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Edición Pablo Saavedra Rosas Profesor de Matemática y Computación Universidad de Santiago de Chile Magíster en Didáctica de la Matemática Pontificia Universidad Católica de Valparaíso

Cristian Gúmera Valenzuela Licenciado en Ciencias con mención en Matemática Universidad de Chile Magíster (c) en Didáctica de la Matemática Pontificia Universidad Católica de Valparaíso

Autoría Carolina Fernández Pastene Profesora de Matemática y Computación Universidad de Santiago de Chile Magíster en Ciencias de la Educación con mención en Currículum y Evaluación Universidad Mayor

Marcelo Maulén Villar Profesor de Matemática y Computación Universidad de Santiago de Chile Magíster en Didáctica de la Matemática Pontificia Universidad Católica de Valparaíso

El Libro de actividades Matemática 2° Medio – Proyecto Nuevo Explor@ndo para Segundo Año de Educación Media, es una creación del Departamento de Estudios Pedagógicos de Ediciones SM – Chile.

Dirección editorial Prof. Rodolfo Hidalgo Caprile Coordinación editorial Arlette Sandoval Espinoza Edición Pablo Saavedra Rosas Cristian Gúmera Valenzuela Ayudante de edición Jaime Ávila Hidalgo Autoría Carolina Fernández Pastene Marcelo Maulén Villar Desarrollo de solucionario Carla Frigerio Cortés Carolina Troncoso Gómez Corrección de estilo Sara Martínez Labbé Dirección de arte Carmen Gloria Robles Sepúlveda Coordinación de diseño Gabriela de la Fuente Garfias Diseño y diagramación Jennifer Contreras Vilches Diseño de portada José Luis Jorquera Dölz Fotografía Archivo Editorial Jefa de operaciones editoriales Andrea Carrasco Zavala www.ediciones-sm.cl

Este libro corresponde a 2° Medio y ha sido elaborado conforme al Marco Curricular vigente, del Ministerio de Educación de Chile. © 2010 – Ediciones SM Chile S.A. Dirección editorial: Coyancura 2283. Oficina 203. Providencia, Santiago. Impreso en Chile / Printed in Chile ISBN 978-956-264-798-4 / Depósito legal 194.047 Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del Copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.

Matemática El Libro de Actividades Matemática 2° Medio pretende brindarte las posibilidades de practicar y reforzar los principales contenidos que estudiaste en cada unidad del texto y que fueron presentados en distintos contextos para que logres la comprensión de los mismos. También, se propone un desarrollo explícito de habilidades y el desarrollo del pensamiento lógico a través de la resolución de problemas. El objetivo del Libro de Actividades es potenciar la ejercitación de los contenidos, además de ayudar a que te familiarices con el formato de preguntas de la Prueba de Selección Universitaria (PSU), prueba de carácter nacional, que deberás rendir en unos años más. Esta es la propuesta de Ediciones SM, estamos convencidos que este proyecto junto al esfuerzo y dedicación tuyo y al permanente apoyo de tu profesor o profesora serán la clave de un éxito merecido.

ÍNDICE

UNIDAD 1 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 21

Números reales. Aproximación de números irracionales. Raíces cuadradas y raíces cúbicas. Operatoria con raíces cuadradas y raíces cúbicas. Racionalización. Raíz enésima y sus propiedades. Logaritmos. Logaritmo y sus propiedades. Ecuaciones logarítmicas. Operatoria combinada. Cargando disco. Evaluación PSU. Solucionario de Evaluación PSU.

UNIDAD 2 22 24 26 28 30 32 33 37

4

NÚMEROS REALES

EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS

Productos notables y factorización. Expresiones algebraicas fraccionarias. Operatoria de expresiones algebraicas fraccionarias. Operaciones combinadas. Ecuaciones racionales. Cargando disco. Evaluación PSU. Solucionario de Evaluación PSU.

Índice

UNIDAD 3 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 51

Ecuaciones lineales con dos incógnitas. Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Método de sustitución. Método de igualación. Método de reducción. Método de Cramer. Análisis de sistemas: soluciones. Aplicaciones. Cargando disco. Evaluación PSU. Solucionario de Evaluación PSU.

UNIDAD 4 52 54 56 58 60 62 63 67

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

FUNCIONES

Concepto de función. Representación de funciones. Función exponencial y función logarítmica. Función raíz cuadrada. Composición de funciones. Cargando disco. Evaluación PSU. Solucionario de Evaluación PSU.

Nuevo Explor@ndo Matemática

UNIDAD 5 68 70 72 74 76 78 79 83

Semejanza. Modelos a escala y homotecias. Teorema de Thales. División interior y exterior de un trazo. Teorema de Euclides y Pitágoras. Cargando disco. Evaluación PSU. Solucionario de Evaluación PSU.

UNIDAD 6 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 97

SEMEJANZA DE FIGURAS PLANAS

CIRCUNFERENCIA Y ÁNGULOS

Circunferencia y ángulos. Relación entre el ángulo del centro y el ángulo inscrito. Relación entre el ángulo del centro y el ángulo semi-inscrito. Ángulos interiores y ángulos exteriores. Relación entre dos cuerdas. Relación entre dos secantes. Relación entre una secante y una tangente. Cuadriláteros y circunferencia. Cargando disco. Evaluación PSU. Solucionario de Evaluación PSU.

UNIDAD 7 98 100 101 102 103 105 106 107 111

Medidas de dispersión. Muestreo. Muestreo aleatorio sistemático. Muestreo aleatorio estratificado y por conglomerados. Medidas de posición. Comparación de dos o más muestras. Cargando disco. Evaluación PSU. Solucionario de Evaluación PSU.

UNIDAD 8 112 114 116 118 120 122 123 127

ESTADÍSTICA

PROBABILIDAD

Espacio muestral y sucesos. Probabilidad y propiedades. Variable aleatoria. Permutación y combinatoria. Cálculo de probabilidades y conjuntos. Cargando disco. Evaluación PSU. Solucionario de Evaluación PSU.

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

5

Números reales 1.

Clasifica los siguientes números reales entre racionales e irracionales. Para ello, escribe en la casilla racional o irracional según corresponda. a.

2.

11

e. π

b. 2,053245648

f. e

c. 54,121122112221…

g. 3,546546543...

d. π + 3

h. 25,23

Resuelve las siguientes operaciones. a. 2 – 5 3 +8– 2 3

b. 1,2 –

11 1 5 5– + 5 9 2 2

c. 1– 5 2 – 1 3 + 1 2 12 9 3

3.

6

– 2 5 + 4 +2 5 d. ππ

– 3 7 + 4 +2 7 g. 3ππ

e 1 e. 0,3e – 0,5ππ – – 3 2

1 1 – e– h. 0,,6e – ππ 3 2

f.

1 2 e – 0,5 5 – 0,2e – 5 2 9

Resuelve las siguientes ecuaciones.

i.

2–

2 1 + 3 3– 5 2

x– 2

a. 5 + x – 3 =5 – 3

+ 2 =2x +2 + 2 d. 4x – 2ππ g. 3x – 5 = 2x – 5

b. 4x – 7 = 2x – 8

3 1 3 3 – =x– – e. 5x – ππ 4 2 4

h. e + x – 6 = e – 3

c. x – 2 8 = 2x – 8

1 f. x – 0,5ππ =2x – 2

i. 3e + x – 3 = 2e – 3

Unidad 1 • Números reales

51 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Aproximación de números irracionales 1.

Aplica la aproximación a la centésima en cada caso. Para ello, considera 2 ≈ 1,4142; 3 ≈ 1,7321; 5 ≈ 2,2361 y 7 ≈ 2,6458. a. 2 3

Por defecto

Por exceso

Por redondeo

b.

2+ 3

Por defecto

Por exceso

Por redondeo

c.

7 +2 3

Por defecto

Por exceso

Por redondeo

d.

3: 2

Por defecto

Por exceso

Por redondeo

e. 2 2 : 3 Por defecto

Por exceso

Por redondeo

( ) ( )

2.

Analiza la siguiente situación. Luego, responde. Un padre reparte entre sus dos hijos un terreno de la siguiente manera: Al primero le entrega un terreno de forma rectangular cuyo largo es 18 m y cuyo ancho es 12 m, mientras que al segundo le regala un terreno cuyas dimensiones son 15 m de largo y 6 m de ancho. a. ¿Cuál es el área de cada uno de los terrenos que reciben sus hijos? Aproxima por defecto los resultados a la milésima.

b. ¿Cuál es la diferencia entre las áreas de ambos terrenos? Aproxima por exceso el resultado con 5 cifras.

c. ¿Cuál es la suma entre las áreas de los terrenos? Aproxima por redondeo el resultado con 3 cifras.

d. ¿Cuál es el valor de la razón entre sus superficies? Aproxima por redondeo el resultado a la diezmilésima.

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

7

Raíces cuadradas y raíces cúbicas 1.

2.

Compara las siguientes expresiones. Luego, completa con los signos o = según corresponda. a.

6 16 1 2

e. – 5

b.

2

1,4142

f.

2–11 0 0

c.

72

6 2

g.

4

3

8

d.

5 25 2 3

h.

5

3

5

–2 2

i. – 3 j.

4

k. 4 4 l.

4 2

– 3 27 3

64 3

16

3

Resuelve los siguientes problemas. a. Calcula el perímetro de un cuadrado sabiendo que su área es 4 16 cm2 .

b. Calcula la longitud de la arista de un cubo si su volumen es de 8 64 cm3.

c. Los lados de un rectángulo miden 3 3 cm y 4 3 cm, ¿cuál es su perímetro? ¿Cuánto mide su diagonal?

d. Calcula el radio (r) de un cilindro de altura (h) de 16 cm y volumen (V) de 64 cm3 sabiendo que el volumen del cilindro está dado por V = π • r2 • h.

e. Dos barcos abandonan el puerto al mismo tiempo; uno se dirige hacia el Sur y el otro hacia el Este. Horas más tarde, se encuentran a 34 millas uno de otro. Si el barco que viaja hacia el Sur ha recorrido 5 millas. ¿Cuántas millas ha recorrido el otro? Este Puerto

Sur

8

Unidad 1 • Números reales

3

4

5

6

7

8

Operatoria con raíces cuadradas y raíces cúbicas 1.

Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones. d. 2 3 2 + 2 – 2 + 3 2 – 3 2

a. 2 3 – 3 5 + 3 – 2 5

b.

3

5 +2 3 – 4 3 5 – 3

e.

c. 3 3 7 +2 5 – 4 3 7 – 5

f.

3

64 +5 3 –8 – 3 –1

g. 2 3 +

h.

5 33 6 +0,2 5 – 4 3 6 – 5 4

3 2 3–4 3– 3 5 5

1 13 2 +0,5 7 – 7 5 4

i. –

1 13 –8 – 2 2 – 2 – 4 5 2

2. Resuelve las siguientes multiplicaciones y divisiones. 43 4 3 2 a. 3 3 4 ••

b.

(

3

)(

27 : 3 64 •

16 : 9

(

d.

4

)(

1 6 : 4 811 •

)

e.

)

5 3  3 f. 5 1 2 :  12    3

53 b 2 a : 1 53 b c. 3 a ••

3.

(

3

(

4: 1 6

–27 : 2 3 –8 : 16

)

)

2: 4

g.

2

h.

i.

23 8 2 2 : 3 318

3

6 2 31 0

3

2 53 9

•

Resuelve los siguientes problemas. a. Si a la raíz cuadrada de cierto número se le suma una unidad, se obtiene el número 3. ¿Cuál es el resultado de calcular la raíz cúbica del doble del número?

b. Si la diagonal de un cuadrado de lado a mide a 2, calcula la suma de las longitudes de las diagonales de tres cuadrados cuyas áreas son 16 cm2, 81 cm2 y 36 m2.

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

9

Racionalización 1.

Aplica la racionalización a las siguientes expresiones. 2

a.

e.

5

6

b.

7 3

f.

2.

5

1

h.

k.

l.

2 3– 6

2

2 3

6 –1

5 3

9–3 7

1 2+ 3 2

2 3

7+3 2

Aplica la racionalización. Luego, reemplaza los valores de a = 5, b = 2 y c = 6. c

a.

d.

a

b.

b

c.

c 3

a

Unidad 1 • Números reales

a

e.

c

2 c– b

h.

a– b

f.

b b+ b

a

g.

a–1

b

10

j.

7+ 2

6

5

1 3+ 7

g.

9

d.

i.

5– 3

7

c.

9

i.

2c 3

c+3b

5b – c 3

a– 3 b

3

4

5

7

8

Raíz enésima y sus propiedades 1.

Evalúa si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas. Para ello, escribe V o F según corresponda. 2

a.

n

b.

3

4 =4

c.

3

0 =0, para cualquier valor de n.

 3  3 5 i.   = 5    2   2 

2

3

j.

3

42 = 4 2

–4 = 4–3

k.

3

2

d.

4 •• 3= 4 3

l.

3

e.

3+5 = 3 + 5

2 3= 3 6 3 2 3 3 m. 3 6 ••••

5 •• 2= 5 2

n.

x2 • y2 = xy

ñ.

7 4 = 7:2 2

o.

f.

3

g.

h.

2.

4

3

3

5 =5

6–2 = 3 6 – 3 2

2–1=1

3

3

1 3

1 6 = 3+2 1 6 = 51 6

4–5 = 6 4 – 6 5

Resuelve las siguientes operaciones. Para ello, aplica las propiedades de las raíces. a.

200 – 162 =

e. – 12 + 75 =

b.

80 – 3 45 =

f. 2 27 – 300 =

c.

2 +3 18 =

7 –4 1 47 = g. 2 75 – 27

d. 2 48 – 3 =

h.

1 2 +5 75 – 2 1 00 – 3 27 =

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

11

Logaritmos 1.

Calcula el valor de cada logaritmo. a. log5625 =

d. log816 =

b. log279 =

e. log27

c. log 5 1 =

f. log100,001 =

 1 g. log2   =  4   1 h. log3   =  81

1 = 9

9 i. lo og 2   = 4 3 

4

2.

Analiza la siguiente tabla. Luego, complétala. a

loga1

log a

logaa

10 100 0,001 0,01 0,1

3.

Analiza la siguiente información. Luego, responde. La intensidad I de un sismo, medida en la escala de Richter, está dada por la relación: E 2 I= log , donde E es la energía liberada por el terremoto medida en kWh. 0,007 3 a. Si el terremoto de 1906 en San Francisco tuvo una intensidad de 7,5 medida en la escala Richter, ¿cuánta energía E liberó?

b. Si un terremoto tiene una intensidad de 8,9 medida en la escala Richter, ¿cuántas veces es mayor este terremoto que el ocurrido en San Francisco?

12

Unidad 1 • Números reales

2 2

51 1

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Logaritmos y sus propiedades 1.

Evalúa si cada resolución es correcta. Luego, escribe en la casilla correcto o incorrecto según corresponda. 2 3 c. log3 27 –log3 81 a. log5   b. log3 3 5 + log3 52 + log3 1  25  2 1 = log3 33 –log3 34 = log3 5 + log3 5 + 1 = log5 2 –log5 25 3 3 = 3– 4 = log5 2 –log5 52 = log3 5 + 1 = –1 = log5 2 – 2

2.

Analiza la siguiente tabla. Luego, complétala utilizando en cada caso las propiedades de los logaritmos. Expresión

Expresión equivalente

log2 6 + log2 8 7 log2    5  log2 3 4 log 100 100 4 log2 5

3.

Aplica las propiedades de los logaritmos para representar cada expresión como un solo logaritmo. a. log3 2 + log3 0,5 =

 1  1 f. – log2   +log2   =  3   3 

b. log 4 43 – log 4 5 4 =

g. log 5 –log125 + log

2

 8 c. log   + 3log 5 =  3 

d. log2

( 8) –log 10 = 4

2

 1 e. log3 8 + log3   =  8 

25 = 2

2 b h. log a + log aa –log a d = c

(

)

(

)

c i. log a2 –b2 –log(a + b) =

j. log a + log b =

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

13

Ecuaciones logarítmicas 1.

Resuelve las siguientes ecuaciones. 2 a. log5(2x – 1) = 2

b. log x 27=

2.

3 2

e.

2 + log x =2 2 log x

f. log2x –

log2 x log2 8

=4

c. log 100 + log (x – 15) = 2

g. log(log x) = 0

d. 2log x = 3 + log x – log 10

h. log (log (log (x + 10100))) = 1

Analiza la siguiente información. Luego, responde. Las soluciones de diferentes compuestos pueden clasificarse, según el valor del pH, en ácidas, básicas o neutras. El pH de una sustancia se calcula mediante la expresión pH= –log (H+), donde (H+) es su concentración de protones. • Si pH < 7 la solución es ácida. • Si pH = 7 la solución es neutra. • Si pH > 7 la solución es básica. a. Sabiendo que el pH de una sustancia es 5, calcula su concentración de protones.

b. Sabiendo que la concentración de protones de una sustancia es 10–2, ¿cómo se clasifica según su pH?

c. ¿Cuáles deben ser las concentraciones de protones para que una sustancia sea ácida, neutra y básica?

14

Unidad 1 • Números reales

2 2

51 1

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Operatoria combinada 1.

Resuelve las siguientes operaciones. 1 a. 2log 4 64 + log2 27 – log5 125 3

1 log 8+ log2 32 3 6

f.

1 2 log e + log e –ln e + ln e 3 3

g.

b. 4 log3 9+

c.

e. 2 3 + 3 64 – log 4 64 –

1 3 2

log 10 log 10 –1 + log 10.000 ln e

3log 100 log6 3+log6 2 : 9 + log2 8 log 1 4 2

d. 5log 10+3log 10–ln e + log 10

2.

h.

2log 20 –log 5 1 3log 100

Resuelve los siguientes problemas. a. ¿Cómo clasificarías el siguiente triángulo?

(3In e + 2log 10) cm log216 cm

3

27 cm

b. ¿Cuál es su área? ¿Y cuál es su perímetro?

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

15

Cargando disco Analiza el siguiente ejemplo de pregunta PSU.

¿Cuál es la medida de la diagonal del cuadrado ABCD? (1) Su área es 16 cm2.

A

D

B

C

(2) Uno de sus lados mide 4 cm.

A. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola. C. Ambas juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) ó (2). E. Se requiere información adicional.

• Para dar respuesta a esta pregunta, primero se debe analizar cada una de las proposiciones por separado y determinar si entregan suficiente información por sí solas. Al analizar la condición (1), se tiene que: Si el área de un cuadrado es 16 cm2, entonces es posible determinar cuánto mide cada lado, considerando que el área de un cuadrado corresponde al cuadrado de la longitud de su lado. Si a es la longitud de su lado, entonces: a2 = 1 6

/

a= ± 16 a= ± 4 Como a representa la longitud de un segmento, este no puede adquirir un valor menor que cero, luego a = 4 cm. Ahora, aplicando el teorema de Pitágoras se puede verificar que la medida de la diagonal d es igual a 4 2 cm. Por lo tanto, es posible determinar el valor de la diagonal del cuadrado utilizando la condición (1). Con esto se puede descartar las alternativas: B, (2) por sí sola; C, ambas juntas, (1) y (2); y E, se requiere información adicional. Luego, al analizar la condición (2), inmediatamente se puede determinar el valor de la diagonal del cuadrado, dada por la fórmula d= a 2. Como a = 4 cm, entonces la diagonal es 4 2 cm. Por lo tanto, también es posible determinar el valor de la diagonal del cuadrado utilizando la condición (2). De esta manera, se puede concluir que la alternativa correcta es D, cada una por sí sola, (1) ó (2).

16

Unidad 1 • Números reales

eval ión uac

c o n t i do en

resol u

c c

r r

ulo

ser

e e

n de prob ció

same l

en c o n t i do

1 1

as lem

uac eval ión

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Evaluación PSU

ció n de prob

Lee atentamente y marca la alternativa correcta. 1 De las siguientes expresiones, ¿cuál corresponde a un número irracional? A. B. C. D. E.

0,12 3,1415 1,474899 0,11111111… 5,675667563…

2 ¿En qué caso los números están ordenados de menor a mayor? A. B. C. D. E.

2 2, 3, π, φ, 7. 2 2, π, φ, 7, 3. φ, 3, π, 2 2 , 7. φ, 3, 7, 2 2, π. π, φ, 3, 2 2, 7.

3 ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. El número e es irracional. II. Todo número decimal infinito es un número irracional. III. Todo número irracional se puede escribir de cociente entre números enteros. A. B. C. D. E.

Solo I. Solo II. Solo III. Solo II y III. Solo I y III.

4 ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? A. B. C. D. E.

⊂ ⊂ ⊂ ∩= ∩=

5 ¿Cuál es, por exceso, la aproximación a la décima de 12 cm? A. B. C. D. E.

3 3,3 3,4 3,5 3,6

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

17

c c

eval ión uac

c o n t i do en

r r

ulo

ser

resol u

e e

n de prob ció

Evaluación PSU

same l

en c o n t i do

as lem

uac eval ión

ció n de prob

6 ¿Cuál es, por defecto, la aproximación a la décima de 5? A. B. C. D. E.

