• Categories
• Número racional
• Fracción (Matemáticas)
• Multiplicación
• Decimal
• Conjunto (Matemáticas)

Citation preview

Unidad

Números racionales

1

Los números han surgido a lo largo de la historia por la necesidad del hombre de contar, medir, repartir, entre otras cosas. El conjunto de los números enteros, por ejemplo, no fue suficiente para representar todas las situaciones cotidianas relacionadas con ellos. Por esta razón aparecieron otros conjuntos numéricos, como el de los números racionales. En la vida diaria es frecuente el uso de fracciones. Por ejemplo, si se tiene que una receta de cocina rinde para 6 personas y se quiere preparar una cena para dos, entonces se deben 1 2 tomar , es decir, de cada ingrediente y así adaptar para 2 personas la receta inicial. 3 6

¿Qué?

10

¿Para qué?

¿Dónde?

Conjunto de los números racionales (), representación, clausura y densidad.

Identificar números racionales en diversos contextos.

Páginas 12 a 15.

Números decimales periódicos y semiperiódicos. Aproximación por redondeo y truncamiento.

Representar números racionales con números decimales y viceversa.

Páginas 16 a 21.

Adición, sustracción, multiplicación y división en . Propiedades.

Aplicar diversos procedimientos que involucren cálculos en el conjunto .

Páginas 22 a 25.

Unidad 1 • Números racionales

1

Abrir sesión Considerando la información de la página anterior, responde: 2 1 1) Justifica por qué la expresión “ , es decir, ” es cierta. 6 3 2) ¿En qué actividades de la vida diaria es posible utilizar fracciones? Ejemplifica con 3 situaciones. 3) ¿Qué opinas sobre la utilización de fracciones en la vida cotidiana? ¿Son realmente necesarias? ¿Por qué?

Inicializando Comprender consiste en construir significado a partir de información comunicada en forma oral, escrita y/o gráfica. Para comprender es posible utilizar la representación. Dado el siguiente conjunto, resuelve lo que se pide.  7 3 1  1 1 A = 8; ; 1 ; ; 5; ; 7; ; 0; –5; –5,3;–   6 4 2 9 6  1) Al ordenar el conjunto anterior en forma decreciente, ¿qué número ocupa la quinta posición?

2) Si se comparan las fracciones

1 1 y , ¿qué número es mayor? ¿Por qué? 2 9

3) Representa los elementos del conjunto de manera ordenada. Para ello, ubícalos en la recta numérica.

0

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

11

evaluación

contenido

resolución

c Números racionales Tres amigos comparten una pizza de manera equitativa. El primero dice que le 1 corresponden 0,33… partes de la pizza; el segundo dice que le corresponde de la 3 pizza; el tercero dice que ambos están en lo correcto. ¿Es verdad lo que afirma el tercer amigo? 1 Si es cierto lo que afirma el tercer amigo, habría que verificar que 0,33...= . Luego: 3 1° Sea x = 0,33…. 2° Si se multiplica por 10, se tiene: 10 • x = 3,33…. 3° Si se resta 2° – 1°, se tiene que: 10x – x = 3,33… – 0,33… 9x = 3 1 x= 3

/•

1 3

1 1 =0,33... basta con realizar la división 1 : 3. Por lo tanto, 0,33...= . 3 3 Entonces, el tercer amigo sí estaba en lo correcto.

Para verificar que

¿Qué tipo de representación crees que es más adecuada para interpretar lo que le corresponde a cada amigo? ¿Por qué?

Para grabar El conjunto de los números racionales () surge 3 por la necesidad de resolver problemas que no tienen Ejemplo: 5 se puede interpretar como 3 partes de solución en el conjunto de los números enteros y se un total de 5 partes iguales. define de la siguiente manera:   a  = x / x = , a ∈  y b ∈ ; b ≠ 0   b Es decir, el conjunto de los números racionales está compuesto por todos los números que pueden ser escritos como una fracción cuyo numerador y denominador (distinto de cero) son números enteros.

1.

1 Además, números como – ; 0,3; – 1,24; 1; 0; etc, 2 también son números racionales.

Representa mediante regiones los siguientes números decimales. a.

6 7

b.

7 2

c.

1 5

3 ¿Es posible hacer una representación gráfica del número – ? Justifica tu 5 respuesta.

2. Desafío Justifica por qué: a –a a – = = ; b b –b con a, b  , b ≠ 0.

12

Unidad 1 • Números racionales

Evalúa las fracciones y marca la que corresponde a cada intervalo.

Representación en la recta numérica En la siguiente recta numérica se ubicaron algunos números entre –1 y 1. Para hacerlo, se compararon los valores.

–1

1 2

0

–1 3

3 4

1

Para determinar el orden en los números racionales puedes aplicar el siguiente método: 3 1 3 < , ya que: 1 • 4 < 2 • 3. De la misma forma, 1 > , ya que 1 • 4 > 1 • 3. Esta técnica 4 2 4 se suele conocer como producto cruzado.

Ayuda Recuerda que todo número entero a se puede escribir de la a forma . 1

Para grabar Ejemplo: Para ubicar elementos del conjunto  en la recta numérica debes compararlos con respecto Ubica en la recta numérica los siguientes números a otros números del conjunto. Para ello, puedes racionales: utilizar el método de los productos cruzados. 2 4 1 3 a c a c ; – ; – ; ; – 1; 1 ⇔ a •• > ⇔ a•d>b•c d, < o = según corresponda. a.

4 8

b.

–12 3

2 16

c.

12 –3

14 6

d. –11

2,3

e.

–2 6

–0,3

–10,9

f.

10 4

4 10

Compara los siguientes números racionales y ubícalos en la recta numérica. –

7 1 1 1 5 6 8 17 ; – ; ; –1; 2; ; 3,5; ; – ; 0,076; – ; 2 11 4 7 11 14 3 2

0

3.

Resuelve el siguiente problema en tu cuaderno. Si Paula, Marcela y Joaquín hacen, respectivamente,

12 5 4 ; y de la tarea 13 6 5

propuesta en clases, ¿quién de los tres avanzó más?

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

13

evaluación

contenido

resolución

e e

c c

r r

Densidad y clausura en  Evalúa la siguiente afirmación: “Para todo par de números racionales existe otro que se encuentra entre ellos”. Esto se puede anotar de la siguiente forma:

Ayuda Ten en cuenta la siguiente simbología:  : para todo.  : existe. / : tal que. ⇒ : implica.

∀ a, b  , a < b,  c   / a < c < b La propiedad anteriormente enunciada se conoce como densidad de los números racionales. Por lo tanto, se dice que el conjunto  es denso. 1 1 Encuentra un número racional entre y . ¿Cuántos puedes hallar? 2 3 ¿Existe un número entero entre –3 y –4? ¿El conjunto  es denso? Justifica.

Para grabar La propiedad de clausura en un conjunto (X) respecto de una operación (*) quiere decir que si se operan dos elementos (a y b) pertenecientes a X, el resultado seguirá siendo un elemento de X.

Por ejemplo, el conjunto  es cerrado respecto de la adición. Es decir, dados dos números racionales cualesquiera, su suma es un número racional.

Es decir:

1 1 Por ejemplo, y son números racionales y su 3 2 5 suma, es decir, , también es un número racional. 6

a, b  X ⇒ a * b = k; k  X Por lo tanto, el conjunto X es cerrado para *.

Para saber más El conjunto de los números reales () corresponde a la unión de los números racionales con los irracionales.  =  ∪ .

1.

a, b   ⇒ a + b = k; k  

Analiza la información del recuadro. Luego, determina la veracidad de las afirmaciones. En caso de ser una afirmación falsa, justifica mostrando un ejemplo. Números naturales

 

Números enteros Números racionales



 a. Si a   y b  , entonces, a + b = k; k  . b. (  )   =  c. Si a  , entonces, a  . d. Si a, b  , entonces, a – b = k; k  . e. Si a, b  , entonces, a + b = k; k  . f. ¿El conjunto de los números racionales es cerrado respecto de la sustracción? Fundamenta.

14

Unidad 1 • Números racionales

Para grabar Propiedad de clausura en  respecto de la multiplicación

Ejemplos:

El conjunto  es cerrado respecto de la multiplicación. Es decir, dados dos números racionales cualesquiera, su producto es un número racional.

Al multiplicar

a, b   ⇒ a • b = k; k  

2.

4 2 por , ambos números racionales, el producto sigue 5 3 8 siendo un número racional. En este caso, . 15

Analiza la siguiente afirmación. Luego, responde. a, b   ⇒ a : b = k; k   a. Traduce a lenguaje natural la afirmación propuesta.

b. Da tres ejemplos en los que se cumpla la afirmación.

c. ¿Es verdadera la afirmación propuesta para cualquier par de números racionales? Fundamenta.

3.

Analiza la siguiente información. Luego, responde.

0 a c a, b   / b = a + 1 ⇒ c   a, b   / b = a + 1 ⇒ c  

b

a. ¿Qué sucede con c si a, b  , tal que b = a + 1? b. Determina 3 posibles valores de a, b y c. c. ¿Qué opinas de la afirmación: “Entre dos números racionales siempre existe otro número racional.”?

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

15

evaluación

contenido

resolución

e e

c c

r r

Ayuda 3 = 3 : 4 = 0,75 4 67 = 67 : 8 = 8,375 8 181- 1 180 20 = 1,81= = 99 99 11 782 - 78 704 352 = = 7,82 = 90 45 90

Números decimales en  Además de la representación en la recta numérica, los números racionales pueden ser representados como números decimales. Esto lo puedes hacer dividiendo el numerador por el denominador. En los números decimales se pueden encontrar los finitos e infinitos, ya que su parte decimal tiene un número finito o infinito de cifras. A su vez, estos números decimales infinitos pueden ser periódicos o semiperiódicos. Los números decimales infinitos que no sean periódicos ni semiperiódicos pertenecen a otro conjunto numérico, denominado conjunto de los números irracionales (). Para transformar un número decimal finito a fracción, puedes escribir el número sin coma en el numerador, y en el denominador, la potencia de 10 que tenga tantos ceros como cifras decimales tenga el número inicial. Luego, si es posible, simplifica. Por ejemplo: 7,82=

782 391 = 100 50

0,0125=

1 125 = 10.000 80

Para grabar Números decimales en . Periódicos

1,81

Semiperiódicos

7,82

Infinitos Números decimales Finitos

1.

Interpreta los números decimales. Para ello, completa la tabla.

Número decimal

Tipo

Representación decimal

1,7

Infinito periódico

1,77…

Representación fraccionaria 1,77 =

17 - 1 16 = 9 9

2,09090909… 1,59 52 33 Describe con tus palabras el procedimiento usado para transformar un número decimal periódico a fracción y un número decimal semiperiódico a fracción.

16

Unidad 1 • Números racionales

2.

Representa los siguientes números racionales en una recta numérica. 2,303; –0,808;

3.

4 7 ; –0,8; 2,03; –0,808; 2,31; – ; –0 0,08 5 3

Evalúa la siguiente adición de números racionales. Luego, responde. 3,23 +

1 + 0,5 5

a. ¿Qué tipo de números componen la adición presentada?

b. ¿Qué harías para resolver la adición: transformar los sumandos a números decimales; transformarlos a fracciones o dejarlos tal como están y sumar directamente? Justifica.

4.

Analiza la siguiente información junto a tu profesor(a). Luego, resuelve. Se justificará el procedimiento 1,794 = cumple 1,794 =

1.794-17 1.777 , mostrando que se = 990 990

1.777 . 990

Sea x = 1,7949494… Luego, 10 • x = 17,9494… y 1.000 • x = 1.794,9494… De lo anterior, se tiene que: 1.000x – 10x = 1.794,9494… – 17,9494… 990x = 1.777 x=

1.777 990

/•

1 990

1.777 = 1,7 794 se puede mostrar dividiendo el numerador por 990 1.777 el denominador. Por lo tanto, 1,794 = . 990

Por otra parte,

a. Describe el procedimiento utilizado para justificar la igualdad anterior.

b. Justifica en tu cuaderno, considerando la información presentada, la igualdad 17 1,8= . 9 Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

17

evaluación

contenido

resolución

e e

c c

r r

Aproximación en  Para trabajar con números decimales infinitos o números finitos con muchas cifras decimales, la aproximación proporciona una gran ayuda. Estas aproximaciones se pueden llevar a cabo utilizando el redondeo o el truncamiento, entre otros criterios. Tanto en la aproximación por redondeo o por truncamiento, el número resultante puede ser menor o mayor que el original; de ser menor, se dirá que la aproximación es por defecto; mientras que si es mayor, se dirá que la aproximación es por exceso.

Para grabar Caso 1: redondea 5,67487654 a la centésima. Redondear un número en una determinada cifra consiste en considerar solo ciertos dígitos de la parte 5,67487654  5,67 decimal del número. En algunos casos se harán modificaciones en la cifra anterior a la determinada Luego, 5,67487654 redondeado a la centésima es 5,67. (Por defecto). en el redondeo y en otros no. El criterio que se define es el siguiente: Considerar la cifra decimal inmediatamente siguiente Caso 2: redondea 2,33375689… a la milésima. a la que determine la aproximación: 2,33375689…  2,334 - Si dicha cifra es menor que 5, no hay modificacioLuego, 2,33375689... redondeado a la milésima es nes en las cifras que se conservan. 2,334. (Por exceso). - Si dicha cifra es igual o mayor que 5, la cifra por aproximar se debe aumentar en una unidad.

1.

2.

Ayuda Si se aproxima por redondeo a la décima el número 3,78, se obtiene 3,8. Luego, el error absoluto es: a = |3,78 – 3,8| = |–0,02| = 0,02

18

Unidad 1 • Números racionales

Aproxima los siguientes números por redondeo según corresponda en cada caso. Luego, determina si la aproximación fue por defecto o por exceso.

Número

Redondeo a la…

Aproximación

Aproximación por…

0,356483258

milésima

0,356

Defecto

897,46

diezmilésima

34,, 7715

centésima

11, 1

décima

Analiza la siguiente información. Luego, resuelve. En la aproximación de números decimales, ya sea por defecto o por exceso, se produce cierto margen de error. El error absoluto (a) corresponde al valor absoluto de la diferencia entre el valor exacto y la aproximación: a = |x – xa| Donde x es el valor exacto del número, y xa el valor aproximado. Considera el número 8,781. Redondea a la milésima y luego encuentra el error absoluto. Redondeo: a:

Para grabar Truncar un número consiste en Ejemplo 1: trunca 0,01199453 a la considerar solo una parte de las milésima. cifras decimales que componen el 0,01199453  0,011 número decimal completo. Luego, 0,01199453 truncado a la milésima es 0,011.

3.

Ejemplo 2: trunca –12,315 a la centésima. –12,3151515…  –12,31 Luego, –12,315 truncado a la centésima es –12,31.

Utiliza tu calculadora científica para determinar qué sucede cuando el resultado de una operación entre dos o más valores es un número de 10 o más cifras. A modo de ejercicio, resuelve lo siguiente: 23.567.895 • 410 – 12.555.980 a. ¿Qué número se muestra como resultado en tu calculadora? b. ¿El número es finito o infinito? Justifica. c. Si es finito, escribe el número completo. d. Trunca el número obtenido en la calculadora a la centésima. Luego, inventa una situación en la que puedas escribir este valor truncado.

e. Si el número resultante en la calculadora lo redondeas a la centésima, ¿se obtiene la misma aproximación realizada en d.? Justifica.

f. Si ahora calculas 2 : 7, ¿se obtiene un número decimal finito o infinito? Justifica.

g. ¿Crees que la calculadora está programada para redondear o truncar ciertos tipos de números? Para responder, haz la prueba resolviendo varias operaciones entre dos o más valores.

4.

Crea una situación en la que redondees un número y otra en la que trunques un valor. Luego, explica por qué en la primera es más relevante redondear y por qué en la segunda es más relevante truncar. Situación 1:

Situación 2:

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

19

resol u

e

en co n t i do

n de prob ció

as lem

uac eval ión

evaluación formativa

Analizando disco Números racionales y representación en la recta numérica.

1 Analiza las figuras divididas en partes iguales. Luego, completa. a. El número racional que se representa en la imagen es: b. Si se pintaran los triángulos restantes en ambas figuras, el número racional sería: c. ¿Cómo representarías el número racional 0 con las mismas figuras que se muestran en la imagen? ¿Es posible? Justifica y dibuja en caso de que lo sea.

2 Analiza la siguiente situación. Luego, responde. Un edificio tiene una altura de 15,5 metros. Pedro baja al primer subterráneo y desde ahí dice: “el edificio ha aumentado su altura, ahora mide 18 m”. a. ¿Qué opinas de la afirmación de Pedro? Conversa con tus compañeras y compañeros de curso y determina la validez de la afirmación realizada. ¿Cuál crees que sería la explicación que Pedro daría para defender su postura?

3 Ubica en la recta numérica los siguientes números racionales. 8 3 7 ; –1; 1; –0,707; – ; 1,7; –0,7; 0; –0,7; 1,75; 1 4 4 45

Densidad y clausura en .

4 Resuelve los siguientes problemas. a. Encuentra un par de números racionales, x e y, cuyo producto sea un número natural. b. Encuentra un par de números racionales, x e y, cuyo cociente sea cero. c. Encuentra un par de números enteros distintos, x e y, cuyo cociente sea un número decimal semiperiódico.

20

Unidad 1 • Números racionales

Números decimales infinitos periódicos y semiperiódicos.

5 Representa como un número racional de forma fraccionaria. Luego, si es posible, simplifica. a. 4,25

c. 0,376

e. –0,47

b. –2,153

d. 102,07

f. 10,3602

6 Ubica en la recta numérica el siguiente conjunto de números. 0,36; –

1 2 44 9 ; 0,36; – ; 0,36; – ; –0,45; ; –0,4; 0,364 3 5 99 20

0 7 Resuelve el siguiente problema. Carla necesita 1,3 metros de género para confeccionar una cartera. ¿Es posible comprar 1,3 metros? ¿Es la mejor forma de representar una medida? ¿Cómo le recomendarías que solicitara la cantidad de género que necesita?

Aproximación en .

8 Realiza los procesos de aproximación vistos en la unidad. Para ello, completa la tabla.

¿Qué sucedió en el último caso? ¿Por qué crees que ocurre esto?

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

21

evaluación

contenido

resolución

c Adición y sustracción de números racionales Propiedades En cursos anteriores ya has estudiado cómo resolver adiciones y sustracciones de fracciones y números decimales; además, has verificado propiedades como la clausura, conmutatividad, asociatividad y elemento neutro de la adición. Para resolver adiciones y sustracciones en el conjunto de los números racionales se conservarán dichas estrategias ya vistas.

Para grabar Para saber más La manera de resolver adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones de fracciones es aplicable a la operatoria de números racionales. Asimismo, en este conjunto numérico se conservan las propiedades de clausura, asociatividad, elemento neutro y conmutatividad, además del elemento inverso y la propiedad distributiva de la adición sobre la multiplicación.

Adición y sustracción de fracciones con igual denominador. Se conserva el denominador y se resuelve la adición o sustracción de los numeradores, considerando que los valores de los numeradores son números enteros. Adición y sustracción de fracciones con distinto denominador. Se igualan los denominadores de las fracciones. Esto se hace buscando el mínimo común múltiplo entre los denominadores y amplificando cada fracción por el número que convenga. Luego, se realiza la operación de la misma manera que en el caso de “igual denominador”.

1.

1 2 1• 5 2 • 3 5 6 1 – = = – =– – 3 5 3 • 5 5 • 3 15 15 15 4  4 7  4  4 • 4 7 • 3  4  16 21  4 37  = –  +  = – –  +  = –  + 13  3 4  13  3 • 4 4 • 3  13  12 12  13 12 =

4 • 12 37 • 13 48 481 433 – = – =– 13 • 12 12 • 13 156 156 156

d.

1  3 10  6 –  +  + = 7  7 7  7

2 1 14 b. – – + = 3 3 3

e.

1 5  4 7  + –  –  = 2 2  2 2 

3 1 7 + – = 8 8 8

f.

1 3 6 + – = 4 4 4

Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones. En caso de ser posible, simplifica. a.

1 1 2 – + = 5 4 3

1 5 11 b. – + – = 3 7 5 Unidad 1 • Números racionales

Ejemplos:

3 2 6 + – = 5 5 5

c.

22

5 10 5 – 10 5 =– – = 9 9 9 9 2  5 10  2 5 – 10 2  5  2 5 7 –  –  = – = – –  = + = 9  9 9  9 9 9  9  9 9 9

Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones. En caso de ser posible, simplifica. a.

2.

Ejemplos:

c.

1  3 1  –  +  = 4  8 2 

d.

1 3  2 1  + –  –  = 7 2  3 5 

3.

Analiza el ejemplo. Luego, resuelve y escribe el resultado. 3 213– 21 1 192 1 32 5 32 2 37 = + = + = =2,46 = + 0,3+2,13= + 3 90 3 15 15 15 15 90 9  5 c. 4,2 –  +0,1=  3    2  1 d. 1,7 –  –  +0,34 4 =   9   6

a. 1,24 – 0,31= b. 0,1– 3,41+5,2=

¿Por qué es importante transformar números decimales a fracción?

4.

Utiliza una calculadora para resolver las siguientes operaciones combinadas. Luego, describe la estrategia aplicada. Indicación: recuerda que para este tipo de procedimientos, el uso de la calculadora científica permite utilizar paréntesis y fracciones. Debes decidir de qué manera representarás los números racionales que se muestran. 1 1  c. 2,5 + – 7,1–  = 5  3 

 3 b. 1,3– 2,15 +  =  7 

1 a. 1,7 – = 6 Describe aquí tu estrategia:

¿Qué hiciste para poder escribir los números periódicos y semiperiódicos en la calculadora? Describe.

5.

Verifica en tu cuaderno si se cumplen las siguientes propiedades para la adición de números racionales. Para ello, considera solo números decimales infinitos periódicos y semiperiódicos. a. Propiedad conmutativa a + b = b + a; a, b  . Sí

6.

b. Propiedad asociativa (a + b) + c = a + (b + c); a, b, c  

No

Sí

No

c. Elemento neutro a + 0 = 0 + a = 0; a  . Sí

No

Resuelve el siguiente desafío en tu cuaderno. Dos amigos se disponen a comer unos pasteles. El primero tiene 5 pasteles y el segundo, 3. Justo cuando van a comenzar, llega un tercer amigo, sin pastel alguno, y les dice: “¿qué les parece si repartimos sus 8 pasteles de manera equitativa y a cambio yo les doy $ 800 y ustedes se reparten el dinero de una manera que encuentren justa?” Los dos amigos se miraron y aceptaron. ¿Cómo repartieron los $ 800 los dos amigos? Observación: la respuesta no es $ 500 y $ 300.

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

23

evaluación

contenido

resolución

c Multiplicación y división de números racionales Propiedades ·

+

–

:

+

–

+

+

–

+

+

–

–

–

+

–

–

+

Para multiplicar y dividir números racionales se puede utilizar su representación fraccionaria o decimal. Sin embargo, debes transformar los números decimales infinitos a fracción para multiplicarlos o dividirlos por otro número racional. Además, debes aplicar la regla de los signos vista en  para número racionales.

Para grabar Para multiplicar dos fracciones se multiplican los numeradores con los numeradores y los denominadores con los denominadores.

Ejemplos: 6  5  6 • 5 30 15 =– =– • –  = – 7  4  7 • 4 28 14 1

1

4  3  1 23 23 4  3  23 •• 23 1 ••  • = – =– – = – 2,5 = • –  ••  9  8  2 9 54 9  8  9 9 3 •• •• 3

2

Hasta ahora, las propiedades vistas para la multiplicación de fracciones son: Si a, b, c, d, e, f , Conmutativa a c c a ; b,d ≠ 0. = •• b d d b Elemento neutro a a • 1= ; b ≠ 0. b b

1. Para saber más Otra propiedad de la multiplicación de números racionales es la del elemento inverso: Elemento inverso a b • =1 b a

24

2.

Unidad 1 • Números racionales

Asociativa  a c  e a  c e    ••••    b d  f = b  d f ; b, d, f ≠ 0. Distributiva (• , +) a  c e   a c   a e  ; b, d, f ≠ 0.  +  •  +  =  •• b  d f   b d   b f 

Resuelve las siguientes multiplicaciones. Simplifica el resultado en caso de ser posible. 3 3 (–8)= •• 4 2

a.

1 2 • = 6 5

c.

b.

3  2  • –  = 5  3 

2 10 d.– •• (–2)= 7 4

Analiza la tabla. Luego, completa.

Para grabar Dividir dos números racionales es equivalente a multiplicar el primero por el inverso multiplicativo del segundo. a d ad a c : ⇔ • = , con a, b, c, d  y b d b c bc b, c, d ≠ 0.

3.

Ejemplos: 3 5 3 1 3 3 :5= : = • = 2 1 2 5 10 2 1 1  3  1 • 1  3  1 •• 2  14  1 3 3 2  3   2  •    : –  : –0, 6 = • –  : –  = – = • –  = – • –  =         33  3  7 2 154 33  14   3  33 •  2  11 • 7  2  11 •• 11 7

( )

Resuelve las siguientes divisiones. Luego, simplifica si es posible.  9 a. 3: –  =  5  b.

4.

 2 c. 7: –  =  7  8   1  d. : 9: –  = 7   3 

2 :2= 5

Verifica en tu cuaderno si se cumplen las propiedades de la multiplicación de fracciones recordadas en la sección Para grabar de la página anterior para los números racionales. a. Conmutativa. Sí

5.

No

b. Asociativa. Sí

No

c. Elemento neutro. Sí

No

d. Distributiva (· , +). Sí

No

Verifica en tu cuaderno si se cumple la siguiente propiedad para los números racionales. Justifica. (a + b) : c = a : c + b : c

(a – b) : c = a : c – b : c

Justifica:

6.

Resuelve los siguientes ejercicios combinados manualmente y ayudándote con la calculadora. Recuerda lo visto con respecto a las operaciones con números decimales infinitos.

  0,3 • 3  + 11,2  5  a. =  2 7   –  • 4,23  3 2 

 4 2  – +  • 2,16  3 7  b. =   1,5: 7  – 2  3  3

c. ¿Qué sucede en el ejercicio b? ¿Puedes llegar a una respuesta? Justifica.

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

25

evaluación

contenido

resolución

e e

c c

r r

Herramientas tecnológicas: redondeo y truncamiento con Excel A continuación se muestra cómo redondear y truncar números decimales infinitos utilizando el programa Excel. Estas aproximaciones pueden facilitar el trabajo, por ejemplo, en estadística, en que debas analizar un conjunto de datos. Para aproximar por redondeo un listado de datos en una planilla Excel se verán dos métodos que proporciona este programa. El primero es una función estándar de Excel llamada REDONDEAR y el segundo consiste en la aplicación del ícono { }, que se encuentra en la barra de herramientas de Excel. Antes de detallar ambos métodos, digita los siguientes números decimales (en este caso, en la columna C): 23,65564; 59,2548864; 99,25431. En este ejemplo se aproximarán los números propuestos por redondeo a la milésima.

Método 1 Paso 1: En la misma fila que el primero de los números ingresados (en este caso, en la columna E), digita =redondear(. En seguida, selecciona el primero de los números ingresados (columna C). Verás que aparecerá el nombre de la celda donde está ubicado dicho número. Para finalizar, digita ;3), ya que la aproximación por redondeo a la milésima tendrá 3 cifras decimales.

Paso 2: Presiona Enter y aparecerá el número seleccionado redondeado a la milésima. Luego, para redondear el resto de los números ingresados (en este caso, en la columna C), debes situar el cursor sobre la esquina inferior derecha de la celda y “arrastrarla” hacia abajo. Así verás los otros números redondeados a la milésima.

Método 2 Luego de ingresados los números (en este caso, en la columna C), si seleccionas el número que se desea aproximar y presionas la tecla , aproximará dicho número utilizando el redondeo a la última cifra decimal digitada. Para realizar la operación contraria se presiona la tecla .

26

Unidad 1 • Números racionales

Para aproximar por truncamiento (en este caso, a la centésima) se utilizará una función que proporciona Excel. Al igual que en la página anterior, antes de detallar el procedimiento, digita los siguientes números: 35,6565; 24,35967; 78,5543271.

Paso 1: En la misma fila que el primero de los números ingresados (en este caso, en la columna E), digita =truncar(. En seguida, selecciona el primero de los números ingresados (columna C). Verás que aparecerá el nombre de la celda donde está ubicado dicho número. Para finalizar, digita ;2), ya que la aproximación por truncamiento a la centésima tendrá 2 cifras decimales.

Paso 2: Presiona Enter y aparecerá el número seleccionado redondeado a la centésima. Luego, para redondear el resto de los números ingresados (en este caso, en la columna C), debes situar el cursor sobre la esquina inferior derecha de la celda y “arrastrarla” hacia abajo. Así verás los otros números redondeados a la centésima.

1.

Analiza la siguiente tabla. Complétala utilizando Excel y luego responde. Observa el ejemplo.

xr : número redondeado a la décima; xt : número truncado a la décima. a. ¿Qué representa la última columna?

b. ¿Qué debiera ocurrir para que en la última columna se obtuviera el valor 0? Justifica.

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

27

e h

c c

resol u

en co n t i do

n de prob ció

r r

as lem

uac eval ión

¿Qué es comprender? Comprender consiste en construir significado a partir de información comunicada en forma oral, escrita y/o gráfica. Para comprender es posible utilizar la representación.

¿Qué tengo que hacer para comprender un enunciado? Identificar lo que entiendes de la información. Relacionar lo que entiendes con lo que tú sabes. Expresar la información en otro tipo de formato.

