 = 12 25 300. 50 0 Aquí la división es exacta. Justificando la afirmación acerca de que en este tipo de división se recorre el punto decimal del divisor para que “parezca” entero, obsérvese que 1 5 2.5 = 2 = ∴ 2 2 30 5 60 ÷ = = 12 1 2 5 En donde hemos “agregado” un uno debajo del 30 para indicar que son enteros.

Ejemplo 260 3.45 23.7015 = 6.87 345 2370.15 3001 2415 0 Ejercicios Obténgase el cociente de las siguientes divisiones. Obsérvese que la división en donde el dividendo y el divisor tengan signos contrarios, dará un cociente negativo, y que la división con signos iguales en dividendo y divisor, dará un cociente positivo.

261 : 4735.4 ÷ 65.37 262 : -2726.16 ÷ -61.07 263 : 3396.1 ÷ -76.8 264 : 3858.14 ÷ -57.93 265 : -516.499 ÷ 7.32 266 : -614.233 ÷ 15.17 267 : -3931.29 ÷ 39.94 268 : -2765.53 ÷ -89.79 269 : -120.84 ÷ 1.52 270 : -440.856 ÷ -56.52 Respuestas: 261 : 72.44 262 : 44.64 263 : -44.22 264 : -66.6 265 : -70.56 266 : -40.49 267 : -98.43 268 : 30.8 269 : -79.5 270 : 7.8 2.8 Comparando decimales Para saber cuál de dos decimales de signo positivo es más grande, se agrega tantos ceros como sean necesarios a la derecha del decimal con menos cifras, y luego se recorre el punto decimal hacia la derecha, de tal manera que uno pueda comparar las cifras como enteros de la misma longitud: Ejemplo 271: Comparar 0.819 y 0.12 0.12 → 0.120 → 120 0.819 → 819 819 > 120

Si los decimales tienen signo contrario, entonces el decimal con signo positivo siempre será mayor al negativo. En términos financieros es claro que una empresa con capital (signo positivo) siempre tiene más que una empresa con deudas o en números rojos (signo negativo). En cambio, si los decimales son negativos, entonces la situación cambia. Lo primero que tenemos que hacer para poder comparar dos decimales negativos es “ignorar” momentáneamente el signo y repetir las operaciones del caso en que los dos decimales son positivos. La diferencia es que una vez que sabemos cuál es el decimal con mayor valor (absoluto), si bien indica que se tiene más deuda, en realidad es más pequeño que el decimal con menor valor (absoluto), por lo que se mencionó anteriormente. Ejemplo 272 Comparar -0.05 y -0.2 −0.05 → 0.05 → 5 −0.2 → 0.20 → 20 Puesto que 20 es mayor que 5 (en valor absoluto), y dado que ambos números son negativos, concluimos que -0.05 mayor que -0.2 En la mayoría de los lenguajes modernos de programación se pueden usar directamente los símbolos “>” (mayor que) y “) y “.LT” (=”,”, =, 0 ∴

Donar [ Techo[Cantidad ] − Cantidad ] Como “Cantidad” siempre será mayor a cero y la función “Techo” siempre entrega un número mayor que la cantidad, entonces la diferencia (si es que hay centavos) serán los centavos que falten para llegar al “Techo” y esos son los centavos que se donarían. Además, existe el redondeo sin sesgo estadístico: este consiste en que uno redondea de tal manera que números menores a “5” se redondean hacia abajo y números mayores a “5”, o que sea 5 pero seguido de cifras que no sean cero, se redondean hacia arriba. Cuando la cifra es exactamente “5”, entonces se redondea buscando el menor número par más próximo. Ejemplo 331 Redondear sin sesgo estadístico 388.500001 = 389 388.5 = 388 389.3 = 389

El redondeo estadístico lo podemos usar para truncar decimales hasta una cierta posición decimal: 1.777778 Nótese que aunque el “7” es periódico (se repite hasta el infinito), en el sexto lugar decimal hemos decidido redondear todos los decimales de la séptima posición hacia arriba con el número “8”. Es importante notar que para el sesgo estadístico no se escogió que el cinco se redondeara “de tal manera que el resultado fuera impar”, puesto que si este fuera el caso, entonces no sería posible redondear hacia cero y siempre obtendríamos 1 o -1 para muchos decimales cercanos a cero y menores que uno (en valor absoluto). Es curioso que esto nos diga (indirectamente) que el cero, bajo la definición de redondeo estadístico de tal manera que el caso “5” se vaya al siguiente número par más cercano, ¡Pertenece a los números pares! Ejemplo 332: Supongamos que queremos convertir dólares a pesos mexicanos. Entonces lo primero que tenemos que saber es la cotización del dólar. Vamos a la Red Mundial de Computadoras (WWW, por sus siglas en inglés), y consultamos la página del convertidor universal de los laboratorios Xenon (http://www.xe.com/ucc/), en donde nos encontramos que el factor de conversión no se termina en los centésimos, como a lo mejor nos podríamos imaginar, sino que se expresa con más cifras. 1 USD = 10.8946 Entonces, convirtiendo 10 dólares a pesos mexicanos: 10 ×10.8946 = 108.946 ¡PERO! Nosotros solo podemos pagar hasta centavos (no hay “mileavos”), luego hay que realizar un redondeo en este caso: 10 ×10.8946 = 108.95 Por supuesto que en las ventanillas de las casas de cambio, aunque estén enteradas del tipo de cambio para transacciones internacionales, la persona que compra o vende unos pocos dólares lo va a hacer a una tasa de cambio que le convenga al dueño de la casa de cambio. Entonces en este caso es posible que venda el dólar a 11 pesos, y no a 10.8946. También esta claro que en donde la conversión se vuelve más exacta, es cuando hay transacciones de 10000 dólares hacia arriba (suponiendo que el tipo de cambio use solo cuatro cifras decimales, como en este caso). Si quisiéramos convertir pesos mexicanos a dólares entonces tendríamos que multiplicar a la cantidad en pesos por el inverso del factor para dólares hacia pesos. Ejemplo 333: Convertir 100 pesos a dólares 1 USD = 10.8946 pesos ∴ 1 = 0.0917885 10.8946 ∴100 pesos × 0.0917885 ≈ 9.18USD 1 peso =

Sin embargo, el mismo sitio de la Xenon marca que el factor de conversión inverso es

0.0917889; si obtenemos el inverso de este número, obtenemos 1 = 10.894563504 ≈ 10.8946 0.0917889 Esto significa que las cantidades que obtengamos ¡dependen de la dirección del cálculo! Evitar esta situación es posible siempre y cuando haya acuerdos mutuos sobre las tasas de cambio. Ejercicios El tipo de cambio (factor de conversión) se muestra entre paréntesis. Además, cuando se habla de dólares entiéndase dólares americanos (USD) y en el caso de las libras, éstas son esterlinas (GBP). Para todo este grupo de ejercicios use redondeo sin sesgo estadístico, de tal manera que queden solo dos decimales. Convierta 334 : 90.55 335 : 5.92 336 : 9.93 337 : 26.82 338 : 68.47

Dólares en Pesos ( 10.8946 ) Euros en Dólares ( 1.41374 ) Libras en Dólares ( 2.0418 ) Libras en Pesos ( 22.135 ) Euros en Pesos ( 15.3241 )

Respuestas 334 : 986.51 335 : 8.37 336 : 20.27 337 : 593.66 338 : 1049.24 Obtenga el inverso de los tipos de cambio enlistados en el primer grupo de ejercicios, excepto el correspondiente al de dólares a pesos Respuestas (el último decimal puede variar, dependiendo de la precisión que se maneje)

339 : 0.707344 340 : 0.489764 341 : 0.0451773 342 : 0.0652567 Con los tipos de cambio inversos obtenidos en los ejercicios anteriores y el ejemplo de conversión de pesos a dólares, y usando redondeo estadístico para que quede en dos decimales, convierta 343 : 10.83 Pesos en Dólares 344 : 14.75 Dólares en Euros 345 : 44.58 Dólares en Libras 346 : 64.13 Pesos en Libras 347 : 4.11 Pesos en Euros

Respuestas: 343 : 0.99 344 : 10.43 345 : 21.83 346 : 2.9 347 : 0.27

Ejercicios 348-357 Retome los ejercicios 334-338 y 343 a 347, use la definición de “Techo” y “Suelo” para el truncamiento de decimales. Compare sus resultados. Respuestas: 348 : Suelo= 986 Techo= 987 349 : Suelo= 8 Techo= 9 350 : Suelo= 20 Techo= 21 351 : Suelo= 593 Techo= 594 352 : Suelo= 1049 Techo= 1050 353 : Suelo= 0 Techo= 1 354 : Suelo= 10 Techo= 11 355 : Suelo= 21 Techo= 22 356 : Suelo= 2 Techo= 3 357 : Suelo= 0 Techo= 1 Ejercicio 358 Use la función suelo para definir un sistema de donación por redondeo. Pista: use el ejemplo 330. Respuesta Si ( Cantidad -Suelo[Cantidad ]) > 0 ∴ 358: Donar [ Cantidad -Suelo[Cantidad ]] 2.12Porcentajes y cambiando porcentajes a decimales De todos los temas de matemáticas financieras, posiblemente el relacionado con los porcentajes es el que se encuentra por todos lados. Se le ve en los periódicos y revistas sobre finanzas, se le escucha en la radio, lo mencionan en la televisión y se maneja cotidianamente en los bancos y comercios. La palabra “porcentaje” se puede descomponer etimológicamente para interpretarse como “por ciento”, es decir, el porcentaje es la proporción de una cantidad en otra, relativa al 100. En otras palabras, el porcentaje se puede entender como la fracción porcentual de una cantidad respecto de otra. El porcentaje se define como # % = ( x ÷ total ) ×100 Ejemplo 359 Supongamos que una clienta decide retirar la cantidad de 2458 de su cuenta de ahorros. Si originalmente tenía en su haber 7897, ¿qué porcentaje de sus ahorros ha retirado? Respuesta: ( 2458 ÷ 7897 ) ×100 = 31.13% Nótese que hemos decidido redondear los decimales, incluyendo únicamente hasta centésimos, siguiendo la regla de redondeo con el menor sesgo estadístico. Si hubiéramos dividido el “total” entre la cantidad “x”, esta última una fracción del total, entonces obtendríamos el porcentaje en que el total es mayor respecto de “x”. Ejemplo 360

( 7897 ÷ 2458 ) ×100 = 321.28% Nótese que si “x” y “total fueran iguales, entonces el resultado sería “100%” (la unidad en términos de porcentaje); entonces, la advertencia que esto nos deja es que al decir que una cantidad es “un tanto por ciento mayor que otra”, nos fuerza a ser claros exactamente qué es lo queremos decir: En el ejemplo anterior lo que vimos es que una cantidad tiene un tamaño más de tres veces mayor, sin embargo, debería de ser claro que una vez que la clienta ha retirado 2458, lo que nos queda es  7897 − 2458    × 100 = 5439 = 68.87% 7897   Y obsérvese que este porcentaje también se pudo haber obtenido realizado la operación 100% − 31.13% = 68.87% PERO, hay que tener cuidado en el uso que le damos a esta forma de obtener los porcentajes, porque, supongamos que obtenemos de esta manera el 68.87% y se nos ocurre calcular cuánto le resta a la persona en su haber: 7897 × 68.87% = 5438.6639 100 Si decidimos redondear hasta la segunda cifra decimal, entonces nos quedaría que la clienta tiene 5438.66 y no 5439. Por supuesto que si redondeáramos a enteros de acuerdo a la regla de no sesgo estadístico, entonces sí obtendríamos los 5439, pero entonces aquí tendríamos incertidumbre, ya que no esta claro a priori hasta dónde debemos de redondear. Los porcentajes pueden ser algo dado, como es el caso de las tasas de interés, los descuentos en las tiendas y el porcentaje de impuesto sobre la renta; es decir, en todos estos casos los porcentajes son un número fijo, independientemente de la cantidad concreta a la cual se lo estemos aplicando. Para poder realizar operaciones con estos porcentajes, con frecuencia es conveniente convertir los porcentajes a decimales, y de hecho si alguna calculadora o sistema de cálculo tiene la función de porcentaje, internamente eso es lo que debería de hacer. Lo único que se debe de hacer es dividir el porcentaje entre cien. El procedimiento se expresa con la fórmula #% = fracción decimal 100 Ejemplo 361 En una tienda se anuncia que “toda su mercancía rebajada con un 25% de descuento”, Suponiendo que tenemos una prenda de ropa que cuesta 2807, ¿de cuánto es el descuento concreto para esta prenda, y a cuánto asciende la cantidad neta a pagar? Respuesta: el descuento es de 25% ÷ 100 = 0.25 2807 × 0.25 = 701.75 Y la cantidad neta a pagar asciende a 2807 − 701.75 = 2105.25 Como lo que nos interesa es únicamente la cantidad a pagar, entonces nosotros hubiéramos podido calcular

100% − 25% = 75%; 75 = 0.75 ∴ 100 2807 × 0.75 = 2105.25 Nótese que en este caso no hubo conflicto de “redondeo”, como se había advertido líneas más arriba. En caso de duda, uno como cliente debe suponer que la tienda siempre tenderá a redondear “hacia arriba”. Por ejemplo, si uno pagara en efectivo, entonces es posible que la tienda cobre 2106, y no 2105. Al pagar con tarjeta de crédito o débito (o incluso con cheque, ya que en él es posible escribir centavos), el redondeo es menos conflictivo, ya que en todo caso afecta a la segunda cifra decimal (los centavos). Ejercicios: En una tienda tienen diversos descuentos. Cambie apropiadamente los porcentajes a decimales, para poder aplicar los descuentos a los precios especificados y obtenga la cantidad descontada. Use redondeo sin sesgo estadístico, conservando dos decimales y finalmente obtenga la cantidad neta a pagar. 362 : 25 % de $ 7541.4 363 : 30 % de $ 934.45 364 : 45 % de $ 307.5 365 : 18 % de $ 919.05 366 : 20 % de $ 529.44 Respuestas: 362 : % en decimales= 363 : % en decimales= 364 : % en decimales= 365 : % en decimales= 366 : % en decimales=

0.25 , Descuento= $ 1885.35 , Neto a pagar= $ 5656.05 0.3 , Descuento= $ 280.335 , Neto a pagar= $ 654.115 0.45 , Descuento= $ 138.375 , Neto a pagar= $ 169.125 0.18 , Descuento= $ 165.429 , Neto a pagar= $ 753.621 0.2 , Descuento= $ 105.888 , Neto a pagar= $ 423.552

2. 13 Cambiando decimales a porcentajes A veces sabemos la fracción en decimales que una cantidad representa respecto de otra. Si la segunda cantidad es mayor que la primera, entonces siempre obtendremos una expresión en decimales, la cual se puede representar como un porcentaje simplemente multiplicando por 100. Ejemplo 367: En una tarjeta de crédito debo $34,505.00. En la fecha de corte pagué $26,234.00. ¿Cuál es la fracción decimal que he pagado, y cuál es el porcentaje? Respuesta: 26234 ÷ 34505 = 0.760296; 0.760296 × 100 ≈ 76.03% Ejercicios En una serie de operaciones bancarias se obtuvieron las siguientes fracciones decimales; transfórmelas en porcentajes, redondeando hasta el segundo lugar decimal. 368 : 0.0131179

369 : 370 : 371 : 372 :

0.740428 0.895394 0.946813 0.602168

Respuestas 368 : 369 : 370 : 371 : 372 :

1.31 % 74.0 % 89.5 % 94.7 % 60.2 %

2.14 Cambiando porcentajes a fracciones Hemos visto que los porcentajes son otra forma de decir “la fracción porcentual de…”. Así mismo vimos en temas anteriores que los porcentajes pueden ser cambiados a decimales, y los decimales a porcentajes. De todos estos razonamientos a darnos cuenta que podemos cambiar los decimales en fracciones racionales, hay solo un paso. El procedimiento es idéntico al que vimos anteriormente sobre transformar decimales en fracciones comunes. La diferencia es que estos decimales tienen un significado porcentual. Ejemplo 373: ¿Cuál es la fracción común correspondiente al 25%? Respuesta: Lo primero que se debe hacer es cambia el porcentaje a una fracción decimal, o bien a una fracción porcentual. En este caso lo más sencillo es expresar el porcentaje relativo a “100”, lo que nos arroja directamente una fracción común: 25 25% = 100 Podemos simplificar la fracción anterior 25 25 1 = = 100 25 × 4 4 La fracción ¼ es equivalente al 25% y viceversa, es decir, ambas expresiones son equivalentes. Si tuviésemos el porcentaje como una fracción decimal, entonces lo primero sería racionalizarla y simplificarla, tal y como vimos en el tema “Cambiando Decimales a fracciones”. Ejemplo 374: ¿Cuál es la fracción común correspondiente a 0.333 ? Respuesta: como 0.333… tiene a “3” repitiéndose infinitamente, y este se repite desde la primer posición decimal, simplemente podemos expresarlo como

3 3 1 = = ∴ 9 3 ×3 3 1 0.3⋯ ≡ 3 Lo que quiere decir que la expresión decimal 0.333 es equivalente a 1/3. 0.3⋯ =

Por cierto que cuando tenemos una cantidad infinita de decimales, como en este caso, el comportamiento numérico puede ser bastante curioso: 0.333 + 0.333 + 0.333 = 0.9999 = 1 1 1 + + =1 3 3 3 ∴ 0.9999 ≡ 1 Obsérvese que el último resultado es una identidad, no una aproximación. Incluso aunque 0.9999 lo siguiéramos considerando como una aproximación, al momento de redondear (sin sesgo estadístico) desde la última cifra considerada, automáticamente obtendríamos “1”. Ejercicios: Obténgase la fracción común de los siguientes porcentajes. Simplifique de ser necesario. 375 : 30 % 376 : 41 % 377 : 52 % 378 : 75 % 379 : 55 % Respuestas: 375 : 3/10 376 : 41/100 377 : 13/25 378 : 3/4 379 : 11/20 ¿Cuál es la fracción común de los siguientes decimales? 380 : 0.0769231 381 : 0.0666667 382 : 0.0588235 383 : 0.0526316 384 : 0.047619 Respuestas: 380 : 1/13 381 : 1/15 382 : 1/17 383 : 1/19 384 : 1/21 2.15 Porcentaje en serie

El porcentaje en serie, dicho en términos muy sencillos, es “el porcentaje del porcentaje”. Ejemplo 390: Con frecuencia nos hemos encontrado en tiendas departamentales en donde para algún departamento ofrecen, digamos el 40% de descuento. Pero además, para un artículo específico se ofrece el 20%. Diga si el siguiente razonamiento es verdadero: el porcentaje total de descuento es del 60%. Suponga que el artículo en cuestión cuesta $500 originalmente. Respuesta. Primero obtenemos el 40% de $500: 40 4 2 40% = = = 10 0 10 5 2 1000 500 × = = 200 5 5 500 − 200 = 300 Luego obtenemos el 20% de $300: 20 1 20% = = 100 5 1 300 × = 60 5 300 − 60 = 240 Luego, el 20% del 40% de 500 es 240.

En cambio, si calculásemos directamente el supuesto “60%” que creemos debería aplicarse: 60 3 60% = = 100 5 3 1500 500 × = = 300 5 5 500 − 300 = 200 ∴ 240 ≠ 200 Entonces la afirmación “40%+20% = 60%” es falsa. La forma correcta de calcular la cantidad neta a pagar, para un porcentaje en serie con dos términos sucesivos es   x%  x% y %    + ⋅ 1 −     × 100 (a1)  100  100 100    El porcentaje real de descuento es simplemente   x%  x % y %    + ⋅     ×100 (a2)  100  100 100    Ejemplo 391:

Retomando los datos del problema anterior, usamos la fórmula (a1) del porcentaje en serie para obtener la cantidad neta a pagar y (a2) para obtener el porcentaje real de descuento.   40%  40% 20%    + ⋅ 1 −    =   100  100 100   

1 −  0.4 + ( 0.4 × 0.2 )  = 1 −  0.4 + ( 0.08 )  = 1 − 0.48 = = 0.52; 0.52 × 100 = 52% O también:   40%  40% 20%    + ⋅ 1 −     × 100 =   100  100 100   

  8 00 × 100 100 −  40 +   100 × 100 

  =  

100 −  40 + ( 8 )  = 100 − 48 = = 52% Y la cantidad neta a pagar es 500 − 500 × 0.52 = 240 Tal y como se obtuvo en el primer ejemplo. El porcentaje real de descuento es el 48%, como se puede apreciar antes de hacer la sustracción de donde se obtuvo el 52%. Otra forma de expresar la fórmula (a1) es simplificándola   x%  x% y %    + ⋅ 1 −     × 100 = 100 100 100     

1 x% ⋅ y %   1 100 −  ⋅ x% + ⋅ × 100 = 100 100  100 (b)

x% ⋅ y %   ⋅  x% + = 100    y%  100 − x% 1 +  100  En donde x% es el primer porcentaje de descuento aplicado, y y% es el segundo porcentaje de descuento.

100 −

100 100

En general, podemos darnos cuenta que el porcentaje en serie (acumulado) es una suma de factores del tipo

x1 %  x1 % x2 %   x1 % x2 % x3 %  + ⋅ ⋅ ⋅ +  +⋯ + 100  100 100   100 100 100  x % x % x% x % x % +  1 i 2 i 3 i⋯i n −1 i n  = 100 100   100 100 100 n  n x % j ∏  ∑ i =1  j =1 100 i

(c)

Π ” es la función para multiplicación indexada y “ Σ ” es la función para adición indexada, es decir, “ Π ” nos indica “multiplíquense todos los factores

En donde “

ordenados desde un cierto principio (en este caso j=1) hasta un cierto fin (en este caso

Σ

n), y “ ” quiere decir “calcúlese la adición de todos los sumandos desde un cierto principio (en este caso i =1) hasta un cierto fin (que en este caso tiene que coincidir con el anterior, es decir, el fin también es n) . En este caso se podría primero obtener cada producto, y luego se sumaría cada término. Obviamente la fórmula (c) sería muy raro que se tuviera que usar en la práctica y se menciona con fines de completitud. Obsérvese que puesto que la adición de sumandos del mismo signo y la multiplicación son conmutativas, es lo mismo obtener el “x%” del “y%” que al revés Ejemplo 392 Retomando los datos del primer ejemplo, pero ahora primero vamos a descontar el 20%, y luego el 40% (recuérdese que el precio original es $500.00) 20 500 500 − 500 × = 500 − = 400; 100 5 160 40 800 400 − 400 × = = 400 − 5 800 = 100 5 30

00 400 − 160 = 240 Que es exactamente la misma cantidad que habíamos obtenido originalmente Ejercicios: Obténgase el porcentaje efectivo de descuento, y la cantidad neta a pagar, usando los siguientes porcentajes sucesivos y aplicados a los precios indicados: 393 : El 5 % con el 30 % de $ 7541.4 394 : El 10 % con el 40 % de $ 934.45 395 : El 15 % con el 50 % de $ 307.5 396 : El 20 % con el 60 % de $ 919.05 397 : El 25 % con el 70 % de $ 529.44 Respuestas 393 : Descuento Real= 394 : Descuento Real= 395 : Descuento Real= 396 : Descuento Real=

31.5 %; neto a pagar= $ 5165.86 44. %; neto a pagar= $ 523.292 57.5 %; neto a pagar= $ 130.688 72. %; neto a pagar= $ 257.334

397 : Descuento Real= 87.5 %; neto a pagar= $ 66.18 2.16 Razones y variación proporcional Variación directamente proporcional: Se dice que una cantidad varía con una relación directamente proporcional, cuando el aumento (o disminución) de la variable independiente causa un incremento en la variable independiente o función. Algebraicamente esto lo podemos expresar como y = k⋅x o y ( x) = k ⋅ x o f ( x) = k ⋅ x En donde la “k” es una constante de proporcionalidad, es decir, es un simple número cuya función es ajustar los valores usados de “x” para que los valores de la función queden en la misma “escala” o el mismo tipo de unidades. En caso de desconocer la constante de proporcionalidad, pero si tenemos a la mano datos de “x” y “y(x)” entonces podemos resolver para “k”: y k= x

Nótese que la relación directamente proporcional puede ser interpretada geométricamente también, ya que dicha fórmula es otra forma de expresar la ecuación de la recta en la forma pendiente-intercepto, con la única diferencia que el intercepto es igual a cero, pero esto no importa, ya que toda recta se puede trasladar para que coincida con el cero sumándole el recíproco aritmético del intercepto. Esto se menciona de pasada, ya que si tenemos varias relaciones lineales de este tipo, entonces en principio podemos utilizar los métodos del álgebra lineal.

Ejemplo 398: Sabemos que una persona que consume más electricidad tiene que pagar más. En este caso la variable independiente es la cantidad de electricidad consumida (expresada en Kilowatts-Hora), la función o variable independientes es por supuesto la cantidad a pagar, mientras que la constante de proporcionalidad “k” en este caso concreto, es la cantidad a pagar por cada Kilowatt-Hora, es decir, la “k” nos permite transformar la cantidad consumida en cantidad a pagar: y = y ( x) = f ( x) = cantidad a pagar x = electricidad consumida k = precio del Kilowatt-Hora Digamos que el precio del Kilowatt-Hora se encuentra a $8, y que se consumieron 20 Kilowatts-hora en un mes. Luego la cantidad a pagar será: k =8 x = 20 ∴ y ( x) = 8 × 20 ∴= $160.00

Nótese que incluso en el caso de que la variable independiente variase negativamente, si la función le sigue proporcionadamente en lo negativo, de todos modos la variación sigue siendo directamente proporcional. En el ejemplo anterior pudimos haber usado signo negativo para la constante de proporcionalidad, de tal manera que la cantidad a pagar apareciese negativamente, es decir, directamente interpretable como una deuda. Variación inversamente proporcional: Cuando el aumento (o disminución) de la variable independiente causa el efecto contrario, es decir, la disminución (respectivamente, el aumento) de la función, entonces decimos que la variación es inversamente proporcional. Algebraicamente lo podemos expresar como 1 y =k⋅ x o y ( x) = k ⋅

1 x

o f ( x) = k ⋅

1 x

Ejemplo 399: Suponiendo que en la construcción de una casa se emplean 10 albañiles para terminarla en 6 meses, empleando el doble de albañiles (20) debería acelerar el trabajo, es decir, reducir el tiempo a la mitad (3 meses), por lo que x = número de albañiles

y = tiempo de terminación de la casa k = cantidad de tiempo por # de albañiles empleados x1 = 10;x2 = 20 y1 = 6 meses;y2 = 3 meses 1 x ∴ k = y ( x) ⋅ x = 6 ×10 = 60 y ( x) = k

k = 3 × 20 = 60 Variación mixta: Existen muchas relaciones en donde la función no depende de una sola variable independiente, sino de dos o más. Puede ser el caso que con algunas de las variables independientes la relación sea directa, mientras que con otras la relación sea inversa, y la constante de proporcionalidad sea mucho más compleja de definir. Algebraicamente podemos representar una relación mixta de dos variables independientes con su función como n y ( x) = k x Ejemplo 400:

El pago mensual de una tarjeta de crédito esta en relación directa a la tasa de intereses moratorios (intereses sobre adeudos en la tarjeta no cubiertos oportunamente) e inversamente proporcional al monto de los pagos que se le haga antes de la fecha de pago estipulada por el banco. Nótese que en todas las posibles variaciones, ya sea directa, inversa o mixta, la o las variables independientes no necesariamente tienen que ser tan simples como se expusieron, sino que a su vez pueden ser funciones de otro tercer grupo de variables. Además, las relaciones también pueden ser exponenciales y logarítmicas, pero estas se verán en los siguientes subtemas. Ejercicios Diga si las siguientes relaciones admiten una proporcionalidad directa, inversa o mixta. 401: Pago de comisiones sobre ventas y cantidad de ventas 402: Calidad de un trabajo y velocidad con que se hace 403: tasa de Inflación y costo de los artículos [Microeconomía] 404: Tasa de devaluación y valor de la moneda [Macroeconomía] 405: Pago total de nómina y número de trabajadores adscritos a la nómina 406: relación entre salario anual y salario por día 407: Número de deducciones de nómina y cantidad neta percibida por trabajador 408: Valor de una acción y ganancia de venta de la misma 409: valor de una acción y facilidad de compra de la misma 410: Cantidad de bonos comprados y ganancia al venderlos. 411: Resultado total de una hoja de balance y el monto de deudas y de haberes. Respuestas: 401: directa en dos variables (% de comisión y cantidad de ventas) 402: inversa 403: directa 404: inversa 405: directa 406: directa 407: inversa 408: directa 409: inversa 410: directa 411: mixta Ejercicios 412-414 Elabore la relación algebraica de los siguientes planteamientos, y resuelva lo que se pregunta (pista: la formulación algebraica se puede deducir de las respuestas para los ejercicios 401, 405 y 406) 412: Un vendedor recibe el 5% de comisión por cada auto vendido; ha vendido 20 autos en este mes, los cuales tienen un valor promedio de $100,000. Diga cuánto ha ganado el vendedor. (Pista: transforme el porcentaje en una expresión decimal o fracción vulgar). 413: En una nómina están adscritos 300 trabajadores, a los cuales se les paga en promedio $12,000 mensuales. ¿Cuánto se paga mensualmente en total? 414: Una persona gana $2000 diarios. Si hay 200 días laborables al año, ¿cuánto gana anualmente?

Respuestas: 412: y ( x, z ) = 0.05 xz x = $100, 000 z = 20 ∴ y ( x, z ) = $100, 000 413: y ( x) = 12000 x x = 300 ∴ y ( x) = $3, 600, 000.00 414: y ( x) = 2000 x x = 200 ∴ y ( x) = $400, 000.00

2.17 Exponentes Introducción: Recordemos que un monomio algebraico se puede expresar como

± ax p Es decir, tiene signo, que puede ser negativo o positivo; “a” es el coeficiente del monomio (una constante que multiplica a la variable); “x” es la variable que se esta considerando, pero que aquí también le vamos a llamar base de la potencia; finalmente “p” es la potencia a la cual se eleva la base, que es sinónimo de exponente. Luego todas las leyes de los exponentes que se conocieron en álgebra elemental aplican aquí también, y de las cuales se ofrecen un breve resumen. De momento no se va a discutir el papel que juegan los coeficientes, prorrogando su explicación hasta el tema de los logaritmos, y de hecho, todo el tema de potenciación es de alguna manera el preámbulo para el tema de logaritmos. Relación de la potenciación con la multiplicación: La potenciación se puede interpretar como una multiplicación abreviada, ya que el número de veces que se use la base como factor, es la potencia o exponente que se habrá de usar: Ejemplo 415: 2 × 2 = 22 = 4 2 × 2 × 2 = 23 = 8 Obsérvese que la potenciación tiene también una interpretación geométrica, en donde los números al cuadrado se pueden interpretar como áreas y los números al cubo, como volúmenes. Potencias fraccionarias suelen interpretarse en geometría como fractales, y potencias superiores (pero enteras) como hipervolúmenes de algún hiperespacio, pero esta fuera del alcance de este libro discutir cualquiera de ellas, aunque pueden ser parte de algún modelo matemático en [economía].

Adición y sustracción de potencias: Si se multiplican dos monomios con la misma base, entonces las potencias se suman: Ejemplo 416: 2 2 ⋅ 23 = 2 2 + 3 = 25 ∵

22 = 2 × 2 23 = 2 × 2 × 2 ∴ 2 2 ⋅ 23 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 Si se dividen dos monomios de la misma base, entonces las potencias se sustraen, en donde el minuendo es la potencia del numerador (o dividendo) y el sustraendo es la potencia del denominador (o divisor). Ejemplo 417 55 52 55 = 2 = 55− 2 = 53 ∵ 5 4 5 5× 5× 5× 5× 5 = 5 × 5 × 5 = 53 = 2 5 5× 5 Si el exponente del numerador fuera más pequeño que el del denominador, entonces obtendríamos una potencia negativa, la cual es un número fraccionario más pequeño que uno, pero mayor que cero. Ejemplo 418: 52 1 1 = 52 − 4 = 5−2 = 2 = = 0.04 4 5 5 25 Potencia cero Si fuera el caso de que tuviésemos la misma potencia tanto en el numerador, como en el denominador, entonces la sustracción nos daría una potencia cero, pero puesto que todo número dividido entre sí mismo nos da como cociente “1”, entonces podemos definir a la potencia cero de cualquier número como igual a “1”. Ejemplo 419: 73 = 7 3−3 = 7 0 3 7 pero 73 = 1∴ 7 0 = 1 3 7 (por definición) Potencias racionales Una potencia que se expresa como un quebrado o un decimal, se puede considerar como la raíz (en alguna potencia) de la base. El quebrado puede indicar una exponenciación

mixta, es decir, puede indicar la raíz (en alguna potencia) de otra potencia (entera) de la base. Ejemplo 420: 12 2/3 = (122 )

1/3

= 3 122

La potenciación como abreviatura La potenciación nos puede ayudar a expresar cantidades muy grandes en forma abreviada Ejemplo 421: 10 = 101 100 = 10 2 ∵100 = 10 × 10 1000 = 103 10, 000 = 104 100, 000 = 105 1, 000, 000 = 106 = 1 millón 107 = 10millones 108 = 100millones 109 = mil millones 1000, 000, 000, 000 = 1012 = 1 billón Nótese que el billón que aquí consideramos es el estándar fuera del mundo anglosajón, no el norteamericano, que para nosotros equivaldría a tan solo mil millones. Entonces, cuando leemos el periódico “El Financiero”, que es mexicano, “billón” es un millón de millones o 1012 , mientras que al leer “Bussiness Week”, que es estadounidense, “billón” es 109 , ¡Una cantidad mil veces más pequeña! Con respecto de las abreviaturas científicas, nuestro billón es un “tera”, mientras que el billón anglosajón es un “giga”. Podemos considerar a estas potencias como parte de algún monomio, el cual puede ser multiplicado por un coeficiente. De esta manera podemos indicar cuántas veces se multiplica esa potencia Ejemplo 422: 4 × 106 = 4millones Lógicamente que si el coeficiente fuese igual a diez, o incluso, si se pudiese redondear a diez, entonces se subiría en uno el exponente de la base: 9.999 × 105 ≈ 106 En muchas calculadoras científicas existen modos “científicos” o de “ingeniería”. Depende del modelo de calculadora, pero en general el modo científico transforma cantidades grandes en cantidades potenciadas, multiplicadas por algún coeficiente, mientras que el modo de “ingeniería” fuerza la expresión potenciada con el exponente de tal manera que sea múltiplo (o submúltiplo) de 3.

Ejemplo 423: 123000000 = 1.23 ×108 (científica)

= 123 ×106 (ingeniería) Y obsérvese que “6” es divisible entre “3”. Hemos mostrado potencias de 10, pero no necesariamente estamos obligados a tomar esta base. Es la base más común, que se usa en casi todas las calculadoras y hojas de cálculo, pero dependiendo de la necesidad concreta que tengamos, podemos usar otra base, como lo veremos en el tema de los logaritmos. Ejercicios: Exprese las siguientes cantidades como potencias 424: 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 425:10, 000, 000 426: 458, 000, 000 Respuestas: 424: 39 425: 107 426: 459 × 106 (o bien) 4.59 × 108 Reexprese las siguientes potencias como exponentes y radicales: 427: x 4/5 428: y 6/2 Respuestas: 427: 5 x 4 428: y 3 Resuelva las siguientes multiplicaciones y divisiones 429: x5 ⋅ x 7 y11 430: 13 y Respuestas: 429: x12 430: y −2 =

1 y2

2.18 Logaritmos Introducción

Todo lo que hemos visto de exponentes sirve para poder definir a los logaritmos. Los logaritmos tienen al menos tres usos posibles en matemáticas financieras o en [economía]: 1) simplificar los cálculos 2) ayudar en la manipulación algebraica. 3) Expresión gráfica de la evolución de dos variables que crecen geométricamente. La simplificación de cálculos es porque, como veremos en detalles, los logaritmos transforman multiplicaciones en adiciones, divisiones en sustracciones, potencias en multiplicaciones y raíces en divisiones. Si usamos números concretos, y sobre todo si se están haciendo los cálculos “a mano” entonces los logaritmos facilitan mucho las operaciones. Aunque las calculadoras y computadoras modernas han hecho largamente superfluo este uso (sobre todo porque como veremos, los logaritmos, en general son una aproximación, no necesariamente un número exacto, y en contabilidad se requiere saber cuáles eran los números exactos que acontecieron) se hará breve mención del mismo, por las mismas razones de comprobación numérica-computacional que se han estado explicando a lo largo del libro. La manipulación algebraica consiste en tomar las propiedades algebraicasaritméticas de los logaritmos, con el fin de transformar alguna fórmula algebraica en otra, o para resolver para alguna variable dentro de esta fórmula. Por último, la expresión gráfica de la evolución de dos variables (la independiente y la función de la independiente) se refiere a que puede haber casos en que alguna de las dos variables (o ambas) puede crecer numéricamente en forma geométrica (exponencial). Esto hace que la representación gráfica directa de esta función sea muy difícil (a menos que tengamos un papel o una pantalla enorme), por lo que se recurre a los logaritmos a fin de mostrar las tendencias en términos de potencias, y no de los números originales.

Definición: El logaritmo de un número es la potencia, a la cual se debe elevar la base de los logaritmos, con el fin de obtener el número deseado. Ejemplo 431 Supongamos que estamos en logaritmos base 10 o de “Briggs”, encontrar el logaritmo de 1000: 1000 = 103 ∴ log (103 ) = 3 Si la base de logaritmos fuera 2.718181…(es decir “e”) entonces serían los logaritmos naturales y para este caso ln (1000 ) ≈ 1.97 Sin embargo, aunque se tomen como ejemplo los logaritmos de Briggs, las propiedades de los logaritmos son las mismas para cualquier base. En las calculadoras (en general) “log” indica base 10, y “ln” base “e” o logaritmos naturales. En muchos sistemas algebraicos y hojas de cálculo, uno puede expresar cuál es la base de los logaritmos que se desean utilizar. Simplificación de cálculos aritméticos Podemos ver que la definición de logaritmos nos permite prescindir de la base, para directamente hacer los cálculos con operaciones aritméticas más sencillas. Recuérdese que en la multiplicación de monomios de la misma base implica la suma de los

exponentes y que la división de monomios de la misma base implica la sustracción de sus exponentes. Aplicando la definición de los logaritmos, esto quiere decir que en general nosotros podemos sustituir cualquier multiplicación por sumas de logaritmos y cualquier división por una sustracción de logaritmos. Ejemplo 432 457,896 × 234, 597 = log10 ( 457,896 ) + log10 ( 234,597 ) ≈ 5.661 + 5.37 = 11.031 Nótese que se han redondeado las cifras hasta el segundo lugar decimal, lo que implica que el resultado de la multiplicación es preciso solo hasta éste segundo lugar decimal de los logaritmos. Característica y mantisa La parte entera del logaritmo de un número es la característica (o el orden de magnitud o el exponente principal de la base), mientras que la parte fraccionaria es la mantisa. Ejemplo 433: Retomando el primer factor del ejemplo anterior log10 ( 457,896 ) ≈ 5.661 , en donde el “5” es la característica, mientras que “0.661” es la mantisa. Siguiendo este mismo razonamiento, la potencia de una potencia se puede expresar como una multiplicación de logaritmos Ejemplo 434:

(10 )

3 4

= 4 log10 (103 ) = 4 × 3 = 12

Obsérvese que en general ( x a ) ≠ x a . En el ejemplo anterior, si no hubiésemos usado b

b

paréntesis, las reglas de potencias nos obligarían a primero elevar “3” a la “cuarta”: 103 = 1081 , lo que implicaría un logaritmo de 81, y no de 12. 4

El logaritmo de una raíz es una división. Ejemplo 435: 3

x5 = x5/3 ∴ log x ( x5/3 ) = 5 / 3

Es esta última propiedad la que nos dice que los logaritmos se pueden interpretar como una potencia fraccionaria. Ejemplo 436: En efecto, retomando el ejemplo anterior, pero sustituyendo “x” con “10” y suponiendo que los logaritmos que estamos usando son los de base diez, entonces: log10 (105/3 ) = 5 / 3 Entonces podemos ver que los logaritmos dan un resultado exacto, en primera si se pueden racionalizar, es decir, si se pueden expresar como una fracción común. Pero además, este número racional debe de dar una expresión exacta respecto de la base, de otra manera volverá a ser un número aproximado. Esto nos lleva a los antilogaritmos. Antilogaritmos.

