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• Diego Oswaldo Palomino Olivares

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OJO TENER EN CUENTA: Calcular del residuo en a en un polo simple z0

 lim  z  z0  f  z    a1 zz 0 Si F  z  tiene un polo de orden m en z  z0

 d m 1  1 m lim  m 1  z  z0  f  z      m  1! z  z0  dz 

EJERCICIOS RESUELTOS 1) Usando integración de contorno, evalué:

I 

2

0

d 2  cos 

SOLUCION: Al tomar z  e j , de manera que

cos  

1 1 dz ( z  ), d  2 z jz

Sustituyendo la integral se vuelve

I  

C

dz 2 dz   2 C 1 z  4z 1 jz[2  ( z  1 )] j z 2

Donde C es el círculo unitario z  1 que se muestra en la siguiente figura

El integrando tiene singularidades en

z2  4z 1  0 Esto es, en z  2  3 .La singularidad dentro del contorno C es el polo simple en z  2  3 Residuo en z  2  3

2 1 2 1 1  lim [ ( z  2  3) ]  z 2 3 j j2 3 j 3 ( z  2  3)( z  2  3) Así por el teorema del residuo,

I  2 j (

1 j 3

)

2 3

En consecuencia:



2

0

d 2  2  cos  3

2) Encontrar los residuos en todos sus polos en el plano infinito de f ( z )  e csc z z

2

SOLUCION:

ez f ( z )  e csc z  tiene polos dobles en z  0,  , 2 ,.........., 0 osea z  m sen2 z donde m  0, 1, 2,..... z

2

1 d ez 2 {( z  m ) } El residuo en z  m es lim z  m 1! dz sen 2 z e z [( z  m )2 senz  2( z  m ) senz  2( z  m )2 cos z ] z m sen2 z

 lim

Haciendo z  m  u ,se puede escribir como :

lim eu  m { u 0

u 2 senu  2usenu  2u 2 cos u u 2 senu  2usenu  2u 2 cos u m } e {lim } = u 0 sen3u sen3u

El límite entre llaves se puede obtener utilizando la regla de L’Hospital.Sin embargo, es más fácil

u3 u 3  lim( )  1 y de este modo escribir el limite como u 0 sen3u u 0 senu

observar para el primero que lim

em lim( u 0

u 2 senu  2usenu  2u 2 cos u u 3 . 3 ) u3 sen u

u 2 senu  2usenu  2u 2 cos u  em 3 u 0 u

 em lim

Utilizando la regla deL’Hospital varias veces .Al calcular este limite puede utlizarse,en lugar de esto, los desarrollos en serie senu  u  u 3!  .......,cos u  1  u 2!  ....... 3

2

3) Utilice la integración de contorno y demuestre que: 

dx 1   2  ( x  4) 16



2

SOLUCION:

Considere la integral de contorno

I  

C

dz ( z  4) 2 2

Donde C es el contorno semicircular cerrado que se muestra en la figura

El integrando 1

( z 2  4) 2

tiene polos de orden dos en z   2 j .Sin embargo , la única

singularidad dentro del contorno C es el polo doble en z  2 j . De residuo en z  2 j

1 d 1 ( z  2 j)2 2 z  2 j 1! dz ( z  2 j) ( z  2 j)2

 lim

2 2 1   j 3 3 z 2 j ( z  2 j ) (4 j ) 32

 lim

Así por el teorema del residuo,



C

dz 1 1  2 j ( j)   2 ( z  4) 32 16 2

Como R dz dx dz   2 2 C ( z  4)  R ( x 2  4) 2  ( z  4) 2



2

Haciendo R   ,y al observar que la segunda integral se hace cero, entonces  dz dx 1    2 2 2 C ( z  4)  ( x  4) 16



2

Cabe indicar que, en este caso particular, podríamos haber evaluado la integral sin utilizar la integración de contorno. Haciendo la sustitución x  2tan  , dx  2sec  d da 2

2  2 2sec  d dx 1 2 1 1 1 2  2    ( x 2  4)2  2 (4sec2  )2 8  2 cos  d  16 [ 2 sen2   ] 2  16  

4) Determine los residuos de la función 1

(1  z 4 )

en cada uno de sus polos en el plano finito z

SOLUCION: La función 1

(1  z 4 )

tiene polos donde 1  z 4  0 esto es,los puntos donde z 4  1  e j  2 nj

siendo n un entero. Recordando como determinar las raíces de un número complejo, estos puntos son

z 4  e j 4 nj 2 (n  0,1,2,3)  j /4

Esto es z  e

z  (1  j )