Etapas de la resolución de problemas. Paso 1: Comprende el enunciado. Paso 2: Planifica lo que vas a realizar. Paso 3: Resuelve el problema. Paso 4: Revisa la solución.

Trabajo de habilidades

Resolución de problemas 1 Analiza la resolución del siguiente problema. Somos hermanos –dijo el más viejo– y recibimos, como herencia, esos 35 camellos. Según la expresa voluntad de nuestro padre, debo yo recibir la mitad; mi hermano Hamed Namir una tercera parte, y Harim, el más joven, una novena parte. No sabemos, sin embargo, cómo dividir de esa manera 35 camellos, y a cada división que uno propone, protestan los otros dos, pues la mitad de 35 es 17 y medio. ¿Cómo hallar la tercera parte y la novena parte de 35 si tampoco son exactas las divisiones? Malba Tahan, El hombre que calculaba. (Observación: el amigo del hombre que les solucionará el problema tiene un camello)

Paso 1 Comprende el enunciado Identifica lo que entiendes de la información. ¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema? Una repartición justa de los 35 camellos heredados a los 3 hermanos. ¿Qué información entrega el enunciado del problema? La cantidad de camellos y la parte que le corresponde a cada hermano. Relaciona lo que entiendes con lo que tú sabes. ¿Qué tipo de número debería ser la cantidad de camellos? El número de camellos debería ser divisible por 2, por 3 y por 9. Expresa la información en otro tipo de formato. 35 : 2 = 17,5

35 : 3 =11,6

35 :9 = 3,8

Paso 2 Planifica lo que vas a realizar Primero, se calculará el mínimo común múltiplo de 2, 3 y 9. Según el número que resulte, se agregarán o quitarán camellos a los 35 dados para completar el número buscado. Luego, se calcula la cantidad de camellos que le corresponde a cada hermano y se realiza el reparto justo.

Paso 3 Resuelve el problema El m.c.m. entre 2, 3 y 9 es 18. Sin embargo, 18 < 35. Por lo tanto, hay que buscar un múltiplo de 18 que esté más cercano a 35. De lo anterior, se obtiene 36. Justamente el amigo del hombre que les solucionaría el problema tenía un camello, por lo que el hombre propuso agregarlo a la herencia, con lo que se juntarían en 36 camellos. Luego, la repartición queda: 36 : 2 = 18 (antes eran 17,5 camellos. Luego, es más de lo que le corresponde al hermano mayor, por lo que no protesta). 36 : 3 = 12 (antes eran 11,6 camellos. Luego, es más de lo que le corresponde al segundo hermano, por lo que no protesta). 36 : 9 = 4 (antes eran 3,8 camellos. Luego, es más de lo que le corresponde al hermano menor, por lo que no protesta). Finalmente, los tres hermanos encuentran justa la repartición. Mientras que el hombre le pudo devolver el camello a su amigo y él obtuvo otro para sí.

Paso 4 Revisa la solución Al hermano mayor le corresponden 18 camellos; al segundo, 12, y al menor, 4. Cantidades que suman 34. Por lo tanto, sobran 2 camellos, uno como pago para el hombre que les solucionó el problema y el otro para devolvérselo a su amigo.

28

Unidad 1 • Números racionales

2 Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente. Fernanda ha dividido cada una de las tortillas que tiene en 8 trozos iguales. Se sabe que ella se ha comido la cuarta parte de los trozos de una tortilla y que Felipe se ha comido el doble que Fernanda. Por otra parte, Camilo dice que él se ha comido la mitad de lo que han comido juntos Fernanda y Felipe. ¿Cuántos trozos han comido Fernanda y Felipe juntos? ¿Está en lo correcto Camilo?

Paso 1 Comprende el enunciado Identifica lo que entiendes de la información. ¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema? ¿Qué información entrega el enunciado del problema? Relaciona lo que entiendes con lo que tú sabes. ¿Quién ha comido más trozos de tortilla? Expresa la información en otro tipo de formato.

Paso 2 Planifica lo que vas a realizar

Paso 3 Resuelve el problema

Paso 4 Revisa la solución

3 Resuelve en tu cuaderno el siguiente problema. 4 de la superficie total de la finca, y la 7 segunda corresponde a la mitad de la primera. ¿Qué fracción de la finca representa la tercera parcela?

Una finca se divide en tres parcelas. La primera corresponde a los

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

29

e

resol u

en co n t i do

n de prob ció

as lem

uac eval ión

evaluación sumativa

Verificando disco I. Lee atentamente cada una de las preguntas y marca la alternativa correcta. 1 ¿Cuál de los siguientes números pertenece al conjunto de los números racionales? 0,2 A. 5 7 B. – 0 2 C. – 5 3 D. – 0,3 E. 0,1 0,01 2 ¿Cuál es el orden, de menor a mayor, de los siguientes números racionales? 3 5 2 a=– , b=– , c=– 8 6 3 A. B. C. D. E.

a a2 + b2

I.

A. B. C. D. E.

Solo I. Solo II. Solo I y III. Solo II y III. I, II y III.

27 ¿Qué expresión es equivalente a: a2 – (m + n)a + mn? A. B. C. D. E.

(m + a)(n – a) (a – m)(a – n) (m – a)(n – a) (a2 + m)(a – n2) Ninguna de las anteriores.

28 Si el área de un rectángulo está dada por la expresión (2x2 + 2x – 24) cm2 y uno de sus lados mide (x – 3) cm, ¿cuál es la medida del otro lado? A. B. C. D. E.

(x + 8) cm 2(x + 8) cm 2(x – 4) cm 2(x – 3) cm 2(x + 4) cm

29 ¿Cuál es el mínimo común múltiplo entre x2 – 16 y x2 – 2x – 24? A. B. C. D. E.

(x – 6)(x + 4)(x + 4) (x – 6)(x – 4)(x – 4) (x + 6)(x + 4)(x – 4) (x – 6)(x + 4)(x – 4) Ninguna de las anteriores.

30 Dada la expresión x2y2 + x2y + xy + x, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) factor(es) de ella? I. xy + 1 II. x + 1 III. x A. B. C. D. E.

Solo I. Solo II. Solo III. Solo I y III. Solo II y III.

31 ¿Cuál es el mínimo común múltiplo entre x2 + 10x + 25 y x2 + 12x +35? A. (x + 5)2(x + 7) B. (x + 5)(x + 7)2 C. (x – 5)(x + 7)2 D. (x + 5)(x – 7)2 E. Ninguna de las anteriores. 32 ¿Cuál es la solución de la ecuación A. B. C. D. E.

5 16 16 5 5 – 16 16 – 5 Ninguna de las anteriores.

3 5 + =0? x+2 2

33 ¿Cuál es la solución de la ecuación 13 = 11 ? 2x–3 x+3 A. 0 B. 4 C. 8 D. –8 E. Ninguna de las anteriores. 1 2 34 El valor de x en la ecuación = es: a x A. a B. 2a C. a – 1 D. a + 1 E. No existe.

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

131

resol u

e

en co n t i do

n de prob ció

as lem

uac eval ión

evaluación sumativa

II. Lee atentamente los problemas. Luego, resuelve. 1. En la siguiente figura: D

F

C a

b

A

E

b

a

B

a. ¿Es verdadera la afirmación, “el área del rectángulo BCFE es a2 + ab”? Justifica tu respuesta.

b. ¿Es verdadera la afirmación, “el área del rectángulo AEFD es b2 + ab”? Justifica tu respuesta.

2. En la siguiente igualdad. 3–

8 1 = x+ 1 3

a. ¿Cuál es el valor de x? ¿Qué valor(es) no puede "tomar"x?

b. El valor que obtuviste, ¿es solución de la ecuación? Comprueba.

132

Unidad 4 • Álgebra y ecuaciones racionales

Una técnica que facilita la retención de lo estudiado para después realizar un repaso eficiente es el cuadro sinóptico. Se trata de un resumen esquematizado, cuya ventaja es permitir que el contenido se visualice de manera estructurada y organizada. Completa la tabla que muestra algunos de los temas trabajados a lo largo de la unidad. Contenido

Definición o procedimiento

Ejemplo

Expresiones algebraicas.

Valoración de expresiones algebraicas.

Reducción de términos semejantes.

Multiplicación de expresiones algebraicas.

Productos notables.

Factorización.

Mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas.

Resolución de ecuaciones racionales y su comprobación.

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

133

Organizar favoritos Ahora que tienes claras las ideas principales, elabora un mapa conceptual que te permita relacionar algunos conceptos clave trabajados en la unidad. Expresiones algebraicas Binomios Valoración de expresiones algebraicas Multiplicación de expresiones algebraicas Factorización Ecuaciones racionales

Conceptos clave

Monomios Polinomios Reducción de términos semejantes Productos notables m.c.m. de expresiones algebraicas Comprobación de soluciones

Herramientas A continuación, te presentamos algunos datos fundamentales de esta unidad. No los olvides, pues te seguirán siendo útiles. Expresión algebraica. Coeficiente numérico 9

grado 2 + 2 = 4

2 2

9a b

Valoración de expresiones algebraicas. Se le asigna un valor numérico a cada uno de los factores literales de la expresión.

Multiplicación de expresiones algebraicas. 1 3 xy(2x +3y)=x2y+ = xy2 2 2

factor literal a2b2 3x2y + 5xy2 Binomio

Grado 3

• Un término: Monomio • Tres términos: Trinomio • Cuatro o más: Polinomio.

Factorización. Se determina el factor común y se reescribe la expresión. 2xy + 2xz = 2x(y + z) También puedes utilizar los productos notables. 4x2 –12x + 9 = (2x + 3)2 Cuadrado de binomio.

134

Unidad 4 • Álgebra y ecuaciones racionales

Adición de expresiones algebraicas.

Productos notables.

(a  b)2 = a2  2ab + b2 3xy – (4y + 2xy) = 3xy – 4y – 2xy (a  b)3 = a3  3a2b + 3ab2 + b3 = 3xy – 2xy – 4y (a + b)(a – b) = a2 – b2 Términos = xy – 4y semejantes m.c.m. de expresiones algebraicas. El m.c.m. entre 2x + 8y; 4x + 16y es 4(x + 4y); ya que los factores del primer binomio son 2(x + 4y) y los factores del segundo binomio son 4(x + 4y).

Ecuaciones racionales. Contienen la incógnita en alguno de los denominadores de la ecuación. 3 1 = y–2 y+2 Las soluciones encontradas deben ser comprobadas.

Cerrar sesión Nivel de logro

18

6

7

3

Mi estado Evalúa tu desempeño a partir del logro alcanzado para cada contenido. ¿Qué contenidos podrías enseñarle a una compañera o compañero que no los haya entendido? ¿Qué temas debes repasar? ¿Qué harás para reforzarlos? ¿Qué calificación te pondrías de acuerdo a lo que has aprendido a lo largo de la unidad? ¿Por qué? Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

135

Unidad

5

Transformaciones isométricas Es muy frecuente relacionar las transformaciones isométricas con elementos de la naturaleza, desde el diseño de las alas de una mariposa hasta nuestro propio cuerpo. Las imágenes simétricas transmiten una sensación de orden, armonía y equilibrio que muchas veces se toma como criterio de belleza.

¿Qué?

136

¿Para qué?

¿Dónde?

Transformaciones isométricas en figuras planas.

Identificar y aplicar transformaciones isométricas a figuras planas.

Página 138 a 143.

Vectores y plano cartesiano.

Representar magnitudes en el plano cartesiano.

Página 144 a 149.

Transformaciones isométricas en el plano cartesiano.

Aplicar transformaciones isométricas a figuras planas teniendo en cuenta sus coordenadas, y así introducir la geometría cartesiana.

Página 152 a 162.

Unidad 5 • Transformaciones isométricas

5

Abrir sesión Considerando la información de la página anterior, responde: 1) ¿De qué se trata la lectura? ¿Cómo se relaciona con la imagen? 2) Da tres ejemplos, distintos a los mencionados, de elementos de la naturaleza que representen figuras simétricas. 3) ¿Qué opinas sobre considerar las imágenes simétricas como un referente de belleza?

Inicializando Aplicar consiste en llevar a cabo o utilizar un determinado procedimiento en una situación dada.

Cada símbolo está formado por dos figuras, y una de ellas es la imagen simétrica de la otra, tomando como referente un eje. Dibuja el eje de simetría en cada símbolo y describe la secuencia formada por las figuras a las que se les aplicó la simetría axial.

11 22 33 44 55 66 77 1) ¿Qué se debe conocer para resolver el problema?

2) ¿Qué procedimiento llevarás a cabo para solucionar el problema?

3) Aplica el procedimiento descrito en la pregunta anterior y resuelve el problema.

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

137

evaluación

contenido

resolución

e e

c c

r r

Transformaciones isométricas Son muchos los casos en los que es posible observar las transformaciones isométricas. Por ejemplo: en el reflejo de un espejo, en el funcionamiento de una cámara fotográfica o de una fotocopiadora, en la forma de algunas plantas, etc.

Para grabar En las transformaciones isométricas aplicadas a figuras planas se conservan la forma y el tamaño de la figura original. Por lo tanto, este tipo de transformaciones permite obtener otra figura a partir de una dada.

Para saber más Recuerda que la simetría axial y la simetría central son tipos de reflexiones.

La figura que se obtiene luego de aplicar una transformación isométrica se denomina figura homóloga. Ejemplos de transformaciones isométricas son las traslaciones, rotaciones y reflexiones.

1.

Simetría axial

Traslación

Figura homóloga

Figura homóloga

Figura original

Figura original

Rotación

Simetría central Figura homóloga

Figura homóloga P Figura original

O Figura original

Clasifica las siguientes imágenes. ¿Son una traslación, rotación, simetría o no corresponden a una transformación isométrica de figuras planas? Luego, responde. 0

a.

C`

b. C`

C

A A`

A`

A

B C

c.

B

B`

B`

¿Cómo clasificaron tus compañeros la imagen de las manos? ¿Coincide con tu respuesta? Corrobora con tu profesora o profesor.

2.

Aplica la transformación isométrica señalada. Luego, responde. a. Simetría axial respecto de la recta L. L

b. Simetría central con respecto al punto P.

P

¿Qué estrategia utilizaste para realizar las transformaciones pedidas?

138

Unidad 5 • Transformaciones isométricas

Transformaciones isométricas con el computador Utilizando el software Geogebra se pueden realizar traslaciones, rotaciones y reflexiones (simetría axial y central). Pero antes, debes aprender a hacer figuras geométricas planas. Puedes descargar el programa en http://www.geogebra.org. Observa que en la barra principal de este software se pueden encontrar los siguientes elementos: A

a=2

Botones de selección

1.

Señala botón seleccionado y cómo llevar a cabo la tarea.

Utiliza Geogebra para dibujar el polígono ABCDEF. Selecciona el botón y luego, en el área de trabajo, genera el polígono que desees. Para ello, presiona el botón izquierdo del mouse y se irá dibujando. Cuando quieras cerrar el polígono, haz clic en el primer punto (vértice) que dibujaste.

Área de trabajo

2.

Utiliza Geogebra para realizar el siguiente dibujo. Para ello, emplea los botones:

Antes de realizarlo, borra el dibujo de la actividad anterior. Para esto, selecciona el botón . Luego, arrastrando el mouse, selecciona toda la figura y de la ventana que se despliega al presionar el botón derecho del mouse sobre la figura selecciona Borrar.

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

139

evaluación

contenido

resolución

e e

c c

r r

Simetría axial La imagen muestra el polígono ABCDEFGH “reflejado” respecto del lado AH, generando otra figura geométrica, de vértices A’ B’ C’ D’ E’ F’ G’ H’, que conserva el tamaño y la forma de la primera. En este caso, el segmento AH, considerado para realizar la reflexión, está contenido en la recta AH, denominada eje de simetría; mientras que los puntos A’, B’, C’, D’, E’, F’, G’ y H’ están a igual distancia del eje de simetría que los puntos A, B, C, D, E, F, G y H. Los primeros, se denominan puntos homólogos o de la figura homóloga y a los segundos, puntos de la figura original.

Para grabar La simetría axial es una transformación isométrica en la que a cada punto de la figura original se le asocia otro punto que está a igual distancia de la recta llamada eje de simetría.

Simetría exterior

Dos figuras planas se dirán simétricas si hay un eje de simetría que las refleje. Según la posición de esta recta, la simetría puede ser interior, exterior o de contorno.

Simetría de contorno

1.

Simetría interior

Identifica cuáles de las siguientes figuras parecen ser simétricas respecto a la recta L. De serlo, clasifícala en simetría interior, exterior o de contorno. L L L

2.

140

Aplica la simetría axial respecto de cada eje pintado de color rojo.

Unidad 5 • Transformaciones isométricas

Simetría central o puntual En la imagen se tiene el cuadrilátero ABCD y su homólogo A’B’C’D’, en una simetría respecto del punto E. Los puntos A, E y A’ (homólogo de A) son colineales (pertenecen a la misma recta). Lo mismo ocurre con B, E y B’; con C, E y C’ y con D, E y D’. Además, el punto E es el punto medio del segmento que une los puntos homólogos. Este tipo de transformación isométrica se denomina simetría central o puntual. ¿Qué diferencias y qué semejanzas observas respecto de la simetría axial?

Para grabar La simetría central o puntual es una transformación isométrica en la que a cada punto de la figura original se le asocia otro que está a igual distancia de un punto llamado punto o centro de simetría. Además, el punto de la figura original, su homólogo y el centro de simetría son colineales.

1.

1° AF = FA’; BF = FB’; CF = FC’; DF = FD’; EF = FE’. 2° F ∈ AA’ ; F ∈ BB’; F ∈ CC’; F ∈ DD’; F ∈ EE’.

 

 

 

 

 

Identifica, cuando sea posible, el punto o centro de simetría en las imágenes que muestran la figura original y su figura homóloga. Fundamenta. a.

2.

Ejemplo:

b.

c.

d.

e.

Aplica la simetría central respecto de cada punto O pintado de color rojo.

O O

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

141

evaluación

contenido

resolución

e e

c c

r r

Traslación En el ajedrez, cada pieza puede ser movida de cierta forma. Por ejemplo, la reina ( ) puede desplazarse los casilleros que se desee en cualquier dirección, y la torre ( ), solo en dos direcciones, de manera similar a la indicada en el tablero.

8 7 6

En la imagen están marcados los movimientos que se pueden realizar con una reina y una torre, y cada casillero por el que pasa una flecha azul o roja es un posible lugar donde se pueden posicionar dichas piezas.

5 4

Dibuja en el tablero las flechas rojas que representan el movimiento de cada torre y las flechas azules que representan los posibles movimientos de cada reina puesta en el tablero.

3 2 1 A

B

C

D

E

F

G

H

Para grabar La traslación es una transformación isométrica que corresponde al movimiento de una figura en una dirección, en un sentido y en una magnitud dada. Dicha dirección, sentido y magnitud de desplazamiento están representados por un  vector de traslación (u).

Ejemplo:

Su dirección está dada por la recta que lo contiene u otra paralela.

u 

Su sentido es uno de los dos sentidos posibles sobre la recta que lo contiene y está señalado por la punta del vector.

 

El vector utiene  dirección FG, magnitud FG y sentido FG. 

Su magnitud o módulo corresponde al valor numérico de la longitud del vector.

1.

Aplica el vector de traslación a cada figura. Luego, nombra los vértices de cada una de ellas. Destaca con distinto color la figura trasladada. A

A E

B

L

B

K

C J

D C

D

I

E F

H G

142

Unidad 5 • Transformaciones isométricas

Rotación Usando compás, regla y transportador, observa como se puede rotar en sentido antihorario (positivo) una figura con respecto a un punto y en un ángulo de 60°. 1° Fijando el compás en el punto que representa el centro de rotación, en este caso O, se trazan las circunferencias que pasan por los vértices del polígono, en este caso, el triángulo ABC.

2° Se trazan las líneas segmentadas que unen el centro de rotación con cada vértice del polígono original. Luego, con el transportador, y sobre cada una de estas líneas segmentadas, se dibuja el ángulo en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj, en este caso de 60°, de tal manera que el otro lado de este ángulo intersecte a cada circunferencia dibujada a partir de su punto homólogo. Por ejemplo, el ángulo de vértice O y lado OA generará un punto A’, correspondiente a la intersección de este lado con la circunferencia de radio OA.

3° Al unir los nuevos puntos, en este caso A’, B’ y C’, se obtiene la traslación del polígono, el triángulo A’B’C’, con respecto al centro de rotación O y en un ángulo de 60o.

Para grabar En el dibujo, los puntos P y P’ pertenecen a un arco de circunferencia de centro O y ángulo central α. La transformación isométrica que asigna a P su punto homólogo P’ se llama rotación, de centro O y ángulo de rotación α. P’ P’

P

P P

α

P’

–α

α

0

Si el punto P rota hacia P’ en sentido contrario al que giran las manecillas del reloj, se dice que el sentido de rotación es positivo. Si gira en el sentido de las manecillas del reloj, se dice que la rotación es en sentido negativo.

1.

Construye geométricamente las rotaciones indicadas. a. Rotación de centro O y ángulo de rotación 240°.

b. Rotación de centro O y ángulo de rotación -120°.

A

A

C

C B

O

B

O

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

143

evaluación

contenido

resolución

e e

c c

r r

Plano cartesiano Dibuja un punto A sobre una hoja para impresión de papel blanco. ¿Qué indicaciones podrías dar a un compañero o compañera para señalar la ubicación del punto dibujado? ¿Cuáles serían tus puntos de referencia? Como ves, por muy sencilla que parezca la actividad, no lo es. Sin embargo, René Descartes (1596-1650), filósofo y matemático francés, creador de la geometría analítica, estableció un sistema que permite identificar y reconocer la ubicación, en este caso, de este punto A: el sistema de coordenadas ortogonales, conocido en la actualidad como plano cartesiano.

Para grabar El plano cartesiano está determinado por dos rectas llamadas ejes de coordenadas y cuatro cuadrantes.

Y

El eje horizontal recibe el nombre de eje X o de las abscisas.

II

I B

El eje vertical recibe el nombre de eje Y o de las ordenadas.

X A III

El punto de intersección de los ejes recibe el nombre de origen. Las coordenadas de los puntos son representadas por el par ordenado (x, y), donde x (primera coordenada) corresponde a los valores de las abscisas e y (segunda coordenada) al de las ordenadas.

1.

IV

Por ejemplo, el punto A está en el cuadrante III y tiene coordenadas (–1, –1). Mientras que el punto B, que está en el cuadrante I, tiene por coordenadas (1, 1).

Identifica las coordenadas de cada punto. Luego, escríbelas donde corresponda.

Y

P

X

Q

a. C (

,

)

f. A (

,

)

b. G (

,

)

g. D (

,

)

c. F (

,

)

h. H (

,

)

d. E (

,

)

i. B (

,

)

e. P (

,

)

j. Q (

,

)

¿Pudiste ubicar sin problemas todos los puntos?

2.

Representa en el plano cartesiano los siguientes puntos.  3 2 a. A(0, 3) d. F– ,   4 5  b. B(3, 0) c. C(–2, 2)

144

Unidad 5 • Transformaciones isométricas

 1 e. G–2,25;   3   15 35  f. H– ,–   8 9 

3 2 1

–3

–2

–1–1 –2 –3

1

2

3

3.

Identifica en qué cuadrante del plano cartesiano se ubican los siguientes puntos y completa la tabla con los signos de las coordenadas de cualquier punto que pertenezca a cada cuadrante. a. Ñ(–1,–π)



d. Q(0,–3)



 15  b. P ,–3  4 



e. R(3,–c); c ∈ –.



II III



 4   , ab ; a, b ∈ +.  f. V–  a 

(

c. S

2,– 8

Cuadrante

Abscisa

Ordenada

I

)

IV

¿Qué conclusión puedes obtener de esta actividad? Fundamenta.

4.

Analiza los pasos que te guiarán en la formación de polígonos en el plano cartesiano a partir de las coordenadas de sus vértices utilizando el software Geogebra. Paso 1

Paso 2

Primero debes configurar el área de trabajo del programa para que se vea el plano cartesiano. Para esto, presiona Cuadrícula desde el menú Vista. Observarás una imagen como la siguiente.

Presiona A y luego mueve el cursor sobre el área de trabajo. Podrás observar que aparece una señal + y las coordenadas del punto donde esté esta señal. Al seleccionar un punto, presiona el botón izquierdo del mouse. En el ejemplo, se han dibujado los puntos A(–2, 3), B(0, 0) y se está por dibujar el punto C(2, 3).

Para dibujar el polígono recuerda utilizar el botón .

5.

Utiliza Geogebra para ubicar los puntos. Luego, señala qué figura se forma al unirlos con la herramienta . a.

A(3, 7), B(5, 4) y C(8, 6)



b.

 3  1  J(0,0),K , 1,L(–1,–2),M(–2,0) yN– , 1  2   2 



c.

 3   3  3  V(0,0),W– ,0, X0,  e Y ,0  2   2   2 



d.

 1 2  1 3 J– , ,K , ,L(2,3) y M(0, 1)  3 3   2 2 

 Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

145

evaluación

contenido

resolución

e e

c c

r r

Y 6 5 4 3 2 1 5 –4 –3 –2 –1

–1 –2 –3

Vectores en el plano cartesiano B

(4, 2)

A

 u 0 1

2

3

4 5 X

Imagina que el movimiento de una partícula está representado por el gráfico. En él, el punto A(1, 2) corresponde a la posición de la partícula en el iniciode  su movimiento y el punto B(5, 4), al punto final de su desplazamiento. El vector AB se llama vector de desplazamiento, y sus coordenadas o componentes son (4, 2), ya que es posible visualizar que la abscisa del punto A se incrementa en 4 unidades (1 + 4 = 5) y que su ordenada se incrementa en 2 (2 + 2 = 4). Luego, para determinar las coordenadas o componentes de un vector de desplazamiento se restan las abscisas de los puntos final e inicial y luego se restan las ordenadas de los mismos.  AB AB = (5, 4) – (1, 2) = (5 – 1, 4 – 2) = (4, 2)  El vector u,  0) y extremo o final en (4, 2), u que tiene origen o inicio en el punto(0, se denomina vector posición y corresponde a AB AB trasladado al origen del plano cartesiano.

Para grabar Un vector es un segmento de recta dirigido que se caracteriza por tener magnitud o módulo, dirección y sentido. Las coordenadas o componentes de un  vector AB son las coordenadas del extremo (B) menos las coordenadas del origen (A). Es decir,  si A(x1, y1) y B(x2, y2), las componentes de AB están dadas por:  AB = (x2, y2) – (x1, y1) = (x2 – x1, y2 – y1). En adelante, cuando se haga referencia a las componentes vector del plano, se utilizará de un   la notación: AB = u = (u1, u2); v = (v1, v2); etc. Donde u1 = x2 – x1 y u2 = y2 – y1. Además, si el origen del vector coincide con el origen del plano cartesiano (0, 0), se hablará de vector posición.

1.

u 

v 

w 

  AB = (–5, 1) – (–1, –2) = (–4, 3) = u   CD = (3; 2,3) – (3, 0) = (0; 2,3) = v   EF = (5, 3) – (1, 4) = (4, –1) = w

Identifica las coordenadas de los puntos extremos de cada vector. Luego, determina las coordenadas de sus respectivos vectores posición.

Y

Vector rojo: Vector amarillo: Vector café:

X

Vector celeste: Vector azul: Vector morado:

146

Y

Unidad 5 • Transformaciones isométricas

X

2.

Calcula las coordenadas o componentes de los siguientes vectores.  a. AB; si A(1,1; 3) y B(4,1; 3).  b. CD; si C(–1, 3) y D(–4, 5).  1  3 4  c. EF; si E , 4 y F ,– .  2   5 7 

3.

Representa gráficamente en el plano cartesiano los vectores que permiten trasladar un punto según las siguientes indicaciones.  a. AB: la abscisa, dos unidades en sentido positivo, y la ordenada, tres unidades en sentido positivo.  b. CD: la abscisa, cuatro unidades en sentido negativo, y la ordenada, una unidad en sentido negativo.  c. EF: la abscisa se mantiene y la ordenada, cinco unidades en sentido negativo.  d. GH: la abscisa, tres unidades en sentido negativo y la ordenada se mantiene. Y 6 5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1

–1 –2 –3 –4

4.

0 1

2

3

4 5 X

Resuelve el siguiente problema. Un vector representa un desplazamiento desde el punto A(1, 4) hasta el punto B(–2, 3). Determina sus componentes y represéntalo gráficamente.

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

147

evaluación

contenido

resolución

e e

c c

r r

Adición de vectores Como sabes, los vectores corresponden a segmentos orientados. Observa dos procedimientos que te permiten sumar, geométricamente, dos vectores. Procedimiento 1: formar un triángulo.

Procedimiento 2: formar un paralelogramo.

 z

 v

 w

 u   u+v

  z+w  v

 w

 u

 z

   ¿En qué crees que consiste el procedimiento realizado para determinar u + v? Explica.     ¿En qué crees que consiste el procedimiento realizado para determinar z + w? Explica.

Para grabar Adición de vectores Forma de paralelogramo

Forma triangular 1° Traslada uno de los vectores hasta hacer coincidir el punto final de uno de ellos con el punto inicial del otro.

1° Traslada uno de los vectores hasta hacer coincidir su punto inicial con el punto inicial del otro.

2° Forma un triángulo con un tercer vector (vector resultante o vector suma) cuyo punto inicial coincide con el punto inicial del primer vector y su punto final coincide con el punto final del vector agregado.

2° Forma un paralelogramo con segmentos paralelos a estos vectores. El vector resultante de la adición corresponderá a aquel que coincida con la diagonal del paralelogramo desde el punto inicial de los vectores que se suman.