El antilogaritmo consiste en elevar la base a la potencia indicada por el logaritmo, lo cual, en principio nos debería de retornar el número original, pero como hemos visto, puede haber pérdida de información numérica por redondeo. Ejemplo 437: Supongamos que el logaritmo de un “cierto” número nos dio “0.5”, entonces el antilogaritmo es 100.5 = 101/ 2 = 10 ≈ 3.16223 Redondeado hasta el quinto lugar decimal. En este caso la única expresión exacta es dejar 10 sin calcular numéricamente, y, si estuviéramos en un proceso matemático más largo, tal vez más adelante se cancele esta raíz. Manipulaciones algebraicas con ayuda de logaritmos Los logaritmos nos ayudan en la resolución de ecuaciones, o en la expresión de una forma algebraica en otra que se acerque más a nuestros intereses. Ejemplo 438: Sea la ecuación

( x ⋅ y)

= 10 Resolver para “y”: 5

5 ( log b x + log b y ) = log b 10 ∴ log b 10 log b x + log b y = ∴ 5 log b 10 log b y = − log b x ∴ 5 log b 10 logb 10/5 b y = 5 = logb x log b x b

Nótese que se ha mantenido a la base de los logaritmos arbitraría, para ayudar a ver cómo es el caso general, que es el mismo, independientemente de la base de logaritmos que estemos usando. Además, es importante hacer notar que aunque pareciera directo el usar antilogaritmos como una función inversa “directa”, lo cierto es que esto se cumple

principalmente con números reales, pero al entrar al plano complejo los logaritmos se vuelven una función multivariada. Graficación logarítmica y semi-logarítmica. Una gráfica logarítmica (o log-log) es aquella que usa los logaritmos de la variable independiente y la función, en lugar de los valores directos de la variable y su función. Esto puede ser muy conveniente cuando tanto la variable como su función puedan adquirir valores que puedan diferir en varios órdenes de magnitud. Entonces la gráfica logarítmica nos permite ver las relaciones entre los órdenes de magnitud. En el caso de la gráfica semi-logarítmica, es posible que solamente una de las variables, ya sea la dependiente o la independiente, varíen grandemente en sus órdenes de magnitud (variación exponencial), pero la otra variable tal vez cambie solo aritméticamente, lo cual nos invita a usar los logaritmos únicamente para la variable que cambie más rápidamente. Ejemplo 439: [Microeconomía] Supongamos que quisiéramos graficar la cantidad de habitantes de todos los países del mundo, que en promedio tienen un cierto ingreso anual. Esta claro que los grandes empresarios a nivel mundial tendrán un ingreso sustancialmente mayor que muchas otras personas. Entonces la forma más adecuada de hacer esta gráfica es tomando logaritmos tanto del número de personas dentro de un cierto marco de ingresos, y de los ingresos que les correspondan. Si colocásemos al número de personas en cada categoría como la variable independiente (en el eje “x”) y a la variable dependiente (la función y ( x ) ) le asignásemos la cantidad de ingreso anual promedio de ese grupo de personas, entonces la gráfica se vería como la siguiente figura

Ejemplo 439: Gráfica log-log (logarítmica en ambas variables) mostrando el logaritmo del número de personas en una cierta categoría de ingresos anuales, contra el logaritmo del ingreso en esa categoría. La pendiente de la recta es negativa, lo que implica una relación inversamente proporcional, y por lo tanto que una pequeña cantidad de

personas tienen ingresos muy grandes, y viceversa: una gran cantidad de personas tienen ingresos muy pequeños. Ejercicios: Realice las siguientes operaciones usando logaritmos en base 10 y en base “e” (naturales) 440 : 13301.3 × 9274.5 441 : 9274.5 ÷ 29365.4 442 : 84867.8 × 28544.1 443 : 29365.4 ÷ 75813.7 444 : 31581.9 ÷ 20026.1 Respuestas: 440 : (Log_10)= 441 : (Log_10)= 442 : (Log_10)= 443 : (Log_10)= 444 : (Log_10)=

8.09118 ;(Ln)= 18.6306 -0.500545 ;(Ln)= -1.15255 9.38426 ;(Ln)= 21.6081 -0.411912 ;(Ln)= -0.948462 0.197842 ;(Ln)= 0.455548

Despeje la variable “y” de las siguientes expresiones: (use logaritmos base 10) 445 : x3/y = 10 446 : (x^y)(1/4) = 10 447 :

y /x2 = 10

Respuestas: 445 : {{y→x3/10}} 446 : {{y→Log[10000]/Log[x]}} 447 : {{y→100 x4}} 448: Problema Supongamos que una empresa ha crecido muy rápidamente y su número de empleados en cinco años se ve como sigue:  año # empleados    30  1997   1998  300   3000  1999   2000 30000    300000   2001 Elabore su gráfica semilogarítmica 448 Respuesta:

Log_10@Ò empleados D 105

104

1000

100 1998

1999

2000

(El eje de “y” esta en la escala de los exponentes obtenidos con los logaritmos, aunque se representen en potencias de 10)

2001

Año

3 Expresiones algebraicas (repaso) Introducción: En todo este capítulo se da por hecho que el alumno esta familiarizado con los procedimientos de factorización, productos notables, cocientes notables y otros procedimientos de la manipulación algebraica. La idea es entrar lo más directo posible en los puntos que se usan directamente en el uso de las matemáticas financieras. Sin embargo, se recomienda ampliamente repasar por separado aquellos puntos que parezcan oscuros. 3.1 Orden de las operaciones Tanto en las calculadoras, como en las hojas de cálculo y los lenguajes de programación, las operaciones aritméticas y otros símbolos algebraicos de cálculo tienen su orden de prioridad al momento de ser evaluados para dar lugar a un resultado numérico. Los paréntesis En general, la prioridad máxima la tienen los paréntesis, del tipo que sean: ( ) , [ ] ,{ } En muchos libros también se establecen prioridades dentro de los tipos parentéticos. De esta manera, la prioridad más baja la tendrían los paréntesis circulares de la extrema izquierda, seguidos hacia arriba de los cuadrados (los de en medio, también llamados “corchetes”) y la máxima prioridad la tendrían las llaves que también se llaman corchetes. Ejemplo 449

{(12 ÷ 2.5) + ( 5 ÷1.2 ) − ( 5 − 1) × 8} ÷ {(10 − 0.5) + (13 × 0.1) − ( 9 − 0.3) ×11}

Primero se evaluarían todas las operaciones dentro de los paréntesis circulares; una vez que se hubieran agotado estas operaciones, entonces se evaluarían los paréntesis cuadrados y por último se haría la división del contenido de las llaves. NOTA IMPORTANTE: aunque, como se mencionó, en muchos libros, sobre todo los anteriores a la época de las computadoras, se establecen las prioridades parentéticas, cabe aclarar que esta clasificación ha estado cayendo en desuso por varias razones: 1) La gran mayoría de las calculadoras, hojas de cálculo y lenguajes de programación usan únicamente los paréntesis circulares; en caso necesario, se usan paréntesis anidados. Ejemplo 450: la siguiente es una forma típica de escribir una serie de operaciones con ayuda de paréntesis anidados. La prioridad de evaluación va de adentro hacia fuera. ( ( 45.2 − 0.3) ÷ ( 0.5 − 0.1) ) × ( ( 0.58 / 2 ) − (11.1 − 17 ) )

(

)

2) Los paréntesis cuadrados se usan en física y matemáticas como una función en sí misma y en programación pueden ser usados para simbolizar arreglos numéricos o matrices. Ejemplo 451: [ 4.53] = 4 (función "parte entera de" 4.53) x[i, j ] = c (arreglo numérico "x", en cuya posición i, j adquiere el valor "c" para lenguaje C++)

3) Las llaves son usadas en matemáticas para indicar conjuntos numéricos o algebraicos y en programación, o bien no se usan en absoluto, o se usan para englobar o agrupar conjuntos de operaciones que pertenecen a la misma estructura lógica. Por todas las razones anteriores, en este libro se preferirá el uso de los paréntesis circulares.

Las funciones El siguiente orden de prioridad (hacia abajo, después de los paréntesis) la tienen las funciones trascendentales (las trigonométricas como seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante y sus versiones hiperbólicas); logarítmicas (de Briggs y natural), exponenciales y raíces; especiales (las armónicas esféricas, las funciones de Hankel, los polinomios de Hermite, la función “zeta” de Riemann entre otras, que por cierto, no se verán en este libro), lógicas (condicionales simples y múltiples; negaciones) y de teoría de números (módulo, “suelo”, “techo”, entre otras). Ejemplo 452: 7 / log(8) ≈ 7.75 Primero se evalúa el logaritmo de 8 y luego se efectúa la división. Nótese que en muchas calculadoras, y en los lenguajes de programación, las funciones se encontrarán con una abreviatura que alude más bien a la palabra en inglés y no a la forma castellana. Ejemplo 453 Tal es el caso de “seno” en lugar de “sen” encontraremos “sin”, y para activar las funciones hiperbólicas tendremos una tecla “hyp”, aunque no “hip”. También obsérvese que aunque en sentido estricto las funciones logarítmicas y exponenciales también son trascendentes, en muchos libros se reserva este último título para englobar a todas las trigonométricas, teniendo a las exponenciales y logarítmicas aparte por su propio derecho.

Operaciones aritméticas El penúltimo escalón hacia abajo en prioridades la tienen la multiplicación o la división y por último la adición o la sustracción. Suponiendo que hubiese juntas dos operaciones de la misma prioridad (incluyendo las categorías discutidas anteriormente), la evaluación, en prácticamente todos los sistemas, es de izquierda a derecha (incluso en calculadoras programables de los 1970’s y 1980’s con “notación polaca inversa”-“RPN” por sus siglas en inglés-, en las cuales primero de introducían las cantidades y luego los operadores) Ejemplo 454

0.5 × 121 / 45.2 × 23 = 30.7854 Nótese que el resultado es el mismo incluso usando los siguientes arreglos parentéticos: ( 0.5 ×121) / 45.2 × 23 = 30.7854

0.5 × (121/ 45.2 ) × 23 = 30.7854 Obsérvese que si hubiéramos colocado un paréntesis de la siguiente manera

0.5 × 121/ ( 45.2 × 23) Como el paréntesis tiene prioridad por encima de las operaciones aritméticas, se debe evaluar primero el divisor, que en este caso resulta mucho mayor y por lo tanto el resultado es 0.5 × 121/ ( 45.2 × 23) = 0.0581955 Obsérvese, además, que × = ∗; ÷ = / , en donde los operadores a la izquierda del símbolo de igualdad son los más comunes dentro de las hojas de cálculo y los lenguajes de programación, e incluso en algunas calculadoras programables. Hay una ligera “excepción” a estas reglas: suponiendo que hubiese operaciones aritméticas dentro de alguna función, entonces se realizan primero las operaciones dentro de la función y luego a este resultado se aplica la función. La razón es que como se dijo, los paréntesis tienen la prioridad máxima, y en este caso, lo que esté dentro de los “paréntesis” de la función se evalúa primero. Ejemplo 455 La solución de una ecuación cuadrática involucra evaluar una raíz con operaciones aritméticas en su interior, que se evalúan antes de producir una raíz cuadrada:

b 2 − 4ac En este caso, primero se eleva “ b ” a la segunda potencia, luego se efectúa la multiplicación implícita en “ 4ac ”; luego se realiza la sustracción de este producto a b 2 , y por último se evalúa la raíz cuadrada del resultado de la sustracción, suponiendo que ésta sea mayor a cero. Ejemplo 456 Sin[4.12*6.18] Primero se evalúa 4.12 × 6.18=25.4616 Y luego se aplica la función seno a este resultado sin[25.4616] = 0.322963 Nótese que en las hojas de cálculo, lenguajes de programación y algunas calculadoras (o algún modo de éstas) pueden exigir que el argumento de las funciones trigonométricas se exprese en radianes, y no en grados sexagesimales, como se implicó en este ejemplo. Ejercicios Obtenga los resultados de las siguientes operaciones redondeando a tres decimales. Suponga que los logaritmos son en base 10. 457: 152 − 4 × 2 × 3 458: log ( 4 / 2 + 7 × 8 )

459: exp ( 52 ) + 34 / 7.5

460: 1.28 × 121/ 12.7 × 11.05 Sustituya las siguientes estructuras parentéticas por paréntesis circulares anidados y obtenga el resultado correspondiente. Redondee a tres decimales. Pista: al sustituir tipos

de paréntesis, cuente los paréntesis en orden desde afuera hacia dentro, primero los que “abren”, los cuales tienen que coincidir con el número de paréntesis que “cierran”.

{

}

461: ( 2.3 − 4.5 ) / ( 8.9 + 12 )  − ( 90 / 2 ) × ( 5.6 − 3)  / ( 9.01 − 0.02 ) ÷ 7.2 

{

}

462: ( 9.01 − 0.02 ) ÷ 7.2  / ( 2.3 − 4.5 ) / ( 8.9 + 12 )  − ( 90 / 2 ) × ( 5.6 − 3) 

  7.2 463:   / ( 90 / 2 ) × ( 5.6 − 3)  − ( 2.3 − 4.5 ) / ( 8.9 + 12 )   ( 9.01 − 0.02 ) 

{

}

{

}

464: ( 9.01 − 0.02 ) × 7.2  × ( 90 × 2 )( 5.6 ÷ 3)  − ( 2.3 + 4.5 ) / ( 8.9 − 12 ) 

{( 90 × 2 )( 5.6 ÷ 3) − ( 2.3 + 4.5) / (8.9 − 12 )} 466: exp ( ( 9.01 − 0.02 ) × log(7.2) )  / {( 90 × 2 )( 5.6 ÷ 3)  − ( 2.3 + 4.5 ) / ( 8.9 − 12 ) } 465: ( 9.01 − 0.02 ) × log(7.2)  ×

Respuestas 457: 14.177 458: 1.763 10 459: 7.200× 10 460: 134.758 461: -93.7884 462: -0.011 463: 0.007 464: 21890.6 465: 141.74 466: 6.578

3.2 Expresiones algebraicas, fórmulas y ecuaciones Expresiones algebraicas Los movimientos financieros pueden ser abstraídos de su realidad concreta en expresiones algebraicas. Al proceso de abstraer las partes cuantificables de al realidad financiera en una expresión algebraica se le conoce como modelación matemática. Una expresión algebraica es la combinación de símbolos, operadores, funciones, letras y números, con el fin de representar una abstracción del mundo real, que para el caso que nos interesa, algún aspecto concreto de los procesos financieros. Ejemplo 467: La siguiente es una típica expresión algebraica

−b − b 2 − 4ac 2a Fórmulas Una fórmula es una expresión algebraica que tiene como finalidad dar un número específico a partir de datos (variables) conocidas, que se les llama parámetros de la fórmula. Dicho de otra manera, una fórmula es una igualdad sin condiciones, puesto que la idea, en general, es únicamente sustituir los valores conocidos de la fórmula para que nos den el resultado deseado. Ejemplo 468:

La siguiente es una forma de expresar algebraicamente la fórmula del interés simple M = C (1 + i ⋅ n ) Nótese que basta con que se sustituyan los valores de “ C ”, “ i ”, y “ n ” (y por supuesto realizar las operaciones correspondientes) para poder conocer el valor de “ M ”. Puesto que todos los valores del lado derecho se supone que se conocen, y dado que al sustituirlos producen una identidad con el lado izquierdo, es por ello que arriba se enfatizó que una fórmula es una igualdad incondicional.

Ecuaciones Una ecuación es una igualdad condicionada, es decir, es una expresión algebraica en donde, al igual que las fórmulas, tiene parámetros, pero también tiene variables. Entonces el propósito de las ecuaciones es ser generadoras de familias de valores, que en geometría son los lugares geométricos (como la línea recta, la parábola, hipérbola y elipse, cuando hablamos de geometría euclidiana en dos dimensiones), que son los valores que adquiere la variable dependiente. Si a la variable dependiente la igualamos a cero, o la “anclamos” en algún valor real, y si conocemos los valores de los parámetros, entonces en principio la ecuación la podemos convertir en una fórmula, de donde podemos despejar el valor de la variable independiente, que satisface a la ecuación para que arroje el valor fijado de la variable dependiente. Ejemplo 469: La siguiente es una forma de expresar la ecuación de las parábolas y = ax 2 + bx + c En donde a, b, c son los parámetros de la ecuación, “ x ” es la variable independiente y “ y ” es la variable dependiente. Suponiendo que conocemos los valores de los parámetros a=2 b=4

c=0 Obtenemos la ecuación de la parábola y = 2 x2 + 4 x Si lo que nos interesa son los “ceros” de esta ecuación, es decir y = 0 ∴ 2 x 2 + 4 x = 0, entonces la ecuación de esta parábola la podemos resolver a través de la fórmula para obtener las soluciones de las ecuaciones cuadráticas:

−b ± b2 − 4ac 2a En donde los subíndices indican que existen dos soluciones. Sustituyendo los valores de los parámetros en la fórmula de las cuadráticas:

x1,2 =

−4 ± 42 ∴ 2⋅2 x1 = 0, x2 = −2 Ambas soluciones pueden ser encontradas inspeccionando el gráfico 3.1 x1,2 =

10 8 6 4 2

-3

-2

-1

1

2

-2

Figura 3.1: gráfico de la ecuación y = 2 x 2 + 4 x , con soluciones para y = 0 en x = 0 y x = −2 . Ejercicios Diga cuál de las siguientes son fórmulas, expresiones algebraicas o ecuaciones. Si conoce el nombre de la fórmula, expresión o ecuación, diga de cuál se trata. iθ 470: 471: Area = π ⋅ r 2 472: x 2 + y 2 = r 2 473: intereses = M − C 474: 2

e

1

475:

∫ f ( x)dx 0 b

476: ∫ − x 2 dx = Area a

y

477: ∫ − x 2 dx =c a

478:

∑ j

3 479: volumen = π ⋅ r 3 4 fracción 480: % = × 100 total Respuestas: 470: expresión algebraica (vector complejo) 471: fórmula (área de un círculo) 472: ecuación (ecuación de la circunferencia) 473: fórmula (una de las fórmula del interés simple) 474: expresión algebraica (raíz de 2) 475: expresión algebraica (integral acotada de la función de x) 476: fórmula (área bajo una curva) 477: Ecuación (integral acotada, con variable independiente “x”, variable dependiente “y” igualadas a una constante) 478: expresión algebraica (suma de todos los términos indexados con j)

479: fórmula (fórmula del volumen de una esfera) 480: fórmula (fórmula del porcentaje) 3.3 Solución de Ecuaciones Resolver una ecuación es obtener los valores de la incógnita, que una vez sustituido en la expresión original, satisfacen la ecuación.

Solución de ecuaciones por aplicación de fórmulas Ya vimos en el tema anterior que una forma de resolver ecuaciones, cuando conocemos todos sus parámetros y a qué deben ser iguales, es través de fórmulas, como en el caso de las ecuaciones cuadráticas. Ejemplo 481: Supongamos que tenemos la ecuación cuadrática 2x2 + 8x + 3 = 0 Y lo que queremos es obtener las soluciones o “raíces” de esta ecuación. Sabemos que podemos utilizar la fórmula general para la solución de ecuaciones cuadráticas

−b ± b 2 − 4ac 2a En donde los símbolos “+, -“debajo de la “x” indican la solución que obtendríamos usando la solución positiva del radical o la negativa. Puesto que ya tenemos una fórmula, y conocemos todos los valores que la fórmula pide, entonces simplemente sustituimos valores, simplificamos y establecemos la lista de soluciones: a = 2, b = 8, c = 3 ∴ x+ ,− =

−8 ± 82 − 4 ⋅ 2 ⋅ 3 ∴ 2⋅2 −8 ± 64 − 24 −8 ± 40 = = ∴ 2⋅2 2⋅2

x+ ,− = x+ ,−

x+ ,− =

(

)

−8 ± 2 10 2 −4 ± 10 = ∴ 2⋅2 2 ⋅2

−4 + 10 −4 − 10   , x− =  x+ =  2 2   En donde las llaves de la última expresión las hemos usado para indicar que estamos representando en forma explícita al conjunto de soluciones de la ecuación cuadrática planteada. Solución por despeje de la incógnita Es posible que nosotros tengamos una fórmula para resolver algún problema, pero en lugar de querer resolver la incógnita tal y cual esta planteada en la fórmula, lo que queremos es obtener el valor de alguno de los parámetros, de tal manera que haga verdadera la igualdad de la fórmula con la incógnita que ya conocíamos. En este caso la fórmula se convierte en ecuación, ya que existe un elemento desconocido para el cual no tenemos a priori una fórmula que lo resuelva. Entonces el procedimiento para resolver este tipo de planteamientos es despejando el parámetro deseado de la fórmula, es decir, tenemos que aplicar todo el conocimiento de manipulaciones algebraicas para que el parámetro que nos interese quede solo de algún lado de la ecuación, y del otro

lado nos quedaría el resto de los valores conocidos, armados en una expresión algebraica nueva, que es el resultado del proceso de despeje. De esta manera lo que obtendríamos sería una fórmula dedicada para este tipo de parámetro que hemos despejado, y puesto que ya conocemos los valores de los otros parámetros y variables, entonces podemos sustituirlos y obtener el valor deseado. Ejemplo 482 Supongamos que tenemos la fórmula del interés compuesto (de momento no nos interesa saber qué significa cada literal): n⋅ p

 i  M = C 1 +  p  Y lo que queremos es obtener una fórmula para n , suponiendo que tuviésemos conocimiento del valor del resto de las literales. Entonces para despejar esta incógnita, podemos hacer la siguiente serie de manipulaciones algebraicas

 i  M = C 1 +  p  M  i = 1 +  C  p

n⋅ p

∴

n⋅ p

∴

 i  = n ⋅ p ⋅ + log 1  ∴  p   M  log    C  = n∴  i  p ⋅ log 1 +  p 

M log  C

M  log   C  n=  i p ⋅ log 1 +  p  Aquí podemos ver el uso de las leyes de logaritmos con fines de solución de ecuaciones.

Formas especializadas de solución para sistemas lineales Todos los detalles se reservan para el siguiente subtema, pero aquí se mencionará brevemente que para sistemas lineales de ecuaciones se usan los métodos de igualación, eliminación y sustitución, cuando son sistemas de 2 o 3 ecuaciones con 2 o 3 incógnitas, respectivamente. Técnicas parecidas se pueden usar para sistemas no lineales. Para

sistemas de hasta 10 incógnitas en sistemas lineales se usan métodos numéricos como el de Gauss-Jordan (que usa las técnicas de eliminación sistemática y sustitución hacia atrás) o la regla de Cramer que usa determinantes; para sistemas lineales de algunas decenas de incógnitas se podría usar el método de Gauss-Seidel, que es iterativo, es decir, propone una solución inicial y a través de reglas recursivas va refinando la solución del sistema de ecuaciones; y para sistemas de hasta millones de incógnitas, una de las mejores opciones es el método de gradiente conjugado. Los métodos de Gauss-Seidel y gradiente conjugado rebasan los propósitos de este libro, por lo que no se discutirán, aunque se hace notar que son importantes para aplicaciones más realistas. Ejercicios Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas usando la fórmula general de las cuadráticas 483 : -28+11 x+24 x20 484 : -18+26 x-8 x20 485 : 18+39 x-15 x20 486 : 16+48 x+35 x20 487 : 35-14 x-21 x20 Respuestas 483 : x1= -4/3 , x2= 7/8 484 : x1= 1 , x2= 9/4 485 : x1= -2/5 , x2= 3 486 : x1= -4/5 , x2= -4/7 487 : x1= -5/3 , x2= 1 Despeje la incógnita pedida de las siguientes fórmulas 488 : ' r ' de area = π r2 489 : ' y ' de r2 = x2+y2 490 : ' b ' de area = 1/2 (b+B) h 491 : ' m ' de y = b+m x 1 kn n 492 : ' kn ' de q =

k0

Respuestas: 488 : r =

area ÷ π

r2 − x2

489 : y = 490 : b = (2 area-B h)/h 491 : m = (-b+y)/x 492 : kn = qn k0

3.4. Ecuaciones lineales Una línea recta, ya sea en el plano o en el espacio, se puede modelar algebraicamente a través de una ecuación lineal y viceversa: cualquier ecuación en donde el máximo exponente de todas las variables involucradas sea igual a “1”, se puede representar geométricamente por medio de una línea recta en algún espacio de tantas dimensiones, como variables lineales independientes existan. Ejemplo 493: y = mx + b Es la representación “pendiente, intercepto” de alguna línea recta en el plano, en donde la pendiente es el parámetro “m” y “b” es el intercepto. Ejemplo 494: a⋅ x +b⋅ y + c⋅ z + d = 0 Es la ecuación general de una línea recta en el espacio, en donde “a”, “b”, “c” y “d” son los coeficientes de las variables “x”, “y”, y “z”. Nótese que de momento no hablamos de variables “dependientes” o “independientes”, puesto que para ello tendríamos que despejar una cualquiera de las variables, es decir, hacer que una de ellas este sola en un lado de la ecuación y el resto del otro lado; con los coeficientes cambiados por el proceso de despeje, claro esta. Ejemplo 495: En una tienda se busca vender combinaciones de dos productos, de tal manera que la suma de ellos de los siguientes totales A + 2 B = 80 2 A + B = 70 Encontrar los precios individuales de los productos que pueden satisfacer el sistema dado de ecuaciones Solución por sustitución: Como se sugirió en el subtema anterior, hay varias maneras de resolver un sistema de ecuaciones lineales, comencemos por el de sustitución, despejando “A” de la primera ecuación A + 2 B = 80 ∴ A = 80 − 2 B; Luego esta igualdad la podemos sustituir en la segunda ecuación 2 A + B = 70 ∴ 2 ( 80 − 2 B ) + B = 70

∴160 − 4 B + B = 70 ∴ 160 − 70 = 4 B − B ∴ 90 90 = 3B ∴ B = ∴ B = 30 3 El valor de la segunda incógnita lo podemos sustituir en la igualdad de “A” despejada que teníamos anteriormente: A = 80 − 2 B; B = 30 ∴ A = 80 − 2 ( 30 ) = 80 − 60 ∴ A = 20

Ejemplo 496 Solución por igualación

Retomando el problema anterior, despejamos “A”, pero ahora en ambas ecuaciones y las igualamos: A + 2 B = 80 ∴ A = 80 − 2 B 2 A + B = 70 ∴ A = ∴ 80 − 2 B =

( 70 − B ) ;

( 70 − B )

2

2 En este punto lo único que hace falta es despejar la B, lo cual es equivalente a resolver el sistema para B: ( 70 − B ) ∴ 80 − 2 B = 2 160 − 4 B = 70 − B ∴ 160 − 70 = 4 B − B ∴ 90 = 30 3 Acto seguido podemos sustituir el valor de “B” en cualquiera de las igualdades en donde hemos despejado el valor de “A” y de esta manera obtener la solución completa del sistema. Supongamos que tomamos la segunda igualdad de “A”: ( 70 − B ) = ( 70 − 30 ) = 40 ∴ A= 2 2 2 A = 20 90 = 3B ∴ B =

Ejemplo 497 Solución aplicando el método de Gauss-Jordan

Retomando el ejemplo de la tienda, el método de Gauss-Jordan consiste en primero armar una matriz o arreglo numérico en dos dimensiones con los coeficientes de las incógnitas en el lado izquierdo de una ecuación, y un vector (llamado vector solución) o arreglo numérico en una dimensión en el lado derecho de la ecuación con los totales de las sumas: 1 2  80   2 1  = 70      La idea principal del método de Gauss-Jordan es que podamos reducir a la matriz del lado izquierdo, de tal manera que a lo largo de la diagonal principal (la que corre desde la esquina superior izquierda, hacia la esquina inferior derecha de la matriz) nos queden “unos” y en el resto de las entradas de la matriz nos queden ceros. Esto lo podemos lograr a través de adiciones o multiplicaciones adecuadas. Ahora bien, lo que sea que le hagamos aritméticamente a la matriz, también se la tenemos que realizar al vector solución. Esto implica que tenemos que tomar los renglones y las columnas de la matriz y los renglones del vector en conjunto. Nos podemos dar cuenta que la primera parte de

la tarea, es decir, obtener un uno en la primera entrada de la diagonal principal, ya esta hecha. El siguiente paso es hacer cero la entrada de la esquina inferior izquierda de la matriz, para lo cual multiplicamos el primer renglón completo (matriz y vector) por 2 y se lo sumamos al segundo renglón:

Primer renglón:

[1

2] = [80 ]

×2 =

[2

4] = [160]

2° renglón − 2 × 1er renglón:

[ 2 1] = [70] −

[2 [0

4] = [160] ∴ −3] = [ −90]

Con esto ya eliminamos a la primera incógnita en el segundo renglón, y con lo cual, el sistema matriz-vector nos queda: 1 2   80  0 −3 =  −90      Nótese que hemos dejado el primer renglón inalterado. Continuamos haciendo “1” la incógnita de la esquina inferior derecha, cuyo coeficiente es -3. Para ello basta con dividir entre “-3”, todo el 2º renglón (incluyendo el vector solución), con lo cual el sistema lineal nos queda: 1 2  80  0 1  = 30      En este punto ya tenemos la respuesta para la segunda incógnita. Efectivamente, la variable de la esquina inferior derecha corresponde a “B”, y en el vector solución ya se ve reflejado su valor final, que es “30”. Aquí ya podríamos terminar de resolver el sistema sustituyendo el valor de “B”, pero podemos continuar con la misma metodología hasta el final. El siguiente paso sería hacer cero la esquina superior derecha, es decir, la segunda entrada del primer renglón de la matriz. Para ello multiplicamos el segundo renglón por “2” y el resultado será el sustraendo para el primer renglón: [ 0 1] = [30] ×2 =

[ 0 2] = [60] ; [1 2] = [80] −

[ 0 2] = [60] [1 0] = [ 20] Entonces el sistema de ecuaciones adquiere la nueva configuración

1 0   20  0 1  =  30      Lo cual se puede leer directamente como A   20  =  B  30   Y nuevamente obtenemos la solución a nuestro sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas. Generalización a dimensiones superiores Vale la pena mencionar acerca del método de Gauss-Jordan, también conocido como “método de eliminación Gaussiana”, que si bien parece más complicado, se vuelve mucho más sencillo de manejar cuando tenemos sistemas de tres o más ecuaciones con sus correspondientes tres o más incógnitas, pero para facilitarnos las cosas, lo primero que tenemos que hacer, es adquirir una nueva forma de simbolizar nuestros coeficientes y nuestras variables en forma sistemática, para no perdernos con los nombres de las variables.

Ejemplo 498 Supongamos que tenemos la ecuación a⋅ x +b⋅ y + c⋅ z = 0 Supongamos que despejamos la “z” a b z = ⋅x+ ⋅y c c Puesto que los coeficientes “a/b” y “b/c” son arbitrarios, les podemos poner otro nombre, digamos que

a b = a1 ; = a2 c c A las variables también les podemos cambiar los nombres, de tal manera que podamos recuperar la forma clásica de una ecuación, en términos de variables “dependientes” e “independientes”: z=y x = x1 y = x2 Y entonces el sistema original nos queda y = a1 ⋅ x1 + a2 ⋅ x2 Y esto lo podemos generalizar a cualquier número de dimensiones, es decir, a cualquier número de variables independientes. y = a1 x1 + a2 x2 + ⋯ + a j x j + ⋯ + an xn , j , n ∈ ℕ, ( a j , x j ) ∈ ℝ

Esta última es una ecuación lineal en “n” dimensiones o incógnitas, en donde cada “j” indexa a los coeficientes de cada variable y a las variables mismas, y por lo tanto pertenece a los números naturales. Las variables y los coeficientes, por lo menos en este libro, se considerarán que pertenecen a los números reales.

Hay que mencionar que para poder resolver una ecuación con “n” incógnitas o variables independientes (las indexadas con “j”), por fuerza tiene que haber también “n” ecuaciones, en donde los coeficientes de todas las ecuaciones deben ser de tal manera que todas las ecuaciones se pueda decir que sean linealmente independientes. El concepto de independencia lineal se menciona como algo importante, pero su descripción detallada esta fuera del alcance de este libro. Sin embargo, todos los problemas aquí planteados darán por hecho que tienen esa propiedad, para que puedan ser resueltos. Al conjunto de “n” ecuaciones con “n” incógnitas le llamamos sistema lineal, y este tipo de sistemas son muy importantes, puesto que tienen propiedades matemáticas que nos permiten manipularlos con facilidad. De hecho muchos sistemas no lineales se busca en lo posible transformarlos en un sistema lineal, aunque sea como una aproximación, lo cual nos permite resolver numéricamente el sistema no lineal. Ejercicios: Resolver las siguientes ecuaciones usando ya sea los métodos de igualación o sustitución: NOTA: el coeficiente “1”, aunque innecesario matemáticamente, se ha insertado para mayor énfasis. 499 : 9x1 +9x2 = 18 9x1 +1x2 = 10

500 : 9x1 +9x2 = 81 2x1 +4x2 = 24

501 : 6x1 +3x2 = 57 6x1 +8x2 = 72

502 : 9x1 +6x2 = 111 1x1 +1x2 = 14

503 : 8x1 +4x2 = 80 6x1 +8x2 = 90

504 : 7x1 +3x2 = 44 2x1 +7x2 = 31

505 : 6x1 +3x2 = 45 7x1 +7x2 = 77

506 : 7x1 +2x2 = 63 5x1 +2x2 = 49

507 : 8x1 +9x2 = 80 6x1 +9x2 = 78

508 : 5x1 +6x2 = 60 7x1 +7x2 = 77

Respuestas: 499: x1 =1 ; x2 = 1

500: x1 =6 ; x2 501: x1 =8 ; x2 502: x1 =9 ; x2 503: x1 =7 ; x2 504: x1 =5 ; x2 505: x1 =4 ; x2 506: x1 =7 ; x2 507: x1 =1 ; x2 508: x1 =6 ; x2

= = = = = = = = =

3 3 5 6 3 7 7 8 5

Aplique el método de Gauss-Jordan para los siguientes sistemas de tres variables con tres incógnitas (recuerde armar las matrices de coeficientes y los vectores solución antes de comenzar) 509 : 2x1 +6x2 +4x3 = 74 8x1 +2x2 +6x3 = 106 1x1 +8x2 +4x3 = 78

510 : 8x1 +6x2 +3x3 = 105 5x1 +2x2 +3x3 = 67 2x1 +1x2 +6x3 = 71

Respuestas: 509: x1 = 6 ; x2 = 5 ; x3 = 8 510: x1 = 6 ; x2 = 5 ; x3 = 9

4. Series aritméticas 1. Progresión aritmética Una progresión aritmética es una secuencia ordenada de números, de tal manera que entre dos términos cualesquiera existe la misma diferencia. En otras palabras, una progresión aritmética esta formada por un término inicial, y un sumando que siempre se adiciona para cada término sucesivo llamado diferencia (porque la sustracción de dos términos sucesivos nos da siempre la misma diferencia), formándose de esta manera la progresión. En términos algebraicos, supongamos que tenemos algún término inicial “ x1 ” y a este le sumamos una cantidad fija “d”, entonces el primer sucesor de x es x2 = x1 + d El siguiente término de la progresión se obtiene sumándole a este primer sucesor, el sumando fijo “d”: x3 = x2 + d = x1 + 2d Si tomamos x2 − x1 = d x3 − x2 = d ⋯

xn − xn −1 = d Es decir, la sustracción del sucesor, menos su antecesor, siempre nos arroja la misma diferencia. Ejemplo 511 La progresión aritmética más sencilla de todas es la de los números naturales: 1, 2,3, 4, 5, 6, 7,8,9,⋯ En donde el primer término es “1” y cada término sucesivo se forma adicionándole siempre “1”, en otras palabras, la diferencia entre dos números naturales sucesivos cualesquiera es siempre “1”, como 9 −8 =1 4−3 =1 Ejemplo 512 Supongamos que tenemos el primer término “30” y que el sumando fijo es igual a “2”, entonces podemos formar la serie x1 = 30

x2 = x1 + 2 = 30 + 2 = 32

x3 = x2 + 2 = x1 + 2 ( 2 ) = 30 + 4 = 34 x4 = x3 + 2 = 36 ⋯ ∴ x1 , x2 , x3 , x4 ≡ 30,32, 34, 36

Ejercicios: Forme los 10 primeros términos de las progresiones con los siguientes términos iniciales y respectivas diferencias (Nótese que el primer término puede ser un número negativo) 513: x1 = 27; diferencia = 8 514: x1 = 36; diferencia = 5 515: x1 = −7; diferencia = 3 516: x1 = −6; diferencia = 6 517: x1 = 42; diferencia = 3

Respuestas: 513 : {27,35,43,51,59,67,75,83,91,99} 514 : {36,41,46,51,56,61,66,71,76,81} 515 : {-7,-4,-1,2,5,8,11,14,17,20} 516 : {-6,0,6,12,18,24,30,36,42,48} 517 : {42,45,48,51,54,57,60,63,66,69} 2. Deducción de la fórmula del término enésimo Puesto que una progresión aritmética forma un patrón matemático sencillo, entonces es posible obtener propiedades muy importantes acerca de ellas. Una de las más importantes es la obtención del enésimo (o “n-ésimo”) término Nosotros vimos más arriba que (por ejemplo) x3 = x2 + d = x1 + 2d Y en general xn = xn −1 + d = x1 + ( n − 1) d ∴

xn = x1 + ( n − 1) d Entonces el último término lo podemos calcular sabiendo el primer término, la diferencia, y por supuesto, el orden que tiene el último término, es decir, el valor de “n” Ejemplo 518 Supongamos que tenemos como primer término a “14” y que la diferencia es “7”. Supongamos, además, que queremos saber el valor del término vigésimoquinto, entonces aplicando la fórmula del enésimo término: xn = x1 + ( n − 1) d ; x1 = 14; d = 7; n = 25

∴ xn = 14 + ( 25 − 1) 7 = 182 Efectivamente, si hubiésemos hecho la progresión en forma desglosada: {14,21,28,35,42,49,56,63,70,77,84,91,98,105,112,119,126,133,140,147,154,161,168, 175,182} Ejercicios: Deduzca el enésimo término dados los valores de x1, d y n 519: x1 = 33; diferencia = 8; n = 206 520: x1 = 32; diferencia = 3; n = 272 521: x1 = 15; diferencia = 4; n = 287 522: x1 = 26; diferencia = 8; n = 260 523: x1 = −11; diferencia = 3; n = 344

Respuestas 519 : 206 ésimo término = 1673 520 : 272 ésimo término = 845 521 : 287 ésimo término = 1159 522 : 260 ésimo término = 2098 523 : 344 ésimo término = 1018 3.

Deducción de las fórmulas del primer término, de la diferencia y del número de términos

A partir de la fórmula del término enésimo xn = x1 + ( n − 1) d Nosotros podemos despejar cualquiera de los otros términos involucrados en esta fórmula, es decir, podemos resolver para cualquiera de las variables o parámetros, obteniendo así una fórmula específica para cada uno de ellos. Ejemplo 524 Deducir la fórmula del primer término a partir de la fórmula del término enésimo: xn = x1 + ( n − 1) d ∴ xn − ( n − 1) d = x1 ∴ x1 = xn − ( n − 1) d

Ejercicios 525 y 526 Deduzca las fórmulas de la diferencia y del número de términos a partir de la fórmula del término enésimo Respuestas: 525: Para la diferencia: d =

xn − x1 ( n − 1)

526: Para la cantidad de términos: n =

xn − x1 +1 d

4. En toda progresión aritmética, la suma de dos términos equidistantes de los extremos es igual a la suma de los extremos. El título de este subtema alude a una propiedad importante de toda progresión aritmética. Equidistante significa “a la misma distancia”, en este caso una distancia o medida aritmética. Es mucho más sencillo comenzar a explicar qué significa a partir de algún ejemplo por lo que Ejemplo 527 Supongamos que tenemos la progresión aritmética más sencilla de todas, hasta el décimo término: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

Los extremos de esta progresión son los números “1” y “10”, por lo que la suma de ambos es “11”. Ahora bien, el número “2” esta a la misma distancia del comienzo, que el número “9” lo esta del final, lo cual los hace equidistantes y por lo tanto 2 + 9 = 11 Lo mismo podemos afirmar de cualquier pareja de números que se encuentren equidistantes. Digamos 3 y 8 3 + 8 = 11 Ejercicios 528-532 Muestra que la propiedad aritmética descrita en este subtema, es conservada para cada uno de los ejercicios del subtema “Progresiones aritméticas”; diga cuál es la suma de cualquier pareja de términos equidistantes y observe que es la misma que la suma de los extremos de esa misma progresión. Respuestas: 528: 126 529: 117 530: 13 531: 42 532: 111

5. Deducción de la fórmula para hallar la suma de los términos de una progresión aritmética Sea la progresión aritmética a1 , a2 ,⋯ , a j ,⋯ , an −1 , an que consta obviamente de n términos, y en donde también esta claro que cada término crece en forma monótona, es decir a1 < a2 < ⋯ < a j < ⋯ < an −1 < an . Simbolizando con S a la suma de todos los términos de esta progresión, tendremos que: S = a1 + a2 + a3 + ⋯⋯ + an −1 + an Puesto que el orden de los sumandos no altera este tipo de suma, también tenemos que: S = an + an −1 + ⋯ + a j + ⋯ + a3 + a2 + a1 Sumando estas igualdades, obtenemos: 2S = ( a1 + an ) + ( a2 + an −1 ) + ( a3 + an − 2 ) + ⋯ + ( an − 2 + a3 ) + ( an −1 + a2 ) + ( an + a1 ) En el tema anterior hemos visto que la suma de dos términos equidistantes de los extremos es igual a la suma de los extremos, lo que quiere decir que cada uno de los binomios anteriores (los términos encerrados entre cada paréntesis) son iguales todos ellos a ( a1 + an ) , y puesto que hay tantos binomios como términos tiene la progresión, tendremos: 2S = ( a1 + an ) n Despejando para S tenemos finalmente que (a + a ) n S= 1 n 2 En otras palabras, la suma de los primeros n términos de una progresión aritmética es igual al producto del número de términos, por la suma del primer término con el último, y todo lo anterior a la mitad.