2 2,2 2,3 2,4 2,23

7 ¿Qué caso(s) muestra(n) números que tienen raíces cuadradas exactas? I. 36, 267, 361 II. 144, 188, 289 III. 121, 169, 324 A. B. C. D. E.

Solo I. Solo II. Solo III. Solo I y II. Solo I y III.

8 ¿Cuál(es) de las siguientes situaciones se puede(n) resolver utilizando una raíz cúbica? I. Calcular la medida de la diagonal de un cuadrado de lado 1 cm. II. Calcular la medida de la arista de un estanque cúbico cuya capacidad es 10 m3. III. Calcular la cantidad de pintura que se necesita para pintar un estanque cúbico de 2.000 L. A. B. C. D. E.

Solo I. Solo II. Solo III. SoIo I y II. Solo II y III.

9 ¿Cuál es la solución de la ecuación 12 + 6x – 1 = 4? A. 3 B. 4 3 C. 2 5 D. 2 17 E. 6 10 ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a A. –1 B.

4

C. 7 – 2 12 D. –7 – 12 E. – 7 – 2 1 2

18

Unidad 2 • Expresiones algebraicas fraccionarias

3+ 4 3– 4

?

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

 1  6 – b12 ? 11 ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a    4 b–6 A. b B. b2 C. b2 – b D. b(b – 1) E. b( b– b) 12 ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a la adición

8 8

Evaluación PSU

1 1

1 log a+log b? 2

A. log a b B. log b a C. log a+b 1 D. log ab 2 ab E. log 2 13 Si loga(x – 1) = 3, ¿cuál es el valor de a? 1 2–3 (2) log3 x = 2 (1) x – 1 =

A. B. C. D. E.

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.

14 ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?  1 log 2 • log   0  3  I.

III. log 10 • log 4 =2log 2 A. B. C. D. E.

Solo I. Solo II. Solo III. Solo I y III. Solo II y III.

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

19

e e

c c

eval ión uac

c o n t i do en

Evaluación PSU

n de prob ció

r r

ulo

same l

ser

resol u

en c o n t i do

as lem

uac eval ión

ció n de prob

15 Según cierto modelo poblacional, la cantidad de bacterias a los t minutos está dada por P(t) = 3 • 2t. ¿Cuántos minutos deben pasar para que la población tenga 3.000 bacterias? A. 3 • 23.000 3 B. log 2 log 2 C. 3 3+log 3 D. 6 1 E. log 2–1 3 E 2 , 16 Sabiendo que la intensidad I de un sismo, medida en la escala de Richter, está dada por la relación: I= log 0,007 3 donde E es la energía liberada por el terremoto medida en kWh. ¿Cuál es la intensidad que libera 7 kWh de energía? A. –3 2 B. 3 3 C. 2 D. 2 E. 7 1 17 ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a 3log 2 8 + log 2 9 – log6 216? 2 A. log23 B. 3 + log23 C. 6 + log23 9 +log2 3 2 1 E. +log2 9 2 D.

18 ¿Cuál es el valor de logba + logbd? –3

 1 (1)   = a • d  b  (2) a + d = 2 y b–1 = A. B. C. D. E.

20

1 2

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.

Unidad 2 • Expresiones algebraicas fraccionarias

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Solucionario de Evaluación PSU Contenido

Número de pregunta

Habilidad

1

Recordar

2

Recordar

3

Comprender

4

Recordar

5

Aplicar

6

Aplicar

7

Comprender

8

Analizar

9

Aplicar

10

Aplicar

11

Aplicar

12

Aplicar

13

Evaluar

14

Analizar

15

Analizar

16

Aplicar

17

Aplicar

18

Evaluar

Clave

Nivel de logro

Números reales

Raíces

6

5

Logaritmos

7

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

21

Productos notables y factorización 1.

Calcula los siguientes productos notables.

a. (x + 3)2 =

i. (m2 + 3)(m2 + 8) =

b. (x – 5)2 =

j. (2m5 – 2)(2m5 – 7) =

c. (–2x2 + 3)2 =

 p  p  k.  – 5 + 4 =  2  2 

2

 x  d.  – 2 =  2 

l. (b – 4)(b + 4) =

2

2.

 3a b  e.  –  =  4 3 

m. (3m + 4y)(3m – 4y) =

f. (x – 2)(x – 1) =

 2y  2y  n.  + 1 – 1 =  3  3 

g. (a – 3)(a + 5) =

 m n  m n  ñ.  –  +  =  2 3  2 3 

h. (3 + f)(–4 + f) =

 3k 10 q2  3k 10 q2    o.  2 –  2 +  =  p 2  p 2

Aplica productos notables para calcular la expresión que representa el área (A) de cada figura. (a + 2b) cm

a.

c. (x2 + 5) cm

(a + 2b) cm

(x2 – 5) cm

A=

A=

b.

d. (q + 5) cm (q – 5) cm (2p – 3) cm

(p + 3) cm (q – 5) cm (2p – 3) cm (p – 4) cm

A=

22

Unidad 2 • Expresiones algebraicas fraccionarias

(q + 7) cm A=

1 1

3.

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Aplica algún tipo de factorización en las siguientes expresiones algebraicas. a. 3x2 – 9x =

j. a2 – 2a + 1 =

b. 6a3b3 + 27a2b6 – 9a3b2c3 =

k. –15 – 2p + p2 =

9 6x6 3 3 – x y + x 4 y2 = 25 35 10

l. p4 – 2p2q + q2 =

c.

d. –6xy + 2xz + 3y – z =

m. 4a2 + 4ab + b2 =

e. 3xyz – 6xy – yz + 2y2 + 2y2z =

n. 2m2 – 5m – 3 =

f. x2 – 9 =

ñ. 3p2 – 10p + 3 =

x2 25 – = 4 9 m10 h. 1– = 81

o. 1 – p3 =

g.

p.

1 +27a3 = 8

q. x6 – 8p9 =

i. x2 + 7x + 10 =

4.

2 2

Analiza el ejemplo y luego factoriza las siguientes expresiones.

x3 + x2 – 2x = x(x2 + x – 2) = x(x + 2)(x – 1) a. a4 + 7a3 + 10a2 =

f. p3q – 9p2q + 18pq =

b. 2x3 + 10x2 + 12x =

g. m4 – n4 =

c. 3p2 – 12 =

h. a2 + 2ab + b2 – c2 =

d.

9c2 1 – = 4 16

e. 6a4 – 48ab3 =

5.

i.

x 4 y6 – = 3 3

j. 6x2 – 3x – 3 =

Resuelve los siguientes problemas. a. Si el área de un rectángulo es (x2 + 4x – 12) cm2, ¿cuál es la medida de sus lados? ¿Y cuál es su perímetro?

 4x2 – 16x + 15  2  m . ¿Qué expresiones representan las medidas de su base y su altura? b. El área de un triángulo es    2

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

23

Expresiones algebraicas fraccionarias 1.

Calcula el valor numérico de cada una de las siguientes fracciones algebraicas. a.

2m2 – 3 d. , para m = –2 y n = 0. 3–n

p–2 , para p = –1. 4 –p2

p2 – q2 +r2 1 e. , para p=q=– y r = 2. pqr 2

2ab2 b. , para a = –1, b = 2 y c = –2. 3c

c.

2.

b.

c.

24

f.

m3 – 8p3 1 , para m=– y p = –1. m– 2p 3

Calcula el(los) valor(es) para el(los) que la fracción algebraica se anula y para el(los) cual(es) estas fracciones están definidas. a.

3.

ab – 3a , para a = 3 y b = –2. a+2b

x–1 x –5 Se anula para

.

Se anula para

.

Está definida para

.

Está definida para

.

d.

3–p –3

e.

2a – 1 1 – 3a

p2 – 7p + 12 p–9

Se anula para

.

Se anula para

.

Está definida para

.

Está definida para

.

( x – 1)( x – 2) x (x +2)

f.

a+b a–b

Se anula para

.

Se anula para

.

Está definida para

.

Está definida para

.

Clasifica las siguientes expresiones algebraicas fraccionarias en mayores, menores o iguales que cero. Para ello, considera los datos entregados. a.

–2 + x con x < 0. x

c.

x –3 1 con x < . 0,5 – x 2

b.

5 con x > 5. x–5

d.

x2 con x < 1. x–1

Unidad 2 • Expresiones algebraicas fraccionarias

1 1

4.

6.

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Analiza las igualdades y determina la expresión por la que se amplificó la expresión de la izquierda para obtener la de la derecha. a.

2xy2 x2y3 = 4x5 2x6y

d.

p – q p2 – 2pq+q2 = p +q p2 – q2

b.

q + 1 pq – q2 + p – q = p3 – p2q p2

e.

x 3 + y3 x+y = 3 2 x x – x y + xy2

f.

m– 3 m3 – 4m2 +3m = 1–m –m3 +2m2 –m

c. 4(xx – y)=

5.

2 2

4x2 – 4y2 ( x + y)

Aplica la simplificación para reducir las siguientes expresiones algebraicas fraccionarias. a.

2x – 2 = x–1

f.

x2 + xy + y2 = x 3 – y3

b.

a–b = b–a

g.

m4 – 1 = m4 – 2m2 + 1

c.

3x +6 = 2 x –x –6

h.

2m3 – 8m = m4 – 16

d.

xz – xw + yz – yw = x2 +2xy + y2

i.

2pm– 6p = 9(pm) – 36p2m+36p2

e.

pq+p = 2 2q +5q+3

j.

a2 +2ab +b2 – c2 = ad– af +bd–bf + cd– cf

2

Aplica las propiedades de potencias y las de raíces para simplificar las siguientes expresiones fraccionarias algebraicas. a.

b.

c.

(pq2 )3 = p2q3

e.

(p +q)15 :(p +q)3 = p2 +2pq+q2

f.

(a2 +3a– 18)2 = (a2 – 9)2

g.

2

(aa – 9) 2

  d.  a+b   a–b 

3

b5c10

3

b2c7 3

a2

=

=

3

a a3

3

p2q : 3 p2q2 3

=

p3q

– –2

 a–b   = :   a+b 

h.

–2 x – 2 y

(

2

x+ y

)(

y– x

)

=

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

25

Operatoria de expresiones algebraicas fraccionarias 1.

Aplica la factorización y simplificación para calcular las siguientes multiplicaciones de fracciones algebraicas. a.

2x2 –6xy2z • = 9xy 4x2

e.

2b2 + 10b + 12 b2 +b – 2 • = 2b + 4 2b2 – 8

b.

mp2 6n2p –m •• = 4np5 mn n2p

f.

p4 – q4 2p2 +2q2 = • p4 +2p2q2 +q4 p2 – q2

c.

d.

( x - y) x+y • 2 = 2x +2yy x – 2xy + y2 x – 2xy + a2 –b2 a2 – 9b2 • = 3a+9b b – a 2

2.

g.

h.

a2b3 a3 – ab2 a – ab

2x2 – x – 1 x2 – 2x + 1 = • 3x – 3 x2 – 1

2

Aplica la factorización y simplificación para calcular las siguientes divisiones de fracciones algebraicas. 2a2b –2ab a. 2 3 : 5 = a b 3a

6m2 +m– 2 6m– 3 = : e. 3 9m2 + 12m+ 4

x – 2 2x2 – 8 = : b. 12 3 12 3 2a– 4 2–a : 2 = c. a– 1 2a + 4a – 6

m2p3 –mp p2 : = f. 2m– 2 2m2 – 4m+2

2

d.

3.

a+b a2 – ab = a b a +b a b a +b

•• 2 2 4 3

2 3

4m22 – 4m– 3 4m22 + 4m+ 4m – 4m– 3 4m + 4m+ 1 = : g. 4m+2 4   2 2  (a+ c): a +2ac + c  :(a– c)= h.    a2 – c2 

p2 +2p p2 – 4 = : p–2 2p2

6m2 +m– 2 6m Analiza la siguiente situación y luego responde.  2   h+2    cm y  2  cm, ¿cuál es su área? a. Si los lados de un rectángulo miden   h – 4   2h+6 

b. ¿Qué fracción algebraica al ser dividida por

x –2 resulta (x2 – 4)? x +2

 x2 – 1  2x – 4    cm respectivamente, ¿cuál es su área?  c. Si la altura y la base de un triángulo son  cm y   x – 2   x – 1 

26

Unidad 2 • Expresiones algebraicas fraccionarias

1 1

4.

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Aplica los procedimientos adecuados para calcular las siguientes adiciones y sustracciones de fracciones algebraicas. a.

1 + a= a

g. 3a–

b.

3 n – 2= 5 4np 2p

h.

c.

1 q – 2= 4q 2q

i.

d.

m 1 + 2 = m – 4 m – 4m+ 4

f.

a– 1 1 + = 1 – a a+ 1

p–1 2 2p + 4 + 2 – = 2p p +2p p

x y z – + = yz xz xy x +2 x – 2 x +2 x – 2 +2 – 2x = j. x – 2 x +2

2

2 3m 2m– 3 2 3m 2m– 3 = – – k. m+ 1 m+ 1 m + 1

x x –2 x – + 2 = e. x–1 x+1 x –1

5.

2 2

–2 a + 2 = 2 a –b a – 2ab +b2

l.

2

a–b a– 2b 2a – 2 + = 2a– 4b a – 2ab a

Resuelve los siguientes problemas. a. La suma de dos expresiones algebraicas es

a3 +2 2 . Si uno de los sumandos es 2 , ¿cuál es el otro? 2 a a

b. Al restar dos fracciones algebraicas se obtiene

a2 – 2a–1 a– 1 . Si el minuendo es , ¿cuál es el sustraendo? 2 a+ 1 a –1

c. Al restar dos fracciones algebraicas se obtiene

p3 – q 1 . Si el sustraendo es , ¿cuál es el minuendo? 2 pq pq

x2 d. Si el área de un rectángulo está dado por la fracción algebraica 3 3 cm2; y el área de otro, por la fracción x –y x–y cm2, ¿cuál es la diferencia entre sus áreas? 2 2 x + xy + y

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

27

Operaciones combinadas 1.

Resuelve las siguientes operaciones combinadas.

a. a + 1 (a2b+3a2 )= a x+2  x+2

e.

 1   x– 1 1– :   x2   x 

1 x

=

b a

b.

x+2 • x–2

c. 1–

  

(x

2

–4):

x+2  = x 

1

= a+ 1 a a a+1

a a a+1 a2 : – = d. a–1 a 1–a2

28

Unidad 2 • Expresiones algebraicas fraccionarias

b–a a b f. a2 –b2 = a 1 1–p

g.

1 1–p + – ( p + 2)) : (p2 + 4)= p p–1 p+1 2(p + 2p + 1) p–3

p+1 2(p2 + 2p + 1) p–3 – = h. p–3 : p+1 p2 –9

1 1

2.

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Analiza la siguiente resolución y reconoce, en el caso de que los haya, los errores que aparezcan. Escribe la resolución correcta. xy2 – 9x zy +3z – 2 xy – 8xy + 15x zy +5z x(y2 – 9) z(y +3) – y – 5 y – 3 z(y +5) ()() ()() y +3 y – 3 z(y +3) – = ()() y – 5 y – 3 z(y +5)

El o los errores son:

=

Resolución correcta:

y +3 y +3 – y – 5 y +5 y +3– y +3 = 2 y – 25 6 = 2 y – 25

=

3.

Resuelve los siguientes problemas. a. El promedio de tres números naturales consecutivos, donde el menor es b + 1, se multiplica por el inverso multiplicativo del número central. Por último, al resultado se le resta el inverso multiplicativo del número mayor. ¿Qué expresión se obtiene?

b. El largo de un rectángulo excede en 3 cm a su ancho, que es x cm. Si el largo se aumenta en 4 cm y el ancho disminuye a la mitad, ¿cuál es la diferencia entre el área del rectángulo resultante y el original?

c. A un número p se le aumenta en la diferencia entre este y su inverso multiplicativo. ¿Cuál es la expresión reducida que representa esta situación?

d. Sea a ∈ , ¿qué expresión reducida se obtiene al dividir el número a disminuido en una unidad y el número a disminuido en su cuadrado?

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

29

Ecuaciones racionales 1.

Resuelve las siguientes ecuaciones. a. 2 –

3 =2 3– x

f.

1 1 2 – = a x ax

x=

b.

x=

1 1 2 – = 2– 3x 2x x

g.

1 2 1 – =3– 4x ax 2a

x=

c.

x=

3 x –2 – 2= x+1 x+1

h.

1 3 + a=– x–a x–a

x=

x=

d. 2 –

1 3 = x –2 2–x

i.

a–b 2a–b =3 – 2x x

x=

x=

e.

2 1 3 = 2 + x–2 x +1 x –x –2

j.

p 1 p–1 – = x 2x x2

x=

2.

Analiza cada ecuación y calcula los valores que no puede tomar la incógnita en cada caso. a.

1 3 = x x –2

b. 2 –

c.

30

x=

x x = x –3 x –1

1 1 – 2= 1 – 2x 2x – 1

Unidad 2 • Expresiones algebraicas fraccionarias

d.

e.

3x x = x + 3 3x + 5 1 1

=0 1 x x 2 2 a–1 f. = 2 2 – x–a x+a x –a x–

1 1

3.

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Evalúa la siguiente resolución e identifica el o los errores que en ella se cometan. Luego, escribe la resolución correcta. 1 a+ 1 2 = 2 2 – ax – 1 ax + 1 a x – 1

/ • (ax – 1)(ax + 1)

El o los errores son:

2( ax + 1)–( a+ 1)(ax – 1)= 1 2ax +2 – a2x – a+ ax – 1= 1 3ax – a2x – a+ 1= 1

/ – 1+ a

Resolución correcta:

3ax – a2x = a x(3a– a2 )= a a x= (3a– a2 ) a x= a(3– a)

/ :(3a– a2 )

x =3– a

4.

Resuelve los siguientes problemas. a. Una llave llena un estanque en 2 horas y otra lo hace en 5 horas. ¿Cuántos minutos demoran estas dos llaves juntas en llenar el estanque?

b. Si x = 3 es solución de la ecuación

x – 1 2x 1 – = , ¿cuál es el valor de a? a a2 a

c. El denominador de una fracción es mayor en 4 unidades que su numerador. Si el numerador de la fracción se multiplica por 2 y el denominador se aumenta en una unidad, resulta el neutro multiplicativo en los números enteros. ¿Cuál es la fracción?

d. Si el doble de un número aumentado en 3 unidades se divide por el mismo número aumentado en 2 unidades, resulta el cociente entre el doble del número y su antecesor. ¿Cuál es la mitad del número original?

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

31

Cargando disco Analiza el siguiente ejemplo de pregunta PSU.

Si x ≠ 3, y ≠ –1 y z ≠ 1, ¿cuál es el valor numérico de la expresión

z 2x – 6 y + 1 ? – + 9– 3x 2 + 2y z – 1

(1) x = 2 e y = 1. (2) z = 3. A. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola. C. Ambas juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) ó (2). E. Se requiere información adicional.

• Para dar respuesta a esta pregunta, primero se debe analizar cada una de las proposiciones por separado y determinar si entregan suficiente información por sí solas. Al analizar la condición (1), se tiene que: Se pueden calcular los valores de las dos primeras fracciones, pero falta el valor de la tercera fracción algebraica, por lo que se debe descartar la alternativa A, (1) por sí sola. Además, también se debe descartar la alternativa D, cada una por sí sola. Luego, al analizar la condición (2), se tiene que: Se puede calcular el valor de la tercera fracción algebraica al reemplazar, en esta, el valor de z = 3. Al aplicar procedimientos algebraicos, es posible calcular el valor de la expresión planteada: z 2x – 6 y + 1 – + 9– 3x 2 +2y z – 1 3 y+1 2(x – 3) – + = 3(3– x) 2(1+ y) 3–– 1 y+1 3 2 •• (–1) (3– x) – + 2(y + 1) 2 3 • () 3– x 2 1 3 =– + – 3 2 2 5 =– 3

=

Con lo anterior, se puede afirmar que la alternativa correcta es B, (2) por sí sola.

32

Unidad 2 • Expresiones algebraicas fraccionarias

c c

eval ión uac

c o n t i do en

r r

ulo

ser

resol u

e e

n de prob ció

same l

en c o n t i do

1 1

as lem

uac eval ión

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Evaluación PSU

ció n de prob

Lee atentamente y marca la alternativa correcta. 1 Al calcular el producto entre (x + 3) y (x – 2), ¿qué resultado se obtiene? A. B. C. D. E.

x2 – 6 x2 – x – 6 x2 + x – 6 x2 – x + 6 x2 + x + 6

2 ¿Por qué expresión se debe multiplicar (x + 4) para que el producto sea x2 – x – 20? A. B. C. D. E.

5x x+5 x–5 5–x 5+x

3 ¿Entre cuáles de las siguientes multiplicaciones se obtienen productos iguales? I. II. III. IV. A. B. C. D. E.

(x – a)(x – b) (a – x)(b – x) (x + a)(b – x) (x – a)(b + x)

Solo entre I y II. Solo entre I y III. Solo entre II y IV Solo entre I, II y III. En todas se obtiene el mismo producto.

