• Categories
• Fracción (Matemáticas)
• Números
• Número primo
• Entero
• Álgebra abstracta

Citation preview

Matemática

LIBROCES001MT-A18V1

Han colaborado en esta edición Directora de Desarrollo Académico e Innovación Institucional Katherine González Terceros Coordinadora PSU Francisca Carrasco Fuenzalida Equipo Editorial Rodrigo Cortés Ramírez Pablo Echeverría Silva Andrés Grandón Guzmán Equipo Gráfico y Diagramación Cynthia Ahumada Pérez Daniel Henríquez Fuentes Vania Muñoz Díaz Tania Muñoz Romero Elizabeth Rojas Alarcón Equipo de Corrección Idiomática Paula Santander Aguirre

Imágenes Archivo Cpech El grupo Editorial Cpech ha puesto su esfuerzo en obtener los permisos correspondientes para las distintas obras con copyright que aparecen en esta publicación. En caso de presentarse alguna omisión o error, será enmendado en las siguientes ediciones a través de las inclusiones o correcciones necesarias.

Autor

:

CEPECH S.A.

N° de Inscripción

:

284.116 del 26 de octubre de 2017

Derechos exclusivos

:

CEPECH S.A.

PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL Año Impresión 2018 Impreso en

Matemática

Índice PRESENTACIÓN......................................................................................................................................... 7 Capítulo 1: NÚMEROS.............................................................................................................................. 11 1. Números ............................................................................................................................................ 12 1.1. Números reales ............................................................................................................................................................ 12 1.1.1. Clasificación de conjuntos numéricos .................................................................................................... 12 1.1.2. Generalidades de números reales ........................................................................................................... 12 1.1.3. Generalidades de los enteros .................................................................................................................... 13 1.2.

Números racionales ................................................................................................................................................... 16 1.2.1. Transformación y orden en los racionales............................................................................................. 16 1.2.2. Aproximación en los racionales................................................................................................................. 18 1.2.3. Operatoria en los racionales....................................................................................................................... 19 1.2.4. Problemas en los racionales ...................................................................................................................... 22

1.3. Potenciación ................................................................................................................................................................. 26 1.3.1. Potencias ........................................................................................................................................................... 26 1.3.2. Raíces .................................................................................................................................................................. 29 1.3.3. Logaritmos........................................................................................................................................................ 31 1.4. 1.5

Números irracionales................................................................................................................................................. 33 1.4.1. Orden entre raíces.......................................................................................................................................... 33 1.4.2. Orden entre logaritmos................................................................................................................................ 33 1.4.3. Aproximación en los irracionales ............................................................................................................. 34 Números imaginarios y complejos........................................................................................................................ 35 1.5.1. Propiedades de los números complejos................................................................................................ 35 1.5.2 Operatoria en los números complejos.................................................................................................... 37

Capítulo 2: ÁLGEBRA............................................................................................................................... 39 2. Álgebra ............................................................................................................................................ 40 2.1. Transformación algebraica....................................................................................................................................... 40 2.1.1. Valorización, reducción y producto algebraico................................................................................... 40 2.1.2. Factorización algebraica y productos notables.................................................................................. 41 2.1.3. Simplificación y operatoria de expresiones algebraicas fraccionarias....................................... 43

2.3. Ecuaciones de segundo grado............................................................................................................................... 50 2.3.1. Análisis del discriminante............................................................................................................................ 50 2.3.2. Resolución de ecuaciones de segundo grado..................................................................................... 50

CPECH

2.2. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primer grado................................................................................ 46 2.2.1. Ecuaciones de primer grado....................................................................................................................... 46 2.2.2. Sistemas de ecuaciones de primer grado.............................................................................................. 47

3

Índice 2.4.

Desigualdades, inecuaciones y sistemas de inecuaciones de primer grado........................................ 52 2.4.1. Desigualdades.................................................................................................................................................. 52 2.4.2. Inecuaciones de primer grado................................................................................................................... 54 2.4.3. Sistemas de inecuaciones de primer grado.......................................................................................... 56

2.5. 2.6.

Conceptos generales, evaluación y gráfico de funciones............................................................................ 58 2.5.1. Teoría, dominio y recorrido de funciones.............................................................................................. 58 Funciones de comportamiento lineal.................................................................................................................. 60 2.6.1. Función afín...................................................................................................................................................... 60 2.6.2. Función lineal .................................................................................................................................................. 61 2.6.3. Proporción directa.......................................................................................................................................... 61

2.7. Funciones de comportamiento exponencial.................................................................................................... 63 2.7.1. Función exponencial .................................................................................................................................... 63 2.7.2. Función logarítmica....................................................................................................................................... 65 2.8.

Funciones de comportamiento polinomial....................................................................................................... 66 2.8.1. Función potencia............................................................................................................................................ 66 2.8.2. Función cuadrática ........................................................................................................................................ 68 2.8.3. Función raíz cuadrada................................................................................................................................... 70

2.9.

Análisis gráfico de funciones................................................................................................................................... 71 2.9.1. Intersección de una función con los ejes............................................................................................... 71 2.9.2. Intersección entre funciones e intervalos de desigualdad............................................................. 72 2.9.3. Transformaciones en el gráfico de una función.................................................................................. 73

2.10. Composición y función inversa.............................................................................................................................. 75 2.10.1 Composición de funciones.......................................................................................................................... 75 2.10.2 Biyectividad y función inversa................................................................................................................... 77

Capítulo 3: GEOMETRÍA........................................................................................................................... 79 3. Geometría........................................................................................................................................... 80 3.1. Conceptos básicos en geometría.......................................................................................................................... 80 3.1.1. Generalidades de ángulos y polígonos.................................................................................................. 80 3.1.2. Generalidades de los triángulos................................................................................................................ 83 3.1.3. Generalidades de cuadriláteros................................................................................................................. 88 3.1.4. Generalidades y ángulos en la circunferencia..................................................................................... 93

CPECH

3.2.

4

Transformaciones isométricas................................................................................................................................ 97 3.2.1. Ubicación, punto medio y distancia en el plano cartesiano........................................................... 97 3.2.2. Vectores en el plano...................................................................................................................................... 99 3.2.3. Traslación en el plano.................................................................................................................................... 103 3.2.4. Rotación en el plano...................................................................................................................................... 104 3.2.5. Reflexión en el plano..................................................................................................................................... 105 3.2.6. Composición de transformaciones isométricas.................................................................................. 108

3.3. Geometría de proporción ........................................................................................................................................ 110 3.3.1. Congruencia de triángulos.......................................................................................................................... 110 3.3.2. Semejanza de triángulos.............................................................................................................................. 111

Matemática

3.3.3. Homotecia......................................................................................................................................................... 114 3.3.4. Teorema de Thales.......................................................................................................................................... 118 3.3.5. División de segmentos y teorema de la bisectriz............................................................................... 121 3.3.6. Teorema de Euclides...................................................................................................................................... 121 3.3.7. Teoremas de proporcionalidad en la circunferencia......................................................................... 123

3.4.

Geometría analítica..................................................................................................................................................... 126 3.4.1. Ecuación de la recta en el plano cartesiano.......................................................................................... 126 3.4.2. Posiciones relativas de rectas en el plano............................................................................................. 133 3.4.3. Sistema tridimensional................................................................................................................................. 137 3.4.4. Ecuación de la recta en el espacio............................................................................................................ 140 3.4.5. Ecuación del plano en el espacio ............................................................................................................. 145

3.5. Cuerpos geométricos................................................................................................................................................. 147 3.5.1. Poliedros............................................................................................................................................................. 147 3.5.2. Cuerpos redondos.......................................................................................................................................... 151

Capítulo 4: DATOS Y AZAR ...................................................................................................................... 161 4. Datos y Azar....................................................................................................................................... 162 4.1.

Conceptos básicos en estadística.......................................................................................................................... 162 4.1.1. Población y muestra estadística................................................................................................................ 162 4.1.2. Datos y variable estadística......................................................................................................................... 162 4.1.3. Representación de datos en tablas y gráficos...................................................................................... 163

4.2. Medidas de tendencia central en tablas y gráficos......................................................................................... 167 4.2.1. Medidas de tendencia central en datos no agrupados.................................................................... 167 4.2.2. Medidas de tendencia central en datos agrupados.......................................................................... 168

4.4.

Medidas de dispersión............................................................................................................................................... 174 4.4.1. Rango.................................................................................................................................................................. 174 4.4.2. Varianza.............................................................................................................................................................. 174 4.4.3. Desviación estándar...................................................................................................................................... 176

4.5. 4.6.

Muestreo aleatorio simple........................................................................................................................................ 177 4.5.1 Número de muestras..................................................................................................................................... 178 4.5.2 Análisis de muestras...................................................................................................................................... 178 Probabilidad clásica y tipos de probabilidades................................................................................................ 179 4.6.1. Técnicas combinatorias................................................................................................................................ 179 4.6.2. Regla de Laplace............................................................................................................................................. 182 4.6.3. Producto de probabilidades....................................................................................................................... 184 4.6.4. Suma de probabilidades.............................................................................................................................. 185 4.6.5. Diagrama de árbol y triángulo de Pascal............................................................................................... 187 4.6.6. Probabilidad condicional y teorema de Bayes..................................................................................... 189 4.6.7. Ley de los grandes números....................................................................................................................... 191

CPECH

4.3. Medidas de posición .................................................................................................................................................. 170 4.3.1. Cuantiles............................................................................................................................................................. 170 4.3.2. Medidas de posición en tablas y gráficos.............................................................................................. 171

5

Índice

CPECH

4.7. Análisis de variable aleatoria discreta.................................................................................................................. 192 4.7.1. Variable aleatoria discreta, función de probabilidad y función de distribución..................... 192 4.7.2. Valor esperado (Esperanza matemática) ............................................................................................... 196 4.7.3. Distribución binominal ................................................................................................................................ 198 4.8. Análisis de variable aleatoria continua................................................................................................................ 201 4.8.1. Función de densidad..................................................................................................................................... 201 4.8.2. Distribución normal tipificada................................................................................................................... 203 4.8.3. Propiedades de distribución normal tipificada y análisis de gráfico........................................... 204 4.8.4. Tipificación........................................................................................................................................................ 208 4.8.5. Intervalos de confianza................................................................................................................................. 210 4.8.6 Aproximaciones a distribuciones normales.......................................................................................... 212

6

Matemática

Como tú sabes, la PSU tiene como propósito evaluar algunas de las competencias que necesitas para ingresar a la carrera elegida. Es necesario que comprendas que este instrumento no mide un contenido específico en sí mismo, sino lo que tú debes saber hacer con ese contenido, por ejemplo, aplicarlo en la resolución de un problema. Por esta razón, te invitamos a utilizar el libro que tienes en tus manos en conjunto con los recursos de aprendizaje creados especialmente para ti: ejercicios organizados según los temas, guías y videos con resolución de preguntas de ensayos; además del GPS académico, donde se detalla el número de las páginas en las que encontrarás los contenidos que, según tus resultados, debes reforzar. Para acceder a ellos, ingresa a la intranet de Cpech. No olvides descargar en tu celular la aplicación con estos libros en su versión digital.

CPECH

Dirección Académica

7

Habilidades evaluadas Comprensión: Además del conocimiento explícito de la información, esta debe ser relacionada para manejar el contenido evaluado, interpretando información en un contexto distinto al que se aprendió. Aplicación: Es el desarrollo práctico tangible de la información que permite aplicar los contenidos asimilados a la resolución de problemas. ASE (Análisis, Síntesis y Evaluación): Es la más compleja de las habilidades evaluadas. Implica reconocer, comprender, interpretar e inferir información a partir de datos que no necesariamente son de conocimiento directo, y que exige reconocer las partes que forman un todo y las relaciones de causalidad entre ellas.

Etapas del método de Resolución de Problemas 1) Identificar: consiste en recopilar los datos entregados en el problema de forma explícita (incluyendo figuras, tablas y gráficos), a cuál área de la matemática corresponden y se determina qué es lo que se está preguntando. 2) Planificar: luego de la identificación, se selecciona aquella información matemática (definiciones, propiedades, ecuaciones, etc.) relevante para resolver el problema, y en los casos que sea pertinente, se adapta al contexto del ejercicio. Se plantea la manera en que se debe emplear la información para llegar a la respuesta. 3) Ejecutar: en esta etapa se juntan los datos obtenidos con las fórmulas para llegar a la respuesta, es decir, se realizan los procedimientos matemáticos para llegar a ella. También se analizan aquellos problemas secundarios para obtener datos útiles en el problema principal.

CPECH

4) Evaluar: para la PSU, no siempre es pertinente realizar este paso, sin embargo, es uno de los pasos más importantes debido a que en él se evalúa si la respuesta obtenida es la correcta. Se debe analizar el o los resultados obtenidos en el contexto del ejercicio y analizar su coherencia. En caso de no tenerla, se debe repetir el procedimiento, analizando paso por paso para hallar el error. También, se pueden analizar otras maneras en las que el problema puede ser resuelto.

8

Matemática

Conceptos fundamentales

Indica aquellos conceptos importantes referidos al capítulo, que no debes olvidar ni confundir.

Sabías que...

Indica relaciones importantes respecto a la aplicación real de contenidos, con la finalidad de que los asocies de manera didáctica.

Ojo con

Indica datos relevantes que debes manejar respecto a un contenido.

Pregunta tipo PSU

Indica un ejercicio que ejemplifica el contenido revisado previamente.

CPECH

Íconos didácticos

9

10

CPECH

Capítulo 1 Números

Aprendizajes Esperados

Aprendizajes Esperados Utilizar los números reales en la resolución de problemas, ubicarlos en la recta  numérica, comprender sus propiedades y realizar aproximaciones.

 Comprender y utilizar los números irracionales en la resolución de problemas. Establecer relaciones entre potencias, logaritmos y raíces en el contexto de los  números reales, aplicando estos conceptos a la resolución de problemas. Aplicar números complejos en la resolución de problemas sin solución en los  reales.

Capítulo

1

Números

1. Números 1.1. Números reales 1.1.1. Clasificación de conjuntos numéricos A continuación se muestra un diagrama que incluye a todos los conjuntos numéricos:

C IR

Q

Z

II IN

Q*

Los números naturales (Iℕ) son todos aquellos que se utilizan para contar los elementos de un conjunto (1, 2, 3, 4,…). Los números enteros (Z ) incluyen a los números naturales, a los negativos de estos y al cero. Los números racionales (ℚ) son todos aquellos que pueden escribirse como fracción de números enteros con denominador distinto de cero y los números irracionales (ℚ*) son todos aquellos que no pueden escribirse como fracción de números enteros con denominador distinto de cero. La unión de ambos conjuntos forma el conjunto de los números reales (Iℝ). Los números imaginarios (II) son aquellos de la forma bi, con b un número real, distinto de cero, e i la unidad imaginaria. Los números complejos (ℂ ) incluyen a los números reales, a los números imaginarios y a todos los números de la forma (a + bi), con a y b números reales e i la unidad imaginaria.

1.1.2. Generalidades de números reales La suma y la multiplicación en los reales cumplen con la propiedad conmutativa, que significa que el resultado es independiente del orden de los elementos. Es decir, a + b = b + a y a • b = b • a, con a y b números reales. Ambas operaciones cumplen además con la propiedad asociativa, que significa que el resultado es independiente de cómo se agrupen los elementos.

CPECH

Es decir, (a + b) + c = a + (b + c) y (a • b) • c = a • (b • c), con a, b y c números reales.

12

También, la multiplicación cumple con la propiedad distributiva sobre la suma y sobre la resta, lo que significa que la primera operación se puede repartir sobre la segunda. Es decir, a • (b + c) = a • b + a • c y a • (b – c) = a • b – a • c, con a, b y c números reales.

Matemática Al sumar cualquier número con 0 el resultado es el número original, es decir a + 0 = a, por lo cual se define el 0 como elemento neutro aditivo. De la misma forma, al multiplicar cualquier número con 1 el resultado es el número original, esto es a • 1 = a, por lo cual se define el 1 como elemento neutro multiplicativo. El inverso aditivo (opuesto) de un número es aquel que sumado con el número resulta 0, es decir, el inverso aditivo de a es (– a). Por otro lado, el inverso multiplicativo (recíproco) de un número es aquel que 1 multiplicado con el número resulta 1, es decir, el inverso multiplicativo de a es , con a ≠ 0. a Los números reales pueden representarse en una recta numérica horizontal, quedando los números positivos a la derecha del cero y los negativos a la izquierda del cero. El criterio más básico de comparación entre dos números reales es que un número a es mayor que otro número b si a se encuentra a la derecha de b en la recta numérica. El valor absoluto de un número corresponde a la distancia (positiva) entre dicho número y el cero, y su simbología es |a|. Para determinar su valor basta con quitarle el signo al número si es negativo y dejarlo igual si es positivo o cero. Por ejemplo, |4| = 4 y |– 7| = 7.

1.1.3. Generalidades de los enteros Los números enteros (Z ) incluyen a los números naturales, a los negativos de estos y al cero. Todo número entero tiene un antecesor, que se obtiene restando 1 al número, y un sucesor (consecutivo), que se obtiene sumando 1 al número. Un número par es un número entero que puede escribirse de la forma 2n y un número impar es un número entero que puede escribirse de la forma (2n + 1), con n un número entero. Si a es un número par, el antecesor par de a es (a – 2) y el sucesor par de a es (a + 2). De la misma forma, si b es un número impar, el antecesor impar de b es (b – 2) y el sucesor impar de b es (b + 2). Si a y b son dos números enteros tales que a está contenido en b un número entero de veces, entonces se dice que a es divisor (factor) de b y b es múltiplo de a. La forma general de comprobar si un número es divisor de otro es realizar la división y verificar que el resto sea cero.

Conceptos fundamentales

Un número es divisible por 2 si su último dígito es par. Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es múltiplo de 3. Un número es divisible por 4 si sus dos últimos dígitos son cero o forman un múltiplo de 4. Un número es divisible por 5 si su último dígito es 0 ó 5. Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y 3 a la vez. Un número es divisible por 7 si la diferencia entre el número sin el último digito y el doble del último dígito es 0 o múltiplo de 7. Por ejemplo, 315 es múltiplo de 7, ya que (31 – 2 • 5) = 21 es múltiplo de 7. Un número es divisible por 8 si sus tres últimos dígitos son cero o forman un múltiplo de 8. Un número es divisible por 9 si la suma de sus dígitos es múltiplo de 9. Un número es divisible por 10 si su último dígito es 0. En general, un número entero es divisible por m • n si es divisible por m y n a la vez.

CPECH

Considerando números positivos, existen las siguientes reglas de divisibilidad:

13

Capítulo

1

Números

Sabías que... Un número primo es un número natural que solo tiene como divisores positivos al 1 y al mismo número, y un número compuesto es un número natural que tiene algún otro divisor positivo además del 1 y del mismo número. Todos los números naturales que no son primos son compuestos, a excepción del 1 que no es primo ni compuesto. Los números primos menores que 100 son {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}.

Según el Teorema fundamental de la aritmética, todo número compuesto puede escribirse de manera única como el producto de números primos. La cantidad total de divisores positivos que tenga el número estará dada por el producto de los sucesores de los exponentes de dicha descomposición. Por ejemplo, 600 = 2 • 2 • 2 • 3 • 5 • 5 = 23 • 31 • 52. Como los exponentes son 3, 1 y 2, entonces 600 tiene en total (3 + 1) • (1 + 1) • (2 + 1) = 4 • 2 • 3 = 24 divisores. Estos son: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 25, 30, 40, 50, 60, 75, 100, 120, 150, 200, 300, 600}. El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de un conjunto de números naturales corresponde al menor de los números naturales que es múltiplo de todos los elementos del conjunto a la vez. Una forma de determinarlo es realizar la descomposición en números primos de todos los elementos del conjunto, con lo cual el m.c.m. será el producto de todos los factores primos involucrados, elevado cada uno al mayor exponente que tengan. Por ejemplo, para obtener el m.c.m. de {12, 30, 45} se descompone cada uno de los elementos: 12 = 2 2 • 31, 30 = 21 • 31 • 51 y 45 = 32 • 51. Los factores primos involucrados son 2 (con exponente máximo 2), 3 (con exponente máximo 2) y 5 (con exponente máximo 1). Luego, el m.c.m. de {12, 30, 45} es 2 2 • 32 • 51 = 180. El máximo común divisor (M.C.D.) de un conjunto de números naturales corresponde al mayor de los números naturales que es divisor de todos los elementos del conjunto a la vez. Una forma de determinarlo es realizar la descomposición en números primos de todos los elementos del conjunto, con lo cual el M.C.D. será el producto solo de los factores primos repetidos en todos ellos, elevado cada uno al menor exponente que tengan. Por ejemplo, para obtener el M.C.D. de {90, 108, 270} se descompone cada uno de los elementos: 90 = 21 • 32 • 51, 108 = 22 • 33 y 270 = 21 • 33 • 51. Los factores primos repetidos son 2 (con exponente mínimo 1) y 3 (con exponente mínimo 2). Luego, el M.C.D. de {90, 108, 270} es 21 • 32 = 18.

Ojo con

CPECH

Los números que no tienen factores primos comunes se denominan primos relativos. En tal caso, el m.c.m. es el producto entre los números y el M.C.D. es 1. Por ejemplo, 10 y 21 son primos relativos, ya que los factores primos de 10 son 2 y 5, y los factores primos de 21 son 3 y 7. Luego, el m.c.m. entre 10 y 21 es 210 y el M.C.D. entre 10 y 21 es 1.

14

Matemática

Pregunta tipo PSU Sean t1, t2, t3 y t4 cuatro números pares positivos consecutivos. Respecto a esta sucesión, siempre es correcto afirmar que la suma entre I) II) III)

todos los términos es un múltiplo de 4. t2 y t3 es divisible por t4. t2 y t4 es igual al doble de t3.

Es (son) verdadera(s) A) B) C) D) E)

solo I. solo I y II. solo I y III. solo II y III. I, II y III.

Resolución Los cuatro números pares consecutivos pueden ser escritos como: t1 = 2n t2 = 2(n + 1) = 2n + 2 t3 = 2(n + 2) = 2n + 4 t4 = 2(n + 3) = 2n + 6 Con n un número entero positivo. Luego: I) Verdadera, ya que sumando todos los términos se tiene que:

t1 + t2 + t3 + t4 = 2n + (2n + 2) + (2n + 4) + (2n + 6) = 8n + 12 = 4(2n + 3)



El total de la suma de todos los términos resulta 4(2n + 3), expresión que por poseer el factor 4, siempre será divisible por este valor. Notar que el factor (2n + 3) depende del valor de n, por lo que su valor es variable, por ejemplo, si n = 1, entonces (2n + 3) = 5, si n = 2, entonces (2n + 3) = 7, y así sucesivamente.

II) Falsa, ya que sumando los términos centrales se tiene que: t2 + t3 = (2n + 2) + (2n + 4) = 4n + 6 = 2(2n + 3) t2 + t3

2(2n + 3) 2n + 3 = . Como la expresión resultante = 2(n + 3) n+3 t4 no puede ser expresada como un valor entero (ya sea en función de n o de algún valor constante y entero) se concluye que la suma entre t2 y t3 no es divisible por t4. En tanto, el valor de t4 es 2(n + 3), por lo que

CPECH



15

Capítulo

1

Números

III) Verdadera, ya que la suma entre t2 y t4 es t2 + t4 = (2n + 2) + (2n + 6) = 4n + 8 = 4(n + 2), en tanto que t2 + t4 4(n + 2) 4 = = 2. Como el t3 = 2 (n + 2), por lo que al realizar el cociente se obtiene que = 2(n + 2) 2 t3 cociente de la razón es 2, se concluye que la suma entre t2 y t4 es el doble de t3.

ecta: Alternativa corr

C

1.2. Números racionales 1.2.1. Transformación y orden en los racionales Los números racionales (ℚ) son todos aquellos que pueden escribirse como fracción de números enteros con denominador distinto de cero. Incluyen a los números enteros (que pueden escribirse como fracción de denominador 1), a los números decimales finitos, a los números decimales periódicos y a los números decimales semiperiódicos.

Sabías que... Además del formato fraccionario y decimal, todo número racional puede expresarse en formato porcentual. Para transformar una fracción a número decimal, basta con realizar la división planteada por la fracción. Para expresarla como porcentaje, se multiplica dicho resultado por 100 y se agrega el símbolo %. Por ejemplo:

5 = 5 : 8 = 0,625 = 62,5%. 8

CPECH

Un número decimal finito es el que tiene una cantidad determinada de decimales. Para transformar un número decimal finito a fracción se escribe en el numerador todo el número sin la coma y en el denominador 235 una potencia de 10 que tenga tantos ceros como dígitos haya después de la coma. Por ejemplo: 2,35 = . 100

16

Un número decimal periódico es el que tiene un dígito o un grupo de dígitos que se repiten infinitamente luego de la coma, llamado parte periódica (o periodo), el que puede escribirse con punto suspensivo o con una barra. Para transformar un número decimal periódico a fracción se escribe en el numerador todo el número sin la coma, menos la parte no periódica, y en el denominador un número formado por tantos nueves como cifras 524 – 5 519 tenga el periodo. Por ejemplo: 5,242424… = 5,24 = = . 99 99

Matemática Un número decimal semiperiódico es el que tiene una parte decimal no periódica (o anteperiodo) seguida de una parte periódica (o periodo). Para transformar un número decimal semiperiódico a fracción se escribe en el numerador todo el número sin la coma, menos la parte no periódica (incluyendo el anteperiodo), y en el denominador un número formado por tantos nueves como cifras tenga el periodo, seguido de tantos ceros 3.126 – 312 2.814 como cifras tenga el anteperiodo. Por ejemplo: 3,12666… = 3,126 = = . 900 900 Para ordenar números racionales, generalmente es más conveniente compararlos en su formato decimal. Por ejemplo, para ordenar de menor a mayor los números

14 17 23 , y , primero se transforman a números 11 13 18

14 17 23 = 1,272…, = 1,307… y = 1,277…. Como la parte entera es igual, se debe comparar la primera 11 13 18 17 cifra decimal, que es mayor en . Dado que la primera y segunda cifra decimal son iguales en los otros dos 13 23 14 23 17 números, se compara la tercera cifra decimal, que es mayor en . Luego, el orden correcto es < < . 18 11 18 13 decimales:

En caso de que se estén comparando dos fracciones y los números sean reducidos, una alternativa a lo anterior es multiplicar cruzados los numeradores y denominadores. Por ejemplo, para comparar comparar 8 • 2 y 3 • 5. Como 16 > 15, entonces

8 5 y se puede 3 2

8 5 > . 3 2

Pregunta tipo PSU

A)

wxy – z 90

B)

wxyz – z 90

C)

wxyz – wxy 90

D)

wxyz – wxy 99

E)

wxyz – yz 90

CPECH

El número decimal wx, yz , con w, x, y y z números enteros positivos menores o iguales que 9, es equivalente a la expresión

17

Capítulo

1

Números

Resolución En este caso, el número decimal corresponde a un infinito semiperiódico. En las alternativas se presenta el algoritmo para transformar el número decimal wx, yz en un número fraccionario. Siguiendo los pasos, se tiene que: -

En el numerador, se escribe la cifra como si fuera un número entero, es decir, wxyz. - En el numerador, al valor anterior se le resta la parte sin periodo, como si se tratara de un valor entero, es decir, se le debe restar wxy. - En el denominador, se escriben tantos nueves como decimales periódicos tenga el número, seguidos de tantos ceros como decimales sin periodo tenga el número. En este caso, hay un decimal periódico, que es z, y un decimal sin periodo, que es y, por lo que el denominador es 90. wxyz – wxy - Finalmente, la expresión equivalente a wx, yz es . 90

ecta: Alternativa corr

C

1.2.2. Aproximación en los racionales Una aproximación es una representación inexacta (aunque muy cercana) de un número, mediante la eliminación de cifras decimales. Los métodos más comunes son la aproximación por redondeo, la aproximación por truncamiento y la aproximación por exceso.

Conceptos fundamentales Al aproximar por redondeo a la enésima cifra decimal se eliminan los decimales desde la posición (n + 1). Si el decimal en la posición (n + 1) es mayor o igual que 5, entonces el decimal en la posición n se aumenta en una unidad y si es menor que 5, se eliminan las cifras que están luego del enésimo decimal. Por ejemplo, al redondear 3,126 a la segunda cifra decimal (centésima) queda 3,13 y al redondear 4,73 a la primera cifra decimal (décima) queda 4,7. Al aproximar por truncamiento (o por defecto) a la enésima cifra decimal, se eliminan los decimales desde la posición (n + 1), independiente del valor de este. Por ejemplo, al truncar 3,126 a la segunda cifra decimal (centésima) queda 3,12 y al truncar 4,73 a la primera cifra decimal (décima) queda 4,7.

CPECH

Al aproximar por exceso a la enésima cifra decimal, se eliminan los decimales desde la posición (n + 1), y el decimal en la posición n se aumenta en una unidad. Por ejemplo, al aproximar por exceso 3,126 a la segunda cifra decimal (centésima) queda 3,13 y al aproximar por exceso 4,73 a la primera cifra decimal (décima) queda 4,8.