Ejemplo 533: Supongamos que queremos obtener la suma de los primeros 10 términos de la progresión aritmética 3, 6, 9, 12…Como la fórmula de la suma requiere conocer el último término, y no sabemos de antemano cuál es el décimo término, entonces tenemos que recurrir a la fórmula deducida en el subtema dos: xn = x1 + ( n − 1) d ≡ an = a1 + ( n − 1) d

Sustituyendo valores:

a1 = 3 n = 10 d = 6 − 3 = 9 − 6 = 12 − 9 = 3 ∴ an = 3 + (10 − 1) 3

∴ an = 30 Ahora sí podemos aplicar la fórmula de la suma de los primeros n términos: (a + a ) n S= 1 n , 2 a1 = 3; an = 30; n = 10 ∴ S=

( 3 + 30 )10 = 330 ∴ 2

2

S = 165 Nótese que la suma de una progresión aritmética de enteros da como resultado siempre un número entero, pero esto no tiene que ser así, dado que podemos también efectuar la adición de números reales con esta fórmula, siempre y cuando formen una progresión aritmética. Ejemplo 534 1 2 ,1,1 ⋯ , de la cual queremos obtener la suma de los 3 3 primeros 17 términos. Entonces lo primero es encontrar el decimoséptimo término: 1 1 2 a1 = ; n = 17; d = 1 − = 3 3 3 ∴ 1 2 an = + (17 − 1) = 11 3 3 Supongamos la progresión

Y por lo tanto: S=

(1 / 3 + 11)17 = 289 2

3

Ejercicios (en algunos se tendrá que usar la fórmula para encontrar el mcm): Hallar la suma de 4 23 19 53 , , , ... 5 10 5 10 6 31 19 45 536: Los primeros 14 términos de , , , ... 7 28 14 28 2 71 116 161 537: Los primeros 13 términos de , , , ... 9 117 117 117

535: Los primeros 16 términos de

538 : Los primeros 539 : Los primeros 540 : Los primeros

10 25 26

términos de términos de términos de

5 , 11 , 17 , 23 ... 8 , 13 , 18 , 23 ... 9 , 13 , 17 , 21 ...

Respuestas: 964 5 139 536: S = 4 296 537: S = 9

535: S =

538 : S = 539 : S = 540 : S =

320 1700 1534

6. Medios aritméticos Los términos de una progresión aritmética que se encuentran entre el primero y el último término de la progresión reciben el nombre de medios aritméticos. Ejemplo 541: Sea la progresión 4,8,12,16, 20 El primer y último término de esta progresión son 4 y 20 respectivamente, mientras que los términos 8, 12, y 16 son los medios aritméticos. Nótese que medios aritméticos es un concepto distinto del de media aritmética (que se verá más adelante en esta misma obra), aunque se les puede relacionar. Ejercicios: Identifíquense los medios aritméticos de las siguientes progresiones 542: 7, 14, 21, 28, 35 543: 1/7, 3/7, 5/7, 1 544: 2, 7, 12, 17, 22, 27 7. Interpolación Con frecuencia podemos tener una progresión aritmética en donde algunos de los términos se encuentren ausentes. Entonces podemos recurrir a la interpolación, la cual consiste en formar una progresión aritmética cuyos extremos sean los dos números que preceden y suceden al (los) número(s) desconocido(s). Dentro de una progresión aritmética, los números interpolados son otra forma de nombrar a los medios aritméticos.

Ejemplo 545: Supongamos la progresión aritmética 3,_,9,12,15,_,21 En este caso la interpolación la podemos hacer de forma muy sencilla, ya que es evidente que la diferencia entre cada término sucesivo es 3, por lo tanto, el número ausente entre 3 y 9 es el 6, mientras que es 18 aquel entre 15 y 21. Sin embargo puede haber casos mucho más complicados, para lo cual necesitamos alguna fórmula que nos permita construir de forma sistemática los medios aritméticos. Ejemplo 546: Supongamos que queremos interpolar 5 medios aritméticos entre 2 y 11, es decir, 2 y 11 son los extremos de alguna progresión aritmética, cuyos medios aritméticos queremos encontrar y aparte de ello lo único que sabemos es que hay cinco medios aritméticos. Suponiendo que tuviéramos a la mano la razón o diferencia, y esta la adicionamos al primer término de la progresión, tendremos el 2º término. Si al segundo término le sumamos la razón, entonces obtendremos el 3er término y así sucesivamente. La fórmula de la razón “ r ”(o también llamada diferencia “ d ”entre los términos de la progresión aritmética) fue uno de los ejercicios del subtema 3: x −x d =r= n 1 ( n − 1) En otras palabras, la razón o diferencia es el resultado del cociente de la sustracción del último menos el primer término, ésta dividida entre el resultado de sustraerle la unidad a la cantidad total de términos. Tómese en cuenta que “n” es el total de términos, lo cual incluye tanto los medios aritméticos como los dos extremos, es decir m = # medios aritméticos ∴ n = 2+m Entonces tenemos que los datos para nuestra fórmula son: xn = 11 x1 = 2 n = 2+5 = 7 Sustituyendo valores en la fórmula de la razón: 11 − 2 9 r= = ∴ ( 7 − 1) 6

3 2 Ahora sí podemos construir toda la serie aritmética, bastando sumar consecutivamente la razón a cada término sucesivo, comenzando con 2 y forzosamente terminando con 11: r=

7 13 19 2, ,5, ,8, ,11 2 2 2

Puesto que n = 2 + m , entonces n − 1 = m + 1 , por lo que la fórmula de la diferencia o razón también puede ser escrita como x −x r= n 1 ( m + 1) En donde m es el número de medios aritméticos a interpolar Ejemplo 547 Sustituyendo los valores del ejemplo previo en esta nueva fórmula obtenemos 11 − 2 9 3 r= = = ( 5 + 1) 6 2 Volviendo a obtener la misma razón que anteriormente. Ejercicios: Interpolar 548 : 6 medios aritméticos entre 2 y 27 549 : 8 medios aritméticos entre 3 y 11 550 : 5 medios aritméticos entre 7 y 35 551 : 4 medios aritméticos entre 11 y 48 552 : 7 medios aritméticos entre 13 y 71 553 : 9 medios aritméticos entre 22 y 92

Respuestas: 39 64 89 114 139 164 , , , , , ,27> 7 7 7 7 7 7 35 43 17 59 67 25 83 91 549: :3, , , , , , , , ,11> 9 9 3 9 9 3 9 9 35 49 77 91 550: :7, , , 21, , , 35> 3 3 3 3 92 129 166 203 551: :11, , , , ,48> 5 5 5 5 81 55 139 197 113 255 552: :13, , , ,42, , , , 71> 4 2 4 4 2 4

548: :2,

553 : {22,29,36,43,50,57,64,71,78,85,92} (se muestran también el primero y el último término) 8. Definición de algunos conceptos financieros para los cuales son aplicables los conceptos matemáticos vistos en este capítulo y aplicación de estos últimos a los primeros. Interés simple: interés es el pago por el uso de dinero ajeno, usualmente se le denota con I . El interés es el resultado de multiplicar el capital C por la tasa de interés i: I = C ×i Donde la tasa de interés es matemáticamente una proporción, que se puede expresar como una fracción, un decimal o un porcentaje, aunque a veces este último caso se prefiere nombrarle tipo de interés. Capital es una cierta cantidad de dinero que alguien posee o que alguien presta, y decimos que el interés es simple cuando sólo el capital gana intereses.

Ejemplo 553:

Una persona presta $1,000 con una tasa de interés del 3% mensual. ¿Cuánto gana esta persona, si se le regresa su dinero al final del mes con todo e intereses? i = 3%; C = 1000 ∴ 3 = 30 100 La persona gana $30 por encima del capital prestado. I = 10 00 ×

Obsérvese que este ejemplo el porcentaje tuvo que ser transformado en una fracción común para poder ser trabajado en la fórmula del interés simple, aunque también pudo haber sido expresado como una fracción decimal Ejemplo 554: Retomando el ejemplo anterior pero expresando la tasa de interés como una fracción decimal: I = 1000 × 0.03 = 30 En este caso bastó recorrer el punto decimal tres lugares a la derecha para obtener la respuesta. El interés simple forma una progresión aritmética, ya que al final de cada período de tiempo se le suma al capital la misma cantidad de intereses, en donde el interés ganado I es la razón de la progresión, el capital (o monto) C es el primer término de la progresión, y el número de períodos de tiempo vencidos en donde se paga interés es el número de términos que tiene la progresión. Ejemplo 555: Supongamos los datos del ejemplo anterior, pero ahora queremos saber la cantidad de dinero que gana en varios meses. Puesto que solo el capital gana intereses, la cantidad añadida es siempre la misma, por lo que se forma la progresión (al cabo de cuatro meses) 1000,1030,1060,1090,1120 Esta progresión puede continuar indefinidamente, por supuesto … ,1090,1120,1150,… Si factorizamos el capital tendremos 1000 {1,30, 60,90,120,…} Y nos podemos dar cuenta que estas cantidades, excluyendo la primera (de momento, pues representa al capital original, sin los intereses), se pueden expresar como {30 ×1,30 × 2,30 × 3,30 × 4…} Lo cual nos dice que al final de cada período se acumulan una cantidad de intereses que es igual al número de períodos multiplicada por el interés correspondiente de cada período, el cual a su vez es igual (como vimos) al capital multiplicado por la tasa de interés. De esta manera llegamos a la fórmula general del interés simple, es decir, para cualquier periodo de tiempo: I = Cin En donde n es el número de períodos vencidos. Aplicando la fórmula consistentemente, podemos obtener el interés ganado al cabo de, por ejemplo, cuatro meses, o cuatro períodos de un mes: I = 1000 × 0.03 × 4 = 120

Nótese que en el primer paso de la parte donde factorizamos el capital, nos queda “1”. Esta claro que si no ha transcurrido ningún periodo de tiempo, lo que seguimos teniendo es el capital mismo, sin su ganancia, y todo número dividido entre sí mismo es igual a la unidad. Asimismo se hace notar que a la fórmula general del interés simple se le puede manipular algebraicamente para obtener la solución de cualquiera de sus parámetros, conociendo los datos del resto. Ejercicios: 556: Obténgase el interés ganado para el préstamo de un monto de $6,700.00 al cabo de 8 meses, con una tasa de interés del 2% mensual, y la suma de estos intereses más el capital original. 557: ¿A qué capital original le corresponde un interés de $8,000, con una tasa de interés del 10% anual, durante 5 años? 558: ¿Cuál es la tasa de interés aplicable a un capital de $30,000, si lo que queremos es obtener un interés de $2,800 en un período de 3 meses? 559: ¿Cuántos años tendrían que pasar para ganar el mismo monto de $30,000, con una tasa de interés del 11% anual? Convierta los decimales de la respuesta a meses y días, redondeando al día más próximo. (Pista, los decimales de una respuesta anual, quitando el número de años, se pueden multiplicar por 12, y los decimales de esta última multiplicación, quitando los meses, se pueden multiplicar por 30; esto se puede hacer porque suponemos por esta ocasión que la tasa de interés aplica en forma continua, y no solamente al cabo de cada período vencido de tiempo). Respuestas: 556: I = $1072. I + C = $7,772 557: C = $16,000 558: i→0.0311 o bien 3.11% 559: Aproximadamente 9 años, un mes y casi tres días. Tiempo entre fechas Como pudimos ver en uno de los problemas de interés simple, es importante saber cuál y cómo vamos a considerar al periodo de tiempo sobre el cual vamos a aplicar la tasa de interés. Tiempo entre fechas es la cantidad de días ya sea exacta o aproximada que se va a considerar en un cálculo de interés anual. Tiempo exacto: se calcula como la diferencia de la indexación de las fechas, para lo cual necesitamos indexar los días, comenzando con el primero de enero, que es el primer día del año, y terminando con diciembre 31, que es el 365º, o el 366º cuando el año es bisiesto. En el apéndice I se ofrece una tabla de indexación de los días. Ejemplo 560 Calcular el tiempo entre el 2 de Febrero y el 21 de Marzo. Del apéndice I consultamos la columna con el encabezado “día del mes” y vemos que el 2 de Febrero es el 33º día del año, mientras que el 21 de Marzo es el 80º día. La diferencia es 80 − 33 = 47 , lo cual nos da el tiempo exacto entre ambas fechas. Tiempo aproximado: se calcula suponiendo que todos los meses tienen 30 días.

Ejemplo 561: Retomando el ejemplo anterior, entre el 2 de Febrero y el 21 de Marzo establecemos Fecha Mes Día 21 de Marzo 3 21 2 de Febrero 2 2 Diferencia 1 19 Entonces (1× 30 ) + 19 = 49 días, que es nuestro tiempo aproximado Ejemplo 562 Una variante del método aproximado es considerar que NI Febrero NI Marzo han transcurrido han transcurrido por completo por lo que podemos considerar que Fecha Mes Día 21 de Marzo 2 21 2 2 de Febrero 1 Diferencia 1 19 Puesto que hasta Marzo solamente han transcurrido dos meses completos y hasta Febrero solamente ha transcurrido un mes completo, y obtenemos el mismo resultado que anteriormente: (1× 30 ) + 19 = 49 Ejemplo 563 Vamos a suponer ahora que consideramos el tiempo aproximado entre el 21 de Febrero y el 2 de Marzo. En este caso vamos a tener que “prestarle” a Febrero 30 días para poder obtener una diferencia positiva en los días: Fecha Mes Día 2 de Marzo 1 32 21 de Febrero 1 21 Diferencia 0 11 Entonces el tiempo aproximado entre estas dos fechas es de 11 días. Interés simple ordinario: se calcula a partir de la proporción del tiempo entre fechas (ya sea exacto o aproximado) dividido entre 360 días, es decir, el interés se calcula a partir de un año de 360 días. Ejemplo 564: Supongamos que queremos calcular el 12% de interés causado entre el 7 de Mayo y el 2 diciembre para un préstamo de $150, y supongamos que queremos el tiempo exacto entre esas fechas. Consultando el apéndice I vemos que el 7 de Mayo es el 127º día, mientras que el 2 de diciembre es el 336º día, por lo que el tiempo exacto entre estas fechas es de 336 − 127 = 209 , y la proporción nos queda como 209 360 Aplicando la fórmula del interés  209  I = P × r × t = 150 × 0.12 ×   = 10.45 , en donde la “P” significa “Principal”  360  sinónimo de “capital” o “monto”.

Interés simple exacto: se calcula a partir de la proporción del tiempo entre fechas (ya sea exacto o aproximado), dividido entre 365 días, es decir, el interés se calcula a partir de un año de 365 días (incluso aunque el año sea bisiesto, es decir, aunque el año en turno conste efectivamente de 366 días). Ejemplo 565: Usando los datos del ejemplo anterior, nuevamente considerando un tiempo exacto, pero ahora para calcular el interés exacto nos queda la proporción usada del año como 209 365 Aplicando la fórmula del interés  209  I = P × r × t = 150 × 0.12 ×   = 10.3068 ≈ 10.31 .  365  Nos podemos dar cuenta que hay cuatro combinaciones posibles o métodos para calcular el interés simple entre fechas: 1) El tiempo exacto e interés ordinario, también conocida como regla del banquero. 2) El tiempo exacto y el interés exacto. 3) El tiempo aproximado y el interés ordinario, y 4) El tiempo aproximado y el interés exacto. La regla del banquero con mucho es la más usada en transacciones comerciales internacionales y en los Estados Unidos de América; en Canadá, en general se usa el segundo método. Los métodos 3 y 4 rara vez se usan. De los cuatro métodos, la regla del banquero es la que suele producir el interés máximo, con sus excepciones. Ejemplo 566: Comparar los cuatro métodos, usando los datos del ejemplo anteriores. Como ya tenemos calculado el interés con los dos primeros métodos, solamente nos falta calcular el tiempo aproximado para calcular los últimos dos. De esta manera: Fecha Mes Día 2 de Diciembre 11 32 7 de Mayo 5 7 Diferencia 6 25 Y por lo tanto 6 × 30 + 25 = 205 días de tiempo aproximado, con lo que podemos calcular el interés ordinario (con el año de 360 días): 205/360, y el interés exacto 205/365, con lo que nos queda el interés ganado, respectivamente:  205  I = P × r × taproximado / ordinario = 150 × 0.12 ×   = 10.25  360   205  I = P × r × taproximado / exacto = 150 × 0.12 ×   = 10.1096 ≈ 10.11  365  Comparando las cuatro cantidades: 1) 10.45

2) 10.31 3) 10.25 4) 10.11

Concluyendo que la regla del banquero, es decir, la combinación de tiempo exacto e interés ordinario (años de 360 días) es la que en general produce la mayor cantidad de intereses. Ejercicios: Calcule el interés ganado, por los cuatro métodos explicados y con los siguientes datos 567 : Principal= 1200 tasa de interés Anual= 10.8 del 15 de Enero al 22 de Marzo 568 : Principal= 3450 tasa de interés Anual= 14.7 del 10 de Junio al 11 de Septiembre 569 : Principal= 6789 tasa de interés Anual= 13.0 del 20 de Abril al 30 de Junio 570 : Principal= 2320 tasa de interés Anual= 9.88 del 12 de Marzo al 15 de Agosto 571 : Principal= 2500 tasa de interés Anual= 8.90 del 20 de Noviembre al 29 de Diciembre 572 : Principal= 12000 tasa de interés Anual= 12.0 del 3 de Agosto al 2 de Octubre 573 : Principal= 7800 tasa de interés Anual= 10.4 del 7 de Septiembre al 30 de Noviembre 574 : Principal= 850 tasa de interés Anual= 12.5 del 8 de Octubre al 5 de Diciembre 575 : Principal= 790 tasa de interés Anual= 11.9 del 9 de Julio al 20 de Agosto 576 : Principal= 320 tasa de interés Anual= 14.5 del 12 de Febrero al 2 de Marzo

Respuestas: 567 : 1) 23.8 2) 23.5 3) 24.2 4) 23.9 568 : 1) 131. 2) 129. 3) 128. 4) 126. 569 : 1) 174. 2) 171. 3) 171. 4) 169. 570 : 1) 99.3 2) 97.9 3) 97.4

4) 571 1) 2) 3) 4) 572 1) 2) 3) 4) 573 1) 2) 3) 4) 574 1) 2) 3) 4) 575 1) 2) 3) 4) 576 1) 2) 3) 4)

96.1 : 24.1 23.8 24.1 23.8 : 241. 237. 237. 234. : 189. 187. 187. 185. : 17.1 16.8 16.8 16.6 : 11.0 10.8 10.7 10.5 : 3.36 3.31 3.62 3.57

Ecuaciones de valor equivalente Puesto que la tasa de interés es algo que se va a usar con mucha frecuencia en las finanzas, hemos visto por los temas de interés simple que el dinero no tiene el mismo valor en el presente que después de haber transcurrido cualquier cantidad de tiempo. También lo podemos ver a la inversa: Dada una cierta cantidad futura, su valor presente es más pequeño. Entonces para acumular dinero hacia el futuro se tiene que multiplicar por un factor de incremento, y cuando vemos hacia el pasado, hay que multiplicar por un factor de descuento. Entonces definimos las equivalencias de valor de la siguiente manera: $X0 pagaderos en determinada fecha son equivalentes a $X1, pagaderos t años (o t períodos) después, a una tasa de interés simple r, si X 1 = X 0 (1 + rt )

X1 (1 + rt ) Si X0 o X1 los sustituimos por “P” o “C” nos damos cuenta de que las ecuaciones de equivalencia son casi las mismas que la fórmula para el interés simple, con la diferencia que ahora le sumamos “1”, esto es, agregamos la cantidad original al interés producido (o descontando). X 0 = X 1(1 + rt ) = −1

Ejemplo 577 A una tasa del 10% consideremos $100 pagaderos el año que viene tendremos X 1 = 100 (1 + 0.1× 1) = 110

Y el valor presente sería X 0 = 100 (1 + 0.1× 1) ≈ 90.91 Nótese el exponente “-1”, que indica que es un inverso multiplicativo (o divisor). Esta claro también que no tiene sentido comparar el valor monetario de algún capital, principal o monto con otro si estos tienen fechas distintas, a menos que se usen las ecuaciones de equivalencia. −1

Ejemplo 578 Supongamos que una persona tiene una deuda de $100 que se vence en 8 meses, y otra de $200 que se vence en 11 meses, y que el valor del dinero se actualiza con el 10% de interés. ¿Qué pago único liquidará ambas obligaciones, ya sea ahora, y en 9 meses? Para la primera parte lo que hacemos es usar la fórmula inversa para ambas cantidades, a fin de que sean comparables a valor presente: −1

  8  100 1 + 0.1   ≈ 93.75  12    −1

  11   200 1 + 0.1   ≈ 91.60  12    Ahora sí podemos adicionar ambas cantidades y el monto total a liquidar es de 93.75 + 91.60 = 185.35 . Nótese que puesto que ambas cantidades aluden a un evento futuro que aún no se cumple, es por ello que usamos la fórmula inversa. Para la segunda parte tendremos que usar la fórmula para el valor hacia el futuro, para la primera obligación, dado que 100 se pagan en los 8 meses, pero después de ese periodo se tienen que pagar intereses. Para la segunda obligación se sigue usando la fórmula inversa (léase, hacia el pasado), pero ahora con menor cantidad de meses, dado que para que se cumpla la fecha acordada faltarían tan solo 2 meses. De esta manera:   1  100 1 + 0.1   ≈ 100.83  12    −1

  2  200 1 + 0.1   ≈ 196.72  12    ∴100.83+196.72=297.55 Podemos visualizar cada situación haciendo los diagramas de tiempo adecuados. La primera situación, sería:

Mientras que la segunda situación la podemos ver como:

Lo más importante de estos diagramas es usarlos antes de hacer los cálculos de los totales, ya que nos permiten ver de manera inmediata qué tipo de ecuaciones habremos de usar, si la que suma intereses (la del futuro) o la que descuenta (la que va hacia atrás en el tiempo). Tan simple como ver que si las flechas van a la derecha, es el futuro y en cambio si se dirigen a la izquierda, es la ecuación del pasado. Ejercicios Use las ecuaciones de valor apropiadas para los siguientes datos: 579: Cierto grupo de personas buscó financiamiento pidiendo dos préstamos: uno por $25,000, pagaderos en 5 meses, a una tasa del 11.5% anual y otro por $45,000, a una tasa del 12% anual, pagaderos en 7 meses. ¿Cuál es el valor de ambas deudas, si se liquidaran en 3 meses? 580: ¿Cuál es el valor de ambas deudas, del problema anterior, si el grupo observa que las podrá liquidar al cabo de 6 meses? 581: ¿Cuánto pagará este grupo en total si se liquidan ambas obligaciones a los 10 meses? Respuestas: 579: $24,529.8 y $43,269.2 respectivamente, para un total de $67,799.00 580: $25,239.58 y $44,554.45 respectivamente, para un total de $ 69,794.00 581: $26,197.92 y $46,350.00 respectivamente, para un total de $ 72,547.92 Pagos parciales: En muchas ocasiones las obligaciones financieras (o deudas) no se liquidan en una sola exhibición, sino con una serie de pagos parciales durante la vigencia de la deuda. Cada pago parcial no tiene que ser del mismo monto que todos los demás, ni tampoco necesariamente ha de ser pagadero en una fecha específica, sino que puede ser totalmente variable. Entonces se pueden aplicar una cualquiera de dos reglas para hacer los pagos parciales. Regla del comerciante: consiste en que tanto la deuda como cada pago parcial ganan intereses hasta la fecha de liquidación final. El saldo a pagar en la última fecha es la diferencia entre el valor de la deuda con intereses y el valor de los pagos parciales, también con intereses.

Ejemplo 582: Supongamos una persona que pide prestados $10,000.00 el 7 de Enero al 15%, que el año en consideración NO es bisiesto y que la fecha de liquidación es el 10 de Diciembre. Luego pagó $2,700 el 20 de Mayo, $250 el 8 de Julio y $5,000 el 2 de Noviembre. ¿Cuánto le resta por pagar a esta persona, usando la regla del comerciante? Lo primero que nos va ayudar a resolver el problema es hacer un diagrama de tiempo, habiendo hecho uso del apéndice I:

Inmediatamente podríamos plantear una ecuación de valor, usando como fecha focal a Diciembre 10 (usando la regla del banquero para el cálculo de interés simple):     204    155    38   2700  1 + ( 0.15 )    + 250 1 + ( 0.15 )    + 5000 1 + ( 0.15 )   + x =  360    360    360     

  337   = 10000 1 + ( 0.15 )    360    Resolviendo para x , tenemos que: 2929.5 + 266.15 + 5079.17 + x = 11404.17 ∴ x = 3129.35 La cantidad a liquidar el 10 de Diciembre es de $3,129.35. Otra forma de solucionar este problema es tabulando al estilo de los contadores, es decir, las deudas del lado izquierdo y los pagos del lado derecho, sumando por separado y luego obteniendo la diferencia: Obligación original 10,000.00 1er. Pago parcial 2,700 Interés acumulado en 337 días 1,404.17 Intereses en 204 días 229.5 Valor acumulado de la deuda $11,404.17 2º Pago parcial 250 Intereses en 155 días 16.15 3er. Pago parcial 5,000 Intereses en 38 días 79.17 Valor acumulado de los pagos parciales $ 8,274.82 El saldo pagadero para Diciembre 10 es de 11, 404.17 − 8, 274.82 = 3,129.35 Regla de Estados Unidos: Cada vez que se hace un pago parcial, se calcula el interés sobre los saldos insolutos. Si el pago es mayor que el interés correspondiente, la diferencia se usa para reducir la deuda. Si el pago es menor que el interés, entonces esta cantidad se agrega al siguiente pago que sí sea mayor al interés vencido en la fecha del siguiente pago parcial, calculando los intereses con la suma de los días hasta este siguiente pago parcial, es decir, no se acumulan intereses de forma inmediata al pago inferior a los intereses. El saldo vencido en la fecha final es el saldo pagadero después del último pago parcial, acumulado hasta la fecha del vencimiento final.

Ejemplo 583: Usando los datos del problema anterior, con la diferencia de que el pago de Julio 8 es de 150, nuevamente vamos a hacer un diagrama de tiempo, el cuál se verá que es diferente al de la regla del comerciante:

Deuda original 10,000.00 Intereses por 133 días 554.17 Cantidad pagadera el 20 de Mayo 10,554.17 Primer pago parcial 2,700.00 Saldo vencido el 20 de Mayo 7,854.17 Los intereses en 49 días (hasta (Julio 8) de éste saldo son de $160.36; como el pago de $150 es menor que el interés, se conserva sin intereses Intereses por 49 + 117 = 166 días 543.25 Cantidad pagadera en Noviembre 2 8,397.42 Pagos de $150 y $5,000 5,150.00 Saldo vencido el 2 de Noviembre 3,247.42 Intereses durante 38 días 51.42 Cantidad pagadera en Diciembre 10 $3,298.84 En otras palabras, cuando lo que se pretende pagar no cubre los intereses producidos, el pago no se acepta sino hasta que al menos cubra los intereses hasta ese momento generados. Todos estos cálculos anteriores se pueden abreviar de la siguiente manera:   133   Saldo pagadero el 20 de Mayo = 10, 000 1 + ( 0.15 )    − 2700 = $7,854.17  360      166   Saldo pagadero el 2 de Noviembre = 7,854.17 1 + ( 0.15 )    − 5150 = $3,247.42  360    (teniendo en cuenta que no se recibió el pago de Julio 8, debido a que era inferior que la cantidad de intereses que se debían de pagar en ese momento)   38   Saldo pagadero en Diciembre 10 = 3,247.42  1 + ( 0.15 )    = $3,298.84  360    Nótese el carácter recursivo de la regla de Estados Unidos, es decir, el saldo anterior se usa para calcular el siguiente saldo, a diferencia de la regla del comerciante, que se puede calcular independientemente. Nótese, además, que con la regla de Estados Unidos se acaba pagando más, por lo menos en este caso, que se dejaron acumular los días para poder pagar deuda e intereses. Por lo mismo que ambos saldos son diferentes, es que las partes de un contrato de préstamo deben de estar ambas de acuerdo en la forma como se van a cobrar los intereses.

Ejercicios (use la regla del banquero para el cálculo del interés simple): 584: Un equipo olímpico necesita comprar equipo deportivo, para lo cual piden prestados al banco $250,000.00 el 5 de Febrero del 2004 (año bisiesto), con fecha de vencimiento del 31 de Diciembre del mismo año, al 12.6% de interés anual. Su contador realiza 3 pagos parciales: el 1er pago parcial es de $52,000, realizado el 31 de Marzo del 2004. El 2º pago parcial es de $70,000, efectuado el 22 de Junio del mismo año. Por último realiza un pago parcial de $25,500 el 7 de Septiembre del 2004. ¿Cuál es el saldo a pagar en la fecha de vencimiento, usando la regla del comerciante? Use una tabla tipo los contadores. 585: compruebe los resultados del problema anterior resolviendo la ecuación de valor correspondiente. 586: Resuelva el problema anterior por medio de la regla de Estados Unidos, usando la tabla tipo los contadores. 587: Compruebe el resultado del problema anterior (regla de Estados Unidos), usando ecuaciones. Respuestas: 584: $120,640.00 585: $120,640.00 586: $121,649.21 587: $121,649.21 Descuento simple El descuento simple es lo mismo que la ecuación de equivalencia de valores para ir al pasado: X1 −1 X 0 = X 1(1 + rt ) = (1 + rt ) En donde X1 lo consideramos como la “deuda” u obligación financiera original, y X0 fue considerado como el saldo a pagar en los problemas sobre pagos parciales. Llamemos a X1 “S” (de suma original a pagar) X0 es “P” el monto nuevo a pagar y sea “D” el descuento simple, a una tasa de interés fija “r”: S P= 1 + rt D=S−P D se puede considerar que es el interés I sobre P, y que D + P = S; o bien es el descuento verdadero sobre S, en donde P = S - D.

Ahora supongamos la tasa de descuento d anual en relación al Descuento D, sobre la cantidad S. El descuento simple D sobre una cantidad S, llamado también descuento bancario, durante t años a la tasa de descuento d, se puede obtener mediante la fórmula D = S ×d ×t Y el valor descontado, o ganancias, P de S se determina con P = S − D = S − Sdt = S (1 − dt ) Algunas veces el cargo en préstamos a corto plazo se puede basar en la cantidad futura, y no en el valor presente. La entidad financiera calcula el descuento bancario D sobre la cantidad final S que debe pagarse a la fecha de vencimiento, y lo deduce de de S; la entidad financiera recibe el valor descontado P, por lo cual a éste descuento bancario se le llama interés adelantado, en donde

P = S (1 − dt ) ∴ S=

P = P(1 − dt )−1 1 − dt

Ejemplo 588 Calcular el valor presente de $5,000a 15% de interés simple pagaderos en 7 meses. ¿Cuál es el descuento verdadero (sobre S)? S =5,000, r=0.15, y t = 7/12 entonces P = S (1 + rt ) = 5000(1 + (0.15)(7 /12)) −1 = 4597.7 El descuento verdadero es D = S - P = 5000 - 4597.7 = 402.3 −1

Ejemplo 589: Con los datos del problema anterior, estimar el descuento simple S = 5000, d = 0.15, t = 7 /12 P = S (1 − dt ) ∴ 5000(1 − (0.15)(7 /12)) = $4,562.5 El descuento simple es D = S − P = 5000 − 4562.5 = $437.5 Ejercicios 590: Calcular el valor presente y el descuento verdadero de $12,000 a 8.2% de interés simple pagaderos en 9 meses. 591: Con los datos del ejercicio anterior calcular el descuento simple. Respuestas: 590: $695.20 591: $738.00 Pagarés: Un pagaré es un documento concreto en relación a una promesa de pago, que el deudor o firmante hace por sí mismo o le es entregado por su acreedor o beneficiario del pagaré, con o sin intereses, con una fecha especificada. El valor nominal es la cantidad escrita en el pagaré. El término es el periodo de tiempo mencionado en la nota. La fecha de vencimiento es la fecha en que se debe pagar la deuda. Si el término se da en meses, se usa tiempo aproximado para obtener la fecha de vencimiento, y si es en días, se calcula el tiempo exacto. El valor al vencimiento es la suma que se debe pagar en la fecha de vencimiento. Para un pagaré con intereses se usa el interés simple ordinario, mientras que para aquél sin intereses se usa el valor nominal. Los pagarés son instrumentos monetarios y se pueden vender una o más veces antes de la fecha de vencimiento. El comprador puede 1) descontar el valor del pagaré al vencimiento, durante el tiempo desde la fecha de la venta hasta la fecha de vencimiento, a su tasa de descuento, y el vendedor recibe las ganancias de la venta que se calcula usando P = S (1 − dt ) 2) O bien puede especificar la tasa de interés que quiere para realizar la inversión, y las ganancias se determinan con P = S (1 + rt )

−1

Ejemplo 592: La siguiente figura es un ejemplo de pagaré, en donde se señalan varios de los términos definidos anteriormente.

El valor al vencimiento lo podemos calcular así:   32   100,500  1 + (0.12)    = 101,572  360    La fecha de vencimiento la podemos precisar usando el apéndice I, donde el 27 de Noviembre del 2007, no siendo año bisiesto, resulta ser el 331º día, al cual le añadimos 32 días, lo que nos lleva al día 363º, al cual le corresponde la fecha del 29 de Diciembre del 2007. Ejercicios: 593: Calcule el valor al vencimiento y la fecha de vencimiento del pagaré del ejemplo anterior, pero ahora la cantidad a pagar es de $89,900 a una tasa de interés del 11.5%, el término es de 90 días y la fecha inicial es el 1 de Abril del 2007. 594: Repita el ejercicio anterior pero con la cantidad a pagar de $233,000.00, a una tasa de interés del 10.8%, para un término de 180 días y con fecha inicial el 1 de Mayo del 2007. Respuestas: 593: valor al vencimiento: $92,484.62. Fecha de vencimiento: 30 de Junio del 2007. 594: valor al vencimiento: $245,582.00. Fecha de vencimiento: 28 de Octubre del 2007. Regla de los 78’s Algunos préstamos por pagos pueden ser pagados con anticipación, en cuyo caso el deudor puede ahorrar dinero de intereses. Muchas personas pudieran pensar (por poner un caso) que si han requerido un préstamo a un año y lo pagan en 6 meses, entonces deberían pagar solamente la mitad de los intereses, puesto que han usado el dinero por la mitad del tiempo. Sin embargo, en muchas instituciones financieras esto no es lo que pasa, ya que más bien usan la llamada regla de los 78´s para calcular el interés a pagar cuando un préstamo es pagado antes de su vencimiento. La regla de los 78´s requiere que los montos de interés más grandes sean pagados dentro de los pagos más próximos en el tiempo. Aquí recuérdese que los pagos son del mismo monto cada mes. Entonces la regla de los 78´s para un préstamo a 12 meses requiere que 12/78 del interés sea pagado en el primer mes. 11/78 del interés sea pagado en el segundo mes. 10/78 del interés sea pagado en el tercer mes. …y así sucesivamente hasta que 1/78 del interés sea pagado en el doceavo (y último) mes.

Lógicamente que la distribución cambia si el periodo de tiempo es más largo o más corto, pero el caso es que cualquiera que sea el periodo de tiempo dividido en lapsos de tiempo iguales, cada monto de interés se paga de acuerdo a una distribución de las proporciones en forma similar. El reembolso se calcula con la siguiente fórmula: Reembolso = total de intereses × factor de reembolso En donde suma de los # de meses faltantes Factor de reembolso = suma de los # de meses en el préstamo Ejemplo 595: Una deuda por 12 meses que se ha de pagar en pagos mensuales iguales fue liquidada en el 8º mes. Encontrar el factor de reembolso. Solución: puesto que la deuda fue liquidada en el 8º mes, quedan 12-8 = 4 meses. Entonces el numerador del factor de reembolso es 1 + 2 + 3 + 4 = 10 . El denominador es la suma de los números de todo el préstamos, es decir 12 meses; por lo que es igual a 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 78 . Luego el factor de reembolso es 10 78 Ejemplo 596: Pero nosotros ya sabemos la fórmula para encontrar la suma de los términos de una progresión aritmética que comienza en 1 y termina en n (el “e-nésimo” término): n(n + 1) Σ= 2 Donde la letra griega Σ significa “suma”. 4(4 + 1) Entonces sustituyendo los datos del numerador = = 10 2 12(12 + 1) 156 Y para el denominador = = = 78 2 2 Ejemplo 597: Una deuda de 8 meses es pagada en 3. Encontrar el factor de reembolso 8 – 3 = 5 meses (numerador) y la duración es de 8 meses (denominador), por lo tanto. 5(5 + 1) numerador = = 15 2 8(8 + 1) 72 denominador = = = 36 2 2 15 5 Por lo que el factor de reembolso queda = 36 12 Ejercicios: Calcular el factor de reembolso de las siguientes deudas 598: Duración 20 meses, pagada en 12 meses. 599: Duración 36 meses, pagada en 28 meses. 600: Duración 144 meses, pagada en 50 meses. Respuestas: 6 598: 35

2 599: 37 893 600: 2088

Hipoteca a tasa fija: Una hipoteca es el préstamo usado para pagar una casa. El tipo más común de hipoteca es aquel con tasa fija, es decir, la tasa de interés no varía con el tiempo y permanece constante a lo largo del préstamo. Aunque el periodo de préstamo puede tener cualquier cantidad de años, los periodos más usados son los de 5, 10, 15, 20, 25, e incluso 30 años. Los pagos usualmente se efectúan mensualmente. Usualmente las instituciones financieras requieren que las personas hayan pagado un enganche antes de otorgar el monto de la hipoteca. La fórmula para calcular los pagos mensuales es pm = pago mensual pm =

P (r / n)

1 − (1 + ( r / n ) )

− nT

En donde P = principal (el capital pedido al banco) r = tasa de interés anual n = número de pagos por año (usualmente 12) T = Duración de la hipoteca en años. Ejemplo 601: Una persona quiere comprar una casa de $6, 000, 000.00, para lo cual un banco le pide el 30% de enganche y le ofrece una hipoteca a 20 años con una tasa de interés anual del 12%. Si los pagos se han de realizar mensualmente, ¿a cuanto asciende el monto a pagar por mes y cuánto tiene que dar de enganche esta persona? Solución: el enganche es de 6000000 × 0.30 = $1,800, 000 , lo que quiere decir que el banco ha de prestar solamente $6, 000, 000 - $1, 800, 000 = $4, 200, 000.00 mientras que los pagos mensuales son de 4, 200, 000 ( 0.12 /12 ) = 46,245.6 −12×20 1 − (1 + ( 0.12 /12 ) ) Ejercicios: 602: Un matrimonio quiere comprar un departamento de $2, 000, 000.00, para lo cual el banco les pide un 20% de enganche y les ofrece una hipoteca a 15 años, con una tasa de interés del 13.5%. Si los pagos se han de realizar mensualmente, ¿a cuanto asciende el monto a pagar por mes y cuánto tiene que dar de enganche este matrimonio? 603: Una familia quiere comprar un casa de interés social de $350, 000.00, para lo cual el banco les pide un 10% de enganche y les ofrece una hipoteca a 12 años, con una tasa de interés del 13%. Si los pagos se han de realizar mensualmente, ¿a cuanto asciende el monto a pagar por mes y cuánto tiene que dar de enganche esta familia? Respuestas: 602: Enganche = $400,000.00. Pagos mensuales = $20,773.10 603: Enganche = $35,000.00. Pagos mensuales = $4,330.07

Amortización con interés global: Amortizar viene del latín “ad” y “mortus” literalmente “dar muerte”, en este caso, a una deuda. De hecho amortizar significa ir pagando una deuda. Cuando el cálculo de cada pago parcial depende de dividir el interés total entre el número de pagos, entonces podemos hablar que es una amortización de renta fija, y entonces la amortización es igual al cociente de la deuda entre el número de pagos: C A= n Nótese que la fórmula no habla de cómo se pagan los intereses, solamente de cómo se amortiza el capital adeudado. El abono que se daría en cada pago parcial es igual a los intereses más la amortización, es decir: abono = I + A En donde I = C ×i La cual es la fórmula que ya habíamos visto anteriormente para interés simple, excepto que en este caso la tasa de interés “i” representa el interés mensual, NO el interés anual. Si queremos convertir la tasa de interés anual en interés mensual, simplemente dividimos entre 12 la tasa de interés anual. Entonces podemos elaborar una fórmula compacta en términos ya conocidos y decir que el abono para amortizar una deuda, incluyendo intereses es C  abono = ( C × i ) +   ∴ n  1 abono = C  i +   n Ejemplo 604: Supongamos que una persona pide un préstamo de $100,000.00, a 24 meses con una tasa de interés global mensual del 4%, ¿cuál es el abono mensual que amortiza y paga los intereses correspondientes? Tenemos: C = 100, 000

i = 0.04 n = 24 ∴ I = 100, 000 × 0.04 = $4,000.00. A = 100, 000 ÷ 24 = $4,166.67 ∴ abono = 4,000 + 4,166.67 = $8,166.67 Resultado que también pudimos haber obtenido de forma más compacta con: 1   abono = 100, 000  0.04 +  = $8,166.67 24   Y por supuesto que esto se puede hacer equivalente con la fórmula del interés simple, ya que

S = C (1 + in); abono = S / n ∴ C (1 + in ) 1 in   1 + in  = C ∴  =C + n  n  n n   1 abono = C  i +   n

abono =

Ejemplo 605: Usando la fórmula del interés simple: S = C (1 + in) y tomando los datos del ejemplo anterior tenemos que: S = 100,000 (1 + ( 0.04 )( 24 ) ) = $196,000.00 Y el abono por lo tanto es 196000.00 ÷ 24 = $8,166.67 Por lo tanto, ambos caminos son equivalentes algebraicamente, aunque por supuesto que es más eficiente usar la forma compacta deducida anteriormente. Nótese que la amortización con intereses globales tiende a cargar a la deuda con un exceso de intereses, ya que la tasa de interés es I i= C y en el caso del último pago, tenemos que 4000 i= = 0.96 4166.67 ¡Una tasa de interés del 96%! Una forma mucho más justa de cargar intereses es sobre saldos insolutos, es decir sobre del capital que aún no se ha pagado. De esta manera los intereses decrecen conforme decrece también el capital adeudado, y este es el siguiente tema de discusión. Ejercicios: 606: Una persona pide un préstamo de $50,000.00, a 12 meses con una tasa de interés global mensual del 3.7%, ¿cuál es el abono mensual que amortiza y paga los intereses correspondientes? 607: Una empresa pide un préstamo de $27,000.00, a 18 meses con una tasa de interés global mensual del 2.8%, ¿cuál es el abono mensual que amortiza y paga los intereses correspondientes? Respuestas: 606:$6,016.67 607: $2,256.00

Interés sobre saldos insolutos (amortización de renta variable, interés simple): El interés sobre saldos insolutos consiste en aplicar la tasa de interés simple únicamente a las cantidades del principal que todavía se adeudan. Las cantidades que conforman la

suma de intereses que se aplican para cada uno de los saldos insolutos conforman una serie aritmética decreciente, en donde la diferencia entre las cantidades sucesivas es igual al capital amortizado, multiplicado por la tasa de interés simple anual, dividida entre el número de meses que tiene el año (12), si es que los pagos se hacen mensualmente, es decir:  i  d = A   ; A = C ÷ n;  12  n = # de pagos (recordemos que i = tasa de interés anual, A = amortización del capital, deuda o principal). Los intereses del primer periodo mensual son  i  I1 = C    12  Luego de haber hecho el primer pago, el saldo insoluto S1 es S1 = C − A Y los intereses a cobrar ahora son  i  I 2 = S1    12  Al hacer el segundo pago, el saldo insoluto S2 es S 2 = S1 − A Y los intereses que se pueden cobrar ahora son  i  I3 = S2    12  Y en general tenemos que cada saldo insoluto sucesivo S j es igual a su antecesor menos la cantidad amortizable

(

)

S j = S( j −1) − A (“j” es un índice que permite ordenar los términos de esta serie) Nótese que S0 = C , es decir, el adeudo inicial es nuestro punto de partida, antes de hacer cualquier amortización, y que no hay “ I 0 ” (sino I1 ), ya que los intereses del primer periodo mensual corresponden a “ C ” que es el adeudo total original. En general los intereses a cobrar por cada saldo insoluto serán  i  I j = S( j −1)    12  Es obvio que el factor i /12 es el mismo para todos los saldos insolutos, y como estamos aplicando interés simple, la sucesión de intereses es independiente de la de saldos insolutos. Además la cantidad amortizable también es una constante, ya que A = C ÷ ( # pagos ) (4.1)

Pero ni “ C ” ni el número de pagos cambia, por lo que nosotros podemos obtener toda la serie de saldos insolutos, sin tener que aplicarles intereses a cada uno de los términos de la serie, en donde ya vimos que se obtienen a partir de sustraer la cantidad amortizable a cada saldo insoluto anterior, y que el saldo insoluto inicial es la deuda total original. Una vez que tenemos la serie aritmética de los saldos insolutos, entonces podemos calcular cada uno de los términos de la serie de intereses “ I j ”, usando la

fórmula (4.1), la cual, por cierto, se puede escribir en forma prácticamente directa en cualquier programa de cómputo y hoja de cálculo, o bien se puede usar la memoria de la respuesta anterior, en el caso de usar una calculadora, incluso si esta no es programable. Entonces el interés cobrado total es igual a la suma de los intereses individuales, es decir I = I1 + I 2 + I 3 + ⋯ + I j + ⋯ + I n Recordemos que I1 = C ( i / 12 ) , y que la diferencia entre cada “ I ” sucesiva es

d = A ( i / 12 ) , y como “ i /12 ” es constante, lo podemos factorizar sin problemas dentro de cada término de la serie, por lo que podemos escribir la serie de cargos de interés como I = ( i / 12 ) C + ( C − A ) + ( C − 2 A ) + ⋯ + ( C − ( n − 1) A )

(

)

Esta serie aritmética decreciente la podemos escribir en forma creciente, ya que el orden de los sumandos no altera la suma, es decir x + y = y + x :

(

I = ( i / 12 ) ( C − ( n − 1) A ) + ⋯ + ( C − 2 A ) + ( C − A ) + C

)

El primer término de esta serie aritmética (que en la práctica corresponde al último pago), es igual a la diferencia. Efectivamente: ( i /12 ) ( C − ( n − 1) A ) ; C ∴ n ( i /12 ) ( C − ( n − 1)( C / n ) ) = A=

( i /12 ) ( C − n ( C / n ) + ( C / n ) ) = ( i /12 )( C / n ) ; ¡pero! d = ( C / n )( i /12 ) ∴ ( i /12 ) ( C − ( n − 1) A ) ≡ d Entonces, como tenemos una serie aritmética, podemos usar la fórmula para obtener la suma de los primeros “n” términos: (a + a ) n S= 1 n 2 En donde a1 = ( i /12 ) ( C − ( n − 1) A ) = ( i / 12 )( C / n )

an = ( i /12 ) C

n = # de pagos Entonces

S=

( i /12 ) ( ( C / n ) + C ) n 2

Podemos ahora prorratear los intereses, es decir, distribuirlos por partes iguales, dividiendo la suma de los intereses entre el número de pagos, es decir, entre “ n ”.