1.

Aplica uno de los procedimientos para sumar los siguientes pares de vectores. Luego, determina las componentes o coordenadas del vector resultante.

Y

–

3 2

148

Unidad 5 • Transformaciones isométricas

X

2.

Resuelve el siguiente problema. Un estudiante debe sumar tres vectores. ¿Qué estrategia le aconsejarías para hacerlo? Justifica tu respuesta con un ejemplo.

3.

Analiza el siguiente procedimiento para obtener el vector resultante de la resta entre dos vectores. Luego, responde.

Y

¿Qué semejanza y qué diferencia observas con la suma de vectores?  A

A

+

B

 B

X

O

Para grabar Adición de vectores Además de las formas geométricas vistas para sumar vectores, es posible hacerlo a partir de sus componentes.  Sea u = (u1, u2) y v = (v1, v2), luego:    u + v = p = (u1 + v1, u2 + v2) Es decir, la primera componente del vector  resultante p corresponde a la suma de las primeras componentes, y la segunda componente del vector resultante es la suma de las segundas componentes.

Ejemplos:   • Si u = (2, –3) y v = (–5, 0), entonces:   u + v = (2 + (–5), –3 + 0) = (–3, –3)  1 • Si u =  , – 2

   1   y v =  , 5, entonces:  2  

    1 1 u + v =  + , – 4 + 5 = (1, 1)  2 2 

4.

Resuelve en tu cuaderno las adiciones y sustracciones de los siguientes 5 5    3 2  ,  . vectores, sabiendo que u = (2, 0), v = (–4, 5), w =  , – , z = 3 2   5 5     a. u + v b. u + w c. u – v d. w + z e. u + v + w + z f. u + u – z + z

5.

Evalúa la veracidad de las siguientes afirmaciones. Justifica cada una en tu cuaderno. a. La adición de vectores cumple con la propiedad conmutativa. b. La representación gráfica del vector resultante de la adición entre u = (1, –1) y v = (–1, 1) es el vector cuyas componentes son (0, 0).  c. La representación gráfica de los vectores w = (4, –4) y z = (–4, 4) es la misma.

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

149

uac eval ión

en co n t i do

evaluación formativa

luc reso ión

e

Analizando disco Transformaciones isométricas.

1 Aplica la reflexión a cada trío de letras según el eje dibujado.

NOM

NON

MOM

2 Aplica las transformaciones isométricas señaladas.  a. Traslación respecto del vector u. c. Simetría central respecto del punto O. E D

D F

E

C

C A

O

B

A

B

 u

b. Simetría axial respecto de la recta L. D

d. Rotación en torno al punto O y –45°.

C

E A

B

E

D C

O

F G L

B A

3 Aplica dos simetrías centrales consecutivas a la figura 1, ambas respecto de P. Luego, busca entre las figuras y encierra la que se obtiene. Figura 1

P

150

Unidad 5 • Transformaciones isométricas

P P

P

Plano cartesiano.

4 Identifica las coordenadas de cada punto en el papel milimetrado. Luego, escríbelas donde corresponda. Y

a. A(

,

)

d. D(

,

)

b. B(

,

)

e. E(

,

)

c. C(

,

)

f. F(

,

)

A D C

B F

E

X

Vectores en el plano cartesiano y adición de vectores.

5 Representa gráficamente la operación entre los vectores dados junto a su vector resultante. Luego, escribe sus componentes. a. u + v. Si u = (2, 4) y v = (0, –5)

b. u – v. Si u = (–1, 0) y v = (–1, 6)

6 Calcula las coordenadas del vector resultante de la adición y sustracción entre los vectores dados. Luego, completa la tabla.  u

 v

(–3, –9)

(4, –8)

(–5, 7)

(0, 0)

 1  2,   8 

(–4, 20)

 1 3   ,   2 4 

 4  –2,   3 

(–5,3; 2,1)

(0,6; 0,6)

  u+v

  u–v

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

151

evaluación

contenido

resolución

e e

c c

r r

Reflexión en el plano cartesiano La simetría axial también puede ser realizada en el plano cartesiano. Observa los siguientes ejemplos: Y

Y

X

X

¿Cuál es el eje de simetría en cada imagen? ¿Qué semejanzas y qué diferencias puedes observar entre las coordenadas de los vértices de las figuras en cada imagen?

Para grabar

Para saber más

La reflexión de un punto (x, y) del plano cartesiano respecto del eje X puede ser definida como una función Rx, tal que a cada punto del plano cartesiano lo asocia con un único punto del mismo.

Recuerda que una función es una relación que asocia a cada elemento de un conjunto un único elemento de otro conjunto.

Y

Por ejemplo: Rx (3, 1) = (3, –1) Se dice que (3, –1) es el punto simétrico de (3, 1) respecto del eje X.

X

Rx (x, y) = (x, –y) La reflexión de un punto (x, y) del plano cartesiano respecto del eje Y puede ser definida como una función Ry, tal que a cada punto del plano cartesiano lo asocia con un único punto del mismo.

Y

Por ejemplo: Ry (3, 1) = (–3, 1) Se dice que (–3, 1) es el punto simétrico de (3, 1) respecto del eje Y.

Ry (x, y) = (–x, y)

Y

1.

Aplica las siguientes reflexiones. Luego, represéntalas gráficamente. 3 9 a. Rx (2, 0) = c. Ry  ,–  =  8 4 

X

b. Rx (–2, 4) =

152

Unidad 5 • Transformaciones isométricas

 2  d. Ry –2 ;–2,5 =   3

X

Para grabar La reflexión de un punto (x, y) del plano cartesiano respecto del origen (0, 0) puede ser definida como una función R0, tal que a cada punto del plano cartesiano lo asocia con un único punto del mismo.

Por ejemplo:

Y

Rx (3, 1) = (–3, –1) Se dice que (–3, –1) es el punto simétrico de (3, 1) respecto del origen (0, 0) del plano cartesiano.

X

R0 (x, y) = (–x, –y)

2.

Aplica las siguientes reflexiones.

3.

 4  c. Ry –1 ;–0,5 =  3 

3 1 b. R0  ,–  =  4 4 

a. R0 (–3, 4) =

Aplica, sin graficar, las reflexiones señaladas y determina las coordenadas de la figura resultante.

Ayuda

a. Triángulo de vértices A(0, 0), B(3, 8) y C(–2, 1) respecto del eje X. A’

, B’

Para realizar reflexiones de polígonos puedes aplicar dicha transformación a cada vértice de la figura.

y C’

 1 2  1  b. Cuadrilátero de vértices P(–4, –3), Q ,– , R(2, –2) y S– ,– 7 con  8 3   8  respecto al eje Y. P’

4.

, Q’

, R’

y S’

Analiza la información que te permitirá realizar reflexiones a figuras geométricas utilizando el programa Geogebra. Luego, resuelve. Y

1° Dibuja una figura en el área de trabajo. 2° Si la reflexión es respecto de un eje de simetría o de un punto, dibújalo. 3° Presiona el botón correspondiente al elemento por el que se aplicará la reflexión (eje

o centro de

simetría ). Luego, selecciona la figura y el eje o el centro de simetría. a. Especifica qué tipo de transformaciones fueron aplicadas a los polígonos ABCD y A’B’C’D’.

X

b. Verifica que se cumplen las funciones: Rx (x, y) = (x, –y), Ry (x, y) = (–x, y) y R0 (x, y) = (–x, –y). Observa los datos encerrados con rojo. c. ¿Cómo son las medidas de la figura reflejada con respecto a la original?

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

153

evaluación

contenido

resolución

e e

c c

r r

Traslación en el plano cartesiano El polígono A’B’C’D’E’F’G’H’I’ se ha obtenido desplazando el polígono  ABCDEFGHI respecto del vector u.

Y

u 

¿Cuáles son las coordenadas del vector de traslación? Completa la imagen con las coordenadas de los vértices del polígono original y luego con las del trasladado. X

¿Qué semejanzas y qué diferencias puedes observar entre las coordenadas de cada imagen?

Para grabar La traslación de un punto (x, y) en el plano  cartesiano respecto de un vector u = (u1, u2) puede ser definida como una función Tu , tal que u a cada punto del plano cartesiano lo asocia con un único punto del mismo. Tuu(x, y) = (x + u1, y + u2) Es decir, la primera coordenada del punto trasladado es la suma entre la primera coordenada del punto original y la primera componente del vector de traslación; mientras que la segunda coordenada del punto trasladado es la suma entre la segunda coordenada del punto original y la segunda componente del vector de traslación. Además, la traslación de un punto (x, y) se puede asociar a la adición del vector posición, de componentes (x, 0), con el vector posición, de componentes (0, y). (x, 0) + (0, y) = (x, y)

Ejemplo 1:  Si u = (1, 2),

Y 3

Tu (3, 1) = (3 + 1, 1 + 2) = (4, 3)

1

(4, 3) u

2

–3 –2 –1

Se dice que (4, 3) es el punto trasladado de  (3, 1) respecto de u = (1, 2).

–1

 (3, 1)

u

 0 1

2

1.

–3

Y 3

Ejemplo 2:   1 5 Si vv==  , – ,  3 2   1  5     Tu(3, 1) == 3 + , 1 + –   3  2   10 3  =  , –   3 2 

2 1 –3 –2 –1 0  1 –1 v

(3, 1) 2

–2 –3

 10 3  Se dice que  , –  es el punto trasladado  3 2    1 5 de (3, 1) respecto de vv =  , – .  3 2 

Aplica las siguientes traslaciones. Luego, represéntalas gráficamente.  a. u u= (0, –2), Tu(–2, –5)

2 1 –3 –2 –1

–1

0 1

2

3

4 X

–2 –3

154

Unidad 5 • Transformaciones isométricas

4 X

–2

Para realizar traslaciones de polígonos se puede aplicar dicha transformación a cada vértice de la figura.

Y 3

3

  1 2  b. Si vv== –u2 ,– , TTv(0, 0)==  4 5

3 v4 X



 10 3   , –   3 2 

2.

 Calcula las coordenadas del vector de traslación (u) que permite obtener cada punto trasladado (P) a partir del respectivo punto original dado (A). a. A(–6, –6), P(0, –1).

c. A(4, 2), P(3, –7).

 u=

b. A(7, –1), P(5, 0).  u=

3.

 u=

 1 1 d. A  , , P(5, –1).  3 2   u=

 2 7 e. A(6, 7), P– ,– .  7 2   u=

f. A(0,8; –1,2), P(1,2; 0,8).  u=

Representa en un plano cartesiano cada una de las siguientes situaciones. a. La base de un triángulo isósceles tiene como extremos a los puntos A(1, 1) y B(5, 1), y la ordenada  del vértice opuesto a AB es –1. Traslada el triángulo respecto del vector b = (–4, 5). b. Las coordenadas de tres vértices de un rectángulo son P(–1, –1), Q(1, –1) y  T(1, 4). Traslada el rectángulo respecto del vector c = (3, –3). c. La diagonal de un cuadrado EFGH tiene como puntos extremos a H(–1, 2) y  F(–4, 5). Traslada el cuadrado EFGH respecto del vector d = (5, –1).

4.

Analiza la información que te permitirá realizar traslaciones a figuras geométricas utilizando el programa Geogebra. Luego, resuelve. 1° Dibuja una figura en el área de trabajo. 2° Dibuja el vector de traslación

.

3° Presiona el botón , correspondiente a la traslación. Luego, selecciona la figura y el vector dibujado. a. Especifica qué tipo de transformación fue aplicada al polígono ABCDE. b. Verifica que la función: Tu(x, y) = (x + u1, y + u2) se cumple para los puntos del polígono ABCDE.  c. ¿Cómo son las medidas de la figura trasladada con respecto a la orignal?

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

155

evaluación

contenido

resolución

e e

c c

r r Y

Rotación en el plano cartesiano A

B

Al igual que las demás transformaciones isométricas, la rotación también se puede efectuar en el plano cartesiano. Las rotaciones más comunes son aquellas que se efectúan en ángulos de 90°, múltiplos de este ángulo y respecto del origen.

D

C

0

En el siguiente plano cartesiano, rota la figura ABCD en 90°, 180° y 270°. ¿Qué observas en relación con sus coordenadas?

X

Para grabar La rotación de un punto (x, y) del plano cartesiano respecto de un centro de rotación O y un ángulo de rotación () puede ser definida como una función R(O, ), tal que a cada punto del plano cartesiano lo asocia con un único punto del mismo. Rotación en sentido positivo: el objeto por rotar lo hace en sentido contrario al que giran las manecillas del reloj. Rotación en sentido negativo: el objeto por rotar lo hace en el mismo sentido al que giran las manecillas del reloj.

Algunas rotaciones mayormente usadas de un punto (x, y) respecto del origen (O) del plano cartesiano son: R(O, 90°) (x, y) = (–y, x) R(O, 180°) (x, y) = (–x, –y) R(O, 270°) (x, y) = (y, –x) R(O, 360°) (x, y) = (x, y)

R(O, -90°) (x, y) = (y, –x) R(O, -180°) (x, y) = (–x, –y) R(O, -270°) (x, y) = (–y, x) R(O, -360°) (x, y) = (x, y)

Ejemplo: A’(–3, 4)

Ejemplo: Y 3

A’’’(–3, 4) A(4, 3)

2 1

1 1

2

3

4 X

–3 –2 –1 0 –1

–2 A’’(–4, –3)

–3 –4

90°

1

2

A’’’(3, –4)

A’’(–4, –3)

–3

4 X

A’(3, –4)

–4

R(O, -90°) A(4, 3) = A’(3, –4) R(O, -180°) A(4, 3) = A’’(–4, –3) R(O, -270°) A(4, 3) = A’’’(–3, 4) R(O, -360°) A(4, 3) = A(4, 3)

Identifica la alternativa que corresponde a la imagen de la figura encerrada en el rectángulo rojo después de aplicarle una rotación con centro en O y un ángulo de 180°. O

a.

156

3

–2

R(O, 90°) A(4, 3) = A’(–3, 4) R(O, 180°) A(4, 3) = A’’(–4, –3) R(O, 270°) A(4, 3) = A’’’(3, –4) R(O, 360°) A(4, 3) = A(4, 3)

1.

A(4, 3)

2

90°

–3 –2 –1 0 –1

4 3

Unidad 5 • Transformaciones isométricas

b.

c.

d.

e.

2.

Resuelve los siguientes problemas. a. Al punto A(–4, –6) se le aplica una rotación respecto del origen del plano cartesiano en un ángulo de rotación de 90°. Determina las coordenadas del punto resultante.

b. Si las coordenadas de un punto al ser rotado respecto del origen en –270° son (–4, 0), ¿cuáles son las coordenadas del punto antes de aplicarle la transformación?

3.

Aplica las rotaciones señaladas a cada figura. a. Centro de rotación C y ángulo de rotación 90°.

b. Centro de rotación K y ángulo de rotación –180°.

Y

Y

K

X

X

4.

Y 3

Diseña una estrategia para rotar una circunferencia de centro O(2, 2) y radio 1 unidad, en un ángulo de 270° respecto del origen del plano cartesiano. Determina las coordenadas del centro O’ de la circunferencia rotada.

2 1 –3 –2 –1

5.

Analiza la información que te permitirá realizar rotaciones a figuras geométricas utilizando el programa Geogebra. Luego, resuelve.

–1

0 1

2

3

4 X

–2 –3

1° Dibuja una figura en el área de trabajo. 2° Presiona el botón , correspondiente a la rotación. Luego, selecciona la figura, el centro de rotación y escribe el ángulo de rotación en la casilla. a. Especifica qué punto se consideró como centro de rotación y en qué ángulo se ha rotado el polígono ABCDEF. b. Si el ángulo de rotación es 90°, 180°, 270°, 360° o sus correspondientes negativos, verifica que se cumple la relación respectiva. Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

157

evaluación

contenido

resolución

e e

c c

r r

Composición de transformaciones isométricas Dentro de las transformaciones isométricas has estudiado reflexiones (Rx, Ry, R0), traslaciones (T Tu) y rotaciones (R(O, α)) de manera separada; sin embargo, estas funciones pueden suceder de manera dependiente una de la otra. Por ejemplo, observa las siguientes transformaciones.

Y

Y

v 

u 

v 

u 

u+v 



u+v 



X

X

¿Qué transformaciones isométricas se han realizado? ¿Qué relación tiene la traslación con la adición de vectores? Explica. ¿Qué coordenadas deberá tener el vector de traslación que hace posible trasladar la figura ABCD a la posición de la figura A’’B’’C’’D’’? Comenta.

Para grabar La composición de transformaciones isométricas es la aplicación sucesiva de transformaciones isométricas sobre un punto o una figura, es decir, al resultado de la primera transformación se le aplica una segunda y así sucesivamente.

En el gráfico se muestra la figura ABCD, primero trasladada respecto del vector  u, obteniéndose la figura A’B’C’D’, luego, esta es reflejada respecto del punto G, generando la figura A’’B’’C’’D’’ y, finalmente, esta nueva figura es reflejada respecto del eje X, originando la figura A’’’B’’’C’’’D’’’.

Y

X  u

1. Ayuda

Identifica qué transformaciones se muestran en el siguiente gráfico. a.

b. Y

A

Utiliza las representaciones Rx, Ry, Ro,TTu, R(o, )

2 1

–3

–2

0

–1 –1 –2

A’

158

Unidad 5 • Transformaciones isométricas

Y

A’’

3

–3

1

2

3

4

X

X

2.

Representa en el plano cartesiano. Luego, responde. a. Al triángulo formado por los vértices E(1, 0), F(5, 1) y G(4, 3) se le aplica la función R0, obteniendo E’F’G’, y después, a la figura resultante, se le aplica la función Rx,obteniendo E’’F’’G’’. ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices del triángulo luego de las dos reflexiones? E’’ (

,

)

F’’ (

,

)

G’’ (

,

)

Representa gráficamente la situación.

b. Al cuadrilátero cuyos vértices son los puntos P(–6, –2), Q(–1, –2), R(3, 4) y S(–6, 1) se le aplica una reflexión con respecto al punto O(–1, 0), y después, a la imagen resultante, P’Q’R’S’ se le aplica una traslación, de tal manera que el vértice S’’ (imagen de S’) queda ubicado en el origen del plano cartesiano. ¿Cuáles son las coordenadas del cuadrilátero luego de ser reflejado y trasladado? P’’ (

,

) Q’’ (

,

) R’’ (

,

)

S’’ (

,

)

Dibuja el vector de traslación.

c. Al triángulo cuyos vértices son los puntos D(–5, 4), E(–5, –2) y F(–3, 5) se le aplica la función R(O, 90°), y después, a la figura resultante, se le aplica una reflexión con respecto a la recta y = x.

Ayuda La recta y = x puede representarse por:

¿Cuáles son las coordenadas de los vértices del triángulo luego de aplicarles ambas transformaciones? D’’ (

,

)

E’’ (

,

)

F’’ (

,

)

Y

y=

x

X

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

159

e h

c c

resol u

en co n t i do

n de prob ció

r r

as lem

uac eval ión

Trabajo de habilidades

Resolución de problemas 1 Analiza la resolución del siguiente problema.

¿Qué es aplicar? Aplicar consiste en llevar a cabo o utilizar un procedimiento en una situación dada.

¿Qué tengo que hacer para aplicar un procedimiento?

5  Los vértices de un triángulo son A ,0 , B(4, 5) y C(–1, –3). Si se le aplica una  2   5 rotación en torno al punto (0, 0), el vértice A queda en A' 0, , B en B’(–5, 4) y  2  C en C’(3, –1). ¿Cuál es el ángulo de rotación aplicado al triángulo ABC?

Paso 1 Comprende el enunciado ¿Qué datos son necesarios para resolver el problema? Conocer el ángulo de rotación aplicado al triángulo. ¿Qué información entrega el enunciado del problema? Las coordenadas de los vértices del triángulo ABC y las coordenadas del triángulo A’B’C’.

Interpretar la información entregada en el problema utilizando la representación. Emplear el procedimiento propuesto en la resolución del problema.

Paso 2 Planifica lo que vas a realizar Resolviendo de manera gráfica, primero se interpretará la información entregada en el enunciado del problema a través de una representación gráfica del triángulo y su imagen al ser rotado en 90° con respecto al origen. Luego, se trazarán rectas que unan cada vértice con el (0, 0) y este con la imagen del punto original, es decir, A con (0, 0) y este con A’; B con (0, 0) y este con B’, y C con (0, 0) y este con C’. Finalmente, utilizando el transportador se miden los ángulos AOA’, BOB’ y COC’, cuya medida es el ángulo de rotación pedido. Algebraicamente, basta con aplicar la relación R(O, 90°) (x, y) = (–y, x), estudiada en los contenidos de la unidad.

Etapas de la resolución de problemas. Paso 1: Comprende el enunciado. Paso 2: Planifica lo que vas a realizar. Paso 3: Resuelve el problema. Paso 4: Revisa la solución.

Paso 3 Resuelve el problema Interpreta la información.

Emplea el procedimiento.

Y

-5

-4

-3

-2

Y

-4

-4

-3

-3

-2

-2

-1

-1

-1

0 -1

1

2

3

4

5

X

-5

-4

-3

-2

-1

0 -1

-2

-2

-3

-3

-4

-4

1

2

3

4

5

X

Por lo tanto, el ángulo de rotación es 90°.

Paso 4 Revisa la solución Algebraicamente se tiene que R(O, 90°) (x, y) = (–y, x). Por lo tanto, las  5 5  coordenadas de A ,0 , B(4, 5) y C(–1, –3) son, respectivamente, A' 0, ,  2   2  B’(–5, 4) y C’(3, –1).

160

Unidad 5 • Transformaciones isométricas

2 Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente.  1  Los vértices de un polígono son A– , 1, B(3, 1), C(4, 3) y D(–5, 2). Si se le aplica una traslación con respecto  3   4   al vector u, el vértice A queda en A'– ,3, B en B’(2, 3), C en C’(3, 5) y D en D’(–6, 4). ¿Cuáles son las  3  componentes del vector de traslación asociado?

Paso 1 Comprende el enunciado ¿Qué datos son necesarios para resolver el problema?

¿Qué información entrega el enunciado del problema?

Paso 2 Planifica lo que vas a realizar

Paso 3 Resuelve el problema

Paso 4 Revisa la solución

3 Resuelve en tu cuaderno el siguiente problema. Los vértices de un triángulo son A(–2, –1), B(0, –5) y C(–2, –5). Si se le aplica una rotación en 180° y en torno al vértice A y luego una reflexión con respecto al eje X, ¿cuáles son las coordenadas del triángulo rotado y luego trasladado? ¿Cuánto mide su superficie? Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

161

e

resol u

en co n t i do

n de prob ció

as lem

uac eval ión

evaluación sumativa

Verificando disco I. Lee atentamente cada una de las preguntas y marca la alternativa correcta. 1 ¿En cuál de las siguientes figuras es posible dibujar infinitas rectas, de tal manera que cada una represente un eje de simetría interior?

4 Sea el ABC, con A(5, 6); B(–1, 2) y C(2, 3). Al  aplicar una traslación según el vector u = (6, 4), ¿qué coordenadas tiene el punto B’?

A. Rombo.

A. (–1, 2)

B. Cuadrado.

B. (6, 4)

C. Hexágono.

C. (7, 6)

D. Rectángulo.

D. (5, 6)

E. Circunferencia.

E. (2, 3)

2 Si un triángulo rectángulo isósceles es reflejado con respecto a su hipotenusa, ¿qué polígono pueden representar ambos triángulos juntos? A. Rombo. B. Triángulo. C. Cuadrado. D. Romboide. E. Rectángulo. 3 ¿En cuál de las alternativas se representa de mejor manera una simetría central con respecto al punto O? A.

D.

5 Si el punto P(–3, 7) es trasladado al punto  P’(4, –1), ¿cuál es el vector v de traslación?  A. v = (1, 6)  B. v = (–4, 11)  C. v = (6, 1)  D. v = (7, –8)  E. v = (8, 7)

6 Si el punto A(x, y) es trasladado según el vector  v = (–4, –1), su nueva ubicación es el punto A’(5, –3). ¿Cuáles eran sus coordenadas originales? A. (1, –4)

O

O

B. (–9, –2) C. (9, –2) D. (–9, 2)

B.

O

O

C.

O

162

E. (–1, 4)

E.

Unidad 5 • Transformaciones isométricas

 7 ¿Qué coordenadas tiene el vector v que permite trasladar al punto M(–5, 3) al punto M’(0, –4)?  A. v = (0, –4)  B. v = (–4, 0)  C. v = (5, 0)  D. v = (5, 7)  E. v = (5, –7)

8 Si el punto A(–6, –1) es trasladado según  el vector v = (4 –2), se obtiene el punto A’. ¿Cuáles deben ser las componentes de otro  vector de traslación u para que A’ se ubique sobre el origen?  A. u = (–2, –3)  B. u = (2, 3)  C. u = (–2, 3)  D. u = (2, –3)  E. u = (0, 0)

9 ¿En cuál de los siguientes puntos la abscisa corresponde a las tres cuartas partes de la ordenada? A. P(3, 8) B. Q(4, 8) C. R(6, 8) D. S(8, 6)

12 Un punto A, al ser rotado en –180° con respecto al origen del plano cartesiano, queda ubicado en el punto A’(4, –2). ¿Cuál era su ubicación antes de la rotación? A. (–4, 2) B. (4, 2) C. (–2, 4) D. (–2, –4) E. (2, –4)

13 Si el punto M(–3, –5) es rotado en 270° con respecto al origen del plano cartesiano, ¿cuáles son sus nuevas coordenadas? A. (3, 5) B. (5, 3) C. (–5, 3) D. (5, –3) E. (–5, –3)

E. T(4, 3)

10 Si en el plano cartesiano se unen todos los puntos cuya abscisa es el doble de su ordenada, ¿qué se forma? A. Un triángulo. B. Una línea recta. C. Una línea curva. D. Dos líneas rectas.

14 Si a un triángulo se le aplica una traslación, luego una rotación y finalmente una simetría axial, ¿qué sucede con su área? A. Se triplica. B. Se reduce a su tercio. C. Se reduce en un tercio. D. Se mantiene constante. E. Falta información.

E. Una circunferencia.

11 Si el punto P(–1, 3) es rotado en 90° con respecto al origen del plano cartesiano, ¿cuáles son sus nuevas coordenadas? A. (1, –3) B. (1, 3) C. (3, 1) D. (3, –1)

15 Si el punto M(–3, 5) es reflejado con respecto al eje Y, se obtiene el punto M’. ¿Cuál es el vector  v que permite trasladar el punto M’ al origen?  A. v = (3, 5)  B. v = (–3, –5)  C. v = (3, –5)  D. v = (5, –3)  E. v = (–5, –3)

E. (–3, –1)

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

163

e

resol u

en co n t i do

n de prob ció

as lem

uac eval ión

evaluación sumativa

Verificando disco 16 Si el punto N(1, –2) es rotado 90° con respecto al origen del plano cartesiano y luego, desde esta nueva posición, se traslada según el vector  s = (–2, –1), ¿cuáles son las nuevas coordenadas de dicho punto? A. N”(–1, –2)

19 Si al punto A de la figura se le aplica una rotación con centro en el origen y ángulo de rotación –90°, ¿qué coordenadas tiene el punto luego de ser rotado? A. (3, 2)

Y 3

A

2

B. (–3, 2)

B. N”(2, 1)

1

C. (–2, 3)

C. N”(1, 2) D. N”(–2, 1)

–3 –2 –1

D. (–3, –2)

–2

E. (–2, –3)

–4

I.

II.

III.

0 1

2

3

4 X

–3

E. N”(0, 0)

17 ¿Cuál(es) de las siguientes figuras representa(n) una traslación?

–1

20 El punto B’ fue obtenido luego de aplicarle al punto B una reflexión con respecto al eje X. ¿Cuáles son las coordenadas del punto B? A. (3, 1)

Y 3

B. (1, 3)

2

C. (1, –3) A. Solo I.

D. (–3, –1)

B. Solo II.

E. (–1, –3)

1 –3 –2 –1

–1

0 1

2

3

4 X

–2 –3

C. Solo III.

B’

–4

D. Solo I y II. E. Solo I y III.

Observa el gráfico. Luego, responde las preguntas 21 y 22.

18 ¿Cuáles son las componentes del vector de traslación aplicado al rectángulo de color rojo para obtener el rectángulo de color celeste?

B L

Y 3 2

–4 –3 –2 –1

–1 –2

A

A. (5, –2) B. (10, 2)

A. (4, 0)

C. (8, –2)

B. (0, 4)

D. ( 10, –2)

C. (0, –4)

E. (2, –10)

D. (–4, 0)

Unidad 5 • Transformaciones isométricas

2

3

4 X

C

–4

21 Si al triángulo ACB se le aplica una reflexión con respecto a la recta L (paralela al eje Y), ¿cuáles son las coordenadas del vértice A reflejado?

E. (–4, –2)

164

0

22 Considerando la transformación descrita en la pregunta 21, ¿cuáles son las coordenadas del vértice C reflejado? A. (2, 7)

25 El cuadrado ABCD de la figura ha sido trasladado según un vector dado, obteniéndose el cuadrado de color verde. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) VERDADERA(S)?

B. (2, 5)

Y

C. (2, –5)

3

D. (–5, –2)

2 1

E. (–7, –2)

–3 –2 –1

–1

0 1

2

3

4 X

–2 –3

23 ¿Qué alternativa representa mejor la reflexión de la figura con respecto a la recta de color rojo? A.

D.

–4

I. El vector de traslación tiene por componentes (2, 0). II. Las coordenadas de los vértices del cuadrado no varían. III. El área del cuadrado permanece constante. A. Solo I.