, e3 j /4 , e5 j /4 , e7 j /4

2 ,(1  j )

o también

2 ,(1  j )

2 ,(1  j )

2

Ahora encontraremos el residuo en el punto z0 el cual es

 lim( z  z0

z  z0 ) 1 z4

Donde z0 es una de las raíces anteriores de z 4  1 .Se debe usar la regla de L’Hopital antes de sustituir para una z0 particular. Esto está justificado, dado que

( z  z0 )

(1  z 4 )

es de la forma

indeterminada 0

en cada uno de los cuatros polos simples. Derivando el numerador y el 0 denominador obtenemos:

lim( z  z0

z  z0 1 1 )  lim( 3 )  4 z  z0 4 z 1 z 4 z0 3

Dado que 4z 3 es distinto de cero en cualquiera de los polos. 1 en z  z0 .Al sustituir para los cuatro valores (1  j ) Residuo en z  1  j 

2

Residuo en z  1  j 

2

1 3

 1 3 4  1  j   2 1 3

 1 3 4  1  j   2

4z0 3

Es el valor de cada residuo

2 se obtiene lo siguiente:

  1  j  4 2

  1  j  4 2

Residuo en z   1  j 

2

Residuo en z   1  j 

2

1 3

 1 3 4   1  j   2 1 3

 1 3 4   1  j   2

 1  j  4 2

 1  j  4 2

5) Evalué la integral de contorno



C

dz z3  z 2  2z  2

Donde C es el círculo z  3 SOLUCION:



Los polos de 1 z 3 z 2  2 z  2





son como sigue; un polo de orden tres en z  0 , y dos polos



simples donde z 2  2 z  2  0 , esto es en z   1  j .Todos estos polos están dentro del contorno C . Se sabe que el residuo en z  0 esta dado por :

    1 d2  1 1 d    2z  2  d    z  1    lim  lim 2 2 z 0 2! dz 2  z 2  2 z  2    z 0 2 dz   z 2  2 z  2   z 0 dz   z 2  2 z  2      

lim

  z 2  2 z  2    z  1 2  z 2  2 z  2   2 z  2  2

 lim

z

z 0

2

 2z  2

4



1 4

El residuo en z   1  j es

lim  z  1  j 

z 1 j



1 1  lim 3 z  1  j z  z  1  j  z  1  j  z  z 1 j  3

1

1



 1  j   2 j  1  j  3

3

 2j

1  2  2 j  2 j

Al utilizar 1  j   1  3 j  3 j 2  j 3  2  2 j . 3

De donde el residuo en z   1  j será



1 1 1 1 j 1    1  j  4 1  j 4 2 8

El residuo en z   1  j

 lim  z  1  j  z 1 j

1 z  z  1  j  z  1  j  3

Que es precisamente el conjugado complejo del residuo en z   1  j . De lo anterior, se puede abreviar el álgebra y establecer el residuo como La suma de los residuos es

1 1 1   1  j    1  j   0 4 8 8 Así, por el teorema del residuo:



C

dz  2 j  0   0 z  z  2z  2 3

2

1  1  j  . 8

GRUPO N° 2

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Calcular la transformada Z inversa de ( )=

1 −3

Solución: ( )

Y por tanto

=

1 −3

1 −2

( )=

[ ] = −2

1 3

−2

1 −2

=

1 −2

1 −3

= −2 = −18 = 18 −

− 18

1 3

18

1 −3

+

1 −3

18

+

+ 18

+

1 −2

1 2

[ ]

1 −2

2. Calcular la transformada Z inversa de

( )=

1 2

−

+

1 3

Solución:

( )

=

Asi:

1 − 2

1 + 3

( )=

3 5

( )= Por lo tanto:

[ ]=

3 1 5 2

3 5

1 −3

1 −3

+

+

=

+

1 − 3

+

+

2 5

1 +3 2 5

1 − −3

2 1 − 5 3

[ ]

1 3

3. Determine la respuesta impulsional del sistema causal definido por ( )= Solución: -

(1 − 0.8

1 + 0.15

)

Como ( ) es una función racional, el primer paso es descomponerla en fracciones simples en forma de potencias de

. Una posible forma de hacerlo es descomponer

en potencias de z:

-

Los polos de

( )

( )=

− 0.8 + 0.15

=

− 0.8 + 0.15

=

− 0.5

+

− 0.3

Es inmediato obtener = 5/2 y = −3/2. Sustituyendo se llega a la forma sencilla de la función de transferencia siguiente: ( )