( i / 12 ) ( ( C / n ) + C ) n I prorrateado

S = = n

I prorrateado =

2 n

∴

( i /12 ) ( ( C / n ) + C ) 2

La cantidad a pagar mensualmente es igual a la amortización más el interés prorrateado, es decir: ( i / 12 ) ( ( C / n ) + C ) C R = I prorrateado + A = + 2 n Podemos generalizar la formula anterior, considerando periodos arbitrarios de tiempo, por lo que en la “ i ” de tasa de interés anual (que luego dividimos entre 12) la vamos a sustituir por la tasa ɵi para indicar una tasa de interés aplicable a cada periodo de tiempo entre un pago y otro: ɵi ( ( C / n ) + C ) C R= + 2 n Simplificando:

ɵi ( ( C / n ) + C )

ɵ C ni ( ( C / n ) + C ) + 2C + = = 2 2n n ɵ + 2C C ɵi + ɵin + 2 n ɵiC / n + niC = ∴ 2n 2n R = ( C / 2n ) ɵi ( n + 1) + 2

(

(4.2)

(

)

)

Donde, como se dijo más arriba, “ R ” es la renta o pago mensual. Nótese que el título de este subtema alude a la variación tanto en los intereses como en el saldo insoluto, pero gracias a toda el álgebra que se acaba de exponer, podemos realizar pagos iguales, es decir, hemos transformado a la renta variable en una renta fija. Ejemplo 608: Una escuela compra material didáctico con ayuda de un crédito de $58,000.00, que se liquida con 8 abonos mensuales, con cargos del 9.7% de interés simple anual sobre saldos insolutos. ¿A cuanto asciende la renta mensual por este préstamo?¿Cómo es la serie de intereses?¿Cuál es el abono de amortización hacia capital? Respuesta: Las preguntas no siempre se encuentran en el orden que las podemos resolver. Lo primero es ver los datos que tenemos: C = 58000 n=8 ɵi = 0.097 ≈ 0.0081 12 Entonces podemos comenzar a deducir que la amortización A = C / n = 58000 ÷ 8 = $7,250 Los intereses del último abono (que son iguales a la diferencia en la serie aritmética) son d = ɵi ( C / n ) , entonces d = 0.0081( 58000 / 8 ) = 5.8725 .

Los intereses del primer periodo mensual son I = Aiɵ = 58000 × 0.0081 = 469.8 1

Amortizamos haciendo el primer pago: S1 = C − A = 58000 − 7250 = 50750 Los intereses del segundo periodo mensual son ahora I = S ɵi = 50750 × 0.0081 = 411.075 2

1

Volvemos a amortizar S 2 = S1 − A = 50750 − 7250 = 43500 Y podemos calcular los intereses del tercer periodo mensual I = S ɵi = 43500 × 0.0081 = 352.35 3

2

Y en general cada saldo insoluto lo podemos calcular como ( 58000 - j × 7250 ) , { j = 0,1, 2,… , ( 8 − 1) = 7} Con lo que obtenemos la sucesión de saldos insolutos: {58000, 50750, 43500, 36250, 29000, 21750, 14500, 7250} Cada interés sobre los saldos insolutos los podemos calcular con 0.0081× ( 58000 - j × 7250 ) , { j = 0,1, 2,… , ( 8 − 1) = 7} Con la cual obtenemos la sucesión de intereses sobre cada uno de los saldos insolutos: {469.8, 411.075, 352.35, 293.625, 234.9, 176.175, 117.45, 58.725} La suma de todos los intereses sobre los saldos insolutos es 8 −1

∑ (0.0081× (58000 − j × 7250) = $2,114.10 j =0

Cantidad que podemos dividir entre el número de pagos, en este caso 8: 2,114.10 ≈ 264.26 8 Y entonces la renta mensual es R = 7250 + 264.26 = 7514.26 Usando la fórmula (4.2), comprobamos este número: R = ( C / 2n ) ɵi ( n + 1) + 2 = ( 58000 / (2 × 8) ) ( 0.0081( 8 + 1) + 2 ) = $7,514.26

(

)

Ejercicios: Un comerciante renueva su establecimiento, para lo cual pide un crédito de $270,000.00, que se liquida con 11 abonos mensuales, con cargos del 10.5% de interés simple anual sobre saldos insolutos. 609: ¿Cuál es el abono de amortización hacia capital? 610: Obtenga la serie de amortizaciones. 611: Obtenga la tasa de interés aplicable para cada mes. 612: Obtenga la serie de intereses, su suma y el interés prorrateado 613: ¿A cuanto asciende la renta mensual por este préstamo? 614: Demuestre que la fórmula (4.2) R = ( C / 2n ) ɵi ( n + 1) + 2 ,

(

)

también puede ser obtenida usando la fórmula del término en lugar de usar el término an en la fórmula de la suma, es decir, sabiendo que xn = x1 + ( n − 1) d , y como sabemos que el primer término de este tipo de serie aritmética es igual a la diferencia, a saber,

ɵi ( C / n ) , sustitúyalos en la fórmula S = ( a1 + an ) n , súmele al resultado la amortización 2 es decir S / n para eventualmente también llegar a la fórmula (4.2). En otras palabras, demuestre que ambos caminos para llegar a la fórmula (4.2) son equivalentes algebraicamente.

Respuestas: 609: $24,545.50 610: {270000, 245455., 220909., 196364., 171818., 147273., 122727., 98181.5, 73636., 49090.5, 24545.} 611: 0.00875 o bien 0.875% 612:serie de intereses: {2362.5, 2147.73, 1932.95, 1718.18, 1503.41, 1288.63, 1073.86, 859.09, 644.32, 429.54, 214.77}; suma de los intereses: $14,175.00; interés prorrateado: 1288.64. 613: $25, 834.10 614: Se debería obtener la misma fórmula de la renta mensual R = ( C / 2n ) ɵi ( n + 1) + 2 , obtenida en (4.2)

(

)

Relación entre interés simple e interés global: El interés global es el cociente de los intereses ganados para el total de una transacción, entre el capital o crédito otorgado: iglobal = interés global iglobal =

I C

Por otro lado, hemos visto que con ayuda de la fórmula (4.2) obtenemos la renta mensual de una amortización usando interés simple. El pago total que se hace durante el proceso de liquidación del adeudo, es el producto del número de pagos por la renta mensual: pago total = nR Luego entonces, los intereses pagados (con tasa de interés simple) se pueden deducir del pago total, restándole la cantidad otorgada como crédito: (4.3) I = nR − C Entonces, como la variable “ I ” depende de la tasa de interés simple y es la misma que se usa tanto en el cálculo del interés global como del interés deducido del total pagado menos el crédito, entonces podemos relacionar ambas ecuaciones y sustituir la expresión (4.3) en la del interés global: ig = Simplificando:

nR − C C

nR − C nR C = − ∴ C C C nR (4.4) ig = −1 C (Este último paso se obtiene porque toda cantidad divida entre sí misma es igual a la unidad). ig =

Ahora bien, la renta se obtiene con la fórmula (4.2): R = ( C / 2n ) ɵi ( n + 1) + 2

(

La cual sustituimos en (4.4): n ( C / 2n ) ɵi ( n + 1) + 2 nR ig = −1 = −1 C C Simplificando: n C / 2 n ɵi ( n + 1) + 2 ig = −1 = C C ɵi ( n + 1) + 2 = −1 2C ɵi ( n + 1) + 2 2 = − = 2 2 ɵi ( n + 1) + 2 − 2 = = 2 ɵi ( n + 1) + 2 − 2 ∴ = 2

(

)(

(

(

)

)

)

(

)

(

)

(4.5)

)

ig =

ɵi ( n + 1) 2

Entonces podemos ver que la relación entre la tasa de interés simple y la tasa de interés global esta dada por (4.5). Ejemplo 615: En una empresa se necesita comprar nueva maquinaria, para lo cual se ha solicitado un crédito por $6,000,000.00, a pagarse en 15 mensualidades, con una tasa de interés del 5% anual. ¿Cuál es el interés global? Solución: Obsérvese que la fórmula (4.5) no requiere de más datos que conocer la tasa de interés simple “ ɵi ”, y el número de pagos “ n ”, y por supuesto saber si la tasa de interés simple “ ɵi ” es anual, mensual, o diaria. En cualquier caso, a esta tasa de interés la tenemos que transformar en una que podamos usar, y como los pagos son mensuales, entonces tenemos que dividir a la tasa de interés “ ɵi ”, que es anual, entre 12, para fin de saber cuánto de interés se aplica a cada mes: ɵi = i = 5 ≈ 0.42% 12 12 Ahora sí tenemos los datos requeridos para los parámetros de (4.5), y el interés global es 0.42 (15 + 1) ig = = 3.36% 2 O bien, expresado en forma absoluta (es decir, dividiendo entre 100 el porcentaje), obtenemos el factor porcentual:

ig = 0.036 Ejercicios: 616: Un instituto de investigación pide un crédito por $360, 000.00, el cual paga en 11 mensualidades. Al momento de liquidar la deuda, alguien se da cuenta que han pagado $20,000, solamente de intereses. ¿Cuál es la tasa de interés simple que se usó, y cuál es la tasa de interés global? Pista: use las ecuaciones (4.3), (4.2) y por último la (4.5) 617: Una persona esta pagando una renta de $15,000.00 mensuales, durante 144 meses, con una tasa de interés simple del 10% anual, ¿cuál es el crédito original otorgado, y cuál es el interés global? Pista, use las ecuaciones (4.2) y (4.5). Recuerde que el interés simple anual se tiene que convertir a interés mensual. 618: A un matrimonio se les concede un crédito por $800,000.00 para comprar una casa, y saben que la renta mensual es de $12,000, durante 100 meses; saben también que el interés global es 0.5 (en términos absolutos) o el 50%, en términos relativos, pero les interesaría saber la tasa de interés simple anual. Pista: use (4.4) y (4.5). Respuestas: 616: interés simple anual 0.1111 o bien 11.11%. Interés global = 0.0555 o bien 5.55% 617: Crédito otorgado = $1,346,494.00; Interés global ≈ 0.6042 o bien 60.42% 618: Tasa de interés simple anual ≈ 0.0099 o bien 11.88% Unidades de inversión (UDIS): Después de la crisis económica de 1994, en la república mexicana se buscaron varias formas de reestructurar la deuda de muchas personas. Una de las formas que se encontraron fue la de crear los UDIS, que originalmente equivalían a un peso por unidad, pero se actualizan de acuerdo a la tasa de inflación anual, lo que las vuelve atractivas para muchos inversionistas. La tasa de inflación anual se puede aplicar como un interés simple a los UDIS. Ejemplo 619: Un inversionista compra $50,000.00 en UDIS el 2 de Febrero del 2007, y el banco le paga 6.7% de interés simple anual. ¿Cuál es el monto acumulado al 20 de Diciembre del 2007? Use la regla del banquero Recordemos que la fórmula de monto acumulado es M = C (1 + in) En donde “ n ” se obtiene usando el apéndice I y la regla del banquero (tiempo exacto, años de 360 días). Los días transcurridos son 354 − 33 = 321 Y por lo tanto   321   M = 50, 000 1 + ( 0.067 )    = 52987.1  360   

Ejercicios: (NOTA: para los siguientes ejercicios las fechas se han especificado como {año, mes, día}) Calcule el monto total ganado por los inversionistas en la compra de 620 : $ 48,355 UDIS con una tasa de interés anual del 5.36 % del día {2007,4,7} al día {2007,12,27} 621 : $ 85,250 UDIS con una tasa de interés anual del 8.38 % del día {2007,1,13} al día {2007,9,26}

622 : $ 22,124 UDIS con una tasa de interés anual del 5.4 % del día {2007,2,12} al día {2007,12,28} 623 : $ 59,120 UDIS con una tasa de interés anual del 4.94 % del día {2007,3,12} al día {2007,11,28} 624 : $ 71,034 UDIS con una tasa de interés anual del 1.09 % del día {2007,2,8} al día {2007,10,22} Respuestas: 620 : Monto = $ 50,255.7 621 : Monto = $ 90,330.1 622 : Monto = $ 23,182.6 623 : Monto = $ 61,237.4 624 : Monto = $ 71,584.6 Tarjetas de crédito: En otra parte del libro se ha hecho la descripción de las tarjetas de crédito. Aquí solamente se ha de agregar que cada banco tiene su propio sistema para cobrar intereses y obviamente su propia tasa de intereses. Sin embargo, hay algunas reglas comunes a todos: a) Los intereses cobrados son interés simple anual y muchas veces se especifica cuál es la tasa mensual b) Se usa en general la regla del banquero (tiempo exacto, años de 360 días) c) Los cargos son sobre los saldos insolutos, es decir, sobre aquella cantidad usada con la tarjeta de crédito, igual o menor al máximo crédito disponible en la tarjeta, y que en la fecha de corte de cada tarjeta no se haya cubierto. d) Los bancos suman todas las cantidades usadas por la tarjeta de crédito, desde el día posterior a una fecha del mes, llamada fecha de corte, hasta la siguiente fecha. e) Los bancos usualmente cobran lo que se adeude de la tarjeta en alguna fecha posterior a la fecha de corte. f) Si la suma total de lo adeudado a la fecha de corte no se cubre en la fecha de pago, entonces se hacen cargos de intereses sobre ese saldo insoluto, cobrándose por los días que tiene ese ciclo entre fechas de corte. Ejemplo 624: Un tarjetahabiente (propietario de una tarjeta de crédito) usa su tarjeta, acumulando del 15 de Enero al 15 de Febrero del 2007 (fechas de corte) la cantidad de $22, 000.00. La tasa de interés anual es del 15.25%. Esta persona no cubrió el adeudo en la fecha de pago que le corresponde, el 5 de Marzo. Determine el monto acumulado. Solución: Contamos los días entre fechas de corte (usando el apéndice I), y encontramos que el ciclo tiene 31 días. Aplicando la fórmula del interés simple   31   M = C (1 + in) = 22, 000 1 + ( 0.1525 )    = $22,288.9  360   

Ejercicios: Diga cuánto han de pagar l@s tarjetahabientes con los siguientes adeudos, tasas de interés anual y fechas de corte dadas: 625: $17, 850, al 14.8%, entre el 12 de Marzo y el 12 de Abril del 2007.

626: $8, 643, al 17%, entre el 17 de Septiembre y el 17 de Octubre del 2007. Respuestas: 625: $18, 077.5 626: $8, 765.44 El factoraje: Algunas empresas pueden llegar a tener problemas de liquidez, es decir, no contar con suficiente dinero en efectivo. Algunas veces esto se debe a que la mayoría de sus activos o bienes propios de la empresa, los tienen en documentos por cobrar. Estas empresas pueden recurrir a empresas de factoraje, que les pueden comprar los documentos por cobrarse, para así disponer de dinero en efectivo. Sin embargo, esta claro que para la empresa de factoraje esto representa un riesgo, por lo que el factor (quien compra los documentos) le cobra al cedente (la persona física o empresa que vende los documentos) una comisión sobre del aforo (ver más abajo) y aparte la cantidad nominal del pagaré sufre un descuento por cobrarse antes de la fecha de vencimiento. El descuento se calcula con la fórmula P = M (1 − nd ) , en donde M es el monto aforado (ver más abajo), n se calcula con la regla del banquero (días exactos/360) y d es la tasa de interés simple de descuento. Además, todos los cálculos se hacen con respecto del valor aforado o aforo del documento, el cual puede oscilar entre 70 y 95% del valor nominal del documento, dependiendo del grado de riesgo que represente un cierto deudor y de la empresa de factoraje. Ejemplo 627: Una empresa de computadoras va con una empresa de factoraje el 15 de Mayo del 2007 para venderle un documento con un valor nominal de $268,000.00, que se vence el 28 de Agosto del 2007. La empresa de factoraje cobra 0.5% de comisión, le descuenta al documento el 11.2% simple anual y el valor aforado del documento se establece en 85% del valor nominal. ¿Cuánto recibe la empresa de computadoras por su pagaré? Solución: Lo primero que tenemos que calcular es el aforo: ( 0.85)( 268, 000 ) = 227,800.00 La comisión se cobra sobre del valor aforado:  0.5  227,800.00 ×   = 1139.00  100  Luego tenemos que calcular los días exactos entre el 15 de Mayo (día 135º ) y el 28 de Agosto (día 240º), usando el apéndice I, con lo que tenemos 240 − 135 = 105 días. Entonces el valor del documento aforado, 105 días antes de su fecha de vencimiento es   105   P = 227,800.00 1 −   ( 0.112 )  = 220,359.00   360  

Entonces la empresa recibe 220,359.50-1139.00= $219,219.5

Ejercicios: Calcule la cantidad de dinero en efectivo que realmente se reciben por los siguientes documentos. 628 : $ 130,713. , con un aforo de 85.6 %, una tasa de descuento simple de 11.52 % y una comision de 0.3 %, de la fecha {2007,3,10} a la fecha {2007,11,26} 629 : $ 172,684. , con un aforo de 86.4 %, una tasa de descuento simple de 10.64 % y una comision de 0.4 %, de la fecha {2007,4,10} a la fecha {2007,10,21} 630 : $ 248,034. , con un aforo de 79 %, una tasa de descuento simple de 11.55 % y una comision de 0.5 %, de la fecha {2007,4,10} a la fecha {2007,10,25} 631 : $ 111,985. , con un aforo de 87.2 %, una tasa de descuento simple de 9.53 % y una comision de 0.4 %, de la fecha {2007,4,15} a la fecha {2007,12,23} 632 : $ 241,944. , con un aforo de 79.7 %, una tasa de descuento simple de 9.81 % y una comision de 0.7 %, de la fecha {2007,5,8} a la fecha {2007,12,22}

Respuestas: 628 : $ 102,210. 629 : $ 140,047. 630 : $ 182,520. 631 : $ 90,746. 632 : $ 179,499.

5. Series Geométricas 1. Introducción Una progresión geométrica es toda secuencia numérica, en donde cada término sucesivo se obtiene multiplicando el antecesor por una constante llamada razón de la progresión, o bien tasa proporcional o proporción común, o incluso razón geométrica.

Ejemplo 633: Se cuenta en la historia del ajedrez, que un sabio llamado Sisa fue su inventor. El rey de esta persona quedó tan complacido por el juego, que le ofreció a Sisa lo que quisiera, Sisa le pide entonces 1 grano de trigo por la primera casilla, 2 por la segunda, 4 por la tercera, 8 por la cuarta y así sucesivamente (el resto de la historia se irá desarrollando en otros ejemplos). La progresión geométrica que forman estos números es 1, 2, 4,8,16, 32, 64,… En donde cada término se obtiene multiplicando por 2 el antecesor. Nosotros podemos crear una progresión geométrica en cuanto elegimos un término inicial y una razón proporcional. Ejemplo 634: Digamos que nuestro primer término es 3 y la proporción común entre cada término sucesivo es 7. De esta manera, el segundo término lo obtenemos multiplicando 3 × 7 = 21 , el tercer término lo obtenemos multiplicando 21× 7 = 147 , y así sucesivamente, podemos obtener los primeros 10 términos de esta progresión: {3, 21, 147, 1029, 7203, 50421, 352947, 2470629, 17294403, 121060821} Por cierto que el adjetivo “geométrica” nos remite a figuras como los círculos y los cuadrados. De hecho la forma como crecen este tipo de progresiones, es precisamente porque se pueden representar como una secuencia de números elevados a una potencia, de manera similar a como se representan las medidas de área y de volúmenes. Ejemplo 635: Retomando el ejemplo del ajedrez, podemos representar la secuencia 1, 2, 4,8,16, 32, 64,… como 20 , 21 , 22 , 23 , 24 , 25 , 26 ,… , en donde volvemos a obtener una secuencia aritmética, pero ahora en los exponentes, no los coeficientes de cada término sucesivo. Podemos, a veces, usar figuras geométricas para darnos una idea de qué tan rápido crecen los números geométricamente

Ejemplo 636: La siguiente figura es una representación de los primeros 5 términos de la secuencia del ajedrez:

Figura 5.1: Representación con cuadrados de los 5 primeros términos de la progresión geométrica del ajedrez. Una progresión geométrica no necesariamente tiene que ser creciente, como en los ejemplos anteriores. Si la razón geométrica fuera 0 < r < 1 , es decir, que fuera algún decimal o fracción propia positiva, entonces la secuencia comenzaría en un cierto número y cada término sucesivo multiplicado por esta razón sería geométricamente cada vez más pequeño y entonces tendríamos una progresión decreciente. Ejemplo 637: Supongamos que tenemos una progresión que comienza en 1 y cuya razón geométrica es 1 / 2 , entonces los primeros 10 términos de la progresión serán 1 1   1 1 1 1 1 1 1 , , 1, , , , , , ,   2 4 8 16 32 64 128 256 512  Nótese, que esta progresión es exactamente la inversa multiplicativa que la del ajedrez.

De la misma manera que con las progresiones crecientes, las progresiones decrecientes se pueden representar con figuras geométricas, en donde cada figura sucesiva se verá disminuida en tamaño proporcionalmente a la razón geométrica. Ejemplo 638: La figura 5.2 representa una progresión decreciente de círculos

Figura 5.2. Los primeros 5 términos (representados con círculos) de la progresión  1 1 1 1  geométrica decreciente 1, , , , ,⋯ ; es decir, el diámetro de cada círculo  2 4 8 16  sucesivo es la mitad del diámetro de su antecesor. Ejercicios: Construya una progresión geométrica con los siguientes términos iniciales t0 , con sus respectivas razones geométricas rg ; obtenga los primeros 7 términos, después del término inicial. 639 : t0= 1 rg= 3 640 : t0= 2 rg= 4 641 : t0= 3 rg= 6 642 : t0= 4 rg= 7 643: t0= 5 rg=

1 5

Respuestas:

639 : {1,3,9,27,81,243,729,2187} 640 : {2,8,32,128,512,2048,8192,32768} 641 : {3,18,108,648,3888,23328,139968,839808} 642 : {4,28,196,1372,9604,67228,470596,3294172} 1 1 1 1 1 1 643: :5,1, , , , , , > 5 25 125 625 3125 15625

2. Progresiones geométricas, y series geométricas Una serie geométrica es la suma de los términos de una progresión geométrica. Ejemplo 644: Retomando el ejemplo del ajedrez, seleccionemos los 5 primeros términos de su progresión geométrica: 1, 2, 4,8,16,… Mientras que su correspondiente serie geométrica sería 1 + 2 + 4 + 8 + 16 +… Ejercicios:

Identifique cuál de los siguientes conjuntos representa una serie geométrica o una progresión geométrica:  9 27 81 243 729 2187 6561  645 : 3, , , , , , ,   5 25 125 625 3125 15625 78125  8 16 32 64 128 256   646 : 10 + 4 + + + + + +  5 25 125 625 3125 15625    25 125 625 3125 15625 78125 390625  647 : 5, , , , , , ,  4096 16384   4 16 64 256 1024  15 45 135 405 1215 3645 10935  648 : 5, , , , , , ,   4 16 64 256 1024 4096 16384  649: {6+ 30+ 150+ 750+ 3750+ 18750+ 93750+ 468750} Respuestas: 645: Progresión geométrica 646: Serie geométrica 647: Progresión geométrica 648: Progresión geométrica 649: Serie geométrica 3. Deducción de la fórmula del término enésimo Antes de desarrollar la fórmula del término enésimo, hay que aclarar que (al menos de momento) hablamos del enésimo término de una progresión geométrica, y no de una serie. Supongamos que ya conocemos al primer término t1 , y la razón geométrica rg (de momento consideraremos la notación t1 , en lugar de la más propia t0 para mayor claridad). Luego, el siguiente término de la progresión se calcula como el producto del primer término por la razón geométrica: t2 = t1 irg El tercer término es el anterior nuevamente multiplicado por la razón geométrica: t3 = t2 irg = ( t1 irg )irg = t1 irg2 Y así sucesivamente, por ejemplo, el cuarto término:

(

)

t4 = t3 irg = ( t1 irg )irg irg = t1 irg3

Nos podemos dar cuenta que al 4º término le preceden 3 términos y en general, el enésimo término “ n ”le preceden n − 1 términos, y de hecho vemos que el cuarto término, es igual al primer término, multiplicado por la razón geométrica al cubo, que es 4 − 1 = 3 . Entonces podemos decir que 5.1(a) tn = t1 irgn −1 O bien 5.1(b) tn = t0 irgn −1 Dependiendo de la forma que hayamos elegido para indexar.

Ejemplo 650: Supongamos que tenemos como término inicial a “ t0 = 3 ” y como razón geométrica “ rg = 5 ”. Entonces, los primeros 4 siguientes términos se obtienen como hemos visto anteriormente: t0(1) = 3; rg = 5 ∴

t1(2) = t0(1) irg = 3 × 5 = 15 t2(3) = t1(2) irg = 15 × 5 = 75 = t0(1) irg2 = 3 × 25 = 75 t3(4) = t2(3) irg = 75 × 5 = 375 = t0(1) irg3 = 3 × 125 = 375 t4(5) = t3(4) irg = 375 × 5 = 1875 = t0(1) irg4 = 3 × 625 = 1875 Y en general, usando digamos, 5.1(b): tn = t0 irgn −1 t4(5) = 3 × 5(5)−1 = 1875 Esto pasa porque estamos contando al primer término, el cual se obtiene elevando a la potencia cero la razón geométrica: t0(1) = 3 × 50 = 3 Entre paréntesis se ha colocado la indexación alternativa, suponiendo que el primer término lo indexamos con “1” y no con cero. En este último caso, la indexación se ve menos confusa, y de hecho, usando la ecuación 5.1(a): tn = t1 irgn −1 t5 = 3 × 55−1 = 1875 Por lo que se usará la ecuación 5.1(a) de ahora en adelante, y el término inicial será t1 irg1−1 = t1 irg0 = t1 Para evitar confusiones. Esta discusión sobre la indexación es importante, particularmente para los programadores computacionales, puesto que hay que tener mucho cuidado en la interpretación de la indexación. En lenguaje C y C++ los arreglos numéricos comienzan su indexación en “0”, mientras que en Fortran 77 o 90 pueden comenzar en otra posición. Ejemplo 651: Obténgase directamente el 10º término de la progresión geométrica que comienza con 7 y cuya razón geométrica es 2, usando la fórmula 5.1(a): La fórmula 5.1(a) dice que tn = t1 irgn −1 Y sabemos que t1 = 7; rg = 2; n = 10 . Por lo tanto:

t10 = 7 × 210−1 = 7 × 29 = 7 ( 512 ) = 3584 Ejercicios: Obténgase el “enésimo” término indicado, usando la formula 5.1(a), con los siguientes términos iniciales, y las siguientes razones geométricas: 652 : t1= 5 , r_g = 4 , para t( 3 )° 653 : t1= 4 , r_g = 2 , para t( 6 )°

654 : t1= 655 : t1=

4 , r_g = 12 , para t( 6 )° 10 , r_g = 7 , para t( 2 )°

1 , para tH6L° 6 2 11, r_g = , para tH5L° 3 4 2, r_g = , para tH6L° 7 5 1, r_g = , para tH7L° 2 5 1, r_g = , para tH7L° 12 11 2, r_g = , para tH3L° 5

656: t1= 7, r_g = 657: t1= 658: t1= 659: t1= 660: t1= 661: t1=

662: Diga de qué manera se puede rescribir la fórmula 5.1(b) tn = t0 irgn −1 de tal manera que no tenga ambigüedades en la forma de interpretar la indexación, al igual que la fórmula 5.1(a) tn = t1 irgn −1 . Compruebe su afirmación con los datos del último ejemplo antes de este grupo de ejercicios, es decir, obténgase el 10º término de la progresión geométrica que comienza con 7 y cuya razón geométrica es 2 Respuestas: 652 : t( 3 )° = 80 653 : t( 6 )° = 128 654 : t( 6 )° = 995328 655 : t( 2 )° = 70 656: tH6L° = 657: tH5L° = 658: tH6L° = 659: tH7L° = 660: tH7L° = 661: tH3L° =

7 7776 176 81 2048 16807 15625 64 15625 2985984 242 25

662: Nótese que en el caso de la fórmula 5.1(b), cuyo primer término tiene índice “0”, al referirnos al décimo término (contando al primer término, por supuesto), en realidad nos referimos al término indexado como “ n − 1 ”, de tal manera que la fórmula 5.1(b) se puede escribir como tn −1 = t0 irgn −1 , en donde “ n ” para el ejemplo que nos concierne efectivamente es el décimo, pero para la fórmula lo escribiremos como “ n − 1 ”, y lo comprobamos con t0 = 7; rg = 2 ∴ t10 −1 = 7 × 210 −1 = 3584 .

4. Deducción de la fórmula del primer término y de la razón

Tomando la fórmula 5.1(a)

tn = t1 irgn −1 Si queremos obtener el primer término podemos despejarlo fácilmente de la ecuación: tn = t1 irgn −1 ∴ tn = t1 ∴ rgn −1

t1 =

5.2

tn rgn −1

Ejemplo 663: Supongamos que tenemos la progresión geométrica: {⋯ , 54(4) , 162(5) , 486(6) , 1458(7) } En donde los números entre paréntesis nos indican su posición indexada, y de la cual sabemos que su razón geométrica es “3”; luego entonces, usando la fórmula 5.2 y el séptimo término de la progresión: t7 = 1458; rg = 3 ∴

1458 1458 1458 = 6 = ∴ 7 −1 3 729 3( ) t1 = 2 Obsérvese que requerimos saber de cuántos términos consta la progresión, además de conocer el primer término y la razón geométrica. t1 =

Para obtener la razón geométrica, despejamos de la siguiente manera: tn = t1 irgn −1 ;

tn = rgn −1 t1 Finalmente obtenemos la raíz “ n − 1 ” en ambos lados de la igualdad anterior, y nos queda que la razón geométrica es: t 5.3 rg = n −1 n t1 Ejemplo 664: La formula 5.3 implica que requerimos el primer y último términos de la progresión, y saber cuántos términos tiene la progresión, es decir, qué índice tiene el último término. Supongamos que tenemos como primer término “5” y como último término “6480”, en donde sabemos que la progresión tiene 5 términos. Entonces sustituyendo estos valores en 5.3, obtenemos: 6480 4 4 rg = 5−1 = 1296 = 6 4 ∴ 5 rg = 6 Nótese que puesto que estamos hablando de progresiones geométricas, por fuerza el número obtenido dentro del radical tiene que ser una potencia exacta del índice del radical. En otras palabras, la tarea de obtener la raíz “ n − 1 ” se reduce a encontrar aquel número que se pueda expresar como una potencia “ n − 1 ”, del número dentro del radical.

Ejercicios: 665-669: Obténgase el primer término, dadas los siguientes datos sobre el último término, la razón geométrica y el número de términos. 665: rg =2, tn = 320, n = 7 666: rg =2, tn = 128, n = 6 667: rg =5, tn = 244140625, n = 13 668: rg =6, tn = 5642219814912, n = 17 669: rg =3, tn = 15309, n = 8

670-674: Calcule la razón geométrica de las progresiones en donde se tienen los siguientes primer y último términos, y el número de términos de la progresión. 670: t1 = 2 tn = 2592 n = 5 671: t1 = 1 tn = 2401 n = 5 672: t1 = 1 tn = 4096 n = 7 673: t1 = 6 tn = 768 n = 8 674: t1 = 4 tn = 128 n = 6

675: Obtenga una fórmula alternativa a 5.3, usando logaritmos. Diga al menos una ventaja y una desventaja de esta fórmula alternativa. Pista: tome como punto de partida la 5.1(a). Respuestas: 665: t1 = 5 666: t1 = 4 667: t1 = 1 668: t1 = 2 669: t1 = 7

670: rg = 6 671: rg = 7 672: rg = 4 673: rg = 2 674: rg = 2

675: A partir de tn = t1 irgn −1 , aplicamos logaritmos en ambos lados de la igualdad y

obtenemos log ( tn ) = log ( t1 ) + ( n − 1) log ( rg ) . Despejando para log ( rg ) , obtenemos log ( rg ) =

log ( tn ) − log ( t1 )

( n − 1)

, en donde aplicando antilogaritmos en ambos lados de la

ecuación, resolvemos finalmente para rg :  log ( tn ) − log ( t1 )   ( n −1) 

  log ( tn ) − log ( t1 )  rg = 10^  = 10 ( n − 1)  

los logaritmos son base 10, o bien

suponiendo que

 ln ( tn ) − ln ( t1 )  rg = exp   = e ( n − 1)  

 ln ( tn ) − ln ( t1 )    ( n −1)   en el caso de los

logaritmos naturales. Ventajas: 1) Se pueden resolver problemas con ayuda de tablas de logaritmos o con una regla de cálculo, prácticamente “a mano”. 2) Algunas calculadoras y sistemas de cálculo de los años 1980’s carecen de raíces “enésimas”, pero tienen logaritmos, lo que permite el uso de este tipo de fórmulas. 3) Para números muy grandes (quizá del orden de 1020 hacia arriba), este puede ser el único método disponible. Desventajas: 1) Los logaritmos son una forma de cálculo aproximada, no precisa. Entonces para progresiones geométricas que dependan de números enteros, esta fórmula alternativa no nos va a dar el número entero como tal, sino que al final del cálculo, lo más probable es que tengamos que aplicar redondeo sin sesgo estadístico. Sin embargo, hay que decir que el error de redondeo es muchísimo menor entre más grande sean los números enteros, con una diferencia entre el número obtenido y el correcto de máximo ±1 . 2) La fórmula alternativa con logaritmos involucra más cálculos intermedios que la fórmula que usa la raíz “ ( n − 1) ”. 3) La fórmula alternativa con logaritmos es menos intuitiva que la fórmula que usa la raíz “ ( n − 1) ”.

5. Deducir la fórmula para hallar el número de términos de una progresión geométrica usando logaritmos Nosotros podemos obtener la cantidad de términos de una progresión geométrica, despejando la potencia de la razón geométrica por medio de logaritmos. Partiendo de la fórmula 5.1(a) tn = t1 irgn −1 Aplicamos logaritmos en ambos lados de la ecuación: log ( tn ) = log ( t1 ) + ( n − 1) log ( rg ) Despejando: log ( tn ) − log ( t1 ) log ( rg )

Finalmente 5.4

n=

= ( n − 1)

log ( tn ) − log ( t1 ) log ( rg )

+1

Obsérvese que la fórmula 5.4 no requiere el uso de antilogaritmos, y el no usar una función inversa permite mucha mayor precisión. Ejemplo 676: Retomando algo del problema del ajedrez, ¿Cuántos términos tiene la progresión geométrica que comienza en 1, termina en 2048, y cuya razón geométrica es 2? Respuesta: Primero que nada, es indistinto que tipo de logaritmos usemos, siempre y cuando apliquemos el logaritmo de la misma base en toda la fórmula. Entonces, aplicando la fórmula 5.4 con los valores que nos dan del problema, y por ejemplo usando logaritmos naturales: log ( 2048 ) − log (1) n= +1 = log ( 2 ) 7.62462 − 0 + 1 = 12. 0.693147 Ejercicios: 677: ¿Por qué razón no podemos usar radicales para despejar el número de términos de la fórmula 5.1(a)? 678: Convénzase que la base de logaritmos aplicada a la fórmula 5.4 es irrelevante (siempre y cuando se use la misma en toda la fórmula), es decir, establezca numéricamente que el resultado es el mismo, usando los datos del ejemplo dado. Use tantas distintas bases de logaritmos como tenga disponibles, pero al menos demuestre que el resultado es el mismo con ayuda de logaritmos base 10. 679: (Problema reto). Demuestre formalmente (es decir, en términos simbólicos, no numéricos), que independientemente de la base de logaritmos usada, la fórmula 5.4 tiene que dar el mismo resultado. Pista: recuerde que para transformar el logaritmo de un número en una base, al logaritmo de ese mismo número en otra base se usa la fórmula:

log b ( x ) =

log a ( x ) log a ( b )

Dadas la razón geométrica, el primer y último términos, obténgase el número de términos de las siguientes progresiones geométricas. 680: rg= 681: rg= 682: rg= 683: rg= 684: rg= 685: rg= 686: rg= 687: rg=

2 1 4 , t1= , tn= 5 2 125 4 1 16384 , t1= , tn= 3 9 19683 2 32768 4, t1= , tn= 7 7 4 5 131072 , t1= , tn= 5 6 1171875 5 4 390625 , t1= , tn= 4 9 147456 1 4 1 , t1= , tn= 2 9 144 5 2 1250 , t1= , tn= 3 7 567 1 4, t1= , tn= 2048 8

1 8192 , tn= 6 3 1 689: rg= 2, t1= , tn= 32 8 688: rg= 4, t1=

Respuestas: 677: Porque al usar radicales requerimos del índice del radical, es decir, la cantidad “ n − 1 ”, pero justamente es “ n ” la cantidad desconocida. 678: En todos los casos el resultado debe ser 12. 679: Supongamos que para la fórmula 5.4 usamos primero una base “ a ” de logaritmos: log a ( tn ) − log a ( t1 ) (a) +1 = n log a ( rg ) Y luego usamos otra base de logaritmos y suponemos de momento que nos va a dar una cantidad distinta de número de términos, lo cual simbolizamos con “ n ' ” (n prima): log b ( tn ) − log b ( t1 ) (b) +1 = n ' log b ( rg ) Usando la fórmula para transformar el logaritmo de un número de una base a otra (aplicada, por ejemplo, al primer término): log a ( tn ) log b ( tn ) = log a ( b ) Aplicando esta misma fórmula en toda la ecuación (b), obtenemos: log a ( tn ) log a ( t1 ) − log a ( b ) log a ( b ) +1 = n ' log a ( rg ) log a ( b ) Factorizando arriba y abajo y cancelando términos semejantes: 1 ( log a ( tn ) − log a ( t1 ) ) log a ( b ) +1 = n ' 1 log a ( rg ) log a ( b )

(

Es decir:

)

( log ( t ) − log ( t ) ) + 1 = n ' a

n

a

( log ( r )) a

1

g

Pero este resultado es idéntico a la fórmula (a), por lo tanto n' ≡ n Lo que es condición suficiente y necesaria para afirmar que en lo que concierne a la fórmula 5.4, es indistinta la elección que hagamos de base de logaritmos.