 1  1 4 ¿Cuál es el producto de la multiplicación  p + 3 p – 3 ?   2   2 1 2 A. p – 6 1 4 2 B. p2 – 6 4 1 C. p2 – 9 4 1 D. p2 – 9 2 1 E. p2 +9 4 5 ¿Qué resulta al factorizar la expresión 4ac – 2ad + 2bc – bd – 4c + 2d? A. B. C. D. E.

(2a – b – 2)(2c – d) (2a + b + 2)(2c – d) (2a + b – 2)(2c + d) (2a – b + 2)(2c – d) (2a + b – 2)(2c – d) Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

33

c c

eval ión uac

c o n t i do en

r r

ulo

ser

resol u

e e

n de prob ció

Evaluación PSU

same l

en c o n t i do

as lem

uac eval ión

ció n de prob

6 Si el área de un cuadrado es (4x4 – 4x2y + y2) cm2, ¿cuál es su perímetro? A. B. C. D. E.

(2x2 – y) cm (2x2 + y) cm (4x2 – 2y) cm (8x2 – 4y) cm (8x4 – 4y2) cm

7 ¿Cuáles son las expresiones algebraicas que representan la base y la altura de un triángulo? (1) Su área es (x2 – 1) cm2. (2) La razón entre la base y la altura es 3. A. B. C. D. E.

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.

8 Sean n = 2 y m = –1, ¿cuál es el valor de la fracción algebraica A. B. C. D. E.

–4 –2 –1 4 21

9 ¿Para qué valores de q la fracción A. B. C. D. E.

0 y 3. 1 y 3. 0, 1 y 3. 0, –1 y 3. 0, 1 y –3.

q+ 1 es indefinida? q – 2q2 – 3q 3

10 ¿Para qué valores de a la sustracción A. B. C. D. E.

(n– 1)(n+ 2) ? mn–m+ 2n– 2

Para a ∈  – {–3}. Para a ∈  – {6, 3}. Para a ∈  – {6, –3}. Para a ∈  – {–6, 3}. Para a ∈  – {–6, –3}.

a+ 2 1 está definida? – a+ 3 a2 – 3a– 18

11 ¿Cuál de las siguientes expresiones resulta de la sustracción de la pregunta anterior? A. B. C. D. E.

34

–8 ( a + 3)( a – 6) –4 ( a + 3)( a – 6) 2a – 8 (a + 3)(a – 6) 2a – 8 ( a – 3)( a + 6) 2a + 8 ( a – 3)( a + 6)

Unidad 2 • Expresiones algebraicas fraccionarias

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

2a+ 1 2 para obtener 2 ? 12 ¿Qué expresión se debe sumar a la fracción a– 1 a –1 1 A. 1– a2 B.

1 a +1

C.

1 a –1

D.

2 a –1

E.

2 1– a2

8 8

Evaluación PSU

1 1

2

2

2

1 , ¿cuál es el resultado? 13 Si se multiplica el recíproco de a3 + 4a2 + 4a por el recíproco de 2 2a + 4a 1 A. a B.

1 a+ 1

C.

1 a+2

D.

2 a+2

E.

2 a+ 4

x3 – 8 x2 + 2x + 4 para que resulte ? 14 ¿Por qué expresión se debe dividir 2 x–2 x –4 x +2 A. x–1 B.

x+1 x –2

C.

2–x x –2

D.

x +2 x –2

E.

x –2 x +2 2

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

35

eval ión uac

c o n t i do en

resol u

c c

r r

ulo

ser

e e

n de prob ció

Evaluación PSU

same l

en c o n t i do

as lem

uac eval ión

ció n de prob

15 ¿Qué expresión se obtiene al resolver 2 + A. 1 B. –1 3a+ 2 C. 2a– 1 5a–2 D. 2a– 1 3a–2 E. 2a+ 1

1 1 2– a

?

1 16 ¿Cuál es la solución de la ecuación x– =–(2–x)? x 1 A. – 2 1 B. – 3 C. 0 1 3 1 E. 2 17 El numerador de una fracción es 3 unidades mayor que su denominador. Si al numerador se le suman 3 unidades y el 3 denominador se divide por 2, resulta el recíproco de . ¿Cuál es la fracción? 10 3 A. 2 4 B. 7 7 C. 4 3 D. 10 12 E. 9 1 a– 1 a ? 18 ¿Cuál es la solución de la ecuación – 2 = x –b x + a x + ax –bx – ab a2 A. b a2 + 1 B. b 1 – a2 C. b 2 a +1 D. a E. Ninguna de las anteriores. D.

36

Unidad 2 • Expresiones algebraicas fraccionarias

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Solucionario de Evaluación PSU Contenido

Productos notables, factorización y expresiones algebraicas fraccionarias

Operatoria de expresiones algebraicas fraccionarias

Ecuaciones racionales

Número de pregunta

Habilidad

1

Recordar

2

Recordar

3

Analizar

4

Aplicar

5

Aplicar

6

Aplicar

7

Analizar

8

Aplicar

9

Aplicar

10

Aplicar

11

Aplicar

12

Aplicar

13

Aplicar

14

Aplicar

15

Aplicar

16

Aplicar

17

Aplicar

Clave

Nivel de logro

10

5

3 18

Aplicar

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

37

Ecuaciones lineales con dos incógnitas 1.

Analiza cada ecuación. Luego, escríbela de la forma y = ax + b. a. 3x + 4y = 6

d. 3x + 2y = 0 3 e. 2x + y =6 4 1 5 3 f. x+ y= 4 6 2

b. 6x + 8y = 10 c.

2.

3.

x y + =1 3 6

Analiza cada ecuación. Luego, escríbela de la forma ax + by = c, con a, b y c ∈ . a. y = 5x + 3

x d. y =– +5 2

1 2 b. y = x – 3 6

e. x = 3y – 8

y c. x =– +3 4

3 2 f. x = y – 5 4

Representa cada situación con una ecuación lineal de dos incógnitas. a. El doble de un número disminuido en el triple de otro número resulta –3. b. Los perímetros de dos circunferencias están en la razón 3 : 4. c. Se ha cancelado $ 5.300 con monedas de $ 500 y $ 100. d. Un número más el doble de otro es el triple del primero disminuido en dos. e. El sucesor de un número equivale al doble del antecesor de otro.

4.

Analiza cada ecuación lineal con dos incógnitas. Luego, completa la tabla. b.

a. 2x – 8y = 4 xy

(x, y)

x 2 + y =0 4 3

x 1 c. y = – 2 4

xy

( , 5) 4

–1

–3 –2

3 3  ,  2

1 – 5

1 2 (1, )

Unidad 3 • Sistemas de ecuaciones lineales

(x, y)

0

3

38

xy

1,6

2

–

(x, y)

2 3

0,3

  

1 1

2 2

4 4

3 3

5 5

6 6

7 7

8 8

Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas 1.

Identifica en cada sistema de ecuaciones si P es solución. Para ello, marca Sí o No según corresponda. a. 2x – y =–1 2x + y =5 Sí

b.

1 x – y =–2 2 x + y =5

Sí

2.

P(1, 3)

c. 6x – y =–18 3x – y =–9 Sí

No

2 d. 3x + 4y =2 7 x –y= 2 4

P(3, 2)

Sí

No

No

 5 P4,   2 

No

Analiza cada sistema de ecuaciones y determina el valor de k para que tenga infinitas soluciones. a. 3x – y =–2 6x +ky = 4

1 c. x 3y – =– 2 3 4 y 1 kx + = 2 3

b. 6x – 2y = 4 y kx + = 4 2

k=

3.

P(–3, 0)

k=

k=

Representa gráficamente la solución de cada sistema de ecuaciones. Para ello, grafica las rectas correspondientes e identifica el punto de intersección entre ellos. b. 3x +6y =6 2x +2y = 10

a. 2x +3y =–2 2x + y =5 Y

Y

X

X

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

39

Método de sustitución 1.

Detecta el error en el siguiente procedimiento. Luego, responde. Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales: (1)

x + 2y = 10 (2) 3x + 4y = 20

• Al despejar x de la ecuación (1), resulta: x + 2y = 10 ⇒ x = 10 + 2y. • Luego, reemplazando x = 10 + 2y en la ecuación (2) y despejando y, se obtiene: (2)

3x + 4y = 20 3(10+ 2y)+ 4y =20 30+ 2y + 4y =20 30+6y =20 6y =– 10 ⇒ y =–

10 5 =– 3 6

 5 5 • Finalmente, reemplazando y =– en la ecuación (1), resulta: x + 2–  = 10 3  3  x = 10 –

10 20 = 3 3

• ¿Cuál es la solución del sistema?

2.

Aplica el método de sustitución para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones. Luego, escribe la solución en la casilla. a. 3x + 4y =6 x – y =9 b.

3.

1 3 x–y= 2 4 6x + 4y =0

c. 8x – 6y =–10 2x + y =–9 d.

2 3 6x +2y = 1 x –3y=

e. x + y =7 x – 2y =–2 f.

Resuelve el siguiente problema. La suma de dos números es 30 y su diferencia es 6. ¿Cuáles son los números?

40

Unidad 3 • Sistemas de ecuaciones lineales

3x + y =–3 10x –12y =–10

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Método de igualación 1.

Detecta el error en el siguiente procedimiento. Luego, responde. Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales: (1) x – 2y = 5 (2) x + 3y = 20 • Despejando la incógnita x en ambas ecuaciones, se tiene que: (1) x = 5+ 2y (2) x= 10– 3y • Igualando ambas expresiones, se obtiene: 5+ 2y = 10+ 3y 5 – 10= 3y – 2y –5= y • Reemplazando y = –5 en la ecuación (1), resulta: x – 2 • (–5) = 5 x – 10= 5 x = 15 • ¿Cuál es la solución del sistema?

2.

Aplica el método de igualación para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones. Luego, escribe la solución en la casilla. a. 2x – y =6 3x + y =9 b.

3.

y 3 x+ =1 2 4 4x – y =–2

c. 2x +3y =6 3 x + y = 10 d.

x 2 3 – y= 6 3 2 x +2y =8

e. 2x +5y =–9 4x – 3y =–5 f.

2–x 3y–1 =–2 + 6 3 x y – =6 2 4

Resuelve el siguiente problema. Una persona tiene $ 5.800 en monedas de $ 100 y $ 500. Si en total tiene 18 monedas, ¿cuántas monedas de $ 100 y de $ 500 tiene?

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

41

Método de reducción 1.

Detecta el error en el siguiente procedimiento. Luego, responde. Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales: (1) 4x – 8y = 12 (2) –6x + 5y = 10 • Si se multiplica por 3 la ecuación (1) y por 2 la ecuación (2), se tiene que: (2) –6x + 5y = 10 / • 2 (1) 4x –8y = 12 / • 3 –12x + 10y = 10 12x + 24y = 36 • Luego, si se suman las ecuaciones obtenidas en el paso anterior y se despeja la incógnita y, resulta: 12x – 24y = 12 + – 12x + 10y = 10 22 11 14y = 22 ⇒ y = = 14 7 11 • Al reemplazar y = en la ecuación (2), resulta: 7 11 4x – 8x = 12 7 88 4x = 12 + 7 688 172 :4= x= 7 7

• ¿Cuál es la solución del sistema?

2.

Aplica el método de reducción para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones. Luego, escribe la solución en la casilla. x+4 6+y c. =2 + b. 5(x – 8)=3(x – y) a. 4x – 9y =33 3 2 3x + 12y =6 5(y – 8) = 3(x – y) x–4 6–y =2 + 3 2

3.

Resuelve el siguiente problema. Amanda compró en una tienda 5 lápices y 2 cuadernos por $ 2.900. Javiera compró en la misma tienda 6 lápices y 3 cuadernos por $ 4.050. ¿Cuánto valen los lápices y los cuadernos en la tienda?

42

Unidad 3 • Sistemas de ecuaciones lineales

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Método de Cramer 1.

Detecta el error en el siguiente procedimiento. Luego, responde. Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales: (1) 4x – 3y =–8 (2) y + 2x =6 Entonces, se tiene que:   ΔX = deet  8 3  6 2

  ΔA= det  4 –3  =8 + 3= 11  1 2  Entonces, se tiene que: x =

 ΔY = det  4 8  1 6

  = 16 – 18= 2 

  = 24 – 8= 16 

11 11 ey= . 16 2

• ¿Cuál es la solución del sistema de ecuaciones?

2.

Aplica el método de Cramer para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones. Luego, escribe la solución en la casilla. a. 5y – 2x =5 5y – 8x = 10

d. (2 – x) – 4(y – 8) = 3(y +2) (2 – x) – (y – 8) = 3(x +2)

b. 4(x – 8) + (6 – y) = 5 (y – 8) + 2(6 – x) = 5

e.

c.

2(x – 3) – (2 – y) = –5 –2(2 – y) + 2(6 – x) = –5

f.

y 1 = 2 3 x 2y 4 = + 3 3 3 x–

x y 1 – = 3 2 2 2y 2 = x– 3 3

g.

4(x – 8) = 3(6 – y) 3(x + 4) + 4(y – 8) = 14

h.

i.

1 x 3 – y=– 5 5 5 7y 2 5 = x– 5 3 3

x – y = –4 3  1 1 0,5x –  = y –  3  2

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

43

Análisis de sistemas: soluciones 1.

Analiza cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones. Luego, escribe en la casilla si tiene una única solución, infinitas soluciones o no tiene solución. c.

b. 3x + 8y = 5

d. 2(x – 8) = 3(y – 9)

6y – 16y = 10

2.

3.

x 2y =1 + 3 2 3x y 3 + = 8 2 4

a. 12x – 16y = 18 18x + 24y = 27

e.

f.

2(y – 8) = 3(x – 9)

x + 3 6 – 2y =3 + 8 4 y x– =1 2

x+4 y+2 3 = + 4 6 12 3x+2 3y+2 5 = + 2 4 6

Evalúa si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Luego, escribe V o F según corresponda. a.

Si ΔX ≠ ΔY ≠ ΔA, entonces es un sistema con solución única.

b.

Si ΔX = ΔY = ΔA = 0, entonces el sistema tiene infinitas soluciones.

c.

Si en un sistema de ecuaciones ΔX y ΔY son cero, entonces no tiene solución.

d.

Si 3 rectas en el plano se intersectan en un punto, entonces estas pueden representar las ecuaciones de un sistema compatible determinado.

e.

Para que un sistema de ecuaciones sea compatible indeterminado, a lo menos 2 determinantes deben ser cero.

Analiza los siguientes gráficos. Luego, responde. Gráfico 2 Y

Gráfico 1 Y

–1

Gráfico 3 Y

2

2

2

1

1

1

0

1

2

3

4

–1

X

–1

0 –1

1

2

3

X

–1

0

1

2

3

X

–1

a. ¿Cuál de los gráficos representa un sistema de ecuaciones con una solución? ¿Y cuál un sistema con infinitas soluciones? Justifica. b. ¿Es cierto que el gráfico 2 no tiene solución? Justifica.

44

Unidad 3 • Sistemas de ecuaciones lineales

1

6

3

7

8

Aplicaciones 1.

Resuelve los siguientes problemas. a. Si la suma de dos números es 17 y la diferencia entre triple del primero y la mitad del segundo es 23, ¿cuáles son los números?

b. Si en un corral hay conejos y gallinas, que en conjunto suman 36 ojos y 110 patas, ¿cuántos animales hay?

c. Al sumar los dígitos que componen un número de dos cifras resulta 12. Si se invierten los dígitos del número, este aumenta en 54 unidades. ¿Cuál es la unidad del número?

d. La suma de dos números es 27. Si al primero de ellos se le suman 5 unidades y al segundo se le restan 5 unidades, se obtiene que el primero es el doble del segundo. ¿Cuáles son los números?

e. ¿Cuáles son las medidas en grados de los ángulos dibujados en el siguiente triángulo rectángulo?

x + 2y

x

3x + 2y + 20

f. ¿Cuáles son las medidas en grados de los ángulos interiores del siguiente paralelógramo? 3y + 20

10y + 6x

4x + 30

12x + 7y

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

45

Cargando disco Analiza el siguiente ejemplo de pregunta PSU.

En el sistema ax +by = e , los valores de a, b, c, d, e y f son todos distintos de cero si: cx + dy = f (1) ΔX ≠ ΔY ≠ 0 (2) a ≠ b ≠ c ≠ d ≠ e ≠ f A. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola. C. Ambas juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) ó (2). E. Se requiere información adicional.

• Para dar respuesta a esta pregunta, primero se debe analizar cada una de las proposiciones por separado y determinar si entregan suficiente información por sí solas. Al analizar la condición (1), se tiene que: Si ΔX ≠ ΔY ≠ 0, para que el sistema sea compatible determinado se necesita que ΔA sea distinto de cero, ya que de lo contrario el sistema no tendría solución. Por lo tanto, la proposición (1) no es suficiente, y se descartan las alternativas A, (1) por sí sola, y D, cada una por sí sola, (1) ó (2). Ahora, al analizar la condición (2) se tiene que: Si se considera que a ≠ b ≠ c ≠ d ≠ e ≠ f, no se obtienen suficientes datos, ya que no hay mayor información de estos coeficientes para responder la pregunta. Luego, si se consideran ambas condiciones válidas, (1) y (2), se tiene que: La condición (1) no era suficiente debido a que no aseguraba que ΔA fuese distinto a cero y, con la segunda proposición, no se puede asegurar que ΔA sea distinto a cero. Por lo tanto, ambas condiciones juntas no son suficientes para asegurar que el sistema es compatible determinado. Finalmente, la alternativa correcta es E, se requiere información adicional.

46

Unidad 3 • Sistemas de ecuaciones lineales

eval ión uac

c o n t i do en

resol u

c c

r r

ulo

ser

e e

n de prob ció

same l

en c o n t i do

1 1

as lem

uac eval ión

2 2

5 5

6 6

7 7

8 8

Evaluación PSU

ció n de prob

Lee atentamente y marca la alternativa correcta. 1 Respecto a la siguiente expresión: “Se cancelan $ 38.000 con billetes de $ 10.000 y $ 1.000”, ¿cuál de las siguientes ecuaciones la representa? A. B. C. D. E.

10.000x + 1.000y 38.000 + 10.000x + 1.000y 38.000 – 10.000x + 1.000y 38.000 = 10.000x + 1.000y 10.000x = 38.000 + 1.000y

2 Respecto a la expresión: “La diferencia del tiempo que demora un automóvil, en comparación con otro, en reconocer un trayecto equivale a la octava parte del tiempo del auto más rápido”, ¿cuál de las siguientes ecuaciones representa esta situación? y y D. x – y = A. x = 8 8 x B. x – y = 8x E. x – y = 8 C. x – y = 8y 3 ¿Cuál de los siguientes puntos del plano cartesiano es solución de la ecuación 3x – 5y = 8? A. (1, 1) B. (2, 6) C. (6, 2)

D. (–9, 7) E. (–7, –9)

4 En el sistema 3x –my = 9 , ¿qué valores deben tener respectivamente m y n para que la solución del sistema sea (1, –3)? nx + 4y =– 11 A. 2 y 1. D. –2 y –1. B. 1 y –3. E. 4 y –23. C. –2 y 1. 5 Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas están representadas en el siguiente gráfico. ¿Cuál de los siguientes puntos es solución del sistema que estas ecuaciones forman? 8

Y

7 6 5 4 3 2 1 –7 –6 –5 –4 –3 –2

A. B. C. D. E.

–1 0

1

2

3

X

(0, 0) (–3, 4) (–2, 4) (–4, 4) (4, –3)

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

47

c c

eval ión uac

c o n t i do en

r r

ulo

ser

resol u

e e

n de prob ció

Evaluación PSU

same l

en c o n t i do

as lem

uac eval ión

ció n de prob

6 ¿Cuántas gallinas y cuántos conejos hay en un corral si entre todos suman 40 cabezas y 130 patas? A. B. C. D. E.

5 gallinas y 35 conejos. 25 gallinas y 15 conejos. 10 gallinas y 30 conejos. 15 gallinas y 25 conejos. 30 gallinas y 10 conejos.

7 Las edades de dos hermanos están en la razón 4 : 5. Si hace dos años el menor tenía 26 años, ¿cuántos años tenía el mayor cuando su hermano menor nació? A. B. C. D. E.

Un año. Cuatro años. Cinco años. Siete años. Nueve años.

8 En un curso hay 45 estudiantes. Si el doble de los alumnos sobrepasa en 10 estudiantes al doble de las alumnas, ¿cuántas mujeres hay en el curso? A. B. C. D. E.

15 20 25 30 35

9 ¿Cuál es el punto de intersección entre las rectas que representan las ecuaciones 3x – 2y = –8 y 8y + 2x = 4? A. B. C. D. E.

(3, 2) (3, 0) (1, –2) (–2, 1) (2, –1)

10 Para que el sistema de ecuaciones formado por 6x + 8y = 10 y la ecuación –12x – ky = –20 tenga infinitas soluciones, ¿qué valor debe tener k? A. B. C. D. E.

8 12 –12 –16 Cualquier valor real.

11 A una función de cine asistieron 850 personas. Si la entrada tenía un valor de $ 2.800 para los adultos y $ 2.200 para los niños, ¿cuántos niños asistieron a la función? A. B. C. D. E.