-

( )

son 0.5 y 0.3. De esta forma, podemos escribir: ( )

-

→

( )

=

5/2 3/2 + − 0.5 − 0.3

La respuesta temporal de un sistema causal con un transformada Z del tipo

Es ℎ[ ] = llega a:

( )=

(1 −

1

)

[ ]. Aplicando este hecho junto con que la transformada Z es un operador lineal, se ℎ[ ] =

5 1 2 2

−

3 2 2 10

[ ]

4. Un sistema T de tipo LTI y causal viene descrito por esta ecuación en diferencias [ ]−

3 1 [ − 1] + [ − 2] = [ ] 4 8

Hallar la función de transferencia y la respuesta al impulso de este sistema.

Solución: -

Hallamos la función transferencia: 3 1 [ ]− [ − 1] + [ − 2] = [ ] 4 8 ( )−

3 4

( ) 1−

( ) = ( )

( )= ( )= -

Hallamos el impulso: ( )

3 4

( )+

=

−

1 8

+

=

Donde A=2 y B=-1. Sustituyendo: ( )

=

1 8

1

3 1−4

1 2

−

1 −2

1 −2 2

1 −2

1 4

= ( ) 1 +8

,| | >

1 2

1 −4

Los polos son y de esta forma podemos escribir: ( )

( )= ( )

+

−

1 −4 1

1 −4

La respuesta temporal de un sistema causal con una Transformada z del tipo ( )=

(1 −

1

)

Es ℎ[ ] =

Por lo tanto:

[ ].

ℎ[ ] = 2

1 2

1 4

−

[ ]

5. Dada la Transformada Z de la respuesta impulsional de un sistema causal

( )=

Determinar dicha respuesta impulsional.

1 ) (1 +

(1 − 0.5

)

Solución: -

La función de transferencia ( ) se puede expresar como ( )=

( − 0.5) ( + 1)

→

( )

=

( − 0.5) ( + 1)

Que, descomponiendo en fracciones simples, se puede expresar en función de tres constantes como sigue: ( )

=

( − 0.5)

+

( − 0.5)

+

( + 1)

Empleando el Teorema de los Residuos, se puede calcular de forma sencilla las constantes A, B, C: = =

( + 1)

=

|

|

( + 1) ( − 0.5)

=

.

|

1 6 .

= =

5 9

4 9

Se tiene entonces que: ( )

1 5 6 9 = + (1 − 0.5 ) (1 − 0.5

4 9 + ) (1 + 0.5 )

A partir de la expresión anterior, se puede plantear transformadas Z inversas de forma discreta para los das últimas fracciones y llegar a:

ℎ

( )

ℎ

( )

5 = (0.5) . ( ) 9 4 = (−1) . ( ) 9

Para el primer término se puede aplicar la propiedad de la derivada de la transformada Z, con lo que si se toma ( )=

1 = (1 − 0.5 ) (1 − 0.5)

Se calcula la transformada z inversa siguiente:

( )=

Ahora se tiene que −

( )

Cuya transformada Z inversa es

=

1 2

( )

0.5 0.5 = ( − 0.5) (1 − 0.5 1 2

( )

Por lo que se llega que la transformada Z inversa de ( equivalente a siguiente:

.

)

)

es

( ) que es

( − 1). Por tanto, se tendrá finalmente la respuesta impulsional

ℎ( ) =

1 6

1 2

( )+

5 1 9 2

4 ( ) + (−1) 9

( )

PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1

Encontrar la serie de Fourier para la función está definida por: +

( )=

SOLUCION:

−

,

,

−

< ≤0

≤ < /2

Puesto que el valor promedio de f(t) durante un periodo es cero, 1 2

Se obtiene:

=

2

)

cos(

=

=

+

2

/

1

/

2

/

4

( )

=0

( ) cos(

)

/

cos(

)

+

2

−

4

cos(

)

La primera integral del segundo miembro es igual a cero. Haciendo = − en la segunda integral se obtiene: =

8

(− ) cos[ =

=−

8

8

(− )](− ]

cos[

/

cos[

=−

16

/

/

cos(

)

=

cos(

)

=

8

− ]

Ahora, integrando por partes, se obtiene /

)−

( (

−

cos(

1

)

)

cos( )

cos(

)

(cos(

)

cos(

cos(nω )

)

1 2

8

8

/2 0

− 1))

Dónde:

