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• Diego Martínez

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1.- Calcular el volumen del solido la cual es una representación del edificio Burj Al Arab la cual está dada por: ∭𝑻 𝒛𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛, siendo t el dominio del primer octante delimitado por las superficies. 𝒚𝟐 + 𝒛 = 𝟏, 𝒙𝟐 + 𝒛 = 𝟏

SOLUCION

La intersección de ambas superficies en el primer octante se produce sobre el plano y=x.La proyección de T en el plano OXY es el cuadrado unidad 0 ≤ 𝑥 ≤ 1,0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥, 0 ≤ 𝑧 ≤ 1 − 𝑥 2 1

𝑥

1−𝑥 2

𝐼1= ∫0 ∫0 ∫0

1

1

, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 1,0 ≤ 𝑧 ≤ 1 − 𝑦 2

𝑥

𝑧𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 = 2 ∫0 ∫0 (1 − 𝑥 4 − 2𝑥 2 )𝑑𝑦𝑑𝑥

1 1 1 𝑥 2 𝑥 6 2𝑥 4 1 1 3 5 3 𝐼1 = ∫(𝑥 + 𝑥 − 2𝑥 ) 𝑑𝑥 = [ + − ] = 𝑢 2 2 2 6 4 12 0 0

1 1 1−𝑦

2

1 1

1 𝐼2 = ∫ ∫ ∫ 𝑧𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∫ ∫(1 − 𝑦 4 − 2𝑦 2 )𝑑𝑦𝑑𝑥 2 0 𝑥

0

0 𝑥

1 1 8 𝑥5 2𝑥 3 1 8𝑥 𝑥 2 𝑥 6 2𝑥 4 1 1 3 𝐼2 = ∫( − 𝑥 − + ) 𝑑𝑥 = [ − − + ] = 𝑢 2 15 5 3 2 15 2 6 12 12 0 0

𝑉𝑇 = 𝐼1 +𝐼2 =

1 3 𝑢 6

2.- Calcular el volumen de una casa ecológica moderna,:

Siendo V el interior del elipsoide 4𝑥 2 + 9𝑦 2 + 36𝑧 2 = 36 SOLUCIÓN: Dividiendo ambos miembros de la ecuación del elipsoide por 36 encontramos que este tiene semieje 3,2 y 1.

Efectuamos el sgte cambio a coordenadas esféricas generalizadas: 𝑥 = 3𝑝𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑; 𝑦 = 2𝑝𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑; 𝑧 = 𝑝𝑐𝑜𝑠𝜑, |𝐽(𝑝, 𝜃, 𝜑)| = 6𝑝2 𝑠𝑒𝑛𝜑 (0 ≤ 𝜃 ≤ 2π, 0 ≤ φ ≤ π, 0 ≤ ρ ≤ 1

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS: 

George, Thomas (2006): Cálculo de Varias Variables. México: Pearson.



Martínez, Félix (1998): Matemáticas II: Resúmenes Teóricos y Ejercicios. Madrid: Cádiz.



Tomeo, Venancio (2007): Cálculo en Varias Variables. Madrid: Paraninfo.



Lichtenberg, Jonas (1972): Funciones de Una y Varias Variables. Barcelona: Reverte.