48

350 niños. 400 niños. 450 niños. 500 niños. No se puede determinar.

Unidad 3 • Sistemas de ecuaciones lineales

2 2

5 5

6 6

7 7

12 En un garaje hay 55 autos de dos y cuatro puertas. Si en total se cuentan 160 puertas, ¿cuántos autos de 4 puertas hay? A. B. C. D. E.

15 25 30 35 No se puede determinar.

13 Respecto del sistema a+b=6 , ¿cuál es el valor de b? 1 2 A. 1 = a 3 B. 3 C. 9 1 D. 3 9 E. 2

8 8

Evaluación PSU

1 1

14 Si 3x – 4= y , entonces ¿cuál es el valor de x – y? 2x + y = 11 A. B. C. D. E.

–2 2 18 34 Ninguna de los anteriores.

15 Dado el sistema x + y = 7a+ 3b , ¿cuál es el valor de y? x – y = 7a– 3b A. 0 B. 3b C. 6b D. 7a E. 14a 16 ¿Cuál es el valor de ΔA en el sistema 5y – 8x = 3 ? 3x – 4y = 9 A. –44 B. –17 C. –4 D. 17 E. 44 17 Respecto del sistema A. B. C. D. E.

3 12 13 24 36

x = 12 , ¿cuál es el valor de x? y x + y = 39

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

49

c c

eval ión uac

c o n t i do en

r r

ulo

ser

resol u

e e

n de prob ció

Evaluación PSU

same l

en c o n t i do

as lem

uac eval ión

ció n de prob

18 Según el siguiente gráfico, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? Y 3 2 1

–1

0

1

2

3

X

I. ΔX = 2 II. ΔY = 2 III. ΔA ≠ 0 A. B. C. D. E.

Solo I. Solo II. Solo III. Solo I y III. Solo II y III.

19 Según el sistema de ecuaciones (1) ΔX = 10 (2) ΔY = 0 A. B. C. D. E.

x– y=a , ¿cuáles son los valores de a y b? 4x + y =b

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.

ax – y=x–6 , ¿cuál es el valor de a? 20 Respecto del siguiente sistema 2 y (1) x = 6 x– =3 3 (2) y = 9 A. B. C. D. E.

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.

21 Si al sumar dos números impares consecutivos resulta 8, ¿cuál es el producto de estos números? A. B. C. D. E.

50

–30 –15 15 18 30

Unidad 3 • Sistemas de ecuaciones lineales

1 1

2 2

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Solucionario de Evaluación PSU Contenido

Ecuaciones lineales con dos incógnitas

Número de pregunta

Habilidad

1

Comprender

2

Comprender

Clave

Nivel de logro

3

Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

3

Aplicar

4

Recordar

5

Recordar

6

Aplicar

7

Aplicar

8

Aplicar

9

Aplicar

10

Aplicar

11

Aplicar

12

Aplicar

13

Aplicar

14

Aplicar

15

Aplicar

16

Aplicar

17

Aplicar

18

Evaluar

19

Analizar

20

Analizar

21

Aplicar

18

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

51

Concepto de función 1.

Identifica si los siguientes diagramas sagitales representan una función. Para ello, escribe en la casilla Sí o No según corresponda y justifica tu respuesta. f g A B C D a. c.

b.

¬2

2

1

¬1

3

2

0

0

3

1

1

4

E

j

8 4 2 6

2.

d.

F

0,25 0,125

p

G

5

¬1

2

2

3

¬2

7

1

4

0

H 0 1 2 3

Calcula el valor de cada expresión. Para ello, considera f:  → , g:  → 0, h:  → , donde: f(x) = 2x + 1, g(x) = ⏐x⏐ x  1    h(x)=   . y  2  1 h(3)+ f(4)– 1= 4 f(6)–h(0) f(6)–h(0) = e. 3

a. f(5) + h(0) =

d.

b. –2g(–5) – f(5) = c. 2f(6) – h(–3) + g(0) =

3.

0,5

f. g(–7) •

2f(1)–h(–1) = g(2)

Resuelve los siguientes problemas. a. Sea h:  – {1} →  con: h(x) =

a , ¿qué valor tiene a si h(2) = 4? x–1

b. Sea p:  →  con: p(x) = mx2 + x – n. Calcula el valor de n y de m si p(1) = –1 y p(–3) =19.

52

Unidad 4 • Funciones

1 1

4.

3 3

54 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Analiza cada función. Luego, responde. a. Si f(x) =

2x – 1 , ¿cuál es el dominio de la función f? 4

b. Si k: A ⊆  →  con k(x) =

2x

, ¿cuál es el dominio de k? 3x – 1

c. Si j: M ⊆  →  con j(x) = 1 –

2x – 1 1–

5.

2 2

, ¿cuál es dominio de j? ¿Y cuál es la preimagen de 10?

2 3x – 1

Analiza la siguiente información. Luego, resuelve. Para determinar el recorrido de una función, se puede despejar la variable x y luego analizar para qué valores de y la expresión resultante no está definida. Por ejemplo: Dada f(x) =

x +2 x–1

, y asignando y = f(x), se despeja la variable x: y=

x +2

/ • (x – 1)

x–1

y • (x – 1) = x + 2 xy – y = x + 2 /+y–x xy – x = y + 2 x(y – 1) = y + 2 y+2 x= y–1 La expresión resultante no está definida para y = 1, por lo que Rec(f) =  – {1}.

Si h(x) =

x x –3

, ¿cuál es el recorrido de h?

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

53

Representación de funciones 1.

Representa gráficamente las siguientes funciones. c. g(x) = x2 – 2 (g definida en ).

a. f(x) = 3x – 1 (f definida en ). Y

Y

X

b. h(x)=

x3 2

X

(h definida en ).

d. j(x)=

1 2x

(j definida en ).

Y

Y

X

2.

X

Analiza las siguientes tablas de valores y define una función que los relacione. a. f:  → 

b. g:  → 

c. h: 0 → 

d. j:  → 

x

f(x)

x

g(x)

x

h(x)

x

1 2 3 4

3 6 9 12

0 1 2 3

–3 –1 1 3

2 3 4 5

4 9 16 25

2 3 4

f(x) =

3.

g(x) =

Analiza el siguiente diagrama sagital y representa la función descrita en el plano cartesiano.

h(x) =

A –2 0 2 4 6

54

Unidad 4 • Funciones

f

B –1 4 5 6

j(x) 1 2 1 3 0,25

j(x) =

Y

X

1

4.

3

4

8

Analiza cada gráfico e identifica los que representan una función. Para ello, marca Sí o No según corresponda. a.

5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1–1

b.

Y

5 4 3 2 1

1 2 3 4 5

–5 –4 –3 –2 –1–1 –2 –3 –4 –5

X

–3 –4 –5

Sí

5.

2

No

Sí

c.

Y

1 2 3 4 5

5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1–1 –2 –3 –4 –5

X

No

d.

Y

1 2 3 4 5

X

Sí

5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1–1 –2 –3 –4 –5

No

Sí

Y

1 2 3 4 5

X

No

Calcula el valor de cada expresión. Para ello, analiza el gráfico de la función. 5

Y

a. f(–4) + f(0) =

4

c.

f(–5) • f(0) = –f(4)+f(–4)

3 1 –5 –4 –3 –2

–1

–1

1

2

3

4

5

X

b. 2f(4) – 3f(2) =

–2 –3 –4

6.

Analiza la siguiente información. Luego, responde. El siguiente gráfico muestra la relación entre la nota obtenida y el porcentaje de respuestas correctas calculadas a una escala de notas al 60%. En esta escala el 60% de logro en una prueba corresponde a una nota 4,0; así, si se obtiene el 100% de logro, la nota corresponde a un 7,0. Relación entre el porcentaje de logro y la nota Nota 7,0 6,0 5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Porcentaje de logro (%)

a. ¿Qué nota aproximadamente corresponde al 86% de logro?

b. Si en una prueba de 20 preguntas un estudiante responde correctamente 15 de ellas, ¿qué nota le corresponde aproximadamente?

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

55

Función exponencial y función logarítmica 1.

Analiza los siguientes gráficos de las funciones de la forma f(x) = ax. Luego, escribe el valor de a correspondiente. a.

c.

Y

Y

3

3

2

2

a=

1

a=

1

X

X

0 –3

–2

b.

0

–1

1

–3

–2

d.

Y

1

Y

3

3

2

2

a=

1

–1

a=

1

X

X 0

0 –1

1

2

–1

3

2.

1

2

3

–1

–1

Representa en el plano cartesiano las siguientes funciones. b. g(x) = log0,5 x

a. f(x) = log3 x Y

Y

X

3.

Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales. 2x

x–1

a. 125 = 5

56

X

Unidad 4 • Funciones

2m – 1

b. 8

m+2

=4

c. 10

p–1 2

= 0,1

1

4.

4

5

Calcula el valor de la incógnita en cada una de las siguientes ecuaciones logarítmicas. b. log(log2x) = 0

a. log(2x – 2) = 2

5.

3

c. log3x – log3(x – 1) = 2

Evalúa si cada afirmación es verdadera o falsa, para ello escribe V o F según corresponda. a. La función f(x) = loga x es decreciente si a < 0. b. Los gráficos de las funciones de la forma f(x) = loga x intersectan al eje X en el punto (1, 0). c. Los gráficos de la funciones de la forma f(x) = ax son siempre crecientes. d. El recorrido de la función f(x) = ax + 1 con a > 1 corresponde al conjunto ]1, +∞ [.

6.

Analiza cada función y resuelve. a. Grafica las funciones f(x) = 2x y g(x) = log2 x en el plano cartesiano. Y

X

x

 1 b. Grafica las funcionesh(x)=   y k(x)=log 1 x en el plano cartesiano.  3  3 Y

X

c. Respecto de los gráficos de las funciones anteriores, ¿cuál de ellas es creciente?

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

57

Función raíz cuadrada 1.

Representa en el plano cartesiano las siguientes funciones. b. g(x)=– x –

a. f(x)= x + 3 Y

1 4

Y

X

2.

Analiza cada función y calcula sus dominios y recorridos. a. f(x)= x – 1

1 e. p(x)= – x 3

Dom(h) =

Dom(p) =

Rec(f) =

Rec(h) =

Rec(p) =

d. q(x)= =– x

f. j(x)= 2x –

Dom(g) =

Dom(q) =

Dom(j) =

Rec(g) =

Rec(q) =

Rec(j) =

1 2

Resuelve las siguientes ecuaciones. a.

58

c. h(x)= 3 + x – 1

Dom(f) =

b. g(x)= 2x + 3

3.

X

x + 1–5 =4

Unidad 4 • Funciones

b. 2 x – 4 + 6 = 0

c.

1 3

x –3 +5=6

2

4.

3

4

6

8

Analiza las funciones que se indican, grafícalas y luego responde. Y

+ • f: 0 →  f(x) = x2

• g: +0 →  g(x)= x • h:  →  h(x) = x X

a. ¿Para qué valor(es) de x se cumple que f(x) = g(x) = h(x)?

b. ¿Para qué valores de x , h(x) < g(x)? ¿Y para cuáles h(x) > g(x)?

c. ¿Para qué valores de x, g(x) < f(x)? ¿Y para cuáles g(x) > f(x)?

5.

Resuelve los siguientes problemas. a. Si el perímetro de un cuadrado mide 16a2 cm, ¿cuál es la medida de su diagonal?

b. En el triángulo rectángulo de la figura, el cateto AC mide 6 cm. Si el cateto BC aumenta su tamaño, ¿cuál es la función que relaciona la medida x del cateto BC con la medida correspondiente a su hipotenusa? A

C

Realiza aquí tus cálculos:

B

B

B

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

59

Composición de funciones 1.

Analiza cada una de las siguientes funciones. Luego, determina en cada caso el dominio y el recorrido de las 1 composiciones de funciones. Considera las funciones f(x) = x2, g(x) = 3x + 1 y h(x) = . x a. Sea g o f: A ⊆  → . c. Sea f o g: A ⊆  → . e. Sea f o h: A ⊆  → . Dom(g o f) =

Dom(f o g) =

Dom(f o h) =

Rec(g o f) =

Rec(f o g) =

Rec(f o h) =

b. Sea g o h: A ⊆  → .

2.

60

d. Sea h o g: A ⊆  → .

f. Sea h o f: A ⊆  → .

Dom(g o h) =

Dom(h o g) =

Dom(h o f) =

Rec(g o h) =

Rec(h o g) =

Rec(h o f) =

Calcula los valores pedidos en cada caso. Considera las funciones f(x) = x2 + 2x, g(x) = x – 3 y h(x) = –x.

a. (f o g)(–2) =

  2  d. gf  =   3 

g. (g o f)(–3) + (f o g)(–3) =

b. (g o h)(2) =

   1   e. hfg  =      2 

h. 2(g o h(–5)) – h(f(–2)) =

c. h(f(0)) =

f. h o (g o f (–1)) =

i.

Unidad 4 • Funciones

1    1  hg  – g 3 = 2    3 

()

1

3.

4.

3

4

5

x Representa algebraicamente cada composición de funciones. Para ello, considera las funciones f(x) = –2x, g(x) = y 2 h(x) = x2. a. (f o g)(x) =

d. (f o g o h)(x) =

b. (g o f)(x) =

e. (g o h)(–x) =

c. (g o g)(x) =

 1 f. (h o g) =  x 

Representa en el plano cartesiano las siguientes funciones. Para ello, considera las funciones f(x) = 5x, g(x) = 5x y h(x) = log5 x. a. (f o g)(x)

c. (h o g)(x) Y

Y

X

b. (f o h)(x)

X

d. (g o h)(x) Y

Y

X

X

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

61

Cargando disco Analiza el siguiente ejemplo de pregunta PSU.

Sea f(x) = loga(b • x), es posible determinar la preimagen de 5 si: (1) a = 3 (2) loga b = 2 A. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola. C. Ambas juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) ó (2). E. Se requiere información adicional.

• Para dar respuesta a esta pregunta, primero se debe analizar cada una de las proposiciones por separado y determinar si entregan suficiente información por sí solas. Al analizar la condición (1), se tiene que: Al reemplazar a = 3 y f(x) = 5 en la expresión que representa f, resulta: 5 = log3(b • x). Con lo que no se puede determinar el valor de x, que corresponde a la preimagen de 5, ya que se desconoce el valor de b. Entonces, se descartan las alternativas A, (1) por sí sola, y D, cada una por sí sola, (1) ó (2). Luego, al analizar la condición (2), se tiene que: Al aplicar la propiedad de los logaritmos: logp(m • n) = logpm + logpn, se tiene que f(x) = loga(b • x) = logab + logax, y como logab = 2, resulta que: 5 = 2 + logax Aun así, no se puede determinar el valor de la preimagen x, ya que se desconoce el valor de a. Por lo que se descarta la alternativa B, (2) por sí sola. Por último, al considerar las dos condiciones, (1) y (2), se tiene que: Al aplicar la propiedad de los logaritmos: logp (m • n) = logpm + logpn, resulta f(x) = loga(b • x) = logab + logax, y como logab = 2, por la condición (2), resulta que: 5 = 2 + logax Además, se sabe por la condición (1) a = 3, entonces: 5 = 2 + logax 3 = log3x ⇒ x = 33 = 27

/ –2

De esta manera, con ambas condiciones, (1) y (2), se puede calcular la preimagen de 5 respecto a la función propuesta. Por lo tanto, la alternativa correcta es C, ambas juntas, (1) y (2).

62

Unidad 4 • Funciones

c c

eval ión uac

c o n t i do en

resol u

e e

n de prob ció

r r

ulo

same l

ser

en c o n t i do

1 1

as lem

uac eval ión

2 2

3 3

5 5

54 4

6 6

7 7

8 8

Evaluación PSU

ció n de prob

Lee atentamente y marca la alternativa correcta. 1 ¿Cuál de los siguientes diagramas sagitales no representa una función? A.

I

k

2 0 3

B.

A –2 –3 –1 1

j

J

C.

C

f

D

E.

G

h

H

–1

–2

–2

3

–6

–2

1

–3

–3

9

–3

6

–1

4

0

–5

–1

2

5

3

B

D.

E

2 0 3 4 5

g

F

0

–1

3

–2

4

–3

5

–5

2 Sea la función f(x) = x2 – 1, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. f(4) = f(–4) II. La imagen de –3 es –10. III. La preimagen de –1 es 0. A. B. C. D. E.

Solo I. Solo II. Solo I y III. Solo II y III. I, II y III.

3 ¿Cuál es el dominio de la función g(x) =

2x 3x – 2

?

A.  – {0}

2  B.  –     3   3  C.  –    2   3  D.  –  –   2   2  E.  –  –   3 

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

63

e

c

n de prob ció

Evaluación PSU

e

resol u

en c o n t i do

as lem

uac eval ión

4 ¿Cuál es el recorrido de la función h(x)=

1– x ? 3x – 2

A.  – {0}  2  B.  –    3   1  C.  – –   3   2  D. + –    3   1  E. + –    3 

Y

4

5 ¿Cuál es la función representada en el siguiente gráfico? A. B. C. D. E.

2

f(x) = x g(x) = 2x h(x) = 1 – x p(x) = x + 1 j(x) = x2 – 1

–4

–2

2

4

X

–2

6 La función f está representada en el siguiente gráfico. ¿Cuál es el valor de 2 A. 5 8 B. 15 8 C. 15 2 D. –5 5 E. Ninguna de las anteriores.

2f(–2) + f(2) 3f(5)

5

?

Y

4 2 1 –4 –3 –2

–1

–1

1

2

3

4

5

X

–2

7 ¿Cuál de los siguientes gráficos no representa una función? A.

C.

Y

X

X

B.

D.

Y

X

64

Unidad 4 • Funciones

E

Y

Y

X

Y

X

2 2

3 3

5 5

54 4

6 6

7 7

8 Respecto de la función f(x) = log0,2 x, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. La función es creciente. II. El dominio de f es . III. El recorrido de f es . A. B. C. D. E.

Solo I. Solo II. Solo III. Solo I y II. I, II, III.

9 ¿Cuál(es) de los siguientes gráficos representa(n) una función exponencial? I.

II.

Y

5

III.

Y

5

8 8

Evaluación PSU

1 1

Y

2

1 0 0 –5

A. B. C. D. E.

0

5

X

–5

0

–1

0 0

5

X

1

2

3

X

–1

Solo I. Solo III. Solo I y II. Solo III y III. I, II, III.

10 En la ecuación exponencial 4x + 2 = 2x – 1, ¿cuál es el valor de la incógnita x? A. B. C. D. E.

–5 –3 –1 3 5

11 En la ecuación logarítmica log(log(log(x – 1))) = 0, ¿cuál es el valor de la incógnita x? A. B. C. D. E.

1010 10.000 103 + 1 1010 – 1 1010 + 1

12 Respecto a la función exponencial f(x) = ax (a > 0), ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? A. B. C. D. E.

No está definida para x = 0. Si x1 < x2, entonces f(x1) > f(x2). Es decreciente si a < 0. El gráfico intersecta al eje Y en el punto (0, 1). Tiene como recorrido el conjunto de los números reales. Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

65

c c

eval ión uac

c o n t i do en

r r

ulo

ser

resol u

e e

Evaluación PSU

n de prob ció

same l

en c o n t i do

as lem

uac eval ión

ció n de prob

13 La gráfica de la función f(x) = c • ax es creciente si: (1) c < 0 (2) 0 < a < 1 A. B. C. D. E.

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.

14 Respecto de la función f(x) = x – 1, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. f(1) = 0 II. f es creciente. III. Su dominio corresponde al conjunto {x ∈  / x ≥ 1}. A. B. C. D. E.

Solo I. Solo II. Solo III. Solo I y III. I, II y III.

15 Para la ecuación A. B. C. D. E.

2x + 1 5

= 1, ¿cuál es el valor de la incógnita x?

–12 –5 2 5 12

16 Sean f(x) = x + 2 y g(x) = x2 + 2, ¿cuál es el valor de (f o g)(–1)? A. B. C. D. E.

–5 –3 3 5 Ninguna de las anteriores.

17 Sean f(x) = x2 y g(x) = x , ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es falsa(s)? I. (g o f)(4) = 8 II. (g o f)(x) tiene como dominio . III. (f o g)(x) tiene como dominio +0. A. B. C. D. E.

66

Solo I. Solo II. Solo III. Solo I y II. Solo II y III.

Unidad 4 • Funciones

1 1

2 2

3 3

54 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Solucionario de Evaluación PSU Contenido

Número de pregunta

Habilidad

1

Recordar

2

Evaluar

3

Aplicar

Clave

Nivel de logro

Concepto de función

4

Representación de funciones

4

Aplicar

5

Comprender

6

Aplicar

7

Recordar

8

Evaluar

9

Recordar

10

Aplicar

11

Aplicar

12

Evaluar

13

Analizar

14

Evaluar

15

Aplicar

16

Aplicar

17

Evaluar

3

Función exponencial y logarítmica

6

Función raíz cuadrada

2

Composición de funciones

2

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

67

Semejanza 1.