680 : n = 4. 681 : n = 8. 682 : n = 8. 683 : n = 10. 684 : n = 9. 685 : n = 7.

686 687 688 689

: : : :

n n n n

= = = =

5. 8. 8. 9.

6. En toda progresión geométrica, el producto de dos términos equidistantes de los extremos es igual al producto de los extremos Sea la progresión x1 ⋯ xn + 2 ⋯ xn + 2+ k ⋯ x2 n + 2 Esta claro que entre x1 y xn + 2 hay “ n ” términos, mientras que entre xn + 2+ k (“ k ” es un número entero cualquiera) y x2 n + 2 , también hay “ n ” términos en medio. En ambos casos, el “2” de los índices significan que para contar los “ n ” términos de en medio no estamos contando el primer y último términos. Entonces tanto xn + 2 , y xn + 2+ k son equidistantes de los extremos. Vamos a probar que ( xn + 2 )( xn+ 2+k ) = ( x1 )( x2 n+ 2 ) En efecto, usando la fórmula 5.1(a) tenemos que: xn + 2 = x1 irgn +1

x2 n + 2 = xn + 2 + k irgn +1 Dividiendo estas igualdades, tenemos: x1 i rgn +1 xn + 2 = ∴ ( xn + 2 )( xn + 2 + k ) = ( x1 )( x2 n + 2 ) x2 n + 2 xn + 2 + k i rgn +1 Que era lo que queríamos demostrar. Nótese que de acuerdo a esta demostración, si una progresión geométrica tiene un número impar de términos, el cuadrado del término medio equivale al producto de los extremos. Además, nótese que en realidad no necesitamos conocer cuántos términos tiene la progresión, ni tampoco saber la razón geométrica. Basta con que conozcamos los extremos de la progresión y saber que los términos son equidistantes, sin necesidad de saber la posición exacta que hace a los términos equidistantes. Ejemplo 690: Supongamos la progresión geométrica {2, 10, 50, 250, 1250, 6250, 31250, 156250} El producto de los extremos es 2 × 156250=312500 . Los números 10 y 31250 son equidistantes de los extremos, lo mismo que las siguientes parejas, ilustradas en la siguiente secuencia de igualdades: 10 × 31250 = 312500 50 × 6250 = 312500 250 ×1250 = 312500 Ejemplo 691: Supongamos la misma progresión geométrica del ejemplo anterior, pero con una cantidad impar de términos. {2, 10, 50, 250, 1250, 6250, 31250, 156250, 781250} El producto de los extremos es

2 × 781250 = 2 ( 700000 + 80000 + 1000 + 200 + 50 ) = 1, 400,000 + 160,000 + 2, 000 + 400 + 100 = 1,562,500 El término medio es 1250 (de hecho, el 5º término), y sabemos que el cuadrado de este término es igual al producto de los extremos. De hecho

1250 2 = (1000 + 200 + 50 ) = 2

1000 2 + 2002 + 502 + 2 (1000 )( 200 ) + 2 (1000 )( 50 ) + 2 ( 200 )( 50 ) = 106 + 4 × 104 + 25 × 10 2 + 4 × 105 + 10 × 104 + 20 × 103 = 106 + 4 × 104 + 2.5 × 103 + 4 × 105 + 1.0 ×105 + 2.0 × 104 = 106 + 4 × 105 + 1.0 × 105 + 4 ×10 4 + 2.0 × 104 + 2.5 × 103 = 1,562,500 Ejercicios: Compruebe el teorema de los términos equidistantes para las siguientes progresiones geométricas: 692 : {6,30,150,750,3750,18750} 693 : {2,6,18,54,162,486,1458} 694 : {5,15,45,135,405,1215,3645,10935} 695 : {2,6,18,54,162,486} 696 : {4,8,16,32,64,128,256,512}

Respuestas: 692 : 112500 693 : 2916 694 : 54675 695 : 972 696 : 2048 7. Deducción de la fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica (evaluación de una serie geométrica) Sea la progresión x1 , x2 , x3 , x4 ,⋯ , xn

Cuya razón geométrica es rg . Simbolizamos con “ S ” a la suma de todos sus términos, tendremos así la serie geométrica: (a) S = x1 + x2 + x3 + x4 + ⋯ + xn Multiplicamos ambos lados de la igualdad por la razón geométrica para obtener (b) Srg = x1rg + x2 rg + x3 rg + x4 rg + ⋯ + xn rg Sustrayendo (b) de (a):

Srg = (c)

x1rg + x2 rg + x3 rg + x4 rg + ⋯ + xn −1rg + xn rg

− S = − x1 − x2 − x3 Srg − S = xn rg − x1

− x4 − x5

− ⋯ − xn

El resultado de esta sustracción depende del saber que la multiplicación de cada miembro de la serie por la razón geométrica nos da el término sucesivo, por ejemplo x1rg = x2 y esta x2 del minuendo se cancela con la − x2 del sustraendo, y en general casi todas las “ x j rg ” del minuendo se cancelan con las “ x j +1 ” del sustraendo, excepto el primer miembro de la serie del sustraendo y el último miembro de la serie del minuendo, que no tienen ningún miembro con qué cancelarse. Obsérvese que la sustracción en ( c ) de hecho ha sido escrita de tal manera que se ilustre el punto que se acaba de discutir. Sacando el factor común “ S ” del lado derecho de la igualdad resultado de la sustracción en ( c ), tenemos: S ( rg − 1) = xn rg − x1 Y por lo tanto

S=

5.5

xn rg − x1

(r

g

− 1)

Ejemplo 697: Como podemos ver en la fórmula (5.5), de una serie geométrica finita, se supone que lo único que necesitamos es conocer el primer y último término, y la razón geométrica. Sin embargo hay casos en los que primero hay que calcular al último término. Supongamos el ejemplo del ajedrez, en donde el primer término es “1”, el último término tiene como índice “64” (porque el tablero de ajedrez tienen 64 casillas), y la razón geométrica es “2”. ¿Cuántos granos de trigo le pidió en total Sisa al rey? Lo primero que tenemos que hacer es calcular al último término, ya que lo único que conocemos de él es que es el 64º. Entonces, aplicando la fórmula 5.1(a) tn = t1 irgn −1 ; t1 = 1, rg = 2, n = 64 ∴ tn = (1)i( 2 )

( 64−1)

= 263 ∴

tn = 9,223,372,036,854,775,808 (Recordemos que hasta ahora lo único que hemos calculado es el 64º término). La suma de esta serie nos queda como: x r −x S = n g 1; ( rg − 1)

xn = 9,223,372,036,854,775,808 rg = 2 x1 = 1∴ S =

( 9,223,372,036,854,775,808 )( 2 ) − (1) = 18,446,744,073,709,551,615 ( ( 2 ) − 1)

Es decir, 18 trillones, 446 mil 744 billones, 73 mil 709 millones, 551 mil 615 granos de trigo. Un ejercicio para el estudiante interesado, sería estimar el peso que tiene todo este trigo y compararlo con la producción mundial, anual de trigo. Pistas: si se pesan 100 granos de trigo, y se divide el resultado entre 100, se obtiene el peso promedio de un grano de trigo expresado en gramos (si se tiene una báscula suficientemente sensible). La producción mundial, anual de trigo, se puede encontrar en algunos almanaques que resumen lo acontecido a nivel mundial en el año anterior, y lo más probable es que se

encuentre expresada en toneladas métricas, cada una equivalente a 106 gramos, o un millón de gramos. Esta claro que si para una serie geométrica tenemos ( t1 ∧ rg ) > 1 , su suma tiende a infinito. Ejercicios: Encuentre la suma de las series definidas con los siguientes datos: 698: x1= 4 rg = 4 n = 4 699: x1= 3 rg = 7 n = 7 700: x1= 4 rg = 4 n = 7 701: x1= 3 rg = 2 n = 5 702: x1= 2 rg = 6 n = 8 703: x1= 5 rg = 3 n = 7 704: x1= 5 rg = 4 n = 4 705: x1= 3 rg = 6 n = 7 706: x1= 2 rg = 4 n = 4 707: x1= 5 rg = 6 n = 4

Respuestas: 698 : S = 340 699 : S = 411771 700 : S = 21844 701 : S = 93 702 : S = 671846 703 : S = 5465 704 : S = 425 705 : S = 167961 706 : S = 170 707 : S = 1295 8. Interpolar medios geométricos La interpolación de medios geométricos entre dos números a y b , donde a < b , es formar una progresión geométrica, cuyos extremos sean precisamente los números dados. Como ya tenemos el primer y último término de la progresión geométrica, podemos deducir la razón geométrica con ayuda de la fórmula 5.3: t (a) rg = n −1 n t1 y como ya sabemos el número de miembros a interpolar, entonces n = m + 2, m = # de medios geométricos a interpolar (el 2 viene de contar a los extremos de la progresión geométrica). Entonces sustituyendo el valor de n en (a): t rg = m +1 n (5.6) t1

Ejemplo 708: Supongamos que queremos interpolar 4 medios geométricos entre 1 y 243, entonces la razón geométrica la calculamos con la fórmula (5.6), como:

rg = ( 4 )+1

( 243) = 5 243 = 3 (1)

Y entonces ahora sí podemos calcular la progresión geométrica: 1× 30 ,1× 31 ,1× 32 ,1× 33 ,1× 34 ,1× 35 = 1,3,9, 27,81, 243 En donde 3, 9, 27,81son los 4 medios geométricos interpolados. Nótese que si en lugar de haber dicho “1 y 243” hubiéramos dicho “243 y 1”, entonces lo que tendríamos sería una progresión geométrica decreciente. La forma de obtener la razón geométrica es precisamente considerando que estamos dando el orden de primer y último términos en forma inversa, es decir, es como si escribiéramos (5.6) en la forma t rg = m +1 1 tn Y por supuesto que rg < 1 . Ejemplo 709: Obténgase la progresión geométrica decreciente retomando los datos del ejemplo anterior. Tenemos que la razón geométrica es: 1 1 rg = 4 +1 = 243 3 Y la progresión geométrica nos queda como 0

1

2

3

4

5

1 1 1 1 1 1 243 ×   , 243 ×   , 243 ×   , 243 ×   , 243 ×   , 243 ×   =  3  3  3 3 3 3 243, 81, 27, 9, 3, 1 Lo cual es exactamente la misma progresión geométrica, solo que en orden inverso, de mayor a menor. Ejercicios: Estime los medios geométricos requeridos de las progresiones geométricas definidas con los siguientes datos:

710: m = 4, t1 = 4, tn = 711: m = 3, t1 = 6, tn 712: m = 3, t1 = 5, tn 713: m = 6, t1 = 3, tn

1 256 3 = 8 16 = 125 = 234375

714: m = 6, t1 = 4, tn =

512 78125

16 , t1 = 5 125 2187 6, tn = , t1 = 4 4096 4 6, tn = , t1 = 4 2187 243 3, tn = , t1 = 3 256 1024 4, tn = , t1 = 5 625

715: m = 3, tn = 716: m = 717: m = 718: m = 719: m =

Respuestas: 1 1 1 1 710: :4,1, , , , > 4 16 64 256 3 3 3 711: :6,3, , , > 2 4 8 4 8 16 712: :5,2, , , > 5 25 125

713 :

{3,15,75,375,1875,9375,46875,234375}

8 16 32 64 128 256 512 714: :4, , , , , , , > 5 25 125 625 3125 15625 78125 4 8 16 715: :5,2, , , > 5 25 125 9 27 81 243 729 716: :4,3, , , , , , 4 16 64 256 1024 4 4 4 4 4 4 717: :4, , , , , , , 3 9 27 81 243 729 9 27 81 243 718: :3, , , , > 4 16 64 256 16 64 256 1024 719: :5,4, , , , > 5 25 125 625

2187 > 4096 4 > 2187

9. Suma de una progresión geométrica decreciente infinita Si en la fórmula (5.5)

S=

xn rg − x1

(r

g

− 1)

, sustituimos el valor de xn , con ayuda de la

fórmula 5.1(a), tn = t1 irgn −1 , entonces obtendremos: S=

( x ir ) r − x = ( r − 1) ( r − 1)

xn rg − x1 g

1

n −1 g g

g

1

=

x1 irgn − x1

(r

g

− 1)

Cambiando arriba y debajo los signos de la última fracción obtenemos x1 − x1 irgn S= (a) 1 − rg

En una progresión geométrica decreciente, la razón geométrica es una fracción propia, y si una fracción propia se eleva a una potencia, cuanto mayor sea el exponente, más pequeña será la fracción resultante de haberse elevado a esta potencia. Por lo tanto, cuanto mayor sea n , más pequeño es el número rgn y en consecuencia también será más pequeño el producto x1 irgn ; suponiendo que n sea arbitrariamente grande, es decir, conforme n → ∞ , el producto x1 irgn se vuelve arbitrariamente pequeño, es decir,

x1 irgn → 0 , y esto lo podemos expresar con la notación de límites que es familiar de cálculo: lim x1 irgn = 0 n →∞

Y por lo tanto

lim S = lim n →∞

n →∞

x1 − x1 irgn 1 − rg

Lo que nos queda como

Sn →∞ =

(5.7)

x1 1 − rg

Ejemplo 720: Supongamos que tenemos como primer término 1 y como razón geométrica ½ es decir 0.5, entonces aplicando (5.7), tendremos S n →∞ =

(1) = 1 = 1 = 2 1 − ( 0.5 ) 0.5 1/ 2

Entonces, la serie geométrica cuya razón es el inverso de aquella que forma el problema del ajedrez nos da un número concreto pequeño. Ejercicios: Evalúe las series geométricas decrecientes infinitas con los siguientes datos: 2 7 7 722: x1=2, rg = 5 7 723: x1=4, rg = 12 5 724: x1=2, rg = 9 3 725: x1=6, rg = 7 1 726: x1=12, rg = 6 1 727: x1=3, rg = 2 1 728: x1=4, rg = 7 2 729: x1=3, rg = 3 2 730: x1=6, rg = 13

721: x1=13, rg =

Respuestas: 721: Sn→∞ = 722: Sn→∞

723: Sn→∞ 724: Sn→∞ 725: Sn→∞ 726: Sn→∞ 727: Sn→∞

728: Sn→∞ 729: Sn→∞

730: Sn→∞

91 5 = −5 48 = 5 9 = 2 21 = 2 72 = 5 =6 14 = 3 =9 78 = 11

10. Hallar el valor de una fracción decimal periódica Una fracción decimal periódica es la suma de una progresión geométrica decreciente infinita del tipo − k +1 − k +2 a i10− k + a i10 ( ) + a i10 ( ) + ⋯ k ∈ℕ Cuya suma se puede calcular con ayuda de la fórmula (5.7). Nótese que el valor del exponente k es arbitrario, lo que quiere decir que la periodicidad de una fracción no necesariamente tiene que comenzar justo a la derecha del punto decimal, sino varios lugares decimales más hacia la derecha, y además puede o no estar precedida de otros decimales que no sean parte de la periodicidad.

Ejemplo 731: Supongamos el número

0.333333333… Entonces lo que tenemos es la serie geométrica infinita 3 × 10−1 + 3 × 10−2 + 3 × 10−3 + 3 × 10−4 + 3 × 10−5 ⋯ En donde podemos expresar esta serie también como 3 3 3 3 + + + +⋯ 10 100 1000 10, 000 El primer término es 3/10 y la razón geométrica es 1/10, luego entonces, usando la fórmula para las progresiones geométricas decrecientes infinitas (5.7): 3 ( 3 / 10 ) = 10 = 1 S n →∞ = 9 1 − (1 /10 ) 3 10 Ejemplo 732: Supongamos la fracción

0.541666666666666 Podemos que la fracción decimal periódica esta precedida de una parte no periódica, la cual simplemente podemos expresar como: 541 0.541 = 1, 000 La parte periódica es 0.000666666666666 en donde el primer término es 6 6 × 10−4 = 10, 000 Y la razón geométrica también es 1/10, por lo tanto, aplicamos (5.7) y nos queda 6 6 /10, 000 ) 10, 000 ( ( 2 × 3) × 10 = 2 = 2 Sn →∞ = = = 9 1 − (1/10 ) ( 3 × 3) ×10, 00 0 3 ×1, 000 3000 10 Sumamos la parte periódica con la no periódica y simplificamos: 541 2 13 + = 1, 000 3000 24 Nótese en estos dos ejemplos, que el procedimiento que acabamos de seguir es otra forma de racionalizar fracciones decimales. Ejercicios: Racionalize las siguientes fracciones periódicas, usando la suma infinita de una serie geométrica decreciente. 733 : 0.11111111111 734 : 0.2222222222 735 : 0.33333333333 736 : 0.44444444444 737 : 0.05555555555 738 : 0.07777777777 739 : 0.88888888888 740 : 0.58899999999 741 : 0.4343434343 742 : 0.78787878

Respuestas: 1 9 2 734: 9 1 735: 3 4 736: 9 1 737: 18 7 738: 90 8 739: 9

733:

740:

589 1000

11. Aplicaciones de la teoría vista en este capítulo en temas financieros relevantes. Interés compuesto: Cuando el interés ganado en un cierto periodo de tiempo se suma al capital para de esta manera incrementarse el principal y ganar una proporción cada vez más grande de intereses, se dice que tenemos interés compuesto. La fórmula del interés compuesto se deduce de la siguiente manera. C = Capital S = valor acumulado de C, o cantidad compuesto de C. n = Cantidad total de periodos de tiempo. m = cantidad de periodos por año, o frecuencia de la composición jm = tasa (anual) nominal de interés que se acumula m veces por año i = tasa de interés por periodo = jm / m Recordemos que el interés es capital por tasa de interés, entonces, al final del primer periodo: Interés a pagar es Ci Valor acumulado C + Ci = C (1 + i ) Al final del segundo periodo Interés a pagar es ( C (1 + i ) ) i

Valor acumulado C (1 + i ) + ( C (1 + i ) ) i = C (1 + 2i + i 2 ) = C (1 + i )

2

(Esto último porque al desarrollar los productos identificamos a un trinomio cuadrado perfecto, el cual es un binomio al cuadrado). Al final del tercer periodo:

(

)

Interés a pagar es C (1 + i ) i 2

(

)

Valor acumulado C (1 + i ) + C (1 + i ) i = C (1 + 2i + i 2 + i + 2i 2 + i 3 ) = C (1 + i ) 2

2

3

Rápidamente identificamos el patrón del la progresión geométrica que forman los valores acumulados, la cual es una sucesión monotónica (es decir, siempre creciente y de la misma manera) de binomios elevados a una potencia que crece de a uno en uno: C (1 + i ) , C (1 + i ) , C (1 + i ) , C (1 + i ) ,⋯ El n-ésimo término de esta progresión es 2

3

4

(5.8) S = C (1 + i ) En donde S es el valor acumulado de C, al final de n periodos. La ecuación 5.8 es justamente la fórmula fundamental del interés compuesto. Al proceso de obtener S se le n

llama acumulación, y (1 + i ) es el factor de acumulación unitario, es decir el valor n

acumulado de $1 o un euro, o un dólar, o lo que sea que estemos tomando como unidad de referencia. El valor acumulado S del monto principal C a la tasa jm durante t años, tomando (5.8) y el hecho de que i = jm / m , nos queda t

mt m  jm  jm    S = C (1 + i ) = C 1 +  = C  1 +    m m     Ahora bien, supongamos que nosotros estamos acumulando continuamente, es decir, nos preguntamos qué pasaría si en lugar de estar pagando cada mes, o incluso cada día, se estuviera pagando a cada instante. En ese caso la cantidad de periodos m crecería sin límite, es decir m → ∞ . La pregunta es si acaso S también crecería sin límite. Veamos qué sucede: n

t

t

m m   j   j    (a) Sm→∞ = lim C  1 + m   = C  lim 1 + m     m →∞  m →∞ m   m     (Podemos meter este límite dentro del paréntesis, porque C no depende de m). Del cálculo elemental sabemos que m

x  lim 1 +  = e x m →∞  m En donde e = 2.7182818284590452354… es la base de los logaritmos naturales. De esta manera la ecuación (a) se transforma en

(5.9)

S = C ( e j∞ ) = Ce j∞t t

En donde jm , independiente de m, es ahora j∞ . Ejemplo 741: Supongamos que j12 = 24% , en donde 12 = m , es decir, la tasa anual se convierte en capital, o es capitalizable 12 veces por año (o sea cada mes), lo que quiere decir que la 24 tasa de interés mensual i = = 2% . 12 Ejemplo 742: Un banco ofrece capitalizar los intereses cada 3 meses, ¿Cómo se expresa jm , suponiendo que sea la tasa nominal anual? Puesto que hablamos de tasa anual, y los intereses se convierten cada tres meses, entonces, esto quiere decir que m = 12 / 3 = 4 y por lo tanto expresamos a jm , como j4 Ejemplo 743: Compare el interés simple de 250 a 10% por 3 años, con el interés compuesto con los mismos datos, excepto que el interés es capitalizable bimestralmente (es decir j6 = 10% ) Para la primera parte del problema, recordemos que la fórmula del interés simple anual es I = Cit , luego: C = 250 i = 0.10 t =3

∴ I = ( 250 )( 0.10 )( 3) = 75 La segunda parte involucra usar la ecuación (5.8), y como el periodo de conversión es cada bimestre, luego entonces cada año hay 6 periodos de conversión, y en los tres años hay 18 periodos para capitalizar interés; además, la tasa de interés bimestral es 5 i = j6 / 6 = 10 / 6 = % = 1.66% por lo que podemos enlistar los parámetros de (5.8) con 3 sus valores: C = 250 i = 5 / 3% n = 18 ∴ S = 250 (1 + ( 0.0167 ) ) ≈ 336.83 18

Y el interés compuesto es S − C = 336.83 − 250 = 86.83

Ejemplo 744: En algún sistema financiero se ofrece capitalizar los intereses continuamente. Suponiendo que la tasa de interés es del 10%, el capital inicial de $250 y que el periodo a transcurrir sea 3 años, ¿cuánto se habrán ganado de intereses al final del tiempo transcurrido? Respuesta. Continuamente significa que jm = j∞ , también llamada fuerza del interés, y se usa la fórmula (5.9), es decir, la tasa de intereses que asignemos ya no se tiene que dividir, porque la fórmula (5.9) ya tomó en cuenta las divisiones infinitesimales, lo que implica que j∞ = 10% = 0.1 , t = 3 , y C = 250 . Sustituyendo valores en (5.9):

(

S = 250 e(

0.1)( 3)

) ≈ 337.46 ∴

S − C = 337.46 − 250 = 87.46 Podemos ver que para el interés compuesto, aunque estemos capitalizando continuamente, los intereses ganados, sobre cada división infinitesimal del periodo, también decrecen continuamente, por lo que el acumulado no se dispara a infinito como se pudiera sospechar.

Ejercicios: 745: Obtenga una fórmula para el capital original a partir de (5.8). 746: Despeje la tasa de interés por periodo de (5.8) 747: Encuentre una fórmula para estimar el enésimo término a partir de (5.8) 748: Sustituya a la tasa de interés por periodo de (5.8) por la tasa (anual) nominal de interés que se acumula m veces por año, es decir, ponga a i en términos de jm . 749: Ponga a n en términos de m en la fórmula (5.8). Para los ejercicios 750-755 tome en cuenta los resultados de los ejercicios anteriores: 750: Diga a qué capital original corresponde el interés ganado de $90, si la tasa de interés anual nominal de interés que se acumula es del 15%, se pueden capitalizar intereses cada 4 meses, y esto durante 2 años. 751: ¿A qué tasa de interés por periodo, capitalizables cada mes, debería estar un capital de $8,000.00, si la cantidad compuesta obtenida al cabo de 5 años, es de 13162.5? ¿Cuál es la tasa (anual) nominal? 752: Encuentre la cantidad de términos necesarios para que un Principal de $12,000 se acumule hasta $20,000, si la tasa anual nominal es de 14.8646%.

En los siguientes ejercicios calcule el capital acumulado y el interés ganado, dados los siguientes datos: 753 : C = $ 41,652 ; j_ 3 = 11 %; t (años) = 6 754 : C = $ 18,781 ; j_ 4 = 10 %; t (años) = 13 755 : C = $ 24,589 ; j_ 4 = 10 %; t (años) = 11 756 : C = $ 42,581 ; j_ 2 = 8 %; t (años) = 16 757 : C = $ 29,342 ; j_ 12 = 13 %; t (años) = 20 En los siguientes ejercicios, y usando casi todos los datos de los ejercicios anteriores, calcule el máximo capital acumulable, suponiendo que los intereses se capitalizan continuamente, y la fuerza del interés: 753: C = $41,652; j∞ = 11%; t HañosL = 6 754: C = $18,781; j∞ = 10%; t HañosL = 13 755: C = $24,589; j∞ = 10%; t HañosL = 11 756: C = $42,581; j∞ = 8%; t HañosL = 16 757: C = $29,342; j∞ = 13%; t HañosL = 20

Respuestas: 745: C = (i + 1) − n S 1

 S n 746: i =   − 1 C  S log   C  747: n = log(i + 1) j   748: S = C 1 + m  m 

n

749: tomando a n = t im , donde t es el número de años y m es la cantidad de veces por año en que se pueden capitalizar los intereses, entonces (5.8) nos queda S = C (1 + i ) Lo cual es exactamente parte de lo que se hizo para demostrar que incluso capitalizando continuamente, el límite de esta progresión geométrica existe y es finito. tm

750: C ≈ $264.63 751: i = 5 / 6% ≈ 0.833% , j12 = 10% . 752: n = 14

753 : S = $ 79,641.7 ; I = $ 37,989.7 754 : S = $ 67,820.3 ; I = $ 49,039.3 755 : S = $ 72,877.1 ; I = $ 48,288.1 756 : S = $ 149,377. ; I = $ 106,796.

757 : S = $ 389,568. ; I = $ 360,226. 753: S = $80,588.; j∞ = 11% 754: S = $68,913.1; j∞ = 10% 755: S = $73,869.4; j∞ = 10% 756: S = $153,149.; j∞ = 8% 757: S = $395,053.; j∞ = 13%

Pérdida del poder adquisitivo [microeconomía]:

La disminución en la capacidad de compra de los consumidores de un país depende de varios factores, entre los que se pueden mencionar brevemente: a) La devaluación: es la pérdida de valor de una moneda respecto de otra. b) La inflación: desequilibrio económico en donde uno de los efectos más notorios es el alza de los precios. Aunque la pérdida del poder adquisitivo puede adquirir varias formas, dependiendo de todos los factores involucrados, una forma sencilla de modelar matemáticamente esta pérdida es por medio de progresiones o series geométricas, siempre y cuando tengamos en cuenta que este modelo presupone que la tasa de devaluación o inflación se mantiene más o menos igual (es decir, es estable) para todo el periodo en consideración. Se mencionan estos conceptos en este punto del libro, ya que se harán menciones de los mismos en lo sucesivo, sin hacer referencia a su significado. Ejemplo 758: Supongamos que unos discos duros de computadora se compran a una empresa estadounidense en $80, y supongamos que en cierto periodo se cotizaba el dólar a 10 pesos mexicanos por unidad. Si el peso mexicano posteriormente se devalúa un 10% frente al dólar, ¿cuánto cuesta ahora cada disco duro? ¿Qué pasaría si esta tasa de devaluación se mantuviera durante 10 meses? Respuesta: Originalmente cada disco duro costaba 80 × 10 = 800 , pero con la devaluación entonces ahora es 80 × (10 + 10 ( 0.1) ) = 800 + 80 = 880 . Si esta devaluación se mantiene al mismo ritmo, entonces tenemos a la progresión geométrica v0 = 80 × 10

D1 = v0 (1 + 0.1) = 880

D2 = D1 × 10 (1 + 0.1) = v0 (1 + 0.1) =968 2

D3 = D1 × 10 (1 + 0.1) = v0 (1 + 0.1) = 1064.8 3

⋮ D10 = D9 × 10 (1 + 0.1) = v0 (1 + 0.1) = 2074.99 10

En el décimo mes, si la devaluación se mantiene al mismo ritmo, el disco duro acaba costando $2074.99. La progresión geométrica completa se ve como sigue (cifras aproximadas a dos decimales): {800.00, 880.00, 968.00, 1064.80, 1171.28, 1288.41, 1417.25, 1558.97, 1714.87, 1886.36, 2074.99} Nótese que incluimos la potencia “cero” en esta progresión, que es el valor original del disco duro, antes de que ocurriera la devaluación.

En general, la devaluación de una moneda respecto de otra trae consigo el que los productos cotizados en la moneda frente a la cuál se devalúa una segunda, suban de precio en el país importador, lo que a su vez dificulta la capacidad de compra de esos productos en el país importador. Nótese que el alza de los precios debido a una inflación a tasa constante se puede modelar exactamente de la misma manera. Ejemplo 759: Supongamos que hay una tasa de inflación del 7.8% al año en un determinado país, y supongamos que esta tasa de inflación trae consigo un alza de precios en exactamente la misma proporción. Si además suponemos que esta tasa inflacionaria se mantiene la misma durante 6 años ¿Cuál será el modelo matemático con que se pueda evaluar la pérdida de poder adquisitivo respecto de cualquier producto? Respuesta: Sea a0 el poder adquisitivo de cualquier producto, y a j ese mismo poder al cabo de j periodos inflacionarios; como estamos hablando de pérdida de poder adquisitivo, entonces nuestra progresión geométrica se ve al final del primer año como a1 = a0 (1 − 0.078 ) (Nótese que ya hemos factorizado al valor original del producto, cuyo segundo componente incluye la disminución del poder adquisitivo, ya expresada como un decimal respecto de la unidad). Al final del segundo año: a2 = a1 − a1 (1 − 0.078 ) = a0 (1 − 0.078 ) Y así sucesivamente hasta el sexto año, cuyo resultado final es: 2

a6 = a0 (1 − 0.078 ) = a0 ( 0.922 ) Obsérvese que este modelo matemático sigue el mismo tipo de razonamiento que el ejemplo anterior, excepto que ahora tenemos una progresión geométrica decreciente, no creciente. 6

6

Ejercicios: Encuentre el valor final de los productos de importación (en pesos mexicanos), dados los precios en su moneda de origen, los factores de conversión ( F .C. ) originales de las monedas extranjeras, y las tasas de devaluación rd dadas, las cuales se mantienen estables durante 4 años y la devaluación es anual. 760: $65, F.C. = 10, rd= 3.1% 761: $563, F.C. = 15, rd= 1.7% 762: $102, F.C. = 8, rd= 3.8% 763: $346, F.C. = 20, rd= 1.7% 764: $193, F.C. = 4, rd= 4.3%

Establezca el modelo (final) de pérdida de poder adquisitivo suponiendo las siguientes tasas de inflación anual ra y los siguientes periodos de tiempo en años: 765: ra = 4.2%, t = 6 766: ra = 1.2%, t = 2 767: ra = 1.3%, t = 8

Respuestas: 760: vfinal = $734.426 761: vfinal = $9034.07 762: vfinal = $947.283 763: vfinal = $7402.7 764: vfinal = $913.597 765: a_6 = a0H1 −0.042 L^6 766: a_2 = a0H1 −0.012 L^2 767: a_8 = a0H1 −0.013 L^8

Tasas equivalentes: Hemos visto que, dada una tasa nominal de interés, el valor acumulado S se eleva conforme se incrementa la frecuencia de conversión, hasta llegar al límite continuo. Se dice que dos tasas nominales con distintas frecuencias de conversión son equivalentes si producen el mismo valor acumulado al final de un año (y por lo tanto, al final de una cantidad arbitraria de años); en otras palabras:

S jm = S jh ; m ≠ h Para encontrar la tasa equivalente con otra frecuencia, hay que resolver la ecuación correspondiente. Sin pérdida de generalidad, supongamos que analizamos un solo año, luego entonces el número total de periodos capitalizables n será igual a la frecuencia de capitalización m, con lo que tenemos m

( ) = (1 + i )

S jm = 1 + i jm S jh

h

jh

Y supongamos que la tasa nominal desconocida es

(

;

1 + i jm

jh , luego entonces, igualando:

) ( m

= 1 + i jh

)

h

De donde sabemos que

i jm =

jm m

Sustituyendo las tasa de interés de cada periodo capitalizable por sus correspondientes tasas nominales: m

jm  jh    1 +  = 1 +  m h   Despejando la tasa nominal desconocida jh :

h

m 1/ h    j     1 + m   − 1 h = jh     m     Cambiando lado izquierdo de la ecuación con lado derecho y simplificando:

(5.10)

m/ h   jm  jh = h   1 +  − 1   m  

Nótese que la validez de (5.10) depende de que se expresen las tasas nominales en números absolutos (decimales) y NO relativos (porcentajes). Ejemplo 768: Obtener la tasa equivalente de j4 = 12.07% a j2 , y comprobarlo con un principal de $100. Respuesta: Con j4 , m = 4 , h = 2 , y 12.07% = 12.07 / 100 = 0.1207 , luego sustituimos en (5.10):   0.1207 4/ 2  j2 = 2  1 +  − 1 = 0.122521 ≈ 12.25%  4    Comprobamos sustituyendo en (5.8) con las diferentes tasas nominales: 4

 0.1207  S j4 = 100 1 +  ≈ 112.63 4   2

 0.1225  S j2 = 100 1 +  ≈ 112.63 ∴ 2   { j4 = 12.05%} ≡ { j2 = 12.25%} Ejercicios: Encuentre las tasas nominales equivalentes con los siguientes datos 769 : de j_ 6 = 10.32 %; a j_ 3 770 : de j_ 2 = 10.79 %; a j_ 12 771 : de j_ 12 = 9.36 %; a j_ 6 772 : de j_ 3 = 9.6 %; a j_ 12 773 : de j_ 3 = 11.1 %; a j_ 6

Respuestas: 769 : j_ 3 = 10.41 % 770 : j_ 12 = 10.56 % 771 : j_ 6 = 9.40 % 772 : j_ 12 = 9.49 % 773 : j_ 6 = 11.00 % Valor descontado: En las transacciones comerciales muchas veces se hace necesario determinar qué principal P (o C de “capital”) se acumulará hoy a determinada tasa de interés compuesto i hasta determinada cantidad S en una fecha especificada ( a n periodos a partir de ahora). Para ello basta despejar P (o “C”) de (5.8), lo cual fue incluso uno de los ejercicios del tema de interés compuesto; recordando, el resultado es: (5.11)

P = S (1 + i )

−n

(Recuérdese que i = jm / m , y que n = mt ) Y si el interés se compone continuamente a la tasa

j∞ , tenemos

P = Se − j∞ t

(5.12)

Ejemplo 774: ¿Cuánto habría que depositar hoy en un fondo de inversión que paga j4 = 11% para tener $3,500.00 dentro de 4 años? Aquí tenemos que S = 3500, i = ( 0.11) / 4, n = 4( m ) × 4años = 16 , y sustituyendo en (5.11):  0.11  P = 3500  1 +  4  

−16

= $2,267.56

Ejemplo 775: Con los datos del ejemplo anterior, pero ahora suponiendo capitalización continua, resuelva la pregunta planteada: En este caso S = 3500, j∞ = 0.11, t = 4años , por lo que sustituyendo en (5.12): P = 3500e −( 0.11)( 4) = $2,254.13 Ejercicios Calcule el deposito necesario para lograr los objetivos de valor acumulado, dados los siguientes datos: 776 : S = $ 7,611 ; j_ 1 = 10.38 %; t = 3 años 777 : S = $ 7,144 ; j_ 2 = 11.95 %; t = 2 años 778 : S = $ 2,835 ; j_ 3 = 11.7 %; t = 6 años 779 : S = $ 5,160 ; j_ 4 = 14.36 %; t = 7 años 780 : S = $ 7,137 ; j_ 6 = 10.92 %; t = 4 años 781 : S = $ 10,527 ; j_ 12 = 14.78 %; t = 9 años 782 : S = $ 9,593 ; j_ ∞ = 10.25 %; t = 10 años

Respuestas: 776 : P = $ 5,659.4 777 : P = $ 5,664.06 778 : P = $ 1,423.88 779 : P = $ 1,921.99 780 : P = $ 4,629.37 781 : P = $ 2,806.3 782 : P = $ 3,441.93 Valores acumulados y descontados para periodos de interés fraccionarios Las fórmulas (5.8) y (5.11) se han usado suponiendo que n es un número entero. Matemáticamente n puede ser cualquier número real, es decir, puede ser fraccionario. Si las antedichas fórmulas se usan con n fraccionarias para calcular el interés o descuento compuesto, entonces se dice que se usa el método exacto. Muchas instituciones financieras prefieren el método aproximado o práctico para acumular o descontar, el cual consiste en aplicar interés compuesto para periodos enteros de tiempo, e interés simple (a la tasa anual nominal establecida) para la fracción del periodo. Este último método tiende a producir valores un poco mayores que el método exacto. Ejemplo 783:

Calcular el valor acumulado de $12,000 durante 4 años y 10 meses a j4 = 10% , usando el método exacto. 10 58 Respuesta: P = 12000, m = 4, i = 0.1 / 4, n = mit = 4 × 4 = 12 3 S = P (1 + i )

n

 0.1  = 12000 1 +  4  

58/3

= $19,342.40

Ejemplo 784: Resuelva el problema anterior por medio del método práctico: El hecho de que j4 implica que los intereses se capitalizan cuatro veces por año, es decir, cada 3 meses. De esta manera tenemos que en 4 años 10 meses tendremos n = 4 × 4 + 3 = 19 periodos capitalizables, quedándonos solo un mes para calcular el interés simple con tasa nominal anual i = j4 = 10% . Entonces para el interés compuesto 19

 0.1  S = P (1 + i ) = 12000 1 +  = $19,183.80 4   Y para el interés simple tomamos el resultado anterior y calculamos lo del último mes (recuérdese que al ser tasa anual y ser solo un mes, se tiene que dividir entre 12)  0.1  S = P (1 + i ) = 19,183.80 1 +  = $19,343.7  12  Nótese que estos dos cálculos los pudimos haber escrito de una sola vez de la siguiente manera: n

19

 0.1   0.1  S = 12000  1 +  1 +  = $19,343.70 4   12   En donde el primer factor después del principal corresponde al acumulado en interés compuesto, mientras que el último factor se refiere a la parte del interés simple. Ejercicios: Obtenga los valores acumulados en los siguientes casos, usando el método exacto 785 : P = $ 31,036 ; j_ 2 = 9.68 % ; t = 3 años 2 meses 786 : P = $ 36,852 ; j_ 3 = 11.08 % ; t = 4 años 3 meses 787 : P = $ 87,905 ; j_ 4 = 12.61 % ; t = 5 años 5 meses 788 : P = $ 64,070 ; j_ 6 = 9.4 % ; t = 6 años 7 meses 789 : P = $ 61,927 ; j_ 6 = 14.05 % ; t = 7 años 11 meses Obtenga los valores acumulados en los casos anteriores, usando el método práctico

Respuestas (método exacto) 785 : S = $ 41,866.80 786 : S = $ 58,517.30 787 : S = $ 172,217.00 788 : S = $ 118,393.00 789 : S = $ 185,940.00 Respuestas (método práctico) 790 : S = $ 41,877.3 791 : S = $ 58,524.5

792 : S = $ 172,235. 793 : S = $ 118,397. 794 : S = $ 185,953. Cálculo de la tasa Como hemos visto en uno de los ejercicios del tema de interés compuesto, cuando conocemos P (llamada también C), S y n, la tasa de interés i se puede despejar de (5.8), ya sea en forma directa o usando logaritmos de cualquier base. Para capitalización continua, j∞ puede ser despejada de (5.9) usando logaritmos naturales. Para el caso de que hubiera inflación o devaluación, se puede calcular una tasa real de retorno. Si i es la tasa anual de interés, entonces la unidad monetaria $1, invertida al principio del año aumentará (1 + i ) . Supongamos que tenemos una tasa de inflación r, entonces el poder de compra sólo es igual a (1 + i ) (a) (1 + r ) El retorno con la tasa real es de (b) (1 + ireal ) Por consiguiente, igualando (a) con (b) y despejando la tasa real de retorno nos queda que: (1 + i ) − 1 = i − r ireal = (5.13) 1+ r (1 + r ) Para que las tasas de interés nominal original, y la de inflación sean comparables, se tienen que referir al mismo periodo de un año. Ejemplo 795: Supongamos que la inflación es del 5.7% anual, y que la tasa de interés anual es del 11%. ¿Cuál es la tasa real de retorno, suponiendo que estamos calculando para el mismo periodo del año? Respuesta: i = 11%, r = 5.7% ∴ 0.11 − 0.057 ≈ 0.05=5% 1 + 0.057 La tasa real de retorno, considerando la inflación, es del 5%. ireal =

Ejercicios: 796: Despeje la tasa de interés de (5.8) usando logaritmos de cualquier base. 797: Despeje la tasa nominal de interés

j∞ , usando logaritmos naturales.