18

Matemática 1.2.3. Operatoria en los racionales ■ Amplificar una fracción significa multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número, sin que 6 6•3 18 cambie el valor de la fracción. Por ejemplo, al amplificar por 3 resulta = . 11 11 • 3 33 ■ Simplificar una fracción significa dividir el numerador y el denominador por el mismo número, sin que 8 8:4 2 cambie el valor de la fracción. Por ejemplo, al simplificar por 4 resulta = . 12 12 : 4 3 ■ Para sumar o restar fracciones de igual denominador, se operan los numeradores y se conserva el 2 7 4 2–7+4 –1 denominador. Por ejemplo, – + = = . 15 15 15 15 15 ■ Para sumar o restar fracciones de distinto denominador, se amplifican (o simplifican) las fracciones para que los denominadores alcancen un valor común (m.c.m.) y luego se procede como en el caso anterior. Por 4 5 3 ejemplo, + – , el m.c.m. entre 9, 6 y 4 es 36, luego se amplifica cada fracción para que el denominador 9 6 4 llegue a 36 y se opera con igual denominador: 4 5 3 4•4 5•6 3 • 9 16 30 27 16 + 30 – 27 19 + – = + – = + – = = . 9 6 4 9•4 6•6 4 • 9 36 36 36 36 36



■ Un número mixto corresponde a la suma entre un número entero y una fracción, escrita sin el signo de b b a b a•c b a•c+b suma, de manera que a = a + = + = + = , con c ≠ 0. c c 1 c c c c 3 2•5+3 13 = = . Para transformar una fracción a número mixto se realiza la división, 5 5 5 poniendo el cuociente (resultado) como entero, el resto como numerador y manteniendo el denominador. 14 Por ejemplo, para transformar a número mixto se divide 14 : 3, donde el cuociente es 4 y el resto es 2. 3 14 2 Luego, =4 . 3 3

Por ejemplo, 2

■ Para multiplicar fracciones, se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. Por 2 4 1 2•4•1 8 ejemplo, • • = = . La regla de los signos dice que al multiplicar dos números de igual 5 3 3 5 • 3 • 3 45 signo el producto (resultado) es positivo, y al multiplicar dos números de distinto signo el producto es – 6 – 4 24 7 – 3 – 21 negativo. Por ejemplo, • = y • = . 5 11 55 2 8 16

CPECH

■ Para dividir fracciones, se multiplica la primera fracción (dividendo) por el inverso multiplicativo de la 4 5 4 3 12 segunda fracción (divisor). Por ejemplo, : = • = . 7 3 7 5 35

19

Capítulo

1

Números

Ojo con La prioridad de las operaciones indica que el orden en que se debe operar obedece a la regla PAPOMUDAS: paréntesis, potencias, multiplicaciones/ divisiones (de izquierda a derecha) y adiciones/ sustracciones (de izquierda a derecha). Por ejemplo: 1. 8 • (7 – 4) : 12 – 1 + 6 : 3 • 4 =

8 • 3 : 12 – 1 + 6 : 3 • 4

=

2–1 +

8

=



1 +

8

=



9





5 1 9 4 7 – • + • = 8 2 6 3 10





5 1 9 28 – • + 8 2 6 30





5 1 – • 8 2





5 8



5 8



75 120



Pregunta tipo PSU

CPECH

La expresión

20

A)

21 20

B)

41 5

C)

32 35

D)

19 20

E)

11 20

( )

3 2 3 – + 1 tiene como resultado 5 3 4

) ) ) )

5 1 9 4 10 – • + : = 8 2 6 3 7

=

24 : 12 – 1 + 2 • 4

( (

2.

1 2

– – –

– 71 120

( (

=

45 28 + = 30 30 73 30

• 73 60



146 120

= = =

Matemática Resolución Es importante considerar la prioridad de operaciones. Como no hay potencias, se debe comenzar por resolver el paréntesis:

( )

2 3 8–9 –1 – = = (m.c.m. entre 3 y 4 es 12, luego se aplica la suma de fracciones) 3 4 12 12

La expresión resultante es

( )

3 –1 + 1. La prioridad pasa a la multiplicación: 5 12

( )

3 –1 3 • (– 1) – 3 –1 = , lo que simplificado resulta . = 5 12 5 •12 60 20 Luego, sumando los últimos términos, se tiene:

ecta: Alternativa corr

–1 –1 20 – 1 + 20 19 +1= + = = 20 20 20 20 20

D

Pregunta tipo PSU

Sean dos números racionales p y q, tal que p = I) II) III)

2 7 y q = . Es correcto afirmar que 3 6

la suma entre p y q, truncada a la centésima es 1,82. el cociente entre p y q, redondeado a la milésima es 0,572. el producto entre p y q, aproximado por exceso a la décima es 0,9.

Es (son) verdadera(s) A) B) C) D) E)

solo I. solo II. solo II y III. I, II y III. ninguna de ellas.

2 7 12 + 21 33 11 = = . Luego, se tiene que I) Falsa, ya que la suma entre p y q es igual a + = 3 6 18 18 6 11 = 1,833333..., valor que truncado a la centésima es 1,83. 6

CPECH

Resolución

21

Capítulo

1

Números

2 7 2 6 12 4 = . Luego, se tiene que II) Falsa, ya que el cociente entre p y q es igual a : = • = 3 6 3 7 21 7 4 = 0,571428571..., valor que redondeado a la milésima resulta 0,571. 7

2 7 2•7 7 = . III) Falsa, ya que el producto entre p y q es igual a • = 3 6 3•6 9 7 Luego, se tiene que = 0,777..., valor que aproximado por exceso a 9 la décima es 0,8. Por lo tanto, ninguna de las afirmaciones es verdadera.

ecta: Alternativa corr

E

1.2.4. Problemas en los racionales Si bien a veces se incluyen preguntas de razonamiento matemático en las pruebas de selección, es importante señalar que en su gran mayoría no requieren el conocimiento de procedimientos y fórmulas, ya que lo que se evalúa es si el postulante es capaz de seguir las instrucciones incorporadas en el enunciado. Estos ejercicios generalmente corresponden a secuencias y series. Una secuencia (o sucesión) es un conjunto de números que se forman mediante algún patrón. Los patrones más comunes en las secuencias son la suma de un término constante, por ejemplo 3, 7, 11, 15, 19… o la suma de un término creciente, por ejemplo 4, 5, 7, 10, 14, 19…

Conceptos fundamentales

CPECH

Es común que los términos de una secuencia se representen por una expresión general, que depende de la posición del término dentro de la secuencia. Por ejemplo, la secuencia 5, 7, 9, 11, 13… se puede representar por: (2 • 1 + 3) para el primer término (posición 1) (2 • 2 + 3) para el segundo término (posición 2) (2 • 3 + 3) para el tercer término (posición 3) (2 • 4 + 3) para el cuarto término (posición 4) (2 • 5 + 3) para el quinto término (posición 5) Siguiendo este patrón, la expresión para el enésimo término (posición n) es (2 • n + 3).

22

También existen secuencias formadas por fracciones. En dichos casos es muy posible que el numerador y el denominador sigan patrones diferentes. Para encontrar la lógica de la secuencia no existen reglas establecidas, aunque se pueden fijar algunos criterios.

Matemática 5 7 4 , 1, , , ... se observa que tiene términos fraccionarios, por lo 4 8 5 2 5 1 7 4 cual se debe escribir todos sus términos como fracción, quedando , , , , , ... . Es claro que algunas de 1 4 1 8 5 las fracciones están simplificadas, lo que dificulta observar los patrones con claridad; en tal caso, es preferible fijarse solo en dos o tres fracciones, para las cuales se va a intentar ubicar un patrón. En este caso, tomando el segundo y cuarto término, resulta intuitivo ubicar un 6 entre el 5 y el 7 del numerador, y ubicar un 6 entre el 4 y el 8 del denominador. Esto implicaría que la secuencia del numerador se forma por la suma de 1 y la secuencia Por ejemplo, considerando la secuencia 2,

4 5 6 7 8 , , , , , ... , que simplificando las fracciones 2 4 6 8 10 reductibles coincide con la secuencia original. Con este razonamiento se puede concluir que la expresión general del denominador se forma por la suma de 2, quedando

para el enésimo término de la secuencia es séptimo término (n = 7) es

n+3 6+3 9 3 , por lo cual el sexto término (n = 6) es = = , el 2n 2•6 12 4

7 + 3 10 5 = = , etc. 2•7 14 7

Una serie (o sumatoria) es la suma de los términos de una secuencia. Si bien es posible obtener dicho resultado cuando los términos son conocidos, existen ciertas normas para cuando la cantidad de términos hace muy engorrosa la operación. Por ejemplo, la suma S de los diez primeros términos de la forma

1 , con n un n(n + 1)

número natural de 1 a 10, quedaría planteada como S=

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + + + , lo que resulta muy largo de resolver. 1 • 2 2 • 3 3 • 4 4 • 5 5 • 6 6 • 7 7 • 8 8 • 9 9 • 10 10 • 11

1 1 1 = – se cumple para cualquier valor de n en los n • (n + 1) n n + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 naturales, entonces = – , = – , = – ,… y así hasta = – . 1•2 1 2 2•3 2 3 3•4 3 4 10 • 11 10 11 Sin embargo, si consideramos que la igualdad

Luego, reemplazando:

S=

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + + + 1 • 2 2 • 3 3 • 4 4 • 5 5 • 6 6 • 7 7 • 8 8 • 9 9 • 10 10 • 11

S=

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 – + – + – + – + – + – + – + – + – + – 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11

Es posible notar que la mayoría de los términos aparece con su inverso aditivo, por lo cual se pueden reducir todos los términos, excepto el primero y el último. Entonces, S =

1 1 10 – = , lo que resulta mucho más 1 11 11

CPECH

simple de resolver.

23

Capítulo

1

Números

Pregunta tipo PSU En la recta numérica de la figura adjunta se ubican los números racionales a, b, c y d. a

–1

b

0

c

1

d

¿Cuál de las siguientes igualdades NO es posible que ocurra dentro de la recta numérica?

A)

d =a b

B)

c =b a

C)

b =a c

D)

a =c b

E)

d =b a

Resolución Analizando cada alternativa, se tiene: A) Verdadera, ya que d se ubica en el intervalo ]1, + ∞[, b se ubica en el intervalo ] – 1, 0[, por lo que el cociente entre d y b siempre se ubicará en el intervalo ]– ∞, – 1[, que corresponde al intervalo donde se d = – 6, que corresponde a un posible valor de a. ubica a. En particular, si d = 3 y b = – 0,5, entonces b B) Verdadera, ya que c se ubica en el intervalo ]0, 1[, a se ubica en el intervalo ]– ∞, – 1[, por lo que el cociente entre c y a siempre se ubicará en el intervalo ]– 1, 0[, que corresponde al intervalo donde se c ubica b. En particular, si c = 0,5 y a = – 2, entonces = – 0,25, que corresponde a un posible valor de b. a

CPECH

C) Verdadera, ya que b se ubica en el intervalo ] – 1, 0[, c se ubica en el intervalo ]0, 1[, por lo que el cociente entre b y c siempre se ubicará en el intervalo]– ∞, 0[, que contiene al intervalo ]– ∞, – 1[, que b es donde se ubica a. En particular, si b = – 0,25 y c = 0,05, entonces = – 5, que corresponde a un c posible valor de a.

24

D) Falsa, ya que a se ubica en el intervalo ]– ∞, – 1[, b se ubica en el intervalo ] – 1, 0[, por lo que el cociente entre a y b siempre se ubicará en el intervalo ]1, + ∞[, en tanto que c se ubica en el intervalo a ]0, 1[, por lo que se concluye que NO es igual a c en ningún caso. b

Matemática

E) Verdadera, ya que d se ubica en el intervalo ]1, + ∞[, a se ubica en el intervalo ]– ∞, – 1[, por lo que el cociente entre d y a siempre se ubicará en el intervalo ] – ∞, 0[, que contiene al intervalo ]– 1, 0[, que es donde se ubica b. d En particular, si d = 2 y a = – 10, entonces = – 0,2, que a corresponde a un posible valor de b.

ecta: Alternativa corr

D

Pregunta tipo PSU Mariela es la encargada de repartir en igual cantidad 750 caramelos idénticos entre 27 niños que asisten a un paseo escolar, sin que sobre ni falte ningún caramelo. ¿En cuál de las siguientes condiciones Mariela NO puede cumplir su objetivo? A) B) C) D) E)

Dos niños no asisten al paseo. Tres niños más asisten al paseo. Se quitan 21 caramelos de la cantidad total. Se agregan 6 caramelos a la cantidad total. Se quitan 27 caramelos de la cantidad total.

Resolución Para que Mariela pueda cumplir su objetivo debe cumplirse que el cociente entre la cantidad de caramelos y la cantidad de niños que asisten al paseo escolar sea un número entero. Entonces, analizando cada alternativa: A) Si dos niños no asisten al paseo implica que la cantidad de niños baja de 27 a 25, luego:

Cantidad de caramelos 750 = = 30. Por lo tanto, en esta condición se cumple que cada uno de los Cantidad de niños 25 25 niños recibirá 30 caramelos, por lo que Mariela cumple su objetivo.

B) Si tres niños más asisten al paseo implica que la cantidad de niños aumenta de 27 a 30, luego: Cantidad de caramelos 750 = = 25. Por lo tanto, en esta condición se cumple que cada uno de los Cantidad de niños 30 30 niños recibirá 25 caramelos, por lo que Mariela cumple su objetivo.

CPECH



25

Capítulo

1

Números

C) Si se quitan 21 caramelos, implica que la cantidad total de ellos baja de 750 a 729, luego:

Cantidad de caramelos 729 = = 27. Por lo tanto, en esta condición se cumple que cada uno de los Cantidad de niños 27 27 niños recibirá 27 caramelos, por lo que Mariela cumple su objetivo.

D) Si se agregan 6 caramelos, implica que la cantidad total de ellos aumenta de 750 a 756 caramelos, luego:

Cantidad de caramelos 756 = = 28. Por lo tanto, en esta condición se cumple que cada uno Cantidad de niños 27

de los 27 niños recibirá 28 caramelos, por lo que Mariela cumple su objetivo.

E) Si se quitan 27 caramelos, implica que la cantidad total de ellos baja de 750 a 723, luego:

Cantidad de caramelos 723 = = 26,77... . Por lo tanto, en esta Cantidad de niños 27

ecta: Alternativa corr

condición se cumple que cada uno de los 27 niños recibirá 26 caramelos, pero sobrarán 21 caramelos, por lo que Mariela NO cumple su objetivo.

E

1.3. Potenciación 1.3.1. Potencias Una potencia de exponente entero y positivo (natural) corresponde a la multiplicación de n veces un número a, escrita de forma abreviada como an = b donde a es la base, n es el exponente y b es el resultado. Por ejemplo, 34 = 3 • 3 • 3 • 3 = 81. En una potencia de exponente entero y negativo se debe utilizar el inverso multiplicativo de la base, elevado al 1n 13 1 1 1 1 mismo exponente positivo, es decir, a–n = , con a ≠ 0. Por ejemplo, 5–3 = = • • = . a 5 5 5 5 125

()

()

Una potencia de exponente 0 es siempre igual a 1, excepto cuando la base es 0, lo que está indefinido matemáticamente. Es decir, a0 = 1 para cualquier valor de a distinto de cero.

CPECH

Toda potencia de base positiva da un resultado positivo, independiente del exponente, y toda potencia de exponente par da un resultado positivo, independiente de la base (excepto si la base es 0). Solo las potencias de base negativa y exponente impar dan un resultado negativo.

26

Matemática Conceptos fundamentales Algunas propiedades de las potencias son: ■ Para multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes, es decir, a n • am = am + n. Por ejemplo, 410 • 45 = 415. ■ Para dividir potencias de igual base, se conserva la base y se restan los exponentes, es decir, am : an = am–n, con a ≠ 0. Por ejemplo, 68 : 63 = 65. ■ Para multiplicar potencias de igual exponente, se multiplican las bases y se conserva el exponente, es decir, an • cn = (a • c)n. Por ejemplo, 27 • 37 = (2 • 3)7 = 67. ■ Para dividir potencias de igual exponente, se dividen las bases y se conserva el exponente, es decir, an : cn = (a : c)n, con c ≠ 0. Por ejemplo, 10 6 : 5 6 = (10 : 5) 6 = 26. ■ Para aplicar una potencia a otra potencia, se conserva la base y se multiplican los exponentes, es decir, (an)m = an • m. Por ejemplo, (84)9 = 84 • 9 = 836. ■ Si bien no existen propiedades para la suma y resta de potencias, es posible aplicar la factorización para reducirlas. Por ejemplo, 620 + 618 = 618 • 62 + 618 = 618 • (62 + 1) = 618 • (36 + 1) = 618 • 37.

Una potencia de 10 permite escribir números con muchos ceros como potencia de base 10, ya sean enteros o decimales. Para números enteros, el exponente es positivo e indica la cantidad de ceros que tiene el número a la derecha del 1, por ejemplo 1.000.000 = 106 y 7.000 = 7 • 103. Para números decimales, el exponente es negativo e indica la cantidad de posiciones decimales que tiene el número incluyendo el 1, por ejemplo 0,0001 = 10– 4 y 0,06 = 6 • 10– 2.

Sabías que...

CPECH

La notación científica corresponde a la escritura de cualquier número como una potencia de 10 multiplicada por un número entre 1 y 10. Por ejemplo, 23.800 = 2,38 • 104 y 0,00008174 = 8,174 • 10 – 5.

27

Capítulo

1

Números

Pregunta tipo PSU Si k y a son números enteros mayores que 1, ¿cuál de las siguientes expresiones siempre es equivalente a (ak – 1 + ak + ak + 1)? A)

ak – 1 • (1 + a + a 2)

B)

ak • (1 + a + a 2)

C)

ak •

D)

a3k

E)

ak

( ) 1 +a a

Resolución No existen propiedades para la suma o resta de potencias. Entonces, una de las opciones de desarrollo está dada por la factorización de la expresión. Un factor posible que cada término del trinomio tiene en común es ak , por lo que: (ak – 1 + ak + ak + 1) = ak • a –1 + ak + ak • a1 En el paso anterior, se descompuso cada término mediante la propiedad de producto de potencias, dejando así en cada uno de ellos el factor ak. Luego, factorizando por este término:

CPECH

ak • a –1 + ak + ak • a1 = ak • (a–1 + 1 + a)

28



= ak •

(

1 +1+a a

)



= ak •

(

1 + a + a2



=



= ak – 1 • (1 + a + a2)

a

)

ak • (1 + a + a2) a

ecta: Alternativa corr

A

Matemática 1.3.2. Raíces n Una raíz corresponde a la base de una potencia. Es decir, si a = �b entonces an = b, donde a es la raíz enésima de b (la base de la potencia), n es el índice de la raíz (el exponente de la potencia con n ∈ Z y n ≥ 2) y b es la 3 cantidad subradical (el resultado de la potencia). Por ejemplo, si �8 = 2, entonces 23 = 8. Cuando en una raíz no aparece el índice, significa que el valor de este es 2.

Dado que una raíz tiene relación directa con una potencia, su planteamiento solo tendrá sentido en caso que lo tenga para la potencia. Por ejemplo, sabemos que toda potencia de exponente par da un resultado positivo, independiente de la base (excepto si la base es 0), por lo cual no tiene sentido preguntar cuál es la base de una potencia de exponente par y resultado negativo. Esto implica que las raíces de índice par y cantidad subradical negativa no están definidas en los reales.

Conceptos fundamentales Algunas propiedades de las raíces son: ■ Para multiplicar raíces de igual índice, se multiplican las cantidades subradicales y se conserva el n

n

5

n

5

5

5

índice, es decir, �b • �c = �b • c. Por ejemplo, �3 • �4 = �3 • 4 = �12 . ■ Para reducir la cantidad subradical es posible descomponer la raíz, realizando una factorización en la cantidad subradical donde aparezca una raíz exacta y aplicando la propiedad anterior.

Por ejemplo, �75 = �25 • 3 = �25 • �3 = 5�3.

■ Para dividir raíces de igual índice, se dividen las cantidades subradicales y se conserva el índice, es n

n

8

n

8

8

decir, �b : �c = �b : c , con c ≠ 0. Por ejemplo, �15 : �5 = �3. ■ Para aplicar una raíz a otra raíz, se conserva la cantidad subradical y se multiplican los índices, es n

7

3 m decir, � �b = �b. Por ejemplo, ��2 = �2. n•m

21

■ Una raíz puede escribirse como una potencia de exponente fraccionario, con el exponente de la n

m

cantidad subradical en el numerador y el índice de la raíz en el denominador, es decir, �bm = b n . Luego, cualquier operación de multiplicación o división entre raíces puede trabajarse con las propiedades de 1

2

1

+

2 3

7

6

= 11 6 = �117 .

CPECH

3

potencia. Por ejemplo, �11 • �112 = 11 2 • 11 3 = 11 2

29

Capítulo

1

Números

■ Si bien no existen propiedades para la suma y resta de raíces, es posible aplicar la descomposición para reducirlas. Por ejemplo:

�180 – �20 = �36 • 5 – �4 • 5 = 6�5 – 2�5 = 4�5.

La racionalización es un procedimiento que consiste en eliminar las raíces de los denominadores, multiplicando por una expresión equivalente a 1. Los casos habituales son: ■ Si hay una raíz cuadrada en el denominador, se amplifica por la misma raíz. Por ejemplo, para racionalizar

5 5 �3 � � � se multiplica por 3 , resultando: • = 5 3 = 5 3 . 3 �3 �3 �3 �3 �32

■ Si hay una raíz no cuadrada en el denominador, se amplifica por una raíz de igual índice cuya 2 cantidad subradical permita igualar dicho índice. Por ejemplo, para racionalizar 3 se multiplica por, �7 3

3

�72

3

3

� 2 � 2 � 2 resultando: 32 • 3 7 = 23 7 = 2 7 . 3 2 3 2 �7 �7 �7 �7 7 ■ Si hay una suma o resta con raíces cuadradas en el denominador, se amplifica por la misma expresión con la operación contraria. Por ejemplo, para racionalizar resultando:

3 � +1 se multiplica por 5 , �5 – 1 �5 + 1

3 � +1 � +3 � +3 � +3 3(�5 + 1) = 3 5 = 3 52 = 3 5 . • 5 = �5 – 1 �5 + 1 (�5 – 1)(�5 + 1) (�5 ) – (1)2 5–1 4

Pregunta tipo PSU p•q

Si a, p y q son números enteros mayores que uno, entonces la expresión �ap + q es siempre equivalente a p

q

A)

�a + �a

B)

ap + q

C)

�a • �a

D)

�aq • �ap

E)

ninguna de ellas.

CPECH

p•q

30

p

p

q

q

Matemática Resolución p+q

p•q

La expresión del enunciado puede ser reescrita en forma de potencia, resultando �ap + q = a p • q

El exponente de la expresión anterior puede ser descompuesto en una suma de fracciones, resultando: p•q

p+q

p

p•q

1 1 q +p

p•q

1 q

�ap + q = a p • q = ap • q �ap + q = a

q +p•q



(Simplificando fracciones en el exponente)



(Descomponiendo como producto de potencias)

1 p

�ap + q = a • a

p•q

q

(Expresando en forma de raíz)

p

�ap + q = �a • �a

ecta: Alternativa corr

C

1.3.3. Logaritmos Un logaritmo corresponde al exponente de una potencia. Es decir, si n = loga b, entonces an = b donde a es la base (de la potencia y del logaritmo), n es el logaritmo (el exponente de la potencia) y b es el argumento del logaritmo (el resultado de la potencia). Por ejemplo, si log3 81 = 4, entonces 34 = 81. Cuando en un logaritmo no aparece la base, significa que el valor de esta es 10. Al igual que la raíz, dada su relación con las potencias, el logaritmo también tiene ciertas restricciones. Solo están definidos matemáticamente logaritmos de base real positiva distinta de 1 y argumentos reales positivos.

Conceptos fundamentales Algunas propiedades de los logaritmos son: ■ Para sumar logaritmos de igual base, se conserva la base y se multiplican los argumentos, es decir, loga b + loga c = loga (b • c). Por ejemplo, log3 2 + log3 11 = log3 (2 • 11) = log3 22. ■ Para restar logaritmos de igual base, se conserva la base y se dividen los argumentos, es decir, loga b – loga c = loga (b : c). Por ejemplo, log2 21 – log2 7 = log2 (21 : 7) = log2 3.

■ Para el cambio de base de un logaritmo se aplica la relación loga b = log4 5 a base 7, resulta

log7 5 log7 4

.

logcb logca

. Por ejemplo, al cambiar

CPECH

■ Para aplicar logaritmo a una potencia, el exponente del argumento se multiplica por el logaritmo, es decir, loga bm = m • loga b. Por ejemplo, log5 64 = 4 • log5 6.

31

Capítulo

1

Números

Ojo con La propiedad de cambio de base por lo general se utiliza para reducir expresiones logarítmicas cuyos argumentos tienen una base en común. Por ejemplo, log27 81, tanto la base como el argumento son potencias de 3, por lo que es conveniente realizar el cambio de base con este valor. Entonces:

log27 81 =

log3 81 log3 27

=

log3 34 3

log3 3

=

4 • log3 3 3 • log3 3

=

4•1 3•1

=

4 3

Pregunta tipo PSU Si a, s, t y v son números enteros positivos distintos de uno, entonces es posible determinar el valor numérico de la expresión log a • (loga s + loga t + loga v), si: (1) a = 10 (2) s • t • v = 100 A) B) C) D) E)

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.

Resolución

CPECH

Analizando la expresión del enunciado y aplicando propiedad de cambio de base, se obtiene:

32

log a • (loga s + loga t + loga v)

= log a •



= log a •



= log a •



= log stv

( ( (

log s log t log v + + log a log a log a log s + log t + log v log a log stv log a

)

)

)

Matemática

(1) a = 10. Con esta información no es posible determinar el valor numérico de la expresión, ya que log stv no está compuesto por el valor de a.

ecta: Alternativa corr

(2) s • t • v = 100. Con esta información es posible determinar el valor numérico de la expresión, ya que al conocer el valor (s • t • v) se puede calcular log 100. Por lo tanto,la respuesta es: (2) por sí sola.

B

1.4. Números irracionales 1.4.1. Orden entre raíces Para números reales positivos a y c cualesquiera y n un número natural mayor que 1, se cumple que si a < c, n

n

entonces �a < �c . Luego, para ordenar raíces de igual índice y cantidades subradicales positivas, basta comparar 4

4

7

7

las cantidades subradicales. Por ejemplo, como 3 < 5, entonces �3 < �5 ; �3 < �5 ; �3 < �5, etc. Para números enteros n y m mayores que 1 y a un número real mayor que 1, se cumple que si n < m, entonces n

m

�a > �a . Luego, para ordenar raíces de igual cantidad subradical e índices naturales, basta comparar los 7

4

índices. Por ejemplo, como 2 < 4 < 7… , entonces… �6 < �6 < �6. Si se desea comparar raíces de distinto índice y distinta cantidad subradical, una posibilidad es elevar ambas 3

raíces al m.c.m. de sus índices. Por ejemplo, para comparar �5 y �11, se elevan ambas a 6 (m.c.m. entre 2 y 3), 6 6 como (�5 ) = 53 = 125 > (�11 ) = 112 = 121, entonces �5 > �11. 3

3

1.4.2. Orden entre logaritmos Para números reales positivos a y c cualesquiera y n un número real mayor que 1, se cumple que si a < c, entonces logn a < logn c. Luego, para ordenar logaritmos de igual base y argumentos positivos, basta comparar los argumentos. Por ejemplo, como 4 < 7, entonces log 4 < log 7; log3 4 < log3 7; log8 4 < log8 7; etc. Para números reales positivos n y m mayores que 1 y a un número real mayor que 1, se cumple que si n < m, entonces logm a < logn a. Luego, para ordenar logaritmos de igual argumento y bases mayores que 1, basta comparar las bases. Por ejemplo, como 3 < 5 < 6, entonces log6 2 < log5 2 < log3 2. Si se desea comparar logaritmos de distinta base y distinto argumento, una posibilidad es cambiar las expresiones a una base común y aplicar propiedades. Por ejemplo, para comparar log4 3 y log8 5 se cambian ambas expresiones a base 2: log23 log24

=

log23 2

=

1 2

• log2 3 = log2 �3 y log8 5 =

log25 log28

=

log25 3

=

1 3

3

• log2 5 = log2 �5.

CPECH

log4 3 =

33

Capítulo

1

Números 6 6 Al comparar los argumentos, se elevan las raíces a 6 (m.c.m. entre 2 y 3). Como (�3 ) = 33 = 27 > (�5 ) = 52 = 25, 3

3

3

entonces �3 > �5 , lo que significa que log2 �3 > log2 �5 , y por ende que log4 3 > log8 5.

1.4.3. Aproximación en los irracionales Para aproximar el valor de un número irracional p conociendo el valor aproximado de un número irracional q, es necesario expresar p en términos de q utilizando propiedades, y luego reemplazar el valor conocido. Por ejemplo, si �5 es aproximadamente 2,236, entonces �1,25 es aproximadamente: �1,25 =

= 1,118. Si log 3 es aproximadamente 0,477, entonces log 90 es aproximadamente: � 54 = ��54 = 2,236 2

log 90 = log (10 • 9) = log (10 • 32) = log 10 + log 32 = 1 + 2 • log 3 = 1 + 2 • 0,477 = 1,954

Pregunta tipo PSU Si la diferencia entre �13 y �5, en ese orden, es aproximadamente 1,37, ¿cuál es el valor aproximado de la suma entre �13 y �5? A)

2,24

B)

5,84

C) 10,36 D)

2,82

E)

4,58

Resolución Generalmente, este tipo de ejercicios puede ser tratado de la misma forma como se resuelve una ecuación, en conjunto con conocimientos de productos notables. En este caso, la clave está en aplicar una suma por la diferencia, como se muestra a continuación:

�13 – �5 ≈ 1,37

(Multiplicando en ambos lados por (�13 y �5 ))

(�13 – �5 )(�13 + �5 ) ≈ 1,37 • (�13 + �5 ) (Desarrollando) (�13)2– (�5 )2 ≈ 1,37 • (�13 + �5 ) 13 – 5 ≈ 1,37 • (�13 + �5 )

CPECH

8 ≈ (�13 + �5 ) 1,37

34

5,84 ≈ (�13 + �5 )

ecta: Alternativa corr

B

Matemática 1.5. Números imaginarios y complejos 1.5.1. Propiedades de los números complejos La unidad imaginaria (i) corresponde a �– 1 y se utiliza matemáticamente para representar soluciones no reales de polinomios, por ejemplo raíces de ecuaciones de segundo grado. Las potencias de i forman un ciclo de cuatro términos que se repite infinitamente, así i1 = i, i2 = – 1, i3 = – i, i4 = 1, i5 = i, i6 = – 1, i7 = – i, etc. siendo siempre ip = 1 cuando p es múltiplo de 4. Esto permite determinar cualquier potencia de i de exponente natural, buscando el múltiplo de 4 más cercano que es menor que el exponente y formando el ciclo. Por ejemplo, para determinar i38, el múltiplo de 4 más cercano que es menor que el exponente es 36. Luego i38 = i36 • i2 = 1 • – 1 = – 1, por lo cual i38 = – 1. Los números imaginarios (II) son aquellos de la forma bi, con b un número real distinto de cero e i la unidad imaginaria. Pueden representarse en una recta numérica vertical, perpendicular en 0 a la recta real, quedando arriba del cero aquellos en que b > 0 y abajo del cero aquellos en que b < 0. La raíz cuadrada de cualquier número negativo puede representarse como un número imaginario. Por ejemplo, �– 25 = �25 • – 1 = �25 • �– 1 = 5i.

