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Código: JMA OL-04-2018 C u r s o: Matemática

CUARTA JORNADA DE EVALUACIÓN GENERAL ON LINE MATEMÁTICA

PSU MATEMÁTICA INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS 1.

A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar durante el desarrollo de los ejercicios.

2.

Las figuras que aparecen en el modelo son solo indicativas.

3.

Los gráficos que se presentan en este modelo están dibujados en un sistema de ejes perpendiculares.

4.

Se entenderá por dado común, a aquel que posee 6 caras, donde al lanzarlo las caras son equiprobables de salir.

5.

En esta prueba, las dos opciones de una moneda son equiprobables de salir, a menos que se indique lo contrario.

6.

(f · g)(x) = f(g(x))

7.

Los números complejos i y -i son las soluciones de la ecuación x 2 + 1 = 0.

8.

Si z es un número complejo, entonces z es su conjugado y z es su módulo.

9.

Si Z es una variable aleatoria continua, tal que Z ∼ N(0, 1) y donde la parte sombreada de la figura representa a P(Z ≤ z), entonces se verifica que:

z 0,67 0,99 1,00 1,15 1,28 1,64 1,96 2,00 2,17 2,32 2,58

P(Z  z) 0,749 0,839 0,841 0,875 0,900 0,950 0,975 0,977 0,985 0,990 0,995

0

2

z

Z

INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS DE SUFICIENCIA DE DATOS En las preguntas de Suficiencia de Datos no se pide la solución al problema, sino que se decida si con los datos proporcionados tanto en el enunciado como en las afirmaciones (1) y (2) se pueda llegar a la solución del problema. Es así, que se deberá marcar la opción: A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es, B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es, C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente, D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución. SÍMBOLOS MATEMÁTICOS




es mayor que

∼

es semejante con

≤

es menor o igual a

⊥

es perpendicular a

≥

es mayor o igual a

≠

es distinto de

ángulo recto

//

es paralelo a

ángulo

trazo AB

log logaritmo en base 10

pertenece a

φ

conjunto vacío

|x|

valor absoluto de x

ln

logaritmo base e

x!

factorial de x

ln ∪

unión de conjuntos

∩

intersección de conjuntos

AC

complemento del conjunto A

u

vector u

3

1.

(0,2)8

A) B) C) D) E)

2.

3 4 5 6 8

¿Cuál de las siguientes fracciones es la de mayor valor?

A) B) C) D) E)

4.

0,0008 0,001 0,008 0,04 0,08

Cuando el número 83,6 · 10-6 se escribe en la forma decimal, ¿cuántos ceros se pueden contar entre la coma decimal y el primer dígito distinto de cero? A) B) C) D) E)

3.

=

(0,2)5

48 5

(2 )(32 ) 12 (24 )(33 ) 6 (23 )(32 ) 144 (24 )(34 ) 81 (23 )(35 )

Si la recta de la figura adjunta está divida en espacios iguales, entonces n = A) B) C) D) E)

32 28 26 24 16

8

4

n

48

5.

2

A) B) C) D) E)

6.

4

1 1 ¿En qué razón están respectivamente   y   ? 3 3

9 3 1 1 1

: : : : :

1 1 3 9 27

Si “dos más que n” es un número negativo y “cinco más que n” es un número positivo, entonces ¿cuál de los siguientes puede ser el valor de n? A) -6 B) -5 C) -4 D) 2 E) 7

7.

Un sable y su vaina cuestan $ 350.000. Si la vaina cuesta $ 50.000 menos que el sable, ¿cuánto cuesta el sable? A) B) C) D) E)

8.

$ $ $ $ $

150.000 200.000 225.000 250.000 275.000

Se puede determinar que la expresión

r+p es igual a 1, si se sabe que: q

(1) p, q y r son números no nulos. (2) p es igual a q – r. A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

5

9.