Para los siguientes ejercicios úsense los resultados de los ejercicios anteriores: 798: Supongamos que una persona metió $3,500.00 a un fondo de inversión, cantidad que se acumuló hasta $5,000.00; si además la persona sabe que se reinvirtieron los intereses un total de cinco veces, ¿Cuál será la tasa de interés i? Convénzase de que el uso de la fórmula con logaritmos o sin ellos, para resolver este problema, arroja el mismo resultado. 799: ¿Cuál es la fuerza de interés que tiene una inversión con capitalización continua, si cierta persona obtuvo un acumulado de $8,200, durante 3 años de inversión, con un capital original de $7,000.00?

800: Calcule la tasa real de retorno, suponiendo que la tasa anual i es igual a 15.7% y la inflación r es del 7.5%. Respuestas:

  logb ( S )−logb ( C )   n  i =  b −1 796:     En donde b es cualquier base de logaritmos. S S ln   ln   ln ( S ) − ln ( C ) C P 797: j∞ = ó bien j∞ =   ó también j∞ =   , C y P t t t refiriéndose ambas al capital original o principal.

798: i ≈ 7.40% y la respuesta debería ser la misma que si se usara la fórmula por despeje directo. 799: j∞ ≈ 0.053=5.3% 800: ireal ≈ 0.0763=7.63%

Cálculo del tiempo Cuando se conocen P (ó C), S e i, se puede calcular la incógnita n usando uno de los métodos siguientes: a) Aplicando logaritmos a (5.8) y despejando n de la ecuación exponencial. Este fue uno de los ejercicios del tema de interés compuesto y por lo tanto aquí ya no se tratará. Este método es bueno cuando se permite que n sea fraccionario, es decir, cuando se usa para el método exacto de interés fraccionario, ya que se obtiene su valor correcto. b) Si se requiere de interés simple para la parte fraccionaria de un periodo de inversión (método práctico), entonces se puede hacer una interpolación lineal para aproximar el valor de n. Ejemplo 801: ¿Cuánto tardarán $3000 en acumular $900 de intereses al 11% compuesto cuatrimestralmente, si se tiene en cuenta el interés compuesto para la parte fraccionaria del periodo de inversión? Podemos responder a esta pregunta auxiliándonos de un esquema de diferencias finitas. En todo el proceso usaremos aproximaciones a 5 lugares decimales. Recuérdese que “cuatrimestralmente” implica j3 , ya que se capitaliza 3 veces por año, es decir, cada cuatro meses. Establecemos la ecuación con el parámetro desconocido n:

S = 3000 + 900; C = 900; j3 = 11% ∴ n

 0.11  3900 = 3000 1 +  ∴ 3   3900 n = (1.03667 ) ∴ 3000 1.3= (1.03667 ) Con el último resultado podemos formar una tabla de valores de n para ver cuáles están cercanos al lado izquierdo de la ecuación: n SêC=H1.03667Ln y i j z j z j z 1 1.03667 j z j z j z j z 2 1.07468 j z j z j z j z 3 1.11408 j z j z j z j z 4 1.15493 j z j z j z j z 5 1.19728 j z j z j z j z 6 1.24118 j z j z j z j z 7 1.28669 j z j z j z j z 8 1.33387 j z j z j z j z 9 1.38278 j z j z k 10 1.43348 { Nos podemos dar cuenta que los valores enteros de n que más se aproximan a la proporción que buscamos (lado izquierdo de la ecuación S / C = 1.3 ) son 7 y 8, es decir, tenemos que interpolar algún número entre 7 y 8. n

En donde la primera diferencia finita es el resultado de 1.3 − (1.03667 ) = 1.28669 (el número que queremos menos la potencia justa anterior). De manera similar, la otra 7

diferencia finita que necesitamos es el resultado de (1.03667 ) − (1.03667 ) = 0.04718 Entonces hacemos las proporciones correspondientes para establecer la siguiente igualdad: x 0.01331 = ∴ x ≈ 0.28212 1 0.04718 Y por lo tanto n = 7 + x = 7.28212 cuatrimestres. Usando tiempo aproximado (es decir, meses de 30 días), tenemos que t ≈ 2 años 5 meses y 4 días Podemos comprobar este resultado por medio de logaritmos. 8

Retomando 1.3= (1.03667 ) , despejamos n usando logaritmos: n

7

log (1.3) =n log (1.03667 ) ∴ n =

log (1.3)

log (1.03667 )

≈ 7.28513

Y usando tiempo aproximado: t ≈ 2 años, 5 meses y 4 días Desafortunadamente, en este caso particular, no podemos usar la fórmula (5.6) para auxiliarnos en la interpolación de medios geométricos que hemos visto anteriormente, dado que como podemos ver, no es simplemente una interpolación de medios geométricos entre términos sucesivos enteros de n, sino que además es importante su relación con la proporción S/C. Ejercicios: Calcule n y t usando el método de interpolación para los siguientes casos: 802 : Capital invertido C = $ 8,388 ; intereses ganados I = $ 1,727 , j_ 2 = 15.32 % 803 : Capital invertido C = $ 17,765 ; intereses ganados I = $ 1,396 , j_ 3 = 14.92 % 804 : Capital invertido C = $ 15,331 ; intereses ganados I = $ 2,045 , j_ 4 = 14.4 %

Respuestas: 802 : n = 2.52736 ; t = 1 años, 3 meses, 5 días 803 : n = 1.55258 ; t = 0 años, 6 meses, 6 días 804 : n = 3.53598 ; t = 0 años, 10 meses, 18 días

Diagramas de tiempo, fecha focal y ecuaciones de valor para valor descontado Los diagramas de tiempo que se tratan en este subtema son muy similares a aquellos tratados en el capítulo 4, en donde también se trataron ecuaciones de valor. La diferencia principal es que las ecuaciones de valor consideradas ahora pueden incluir interés y descuento compuesto, aunque sin duda se pueden combinar con interés simple. La idea de los diagramas de tiempo es que podamos visualizar combinaciones de eventos financieros, algunos hacia el futuro (respecto de alguna fecha focal), y por lo tanto ganando intereses, y otros hacia el pasado, respecto de la misma fecha focal (en cuyo caso, es casi seguro que esta implicando un descuento). La fecha focal es una fecha que permite trasladar diversos eventos financieros para reemplazar alguna ecuación original por la propuesta en la fecha focal, de tal manera que todos los eventos financieros de interés sean comparables. De esta manera, la definición de equivalencia es $ X a pagaderos en una fecha determinada “a” equivalen a una tasa de interés compuesto a $ X b pagaderos n periodos después, siempre y cuando X b = X a (1 + i )

n

Ó bien X a = X b (1 + i )

−n

La figura 5.1 muestra los valores fechados equivalentes a determinado valor X focal con la fecha focal:

Figura 5.1: Diagrama de tiempo para interés compuesto, mostrando cómo las ecuaciones de valor permiten establecer plazos equivalentes. Existen al menos dos propiedades importantes de la equivalencia del interés compuesto: a) Transitividad: Si A equivalente a B y B equivalente a C, entonces A equivale a C. b) Si dos conjuntos de pagos son equivalentes en una fecha focal, entonces son equivalentes en cualquier fecha focal. Esto es lo mismo que decir que la suma de los valores fechados equivalentes de un conjunto de transacciones es igual a la suma correspondiente en otro conjunto de transacciones, o bien, es como decir que si la suma de una cierta combinación de transacciones con respecto a una fecha focal es la misma que otra combinación de transacciones respecto de la misma fecha focal, entonces son equivalentes en cualquier otra fecha que elijamos para hacer estos dos conjuntos equivalentes. Las propiedades arriba mencionadas, en general, no son válidas con interés simple. La fecha en la que un cierto conjunto de deudas a pagarse en fechas futuras distintas, se puede cumplir haciendo un solo pago igual a la suma de las varias deudas se llama fecha promedio de vencimiento de las deudas. El tiempo, desde hoy hasta esa fecha, se llama tiempo equiparado. Una regla práctica para calcular el tiempo equiparado es a través del siguiente algoritmo: a) Multiplicar cada deuda por el tiempo (en años) que pasa para se venza b) Sumar todos los productos obtenidos en a) y c) Dividir el resultado de b) entre la suma de las deudas. Ejemplo 805: Una deuda de $3800 se vence al final de 6 años. Si el dinero vale j6 = 10% , calcular una deuda equivalente al final de 4 y 11 años. Podemos hacer un diagrama de tiempo para auxiliarnos a visualizar la situación, como se ve en la figura 5.2

Figura 5.2 Entonces, por la definición de equivalencia, al final de 4 años:

 0.10  X 4 = 3800 1 +  6  

−12

= $3,116.31

Y al final de 11 años: 30

 0.10  X 11 = 3800  1 +  = $6,239.38 6   Obsérvese que X 4 se puede hacer equivalente a X 11 :  0.10  X 4 = 6,239.38 1 +  6  

−( 30 +12 )

 0.10  = 6,239.38 1 +  6  

−42

= $3,116.31

Ejercicios: Una empresa debe $10,000.00 pagaderos al final de 16 meses, y $25,000.00 pagaderos al final de 5 años. Si el dinero vale j3 = 8% , ¿Qué pago único liquidará esas obligaciones? 806: hoy 807: Dentro de 3 años

Respuestas: 806: El diagrama auxiliar correspondiente de tiempo:

Y las ecuaciones de equivalencia son:

−4

 0.08   0.08  X hoy = 10,000 1 +  + 25, 000 1 +  3  3    ∴ X hoy = 9,000.82+16846.05 = $25,846.87

−15

=

Un total de es lo que se necesita para saldar hoy la deuda. 807: El diagrama de tiempo es

Y las ecuaciones de equivalencia que resuelven el problema son: 5

−6

 0.08   0.08  X hoy = 10, 000 1 +  + 25, 000  1 +  = 3  3    ∴ X hoy = 11,406.37+21,348.30 = $32,754.67 Anualidades simples (definiciones y notación) Una anualidad es una sucesión de pagos, por lo general iguales. A pesar de su nombre, las anualidades no necesariamente se pagan anualmente. Sin embargo, la tasa nominal de intereses que se carga al vencimiento de cada periodo de conversión de intereses sí es anual, y de allí el nombre. Las primas de seguro, pagos de hipotecas, pagos de intereses sobre bonos, pagos de compras a plazos y dividendos, son anualidades. Intervalo de pagos: Tiempo entre pagos sucesivos de una anualidad. Término [de una anualidad]: Tiempo que pasa desde el principio del primer intervalo de pagos, hasta el final del último intervalo de pagos. Anualidad cierta: Cuando las fechas del primer y último pago son fijas. Anualidad contingente: Cuando el término de la anualidad depende de algún evento incierto (por ejemplo los pagos de seguro de vida, que cesan con la muerte del asegurado). Anualidad ordinaria: Cuando se hacen los pagos al final de cada intervalo de pago. Anualidad vencida: Cuando los pagos se hacen al principio de los intervalos de pago. Anualidad diferida: es una anualidad cuyo primero pago se vence en alguna fecha posterior. Anualidad simple: cuando el intervalo de pago y el periodo de conversión de interés coinciden. Anualidad general: el intervalo de pago y el periodo de conversión de intereses no necesariamente coinciden. Valor acumulado [de una anualidad]: valor fechado equivalente del conjunto de pagos vencidos al final del término. Valor descontado[de una anualidad]: el valor fechado equivalente del conjunto de pagos vencidos, al principio del término. La notación usada es:

R pago periódico de la anualidad n cantidad de periodos de conversión de interés durante el término de una anualidad (, o la cantidad total de pagos, en el caso de la anualidad simple) i tasa de interés por periodo de conversión S valor acumulado, o suma, de una anualidad A valor descontado, o valor presente, de una anualidad.

Sn i “ S n ‘barra’ en i ” es el valor acumulado de una anualidad simple ordinaria de n pagos de $1 cada pago. Es el factor de acumulación para n pagos. Valor acumulado de una anualidad simple ordinaria (Rentas vencidas) La fórmula del valor acumulado S de una anualidad simple ordinaria se deduce como sigue: Primero que nada recordemos que la suma de los n primeros términos de una serie geométrica se puede obtener de la fórmula (5.5): xn rg − x1 S= ( rg − 1)

Con ayuda de la fórmula (5.2) podemos encontrar el valor de xn de forma independiente: xn = x1 irgn −1 Sustituimos entonces (5.2) en (5.5) y simplificamos: x1 irgn −1 ) rg − x1 x1 ( rg rgn −1 − 1) ( S= = ∴ ( rg − 1) ( rg − 1)

(r S=x (r

n g

(5.14)

1

g

− 1)

− 1)

En muchos libros de texto se expresa (5.14) de la siguiente manera: 1 − rgn ) ( (5.14b) S = x1 (1 − rg ) Ahora bien, consideremos una anualidad simple ordinaria de n pagos de $1 cada uno, como muestra la figura 5.3

Figura 5.3. Sea S n i , el valor acumulado de esta anualidad. La ecuación de valor al final del término es

Sn i = 1 + (1 + i ) + (1 + i ) + (1 + i ) + ⋯ + (1 + i ) 1

2

3

n −1

En donde podemos ver que es una serie geométrica de n términos, donde el primer término es x1 = 1 y la razón geométrica es rg = (1 + i ) . Podemos sustituir estos datos en los parámetros correspondientes de la fórmula (5.14):

Sn i

(r =x (r

n g

1

g

− 1)

− 1)

(1 + i ) − 1) ( = n

( (1 + i ) − 1)

Quitándo los paréntesis y simplificando:

Sn i

(1 + i ) =

n

−1

i

Si se hacen R pagos periódicos de la anualidad, entonces obtenemos finalmente:

S = RiSn i

(5.15)

(1 + i ) ≡R

n

−1

i

Ejemplo 808: Una persona deposita $600 cada 4 meses en una cuenta de ahorros, la cual paga intereses a j3 = 9% . ¿Cuánto hay en su cuenta justo después del depósito del 1º de Mayo del 2007, si hizo el primer depósito el 1º de Mayo del 2003? Obsérvese que la anualidad ordinaria comienza un periodo antes del primer depósito (con la única excepción de aquellos depósitos que se hagan anualmente, en donde

n = taños ), es decir, el 1º de Enero del 2003. Es decir m = 3; t = 4; n = ( 3 × 4 ) + 1 = 13 . Además tenemos que i = 0.09 / 3 = 0.03 , y R = 600 . Entonces, el valor acumulado S hasta el 1º de Mayo del 2007 es:

(1 + i ) S=R

n

−1

i

(1.03) = 600

13

0.03

−1

= $9,370.67

Ejercicios: Calcúlese el monto final S con los siguientes datos:

809 : R = $ 5,289 ; j_ 2 = 15.9 %; durante 5 años 810 : R = $ 6,463 ; j_ 3 = 10.98 %; durante 6 años 811 : R = $ 6,835 ; j_ 4 = 7.94 %; durante 4 años 812 : R = $ 5,270 ; j_ 12 = 7.31 %; durante 2 años 813 : R = $ 6,695 ; j_ 6 = 8.25 %; durante 7 años Respuestas: 809 : S = $ 87,803.5 810 : S = $ 173,011. 811 : S = $ 136,612. 812 : S = $ 141,846. 813 : S = $ 389,033. Valor descontado de una anualidad simple ordinaria

El valor descontado A de una anualidad simple ordinaria de n pagos, es el valor fechado equivalente del conjunto de esos pagos vencidos, al inicio del término, esto es, 1 periodo antes del primer pago. Como A y S son ambos valores fechados del mismo conjunto de pagos, debe ser equivalentes entre sí:

A = S (1 + i )

(a)

−n

Sustituimos (5.15) en (a) para el valor de S , y tenemos que: −n  (1 + i ) n − 1  1 − (1 + i ) −n −n ≡ Ran i (5.16) A = R i S n i (1 + i ) =  R  (1 + i ) = R   i i   En donde el factor an i , que se lee “a barra en i”, es el factor de descuento para n pagos,

(

)

o valor descontado de la unidad monetaria $1 por periodo. Ejemplo 814: Calcular el valor presente de una anualidad de $6,200 al final de cada bimestre durante 4 años, con j6 = 10% Tenemos: R = 6200, i = 0.12 / 6 = 0.02, n = 6 × 4 = 24 , entonces A = 6200a24 0.02 = 6200

1 − (1 + 0.02 )

−24

= $117,266.00

0.02

Ejercicios: Obtener el valor presente de las siguientes anualidades 815 : R = $ 3,662 ; j_ 2 = 8.45 %; durante 6 años 816 : R = $ 3,678 ; j_ 3 = 11.69 %; durante 7 años 817 : R = $ 5,548 ; j_ 4 = 8.32 %; durante 3 años 818 : R = $ 5,710 ; j_ 12 = 8.33 %; durante 2 años 819 : R = $ 2,600 ; j_ 6 = 11.45 %; durante 3 años

Respuestas: 815 : A = $ 33,923.8 816 : A = $ 52,093.8 817 : A = $ 58,384.8 818 : A = $ 125,832. 819 : A = $ 39,295.3 Anualidad vencida (renta anticipada; anualidad anticipada) Como se dijo anteriormente, la anualidad vencida es aquélla cuyo pago periódico se vence al principio de cada intervalo de pago. Esto quiere decir que el término de la anualidad vencida comienza en la fecha del primer pago y termina un periodo de pago después de la fecha del último pago. Este desplazamiento se representa matemáticamente como el producto de la fórmula (5.15) (ó 5.16) por el desplazamiento que es igual a (1 + i ) :

(5.17) (5.18)

S = R i S n i (1 + i ) A = Ran i (1 + i )

(1 + i ) ≡R

n +1

i

− (1 + i )

(1 + i ) − (1 + i ) ( =R

− n −1)

i Ejemplo 820: Un pequeño inversionista depositó $350 al principio de cada mes, durante 4 años, en una cuenta que paga intereses del 9% compuesto mensualmente. ¿Cuál es el acumulado en su cuenta al final de estos 4 años? 0.09 Sabemos que R = 350, i = = 0.0075, n = 4 × 12 = 48 12

S = 350i S 48 0.0075 (1 + 0.0075 )

(1 + 0.0075) ≡ 350

48 +1

− (1 + 0.0075 )

0.0075

= $20,283.2

Ejemplo 821: Una póliza de seguro de vida permite la opción de 3 primas anuales, o pagar mensualmente por adelantado. Si la prima mensual es de $25 ¿qué prima anual sería equivalente a j6 = 18% ? Obsérvese en primer lugar que el número de primas anuales que se mencionó es irrelevante para el problema. Usamos (5.18) R = 25, i = 0.18 / 6 = 0.03, n = 1× 6 A = 25a6 0.03 (1 + 0.03)

(1.03) − (1.03) ( = 25

− 6 −1)

0.03

≈ $139.49

Nótese que la diferencia de este ejemplo con el anterior, es acerca de si se acumula o se descuenta. En el ejemplo anterior se acumula y en éste se encuentra el valor descontado. Ejercicios: Encuentre los valores acumulados para las siguientes anualidades vencidas: 822 : R = $ 2,726 ; j_ 2 = 10.46 %; durante 4 años 823 : R = $ 4,389 ; j_ 3 = 10.42 %; durante 6 años 824 : R = $ 7,121 ; j_ 4 = 11.66 %; durante 3 años 825 : R = $ 7,379 ; j_ 12 = 14.91 %; durante 7 años 826 : R = $ 6,729 ; j_ 6 = 9.46 %; durante 4 años

Encuentre los valores descontados en los siguientes casos: 827 : R = $ 3,010 ; j_ 3 = 14.02 %; durante 3 años 828 : R = $ 2,936 ; j_ 4 = 11.32 %; durante 5 años 829 : R = $ 3,844 ; j_ 12 = 6.68 %; durante 4 años 830 : R = $ 2,259 ; j_ 6 = 15.81 %; durante 7 años 831 : R = $ 3,042 ; j_ 2 = 10.76 %; durante 8 años Respuestas: 822 : S = $ 23,520. 823 : S = $ 102,880. 824 : S = $ 93,453.8 825: S = $1.074,38×106

826 : S = $ 187,733. 827 : A = $ 22,723.8 828 : A = $ 45,630.6 829 : A = $ 162,425. 830 : A = $ 58,476.1 831 : A = $ 33,821.3 Anualidad diferida

Es aquella cuyo primer pago se vence algún tiempo después del primer periodo de interés. Normalmente se analiza cualquier anualidad diferida como ordinaria, lo que implica que es una anualidad ordinaria cuyo término esta diferido, por ejemplo, h periodos. El primer pago de una anualidad diferida es en el tiempo h + 1 , mientras que el de una anualidad ordinaria, recordemos que comienza un periodo antes de su primer pago. Para calcular el valor descontado A de una anualidad ordinaria diferida, se calcula

el valor descontado de n pagos un periodo antes del primer pago, y se descuenta esta suma durante h periodos:  1 − (1 + i )− n  −h −h Adiferida = Ran i (1 + i ) = R   (1 + i ) ∴   i    (1 + i ) − h − (1 + i )− n − h  (5.19) Adiferida = R     i   Ejemplo 832: Calcular el valor descontado de una anualidad ordinaria diferida en 7 años, si se paga $850 al año durante 14 años, y los intereses son de j2 = 7% Los parámetros con sus números son: R = 850, i = 0.07 / 2 = 0.035, h = 2 × 7 = 14, n = 2 × 14 = 28 Aplicando entonces (5.19) tenemos:  (1 + 0.035 ) −14 − (1 + 0.035 ) −42  Adiferida = 850   = $9,277.21   0.035   El alumno debería recordar que cualquier problema se puede descomponer en pagos únicos y anualidades, los cuales se pueden mover según alguna fecha focal y así establecer las ecuaciones de valor correspondientes. Ejercicios: Encontrar el valor descontado para las siguientes anualidades diferidas. 833 : R = $ 2,578 ; j_ 6 = 7.66 %; durante 10 años, y diferida 6 años 834 : R = $ 2,327 ; j_ 2 = 10.77 %; durante 9 años, y diferida 5 años 835 : R = $ 7,001 ; j_ 3 = 9.85 %; durante 11 años, y diferida 4 años 836 : R = $ 2,649 ; j_ 4 = 7.82 %; durante 15 años, y diferida 2 años 837 : R = $ 3,315 ; j_ 12 = 11.8 %; durante 13 años, y diferida 3 años

Respuestas: 833 : A = $ 68,153.8 834 : A = $ 15,625.8 835 : A = $ 94,875.3 836 : A = $ 79,735. 837 : A = $ 185,521. Determinación del último pago de una anualidad

Para encontrar el último pago de una anualidad (sea que estemos hablando de alguna cantidad acumulado o descontada) requerimos del siguiente procedimiento (que es el más común): a) encontrar el número aproximado de pagos n , despejando este parámetro ya sea de (5.15) ó (5.16) por medio de logaritmos. b) Redondear el valor encontrado de n hacia el entero más próximo hacia abajo. c) Usar (5.15) ó (5.16), según sea el caso, y plantear una ecuación en donde la incógnita será el valor de la diferencia de cualquier pago periódico, con respecto

del último pago, y el último pago en sí, será esa diferencia más la renta periódica normal. Ejemplo 838: Se debe acumular un fondo de $16,000 con pagos trimestrales de $300. Si el fondo gana intereses a j4 = 10% , calcular la cantidad de depósitos normales necesarios, y el valor del depósito final: Despejamos n de (5.15):

(1 + i ) S=R i

n

−1

∴

 S ii  log  + 1 R   (5.20) n= log (1 + i ) Sustituyendo los valores de los parámetros: S = 16000, R = 300, i = 0.10 / 4 = 0.025 , tenemos que (5.20) es igual a:  16000 × 0.025  + 1 log  300   = 34.3138 ≈ 34 n= log (1 + 0.025 ) Evidentemente los primeros 34 pagos serán de $300. Para encontrar el valor del 34º pago, resolvemos la ecuación

16000 = 300i S34 0.025

(1 + 0.025 ) + x ≡ 16000 = 300

34

−1

0.025

+ x∴

x = $216.13 Entonces el pago 34º sería de $300 + $216.13 =$516.13 Para el caso de buscar el último pago de valor descontado despejamos n de (5.16):  Ai  log 1 −  R  (5.21) n=− log(1 + i ) Ejercicios Diga el número de pagos, y cuál es el valor del último pago, para las siguientes anualidades (partiendo de un cierto valor acumulado): 839 : S = $ 71,000 , R = $ 407 ; j_ 4 = 13.83 % 840 : S = $ 50,000 , R = $ 768 ; j_ 12 = 12.5 % 841 : S = $ 40,000 , R = $ 309 ; j_ 6 = 15.58 % 842 : S = $ 53,000 , R = $ 675 ; j_ 2 = 8.37 % 843 : S = $ 72,000 , R = $ 301 ; j_ 3 = 15.22 %

Respuestas: 839 : n = 57 , último pago = 1,470.42 840 : n = 49 , último pago = 1,990.1 841 : n = 57 , último pago = 906.484 842 : n = 35 , último pago = 2,072.61 843 : n = 52 , último pago = 451.175 Diga el número de pagos, y cuál es el valor del último pago, para las siguientes anualidades (partiendo de un cierto valor descontado):

844 : A = $ 4,800 , R = $ 415 ; j_ 4 = 9.44 % 845 : A = $ 7,600 , R = $ 278 ; j_ 12 = 10.35 % 846 : A = $ 4,300 , R = $ 716 ; j_ 6 = 9.51 % 847 : A = $ 5,400 , R = $ 737 ; j_ 2 = 12.34 % 848 : A = $ 3,400 , R = $ 217 ; j_ 3 = 15.93 % Respuestas: 844 : n = 13 , último pago = 615.27 845 : n = 31 , último pago = 344.25 846 : n = 6 , último pago = 948.60 847 : n = 10 , último pago = 756.04 848 : n = 34 , último pago = 234.09 Cálculo de la tasa de interés Observando las ecuaciones (5.15) y (5.16), podemos darnos cuenta que no es posible despejar a la tasa de interés “ i ”con ningún procedimiento algebraico, ya que esta definido en forma recursiva, es decir, en dos partes distintas de la misma fórmula, con lo que obtenemos una definición circular. Esto no quiere decir que no se pueda aproximar la tasa de interés, aunque esto sería por medio de diferencias finitas e interpolación. Sin embargo, sí es muy práctico conocer este procedimiento, ya que en muchas transacciones comerciales la tasa real de interés no es conocida por alguna razón. El procedimiento es como sigue: Sin pérdida de generalidad, supongamos de momento la ecuación (5.15): S = Ri Sn i

(1 + i ) ≡R

−1

n

i

De la cual sí se puede hacer el siguiente despeje:

(1 + i ) ≡

S / R = Sn i

n

−1

i a) Definimos al número z = S / R (o bien z = A / R , para el valor descontado) b) Estimamos algún valor “ i ”, próximo al verdadero a través de la siguiente fórmula: (5.22)

iestimada

( z / n) =

2

−1

z O bien, si estamos hablando de valor descontado: (5.23)

iestimada =

1− ( z / n)

c) Sabemos que i = jm / m ∴ jm = iestimada im .

2

z

d) Redondeamos el valor de jm hacia abajo y hacia arriba, obteniendo así el valor mínimo ( jmmin ) y el máximo ( jmmax ) que puede tener jm . Con esto podemos hacer una tabla de interpolación, muy similar a la que hicimos para el cálculo del tiempo, con lo cual ya podemos resolver para la ecuación que nos dirá la fracción decimal x que hay que agregarle a jmmin para obtener jmverdadera .

S > mit (o sustituyendo a S con A , si es el caso) es una condición R necesaria para que el problema tenga solución Obsérvese que

Ejemplo 849: Calcular la tasa de interés j3 con la que depósitos cuatrimestrales de $1000, se acumularán en $15,000 en 4 años. Tenemos: S = 15000; R = 1000; n = 12 . Entonces z = S / R = 15000 / 1000 = 15 Usamos ahora (5.22)

(15 /12 ) =

2

−1

= 0.0375 ∴ j3 = 3 × iestimada = 0.1125=11.25% 15 Entonces j3min = 11%; j3max = 12% . iestimada

Para j3min = 11%, S12 0.037 = 14.7698 Para j3max = 12%, S12 0.05 = 15.0258 Ahora sí podemos ordenar estos valores en una tabla de diferencias finitas para interpolación:

Planteamos, entonces, la ecuación de interpolación: x 0.2302 = ∴ x ≈ 0.90% 1% 0.256 Finalmente jmverdadera = jmmin + x = 11% + 0.90% = 11.90% Podemos comprobar la precisión y exactitud de este resultado, usando la ecuación (5.15):

(1 + i ) S=R i

n

−1

(1 + 0.1190 / 3) = 1000

12

0.1190 / 3

−1

= $14,997.10

Ejercicios: Encuentre la tasa de interés nominal más cercana para los siguientes ahorros; compruebe sus resultados: 850 : S = $ 8,464 ; depósito = $ 368 ; para j_ 2 ; en 8 años 851 : S = $ 7,619 ; depósito = $ 401 ; para j_ 3 ; en 4 años 852 : S = $ 7,209 ; depósito = $ 267 ; para j_ 4 ; en 5 años 853 : S = $ 18,361 ; depósito = $ 301 ; para j_ 6 ; en 9 años 854 : S = $ 42,315 ; depósito = $ 465 ; para j_ 12 ; en 7 años

Respuestas: 850 : j_ 2 = 9.29917 %; S_Comprobación = $ 8,462.29 851 : j_ 3 = 24.0617 %; S_Comprobación = $ 7,619.11 852 : j_ 4 = 12.1868 %; S_Comprobación = $ 7,208.57 853 : j_ 6 = 2.70399 %; S_Comprobación = $ 18,355.90 854 : j_ 12 = 2.28119 %; S_Comprobación = $ 42,308.00 Anualidades generales (Rentas Equivalentes) Hemos dicho que en el caso de las anualidades generales, éstas no coinciden necesariamente con los momentos en que se compone el interés, es decir se pueden hacer pagos periódicos con mayor o menor frecuencia que con la que se compone el interés. Una forma muy común de resolver las anualidades generales es transformarlas en una anualidad simple equivalente, cambiando la tasa dada de interés a una equivalente para la que el nuevo periodo de conversión sea el mismo que el de pago (véase el tema de tasas equivalentes, en particular la fórmula (5.10)).

Ejemplo 855: Calcular el valor acumulado equivalente de una anualidad de $500 al final de cada mes, durante 8 años, a 10% compuesto cuatrimestralmente. La interpretación de esta pregunta nos exige primero calcular la tasa equivalente, que en lugar de componerla 3 veces al año (cuatrimestralmente) la vamos a componer cada mes. Recordemos que la fórmula (5.10) dice que m/ h   j  jh = h   1 + m  − 1   m   Lo cual es lo mismo que decir m/h   j  i ( h m ) =  1 + m  − 1   m   El lado izquierdo de la variante de (5.10) “ i ( h m ) ”, se lee “la función de interés i de h dado m ”. Sustituyendo valores.   0.10 3/12  i (12 3) =  1 +  − 1 = 0.00823115 ≈ 0.8%  3    Si hubiésemos usado (5.10) directamente   0.10 3/12  j12 = 12  1 +  − 1 = 0.0987738 ≈ 9.88%  3    Aunque para muchos casos es la tasa de interés por periodo “ i ” la que nos interesa manejar, como es justo éste, ya que el valor de i lo podemos meter directamente en la fórmula (5.15), y de hecho:

(1 + 0.00823115 ) S = 500

12×8

0.00823115

−1

= $72,693.30

Nótese que en este último cálculo el parámetro “ n ”depende de la nueva periodicidad (en este caso, 12 porque es mensual), y no de la periodicidad original.

Ejercicios: 856 : R = $ 389 compuesta con j_ 2 = 7.83 %; transformarla a j_ 12 ; durante 9 años 857 : R = $ 354 compuesta con j_ 3 = 9.07 %; transformarla a j_ 6 ; durante 5 años 858 : R = $ 388 compuesta con j_ 4 = 13.16 %; transformarla a j_ 4 ; durante 6 años 859 : R = $ 295 compuesta con j_ 6 = 11.14 %; transformarla a j_ 3 ; durante 6 años 860 : R = $ 324 compuesta con j_ 12 = 11.56 %; transformarla a j_ 2 ; durante 10 años

Respuestas: 856 : S = $ 120,935. compuesta con j_ 12 = 7.70525 % 857 : S = $ 36,883.1 compuesta con j_ 6 = 9.00246 % 858 : S = $ 25,646.9 compuesta con j_ 4 = 13.16 % 859 : S = $ 15,263.9 compuesta con j_ 3 = 11.2434 % 860 : S = $ 17,289.9 compuesta con j_ 2 = 11.842 % Perpetuidades Una perpetuidad es una anualidad cuyos pagos comienzan en alguna fecha fija y continúan indefinidamente hacia el futuro. Por esta misma característica no tiene razón de ser el discutir cuál será el valor acumulado, puesto que la perpetuidad no tiene fin. Por otro lado, el valor descontado o valor presente sí esta bien definido, y es el valor fechado equivalente de todo el conjunto de pagos al principio del término de la perpetuidad. Esto se escribe matemáticamente como −1 −2 −3 −4 A = R (1 + i ) + R (1 + i ) + R (1 + i ) + R (1 + i ) + ⋯∴

(

A = R (1 + i ) + (1 + i ) + (1 + i ) + (1 + i ) −1

−2

−3

−4

)

Aquí podemos usar la fórmula (5.7) para obtener la suma de una serie infinita: x −1 −1 S n →∞ = 1 ; x1 = R (1 + i ) , rg = (1 + i ) , S n →∞ = An →∞ ∴ 1 − rg

An →∞ =

R (1 + i )

−1

1 − (1 + i )

−1

R 1 R R (1 + i ) = 1+ i = 1+ i = ∴ 1 i 1 + i − 1 1− 1+ i 1+ i (1 + i )

R i Las perpetuidades pueden ser donaciones pagadas perpetuamente, dividendos de algunos tipos de acciones (bajo el supuesto que la empresa nunca quiebre), sumas de dinero invertidas indefinidamente. (5.24)

An →∞ =

Ejemplo 861: Calcular el valor descontado de una perpetuidad simple ordinaria que paga $1,000.00 mensuales, si j12 = 15% . Tenemos que i = 0.15 / 12 = 0.0125, R = 1000 ; usando la fórmula (5.24): 1000 An →∞ = = $80,000.00 0.0125 Ejercicios:

Calcular el valor presente de las siguientes perpetuidades simples ordinarias. 862 : R = $ 576 compuesta con j_ 12 = 14.84 % 863 : R = $ 200 compuesta con j_ 2 = 16.84 % 864 : R = $ 675 compuesta con j_ 3 = 7.29 % 865 : R = $ 960 compuesta con j_ 4 = 13.72 % 866 : R = $ 1,116 compuesta con j_ 6 = 13.66 %

Respuestas: 862: Apresente = $46,576.80 863: Apresente = $2,375.30 864: Apresente = $27,777.80 865: Apresente = $27,988.30 866: Apresente = $49,019.00

Amortización de una deuda por anualidades Amortizar viene del latín “ad” y “mortus” que literalmente significa en castellano moderno “dar muerte”. La forma más común de amortizar una deuda es por medio de pagos periódicos. Después de cada pago, lo que quede todavía de la deuda se le llama saldo insoluto, o principal insoluto; otra forma de ver a este capital, es como el valor descontado de todos los pagos que no se han hecho. La palabra enfatizada nos da la clave para usar a la fórmula (5.16), de la cual vamos a despejar la renta o pago periódico, que es lo que usualmente se busca al hablar de amortización por anualidades: A= R

1 − (1 + i ) i R=

(5.25a)

−n

≡ Ran i ∴

A an i

O bien, en términos prácticos: (5.25b)

R=

A /1

=

Ai

1 − (1 + i ) 1 − (1 + i ) i Cada pago sucesivo abona al interés sobre el saldo que todavía no ha sido cubierto, y también una parte del capital insoluto. Conforme avanza la deuda hacia el término de su préstamo, decrece el capital insoluto, y también el interés proporcional en cada pago, y con ello aumenta la proporción de la parte del principal. Esta transformación sucesiva en las proporciones de pagos de capital y de intereses se puede observar en un calendario de amortización, el cual se puede elaborar si sabemos la fecha de inicio y de término del préstamo, y además sabemos la periodicidad de los pagos, que en las fórmulas que hemos visto en este capítulo, se refiere a “ m ” que, recordando y verbigracia, m = 2 significa semestral, (ya que se paga 2 veces por año), m = 3 es cuatrimestral (porque se paga tres veces por año) y así sucesivamente. El redondeo es en el último centavo, es decir, en los centésimos de la unidad monetaria en cuestión; si la unidad monetaria no tuviera subdivisiones divisibles entre 100, entonces el redondeo es en la cifra decimal más pequeña que admita esa moneda, y en todos los casos el redondeo es el estadístico sin sesgo. Ejemplo 867:

−n

−n

Una deuda de $12,000.00 con 12% de interés compuesto trimestralmente se debe amortizar con pagos trimestrales iguales de $R durante los siguientes 6 años; el primer pago vence en tres meses. Planteamos el valor de los parámetros de la ecuación (5.25): A = 12000, i = 0.12 / 4 = 0.03, n = 4 × 6 = 24 . Aplicando estos valores en (5.25) A 12000 × 0.03 R= = = $708.57 an i 1 − (1 + 0.03)−24 Ejemplo 868: Elabore el calendario de amortización del ejemplo anterior Si se observa en la tabla 5.1, veremos, de izquierda a derecha, que la primera columna es la indexación del total n = mit . La segunda columna son todos los pagos periódicos iguales. La tercera columna se obtiene de multiplicar el interés de cada periodo (en este caso es el 3% trimestral), por el principal insoluto; por ejemplo el interés para el primer pago es de 12000 × 0.03 = 360 . La cuarta columna se obtiene de sustraer el interés del pago periódico, para obtener el principal pagado; por ejemplo para el primer pago, el principal pagado es de 708.57 − 360 = 348.57 . La última columna se obtiene de restarle el principal pagado al principal insoluto; de esta manera, después del primer pago tenemos que el principal insoluto es 12000 − 348.57 = 11651.43 . El procedimiento se repite hasta que se amortiza totalmente la deuda. Obsérvese que en el último pago hemos obtenido un valor negativo. En realidad debería de dar cero, siempre y cuando se hagan los redondeos adecuados. Tómese en cuenta que el último pago puede ser diferente, como se explicó en el tema de las anualidades.

Número de pago

Pago periódico 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Interés a 3%

708.57 708.57 708.57 708.57 708.57 708.57 708.57 708.57 708.57 708.57 708.57 708.57 708.57 708.57 708.57 708.57 708.57 708.57 708.57 708.57 708.57 708.57 708.57

Principal pagado

360.00 349.54 338.77 327.68 316.25 304.48 292.36 279.87 267.01 253.77 240.12 226.07 211.59 196.68 181.33 165.51 149.22 132.44 115.15 97.35 79.01 60.13 40.67

Principal Insoluto

348.57 359.03 369.80 380.89 392.32 404.09 416.21 428.70 441.56 454.80 468.45 482.50 496.98 511.89 527.24 543.06 559.35 576.13 593.42 611.22 629.56 648.44 667.90

12000 11651.43 11292.40 10922.60 10541.71 10149.39 9745.31 9329.10 8900.40 8458.84 8004.04 7535.59 7053.08 6556.11 6044.22 5516.98 4973.92 4414.56 3838.43 3245.01 2633.79 2004.24 1355.79 687.90

24 Totales

708.57 17005.68

20.64 5005.65

687.93 12000.03

-0.03

Table 5.1. Ejercicios: Asigne apropiadamente el monto regular que se ha de pagar para las siguientes deudas, con sus respectivos intereses y periodicidades: 869 : Deuda = $ 12,603 compuesta con j_ 6 = 9.61 %, a pagarse en 10 años 870 : Deuda = $ 11,373 compuesta con j_ 4 = 6.95 %, a pagarse en 8 años 871 : Deuda = $ 13,822 compuesta con j_ 3 = 7.3 %, a pagarse en 6 años 872 : Deuda = $ 11,542 compuesta con j_ 2 = 7.89 %, a pagarse en 7 años 873 : Deuda = $ 6,516 compuesta con j_ 12 = 15.25 %, a pagarse en 10 años

874: Tome los datos del ejercicio 872 y elabore su caledario de amortización correspondiente. Respuestas: 869 : Pago Periódico R = $ 328.456 870 : Pago Periódico R = $ 466.319 871 : Pago Periódico R = $ 957.453 872 : Pago Periódico R = $ 1,088.71 873 : Pago Periódico R = $ 106.126 874: Número de pago

Pago periódico 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Totales

Interés a 3.945%

1,088.71 1,088.71 1,088.71 1,088.71 1,088.71 1,088.71 1,088.71 1,088.71 1,088.71 1,088.71 1,088.71 1,088.71 1,088.71 1,088.71 15,241.94

Principal pagado

455.33 430.35 404.37 377.38 349.31 320.14 289.82 258.31 225.55 191.50 156.10 119.31 81.07 41.32 3699.86

Principal Insoluto 11542 633.38 10908.62 658.36 10250.26 684.34 9565.92 711.33 8854.59 739.40 8115.19 768.57 7346.62 798.89 6547.74 830.40 5717.34 863.16 4854.17 897.21 3956.96 932.61 3024.35 969.40 2054.95 1007.64 1047.31 1047.39 -0.08 11542.08

Principal insoluto Los pagos de una deuda pueden ser todos iguales o bien, como vimos en el tema de anualidades, puede ser que el último pago difiera para ser ajustado a un cierto total. Por esta razón, la forma más común para calcular el principal insoluto es través del método retrospectivo, que consiste en ver hacia atrás en el tiempo; el principal insoluto P justo después del k -ésimo pago, es igual al valor acumulado de la deuda, menos el valor acumulado de los k pagos hechos hasta la fecha, es decir:

Pinsoluto = A (1 + i ) − RSk i k

(5.26)

Nótese que la primera parte del lado derecho de la fórmula (5.26) es como usar la fórmula (5.8), excepto que en lugar de “C” de capital se usa “A” de adeudo; así mismo nótese que la segunda parte del lado derecho de la fórmula (5.26), es la fórmula (5.15) donde para el factor de acumulación se usa k , en lugar de n . Ejemplo 875: El programa de amortización del ejemplo 868 muestra que después del 5º pago, queda un saldo insoluto de $10,149.39. Demuestra esta cifra usando (5.26). Los datos de los parámetros de (5.26) son como sigue: Pinsoluto = 10149.39; A = 12000; i = 3% = 0.03; k = 5; R = 708.57

(1 + i ) =

k

−1

(1 + 0.03) =

5

−1

= 5.30914 i 0.03 Finalmente sustituimos en el lado derecho de (5.26)

Sk i

A (1 + i ) − RSk i ∴12000 (1 + 0.03) − 708.57 ( 5.30914 ) = $10,149.4 . Y en consecuencia k

5

el lado izquierdo y el lado derecho coinciden: Pinsoluto = $10,149.39 ≈ $10,149.4 Ejercicios: Encuentre los saldos insolutos con los siguientes datos (recuérdese que el pago periódico o renta R se obtiene al aplicar (5.25) en cualquiera de sus dos modalidades), y para las siguientes “k’s”. 876 : Adeudo Original = $ 11,582 ; j_ 6 = 16.78 %; para un total de 9 años; k = 18 877 : Adeudo Original = $ 18,198 ; j_ 2 = 10.56 %; para un total de 7 años; k = 3 878 : Adeudo Original = $ 18,128 ; j_ 3 = 11.49 %; para un total de 8 años; k = 8 879 : Adeudo Original = $ 21,044 ; j_ 4 = 12.48 %; para un total de 12 años; k = 9 880 : Adeudo Original = $ 21,831 ; j_ 12 = 18.26 %; para un total de 15 años; k = 45

Respuestas: 876 : Principal insoluto después de = 18 19,013.6 877 : Principal insoluto después de = 3 21,131.3 878 : Principal insoluto después de = 8 24,435.6 879 : Principal insoluto después de = 9 27,716.8 880 : Principal insoluto después de = 45 43,066.5

pagos = $ pagos = $ pagos = $ pagos = $ pagos = $

Hipotecas Una hipoteca es un tipo de amortización; un préstamo grande cuyo propósito, en la gran mayoría de los casos, es el de comprar un bien raíz personal (una casa, un departamento, o bien el terreno y dinero para construir la casa).