Los números complejos (ℂ ) incluyen a los números reales, a los números imaginarios y a todos los números de la forma z = a + bi, con a y b números reales e i la unidad imaginaria. Pueden representarse como puntos en el plano complejo, tomando las rectas real e imaginaria como ejes coordenados. Por ejemplo, en el plano complejo adjunto está representado el número – 3 + 2i, que corresponde al punto (– 3, 2) en el plano complejo.

II

ℂ

4 3 – 3 + 2i

2 1

–4 –3 –2 –1 –1

1

2

3

4

IR

–2 –3

CPECH

–4

35

Capítulo

1

Números

Conceptos fundamentales Si z = a + bi es un número complejo, con a y b números reales e i la unidad imaginaria, entonces se define: ■ La parte real de z como el número que no es factor de la unidad imaginaria. Su simbología es Re(z) y su valor es a. Por ejemplo, si z = 8 + 5i, entonces Re(z) = 8. ■ La parte imaginaria de z como el número que es factor de la unidad imaginaria. Su simbología es Im(z) y su valor es b. Por ejemplo, si z = 1 – 7i, entonces Im(z) = – 7. ■ El módulo (o valor absoluto) de z como la distancia entre dicho número y el cero. Su simbología es |z|, y su valor se determina mediante el teorema de Pitágoras, es decir, |z| = �[Re(z)]2 + [Im(z)]2. Por ejemplo, si z = – 5 – 2i, entonces |z| = �[Re(– 5 – 2i)]2 + [Im(– 5 – 2i)]2 = �(– 5)2 + (– 2)2 = �25 + 4 = �29. ■ El conjugado de z como el número simétrico de z con respecto al eje real. Su simbología es z y para determinar su valor basta cambiarle el signo a la parte imaginaria de z, es decir, z = a – bi. Por ejemplo, si z = – 4 – 3i, entonces z = – 4 + 3i. El producto entre un número complejo y su conjugado es siempre igual al cuadrado del módulo del número, es decir, z • z = |z|2, lo que implica que el inverso multiplicativo de un número complejo es igual al cuociente entre el conjugado del número y el z cuadrado de su valor absoluto, es decir, 1 = 2 = a2 – bi2 . z |z| a +b

Pregunta tipo PSU El conjugado de un número complejo z es (1 + 3i). ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? A)

La parte real de z es – 1.

B)

La parte imaginaria de z es 3.

C)

El módulo de z es 10.

D)

El opuesto de z es (– 1 – 3i). 1 3 El inverso de z es + i. 10 10

CPECH

E)

36

(

)

Matemática Resolución Si el conjugado de z es (1 + 3i), entonces z es igual a (1 – 3i), por lo que su parte real es 1 y su parte imaginaria es – 3, concluyendo que las alternativas A y B son falsas. Por otra parte, el módulo de z es igual a: �Re(z)2 + Im(z)2 = �(1)2 + (– 3)2 = �1 + 9 = �10. Por lo tanto, la alternativa C es falsa. El opuesto de z es igual a (– z), obteniéndose (– 1 + 3i), concluyendo que la alternativa D es falsa. z . |z|2 1 + 3i 1 3 + i Reemplazando los valores en la expresión, se tiene que: z – 1 = = (�10 )2 10 10 Finalmente, el inverso de z se calcula mediante la expresión

ecta: Alternativa corr

E

1.5.2. Operatoria en los números complejos Si z1 = a + bi y z2 = c + di son números complejos, con a, b, c y d números reales e i la unidad imaginaria, entonces: ■ Para multiplicar un número complejo por un escalar, se multiplica cada parte del número complejo por el escalar. Por ejemplo, si m es un número real distinto de cero, entonces m • z1 = m • (a + bi) = (m • a + m • bi). Por ejemplo, – 2 • (5 – 4i) = – 10 + 8i.

■ Para sumar números complejos, se suman las partes reales y las partes imaginarias entre sí, es decir, z1 + z2= (a + bi) + (c + di) = (a + bi + c + di) = (a + c) + (b + d)i.

Por ejemplo, (– 2 + i) + (3 + 7i) = (– 2 + 3) + (1 + 7)i = 1 + 8i.



Por ejemplo, (4 – 2i) – (6 – i) = (4 – 6) + (– 2 + 1)i = – 2 – i.

CPECH

■ Para restar números complejos, se restan las partes reales y las partes imaginarias entre sí, es decir, z1 – z2 = (a + bi) – (c + di) = (a + bi – c – di) = (a – c) + (b – d)i.

37

Capítulo

1

Números ■ Para multiplicar números complejos, se multiplican término a término, según la propiedad distributiva, es decir, z1 • z2 = (a + bi) • (c + di) = (a • c + a • di + bi • c + b • d • i2) = (a • c – b • d) + (a • d + b • c)i. Por ejemplo, (– 5 + 2i) • (3 – 4i) = (– 5 • 3 – 2 • (– 4)) + (– 5 • (– 4) + 2 • 3)i = (– 15 + 8) + (20 + 6)i = – 7 + 26i.

■ Para dividir números complejos, se multiplica el dividendo por el inverso multiplicativo del divisor, es 1 1 z z decir, 1 = z1 • = z1 • 22 = 2 • (z1 • z 2), procediendo luego con la multiplicación de complejos. z2 z2 |z2| |z2| – 10 + 5i 1 1 Por ejemplo, = 2 • (– 10 + 5i) • (1 + 2i) = • ((–10 • 1 – 5 • 2) + ( – 10 • 2 + 5 • 1)i) 1 – 2i 1 + (– 2)2 1+4 1 = • ( – 20 – 15i) = – 4 – 3i. 5

Pregunta tipo PSU Sea el número complejo z = a + bi, con a y b números enteros positivos tales que a < b < 4. Se puede determinar el valor numérico de z, si: (1) El módulo de z es �10. (2) El producto entre z y su conjugado es 10. A) B) C) D) E)

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.

Resolución Analizando la información presente en el enunciado, se tiene que los posibles valores de a y b pueden ser, respectivamente, 1 y 2, 1 y 3, y 2 y 3. (1) El módulo de z es �10. Con esta información, es posible determinar el valor numérico de z, ya que el módulo de z puede ser expresado como �a2 + b2 = �10 ⇒ a2 + b2 = 10, y en las condiciones dadas por el enunciado, los únicos valores posibles para a y b son 1 y 3, respectivamente. Entonces, z = 1 + 3i. (2) El producto entre z y su conjugado es 10. Con esta información, es posible determinar el valor numérico de z, ya que el producto entre z y z es igual a a2 + b2 = 10, y en las condiciones dadas por el enunciado, los únicos valores posibles para a y b son 1 y 3, respectivamente. Entonces, z = 1 + 3i.

CPECH



38

Por lo tanto, la respuesta correcta es: Cada una por sí sola, (1) ó (2).

ecta: Alternativa corr

D

Capítulo 2 Álgebra

Aprendizajes Esperados

 Resolver problemas con expresiones algebraicas fraccionarias.  Resolver problemas con ecuaciones de primer grado. Modelar situaciones o fenómenos cuyos modelos resultantes sean sistemas de  ecuaciones lineales con dos incógnitas.  Resolver problemas utilizando inecuaciones lineales o sistemas de inecuaciones.  Comprender y aplicar los conceptos de función y de composición de funciones. situaciones, representar gráficamente y resolver problemas utilizando  lasModelar funciones lineales y afines. situaciones, representar gráficamente y resolver problemas utilizando  lasModelar funciones cuadráticas, potencia, exponencial, logarítmica y raíz cuadrada.

Capítulo

2

Álgebra

2. ÁLGEBRA 2.1. Transformación algebraica 2.1.1. Valorización, reducción y producto algebraico El álgebra corresponde a la generalización de las definiciones aritméticas a través de variables. Una variable o coeficiente literal corresponde a la expresión de una cantidad conocida o desconocida mediante una o más letras, con las cuales se puede operar relativamente de la misma forma que se hace con los números. Un término algebraico (o monomio) es un elemento formado por coeficientes numéricos y variables escrito – x2 como producto, fracción y/o potencia, por ejemplo: 4a3, , – 5mp, etc. Cuando dos términos algebraicos 3 tienen las mismas variables y los mismos exponentes, se llaman términos semejantes. Por ejemplo, 4a3 – x2 y 2a no son términos semejantes, ya que la variable no tiene el mismo exponente; y 7x2 son términos 3 semejantes; – 5mp y 3p no son términos semejantes, ya que no tienen las mismas variables. Una expresión algebraica (o polinomio) es un elemento formado por la suma y/o resta de términos – x2 algebraicos, por ejemplo: (4a3 – 2a), + 7x2 y (m – 5mp – 3p). Si la expresión tiene dos términos se conoce 3 como binomio, si tiene tres términos se conoce como trinomio, etc.

(

)

Ojo con En caso de que se conozca el valor numérico de las variables, se puede valorizar el término o la expresión reemplazando el valor de las variables y aplicando las operaciones descritas. Por ejemplo, si m = 2 y p = – 4, entonces la expresión (m – 5mp – 3p) es igual a (2 – 5 • 2 • (– 4) – 3 • (– 4)) = (2 + 40 + 12) = 54. Al sumar y/o restar expresiones algebraicas se agrupan los términos y se reducen los términos semejantes, sumando y/o restando los coeficientes numéricos y manteniendo las variables con sus respectivos exponentes, por ejemplo, (4b2 – 1) + (b2 – 2b + 5) = (4b2 – 1 + b2 – 2b + 5) = (4b2 + b2 – 2b – 1 + 5) = (5b2 – 2b + 4). En el caso de la resta, la regla de los signos cambia todos los signos del sustraendo, por ejemplo: (4b2 – 1) – (b2 – 2b + 5) = (4b2 – 1 – b2 + 2b – 5) = (4b2 – b2 + 2b – 1 – 5) = (3b2 + 2b – 6). Para realizar el producto entre un término y una expresión algebraica se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma y/o la resta, es decir se multiplica término a término. Por ejemplo,

CPECH

3m • (2m2 – 4m) = (3m • 2m2 – 3m • 4m) = (6m3 – 12m2). Se debe tener cuidado de aplicar la regla de los signos cuando el término que distribuye sea negativo, por ejemplo:

40

(– 3m) • (2m2 – 4m) = ((– 3m) • 2m2 – (– 3m) • 4m) = (– 6m3 + 12m2).

Matemática En general, el producto de dos expresiones algebraicas se realiza término a término, aplicando para cada uno el procedimiento aplicado anteriormente. Por ejemplo: (x – x2) • (5x – 2) = (x • 5x – x • 2 + (– x2) • 5x – (– x2) • 2) = (5x2 – 2x – 5x3 + 2x2) = (– 5x3 + 5x2 + 2x2 – 2x) = (– 5x3 + 7x2 – 2x)

Pregunta tipo PSU Se define la operación (a igual a

b) = a • (b – a) – a3 + b, con a y b números reales. Entonces, (x

x2) es siempre

A) x2 – x B) x2 – x3 C) –2x2 D) 2x2 – x3 E) 0

Resolución Se sabe que (a b) = a • (b – a) – a3 + b. Por lo tanto, si se quiere conocer la expresión que es igual a (x x2), entonces se debe considerar a = x y b = x2, y luego reemplazar en la expresión inicial. (x

x2) = = = =

x • (x2 – x) – x3 + x2 (Reemplazando) x • x2 – x • x – x3 + x2 (Multiplicando) x3 – x2 – x3 + x2 (Reuniendo términos semejantes) 0

ecta: Alternativa corr

E

2.1.2. Factorización algebraica y productos notables

En el caso del trinomio de la forma (x2 + mx + p), si existen dos números a y b tales que (a + b) = m y a • b = p, entonces (x2 + mx + p) = (x + a) • (x + b). Por ejemplo, para el trinomio (x2 – 3x – 10), se tiene que ((– 5) + 2) = – 3 y (– 5) • 2 = – 10, entonces, (x2 – 3x – 10) = (x – 5) • (x + 2). Si el primer término tiene un coeficiente distinto de 1, o no es simple encontrar los números a y b, entonces es posible que el trinomio no sea factorizable o que se deba utilizar otro procedimiento.

CPECH

La factorización es el proceso contrario al producto, es decir, consiste en descomponer una expresión algebraica en los factores que la originaron. Uno de los casos más comunes de factorización corresponde al que se realiza por factor común (o M.C.D. algebraico), que es análogo al M.C.D. aritmético, es decir, corresponde al producto solo de los factores (numéricos y literales) repetidos en todos los términos, elevado cada uno al menor exponente que tengan. Por ejemplo, el factor común de los términos 4xy2, 6x2y, 10xy es 2xy. Luego, (4xy2 + 6x2y – 10xy) = 2xy • (2y + 3x – 5).

41

Capítulo

2

Álgebra Los productos notables son transformaciones algebraicas que tienen una estructura definida, por lo cual pueden utilizarse para obtener un producto sin necesidad de realizar el procedimiento, lo que reduce el tiempo de resolución. Los productos notables más conocidos son: ■ Cuadrado de binomio: (a + b)2 = (a2 + 2ab + b2); (a – b)2 = (a2 – 2ab + b2) Por ejemplo, (3x – 4)2 = ((3x)2 – 2 • 3x • 4 + 42) = (9x2 – 24x + 16) ■ Cubo de binomio: (a + b)3 = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3); (a – b)3 = (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3) Por ejemplo, (2x + 5)3 = ((2x)3 + 3 • (2x)2 • 5 + 3 • 2x • 52 + 53) = (8x3 + 60x2 + 150x + 125) ■ Suma por su diferencia: (a + b) • (a – b) = (a2 – b2) (diferencia de cuadrados) Por ejemplo, (6x + 11) • (6x – 11) = ((6x)2 – 112) = (36x2 – 121) ■ Productos que dan como resultado suma o diferencia de cubos: (a + b) • (a2 – ab + b2) = (a3 + b3); (a – b) • (a2 + ab + b2) = (a3 – b3) Por ejemplo, (x – 7) • (x2 + 7x + 49) = (x – 7) • (x2 + 7x + 72) = (x3 – 73) = (x3 – 343) ■ Producto de binomio con término común: (x + a) • (x + b) = x2 + (a + b)x + ab (x + a) • (x – b) = x2 + (a – b)x – ab Por ejemplo, (x + 3) • (x – 5) = x2 + (3 – 5)x – 3 • 5 = x2 – 2x – 15

El uso principal de las equivalencias anteriores se encuentra en la factorización, ya que es posible realizarla por simple reconocimiento de la estructura. Por ejemplo:

■ En la expresión (4x2 + 12x + 9), se observa que el primer término es el cuadrado de 2x y el tercer término es el cuadrado de 3, con lo cual es posible verificar que el segundo término es igual al doble del producto entre 2x y 3. Luego, es posible reconocer la estructura del cuadrado de binomio, por lo cual: (4x2 + 12x + 9) = (2x + 3)2. ■ En la expresión (x3 – 6x2 + 12x – 8), se observa que el primer término es el cubo de x y el cuarto término es el cubo de 2, con lo cual es posible verificar que el segundo término es igual al triple del producto entre x2 y 2 y el tercer término es igual al triple del producto entre x y 22. Luego, es posible reconocer la estructura del cubo de binomio, por lo cual (x3 – 6x2 + 12x – 8) = (x – 2)3. ■ En la expresión (25x2 – 64), se observa que el primer término es el cuadrado de 5x y el segundo término es el cuadrado 8. Luego, es posible reconocer la estructura de diferencia de cuadrados, que se factoriza como suma por su diferencia, por lo cual (25x2 – 64) = (5x + 8) • (5x – 8). ■ En la expresión (64x3 – 1), se observa que el primer término es el cubo de 4x y el segundo término es el cubo de 1. Luego, es posible reconocer la estructura de la diferencia de cubos, por lo cual (64x3 – 1) = (4x – 1) • ((4x)2 + 4x • 1 + 12) = (4x – 1) • (16x2 + 4x + 1).

CPECH

Sabías que...

42

No es obligatorio que una factorización corresponda solo a una estructura determinada, pudiéndose dar combinaciones entre ellas. Por ejemplo, para factorizar la expresión (3p3 – 12p) primero se puede sacar factor común, quedando (3p3 – 12p) = 3p • (p2 – 4), y luego reconocer la diferencia de cuadrados en el segundo factor, quedando finalmente (3p3 – 12p) = 3p • (p + 2) • (p – 2).

Matemática

Pregunta tipo PSU ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas NO tiene como uno de sus factores a (x – 3)? A) B) C) D) E)

x2 – 9 – 3x2 + 9x x2 – 6x + 9 x2 + x – 6 x3 – 27

Resolución Factorizando cada una de las expresiones presentadas: A) (x2 – 9) corresponde a una suma por su diferencia, ya que se constituye de dos términos al cuadrado. Por lo tanto, (x2 – 9) es igual a (x + 3)(x – 3), es decir, (x – 3) es un factor. B)

(– 3x2 + 9x) se compone de dos términos que tienen como factor común a (– 3x). Factorizando se obtiene (– 3x)(x – 3), es decir, (x – 3) es un factor.

C) (x2 – 6x + 9) corresponde a un cuadrado de binomio, ya que los extremos de la expresión son cuadrados perfectos y el término central corresponde al doble del producto entre las raíces de los extremos. Por lo tanto, (x2 – 6x + 9) es igual a (x – 3)2, es decir, (x – 3) es un factor. D) (x2 + x – 6) corresponde a un producto de binomios con término en común, ya que (– 6) se puede descomponer como 3 • (– 2) y la suma entre ambos es 1. Por lo tanto, (x2 + x – 6) es igual a (x + 3) (x – 2), es decir, (x – 3) NO es un factor. E) (x3 – 27) se compone de la diferencia entre dos términos que son cubos perfectos. Por lo tanto, (x3 – 27) es igual a (x – 3)(x2 + 3x + 9), es decir, (x – 3) es un factor.

ecta: Alternativa corr

D

2.1.3. Simplificación y operatoria de expresiones algebraicas fraccionarias Para simplificar expresiones algebraicas fraccionarias es necesario primero factorizar y luego eliminar los factores que se repitan en el numerador y en el denominador, verificando siempre la condición de que los factores eliminados sean distintos de cero. Por ejemplo: m2 – 100 , con (5m + 50) ≠ 0, se puede factorizar el numerador como suma 5m + 50 m2 – 100 (m + 10) • (m – 10) por su diferencia y el denominador por factor común, quedando = . Luego, 5m + 50 5 • (m + 10) m2 – 100 m – 10 se puede simplificar por (m + 10) quedando finalmente = . 5m + 50 5

CPECH

■ Para simplificar la expresión

43

Capítulo

2

Álgebra m– 2 , con (m2 + m – 6) ≠ 0, se puede factorizar el denominador como m2 + m – 6 m– 2 m– 2 producto de binomios con término común, quedando 2 = . Luego, se puede m +m–6 (m + 3) • (m – 2) 1 m– 2 simplificar por (m – 2) quedando finalmente 2 = . m+ 3 m +m–6

■ Para simplificar la expresión

■ Para simplificar la expresión

m3 – 125 , con (m2 – 10m + 25) ≠ 0, se puede factorizar el numerador m – 10m + 25 2

como diferencia de cubos y el denominador como cuadrado de binomio, quedando

m3 – 125 (m – 5) • (m2 + 5m + 25) = . Luego, aplicando la propiedad de división de potencias de m – 10m + 25 (m – 5)2 m3 – 125 m2 + 5m + 25 igual base, se puede simplificar por (m – 5) quedando finalmente 2 = . m – 10m + 25 m–5 2

Para sumar y/o restar expresiones algebraicas fraccionarias de igual denominador, se suman y/o restan los numeradores y se mantiene el denominador. Por ejemplo, si 2p – 7 – (p – 4) 2p – 7 p–4 p–3 3p + 1 ≠ 0, – = = . 3p + 1 3p + 1 3p + 1 3p + 1 Para sumar y/o restar expresiones algebraicas fraccionarias de distinto denominador, se amplifican (o simplifican) las fracciones para que los denominadores alcancen un valor común (m.c.m. algebraico) y luego se procede como en el caso anterior. El m.c.m. algebraico es análogo al m.c.m. aritmético, es decir, corresponde al producto de todos los factores (numéricos y literales), elevado cada uno al mayor exponente que tengan. Por 4p – 1 3p + 2 ejemplo, si p ≠ 0, + , el m.c.m. entre 5p y p2 es 5p2. Luego, se amplifica cada fracción para que 5p p2 el denominador llegue a 5p2 y se opera con igual denominador: 4p – 1 3p + 2 4p – 1 p 3p + 2 5 4p2 – p 15p + 10 4p2 – p + 15p + 10 4p2 + 14p + 10 + = • + • = + = = . 2 2 2 5p p2 5p p p2 5 5p 5p 5p 5p2 Para multiplicar y/o dividir expresiones algebraicas se siguen los procedimientos de simplificación y multiplicación término a término vistos previamente. Por ejemplo, si (p3 + 2p2) ≠ 0 y (p2 – p – 2) ≠ 0, entonces p+2 p+2 p • (p + 1) • (p – 1) • (p + 2) p3 – p p • (p2 – 1) • 2 = 2 • = 2 . Luego, se puede simplificar 3 2 p – p – 2 p • (p + 2) (p + 1) • (p – 2) p • (p + 2) • (p + 1) • (p – 2) p + 2p

CPECH

por p, (p + 1) y (p + 2) quedando finalmente

44

3 p–1 p–1 p+2 p–1 = 2 . Por lo tanto, p3 – p 2 • 2 = . p • (p – 2) p – 2p p + 2p p – p – 2 p2 – 2p

Matemática

Pregunta tipo PSU

Sea x un número real distinto de – 4, 2 y 8. La expresión A)

x–4 x2 – 10x + 16

B)

1 x2 – 10x + 16

C)

x2 + 2x + 8 x2 – 8x – 2

D)

x+4 x2 – 10x + 16

E)

x–2 x2 – 10x + 16

(

)

x 2 + : (x + 4) es siempre igual a x–8 x–2

Resolución Desarrollando la expresión según el orden de prioridades en operaciones combinadas:

(

)

x 2 + : (x + 4) = x–8 x–2

(Desarrollando suma de fracciones)

x(x – 2) + 2(x – 8) : (x + 4) = (x – 8)(x – 2)

(Desarrollando productos)

x2 – 2x + 2x – 16 : (x + 4) = x2 – 10x + 16

(Reduciendo términos semejantes)

x2 – 16 : (x + 4) = x – 10x + 16

(Factorizando)

(x – 4)(x + 4) : (x + 4) = x2 – 10x + 16

(Simplificando por (x +4))

2

ecta: Alternativa corr

A

CPECH

x–4 x2 – 10x + 16

45

Capítulo

2

Álgebra 2.2. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primer grado 2.2.1. Ecuaciones de primer grado Una ecuación es una igualdad de expresiones algebraicas que involucra valores desconocidos (incógnitas) y valores conocidos (numéricos o literales), donde resolverla consiste en encontrar el (los) valor(es) que logra(n) que la igualdad sea verdadera. Una ecuación de primer grado (o ecuación lineal) con una incógnita contiene solo una variable desconocida, elevada a 1 (o sea, sin exponente visible). Para resolverla, se deben seguir las siguientes reglas: ■ Reducir hasta donde sea posible las expresiones algebraicas a cada lado de la igualdad. ■ Sumar o restar los mismos términos a ambos lados de la igualdad, de manera que en uno de los lados queden solo términos que posean la incógnita y al otro lado términos que no la posean. ■ Volver a reducir las expresiones algebraicas a cada lado de la igualdad, de modo que la ecuación quede de la forma ax = b, con a y b coeficientes numéricos o literales conocidos y x la variable desconocida (incógnita).

Conceptos fundamentales b , si a = 0 y b = 0, entonces la a ecuación tiene infinitas soluciones (es decir, la solución son los reales), o sea es una identidad, y si a = 0 y b ≠ 0, entonces la ecuación no tiene solución (es decir, la solución es conjunto vacío, representada por el símbolo ∅).

En caso de que a ≠ 0, entonces la incógnita se puede despejar como x =

Por ejemplo, despejando x de la siguiente ecuación, se tiene: 6x + 5 – x = 4 + 2x – 7 5x + 5 = 2x – 3 5x – 2x = – 3 – 5 3x = – 8 –8 x = 3

(Reduciendo términos a cada lado de la igualdad) (Restando 2x y restando 5 a cada lado de la igualdad) (Reduciendo términos a cada lado de la igualdad) (Despejando la incógnita)

CPECH

Si una ecuación de primer grado con una incógnita tiene coeficientes literales aparte de la incógnita se llama ecuación literal, y se resuelve de la misma forma, pero trabajando algebraicamente con dichos coeficientes. Por ejemplo, despejando y de la siguiente ecuación, con p ≠ – m, se tiene:

46

py + 3m = 2p – my py + my = 2p – 3m y • (p + m) = 2p – 3m 2p – 3m y= p+m

(Restando 3m y sumando my a cada lado de la igualdad) (Factorizando la incógnita al lado izquierdo) (Despejando la incógnita)

Matemática

Pregunta tipo PSU ¿Cuál de las siguientes expresiones representa a x en la ecuación de primer grado b2 – ax = bx – a2 – 2ab, con a ≠ – b? A)

a–b

B)

a+b

C)

b–a

D)

a–b a+b

E)

2ab a+b

Resolución Despejando a x en la ecuación: b2 – ax = bx – a2 – 2ab b2 – ax + (a2 + 2ab) = bx – a2 – 2ab + (a2 + 2ab)

(Sumando (a2 + 2ab))

b2 – ax + a2 + 2ab + ax = bx + ax (Sumando ax) (b + a)2 = x (b + a) (Factorizando)

x(b + a) (b + a)2 = b+a b+a

(Dividiendo por (a + b))

b + a = x (Simplificando)

ecta: Alternativa corr

B

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones con dos o más variables desconocidas, de manera que haya la misma cantidad de ecuaciones que de incógnitas. Para que un sistema de ecuaciones sea de primer grado (o lineal) cada variable debe estar elevada a 1 (o sea, sin exponente visible), y no debe haber multiplicación de variables.

CPECH

2.2.2. Sistemas de ecuaciones de primer grado

47

Capítulo

2

Álgebra Para resolver un sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas, se deben ordenar las ecuaciones de manera que queden de la forma ax + by = c , con a, b, c, m, n y p coeficientes numéricos mx + ny = p o literales conocidos y x e y las variables desconocidas (incógnitas). Si an ≠ mb, entonces el sistema tiene una única solución, la cual se puede encontrar mediante los métodos algebraicos, la gráfica de las rectas o mediante la regla de Cramer. Si an = mb y ap = mc (o bien bp = nc) entonces el sistema tiene infinitas soluciones, y si an = mb y ap ≠ mc (o bien bp ≠ nc) entonces el sistema no tiene solución. Los métodos algebraicos para resolver un sistema de ecuaciones, por ejemplo 4x – y = – 1 , son: 2x + 3y = 5 ■ Método de reducción: se amplifica una o ambas ecuaciones, de manera que se generen inversos aditivos en una de las incógnitas, y luego se suman para dejar una ecuación con una incógnita. En el ejemplo, amplificando la segunda ecuación por (– 2) y sumando los términos hacia abajo resulta 4x – y = – 1 . – 4x – 6y = – 10 – 7y = – 11

– 11 11 = . Para encontrar el valor de x se reemplaza el valor encontrado de y –7 7 11 en cualquiera de las ecuaciones originales y se despeja. Entonces, reemplazando y = en la primera 7 11 11 – 7 + 11 4 1 ecuación, queda 4x – = – 1. Despejando, resulta 4x = – 1 + = = , con lo cual x = . 7 7 7 7 7 Luego, despejando, y =

■ Método de igualación: se despeja la misma variable en ambas ecuaciones y se igualan las expresiones resultantes, resolviendo la ecuación. En el ejemplo, despejando y:

En la primera ecuación ⇒ 4x – y = – 1 ⇒ y = 4x + 1



En la segunda ecuación ⇒ 2x + 3y = 5 ⇒ 3y = 5 – 2x ⇒ y =



Igualando ambas expresiones queda:

4x + 1 =

5 – 2x 3

5 – 2x 3

(Multiplicando por 3)

3(4x + 1) = 5 – 2x (Distribuyendo) 12x + 3 = 5 – 2x (Ordenando) 12x + 2x = 5 – 3

(Reduciendo)

14x = 2

(Despejando)

CPECH



48

x =

2 1 = 14 7



Para encontrar el valor de y se reemplaza el valor encontrado de x en cualquiera de las expresiones ya 1 despejadas. Entonces, reemplazando x = en la primera expresión, queda 7



y = 4x + 1 = 4 •

1 4+7 11 +1= = . 7 7 7

Matemática ■ Método de sustitución: se despeja una de las variables en una de las ecuaciones, se reemplaza la expresión resultante en la otra ecuación y se resuelve. En el ejemplo, despejando y en la primera ecuación, queda y = 4x + 1. Reemplazando dicha expresión en la segunda ecuación resulta: 2x + 3(4x + 1) = 5 2x + 12x + 3 = 5 2x + 12x = 5 – 3 14x = 2 x =





2 1 = 14 7

Para encontrar el valor de y se reemplaza el valor encontrado de x en la expresión despejada. Entonces, 1 1 4+7 11 reemplazando x = en la expresión despejada, queda y = 4x + 1 = 4 • + 1 = = . 7 7 7 7 1 11 Luego, utilizando cualquiera de los tres métodos, la solución del sistema es x = e y= , o bien la 7 7 1 11 solución del sistema corresponde al punto , . 7 7

(

)

Pregunta tipo PSU Isabel es doce años mayor que su hermana Carla. Si dentro de cuatro años la edad de Isabel será el doble de la edad de Carla, entonces ¿cuál será la edad de Isabel dentro de cuatro años? A) 18 B) 20 C) 22 D) 24 E) 26

Resolución En el enunciado se desconocen las edades de estas dos hermanas, por lo que es necesario formular dos ecuaciones y así generar un sistema. Llamaremos x a la edad actual de Isabel e y a la edad actual de Carla. Sabemos que Isabel es 12 años mayor que su hermana, por lo tanto x = y + 12 (1). Por otra parte, en 4 años más Isabel duplicará en edad a su hermana, es decir, x + 4 = 2 • (y + 4) (2). Entonces, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: x = y + 12 (1) x + 4 = 2 • (y + 4) (2)

CPECH



(Distribuyendo) (Ordenando) (Reduciendo) (Despejando)

49

2 Capítulo

Álgebra

Utilizando el método de sustitución ((1) en (2)): (y + 12) + 4 = 2 • (y + 4) y + 16 = 2y + 8 y + 16 – 8 = 2y + 8 – 8 y + 8 – y = 2y – y 8 = y

(Desarrollando) (Restando 8) (Restando y) (Calculando)

Es decir, la edad de Carla es 8 años. Como Isabel es doce años mayor, entonces actualmente tiene 20 años, esto es, dentro de cuatro años tendrá 24.

ecta: Alternativa corr

D

2.3. Ecuaciones de segundo grado 2.3.1. Análisis del discriminante Una ecuación de segundo grado (o cuadrática) con una incógnita contiene solo una variable desconocida, cuyo máximo exponente es 2. Para analizarla y resolverla, se deben seguir las mismas reglas de ordenamiento y reducción de las ecuaciones lineales, pero dejando todos los términos a un lado de la igualdad, de modo que la ecuación quede de la forma ax2 + bx + c = 0, con a, b y c coeficientes numéricos o literales conocidos (con a ≠ 0) y x la variable desconocida (incógnita). Toda ecuación de segundo grado tiene dos soluciones (o raíces), y la naturaleza de estas soluciones se puede determinar sin necesidad de resolverla, mediante un parámetro llamado discriminante, representado por el símbolo Δ. El discriminante de una ecuación ax2 + bx + c = 0 es igual a Δ = b2 – 4ac y su análisis es: ◆ Si el discriminante es positivo, entonces la ecuación tiene soluciones reales y distintas. ◆ Si el discriminante es cero, entonces la ecuación tiene soluciones reales e iguales. ◆ Si el discriminante es negativo, entonces la ecuación tiene soluciones complejas no reales y conjugadas.