Un terreno fue comprado en $ 1.757.800 y dividido en tres lotes de modo que el primero tenía 98 m2 más que el segundo, y el tercero 81 m 2 menos que el primero. Si el valor del metro cuadrado de este terreno fue de $ 3.400, entonces ¿cuántos m 2 tiene el lote más grande? A) B) C) D) E)

134 151 170 232 258

10. Si x es un número real, el conjunto de todos los valores de k para los cuales se cumple que A) B) C) D) E)

x2 = -k es el conjunto de los números

reales reales reales reales reales

distintos de 0. positivos. no negativos. no positivos.

11. Si logc 7 = x y logc 49 = y, entonces logc 343 = A) B) C) D) E)

2x + 2y 2x – y 2y – x x + 2y x+y

12. ¿Con cuál(es) de las siguientes igualdades se puede determinar con toda seguridad que los números reales m y n son iguales? I) II) III) A) B) C) D) E)

m3 = n 3 m = n m = n

Solo I Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III

6

13. Si

3

x2 = 2, con x perteneciente a los números reales positivos, entonces

A) B)

2 3

2

C) 4 2 D) 4 3 2 E) 4 4 2

14. ¿Cuál(es) de los siguientes es (son) número(s) irracional(es)? I) II) III) A) B) C) D) E)

Solo Solo Solo Solo Solo

3 2 18 3 10 2 2

2 (2 2 –

8)

I II III I y III II y III

15. ¿Cuál es el módulo del número completo z = -6 + 3i? A) 19 B) 35 C) 22 D)

95

E) 3 5

16. Si i es la unidad imaginaria, entonces

1 = i

A) -1 B) –i C) 0 D) 1 E) i

7

x3 =

17. Se puede determinar que la expresión

1 − k representa un número real, si: k

(1) k es un número negativo. (2) k es número distinto de cero. A) B) C) D) E)

18. Si

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

w 1 = , entonces w – 17 = 17 17

A) 18 B) 17 C) -15 D) -16 E) -18

19. El volumen V de un cono se calcula mediante la fórmula V = siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)

Solo Solo Solo Solo Solo

Si h se duplica, V se cuadruplica. Si r se triplica, V queda multiplicado por 9. Si h y r se duplican, V se cuadruplica.

I II III I y II II y III

8

1 2 πr h. ¿Cuál(es) de las 3

20. ¿Cuál de las siguientes fracciones es el recíproco de

A) B) C) D) E)

x-1 + y-1 x-1 − y-1

?

x+y x x+y y x+y x − y y+x y − x y − x y+x

21. El sistema de ecuaciones lineales se llama “compatible” cuando admite al menos una solución; se llama “determinado” si admite solución única, y se llama “indeterminado” x − y=2 cuando tiene infinitas soluciones. Si en el sistema , se tiene que w = -2 y 2x + wy = z z = 4, entonces este sistema es A) B) C) D) E)

incompatible incompatible incompatible compatible y compatible e

y determinado. o determinado. e indeterminado. determinado. indeterminado.

22. ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado cuya área es

A) B) C) D) E)

3 a 4 3 2 a 4 3a 3a2 4a

9

9a2 ? 16

23.

(z2 − 5z + 6)-1 = z − 3 z − 2

A) 1 B) (z – 3)-2 1 C) (z − 2)2 3 D) 2 2(z − 5z + 6) 2 E) 2 3(z − 5z + 6)

24. ¿Cuál es el valor de a2b, si 3a2 = 4b = 12? A) B) C) D) E)

6 12 24 36 48

25. Sofía y Constanza están de cumpleaños el mismo día del año. Si la edad de Sofía actualmente, cuadruplica la edad de Constanza, ¿cuántos tendrán que transcurrir para que Constanza tenga la tercera parte de la edad de Sofía? A) B) C) D) E)

La mitad de la edad de Constanza. La mitad de la edad de Sofía. 1,5 veces la edad de Constanza. 1,5 veces la edad de Sofía. 5 veces la edad de Constanza.