16

=− = Puesto que cos

4

2

= (−1) , 8

=

cos( (1 − cos

0,

Análogamente, se obtiene: = =

2

)

sin( =

8

/

=

+

2

2

/

)

,

( ) sin( /

(− ) sin[

8

− 1)

4

)

sin(

)

(− )](−

)−

)

tsin(

−

8

=0

+

/

8 /

/

2

sin(

−

4

sin(

sin( )

Dónde: ( )=

8

(cos

+

1 cos 3 3

+

1 cos 5 5

Problema 2 Encontrar la serie de Fourier para la función f(t) definida por:

( )= SOLUCION: Y ( + ) = ( ),

=2 /

,

,

−

< 1. Se conoce también que la señal con coeficientes de Fourier =0 =

/(

)

Es impar, y que

| ( )|2

( )=

= 1/2

=0 ∀ | |>1

→ ( )=

=

( ) = (− ) =

( )↔

→ (− −

;

( )=

)↔

→

(− ) ↔

+2

=

;

;

+

1 4 2

→

+

1 → 2

=

[cos(

) + 1]

( ) = cos

=

2

)↔

(− − 1) ↔

=

1 →2 2 ;

)

( −

=0 → ( )=2

| ( )|

→

+

+

+

cos(

(− − 1) = − ( − 1) ↔ −

→−

+

−

=

−

2

=

2

1 → 2

( ) = −cos(

2

)

1 2

=±

1 2

Universidad Nacional Del Callao Facultad de Ingeniería Eléctrica Y Electrónica

PROBLEMAS RESUELTOS 

DOCENTE : Raúl P. Castro Vidal



TEMA

: FUNDAMENTOS DE LA SERIES DE FOURIER DE SEÑALES DISCRETAS

 CURSO

: Matemática Avanzada

 GRUPO

: 04

 ALUMNOS :       

QUIÑONES PONTE, Holmedo Bhily. SERVAN FERNADEZ, Marlon Jairo MERA VASQUEZ, José Anderson RETIS ESPIRITU, Juan Carlos LIZARRAGA MEZA, Erick PALMA FLORENTINO, Kevin CALIXTO ESTRADA, Juniors

1123220243 1123220127 1123220136 1123220662 1123220546 1123220154 1123210156

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

INGENIERÍA ELECTRÓNICA

2014-A

PROBLEMA 01: Considerando ahora la figura, hallar la representación en series de Fourier

Solución: INTERVALOS DE LA FUNCION ( )=

FORMULAS

, − + 2,

−1≤ 1

b) En este caso , la transformada de la ecuación es, sencillamente ( )=

4

+1

( ) = 4 sin( − 2 ) ( − 2 ) ( )=

4

0

0≤ ≤2 ≥2

La grafica de esta ecuación de la figura muestra que, como era de esperarse por las condiciones iniciales, la masa no se mueve sino hasta que se golpe cuando = 2

EJERCICIOS RESUELTOS

 Pregunta _1: Calcular la transformada de Fourier de una gausiana  x(t)=e  t

2

 Nota : 





1



x2 2

e dx  1 2  Solución : 



 X(f ) 



 t  j 2 ft  ( t  e e dt   e 2

 



e

 j 2 ft )

dt



 (( t  jf )2  ( jf )2 )



dt 



 e   f

2

 ( t  jf )  f e dt e 2

2

  2

e

 (  t  j  f )2

dt



 Aplicando el cambio de variable  t  j  f   X ( f )  e  f

 2

e

x2  2

x 2

dx

2 Como el valor de la integral es la unidad, 

 e  t  e  f 2

2

 Pregunta _ 2 : Obtener el modelo matemático del motor DC controlado por armadura en la Figura Hallar la funcion de transferencia

 Solución :  eb (t )  K b wm (t )...............................................(1) dia  eb .................................(2) dt  Aplicando _ la _ transformada _ de _ laplace  Eb ( s )  K bWm ( s ).............................................(3)  ea (t )  Raia  La .