Por ejemplo, el discriminante de la ecuación 3x2 – 2x + 1 = 0 (con a = 3, b = – 2 y c = 1) es Δ = (– 2)2 – 4 • 3 • 1 = 4 – 12 = – 8, lo que significa que la ecuación tiene soluciones complejas no reales y conjugadas.

2.3.2. Resolución de ecuaciones de segundo grado Las soluciones x1 y x2 de una ecuación ax2 + bx + c = 0, (con a ≠ 0) se determinan mediante la expresión – b ± �b2 – 4ac – b + �b2 – 4ac – b – �b2 – 4ac , lo que significa que x1 = y x2 = . Por ejemplo: 2a 2a 2a

CPECH

◆ Las soluciones de la ecuación 3x2 – 2x + 1 = 0 (con a = 3, b = – 2 y c = 1) son

50



x1 =

– b + �b2 – 4ac – (– 2) + �(– 2)2 – 4 • 3 • 1 2 + �4 – 12 2 + �– 8 2 + 2�2i 1 + �2i = = = = = 2a 2•3 6 6 6 3

Matemática

x2 =

– b – �b2 – 4ac – (– 2) – �(– 2)2 – 4 • 3 • 1 2 – �4 – 12 2 – �– 8 2 – 2�2i 1 – �2i = = = = = 2a 2•3 6 6 6 3

◆ Las soluciones de la ecuación 6x2 – x – 12 = 0 (con a = 6, b = – 1 y c = – 12) son



x1 =

– b + �b2 – 4ac – (– 1) + �(– 1)2 – 4 • 6 • (– 12) 1 + �1 + 288 1 + �289 1 + 17 18 3 = = = = = = 12 12 2 2a 2•6 12 12



x2 =

– b – �b2 – 4ac – (– 1) – �(– 1)2 – 4 • 6 • (– 12) 1 – �1 + 288 1 – �289 1 – 17 – 16 – 4 = = = = = = 12 12 3 2a 2•6 12 12

◆ Las soluciones de la ecuación – 9x2 + 12x – 4 = 0 (con a = – 9, b = 12 y c = – 4) son



x1 =

– b + �b2 – 4ac – 12 + �122 – 4 • (– 9) • (– 4) – 12 + �144 – 144 – 12 + �0 – 12 + 0 – 12 2 = = = = = = – 18 – 18 3 2a 2 • (– 9) – 18 – 18



x2 =

– b – �b2 – 4ac – 12 – �122 – 4 • (– 9) • (– 4) – 12 – �144 – 144 – 12 – �0 – 12 – 0 – 12 2 = = = = = = – 18 – 18 3 2a 2 • (– 9) – 18 – 18

En caso de que una ecuación de segundo grado pueda factorizarse como un trinomio de la forma: (x2 + mx + p) = (x – x1) • (x – x2), entonces las soluciones de la ecuación son x1 y x2. Por ejemplo, en la ecuación x2 – 2x – 15 = 0 , el trinomio puede factorizarse como (x – 5) • (x + 3) = 0. Luego, las soluciones de la ecuación son x1 = 5 y x2 = – 3.

Conceptos fundamentales Si las soluciones de una ecuación ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0, son x1 y x2, entonces se cumple que –b c y (x1 • x2) = . a a

CPECH

(x1 + x2) =

51

Capítulo

2

Álgebra

Pregunta tipo PSU Se sabe que el número complejo (3 – 2i) es una de las soluciones de la ecuación x2 + bx + c = 0, con b y c números reales. ¿Cuál de las siguientes parejas de números corresponden a b y c, respectivamente? A) B) C) D) E)

– 6 y – 13 – 4 y – 13 6 y – 13 4 y 13 – 6 y 13

Resolución Como se sabe que (3 – 2i) es una de las soluciones de una ecuación cuadrática, entonces la otra solución debe ser el conjugado de dicho número complejo, es decir, (3 + 2i). Sean x1 = 3 – 2i y x2 = 3 + 2i las soluciones de la ecuación x2 + bx + c = 0. Luego: –b –b ⇒ (3 – 2i) + (3 + 2i) = ⇒ 6=–b ⇒ b=–6 a 1 c c ⇒ (3 – 2i) • (3 + 2i) = ⇒ 9 + 4 = c ⇒ c = 13 x1 • x2 = a 1

x1 + x2 =

ecta: Alternativa corr

E

Por lo tanto, los valores de b y c, respectivamente, son – 6 y 13.

2.4. Desigualdades, inecuaciones y sistemas de inecuaciones de primer grado 2.4.1. Desigualdades Una desigualdad es una relación de orden entre dos números. Se llama desigualdad estricta si los números deben ser necesariamente distintos (como “menor que”, representado por el símbolo ) o desigualdad no estricta si los números pueden ser iguales (como “menor o igual que”, representado por el símbolo ≤, o “mayor o igual que”, representado por el símbolo ≥). Algunas propiedades de las desigualdades son: ■ Si en una desigualdad se suma o se resta un número real a ambos lados de la desigualdad, entonces la desigualdad mantiene su sentido. Por ejemplo, si a > b, entonces a – 3 > b – 3.

CPECH

■ Si en una desigualdad se multiplica o se divide por un número real positivo a ambos lados de la desigualdad, a b entonces la desigualdad mantiene su sentido. Por ejemplo, si a ≤ b, entonces ≤ . 4 4

52

■ Si en una desigualdad se multiplica o se divide por un número real negativo a ambos lados de la desigualdad, entonces la desigualdad invierte su sentido, manteniendo su nivel de restricción. Por ejemplo, si a ≥ b, entonces – 5a ≤ – 5b.

Matemática ■ Un intervalo real es una porción de la recta numérica definida por desigualdades. Se representan algebraicamente con paréntesis cuadrados, que se orientan hacia afuera si la desigualdad es estricta y hacia adentro si la desigualdad no es estricta, y se representan gráficamente con el sombreado del intervalo, con un círculo blanco si la desigualdad es estricta y un círculo negro si la desigualdad no es estricta. Los intervalos que no están restringidos por algún lado indican que sus valores se extienden hasta el infinito, representado por el símbolo ∞. Por ejemplo: ◆ El intervalo x < a se representa algebraicamente como ]– ∞, a[ y gráficamente como



–∞ a

◆ El intervalo x ≤ a se representa algebraicamente como ]– ∞, a] y gráficamente como



–∞ a

◆ El intervalo x > a se representa algebraicamente como ]a, + ∞[ y gráficamente como



+∞ a

◆ El intervalo x ≥ a se representa algebraicamente como [a, + ∞[ y gráficamente como



+∞ a

◆ El intervalo a < x < b se representa algebraicamente como ]a, b[ y gráficamente como

a

b

◆ El intervalo a ≤ x < b se representa algebraicamente como [a, b[ y gráficamente como

a

b

◆ El intervalo a < x ≤ b se representa algebraicamente como ]a, b] y gráficamente como



a

b

◆ El intervalo a ≤ x ≤ b se representa algebraicamente como [a, b] y gráficamente como

b

CPECH

a

53

Capítulo

2

Álgebra 2.4.2. Inecuaciones de primer grado Una inecuación es una desigualdad de expresiones algebraicas que involucra valores desconocidos (incógnitas) y valores conocidos (numéricos o literales), donde resolverla consiste en encontrar el o los intervalo(s) que logra(n) que la desigualdad sea verdadera. Una inecuación de primer grado (o inecuación lineal) con una incógnita contiene solo una variable desconocida, elevada a 1 (o sea, sin exponente visible). Para resolverla, se deben seguir las siguientes reglas: ■ Reducir hasta donde sea posible las expresiones algebraicas a cada lado de la desigualdad. ■ Sumar o restar los mismos términos a ambos lados de la desigualdad, de manera que en uno de los lados queden solo términos que posean la incógnita y al otro lado términos que no la posean. ■ Volver a reducir las expresiones algebraicas a cada lado de la desigualdad, de modo que la inecuación quede de la forma ax < b, ax > b, ax ≤ b o ax ≥ b, con a y b coeficientes numéricos o literales conocidos y x la variable desconocida (incógnita). Si a = 0 y la desigualdad que resulta es verdadera, entonces la inecuación tiene infinitas soluciones (es decir, la solución son los reales). Si a = 0 y la desigualdad que resulta es falsa, entonces la inecuación no tiene solución (es decir, la solución es conjunto vacío, representada por el símbolo ∅). Si a > 0, entonces se despeja x dividiendo por a, manteniendo el sentido de la desigualdad. Si a < 0, entonces se despeja x dividiendo por a, invirtiendo el sentido de la desigualdad. Por ejemplo:

■ 3x – 15 > 5x + 7 (Restando 5x y sumando 15 a cada lado de la igualdad) 3x – 5x > 7 + 15 (Reduciendo términos a cada lado de la igualdad) – 2x > 22 (Dividiendo por (– 2)) x < – 11 –∞ Es decir, el intervalo solución es ]– ∞, – 11[, o bien, – 11

■ 4x + 10 4x – x 3x x

≥ x – 2 ≥ – 2 – 10 ≥ – 12 ≥–4

(Restando x y restando 10 a cada lado de la igualdad) (Reduciendo términos a cada lado de la igualdad) (Dividiendo por 3) +∞

Es decir, el intervalo solución es [– 4, + ∞[, o bien,

CPECH

–4

54

Matemática

Pregunta tipo PSU ¿Cuál(es) de las siguientes inecuaciones tiene(n) como conjunto solución a los valores representados en el gráfico adjunto? –∞

I) 3x – 7 ≤ 3 + x II) III) A) B) C) D) E)

5

11 – 3x ≤ – 4 x 3≤4– 5 Solo I Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III

Resolución El gráfico adjunto indica todos los valores que son menores o igual que 5, es decir, x ≤ 5. Desarrollando cada una de las inecuaciones: I) 3x – 7 ≤ 3 + x 3x – 7 + 7 ≤ 3 + x + 7

(Sumando 7)

3x – x ≤ 10 + x – x

(Restando x)



2x 10 ≤ 2 2



x ≤ 5

(Dividiendo por 2)

Por lo tanto, sí tiene como conjunto solución a los valores representados en el gráfico.



11 – 3x ≤ – 4 11 – 3x – 11 ≤ – 4 – 11 – 3x ≤ – 15

3x ≥ 15

3x 15 ≥ 3 3



x ≥ 5

(Restando 11) (Calculando) (Multiplicando por – 1) (Dividiendo por 3)

CPECH

II)

55

2 Capítulo

Álgebra

Por lo tanto, no tiene como conjunto solución a los valores representados en el gráfico. x 5

III)

3 ≤ 4 –



3 • 5 ≤ 4 • 5 –



5•x 5

(Multiplicando por 5)

15 ≤ 20 – x (Calculando) 15 – 20 ≤ 20 – x – 20

(Restando 20)

– 5 ≤ – x

ecta: Alternativa corr

(Multiplicando por – 1)

5 ≥ x

C

Por lo tanto, sí tiene como conjunto solución a los valores representados en el gráfico.

2.4.3. Sistemas de inecuaciones de primer grado Un sistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita es un conjunto de inecuaciones lineales con la misma incógnita, cuyo intervalo solución corresponde a la intersección de los intervalos solución de las inecuaciones involucradas. Por ejemplo: ■ En el sistema de inecuaciones 2x + 3 < 11 los intervalos solución son 3x – 4 ≥ – 1 2x + 3 < 11 ⇒ 2x < 11 – 3 ⇒ 2x < 8 ⇒ x < 4 3x – 4 ≥ – 1 ⇒ 3x ≥ – 1 + 4 ⇒ 3x ≥ 3 ⇒ x ≥ 1



Luego, se representan gráficamente como

–∞

+∞ 1

4



Por lo tanto, los intervalos se intersectan en el intervalo 1 ≤ x < 4, por lo cual la solución del sistema de



inecuaciones es [1, 4[, o bien, 1

4

■ En el sistema de inecuaciones 5x – 1 > – 6 los intervalos solución son 3–x ≥ 5

5x – 1 > – 6 ⇒ 5x > – 6 + 1 ⇒ 5x > – 5 ⇒ x > – 1



3–x≥5 ⇒ –x≥5–3 ⇒ –x≥2 ⇒ x≤–2



Luego, se representan gráficamente como

CPECH



56

+∞

–∞ –2

–1

Por lo tanto, los intervalos no se intersectan, entonces la solución del sistema de inecuaciones es vacía (∅).

Matemática

Pregunta tipo PSU Dadas las inecuaciones 11 ≥ 5 – 3x y 5x – 2 < 6 + 3x, ¿cuál de los siguientes intervalos corresponde a todos los valores de x que satisfacen de manera simultánea a ambas inecuaciones? A) B) C) D) E)

[– 2, 4[ [2, 4[ [– 4, – 2[ ]– 4, 2]

∅

Resolución Desarrollando cada una de las inecuaciones: (1)

11 ≥ 5 – 3x



11 – 5 ≥ 5 – 3x – 5



(Restando 5)

6 ≥ – 3x (Calculando)



– 6 ≤ 3x

(Multiplicando por – 1)



–6 3x ≤ 3 3

(Dividiendo por 3)



– 2 ≤ x

(2) 5x – 2 < 6 + 3x 5x – 2 + 2 < 6 + 3x + 2

(Sumando 2)

5x – 3x < 8 + 3x – 3x



2x < 8

(Calculando)

2x 8 < 2 2

(Dividiendo por 2)

ecta: Alternativa corr

x < 4

Intersectando los conjuntos soluciones obtenidos en (1) y (2): x ∈ [– 2, + ∞[ ∩ ]– ∞, 4[

⇒

A

x ∈ [– 2, 4[

CPECH



(Restando 3x)

57

Capítulo

2

Álgebra 2.5. Conceptos generales, evaluación y gráfico de funciones 2.5.1. Teoría, dominio y recorrido de funciones Una función matemática es una relación entre un conjunto de partida y un conjunto de llegada, de manera que cada elemento del conjunto de partida está relacionado con un solo elemento del conjunto de llegada. Una función se representa en general con la letra que f, tal que f(x) = y, siendo x la variable independiente e x x y la variable dependiente. Por ejemplo, f(x) = o bien y = . x–3 x–3 Evaluar una función consiste en tomar un elemento a perteneciente al conjunto de partida y reemplazarlo en una función f, obteniendo un elemento b perteneciente al conjunto de llegada. Este proceso se representa x como f(a) = b, y se dice que a es la preimagen de b y b es la imagen de a. Por ejemplo, si f(x) = , entonces x–3 –2 –2 2 2 2 f(– 2) = = = ; significa que – 2 es la preimagen de y es la imagen de – 2. –2–3 –5 5 5 5 El conjunto de todas las preimágenes de una función f se denomina el dominio de la función (o Dom f) y por definición coincide con el conjunto de partida. Para determinar el dominio de una función y = f(x) en los reales se debe tomar el conjunto Iℝ como base, descartándose aquellos valores que no pueden ser evaluados en la x función, dadas las restricciones algebraicas que tenga. Por ejemplo, en la función f(x) = se puede evaluar x–3 cualquier valor real excepto el 3, ya que con ese valor el denominador se hace 0 y la fracción se indetermina. x Luego, el dominio de la función f(x) = en los reales es Dom f = Iℝ – {3}. x–3 El conjunto de todas las imágenes de una función f se denomina el recorrido de la función (o Rec f) y no necesariamente coincide con el conjunto de llegada (que en general corresponde al conjunto Iℝ). Para determinar el recorrido de una función y = f(x) en los reales primero se debe despejar x en términos de y. Luego, considerando la expresión que resulte, se debe tomar el conjunto Iℝ como base, descartándose aquellos valores que no puede tomar la variable dependiente, dadas las restricciones algebraicas que tenga. x Por ejemplo, despejando x en la función f(x) = resulta: x–3 y=

x 3y ⇒ y • (x – 3) = x ⇒ xy – 3y = x ⇒ xy – x = 3y ⇒ x • (y – 1) = 3y ⇒ x = x–3 y–1

En dicha expresión la variable dependiente puede tomar cualquier valor real excepto el 1, ya que con ese valor x el denominador se hace 0 y la fracción se indetermina. Luego, el recorrido de la función f(x) = en los x–3 reales es Rec f = Iℝ – {1}.

CPECH

Si una función tiene un dominio y un recorrido discreto y con pocos elementos, se puede representar mediante un diagrama sagital, con flechas representando las relaciones. Sin embargo, si la función está definida en los reales, lo más práctico es representarla mediante un gráfico, donde cada relación f(a) = b puede ser considerada como un par ordenado (a, f(a)) o (a, b), el cual puede ser ubicado en el plano cartesiano. Para cada una de las funciones que se analizarán posteriormente se revisará su gráfico particular.

58

Matemática

Pregunta tipo PSU Respecto a la función real f(x) =

3x – 9 , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? x+3

I) II) III)

El dominio de f es IR – {3}. Su representación gráfica intersecta al eje Y en el punto (0, – 3). La preimagen de 2 es 15.

A) B) C) D) E)

Solo II Solo III Solo I y II Solo II y III I, II y III

Resolución 3x – 9 no está definida para todos los reales, ya que al corresponder a una fracción, la x+3 variable no puede tomar ningún valor que permita que el denominador sea igual a cero. Por lo tanto: La función f(x) =

I)

Falso, ya que en la función sí existe una imagen para 3. El dominio de la función son todos los números reales, a excepción del – 3, ya que al ser x este valor, dicha fracción se indefine.

II)

Verdadero, ya que la gráfica asociada a una función cortará el eje Y en el valor que toma la función cuando se evalúa en cero. Es decir, cortará en el punto (0, f(0)). Evaluando en cero:



f(0) =

III)

Verdadero, ya que si se evalúa la función en 15 (que correspondería a la preimagen), se obtiene como resultado el 2 (que correspondería a la imagen): f(15) =

3 • 15 – 9 36 = =2 15 + 3 18

ecta: Alternativa corr

D

CPECH



3•0–9 –9 = = – 3. Luego, corta al eje Y en el punto (0, – 3). 0+3 3

59

Capítulo

2

Álgebra 2.6. Funciones de comportamiento lineal 2.6.1. Función afín Una función afín tiene la forma y = f(x) = mx + n, con x en los reales, m y n números reales distintos de cero. Su dominio es Iℝ, su recorrido es Iℝ y su gráfico corresponde a una línea recta que no es paralela con ninguno de los ejes y que no pasa por el origen. El parámetro m se conoce como pendiente de la función (o de la recta) y determina la tasa de crecimiento o de decrecimiento de la función, mientras que gráficamente indica la inclinación de la recta con respecto al eje X, de modo que a mayor valor absoluto de la pendiente mayor es la inclinación de la recta con respecto a dicho eje. El signo de la pendiente determina si la función es creciente (pendiente positiva) o decreciente (pendiente negativa). El parámetro n se conoce como coeficiente de posición de la recta asociada a una función afín y determina la intersección de la misma con el eje Y. Existen cuatro casos de gráfico posibles que pueden representar a una función afín, con x en los reales: Pendiente positiva (m > 0) Coeficiente de posición positivo (n > 0)

Pendiente negativa (m < 0) Coeficiente de posición positivo (n > 0) y

y

x

x

Pendiente positiva (m > 0) Coeficiente de posición negativo (n < 0)

y

y

CPECH

x

60

Pendiente negativa (m < 0) Coeficiente de posición negativo (n < 0)

x

Existe un caso especial de función de comportamiento lineal que no depende de x llamada función constante, que tiene la forma y = f(x) = n, con n un número real. Su dominio es Iℝ, su recorrido es {n} y su gráfico corresponde a una línea recta paralela al eje X, que intersecta al eje Y en n.

Matemática 2.6.2. Función lineal Una función lineal tiene la forma y = f(x) = mx, con x en los reales y m un número real distinto de cero. Su dominio es Iℝ, su recorrido es Iℝ y su gráfico corresponde a una línea recta que no es paralela con ninguno de los ejes y que pasa por el origen del plano cartesiano. Al igual que en la función afín, el parámetro m es la pendiente de la función (o de la recta) y su análisis es el mismo que se realizó anteriormente. Luego, existen dos casos de gráfico posibles para representar una función lineal, con x en los reales: Pendiente positiva (m > 0)

Pendiente negativa (m < 0)

y

y

x

x

2.6.3. Proporción directa Dos variables son directamente proporcionales si al aumentar (o disminuir) una de ellas en una cierta razón, la otra también aumenta (o disminuye) en la misma razón. Por ejemplo, la cantidad de artículos de un mismo tipo que se compran es directamente proporcional al precio total que se paga. Dos variables directamente proporcionales se pueden considerar como una función lineal de pendiente positiva, para x mayores que cero, en la cual la pendiente m es la constante de proporcionalidad. Por ejemplo, para el caso anterior, si cada artículo comprado cuesta $ 100, entonces el precio P(x) en pesos que se paga al comprar x artículos es P(x) = 100x.

CPECH

En general, cualquier situación de comportamiento lineal se puede modelar como función si se considera la parte constante como el coeficiente de posición y la parte variable como la pendiente. Por ejemplo, si en una fábrica se paga un costo fijo de $ 20.000 más un costo de $ 3.000 por cada artículo que se produce, entonces la función C(x) que representa el costo, en pesos, de producir x artículos es C(x) = 20.000 + 3.000x.

61

Capítulo

2

Álgebra

Pregunta tipo PSU La biblioteca de un liceo puede prestar libros como máximo por una semana a los estudiantes, y luego de finalizado ese plazo se debe cancelar $200 por cada día de retraso. Si S(x) es el valor en pesos que debe pagar un estudiante que tuvo un libro durante x días, con x > 7, ¿cuál de las siguientes expresiones es igual a S(x)? A) 1.400x – 200 B) 200x – 700 C) 200x D) 200x – 1.400 E) 1.400x + 200

Resolución Según el enunciado, se sabe que a partir del octavo día se comenzará a cancelar $200 por cada día de retraso, o sea que el día 8 pagará $200. Por otra parte, el noveno día cancelará $400, es decir, el día 9 pagará $400. Como el comportamiento es lineal, con los pares ordenados (8, 200) y (9, 400) podremos determinar la expresión equivalente a S(x). Si x1 = 8 e y1 = 200, entonces x2 = 9 e y2 = 400. Luego: y – y1 =

y 2 – y1 x2 – x1

• (x – x1)

⇒

400 – 200 • (x – 8) ⇒ (Reemplazando) y – 200 = 9–8

y – 200 = 200(x – 8)



y – 200 = 200x – 1.600



y = 200x – 1.400

⇒ (Desarrollando) ⇒

(Distribuyendo)

ecta: Alternativa corr



(Sumando 200)

D

CPECH

Por lo tanto, S(x) = 200x – 1.400

62

Matemática 2.7. Funciones de comportamiento exponencial 2.7.1. Función exponencial Una función exponencial tiene la forma y = f(x) = b • ax, con x en los reales, a un número real positivo distinto de 1 y b un número real distinto de 0. Su dominio es Iℝ y su recorrido es Iℝ+ si b > 0 o Iℝ– si b < 0. Su gráfico corresponde a una línea curva asintótica al eje X, que es creciente o decreciente dependiendo del valor de a. Luego, existen cuatro tipos de gráfico posibles para una función exponencial, con x en los reales:

a>1 b>0

y

a>1 b1 b>0

y

0 1 y b < 0

Una ecuación logarítmica corresponde a una igualdad de expresiones algebraicas que tiene la incógnita en el argumento del logaritmo. Si ambos lados de la igualdad tienen igual base, entonces se igualan argumentos y se despeja. Por ejemplo, log2(1 – 5x) = log2(x + 7) ⇒ 1 – 5x = x + 7 ⇒ – 5x – x = 7 – 1 ⇒ – 6x = 6 ⇒ x = – 1. Si ambos lados de la desigualdad no tienen igual base, se puede aplicar el concepto de potencia para 125 reinterpretar la ecuación. Por ejemplo, log5(4x) = 3 ⇒ 4x = 53 ⇒ 4x = 125 ⇒ x = . 4

Pregunta tipo PSU ¿Cuál de las siguientes funciones está mejor representada en el gráfico adjunto? A) f(x) =

log x log 3

y

log x log 1 3 log x C) h(x) = 3 B) g(x) =

E)

k(x) =

log x log 9

x

–2

CPECH

D) j(x) = 3 log x

9 1

65

Capítulo

2

Álgebra

Resolución El gráfico de la pregunta corresponde a una función logarítmica decreciente, por lo que la base del logaritmo debe ser un valor entre cero y uno. Por otra parte, los puntos (1, 0) y (9, – 2) pertenecen al gráfico asociado a la función, es decir, si la función es de la forma L(x) = log a x, con 0 < a < 1, entonces L(9) = loga 9 = – 2 ⇒ a– 2 = 9 ⇒ a =

1 . Luego, la función es de 3

la forma L(x) = log 1 x. Aplicando un cambio de base a la expresión

ecta: Alternativa corr

3 log x . logarítmica a una base diez, se obtiene L(x) = log 1 3

B

2.8. Funciones de comportamiento polinomial 2.8.1. Función potencia Una función potencia tiene la forma y = f(x) = a · xn, con x en los reales, n un número entero positivo mayor que 1 y a un número real distinto de 0. Su dominio es Iℝ y su recorrido depende de a y de n: +

◆ Si n es par y a es positivo, entonces el recorrido de la función es R 0 . – ◆ Si n es par y a es negativo, entonces el recorrido de la función es R 0 .

◆ Si n es impar, independiente del signo de a, el recorrido de la función es Iℝ.

Luego, existen cuatro tipos de gráfico posibles para una función potencia, con x en los reales:

n par a>0

y

n par a0

y

n impar a0

CPECH

x

68

x

Matemática Para encontrar las coordenadas (xv, yv) del vértice, es necesario encontrar primero su abscisa, que es xv =

–b y 2a

luego evaluarla en la función para encontrar la ordenada (yv), es decir, las coordenadas del vértice son –b –b – b 4ac – b2 ,f o , . Como el eje de simetría de la parábola es una recta vertical que pasa por el 2a 2a 2a 4a –b vértice, entonces su ecuación de la recta es x = . Por ejemplo, en la función 2a –(– 30) 30 f(x) = 5x2 – 30x + 43 la abscisa del vértice es xv = = = 3. Entonces, la ordenada del vértice es 2•5 10 yv = f(xv) = f(3) = 5 • (3)2 – 30 • (3) + 43 = 45 – 90 + 43 = – 2. Luego, el vértice de la parábola es el punto (3, – 2) y la

( ( ) (

)

ecuación de la recta del eje de simetría es x = 3. El valor mínimo que puede tomar una función cuadrática de concavidad positiva corresponde a la ordenada del vértice (yv), por lo cual su recorrido es [yv , + ∞[. El valor máximo que puede tomar una función cuadrática de concavidad negativa corresponde a la ordenada del vértice (yv), por lo cual su recorrido es ]– ∞, yv]. Por ejemplo, en el caso de la función f(x) = 5x2 – 30x + 43, su valor mínimo es – 2 y su recorrido es [– 2, + ∞[.

Pregunta tipo PSU Respecto al gráfico asociado a la función real f(x) = – x2 + 10x – 24, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? A) B) C) D) E)

Intersecta al eje Y en el punto (0, – 24). La parábola es cóncava hacia abajo. El máximo valor que toma la función es 5. Uno de los puntos de intersección con el eje X es (4, 0). Pasa por el punto (3, – 3).

Resolución La función real f(x) = – x2 + 10x – 24 corresponde a una función cuadrática de la forma f(x) = ax2 + bx + c, cuya representación gráfica corresponde a una parábola. Diremos entonces que a = – 1, b = 10 y c = – 24. Luego: A)

Verdadera, ya que el valor de c indica la altura en la que la parábola intersecta al eje Y, y esto lo hace cuando x es igual a cero. Por lo tanto, intersecta al eje Y en (0, – 24).

B)

Verdadera, ya que el valor de a indica la dirección de la concavidad, dependiendo si es positiva o negativa. En este caso, a es un valor negativo, lo que implica que es cóncava hacia abajo.