B.

E.

B. Solo I y II. C. Solo I y III. D. Solo II y III. E. I, II y III.

C. 26 ¿Qué se obtiene al aplicar una rotación de centro en O y un ángulo de rotación de 90° a la siguiente figura? 24 Se dibuja en el plano cartesiano un segmento AB y se le aplica una traslación, obteniéndose el segmento A’B’. Se pueden determinar las coordenadas del vector de traslación si: A. Se conocen las coordenadas de A y A’.

O A.

D.

B.

E.

B. Se conocen las coordenadas de A y B’. C. Se conocen las coordenadas de A’ y B. D. Se conocen las coordenadas de A’ y B’. E. No es posible determinar las coordenadas del vector de traslación.

C.

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

165

resol u

e

en co n t i do

n de prob ció

as lem

uac eval ión

evaluación sumativa

II. Lee atentamente los problemas. Luego, resuelve.  1. Al trasladar el punto P(3, 6) según el vector u = (2, 1) se obtiene el punto P’(x, y), y a continuación, se  traslada el punto P’ según el vector v = (–2, 1), obteniendo el punto P”(z, w). Determina las componentes del vector que realiza la composición de ambas traslaciones. ¿Qué coordenadas tendrá el punto P”?

2. Un segmento cuyos extremos son los puntos K(3, -1) y M(-1, 5) es trasladado según el vector   m = (–4, 1), obteniéndose el segmento K’M’. Determina las componentes de otro vector de traslación v que permita trasladar el extremo K’ al origen del plano cartesiano.

 3. Un punto de coordenadas A(2x + 1, 5y – 3) es trasladado según el vector v = (x – 7, 2y + 1 ) al punto  A’(–2, –3). ¿Cuáles son las coordenadas del punto A y del vector v?

166

Unidad 5 • Transformaciones isométricas

Una técnica que facilita la retención de lo estudiado para después realizar un repaso eficiente es el cuadro sinóptico. Se trata de un resumen esquematizado, cuya ventaja es permitir que el contenido se visualice de manera estructurada y organizada. Completa la tabla que muestra algunos de los temas trabajados a lo largo de la unidad. Contenido

Definición o procedimiento

Ejemplo

Transformaciones isométricas.

Simetría axial.

Simetría central.

Traslación.

Rotación.

Plano cartesiano.

Reflexión en el plano cartesiano.

Traslación en el plano cartesiano.

Rotación en el plano cartesiano.

Composición de transformaciones isométricas.

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

167

Organizar favoritos Ahora que tienes claras las ideas principales, elabora un mapa conceptual que te permita relacionar algunos conceptos clave trabajados en la unidad. Transformaciones isométricas Simetría axial Simetría central Vector de traslación

Conceptos clave

Traslación Rotación Eje de simetría Plano cartesiano

Herramientas A continuación, te presentamos algunos datos fundamentales de esta unidad. No los olvides, pues te seguirán siendo útiles. Traslación

Simetría axial

Simetría central

Rotación

P’

P

P’

P P

α

 v

Simetría interior

Simetría exterior

Simetría de contorno

P’

–α

α

0

Plano cartesiano Y

II

I

III

IV

X

Transformaciones isométricas en el plano cartesiano Reflexión Rx(x, y) = (x, –y)

Traslación Tu (x, y)=(x +u1 , y +u2 ) Adición de vectores posición

Ry(x, y) = (–x, y) R0(x, y) = (–x, –y)

168

(x, 0) + (0, y) = (x, y)

Unidad 5 • Transformaciones isométricas

Rotación R(O, 90°) (x, y) = (–y, x)

R(O, -90°) (x, y) = (y, –x)

R(O, 180°) (x, y) = (–x, –y)

R(O, -180°) (x, y) = (–x, –y)

R(O, 270°) (x, y) = (y, –x)

R(O, -270°) (x, y) = (–y, x)

R(O, 360°) (x, y) = (x, y)

R(O, -360°) (x, y) = (x, y)

Cerrar sesión Nivel de logro

7

9

5

2

3

Mi estado Evalúa tu desempeño a partir del logro alcanzado para cada contenido. ¿Qué contenidos podrías enseñarle a una compañera o compañero que no los haya entendido? ¿Qué temas debes repasar? ¿Qué harás para reforzarlos? ¿Qué calificación te pondrías de acuerdo a lo que has aprendido a lo largo de la unidad? ¿Por qué?

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

169

Unidad

Funciones

6

Una de las aplicaciones importantes que se pueden realizar en Matemática es modelar distintas situaciones de la vida diaria. Por ello, es muy frecuente encontrar el concepto de función relacionado con diferentes fenómenos. Por ejemplo, la distancia recorrida por un vehículo en cierto tiempo a una rapidez constante o el precio que se debe pagar por cierta cantidad de alimentos, etc.

¿Qué?

170

¿Para qué?

¿Dónde?

Función.

Comprender el concepto de función, identificar sus partes y reconocer distintas representaciones.

Páginas 172 a 177.

Tipos de funciones.

Identificar diferentes tipos de funciones y analizar sus diversas representaciones y aplicaciones.

Páginas 178 a 189.

Composición de funciones.

Aplicar la composición de funciones; por ejemplo, en transformaciones isométricas.

Páginas 190 a 193.

Unidad 6 • Funciones

6

Abrir sesión Considerando la información de la página anterior, responde: 1) ¿En qué situaciones de la vida diaria utilizas variables? 2) ¿Qué quiere decir que dos elementos estén relacionados? 3) ¿En qué situaciones de la vida cotidiana reconoces alguna relación matemática? Comenta.

Inicializando Analizar es descomponer una situación, un todo o un problema dado en sus partes integrantes y determinar cómo se relacionan unas con otras y con una estructura o propósito general. Un estudio de mercado en una empresa determina que su ganancia mensual en dólares depende de la venta de sus productos. Si estos se venden a US$ 200 cada uno y el costo invertido por la empresa mensualmente es de US$ 20.000, ¿qué función permite calcular la ganancia (G) de la empresa según la cantidad (x) de productos vendidos? ¿Qué ganancia obtiene la empresa si se venden 150 unidades? 1) ¿Qué datos proporciona el problema? ¿Cuáles te permiten responder la pregunta?

2) ¿De qué forma se relacionan los datos del problema?

3) Determina y expresa una estrategia para resolverlo.

4) Aplica tu estrategia y resuelve el problema.

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

171

evaluación

contenido

resolución

e e

c c

r h

Concepto de función Es habitual establecer reglas de correspondencia que asocien elementos de un conjunto con los elementos de otro. Por ejemplo, a cada automóvil registrado le corresponde una única placa patente.

Para grabar Una función f de un conjunto A en un conjunto B (f: A ➞ B) es una relación (regla o correspondencia que asocia dos elementos) en que a cada elemento x ∈ A, llamado preimagen, le corresponde un único elemento y ∈ B, llamado imagen, que se denota y = f(x). Se puede denotar: f: A ➞ B x ➞ y = f(x)

Ejemplo: La longitud x de la arista de un cubo y su volumen V se pueden relacionar usando la función V(x) = x3. En este caso, la longitud de la arista es la variable independiente y el volumen es la variable dependiente, es decir, el volumen del cubo depende de la longitud de la arista. Variable independiente V(x) = x3

En general, a la variable x se le llama independiente y a la variable y, dependiente. Además, en el conjunto de la preimágenes no puede "sobrar" ningún elemento, mientras que en el de las imágenes sí.

1.

x cm

Variable dependiente

Analiza cada relación. Luego, responde. a. Sea g(x) = 2x + 25. ¿Cuál es el valor de g(1)? ¿Y cuál es el de g(–1)?

Ayuda Sea f(x) = x3. Luego: f(–2) = (–2)3 = –8.

Si se considera que g:  ➞ , ¿crees que g es función? ¿Por qué?

4 b. El volumen V de una esfera de radio r se calcula según la fórmula V(r)= πr3. 3 Si se considera π = 3,14, ¿cuál es el volumen de una esfera si su radio mide 7 cm? Redondea a la unidad.

r

172

Unidad 6 • Funciones

Si V(r) = 87,808 cm3, ¿cuál es la medida del radio de la esfera considerando π = 3?

2.

Analiza la secuencia. Luego, responde.

Figura 1 (5 segmentos, 4 vértices) Figura 2 (9 segmentos, 6 vértices)

Figura 3 (13 segmentos, 8 vértices)

a. Si continúa el mismo patrón, ¿cuántos segmentos y cuántos vértices tendrá la figura 4? b. ¿Qué función S permite calcular la cantidad de segmentos de la figura n? c. ¿Qué función V permite calcular la cantidad de vértices de la figura n?

3.

Resuelve los siguientes problemas. a. Si en un triángulo equilátero de lado x cm una de sus alturas mide h cm, ¿qué expresión permite calcular la medida de uno de sus lados si se conoce el área (A) del triángulo y la medida de una de sus alturas (h)?

b. Un alambre que tiene una longitud de 50 cm se debe cortar en dos pedazos: con uno, de longitud x cm, se puede construir un cuadrado, y con el otro, un círculo. Expresa en términos de x el área (A) de cada figura.

c. Una persona pagará $ 60 por fotocopiar cada página de un libro. Si además por el anillado le cobran $ 1.200, ¿cuál es la función D que permite calcular el dinero que pagará por fotocopiar y anillar un libro de n páginas?

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

173

evaluación

contenido

resolución

e e

c c

r h

Dominio y recorrido f:  ➞  x ➞ y = f(x) = 2x

Esta notación significa que la función f definida en el conjunto de los números naturales relaciona cada elemento de este conjunto con su doble, que en este caso, también pertenece a este conjunto. Luego, se puede afirmar que el conjunto de las preimágenes y el de las imágenes corresponde a .

Para grabar Si f: A ➞ B es una función con y = f(x), donde x ∈ A e y ∈ B, se define el dominio de f (Dom(f)) o conjunto de las preimágenes x como el conjunto de valores que puede “tomar” la variable independiente x perteneciente al conjunto A. Mientras que el recorrido de la función f (Rec(f)) corresponde al subconjunto de las imágenes y ∈ B una vez aplicada la función f (y = f(x)). f: A ➞ B x ➞ y = f(x) Preimagen

1.

Ejemplo: 1 definida en . 1+ x –1 ∉ Dom(f), ya que f(–1) no está definido, es decir, f no está definida para x = –1.

Sea f(x) =

1 1 1 ∈ Rec(f),ya que f(1) = = . 2 1+ 1 2 Observación: no todas las funciones tienen que denotarse con la letra f.

Imagen

Evalúa si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F). Para ello, escribe V o F según corresponda. Considera que las funciones están definidas en . a. Sea f(x) = x2, entonces se cumple que f(1) = f(0) – 1. b. Si f(x)=

Para saber más Recuerda que el conjunto de los números reales () corresponde a la unión de los números racionales con los irracionales.  =  ∪ I.

1 y f está definida en , se tiene que 0 ∉ Dom(f). x

c. Si g(x) = x, entonces g(n) = n • g(1), con n ∈ .

2.

Analiza el siguiente ejemplo. Luego, responde. 2x +5 . Para determinar qué valores x+1 no pertenecen al dominio de f se puede igualar a cero el denominador, ya

Sea la función f definida en  por f(x)=

que no está definida la división por cero. Luego, para x = –1, f no está definida, entonces, Dom(f) =  – {–1}, es decir, todos los números reales menos el –1. a. ¿Cuál sería el dominio de f si estuviera definida en los números naturales? Justifica.

b. ¿Cuál es dominio de la función f(x)=

174

Unidad 6 • Funciones

3x+4 definida en los números reales? x–5

3.

Analiza la siguiente información. Luego, resuelve.

Para saber más

Una manera de representar una función son los diagramas sagitales. Los elementos relacionados se muestran mediante flechas que parten desde los elementos del primer conjunto a los elementos del segundo. En este tipo de representación se puede identificar el dominio o conjunto de partida y el recorrido o conjunto de llegada. f A B Dom(f) = A = {1, 2, 3, 4}

Los siguientes diagramas no representan una función. R A

B

1 3 2 5

Rec(f) = B = {–2, –4, –5, –6} 1

–2

2

–4

3

–5

3

R no es función ya que R(1) = 3 y R(1) = 5 R A

4

B

–6 1 3 2

Identifica el dominio y el recorrido de las funciones representadas en los diagramas sagitales. a. f b. g A B C D –1

1 2

–2 –3

–

1

1

2 3

4 9

5 3

R no es función ya que R(3) no está definido.

Ayuda h

1 4

–4

Dom(f) =

Dom(g) =

Rec(f) =

Rec(g) =

0

0

A 3

4

B

4

16

5

6

7

8

9

10 11 13

4.

Completa cada uno de los diagramas de acuerdo a la función y valores dados. a.

En este caso: Dom(h) = A = { 3, 5, 7, 9} Rec(h) = { 4, 6, 8, 10}

b. f(x) = x3 + 10 A

g(x) = 2x2 + 7 B

C

D

–1,5

–1

9 10 7 11

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

175

evaluación

contenido

resolución

c Representación de funciones Un deportista registró en una tabla la distancia recorrida durante 6 horas de entrenamiento. El siguiente gráfico en el plano cartesiano representa la función que modela la situación del deportista en el tramo de las 6 horas.

Distancia (km)

13 12 10 8

El eje X o eje de las abscisas representa a la variable independiente, y el eje Y o eje de las ordenadas, a la variable dependiente.

Distancia recorrida por un deportista Y

5 3 0

X 0

Para grabar

2 3 4 5 Tiempo (h)

6

Ejemplo: Si el precio que se paga por fotocopiar una página por un lado es de $ 15 y este valor no varía según la cantidad de fotocopias, la función que modela la situación se puede representar de la siguiente forma: Precio por fotocopia

Precio por fotocopia

Y 60

Precio ($)

Existen diferentes formas de representar una función, ya sea utilizando el lenguaje algebraico, los gráficos, las tablas o una descripción verbal.

1

40

20 X

0 0

1

2

3

Cantidad de fotocopias

Algebraicamente, la situación se puede modelar con la función f(x) = 15x.

1.

4

Diseña una estrategia para identificar si un gráfico realizado en el plano cartesiano corresponde a una función. Para ello, analiza los siguientes gráficos. a. b. c. 4 Y 4 Y 4 Y 3 2

2 X

0 –4

0

–2

2

4

–4

–2

1 0

X

0 2

4

–2

–2

–4

–4

–4

Describe tu estrategia:

Unidad 6 • Funciones

No representa una función.

X 0 1

–4 –3 –2 –1

–2

Sí representa una función.

176

2

2

3

4

Sí representa una función.

2.

Analiza la siguiente información. Luego, resuelve.

Graphmatica es un software de libre acceso con el que podrás graficar distintos tipos de funciones, entre otras aplicaciones. Pídele ayuda a tu profesor(a) para conseguirlo. Por ejemplo: f(x) = 4x.

Debes digitar la función y = 4x y luego presionar Enter. Visualizarás el gráfico de la función ingresada.

Utiliza Graphmatica para representar las siguientes funciones: a. f(x) = 2x + 1

b. g(x) = 2x2

c. h(x) = 2x3 – 1

¿Qué semejanzas y qué diferencias tienen los gráficos de las funciones f(x) = 9x y g(x) = –9x?

3.

Utiliza Graphmatica para representar las siguientes funciones. Luego, compara los gráficos. a. f(x) = 3x, f(x) = 3x + 1, f(x) = 3x – 1. b. f(x) = x2, f(x) = x2 + 1, f(x) = x2 – 1. c. f(x) = x2, f(x) = (x + 1)2, f(x) = (x – 1)2. d. f(x) = x3, f(x) = x3 + 1, f(x) = x3 – 1. e. f(x) = x3, f(x) = (x + 1)3, f(x) = (x – 1)3. Explica en qué se parecen y en qué se diferencian los gráficos.

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

177

evaluación

contenido

resolución

e e

c c

r h

Función lineal La fuerza F necesaria para estirar un resorte es proporcional a la longitud de su estiramiento x, es decir: F=k•x Donde k es la constante de proporcionalidad y no depende de x, sino del tipo de resorte que esté involucrado en el problema. Esta relación se conoce en Física como ley de Hooke.

Para grabar Una función f definida en los números reales se dice que es lineal si cumple con las siguientes propiedades: 1° Propiedad aditiva: para todo par de números reales x e y se tiene que: f(x + y) = f(x) + f(y).

Ejemplo: Se verificará si la función f(x) = 2x es lineal. 1°

f(x + y) = 2(x + y) = 2x + 2y = f(x) + f(y).

2° f(k • x) = 2kx = k(2x) = k • f(x) Por lo tanto, f es una función lineal. Además, su representación gráfica en el plano cartesiano es:

2° Propiedad homogénea: para todo x   se tiene que: f(k • x) = k • f(x) con k  . (((gráfico)))

• Representación gráfica: el gráfico que representa una función lineal es una recta que pasa por el origen del plano cartesiano.

1.

2.

Analiza cada función. Luego, marca con una X si es o no una función lineal.

2 5

a. f(x) = 4x

Sí

No

d. h(x)= x

b. g(x) = 0

Sí

No

e. j(z)=

c. d(x) = –3x + 7

Sí

No

f. C(p) = p – 100

3z – 3 5

Sí

No

Sí

No

Sí

No

Representa cada enunciado en lenguaje algebraico. Luego, responde. a. La función g asigna a cada elemento x de su dominio su tercera parte. b. La función h asigna a cada elemento x de su dominio el cubo de su valor. ¿Cuál de las funciones corresponde a una función lineal? ¿Por qué?

178

Unidad 6 • Funciones

3.

Analiza la siguiente información. Luego, responde.

La función lineal f(x) = k · x se conoce también como función de proporcionalidad directa, y la constante k, como constante de proporcionalidad.

y = f(x)=kx ⇒

y = k, para cada valor de x e y según corresponda. x

a. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad en la función f(x) = 0,5x? ¿Hay proporcionalidad entre sus variables? Justifica.

b. Si el gráfico de una función g: A → B es una recta que pasa por el punto (0, 0) y el punto (1, 4), ¿cuál es la constante de proporcionalidad k asociada a g? Explica el procedimiento que utilizaste para responder.

4.

Calcula en cada caso la constante de proporcionalidad (k) asociada a cada función definida en los reales. Luego, grafica cada una de ellas en el plano cartesiano y determina su dominio y recorrido. a. f(x) = –x

b. g(x)=

k=

2 x 4

Y

k= Y

0

X

0

X

¿Cómo cambiaría el gráfico de cada función si la constante de proporcionalidad se multiplicara por –1?

5.

Resuelve el siguiente problema en tu cuaderno. Un automóvil recorre, con una rapidez constante, 70 km en una hora. La siguiente tabla muestra cómo varía la distancia recorrida para los distintos tiempos. Distancia recorrida en cierto tiempo

a. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad entre las variables X e Y? b. Construye un gráfico utilizando los valores de la tabla entregada. c. Representa algebraicamente una función que muestre la situación y permita determinar cuánta distancia recorrerá en n horas si mantiene la rapidez. Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

179

evaluación

contenido

resolución

e e

c c

r h

Función afín En cierto experimento, la temperatura inicial de una sustancia era de 20 °C, y luego aumentó en 3 °C cada minuto. ¿Cuál es la función que representa la relación entre la temperatura y el tiempo? En esta situación, si y = T(x) representa la temperatura de la sustancia en un determinado tiempo x, la función que relaciona a ambas variables se puede expresar algebraicamente de la siguiente manera:

Para saber más Afín: próximo, contiguo. www.rae.es

y = T(x) = 3x + 20 Temperatura final

Temperatura inicial

Aumento de la temperatura por minuto

Para grabar Una función de la forma f(x) = mx + n (m, n ≠ 0) recibe el nombre de función afín. • El gráfico que representa una función afín es una recta que intersecta al eje Y en el punto (0, n). • y = f(x) = mx + n es una función afín de la función lineal asociada f(x) = mx. • La constante m de la función afín y = mx + n indica el cambio en la variable dependiente, y por cada unidad de variación en la variable independiente x, m recibe el nombre de constante de proporcionalidad o pendiente de la función f(x) = mx + n. Ejemplo: si la recta que representa una función afín pasa por los puntos (0, 2) y (2, 10), es posible determinar la expresión algebraica que la representa. y varía 4 unidades por cada 1 10 – 2 m= =4 unidad de x. 2–0 (((gráfico)))

Como pasa por el punto (0, 2) = (0, n), entonces n = 2. Por lo tanto, la expresión algebraica para la función es: y = f (x) = 4x + 2

Función afín de la función lineal asociada y = f (x) = 4x.

Además, se tiene que f(0) = 2 y f(2) = 10.

1.

Analiza la siguiente tabla. Luego, responde.

x

0

5

10

15

f(x)

2

0

–3

4

a. ¿En qué punto, según la tabla, se intersecta la función f con el eje X? ¿Y con el eje Y? b. ¿Existe alguna función afín que cumpla con los valores de la tabla? Justifica.

c. ¿El gráfico de una función afín puede pasar por el origen? Justifica.

180

Unidad 6 • Funciones

2.

Representa las siguientes funciones en un plano cartesiano. Luego, verifica con Graphmatica que los gráficos sean los adecuados y responde. a. y = x – 5

1 c. f(x) = – x – 4 2

b. f(x) = –x – 5

d. y = –0,5x + 4

¿Qué relación notaste entre los gráficos a y b? ¿Y entre los gráficos c y d? Comenta con tus compañeros(as).

3.

Resuelve los siguientes problemas. a. En un plan telefónico se pagan $ 950 de cargo fijo y $ 25 por minuto. Representa algebraicamente la función P que permite determinar el pago de una cuenta con respecto al total de minutos usados. Especifica el significado de cada variable que uses.

b. Una estación de peaje cobra $ 2.300 por cada automóvil que transite por él. Expresa el dinero recaudado (D) en un día por el peaje si a este monto se descuentan $ 100.000 por pago de impuestos.

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

181

resol u

e

en co n t i do

n de prob ció

as lem

uac eval ión

evaluación formativa

Analizando disco Funciones y representación de funciones.

1 Evalúa si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera (V) o falsa (F). Para ello, escribe V o F según corresponda. a. En una función, el “conjunto de partida” corresponde al conjunto de las imágenes. b. Si a ∈ Dom(f), entonces existe b ∈ Rec(f) tal que f(a) = b. c. Si f(x) = 2x, entonces f(0) = f(k) – k para cualquier valor de k. d. Existe una función, tal que a todo elemento del dominio le corresponda la misma imagen. 2 Representa cada enunciado en lenguaje algebraico. Luego, responde. a. Una función p que asigne a cada número natural x su doble. b. Una función h que asigne a cada número entero x su triple, aumentado en dos unidades. c. Una función f que asigne a cada número racional x su cuadrado, menos cinco unidades. ¿Cuál es el recorrido de cada función? Justifica.

3 Analiza cada representación. Luego, responde. g –1

0,5 1

–9 –100

f 0 1 10

100

1,5 11 2

a. ¿Cuál de los dos diagramas representa una función?¿Por qué?

b. ¿Representa una función el siguiente gráfico ? Justifica.

Y

0

182

Unidad 6 • Funciones

X

Función lineal y función afín.

4 Resuelve el siguiente problema. Un vehículo recorre cierta distancia entre dos ciudades a una rapidez promedio de 60 a. Completa la tabla. Distancia recorrida en cierto tiempo

km . h

b. Grafica los datos de la tabla. Y

0

X

Representa algebraicamente una función V que modele la situación.

5 Utiliza Graphmatica para graficar las siguientes funciones. Luego, responde. a. f(x) = –0,2x + 9

b. h(x) = 0,2x + 9

¿Tienen algún punto en común las funciones f y h? Justifica.

6 Resuelve el siguiente problema. Si en el detalle de una cuenta de luz se tiene que el cargo fijo es de $ 980 y por consumo de kWh se cobran $ 13,8 aproximadamente, ¿qué función permite representar el pago P de una cuenta de luz dependiendo de los x kWh consumidos?

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

183

evaluación

contenido

resolución

c Función constante Cuando en una función f(x) = y = ax + b el valor de a es cero, la función queda determinada por la expresión f(x) = b. El gráfico que representa a esta función es una recta paralela al eje X o de las abscisas. ¿Cuál de los siguientes gráficos presentados corresponde a una función de la forma y = ax + b, donde a = 0? Y

3

Y

2

2

1 –2

1

–1

1

2

3

1 X

–3

–2

3 2

X

0 –3

Y

3

–1

1

2

X

0

3

–3

–2

–1

1

–1

–1

–2

–2

–2

–3

–3

–3

2

3

Para grabar Una función de la forma f(x) = b, b   recibe el nombre de función constante y su representación gráfica es una recta paralela al eje X o de las abscisas (eje en el que se ubican los valores de la variable independiente). Ejemplo: la función y = 2 es una función constante y tiene la siguiente representación en el plano cartesiano.

y=2

En las rectas de un gráfico, la punta de flecha representa que estas no varían su comportamiento.

1.

Analiza cada uno de los siguientes gráficos. Luego, escribe la expresión algebraica que los representa e indica si es una función constante. a.

3

Y

b.

3

2

–3

184

–2

Y

c.

3

2

2

1

1

1

0

0

0

–1

1

2

3X

–3

–2

–1

1

2

3X

–3

–2

–1

1

–1

–1

–1

–2

–2

–2

–3

–3

–3

Unidad 6 • Funciones

Y

2

3X

Función identidad La información de la tabla muestra la distancia recorrida en cierto tiempo. El gráfico que representa los datos es el siguiente: Distancia recorrida en cierto tiempo Distancia (m) 200

Y

150 100 50 0 50

100

X 150 200 Tiempo (s

Para grabar Cuando en una función y = f(x) = mx + n; m,n   se tiene que m = 1 y n = 0, la función queda determinada por la expresión f(x) = x. Es decir, el valor de la imagen es idéntico al de su respectiva preimagen. A esta función se le denomina función identidad. Representación gráfica:

Al gráfico de la función identidad pertenecen todos los puntos de la forma (x, x), con x ∈ .

1.

Utiliza Graphmatica para graficar la función identidad y la función y = –x. Luego, responde en tu cuaderno. a. ¿Cuáles son las semejanzas entre ambas gráficas? Justifica.

b. ¿Cuáles son sus diferencias? Justifica.

c. ¿Cómo explicas dichas semejanzas y diferencias?

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

185

evaluación

contenido

resolución

e e

c c

r h

Función definida por tramos Una empresa que suministra conexión a internet ofrece un plan en el que establece que la cuenta mensual del cliente dependerá exclusivamente de los minutos de conexión que utilice. Este plan tiene un costo fijo de $ 900 por 180 minutos de conexión y por cada minuto adicional se cobrarán $ 65. Para representar esto mediante una función, considerando que x es la cantidad de minutos de conexión, se tiene lo siguiente: Si x es menor o igual que 180, se tiene que el costo C por el plan será de $ 900. Si x es mayor que 180, el costo C será de 900 + 65(x – 180). Por lo tanto, la función C que representa el costo según los minutos de conexión es:

900 C(x)=  900 + 65(x – 180)

si 0 ≤ x ≤ 180 si x > 180

Para grabar Una función definida por tramos es aquella que utiliza 2 o más expresiones para su definición y cada una de ellas emplea un determinado subconjunto del dominio de la función principal.

Ayuda

Ejemplo:

El símbolo ≥ ”mayor o igual que” representa:

   x f(x) =      22 –– x

 si x ≤ 3  si x > 3

Y 3 2

: representa que el punto (x, y) pertenece al gráfico de f.

a ≥ b ⇔ a > b o a = b. Análogamente, el símbolo ≤ “menor o igual que” representa:

: representa que el punto (x, y) no pertenece al gráfico de f.

c ≤ d ⇔ c < d o c = d.

–3

–2

–1 0 –1

Unidad 6 • Funciones

1

2

3

4

5

6

f(x) = 2 – x

Utiliza Graphmatica para realizar los gráficos de las siguientes funciones.

 – x si x ≤ 1  2 a. y =  1  si x > 1  –x + 2 

Realiza aquí tus gráficos

186

X

–2 –3

1.

f(x) = x

1

x – 2 si < 2 b. y =   3 si ≥ 2 Realiza aquí tus gráficos

7

2.

Analiza la información. Luego, calcula el valor de las expresiones. Calcula el valor de la expresión:

Sean f y g dos funciones definidas de la siguiente manera:

 x –1  g(x) =  1  3x +1

 x + 1 si x < 0 f(x) =  3x  2x – 1 si x ≥ 0

a. g(2) – 4g(f(2)) + f(–2)) =

b.

Realiza aquí tus cálculos

3.

f(0)+ g(–1) (2 • 0– 1)+(–1– 1) = =–3 g(0) 1

si x ≤ –1 si –1< x < 1 si 1≤ x

f(3)– g(3) = f(5)– g(4)

c.

Realiza aquí tus cálculos

f(–1) + g(1) f(1) + g(2)

=

Realiza aquí tus cálculos

Analiza los siguientes gráficos. Luego, escribe en la casilla la función por tramos que representa a cada uno de ellos. Y

a. 10 6 5 2 –3

–2

0

–1

1

2

3

4

5 X

–5 b. Y 6 4 2

–6

–4

–2

0

2

4

6

X

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

187

evaluación

contenido

resolución

c Función valor absoluto y función parte entera A continuación, estudiarás la función valor absoluto y la función parte entera. Observa sus gráficos: Función valor absoluto

Función parte entera

y

–7 –6

–5 –4 –3

–2

y

3

3

2

2

1

1

–1

1

2

3

4

5

6

7 x

–7 –6

–5 –4 –3

–2

–1

1

2

3

4

5

6

7 x

–1 –2

–2

–3

–3

Para grabar La función valor absoluto f(x) = IxI está definida de la siguiente manera:

–x si x < 0 x =  x si x ≥ 0

Ayuda Con Graphmatica puedes graficar la función valor absoluto escribiendo: y = IxI = abs(x)

1.