Utiliza la cuadrícula para reproducir la figura dibujada según la razón de semejanza dada. a. r = 2

2.

b. r = 1,5

c. r =

1 2

Calcula el valor de la razón de semejanza (r) en cada caso. a. Trapecios rectángulos semejantes. D 3 cm

5 cm

A 3 cm

D'

C

7 cm

B

C’

14 cm

6 cm 10 cm A’

6 cm

r=

B’

b. Rombos semejantes en los cuales AD = 9 m y C'D' = 6 m. A' D A

C

B'

D'

r=

B C'

3.

Resuelve los siguientes problemas. a. Dos cuadrados tienen como razón de semejanza r = 1,5. ¿Cuál es el perímetro del más pequeño si el de mayor superficie es de lado 12 cm?

b. Una circunferencia tiene un diámetro de 15,6 cm y como razón de semejanza r = 3, respecto de una de mayor tamaño. ¿Cuál es el perímetro de la circunferencia mayor?

68

Unidad 5 • Semejanza de figuras planas

1 1

4.

2 2

4 4

6 6

5 5

7 7

8 8

Identifica 3 pares de triángulos semejantes. Para ello, escribe el postulado que aplicaste en cada caso. a. Primer par de triángulos semejantes: Postulado usado:

F

I

.

13 cm

C

.

10,5 cm

b. Segundo par de triángulos semejantes: . Postulado usado:

L

2,5 cm

K 6 cm

Ñ

R 30˚

N

7,875 cm

Q

P

.

E

12 cm

B

12 cm

H

.

Postulado usado:

D

30˚

A

75˚

G

c. Tercer par de triángulos semejantes:

5.

3 3

30˚ 9 cm

J

M

.

Analiza cada figura y reconoce en ella los triángulos que son semejantes, escribe el postulado que consideraste en cada caso. a. A, D y B son colineales. C

c.

OL y ÑK son rectas. Ñ

O

35˚

N

M 35˚ A

D

6 cm

5 cm

B

J

3 cm

3,6 cm

L

K Los triángulos semejantes son:

Los triángulos semejantes son:

Postulado usado:

Postulado usado:

b. MÑO forman un triángulo.

d. Circunferencia con centro en O. O

3 cm 2 cm

E

P

c

B α

7,5 cm

M

α

4 cm

O

α

N 6 cm Ñ

P

D

A

6.

Los triángulos semejantes son:

Los triángulos semejantes son:

Postulado usado:

Postulado usado:

Calcula el valor de x en cada caso. a. ED // AC.

b. ML // JK. A

(x + 4) cm

E

N

B (2x + 5) cm

12 cm

(2x + 5) cm

8 cm

C

x=

L

(2x + 2) cm (x + 5) cm

(x + 9) cm

K

M

x=

J

D Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

69

Modelos a escala y homotecias 1.

Resuelve los siguientes problemas. a. Un mapa está confeccionado a escala 1 : 100.000. Si dos ciudades están a una distancia de 50 km, ¿a qué distancia se encuentran, en el mapa, los puntos que las representan?

b. Se dibuja el plano de una casa a escala 1 : 200. Si el frontis de la casa representado en el plano mide 45 cm, ¿cuánto mide el frontis en la realidad?

c. Si un automóvil viaja a 120 km por hora y la distancia en un mapa a escala 1 : 750 desde el lugar donde se encuentra hasta el punto en donde se quiere llegar es de 15 cm, ¿cuánto tiempo demorará en llegar a su destino?

2.

Analiza la información de la imagen. Luego, resuelve. En este plano se muestra el ensamble de tres piezas metálicas. Las medidas que ahí aparecen corresponden a las longitudes en centímetros con que fueron dibujadas. Si la escala utilizada fue 1 : 250, completa el dibujo con las medidas de las piezas en la realidad. Plano con las medidas del dibujo

Plano con las medidas de la realidad

7,5 22,5 30

3.

37,5 7,5 7,5

Aplica la técnica adecuada para ampliar la siguiente figura en la escala dada.

Escala 2 : 3

70

Unidad 5 • Semejanza de figuras planas

1 1

4.

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Calcula el valor de la razón de homotecia (k) en cada caso. a.

C'

C

O

B

C'

A'

C

B' Figura imagen

A Figura original

B'

c. Figura imagen

Figura original

B

A A'

b.

Figura original

C

d.

B

A'

D

Q

Figura original

D'

O

O

P'

C' B' Figura imagen

Figura imagen

Q' N

A

5.

P

M'

N'

M

Aplica en cada caso la homotecia correspondiente según el centro de homotecia (O) y la razón de homotecia (k). a. k =

1

c. k = 2

2

N P

O

O M

b. k = –

1

d. k = –0,3

2

A

D

B

C

K

O

O

6.

J

L

Analiza cada figura, ubica el centro de homotecia (O) y calcula la razón de homotecia (k). a.

A'

Figura imagen B'

b. A D

A'

Figura imagen

C' E

E' C'

B' C

D’

A

B

B

Figura original

C

Figura original

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

71

Teorema de Thales 1.

Calcula el valor de x para cada una de las siguientes figuras.

 

 

a. Sean DB // EC.

b. L1 // L2 // L3.

c. L1 // L2 // L3. L1

  E

L1

C

(x – 1) cm

(2x) cm

(x + 2) cm

D

B

(x + 5) cm

(x + 10) cm

6 cm

(x + 1) cm

L2 L2

9 cm (5x – 3) cm

x cm

L3

L5

2.

L3

(x + 2) cm

A

x=

(x + 4) cm

x=

L4

x=

Analiza la siguiente situación y luego responde. Un profesor propone a sus estudiantes que calculen la altura de un edificio, sin medirlo directamente, solo utilizando una vara. Uno de los estudiantes plantea el siguiente bosquejo que ayudaría a calcular la altura que se les pidió. • El punto A está ubicado donde la visión permite hacer coincidir los bordes de la vara y el edificio. Edificio

Vara

A a. ¿Qué medidas son necesarias para poder calcular la altura del edificio?

b. Para que el modelo planteado se pueda aplicar en el cálculo de la altura del edificio, ¿es necesario que la vara esté dispuesta en forma perpendicular al suelo? ¿Por qué?

c. Si la vara mide 1,5 metros, la distancia entre el punto A y la base de la vara es 12 m. Además, si la distancia entre las bases de la vara y el edificio es 30 m, ¿cuál es la altura del edificio?

72

Unidad 5 • Semejanza de figuras planas

1 1

3.

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Resuelve los siguientes problemas. a. Un campesino observa, en una misma dirección, las copas de dos árboles que coinciden a su vista. El más pequeño de los árboles mide 8 m, la distancia entre estos es 3 m y la distancia que separa al campesino del árbol más cercano a él es 5 m. ¿Cuál es la altura aproximada del árbol más grande si el campesino mide 1,8 m?

b. Las distancias entre una recta (L1) y otras dos (L2 y L3), paralelas a ella, son: 8 cm y 5 cm respectivamente. Si se dibuja una recta (L4) secante a estas, de tal forma que el segmento contenido en L4 que une L1 y L2 mide 20 cm, ¿cuánto mide el segmento contenido en L4 que une L2 y L3? ¿Es única la respuesta?

4.

Analiza la información. Luego, resuelve. En la siguiente figura, L1 // L2. ¿Cuál es la medida de AD?

  Como L1 // L2, entonces: 2x + 2 x + 1 = 3x + 3 x + 4 (2x + 2)(x + 4)=(x + 1)(3x + 3)

A (x + 1) cm

D

(2x + 2) cm

B

2x2 + 10x + 8 = 3x2 + 6x + 3

L1

(x + 4) cm

E

(3x + 3) cm

C L 2

 

 

x2 – 4x – 5=0 (x + 1)(x – 5)=0 Por lo tanto, x + 1 = 0 o x – 5 = 0, por lo que los posibles valores para x son: x = –1 y x = 5. Ahora, se debe descartar el valor x = –1, ya que algunas de las longitudes serían cero. Con esto x = 5, y AD = 6 cm.

 

• Sean AD // BE // CF, ¿cuál es la medida de AC?

 

 

A (x + 2) cm

B 2x cm

C

D x cm

E (x + 3) cm

F

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

73

División interior y exterior de un trazo 1.

Calcula las siguientes razones. Para ello, considera que el trazo AG está dividido en partes de igual medida.

B

E

C D

F G

A a.

b.

2.

AB BD AC CE

=

c.

=

d.

AD DE BF FG

=

e.

=

f.

CE EG EF FG

=

=

Aplica la división interior de un trazo en cada caso según la razón dada. a. k =

1

c. k = 2

2

A E

F

B b. k = 0,25

d. k = 3 D C

3.

G

H

Resuelve los siguientes problemas. a. Se sabe que P divide interiormente al trazo AB en la razón 5 : 2. Si AP = (x – 1) cm y PB = (x – 2) cm, ¿cuánto mide el trazo AB?

b. El trazo AB, que mide (x + 4) cm, está dividido interiormente en la razón 1 : 2 por el punto P de tal forma que AP mide (x – 2) cm. ¿Cuál es la medida del trazo AP?

c. Un trazo AB es dividido interiormente por el punto P. Si AP = (x + 5) cm, BP = (x + 1) cm y AB = 10 cm, ¿en qué razón fue dividido interiormente el trazo AB? ¿Y cuál es la medida de AQ?

74

Unidad 5 • Semejanza de figuras planas

1 1

4.

3 3

4 4

5 5

6 6

B

A

7 7

8 8

Aplica la división exterior de un trazo en cada caso según la razón dada. a. r = 3 : 2

A

c. r = 1 : 4

B

b. r = 1 : 2

d. r = 4 : 2

A

5.

2 2

B

B

A

Resuelve los siguientes problemas. a. El trazo AB se divide exteriormente en la razón 3 : 2, donde Q es el punto de división exterior. Si el trazo AB mide 2 cm, ¿cuál es la medida de AQ?

b. El trazo AB se divide en la razón 2 : 5, donde Q es el punto de división exterior. Si la distancia entre Q y B es 15 cm, ¿a qué distancia se ubica de A el punto Q?

c. El punto de división exterior Q divide al trazo AB de tal forma que la distancia entre A y Q es menor que la distancia entre B y Q. ¿Qué puedes concluir respecto del valor de la razón en la que fue dividido el trazo AB?

d. Si luego de dividir exteriormente un trazo AB, se obtiene el punto de división exterior Q y las medidas AQ = 6 cm y BQ = 14 cm, ¿en qué razón fue dividido exteriormente el trazo AB?

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

75

Teoremas de Euclides y Pitágoras 1.

Aplica el teorema de Euclides para calcular los valores de las incógnitas en cada figura. c. 12 cm a. y 6 cm

10 cm x

x

z 8 cm ;y=

x=

;z=

b.

y z

13 cm

x= d.

;y=

x

;z=

;w=

y

z

24 cm 7 cm

w

x 10 cm

10,5 cm

y ;y=

x=

2.

x=

;y=

Resuelve los siguientes problemas. a. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 17 m y el menor de sus catetos mide 8 m, ¿cuánto mide la altura respecto del ángulo recto?

b. Se sabe que un triángulo ABC inscrito en una semicircunferencia es rectángulo. Además, CB = 17 cm y 64 AC = cm, ¿cuál es el perímetro de la circunferencia con centro en O? 17 C A O B c. Una escalera que mide 15 metros está apoyada en un edificio. Si el pie de la escalera se encuentra a 9 m de la base del edificio, ¿cuál es la distancia mínima de este punto a la escalera?

Escalera

76

Unidad 5 • Semejanza de figuras planas

1 1

3.

4.

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Verifica si los siguientes tríos de números representan un trío pitagórico. a. 16, 30 y 34.

b. 20, 29 y 21.

Conclusión:

Conclusión:

c. 7, 23 y 25.

Conclusión:

Aplica el teorema de Pitágoras para calcular el área de cada figura. a. Sea ABCD un rombo de lado 2,5 cm, cuya diagonal mayor mide 4 cm. D A

C B

b. Sea ABCD un cuadrado de lado 37 cm y CBE un triángulo rectángulo en E en el cual uno de sus catetos mide 25 cm menos que el lado del cuadrado. D

C E

A

5.

B

Analiza la siguiente información y luego resuelve. Sean p y q números naturales, entonces los valores 2pq + q2, 2pq + 2p2 y 2pq + 2p2 + q2 forman un trío pitagórico. a. Realiza un procedimiento algebraico que permita confirmar la afirmación planteada.

b. ¿Qué trío pitagórico resulta con los valores p = 4 y q = 5?

c. ¿Para qué valores de p y q resulta el trío pitagórico 3, 4 y 5?

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

77

Cargando disco Analiza el siguiente ejemplo de pregunta PSU.

En la siguiente figura, ¿cuál es el valor de p? C a

b A p D

q

B

(1) AC = 3 cm y CB = 4 cm. (2) ACB = 90°. A. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola. C. Ambas juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) ó (2). E. Se requiere información adicional.

• Para dar respuesta a esta pregunta, primero se debe analizar cada una de las proposiciones por separado y determinar si entregan suficiente información por sí solas. Al analizar la condición (1), se tiene que: Al considerarse AC = 3 cm y CB = 4 cm, no es posible aplicar ninguna relación geométrica que permita calcular el valor de p. Por lo que se descarta la alternativa A, (1) por sí sola, como correcta. Segundo, al analizar la condición (2), se tiene que: Al considerarse ACB = 90°, faltarían datos para poder calcular el valor de p. Por lo que se descarta la alternativa B, (2) por sí sola, como correcta. Tercero, al analizar ambas condiciones juntas, (1) y (2), se tiene que: Si AC = 3 cm, CB = 4 cm y ACB = 90°, no se pueden aplicar los teoremas aprendidos en esta unidad, ya que en ningún caso se ha establecido que los puntos A, B y C son los vértices de un triángulo o que A, D y B son colineales, por lo que se debe descartar la alternativa C, ambas juntas. Por lo tanto, la alternativa correcta es E, se requiere información adicional.

78

Unidad 5 • Semejanza de figuras planas

eval ión uac

c o n t i do en

resol u

c c

r r

ulo

ser

e e

n de prob ció

same l

en c o n t i do

1 1

as lem

uac eval ión

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Evaluación PSU

ció n de prob

Lee atentamente y marca la alternativa correcta. 1 ¿Cuál es la razón de semejanza entre las siguientes figuras? A A. 1 : 3 B. C. D. E.

3:1 1:2 2:1 1:4

F B

E

C

D

D' C' E' B' F' A'

2 Dos triángulos semejantes tienen perímetros 6 cm y 8 cm. ¿Cuál es la razón de semejanza entre sus lados? A. B. C. D. E.

1:2 2:3 3:2 3:4 4:3

3 Si los lados de dos triángulos están en la razón 1 : 2, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. Sus áreas están en la misma razón. II. Sus perímetros están en esta misma razón. III. Sus alturas correspondientes están en esta misma razón. A. B. C. D. E.

Solo I. Solo II. Solo III. Solo I y II. Solo II y III.

4 Los lados de dos cuadrados están en la razón 2 : 3. Si el lado del primero mide 5 cm, ¿cuál es la medida del lado del otro cuadrado? A. B. C. D. E.

2,5 cm 3,3 cm 7,5 cm 8,5 cm 10 cm

5 Respecto de la figura, ¿qué postulado permite afirmar que ΔAED ∼ ΔCEB? A. B. C. D. E.

AA ALA LAA LLL ALL

B

D E β A

β

O

C

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

79

e e

c c

eval ión uac

c o n t i do en

Evaluación PSU

n de prob ció

r r

ulo

same l

ser

resol u

en c o n t i do

as lem

uac eval ión

ció n de prob

6 En la siguiente figura las rectas L1 y L2 son paralelas, ¿cuál es el valor de x? A. B. C. D. E.

2 cm 3 cm 4 cm 5 cm 6 cm

L1 3x cm

(x – 1) cm

(x + 1) cm

(3x + 12) cm

L2

7 El plano de una casa está dibujado a escala 1 : 50. Si el largo del comedor es de 5,3 m, ¿cuál es la medida del largo comedor en el plano? A. B. C. D. E.

10,6 m 1,06 m 10,6 cm 1,06 cm 106 cm

8 ¿Cuál es la escala a la que fue reducida la figura? A. B. C. D. E.

1:2 1:3 3:1 2:3 3:2

9 ¿En cuál de los siguientes casos está correctamente aplicada la homotecia del cuadrilátero ABCD respecto del centro O? D

A. A

B'

C

B

A'

D

C

B

A' B'

D' C'

A' B

D A

A'

80

O

D.

A

B

A

D' C'

D

E.

A O

B.

D

C.

C

O

B'

D' C'

Unidad 5 • Semejanza de figuras planas

A' B

C

B'

D' C'

O

C

B'

D' C'

O

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

10 Respecto de una homotecia con razón r y centro O, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones siempre es(son) falsa(s)? I. Si la razón es negativa, la figura original disminuye su tamaño. II. Si la razón es positiva y menor que 1, el centro queda entre la figura original y la imagen. III. Si la razón es positiva y mayor que 1, la imagen tiene mayor tamaño que la figura original. A. B. C. D. E.

Solo I. Solo II. Solo I y II. Solo II y III. I, II y III.

8 8

Evaluación PSU

1 1

11 En la figura, L1 y L2 son rectas paralelas. ¿Cuál es el valor de x? A. B. C. D. E.

5 cm 6 cm 7 cm 8 cm 9 cm

(x + 2) cm

(x + 5) cm

L1

(x – 1) cm (x + 1) cm

L2 12 En la siguiente figura las rectas L1, L2 y L3 son paralelas entre sí. ¿Cuál es la medida de AB? L1 L2 A. 4 B. 4,8 L3 C. 5,8 B D. 8,8 D E. 10,8 10 cm A F E C 8 cm 6 cm 5 cm G 13 Respecto a la pregunta anterior, GF = 6 cm. ¿Cuál es el perímetro del triángulo ADE? A. B. C. D. E.

3,6 cm 4,6 cm 6,6 cm 12,4 cm 14,4 cm

14 Respecto a la siguiente figura. Si AD // BE // CF, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. AB : AC = DE : DF II. BC : AB = EF : DE III. AC : AB = BE : CF A. B. C. D. E.

Solo I. Solo II. Solo III. Solo I y II. I, II y III.

A B

D E F

C

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

81

c c

eval ión uac

c o n t i do en

r r

ulo

ser

resol u

e e

n de prob ció

Evaluación PSU

same l

en c o n t i do

as lem

uac eval ión

ció n de prob

15 El triángulo ABC es rectángulo en C, CD es altura. ¿Cuál es la medida de la hipotenusa y cuál es el valor de h respectivamente? 60 cm y 13 cm. 13 60 cm. B. 13 cm y 13 25 C. cm y 13 cm. 13 A.

12 cm

C h

5 cm

D

A

144 25 cm y cm. D. 13 13 60 144 cm. E. cm y 13 13

B

16 Respecto de la pregunta anterior, ¿cuánto mide AD? A.

25 cm 13

B.

144 cm 13

C.

60 cm 13

D.

25 cm 144

E. Ninguna de las anteriores. 17 El triángulo ABC es rectángulo en C y CD es altura. ¿Cuál es la medida DB? (1) Se conocen las medidas de AC y CB. (2) Se conocen las medidas AC y CD. A. B. C. D. E.

C a

b

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.

A

p

q

D

B

18 El triángulo ABC es rectángulo en C y CD es altura. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) verdadera(s)? I. a2 = p2 + pq II. (p + q)2 – (p – q)2 = 4h2 a•b III. pq= c A. B. C. D. E.

82

Solo I. Solo II. Solo I y II. Solo II y III. I, II y III.

Unidad 5 • Semejanza de figuras planas

C a

h

Ap D

b

B

q c

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Solucionario de Evaluación PSU Contenido

Número de pregunta

Habilidad

1

Comprender

2

Aplicar

3

Evaluar

4

Aplicar

5

Recordar

6

Aplicar

7

Aplicar

8

Comprender

9

Analizar

10

Evaluar

11

Aplicar

12

Aplicar

13

Aplicar

14

Evaluar

15

Aplicar

16

Aplicar

17

Analizar

18

Evaluar

Clave

Nivel de logro

Semejanza

6

Modelos a escala y homotecias

4

Teorema de Thales

4

Teoremas de Euclides y Pitágoras

4

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

83

Circunferencia y ángulos 1.

2.

Evalúa si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas respecto de la circunferencia con centro en O. Luego, escribe V o F según corresponda. a.

Si la medida angular del arco AC es 120° y la del arco CB es 110°, entonces la medida angular del arco AB es 110°.

b.

Si la medida del ángulo ABO es la tercera parte de 120° y BO es bisectriz del ángulo ABC, entonces el ángulo COB mide 100°.

c.

El arco que subtiende el ángulo del centro AOC corresponde a la medida angular del arco AC.

d.

El arco que subtiende el ángulo AOC es el mismo que subtiende el ángulo ABC.

O

C A D

 40°  Analiza la siguiente circunferencia con centro en O y considera que: m(DE)= y m(FG)=20° . Luego, ° , m(EF)=30° m resuelve. D E

C B

F G

O

A

a. ¿Cuál es la medida del ángulo DOG?