26. ¿Cuál(es) de los siguientes números pertenece(n) al conjunto solución de la inecuación x – 7 < 2, si x ∈ lR? I) II) III) A) B) C) D) E)

7,2 2π 4 2

Solo I Solo I y II Solo I y III I, II y III Ninguno de ellos. 10

27. Se puede determinar el valor numérico de c-0,6, si se sabe que: (1) 5 c = 1 (2) c2 – c = 0 A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

28. La figura adjunta corresponde a la gráfica de f(x). ¿Cuál de las siguientes opciones puede ser la gráfica de f(x – 1) + 1? y

x

A)

B)

y

C)

y

x

D)

y

x

y

x

y

E)

x

x

29. Las dos tablas adjuntas muestran algunos valores para las funciones f y g. Si las gráficas de f y g son rectas, entonces ¿cuál es el valor de a + b? f(x) 4 a 7

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 11

x 3 5 6

g(x) 2 b 7

x 3 6 8

30. Sean f y g funciones definidas por f(x) = x 3 – 1 y g(x) = (x – 1)3 con dominio el conjunto de los números reales. ¿Cuál es el valor de f(g(2)) – g(f(2))? A) -216 B) 0 C) 7 D) 27 E) 512

31. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) FALSA(S), respecto de la función f(x) = x4, cuyo dominio es el conjunto de los números reales? I) II) III) A) B) C) D) E)

Solo Solo Solo Solo Solo

f(a + b) = f(a) + f(b) 1 1 f  = f(a)  a f(an) = [f(a)]n

I II III I y II I y III

32. El costo C en pesos de una producción de x artículos se calcula mediante la fórmula C = 1.230x + 456. ¿Cuál es el máximo número de artículos que se pueden producir con $ 14.950? A) B) C) D) E)

9 10 11 12 13

33. Dada una función f: lR → lR, tal que f(3x – 4) = 4x – 10 y f(µ) = 2, entonces µ = A) 2 B) 3 C) 5 D) 9 E) 12 12

34. Si f(x) = x2 + 4x – 5

A) B) C) D) E)

f y g(x) = 2 – x – x2, ¿cuál es el dominio de   (x)?  g

{-2, 1, 5} lR lR – {1} lR – {-2} lR – {-2, 1}

35. Si f y g son funciones con dominio en los números reales definidas por f(x) = x 2 – 3 y g(x) = x + 2, entonces f(g(x)) es igual a A) B) C) D) E)

x2 x2 x2 x2 x2

+1 –1 + 4x – 1 + 4x + 1 – 4x + 1

36. Dado x2 + bx + c = (x + k)2 con b, c y k constantes reales, se puede determinar el valor de c, si se sabe que: (1) k = 5 (2) b = 10 A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

13

37. ¿En cuál(es) de los siguientes gráficos se cumple que no hay más de un punto que tenga(n) la misma abscisa? I)

II)

y

x

A) B) C) D) E)

III)

y

y

-1

x

x

Solo I Solo II Solo III Solo I y II Ninguna de ellas

38. Si el punto P(2, -7) se rota en 90° en sentido antihorario en torno al origen, se obtiene el punto Q(a, b). ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)? I) II) III) A) B) C) D) E)

ab = 14 a + b = -9 b–a=5

Solo I Solo II Solo III Solo II y III I, II y III

39. ¿Cuál de los siguientes conjuntos tiene como elementos tres puntos que pertenezcan a cualquiera de las diagonales del cuadrado ABCD de la figura adjunta? y

A) [(-1, -1); (2, 2); (5, 4)] 1 7 B) [(-1, -1);  ,  ; (2, 2)] 2 2 C) [(-2, -2); (-1, -1); (2, 2)] D) [(-2, -2); (-1, -1); (5, 5)]  1 3 E) [(2, 2);  - ,  ; (5, 5)]  2 2