I3I = 3

a. –2 ••• (–3) = –2 –3 = 2 • 3 = 6

c. x + y ≤ x + y

b.

–4 3

=

–4 3

=

4 -3

=

4 3

c. –1 + 3 ≤ –1 + 3 = 1 + 3 =4

Analiza cada función. Luego, escríbela por tramos, como se hizo en la sección anterior Para grabar con la función valor absoluto. a. f(x) = Ix – 2I

2.

x x = y y

I–2I = –(–2) = 2 Ejemplo de las propiedades:

Propiedades del valor absoluto de un valor: Sean x, y ∈ .

y=x y b. a. x ••

Ejemplos:

b. g(x) = I2x + 1I

c. h(x) = I–30 + 10xI

Utiliza Graphmatica para graficar las siguientes funciones. Luego, responde. a. f(x) = IxI b. g(x) = Ix + 3I c. h(x) = Ix – 3I d. i(x) = I2x + 1I e. j(x) = I2x – 1I ¿Qué ocurre con el gráfico de la función f(x) = IxI si f(x) = Ix + kI? Explica.

Desafío ¿Qué ocurre con el gráfico de la función f(x) = IxI si f(x) = Ikx + nI; con k, n  ?

188

Unidad 6 • Funciones

¿Qué ocurre con la función f(x) = IxI si f(x) = IkxI? Explica.

Para grabar El gráfico de la función f(x) = [x + 2] es: La función parte entera [x] se define En otras palabras, la función parte entera asigna a cada número real x el como: mayor de los números enteros menores [x] :  →  o iguales a él. x → [x] = z, con z ∈  Ejemplos: Donde x ∈ [z, z + 1[. [2,1] = 2 El dominio de la función parte entera [–2,231] = –3 es  y el recorrido, . [8,15] = 8 [p, q[ : representa a un intervalo de valores que incluye a p pero no a q. [9,999] = 9 Donde: [-32,13] = –33 f(0) = [2] = 2; f(–1) = [1] = 1; f(-1,3) = [0,7] = 0; f(–2) = [0] = 0; etc.

3.

Analiza las tablas y complétalas con los valores correspondientes.

Ayuda

a.

Para graficar con Graphmatica la función parte entera puedes hacer lo siguiente: [x] = int(x)

b.

4.

Calcula el valor de las siguientes expresiones. Sabiendo que f(x) = [1 + x]2 y g(x) = [1 – x2]. a. [f(2) + 3g(2)] + f(–2)

5.

b. g(3) – [4f(1) + f(5)]

c. f(0) + [5g(–1) – 3f(1)]

Analiza cada función definida en . Luego, determina su dominio, restringiéndolo si es necesario. x+1 x b. g(x) = a. f(x)= 1– x  1+ x2     



Dom(f) =



Dom(g) =

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

189

evaluación

contenido

resolución

e e

c c

r h

Composición de funciones Una persona decide comprar por internet un computador que tiene un precio en dólares. Considerando que su valor es de US$ 1.000 y se pagan US$ 5 adicionales por cada GB de memoria que se le quiera agregar, la función que representa el precio P en dólares del computador está dada por: y = P(x) = 5 • x + 1.000 Precio en dólares

Precio del computador

GB adicionales

Para hacer la conversión a pesos del precio P del computador, considerando que 1 dólar equivale aproximadamente a $ 505, se puede emplear la función: C(y) = 505 • P(x) = 505 • y Precio en pesos

Precio en dólares

Ahora, si se quisiera determinar el precio en pesos del computador, se podría expresar esto en una sola función que dependerá de las funciones P y C, y se puede calcular de la siguiente manera: C(P(x)) = 505 • (5x + 1.000) = 2.525x + 505.000 Comprueba que al comprar el computador con 10 GB adicionales, el precio que se paga es $ 530.250.

Para grabar Sean f y g dos funciones tal que, f: A → B y g: B → C, entonces la función compuesta g o f: A → C se define como: (g o f)(x) = g(f(x))

f A

g B

C

También se puede leer “g compuesta con f”. gof

Ejemplo: sean f:  →  y g:  → , definidas por f(x) = 3x + 1 y g(x) = –x, entonces, al componer las funciones g con f, se tiene que: (g o f)(x) = g(f(x)) = g(3x + 1) = –(3x + 1) = –3x – 1. Observación: al componer f con g, se tiene que (f o g)(x) = f(g(x)) = f(–x) = 3(–x) + 1 = –3x + 1. Propiedad 1: la composición de funciones cumple con la asociatividad, es decir, si f: A → B, g: B → C y h: C → D, entonces se tiene la siguiente igualdad: (h o g) o f = h o (g o f) Observación: en general, la conmutatividad en la composición de funciones NO se cumple, es decir: (f o g)(x) ≠ (g o f)(x)

190

Unidad 6 • Funciones

1.

Analiza cada caso. Luego, responde. a. Sean f:  →  y g:  → , las funciones definidas por: f(x) = x2 + 5x y g(x) = 3x + 1. Determina las expresiones algebraicas que representan a: (f o f)(x), (f o g)(x), (g o g)(x) y (g o f)(x).

Calcula el valor de (f o (f o g))(–1).

b. Sean f(x)=

9x , g(x)= x2 y h(x)= x+1 funciones definidas en . 2

¿Cuál es el dominio de las funciones f, g y h?

Determina las expresiones algebraicas que representan a: (f o g)(x), (f o h)(x), (h o g)(x) y (h o (g o f))(x).

2.

Calcula el valor de las expresiones pedidas en cada caso. Observa el ejemplo. Considerando:

 i x ≥3 3   f(x)= 4x+1 si 1 < x < 3  i x≤ 1   

 –3  g(x)=  x+1   x+   

ix ≥1 si0 ≤ x < 1 i x f(4) II. f(–1) + f(3) = f(–3) III. f(–5) – f(8) = 2

4X

–2 I. La pendiente de la recta es 5. II. El punto (1, 15) pertenece a la recta. III. La ecuación de la recta es y = 5x – 10. A. B. C. D. E.

2 X A. B. C. D. E.

Solo I. Solo II. Solo III. Solo I y II. Solo I y III.

17 ¿Cuál es la representación algebraica de la función graficada? A. B. C. D. E.

y=6 y = –6 x = –6 y = 6x y = 6x + 1

X

–6

198

Unidad 6 • Funciones

–5 –3 Solo I. Solo II. Solo III. Solo I y II. Solo II y III.

21 Si f(x) = A. 4

Y

0

Y

17 2 11 C. – 2 B.

–2x + 3 –2

–1 –2

3

6

, ¿cuál es el valor de f(7)?

11 2 17 E. – 2

D.

8

22 De acuerdo al gráfico de la figura, ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) VERDADERA(S)? Y

1

24 Si un taxista cobra como cargo fijo $ 150 y, además, $ 1.000 por cada km recorrido, la función que relaciona el cobro (y) con los kilómetros recorridos (x) es: A. B. C. D. E.

X

–2 –1

1

2

25 Dadas las funciones f(x) = –2x, g(x) = x – 3, ¿cuál es la función (g o f)(x)?

I. f(–1) + f(1) = f(0) II. 3 • f(–2) – f(0) = 2 • f(2) III. f(–2) – f(1) = f(2) – f(–1) A. B. C. D. E.

A. B. C. D. E.

Solo I. Solo II. Solo I y II. Solo II y III. I, II y III.

A. Y

Y

2

2

1

1

B.

1

2

X

–2 –1

D.

Y

–1 –2

1

2

A. B. C. D. E. X

2

1 –2 –1

–1

1

2

3 X

–2

C.

–1 –2

1

2

X

2 1 –1

1

2

(–5, 0) (5, 0) (0, –5) (0, 5) (5, –5)

28 ¿Qué punto del plano cartesiano representa  Ro o (Tu=(–3, o R(0, –270°))(4, 7)? 5) A. B. C. D. E.

Y

–2 –1

–2 –1

4 4,5 5 5,5 6

27 ¿Qué punto del plano cartesiano representa (RX o RY)(0, –5)? A. B. C. D. E.

Y

2

x+1 , 2

g(x) = 2x y h(x) = x + 1. ¿Cuál es el valor de la función compuesta (h o g o f)(3)?

D.

–1 –2

(g o f)(x) = –2x – 6 (g o f)(x) = –2x + 6 (g o f)(x) = –2x – 3 (g o f)(x) = –2x + 3 (g o f)(x) = –2x + x – 3

26 Dadas las siguientes funciones: f(x) =

23 ¿Cuál de los siguientes gráficos representa parte de la función y = [x + 1]?

–2 –1

y = 1.000[x] + 150 y = 150[x] + 1.000 y = 150[x – 1] + 1.000 y = 1.000[x – 1] + 150 y = 1.000[x + 1] + 150

(9, 10) (10, 9) (–10, 9) (10, –9) (–10, –9)

3 X

–2

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

199

resol u

e

en co n t i do

n de prob ció

as lem

uac eval ión

evaluación sumativa

II. Lee atentamente los problemas. Luego, resuelve. 1. En una fábrica de bebidas se determinó que la ganancia mensual en un mes de verano (21 dic-21 mar) aumentaba en 20% con respecto a otras estaciones del año. En el mes de febrero se invirtió en la elaboración del producto 40% de la ganancia obtenida el mes de enero. Si el mes de enero se obtuvo una ganancia de $ 2.000.000 y el precio de venta del producto era $ 550, ¿qué función permite calcular la ganancia del mes de febrero dependiendo de la cantidad de unidades vendidas si se sabe que la ganancia corresponde a lo vendido menos lo invertido?

2. En una granja se quiere construir un pozo con forma de cilindro, cuyo diámetro medirá 2 metros. a. Haz una tabla que considere el volumen del pozo dadas tres profundidades distintas. 2m

x

b. Si la profundidad del pozo es el triple del diámetro menos un metro, ¿cuál es su volumen?

200

Unidad 6 • Funciones

Una técnica que facilita la retención de lo estudiado para después realizar un repaso eficiente es el cuadro sinóptico. Se trata de un resumen esquematizado, cuya ventaja es permitir que el contenido se visualice de manera estructurada y organizada. Completa la tabla que muestra algunos de los temas trabajados a lo largo de la unidad. Contenido

Definición o procedimiento

Ejemplo

Función.

Dominio y recorrido.

Función lineal.

Función afín.

Función constante.

Función identidad.

Función definida por tramos.

Función parte entera.

Función valor absoluto.

Composición de funciones.

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

201

Organizar favoritos Ahora que tienes claras las ideas principales; elabora un mapa conceptual que te permita relacionar algunos conceptos clave trabajados en la unidad. Conceptos clave

Variable dependiente Función Recorrido Función lineal Función constante Función definida por tramos Función valor absoluto

Variable independiente Dominio Representaciones (algebraica, tablas, gráficas) Función afín Función identidad Función parte entera Composición de funciones

Herramientas A continuación, te presentamos algunos datos fundamentales de esta unidad. No los olvides, pues te seguirán siendo útiles. Función

Función lineal

Función afín

f: A ➞ B x ➞ f(x) = y

f(x + y) = f(x) + (y)

f(x) = mx + n; m, n ≠ 0

Función constante

Función identidad

f(x) = b

f(k • x) = k • f(x)

f(x) = x

Función definida por tramos Ejemplo:  f(x) =

Función parte entera ([x])

Función valor absoluto (|x|)

[x] :  ➞  x ➞ [x] = z

–x si x < 0 x =  x si x ≥ 0

 x        22 –– x

 si x ≤ 3  si x > 3

Composición de funciones g f A➞B➞ C gof

Aplicación de la transformación de funciones a las transformaciones isométricas • (RY o RX)(x, y) = (RX o RY)(x, y) = RO(x, y) • (RX o RO)(x, y) = (RO o RX)(x, y) = RY(x, y) • (RY o RO)(x, y) = (RO o RY)(x, y) = RX(x, y)

202

Unidad 6 • Funciones

• (Tu o Tv) (x, y) = Tu + v (x, y) • (Tu o Tv) (x, y) = (Tv o Tu) (x, y)

• (R(O, α) o R(O, β)) (x, y) = R(O, (α + β))(x, y)

Cerrar sesión Nivel de logro

6

5

5

3

5

4

Mi estado Evalúa tu desempeño a partir del logro alcanzado para cada contenido. ¿Qué contenidos podrías enseñarle a una compañera o compañero que no los haya entendido? ¿Qué temas debes repasar? ¿Qué harás para reforzarlos? ¿Qué calificación te pondrías de acuerdo a lo que has aprendido a lo largo de la unidad? ¿Por qué?

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

203

e

resol u

en co n t i do

n de prob ció

as lem

uac eval ión

evaluación integradora

Recopilando disco 1 Calcula el valor de las siguientes expresiones algebraicas. Para ello, considera que a = 22, b = –5, c = –42; d = (–1)3 y f = 0. a. 1 – 6a3 + 2dc + 22df

f

f  c–d  a+b  c.   + d 2   7 

b. 4d(a – b) – 2(c – d)2 + f100

d. –72 c+

3 2 1 7 a– d– b+ f 22 4 5 8

2 Representa cada expresión algebraica como producto de factores. a. x2 – 8x + 16

b. 9x2 –

625 144

c. z2 + 2z – 63

d. 4y2 –

121 2 x 36

e. y2 +3y+

f. t4 –

9 4

1 81

g. 9 – 12k + 4k2

h. 8 – z3

i.

t3 1 – 8 8

3 Resuelve las siguientes ecuaciones. a.

204

z–4 =(–2)3 z+2

Evaluación integradora

b.

x+1 =2 2x–4

1 2 1 c. + = x 3 5

4 Calcula en cada caso la constante de proporcionalidad. Luego, grafica cada función en el plano cartesiano. a. f(x) = –42x k =

b. g(x) =

(–1)6 x 3

k=

Y

Y

X

X

5 Calcula el valor de cada expresión. Para ello, reemplaza los valores correspondientes en cada caso. f(x) = 2x – 5

g(x) = IxI + 12

 1 a. g(–1)+ f(7)+h   3 

3 h(x) = – x 4

b. g(3) + h(–10) – g(100)

6 Analiza las siguientes trasformaciones isométricas. Luego, responde. a. ¿Qué transformación isométrica se aplicó a la figura 1 para obtener como imagen la figura 2?

Y 3 C''

Figura 3

Figura 4

C'''

2 B''

A''

A'''

B'''

1

2

b. ¿Qué composición de transformaciones isométricas permite obtener como imagen la figura 3 a partir de la figura 1?

1 0 –3

–2

–1

0 –1

B'

A' –2

3

Figura 1

c. ¿Qué composición de transformaciones isométricas permite obtener como imagen la figura 4 a partir de la figura 1?

B C'

Figura 2

X

A

–3 C

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

205

Unidad

7

Congruencia de fi guras planas Las figuras geométricas se caracterizan por su forma y su tamaño. Por ejemplo, en una teselación regular del plano, cada figura que la compone debe tener la misma forma y el mismo tamaño, es decir, si esta teselación se hace con un polígono, este debería ser regular. Maurits Cornelis Escher (1898-1972) realizó trabajos en los que se pueden apreciar teselaciones o embaldosamientos del plano con otro tipo de figuras.

¿Qué?

206

¿Para qué?

¿Dónde?

Congruencia.

Reconocer congruencias entre distintas figuras geométricas. Páginas 208 a 211.

Congruencia de triángulos.

Aplicar los postulados de congruencia de triangulos.

Páginas 212 a 219.

Relaciones de congruencia en otras figuras geométricas.

Utilizar estas relaciones y reconocer ciertas propiedades en los polígonos.

Páginas 220 a 225.

Unidad 7 • Congruencia de figuras planas

7

Abrir sesión Considerando la información de la página anterior, responde: 1) ¿Cómo se caracterizan las figuras geométricas? 2) ¿Qué caracteriza a los polígonos que componen una teselación regular? 3) ¿Qué otro tipo de teselación conoces? ¿Qué la caracteriza?

Inicializando Evaluar consiste en emitir juicios de acuerdo a un criterio conocido y válido. Se quiere teselar el plano utilizando un polígono regular, es decir, una teselación regular. Para ello, se presentan las siguientes figuras geométricas: 4 cm 60° 60° 4 cm 60°

108° 4 cm

5 cm

5 cm 108° 6 cm

98°

5 cm 72°

5 cm

108° 108°

5 cm 108°

5 cm

100° 2 cm 90°

5 cm

1) ¿Con cuál de estas figuras es posible hacer una teselación regular del plano? Justifica.

2) ¿En qué te basaste para responder la pregunta anterior?

3) Evalúa tus respuestas utilizando regla y transportador. ¿Son correctas?

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

207

evaluación

contenido

resolución

c Congruencia Y

5 1

7

11

8 3

X 10

6 2

4

9

Si superpones las figuras, ¿cuales ocuparían la misma región en el plano cartesiano? A esas figuras, ¿las llamarías congruentes, equivalentes o semejantes?

Para saber más Por lo general, se utilizan los siguientes símbolos en geometría:

Para grabar En geometría se usan habitualmente los términos congruencia, equivalencia y semejanza. Dos figuras geométricas se considerarán Ejemplo: congruentes () si y solo si tienen la Dos polígonos son congruentes si cada uno de sus ángulos misma forma y tamaño. interiores y lados correspondientes tienen la misma medida. Dos figuras geométricas se considerarán D 3 cm 108° 3 cm equivalentes si tienen el mismo E tamaño, es decir, áreas iguales. I 3 cm H 108° 108° C 108° 108° Dos figuras geométricas de diferente 3 cm 3 cm 3 cm 3 cm 108° 108° tamaño pero de igual número de lados 108° A 3 cm B se considerarán semejantes si tienen G J ángulos interiores congruentes y lados 3 cm 108° 3 cm proporcionales. F Luego, ABCDE  FGHIJ.

: triángulo. : ángulo. : congruente. : no congruente.

Para saber más Se dirá que dos polígonos tienen igual forma y tamaño si sus lados y ángulos interiores correspondientes miden lo mismo. Por ejemplo: C γ 1,8 cm

2 cm

β B 1,5 cm F γ 1,8 cm 2 cm A

D

α

α

β E 1,5 cm

En este caso, ABC  DEF, lo que es distinto a ABC  EFD.

208

1.

Analiza las siguientes figuras y responde las preguntas. S T F R C U G Q J E P K D A

b. ¿Qué estrategia utilizaste para responder?

Unidad 7 • Congruencia de figuras planas

N L M

B

H a. ¿Cuáles figuras son congruentes?

O

I

2.

Representa la situación descrita con un dibujo. Luego, responde.

Ayuda

Cuadrilátero cuyas diagonales se dimidian (intersectan en el punto medio de cada diagonal), son perpendiculares y miden 6 cm y 8 cm, respectivamente.

Los elementos homólogos son los que tienen la misma posición en figuras de igual forma.

a. ¿Qué figuras geométricas se forman en el interior del cuadrilátero?

b. ¿Qué elementos son homólogos en las figuras formadas? Escribe al menos cuatro.

c. ¿Son congruentes? ¿Por qué?

3.

Resuelve los siguientes problemas. a. El pentágono regular ABCDE está inscrito en una circunferencia de centro O. ¿Cuál es la medida de los ángulos centrales AOB, BOC, COD, DOE y EOA? ¿Y de los ángulos OBC y CDE? D C O E

B A b. Sean ABCD un cuadrado y ABP un triángulo equilátero. ¿Cómo podrías verificar que los triángulos APD y BPC son congruentes? C

D P

A

B Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

209

evaluación

contenido

resolución

e e

c c

r h

Transformaciones isométricas y congruencia de figuras planas Al aplicar una transformación isométrica a una figura plana, la figura resultante tiene la misma forma y tamaño que la original, y se denomina figura homóloga.

Para grabar Si se tienen dos figuras geométricas y después de aplicarle a una de ellas una o más transformaciones isométricas se obtiene la otra, entonces se dice que tales figuras son congruentes.

Ejemplo: Y

2

1,5

1

Figura 1 0,5

–3,5

–4

–3

–2,5 2,5

–2

–1,5

–1

0

–0,5

X

–0,5

–1

Figura homóloga

1.

–1,5

Analiza cada situación. Luego, responde. a.

¿Cuáles son las coordenadas de la figura 1 y de la figura 2?

Y D Figura 1 C

2

¿Qué transformación se aplicó sobre la figura 1 para obtener la figura 2?

1

A

B

0 –2

–1

0

B' Figura 2 A'

1

2

X

¿Son congruentes la figura 1 y la figura 2? ¿Por qué? –1

–2

C'

D'

b.

¿Qué transformación se aplicó sobre la figura 1 para obtener la figura 2?

Y 4

3

2

Figura 1

¿Son congruentes? Justifica.

Figura 2

1

0 –5

210

–4

–3

–2

–1

Unidad 7 • Congruencia de figuras planas

0

1

2

3

4

5

X

Para grabar Utilizando transformaciones isométricas es posible obtener una figura geométrica congruente a otra dada. Traslación: al trasladar el triángulo ABC, se obtiene el triángulo A’B’C’ congruente, es decir, ABC  A’B’C’.

Rotación: al rotar el triángulo DEF, se obtiene el triángulo D’E’F’ congruente, es decir, DEF  D’E’F’. Y

Y

Reflexión: al reflejar el triángulo GHI, se obtiene el triángulo G’H’I’ congruente, es decir, GHI  G’H’I’. Y

F

E’

C

I’

I

E

B

X H’

A X

F’

D’

D X

C’

H

G’

G

B’ A’

2.

Resuelve los siguientes problemas. a. Si A(1, 1), B(5, 4), C(3, 5) y D(1, 5) son vértices de un cuadrilátero y se aplica RX(x, y) sobre el cuadrilátero, ¿cuáles son las coordenadas de la figura resultante? ¿La figura que se obtiene es congruente a la figura original? ¿Por qué? Y

0

X

b. Si los vértices de un triángulo son A(3, 5), B(–7, 8) y C(0, 0) y además A’ = R(O, 90°)((3, 5)), B’ = RY((–7, 8)) y C’=(Tu (0, 0)), con u = (1, –2), ¿qué figura geométrica se forma al unir los puntos A’, B’ y C’? ¿Es congruente al triángulo ABC?

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

211

evaluación

contenido

resolución

e e

c c

r h

Postulados de congruencia de triángulos Hay postulados (según la RAE, son supuestos que se establecen para fundar una demostración) que establecen si dos triángulos son congruentes sin necesidad de verificar que sus tres lados y sus tres ángulos lo sean. Por lo común, basta con asegurar la congruencia de tres de estos seis elementos.

Para grabar Para determinar la congruencia entre triángulos no necesitas comprobar que todos sus elementos homólogos lo sean. Muchas veces solo necesitas comparar algunos de ellos utilizando un postulado de congruencia. Postulado LLL (lado - lado - lado): dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente congruentes. Si AB  DE BC  EF

Postulado LAL (lado - ángulo - lado): dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos respectivamente congruentes. Si CA  FD ABC  DEF BCA  EFD ∆∆ 

ABC  DEF ∆∆

AC  DF

BC  EF

F

C

F

C E B

E

D

B

A

D

A

Postulado ALA (ángulo - lado - ángulo): dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos y el lado común a ellos ABC  DEF respectivamente congruentes. Si  BC  EF

Ejemplo: ABC isósceles de base CA y DEF isósceles de base FD. F C

∆∆∆ ABC  DEF 1,8 cm

 BCA  EFD

40°

1,8 cm

40°

F C

A

B

D

E

En este caso, ABC  DEF, ya que: E B

D

BCA  EFD Postulado  LAL BC  EF

A

1.

CA  FD

Analiza cada par de triángulos y verifica cuáles son congruentes entre sí. Para ello, utiliza regla y transportador. a.

C

B

F

C

b.

F

72°

A 72° 45°

45°

D A

212

D

Unidad 7 • Congruencia de figuras planas

E

B

E

2.

Verifica en qué caso los triángulos son congruentes. Para ello, utiliza uno de los postulados de congruencia y completa con  o  según corresponda. a.

c. A

Z

B

F 72°

Y C

70°

D

D

E X

DEF

YZX

CBA

D

b. A

58°

C

B

M

DAB

3.

O

d.

57°

DAB

DCB

N

P

MPO

NPO

Analiza la información del recuadro. Luego, responde. Dados el ABC y el DEF rectángulos en C y F, respectivamente. A

D

F

B C

E

a. Si AB  DE , ¿es cierto que el ABC  DEF? ¿Por qué? b. Si ACDF , ¿ABC  DEF? ¿Por qué? c. Y si se cumplen las condiciones a y b, ¿los triángulos ABC y DEF son congruentes? ¿Por qué?

4.

Analiza la veracidad de cada enunciado. Luego, dibuja en tu cuaderno un ejemplo para cada caso. a. Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres ángulos respectivamente congruentes. b. Dos triángulos son congruentes si sus respectivos lados son congruentes. c. Dos triángulos son congruentes si tienen un par de ángulos interiores respectivamente congruentes y los lados correspondientes opuestos a uno de estos ángulos miden lo mismo Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

213

evaluación

contenido

resolución

e e

c c

r h

Congruencia y elementos secundarios en el triángulo En el triángulo, aparte de los vértices, ángulos y lados, es posible identificar distintos elementos, tales como alturas, transversales, bisectrices, simetrales y medianas. Por ejemplo, si se trazan algunos de estos elementos en un triángulo equilátero, se puede observar lo siguiente: Bisectriz que pasa por el vértice B (bB).

Altura trazada desde el vértice C (hC).

C

tA

bB hC

Transversal de gravedad que pasa por el vértice A (tA).

A

Si se traza la altura que pasa por el vértice B, ¿coincidirá con la bisectriz trazada? ¿Qué pasa con los otros elementos? ¿Coinciden?

Para saber más Incentro:: punto donde se intersectan las bisectrices de un triángulo. Ortocentro: punto donde se intersectan las alturas de un triángulo. Centro de gravedad: punto donde se intersectan las transversales de gravedad de un triángulo. Circuncentro: punto donde se intersectan las simetrales de un triángulo.

B

Para grabar Elementos secundarios del triángulo: 1) Bisectriz: es la recta que divide a uno de sus ángulos interiores en dos ángulos congruentes (de igual medida). 2) Altura: es el segmento de recta que contiene a uno de sus vértices y que es perpendicular al lado opuesto o extensión de este. 3) Transversal de gravedad: es la recta que pasa por un vértice y por el punto medio del lado opuesto a dicho vértice. 4) Simetral o mediatriz: es la recta que intersecta a un lado del triángulo en su punto medio, formando un ángulo recto. 5) Mediana: es un segmento de recta que une los puntos medios de dos de sus lados.

1.

Ejemplo: bisectrices de un triángulo. C γ γ

bB

bA

β β

α α

B

A

bC

Aplica uno de los postulados de congruencia. Luego, completa con  o  según corresponda. a.

C

CD bisectriz del ángulo ACB. ACD BCD

b. BD transversal de gravedad. ABD BCD

C 60°

D

A

214

Unidad 7 • Congruencia de figuras planas

D

B

A

B

2.

Analiza la siguiente información. Luego, responde. En el triángulo rectángulo ABC, se traza la altura que pasa por el vértice C. C

A

D

B

a. Si se cumpliera CA  BC , ¿qué tipo de triángulo es el ABC? b. Si se cumpliera ADC  BDC, ¿cuál sería la medida del ABC? c. Si el triángulo ABC es rectángulo isósceles, ¿qué postulado usarías para establecer que ADC  DBC?

3.

Evalúa si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). Para ello, escribe V o F según corresponda. a. Si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces los ángulos opuestos a estos lados son congruentes. b. Si dos ángulos de un triángulo son congruentes, entonces los lados opuestos a estos ángulos son congruentes. c. Si dos lados de un triángulo no son congruentes, el ángulo de mayor medida es el opuesto al lado de mayor medida.

Ayuda Recuerda que los triángulos pueden clasificarse según sus lados en: equiláteros (3 lados de igual medida), isósceles (2 lados de igual medida y uno de distinta medida), escalenos (3 lados de distinta medida), y según sus ángulos interiores en: acutángulos (sus ángulos interiores son agudos), rectángulos (uno de sus ángulos interiores mide 90°) y obtusángulos (uno de sus ángulos interiores es obtuso).

d. La altura correspondiente a la base de un triángulo isósceles es también mediana y bisectriz. e. En un triángulo rectángulo, la transversal de gravedad del ángulo recto mide lo mismo que la hipotenusa. f. La altura de un triángulo pasa por el punto medio de un lado. g. Dos triángulos isósceles que tienen las bases congruentes y las alturas congruentes son congruentes. h. Al trazar las medianas en un triángulo se forman cuatro triángulos congruentes.

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

215

evaluación

contenido

resolución

e e

c c

r h

Demostraciones y congruencia Con su libro Elementos, Euclides (siglo III a. C.) fue el primero en presentar la Geometría de una manera organizada y lógica, con base en definiciones y postulados o axiomas. En él se demuestran los teoremas mediante el razonamiento deductivo.

Para grabar Los elementos que intervienen en una demostración: Teorema: es una proposición que puede ser demostrada. Hipótesis: datos del enunciado del teorema que se asumen verdaderos. Tesis: lo que se quiere demostrar. Para llegar de la hipótesis a la tesis se utiliza un procedimiento llamado demostración. Demostración: es una sucesión finita de afirmaciones fundamentadas por definiciones, axiomas y postulados ligados mediante un razonamiento lógico que conduce a la tesis.