C) Falsa, ya que el máximo valor queda determinado por la segunda coordenada del vértice. Se –b –b sabe que la fórmula que permite determinar las coordenadas del vértice es V = ,f . 2a 2a Reemplazando: –b –b – 10 – 10 ,f ,f V = = = (5, f(5)) = (5, – 52 + 10 • 5 – 24) = (5,1). 2a 2a 2 • (– 1) 2 • (– 1)

( ( ) (



(

)

Luego, el mayor valor que toma la función es 1.

CPECH

( ( )

69

Capítulo

2

Álgebra

D)

Verdadera, ya que al resolver la ecuación cuando f(x) es igual a cero, se obtiene:



0 = – x2 + 10x – 24 ⇒ x2 – 10 + 24 = 0 ⇒ (x – 4)(x – 6) = 0 x–4=0 ⇒ x=4 x–6=0 ⇒ x=6



Luego, la curva intersecta al eje X en los puntos (4, 0) y (6, 0).

E)

Verdadera, ya que al evaluar en x = 3 se obtiene:

ecta: Alternativa corr

C

f(3) = – 32 + 10 • 3 – 24 = – 9 + 30 – 24 = – 3 Es decir, la curva contiene al punto (3, – 3).

2.8.3. Función raíz cuadrada Una función raíz cuadrada tiene la forma y = f(x) = a • �x , con x en los reales no negativos y a un número real distinto de 0. Su dominio es R +0 y su recorrido es R +0 si a > 0 o R –0 si a < 0. Su gráfico corresponde a una rama de parábola, pero con eje de simetría horizontal, que es creciente o decreciente dependiendo del valor de a. Luego, existen dos casos de gráfico posibles para una función raíz cuadrada, con x en los reales no negativos:

a>0

y

a – 20, es necesario evaluar en 0. Como h(0) = 3 • log 5(0 + 20) = 3 • log 100 = 3 • 2 = 6. Por lo tanto, la intersección del gráfico de la función h con el eje Y es (0, 6).

2.9.2. Intersección entre funciones e intervalos de desigualdad La(s) intersección(es) entre el gráfico de una función f y el gráfico de una función g corresponde a las soluciones reales de la ecuación f(x) = g(x). En caso de que dicha ecuación no tenga soluciones reales, entonces los gráficos de las funciones no se intersectan. Por ejemplo, para encontrar la(s) intersección(es) entre el gráfico de la función h(x) = – 6x2 y el gráfico de la función p(x) = 2x3, con x en los reales, es necesario resolver la ecuación – 6x2 = 2x3. Entonces: – 6x2 = 0 = 0 = ⇒ 2x2 =

2x3 2x3 + 6x2 2x2 (x + 3) 0 x + 3 = 0 o x = 0 x=–3

(Igualando a cero) (Factorizando por 2x2) (Despejando)

Luego, las soluciones reales de la ecuación son x1 = x2 = 0 y x3 = – 3. Por lo tanto, los puntos de intersección entre los gráficos de las funciones h y p son (0, 0) y (– 3, – 54). En caso de que se quiera analizar la desigualdad de dos funciones, se deben buscar los valores de x donde se intersectan para dividir los gráficos en intervalos de desigualdad. Luego, se escoge un valor de x cualquiera dentro de cada intervalo y se evalúan ambas funciones, de modo que la que resulte mayor será mayor dentro de todo el intervalo. Por ejemplo, para las funciones h(x) = – 6x2 y p(x) = 2x3, los valores de x donde se intersectan son x1 = x2 = 0 y x3 = – 3. Entonces, los gráficos son desiguales en los intervalos ]– ∞, – 3[, ]– 3, 0[ y ]0, + ∞[. Luego: ■ En el intervalo ]– ∞, – 3[ un valor de x podría ser – 4. Evaluando las funciones, resulta h(– 4) = – 6 • (– 4)2 = – 6 • 16 = – 96 y p(– 4) = 2 • (– 4)3 = 2 • (– 64) = – 128. Como h(– 4) > p(– 4), entonces h(x) > p(x) en todo el intervalo ]– ∞, – 3[ .

CPECH

■ En el intervalo ]– 3, 0[ un valor de x podría ser – 2. Evaluando las funciones, resulta h(– 2) = – 6 • (– 2)2 = – 6 • 4 = – 24 y p(– 2) = 2 • (– 2)3 = 2 • (– 8) = – 16. Como h(– 2) < p(– 2), entonces h(x) < p(x) en todo el intervalo ]– 3, 0[.

72

■ En el intervalo ]0, + ∞[ un valor de x podría ser 1. Evaluando las funciones, resulta h(1) = – 6 • (1)2 = – 6 • 1 = – 6 y p(1) = 2 • (1)3 = 2 • 1 = 2. Como h(1) < p(1), entonces h(x) < p(x) en todo el intervalo ]0, + ∞[.

Matemática El gráfico a continuación representa el resultado del análisis anterior: y

p(x) = 2x3

–3

x

h(x) = – 6x2

2.9.3. Transformaciones en el gráfico de una función Los resultados de los gráficos expuestos para las funciones estudiadas son extensivos para cualquier otra función de condiciones similares, siguiendo las siguientes condiciones: ■ Si en la expresión algebraica de una función se le suma o se le resta un valor constante a la variable independiente (x), entonces el gráfico de la función experimenta una traslación horizontal de la misma magnitud que la constante, pero de sentido contrario. Por ejemplo: f(x) = x3

g(x) = f(x + 2) = (x + 2)3

y

y

x

⇒

–2

x

(Se traslada dos unidades a la izquierda) f(x) = �x

g(x) = f(x – 1) = �x – 1 y

x

⇒ 1

x

(Se traslada una unidad a la derecha)

CPECH

y

73

Capítulo

2

Álgebra ■ Si en la expresión algebraica de una función se le suma o se le resta un valor constante a la variable dependiente (y = f(x)), entonces el gráfico de la función experimenta una traslación vertical de la misma magnitud que la constante y del mismo sentido. Por ejemplo: f(x) = 5x4

g(x) = f(x) + 1 = 5x4 + 1

y

y

x

⇒

1

x

(Se traslada una unidad hacia arriba) f(x) = 2 x y

1

g(x) = f(x) – 3 = 2 x – 3 y

x

⇒

x –2

(Se traslada tres unidades hacia abajo)

■ Si en la expresión algebraica de una función se le cambia el signo a la variable independiente (x), entonces el gráfico de la función experimenta una simetría axial con respecto al eje Y. Por ejemplo:

f(x) = 3 • log x

g(x) = f(– x) = 3 • log (– x)

y

y

CPECH

1

74

x

–1

x

Matemática

Pregunta tipo PSU ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor a la función real f(x) = �x + 5 – 2? y

A)

B)

y

C) y

–5

–5

x

x –2

–2

D)

E)

y

5

x

–2

y

5 –2

x

2 –5

x

Resolución Sea f una función que se obtiene a partir del desplazamiento de la gráfica asociada a una función g. Es decir, f(x) = g(x – h) + k, donde h indica las unidades que se desplaza horizontalmente (si h > 0, su desplazamiento es a la derecha, y si h < 0, su desplazamiento es la izquierda), y k indica las unidades que se desplaza verticalmente (si k > 0, su desplazamiento es hacia arriba, y si k < 0, su desplazamiento es hacia abajo).

ecta: Alternativa corr

A

Si g(x) = �x , entonces f(x) = �x + 5 – 2 ⇒ f(x) = g(x – (– 5)) + (– 2). Es decir, el gráfico asociado a f corresponderá al gráfico asociado a g, pero desplazado cinco unidades a la izquierda (h = – 5) y dos unidades hacia abajo (k = – 2).

2.10. Composición y función inversa

La composición de funciones consiste en aplicar dos o más funciones, una a continuación de la otra. Es decir, si f y g son dos funciones, entonces f(g(x)) (también representado como f o g) significa evaluar x en g y el resultado evaluarlo en f. Para que una composición esté bien definida, el recorrido de la primera función aplicada debe estar contenido en el dominio de la segunda función aplicada, en este caso Rec g ⊂ Dom f. Por ejemplo, si f(x) = 4x2 + 3 y g(x) = 2 – x son funciones en los reales, entonces g(f(x)) = g(4x2 + 3) = 2 – (4x2 + 3) = 2 – 4x2 – 3 = – 4x2 – 1. También se puede evaluar una composición en forma puntual. Por ejemplo, para calcular f(g(– 5)) con las funciones anteriores, primero se determina g(– 5) = 2 – (– 5) = 2 + 5 = 7 y luego f(7) = 4 • 72 + 3 = 4 • 49 + 3 = 196 + 3 = 199, es decir, f(g(– 5)) = f(7) = 199. En general, la composición de funciones no es conmutativa, es decir, f(g(x)) ≠ g(f(x)). Sin embargo, si f es la inversa de g en algún intervalo, entonces f(g(x)) = g(f(x)) = x en dicho intervalo.

CPECH

2.10.1. Composición de funciones

75

Capítulo

2

Álgebra

Pregunta tipo PSU 2–x x+2 y g(x) = . Si f o g está definido de manera que x+3 x–3 es función, ¿cuál de las siguientes expresiones corresponde a (f o g)(x)?

Sean f y g dos funciones reales tales que f(x) =

A)

4–x x

B)

x–8 4x – 7

C)

10x x2 – 9

D)

x–4 4x – 7

E)

x–4 4x + 11

Resolución Si f o g está bien definida, entonces (f o g)(x) es igual a f(g(x)), es decir, la función f evaluada en g(x). f(g(x)) = f

(

x+2 x–3

)

x+2 x–3 x+2 +3 x–3

(Evaluando)

2(x – 3) – (x + 2) x–3 x + 2 + 3(x – 3) x–3

(Igualando denominador)

2–

=







CPECH

2x – 6 – x – 2 x–3 x + 2 + 3x – 9 x–3



=



x–8 x–3 = 4x – 7 x–3



76

=



x–8 = 4x – 7

(Calculando)

(Reduciendo términos semejantes)

ecta: Alternativa corr

B (Simplificando por (x – 3))

Matemática 2.10.2. Biyectividad y función inversa Una función se denomina inyectiva si cada elemento del recorrido tiene una sola preimagen, es decir, una función f en los reales es inyectiva si para a ≠ b, entonces f(a) ≠ f(b). Por ejemplo, la función en los reales p(x) = x 3 – x no es inyectiva ya que f(– 1) = f(0) = f(1) = 0, es decir, hay un elemento del recorrido (0) que tiene tres preimágenes (– 1, 0 y 1). La función en los reales g(x) = x 3 es inyectiva, ya que todo número real es el cubo de un solo número real. Una función se denomina sobreyectiva o epiyectiva si su recorrido es igual a su conjunto de llegada, es decir, una función f en los reales es sobreyectiva si los valores de sus imágenes pueden ser cualquier número real. Por ejemplo, la función en los reales h(x) = x4 + 1 no es sobreyectiva, ya que sus imágenes solo toman valores mayores o iguales que 1. La función en los reales g(x) = x3 es sobreyectiva, ya que cualquier número real puede ser cubo de otro número real. Una función se denomina biyectiva si cumple con ser inyectiva y sobreyectiva. Por ejemplo, la función en los reales g(x) = x3 es biyectiva, ya que es inyectiva y sobreyectiva. La función inversa de una función f (denotada generalmente por f – 1) realiza el proceso contrario de f, es decir, consiste en tomar un elemento b perteneciente al conjunto de llegada de f y reemplazarlo en la función f – 1, obteniendo un elemento a perteneciente al conjunto de partida de f. Para encontrar la inversa de una función y = f(x) solo basta despejar x en términos de y, tal que f – 1(y) = x.

Sabías que... Una función es invertible solamente en el (los) intervalo(s) donde sea biyectiva. En tal caso el recorrido de la función se convierte en el dominio de su inversa y el dominio de la función se convierte en el recorrido de su inversa.

CPECH

Por ejemplo, al buscar la inversa de la función biyectiva en los reales g(x) = x3 resulta 3 3 3 g(x) = x3 ⇒ y = x3 ⇒ �y = x ⇒ �x = y ⇒ �x = g – 1(x). Es decir, la función inversa en los reales de g(x) = x3 es 3 g – 1(x) = �x .

77

Capítulo

2

Álgebra

Pregunta tipo PSU Sea f: [2, + ∞[ → B una función real tal que f(x) = – x2 + 4x + 12. Se puede afirmar que existe la función inversa de f, si: (1) f es epiyectiva. (2) B = ]– ∞, 16] A) B) C) D) E)

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.

Resolución y

Para que f sea invertible, debe cumplirse que sea biyectiva en todo su dominio. Es decir, f debe ser inyectiva y epiyectiva. En este caso, f corresponde a una función cuadrática cuya representación gráfica es una parábola cóncava hacia abajo, por lo que no es biyectiva en todos los reales, pero sí se puede concluir esta característica a partir de determinados intervalos. Como el conjunto de partida de esta función es el intervalo [2, + ∞[, entonces es posible concluir que la función es inyectiva, ya que el valor 2 coincide con ser la abscisa del vértice de la parábola, por lo que a partir de ese valor, ninguna imagen tendrá más de una preimagen. Por lo tanto, solo faltaría afirmar que f es epiyectiva para así concluir que sí es invertible.

16

–2

2

6

(1) f es epiyectiva. Con esta información sí es posible afirmar que f es invertible, ya que previamente se concluyó que es inyectiva. Por lo tanto, si f es inyectiva y epiyectiva, entonces tiene función inversa. (2) B = ]– ∞, 16]. Con esta información sí es posible afirmar que f es invertible, ya que si el conjunto de llegada es el intervalo ]– ∞, 16], entonces todos los elementos del conjunto de llegada tendrán preimagen, es decir, f es epiyectiva. Como previamente se demostró que f es inyectiva, entonces f es invertible.

CPECH



78

Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola.

ecta: Alternativa corr

D

x

Capítulo 3 Geometría

Aprendizajes Esperados transformaciones isométricas en el plano cartesiano. Utilizar la composición  deIdentificar funciones para resolver problemas relacionados con las transformaciones isométricas. Comprender conceptos, propiedades y criterios asociados al estudio de la semejanza y  congruencia de figuras planas y sus aplicaciones a los modelos a escala. ángulos inscritos y del centro en una circunferencia, y relacionar las medidas  deIdentificar dichos ángulos. Aplicar teoremas de proporcionalidad en la circunferencia. Comprender que puntos, rectas y planos pueden ser representados en el sistema  coordenado bidimensional y/o tridimensional y determinar la representación cartesiana y vectorial de la ecuación de la recta. Determinar áreas y volúmenes de cuerpos geométricos generados por rotación o  traslación de figuras planas en el espacio.

Capítulo

3

Geometría

3. GEOMETRÍA 3.1. Conceptos básicos en geometría 3.1.1. Generalidades de ángulos y polígonos Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos rayos con un origen común, llamado vértice. En la

→

→

figura adjunta, el ángulo ∠ BOA está formado por el rayo OA y el rayo OB con vértice común O. A

a

O

B

Sabías que... Clasificación de los ángulos Ángulo agudo

Ángulo recto

Ángulo obtuso

Si 0° < a < 90°

Si a = 90°

Si 90° < a < 180°

O

a

B

B

B

A O

90º

A

O

a

A

Ángulo extendido

Ángulo cóncavo

Ángulo completo

Si a = 180°

Si 180º < a < 360°

Si a = 360°

a

O

A 360º

CPECH

B

80

a O

AB

A

B

Matemática Dos ángulos son complementarios cuando suman 90°. Si α + β = 90°, entonces se dice que α es complemento de β y β es complemento de α. Dos ángulos son suplementarios si suman 180°. Si α + β = 180°, entonces se dice que que α es suplemento de β y β es suplemento de α. Dos ángulos son adyacentes si comparten un lado, un vértice y la suma de ellos es igual a 180°. Esto ocurrirá siempre que compartan un lado y los otros dos se encuentren sobre una misma recta, como se muestra en la figura adjunta. B

b a

C

A

O

Cuando dos rectas se intersectan, los ángulos opuestos por el vértice son congruentes entre sí. En la figura adjunta, las rectas L1 y L2 se intersectan en un punto y se cumple que α = γ y β = δ. L1

γ

b δ

a

L2

Conceptos fundamentales Si L1 y L2 son rectas paralelas entre sí y L3 es una recta transversal, se cumple que:

L3

b a γ δ

L1

L2

τ ε θ σ

CPECH

α=γ=ε=θ β=δ=τ=σ

81

Capítulo

3

Geometría Un polígono es una figura plana, cerrada y formada por lados rectos. Los lados son los segmentos rectos que conforman el contorno del polígono. Los vértices son los puntos donde se intersectan dos lados. Los ángulos interiores son aquellos que se forman entre dos lados consecutivos, considerando la región al interior del polígono. Los ángulos exteriores son los ángulos adyacentes a los ángulos interiores. Un polígono convexo es aquel en el que todos sus ángulos interiores miden menos de 180º y un polígono cóncavo es aquel donde alguno de sus ángulos interiores mide más de 180°.

Ejemplo: δʼ D δ

Lados: AB, BC, CD, DE, EA.

γʼ γ C

E

εʼ

Vértices: A, B, C, D y E. Ángulos interiores: a, b, g, d y e.

a

A aʼ

b bʼ

Ángulos exteriores: aʼ, bʼ, gʼ, dʼ y eʼ.

B

Es posible clasificar un polígono según su número de lados. Un polígono de tres lados se denomina triángulo, uno de cuatro lados se denomina cuadrilátero, uno de cinco lados se denomina pentágono, etc. Un polígono regular es aquel donde todos sus lados son congruentes entre sí y los ángulos interiores también son congruentes entre sí. Tanto el triángulo equilátero como el cuadrado son polígonos regulares. Dado un polígono convexo de n lados, se cumple que: ◆ La suma de sus ángulos interiores es igual a 180° • (n – 2) ◆ La suma de sus ángulos exteriores es igual a 360°. ◆ El número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice es igual a (n – 3). ◆ El número total de diagonales que se pueden trazar es igual a

n • (n – 3) . 2

Ejemplo: En un pentágono (n = 5), se tiene que: ◆ Suma de sus ángulos interiores = 180° • (n – 2) = 180° • (5 – 2) = 180° • 3 = 540° ◆ Suma de sus ángulos exteriores = 360° ◆ Número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice = n – 3 = 5 – 3 = 2

CPECH

◆ Número total de diagonales =

82

n • (n – 3) 5 • (5 – 3) 5 • 2 = = =5 2 2 2

Matemática

Ojo con El perímetro de un polígono corresponde a la suma de las longitudes de los lados. El área de un polígono corresponde a la medida de la superficie comprendida por el polígono. Para determinar el área de un polígono, por lo general, lo descomponemos en figuras conocidas, principalmente triángulos.

En un polígono regular de n lados, se cumple que la medida de cada ángulo interior es igual a la suma de los ángulos interiores dividido por n.

Ejemplo: Para determinar la medida de los ángulos interiores de un pentágono regular, se tendrá que la suma de los ángulos interiores es igual a: 180° • (n – 2) = 180° • (5 – 2) = 180° • 3 = 540°. Por lo tanto, la medida de cada ángulo interior será igual a 540° : 5 = 108°.

3.1.2. Generalidades de los triángulos Un triángulo es un polígono de tres lados. Considerando el triángulo ABC de la figura, sus elementos primarios son:

γʼ

C

Vértices: A, B y C.

γ

Lados: a, b y c. b

aʼ a A

a

Ángulos interiores: α, β y γ.

b bʼ c

Ángulos exteriores: αʼ, βʼ y γʼ.

B

Ojo con

◆ La suma de los ángulos interiores es igual a 180°. ◆ La suma de los ángulos exteriores es igual a 360°. ◆ Todo lado de un triángulo es mayor que la diferencia positiva de los otros dos y es menor que la suma

de los otros dos lados. ◆ Si el lado a es mayor que el lado b, el ángulo opuesto al lado a es mayor que el ángulo opuesto al lado b.

CPECH

Propiedades de los elementos primarios:

83

Capítulo

3

Geometría Los elementos secundarios de un triángulo son: n Altura: es el segmento trazado desde un vértice, llegando en forma perpendicular al lado opuesto o a su prolongación. Las tres alturas de un triángulo se intersectan en un único punto, que se denomina ortocentro. n Bisectriz: es la recta que divide a un ángulo en dos ángulos congruentes. Las tres bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo se intersectan en un único punto que se denomina incentro, el cual es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. n Simetral: es la recta perpendicular a un segmento, trazada en el punto medio de este. Las tres simetrales de los lados de un triángulo se intersectan en un único punto que se denomina circuncentro, el cual es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. n Transversal de gravedad: es el segmento recto que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto. La tres transversales de gravedad de un triángulo se intersectan en un único punto, que se denomina centro de gravedad. El centro de gravedad divide una transversal de gravedad en dos segmentos en la razón 2 : 1, donde el segmento que llega al vértice mide el doble que el segmento que llega al lado. n Mediana: es el segmento recto que une los puntos medios de dos lados del triángulo. Cada mediana es paralela al lado opuesto y mide la mitad de él. Al dibujar las tres medianas de un triángulo, se forman cuatro triángulos congruentes entre sí.

Conceptos fundamentales El perímetro de un triángulo es la suma de las longitudes de sus lados. El área de un triángulo corresponde a la medida de la superficie que delimita.

CPECH

Área =

84

base • altura 2

Matemática

Conceptos fundamentales Teorema de la bisectriz: el teorema de la bisectriz establece una proporción válida en todo triángulo donde esté dibujada una bisectriz. Sea el triángulo ABC con bisectriz interior CD . Se cumple que: C

γ γ AC CB = AD DB

a

b

b a = u v A

D

u

B

v

Ejemplo: en la figura adjunta, el valor de x es: C

En el triángulo ABC de la figura, como CD es bisectriz interior, se puede aplicar el teorema de la bisectriz. Luego,

30º 30º

AC CB = AD DB

10

12

12 10 = x 5 A

x

D

5

B

Por lo tanto, x = 6.

Según sus ángulos, los triángulos se pueden clasificar como: acutángulo si tiene los tres ángulos agudos, obtusángulo si tiene un ángulo obtuso y rectángulo si tiene un ángulo recto.

CPECH

Según sus lados, los triángulos se pueden clasificar como: equilátero si tiene los tres lados congruentes, isósceles si tienen dos lados congruentes y escaleno si no tienen lados congruentes entre sí.

85

Geometría

Capítulo

3

Conceptos fundamentales En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura, los catetos son los lados que forman el ángulo recto y la hipotenusa es el lado mayor, opuesto al ángulo recto. En todo triángulo rectángulo se cumple el teorema de Pitágoras.

B

a

A

c

b

C

Teorema de Pitágoras: (cateto1)2 + (cateto2)2 = hipotenusa2 a2 + b2 = c 2

Sabías que... Los tríos pitagóricos son las ternas de números enteros positivos que satisfacen el teorema de Pitágoras. Los más conocidos son (3, 4 y 5), (5, 12 y 13), (8, 15 y 17). Al multiplicar todos los números de un trío pitagórico por un mismo número entero positivo, obtenemos otro trío pitagórico. Por ejemplo, al multiplicar por 2 el trío (3, 4, 5) obtenemos (6, 8, 10), también trío pitagórico.

En un triángulo ABC equilátero de lado a, se cumple que su altura, bisectriz, simetral y transversal de gravedad son coincidentes. Además, su altura y área se pueden obtener con las siguientes fórmulas:

Altura =

Área =

En un triángulo ABC isósceles, se cumple que la altura que llega a la base es también bisectriz, simetral y transversal de gravedad.

a • �3 2 a2 • �3 4

Pregunta tipo PSU

CPECH

Una escalera portátil, como la de la figura adjunta, se abre y se coloca sobre una superficie totalmente horizontal. Por razones de seguridad, el ángulo entre un lado de la escalera y la superficie, designado por α, debe estar entre 45° y 60°. Considerando que ambos lados de la escalera miden 4 metros, ¿cuál es el rango en el que varía la altura h que puede alcanzar la escalera?

86

A) B) C) D) E)

Desde 2 metros hasta 2�3 metros. Desde 2�3 metros hasta 4 metros. Desde 2 metros hasta 2�2 metros. Desde 2�2 metros hasta 2�3 metros. Desde 2�2 metros hasta 4 metros.

h

a

Matemática Resolución Reflexionar sobre esta situación cotidiana, se puede concluir que mientras más se abra la escalera, menor será la altura que esta alcanza y menor será el ángulo α, en cambio, a mayor α, mayor altura h alcanza la escalera. Como la proporción es directa, es posible afirmar que a 45° se alcanza el menor valor de h y a 60° se alcanza el mayor valor de h. Esquematizando esta situación, se tiene

4m

45° 45° h

45°

4m

45°

4m

30° 30° h

60°

4m

60°

En el esquema de la izquierda, los lados de la escalera y la horizontal forman un triángulo isósceles rectángulo, donde a su vez, se divide en otros dos triángulos isósceles rectángulos de catetos de medida h metros e hipotenusa de medida 4 metros. Mediante el teorema de Pitágoras, es posible determinar el valor de h: h2 + h2 = 42 ⇒ 2h2 = 16 ⇒ h2 = 8 ⇒ h = �8 = 2�2 Con ello, la altura mínima de la escalera es 2�2 metros. En el esquema de la derecha, los lados de la escalera y la horizontal forman un triángulo equilátero, donde, a su vez, se divide en otros dos triángulos escalenos rectángulos, donde uno de los catetos mide h metros y la hipotenusa mide 4 metros. Mediante la relación 30° - 60° - 90° es posible determinar el valor de h. Recordar que para un triángulo cuyos ángulos miden 30°, 60° y 90°, siempre se cumple que - - -

La hipotenusa correspondiente al lado que comprende los ángulos 60° y 30° mide a unidades. a El cateto correspondiente al lado que comprende los ángulos 60° y 90° mide unidades. 2 El cateto correspondiente al lado que comprende los ángulos 30° y 90° mide

a�3 unidades. 2

En este caso, la hipotenusa mide 4 metros, entonces la altura h, comprendida entre los ángulos 30° y 90° mide

4�3 = 2�3 metros. 2

Con ello, la altura máxima de la escalera es 2�3 metros.

D

CPECH

ecta: Alternativa corr

87

Capítulo

3

Geometría 3.1.3. Generalidades de cuadriláteros Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. Considerando el cuadrilátero ABCD de la figura: D

δʼ δ

C

γ γʼ

Vértices: A, B, C y D. Lados: AB, BC, CD y DA. Ángulos interiores: α, β, γ y δ. Ángulos exteriores: αʼ, βʼ, γʼ y δʼ.

b bʼ

aʼ a A

Diagonales: AC y DB.

B

Los cuadriláteros se pueden clasificar en paralelógramos, trapecios y trapezoides. Los paralelógramos son aquellos cuadriláteros que tienen los dos pares de lados opuestos paralelos entre sí. El cuadrado, el rectángulo, el rombo y el romboide son tipos de paralelógramos. Dado el paralelógramo ABCD de la figura adjunta, se cumple que:

Lados: Lados opuestos paralelos. AB // DC y AD // BC . Lados opuestos congruentes. AB ≅ DC y AD ≅ BC . Ángulos:

D

C

δʼ δ

γ γʼ

Ángulos opuestos congruentes. α ≅ g y b ≅ δ Ángulos consecutivos suplementarios.

α + β = γ + δ = β + γ = α + δ = 180° h

La suma de ángulos interiores es 360°.

α + β + γ + δ = 360° La suma de ángulos exteriores es 360°.

aʼ a

b bʼ

A

B

αʼ + βʼ + γʼ + δʼ = 360° Diagonales: Las diagonales se dimidian. Es decir el punto donde se intersectan es punto medio tanto de AC como de DB .

CPECH

Perímetro = AB + BC + DC + AD

88

Área = base • altura = AB • h

Matemática El cuadrado es un paralelógramo de lados congruentes y ángulos interiores rectos. En el cuadrado ABCD de lado a de la figura, se cumple que: D

a

C

Diagonal (d) = a�2 d

a

a

Perímetro = 4a Área = a2 =

a

A

d2 2

B

Conceptos fundamentales Las diagonales de un cuadrado son perpendiculares entre sí, son congruentes, son bisectrices del ángulo interior correspondiente y se dimidian.

El rectángulo es un paralelógramo con lados opuestos congruentes y ángulos interiores rectos. En el rectángulo ABCD de la figura, se cumple que: D

C Diagonal (d) = �a2 + b2 d

ancho a

Perímetro = 2 • (a + b) Área = a • b

largo b

B

Ojo con Las diagonales de un rectángulo son congruentes y se dimidian.

CPECH

A

89

Capítulo

3

Geometría El rombo es un paralelógramo de lados congruentes y ángulos interiores no rectos. En el rombo ABCD de lado a y altura h de la figura, se cumple que: D

C

a

a

b

Perímetro = 4a d2 a

a

Área = a • h =

h

d1

a A

d1 • d2 2

Donde d1 y d2 son las diagonales del rombo.

b

a

B

Ojo con Las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí, son bisectrices del ángulo interior correspondiente y se dimidian.

El romboide es el caso general de un paralelógramo. Sus lados opuestos son congruentes, pero no sus lados consecutivos. Sus ángulos opuestos son congruentes, pero no sus ángulos consecutivos. Solo satisface las propiedades generales de los paralelógramos. Los trapecios son aquellos cuadriláteros con un solo par de lados opuestos paralelos. Considerando el trapecio ABCD de altura h de la figura adjunta, con lados AB y DC paralelos, se cumple que:

D

δ

• Lados AB y DC son paralelos no congruentes. Se denominan bases del trapecio.