D

5

C

-1

A

14

5 -1

B

x

40. ¿En cuál de los siguientes polígonos no se forman dos triángulos cuando se traza una de sus diagonales? A) B) C) D) E)

Deltoide Romboide Rectángulo Rombo Pentágono regular

41. En el triángulo ABC de la figura adjunta, BED = ECA. Si DE = 12 y AC = 15, entonces AD : AB = C

A A) B) C) D) E)

E

D 1 3 3 4 1

: : : : :

B

5 4 5 5 6

42. En la figura adjunta, P, Q y D pertenecen a los trazos AC , BC y AB , respectivamente. El ∆ABC es rectángulo en C, // AB y PD // CB . Si PQ AB : CQ = 5 : 1, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)

∆CQR ∼ ∆ABC Si RQ = 3 cm y CR = 4 cm, entonces el perímetro del ∆ABC es 60 cm. Si CQ = 10 cm, entonces AB = 50 cm. C

Solo I Solo II Solo III Solo I y II I, II y III

P

A

15

R

D

Q

B

43. En la figura adjunta O es centro de la circunferencia, ∆ABO es equilátero y ADE mide 40°. ¿Cuál es la medida del ángulo BCA? C E D O A B A) B) C) D) E)

10° 15° 20° 30° 40°

44. ¿En cuál(es) de las siguientes figuras se observa(n) dos triángulos semejantes? I)

II)

III)

α

α 2α 2α

α

A) B) C) D) E)

Solo I Solo II Solo III Solo II y III I, II y III

16

45. La figura adjunta está formada por un cuadrado y un semicírculo. Si EF ⊥ DC

y

4EB = AE = 16, entonces ¿cuál es la longitud de EF ? F b G b

D b

A A) B) C) D) E)

C b

E B b

24 26 28 30 32

46. En la circunferencia de centro O de la figura adjunta AE = 2 y ED = 4. ¿Cuál es el área del círculo? D A E C

O

B

A) 16π B) 25π C) 64π D) 100π E) 625π 47. En la circunferencia de centro O de la figura adjunta, los puntos A, B y C pertenecen a ella. Se puede determinar el valor del ángulo x, si: (1) El ángulo BAO mide 40°. (2) El ángulo CBO mide 30°. A) B) C) D) E)

B

(1) por si sola (2) por si sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

A

17

x

O C

48. Si O es centro de homotecia y k razón de homotecia, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? O

I) II) III)

A) B) C) D) E)

Si el pentágono más pequeño es el homotético, entonces k < 0. Si el pentágono más pequeño es el original, entonces k > 1. 1 Si k = , el pentágono original es el más grande. 2

Solo I Solo II Solo III Solo II y III Ninguna de ellas.

49. En la figura adjunta, si L1 // L2 // L3, ¿cuál es el valor de x + y?

3y-1 2y+2 2y-2 3

4

L1 A) B) C) D) E)

x

L2

L3

24 18 16 12 7

18

50. En la figura adjunta, O es centro de la circunferencia de radio 5. Si m = 6, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

n

h O

I) II) III) A) B) C) D) E)

m

k

k es un número irracional. n es un número racional entero. h es un número racional no entero.

Solo II Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III

51. La recta M pasa por el punto (4, 0) y es perpendicular a la recta de ecuación 1 y = - x + 7. ¿Por cuál de los siguientes puntos pasa también la recta M? 2 A) B) C) D) E)

(0, (2, (2, (2, (2,

8) -4) -2) 8) 4)

52. ¿Cuál es el coeficiente de posición de la recta de ecuación 3y + 5 = x – 1? A) B)

-2 -1 1 C) 3 D) 1 E) 2

19

53. La recta L pasa por el origen y por el punto (a, b). Si ab ≠ 0 y la recta tiene pendiente mayor que 1, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)

a+b>0 a2 < b 2 b–a