 , ¿cuál es la medida angular del arco BC?  ≅ FG b. Si BC

c. ¿Cuál es la medida angular del arco que subtiende el ángulo DOG?

   d. ¿Cuál es la medida del ángulo AOB si AG es diámetro, BC ≅ FG y m(CD) = 40°?

84

B

Unidad 6 • Circunferencia y ángulos

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

7 7

8 8

Relación entre el ángulo del centro y el ángulo inscrito 1.

Analiza la siguiente figura. Luego, responde. B

C

 = 60° m(AB) mADC = 65° O : centro

A O

D a. ¿Cuál es la medida del ángulo ADB? Justifica.

b. ¿Cuál es la medida del ángulo BDC? Justifica.

c. ¿Cuál es la medida angular del arco AC? Justifica.

d. ¿Cuál es la medida del ángulo BOC? Justifica.

2.

Analiza cada figura. Luego, responde y escribe tu respuesta en la casilla. a. ¿Cuál es la medida del ángulo x?

d. Sea AD diámetro, ¿cuál es la medida del ángulo x? B 5a

6a O

B

x

C A x

A b. Si el ángulo CDB mide 25°, ¿cuánto mide el ángulo CAB? B

D

O

x

e. Si CE ⊥ AB, ¿cuál es la medida del ángulo x? C

C

x O 120°

A

D

O

A

B

E  es el 20% de la longitud de la c. Si la longitud de BA circunferencia, ¿cuál es la medida del ángulo del centro BOA?

  f. Si m(CA) = m(BC) = 55°, ¿cuál es la medida del ángulo ACB? C

A A

O

O

B

B

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

85

Relación entre el ángulo del centro y el ángulo semi-inscrito 1.

Analiza cada circunferencia con centro en O. Luego, calcula el valor pedido.     = 130° y  = 160° y BC es c. Si m(BA) e. Si BC es tangente a la circunferencia a. Si m(AB) BC es tangente a la circunferencia en B, tangente a la circunferencia en B y el arco AB mide 230°, ¿cuánto ¿cuál es la medida del ángulo x? en B, ¿cuánto mide el ángulo mide el ángulo CBA? CBA? A B A x O

A

C

O

O

C

C

B

B

 b. Si mAOB = 40° y AB es tangente a la circunferencia en A, ¿cuál es la medida de x?

  d. Si m(BC) = 276° y AB es tangente a la circunferencia en B, ¿cuánto mide el ángulo CBA?

 es 30° f. Si la medida angular de AB y BC es diámetro, ¿cuáles son las medidas de α y β? A

A C

B

B

O

x

C

B

O O

A

2.

Analiza la figura. Luego, responde en la casilla correspondiente. T

Q O

O: centro de la circunferencia.   RS: tangente a la circunferencia en P.

R P S

a. Si la medida angular del arco PQ mide 160°, ¿cuál es la medida del ángulo SPQ? b. Sea la medida angular del arco QP igual a 184°, ¿cuánto mide el ángulo QPR? c. Si el ángulo SPQ mide 65°, ¿cuál es la medida angular del arco QP? d. Si el ángulo QPR mide 77°, ¿cuál es la medida angular del arco QP?

86

Unidad 6 • Circunferencia y ángulos

α β C

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

7 7

8 8

Ángulos interiores y ángulos exteriores 1.

Analiza cada circunferencia de centro O y calcula la medida del ángulo x en cada caso. a.

c. A 30°

D 20° B

x P

x

A

P

70°

A

B 10° x D

P

110° O

O

C

e. B

D

O

C C

 ) = 10° b. m(DB x A

 ) = 80° y m(DC)  = 40° d. m(AE C

D A

P

O

A

C

B 20°

 ) = 10° f. m(DB

x O

O

B x

C

D

E

B

40°

E

D

2.

Calcula el valor pedido en cada caso.  ) = 30°, ¿cuál es la medida del ángulo CBO? a. Si m(DA B

 = m(AC)  , ¿cuál es la medida del ángulo ADO? c. Si 2m(AB) C D

A O

O 25°

P

D

C

B

A

b. Si se sabe que la medida angular del arco AE es 40° y que la del arco DC es 80°, ¿cuál es la medida del ángulo CBD?

d. Determina la medida del ángulo x, si ABC es un triángulo equilátero. D

C x

D O

A

B E

3.

O

x

C A

B

Evalúa si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. Luego, escribe V o F según corresponda. a.

Un ángulo exterior a una circunferencia tiene siempre su vértice en el interior de la circunferencia.

b.

Un ángulo exterior a una circunferencia tiene su vértice en el exterior de ella.

c.

El vértice de un ángulo interior de una circunferencia se encuentra al interior de ella.

d.

Un ángulo interior a una circunferencia está formado por una de sus cuerdas y una de sus secantes. Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

87

Relación entre dos cuerdas 1.

Calcula el valor pedido en cada caso. Para ello, considera que O es el centro de la circunferencia y escribe tu respuesta en cada casilla. a. Si AE = 16 cm, CD = 16 cm y CE = 12 cm, ¿cuál es la medida del segmento EB?

c. Si DO = 15 dm, OE = 12 dm, AE = x dm y BEC ángulo recto, ¿cuál es el valor de x? C

C E

B

O

E

A

B

O

D

A D b. Sean AE = EB = x m, DE = 8 m y EC = 2 m, ¿cuál es el valor de x? C E O

A

B

E

3.

O

D

D B

C

A

2.

d. Si AE = 10 cm, EB = 6 cm y CE = 12 cm, ¿cuál es la medida del segmento ED?

Evalúa si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Luego, escribe V o F según corresponda. a.

Si dos ángulos del centro en una circunferencia son congruentes, entonces las cuerdas que subtienden dichos ángulos son también congruentes.

b.

Si dos cuerdas en una circunferencia son congruentes, entonces los ángulos del centro que a ellas subtienden son inversamente proporcionales.

c.

Una cuerda en una circunferencia es un segmento que está limitado por dos puntos distintos de la circunferencia.

Resuelve los siguientes problemas. a. Dos cuerdas en una circunferencia se intersectan de tal forma que los segmentos que se forman en una de estas miden 4 cm y 6 cm. Si la longitud de uno de los segmentos formados en la otra cuerda es 3 cm, ¿cuál es la longitud del otro segmento?

b. Dos cuerdas AB y EF se intersectan en el punto H. Calcula la medida del segmento EH, sabiendo que AB = 146 cm, FH = 72 cm y AH = 90 cm.

c. Dos cuerdas AB y CD se intersectan en el punto E. Calcula la medida del segmento CE sabiendo que AB, ED y AE miden 73 cm, 36 cm y 45 cm, respectivamente.

88

Unidad 6 • Circunferencia y ángulos

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

7 7

8 8

Relación entre dos secantes 1.

Calcula el valor pedido en cada caso. Para ello, considera que O es el centro de la circunferencia y escribe tu respuesta en cada casilla. a. Si BA = 8 cm, CE = 9 cm, EA = 3 cm, ¿cuál es la medida del segmento DA? B

D

c. Si AB = 14 m, AD = 4 m y AE = 7 m, ¿cuál es la medida del segmento AC? D

B

A

O

E

O

A E

C C b. Si CO = OE = x cm, EA = 2 cm, AD = 5 cm y BD = 7 cm, ¿cuál es el valor de x? B

2.

3.

D

A D

C

d. Si AC = 8 dm, AE = 6 dm y AD = 3 dm, ¿cuál es la longitud del segmento BD?

O

E

B

E

A

O

C

Evalúa si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Luego, escribe V o F según corresponda. a.

Una recta secante a una circunferencia está limitada por dos puntos de esta.

b.

Una recta secante a una circunferencia debe cortar a la circunferencia solo en un punto.

c.

Dos secantes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia son congruentes a los segmentos exteriores a la circunferencia.

Analiza cada situación. Luego, escribe en la casilla el valor pedido en cada caso. 1 a. Si CD = DP, BP = 4 cm y CP = 21 cm, ¿cuál es la 2 medida del segmento AP? B

A O

P

c. Si PC = (x + 9) cm, PD = (5 – x) cm, PA = (9 – x) cm y PE = (x + 4) cm, ¿cuál es la medida del segmento PC? A E

O

D

C b. Si AP = 90 cm, AB : BP = 7 : 8 y DP = 16 cm, ¿cuál es la medida del segmento CP?

P

D

C

d. Si PA = (28 + x) cm, PB = x cm, PC = (18 + x) cm, PD = (7 + x) cm, ¿cuál es la medida de PC?

C C O

A D

D B

P

O

B

A

P Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

89

Relación entre una secante y una tangente 1.

Calcula el valor pedido en cada caso. Para ello, considera que O es el centro de la circunferencia en cada caso y escribe tu respuesta en cada casilla.      e. Si PA es tangente a la circunferencia en P, PA = 6 cm a. Si PT es tangente a la circunferencia en T, y AB = 3PA, ¿cuál es la medida del diámetro de la AB = 30 cm y BP = 2 cm, ¿cuál es la medida del circunferencia? segmento PT? P

A

T C

O O

B

B P

A

  b. Si PT es tangente a la circunferencia en T, PB = AB y PT = 6 2 cm, ¿cuál es la medida del segmento PA?

   f. Si PA es tangente a la circunferencia en P, el arco PB es 1 1 de la circunferencia y el arco PC es de esta, ¿cuál 4 5 es el complemento del ángulo PAB? P

T

A C

O

P

B

O

A

   c. Si PA es tangente a la circunferencia en P, BO = OC = 9 cm y CA = 6 cm, ¿cuál es la medida del segmento AP? P

B    g. Si PA es tangente a la circunferencia en P, BA = 15 cm 2BA y BC = , ¿cuál es la medida del segmento que tiene 3 como extremos los puntos A y P? P

A

A C

C O

O

B

B

   d. Si PA es tangente a la circunferencia en P, PA = 10 cm = 2CA y BO = OC = x cm, ¿cuál es la medida de BO + OC? P

   h. Si BC es tangente a la circunferencia en C, el ΔABC es isósceles de base AB y el ángulo BCA mide 100°, ¿cuál es la medida del ángulo AEC?

A C

A

E B

O

B

90

Unidad 6 • Circunferencia y ángulos

C

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

7 7

8 8

Cuadriláteros y circunferencia 1.

2.

Evalúa si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Luego, escribe V o F según corresponda. a.

Un cuadrado puede ser inscrito en una circunferencia.

b.

Todos los lados de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia es siempre mayor que el radio de esta.

c.

Los ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia son complementarios.

d.

Un cuadrilátero está inscrito en una circunferencia cuando sus cuatro vértices pertenecen a ella.

Analiza cada figura. Luego, calcula los valores pedidos. a. ¿Cuál es la medida de ECB + CDA? B

A

D

50°

60°

e. ¿Cuál es el valor de z + y – x? x O

O z

100°

A

D

B

C

E   b. Si PT es tangente a la circunferencia en T y  = 55° m(RS) , ¿cuál es la medida de x + y – 2z?

f. ¿Cuál es la medida del ángulo α?

P

7x

x 100°

α O

z 10x

T

S

O

y

C

y

11x

86°

R c. ¿Cuáles son los valores de α y β respectivamente?

g. Si el ángulo EFC mide 75°, ¿cuál es la medida del ángulo x? C F

68° β

x

O

O

113°

105°

A

α

B E

d. Si γ = 2x, ¿cuál es la medida del ángulo x?

h. Si mAFC = 135°, ¿cuál es la medida del ángulo x? C

A

F

α

B γ

x O

O β

x

D

A

105°

B

C E

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

91

Cargando disco Analiza el siguiente ejemplo de pregunta PSU.

 Si O es el centro de la circunferencia y PT es tangente a la circunferencia en T, ¿cuál es la medida del diámetro MN? (1) PM = 45 cm (2) PT : PM = 4 : 3 O

A. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola.

N

M P

C. Ambas juntas, (1) y (2).

60 cm

D. Cada una por sí sola, (1) ó (2).

T

E. Se requiere información adicional.

• Para dar respuesta a esta pregunta, primero se debe analizar cada una de las proposiciones por separado y determinar si entregan suficiente información por sí solas. Al analizar la condición (1), se tiene que: La medida de PM es 45 cm. Luego, por teorema se tiene que: (PT)2 = PM • PN y sustituyendo los valores entregados, resulta: (PT)2 =PM • PN 602 = 45 • PN 3.600 =PN 45 80=PN Como PN = 80 cm y PM = 45 cm, entonces la medida de MN = 80 – 45 = 35. Por lo tanto, es posible determinar la medida del diámetro MN utilizando la condición (1). Ahora, al analizar la condición (2), se tiene que PT : PM = 4 : 3, y se puede determinar la medida de PM sustituyendo los valores en la proporción. PT 4 = PM 3 60 4 = PM 3 60 •• 3= 4 PM 60 • 3 =PM 4 45=PM Por lo tanto, es posible determinar la medida del diámetro MN utilizando la condición (2). Finalmente, se puede concluir que la alternativa correcta es D, cada una por sí sola, (1) ó (2).

92

Unidad 6 • Circunferencia y ángulos

eval ión uac

c o n t i do en

resol u

c c

r r

ulo

ser

e e

n de prob ció

same l

en c o n t i do

1 1

as lem

uac eval ión

2 2

3 3

4 4

5 5

7 7

8 8

Evaluación PSU

ció n de prob

Lee atentamente y marca la alternativa correcta. 1 ¿Cuál de las siguientes alternativas representa un ángulo del centro de la circunferencia de centro O? A. B. C. D. E.

ACB DEO DOE ABC EDO

E B

D O

A C 2 ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. Los lados de un ángulo del centro son radios de la circunferencia. II. Un ángulo del centro tiene todos sus lados en la región interior de la circunferencia. III. Un ángulo del centro de una circunferencia tiene su vértice en el centro de la circunferencia. A. B. C. D. E.

Solo I. Solo II. Solo III. Solo I y III. I, II y III.

3 Respecto a la figura, ¿qué recta es tangente a la circunferencia de centro O? A. B. C. D. E.

Recta L1. Recta L2. Recta L3. Recta L4. Ninguna de ellas es tangente.

L2 L3 O

L4 L1 4 Si O es el centro de la circunferencia, ¿cuál es el valor del ángulo x? A. B. C. D. E.

30° 30,5° 37,5° 45° 60°

D E

30°

C

O x

A

60°

B

5 ¿Cuál es la correspondencia incorrecta entre el ángulo inscrito y el arco de la circunferencia mencionados en cada caso? A. B. C. D. E.

El ángulo FCA subtiende al arco FA. El ángulo FDE subtiende al arco FE. El ángulo DEC subtiende al arco DC. El ángulo BFC subtiende al arco BC. El ángulo CAF subtiende al arco AF.

A

B E

D

O

C

F Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

93

c c

eval ión uac

c o n t i do en

r r

ulo

ser

resol u

e e

n de prob ció

Evaluación PSU

same l

en c o n t i do

as lem

uac eval ión

ció n de prob

6 ¿Cuál de las siguientes características corresponde a las de un ángulo semi-inscrito? A. B. C. D. E.

Medir menos de 90°. Está formado por dos semirrectas. Está formado por dos rectas tangentes a la circunferencia. Tiene su vértice en la región exterior de la circunferencia. Está formado por una recta tangente y una cuerda de circunferencia.

7 En la circunferencia de centro O, se han dibujado tres diámetros. ¿Cuál es la medida del ángulo x? A. B. C. D. E.

20° 35° 70° 75° 110°

D

E O 35°

C

x 20°

B

A

8 ¿Cuál es la medida del ángulo BCD? (1) La medida angular del arco DB es 10°. (2) La medida angular del arco DB corresponde a la  medida angular de AE – 70°.

A B

40° O

A. B. C. D. E.

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.

C D

E

9 Respecto de la proposición: “Si dos ángulos del centro son congruentes, entonces las cuerdas que subtienden dichos ángulos son congruentes”, ¿cuál es la condición la hace verdadera? A. B. C. D. E.

Los ángulos contienen radios. Su vértice pertenece en la circunferencia. Los ángulos están dibujados en una circunferencia o en circunferencias congruentes. Es verdadera siempre y cuando se cumpla que los ángulos del centro son congruentes. Ninguna de las anteriores.

10 La medida angular del arco DA es igual a la medida angular del arco CD, el arco BC mide 2x y el arco AB mide (3x + 10). ¿Cuál es el valor de x e y respectivamente? A. B. C. D. E.

x = 50° e y =55°. x = 55° e y= 50°. x = 110° e y = 55°. x = 55° e y = 110°. x = 50° e y = 110°.

E y

D A

C O

B

94

Unidad 6 • Circunferencia y ángulos

x

2 2

3 3

4 4

5 5

7 7

11 En la figura, mADO = 40°, mOCB = 50° y mAOB = 110°. Si O es centro de la circunferencia, ¿cuál es la medida del ángulo DEC? A. B. C. D. E.

20° 50° 70° 90° 110°

A O

D

B

E

C

12 ¿Cuáles son respectivamente los valores de α y β? A. B. C. D. E.

α = 50° y β = 55°. α = 25° y β = 50°. α = 100° y β = 55°. α = 100° y β = 50°. α = 50° y β = 100°.

D

A

8 8

Evaluación PSU

1 1

β

50°

O α

C B

13 Si la medida angular del arco BC es 80°, ¿cuál es el valor de α? A. B. C. D. E.

25° 35° 45° 55° 75°

D E

75° O

C

A

α

B

P

14 El diámetro de la circunferencia mide 5 cm y se trazan desde un punto P una recta tangente PA y una secante PC que pasa por el centro O. Si la cuerda AC mide 4 cm y BP mide 4 cm, ¿cuál es la medida del segmento PA? A. B. C. D. E.

3 cm 6 cm 7 cm 8 cm 9 cm

A C

α

O

P B

15 En la figura, PA y PC son segmentos de rectas secantes trazadas desde un punto P exterior a la circunferencia. Si PC = (8 + x) cm, PD = x cm, PA = (4 + x) cm y PB = (x + 2) cm, ¿cuál es el valor de x? A. B. C. D. E.

2 cm 4 cm 6 cm 8 cm 24 cm

P

B A O

D C

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

95

c c

eval ión uac

c o n t i do en

r r

ulo

ser

resol u

e e

n de prob ció

Evaluación PSU

same l

en c o n t i do

as lem

uac eval ión

ció n de prob

 PA 16 Si PT es tangente a la circunferencia en P, PA = 16 cm y AB= , ¿cuál es la medida del segmento PT? 4 P A. 8 cm T B. 4 3 cm 12 cm C. 8 2 cm B D. 8 3 cm O E. 4 48 cm A 17 En una circunferencia, se trazan dos radios OA y OB y una cuerda MN perpendicular a la bisectriz del AOB; MN intersecta a OA en F y a OB en G. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera? A. B. C. D. E.

MN = NG y FA = GB. MF = NG y FA = GB. MF = FA y NG = GB. MN = FA y NG = GB. MF = MN y FA = GB.

O

M

N A

B

18 El cuadrilátero ABCD está inscrito en la circunferencia de centro O, donde AC = CD = 5 cm. ¿Cuánto mide el segmento BC? A. 5 cm B. 10 cm C.

B

A O

2 cm

D. 5 2 cm E. 10 2 cm

C

D

19 El arco BC mide un sexto de la circunferencia de centro O y el cuadrilátero ABCD está inscrito en ella. Si AC ≅ AB, ¿cuál es la medida de x + y? A. B. C. D. E.

30° 45° 60° 75° 105°

D

y

C

x

A

O

B 20 ¿Cuál es la razón por la que el cuadrilátero de la figura no está inscrito en la circunferencia? A. B. C. D. E.

Sus lados no son congruentes. No tiene un par de lados paralelos. Todos los ángulos son menores de 90°. El punto B no pertenece a la circunferencia. El cuadrilátero no está fuera de la circunferencia.

A O

D

96

Unidad 6 • Circunferencia y ángulos

B

C

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

7 7

8 8

Solucionario de Evaluación PSU Contenido

Ángulos en la circunferencia

Proporciones y cuadriláteros en la circunferencia

Número de pregunta

Habilidad

1

Recordar

2

Evaluar

3

Recordar

4

Aplicar

5

Recordar

6

Analizar

7

Aplicar

8

Analizar

9

Aplicar

10

Aplicar

11

Aplicar

12

Aplicar

13

Aplicar

14

Aplicar

15

Aplicar

16

Aplicar

17

Evaluar

18

Aplicar

19

Aplicar

20

Recordar

Clave

Nivel de logro

13

7

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

97

Medidas de dispersión 1.

Analiza la siguiente situación. Luego, responde. En cierto aeropuerto, se ha generado un serio conflicto debido a los tiempos (en minutos) que los aviones demoran en despegar los días de alto tráfico. La siguiente tabla registra el tiempo de duración del despegue de los vuelos en las dos últimas semanas. Tiempo de duración, en minutos, del despegue de vuelos en las últimas dos semanas Días de la semana

Lunes

Martes

Miércoles

Jueves

Viernes

Sábado

Domingo

Semana 1

4

4,6

8

10

5,9

6,8

9,9

Semana 2

6,9

7,9

11,8

8,1

9,7

8,4

8,7

a. ¿Cuál es el rango de los tiempos de duración del despegue de los vuelos en cada semana?

b. ¿En qué semana los tiempos del despegue fueron más homogéneos? Justifica.