Ayuda En las proposiciones condicionales p⇒q, p es la hipótesis y q es la tesis. Por ejemplo, en la proposición: “Si un triángulo es equilátero, entonces sus ángulos son congruentes”. Hipótesis: un triángulo equilátero (lados de igual medida). Tesis: sus ángulos son congruentes.

1.

Teorema: Si en el ABC, CD  AB y D es punto medio de AB, entonces, AC  BC. Hipótesis: En ABC, CD  AB y D es punto medio de AB.

Tesis: AC  BC.

C

B A D Demostración: como CD  AB, entonces m(ADC) = m(BDC) = 90°. Además, CD es lado común y como D es punto medio, se tiene que AD  BD. Por lo tanto, usando el postulado de congruencia LAL, se tiene que: DCA  DCB, entonces AC  BC .

Identifica tesis e hipótesis en los siguientes enunciados. Para ello, destaca con color rojo la hipótesis y con azul la tesis. a. Dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes. b. La diagonal de un cuadrado lo divide en dos triángulos isósceles congruentes. c. Al trazar cualquier altura en un triángulo equilátero, se forman 2 triángulos congruentes. d. Las alturas correspondientes a los lados congruentes de un triángulo isósceles son congruentes.

2.

Completa la tabla. Para ello, guíate por el ejemplo.

Proposición Ningún triángulo tiene dos ángulos rectos. Todo segmento es congruente consigo mismo. Las diagonales de un rectángulo son congruentes. Las alturas correspondientes a los lados congruentes de un triángulo isósceles son congruentes.

216

Ejemplo:

Unidad 7 • Congruencia de figuras planas

Forma condicional Si un polígono es un triángulo, entonces no tiene dos ángulos rectos.

3.

Analiza la siguiente información. Luego, responde. Se quiere demostrar que la altura correspondiente a un triángulo isósceles es también transversal de gravedad. Hipótesis: sea ABC isósceles de base AB y altura CM. Tesis: CM es transversal de gravedad.

C

Demostración: como ABC es isósceles de base AB, se tiene que CAM  CBM y AC  BC. - Además, como CM es altura (CM es perpendicular a AB), entonces se tiene que: AMC  BMC. - Por la suma de los ángulos interiores se tiene que: ACM  BCM. A B M Luego, como CAM  CMB, AC  BC y ACM  BCM. Utilizando criterio de congruencia ALA, se tiene que AMC  BMC y, por lo tanto, AM  BM y CM es transversal de gravedad del segmento AB. Realiza una nueva demostración utilizando otro criterio de congruencia.

4.

Analiza cada proposición. Luego, demuéstralas. a. La bisectriz del ángulo determinado por los lados congruentes de un triángulo isósceles divide al triángulo en dos triángulos congruentes. ABC isósceles de base CA. BD bisectriz del ABC.

Hipótesis: Tesis:

C

Demostración: B

D A

b. Los triángulos DCA y ECB son congruentes. C

Hipótesis: Tesis: Demostración:

A

D

E

B Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

217

e

resol u

en co n t i do

n de prob ció

as lem

uac eval ión

evaluación formativa

Analizando disco Congruencia de figuras planas.

1 Completa en cada caso con los elementos homólogos correspondientes. a. A E CAB  C  ECD ABC  B

D

AB   CD  EC

O

b.

P

Q

NOM   RPQ MNO 

M

N

R

OM   PQ  RQ

2 Analiza la figura. Luego, responde. a. ¿Qué condiciones se deben cumplir para que los 8 triángulos pintados sean congruentes? Justifica utilizando transformaciones isométricas.

b. ¿Qué condiciones deben cumplir los triángulos para que la figura del centro sea un octágono regular? Explica.

3 Evalúa si cada una de las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). Para ello, escribe V o F según corresponda. a. Dos triángulos rectángulos con un cateto respectivamente de igual medida son congruentes. b. Si dos triángulos rectángulos tienen la hipotenusa en común, son congruentes. c. Si dos triángulos rectángulos tienen dos ángulos respectivamente de igual medida, son congruentes. d. Si dos rectángulos tienen dos lados correspondientes de igual medida, son congruentes. e. Si en un triángulo equilátero se traza una simetral, esta determina dos triángulos congruentes.

218

Unidad 7 • Congruencia de figuras planas

Demostraciones y congruencia de triángulos.

4 Ejemplifica cada una de las siguientes proposiciones. Para ello, dibuja. a. En todo triángulo isósceles, la transversal de gravedad y la altura con respecto a la base son congruentes.

b. En un triángulo equilátero de lado a cm, la medida de una de sus alturas es

a 3 cm. 2

5 Crea una demostración en cada caso. Para ello, explicita cada uno de los pasos descritos. a. Si el ABC es isósceles de base AB, entonces AGD  BFE. Hipótesis:

C

Tesis: Demostración: D

A

E

F

G

B

b. Si el ABC es equilátero, E y F son puntos medios y AD  CF  BE , entonces ADF  BED. C

Hipótesis: Tesis: Demostración:

F

A

E

D

B

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

219

evaluación

contenido

resolución

e e

c c

r h

Congruencia y paralelogramos Los criterios de congruencia de triángulos son muy importantes para organizar los argumentos de una demostración. Incluso, para deducir propiedades de figuras que no son triángulos. Observa como se demuestra que los lados opuestos de cualquier paralelogramo son congruentes. Hipótesis: ABCD paralelogramo. Tesis: AB  CD yDA  BC .

D β1

C β2

Demostración: al trazar la diagonal BD en el paralelogramo ABCD, quedan determinados los triángulos ABD y CDB. Luego, α2 α1 α1  β2, ya que son ángulos alternos internos entre AB y CD, que son paralelos. A B De igual manera, α2  β1, ya que son ángulos alternos internos entre DA y BC, que son paralelos. Además, BD es un lado común de ambos triángulos. Luego, utilizando el criterio ALA de congruencia de triángulos, se tiene que ABD y CDB son congruentes. Por lo tanto, como AB y CD son opuestos a ángulos congruentes, resulta: AB  CD. Análogamente, DA  BC, como se quería demostrar.

Para grabar Para saber más Los ángulos interiores de los rombos son distintos de 90°. Lo anterior también sucede en los romboides. En tanto, en los rectángulos y cuadrados los ángulos interiores miden 90°.

1.

Un paralelogramo es un polígono de cuatro lados con dos pares de lados opuestos paralelos. Los postulados de congruencia de triángulos permiten reconocer las características y propiedades asociadas a cada paralelogramo. Romboide: paralelogramo que tiene sus lados opuestos y sus ángulos opuestos congruentes.

Rombo: paralelogramo de lados congruentes y ángulos opuestos congruentes.

Rectángulo: paralelogramo que tiene sus cuatro ángulos interiores congruentes.

Cuadrado: paralelogramo que tiene sus lados y ángulos congruentes.

Analiza el siguiente paralelogramo. Luego, completa según corresponda. Justifica en cada caso. C

D

ABCD paralelogramo. a. AD 

E

b. BCD 

A

B

220

Unidad 7 • Congruencia de figuras planas

c.

 AE

d.

 ABC ¿Es cierto que ABE  CDE?

2.

Demuestra cada una de las siguientes proposiciones. Para ello, utiliza los criterios de congruencia de triángulos. a. Las diagonales de un rombo se intersectan en el punto medio. D

C Hipótesis: Tesis:

O

Demostración:

A

B

b. Las diagonales de un rectángulo son congruentes entre sí. D

C Hipótesis: Tesis: Demostración:

A

c. D

B

G

H

A

3.

C

F

E

Hipótesis: ABCD rectángulo; además, E, F, G y H son puntos medios. Tesis: EFGH es un rombo. Demostración:

B

Demuestra las siguientes proposiciones en tu cuaderno. a. Si cada diagonal de un paralelogramo bisecta el correspondiente ángulo del vértice, entonces el paralelogramo es un rombo o un cuadrado. b. Si las diagonales de un paralelogramo son congruentes, entonces el paralelogramo es un rectángulo o un cuadrado. Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

221

evaluación

contenido

resolución

e e

c c

r h

Congruencia y trapecios Un trapecio isósceles es un cuadrilátero que posee solo un par de lados paralelos, y las medidas de sus lados no paralelos son iguales.

Desafío Investiga cómo se demuestra que los ángulos basales agudos de un trapecio isósceles son congruentes. Luego, demuestra que los ángulos basales obtusos del trapecio isósceles también son congruentes.

Observa cómo es posible demostrar que las diagonales de un trapecio isósceles son de igual medida. D C Hipótesis: sea ABCD, trapecio isósceles de bases AB y CD. Tesis: AC  BD, lados homólogos. Demostración: se trazan las diagonales AC y BD.

A

B

Como ABCD es un trapecio isósceles de bases AB y CD, se tiene que DA  BC y DAB  ABC. Si además consideras que AB es lado común en el ABD y en el ABC, por postulado LAL se tiene: ABC  BAD. Luego, si los triángulos son congruentes, los lados correspondientes también lo son. Es decir, AC  BD. ¿Puedes encontrar otra manera de demostrar la proposición anterior?

Para grabar El trapecio es un cuadrilátero con solo un par de lados paralelos. Los lados paralelos se llaman bases y la distancia entre ellos, h, altura. Un trapecio con dos ángulos interiores rectos se Un trapecio que no tiene lados de igual medida ni ángulos llama trapecio rectángulo. rectos se llama trapecio escaleno. D

C

D

A A

1.

B

Analiza la siguiente figura. Luego, completa según corresponda. Justifica en cada caso. D

C

ABCD trapecio isósceles. a. AD 

E

b. BEC 

A

B ¿Es cierto que BCE  ADE? ¿Por qué?

222

Unidad 7 • Congruencia de figuras planas

c.

 DE

d.

 ABE

C

B

2.

Demuestra cada una de las siguientes proposiciones.

Hipótesis:

a. Los ángulos interiores opuestos de un trapecio isósceles son suplementarios.

Tesis: Demostración:

b. Si ABCD es un trapecio isósceles de bases AB y CD, el punto de intersección de las diagonales del trapecio es punto medio de la recta paralela a las bases del trapecio que lo contiene.

Hipótesis: Tesis: Demostración:

c. F

E

D

C Hipótesis: ABDE rectángulo, CD  FE Tesis: FA  CB Demostración:

A

3.

B

Resuelve el siguiente problema. Si ABCD es trapecio isósceles de bases AB y CD, AB = a cm, CD = b cm, AB // MN y M, N son puntos medios, ¿cuál es la medida de MN?

D M

A

C N

B

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

223

evaluación

contenido

resolución

e e

c c

r h

Aplicaciones de la congruencia de figuras planas Una de las aplicaciones puede observarse en una cancha de fútbol. En ella, es posible identificar diversas figuras geométricas congruentes. Marca con diferentes colores al menos 3 pares de figuras geométricas congruentes que se representen en la cancha de fútbol.

Para grabar En una aplicación que tenga relación con la congruencia de figuras planas, en particular en los polígonos, puedes utilizar transformaciones isométricas según sea el caso y, si es posible, descomponer la figura en triángulos y usar los postulados de congruencia según corresponda.

1.

Ejemplo: es posible generar un hexágono regular aplicando una transformación isométrica de la siguiente manera. Rotación de 60° en torno al punto O. 0

0

0

Triángulo equilátero. 0 Hexágono regular.

Analiza los siguientes polígonos. Luego, responde. D

D’ E’

E C

C’

Desafío Construye en tu cuaderno un dodecágono regular de lado 4 cm utilizando una transformación isométrica adecuada.

224

0

A

A’ B

Si ABE  A’B’E’, BCE  B’C’E’ y CDE  C’D’E’.

B’

¿Es cierto que los polígonos ABCDE y A’B’C’D’E’ son congruentes? Justifica.

Unidad 7 • Congruencia de figuras planas

2.

Analiza la siguiente información. Luego, responde.

ABCD es un trapecio isósceles, tal que AB = a cm y CD = b cm. Al aplicar una rotación en torno al punto medio O del lado BC, se observa lo siguiente: D

C B'

A’

O A Rotación de 15° en torno al punto O.

B C'

Rotación de 180° en torno al punto O.

D’

Rotación de 90° en torno al punto O.

a. Si la altura h del paralelogramo AD’A’D de la figura anterior mide 10 cm, ¿cómo expresarías el área del trapecio ABCD en términos de a y b?

b. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área del trapecio ABCD de altura h?

3.

Resuelve el siguiente problema. Sean ABC y DEF equiláteros congruentes de 6 cm de lado cada uno. Si el perímetro del triángulo equilátero GBF es 9 cm, ¿cuál es la suma del perímetro de las regiones pintadas? C F

A

G D

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

B

E

225

e h

c c

resol u

en co n t i do

n de prob ció

r r

¿Qué es evaluar? Evaluar consiste en emitir juicios de acuerdo a un criterio conocido y válido.

as lem

uac eval ión

Trabajo de habilidades

Resolución de problemas D

1 Analiza la resolución del siguiente problema. Si ABCD es un paralelogramo, DE es altura y CF////DE, entonces se cumple que AED  BFC. ¿Es válida esta proposición? A

C

E

B

F

Paso 1 Comprende el enunciado ¿Qué tengo que hacer para evaluar?

¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema? Que la demostración presentada es válida. ¿Qué información entrega el enunciado del problema? ABCD paralelogramo DE es altura y CF // DE .

Analizar el objeto o situación que se va a evaluar. Definir el o los criterios de evaluación.

Paso 2 Planifica lo que vas a realizar Analiza el objeto o situación que se va a evaluar. Como se trata de un paralelogramo, se tiene que: CDAB y ADBC   . Además, CF // DE , entonces, CF ⊥ AB.

Etapas de la resolución de problemas. Paso 1: Comprende el enunciado.

Define el o los criterios de evaluación. Para evaluar la proposición se debería demostrar que AED  BFC.

Paso 3 Resuelve el problema Verifica si la proposición es o no válida. Apoyándose en argumentos teóricos sobre algunos elementos de la figura, es posible establecer que, efectivamente, se cumple la congruencia de triángulos pedida.

Paso 2: Planifica lo que vas a realizar. Paso 3: Resuelve el problema. Paso 4: Revisa la solución.

Explicita de manera coherente los argumentos sobre el valor atribuido a la solución de la situación planteada. - Hipótesis: ABCD paralelogramo, DE es altura y CF // DE . D - Tesis: AED  BFC. - Demostración: 1. BC  AD y BCC//DD A, por ser ABCD paralelogramo.

C

2. CF ⊥ AB , por ser DE altura y CF // DE . A 3. EFCD paralelogramo, por ser CF // DE y EF // CD.

E

B

F

4. De 3. se infiere CF  DE . 5. DAE  CBF, por ser correspondientes entre paralelas. 6. EDA  FCB, por ser ambos el complemento de DAE y CBF, respectivamente. 7. AED  BFC, por postulado LAL: BC  AD (de 1), EDA  FCB (de 6), CF  DE (de 4).

Paso 4 Revisa la solución Al demostrar que AED  BFC, se deduce que la proposición es válida.

226

Unidad 7 • Congruencia de figuras planas

2 Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente.

C

En el triángulo ABC de la figura, AC  BC. Si CD es bisectriz del BCA, entonces se afirma que: 1) El triángulo ABC es equilátero. 2) ADC  BDC. ¿Ambas afirmaciones son válidas?

Paso 1 Comprende el enunciado

A

D

B

¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema? ¿Qué información entrega el enunciado del problema?

Paso 2 Planifica lo que vas a realizar Analiza el objeto o situación que se va a evaluar.

Define el objeto o los criterios de evaluación.

Paso 3 Resuelve el problema Verifica si la o las afirmaciones son o no correctas.

Explicita de manera coherente los argumentos sobre el valor atribuido a la solución de la situación planteada.

Paso 4 Revisa la solución

3 Resuelve en tu cuaderno el siguiente problema. El triángulo PQR es isósceles de base PQ. La altura correspondiente a PQ lo intersecta en el punto M. La bisectriz del RPQ intersecta a esta altura en el punto O y al lado QR del triángulo en el punto S. El ángulo SOM mide 115°. Determina las medidas de los tres ángulos interiores del triángulo PQR. Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

227

e

evaluación sumativa

n de prob ció

as lem

resol u

en co n t i do

uac eval ión

Verificando disco I. Lee atentamente cada una de las preguntas y marca la alternativa correcta. 1 ¿Cuándo dos figuras planas son congruentes? A. B. C. D.

Si tienen la misma forma. Si sus áreas son equivalentes. Si la suma de sus ángulos interiores es igual. Si una es transformación isométrica de la otra. E. Ninguna de las anteriores.

2 Si los cuadriláteros ABCD y PQRS son congruentes, ¿cuál es el lado homólogo al lado BC? C B

R

S

D

Q P A A. B. C. D. E.

QR PQ RS SP QS

4 Si se quiere construir un rectángulo congruente a otro dado, ¿qué información es necesaria para dicha construcción? A. El área del rectángulo. B. El perímetro del rectángulo original. C. La medida de las diagonales del rectángulo original. D. Los ángulos que se forman en la intersección de sus diagonales. E. En todos los casos falta información. 5 Si en la figura, ABC  DEF con D  BC, AC // DF, m(BDE) = 80° y m(ACB) = 40°, ¿cuál es la medida del DEF? A B A. 40° B. C. D. E.

60° 80° 90° No se puede determinar.

D

C F

6 El triángulo ABC es isósceles de base AB y AD  DB. Entonces, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) VERDADERA(S)?

3 Si PQR  TNM, entonces ¿cuál de las siguientes proposiciones es FALSA? M

R

I. ADE  BDE. II. AEC  BEC. III. ADC  BDC. C

N P A. B. C. D. E.

228

E

Q

E

T

PQ  TN PR  TM QR  NM QRP  NMT PQR  TMN

Unidad 7 • Congruencia de figuras planas

A A. B. C. D. E.

Solo I. Solo II. Solo III. Solo I y II. I, II y III.

D

B

7 ¿En qué tipo de triángulo se forman dos triángulos congruentes al trazar una bisectriz? A. B. C. D. E.

I. Sus diagonales respectivas tienen la misma medida. II. Los triángulos respectivos formados al trazar las diagonales son congruentes. III. Sus áreas son iguales.

Isósceles. Escaleno. Equilátero. Rectángulo isósceles. Ninguna de las anteriores.

8 Si ABC es un triángulo cualquiera y D un punto del segmento AB, ¿qué condición se debe cumplir para que ADC y DBC sean congruentes? C

A A. B. C. D. E.

10 Dados dos trapecios congruentes se puede afirmar que:

D

B

AC  CB. ADC sea isósceles. ABC sea equilátero. D punto medio del segmento AB. No están las condiciones mínimas de congruencia.

9 Si en el ABC de la figura, CE es transversal de gravedad y CE  EA , ¿cuál es la medida del ángulo x? A

A. B. C. D. E.

Solo I. Solo II. Solo I y II. Solo I y III. I, II y III.

11 Si el cuadrilátero de la figura es un romboide con AC y BD sus diagonales, ¿cuál(es) de las siguientes relaciones de congruencia es(son) VERDADERA(S)? D C I. ABC  ADC E II. AED  CEB III. CED  AEB A. B. C. D. E.

Solo I. Solo II. Solo I y II. Solo II y III. I, II y III.

A

B

12 En la figura, EFGH es un rectángulo. Si AHD  CFB y DGC  BEA, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) VERDADERA(s)? (DEMRE 2006) C

70° D

E

H E

G F

B

x B A. B. C. D. E.

20° 40° 75° 90° 140°

C

A I. DC  AB II. DCB  DAB III. DCG  ADG A. B. C. D. E.

Solo I. Solo II. Solo I y II. Solo II y III. I, II y III.

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

229

e

resol u

en co n t i do

evaluación sumativa

n de prob ció

as lem

uac eval ión

Verificando disco 13 En la figura, DC ⊥ AD y CB ⊥ AB . Si DAC  BAC, ¿en qué orden el triángulo DAC es congruente con el triángulo ABC? A. B. C. D. E.

ACD ADC CAD DCA CDA

A. Un rectángulo de igual área al ABC. B. Un triángulo isósceles de igual área al ABC. C. Un triángulo rectángulo de igual área al ABC. D. Un triángulo congruente al triángulo ABC. E. Ninguna de las anteriores.

D C A

B

14 En el triángulo DEF, DE  EF y m(DFE) = 50°. ¿Cuál es la medida del ángulo DEF? A. B. C. D. E.

17 Si se aplica una traslación Tu (x, y) con u =(–1, –1) a un triángulo escaleno ABC, ¿qué figura resulta?

25° 30° 40° 50° 80°

18 Con respecto a los postulados de congruencia de triángulos, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA? A. Si dos triángulos tienen un ángulo respectivamente congruente, entonces dichos triángulos son congruentes. B. Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivos y el ángulo comprendido entre ellos respectivamente congruentes. C. Si dos triángulos tienen dos ángulos correspondientes congruentes, entonces dichos triángulos son congruentes. D. Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres ángulos interiores respectivos congruentes. E. Ninguna de las anteriores.

En el triángulo de la figura, AB  BC  CA; E es punto medio de AB, y BD es bisectriz del ángulo ABC. Responde las preguntas 15 y 16. C y

D x

A

E

B

15 ¿Cuál es la medida del ángulo x? A. B. C. D. E.

60° 80° 100° 120° Ninguna de las anteriores.

16 ¿Cuál es la medida del ángulo y? A. B. C. D. E.

230

15° 30° 60° 90° Ninguna de las anteriores.

Unidad 7 • Congruencia de figuras planas

19 Si el ABC  MNT y además se tiene que m(CAB) = 40° y m(MNT) = 80°, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? C

A

T

B A. B. C. D. E.

NT  AC ABC ≅ MNT m (NTM) = 60° m (TNM) = 80° MNT es escaleno

M

N

20 En la figura, QRP  DFE. Si QP  PR , ¿cuánto mide el ángulo FED? Q A. B. C. D. E.

D

F

62° 64° 74° 106° 116°

58°

R

E

M 50°

D

N 40°

D

E

90° 100° 120° 130° 140°

A A. B. C. D. E.

30° 45° 60° 90° Ninguna de las anteriores.

C

D E

30° 50° 60° 70° 80°

D x

B

m(BCA) = 40° m(BDA) = 40° m(BAD) = 40° m(CAE) = 40° m(ABD) = 90°

B

23 El triángulo ABC es rectángulo en C, AD  DB. Si m(CAD) = 50° y DB  CD, ¿cuál es la medida del ángulo DCB? C

A

A A. B. C. D. E.

A

5° 20° 25° 30° 40°

B

25 Los triángulos ABC y BAD son congruentes. ¿Qué dato es necesario para conocer la medida del BEA?

22 En el triángulo ABC, CBD  DBA, m(CAB) = 70° y m(BCA) = 50°. ¿Cuál es la medida del ángulo x? C

A. B. C. D. E.

C

x

F

A. B. C. D. E.

E

P

21 En el triángulo de la figura, DEF  MNF. ¿Cuál es medida del ángulo EFD?

A. B. C. D. E.

24 Si ABCD rectángulo y AD  DE  EC  CB , ¿cuál es la medida del x?

D

B

26 En el ABC, AEF  BEF. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) correctas(s)? C

I. CF  FE  ED II. AD  DB III. DBF  DAF A. B. C. D. E.

Solo I. Solo II. Solo I y II. Solo II y III. I, II y III.

F E A

D

B

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

231

e

resol u

en co n t i do

n de prob ció

as lem

uac eval ión

evaluación sumativa

II. Lee atentamente los problemas. Luego, resuelve. 1. ABCD es un rectángulo. AM  MC; AE  BD ; m ( EAC) = 20°. Calcula las medidas de los ángulos del triángulo CEM. E D

A

M

C

B

2. Si en un cuadrilátero ABCD se traza la diagonal AC, queda dividido en los triángulos ACD y ABC. ¿En qué tipo de cuadriláteros esos triángulos son congruentes?

3. Demuestra que CD es altura y transversal de gravedad del triángulo isósceles ABC de base AB.

C

A

232

Unidad 7 • Congruencia de figuras planas

D

B

Una técnica que facilita la retención de lo estudiado para después realizar un repaso eficiente es el cuadro sinóptico. Se trata de un resumen esquematizado, cuya ventaja es permitir que el contenido se visualice de manera estructurada y organizada. Completa la tabla que muestra algunos de los temas trabajados a lo largo de la unidad. Contenido

Definición o procedimiento

Ejemplo

Congruencia.

Transformaciones isométricas y congruencia de figuras planas.

Congruencia de triángulos.

Demostraciones y congruencia.

Congruencia y paralelogramos.

Congruencia y trapecios.

Aplicaciones de la congruencia de figuras planas.

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

233

Organizar favoritos Ahora que tienes claras las ideas principales, elabora un mapa conceptual que te permita relacionar, al menos, los conceptos clave trabajados en la unidad. Conceptos clave

Congruencia. Criterios de congruencia de triángulos. Elementos homólogos. Congruencia y paralelogramos. Transformaciones isométricas. Congruencia y trapecios. Demostraciones. Congruencia de triángulos. Aplicaciones de la congruencia de figuras planas.

Herramientas A continuación, te presentamos algunos datos fundamentales de esta unidad. No los olvides, pues te seguirán siendo útiles. Congruencia.

Elementos homólogos.

Dos figuras geométricas se considerarán congruentes () si y solo si tienen la misma forma 1,8 cm y tamaño. A

C

F 2 cm 1,8 cm

1,5 cm

Transformaciones isométricas y congruencia.

B

D

2 cm 1,5 cm

Dos figuras relacionadas mediante una transformación isométrica son congruentes.

E

AB y DE, BC y EF, CA y FD son lados homólogos. Postulados de congruencia de triángulos. LLL (lado – lado – lado) ALA (ángulo – lado – ángulo) LAL (lado – ángulo – lado)

Tipos de trapecios. Trapecio isósceles. Trapecio rectángulo. Trapecio escaleno.

234

Unidad 7 • Congruencia de figuras planas

Demostraciones y congruencia. Congruencia y paralelogramos. Hipótesis: datos que se suponen verdaderos. Tesis: lo que se quiere demostrar. Demostración: afirmaciones lógicas que conducen a la tesis.

En rombos y romboides, los ángulos interiores opuestos son congruentes y distintos de 90°. En cuadrados y rectángulos, todos sus ángulos interiores son congruentes e iguales a 90°.

Elementos secundarios del triángulo. En los triángulos equiláteros coinciden las alturas, bisectrices, simetrales y transversales de gravedad.

Cerrar sesión Nivel de logro

11

13

2

Mi estado Evalúa tu desempeño a partir del logro alcanzado para cada contenido. ¿Qué contenidos podrías enseñarle a una compañera o compañero que no los haya entendido? ¿Qué temas debes repasar? ¿Qué harás para reforzarlos? ¿Qué calificación te pondrías de acuerdo a lo que has aprendido a lo largo de la unidad? ¿Por qué?

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

235

Unidad

8

Estadística y probabilidad En diversos contextos, la información obtenida es representada a través de gráficos que permiten resumirla y organizarla en distintas áreas del saber humano. Los gráficos pueden ser de diferentes tipos, entre los cuales están los de líneas, circulares, de barras, etc.

¿Qué?

236

¿Para qué?

¿Dónde?

Histogramas, polígonos de frecuencias y polígonos de frecuencias acumuladas.

Organizar y representar información mediante este tipo de gráficos.

Páginas 238 a 243.

Medidas de tendencia central y posición.

Interpretar estas medidas en histogramas, polígonos de frecuencias y polígonos de frecuencias acumuladas.

Páginas 244 a 251.

Probabilidad de experimentos aleatorios y técnicas combinatorias.

Resolver problemas que involucren el cálculo de probabilidades.

Páginas 252 a 257.

Media aritmética y muestras aleatorias.

Formular y verificar conjeturas acerca de la relación entre Páginas 258 a 261. la media poblacional y las medias muestrales.

Unidad 8 • Estadística y probabilidad

8

Abrir sesión Considerando la información de la página anterior, responde: 1) ¿De qué se trata la lectura? 2) ¿Qué puede representar un gráfico? 3) ¿Para qué tipo de información utilizarías cada gráfico? Explica cada caso.

Inicializando Crear consiste en reorganizar la información en un nuevo modelo o estructura, formando un todo coherente o funcional. Hace algunos años el Instituto Nacional de Estadísticas (INE) realizó un estudio acerca del consumo de gas licuado en el país. Para ello, recopiló información de años anteriores y obtuvo el siguiente gráfico: Consumo final de gas licuado 2003-2007 80.000

Kg por mil habitantes

70.000 60.000 50.000 40.000 30.000 20.000 10.000 0 2003

2004

2005

2006

2007

Año

Fuente: www.ine.cl

Uno de los estudiantes de un curso considera que con el gráfico se puede identificar fácilmente el año de mayor consumo, pero no así el de menor consumo. Con respecto al gráfico presentado, crea una estrategia que te permita responder las preguntas que aparecen a continuación. 1) ¿En qué año el consumo se encuentra entre los 60.000 y 70.000 kg por mil habitantes? Fundamenta.

2) ¿Es correcto afirmar que el año 2006 el consumo fue inferior a los 60.000 kg por mil habitantes”? Fundamenta.

3) ¿Se logrará precisar una respuesta exacta? ¿En qué te basas para interpretar eso?

4) ¿Cuál fue la estrategia que utilizaste para responder las preguntas?