 Ea ( s )  Ra I a ( s )  La sI a ( s )  Eb ( s )  I a (s)  (

1 )[ Ea ( s )  Eb ( s )]..................(4) Ra  sLa

 Ahora _ la _ ecuación _ del _ Torque :  Tm (t )  K iia ....................................................(5)  Su _ Transformada _ de _ Laplace _ es :  Tm ( s )  K i I a ( s )..............................................(6)  Se _ tiene _ tambien : dwm dt  Aplicando _ transformada _ de _ Laplace :  Tm ( s )  BmWm ( s )  J m sWm ( s )  Tm (t )  Bm wm (t )  J m

 Wm ( s )  (

1 )Tm ( s )...............................(7) J m s  Bm

 Tm ( s )  K i (

1 )[ Ea ( s )  Eb ( s )].............(8) Ra  sLa

Y _ Tambien _ tenemos :  Eb ( s )  K bWm ( s )  La _ funcion _ de _ transferencia _ es : W (s) Ki  F .T : m  Ea ( s ) ( J m s  Bm )( Ra  sLa )  K i K b

 Pregunta _ 3 : Calcular la transformada de Fourier de un pulso t   ( )  T sin c(Tf ) T  Solución : 

t t  F { ( )}    ( )e  j 2 ft dt T T t  T /2





e  j 2 ft dt

t T / 2

e  j 2 fT / 2  e j 2 fT / 2 sin  Tf   T sin c(Tf )  j 2 f f  En _ particular , si _ T  1 : 

  (t )  sin c( f )

Transformada _ de _ Fourier _ de _ un _ pulso _ rec tan gular :

 Pregunta _ 4 : Calcular la corriente que circula por el circuito RLC aplicando Laplace

Voltajes en los componentes: Resistor: RI ∫ ( )

Capacitor:

→ ( )=

la ecuación correspondiente para el voltaje seria ( )=

120 , 0 ≤ ≤ 1 0, > 1

+

+

1

( )

→ ( ) = 120 − 120 ( − 1)

→ ℒ{ ( )} = ℒ{120 − 120 ( − 1)}

→ ℒ{ ( )} = ℒ{120 } − 120ℒ{ ( − 1)} → →

120 120

− 120ℒ{( − 1 + 1) ( − 1)}

− 120ℒ{( − 1) ( − 1) + ( − 1)}

→ ℒ{ ( )} = → ℒ{ ( )} =

120 120

− 120[ −

120

1

Para el inductor tenemos:ℒ

− +

− −

Para la resistencia tenemos: ℒ{

1

− ]

120

= ℒ

}=

Y para el capacitor tenemos: ℒ{ ∫ ( ) → 0.1 ( ) + 20 ( ) + → ( )=

10

( )=

120

1200 1200 − ( + 100) ( + 100)

Hacemos fracciones parciales para: → ( )=−

(

− ] ( )

= [ ( )] =

}=

−

120

− − )

( )

( ) − −

120

1200 ( + 100)

=−

(

)

−

− −(

)

+

3 12 3 3 12 3 − + + + − 25( + 100) ( + 100) 25 25( + 100) ( + 100) 25 1200 + − ( + 100)

−

→ ( )= → ( )=

−3 3 3 − 100 − 12 + + 25 25 25 3 ( − 1) − 1200( − 1) − 25 3 3 [1 − ( − 1)] − 25 25 − 99( − 1) ( − 1)

−

(

)

(

]

(

(

) )

)

( − 1) + 12( − 1) ( − 1)

( − 1)

( − 1) − 12[

 Pregunta _ 5 : 

 Demostrar _ que _  ( f ) 

e

j 2 ft

dt



 Solución : 





e j 2 ft dt  lim a 

t 

 lim a 

a/2



e j 2 ft dt

t  a / 2

e

a/2

 a / 2 j 2 f

j 2 ft

e j fa  e  j fa j 2 f sin( fa )  lim a  f  lim a  a sin(af )  lim a 

Vemos _ que _ puede _ exp resarse _ como _ lim ite _ de _ funciones  En _ particular _ de _ la _ funcion _ sin c.Por _ tan to : 

( f ) 

e



j 2 ft

dt

(

)

2014

MATEMATICAS AVANZADAS Escuela: Ing. Electrónica Profesor: Raúl Castro Vidal Tema: transformada de Fourier Ciclo: 2014-A Alumnos: Diburga Valdivia luz Claudia Infantes Cayo Corina Mendoza Gutiérrez cristina Valeria Remigio edones Giovanna Evelyn Pérez Espinoza Efraín Mallco pereda Giovanni Reátegui Terrones Rolando Miguel

CORINA Toshiba 02/07/2014

[MATEMATICAS AVANZADAS] 2 de julio de 2014

EJERCICIOS GRUPO 8 EJERCICIO 1: Encontrar la transformada de Fourier del pulso rectangular

Pd (t )

de la figura 1 definido por:

1  1; t  2 d Pd (t )   0; t  1 d  2 Solución:

F ( w)    Pd (t )  