C

γ

• Ángulos consecutivos suplementarios.

de

lados

no

paralelos

son

α + δ = β + γ = 180° M

h

N

• Si M y N son los puntos medios de los lados no paralelos, entonces MN es la mediana del trapecio, tal que MN // AB // DC.

a CPECH

A

90

MN =

b B

• Área =

AB + DC 2

(

AB + DC 2

)

• h = MN • h

Matemática Trapecio escaleno: Es aquel trapecio en el que todos los lados tienen distinta medida. Trapecio rectángulo: Es aquel trapecio en el que uno de los lados no paralelos es perpendicular a las bases. Trapecio isósceles: Es aquel trapecio en que los lados no paralelos son congruentes entre sí. Dado el trapecio isósceles ABCD de la figura, se cumple que: C

D

• AD ≅ BC

γ

δ

• Tiene un eje de simetría que pasa por los puntos medios de las bases. M

A

a

h

N

h

E

• Ángulos basales (ángulos consecutivos de las bases) son congruentes entre sí, α ≅ β y δ ≅ γ.

b

F

• Sean DE y CF alturas del trapecio, los triángulos AED y BFC son congruentes entre sí. B

Los trapezoides son aquellos cuadriláteros cuyos pares de lados opuestos no son paralelos entre sí. Trapezoide simétrico o deltoide: Es aquel trapezoide simétrico con respecto a una de sus diagonales. Sea el deltoide ABCD de la figura, se cumple que:

D

La diagonal DB es eje de simetría. Luego,

δδ

• AB ≅ BC ; AD ≅ DC • ∠ ADB ≅ ∠ BDC ; ∠ DBA ≅ ∠ CBD

P

C

• Δ ABD ≅ Δ CBD • DB ⊥ AC La diagonal DB es bisectriz de los ángulos interiores correspondientes.

bb B

• Área =

DB • AC 2

CPECH

A

91

Capítulo

3

Geometría

Pregunta tipo PSU En la figura, ADEH es un rectángulo y los segmentos BC y GF pertenecen a los lados respectivos de este cuadrilátero. Si AB : BC : CD = 1 : 5 : 3 y HG : GF : FE = 3 : 2 : 4, entonces ¿qué fracción del área del rectángulo ADEH ocupa el cuadrilátero BCFG? A) B) C) D) E)

4 9 11 18 1 3 5 9 7 18

H

A

G

F

B

E

C

D

Resolución El polígono BCFG corresponde a un trapecio, ya que el cuadrilátero ADEH es un rectángulo, por ende posee un par de lados paralelos. Como la base inferior del rectángulo está dividida en la razón 1 : 5 : 3, entonces la base del trapecio corresponde a cinco novenos de la medida de la base del rectángulo. Es decir, si el segmento AD mide 5a a, entonces el segmento BC mide . Por otra parte, la base superior del trapecio corresponde a dos 9 novenos del lado correspondiente del rectángulo, ya que este está dividido en la razón 3 : 2 : 4, por lo 2a que la medida del segmento GF será . 9 Como las bases de ambos cuadriláteros coinciden en su posición, ambas figuras tendrán exactamente la misma altura. Si se sabe que esta altura es igual a h, entonces

ÁreaADEH = a • h

Luego,

( ) ( )

5a 2a 7a + 7a 9 9 9 ÁreaBCFG = h • =h• =h• 2 2 18 ÁreaBCFG

CPECH

ÁreaADEH

92

7a 7 18 = a•h 18

h• =

ecta: Alternativa corr

E

Matemática 3.1.4. Generalidades y ángulos en la circunferencia Una circunferencia es el conjunto de puntos que se encuentran a igual distancia de un punto común, denominado centro. Un círculo es la región delimitada por la circunferencia. A continuación se describen los elementos, según las circunferencias de las figuras.

B

D

O

A

•

Centro (O)

•

Radio: trazo recto que une el centro con un punto de la circunferencia (OA y (OB ).

•

Cuerda: trazo recto que une dos puntos de la circunferencia (CD ).

•

Diámetro: cuerda mayor. Pasa por el centro de la circunferencia (AB ). Diámetro = 2 • radio

• C

Arco de circunferencia: porción de circunferencia que

va de un punto a otro, en sentido antihorario ( CD ).

P T Q

•

Secante (Q): es aquella recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia (D y C).

•

Tangente (P): es aquella recta que intersecta en un único punto a la circunferencia. Dicho punto se llama punto de tangencia (T).

C

O

• Propiedad: la tangente P es perpendicular en T al radio OT.

D Teorema de las tangentes: indica que si desde un punto P exterior a la circunferencia se trazan dos tangentes distintas a ellas, estas son congruentes entre sí. Sean PA y PC tangentes a la circunferencia. Se cumple que: A

P

C

CPECH

PA ≅ PC

93

Capítulo

3

Geometría

Conceptos fundamentales El perímetro de la circunferencia es la longitud de su contorno y se calcula por: Perímetro: 2π • radio El área de un círculo es la medida de la superficie delimitada por la circunferencia y se calcula por: Área: π • radio2

En la circunferencia de centro O y radio r de la figura, se tiene al arco AB con ángulo del centro α. Para calcular la longitud del arco AB, mediante proporción directa entre el ángulo del centro y el arco comprendido, se utiliza la siguiente relación:

Como el perímetro es la longitud del arco completo (360°), se plantea la proporción directa:

B

r

longitud arco AB a = perímetro de la circunferencia 360°

a

A

r

O

longitud arco AB a = 2πr 360° longitud arco AB =

a • 2πr 360°

El sector circular de un círculo es la región delimitada por dos radios y el arco de circunferencia comprendida por estos.

B

Perímetro del sector circular = 2r +

a • 2πr

r

a O

r

A

Área del sector circular: se obtiene mediante proporción directa entre el ángulo del centro y el área que comprende.

CPECH

Área del sector circular =

94

360°

a • πr2 360°

Matemática Ángulos en la circunferencia El ángulo del centro está formado por dos radios de la circunferencia y tiene su vértice en el centro de esta. Angularmente, mide lo mismo que el arco de circunferencia que subtiende. B

O: centro de la circunferencia

A

∠ AOB = AB

O

El ángulo inscrito está formado por dos cuerdas y tiene el vértice en un punto de la circunferencia. Mide la mitad del arco de circunferencia que subtiende. B

A

∠ ACB =

AB 2

C

El ángulo interior es aquel que se forma por la intersección de dos cuerdas. Tiene el vértice en la región interior a la circunferencia. C D

P

∠ APB =

AB + CD 2

B

CPECH

A

95

Capítulo

3

Geometría El ángulo exterior es aquel que se forma por la intersección de dos secantes a la circunferencia. Tiene el vértice en la región exterior a la circunferencia. A D P

∠ APB =

AB – CD 2

C B

Pregunta tipo PSU En la circunferencia de la figura adjunta, la cuerda AC se intersecta en el punto E con la secante BF , que corta a la circunferencia en el punto D. Si BC es una cuerda y CF es tangente a la circunferencia en C, ¿cuál es la medida del arco DA? F A) 160° B) 140° C) 120° D) 100° E) 90º

D 50°

A E B

60°

C

20°

Resolución Al ser el ángulo CBD un ángulo inscrito en la circunferencia, entonces el arco que proyecta este ángulo mide el doble de la medida de este, es decir, el arco CD mide 40º. Por otra parte, se conocen dos ángulos del triángulo CEF, por lo que el ángulo que se desconoce será aquel que, junto a los otros dos ángulos, complete los 180º correspondiente a la suma de los ángulos interiores de esta figura. Es decir, el ángulo FCE mide 70º.

CPECH

Al ser el ángulo FCA un ángulo semi-inscrito, este corresponderá a la mitad del arco que proyecta, por lo que el arco CA mide 140º. Como la medida del arco CA (140º) es igual a la suma entre la media del arco CD (40º) y el arco DA, entonces la medida del arco DA es igual a 100º.

96

Otra forma de llegar a la respuesta correcta es utilizando los teoremas de ángulo exterior y ángulo interior. Intenta obtener esta respuesta a partir de estas herramientas.

100°

A

D 50° 40°

E B

F

60°

70°

C

20°

ecta: Alternativa corr

D

Matemática 3.2. Transformaciones isométricas 3.2.1. Ubicación, punto medio y distancia en el plano cartesiano El plano cartesiano se compone de dos rectas o ejes perpendiculares entre sí: el eje de las abscisas (horizontal) o eje X y el eje de las ordenadas (vertical) o eje Y. Cada punto se determina por sus coordenadas x e y. El punto donde se intersectan los ejes se denomina origen (O). y I

II y2

Q(x2, y2)

y1 0

La posición de cada punto P(x, y) se determina por sus coordenadas. La primera coordenada (abscisa x) indica si el punto está a la derecha (+) o a la izquierda (–). La segunda coordenada (ordenada y) indica si el punto está hacia arriba (+) o hacia abajo (–).

P(x1, y1) x

x2

x1

III

IV

Sabías que... El plano cartesiano es dividido por los ejes perpendiculares en cuatro cuadrantes, designados con números romanos (en sentido contrario a los punteros del reloj): I, II, III y IV.

Dado dos puntos en el plano cartesiano, A(x1, y1) y B(x2, y2), se puede determinar el punto medio entre A y B, es decir, el punto que dimidia al segmento AB a partir de la semisuma de las coordenadas respectivas. Luego, las coordenadas del punto medio entre A y B queda determinado por MAB =

(

x1 + x2 2

,

y1 + y 2 2

)

Por ejemplo, el punto medio entre los puntos (3, – 4) y (7, 2), a partir de la fórmula planteada, es

(

)(

)

3+7 –4+2 10 – 2 , , = = (5, – 1) 2 2 2 2

CPECH

M=

97

Capítulo

3

Geometría Dados los puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2) en el plano cartesiano, la distancia entre ellos se calcula mediante el teorema de Pitágoras. y Q(x2, y2)

y2 d P(x1, y1)

y1

Si se dibuja el triángulo rectángulo de la figura, la distancia d entre los puntos P y Q se calcula:

(y2 – y1)

(x2 – x1)

0

x1

2 2 PQ = �(x2 – x1) + (y2 – y1)

x2

x

Por ejemplo, para calcular la distancia entre los puntos A(2, – 3) y B(8, 5) se aplica la fórmula anterior: AB = �(8 – 2)2 +(5 – (– 3))2 = �62 + 82 = �100 = 10.

Pregunta tipo PSU Sea un triángulo ABC en el plano cartesiano, con vértices A(– 3, 6), B(– 2, – 2) y C(4, 2). La medida de la altura que se traza desde el vértice A mide A)

�52

B)

�52

C)

�65

D)

�65

E)

no se puede determinar con los datos entregados.

2

2

Resolución Al calcular la distancia que hay entre los tres puntos enunciados, se puede concluir que el triángulo ABC es isósceles en A, ya que dAB = �(– 2 – (– 3))2 + (– 2 – 6)2 = �12 + (– 8)2 = �1 + 64 = �65

CPECH

dAC = �(4 – (– 3))2 + (2 – 6)2 = �72 + (– 4)2 = �49 + 16 = �65

98

dBC = �(4 – (– 2))2 + (2 – (– 2))2 = �62 + 42 = �36 + 16 = �52

Matemática Es decir, los segmentos AB y AC tienen igual medida. Por otra parte, se sabe que la altura que cae desde el vértice A, punto donde es isósceles el triángulo ABC, es también transversal de gravedad del triángulo, es decir, llega al punto medio de la base BC. Si M es el punto medio de este segmento, entonces: MBC =

(

)( )

–2+4 –2+2 2 0 , , = = (1, 0) 2 2 2 2

Por lo tanto, la longitud de la altura será igual a la distancia que hay entre el punto A y el punto M, es decir,

ecta: Alternativa corr

dAM = �(1 – (– 3))2 + (0 – 6)2 = �42 + (– 6)2 = �16 + 36 = �52

B

3.2.2. Vectores en el plano Un vector es un objeto matemático que se define por un módulo, una dirección y un sentido. Puede representarse por medio de una flecha. En física sirve para representar magnitudes como la velocidad o la fuerza. L

B

→

El vector de la figura se puede notar como vector u o vector → AB , en tal caso el punto A es el origen y B es el extremo del vector. El módulo es representado por el tamaño de la flecha. Se → → nota |u | o |AB |.

→

u

→

|u| A

La dirección indica la inclinación de la recta L que se obtiene al prolongar el vector.

Los vectores pueden representarse en el plano cartesiano. Como el origen del vector está situado en el origen del plano cartesiano, el vector queda determinado por las coordenadas del extremo del vector. y →

En la figura adjunta, el vector u se representa:

→

y1

u (x1, y1)

→

u = (x1, y1)

Así también, el vector v se representa:

v (x2, y2)

x1

x2

x

→

v = (x2, y2)

CPECH

0

→

→

y2

99

Capítulo

3

Geometría

→ →

→

Por ejemplo, en la figura adjunta se representan los vectores u , v y w . y 6

→

w

5 →

u

4 3

Los tres vectores de la figura adjunta se representan por

2 1 –4 –3 –2 –1 0 –1

2

1

3

4

–2

5

x

6

→

→

→

u = (3, 4) ; v = (4, – 2) ; w = (– 2, 5)

→

v

–3 –4

Si el origen del vector no está situado en el origen del plano cartesiano, el vector queda determinado por → la diferencia entre el extremo y el origen del vector. Sea el vector AB , con A(x1, y1 ) y B(x2, y2 ), se cumple que

→

AB = (x2 – x1 , y2 – y1)

→ Ejemplo: en la figura adjunta se representa el vector AB . y B

6 5 4 A

3

Dados los puntos A(– 4, 2) y B(5, 6), el vector

2

→

AB = (x2 – x1 , y2 – y1) = (5 – ( – 4), 6 – 2)

1 –4 –3 –2 –1 0 –1

1

2

3

4

5

6

x

→

AB = (9, 4)

–2 –3 –4

El módulo de un vector se puede determinar igual que la longitud de un trazo o la distancia entre dos →

puntos. Para ello, se aplica el teorema de Pitágoras. Luego, el módulo del vector u = (x1 , y1) es →

CPECH

| u | = �x12 + y12

100

→

→

Por ejemplo, el módulo del vector u = (2, – 6) es | u | = �22 + (– 6)2 = �4 + 36 = �40

Matemática Operatoria vectorial →

→

Ponderación de vectores: Dado un vector u = (a, b) y un número real k (escalar), la ponderación de u en k es:

→

k • u = (k • a, k • b)

Dependiendo del valor absoluto y del signo de k, las variaciones son las siguientes: •

→

→

Si k > 0, el vector resultante tendrá la misma dirección y sentido que el vector u , y el módulo será k • | u |. →

• Si k < 0, el vector resultante tendrá la misma dirección que u , pero el sentido contrario y el módulo será igual a → – k • | u |. →

→

→

Por ejemplo, dado el vector u = (2, 1), los vectores 3 u y – u son, respectivamente: →

3 u =(3 • 2, 3 • 1) = (6, 3) →

– u = (– 1 • 2, – 1 • 1) = ( – 2, – 1)

Ojo con →

→

→

Dado un vector u = (a, b), el vector – u = (– a, – b) es el vector opuesto de u . → → En el ejemplo anterior, dado u = (2, 1) el vector opuesto es – u = (– 2, – 1).

→

→

Dados los vectores u = (a, b) y v = (c, d), la suma vectorial es igual a: →

→

u + v = (a + c, b + d)

→

→

Por ejemplo, la suma entre los vectores u = (2, 4) y v = (3, – 2) es: →

→

u + v = (2 + 3, 4 + – 2) = (5, 2)

Conceptos fundamentales

→

→

→

→

→

→

u + v = v + u (conmutatividad de la adición)

→

→

→

→

u +( v + w ) = ( u + v ) + w (asociatividad de la adición)

CPECH

La suma de vectores es conmutativa y asociativa, dado que la adición en los números reales también es conmutativa y asociativa. Por ello se cumple que:

101

Capítulo

3

Geometría

→

→

Dados los vectores u = (a, b) y v = (c, d), la resta vectorial es igual a: →

→

u – v = (a – c, b – d)

Sabías que... →

→

→

→

La resta entre u y v es igual a la suma entre u y el opuesto de v . Por ello: →

→

→

→

u – v = u + – v = (a, b) + (– c, – d) = (a – c, b – d) →

→

Por ejemplo, la resta entre los vectores u = (2, 4) y v =(5, – 2) es:

→

→

u – v = (2 – 5, 4 – (– 2)) = (– 3, 6)

Pregunta tipo PSU →

→

→

En el plano cartesiano de la figura adjunta, el vector resultante de la suma de u y v es w . ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? y I) II) III)

a=5 → w = (1, – 5) → u = (– 4, 1)

A) B) C) D) E)

Solo I Solo III Solo I y III Solo II y III Ninguna de ellas.

(b + 2) →

u

a

(a – 4) (a – 9)

x

→

(b – 4) (b – 7)

→

v

w

Resolución →

→

CPECH

Según el plano cartesiano de la figura, se tiene que el vector u es (a – 9, b + 2), el vector v es (a, b – 7) → y el vector w es (a – 4, b – 4). Luego, la suma de vectores puede ser planteada algebraicamente como → → u + v =w

102

(a – 9, b + 2) + (a, b – 7) = (a – 4, b – 4) (2a – 9, 2b – 5) = (a – 4, b – 4)

(Sumando por coordenada)

Matemática Luego, es posible plantear dos ecuaciones lineales, tal que: 2a – 9 = a – 4 2a – a = – 4 + 9 a = 5

2b – 5 = b – 4 2b – b = – 4 + 5 b=1

ecta: Alternativa corr

Entonces: I) Verdadera, ya que se obtuvo su valor anteriormente. → II) Falsa, ya que w = (a – 4, b – 4) = (5 – 4, 1 – 4) = (1, – 3). → III) Falsa, ya que u es (a – 9, b + 2) = (5 – 9, 1 + 2) = (– 4, 3).

A

3.2.3. Traslación en el plano Una traslación es el desplazamiento horizontal y/o vertical de una figura, sin que gire. Para un punto P(x, y) que se traslada según un vector de traslación T(a, b), obteniendo el punto P’(x’, y’) se cumple que

P(x, y) + T(a, b) = Pʼ(x + a, y + b)

y Pʼ(x + a, y + b)

y+b

T(a, b)

y

La primera coordenada (a) del vector traslación indica un desplazamiento hacia la derecha, si es un número positivo (+) o hacia la izquierda, si es un número negativo (–).

b

P(x, y) a

0

x

x+a

El vector traslación T(a, b) indica el desplazamiento del punto inicial.

x

La segunda coordenada del vector traslación (b) indica un desplazamiento hacia arriba, si es un número positivo (+) o hacia abajo, si es un número negativo (–).

Por ejemplo, si el punto P(5, – 3) se traslada según el vector traslación T(– 2, 7), se obtiene:

CPECH

P(5, – 3) + T(– 2, 7) = Pʼ(5 + (– 2), – 3 + 7) = Pʼ(3, 4)

103

Capítulo

3

Geometría 3.2.4. Rotación en el plano Una rotación consiste en girar una figura en un ángulo dado con respecto a un punto llamado centro de rotación. Una rotación es positiva si el giro se realiza en sentido antihorario (contrario al movimiento de los punteros del reloj), y es negativa si se realiza en sentido horario (a favor del movimiento de los punteros del reloj). Cuando se aplica una rotación con respecto al origen de un punto (x, y), se obtiene lo siguiente: Ángulo

90°

180°

270°

360°

Punto

(– y, x)

(– x, – y)

(y, – x)

(x, y)

Por ejemplo, aplicando las relaciones de la tabla anterior para rotar P(– 2, 3), se obtienen los siguientes puntos: Ángulo

90°

180°

270°

360°

Punto

P'(– 3, – 2)

P''(2, – 3)

P'''(3, 2)

P(– 2, 3)

Ojo con Si se aplica una rotación negativa con respecto al origen (en sentido horario), se tiene que realizar el proceso inverso. Al rotar un punto en – 90° (rotación negativa) con respecto al origen, se deben invertir las coordenadas del punto y cambiar el signo de la nueva segunda coordenada. Es equivalente a una rotación positiva en 270° con respecto al origen.

Para rotar un punto P(x1, y1) con respecto a un punto C(x0, y0) distinto del origen en un ángulo α, es equivalente a rotar el punto Q(x1 – x0, y1 – y0) con respecto al origen en un ángulo α y luego sumar este resultado al punto C.

CPECH

Por ejemplo, para rotar el punto P(6, 4) en 90° con respecto al punto C(2, 1), se rota el punto Q(6 – 2, 4 – 1) = Q(4, 3) con respecto al origen en 90°, obteniendo el punto Q’(– 3, 4), el cual se suma al centro de rotación C, obteniendo el punto Q'(– 3, 4) + C(2, 1) = P'(– 1, 5).

104

Matemática 3.2.5. Reflexión en el plano Simetría axial: es la simetría que se realiza con respecto a una recta, produciendo el efecto espejo. Si se aplica una simetría axial a un punto con respecto a una recta, entonces la imagen del punto estará al otro lado de la recta. El segmento que une el punto con su imagen será perpendicular al eje de simetría y la distancia del punto al eje será igual a la distancia del eje a la imagen. L

P'

P d

d

y Por ejemplo, al aplicar al punto P(6, 4) una simetría axial con respecto a la recta x = 1, el punto simétrico debe estar al otro lado del eje, de modo que el segmento PP’ sea perpendicular al eje de simetría y que la distancia del punto P al eje de simetría sea igual a la distancia del punto P’ al eje de simetría. En este caso la distancia es igual a 5. Como el eje de simetría es vertical, solo hay desplazamiento horizontal en 10 unidades a la izquierda (5 unidades hasta el eje de simetría y 5 unidades más hasta la imagen), resultando el punto (– 4, 4).

5 unidades P'

5 unidades

4

P

–4

6

x

x=1

Simetría axial con respecto a los ejes coordenados

Si a un punto P(x, y) se le aplica una simetría con respecto al eje X, la imagen será P’(x, – y). Solo cambia el signo de la segunda coordenada. Si a un punto P(x, y) se le aplica una simetría con respecto al eje Y, la imagen será P’ (– x, y). Solo cambia el signo de la primera coordenada. Ejemplo: al aplicar al punto P(4, 3) una simetría con respecto al eje X, se obtiene el punto P’. Al aplicar al punto P(4, 3) una simetría con respecto al eje Y, se obtiene el punto P’’. Los puntos P’ y P’’ son, respectivamente, y 6 5 4

Al aplicar al punto P(4, 3) una simetría con respecto al eje X, cambia el signo de la segunda coordenada. Luego, el punto simétrico es P’(4, – 3).

P(4, 3)

3 2 1

–4 –3 –2 –1 0 –1

1

2

3

4

5

6

–2 –3 –4

P'(4, – 3)

x

Al aplicar al punto P(4, 3) una simetría con respecto al eje Y, cambia el signo de la primera coordenada. Luego, el punto simétrico es P’’( – 4, 3).

CPECH

P''(– 4, 3)

105

Capítulo

3

Geometría Simetría central: es la simetría que se realiza con respecto a un punto. Es equivalente a una rotación en 180° con respecto a dicho punto. Si se aplica una simetría central a un punto con respecto a un centro de rotación, entonces el segmento que une el punto con su imagen pasa por el centro de rotación y la distancia del punto al centro es igual a la distancia del centro a la imagen, es decir, en la figura O es el punto medio del segmentp PP' P d

O d

P'

Por ejemplo, si al punto P(6, 4) se le aplica una simetría con respecto al centro de rotación C(4, 1), el punto simétrico P’ será P’(2, –2), como muestra la figura. y 6 5 4

P(6, 4)

3

d

2 1 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3

1

d 2 3

C(4, 1) 4

5

6

x

P'(2, – 2)

–4

CPECH

Simetría central con respecto al origen del plano cartesiano: si al punto P(x, y) se le aplica una simetría central con respecto al origen, el punto simétrico será P’(– x, – y). Es decir, al aplicar una simetría central con respecto al origen, se deben cambiar los signos de ambas coordenadas. Es equivalente a la rotación en 180° con respecto al origen.

106

Por ejemplo, si al punto P(4, 3) se le aplica una simetría con respecto al origen, es equivalente a aplicarle una rotación de 180 º. Luego, el punto simétrico será P’(– 4, – 3).

Matemática

Pregunta tipo PSU En la figura adjunta, los puntos A y B se encuentran en el plano cartesiano. Es correcto afirmar que I) II) III)

si el punto B se refleja respecto a la recta que contiene al punto A y es paralela al eje Y, se obtiene el punto (– 6, 3). una traslación de vector (– 4, – 4) trasforma al punto B en el punto A. una rotación de 90°, en sentido antihorario, del punto A en torno al punto B resulta en el punto A’(6, – 1) y

Es (son) verdadera(s) A) B) C) D) E)

B

3

solo II. solo I y II. solo I y III. solo II y III. I, II y III.

–2 –1

A

2

x

Resolución Según el gráfico adjunto a la pregunta, las coordenadas del punto A son (– 2, – 1) y las coordenadas de B son (2, 3). Luego,

I)

Verdadera, ya que la recta que pasa por el punto A y es paralela al eje Y, se encuentra a cuatro unidades de distancia del punto B de forma horizontal. Por lo tanto, el punto resultante de esta transformación isométrica se encontrará a las mismas cuatro unidades de distancia, pero al otro lado de este eje de simetría, conservando la altura en la que se encuentra. Es decir, se obtiene el punto (– 6, 3). y

4 unidades

3

B

4 unidades

–6

–1

2

x

Verdadera, ya que al aplicar el vector de traslación (– 4, – 4) al punto B(2, 3), se obtiene el punto (2 + (– 4), 3 + (– 4)) = (– 2, – 1), coincidiendo con las coordenadas del punto A.

CPECH

II)

–2 A

107

Capítulo

3

Geometría

III)

Verdadera, ya que para trasladar al origen el punto B, que es el centro de la rotación, se necesita un vector de traslación T(– 2, – 3). Luego:



A(– 2, – 1)

T(– 2, – 3)



(– 4, – 4)

R(90°)



(4, – 4)

–T

(– 2 – 2, – 1 – 3) = (– 4, – 4) (4, – 4)

(Aplicando el vector T al punto A) (Aplicando rotación de 90º)

(4 + 2, – 4 + 3) = (6, – 1)

(Aplicando el vector – T = (2, 3))

Luego, el punto resultante de la rotación del punto A en torno al punto B es (6, – 1). Por lo tanto, I, II y III son verdaderas.

ecta: Alternativa corr

E

3.2.6. Composición de transformaciones isométricas Corresponde a una composición de funciones, entendiendo cada transformación isométrica como una función. Tanto la composición de traslaciones como la composición de rotaciones es conmutativa y asociativa (donde el orden en que se operan no altera el resultado). Sin embargo al realizar otras composiciones de transformaciones isométricas el orden sí es relevante y modifica el resultado.

Ejemplo: Si el punto P(3, 2) se rota en 90° con respecto al origen y se traslada según el vector T(– 2, – 5), el resultado depende del orden en el que se apliquen dichas transformaciones.

i) Si el punto P(3, 2) primero se rota en 90° con respecto al origen y luego se traslada según el vector T(– 2, – 5), el punto obtenido será P"(– 4, – 2) como se muestra en la figura. y 6 5 P'(– 2, 3)

4 3 2

Al aplicar primero la rotación y luego la traslación, se obtiene:

P(3, 2)

1

CPECH

–4 –3 –2 –1 0 –1

108

P''(– 4, – 2)

–2 –3 –4

1

2

3

4

5

6

x

P(3, 2)

90°

P' (– 2, 3)

T(– 2, – 5)

P''(– 4, – 2)

Matemática ii) Si el punto P(3, 2) primero se traslada según el vector T(– 2, – 5) y luego se rota en 90° con respecto al origen, el punto obtenido será P’’ (3, 1), como se muestra en la figura. y 6 5 4 3

Al aplicar primero la traslación y luego la rotación, se obtiene:

2

P(3, 2)

1

P''(3, 1)

–4 –3 –2 –1 0 –1

1

2

3

4

5

6

x

P(3,2)

T(– 2, – 5)

90°

P' (1, – 3)

P''(3, 1)

–2 –3 –4

P'(1, – 3)

Pregunta tipo PSU En el plano cartesiano, al punto (a, – 2a), con a un número real menor que cero, se le aplica una rotación de 270º, seguida de una simetría respecto a la recta y = a. ¿Dónde se encuentra el punto resultante? En el primer cuadrante. En el segundo cuadrante. En el tercer cuadrante. En el cuarto cuadrante. No se puede determinar.

Resolución Como el valor de a corresponde a un número negativo, entonces el punto (a, – 2a), que llamaremos punto A, tendrá su primera coordenada negativa y su segunda coordenada positiva, ubicándolo en el segundo cuadrante. Al aplicarle una rotación de 270º al punto A, entonces este intercambiará sus coordenadas, cambiando el signo del valor correspondiente a la segunda coordenada del punto resultante, es decir, se obtiene el punto (– 2a, – a), el cual llamaremos punto B. Luego, el punto B se encuentra en el primer cuadrante, al ser ambas coordenadas positivas debido a la condición de que a es un número negativo.

y A

– 2a B

–a a

– 2a

x

y B

–a a 3a

x

– 2a C

CPECH

A) B) C) D) E)

109

Capítulo

3

Geometría

Como la recta y = a tiene pendiente cero, corresponderá a una recta paralela al eje X que pasa por el punto (0, a). Al ser a un valor negativo, esta recta pasará por el tercer y cuarto cuadrante, estando el punto B a una distancia de |2a| unidades por sobre esta recta. Por lo tanto, el punto resultante, que llamaremos C, se encontrará por debajo de esta recta, a la misma distancia que se encuentra el punto B, es decir, las coordenadas del punto C serán (– 2a, 3a). Como la primera coordenada es positiva, y la segunda coordenada es negativa, entonces el punto resultante de la composición de transformaciones isométricas se encontrará en el cuarto cuadrante del plano cartesiano.

ecta: Alternativa corr

D

3.3. Geometría de proporción 3.3.1. Congruencia de triángulos (≅) Dos figuras son congruentes cuando tienen igual forma y tamaño. En particular, dos triángulos serán congruentes si sus ángulos correspondientes son congruentes entre sí y los lados homólogos son congruentes entre sí. Además, tendrán igual perímetro, área y sus elementos secundarios correspondientes serán congruentes. Sean Δ ABC ≅ Δ DEF, se cumple que:

A

C

F

γ

γ

b

α

B

Los ángulos correspondientes son congruentes entre sí, es decir:

CPECH

∠ BAC ≅ ∠ EDF ∠ CBA ≅ ∠ FED ∠ ACB ≅ ∠ DFE

110

D

α

b

E

Los lados homólogos son congruentes entre sí. Los lados homólogos son aquellos que se oponen a los ángulos correspondientes. AB ≅ DE ; AC ≅ DF ; CB ≅ FE

Criterios de congruencia: son criterios que establecen qué datos son suficientes para determinar si dos triángulos son congruentes. Los cuatro criterios son los siguientes:

Matemática LLL: si dos triángulos tienen los tres lados congruentes, entonces los triángulos son congruentes entre sí. LAL: si dos triángulos tienen dos lados congruentes y el ángulo comprendido entre ambos es congruente, entonces los triángulos son congruentes entre sí. ALA: si dos triángulos tienen dos ángulos congruentes, y el lado entre ambos es congruente, entonces los triángulos son congruentes entre sí. LLA: si dos triángulos tienen dos lados congruentes y el ángulo opuesto al mayor de ellos es congruente, entonces los triángulos son congruentes entre sí.