Matemáticamente una hipoteca se puede estudiar con las fórmulas (5.25) y (5.26); a veces se puede estudiar con ayuda de la teoría de anualidades generales (para esquemas de amortización más complejos), y por supuesto elaborando un calendario de amortizaciones. Lo más importante de una hipoteca, es conocer qué costo tiene uno u otro esquema de amortización. Quizá lo único extra que se necesita agregar matemáticamente, es el que los bancos piden un cierto porcentaje sobre el total del valor del bien raíz, llamado enganche, con el fin de que el banco autorice el préstamo, amen de que quien solicite la hipoteca, debe de ganar mensualmente lo suficiente como para cubrir los pagos durante todo el tiempo que dure la hipoteca. Por cierto, los intereses de los pagos de las hipotecas se componen mensualmente en la mayoría de los casos, o bien se busca que los intereses, sea cual sea su periodicidad, se distribuyan mensualmente, pues así se cobran la mayoría de las hipotecas. Ejemplo 881: Una pareja quiere comprar un departamento con un valor de $800,000.00. El banco con quien quieren solicitar una hipoteca les requiere el 20% de enganche para otorgarles el préstamo. Si el banco les ofrece amortizar el resto por 15 años con una tasa de j12 = 9.5% , ¿a cuánto asciende el pago mensual de su hipoteca?¿Cuál será su saldo insoluto al cabo de 120 pagos? Primero tenemos que sustraer el 20% de $800,000: 80000 (1 − 0.20 ) = $640, 000.00 Ésta cantidad es la que el banco realmente ha de otorgar en préstamo hipotecario. Entonces el pago requerido se obtiene aplicando (5.25b): Ai R= −n 1 − (1 + i ) Donde A = 640, 000; i = 0.095 / 12 = 0.00791667; n = 12 × 15 = 180 . Sustituyendo: ( 640, 000 )( 0.00791667 ) = $6,683.04 R= −180 1 − (1 + 0.00791667 ) El pago insoluto se obtiene de (5.26)

Pinsoluto = A (1 + i ) − RSk i k

Lo único que nos faltaría por calcular es Sk i y esto viene como parte de la fórmula (5.15), usando “ k ” en lugar de “ n ”:

(1 + i )

k

−1

(1 + 0.00791667 ) =

i Finalmente sustituimos en (5.26):

120

0.00791667

Pinsoluto = 640,000 (1 + 0.00791667 )

120

−1

= 199.08

− ( 6,683.04 )(199.08 ) = $318,216.50

2 Nótese que aunque k = 120 ≐ 180 = 66.67% , en lo que se refiere al capital obtenido en 3 préstamo apenas se ha pagado casi la mitad; a pesar de que todos los pagos son iguales, al principio la mayoría de lo pagado es para cubrir los intereses. Ejercicios:

Obtenga la cantidad de enganche, el pago mensual, y los saldos insolutos después de “ k ”, para las siguientes hipotecas. 882: Valor Propiedad = $557,413; Enganche = 11%; para 10 años; con j12 = 9.53%; k = 30 883: Valor Propiedad = $735,619; Enganche = 21%; para 15 años; con j12 = 9.3%; k = 36 884: Valor Propiedad = $607,763; Enganche = 30%; para 12 años; con j12 = 10.28%; k = 48 885: Valor Propiedad = $604,205; Enganche = 20%; para 12 años; con j12 = 10.19%; k = 48 886: Valor Propiedad = $792,106; Enganche = 25%; para 15 años; con j12 = 9.67%; k = 60

Respuestas: 882 : Enganche = $ 61,315.4 ; pago Periódico R = $ 6,427.53 . Saldo al cabo de 30 pagos = $ 412,200. 883 : Enganche = $ 154,480. ; pago Periódico R = $ 5,998.46 . Saldo al cabo de 36 pagos = $ 519,351. 884 : Enganche = $ 182,329. ; pago Periódico R = $ 5,153.32 . Saldo al cabo de 48 pagos = $ 336,319. 885 : Enganche = $ 120,841. ; pago Periódico R = $ 5,829.76 . Saldo al cabo de 48 pagos = $ 381,656. 886 : Enganche = $ 198,027. ; pago Periódico R = $ 6,264.61 . Saldo al cabo de 60 pagos = $ 480,672. Fondo de amortización (sinking funds): Deducción de la fórmula aplicable Supongamos que una persona desea garantizar la acumulación de una suma específica de dinero hasta una fecha determinada mediante depósitos periódicos en un fondo que puede tener como propósito el pago de algún adeudo. A éste fondo se le llama fondo de amortización; en la literatura financiera en inglés tiene el nombre (no tan obvio) de “sinking fund ”, cuya traducción literal sería “fondo que se hunde”, aunque la terminología correcta en castellano hemos visto que es otra. La fórmula para calcular el depósito periódico se deduce a partir de la fórmula (5.15): S = Ri Sn i

(1 + i ) ≡R

n

−1

i De donde podemos despejar la “R” de renta o pago periódico: S ii (5.27) R= n (1 + i ) − 1 El alumno debería cuidar de no confundir esta fórmula con (5.25). Ejemplo 887: Una persona desea establecer un fondo de amortización. Su meta es llegar a los $100,000.00, en 10 años. Si la tasa de interés nominal anual bimestral esta en j6 = 12% , ¿de cuánto tendrán que ser sus depósitos periódicos con el fin de que se cumpla su objetivo? Tenemos como datos S = 100, 000; t = 10; m = 6; i = 0.12 / 6 = 0.02 Usando (5.27):

R=

(100, 000 )i( 0.02 ) = 876.80 ( 6×10 ) (1 + ( 0.02 ) ) − 1

Ejercicios: Calcule el depósito periódico que logre el fondo de amortización para los siguientes casos: 888 : S = $ 992,000 ; en 10 años, para j_ 6 = 10.68 % 889 : S = $ 1,394,000 ; en 9 años, para j_ 12 = 9.96 % 890 : S = $ 659,000 ; en 13 años, para j_ 3 = 10.51 % 891 : S = $ 810,000 ; en 13 años, para j_ 4 = 8.71 % 892 : S = $ 128,000 ; en 14 años, para j_ 2 = 10.41 %

Respuestas: 888 : R = $ 9,380.61 889 : R = $ 8,025.31 890 : R = $ 8,157.42 891 : R = $ 8,540.01 892 : R = $ 2,121.67 Bonos Un bono es un documento que ampara un contrato entre el organismo emisor del bono, llamado prestatario o deudor, y el inversionista (prestamista). Esta definición nos hace pensar que un bono es una especie de pagaré, y de hecho la terminología referente a los bonos es prácticamente la misma que para los pagarés: valor nominal; fecha de vencimiento, tasa de bono, o interés sobre valor nominal (ver el tema de pagarés para varias de estas definiciones y ver ejemplos de pagarés). Como definición extra tenemos al valor de liberación, que es la cantidad que se promete pagar en la fecha de vencimiento. En muchos casos el valor de liberación es igual al valor nominal, con lo que se dice que el bono se redime a la par. La notación que se puede usar para los bonos es F = valor nominal C = valor de redención r = tasa del bono por periodo de interés i = tasa de rendimiento por periodo, también conocida como tasa del inversionista. n = número de periodos de interés hasta la fecha de vencimiento P = precio de compra del bono, de tal manera que produzca la tasa i . Fr = pago de interés del bono Si un inversionista desea obtener una tasa de rendimiento i , hasta su vencimiento, entonces es necesario que pague un precio igual al valor descontado Fr de los n periodos, más el valor descontado de la cantidad liberada C :

P = Fr ian i + C (1 + i )

(5.28) (Recuérdese que an i =

1 − (1 + i )

−n

−n

) i Nótese que la primera parte del lado derecho de (5.28) es lo mismo que (5.16) (valor descontado de una anualidad simple ordinaria), aunque con otras literales; y que la segunda parte del lado derecho de (5.28) es lo mismo que la fórmula (5.11) de valor descontado, con la misma observación de tener literales ligeramente distintas.

Ejemplo 893: Un bono de $2,000 que paga interés a j3 = 9% , se vence a la par al término de 5 años. Calcular el precio de compra para que rinda 5% compuesto cuatrimestralmente. Primero que nada establecemos que el bono paga Fr = 2000 ( 0.09 / 3) = $60.00 cuatrimestrales, y C = $2, 000 al final de 5 años (porque se redime a la par). El interés de rendimiento es irendimiento = ( 0.05 / 3) ≈ 0.0167 ; y n = 3 × 5 = 15 . Por ende: a15 0.0167 =

1 − (1 + 0.0167 ) 0.0167

−15

= 13.1722

Finalmente: −15 P = 60a15 0.0167 + 2000 (1 + 0.0167 ) = 60 × 13.1722 + 1560.05 ∴ P = $2,350.38

Ejercicios: Encuentre el valor de compra de los siguientes bonos 894 : Valor de vencimiento C = $ 7,000 ; j_ 2 = 9.42 %; tasa de rendimiento i_ 2 = 6 %; con vencimiento en 9 años 895 : Valor de vencimiento C = $ 1,000 ; j_ 3 = 10.66 %; tasa de rendimiento i_ 3 = 7 %; con vencimiento en 3 años 896 : Valor de vencimiento C = $ 3,000 ; j_ 4 = 10.78 %; tasa de rendimiento i_ 4 = 7 %; con vencimiento en 7 años 897 : Valor de vencimiento C = $ 8,000 ; j_ 6 = 9.14 %; tasa de rendimiento i_ 6 = 6 %; con vencimiento en 5 años 898 : Valor de vencimiento C = $ 4,000 ; j_ 12 = 9.94 %; tasa de rendimiento i_ 12 = 7 %; con vencimiento en 6 años

Respuestas: 894 : Precio de compra P = $ 8,646.3 895 : Precio de compra P = $ 1,098.01 896 : Precio de compra P = $ 3,623.33 897 : Precio de compra P = $ 9,080.48 898 : Precio de compra P = $ 4,574.81

6. Cálculo, estadística y probabilidad 1. El diagrama de pay El diagrama de “pay” o de pastel tiene como propósito mostrar las diferentes proporciones, en cuanto a cantidad, que tienen diversos conjuntos de objetos relacionados entre sí. La suma de las proporciones (en porcentaje) de todas las colecciones de objetos debe de ser igual a 100% (o uno, si tomamos como base la fracción decimal equivalente). Se forma a partir de un círculo, el cual se divide según las diversas proporciones. El tamaño de cada “rebanada” es igual a 360º, que tiene todo el círculo, multiplicado por la fracción decimal correspondiente al porcentaje de la cantidad de determinada colección de objetos, respecto del todo; obviamente la adición de todos los segmentos de arco debe de ser igual a 360º. En otras palabras, el diagrama de pay es una forma de visualizar las diferentes proporciones entre sí. Algunas variantes del diagrama de pastel incluyen al diagrama explotado, el cual consiste en mostrar una, varias o todas las rebanadas separadas del centro geométrico del círculo original, exactamente como se vería un pastel que hubiera estallado desde su centro. Ejemplo 899: Una tienda, al final del año, hace un inventario por categorías de lo que les queda en almacén. Las categorías tienen los siguientes porcentajes: Jardinería = 20% Ferretería y tlapalería = 15% Comestibles = 40% Ropa = 10% Electrónica = 15% Para poder hacer el diagrama de pay, lo primero es calcular el equivalente de los porcentajes en cantidad de grados del círculo:  0.20 = 72°  0.15 = 54°  360°× 0.40 = 144°  0.10 = 36°   0.15 = 54° La representación gráfica de estos segmentos de arco se puede apreciar en la figura 6.1.

Electrónica 15% Ropa 10%

Jardinería 20%

Jardinería Ferretería y tlapalería

Ferretería y tlapalería 15%

Comestibles Ropa Electrónica

Comestibles 40%

Figura 6.1 Representación gráfica de porcentajes con ayuda de un diagrama de pastel. En las hojas de cálculo la gráfica se puede llamar también “diagrama de círculo”. Como casi siempre hay un icono al lado del nombre, no es difícil de identificar. En inglés, muchos programas lo denominan “pie chart”. La figura 6.1 se obtuvo con Excel ®, aunque resultados muy similares se pueden obtener con OpenCalc® o con Octane®. La figura 6.2 fue obtenida con Matemática ® v. 5.1, en donde se muestra la gráfica de pastel estándar y dos de sus posibles variantes:

Inventario

Ferr . y tlap .

Inventario

Ferr . y tlap . Jardinerí a

Jardinerí a

Comestibles

Electró nica Ropa

Comestibles

Electró nica Ropa

Inventario

Ferr . y tlap . Jardinerí a

Comestibles

Electró nica Ropa

Figura 6.2. Diagrama de pastel en tres de sus variantes. Arriba a la izquierda: pastel entero; a su derecha, explotado. Abajo a la izquierda: pastel parcialmente explotado, en este caso, con énfasis en la mayor “rebanada”. Ejercicios: Obtenga los diagramas de “pastel” de los siguientes casos: 900: En un banco se hizo la contabilidad de sus productos más exitosos, quedando las categorías y porcentajes de la siguiente manera: Hipotecas = 50%, Préstamos de corto plazo = 20%, Tarjetas de crédito empresariales = 10%, préstamos para automóviles = 20%. 901: Un agricultor tiene la siguiente distribución en cuanto al uso de sus tierras: Ganadería = 35 %; árboles frutales = 22%; jitomate = 18%; maíz = 15%; frijol = 5 %; chile = 5%.

Respuestas: 900:

préstamos para automóviles 20%

Hipotecas Préstamos de corto plazo

Tarjetas de crédito empresariales 10%

Hipotecas 50%

préstamos para automóviles

Préstamos de corto plazo 20%

901: Distribució

n de tierras

Ganaderí a 35 %

frutales

22 % chile frijol

Jitomate

18 %

Tarjetas de crédito empresariales

maí z 15 %

5% 5%

2. Gráficas de Barra A diferencia de las gráficas de pastel, el propósito de las gráficas de barra es mostrar frecuencias o números absolutos, en lugar de relativos. Cada barra de este tipo de gráfica es como “apilar” el acumulado de cada categoría, llevado a escala respecto de los otros acumulados. En otras palabras la altura máxima de alguna barra representaría el 100% de altura posible o la unidad, y las otras barras estarían dibujadas respecto de este máximo. Aún así, como se dijo anteriormente, la gráfica de barras no representa números relativos, aunque su visualización requiere de su implementación. Las gráficas de barras tienen las siguientes posibles variantes: Verticales: las categorías están sobre el eje x y los valores de estas categorías corren hacia arriba (o hacia abajo, en el caso de valores negativos) sobre el eje y. Horizontales: Al revés de la anterior, es decir, las categorías sobre el eje “y” mientras que los valores corren hacia la derecha (o hacia la izquierda, si es el caso que haya valores negativos). Barras juntas: todas las categorías son contiguas unas con otras. Barras separadas: las categorías conservan un espacio entre sí. Un detalle importante acerca de la construcción de gráficos de barras, es que todas las barras deben de tener el mismo ancho; de otra manera es más difícil la comparación visual de las diferentes categorías. Claro que hay excepciones a esta regla. El ancho puede de las barras puede ser función de un algo, es decir, el ancho variable de las barras debe de tener una interpretación concreta. Ejemplo 902: Supongamos que tenemos la siguiente tabla (6.1), que muestra las temperaturas máximas en las ciudades más importantes de la República Mexicana, esperadas durante el mes de abril del 2008. La última columna representa la proporción de cada temperatura respecto del máximo de todas las categorías. En este caso se tomó a “Guadalajara”, aunque también se pudo haber tomado a “Hermosillo”, pues ambas representan el mismo máximo. Abr-08 Ciudad de México Ensenada Guadalajara Hermosillo León Monterrey Morelia Orizaba Puebla Slp Tampico Toluca Zacatecas

20.5 20.9 32 32 30.4 29.6 31 26.8 27.3 27.4 29.3 23.9 25

0.64 0.65 1.00 1.00 0.95 0.93 0.97 0.84 0.85 0.86 0.92 0.75 0.78

Tabla 6.1. Temperaturas máximas esperadas para el mes de abril del 2008, en las principales ciudades de la República mexicana. Los datos fueron tomados del “182º Calendario del más antiguo Galván para el año bisiesto de 2008”.

El máximo, que es Guadalajara o Hermosillo (32º C), va a representar nuestro estándar de altura de las barras, es decir, va a representar el 100% o la unidad, y todas las demás categorías se construirán en altura proporcionalmente a este máximo. De esta manera, si elegimos que la barra más grande mida tres centímetros, el resto de las barras tendrán una altura h ∝ max(h) × 3 Donde el símbolo ictíneo “ ∝ ”simboliza la fracción proporcional (no confundir con el símbolo de infinito ( ∞ )

La figura 6.3 muestra un posible diagrama de barras con la información de la tabla (6.1); la variante usada fue barras verticales, categorías con espacios entre sí.

C iu da d

To lu ca Za ca te ca s

Sl p Ta m pi co

Le ón M on te rre y M or el ia O riz ab a Pu eb la

M éx ic o En se na G da ua da la ja ra H er m os illo

35 30 25 20 15 10 5 0

de

(°C)

Temperaturas máximas, Abril 2008

Ciudades de la República Mexicana

Figura 6.3. Ejercicios: Elabore un diagrama de barras correspondiente a las siguientes tablas (datos tomados del “182º Calendario del más antiguo Galván para el año bisiesto de 2008” 903: Temperaturas mínimas esperadas para el mes de Enero 2008 en algunas ciudades de la República Mexicana. Ene-08 Ciudad de México Ensenada Guadalajara Hermosillo León Monterrey Morelia Orizaba Puebla Slp Tampico Toluca Zacatecas

8 7.7 8.4 8.7 6.4 8.5 4 9.6 4.1 4.4 13.9 1.1 4.2

904: Exportación de algunos productos mexicanos en el año 2005 (valores en millones de dólares americanos) Producto Tomates Cebollas Pepinos y pepinillos Chiles Aguacates Uvas Fresas Frambuesas, zarzamoras y moras Chicles en general Dulces

Valor 2005 1,130.84 277.16 315.93 287.6 309.68 156.59 115.74 70.47 24.18 318.68

Respuestas: 903: Temperaturas mínimas, Abril 2008

Sl p Ta m pi co To lu Za ca ca te ca s

Le ón M on te rre y M or el ia O riz ab a Pu eb la

M éx ic o En se na G da ua da la ja ra H er m os illo

C iu da d

de

°C

16 14 12 10 8 6 4 2 0

Principales ciudades de la Rep. Mexicana

904:

3. Gráficas de Pareto La gráfica de Pareto ha sido nombrada en honor del economista italiano Vilfredo Pareto (1848-1923). Es también autor de la idea de que “el 80% de los problemas esta en el 20% de los factores…” La mecánica para hacer una gráfica de Pareto es casi la misma que para cualquier gráfico de barras, con el único detalle extra que se tienen que ordenar las categorías del máximo al mínimo, es decir, en orden descendente.

Ejemplo 905: Retomando los datos del ejemplo sobre gráfica de barras, reordenamos los datos de mayor a menor como se ve en la tabla 6.2:

Abr-08 Guadalajara Hermosillo Morelia León Monterrey Tampico Slp Puebla Orizaba Zacatecas Toluca Ensenada Ciudad de México

32 32 31 30.4 29.6 29.3 27.4 27.3 26.8 25 23.9 20.9 20.5

1.00 1.00 0.97 0.95 0.93 0.92 0.86 0.85 0.84 0.78 0.75 0.65 0.64

Tabla 6.2. La gráfica Pareto correspondiente a estos datos se ilustra en la figura 6.4

Pu eb la O riz ab a Za ca te ca s To lu ca En C s en iu da ad d de a M éx ic o

Sl p

Le ón M on te rre y Ta m pi co

35 30 25 20 15 10 5 0 G ua da la ja ra H er m os illo M or el ia

°C

Diagrama Pareto

Cds. Importantes de la Rep. Mex.

Figura 6.4.

Ejercicios: Elabore la gráfica de Pareto de las siguientes tablas 906: Datos de migración total a los Estados Unidos de América (1820-1990), en millones de personas, desde algunos países seleccionados (datos tomados del libro “The American Democracy”; Thomas E. Patterson, 1994, 2a Edition) [Macroeconomía] País Alemania Italia Gran Bretaña Irlanda Austria-Hungría URSS México China Cuba Corea Japón Turquía India Colombia

(millones de p.) 7 5.3 5.1 4.7 4.3 3.4 3.2 0.9 0.7 0.6 0.4 0.4 0.4 0.3

907: Cantidad de personas según el tipo racial (datos tomados del libro de Desmond Morris “El Zoo humano”, 1969) [Macroeconomía] Tipo Racial cantidad Mundial Tipo Racial Caucasoide Mongoloide Negroide Australoide Capoide

cantidad Mundial 1,757,000,000 1,171,000,000 216,000,000 13,000,000 150,000

Respuestas: 906:

In di a C ol om bi a

Ja pó n Tu rq uí a

C ub a C or ea

C hi na

It G ra alia n Br et añ a Au Irl st and ria -H a un gr ía U RS S M éx ico

8 7 6 5 4 3 2 1 0 Al em an ia

Millones de P.

Migración de personas a EUA

País de origen

907: Cantidad de Personas por Raza

Cantidad

2,000,000,000 1,500,000,000 1,000,000,000 500,000,000 0 Caucasoide

Mongoloide

Negroide Tipo racial

Australoide

Capoide

4. Gráficas semilogarítmicas.

Como pudimos haber notado en el segundo ejercicio del tema anterior, las gráficas de barras son limitadas a valores que estén próximos en cuanto orden de magnitud. Cuando queremos comparar cantidades que varían en uno o más ordenes de magnitud, lo ideal es usar una gráfica semilogarítmica, lo que quiere decir que se obtendrán los logaritmos de las magnitudes a comparar y entonces se graficarán en el eje de las “y” los logaritmos de estas magnitudes, en lugar de las magnitudes originales, es decir, hacemos la transformación yi → log ( yi ) Ejemplo 908: Retomando el segundo ejercicio del tema anterior, obtenemos los logaritmos de las magnitudes Tipo Racial cantidad Mundial logaritmos Caucasoide 1,757,000,000 9.24477176 Mongoloide 1,171,000,000 9.0685569 Negroide 216,000,000 8.33445375 Australoide 13,000,000 7.11394335 Capoide 150,000 5.17609126

Los resultados se ilustran en la figura 6.5: Gráfica Semilogarítmica

Log(población)

10 8 6 4 2 0 Caucasoide

Mongoloide

Negroide

Australoide

Capoide

Tipos Raciales

Figura 6.5. Ejercicios: 908: Retome los datos de exportación del ejercicio 904, expresando las cantidades realmente en millones de dólares, y posteriormente obtenga los logaritmos de estas cantidades para elaborar la gráfica semilogarítmica correspondiente. 909: Retome los datos de migración del ejercicio 906, pero exprese las cantidades realmente en millones y obtenga los logaritmos de estas cantidades para elaborar la gráfica semilogarítmica correspondiente.

Respuestas: 908: Migrantes hacia EUA

In di a C ol om bi a

Ja pó n Tu rq uí a

C ub a C or ea

C hi na

It G ra alia n Br et añ a Au Irl st and ria -H a un gr ía U RS S M éx ico

Al em an ia

Log(p.)

8 7 6 5 4 3 2 1 0

Países de origen

909:

10 8 6

Cebollas

Chiles

Uvas

Frambuesas, zarzamoras y moras

Dulces

Chicles en general

Fresas

Aguacates

Pepinos y pepinillos

4 2 0 Tomates

Log(10^6 USD)

Exportaciones Mexicanas

Productos

5. Distribuciones de frecuencia

En los diversos diagramas de barra y gráficas Pareto, hemos visto que es posible representar la frecuencia con que diversas colecciones de objetos ocurren, para poder ser comparadas entre sí. Supongamos ahora que tenemos una sola colección de objetos, pero en diversas categorías numéricas; entonces cada categoría numérica representa la frecuencia con que ese objeto o evento se manifiesta precisamente en esa categoría. El conjunto de todas las categorías numéricas, con sus frecuencias respectivas, forman una distribución de frecuencias. Esta distribución de frecuencias depende de la estadística que se haya hecho, es decir, de los métodos de obtención de datos, y de la manera como se formaron esas

categorías numéricas. Si la estadística se hizo de tal manera que se tomaran muestras realmente al azar, entonces podemos decir que la distribución de frecuencias obtenidas es representativa, y sin sesgos. La gráfica de barras que representa una distribución de frecuencias se le denomina histograma. Ejemplo 910: En una preparatoria se tomaron muestras al azar de estudiantes para medir sus estaturas; la distribución de frecuencias de sus estaturas resultó como se muestra en la tabla 6.3 Categorías (cm) # estudiantes 152-159 5 160-166 18 167-174 42 175-181 27 182-187 8

Tabla 6.3 El histograma o gráfica de distribución de frecuencias correspondiente a la tabla 6.3 se ilustra en la figura 6.6: 40

30

20

10

155.5

171

185

Figura 6.6. Distribución de frecuencias, resultado del muestreo estadístico entre estudiantes de preparatoria. Se ilustran los puntos medios de algunas de las categorías. En el caso de las distribuciones de frecuencia, el ancho de cada barra corresponde fielmente al intervalo de clase. Por ejemplo, el primer intervalo va de 152 a 159 cm; el ancho se obtiene sustrayendo el límite inferior del límite superior del intervalo de clase: 159 − 152 = 7 La marca media de cada clase se obtiene dividiendo el ancho de cada clase entre 2, y luego sumándole a esta cantidad el límite inferior de la clase; por ejemplo, para la primera clase tendríamos ( 7 / 2 ) + 152 = 155.5 , tal como se puede apreciar en la figura 6.6. La altura de cada barra corresponde a la cantidad de estudiantes que caen en esa categoría en particular, por ejemplo en la primera categoría hay 5 estudiantes.

Nótese que en muchos casos se prefiere dibujar al histograma con las barras juntas, precisamente para que el área total del mismo represente la unidad o completitud de la estadística. Ejercicios: Obtenga las distribuciones de frecuencia de los siguientes estudios estadísticos. 911: Una fábrica quiere implementar una máquina rebanadora de jitomates tipo “bola”. Para que la rebanadora funcione correctamente, se deben de ajustar las cuchillas para los diámetros más comunes de jitomate. Se hizo un muestreo de los jitomates, y se obtuvieron los siguientes resultados, por categoría: diámetros (cm) # jitomates 4a5 8 6a7 16 8a9 45 10 a 11 26 12 a 13 5

912: Una empresa esta probando la durabilidad de una nueva línea de lámparas fluorescentes. Se hizo el muestreo de 100 lámparas y los resultados son como sigue: durabilidad (hrs) # lámparas 4999-6000 4 6001-8000 17 8001-10,000 48 10,001-12,000 25 12,001-14,000 6

913: Una fábrica esta produciendo cojinetes para maquinaria de alta precisión, y se requiere saber el peso de los cojinetes. El muestreo de 100 cojinetes arrojó los siguientes resultados. Peso (gr) 8-8.5 8.6-9.5 9.6-10.5 10.6-11.5 11.6-12.5

# Cojinetes 2 13 56 22 7

Respuestas: 911: 40

30

20

10

5

7

9

11

13

912: 40 30 20 10

5500

7001

9001

11001

13001

9.1

10.1

11.1

12.1

913: 50 40 30 20 10

8.3

6. Medidas de promedio (medidas de tendencia central)

Se le llama medidas de promedio o de tendencia central a todas aquellas fórmulas que nos permitan saber lo que pasa en o cerca del centro de una distribución de frecuencias. Las tres medidas más comunes son la media, mediana, y la moda.

La media (“ X ”) se define como la suma de todos los valores, dividida entre el número de valores: n

X=

∑x i =1

i

=

x1 + x2 + ⋯ + xi + ⋯ + xn n

n Ejemplo 914: Supongamos que tenemos el siguiente muestreo de estaturas de estudiantes de preparatoria: {158,154,154,157,153,160,166,160,160,161,162,163,162,163,161,165,161,166,161,160, 161,162,162,174,169,171,170,173,172,174,167,167,172,172,167,171,170,174,171,173,173, 173,168,170,174,172,171,173,171,172,170,174,174,170,171,172,171,168,167,171,168,172, 174,173,171,181,180,175,179,177,178,179,179,178,178,179,175,175,176,176,180,175,181, 179,176,177,180,177,178,175,178,180,185,182,183,184,185,186,183,183}

Su media es X=

158(1) + 154(2) + ⋯ + 179( i ) + ⋯ + 183(100) 100

= 172.09

La mediana se define como el elemento central de una distribución ordenada ascendente o descendentemente; o bien, como el promedio de los dos elementos centrales, si es par el índice de la lista que genera la distribución. Para este último caso, los elementos centrales tendrán como índices a n i= 2 y n i +1 = +1 2 Ejemplo 915: Retomando los datos del ejemplo anterior, lo primero es ordenar la lista, por ejemplo ascendentemente: {153,154,154,157,158,160,160,160,160,161,161,161,161,161,162,162,162,162,163,163, 165,166,166,167,167,167,167,168,168,168,169,170,170,170,170,170,171,171,171,171,171, 171,171,171,171,172,172,172,172,172,172,172,173,173,173,173,173,173,174,174,174,174, 174,174,174,175,175,175,175,175,176,176,176,177,177,177,178,178,178,178,178,179,179, 179,179,179,180,180,180,180,181,181,182,183,183,183,184,185,185,186} La mediana en este caso, es el promedio entre el elemento 50º y el 51º (puesto que la lista tiene un total de 100 elementos), que son ambos iguales a 172, por lo tanto la mediana es 172. La moda es el valor que con mayor frecuencia se repite, o bien la frecuencia con mayor número de miembros. Se calcula simplemente contando todos los valores que se repitan, o considerando la categoría que incluya el máximo de miembros. Si hay dos (o más) categorías o dos (o más) valores que tengan la misma cantidad de miembros, entonces hablamos de una distribución multimodal, esto es, hay varias modas.

Ejemplo 916: Retomando los datos del primer ejemplo, contamos cada valor que se repita y obtenemos que la moda es171, y que en este caso es única, o sea, no hay otro valor que se repita tantas veces como ésta. Ejercicios: Obtenga la media, la moda y la mediana de los siguientes muestreos. 917: Muestreo de diámetros de jitomates bola: {4,5,7,6,7,9,8,8,8,9,8,8,9,8,10,10,10,11,12,12} 918: Muestreo de lámparas fluorescentes {6000,5000,6000,7000,8000,5000,2000,5000,2000,5000,4000,5000,3000,1000,5000,6000, 4000,7000,12000,13000} 919: Muestreo de Cojinetes {9.00,8.00,10.0,9.00,10.0,9.00,10.0,10.0,10.0,10.0,11.0,10.0,10.0,10.0,11.0,11.0,12.0,11.0, 13.0,13.0} Respuestas: 917 : Media = 8.45 ; Mediana = 8 ; Moda = 8 918 : Media = 5550. ; Mediana = 5000 ; Moda = 919 : Media = 10.35 ; Mediana = 10.0 ; Moda =

5000 10.0

7. Medidas de variabilidad (medidas de dispersión)

Dos conjuntos de datos pueden arrojar el mismo promedio, y sin embargo ser radicalmente distintos. Ejemplo 920: Considérense los siguientes dos conjuntos: {1,8,4,10,10,6,9,8,6,10} y {9,6,7,6,5,9,9,9,6,6}. Ambos tienen la misma media X = 36/5 . Sin embargo, la variabilidad de ambos conjuntos es diferente entre sí, ya que el primer conjunto varía desde “1” hasta “10”, mientras que el segundo varía de “6” hasta “9”. Podríamos decir que el primer conjunto es más disperso que el segundo. Por este tipo de situaciones es que en estadística se han definido, además de las medidas de tendencia central, las medidas de variabilidad o de dispersión. Las medidas de dispersión más usadas son el recorrido, la varianza, y la desviación estándar. El recorrido es la diferencia que hay del dato más grande con el más pequeño, y por supuesto que carece de sentido si alguno de los dos valores es igual a infinito o menos infinito. Es de notarse que en inglés, el término estadístico “recorrido” se conoce como “range”. Es tentador traducir esta palabra como “rango” y quizá en varios libros así se le encuentre, aunque recorrido sea una traducción más propia.

Ejemplo 921: Retomando los dos conjuntos del ejemplo anterior, vemos que sus rangos son 10 − 1 = 9 Y 9−6 = 3 Respectivamente. La varianza, de una muestra poblacional, se define matemáticamente como la suma de los cuadrados de las desviaciones respecto de la media, y este resultado dividido entre el número total de datos menos la unidad: n

var = ∑

(X − x )

2 n

(x − X )

2

=∑ n −1 n −1 i =1 Nótese que es indistinto si cada dato funciona como sustraendo o minuendo, dado que de todos modos cada resultado se ha de elevar al cuadrado. El hecho de que se use n − 1 , y no n , es para evitar sesgos estadísticos. Esta más allá del alcance de este libro demostrar que esto es cierto, sin embargo, intuitivamente podemos ver que si la muestra poblacional se hace tan grande hasta cubrir el total de la población, es decir, conforme n → ∞ , entonces el “1” cada vez perderá menos importancia numérica al lado de n , hasta que la varianza de la muestra sea efectivamente la varianza de la población, y n reemplace completamente a n −1. i

i

i =1

Ejemplo 922: Retomando los datos del ejemplo 920, los pasos para obtener la varianza son como sigue: a) Se obtiene la media, la cual en este caso ya la sabemos para ambos conjuntos: X = 36/5 . b) Se hace una lista de sustracciones de la media con todos los datos (o de cada dato menos la media). Para el primer conjunto nos queda 31 4 16 14 14 6 9 4 6 14 , ,− , , ,− , , ,− , > 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 , y para el segundo caso 9 6 1 6 11 9 9 9 6 6 : ,− ,− ,− ,− , , , ,− ,− > 5 5 5 5 5 5 . tenemos 5 5 5 5 :−

c) Luego elevamos al cuadrado cada uno de estos resultados; de esta manera, para el primer conjunto tendremos :

961 16 256 196 196 36 81 16 36 196 , , , , , , , , , > 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 mientras que para el

segundo conjunto obtenemos :

81 36 1 36 121 81 81 81 36 36 , , , , , , , , , > 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 .

398 118 d) Sumamos los resultados de c), para obtener respectivamente 5 y 5 .

e) Dividimos esta suma entre el número total de miembros del conjunto menos 398 118 1 (o sea 10 − 1 = 9 , es nuestro divisor): 45 y 45 , o bien con decimales:

8.84444 y 2.62222, respectivamente. Este último resultado numérico es la varianza.

La desviación estándar (de una muestra poblacional) se define como la raíz cuadrada de la varianza: n

2 n

(x − X )

2

= ∑ n −1 n −1 i =1 En donde la letra griega sigma minúscula (“ σ ”) representa a la desviación estándar. De hecho en la gran mayoría de las calculadoras que pueden calcular la desviación estándar de un conjunto de datos, “ σ ” aparece pintada encima, al lado o arriba de algún botón. En ocasiones lo que aparece es “ σ 2 ”, significando que la calculadora obtiene la varianza (por definición, el cuadrado de la desviación estándar). Si quisiéramos obtener la desviación estándar con este tipo de calculadoras, bastaría con sacarle la raíz cuadrada al resultado.

σ=

∑

(X − x ) i

i

i =1

Ejemplo 923: Con los resultados del ejemplo anterior, lo único que hacemos es obtener la raíz cuadrada de ellos para dar como resultado a la desviación estándar: 2.97396 y 1.61933 respectivamente. Podemos ver que tanto la varianza como la desviación estándares son mayores en el primer conjunto, con respecto del segundo. Esto es una forma matemática de decir que el primer conjunto es más disperso que el segundo. Ejercicios: Encuentre el recorrido, la varianza y la desviación estándar de los siguientes conjuntos. 924 : {7,7,4,10,3,9,2,7,5,7} 925 : {9,8,4,8,5,8,6,4,2,7} 926 : {9,9,9,5,9,8,7,2,2,7} 927 : {7,3,8,7,7,6,6,8,10,5} 928 : {8,7,9,3,2,1,4,7,1,5} Respuestas: 924 : Recorrido = 8 ; Varianza = 6.54444 ; Desviación Estándar = 2.55821 925 : Recorrido = 7 ; Varianza = 5.21111 ; Desviación Estándar = 2.28279 926 : Recorrido = 7 ; Varianza = 7.78889 ; Desviación Estándar = 2.79086 927 : Recorrido = 7 ; Varianza = 3.56667 ; Desviación Estándar = 1.88856 928 : Recorrido = 8 ; Varianza = 8.67778 ; Desviación Estándar = 2.94581 8. Diagramas de dispersión y regresión lineal

Cuando tenemos un conjunto de datos que sospechamos están relacionados unos con otros, lo primero que podemos hacer para evaluar su posible correlación es elaborar un diagrama de dispersión. El diagrama de dispersión toma a las parejas de datos (o las triadas, si es que estamos en tres dimensiones) y supone que cada pareja se comporta como un par de

coordenadas. Entonces los ejes cartesianos funcionan como un mapa en donde se han de ubicar a todas las parejas numéricas. Ejemplo 929: Supongamos al siguiente conjunto de parejas de datos: x

F(x) 1.1 2.7 3.7 4.8 5.1 6.9 7.9 8.8 9.5 10.3

12.5 23.2 29.4 38.3 37.9 49.5 54.6 63.3 71.2 74.5

Ubicamos, aunque sea de manera aproximada, a cada pareja como si fuera el plano real un sistema de coordenadas, tal como se ilustra en la figura 6.7. Nótese que en algunos puntos se pierde claridad por el traslape de las leyendas. Esto no representa un problema matemático, aunque si dificulta la visualización, cuando son muchos datos y éstos se encuentran muy próximos unos con otros Diagrama de dispersión

f(x)

80.0

10.3, 74.5 9.5, 71.2 8.8, 63.3 7.9, 54.6 6.9, 49.5

70.0 60.0 50.0 40.0

4.8, 38.3 5.1, 37.9 3.7, 29.4 2.7, 23.2

30.0 20.0 10.0

1.1, 12.5

0.0 0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

x

Figura 6.7. La regresión consiste en encontrar alguna curva que mejor ajuste a los datos. El método de mínimos cuadrados es una de las formas más comunes de obtener los parámetros de alguna curva que mejor ajuste a los datos. En este caso sospechamos que la correlación entre los datos es lineal, por lo que aquí se ilustrará: Correlación lineal: Sea el conjunto de datos

{( x , y ) ,⋯, ( x , y )} , y si por el diagrama de dispersión nos 1

1

n

n

parece que la mejor curva de ajuste es una línea, es decir, una curva del tipo y = a + bx ,

donde “ a ” es el intercepto con el eje “ y ”; y “ b ” es la pendiente de la curva. La forma de obtener los valores de los parámetros de esta curva es a través de las siguientes fórmulas:

( ∑ y ) ( ∑ x ) − ( ∑ x )( ∑ xy ) a= n (∑ x ) − (∑ x) n ( ∑ xy ) − ( ∑ x )( ∑ y ) b= n (∑ x ) − (∑ x) 2

2

2

(6.1)

2

2

Nótese que para ofrecer mayor claridad, se han omitido los índices y los límites superiores de las sumas, aunque se debe entender que cada suma es para todos los elementos del conjunto correspondiente. Además, lamentablemente la demostración de estas fórmulas se encuentran más allá del alcance de este libro, aunque intuitivamente la idea es minimizar la distancia de cada uno de los puntos, con respecto de la recta hipotetizada. Ejemplo 930: A continuación se ilustra el cálculo de cada uno de los elementos de 6.1, en la tabla 6.4. x 1.1 2.7 3.7 4.8 5.1 6.9 7.9 8.8 9.5 10.3 60.7

sumas suma x

F(x) (o "y") x^2 xy 12.5 1.1 13.2 23.2 7.3 62.7 29.4 13.9 109.4 38.3 23.1 184.0 37.9 26.3 194.7 49.5 47.2 340.0 54.6 62.2 430.1 63.3 77.5 557.5 71.2 90.0 675.6 74.5 105.5 765.8 454.4 454.2 3333.0 suma y suma x^2 suma xy 3690.1

(suma x)^2=

n=10

Tabla 6.4 Sustituyendo valores en (6.1)

a=

454.4 × 454.2 − 60.7 × 3333.0 ≈ 4.78387 10 × 454.2 − 3690.1

b=

10 × 3333.0 − 60.7 × 454.4 ≈ 6.74718 10 × 454.2 − 3690.1

Esto quiere decir que la recta buscada es y = 4.78387 + 6.74718x

De hecho, si consideramos que el dominio es x ∈ {1,⋯ ,10} , la lista de pares coordenados estimados es como se ve en la tabla 6.5: x

f(x) 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0

11.5 18.3 25.0 31.8 38.5 45.3 52.0 58.8 65.5 72.3

Tabla 6.5. Además, en la figura (6.8) podemos comparar la gráfica de dispersión original con la recta ajustada (para la cual se usaron muchos más datos, con el fin de que se viera como un continuo, y no como una serie de puntos): 70 60 50 40 30 20 10 2

4

6

8

10

Figura 6.8. La escasa desviación de los puntos respecto de la recta nos dice que el ajuste lineal es bueno.