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

237

evaluación

contenido

resolución

e e

c c

r h

Interpretación de gráficos Mediante los gráficos se puede representar, de manera resumida, cualquier tipo de información. Así, por ejemplo, en el gráfico que se muestra a continuación están los datos recopilados en el Censo del año 2002 con respecto a la población urbana y a la rural. A través de él se puede leer e interpretar distinta información de importancia. Población total por área urbana y rural, según regiones. Censo 2002 Urbana

POBLACIÓN

Rural

7.000.000 6.000.000 5.000.000 4.000.000 3.000.000 2.000.000 1.000.000 0 I

II

III

IV

V

VI

VII

VIII

XI

X

XI

XII

RM

XIV

XV

REGIÓN

Fuente: www.ine.cl

Algunas conclusiones que se pueden inferir del gráfico son: La mayor población urbana se concentra en la Región Metropolitana. La población rural no supera el millón de habitantes en cada región.

Para grabar Para interpretar los distintos tipos de gráficos existentes, debes analizar los datos representados para así poder obtener la información deseada o requerida.

1.

Analiza el gráfico que aparece a continuación. Luego, anota 4 conclusiones. a.

Población total por sexo, según regiones. Censo 2002 Hombres

POBLACIÓN

Mujeres

3.500.000 3.000.000

b.

2.500.000 2.000.000 1.500.000 1.000.000

c.

500.000 I

II

III

IV

V

VI

VII VIII REGIÓN

Fuente: www.ine.cl

238

Unidad 8 • Estadística y probabilidad

XI

X

XI

XII

RM

XIV XV

d.

2.

Analiza el siguiente gráfico. Luego, responde. a. ¿Cómo se representa en el gráfico que la variación es positiva?

Índice de producción física industria manufacturera (Var. % 12 meses) 4

Variación % 12 meses índice de producción física

2 0

b. ¿Cómo se representa en el gráfico que la variación es negativa?

–2 –4 –6 –8 –10 –12

c. ¿Cómo fué la variación en los 12 meses?

–14 Oct. 08

Dic.

Feb. 09

Abr.

Jun.

Ago.

Oct. 09

(Base: promedio año 2002 = 100)

Fuente: www.ine.cl

3.

Porcentaje de desechos recolectados por ítem, en Cabo Shirref. 2004-2005

Analiza la siguiente información y luego responde. El Instituto Antártico Chileno (INACH) ha realizado diversas investigaciones científicas destinadas a conocer y diagnosticar el estado actual de la contaminación de las costas del Territorio Antártico Chileno, en especial de los residuos sólidos. El gráfico que aparece a continuación representa la información obtenida en el periodo 2004-2005 en Cabo Shirref, en el que se encontraron 1.023 desechos de distintos tipos.

Papel 4%

Vidrio 1%

Plástico

Metal 1%

Papel Vidrio Metal Plástico 94%

Fuente: www.ine.cl

a. ¿Cuál es el total de desechos de plástico encontrado?

Ayuda

b. ¿Cuál es el total de desechos de papel, de metal y de vidrio registrado en el estudio?

El 32% de 45.000 se puede calcular de la siguiente manera: 32 45 000 4.400 100

c. Plantea 2 conclusiones extraídas del gráfico.

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

239

evaluación

contenido

resolución

e e

c c

r h

Diseñar la encuesta.

Recopilar la información.

Analizar los resultados.

Encuestas y agrupamientos de datos A través de las encuestas es posible recopilar mucha y variada información, lo que permite tener una mejor apreciación de algún tema determinado. Para esto, generalmente se diseña un cuestionario y luego se analizan los datos recogidos, agrupándolos según los estándares que sean de interés en el estudio.

Para grabar Una encuesta es un conjunto de preguntas tipificadas (estandarizadas, homologadas), dirigidas a una muestra representativa, para averiguar estados de opinión o diversas cuestiones de hecho.

1.

Analiza parte de una encuesta aplicada por el Instituto Nacional de Estadísticas (INE) destinada a estudiar la percepción de la ciudadanía frente a su seguridad. Luego, responde.

De acuerdo con su percepción, ¿cuál diría usted que son las principales causas de los niveles de delincuencia que actualmente existen en nuestro país? ¿Y en segundo lugar?

Causas

1°

2°

Causas

1°

2°

La falta de vigilancia policial.

01

01

Consumo problemático de alcohol.

09

09

La falta de prevención y organización de parte de la población.

02

02

Sanciones débiles que aplican los jueces a los delincuentes.

10

10

La falta de preocupación y control de los padres.

03

03

Ausencia de programas de rehabilitación para drogadictos.

11

11

La falta de disciplina en las escuelas.

04

04

Escasa posibilidad de reinserción de los delincuentes.

12

12

El consumo de drogas.

05

05

La ley no contempla penas más duras para delincuentes.

13

13

La falta de oportunidades de trabajo.

06

06

La mala calidad de la educación en las escuelas.

14

14

Las condiciones de extrema pobreza.

07

07

No sabe.

88

88

Deficiente investigación de la policía.

08

08

No responde.

99

99

Fuente: www.ine.cl

a. ¿Qué información se quiere obtener a partir de las preguntas de la encuesta? b. Extrae dos conclusiones de la parte de la encuesta mostrada. c. ¿Qué crees que significan los números en las casillas?

2.

Analiza una encuesta desde el sitio www.ine.cl. Luego, completa. Título de la encuesta: Conclusión 1: Conclusión 2: Conclusión 3:

3.

Responde las siguientes preguntas. a. ¿Por qué crees que son importantes las encuestas? b. ¿Cuándo crees que es necesario aplicar una encuesta? Ejemplifica.

4.

Crea una encuesta con información recopilada en tu curso o colegio. Luego, realiza dos conclusiones. Conclusión 1: Conclusión 2:

240

Unidad 8 • Estadística y probabilidad

Tablas de frecuencias Al organizar en una tabla (tabular) grandes cantidades de datos, puede resultar útil agruparlos en intervalos o clases para determinar cuántos datos pertenecen a un intervalo determinado. Así, surgen conceptos como frecuencia absoluta (f), frecuencia relativa (fr), frecuencia absoluta acumulada (F) y frecuencia relativa porcentual (f%), entre otros.

Para grabar Tabla de frecuencias: es un tipo de representación que permite organizar datos. Frecuencia absoluta (f): es el número de veces que se repite un dato o el número de datos incluidos en un determinado intervalo. Frecuencia absoluta acumulada (F): es la suma de las frecuencias absolutas de los valores menores o iguales al valor de la variable en cuestión. El último valor de esta debe ser igual al número total de datos. Frecuencia relativa (fr): es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de datos o tamaño de la muestra. Frecuencia relativa porcentual (f%): es el porcentaje de la frecuencia absoluta con respecto al tamaño de la muestra. Ejemplo: Una empresa de transportes traslada diferentes tipos de encomiendas, las que clasifica por su masa (ME), distribuyéndolas de hasta un máximo de 30 kg. La tabla adjunta resume la información. En el intervalo ]0; 6], 0 es el límite inferior y no se considera, y 6 es el límite superior del intervalo y se considera. Rango es la diferencia entre el mayor (24) y el menor (0) valor. En este caso, es 24. Mientras que la amplitud del intervalo es la diferencia entre el límite superior y el inferior. En este caso, 12 – 6 = 6.

1.

Traslado de encomiendas Estos valores se interpretan como: 6 de 36 encomiendas, es decir, el 16,67% del total de encomiendas tiene una masa entre 0 y 6 kg, sin ser 6 kg.

Este valor representa 6 encomiendas, cuyas masas varían entre 0 y 6 kg. 14 + 12 = 26

Analiza la siguiente tabla. Complétala y luego responde en tu cuaderno. Rango de precios de ciertos artículos ¿Cuál es el rango de la variable precio? ¿Y cuál es la amplitud de intervalo? ¿Cuántos artículos fueron incluidos en la tabla? ¿Cuántos de ellos tenían un precio menor o igual a $ 2.000? ¿Podrías representar los datos en algún gráfico? ¿Qué datos ocuparías? Explica detalladamente. Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

241

evaluación

contenido

resolución

e e

c c

r h

Representación de datos Luego de tabular los datos agrupados en intervalos, en tablas de frecuencias, estos pueden ser representados por medio de histogramas, polígonos de frecuencias y polígonos de frecuencias acumuladas. Por ejemplo: en una prueba realizada a 300 estudiantes de 1° medio se obtuvieron los siguientes puntajes ya agrupados en intervalos. Puntajes obtenidos en una prueba

Puntaje (x)

Marca de clase

f

F

]0, 10]

5

15

15

]10, 20]

15

30

45

]20, 30]

25

40

85

]30, 40]

35

60

145

]40, 50]

45

70

215

]50, 60]

55

55

270

]60, 70]

65

30

300

Puntajes obtenidos en una prueba 400

Cantidad de estudiantes

Cantidad de estudiantes

80 60 40 20 0

]30, 40] ]40, 50] ]50, 60]

200 100 0

Puntaje ]0, 10] ]10, 20] ]20, 30]

300

]60, 70]

Puntaje ]0, 10] ]10, 20] ]20, 30]

]30, 40] ]40, 50] ]50, 60]

]60, 70]

La línea roja representa el polígono de frecuencias, que resulta al unir los extremos superiores de las barras (marca de clase con frecuencia absoluta). Mientras que el polígono de frecuencias acumuladas se construye uniendo la marca de clase de cada intervalo con su correspondiente valor de frecuencia acumulada (línea azul).

Para grabar Un histograma es una representación gráfica en forma de barras, en las que sus alturas son proporcionales a la frecuencia absoluta de los valores representados. Este tipo de gráfico sirve para expresar información sobre datos agrupados en intervalos. Para elaborar manualmente un histograma debes dibujar los ejes de sistemas coordenados. En el eje de las abscisas se especifican los intervalos y en el eje de las ordenadas se representa la frecuencia absoluta correspondiente. El polígono de frecuencias es una representación gráfica que forma un polígono compuesto por la línea poligonal, que se obtiene al unir los puntos referidos a las marcas de clase, y el eje de las abscisas. Para la construcción de un polígono de frecuencias es importante anotar en la tabla de frecuencias la marca de clase de cada intervalo. También anota la frecuencia acumulada, que permitirá construir el polígono de frecuencias acumuladas.

Para saber más La marca de clase (MC) de un intervalo corresponde al promedio entre el límite inferior y el límite superior.

1.

Representa en un histograma, en un polígono de frecuencias y en un polígono de frecuencias acumuladas los datos que aparecen en las tablas.

Calificación final de 180 estudiantes

Rango de precios de ciertos artículos

Calificación

Marca de clase

f

F

Precios (P)

f

f

]1,0; 2,0] ]2,0; 3,0] ]3,0; 4,0] ]4,0; 5,0] ]5,0; 6,0] ]6,0; 7,0]

1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5

4 6 17 101 40 12

4 10 27 128 168 180

]0; 1.000]

45

45

]1.000; 2.000]

55

100

]2.000; 3.000]

90

190

242

Unidad 8 • Estadística y probabilidad

F

2.

Utiliza Excel para realizar histogramas. Para ello, analiza los datos y lleva a cabo los pasos señalados.

Una casa discográfica realiza un estudio sobre la cantidad de discos que distribuye a las tiendas según las ventas. Este estudio consta, de una encuesta telefónica aleatoria en la que se pregunta por la cantidad de discos que se han vendido el presente mes. Los datos obtenidos se muestran en la tabla.

Paso 1

Paso 2

Para realizar un histograma debes “abrir” Excel e ingresar la tabla. Luego, presiona el ícono selecciona columnas.

3.

Distribución de discos

y

A continuación elige el rango de datos que quieres graficar y luego selecciona la opción Filas.

Paso 3 Así aparecerá el gráfico pedido.

Utiliza Excel para realizar polígonos de frecuencias. Para ello, lleva a cabo los pasos señalados. Considerando la información de la actividad anterior. Paso 1

Para realizar un polígono de frecuencias debes “abrir” Excel e ingresar la tabla y luego seleccionar líneas en la opción tipo de gráfico. Sin embargo, se agregarán dos filas para poder generar el polígono.

4.

Paso 2 A continuación, elige el rango de datos que quieres graficar y luego selecciona la opción Columnas.

Paso 3 Así aparecerá el gráfico pedido.

Verifica si los gráficos construidos en la actividad 1 de la página anterior coinciden con los que puedes crear en Excel. Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

243

evaluación

contenido

resolución

e e

c c

r h

Medidas de tendencia central Las medidas de tendencia central: media aritmética, moda y mediana permiten estudiar los valores centrales de una distribución.

Para grabar La media aritmética ( x )=de datos no agrupados en intervalos es el cociente entre la suma de los productos de los valores de una variable (datos) (xi) por sus correspondientes frecuencias absolutas (fi) y el número total de datos (n).

Para saber más Propiedades de la media aritmética. Si se suma una constante a todos los valores de una variable, su media aumenta en dicha constante. Si se multiplican todos los valores de una variable por una constante, la media aritmética queda multiplicada por dicho valor.

x=

x 1 •• f1 + x 2 f2 + x 3 •• f3 + ... + xn fn n

Al estar los datos agrupados en intervalos, la media aritmética se calcula sumando los productos de las marcas de clase de los intervalos (xmc) por sus frecuencias absolutas y luego dividiendo esa suma por el total de datos (n).

x=

xmc11 • f1 + xmc2 •• f2 + xmc33 f3 + ... + xmcNN • fN ; donde N es el número total de intervalos. n

Ejemplo: en el caso de los puntajes obtenidos por los 300 estudiantes propuesto en la página 242, se tiene que el puntaje promedio, aproximado a la centésima, es de = 39,16, ya que:

x=

5 •• 15 + 15 30 + 255 • 40 15 40 + 35 •• 60 + 45 45 770 + 55 •• 55 + 65 65 330 11.750 = = 39,16 300 300

Lo que se puede interpretar como que el puntaje promedio en la prueba fue de = 39,16 puntos, aproximadamente.

1.

Calcula la media aritmética para los datos de las siguientes tablas. a. Cantidad de hermanos

b. Distancia de salto

Número de hermanos

f

Longitud de salto (m)

Marca de clase

f

0

2

[0; 0,3[

0,15

0

1

4

[0,3; 0,6[

0,45

2

2

3

[0,6; 0,9[

0,75

3

3

7

[0,9; 1,2[

1,05

5

4

4

[1,2; 1,5[

1,35

12

5

4

[1,5; 1,8[

1,65

13

6

2

[1,8; 2,1[

1,95

6

x=

x=

¿Cómo interpretas esta medida en cada caso?

244

Unidad 8 • Estadística y probabilidad

Para grabar La moda (Mo) de una variable estadística de datos no agrupados es el valor que presenta la mayor frecuencia absoluta. Puede haber más de una moda, pero si todos los datos de la distribución tienen la misma frecuencia, entonces se dice que la variable no tiene moda. Para determinar la moda en una muestra de datos agrupados debes hallar el intervalo modal (intervalo de D mayor frecuencia absoluta) y utilizar la siguiente fórmula: M = a • 1 D2 1 Donde Li es el límite inferior del intervalo modal; a, la amplitud del intervalo modal; D1, la frecuencia absoluta del intervalo modal menos la del intervalo anterior, y D2, la frecuencia absoluta del intervalo modal menos la del intervalo siguiente. Ejemplo: en el caso de los puntajes obtenidos por los 300 estudiantes (página 242), se tiene que la moda de los puntajes es 44, ya que: 10 M = 40 + 10 0 + 10 0,4 = 40 + 4 4 10 + 15

Ayuda En el caso de la distribución de discos mostrada en la actividad 2 de la página 243, el intervalo modal es ]90 – 100] y la moda de los datos es 95, ya que: M = 90 0

4 = 95 4+4

Este dato se puede interpretar como que el puntaje más obtenido es 44 puntos.

2.

Calcula la moda para los datos de la actividad 1 de la página anterior. a. Cantidad de hermanos.

Mo =

b. Distancia de salto.

Mo =

¿Cómo interpretas esta medida en cada caso?

Para grabar La mediana (Me) de una variable con datos no agrupados, una vez ordenados los datos, corresponde al valor central de la distribución si está compuesta por un número impar de datos; si está compuesta por un número par de datos, la mediana corresponde a la media de los valores centrales de la distribución. El cálculo del valor central de una distribución de datos ordenados (mediana) para datos agrupados en intervalos se realiza de la siguiente manera: 1° Se establece el número total de datos (n). 2° Se busca el primer intervalo (I) en el que la frecuencia acumulada sea mayor que . 2 3° Luego, se aplica la siguiente fórmula: Me = i

ai • 2

i-1

f

Donde Ii – 1 es el límite inferior del intervalo en estudio; ai es la amplitud del intervalo en estudio; fi es la frecuencia absoluta del intervalo en estudio, y Fi – 1 es la frecuencia acumulada anterior al intervalo en estudio. Ejemplo: en el caso de los puntajes obtenidos por los 300 estudiantes (página 242), se tiene que la mediana de los puntajes es 40,71 puntos, ya que: 5 5 150 – 145 = 40 + 10 0 + = 40,71 M = 40 + 10 •• 7 70 70 Este dato se puede interpretar como que el puntaje central es 41 puntos, aproximadamente.

3.

Ayuda En el caso de la distribución de discos mostrada en la actividad 2 de la página 243, el intervalo de estudio es ]100 – 110] y la mediana de los datos es 101,25, ya que: 25 – 12 Me = 100 + 10 • 2 01 5 4

Calcula la mediana para los datos de la actividad 1 de la página anterior. a. Cantidad de hermanos.

Me =

b. Distancia de salto.

M e=

¿Cómo interpretas esta medida en cada caso? Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

245

evaluación

contenido

resolución

e e

c c

r h

4.

Analiza los gráficos. Luego, responde. a. El siguiente polígono de frecuencias acumuladas representa la estatura de los estudiantes de primer año medio.

Estaturas de estudiantes de 1° medio

Determina la media, moda y mediana.

Cantidad de estudiantes 20 17

12 9

5 Estatura (cm) 150 152,5 155 157,5 160 162,5 165 167,5 170 172,5 175

Construye un histograma y un polígono de frecuencias asociados al gráfico anterior. ¿Las medidas de tendencia central son las mismas que en el gráfico anterior? Histograma

Polígono de frecuencias

De los 2 tipos de gráficos: polígono de frecuencias e histograma, ¿cuál crees que representa de mejor manera la información recopilada? ¿En cuál de ellos es posible determinar de manera más eficiente las medidas de tendencia central? Comenta con tus compañeras, compañeros y profesor(a).

Anota 3 conclusiones con respecto a la actividad realizada. 1. 2. 3.

246

Unidad 8 • Estadística y probabilidad

b. El siguiente polígono de frecuencias muestra la cantidad de pacientes por edad que se encuentra en una determinada clínica. Pacientes por edad de cierta clínica Determina la media, moda y mediana. 19 18

Cantidad de pacientes

15 13 12 11 10 7 6

2

Edad 10 12,5 15 17,5 20 22,5 25 27,5 30 32,5 35 37,5 40 42,5 45 47,5 50 52,5 55 57,5 60

¿Consideras que la información representada en el polígono de frecuencias podría interpretarse de mejor manera en un histograma o en un polígono de frecuencias acumuladas? Justifica.

Anota 3 conclusiones con respecto a las medidas de tendencia central calculadas. 1. 2. 3. c. El siguiente histograma representa las calificaciones obtenidas por los estudiantes de 1° medio en 5 colegios. Calcula la media, moda y mediana. Calificaciones de 1° medio Cantidad de estudiantes 60 57 48 42 35

18

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0 Calificación

Anota 2 conclusiones con respecto a las medidas de tendencia central calculadas. 1. 2. Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

247

evaluación

contenido

resolución

e e

c c

r h

Medidas de posición Al tener una serie de datos ordenados en forma creciente, estos se pueden dividir en partes iguales.

Para grabar Los cuartiles son los tres valores de una distribución que la dividen en cuatro partes iguales. Primer cuartil (Q1): es el valor que separa el 25% de los datos de la distribución ordenada de menor a mayor. 25%

Segundo cuartil (Q2): es el valor que separa el 50% de los datos de la distribución ordenada de menor a mayor. 50%

Q1

Para saber más La mediana de una distribución de datos coincide con Q2 y con P50. Las medidas de tendencia central y de posición, no siempre corresponden a valores de la variable en estudio.

75% Q2

Q3

Los quintiles son los cuatro valores de una distribución que la dividen en cinco partes iguales. El primer quintil separa el 20% de los datos de la distribución ordenada de menor a mayor, el segundo quintil separa el 40%, el tercer quintil separa el 60% y el cuarto quintil el 80%. Quintil 1 Quintil 2 Quintil 3 Quintil 4 Los deciles son los nueve valores de una distribución que la dividen en diez partes iguales. El primer decil (D1) separa el 10% de los datos de la distribución ordenada de menor a mayor, el segundo decil (D2) separa el 20%, el tercer decil (D3) el 30%, etc. D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 Los percentiles (Pn) son los noventa y nueve valores de una distribución que la dividen en cien partes iguales. Cada uno de ellos equivale a un 1% de la distribución.

1.

Analiza la información y el ejemplo. Al tener una tabla de frecuencias, el percentil de orden k (Pk) se calcula:

Desafío Diseña y explica una estrategia que permita determinar los cuartiles sin conocer los percentiles.

1° Se determina el intervalo al cual pertenece el percentil por k •n calcular: en la tabla de 100 frecuencias acumuladas. 2° Luego, se aplica la siguiente fórmula: k •n –Fi– 1 ; donde Ii es el Pk =I = Ii + ai • 100 fi límite inferior del intervalo en el que se encuentra k; fi es la frecuencia absoluta del intervalo en el que se encuentra k; Fi – 1 es la frecuencia acumulada anterior al intervalo donde se encuentra k, y ai es la amplitud del intervalo.

248

Tercer cuartil (Q3): es el valor que separa el 75% de los datos de la distribución ordenada de menor a mayor.

Unidad 8 • Estadística y probabilidad

Longitud de un trozo de madera

Longitud (cm)

f

F

]0; 50]

20

20

]50; 100]

15

35

]100; 150]

8

43

]150; 200]

4

47

Ejemplo: se calculará P75 = Q3. 1° El intervalo es ]100; 150], ya que como n = 47, el 75% de 47 es 35,25, valor que según F pertenece a ]100; 150]. 2° Al aplicar la fórmula se tiene: 75 • 47 – 35 P75 = 100 + 50 • 100 = 100,29 43 Es decir, el 75% de los trozos de madera miden menos o igual que 100,29 cm.

2.

Analiza la siguiente tabla. Luego, responde. Salarios de los trabajadores de una empresa

a. ¿Cuál es el percentil 50? ¿Cómo lo interpretas?

b. Aproximadamente, ¿qué cantidad de personas tienen un sueldo sobre el tercer cuartil? Justifica.

c. Determina el noveno decil. Anota 2 conclusiones con respecto a este valor.

3.

Analiza el siguiente histograma. Luego, responde. Con respecto a los puntajes obtenidos en la PSU de matemática por un grupo de estudiantes. Responde. Puntajes obtenidos en la PSU Frecuencia a. ¿Cuál es el percentil 35? 70 65 55

b. ¿Cuál es tercer cuartil?

45

c. ¿Como se interpreta el percentil 75?

15 5 200

300

400

500

600

700

800

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

Puntaje

249

resol u

e

en co n t i do

n de prob ció

as lem

uac eval ión

evaluación formativa

Analizando disco Interpretación de gráficos.

1 Analiza el siguiente gráfico. Luego, responde. El gráfico que aparece a continuación representa el tiempo mensual que destinan dos grupos de igual cantidad de alumnas y alumnos de octavo básico, segundo y cuarto medio a practicar deportes dentro y fuera del colegio. a. ¿Qué grupo practica más deporte? ¿Cuál menos?

Tiempo que practican deporte 60

Grupo 1 Grupo 2

Tiempo (h)

50 40

b. Anota 2 conclusiones del gráfico.

30

51,8 41,5

20 10

24

24,4 10,2

16,7

0

8° básico

Tablas de frecuencias.

2 Analiza la siguiente tabla. Luego, responde. Tamaño de árboles de una parcela

a. ¿Qué cantidad de árboles tiene una altura menor a 2,6 metros?

b. ¿Cuál es el rango de los datos?

c. ¿En qué intervalo se concentra la menor cantidad de árboles?

d. ¿Qué porcentaje de árboles superan los 2,1 metros de altura?

250

Unidad 8 • Estadística y probabilidad

2° medio

4° medio

Curso

Representación de datos.

3 Representa en un histograma y en un polígono de frecuencias la tabla del problema 2 de la página anterior.

4 Analiza el siguiente histograma. Luego, resuelve. Anota 3 conclusiones y explica por qué las consideras importantes. Pirámide de población

Grupos de edad (en años)

Censo 1992 85–89 80–84 75–79 70–74 65–69 60–64 55–59 50–54 45–49 40–44 35–39 30–34 25–29 20–24 15–19 10–14 5–9 0–4

Hombres

Para saber más

Mujeres

Este tipo de histograma se llama pirámide. A menudo caracteriza a países con fuerte natalidad y mortalidad media. Fuente: www.ine.cl 800 600

400

200

0

200

400

600

800

Población (miles de personas)

Medidas de tendencia central.

5 Analiza la siguiente tabla y luego responde. Calcula y explica qué representa cada medida de tendencia central.

Libros leídos en un año

Medidas de posición.

6 Analiza la siguiente información y luego responde. Determina el percentil 25.

Cantidad de hijos de 100 familias

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

251

evaluación

contenido

resolución

e e

c c

r h

Azar y experimentos aleatorios El azar está presente en experimentos como lanzar una moneda o un dado, hacer girar una ruleta, etc., los que reciben el nombre de experimentos aleatorios. A su vez, al conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio se le llama espacio muestral, que generalmente se anota con la letra griega Ω (omega).

Para grabar

Para saber más Otros tipos de sucesos que estudiarás en cursos posteriores son los sucesos compatibles, incompatibles, dependientes, independientes y contrarios.

Los experimentos determinísticos son aquellos en los que se obtiene el mismo resultado, siempre que el experimento se realice en condiciones similares. Por ejemplo, calentar agua a 100 °C, soltar una pelota de tenis desde el segundo piso de un edificio, etc. Los experimentos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de ellos va a observarse. Además, todos los posibles resultados del experimento son conocidos con anterioridad y los experimentos aleatorios pueden realizarse las veces que se quiera bajo condiciones similares. Por ejemplo, acertar el resultado de un partido de fútbol, determinar el tiempo de duración de la próxima llamada telefónica, etc. Al conjunto o colección de los resultados de un experimento aleatorio se le llama espacio muestral (Ω). Un suceso o evento (E) es un subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio. Un suceso se llamará elemental si no se puede descomponer en otros más sencillos; compuesto, si consta de dos o más elementos de Ω; seguro, si está compuesto por todos los elementos de Ω; e imposible, si no contiene elementos de Ω.

1.

Clasifica los siguientes experimentos en aleatorios o determinísticos. Para ello, marca la casilla correspondiente.

2.

a. Estimar la estatura de una persona.

Aleatorio

Determinístico

b. Poner una cubeta con agua en el congelador.

Aleatorio

Determinístico

c. Extraer una carta de un juego de naipes y adivinar su valor.

Aleatorio

Determinístico

Identifica y escribe el espacio muestral de cada experimento aleatorio.

3.

a. Lanzar 2 dados y anotar la suma de sus puntos.

b. Extraer una bolita de una caja con 3 bolitas y determinar su color.

Ω={

Ω={

}

}

Analiza la siguiente situación. Luego, responde en tu cuaderno. Se realiza un experimento en una concurrida avenida, que consiste en pedirles a los transeúntes que hagan girar una ruleta, como la que se muestra en la figura, y en el momento previo predigan el color que aparecerá una vez que se detenga la ruleta. a. ¿Qué tipo de experimento es? Explica. b. ¿Cuál es su espacio muestral? c. Un transeúnte observa la tabla en la que se han anotado 100 resultados y afirma: “con seguridad el próximo color que saldrá no será negro”. Sin conocer esta tabla, ¿estás de acuerdo con la afirmación? Explica en forma detallada.

252

Unidad 8 • Estadística y probabilidad

Probabilidad y regla de Laplace Se tiene un juego de naipes inglés y se pide a una persona que extraiga una carta sin mirar. Si quien extrae la carta afirma que la probabilidad 1 de obtener un rey es de , mientras que la de extraer una carta que 13 5 represente un número par es de , ¿es posible afirmar que es más 13 probable extraer una carta que represente un número par que una que represente a un rey? ¿En qué te basas para señalar lo anterior?

Para grabar Si un experimento cualquiera puede dar lugar a un número finito de resultados posibles y no existe razón que privilegie un resultado por sobre otros, se puede calcular la probabilidad de un evento aleatorio A, según la regla de Laplace, mediante el cociente entre el número de casos favorables y el de los casos posibles del experimento: mero de casos favorables A) = 0 ≤≤ P(A) 1 Nú de casos a posi es Por ejemplo, en el juego de naipes descrito a comienzos de página, la probabilidad de que ocurra el evento 1 aleatorio “A: extraer un rey” es de , ya que: 13 Nú de casos favorables 4 1 P(A) Número de casos posib s 52 13

Se considerará que un juego de naipes inglés tiene 52 cartas, distribuidas en cuatro pintas, cada una de las cuales tiene 13 cartas numeradas.

Desafío En un experimento aleatorio, ¿es siempre posible definir el número de casos favorables? Si no lo es, da un ejemplo.

Si en un experimento todos los eventos tienen la misma probabilidad de ocurrir, se dice que los eventos son equiprobables. La probabilidad de un suceso mide el grado de incerteza de la ocurrencia de dicho suceso.

1.