2.

Analiza la siguiente información. Luego, responde. La siguiente información corresponde a las calificaciones obtenidas por dos cursos, de 30 estudiantes cada uno, en la asignatura de Matemática. Calificaciones obtenidas en el curso A

Calificaciones obtenidas en el curso B

Calificación

Cantidad de estudiantes

Calificación

Cantidad de estudiantes

1,0

3

1,0

1

2,0

6

2,0

4

3,0

7

3,0

6

4,0

7

4,0

10

5,0

3

5,0

5

6,0

0

6,0

2

7,0

4

7,0

2

a. ¿Cuál es el rango de las calificaciones para cada curso?

b. ¿Cuál es la desviación media de las calificaciones para cada curso?

c. ¿Cuáles son la varianza y la desviación estándar de las calificaciones para cada curso?

98

Unidad 7 • Estadística

1 1

3.

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Interpreta la siguiente información. Luego, responde. La siguiente tabla muestra el tiempo (en minutos) que se demora un fiscalizador del Servicio de Impuestos Internos (SII) en resolver inconsistencias en los formularios de la declaración de la renta. Corrección de formularios Tiempo (minutos) [40, 45[ [45, 50[ [50, 55[ [55, 60[ [60, 65[ [65, 70[ [70, 75[ [75, 80]

Frecuencia 7 10 15 13 18 21 16 10

a. ¿Cuál es el tiempo promedio que se demora el fiscalizador en resolver las inconsistencias?

b. Calcula la varianza de los tiempos y su desviación estándar. Interpreta estos resultados.

c. Se implementa un software que promete reducir en el 25% el tiempo que se utiliza en resolver las inconsistencias en las declaraciones. ¿Cuál es el nuevo promedio de los tiempos? Interpreta tu resultado.

Analiza la siguiente información. Luego, responde. En el siguiente histograma se representa la distribución de los salarios semanales, en miles de pesos, de los trabajadores en una empresa. Salarios de los trabajadores de la empresa Cantidad de trabajadores

4.

50 40 30 20 10 80

100

120

140

160

180

200

220

240 Marca de clase

Salario semanal

a. ¿Cuál es el salario promedio de los trabajadores de la empresa? ¿Cuál es el coeficiente de variación?

b. De los sueldos de otra empresa, se sabe que en promedio sus trabajadores reciben aproximadamente $ 120.000 semanales, con una varianza igual a $ 5.000. ¿Qué empresa presenta sueldos más homogéneos?

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

99

Muestreo 1.

Interpreta cada situación. Luego, marca con una X en cada caso dependiendo si se describe una población o una muestra. Enunciado

Muestra

Población

Estatura de todos los estudiantes de un colegio. Las calificaciones de 5 estudiantes de un curso con un total 30. Edades de los hijos de los trabajadores de una empresa. Deporte favorito de 40 estudiantes de los colegios de una comuna. Enfermedades crónicas de un grupo de pacientes de un consultorio. Salario promedio de los habitantes de una ciudad. Número de llamadas diarias realizadas por los clientes de una compañía de telefonía móvil.

2.

Analiza la siguiente información. Luego, responde. En un condominio, donde hay 180 habitantes, se realizará un estudio para conocer el tipo de actividades que realizan en su tiempo libre. Para ello, van a ser encuestados 100 individuos elegidos al azar. a. ¿Cuál es la población? ¿Y cuál la muestra en estudio?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que un habitante del condominio sea elegido?

c. ¿A qué tipo de muestreo corresponde el que se utilizará en este caso?

d. Si aumenta el número de elementos en la población, ¿aumenta la posibilidad de que un individuo de la población sea elegido en una muestra? Justifica.

e. Si aumenta el número de individuos a considerar en una muestra, ¿aumenta o disminuye la posibilidad de que un elemento de la población sea elegido en esta?

3.

100

Evalúa si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. Para ello, escribe V o F según corresponda. a.

La población es un subconjunto de la muestra en estudio.

b.

La muestra siempre tiene menor cantidad de elementos que la población en estudio.

c.

La muestra debe ser representativa de la población en estudio.

d.

El muestreo aleatorio simple se caracteriza porque no todos los elementos seleccionados de una población tienen la misma probabilidad de ser elegidos.

Unidad 7 • Estadística

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Muestreo aleatorio sistemático 1.

Analiza cada situación. Luego, utilizando el muestreo aleatorio sistemático, responde. a. De una población de 856 elementos, se desea formar una muestra de tamaño 10. Luego de elegir el primero, ¿cada cuántos elementos se elegirá a los siguientes?

b. De una comuna con 297 habitantes, se desea obtener una muestra de 15 personas. Si a cada habitante se le asigna un número y al seleccionar el primero, resulta el correspondiente al número 3, ¿qué números les corresponden a los habitantes que serán seleccionados en la muestra?

c. Para controlar la calidad de los exámenes realizados en un laboratorio clínico, el jefe de laboratorio decide repetir personalmente las pruebas. Para ello, repite el examen al sexto paciente en solicitar un análisis de sangre y luego cada 8 pacientes según el orden de llegada. Si al final del día se realizaron en total 250 extracciones de sangre, ¿cuántas de ellas fueron repetidas por el jefe del laboratorio?

2.

Utiliza el muestreo aleatorio sistemático y obtén una muestra de tamaño 6 respecto a los datos que se muestran a continuación. Luego, responde. Lista del número de hermanos de los estudiante de segundo año medio de un establecimiento educacional. (Ordenados según su posición en la lista de nombres). 2, 3, 0, 4, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 1, 0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 2, 2, 1, 1, 0 ,0, 2, 2, 3, 1, 1, 1, 0, 1, 3, 2, 3, 0, 2, 3, 1, 1, 0, 0, 1, 2, 2, 3, 0, 1, 2, 1, 3, 0, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 2, 1, 3, 4, 3, 2, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1 a. ¿Cuáles son las posiciones en la lista de los datos que conforman la muestra?

b. Si los datos están ordenados de izquierda a derecha, ¿cuáles serían los datos a considerar en la muestra? ¿Cuál es su promedio?

3.

Evalúa si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. Luego, escribe V o F según corresponda. a.

En el muestreo aleatorio sistemático, se eligen los elementos de modo que sean representativos.

b.

En el muestreo aleatorio sistemático, se eligen los elementos aleatoriamente entre el total de la población.

c.

En el muestreo aleatorio sistemático, se ordenan previamente los individuos de la población y después se elige una muestra al azar.

d.

En el muestreo aleatorio sistemático, se divide la población total en clases homogéneas. Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

101

Muestreo aleatorio estratificado y por conglomerados 1.

Resuelve los siguientes problemas aplicando el muestreo aleatorio estratificado. En un instituto profesional hay 120 estudiantes de segundo año de ingeniería, provenientes de cuatro comunas: Procedencia de los estudiantes Comuna

Cantidad de estudiantes

A

20

B

30

C

60

D

10

a. Se debe seleccionar una muestra de 20 estudiantes para una encuesta, ¿cuántos estudiantes de cada comuna deben considerarse en la muestra?

b. De un total de 1.500 jóvenes, 7.500 adultos y 1.000 ancianos, se hace una encuesta a 200 personas para conocer sus actividades de tiempo libre preferidas. ¿Qué parte de la muestra corresponde a cada estrato?

c. Una universidad tiene 5.453 estudiantes, en la tabla se muestra cómo se distribuyen según el nivel académico y el género. Distribución de los estudiantes de una universidad Nivel académico

Mujeres

Hombres

Total

Pregrado

2.381

2.688

5.069

Posgrado

147

237

384

2.528

2.925

5.453

Total

Al extraer una muestra de tamaño 40 del total de estudiantes, ¿cuántos estudiantes de cada estrato deben considerarse en la muestra?

2.

Resuelve el siguiente problema. Un estudio que trata de conocer el grado de conocimiento científico de los trabajadores de una empresa necesita una muestra de 70 personas. Dada la dificultad de acceder individualmente a todos los trabajadores, se decide hacer una muestra por conglomerados. Sabiendo que el número de trabajadores por área de la empresa es aproximadamente 10, ¿cuáles serían los pasos a seguir?

102

Unidad 7 • Estadística

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7 7

8 8

Medidas de posición 1.

Analiza la información de la tabla. Luego, responde. La siguiente tabla corresponde a los sueldos que una empresa paga a sus empleados: Sueldos semanales en miles de pesos Sueldo (miles de $)

Número de empleados

[80, 100[

7

[100, 120[

20

[120, 140[

33

[140, 160[

25

[160, 180[

11

[180, 200]

4

a. ¿Cuál es el valor del percentil 50? Interpreta tu resultado.

b. ¿Cuál es el valor del primer cuartil? Interpreta tu resultado.

2.

Analiza la información de la tabla. Luego, resuelve. Tiempo que demoran los operarios de una industria en armar un producto Tiempo (minutos)

Número de operarios

[10, 20[

7

[20, 30[

15

[30, 40[

19

[50, 60]

9

a. Se ha decidido enviar a un curso de capacitación al 21% de los operarios más lentos en el armado de un producto. Si un operario demoró 37 minutos, ¿será enviado al curso? Justifica.

b. ¿Cuál es el percentil 50 de los datos de la tabla?

c. ¿A qué percentil corresponde la moda de los datos de la tabla?

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

103

3.

Analiza la información que proporciona la siguiente tabla. Luego, responde. Puntajes de desempeño laboral de 160 empleados de una empresa Puntaje

Frecuencia

[0, 10[

8

[10, 20[

22

[20, 30[

32

[30, 40[

44

[40, 50[

28

[50, 60[

20

[60, 70]

6

a. ¿Cuál es el percentil 25? ¿Qué representa?

b. ¿Cuál es el cuartil 2 respecto a los puntajes obtenidos?

c. ¿A partir de qué puntuación se encuentra el 80% de los empleados con mejor desempeño?

d. ¿Qué porcentaje de los empleados tiene un puntaje mayor a 43 en su desempeño laboral?

e. Si del total de empleados que representa la tabla se extrae el 15% de los empleados con peor desempeño laboral y el 15% de los que tienen mejor desempeño. ¿En qué intervalo de puntuación se encuentran los restantes?

f. Se elegirá a un empleado entre los que obtuvieron más de 45 puntos. ¿Cuántos empleados tendrá la muestra?

g. Si se elige a uno de los empleados, ¿cuál es la probabilidad de que haya obtenido menos de 57 puntos?

4.

104

Evalúa si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. Luego, escribe V o F según corresponda. a.

El segundo cuartil (Q2) es equivalente a la mediana de la variable.

b.

Los cuartiles son valores que dividen a la muestra ordenada en forma ascendente en 5 partes iguales.

c.

El percentil 75 es equivalente al cuarto cuartil (Q4).

d.

La mediana (Me) de un conjunto de n valores x1, x2, x3,.......,xn corresponde al que se encuentra en el punto medio o centro de estos están ordenados de menor a mayor.

Unidad 7 • Estadística

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Comparación de dos o más muestras 1.

Resuelve el siguiente problema. La siguiente información fue obtenida de una tabla de distribución de datos que resume la estatura medida en centímetros de los estudiantes de un curso de segundo año medio. Valor mínimo = 158 cm, Q1 = 164 cm, mediana = 172 cm, Q3: 177 = cm y valor máximo = 189 cm Construye un diagrama de cajas para representar la información entregada.

2.

Analiza la siguiente información. Luego, responde. Las autoridades de un colegio quieren probar la efectividad de una nueva estrategia de enseñanza y aprendizaje. Para tal propósito, se aplicó una prueba de conocimientos relevantes, con escala de 0 a 60 puntos, a los estudiantes que cursan cuarto año medio, quienes fueron divididos en dos grupos: uno de control, cuyos integrantes fueron sometidos a la estrategia tradicional, y otro experimental, sometido a la nueva estrategia. Resultado de los estudiantes del grupo control Puntaje del grupo control

Cantidad de estudiantes

[15, 25[

8

[25, 35[

7

[35, 45[

15

[45, 55[

9

[55, 60]

3

a. Si los puntajes obtenidos por el grupo experimental son: 32, 38, 27, 32, 52, 48, 58, 50, 57, 42, 60, 42, 37 y 44; ¿qué grupo presenta mejores resultados?

b. Las autoridades han señalado que se quedarán con aquella estrategia que cumpla los siguientes requisitos: el promedio más alto y la variabilidad menor al 25%. ¿Cuál será la decisión de las autoridades?

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

105

Cargando disco Analiza el siguiente ejemplo de pregunta PSU.

Se realiza un estudio para conocer la variación del tiempo que demoran dos atletas en dar una vuelta de 100 metros planos en tres intentos. El atleta A tiene un rango de tiempo de 1,6 segundos. ¿Cuál es el rango de tiempo del atleta B? (1) El atleta B tiene un rango de tiempo de un 10% mayor que el atleta A. (2) Los tiempos registrados de los tres intentos del atleta B son: 14 segundos, 15 segundos y 15,76 segundos. A. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola. C. Ambas juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) ó (2). E. Se requiere información adicional.

• Para dar respuesta a esta pregunta, primero se debe analizar cada una de las proposiciones por separado y determinar si entregan suficiente información por sí solas. Al analizar la condición (1), se tiene que: Como el atleta B tiene un rango de tiempo el 10% mayor que el atleta A, entonces al calcular el rango del atleta A con el aumento del 10%, se obtiene el rango del atleta B. Entonces, se tiene que: 1,1 • (tiempo del atleta A) = 1,1 • 1,6 = 1,76. Por lo tanto, el atleta B tiene un rango de variación de 1,76 segundos. De esta manera, es posible responder la pregunta utilizando la condición (1). Ahora, al analizar la condición (2), es posible calcular el rango de tiempo del atleta B, ya que esta condición proporciona los tiempos que este demoró: 14 segundos, 15 segundos y 15,76 segundos. Entonces, el rango de tiempo del atleta B es: Xmáx – Xmin = 15,76 – 14 = 1,76 Finalmente, se puede concluir que la alternativa correcta es D, cada una por sí sola, (1) ó (2).

106

Unidad 7 • Estadística

eval ión uac

c o n t i do en

resol u

c c

r r

ulo

ser

e e

n de prob ció

same l

en c o n t i do

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uac eval ión

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8 8

Evaluación PSU

ció n de prob

Lee atentamente y marca la alternativa correcta. 1 ¿Cuál(es) de los siguientes indicadores es(son) medidas de tendencia central? I. Media. II. Moda. III. Rango. A. B. C. D. E.

Solo I. Solo II. Solo III. Solo I y II. I, II, y III.

2 ¿Cuál(es) de los siguientes indicadores es(son) una medida de dispersión? I. Rango. II. Mediana. III. Desviación estándar. A. B. C. D. E.

Solo I. Solo II. Solo I y II. Solo I y III. I, II, y III.

3 Al analizar un conjunto de datos estadísticos, ¿puede ocurrir que la desviación estándar sea mayor que la media? A. B. C. D. E.

A lo sumo, puede ser igual a la media. Sí, puede ocurrir si los datos son muy heterogéneos. Siempre ha de ser la media mayor que la desviación estándar. Solo en ciertos casos donde los datos se ubican entre 0 y 1. La desviación estándar ha de ser como máximo igual a la media para que la suma de cuadrados no sea negativa.

4 ¿Cuál es la varianza del conjunto de datos formado por tres números enteros consecutivos? A. 0 B. 1 1 C. 3 2 D. 3 4 E. 3 5 En un estudio se concluye que la masa corporal de un grupo de personas tiene una media de 60 kg y una desviación estándar de 2 kg, mientras que la media de las edades es 15 años, con una desviación estándar de 0,5 años. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? A. B. C. D. E.

Hay mayor dispersión en las masas corporales que en las edades. Hay mayor dispersión en las edades que en las masas corporales de las personas. Masa corporal y edad están dispersos de manera equivalente. No tiene sentido compararlos al no coincidir las unidades de medida. Ninguna de las anteriores.

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

107

c c

eval ión uac

c o n t i do en

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ulo

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Evaluación PSU

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en c o n t i do

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ció n de prob

6 En una muestra de números enteros se tiene una media igual 5 y una desviación estándar igual a 2. Si a estos números se les cambia el signo, ¿cuáles serían respectivamente la media y la desviación estándar de esta nueva muestra? A. B. C. D. E.

2 y 5. 5 y 2. 5 y –2. –5 y 2. –5 y –2.

7 Si los sueldos de un grupo de personas se aumentan en un valor fijo, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. La varianza sigue siendo la misma. II. El rango aumenta en el mismo valor. III. El promedio aumenta en el mismo valor. A. B. C. D. E.

Solo I. Solo II. Solo I y II. Solo I y III. I, II y III.

8 Si los sueldos de un grupo de personas se multiplican por un factor, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. El nuevo rango se obtiene multiplicando el original por dicho factor. II. La nueva varianza se obtiene multiplicando la original por dicho factor. III. El nuevo promedio se obtiene dividiendo el original por dicho factor. A. B. C. D. E.

Solo I. Solo II. Solo I y II. Solo II y III. I, II y III.

9 ¿En cuál de los siguientes casos se describe el cálculo de la varianza para datos discretos? A. B. C. D. E.

El cuadrado de la media. La media de los cuadrados. La media de los cuadrados más el cuadrado de la media. La media de los cuadrados de las diferencias entre los datos y la media. El cuadrado de la diferencia entre la media de los cuadrados y el cuadrado de la media.

10 En una muestra de 300 personas, la media de sus estaturas es 1,7 m; y su varianza, 0,0064 m. Si otra muestra de igual tamaño tiene como media 1,68 m; y como desviación estándar, 0,07 m, ¿cuáles son respectivamente la media y la desviación estándar de la muestra formada por ambas? A. B. C. D. E.

108

1,68 m y 0,08 m. 1,69 m y 0,07 m. 1,68 m y 0,75 m. 1,69 m y 0,75 m. 1,69 m y 0,75166 m.

Unidad 7 • Estadística

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

11 En una provincia hay 10.000 estudiantes de enseñanza básica, de los cuales 5.000 estudian en colegios municipales, 3.000 en subvencionados y 2.000 en privados. Si se quiere extraer una muestra de tamaño 300, ¿qué tipo de muestreo sería recomendable para obtener la muestra? A. B. C. D. E.

Muestreo no aleatorio. Muestreo aleatorio simple. Muestreo aleatorio estratificado. Muestreo aleatorio por conglomerados. Muestreo aleatorio simple y por conglomerados.

12 En un muestreo aleatorio sistemático aplicado a una población de 50 personas, se quiere tomar una muestra de tamaño 5. Si el primer seleccionado está en la posición 3, ¿cuáles son las posiciones de los elementos que formarán la muestra? A. B. C. D. E.

3, 6, 9, 12 y 15. 3, 6, 12, 21 y 33. 3, 10, 20, 30 y 40. 3, 13, 23, 33 y 43. Ninguna de las anteriores.

Evaluación PSU

1 1

13 Respecto del muestreo aleatorio estratificado, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? A. B. C. D. E.

Es una simplificación del muestreo sistemático. Es el procedimiento para seleccionar estratos de forma aleatoria. No es necesario tener una división de la población antes de realizarlo. Es el procedimiento que consiste en seleccionar elementos en cada estrato de la muestra por muestreo aleatorio simple. Es el procedimiento para seleccionar grupos representativos y en proporción al tamaño de los estratos de la población en estudio.

14 Entre los estudiantes de un colegio, se eligió al azar los estudiantes para formar una muestra de tamaño 50, ¿qué tipo de muestreo se utilizó? A. B. C. D. E.

Muestreo no aleatorio. Muestreo aleatorio simple. Muestreo aleatorio estratificado. Muestreo aleatorio por conglomerados. Muestreo aleatorio simple y por conglomerados.

15 A los individuos de una muestra de tamaño 90, se les entregó un test de inteligencia y se eligieron 10 sujetos de cada nivel intelectual. ¿Qué tipo de muestreo se utilizó en este estudio? A. B. C. D. E.

Muestreo no aleatorio. Muestreo aleatorio simple. Muestreo aleatorio estratificado. Muestreo aleatorio por conglomerados. Ninguna de las anteriores.

16 El promedio de los datos de una muestra es A. Si en total son 5 datos, la desviación estándar se puede calcular si: (1) Los datos son: 7, 10, 9, 0 y 4. (2) A = 6 A. B. C. D. E.

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional. Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

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17 ¿Qué valor de la variable es superado por el 5% de los datos mayores de ella? A. B. C. D. E.

El percentil 5. El percentil 95. El 95% de los valores. Los percentiles 2,5 y 97,5. Ninguna de las anteriores.

18 Si se estudia la masa corporal de un grupo de personas, ¿qué dato no lograría superar el 40% de los individuos de una población? A. B. C. D. E.

El percentil 20. El percentil 39. El percentil 40. El percentil 60. Los percentiles 40 y 60.

19 Al analizar las calificaciones de Matemática, observas que de los 120 estudiantes de la lista solo te superan en nota 14 de ellos, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? A. B. C. D. E.