Ejercicios: 931: Obtenga el diagrama de dispersión de la siguiente tabla. x

f(x) 1.2 2.8 3.8 5.0 6.0 6.1 7.2 8.4 9.5 10.1

12.7 24.5 29.8 36.0 43.2 45.1 56.0 60.8 66.4 76.2

932: Obtenga la recta de ajuste de correlación lineal del ejercicio anterior. Respuestas: 931: 70 60 50 40 30

4

6

8

10

932: a = 3.853, b = 6.85807 ∴ y = 3.853+ 6.85807x

9. Probabilidad de un evento La probabilidad es una forma de medir la posibilidad de que un evento en particular ocurra, de entre todas las formas en que ese evento se puede manifestar. Se dice que hay dos escuelas fundamentales para estudiar la teoría de probabilidades, a saber, la Bayesiana y la frecuentista. En este libro se estudiará solamente la segunda, por la sencillez matemática de su tratamiento y por lo atractivo a la intuición. Un espacio de probabilidades esta formado por tres elementos fundamentales:

a) Un experimento aleatorio (o de azar), o mejor dicho, un experimento en donde todo lo que ocurra dentro de él tiene las mismas posibilidades de ocurrir. b) Un espacio muestral, es decir, la colección de todos los posibles resultados del experimento aleatorio. c) Una función de probabilidades, la cual asigna un número entre 0 y 1 (posiblemente incluyendo a ambos), para cada resultado del espacio muestral. El “0” implica “imposibilidad de ocurrencia”, mientras que el “1” se interpreta como certeza. El resto de los números reales en medio de ambos representa el grado de incertidumbre acerca de la posibilidad de que el evento ocurra o no, dependiendo de lo cercano que ese número este a “1” o a “0”. En la interpretación frecuentista de las probabilidades, esta función es la proporción del número de eventos “favorables”, sobre la totalidad de posibles eventos del espacio muestral; en otras palabras, representa la frecuencia de ocurrencia de un evento en particular respecto de todos los posibles resultados. Ejemplo 933: Un experimento de azar clásico es el de un dado “honrado” (no cargado hacia ningún número) que se arroja. El espacio muestral son todos los posibles números que puede mostrar el dado una vez que se detiene, usualmente seis. Puesto que el dado solo puede mostrar una cara una vez que se ha detenido, y puesto que la totalidad de eventos del espacio muestral es igual a seis, entonces tenemos que la probabilidad de obtener una 1 cualquiera de las caras de un dado, para cada vez que lo arrojemos, es igual a . 6 Ejemplo 934: Arrojar una sola moneda bien balanceada es otro experimento de azar, donde el espacio muestral tiene solo dos posibilidades, y por lo tanto, el que caiga de un lado u otro tiene una probabilidad de ½. Ejemplo 935: Otro experimento de azar muy común es el obtener una carta en particular de un mazo de naipes. En este caso el espacio muestral tiene 13 cartas por cada “palo” de la baraja (sin contar los “comodines”), lo cual quiere decir que hay un total de 52 naipes, cada uno de 1 ellos con una probabilidad de . 52 Es importante hacer notar que la probabilidad frecuentista se basa en teoremas matemáticos como la ley de los grandes números. La maquinaria matemática para mostrar (y demostrar) a la ley de los grandes números esta mucho más allá de los propósitos de este libro. Sin embargo, el significado intuitivo de este teorema consiste en lo siguiente: Si nosotros arrojamos un dado 4 veces, es posible que obtengamos la secuencia de números 2 1 1 {1, 2, 3, 3}. Aparentemente estamos obteniendo el “3” con probabilidad de = > ; el 6 3 6 detalle es que la probabilidad de 1/6 solo es verdadera cuando el experimento de azar se repite una cantidad infinita de veces, es decir, a la larga, después de “muchos” experimentos, veremos que efectivamente la probabilidad de obtener “3” (o cualquiera de

los otros seis números) es igual a 1/6. En otras palabras, la ley de los grandes números nos dice que para la mayoría de los experimentos de azar, sus probabilidades son una verdad estadística, y esto es muy importante saberlo, ya que entonces, si lo que queremos saber es cuál sería la probabilidad de un evento, lo primero que tenemos que hacer es poder definir cuál es nuestro espacio muestral, para enseguida visualizar alguna posible función de probabilidades. Ese espacio muestral se puede definir a partir de realizar muestreos al azar de algo que nos interese, para enseguida ver la frecuencia con que ocurre un cierto evento. Si dividimos la frecuencia del evento que nos interesa entre el total de la muestra, entonces podemos obtener la probabilidad de que ocurra ese evento. El hecho de haber enfatizado la palabra “muchos” más arriba, es para hacer notar que en estadística “muchos” depende de lo que estemos hablando, aunque en general una muestra de al menos 30 individuos, objetos, o eventos, se considera que ya es representativo de la población. En general, si “ j ”es la cantidad de veces que puede ocurrir un determinado evento “ E ”, y “ k ” la cantidad de veces en que este evento puede no manifestarse, entonces la probabilidad se define como: j P(E) = j+k La probabilidad de que no ocurra es  j  ¬P ( E ) = 1 −    j+k  Es decir, la negación de la posibilidad de un evento, o probabilidad de no ocurrencia, es el complemento del espacio muestral. Ejemplo 936: Retomando el ejemplo de la estadística de estaturas de estudiantes (tabla 6.3), vemos que el total de estudiantes, tomados al azar, fueron 100, mientras que el número de estudiantes, cuya estatura rondara entre 160 y 166 cm., fue 18. Esta frecuencia la podemos transformar en una probabilidad dividiendo el número de estudiantes en ese ámbito de estaturas, entre el número total de estudiantes: 18 9 P (160 ≤ estatura ≤ 166 ) = = 100 50

Y la probabilidad de que un estudiante NO tenga la antedicha estatura es: 9 41 ¬P (160 ≤ estatura ≤ 166 ) = 1 − = 50 50 De hecho, la ley de los grandes números (ley de los promedios) asegura que en el límite, cuando el número de muestras tiende a infinito, la media muestral se convierte en la media poblacional. A esta última media es lo que se le conoce como esperanza matemática. Ejercicios: Una aseguradora ha hecho una serie de estudios estadísticos con el fin de estimar la probabilidad de que ocurran (o que no ocurran) los siguientes eventos. Determine la probabilidad de ocurrencia y de no ocurrencia. 937: En 350,000 nacimientos, aproximadamente 2,500 son múltiples (gemelos, trillizos, o más). Determine la probabilidad de que una mujer embarazada pueda tener gemelos.

938: En la ciudad de México hay unos dos millones de automóviles; si cada día se roban 100 autos. Determine la probabilidad de que un coche cualquiera sea robado en un día cualquiera. 939: Cada año en todo el mundo se incendian 13,500 Km2 de bosques tropicales. A nivel mundial quedan unos 75 millones de acres de bosque tropical. Si cada acre es igual 0.404686 hectáreas; cada kilómetro cuadrado tiene 100 hectáreas; y cada hectárea contiene aproximadamente 1,000 árboles, determine la probabilidad de que un árbol específico de algún lugar, en algún momento del año, se incendie, suponiendo que la estadística de los años anteriores se conserve para el año en cuestión. 940: En la República Mexicana se registraron 108 millones, 580 mil habitantes dentro su territorio (censo 2007). En el Distrito Federal se han registrado 22 millones 92 mil 690 habitantes (hasta el 2006). Suponiendo que las proporciones no hayan variado, ¿cuál es la probabilidad de que un mexicano cualquiera resida en particular dentro del D. F.? [datos tomados del Almanaque 2008] Respuestas: 1 139 140 937: P(E)= , ¬P( E) = 140 1 19999 938: P( E ) = 20000 , ¬ P( E) = 20000

939: P ( E ) ≈ 0.044479, ¬ P (E ) ≈ 0.955521 (nótese que el número preciso de árboles por hectárea o por acre es irrelevante en este problema). 940: P ( E) ≈ 0.203469; ¬ P (E ) ≈ 0.796531

10. Probabilidad de dos o más eventos Se dice que dos (o más) eventos son mutuamente excluyentes, si la ocurrencia de uno de ellos impide la ocurrencia de cualquiera de los demás. Ejemplo 941: Una vez que un dado ha quedado quieto, el hecho de que obtengamos “4” elimina automáticamente la posibilidad de que haberse obtenido {1, 2, 3, 5, 6} Si tenemos n eventos mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ocurra cualquiera de estos eventos ( E1 ó bien, E2 , ó bien,…, En ) , en otras palabras: P ( E1 ∨ E2 ∨ ⋯ ∨ En ) = P ( E1 ) + P ( E2 ) + ⋯ + P ( En )

Dos eventos son independientes, si la ocurrencia de uno de ellos no impide que ocurra cualquiera de los demás.

Ejemplo 942: Si al tomar una carta de un mazo de naipes obtenemos el dos de diamantes, este hecho no impide que podamos obtener (por decir algo) el rey de tréboles en la siguiente extracción. La probabilidad de la ocurrencia de todos los eventos n independientes es igual al producto de sus probabilidades: n

P ( E1 ∧ E2 ∧ ⋯ ∧ En ) = P ( E1 ) × P ( E2 ) ×⋯ × P ( En ) = ∏ P ( Ei ) i =1

Ejemplo 943: Calcular la probabilidad de que se obtenga un par de ases, si nada más se han sacado 2 cartas de un mazo de naipes. Lo primero es darnos cuenta que el sacar una carta u otra son eventos independientes. Sin embargo, una vez que hemos sacado una carta, lo que sea que hayamos obtenido excluye la posibilidad de haber obtenido una carta diferente. Entonces lo primero es calcular las probabilidades de los eventos independientes. En una baraja hay cuatro ases. El sacar la primera carta como un “as” tiene probabilidad 4/52 = 1/13; al haber sacado ésta carta, nos quedan 51 cartas, de las cuales tres de ellas son “ases”, por lo que el segundo “as” tiene una probabilidad de 3/51. La probabilidad conjunta de esta combinación es 1 3 1 × = 13 51 221 Ahora bien, obsérvese que lo único que se pide es “un par se ases”, sin especificar cuáles son, ni en qué orden. El total de permutaciones posibles, tomándose dos cartas a la vez es 12, la cual se calcula con la fórmula (6.2) Prn = n ( n − 1)( n − 2 )⋯ ( n − r + 1) (6.2) Que en este caso es P24 = 4 ( 4 − 2 + 1) = 12 Cada una de estas permutaciones tiene la misma probabilidad que ya hemos calculado, y como una vez que obtenemos una determinada permutación, el resto queda automáticamente excluida, entonces la probabilidad de obtener un par cualquiera de ases, sacando las cartas en cualquier orden, es igual a la suma de estas probabilidades, pero como son iguales y son 12, entonces: 1 12 P ("par de ases") = 12 × = ≈ 0.054 221 221 Nótese que el caso especial para permutaciones que toman toda la colección, para arreglarla de distintas maneras, es igual al factorial del número total que se quiere organizar; el factorial se define como el producto de todos los números naturales que hay desde el número establecido, hasta 1: n ! = n × ( n − 1) × ⋯ ×1 Ejemplo 944: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 El factorial de cero es “1” por convención matemática.

Otra fórmula útil en probabilidades es la de combinaciones, en donde el orden es irrelevante (a diferencia de las permutaciones, en donde el orden sí importa). Se define como n! (6.3) Crn = r !( n − r ) ! El lado derecho de (6.3) se lee como “combinaciones de un total de n objetos tomados r a la vez”

Ejemplo 945: En el juego de “poker” se reparten cuatro cartas a cada jugador, cada subconjunto de cuatro cartas se le denomina “mano”. ¿Cuántas posibles manos se pueden tener? Respuesta: 52! 52 × 51× 50 × 49 × 48! 6497400 C452 = = = = 270,725 4!( 52 − 4 ) ! 24 4! 48! Además, suponiendo que a un jugador cualquiera se le dieran sus cuatro cartas de una sola vez, la probabilidad de que a ése jugador le toque una determinada mano es 1 P ( mano ) = 270, 725 Sin embargo, por la forma en que se reparten las cartas en el juego de poker, esta probabilidad es muchísimo menor, ya que hay que considerar el orden en que se reparten las cartas. En las inversiones puede haber una cierta incertidumbre. Esa incertidumbre introduce un factor de riesgo en la inversión. Aunque las probabilidades no dicen cómo se puede evitar ese riesgo, sí miden cuán grande es la posibilidad de que el negocio planeado salga en una forma diferente a como se planeaba. En el caso de las aseguradoras, el saber la probabilidad de algún evento les permite saber cuál es el costo promedio de algún seguro que deseen ofrecer. Ejemplo 946: En los bonos emitidos o respaldados por el gobierno federal, se dice que son libres de riesgo, porque en general se supone que el gobierno no deja de pagarlos. Por otro lado puede haber acciones o bonos emitidos por empresas “fantasmas”, en cuyo caso son bonos de alto riesgo, ya que la probabilidad de que la empresa no pague es muy alta. Pagos contingentes con valor de tiempo Podemos ahora tomar en cuenta la probabilidad de recibir un pago de la siguiente manera: Si p es la probabilidad de recibir una cierta suma S , y 1 − p corresponde a la probabilidad de no recibir pago alguno, la cantidad “ x ” que se recibe en realidad tiene como esperanza matemática el valor (6.4) E ( x ) = pS + (1 − p )i0 = pS El valor descontado de la expectativa de recibir pS durante n periodos, suponiendo a la tasa de interés por periodo i , es: (6.5)

pS (1 + i )

−n

Ejemplo 947: Una cierta persona requiere un préstamo por $10,000. Esta persona puede pagar en una sola exhibición dicho préstamo al cabo de un año. La institución prestamista calcula el riesgo, y determina que existe una probabilidad en 25 de que no pague. La tasa normal de préstamo en ese momento es j1 = 11% . ¿Cuánto le prestarán en realidad a esta persona? Si paga totalmente el préstamo, ¿Qué tasa de interés obtuvo? Una probabilidad en 25 es igual al 4%, o 0.04, y esto es la probabilidad de que no pague: 1 (1 − p ) = = 0.04 = 4% 25 Por lo tanto la probabilidad de que sí pague es del 96%, o bien 0.96, por lo tanto, aplicando (6.4) tenemos que el valor esperado es de: pS = ( 0.96 )(10, 000 ) = $9,600.00 El valor descontado (lo que le prestan), considerando n = 1× 1 e i =

0.11 es 1

9, 600 (1 + 0.11) = $8,648.65 −1

La tasa de interés i realmente experimentada es −1 8,648.65 = 10, 000 (1 + i ) ∴

8,648.65 =

10, 000 ∴ (1 + i )

10, 000 ∴ 8,648.65 i = 1.15625 − 1 = 0.15625 ∴ i ≈ 15.62%

(1 + i ) =

Aunque esta tasa de interés parece alta, lo cierto es que la institución prestamista ganaría solo el 11%, suponiendo que 4 de cada 100 deudores no pagara nada. Aquí se hace el supuesto que los deudores pagan todo o nada. Ejercicios: 947: El juego “Melate” ® consiste en poder acertar una secuencia de números. El premio mayor se le otorga a quien acierte 6 de los 6 números que se escogen al azar. Los números que se pueden jugar en el “Melate” ® van de 1 al 51. ¿Cuál es la probabilidad de ganar el premio? Pista: las probabilidades de cada número son independientes unas de otras, y no importa en qué orden salgan los números, solamente que haya una correspondencia total entre los números jugados y los números que salieron exitosos en el sorteo. Encuentre el valor esperado; la cantidad real que se le presta a una cierta persona, y la tasa real de interés i pagadas, para los siguientes préstamos con sus correspondientes probabilidades de que no se pague; para las tasas de interés nominal dadas, y suponiendo que el pago se hace en una sola exhibición, al cabo de cierta cantidad de años. 948 : suma peticionada = $ 11,900 ; tasa de interés j_ 1 = 9.4 %; para 1 años; probabilidad de no pago = 0.040 949 : suma peticionada = $ 31,900 ; tasa de interés j_ 2 = 9.1 %; para 3 años; probabilidad de no pago = 0.090

950 : 10. %; 951 : 9.4 %; 952 : 9.5 %;

suma peticionada = $ 38,600 para 5 años; probabilidad suma peticionada = $ 38,100 para 4 años; probabilidad suma peticionada = $ 35,100 para 3 años; probabilidad

; tasa de interés j_ 3 de no pago = 0.10 ; tasa de interés j_ 4 de no pago = 0.090 ; tasa de interés j_ 6 de no pago = 0.080

= = =

Respuestas: 1 947: ; se usó la fórmula de combinaciones. 18,009,460 948 : Valor Esperado = $ 11,420. ; cantidad real prestada = $ 10,400. ; tasa real de interés i = 14.0 % 949 : Valor Esperado = $ 29,000. ; cantidad real prestada = $ 22,200. ; tasa real de interés i = 43.5 % 950 : Valor Esperado = $ 34,700. ; cantidad real prestada = $ 21,000. ; tasa real de interés i = 81.7 % 951 : Valor Esperado = $ 34,700. ; cantidad real prestada = $ 24,000. ; tasa real de interés i = 59.4 % 952 : Valor Esperado = $ 32,300. ; cantidad real prestada = $ 24,300. ; tasa real de interés i = 44.2 % 11. Diferenciación e Integración numéricas

Recordando la definición de la derivada como la tangente a una curva, y esta a su vez definida con la fórmula  f ( x + ∆x ) − f ( x )  df ( x) = lim   ∆x → 0 dx ∆x   Sin embargo, cuando estamos hablando de diferencias finitas, es decir, para valores pequeños (pero no infinitesimales), tenemos que ∆x = x2 − x1 , por lo que una forma de aproximar a la derivada resulta en y ( x2 ) − y ( x1 ) (6.6) y´( x) ≈ x2 − x1 En [economía] (o en física) esta forma de definir la derivada es equivalente a definir una aproximación de la velocidad de cambio local. Ejemplo 953: Un economista ha determinado que en cierto periodo de tiempo la curva de crecimiento de la inflación se comporta como la función y ( x) = x3 , y quiere encontrar la velocidad local de cambio entre 1 y 1.5. Aplicando (6.6):

(1.5 ) − (1) y '( x) ≈ (1.5 − 1) 3

3

= 4.75

Recordando el tema de los histogramas, una forma útil de definir el área, ya sea parcial o total de un histograma, es como sigue:

El área del histograma se obtiene a través de la suma de los productos de los anchos de cada clase, por la altura correspondiente a cada intervalo de clase, es decir n

A ≈ ∑ wi ihi

(6.7)

i =1

En donde A es el área del polígono formado por el histograma completo; n es el número de clases que se quieren considerar; w es el ancho de cada clase y equivale a x2 − x1 ; h es la altura de cada clase y equivale a f ( x) , e i es el índice que ordena a las clases desde la primera, hasta la última. De hecho (6.7) es una forma de definir a la integral numéricamente, desde el punto de vista de Riemann, ya que: n   (6.8) lim  lim ∑ wi ihi  = ∫ f ( x)dx wi → 0 n →∞ i =1   Aunque la demostración de la igualdad anterior requiere una maquinaria matemática más allá de los propósitos de este libro, intuitivamente podemos decir que conforme los intervalos de clase se van haciendo arbitrariamente pequeños, y conforme el número de clases se va haciendo arbitrariamente grande, en el límite la suma de productos de diferencias finitas se convierte en la integral de una función continua con diferenciales infinitesimales. Para que además la igualdad (6.8) representara una distribución de probabilidades, nos faltaría agregar un límite más, que provendría de la ley de los grandes números, y esto con el fin de que cada clase sea cada vez más representativa de la población de donde se tomó la muestra. La figura (6.9) muestra una sucesión de histogramas, que ilustran la aplicación de los 3 límites mencionados en este párrafo.

0.4

0.3

0.2 0.1 0 -5 -2.5 0 2.5 5

Figura 6.9.

Ejemplo 954: Encuéntrese el área (la integral) del histograma dado por la tabla 6.3, que aquí se transcribe: Categorías (cm) # estudiantes 152-159 5 160-166 18 167-174 42 175-181 27 182-187 8

Tabla 6.3 Tenemos la lista de intervalos de clase, es decir, las diferencias finitas en el eje x: x2

x1 159 166 174 181 187

delta x=w_i 152 160 167 175 182

7 6 7 6 5

Entonces la integral (área) aproximada de todo el histograma sería: delta x=w_i f(x)=h_i 7 6 7 6 5

Integral 5 18 42 27 8

35 108 294 162 40 639 TOTAL

Donde la última columna es el producto wi ihi , y el área es la suma de todos estos productos. Por cierto, la probabilidad de cualquiera de las categorías se define como el área de esa categoría, dividida entre el área total. Por ejemplo, la probabilidad de que un estudiante se tenga una estatura entre 160 a 166 cm (la segunda categoría de arriba hacia abajo en la tabla 6.3), es decir: 108 P (160 ≤ y ≤ 166 ) ≈ ≈ 0.169 = 16.9% 639 Según la tabla 6.3, el total de estudiantes medidos fue de 100 y el número de estudiantes en esa categoría fue de 18, es decir, tendríamos un 18%, lo que nos da un margen de error de 1.1%. Ejercicios: Encuentre la derivada aproximada de las siguientes funciones, con los siguientes datos: 955: fHxL = x2+3x+2; x_1 = 1; x_2 = 1.4 956: fHxL = 2x3−4; x_1 = 2; x_2 = 2.7 è!!!! 957: fHxL = x +6x; x_1 = 4; x_2 = 4.8

Estime el área total de los histogramas generados por las siguientes tablas: 958:

diámetros (cm) # jitomates 4a5 8 6a7 16 8a9 45 10 a 11 26 12 a 13 5

959: durabilidad (hrs) # lámparas 4999-6000 4 6001-8000 17 8001-10,000 48 10,001-12,000 25 12,001-14,000 6

960: Peso (gr) 8-8.5 8.6-9.5 9.6-10.5 10.6-11.5 11.6-12.5

# Cojinetes 2 13 56 22 7

Para los siguientes ejercicios, estime las probabilidades que se piden, usando la fórmula (6.7). 961: La probabilidad de que llegue un jitomate de 8 a 11 cm. (pista, en este caso el área correspondiente a las probabilidades se suman; para más detalles véase teoría de conjuntos para la unión de dos conjuntos). 962: La probabilidad de que una lámpara dure entre 6,001 y 12,000 horas. (Misma observación que el ejercicio anterior). 963: La probabilidad de que un cojinete sea de 8 a 8.5 gramos ó bien, tenga entre 11.6 y 12.5 gramos. (Misma mecánica que los dos ejercicios anteriores).

Respuestas: 955 : f'(x) = 5.4 956 : f'(x) = 33.38 957 : f'(x) = 6.23861 Áreas totales 958: 100 959: 195,908 960: 89.2 Probabilidades

961: 0.71 962: 0.92 963: 0.082 12. Solución de ecuaciones no lineales en una incógnita

Sea la ecuación del tipo

f ( x) = a

En donde f ( x ) es en general una función real, que se puede derivar al menos dos veces (es decir, f ( x ) es al menos cuadrática); entonces podemos aplicar el método de Newton (aplicado por Sir Isaac Newton, 1643-1727) para resolver dicha ecuación en forma aproximada, con ayuda de la fórmula iterativa (6.9)

f ( xi ) − a f ' ( xi ) Cuando podemos obtener la derivada analítica de la función, y si el estimado inicial es suficientemente bueno (es decir, x0 esta muy cerca de ser la solución de la ecuación: xi +1 = xi −

(6.9)

f ( x0 ) ≈ a ) este método exhibe una tasa cuadrática de convergencia, lo que significa que en cada iteración se duplica la precisión. El método presupone que hay un estimado inicial x0 (en algunos libros se le llama “ansatz”); esta x0 se aplica a (6.9) y el resultado se vuelve aplicar a (6.9), y así sucesivamente hasta obtenerse la precisión deseada: f ( x0 ) − a x1 = x0 − ; f ' ( x0 ) x2 = x1 −

f ( x1 ) − a ; f ' ( x1 )

⋮

xi +1 = xi −

f ( xi ) − a ; f ' ( xi )

⋮

xn = xn −1 − f ( xn ) ≅ a

f ( xn −1 ) − a ∴ f ' ( xn −1 )

Ejemplo 964: Sea la ecuación x3 + 2 x 2 = 5 Y supongamos que damos como condición inicial x0 = 1 . La derivada de la función es

3x 2 + 4 x , con lo que ya podemos armar el método de Newton, aplicando sucesivamente (6.9):

((1) + 2 (1) ) − 5 ∴ x = 9 ≈ 1.28571 x = 1− 7 (3 (1) + 4 (1) ) 3

1

2

1

2

2   9 3 9     + 2    − 5 7  9   7  x2 = − ∴ x2 ≈ 1.243 7   9 2  9    3   + 4    7  7    

((1.243) + 2 (1.243) ) − 5 ≈ 1.2419; = 1.243 − (3 (1.243) + 4 (1.243)) ((1.2419) + 2 (1.2419) ) − 5 ≅ 1.2419 = 1.2419 − (3 (1.2419) + 4 (1.2419)) 3

x3

2

2

3

x4

2

2

Como podemos ver, ya para la cuarta iteración no es posible observar cambios en los decimales, por lo menos hasta la precisión que hemos elegido. En la práctica, cuando se tienen sistemas de ecuaciones no lineales y en muchas variables independientes, se usa más bien una forma adaptada del método de Newton; sin embargo, el método de Newton es la base para entender métodos numéricos más complicados. Ejercicios: Encuentre la solución aproximada de las siguientes ecuaciones, mostrando la lista de las primeras 4 iteraciones (incluya la condición inicial en la lista). Pista: en todos los casos considere x0 = 1 . 3 è!!!!!!!!!

965: x+ 2 = 2 966: x4+6x2−x = 3 4 "#####

967: x3+ x2 = 4

Respuestas: 965: {1., 4.4805, 5.89464, 5.99953, 6.} 966: {1., 0.8, 0.757776, 0.756016, 0.756013} 967: {1., 1.57143, 1.42617, 1.4116, 1.41146}

13. Breve introducción a las ecuaciones diferenciales y su solución con diferencias finitas. La solución de una ecuación algebraica es un conjunto de números; tantos como el exponente más alto que tenga la ecuación algebraica. Es decir: a1 x + a2 x 2 + ⋯ + an x n = a0 ∴ x ∈ { x1 , x2 ,⋯ , xn }

En donde las “ xi ” son soluciones de la ecuación algebraica.

En cambio, la solución de una ecuación diferencial es una familia de funciones. Una ecuación diferencial se puede escribir simbólicamente como dy (6.10) = f ( x) dx Y su solución es cualquier función que satisfaga la igualdad (6.10). Nótese que la función desconocida “ y ( x) ”, no es la misma que la función conocida “ f ( x ) ” del lado derecho de la ecuación (6.10). La solución de una ecuación diferencial se puede encontrar por diversos métodos. Aquí se expondrá solamente el método numérico de Euler. Ejemplo 968: Sea la ecuación diferencial dy = x2 dx En este caso podemos resolverla simplemente separando a la variable independiente de la dependiente: dy = x 2 dx Y posteriormente integramos ambos lados: 2 ∫ dy = ∫ x dx ∴ x3 +C 3 Como la constante de integración es arbitraria y puede ser cualquier número real (en muchos casos, de hecho cualquier número complejo), entonces la solución de esta ecuación diferencial representa a una familia infinita de funciones, todas ellas diferentes solamente por la constante arbitraria de integración. La figura 6.10 ilustra algunos de los miembros de esta familia de funciones. y=

14 12 10 8 6 4 2 0.5

1

1.5

2

2.5

3

Figura 6.10 Exactamente qué función es, depende de cómo definamos las condiciones iniciales de la ecuación diferencial, es decir, y ( x0 ) = b , es una condición inicial.

Ejemplo 969: Retomado al ejemplo anterior, definimos como condición inicial a x0 = 0 ,

por lo tanto y ( 0 ) = 4 ; sustituimos esta condición en la solución de la ecuación diferencial para obtener: 03 y ( 0) = 4∴ + C = 4∴C = 4 3 Ahora bien, supongamos que queremos resolver numéricamente a este tipo de ecuaciones diferenciales; el método de Euler consiste en sustituir los diferenciales de (6.10) con diferencias finitas, y especificar una condición inicial. dy = f ( x, y ) dx ∴ (6.11)

∆y ≈ f ( x, y ) ∆x ∆y = yi +1 − yi

y ( x0 ) = b En donde ∆x puede ser un número pequeño mayor a cero, y b es una condición inicial conocida. El método de Euler es iterativo, es decir, de forma similar al método de Newton, comenzamos sustituyendo a la condición inicial en (6.11) y cada resultado es usado como nuevo valor inicial en cada iteración; reordenando (6.11): yi +1 = yi + f ( xi , yi ) ∆x; ∆x = xi +1 − xi Nótese que el único valor que se actualiza en cada iteración es yi , por lo que aunque hemos definido a ∆x = xi +1 − xi , realmente podemos decir fijar a ∆x como un número pequeño, tal y como se mencionó anteriormente. La pregunta que se podría hacer uno aquí es: si x no se actualiza, ¿entonces por qué esta indexada? La respuesta es que nosotros supondremos que sabemos cuál es el dominio de la función, es decir, sabemos al menos el ámbito a través del cual x tiene que cambiar de valor. Ejemplo 970: dy = x 2 , con la condición inicial dx x0 = 4 , y digamos que el dominio de integración es de 4 ≤ x ≤ 6 . Supongamos también que ∆x = 0.5 . Aplicamos el método de Euler de la siguiente manera: 2 y1 = ( 4 ) ( 0.5 ) = 8

Supongamos nuevamente a la ecuación diferencial

y2 = ( 4.5 ) ( 0.5 ) = 10.125 2

y3 = ( 5 ) ( 0.5 ) = 12.5 2

y4 = ( 5.5 ) ( 0.5 ) = 15.125 2

y4 = ( 6 ) ( 0.5 ) = 18 La progresión de parejas de valores de (x, y) se puede apreciar en la figura 6.11 2

solución dy/dx=x^2 por Euler 20

y(x)

15 10 5 0 0

1

2

3

4

5

6

7

x

Figura 6.11 Nótese que la fórmula de Euler implica que el lado derecho de la ecuación puede depender también de la función desconocida, y que para el ejemplo aquí ilustrado, el lado derecho no depende de la función desconocida. Ejemplo 971: Supongamos ahora la ecuación diferencial que modela al crecimiento de una población en el tiempo (obviamente no toma en cuenta tasas de mortalidad, enfermedades, y otros factores limitantes de crecimiento) dP = kP dt Donde “k” es un factor de crecimiento; supongamos que “k” es igual a 3, y que Pt =0 = 20 Planteamos a la solución de la siguiente manera (hasta la sexta iteración): Pi +1 = kPi ∆t ; ∆t = 0.5 ∴

P1 = ( 3)( 20 )( 0.5 ) = 30

P2 = ( 3)( 30 )( 0.5 ) = 45

P3 = ( 3)( 45 )( 0.5 ) = 67.5

P4 = ( 3)( 67.5 )( 0.5 ) = 101.25

P5 = ( 3)(101.25 )( 0.5 ) = 151.875

P6 = ( 3)(151.875 )( 0.5 ) = 227.813 Nótese que como en este caso el lado derecho de la ecuación diferencial sí depende de la función desconocida, cada Pi de hecho se tiene que actualizar. Nótese que el dominio del tiempo que hemos usado esta definido unitariamente, es decir, en términos de iteraciones, no de alguna unidad temporal específica, aunque de hecho sabemos que en cada iteración el tiempo se incrementa con ∆t = 0.5 , lo que quiere decir que entre el punto “0” y la primera iteración hay 0.5 unidades de tiempo; en la segunda iteración tendremos t = 1 ; en la tercera t = 1.5 , y así sucesivamente.

Ejercicio 972: Tómese el modelo de presa-predador, que ocasionalmente se usa en economía para ilustrar casos simples de fluctuaciones [económicas]: dP = kP (1 − P ) dt Tómese a k = 3.569 , ∆t = 0.1 , P0 = 0.5 . Resuelva la ecuación diferencial para las primeras 6 iteraciones, haciendo una lista de las Pi sucesivas, incluyendo la condición inicial. Trate de interpretar la respuesta. Respuesta: {0.5, 0.089225, 0.0290031, 0.010051, 0.00355114, 0.0012629, 0.00045016} El hecho de que P tienda a cero quiere decir que la relación presa-predador en este caso conduce a la extinción.

# dia del mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31

31

32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59

60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120

121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151

152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181

182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211

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274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304

305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334

335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365

NOTA IMPORTANTE: en año bisiesto agregar un día a partir del 28 de Febrero, de esta manera Febrero, acabaría en el día 60, Marzo comenzaría en el día 61º y así sucesivamente, aumentando un día a toda la indexación.

1) Lógica 1. Propósito de estudiar lógica en un marco financiero 2. Argumentos y conclusiones 3. Silogismos 4. Diagramas de Venn 5. Argumentos y cuantificadores 6. Razonamiento Deductivo e inductivo 7. Consistencia, solidez y completitud 8. Suficiente y necesario 9. Lógica Modal 10. Falacias 11. Tablas de verdad • {{{Validez de una fórmula • Interpretación de un contrato • Explícito Vs. Implícito • Valor del pensamiento crítico • Que una fórmula no produzca errores computacionales, no quiere decir que este correcta}}}

2) Fundamentos numéricos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Los Números Breve descripción de conceptos financieros usados en este capítulo. Fracciones Fracciones con enteros Adición de decimales Multiplicación de decimales División de decimales Comparando decimales Cambiando fracciones a decimales Cambiando Decimales a fracciones Redondeo y truncamiento numérico Porcentajes y cambiando porcentajes a decimales Cambiando decimales a porcentajes Cambiando porcentajes a fracciones Porcentaje en serie Razones y variación proporcional Exponentes Logaritmos • • • • • • • •

{{{Registro de transacciones Reconciliación de informes bancarios y chequera Nómina Salario anual Honorarios por hora Honorarios por destajo Precio de venta y ganancia}}} {{{Comisiones

• • • • • • • • • • •

Deducciones de nómina Acciones Bonos Tarjetas de Crédito Inflación Impuesto de ventas (IVA) Impuesto a la propiedad (predial) Impuesto al ingreso Crédito al consumidor y pagos diferidos Descuentos La hoja de balance}}}

3 Expresiones algebraicas (breve repaso) 1. 2. 3. 4.

Orden de las operaciones Expresiones algebraicas, fórmulas y ecuaciones Solución de ecuaciones Ecuaciones lineales

4. Series aritméticas 1. 2. 3. 4.

Progresión aritmética Deducción de la fórmula del término enésimo Deducción de las fórmulas del primer término, de la razón y del número de términos En toda progresión aritmética, la suma de dos términos equidistantes de los extremos es igual a la suma de los extremos. 5. Deducción de la fórmula para hallar la suma de los términos de una progresión aritmética 6. Medios aritméticos 7. Interpolación 8. Definición de algunos conceptos financieros para los cuales son aplicables los conceptos matemáticos vistos en este capítulo y aplicación de estos últimos a los primeros. • • • • • • • • • • • •

{{{Interés simple Tiempo entre fechas, interés ordinario e interés exacto. Ecuaciones de valor equivalente Pagos parciales Descuento simple Pagarés Regla de los 78’s Hipoteca a tasa fija Amortización de renta fija (interés global) Interés sobre saldos insolutos (amortización de renta variable, interés simple) Relación entre interés simple e interés global Unidades de inversión (UDIS)

• •

Tarjeta de crédito El factoraje}}}

5. Series Geométricas 1. 2. 3. 4. 5.

Introducción Progresiones geométricas, y series geométricas Deducción de la fórmula del término enésimo Deducción de la fórmula del primer término y de la razón Deducir la fórmula para hallar el número de términos de una progresión geométrica usando logaritmos 6. En toda progresión geométrica, el producto de dos términos equidistantes de los extremos es igual al producto de los extremos 7. Deducción de la fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica (evaluación de una serie geométrica) 8. Interpolar medios geométricos 9. Suma de una progresión geométrica decreciente infinita 10. Hallar el valor de una fracción decimal periódica 11. Aplicaciones de la teoría vista en este capítulo en temas financieros relevantes. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

{{{Interés compuesto (Valor acumulado) Pérdida del poder adquisitivo Tasas equivalentes Valor descontado Valores acumulados y descontados para periodos de interés fraccionarios Cálculo de la tasa Cálculo del tiempo Diagramas de tiempo, fecha focal y ecuaciones de valor para valor descontado Anualidades simples (definiciones y notación) Valor acumulado de una anualidad simple ordinaria(Rentas vencidas) Valor descontado de una anualidad simple ordinaria Anualidad vencida (renta anticipada; anualidad anticipada) Anualidad diferida Determinación del último pago de una anualidad Cálculo de la tasa de interés Anualidades generales(Rentas Equivalentes) Perpetuidades Amortización de una deuda por anualidades Principal insoluto Hipotecas Fondo de amortización (sinking funds): Deducción de la fórmula aplicable Bonos}}}

6. Cálculo, estadística y probabilidad 1. El diagrama de pay 2. Gráficas de Barra 3. Gráficas de Pareto

4. Gráficas semilogarítmicas. 5. Distribuciones de frecuencia 6. Medidas de promedio (medidas de tendencia central) 7. Medidas de variabilidad (medidas de dispersión) 8. Diagramas de dispersión y regresión lineal 9. Probabilidad de un evento 10. Probabilidad de dos o más eventos 11. Diferenciación e Integración numéricas 12. Solución de ecuaciones no lineales en una incógnita 13. Breve introducción a las ecuaciones diferenciales y su solución con diferencias finitas. • • • • •

{{{Inventario Pagos contingentes con valor de tiempo Seguros contra incendio Seguros de automóbiles Modelo de la “ presa-predador” y su aplicación en economía }}}

Apéndice I: Indexación de los días del año

Bibliografía consultada • • • • • • • • • • • • • • • • •

Aouragh, Farid (director general Larousse México). “El Pequeño Larousse ilustrado 100 años”, 2005, Larousse Baldor, Aureliano. “Algebra”, 1985, Bluman, Allan G.“Business math DeMYSTIFIED”, 2006, McGraw Hill Borowski, E. J.; Borwein, J. M. “Collins Dictionary of Mathematics”, 1989, Harper Collins Publishers. Davis, Linda. “Technical Mathematical with Calculus”, 1990, Maxwell Macmillan International Editions. Devaney, Robert L. “An Introduction to Chaotic Dynamical Systems”, 2a ed. 1989 Addison Wesley. Galván Rivera, Mariano. “182o Calendario del más antiguo Galván para el año bisiesto 2008”, 2008, Librería y Ediciones Murguía, S. A. Gieck, K.; Gieck R. “Technical Formulae”, 7ª ed. 1990. Gieck-Verlag Jiménez Enciso, Carlos Hugo (director editorial). “Almanaque Mundial 2008”, 2008, Editorial Televisa. Katz, Michael L.; Rosen, Harvey S. “Microeconomics”, 2a ed. 1994. Irwin Morris, Desmond “El Zoo Humano”, 1970, Plaza & Janés Papoulis, Athanasios. “Probability, Random Variables and Stochastic Processes”, 1965, McGraw Hill Patterson, Thomas E. “The American Democracy”, 2ª ed. 1994 McGraw Hill Scheid, Fracis “Análisis Numérico”, 1972, Serie Schaum, McGraw Hill Spiegel, Murray R. “Probabilidad y Estadística”, 1976, Schaum, McGraw Hill Villalobos, José Luis. “Matemáticas financieras”, 3a ed. 2007. Pearson, Prentice Hall. Zima, Petr; Brown, Robert L. “Matemáticas Financieras”, 2ª ed. 2005. Schaum, McGraw Hill.