Analiza los siguientes experimentos aleatorios. Luego, calcula en tu cuaderno. a. De un juego de naipes inglés se extrae al azar una carta. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una que represente un número par de puntos?, ¿cuál la de extraer un número primo de puntos?, y ¿cuál la de extraer un as? b. Se lanzan 2 dados de seis caras. ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia, en valor absoluto, de los puntos obtenidos sea menor que 6?, ¿cuál la de obtener una suma mayor que 12?, ¿cuál la de obtener 6 como producto?, y ¿cuál la de obtener 1 como cociente entre el número de puntos mayor y el número de puntos menor? c. Un grupo de estudiantes ha realizado 100 lanzamientos de una moneda y los datos se han registrado en la tabla de frecuencias que se muestra a continuación. Lanzamiento de una moneda

Moneda

Frecuencia

Cara

62

Sello

38

Para saber más • Un evento cierto o seguro tiene probabilidad 1. Es decir, siempre ocurre. • Un evento imposible es el que tiene probabilidad 0. Es decir, nunca ocurre.

Según la tabla, ¿cuál es la probabilidad de obtener cara? Según la regla de Laplace, ¿cuál es la probabilidad de que salga sello? ¿Por qué crees que se obtienen diferentes resultados? Justifica. Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

253

evaluación

contenido

resolución

e e

c c

r h

2.

Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno. a. En un colegio hay 8 cursos de primer año medio, de los cuales 4 están compuestos por 38 estudiantes, 2 por 41 estudiantes y el resto de los cursos tiene 45 estudiantes cada uno. Si la probabilidad de escoger al azar a una 5 alumna es , ¿qué cantidad de alumnas y alumnos hay en el colegio? 9 b. En una tómbola se tienen 36 bolitas numeradas del 1 al 36. Si se extrae aleatoriamente una bolita, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número par? Con respecto a la probabilidad obtenida en la pregunta anterior, ¿es igual a la probabilidad de extraer una bolita con un número impar? ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bolita con un número compuesto? ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bolita, esta corresponda a un número primo? ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bolita esta esté numerada con un múltiplo de 3? ¿Qué evento tiene una mayor probabilidad de ocurrir? Justifica.

Para grabar Hay sucesos de experimentos aleatorios a los que no se les puede aplicar la regla de Laplace para determinar la probabilidad de ocurrencia. En estos casos, el experimento puede realizarse un número finito de veces y determinar una “tendencia” de la probabilidad de cierto evento.

Por ejemplo, en el experimento aleatorio “hacer girar la siguiente ruleta y anotar el número del sector en el que cae la flecha” no se puede aplicar la regla de Laplace, ya que todos los sectores no tienen la misma probabilidad de ocurrir. Es decir, los distintos sucesos posibles no son equiprobables.

2 1

3

8

4 5

3.

7 6

Identifica en cuál de los siguientes experimentos aleatorios es posible aplicar la regla de Laplace para calcular la probabilidad de un determinado suceso y en cuáles habría que realizar el experimento. Para ello, escribe Laplace o experimento en la casilla según corresponda. a. Lanzar una moneda. b. Lanzar un dado cargado en una de sus caras. c. Hacer girar una ruleta que está dividida en 4 sectores congruentes. d. Hacer girar una ruleta que está dividida en 3 sectores de distinta área.

4. 3 1

Resuelve el siguiente problema. Un estudiante quiere calcular la probabilidad de que al hacer girar una ruleta como la que se muestra a continuación la flecha quede ubicada en el sector 3. a. ¿Cómo crees que se calcula esta probabilidad? Resuelve. b. Compara tu respuesta con las de tus compañeras y compañeros.

2

c. ¿Qué conclusión puedes obtener respecto a esta comparación? d. ¿Qué hiciste para responder la pregunta a?

254

Unidad 8 • Estadística y probabilidad

Técnicas de conteo y probabilidad El dueño de una tienda desea ordenar sus distintos tipos de productos. Para ello, comenzará ocupando el primer nivel de un estante que tiene capacidad para 8 productos. Si los productos que se ordenarán son 3 latas de tomate (t1, t2, t3), 3 tipos de pasta (p1, p2, p3) y 2 tipos de jugos (j1, j2), ¿de cuántas formas posibles se pueden ordenar?

Para grabar Principio multiplicativo Si una operación puede efectuarse de n1 maneras diferentes, y una vez realizada cualquiera de ellas una segunda operación puede llevarse a cabo de n2 maneras distintas, entonces el número total (N) de maneras diferentes en que se pueden realizar ambas operaciones simultáneamente es: N = n1 • n2 En general, para k operaciones con nk maneras distintas de realizarlas se tiene que: N = n1 • n2 • n3 • • • nk; k ∈ . Por ejemplo, para calcular la probabilidad de escoger un número impar de 3 dígitos se resuelve: C

1 1 P(A) = = = 0,002 9 •• 10 5 450

1.

D

U

9 posibilidades (1, 2, 3, 4, 5 6, 7, 8 y 9)

Resuelve los siguientes problemas. a. En una repisa se quieren ordenar 10 libros. De ellos, 2 son de Biología, 3 de Lenguaje y 5 de Matemática. ¿De cuántas formas es posible hacerlo? b. Un estudiante tiene 5 chaquetas, 3 poleras, 4 pantalones y 2 pares de zapatillas. ¿De cuántas formas puede combinar su ropa para vestirse? c. Con respecto a la palabra PLATO, ¿de cuántas maneras puede combinar las letras para escribir distintas palabras, con o sin sentido y sin que estas se repitan?

10 posibilidades (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) 5 posibilidades (1, 3, 5, 7 y 9)

d. En un torneo de fútbol se tienen 4 equipos, A, B, C y D, los que se disputan el primer y segundo lugar. ¿De cuántas formas posibles estos equipos pueden quedar ubicados en la tabla de posiciones? e. Considerando del 0 al 9 y sabiendo que el 0 no puede ir al principio, ¿de cuántas maneras se puede formar un número telefónico de 7 dígitos? f. ¿Cuántas patentes para automóviles es posible formar si estas deben constar de 4 letras, todas ellas consonantes, y 2 dígitos? Considera que las letras y números se pueden repetir. g. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir al azar un número de 5 dígitos, este quede formado solo por cifras impares?

Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

255

evaluación

contenido

resolución

e e

c c

r h

Permutación y combinatoria En una competencia de atletismo, 4 estudiantes (A, B, C, D) se disputan el primer lugar. ¿Cuáles podrían ser las posiciones finales?

1°

2°

3°

Para responder la pregunta puedes aplicar el principio multiplicativo visto antes, por lo que se tienen 4 • 3 • 2 • 1 = 24 posibles ordenamientos diferentes.

4°

4 posibilidades

Sin embargo, también se puede resolver aplicando el concepto de permutación, que según la Real Academia de la lengua Española (RAE) se refiere a cada una de las ordenaciones posibles de los elementos de un conjunto finito. Luego, el número total de las posibles ordenaciones son:

3 posibilidades 2 posibilidades

P4 = 4 • 3 • 2 • 1 = 24 1 posibilidad

Donde P4 representa el número de ordenaciones de las posiciones de los 4 estudiantes. Ahora que ya conoces el número de ordenaciones posibles, escríbelas.

Para grabar

Ayuda En las permutaciones, el orden de los elementos del conjunto sí importa. Es decir, dos permutaciones son diferentes si tienen al menos un elemento distinto o si están ordenados de forma distinta.

Una permutación en un conjunto de n elementos corresponde a una ordenación de estos. El número total de permutaciones u ordenaciones diferentes entre n elementos de un conjunto se denotará por Pn, y se tiene que: Pn = n! = n •(n – 1) • (n – 2) ·… … … · 4 • 3 • 2 • 1, n ∈ . Donde n! se denomina factorial de n o n factorial. Además se acepta que O! = 1. Si se quiere determinar el número total de permutaciones que se quieren realizar con k elementos elegidos entre los n elementos del conjunto, sin que estos se repitan, se puede aplicar la fórmula: n! Pkn = , n ≥ k; n, k ∈ . (n – kk)! Mientras que si en los n elementos hay algunos que se repiten, por ejemplo, si uno de ellos se repite p veces, otro q veces, otro r veces y así sucesivamente, el total de permutaciones está dado por: n P(p,q,r,...) =

1.

Calcula el valor de cada permutación. Observa el ejemplo. P46 = a. P5

2.

n! ,coonn p +q+r +... = n p! •• q! r! • ....

6!

6 •• 5 4 •• 3 2 •• 1 6 5 •• 4 3 •• 2 1 = = 6 •• 5 4 • 3= 360 (6 - 4)! 2! 2• 1 =

6

b. P3

c. P46

10

d. P(2 (2, 3, 5)

Resuelve el siguiente problema.

En un curso se quiere escoger a la directiva, compuesta por presidente, tesorero y secretario. Si para esta elección hay 7 estudiantes que se disputan los 3 puestos, ¿Cuántas posibles ordenaciones hay?

256

Unidad 8 • Estadística y probabilidad

3.

Analiza la siguiente información. Luego, responde.

Los experimentos aleatorios se pueden realizar con o sin reposición. Por ejemplo, en una tómbola hay bolitas numeradas desde el 1 hasta el 15. Es posible realizar el experimento: “extraer una bolita, anotar su número y devolverla a la tómbola”. a. ¿Cómo determinarías la probabilidad de que al realizar el experimento dos veces se obtenga la misma bolita? b. ¿Cómo determinarías la probabilidad de que al realizar el experimento 3 veces se obtengan 3 bolitas distintas numeradas con números impares?

Para grabar El número de combinaciones que pueden formarse de k elementos a partir de un conjunto de n elementos está dado por: C =



n!

  k! (n )!

;n∈ ,k ∈

y k n.

• Una combinación es distinta a otra si al menos tiene un elemento distinto. • Una combinación no toma en cuenta el orden de los elementos considerados.

4.

Ejemplo: En el problema de la actividad 2 de la página anterior, si se hubiera pedido determinar la cantidad de grupos distintos que podrían formar la directiva, la respuesta sería 35, ya que:

7  3

7!

7!

3!(7 – 3)! 3! 4!

= 35

Calcula el valor de cada combinatoria. a. C4 = b. C24 = c. C53 = d. C52 =

5.

Resuelve los problemas. Para ello, analiza el siguiente ejemplo.

Si en el problema de la directiva de la página anterior los 7 estudiantes que se disputan los cargos son 4 mujeres y 3 hombres, ¿cuál es la probabilidad de que la directiva esté compuesta por 3 mujeres? Solución: como no importa el orden de las mujeres, sino que sean tres las que compongan el grupo, se debe calcular el número de combinaciones que cumplan con esta condición.  4 4! 4 Luego, = 4 son las posibles combinaciones. Por otra 3 3!(4 )! 3! 1! parte, como son 35 posibles grupos de 3 estudiantes que pueden componer la directiva, se aplica la regla de Laplace y se obtiene que la probabilidad de que 4 11,4% aproximadamente. esté compuesta por 3 mujeres es de 35 a. De una población con 6 elementos, ¿cuántas muestras distintas de 4 elementos se pueden escoger? b. ¿Cuántas palabras de 4 letras, sin que necesariamente tengan sentido, se pueden formar con las letras de la palabra LAPIZ? No puedes repetir letras. c. Para ir a ver una obra de teatro se ordenarán por cada fila 3 hombres y 4 mujeres. ¿Cuál es la probabilidad de que las 4 mujeres no queden separadas? Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

257

evaluación

contenido

resolución

e e

c c

r h

Media aritmética en muestras aleatorias Se tienen todas las estaturas (en metros) de los 3 primeros medios pertenecientes a un colegio, las que se anotan en la siguiente tabla:

1° A 1,70 1,55 1,61 1,70

– – – –

1,66 – 1,66 – 1,63 – 1,65 –

1,55 1,59 1,51 1,55

1° B – 1,56 – 1,60 – 1,71 – 1,48

– – – –

1,71 1,58 1,71 1,66

1,60 – 1,49 – 1,57 – 1,53 –

1,72 – 1,69 – 1,58 – 1,53 –

1,65 1,59 1,51 1,52

1° C – 1,66 – 1,68 – 1,70 – 1,55

– – – –

1,70 1,60 1,61 1,56

1,73 – 1,65 – 1,60 – 1,66 –

1,56 – 1,56 – 1,58 – 1,60 –

1,65 1,59 1,61 1,67

– 1,68 – 1,60 – 1,59 – 1,49

– – – –

1,72 1,59 1,65 1,70

Se seleccionará al azar; sin repetición, una muestra de cada curso. Para ello, se pueden usar diferentes estrategias. Por ejemplo, ocupar papeles o determinar un componente de la muestra cada cierto número de elementos. En este caso, se escogerán las estaturas cada 2 estudiantes. De esta forma, se tienen 3 muestras de tamaño 10. 1° A

1° B

1° C

1,70 – 1,55 – 1,71 – 1,66 – 1,60 1,61 – 1,51 – 1,71 – 1,65 – 1,48

1,72 – 1,66 – 1,49 – 1,59 – 1,60 1,58 – 1,70 – 1,53 – 1,52 – 1,56

1,73 – 1,65 – 1,72 – 1,56 – 1,60 1,60 – 1,61 – 1,65 – 1,60 – 1,49

Al calcular la media aritmética de cada muestra se tiene: 1° A: x

1° B: x

1° C: x

Calcula la media aritmética de los promedios obtenidos por las muestras. Anota una conlusión con respecto a la media aritmética de cada muestra y el promedio de las muestras.

Para grabar Al tener varias muestras pertenecientes a una población, puedes calcular la media aritmética de cada una de estas y posteriormente compararlas con el la media aritmética entre ellas. Esto permite tener una aproximación con respecto al promedio de la población total.

1.

Analiza el ejemplo dado anteriormente. Luego, resuelve. a. Selecciona muestras de tamaño 5 con reposición, para cada curso. Comenta y explica con tus compañeros(as) la estrategia utilizada para seleccionar cada muestra. b. Al calcular la media aritmética de cada muestra se tiene: 1° A: x

1° B: x

1° C: x

c. Calcula la media aritmética de los promedios obtenidos por las muestras. d. Anota una conlusión con respecto a la media aritmética de cada muestra y el promedio de las muestras.

258

Unidad 8 • Estadística y probabilidad

2.

Resuelve los siguientes problemas. a. Si se tiene el conjunto A = {n ∈ , tal que 6 < n < 12} ¿Cuántas muestras de tamaño 2, con y sin reposición, pueden obtenerse? ¿Cuál es la media aritmética de los elementos de A? Si se tiene la siguiente muestra {7; 10; 11} y se calcula su media aritmética, ¿qué puedes concluir con respecto a la media aritmética de la muestra y de A? b. En un curso se obtuvieron las siguientes calificaciones en una prueba de matemática: 7,0 – 6,5 – 6,1 – 4,4 – 3,4 – 5,7 – 5,4 – 7,0 – 2,9 – 5,5 – 6,6 – 6,4 – 4,1 – 4,0 – 3,3 – 3,7 – 5,5 – 6,9 – 6,1 – 5,9 – 3,3 – 6,7 – 7,0 – 5,1 – 5,6 – 6,4 – 6,7 – 4,4 – 7,0 – 3,7 – 5,7 – 6,8 – 6,9 – 5,5 – 6,0 – 4,5 – 3,8 – 3,5 – 4,5 – 5,1 – 5,4 – 5,6. ¿Cuántas muestras de 4 calificaciones, sin reposición, puedes obtener? ¿Cuántas muestras de 7 calificaciones, con reposición, puedes obtener? Escoge 3 muestras de 4 calificaciones sin reposición y calcula la media aritmética de cada una de ellas. Luego, compáralas con la media aritmética del curso y anota 2 conclusiones. c. Los precios de distintos juegos de Play Station III se han registrado en el recuadro. $ 40.990 – $ 39.990 – $ 19.990 – $ 28.990 – $ 45.990 – $ 36.890 – $ 45.980 – $ 29.990 – $ 30.990 $ 31.990 – $ 40.990 – $ 39.990 – $ 29.990 – $ 41.990 – $ 39.990 – $ 35.990 – $ 41.990 – $ 33.990 ¿Cuántas muestras de 5 precios, sin repetición, puedes obtener? ¿Cuántas muestras de 7 precios, con repetición, puedes obtener? Escoge 4 muestras de 5 precios sin reposición y calcula la media aritmética de cada una de ellas. Luego, compáralas con la media aritmética de todos los precios y anota 2 conclusiones. Comenta con tus compañeros.

3.

Analiza la siguiente situación. Luego, responde. Se desean estudiar los distintos tipos de sueldos existentes en una empresa. Para dicho estudio se escogerán muestras de distintos departamentos de la empresa. Se escoge el departamento de finanzas, bodega, contabilidad e informática. En cada uno de estos departamentos trabajan 8 personas. Además, la empresa tiene un personal de 56 empleados distribuidos en 7 departamentos con igual número de trabajadores. Una vez determinada la media aritmética en estos distintos departamentos, se obtuvo lo siguiente: Para completar el estudio se determinó la media aritmética de toda la empresa, resultando: $ 565.750 Con respecto a esta información, responde: a. ¿Crees que la muestra obtenida es representativa? Explica. b. ¿Qué crees que ocurriría si se escogen otras muestras? Fundamenta tu respuesta. c. ¿En qué cambiaría si se consideran todas las muestras posibles de tamaño 7? Explica detalladamente. Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

259

evaluación

contenido

resolución

e e

c c

r h

4.

Analiza la siguiente situación. Luego, responde. A continuación se presentan los puntajes obtenidos por todos los estudiantes de primer año medio de un determinado colegio. El puntaje mínimo es 0 y el máximo, 100 puntos.

10 – 15 – 71 – 84 – 34 – 47 – 54 – 75 – 99 – 100 – 7 – 12 – 21 – 45 – 33 – 72 – 65 – 79 – 68 – 9 – 43 0 – 22 – 33 – 44 – 58 – 67 – 78 – 79 – 87 – 97 – 100 – 9 – 75 – 90 – 45 – 88 – 95 – 75 – 19 – 14 – 96 30 – 55 – 67 – 64 – 74 – 37 – 84 – 90 – 79 – 85 – 46 – 24 – 19 – 50 – 63 – 74 – 5 – 100 – 15 – 89 – 13 37 – 50 – 61 – 86 – 94 – 96 – 14 – 75 – 77 – 67 – 98 – 89 – 85 – 80 – 45 – 78 – 87 – 54 – 16 – 4 – 100 70 – 55 – 1 – 34 – 54 – 87 – 94 – 90 – 99 – 65 – 86 – 95 – 91 – 90 – 83 – 76 – 51 – 89 – 71 – 39 – 30 66 – 78 – 95 – 96 – 100 – 7 – 4 – 79 – 79 – 77 – 88 – 79 – 54 – 90 – 95 – 98 – 95 – 95 – 91 – 94 – 96 70 – 85 – 59 – 44 – 64 – 37 – 74 – 80 – 99 – 15 – 46 – 94 – 31 – 50 – 83 – 87 – 19 – 99 – 91 – 94 – 63 77 – 77 – 89 – 56 – 64 – 67 – 44 – 70 – 37 – 76 – 100 – 69 – 55 – 60 – 45 – 38 – 35 – 56 – 1 – 5 – 56 a. Completa en tu cuaderno las tablas, escogiendo las cantidades de muestras de tamaño 5 pedidas para cada caso. Explica de qué forma seleccionaste los datos para completar cada una de ellas.

Tabla A (sin reposición) Muestra

1

2

3

Tabla B (con reposición) 4

5

Muestra

Puntaje 1

Puntaje 1

Puntaje 2

Puntaje 2

Puntaje 3

Puntaje 3

Puntaje 4

Puntaje 4

Puntaje 5

Puntaje 5

Promedio

Promedio

1

2

3

4

5

b. Calcula la media aritmética del promedio de las muestras. Tabla A

Tabla B

c. ¿Cuál es la media poblacional (promedio de todos los datos)? d. ¿Cuál de las tablas crees que es más representativa? Explica en forma detallada. e. ¿Por qué crees que una de las tablas se aproxima más a la media poblacional? Fundamenta. Anota 2 conclusiones: 1. 2. f. A continuación, en tu cuaderno realiza tablas como las que se mostraron anteriormente. Para ello, debes escoger muestras de tamaño 8, 15 y 20 puntajes. No olvides especificar qué técnica ocupaste para seleccionar los datos y responde las mismas preguntas que aparecen en a, b, c, y d.

Para grabar De un conjunto de datos se pueden extraer distintas muestras, con y sin reemplazo. A su vez, de estas se puede determinar la media aritmética y el promedio asociado a las medias aritméticas. Así, se pueden comparar con el promedio de la población y realizar conclusiones.

260

Unidad 8 • Estadística y probabilidad

5.

Analiza las siguientes situaciones. Luego, responde. a. En un colegio se anota la cantidad de celulares que los estudiantes tienen por curso. Los resultados se resumen en el siguiente recuadro. 40 – 35 – 41 – 34 – 44 – 37 – 44 – 45 – 39 – 30 – 41 – 32 – 31 – 45 – 43 – 32 – 35 – 39 – 38 – 39 – 43 20 – 32 – 33 – 34 – 38 – 37 – 48 – 35 – 27 – 40 – 30 – 29 – 25 – 30 – 45 – 18 – 25 – 25 – 19 – 14 – 26 30 – 45 – 37 – 34 – 14 – 17 – 14 – 39 – 39 – 25 – 16 – 24 – 19 – 30 – 53 – 22 – 15 – 10 – 15 – 29 – 13 Completa en tu cuaderno las tablas, escogiendo las cantidades de muestras de tamaño 3 pedidas para cada caso. Explica de qué forma seleccionaste los datos para completarlas.

¿Cuál es la media aritmética de los promedios en las tablas A y B? En tu cuaderno realiza una tabla parecida a la mostrada anteriormente, pero esta vez utiliza muestras de tamaño 10, 15 y 20. ¿Cuáles son los valores de las medias aritméticas de cada uno de los promedios en las tablas realizadas en tu cuaderno? ¿Qué sucede con los valores de las medias aritméticas a medida que aumenta el tamaño de la muestra? ¿Cuál es la diferencia existente entre los promedios de las medias aritméticas en las tablas realizadas sin repetición y con repetición? b. La tabla muestra la superficie (m2) que se tiene en distintos sectores. 5,48 – 3,85 – 4,91 – 6,34 – 6,44 – 4,37 – 8,44 – 5,45 – 5,39 – 6,30 – 7,49 – 6,77 – 8,39 – 4,75 – 4,93 39,8 – 45,7 – 3,87 – 39,4 – 10,14 – 17,77 – 51,74 – 38,9 – 30,8 – 25,8 – 16,88 – 24,88 – 19,87 – 30,99

¿Cuáles son los valores de las medias aritméticas de cada uno de los promedios en las tablas realizadas en tu cuaderno? ¿Cuál es la diferencia existente entre los promedios de las medias aritméticas en las tablas realizadas sin reposición y con reposición? ¿Qué relación tiene la media poblacional con las medias aritméticas de las muestras? Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

261

e h

c c

resol u

en co n t i do

n de prob ció

r r

¿Qué es crear? Crear consiste en reorganizar la información en un nuevo modelo o estructura, formando un todo coherente o funcional.

as lem

uac eval ión

Trabajo de habilidades

Resolución de problemas 1 Analiza la resolución del siguiente problema. Se desea conocer cuál es la probabilidad de escoger al azar un número de 7 cifras compuesto por los dígitos 0, 1, 3, 5, 7, 8 y 9, con la condición de que el dígito final sea 5 y que no se repitan dígitos.

¿Qué tengo que hacer para crear una estrategia? Comprender el enunciado del problema. Interpretar la información entregada en el problema utilizando la representación.

Etapas de la resolución de problemas. Paso 1: Comprende el enunciado. Paso 2: Planifica lo que vas a realizar.

Paso 1 Comprende el enunciado Identifica y relaciona lo que entiendes de la información entregada. ¿Qué datos son necesarios para resolver el problema? La cantidad total de números que se pueden formar con 7 cifras distintas y la cantidad de números que terminen en 5. ¿Qué información entrega el enunciado del problema? La cantidad de cifras que debe contener el número por escoger y las condiciones de terminar en 5 y estar formado solo por dígitos 0, 1, 3, 5, 7, 8 y 9.

Paso 2 Planifica lo que vas a realizar Crea una estrategia. Primero, se debe considerar que el orden de los dígitos de los números que se formen sí importa, ya que basta con cambiar de posición uno de ellos para obtener otro (1.307.895 ≠ 1.307.985). Además, del enunciado se puede inferir que las cifras de los números deben ser solamente las indicadas y no repetir ninguna. Luego, para determinar el número total de casos favorables y posibles se puede utilizar el principio multiplicativo.

Paso 3 Resuelve el problema

Paso 3: Resuelve el problema. Paso 4: Revisa la solución.

Casos favorables

5

5 5 4 3 2 1 Valor fijo Luego, los casos favorables son 5 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 600. En el primer cuadro no se cuenta el dígito 0. Casos posibles 6 6 5 4 3 2 1 Luego, los casos posibles son 6 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 4.320. Finalmente, aplicando la regla de Laplace, se tiene que la probabilidad de escoger al azar un número de 7 cifras compuesto por los dígitos 0, 1, 3, 600 = 0, 1138. 5, 7, 8 y 9, donde el dígito final sea 5 es 4.320

Paso 4 Revisa la solución Para verificar, también es posible calcular el número de casos favorables resolviendo 5 • P5 = 5 • 5! = 5 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 600. De igual manera, es posible calcular el número de casos posibles resolviendo 6 • P6 = 6 • 6! = 6 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 4.320. Luego, la probabilidad pedida es 600 : 4320 = 0, 1138.

262

Unidad 8 • Estadística y probabilidad

2 Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente. Cinco amigos van al cine. Si de ellos 2 son mujeres, ¿cuál es la probabilidad de que al sentarse en una misma fila queden ubicadas una al lado de la otra?

Paso 1 Comprende el enunciado Identifica y relaciona lo que entiendes de la información entregada. ¿Qué datos son necesarios para resolver el problema?

¿Qué información entrega el enunciado del problema?

Paso 2 Planifica lo que vas a realizar Crea una estrategia.

Paso 3 Resuelve el problema

Paso 4 Revisa la solución

3 Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas. a. Se quiere determinar la probabilidad de obtener un número de 8 cifras distintas considerando los números del 0 al 7, con la condición de que la centena de mil sea el dígito 0. b. De 7 libros, 5 de ellos se colocarán en un estante, uno al lado del otro. ¿De cuántas formas es posible ordenar los 7 libros? Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo

263

n de prob ció

as lem

e

resol u

en co n t i do

uac eval ión

evaluación sumativa

Verificando disco I. Lee atentamente cada una de las preguntas y marca la alternativa correcta. Analiza el siguiente gráfico. Luego, responde las preguntas 1 y 2.

Analiza la siguiente tabla. Luego, responde las preguntas 3 y 4. Estatura de estudiantes de 1° medio

Número de funciones de espectáculos de artes escénicas y otros, por tipo de espectáculos. 2006-2008 6.000

2006

Número de funciones

2007

2008

5.000 4.000 3.000 2.000 1.000 0

Teatro Teatro Ballet Danza Danza Música Ópera Música Circo infantil público moderna folclórica docta popular general

Tipo de espectáculo

Recital Otros de poesía

1 ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA? A. La cantidad de espectáculos en el año 2006 de Ballet es mayor que las de ópera en el mismo año. B. El número de funciones de ópera es menor en todos los años con respecto a otros. C. El número de funciones de música docta en todos los años es menor que el de música popular. D. En el teatro infantil del año 2008 hubo mayor cantidad de espectáculos que en el mismo año con respecto al teatro público general. E. Todas son verdaderas. 2 ¿Cuál(es) de la siguientes afirmaciones es(son) FALSA(S)? I.

El número de funciones de música popular de cada uno de los 3 años se encuentra entre 2.000 y 3.000.

II. Por año, todos los números de funciones de circo fueron menores a 2.000. III. El año 2007 en todas las artes escénicas y otros el número de funciones es menor a los otros 2 años. A. B. C. D. E.

264

Solo I. Solo II. Solo III. Solo I y II. Solo II y III.

Unidad 8 • Estadística y probabilidad

3 ¿Cuál es el valor de A + B – C? A. B. C. D. E.

26 32 62 –62 Ninguna de las anteriores.

4 ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) VERDADERA(S)? I.

La frecuencia relativa correspondiente al intervalo ]1,6; 1,65] es

.

II. f% correspondiente al intervalo ]1,65; 1,7] es %. III. El valor correspondiente a B es mayor que el valor de A y menor que el de C. A. B. C. D. E.

Solo I. Solo II. Solo I y II. Solo I y III. I, II y III.

5 El histograma representa los sueldos de los empleados de una determinada empresa. ¿Cuál es el promedio redondeado a la unidad? A. B. C. D. E.

$ 240.000 $ 204.324 $ 225.135 $ 227.838 Ninguna de las anteriores.

Sueldos de la empresa frecuencia 15 12 8

2 120 180 240 300 360 Sueldo (miles de pesos)

6 Considerando el histograma de la pregunta 5, ¿cuál es la mediana? A. B. C. D. E.

Con la siguiente tabla responde la pregunta 10. Resultados ensayo PSU

$ 127.500 $ 211.500 $ 232.500 $ 236.786 $ 240.000

7 Considerando el histograma de la pregunta 5, ¿Cuál es la moda? A. $ 151.251 B. $ 240.000 C. $ 251.250 D. $ 258.000 E . $ 300.000 8 Con respecto a la siguiente tabla de frecuencias, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) FALSA(S)? Edad del encuestado

10 ¿Qué representa el percentil 45? A. B. C. D. E.

45% obtuvo entre 580 y 600. 45% obtuvo más de 606,31. 45% obtuvo menos de 614,09. 45% obtuvo menos de 624,09. 45% obtuvo menos de 611,04.

11 Si B = {p ∈ / –3 ≤ p