Tu nota es el percentil 80. Tu nota es el percentil 91. Has superado el percentil 85. Has superado el percentil 89. Has superado el noveno decil.

20 En un conjunto de 26 números, si se aumentan en 5 unidades los 3 valores más altos, ¿cuál de los siguientes indicadores no varía su valor? A. B. C. D. E.

El cuartil 1. El percentil 99. El percentil 98. El percentil 95. La media aritmética.

21 ¿En cuál de los siguientes diagramas de cajas se destaca la mediana? A.

B.

C.

D.

E.

110

Unidad 7 • Estadística

1 1

2 2

3 3

4 4

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7 7

Solucionario de Evaluación PSU Contenido

Medidas de tendencia central, de posición y de dispersión

Muestreo

Número de pregunta

Habilidad

1

Recordar

2

Recordar

3

Analizar

4

Recordar

5

Evaluar

6

Aplicar

7

Evaluar

8

Evaluar

9

Recordar

10

Aplicar

16

Analizar

17

Recordar

18

Recordar

19

Evaluar

20

Evaluar

21

Recordar

11

Recordar

12

Aplicar

13

Evaluar

14

Analizar

15

Recordar

Clave

Nivel de logro

16

5

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

111

Espacio muestral y sucesos 1.

Analiza los siguientes experimentos. Luego, completa el espacio muestral (Ω) y calcula su cardinalidad. a. Seleccionar al azar un número entre los 30 primeros números naturales. Ω ={

} #Ω =

b. Lanzar tres monedas y ver el resultado. Ω ={

} #Ω =

c. Elegir un número primo entre los primeros 25 números naturales. Ω ={

} #Ω =

d. Elegir una letra entre las primeras ocho consonantes del abecedario. Ω ={

2.

} #Ω =

Analiza las ruletas que se representan a continuación e identifica las que tienen espacios muestrales equiprobables respecto del número que se puede obtener. Luego, escribe equiprobable o no equiprobable según corresponda. b.

a. 4

6 2

1

3

2

2

1

6 7

d.

3

5

3.

c.

8

1

1

5

7

4

8

3 1

2

Evalúa si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F). Justifica tu respuesta. a. Al lanzar dos monedas simultáneamente, el espacio muestral tiene cardinalidad 3.

b. La cardinalidad del espacio muestral respecto al experimento “lanzar un dado de seis caras” es la sexta parte de la cardinalidad del espacio muestral “lanzar dos dados de seis caras”.

c. Un suceso imposible tiene cardinalidad 1.

d. La cardinalidad de un suceso A sumada a la cardinalidad del suceso A’, complementario de A, resulta la cardinalidad del espacio muestral del experimento aleatorio.

e. Un suceso compuesto tiene cardinalidad mayor que 2.

112

Unidad 8 • Probabilidad

1 1

4.

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Clasifica cada uno de los siguientes sucesos. Para ello, escribe en cada casilla seguro, posible o imposible. a. Lanzar dos dados de seis caras y obtener 7 como suma de sus puntos. b. Lanzar un dado de seis caras y obtener un número primo de puntos mayor que 5.

c. Extraer un naipe de la baraja española que sea de corazón.

d. Lanzar dos dados de seis caras y obtener como suma de sus puntos un valor mayor que 1.

5.

Analiza la siguiente situación. Luego, resuelve. Julieta tiene 3 vestidos: uno de color rojo, uno verde y uno violeta. Además, tiene 4 pares de zapatos: de gamuza, de cuero, de charol y de brillantes. Para asistir a una reunión, Julieta elije al azar un vestido y un par de zapatos. a. Representa la situación con un diagrama de árbol.

b. Escribe el espacio muestral relacionado con la situación. ¿Cuál es su cardinalidad? Ω ={ } #Ω = c. Escribe los elementos del suceso A: no elegir el vestido rojo. Calcula su cardinalidad. A={

} #A =

d. ¿Cuántos casos son favorables al suceso B: elegir zapatos de gamuza?

e. ¿Existen casos comunes entre los sucesos C: elegir vestido verde y D: elegir zapatos de charol? ¿Cuáles?

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

113

Probabilidad y propiedades 1.

Aplica la regla de Laplace para responder las siguientes preguntas. a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener, como suma de los puntajes de lanzar dos dados de seis caras, un puntaje mayor que 9?

b. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par al sumar dos dígitos menores que 7?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que, al elegir un peón antes de empezar una partida de ajedrez, esta pieza se ubique en un casillero blanco?

d. ¿Cuál es la probabilidad de que, al lanzar tres monedas al aire, se obtenga como resultado más de una cara?

e. Se escriben, cada uno en un papel, los dígitos desde el 1 al 9. Si se eligen al azar dos papeles, ¿cuál es la probabilidad de obtener como diferencia entre los dígitos el número 3?

2.

Evalúa si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Para ello, escribe V o F según corresponda. a. Si en un experimento aleatorio A, es un suceso con probabilidad p, entonces la probabilidad de Ac es p – 1. b. Si un suceso A es más probable que un suceso B, entonces #A > #B. c. Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio, tales que P(A) + P(B) = 1, entonces B es equivalente al suceso contrario a A. d. Sea A un suceso de un experimento aleatorio cuyo espacio muestral tiene cardinalidad 20. Si P(A) = 0,25, entonces #A = 5. e. De un grupo de tres personas, 2 son mujeres, entonces la probabilidad de elegir una mujer de entre ellos es 0,4. f. Si E es un experimento aleatorio y A y B son sucesos relativos a E tales que P(A) = 0,5 y P(B) = 0,7, entonces los sucesos tienen elementos en común.

114

Unidad 8 • Probabilidad

2

3.

3

4

6

8

Analiza la información entregada en la siguiente tabla. Luego, responde. Detalle de los estudiantes asistentes al ensayo PSU Cursos

3° A

3° B

4° A

4° B

Total

Mujeres

16

20

21

21

78

Hombres

20

18

17

19

74

Total

36

38

38

40

152

Si de las pruebas rendidas se elige una al azar: a. ¿Cuál es la probabilidad de que esta corresponde a la de un estudiante de tercero medio?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que esta corresponde a la de una mujer?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que de un estudiante que cursa cuarto medio?

d. ¿Cuál es la probabilidad de que no sea de un estudiante del 3° B?

e. ¿Cuál es la probabilidad de que no sea de un estudiante?

4.

Resuelve el siguiente problema. En un club deportivo hay 98 socios, cada uno practica un solo deporte: 10 mujeres y 8 hombres practican voleibol, 12 hombres y 10 mujeres tenis, 40 personas practican fútbol y el resto practica natación. Si 17 de los que practican fútbol son mujeres y el total de hombres es 45, ¿cuál es la probabilidad de que, al elegir un socio, este juegue tenis o sea mujer?

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

115

Variable aleatoria 1.

2.

Analiza cada situación. Luego, define la variable aleatoria correspondiente y represéntala en un diagrama sagital. a. Se elige al azar un número entre 1 y 9, ambos inclusive, y se cuenta el número de letras que tiene al escribirlo con palabras.

c. Se lanza un dado de seis caras y se calcula la diferencia entre el número de puntos obtenidos y el número 6.

b. Se lanzan dos monedas y se cuenta el número de sellos obtenidos.

d. Se elige al azar un número natural n de tal forma que 15 < n < 25 y se cuenta la cantidad de divisores de n.

Analiza la situación. Luego, responde. Se elige un número entero entre 1 y 9, ambos inclusive y se determina la letra con la que comienza al escribirlo con palabras y se le asigna un número según la posición de esta en el abecedario. a. ¿Cuál es la variable aleatoria considerada?

b. ¿Qué número real se le asigna al número 8?

c. ¿A cuál de los números considerados se le asocia el menor valor de la variable aleatoria?

d. ¿Cuál es el menor valor que puede tomar la variable aleatoria?

e. ¿Existen, entre los números considerados, algunos que se relacionen con el mismo valor de variable? ¿Cuáles?

116

Unidad 8 • Probabilidad

1 1

3.

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Evalúa si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Para ello escribe V o F según corresponda. a. La suma de las probabilidades de los valores que toma una variable aleatoria es 1. b. Una función de probabilidad asocia a cada valor de la variable aleatoria un número real p con 0 ≤ p ≤ 1. c. Las variables aleatorias son funciones que relacionan los sucesos de un experimento aleatorio con números reales. d. El recorrido de una variable aleatoria corresponde al conjunto {y ∈  / 0 ≤ y ≤ 1}. e. En el lanzamiento de tres monedas, la función de probabilidad asociada a la variable aleatoria X: número de caras, tiene 8 elementos en su dominio.

4.

Resuelve los siguientes problemas. a. Se elige un número entre 8 y 15, ambos inclusive, y se cuenta la cantidad de consonantes que tiene su escritura con palabras. Plantea la variable aleatoria y escribe la función de probabilidad asociada.

b. Se elige al azar una de las letras de la palabra MURCIÉLAGO y se observa si esta es vocal o consonante. Plantea una variable aleatoria y escribe la función de probabilidad asociada.

c. Para el experimento aleatorio A: elegir al azar un número natural n de tal forma que 10 < n < 20, se cuenta la cantidad de divisores que tiene. Escribe la función de probabilidad asociada.

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

117

Permutación y combinatoria 1.

Resuelve los siguientes problemas. a. ¿Cuántas palabras diferentes, con o sin sentido y sin repetir las letras, se pueden formar con las letras de la palabra HOJAS?

b. ¿Cuántos números pares de tres cifras existen?

c. Seis personas, entre ellas dos amigos, se ordenarán al azar en una fila con 6 asientos. ¿Cuántos son los casos en que los amigos podrían quedar juntos?

d. Respecto del problema anterior, ¿cuántos son los casos en que los amigos podrían quedar separados?

e. ¿Cuántas palabras diferentes, con o sin sentido y sin repetir las letras, se pueden formar las letras de la palabra AZAR?

f. ¿Cuántas palabras distintas, con o sin sentido, que comiencen con la letra Z se pueden formar al reordenar las letras de la palabra CALABAZA?

2.

Analiza el ejemplo, luego responde. Se dispone en una mesa redonda a 4 amigos, ¿de cuántas formas distintas se pueden ordenar? Se fija a una de las personas en un puesto y se ordena en forma lineal a los otros 3. 1

2

1

2

1

3

1

3

1

4

1

4

4

3

3

4

2

4

4

2

3

2

2

3

• ¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar 6 personas en torno a una fogata?

118

Unidad 8 • Probabilidad

1 1

3.

b. C87 =

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

d. C50 =

c. C71 =

Verifica las siguientes igualdades. a. Cnn– 1 – Cn1 = 0

5.

3 3

Calcula el valor de cada expresión. a. C52 =

4.

2 2

b. Cnk • Pk = Pkn

Resuelve los siguientes problemas. a. ¿Cuántos grupos distintos de 6 estudiantes se pueden formar a partir de 15 estudiantes?

b. Un profesor interrogará a la mitad de los estudiantes de un curso de 38. Si uno de ellos no estudió, ¿cuál es la probabilidad de que no salga seleccionado?

c. De un grupo de 8 profesores y 20 estudiantes, se constituirá un equipo de 2 profesores y 7 estudiantes. ¿Cuántos equipos diferentes se pueden constituir?

d. La clave de un maletín de seguridad está compuesto por 5 dígitos. A su dueño se le olvidó la clave, solo sabe que comienza con un número primo. ¿Cuál es la probabilidad de que, al tratar de abrir el maletín, su dueño acierte con la clave al primer intento?

e. Se disponen 7 personas al azar en una fila, de ellas 3 son familiares, ¿cuál es la probabilidad de que estos queden juntos? ¿Y cuál es la probabilidad de que no?

f. Se formará un equipo de 4 mujeres y 3 hombres elegidos entre 12 mujeres y 18 hombres. Pablo y Camila son hermanos, ¿cuál es la probabilidad de que ellos conformen juntos el equipo?

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

119

Cálculo de probabilidades y conjuntos 1.

Analiza cada situación. Luego, si es necesario, represéntala en un diagrama de Venn y resuelve. a. Para el experimento aleatorio de lanzar un dado de seis caras, calcula la probabilidad de obtener un número primo que sea impar.

b. Respecto del experimento de la pregunta anterior, calcula la probabilidad de que el número no sea múltiplo de 3 o sea par.

c. Para el experimento de elegir un dígito entre 1 y 9, calcula la probabilidad de que el dígito sea mayor que 4 o mayor que 9.

d. Se elige una carta de un mazo de naipes de 52 cartas, ¿cuál es la probabilidad de obtener una carta con número menor que 5 y que sea de trébol?

e. Respecto del experimento anterior, ¿cuál es la probabilidad de obtener una carta que sea un rey o una carta de corazón?

120

Unidad 8 • Probabilidad

2

2.

3

4

6

8

Resuelve los siguientes problemas. a. Sean los sucesos A: obtener un número menor que 6 y B: obtener un número mayor que 5. Al sumar los puntajes resultantes al lanzar dos dados de seis caras, ¿cuál es la probabilidad de A U Bc?

1 5 8 b. Si A, B ⊆ Ω son sucesos tales que P(A ∪ B) = , P(A ∩ B) = y P(B)c = , ¿cuál es la probabilidad de Ac? 11 11 11

c. Si A, B ⊆ Ω son sucesos tales que P(A) = 0,5, P(B) = 0,6 y P(A ∩ B) = 0,2, ¿cuál es valor de P(A U B)?

d. Un estudiante responde al azar 20 preguntas de selección múltiple con 5 alternativas cada una. ¿Cuál es la probabilidad de que conteste todo correctamente?

3.

Analiza la siguiente tabla, complétala y luego calcula las probabilidades pedidas. Detalle de los estudiantes de ingeniería asistentes a un examen de cálculo Especialidad

Informática

Mujeres Hombres

Electricidad 25

Construcción 17

Total

36

110

54

15

Total Si se elige un estudiante al azar: a. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y de ingeniería eléctrica?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre, pero no de ingeniería en informática?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer o de ingeniería en construcción?

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121

Cargando disco Analiza el siguiente ejemplo de pregunta PSU.

Sean A y B sucesos de un experimento aleatorio, con P(B) = 0,3. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra A? (1) A y B son mutuamente excluyentes. (2) A = Bc A. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola. C. Ambas juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) ó (2). E. Se requiere información adicional.

• Para dar respuesta a esta pregunta, primero se debe analizar cada una de las proposiciones por separado y determinar si entregan suficiente información por sí solas. Al analizar la condición (1), se tiene que: Al considerarse A y B son mutuamente excluyentes, solo se puede afirmar que P(A ∩ B) = 0, o sea, los sucesos no tienen elementos en común, lo que es insuficiente para calcular la probabilidad del suceso A. De inmediato se descartan las alternativas A, (1) por sí sola, y D, cada una por sí sola, (1) ó (2). Luego, al analizar la condición (2), se tiene que: Al considerarse A = Bc y sabiendo que P(B) = 1 ¬ P(Bc), entonces: P(B) = 1 – P(A)

/+ P(A) ¬ P(B)

P(A) = 1 – P(B) P(A) = 1 – 0,3 P(A) = 0,7 De esta manera, solo con la condición (2) se puede calcular la probabilidad de A. Por lo tanto, la alternativa correcta es B, (2) por sí sola.

122

Unidad 8 • Probabilidad

eval ión uac

c o n t i do en

resol u

c c

r r

ulo

ser

e e

n de prob ció

same l

en c o n t i do

1 1

as lem

uac eval ión

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

Evaluación PSU

ció n de prob

Lee atentamente y marca la alternativa correcta. 1 ¿Cuál es el espacio muestral del experimento “lanzar 2 monedas”? A. B. C. D. E.

Ω = {cara, sello} Ω = {cara, sello, cara} Ω = {cara - cara, cara - sello, sello - sello} Ω = {cara - cara, sello - cara, cara - sello, sello - sello} Ninguna de las anteriores.

2 ¿Cuál es la cardinalidad del espacio muestral del experimento aleatorio “elegir un número entre los números enteros positivos de dos cifras”? A. B. C. D. E.

80 89 90 99 100

3 ¿Cuál(es) de los siguientes sucesos es(son) imposibles respecto al experimento de lanzar dos dados de seis caras? I. Obtener 2 puntos en alguno de los dados. II. Obtener 6 puntos. III. Obtener más de 12 puntos. A. B. C. D. E.

Solo I. Solo II. Solo III. Solo II y III. I, II y III.

4 En una bolsa hay 10 bolitas numeradas con los 10 primeros números pares. ¿Cuál es la cardinalidad del suceso “no obtener un número múltiplo de 8” al extraer una de ellas? A. B. C. D. E.

2 4 6 8 10

5 Al lanzar dos dados de seis caras y sumar los puntos obtenidos, ¿cuál es la cardinalidad del suceso obtener 1? A. B. C. D. E.

0 1 2 3 4

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

123

c c

eval ión uac

c o n t i do en

r r

ulo

ser

resol u

e e

n de prob ció

Evaluación PSU

same l

en c o n t i do

as lem

uac eval ión

ció n de prob

6 ¿Cuál es la probabilidad de que, al lanzar cuatro monedas, se obtengan 2 caras y 2 sellos? A. B. C. D. E.

1 16 1 8 1 4 3 8 5 8

7 ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bolita negra de la caja? A. B. C. D. E.

1 3 2 9 2 3 4 9 9 9

8 ¿Cuál es la probabilidad de que, al extraer una carta de una baraja de naipe inglés (52 cartas), este numerada con un número menor que 5? A. B. C. D. E.

4 52 5 52 8 52 10 52 12 52

9 ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir al azar un número natural entre 1 y 10, ambos inclusive, este tenga 4 divisores? A. B. C. D. E.

124

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

Unidad 8 • Probabilidad

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

10 Respecto del experimento aleatorio “lanzar cuatro monedas”, se define la variable aleatoria X: número de caras obtenidas. ¿Cuál es el conjunto de los valores que puede tomar dicha variable? A. B. C. D. E.

{1, 2} {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4, 5} {0, 1, 2, 3, 4}

11 Respecto del experimento “elegir al azar un número natural entre los menores que 16”, se define la variable aleatoria X: número de divisores. ¿Cuál es el mayor valor que puede tomar esta variable? A. B. C. D. E.

3 4 5 6 7

Evaluación PSU

1 1

12 Respecto de la variable aleatoria definida en la pregunta anterior, ¿cuál es el valor con que la función de probabilidad relaciona el valor 4 de la variable aleatoria? A. B. C. D. E.

1 4 1 8 3 15 5 15 5 16

13 ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. Una variable aleatoria puede tomar solo valores entre 0 y 1. II. Una función de probabilidad asocia valores naturales a los valores que toma una variable aleatoria. III. Una variable aleatoria es una función cuyo dominio es el espacio muestral de un experimento aleatorio. A. B. C. D. E.

Solo I. Solo II. Solo III. Solo I y III. I, II y III.

14 ¿Cuántas palabras distintas, con o sin sentido, se pueden formar al reordenar las letras de la palabra SALÓN? A. B. C. D. E.

24 60 120 360 720

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

125

c c

eval ión uac

c o n t i do en

r r

ulo

ser

resol u

e e

n de prob ció

Evaluación PSU

same l

en c o n t i do

as lem

uac eval ión

ció n de prob

15 Se quiere formar un número de 3 cifras con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 6. ¿Cuántos números de cifras no repetidas se pueden formar? A. B. C. D. E.

60 120 240 480 560

16 Se elegirá un grupo de animales a partir 3 aves, de un total de 8; y de 2 mamíferos, de un total de 5, para ser presentados en una exposición. ¿Cuántos grupos diferentes se podrían formar? A. B. C. D. E.

56 66 336 550 3.360

17 Se escriben en tarjetas las letras de la palabra CANTO y se ordenan al azar para formar una palabra con o sin sentido. ¿Cuál es la probabilidad de que la palabra obtenida termine con la letra A? A. B. C. D. E.

1 5 2 5 1 5! 2! 5! 3! 5!

18 Si se lanza un dado de seis caras y luego una moneda y se define el suceso. Sea A: obtener un número mayor que 4 en el dado y B: obtener sello en la moneda, ¿qué tipo de sucesos son estos entre sí? A. B. C. D. E.

Posibles. Imposibles. Independientes. Equiprobables. Mutuamente excluyentes.

19 En un experimento aleatorio se definen los sucesos A y B, donde #A = 6 y #B = 4. ¿Cuál es el valor de P(A ∪ B)? (1) #Ω = 12 (2) #(A ∩ B) = 2 A. B. C. D. E.

126

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.

Unidad 8 • Probabilidad

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

Solucionario de Evaluación PSU Contenido

Espacio muestral o suceso

Número de pregunta

Habilidad

1

Recordar

2

Analizar

3

Aplicar

4

Aplicar

5

Aplicar

6

Aplicar

7

Aplicar

8

Aplicar

9

Aplicar

10

Analizar

11

Analizar

12

Aplicar

13

Evaluar

14

Aplicar

15

Aplicar

16

Aplicar

17

Aplicar

18

Aplicar

19

Analizar

Probabilidad y propiedades

Variable aleatoria

Permutación y combinatoria

Cálculo de probabilidades y conjuntos

Clave

Nivel de logro

5

4

4

4

2

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

127