3.3.2. Semejanza de triángulos (∼) Dos figuras son semejantes si tienen igual forma pero distinto tamaño. Los triángulos ABC y DEF, serán semejantes si se cumple que sus ángulos correspondientes son congruentes entre sí y los lados homólogos son proporcionales. Sean Δ ABC

~ Δ DEF, se cumple que (recuerda seguir el orden correspondiente). C

g F

γ

b

α

B

D

b

α

E

Los lados homólogos son proporcionales. Los lados homólogos son aquellos que se oponen a los ángulos correspondientes.

Los ángulos correspondientes son congruentes entre sí.

∠ BAC ≅ ∠ EDF ∠ CBA ≅ ∠ FED ∠ ACB ≅ ∠ DFE

AB = CB = AC = k DE FE DF donde k es una constante llamada razón de semejanza.

Además, si ∆ ABC ~ ∆ DEF, la razón entre los elementos secundarios homólogos y la razón entre los perímetros es igual a la razón de semejanza k y la razón entre las áreas es igual al cuadrado de la razón de semejanza k. Perímetro∆ ABC Perímetro∆ DEF

=k ;

Área∆ ABC Área∆ DEF

= k2

CPECH

A

111

Capítulo

3

Geometría Por ejemplo, en la figura adjunta se muestran los triángulos ABC y DEF, semejantes entre sí. C F 8

6 hc = 4,8

4

3 hF = 2,4

b

α

A

10

B

D

α

5

b

E

Como los triángulos ABC y DEF son semejantes, se cumple lo siguiente: ◆ Los ángulos correspondientes son congruentes.

∠ BAC = ∠ EDF = α ; ∠ CBA = ∠ FED = β ; ∠ ACB = ∠ DFE = 90° Los lados homólogos son proporcionales entre sí.

◆

6 8 AB 10 CB AC = = = = = = k=2 5 3 4 DE FE DF siendo k = 2 la razón de semejanza. La razón entre los perímetros es igual a la razón de semejanza k.

◆

Perímetro Δ ABC Perímetro Δ DEF ◆

=

10 + 8 + 6 24 = =2=k 5+4+3 12

La razón entre elementos secundarios es igual a la razón de semejanza k. En particular, se

cumple que la razón entre las alturas correspondientes es igual a la razón de semejanza k. hc hF ◆

=

4,8 =2=k 2,4

La razón entre las áreas es igual al cuadrado de la razón de semejanza k.

ÁreaΔABC ÁreaΔDEF

10 • 4,8 24 2 = = = 4 = 22 = k2 5 • 2,4 6 2

Criterios de semejanza: establecen qué datos son suficientes para determinar si dos triángulos son semejantes. Los criterios son los siguientes:

CPECH

LLL: si dos triángulos tienen los tres lados proporcionales, entonces los triángulos son semejantes entre sí.

112

LAL: si dos triángulos tienen dos lados proporcionales y el ángulo entre ambos, es congruente, entonces los triángulos son semejantes entre sí. AA: si dos triángulos tienen dos ángulos congruentes, entonces los triángulos son semejantes entre sí.

Matemática

Pregunta tipo PSU En el triángulo ABC de la figura adjunta, el punto D pertenece al segmento AB y el punto E pertenece al segmento BC, DB = 12 cm y BE = 13 cm. Si el área del triángulo ABC es cuatro veces el área del triángulo BED, entonces ¿cuál de las siguientes medidas se cumple en la figura? C A) CE = 39 cm E B) AD = 40 cm C) AB = 26 cm D) AC = 20 cm A B E) BC = 52 cm D

Resolución Como las medidas de los ángulos de la figura son desconocidas, entonces se plantea que, hipotéticamente, el ángulo ABC mide α y el ángulo CAB mide β, por lo tanto, se tiene α + β = 90°. En el triángulo BED hay un ángulo que se desconoce, sin embargo, los ángulos presentes en él miden α y 90°, por lo que el ángulo restante, BED, mide β. Además, la medida del segmento DE puede ser determinada mediante el teorema de Pitágoras o bien por el trío pitagórico 5, 12 y 13, por lo que la medida del segmento DE es 5 cm. Luego, completando la información en la figura, se tiene que C E 5 cm A

b

13 cm

b D

α 12 cm

B

Como los triángulos ABC y BED tienen sus ángulos respectivamente congruentes, entonces se puede afirmar por el criterio AA que ellos son semejantes. Entonces, es posible plantear que

AB BC AC = = . EB BD ED

Sin embargo, hasta ahora no se puede determinar las medidas de los lados del triángulo ABC ya que podrían tener infinitos valores. Es en este punto donde radica la importancia de la razón entregada en el enunciado, “El área del triángulo ABC es cuatro veces el área del triángulo BED”, ya que con ella se establece la razón de semejanza k como k2 =

2 Área Δ ABC 4 = , por lo que k = . Entonces, se tiene que 1 1 Área Δ BED

AB BC AC 2 = = = . Reemplazando los valores en la expresión anterior EB BD ED 1

A partir de esta igualdad, se tiene que AB = 26 cm, BC = 24 cm y AC = 10 cm. Además, CE = 11 cm y AD = 14 cm.

ecta: Alternativa corr

C

CPECH

AB BC AC 2 AB BC AC 2 ⇒ = = = = = = . 1 1 EB BD ED 13 12 5

113

Capítulo

3

Geometría 3.3.3. Homotecia Una homotecia es una transformación geométrica que afecta las longitudes de una figura en función de una determinada razón de homotecia k y un centro de homotecia O, de manera que todas las longitudes se multiplican por | k |. En caso que k sea positivo, la figura se proyecta con respecto a O en el mismo sentido de la figura original, y si k es negativo, se proyecta en sentido contrario. Luego, si el triángulo ABC se transforma en el triángulo DEF mediante una homotecia de centro O y razón de homotecia k, entonces:

A O

C

A

C B

B

O

E

E D

D

F

F

k 4) + P(2) = + = = . 6 6 6 2

CPECH

Si A y B son dos eventos no excluyentes, entonces la probabilidad de que ocurra alguno de ellos (o sea, que ocurra A o B) es igual a la suma de las probabilidades de que ocurra cada uno de ellos, menos la probabilidad de que ocurran ambos simultáneamente, es decir, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B). Por ejemplo, si se lanza un 4 dado común la probabilidad de que salga un número menor que 5 es , la probabilidad de que salga un número 6 3 4 3 12 2 impar es y la probabilidad de que salga un número menor que 5 que sea impar es • = = . Luego, si 6 6 6 36 6 se lanza un dado común la probabilidad de que salga un número menor que 5 o que salga un número impar es: 4 3 2 5 P(< 5 o impar) = P(< 5) + P(impar) – P(< 5 e impar) = + – = . 6 6 6 6

185

Capítulo

4

Datos y Azar

Pregunta tipo PSU Se tiene una caja A que contiene cuatro tarjetas rojas y cinco azules, y una caja B que contiene tres tarjetas rojas y seis azules, todas las tarjetas de igual forma y tamaño. Si desde cada caja se extrae una tarjeta al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sean de distinto color? A)

13 27

B)

8 28

C)

10 27

D)

5 27

E)

14 27

Resolución Como se desean que ambas tarjetas sean de distinto color, existen dos casos posibles: que de la caja A se saque una tarjeta roja “y” de la caja B una azul, “o” que de la caja A se saque una tarjeta azul “y” de la caja B se saque una roja. Es decir, se tiene un caso de suma y producto de probabilidades. Caso 1: Sacar una tarjeta roja desde la caja A y una tarjeta azul desde la caja B. P(Roja A y Azul B) =

4 6 24 8 • = = 9 9 81 27

Caso 2: Sacar una tarjeta azul desde la caja A y una tarjeta roja desde la caja B. P(Azul A y Roja B) =

5 3 15 5 • = = 9 9 81 27

Como puede ser el caso 1 “o” el caso 2, entonces se suman las probabilidades:

CPECH

8 5 13 + = P(Caso 1 o Caso 2) = 27 27 27

186

ecta: Alternativa corr

A

Matemática 4.6.5 Diagrama de árbol y triángulo de Pascal En probabilidad, es posible resolver problemas de forma gráfica, como es mediante el uso de un diagrama de árbol y del triángulo de Pascal. Gracias a la construcción de un diagrama de árbol es posible determinar todos los resultados posibles de un experimento aleatorio, es decir, es una forma gráfica de representar al espacio muestral de un experimento. Para su construcción se comienza poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad. 1 2

CC

1 2

•

1 2

=

1 4

CS

1 2

•

1 2

=

1 4

SC

1 2

•

1 2

=

1 4

SS

1 2

•

1 2

=

1 4

1 2 1 2

Experimento

1 2 1 2 1 2

La suma de todas las probabilidades de las ramas finales debe ser igual a 1. En este caso, 1 1 1 1 4 + + + = = 1. 4 4 4 4 4 Por otra parte, el triángulo de Pascal se utiliza como una técnica de conteo en la resolución de problemas de iteración de experimentos sencillos, cuando el objeto considerado tiene solo dos resultados posibles, (experimento binario). Por ejemplo, una moneda o el sexo de un hijo por nacer. Es un conjunto de números enteros positivos ordenados en forma de triángulo que expresan coeficientes binomiales. Este se construye comenzando y terminando cada fila con un 1, y rellenando cada espacio del interior con la suma de los dos números que están encima del espacio.

Hay 1 combinación donde se obtienen 6 caras y 0 sello. Hay 6 combinaciones donde se obtienen 5 caras y 1 sello. Hay 15 combinaciones donde se obtienen 4 caras y 2 sellos. Hay 20 combinaciones donde se obtienen 3 caras y 3 sellos. Hay 15 combinaciones donde se obtienen 2 caras y 4 sellos. Hay 6 combinaciones donde se obtienen 1 cara y 5 sellos. Hay 1 combinación donde se obtienen 0 cara y 6 sellos.

1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

CPECH

La suma de todos los valores de cada fila corresponde a la cantidad de todos los posibles resultados de dicho experimento y cada valor se interpreta como una combinación específica de resultados. Por ejemplo, si se realiza el experimento de lanzar una moneda 6 veces, se debe analizar la sexta fila del triángulo, que es 1–6– 15–20–15–6–1, y se interpreta:

187

Capítulo

4

Datos y Azar

Pregunta tipo PSU Si se contestan al azar cinco preguntas de Verdadero o Falso, ¿cuál es la probabilidad de obtener por lo menos cuatro respuestas correctas? A)

27 32

B)

3 16

C)

5 32

D)

1 2

E)

5 16

Resolución Como la probabilidad de acertar una pregunta de Verdadero o Falso respondiendo al azar es del 50%, entonces una estrategia útil es realizar un triángulo de Pascal para así determinar los casos favorables. Al ser cinco preguntas, se realiza el triángulo hasta que el segundo coeficiente sea cinco. De este esquema se puede extraer la siguiente información: - Son 32 los casos posibles, ya que corresponde a la suma de los coeficientes. - En uno de los casos se obtienen cinco respuestas correctas. - En cinco de los casos se obtienen solo cuatro respuestas correctas. - En diez de los casos se obtienen solo tres respuestas correctas. - En diez de los casos se obtienen solo dos respuestas correctas. - En cinco de los casos se obtiene solo una respuesta correcta. - En uno de los casos no se obtienen respuestas correctas. Como se pide la probabilidad de que se obtenga por lo menos cuatro respuestas correctas, entonces se debe considerar cuando se obtiene exactamente cuatro “o” cuando tiene las cinco respuestas correctas:

CPECH

5 1 6 3 P(4 correctas o 5 correctas) = + = = 32 32 32 16

188

1 1 1

1 2

3

1 3

1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1

ecta: Alternativa corr

B

Matemática 4.6.6. Probabilidad condicional y teorema de Bayes La probabilidad condicional (o condicionada) se refiere a la probabilidad de que ocurra un evento A dado que ocurrió otro evento B, y se denota P(A/B). Para que tenga sentido es necesario que los eventos sean dependientes, ya que si son independientes entonces la ocurrencia de B no influiría en la ocurrencia de A, o sea, P(A/B) = P(A). La probabilidad condicional de eventos dependientes se calcula según el teorema de Bayes mediante la P(A ∩ B) P(A) • P(B/A) expresión P(A/B) = = , que se explica a continuación con un ejemplo práctico. P(B) P(B) 1 La probabilidad de sufrir una cierta enfermedad es de . Cuando una persona padece esta enfermedad, la 8 9 probabilidad de que los médicos la detecten es de , y si no la padece, la probabilidad de que los médicos 10 1 la detecten (falso positivo) es de . Si una persona fue al médico y le detectaron la enfermedad, ¿cuál es la 30 probabilidad de que la padezca? ◆ P(A) es la probabilidad de sufrir la enfermedad. Luego, P(A) =

1 . 8

◆ P(B/A) es la probabilidad de que se le detecte la enfermedad a una persona que la padece.

Luego, P(B/A) =

9 . 10

◆ P(B) es la probabilidad de que se le detecte la enfermedad a una persona cualquiera, es decir, a quien la

padece

(

)

(

)

9 1 1 7 9 1 1 7 • o a quien no la padece • . Entonces, P(B) = • + • . 10 8 30 8 10 8 30 8

Luego, si P(A/B) es la probabilidad de que padezca la enfermedad una persona a la cual se le detectó, entonces 1 9 • 27 P(A) • P(B/A) 8 10 P(A/B) = = = . 9 1 1 7 34 P(B) • + • 10 8 30 8

Pregunta tipo PSU

A) 5% B) 15% C) 6,25% D) 8% E) 7,25%

CPECH

El pronóstico del tiempo para un cierto pueblo indica que existe un 75% de probabilidad de que llueva. En la carretera que atraviesa este pueblo existe una curva peligrosa, en la que la probabilidad de que ocurra un accidente cuando está lloviendo es de un 10%, mientras que la probabilidad de que ocurra un accidente cuando no llueve es de un 2%. Si ese día ocurrió un accidente en dicha curva, ¿cuál es la probabilidad de que no haya estado lloviendo?

189

Capítulo

4

Datos y Azar

Resolución Se pueden definir los eventos A y B de modo que: A = que esté lloviendo B = que ocurra un accidente Por lo tanto:

P(A) = 75% P(B/A) = 10% P(no B/A) = 90%

P(no A) = 25% P(B/no A) = 2% P(no B/no A) = 98%

Como preguntan respecto a la probabilidad que no esté lloviendo sabiendo que hubo un accidente, entonces se debe determinar el valor P(no A/B). P(no A ∩ B) P(no A/B) = P(B)

CPECH

P(no A ∩ B) corresponde a la probabilidad de que no esté lloviendo y que ocurra un accidente, por lo que P(no A ∩ B) = P(no A) • P(B/no A). Por otra parte, P(B) corresponde a la probabilidad de que ocurra un accidente, pero este puede ocurrir en dos caso: cuando esté lloviendo y cuando no. Por lo tanto, P(B) = P(no A) • P(B/no A) + P(A) • P(B/A). Es decir,

190

P(A/B) =

P(no A) • P(B/no A) P(no A) • P(B/no A) + P(A) • P(B/A)

(Reemplazando)

=

25% • 2% 25% • 2% + 75% • 10%

(Reemplazando)

=

50 50 + 750

(Calculando)



=

50 800



=

1 16

ecta: Alternativa corr



= 0,0625

C

= 6,25%

Matemática 4.6.7. Ley de los grandes números En una distribución estadística, la probabilidad de que un dato escogido al azar tenga un cierto valor es igual a la frecuencia relativa de dicho dato, es decir, a la frecuencia del dato dividida por el total de datos. Por ejemplo, la tabla adjunta representa la distribución de frecuencias de las edades de los participantes en el taller de música de un colegio. Edad (años)

Frecuencia

Frecuencia relativa

Frecuencia porcentual

14

4

0,16

16%

15

7

0,28

28%

16

6

0,24

24%

17

8

0,32

32%

Al escoger al azar un alumno del taller, la probabilidad de que este tenga 16 años es 0,24 = 24%, o bien, 24 6 = . 100 25 En el proceso inverso, cuando se realiza un experimento aleatorio es esperable que los resultados cumplan con una cierta proporción estadística. Esta coincidencia se conoce como la ley de los grandes números, y dice que si un experimento se realiza una gran cantidad de veces, la frecuencia relativa de cada resultado tenderá al valor de su probabilidad teórica. Por ejemplo, si se lanza un dado la probabilidad teórica de que salga cada 1 número es , pero si se lanza seis veces muy difícilmente saldrá cada número una vez. Sin embargo, si el 6 dado se lanza 6.000 veces, teóricamente cada número tendrá una frecuencia muy cercana a 1.000, o sea una 1 frecuencia relativa muy cercana a . 6

Pregunta tipo PSU Un experimento consiste en lanzar dos dados comunes y registrar la suma de los resultados obtenidos. Si el experimento se realiza 720.000 veces, cumpliéndose la ley de los grandes números, entonces se puede afirmar que I) II) III)

aproximadamente, en 120.000 de los resultados obtenidos las caras sumarán 7. el número de veces que se obtiene como resultado de la suma un cuatro es igual al número de veces en el que la suma es diez. en cerca de 200.000 resultados, la suma de las caras es menor que seis.

A) B) C) D) E)

solo I. solo II. solo I y III. solo II y III. I, II y III.

CPECH

Es (son) verdadera(s)

191

Capítulo

4

Datos y Azar

Resolución Como el experimento consiste en lanzar dos dados comunes y luego sumar los resultados obtenidos, entonces los posibles resultados para este experimento serán los que muestra el diagrama. Luego,

+

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

8

3

4

5

6

7

8

9

I)

4

5

6

7

8

9

10

Verdadera, ya que la probabilidad de que la suma 6 1 5 6 7 8 9 10 11 = . Por lo de las caras sea siete es igual a 36 6 6 7 8 9 10 11 12 tanto, mediante la ley de los grandes números, en aproximadamente un sexto de los resultados corresponde a la suma igual siete, es decir, en aproximadamente 120.000 resultados.

II)

Falsa, ya que la ley de los grandes números nos dice que entre más veces se realice un experimento, más cercano es a la probabilidad teórica, pero no necesariamente de manera exacta. Si bien la probabilidad de obtener como resultado de la suma un 4 y la probabilidad de obtener 10 son iguales, no necesariamente se obtendrá la misma cantidad de estos resultados.

III) Verdadera, ya que en 10 de los 36 posibles resultados se obtiene como resultado de la suma un dos, un tres, un cuatro o un cinco. Por lo tanto, mediante la ley de los grandes números se puede afirmar que en un valor cercano a 10 • 720.000 = 200.000 resultados se obtendrá 36

ecta: Alternativa corr

C

una suma menor a seis.

4.7 Análisis de variable aleatoria discreta 4.7.1. Variable aleatoria discreta, función de probabilidad y función de distribución Una variable aleatoria asigna valores a eventos, dentro de un experimento aleatorio. Si esta variable solo considera ciertos valores, sin tomar en cuenta intervalos, entonces corresponde a una variable aleatoria discreta. Por ejemplo, una urna contiene cuatro bolitas numeradas del 1 al 4, se escogen al azar dos bolitas una tras otra con reposición, y se define la variable aleatoria X como “la suma de los números obtenidos”. El valor de X para cada evento del espacio muestral es:

CPECH

Evento 1 y 1 1 y 2 1 y 3 1 y 4 2 y 1 2 y 2 2 y 3 2 y 4 3 y 1 3 y 2 3 y 3 3 y 4 4 y 1 4 y 2 4 y 3 4 y 4 X 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7 5 6 7 8

192

El recorrido de X corresponde a todos los valores que puede tomar esta variable aleatoria. En el caso anterior, el recorrido de X es {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. En general, una variable aleatoria puede tomar valores discretos o continuos, los que pueden estar dados por experimentos aleatorios o simplemente definidos dentro de un conjunto.

Matemática Cada valor dentro del recorrido de una variable aleatoria tiene asociada la probabilidad de que la variable tome dicho valor. A esta relación se le conoce como función de probabilidad, y su dominio corresponde al recorrido de la variable aleatoria. Existen varias formas de definir una función de probabilidad: ■ Mediante una situación en que ocurre un evento aleatorio. Por ejemplo, una caja contiene una bolita con el número 3, dos bolitas con el número 5 y cuatro bolitas con el número 8, todas de igual peso y tamaño. Se escoge una bolita al azar de la caja, se define la variable aleatoria X como el número obtenido y P(X = a) como la probabilidad de que X tome el valor a, por lo cual el dominio de P es igual a {3, 5, 8}. Dado 1 que hay siete bolitas en la caja, la probabilidad de que X tome el valor 3 (una bolita) es , la probabilidad 7 2 4 de que X tome el valor 5 (dos bolitas) es y la probabilidad de que X tome el valor 8 (cuatro bolitas) es . 7 7 1 2 4 Luego, P(X = 3) = , P(X = 5) = y P(X = 8) = . 7 7 7 ■ Mediante una expresión algebraica. Por ejemplo, sea X una variable aleatoria cuya función de a2 probabilidad es P(X = a) = , con a en el conjunto {1, 2, 3, 4}. Entonces: 30

P(X = 1) =

1 4 9 16 12 22 32 42 = , P(X = 2) = = , P(X = 3) = = y P(X = 4) = = . 30 30 30 30 30 30 30 30

■ Mediante un gráfico y/o tabla. Por ejemplo, el gráfico adjunto representa a la función de probabilidad asociada a una variable aleatoria X, representada en la tabla: P(X = x)

0,45

X

2

3

5

0,35

P(X = x)

0,35

0,45

0,2

0,2 2

3

5

X

■ Mediante los valores de sus imágenes. Por ejemplo, sea X una variable aleatoria con función de probabilidad P tal que



1 , si a = 6 3

P(X = a) =

4 , si a = 7 15



2 , si a = 9 5

CPECH

Cualquiera sea el caso, dado que se trata de probabilidades, la suma de las imágenes de una función de 1 4 2 probabilidad siempre debe ser igual a 1. En el ejemplo anterior, P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 9) = + + =1 3 15 5

193

Capítulo

4

Datos y Azar Una función de distribución corresponde a la función de probabilidad acumulada de la variable aleatoria, es decir, a la suma de las imágenes de la función de probabilidad desde la primera hasta la indicada. O sea, si X es una variable aleatoria en el conjunto {x1, x2, x3,…, xk,…, xn}, con función de probabilidad P y función de distribución F, entonces F(xk) = P(X ≤ Xk) = P(X = x1) + P(X = x2) + P(X = x3) +…+ P(X = xk). Siempre se cumple que F(x1) = P(X = x1) para la primera imagen y F(xn) = 1 para la última imagen. Por ejemplo, tomando uno de los casos dados anteriormente, si X es una variable aleatoria cuya función de a2 , con a en el conjunto {1, 2, 3, 4}, entonces: 30 1 4 9 16 P(X = 1) = , P(X = 2) = , P(X = 3) = y P(X = 4) = . Luego, la función de probabilidad acumulada F 30 30 30 30 probabilidad es P(X = a) =

tiene como imágenes: F(1) = P(X = 1) =

1 30

1 4 5 + = 30 30 30 1 4 9 14 F(3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = + = = 30 30 30 30 1 4 9 16 F(4) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = + + + =1 30 30 30 30 F(2) = P(X = 1) + P(X = 2) =

Dada una función de distribución, es posible obtener los valores de la función de probabilidad asociada calculando la diferencia entre imágenes sucesivas, de modo que P(X = xk) = F(xk) – F(xk – 1). Por ejemplo, sea X una variable aleatoria de función de probabilidad P y función de distribución F(a) = conjunto {1, 2, 3}. Entonces, F(1) =

CPECH

P(X = 1) = F(1) =

194

2a – 1 , con a en el a+2

2•1–1 1 2•2–1 3 3•2–1 5 = , F(2) = = y F(3) = = . Luego, 1+2 3 2+2 4 3+2 5

1 3 1 5 3 1 , P(X = 2) = F(2) – F(1) = – = y P(X = 3) = F(3) – F(2) = 1 – = . 3 4 3 12 4 4

Matemática

Pregunta tipo PSU Se tiene en una tómbola cuatro bolitas azules y tres bolitas rojas, todas de igual peso y tamaño. Un experimento consiste en extraer tres bolitas al azar, una a una y sin reposición, y se define la variable aleatoria X como el número de bolitas azules extraídas. Si f es la función de probabilidad asociada a X y F es la función de distribución de probabilidad de esta variable, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)

El recorrido de X es el conjunto {0, 1, 2, 3}. 18 35 31 F(2) = 35 f(2) =

Solo I Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III

I)

Verdadera, ya que al tener cuatro bolitas azules de un total de siete, y al extraer tres de estas bolitas, se pueden obtener cero bolitas azules, una bolita azul, dos bolitas azules y hasta tres bolitas azules, es decir, que los valores que puede tomar la variable aleatoria son aquellos que están en el conjunto {0, 1, 2, 3}.

II)

Verdadera, ya que f(2) = P(X = 2), es decir, la probabilidad de que al sacar estas tres bolitas, solo dos sean azules. Para esto, existen tres casos:



Caso 1: La primera extraída sea azul, la segunda también y la tercera roja. Caso 2: La primera azul, la segunda roja y la tercera azul nuevamente. Caso 3: La primera roja, la segunda azul y la tercera también.

CPECH

Resolución

195

Capítulo

4

Datos y Azar



Es decir, f(2) = P(X = 2) =



P(1ª azul y 2ª azul y 3ª roja) + P(1ª azul y 2ª roja y 3ª azul) + P(1ª roja y 2ª azul y 3ª azul) = 4 3 3 4 3 3 3 4 3 • • + • • + • • = 7 6 5 7 6 5 7 6 5

(Reemplazando)



36 36 36 + + = 210 210 210

(Desarrollando)



108 = 210







18 35

Luego, f(2) =

(Simplificando por 6) 18 35

III) Verdadera, ya que F(2) = P(X ≤ 2), es decir, la probabilidad de que se obtenga como máximo dos bolitas azules. Como la variable aleatoria toma como máximo valor tres, y la suma de todas las imágenes en la función de probabilidad es igual a 1, entonces F(3) = 1 y F(2) = F(3) – f(3) = 1 – f(3). Calculando f(3), es decir, la probabilidad de obtener tres azules:

P(1ª azul y 2ª azul y 3ª azul) =

Luego, F(2) = 1 – f(3) = 1 –

4 3 2 24 4 • • = = 7 6 5 210 35

ecta: Alternativa corr

E

4 35 – 4 31 = = 35 35 35

4.7.2 Valor esperado (Esperanza matemática) Sea X una variable aleatoria que toma los valores reales {x1, x2, x3, …, xk}. La esperanza matemática o valor esperado, E(X), corresponde a la suma de los productos entre cada valor que toma la variable y la probabilidad que esto ocurra. Es decir: E(X) = x1 • P(X = x1) + x2 • P(X = x2) + x3 • P(X = x3) + … + xk • P(X = xk) , donde P(X = xi) es la probabilidad que la variable aleatoria X tome el valor xi , o la imagen de xi en la función de probabilidad.

CPECH

Por ejemplo: en una caja hay cuatro bolitas azules y dos bolitas rojas, todas de igual peso y tamaño. Un experimento consiste en extraer al azar dos bolitas, una tras otra y sin reposición, y se define la variable aleatoria X como el número de bolitas azules que se extraen. Entonces, ¿cuál es el valor esperado de X?

196

Matemática En la caja hay 6 bolitas, de las cuales 4 son azules. Como se extraen dos bolitas, entonces los valores que puede tomar X son 0, 1 y 2. Luego P(X = 0) =

2 1 2 • = 6 5 30

(Probabilidad de extraer ninguna azul)

P(X = 1) =

4 2 2 4 16 • + • = 6 5 6 5 30

(Probabilidad de extraer solo una azul)

P(X = 2) =

4 3 12 • = 6 5 30

(Probabilidad de extraer dos azules)

Por lo tanto, E(X) = 0 • P(X = 0) + 1 • P(X = 1) + 2 • P(X = 2) = 0 •

2 16 12 4 +1• +2• = = 1,3 30 30 30 3

Pregunta tipo PSU En una bolsa hay cuatro tarjetas marcadas con la letra A y seis tarjetas marcadas con la letra B, todas de igual forma y tamaño. Un juego consiste en sacar dos tarjetas al azar, una a una y con reposición, donde si ambas corresponden al tipo A, entonces se gana $1.000; si ambas tarjetas son distintas, se gana $200; y si ambas tarjetas tienen la letra B, entonces se pierde $1.500. Si se desea participar del juego, entonces se estima, a partir del cálculo de esperanza, que el resultado del juego será A) B) C) D) E)

perder $256. perder $284. ganar $100. ganar $256. ni ganar ni perder.

Resolución Como el juego consiste en extraer dos tarjetas, una a una y con reposición, entonces los posibles resultados serán {AA, AB, BA, BB}, donde a cada posible resultado se le asigna un monto monetario, que corresponderá al recorrido de la variable aleatoria. Es decir, la variable aleatoria puede tomar los montos, en pesos, {– 1.500, 200, 1.000}. El monto esperado se determina a partir de la fórmula: E = x1 • P(X = x1) + x2 • P(X = x2) + x3 • P(X = x3) = – 1.500 • P(X = – 1.500) + 200 • P(X = 200) + 1.000 • P(X = 1.000)

(Reemplazando)

P(X = – 1.500) es igual a la probabilidad de perder $1.500, y esto ocurre cuando la primera y la segunda tarjeta son del tipo B. Luego, 6 6 36 9 • = = 10 10 100 25

CPECH

P(X = – 1.500) = P(1ª B y 2ª B) =

197

Capítulo

4

Datos y Azar

P(X = 200) es igual a la probabilidad de ganar $200, y esto ocurre cuando la primera es del tipo A y la segunda es B, o viceversa. Luego, P(X = 200) = P(1ª A y 2ª B) + P(1ª B y 2ª A) =

4 6 6 4 24 24 48 12 • + • = + = = 10 10 10 10 100 100 100 25

P(X = 1.000) es igual a la probabilidad de ganar $1.000, y esto ocurre cuando la primera y la segunda tarjeta son del tipo A. Luego, P(X = 1.000) = P(1ª A y 2ª A) = Por lo tanto,

4 4 16 4 • = = 10 10 100 25

– 1.500 • P(X = – 1.500) + 200 • P(X = 200) + 1.000 • P(X = 1.000) =

– 1.500 •

9 12 4 + 200 • + 1.000 • = 25 25 25 – 540 + 96 + 160 = – 284

(Reemplazando) (Calculando)

Luego, se espera que en el juego se pierda $284.

ecta: Alternativa corr

B

4.7.3. Distribución binomial Sabemos que una variable aleatoria discreta es aquella que solo toma ciertos valores puntuales. Si solo puede tomar dos valores posibles, se llama dicotómica. Ejemplos de experimentos dicotómicos son lanzar una moneda, el género de un bebé, contestar al azar verdadero o falso, y en general cualquier experimento que tenga solo dos resultados posibles. En general, la cantidad de resultados distintos que arroja una cierta combinación, puede calcularse como una combinación sin repetición C nk =

()

n n! = , donde n es la cantidad de veces que se repite el experimento k (n –k)! • k!

y k la cantidad de resultados de un tipo. Por ejemplo, si se lanza una moneda 6 veces (n = 6), la cantidad de combinaciones en que se obtienen 4 caras (k = 4) es C 64 =

6! 6! 1•2•3•4•5•6 720 = = = = 15. (6 –4)! • 4! 2! • 4! 1•2•1•2•3•4 48

Es decir, si se lanza una moneda 6 veces, hay 15 combinaciones donde se obtienen 4 caras y 2 sellos.

CPECH

En particular, si el experimento no se repite muchas veces, es posible obtener el resultado anterior mediante el triángulo de Pascal.

198

Para determinar la probabilidad de una cierta combinación de resultados cuando un experimento dicotómico (o experimento de Bernoulli) se repite muchas veces, se utiliza la distribución binomial. Un experimento sigue el modelo de una distribución binomial si: en cada prueba del experimento solo son posibles dos resultados

Matemática (éxito o fracaso), el resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente, y la probabilidad de éxito y fracaso es constante, es decir, no varía de una prueba a otra. Sea X una variable aleatoria discreta asociada a un experimento aleatorio dicotómico. Si la probabilidad de éxito es p y la probabilidad de fracaso, en el mismo experimento, es q = 1 – p, entonces la probabilidad de obtener exactamente k éxitos, al efectuar de forma independiente n veces dicho experimento aleatorio, está n dada por la expresión P(X = k) = • pk • qn – k, es decir, X se distribuye binomialmente. k

()

Por ejemplo, una prueba tiene diez preguntas, cada una con cinco alternativas de las cuales solo una es correcta, entonces ¿cuál es la probabilidad de tener exactamente seis respuestas correctas? 1 n = 10 (número de preguntas), k = 6 (número de preguntas correctas), p = (probabilidad de tener correcta 5 4 una pregunta, éxito), q = (probabilidad de tener incorrecta una pregunta, fracaso). Reemplazando, 5 10 1 6 4 4 P(X = 6) = • • . Al ser cálculos extensos, generalmente se expresa en factores. 6 5 5

( )() ()

Si en un experimento aleatorio los dos resultados tienen la misma probabilidad de ocurrir, por ejemplo el n 1 1 n resultado al lanzar una moneda, entonces p = q = . Es decir, P(X = k) = • . k 2 2

()( )

En una distribución binomial, el valor esperado es igual a n • p, mientras que la varianza es igual a n • p • q (recuerda que la desviación estándar es igual a la raíz cuadrada de la varianza).

Pregunta tipo PSU Un experimento consiste en lanzar un dado común y se define la variable aleatoria X como el número de veces que se obtiene como resultado un valor múltiplo de tres. Si el experimento se repite 16 veces, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? 480 316

I)

P(X = 14) =

II)

P(X = 4) = P(X = 12)

III)

P(X ≤ 15) =

A) B) C) D) E)

Solo I Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III

CPECH

316 – 1 316

199

Capítulo

4

Datos y Azar

Resolución Para este caso, una herramienta útil es aplicar una distribución binomial, ya que solo hay dos resultados posibles: es múltiplo de tres o no lo es. Se sabe que al lanzar un dado común, la probabilidad de obtener 2 1 = (ya que solo tres y seis son casos a favores), por lo que la probabilidad de un múltiplo de tres es 6 3 1 2 éxito será P = , mientras que la probabilidad de fracaso será q = . Como el experimento se repite 16 3 3 veces, entonces: I)

Verdadera, ya que P(X = 14) es igual a la probabilidad de obtener 14 veces un múltiplo de tres al lanzar el dado 16 veces. Luego:



P(X = 14) =

( )() ()





=

16! 114 22 • 14 • 2 (Desarrollando) (16– 14)! • 14! 3 3



=



=



= 120 •



=

16 1 • 14 3

14

•

22 (Reemplazando) 3

1 4 16 • 15 • 14! • 14 • 2 3 3 2! • 14! 16 • 15 1•4 • 14 2 2 3 •3 4 316

480 316

Falsa, ya que P(X = 4) =



CPECH

n • p k • qk ⇒ k

P(X = k) =

II)

200

()



( )( ) ( ) 16 1 4 2 , • 3 12 3

12

( )() () () () 16 1 4 2 • • 3 3 4

es distinto de

1 3

12

•

12

y P(X = 12) =

24 . 3

( )() () 16 1 • 12 3

12

•

()

24 16 . Si bien, es igual a 3 4

Matemática III) Verdadera, ya que P(X ≤ 15) corresponde a la probabilidad de obtener como máximo 15 veces un múltiplo de tres. Al ser 16 la cantidad máxima de veces que se puede obtener el resultado esperado, entonces P(X ≤ 15) = 1 – P(X = 16). Luego:

1 – P(X = 16) = 1 –



( )() ()

(Reemplazando) (Desarrollando)

16 1 • 16 3

16

•

2 3

0



= 1–

16! 116 • 16 (16 – 16)! • 16! 3



= 1–

1 316

316 – 1 = 316 Por lo tanto, solo I y III son verdaderas.

ecta: Alternativa corr

C

4.8. Análisis de variable aleatoria continua Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo, siendo el caso más común la distribución normal. En este tipo de variable no se calcula la probabilidad de que tome un valor específico, sino la probabilidad de que se encuentre dentro de un cierto intervalo.

4.8.1 Función de densidad En probabilidades, la función de densidad de probabilidad o función de densidad está asociada a una variable aleatoria continua, cuya gráfica corresponde a rectas o curvas continuas, encontrándose el 100% de los elementos pertenecientes al espacio muestral bajo esta curva. Es decir, si el área total bajo la curva representa al 100% de los datos, entonces el área total de esta será igual a 1. Si se quiere conocer el porcentaje de los datos que se encuentran en un determinado intervalo de la población, basta con calcular el área bajo la curva en dicho intervalo. Este porcentaje está asociado a la probabilidad de obtener al azar un elemento de la población que se encuentre en este intervalo.

CPECH

A diferencia de una función de probabilidad asociada a una variable aleatoria discreta, en una función de densidad no se puede determinar la probabilidad de que la variable aleatoria continua tome un determinado valor. Solo se puede calcular la probabilidad de que el valor que tome la variable aleatoria se encuentre en un determinado intervalo, considerando el área bajo la curva limitada por los valores en el que se encontrará el valor deseado. La probabilidad de que la variable tome un valor específico será igual a cero, ya que bajo un punto no es posible determinar el área.

201

Capítulo

4

Datos y Azar Ejemplo: El siguiente gráfico muestra la función de densidad de una variable estadística continua X que puede tomar valores entre 2 y 8. Frecuencia relativa 0,3

0,6

0,1

x 2

5

7

8

El área que se encuentra bajo cualquier porción de la curva representa el porcentaje de los datos que se encuentra en dicho intervalo, es decir, la probabilidad P de que la variable tome algún valor dentro de él. - - -

El 30% de los datos es menor o igual que 5, o sea, P(X ≤ 5) = 0,3 El 60% de los datos está entre 5 y 7, o sea, P(5 ≤ X ≤ 7) = 0,6 El 10% de los datos es mayor o igual que 7, o sea, P(X ≥ 7) = 0,1

Pregunta tipo PSU Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad f, tal que f(x) = para x en [2, p]. ¿Cuál es el valor de p? A)

3

B)

13 2

C)

5

D)

13 4

E)

No se puede determinar.

2x – 4 , 9

Resolución

CPECH

Al ubicar al punto p en la recta a la derecha de 2 y al graficar la función f, queda determinado un triángulo rectángulo, cuyos catetos miden la diferencia positiva entre 2 y p, y el valor que toma la función evaluada en p.

202

Como f corresponde a una función de densidad de probabilidad, con dominio el conjunto [2, p], entonces el área bajo la gráfica en este intervalo debe ser igual a 1.

f(x) 2p – 4 9

2

p

x

Matemática cateto 1 • cateto 2 Atriángulo rectángulo = = 2

(p – 2) •

( )

2

2p – 4 9

=1

Desarrollando la ecuación: (p – 2) •

( ) 2p – 4 9

2

=1

( )

2p – 4 = 2 9

(Multiplicando por 2)

(p – 2) • (2p – 4) = 18

(Multiplicando por 9)

2p2 – 8p + 8 = 18

(Desarrollando producto)

2p2 – 8p – 10 = 0 p2 – 4p – 5 = 0

(Restando 18) (Dividiendo por 2)

(p – 5)(p + 1) = 0

(Factorizando)

(p – 2) •

ecta: Alternativa corr

Luego, los valores de p que satisfacen la ecuación son 5 y – 1. Como p es mayor que 2, entonces el dominio de la función será [2, 5].

C

4.8.2. Distribución normal tipificada Se estableció anteriormente que una distribución de frecuencias puede representarse de distintas maneras, entre ellas, el polígono de frecuencias. Por ejemplo, si se lanzan 10 monedas al mismo tiempo y se cuenta la cantidad de caras que se obtiene, repitiéndose 100 veces el procedimiento, se obtiene el siguiente polígono de frecuencias relativas: Frecuencia relativa 0,25 0,20 0,15 0,10

0,00

Cantidad de caras 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

CPECH

0,05

203

Capítulo

4

Datos y Azar Existen muchos estudios estadísticos reales, cuando se mide una variable continua con una gran cantidad de datos (como el peso, la estatura, la presión arterial, el coeficiente intelectual, etc. de grandes poblaciones), en los cuales el polígono de frecuencias relativas tiende a tomar una forma acampanada y simétrica llamada “Campana de Gauss”, como en el siguiente gráfico: Frecuencia relativa

Variable En tales casos, se dice que la distribución de frecuencias es gaussiana o normal. Si bien la distribución normal representa situaciones cotidianas, para trabajar matemáticamente con ella es necesario primero conocerla en su forma estándar o tipificada, que significa una variable Z con media 0 y desviación estándar 1, (N(0,1)) como muestra la figura: Frecuencia relativa

Z –3

–2

–1

0

1

2

3

4.8.3. Propiedades de distribución normal tipificada y análisis gráfico Una de las propiedades más importantes de la distribución normal consiste en que es posible determinar la proporción de los datos de la muestra que se encuentra entre ciertos valores. Para esto, es necesario considerar que en una distribución normal tipificada el área total bajo la curva es igual a 1, lo que significa que el 100% de los datos de la muestra se encuentra bajo ella. Frecuencia relativa

CPECH

100%

204

Z –3

–2

–1

0

1

2

3

Matemática Supongamos que Z es una variable cuya distribución corresponde a una normal tipificada. Existe una tabla que permite conocer el área bajo la curva hasta cualquier valor de esta variable, lo que indica directamente la proporción de los datos que es menor o igual que dicho valor, es decir, el área bajo la curva en un determinado intervalo es igual a la probabilidad de escoger al azar un elemento que se encuentra en dicho intervalo. A continuación se muestra un extracto de la tabla.

Z

Área intervalo ] – ∞, z ] o P(Z ≤ z)

0,67

0,749

0,99

0,839

1,00

0,841

1,15

0,875

1,28

0,900

1,64

0,950

1,96

0,975

2,00

0,977

2,17

0,985

2,32

0,990

2,58

0,995

0

z

Z

Por ejemplo, según la tabla, el área bajo la curva en el intervalo ]– ∞, 1,15] es 0,875. Esto significa que el 87,5% de los datos de la muestra tiene un valor menor o igual que 1,15. Es decir, la probabilidad de obtener un dato menor o igual que 1,15, P(Z ≤ 1,15), es 0,875. Frecuencia relativa

87,5%

1,15

Z

CPECH

Esta característica es extensible a cualquier porción de la curva, es decir, si se quiere conocer la proporción de los datos de la muestra que se encuentra en el intervalo ]a, b], es necesario determinar el área bajo la curva de dicho intervalo, que corresponde a determinar el área bajo la curva hasta b y restarle el área bajo la curva hasta a.

205

Capítulo

4

Datos y Azar Por ejemplo, según la tabla, el área bajo la curva en el intervalo ]– ∞, 1,64] es 0,950, es decir, P(Z ≤ 1,64) = 0,950 y el área bajo la curva en el intervalo ]– ∞, 0,67] es 0,749, es decir, P(Z ≤ 0,67) = 0,749. Luego, el área bajo la curva en el intervalo ]0,67, 1,64], o sea, P(0,67 ≤ Z ≤ 1,64) es (0,950 – 0,749) = 0,201. Esto significa que el 20,1% de los datos de la muestra tiene un valor mayor o igual que 0,67 y menor o igual que 1,64. Frecuencia relativa

20,1%

Z 0,67

1,64

De la misma forma, también es posible obtener la proporción de los datos de la muestra que es mayor que un cierto valor de la variable, que corresponde a tomar el área total (1) y restarle el área bajo la curva hasta dicho valor. Por ejemplo, según la tabla, el área bajo la curva en el intervalo ]– ∞, 0,99], es decir, P(Z ≤ 0,99) es 0,839. Luego, el área bajo la curva en el intervalo ]0,99, + ∞[ es (1 – 0,839) = 0,161. Esto significa que el 16,1% de los datos de la muestra tiene un valor mayor que 0,99 o que la probabilidad de escoger al azar un elemento mayor que 0,99 es 0,161. Frecuencia relativa

16,1%

Z

0,99

Por otra parte, el resultado anterior es igual al área bajo la curva que hay en el intervalo ]– ∞, – 0,99], o sea, P(Z ≤ – 0,99). Esto ocurre porque la distribución es simétrica y continua, lo que hace que la proporción de los datos de la muestra que es menor o igual que a es igual a la proporción de los datos de la muestra que es mayor que a. Frecuencia relativa

CPECH

16,1%

206

16,1%

Z – 0,99 0,99

Matemática

Pregunta tipo PSU Sea Z una variable aleatoria que se distribuye de manera normal tipificada. Si a y b son dos valores reales, tales que b < 0 < a, entonces se puede determinar el porcentaje de datos que se encuentran en el intervalo [b, a], si se conoce: (1) La probabilidad de obtener un dato mayor que b. (2) El porcentaje de datos que son mayores que – a y menores que cero. A) B) C) D) E)

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.

Resolución Se sabe que la gráfica asociada a una distribución normal tipificada es una curva simétrica respecto al eje vertical que pasa por cero.

Z a

(1)

La probabilidad de obtener un dato mayor que b. Con esta información no es posible determinar el porcentaje de datos que hay en el intervalo [b, a], ya que esta probabilidad es igual al porcentaje de datos que son mayores que b, lo que a su vez nos permite determinar el porcentaje de datos que son menores que este valor (ya que es igual a lo que le falta al porcentaje anterior para completar el 100% de los datos). Aún no se sabe nada respecto al valor a.

2)

El porcentaje de datos que son mayores que – a y menores que cero. Al igual que el caso anterior, no es posible determinar la información solicitada, ya que el número de datos mayores que – a es igual al número de datos que son menores que a, gracias a la simetría de la curva y al hecho de que la mitad de los datos son mayores que cero. Respecto a b, no es posible concluir nada.



Con ambas informaciones a la vez sí es posible determinar el porcentaje solicitado, ya que con la primera información es posible determinar el porcentaje de datos menores que b, mientras que con la segunda información se puede determinar el porcentaje de datos menores que a. Luego, el porcentaje de datos que está entre los valores consultados es igual a la diferencia entre el porcentaje de datos que sean menores que a y el porcentaje de datos que sean menores que b.



Por lo tanto, la alternativa correcta es: ambas juntas.

ecta: Alternativa corr

C CPECH

b

207

Capítulo

4

Datos y Azar 4.8.4. Tipificación Como se indicó anteriormente, existen muchos fenómenos reales que pueden representarse estadísticamente mediante una distribución normal. No obstante, el análisis matemático solo considera la distribución normal tipificada (es decir, de promedio 0 y desviación estándar 1). Sin embargo, una distribución normal no tipificada (de promedio μ y desviación estándar σ) puede transformarse en una distribución normal tipificada mediante un cambio de variable, y luego aplicarse todo el análisis válido para este tipo de distribución. Este procedimiento se denomina tipificación (o estandarización) y se fundamenta en que todas las distribuciones normales tienen la misma forma, pero con distinto centro (que depende del promedio) y proporción en sus dimensiones (que depende de la desviación estándar). Es decir, aplicando una corrección con respecto a estos parámetros es posible ajustar la distribución. Luego, sea X una variable estadística con distribución normal no tipificada de promedio μ y desviación estándar σ, entonces se puede transformar la variable X en una variable estadística Z con distribución normal X–μ tipificada mediante el cambio Z = . σ Por ejemplo, las estaturas de los alumnos de un colegio se distribuyen normalmente con un promedio de 144 cm y una desviación estándar de 12 cm. Si se quiere conocer el porcentaje de alumnos del colegio que tienen una estatura menor o igual que 156 cm: ■ En primer lugar, se realiza el cambio de variable Z = X la variable estatura en centímetros.

estatura – 144 , con Z una variable normal tipificada y 12

■ Luego, usando el cambio de variable, se determina el valor de Z equivalente al valor de la estatura buscado 156 – 144 12 (156 cm), o sea, Z = = = 1. 12 12 ■ Se busca en la tabla el valor del área bajo la curva del intervalo ]– ∞, 1], que es igual a 0,841. Esto significa que el 84,1% de los datos es menor o igual que Z = 1 y que la probabilidad de escoger un elemento con estas características es 0,841. ■ Como Z = 1 es equivalente a X = 156 cm, entonces se concluye que el 84,1% de los alumnos tienen una estatura menor o igual que 156 cm, es decir, P(X ≤ 156) = 0,841.

Sabías que...

CPECH

Respecto al gráfico de una distribución normal no tipificada, si la desviación estándar de una variable aleatoria aumenta, el ancho de la curva aumenta, mientras que su altura disminuye.

208

Matemática

Pregunta tipo PSU Se realiza un estudio estadístico respecto a la estatura, en centímetros, de los estudiantes de una determinada carrera, distribuyéndose normalmente con media 166 cm y desviación estándar 5 cm. Si se escoge un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que este mida más de 174,2 cm? A) 0,950 B) 0,841 C) 0,251 D) 0,159 E) 0,050

Resolución Como en las páginas anteriores se presentó un cuadro en el que se muestran ciertos valores asociados a una distribución normal tipificada, entonces es conveniente tipificar la distribución presente en el enunciado, es decir, realizar un cambio de variable por otra que tenga media igual a cero y distribución estándar igual a 1. Supongamos que Z es una variable aleatoria que se distribuye de manera normal tipificada. Utilizando la tipificación, se obtiene Z=

(

Es decir, P(X ≥ 174,2) es igual a P Z ≥

( (

P Z≥ = P Z≥

174,2 – 166 5

)

)

X–μ X – 166 = σ 5

)

174,2 – 166 . Calculando: 5 (Reemplazando)

8,2 (Calculando) 5

= P(Z ≥ 1,64) Por simetría de la curva de una distribución normal tipificada, se sabe que

Según la tabla de distribución normal tipificada, P(Z ≤ 1,64) es igual a 0,950. Luego, P(Z ≥ 1,64) = 1 – 0,950 = 0,050

ecta: Alternativa corr

E

CPECH

P(Z ≥ 1,64) = 1 – P(Z ≤ 1,64)

209

Capítulo

4

Datos y Azar 4.8.5. Inter valos de confianza Sea X una variable aleatoria que se distribuye de forma normal en una cierta población, con desviación estándar σ. Si la población es muy grande resulta bastante difícil calcular la media μ de X. Sin embargo, si se extrae una muestra de X de promedio x, se puede determinar un intervalo de confianza dentro del cual se encuentre μ, con un cierto nivel de confianza. El nivel de confianza se expresa (1 – α), donde α representa el nivel de significancia.

a 2

a 2

1–a

xa

x1 – a

2

X

2

Si Z es una variable aleatoria con distribución normal tipificada, entonces para determinar el valor de z1 –

a 2

a

un cierto nivel de confianza, se requiere el uso de la tabla de las áreas en una distribución normal tipificada presentada anteriormente. Por ejemplo, si el nivel de confianza es un 99%, entonces: (1 – α) • 100 = 99 ⇔ (1 – α) = 0,99 ⇔ α = 0,01 ⇔

α α = 0,005 ⇔ 1 – = 0,995 2 2

Luego, la variable Z toma el valor 2,58 cuando el área bajo la curva es 0,995, es decir, z0,995 = 2,58. Si de una población, que bajo una cierta variable tiene un comportamiento normal con media μ y desviación estándar σ, se extrae una muestra de n elementos, donde el promedio de la muestra es x, entonces el intervalo de confianza, con un nivel de confianza (1 – α), es [ x – E, x + E], siendo E el error. E = z1 –

a

•

2

σ �n

corresponde al valor que toma la variable aleatoria Z, con distribución normal tipificada cuando a el área bajo la curva es 1 – . 2 Donde z1 –

a 2

( )

De esto se concluye que, con un (1 – α)% de seguridad, la media de la población se encuentra en el intervalo [ x – E, x + E ]. Por ejemplo, en una plantación, el peso de las sandías se ajusta a una distribución normal cuya desviación estándar es de 1.000 gramos. Se extrae una muestra de 64 sandías al azar y se determina que el promedio de dicha muestra es de 5.430 gramos. Considerando un nivel de confianza del 90%, ¿en qué intervalo se encuentra la media poblacional del peso, en gramos, de las sandías? Como se desea trabajar con un nivel de confianza del 90%, entonces (1 – α) es igual a 0,9.

CPECH

Luego α = 0,1, por lo tanto: 1 –

210

a = 1 – 0,05 = 0,95 ⇒ z1 – 2

a 2

= z0,95 = 1,64

Matemática Extrayendo los datos del enunciado: σ = 1.000 gramos, n = 64 sandías, x = 5.430 gramos y z0,95 = 1,64. Sustituyendo en la fórmula de error: E = 1,64 •

1.000 1.000 = 1,64 • = 1,64 • 125 = 205 gramos. 8 �64

Por lo tanto, el intervalo de confianza corresponde a: [ x – E, x + E] = [5.430 – 205, 5.430 + 205] = [5.225, 5.635], en gramos.

Pregunta tipo PSU Desde una determinada población con distribución normal de media μ y varianza 16, se extrae una muestra con la cual se determina el intervalo de confianza [67,02; 68,98], con un nivel de confianza del 95%. ¿De cuántos elementos se compone la muestra utilizada para determinar dicho intervalo de confianza? A) 8 B) 32 C) 64 D) 96 E) 144

Resolución Se sabe que un intervalo de confianza se determina a partir de la fórmula x – z1 a • 2

σ

�n

, x – z1 a • 2

σ

�n

Como se conoce el intervalo de confianza con un 95% de seguridad, entonces es necesario determinar el valor de la media muestral (x), de la desviación estándar (σ) y el valor que toma la variable aleatoria en un distribución normal tipificada asociada al nivel de confianza. Se sabe que la varianza de la población es igual a 16, por lo que la desviación estándar será igual a la raíz de esta varianza, es decir, σ = 4. Por otra parte, el promedio de la muestra corresponde al valor medio entre los extremos del intervalo, es decir, x=

67,02 + 68,98 136 = = 68 2 2

Por último, como (1 – α) es igual a 0,95, entonces α es igual a 0,05. Luego: 1–

z1 –

a 2

= 1,96.

a 2

es igual a la preimagen de 0,975 en la tabla de distribución normal tipificada. Es decir,

CPECH

Por lo que z1 –

α 0,05 =1– = 1 – 0,025 = 0,975 2 2

211

Capítulo

4

Datos y Azar

Tomando uno de los extremos del intervalo de confianza y sustituyendo los datos determinados: x + z1 – a • 2

68 + 1,96 •

σ

�n 4

�n

1,96 • 4

�n

= 68,98

(Igualando límite superior)

= 68,98

(Reemplazando)

= 0,98

(Restando 68)



7,84 = 0,98 • �n

(Multiplicando por �n )



7,84 = �n 0,98

(Dividiendo por 0,98)



8 = �n (Calculando) 64 = n

ecta: Alternativa corr

C

(Elevando al cuadrado)

Luego, el tamaño de la muestra es 64.

4.8.6 Aproximaciones a distribuciones normales Hay casos en las que distribuciones de variables aleatorias discretas se ajustan a una distribución de variables aleatorias continuas, como por ejemplo la distribución binomial. Si un experimento de Bernoulli se repite una gran cantidad de veces (como mínimo 30 repeticiones), esta distribución se puede aproximar a una distribución normal, donde la media de esta distribución será μ = n • p y la desviación estándar será σ = �n • p • q (con n igual al número de repeticiones, p igual a la probabilidad de éxito y q igual a la probabilidad de fracaso). En general, entre más grande es n, mejor es la aproximación a la normal, aunque también se recomienda que se cumpla que n • p > 5 y n • q > 5.

x Teniendo la media y desviación estándar, es posible tipificar la distribución, y obtener los valores correspondientes a partir de la tabla de distribución normal tipificada. Esta aproximación se utiliza, al igual que en una distribución normal, para determinar la probabilidad de un determinado intervalo. Por ejemplo, para determinar la probabilidad de obtener como máximo 18 buenas al responder al azar una prueba de 48 preguntas con cuatro alternativas cada una. p=

�

1 3 1 ,q= y n = 48. Luego μ = 48 • = 12 (mayor que 5) y σ = 48 • 1 • 3 = �9 = 3. 4 4 4 4 4

CPECH

Por lo tanto, se aproxima a una distribución normal de media 12 y desviación estándar 3.

212

Matemática Otra aproximación de una variable aleatoria discreta a una distribución es el caso de la distribución de las medias muestrales de una población. Dada una población que no necesariamente se distribuye de manera normal, al tomar todas las muestras de igual tamaño, las medias muestrales tienden a tener un comportamiento similar a una distribución normal. Al aproximar la distribución de las medias muestrales a una distribución normal, la media corresponderá a la media de la población, mientras que la desviación estándar de esta distribución será igual al cociente entre la desviación estándar de la población y la raíz del tamaño de cada muestra. Es decir, si en una población de media µ y desviación estándar σ se extraen muestras de tamaño n, entonces las medias muestrales se σ aproximan a una distribución normal de media µ y desviación estándar . Por ejemplo, en una plantación �n de naranjas, cada árbol da en promedio 30 kg de esta fruta, con una desviación estándar de 4 kg. Si se toman muestras de 16 árboles, entonces las medias muestrales se aproximan a una distribución normal de media 30 kg 4 y desviación estándar = 1 kg. �16

Pregunta tipo PSU En una tómbola hay 16 bolitas azules y 9 bolitas rojas, todas de igual peso y tamaño. Un experimento consiste en extraer una bolita al azar, registrar el color obtenido y devolverla a la tómbola. Si el experimento se realiza 10.000 veces y se define la variable aleatoria X como el número de bolitas azules que se obtienen, y f como su función de probabilidad, ¿cuál es la desviación estándar de f cuando se aproxima a una distribución normal? A) 24 B) 48 C) 60 D) 64 E) 80

Resolución El experimento considera solo dos resultados: se obtiene una bolita azul o se obtiene una bolita roja. Es decir, corresponde a una distribución binomial, donde la probabilidad de éxito (p) será igual a la probabilidad de extraer una bolita azul, mientras que la probabilidad de fracaso (q) corresponderá a la probabilidad de extraer una bolita roja. p = P(azul) =

16 25

p = P(roja) =

9 25

Como el experimento se repite muchas veces, la probabilidad de obtener un número exacto de éxitos es muy pequeña, por lo que conviene aproximarlo a una variable aleatoria continua que se comporta como una distribución normal.

Donde μ = n • p y σ = �n • p • q.

CPECH

X ~ B(n, p) → X ~ N(μ, σ)

213

Capítulo

4

Datos y Azar

Calculando la desviación estándar:

σ = �n • p • q =

�10.000 • 2516 • 259 � 2516 • � 259

(Reemplazando)



= �10.000 •



= 100 • 4 • 3 5 5



= 100 • 4 • 3 (Desarrollando) 5•5

(Producto de raíces)

(Calculando raíces)

CPECH



214



= 1.200 25



= 48

ecta: Alternativa corr

B

Matemática

Bibliografía

• Zill, D; Dewar J. Álgebra y Trigonometría. Editorial Mc Graw Hill 2ª Edición 2000. • Smith, S.; Charles, R.; Dossey, J. ; Keedy, M.; Bittinger M. Álgebra. Editorial Addison-Wesley Iberoamericana S.A., 1992. • Matemáticas en la Vida Cotidiana. Consortium for Mathematics and Its Applications. Editorial AddisonWesley / Universidad Autónoma de Madrid, 1998.

•

Mercado S. Carlos. Geometría Tomos III y IV. Editorial Universitaria, 1984.

•

Geometría. Editorial Arrayán, 2004.

CPECH

• I. Biosca, A; Espinet M. J. ; Fandos, M. J. ; Jimeno, M., Rey, J. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales Bachillerato edebé, 1998.

215