 P (t )e d

 jwt

dt



d



2



d

e  jwt dt

2 d

1  jwt  e  jw 

2

d

2

1  e jwd / 2  e  jwd / 2  jw



2  wd  sen   w  2 

 wd  sen    2  d wd 2 Ejercicio 2: Hallar la transformada de Fourier de la función:

f (t ) 

senat t

Capítulo: EJERCICIOS GRUPO 8

De la definición se tiene:

1

[MATEMATICAS AVANZADAS] 2 de julio de 2014 Del resultado anterior sabemos:

 pd (t ) 

2 sen  wd2  w

Según la propiedad de la simetría de la transformada de Fourier, dada por la teoría se tiene:

2  dt     sen     2 pd ( w)  2  t   1   sen  2 dt       p ( w)  d t ...(2)     Como

pd (w)

está definida por:

1  1 para w  2 d pd ( w)   0 para w  1 d  2 Es una función par de w; por consiguiente,

pd (w)  pd ( w) 1 d a Haciendo 2 en (2), obtenemos  senat     p2 a ( w)  t  Dónde:

Las gráficas de

f (t )  sen at

 t y su transformada,

F (w)

se muestran en las figuras:

Ejercicio 3: Hallar la transformada de Fourier de la función coseno de duración finita a .

Capítulo: EJERCICIOS GRUPO 8

1 para w  a p2 a ( w)   0 para w  a

2

[MATEMATICAS AVANZADAS] 2 de julio de 2014

Solución: la función coseno de duración un pulso; es decir, Donde

( ) ( )

Con la identidad

[

( )

se puede expresar como una función modulada por

( )

=

cos | |

1 | | 2

1 0

cos ]

=( )

+

0

( )

,

0

− 1 1 F = F cos ( ) 2 ( ) 0 +2 0 − 1F 1F + = ( )( ) ( )( ) 2 2 0 0 1 1 Y en un problema anterior vimos− que el + resultado dio:+F = 2 2 [ ( )] Entonces, se obtiene: 0

( )

[

= F(

( )

) cos

0

]

(

=2

)

sen

2

) ) sen (1 sen (1 − La representación gráfica de esta2transformada de Fourier, muestra a continuación: 2 se + −

+

+

Capítulo: EJERCICIOS GRUPO 8

=

3

[MATEMATICAS AVANZADAS] 2 de julio de 2014

Ejercicio 4: Encuentre la transformada de Fourier de un pulso único rectangular de amplitud τ y una altura A, que se muestra en la figura:

Solucion:

( )

Si se hace que y , entonces:

= =

2

/

= − − 2

/2 = /2

/2 − /2

/

2

Ejercicio 5: Obtenga la transformada de Fourier de la función exponencial, que se muestra en la figura:

Capítulo: EJERCICIOS GRUPO 8

( ) Cuyo espectro de amplitud se muestra en la siguiente figura: = 20

4

[MATEMATICAS AVANZADAS] 2 de julio de 2014

Solucion:

( )

De esta forma:

( )

=

( )

=

(

=

( ) )

(

0, =

=

−1 +

)

,

>0 N.

´[ ] =

[ ] , 1 1−( ) 2

[ ].

PROBLEMA: CALCULAR LA TDF

= [−3] = cos(3 ) + = cos(3 ) +

(

XN

=1

)

+ [−2]

=

+1

(

+1

)

[ ]

+ [2]

(

)

+1

( )

(

+ [3] )

(3 ) + cos(2 ) + (2 ) + cos(−2 ) + − (cos(−3 ) + (−3 )

(3 ) + cos(2 ) + (3 ) +

(2 ) + cos(2 ) −

= 2 cos(2 ) + 2 =2 =

=

4 cos (2 ) + 4

+ 2

+

( ) = arctan =

(3 ) = (

+

+2 (

(

)

)

−

)

(2 ) + 2

……2

4 cos (2 ) + 4

≠

(2 )

( )

(−2 )

(2 ) − cos(3 )

(

)

(3 )

⎧arctan ….. cos(2 ) ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

−

2

2

…..

…..

=

=±

4

+2 ; 4 =− +2 ; 4

+2

;

EJERCICIOS RESUELTOS DE CONVOLUCIÓN Y TRANSFORMADA DE FOURIER DE LA CONVOLUCIÓN (GRUPO 10)  Problema 01: Obtener la convolución f

* g de las funciones f (t )  et y

g (t )   e  t ,  constante. Solución: t

t

t

0

0

0

f (t ) * g (t )   f (u ) g (t  u ) du   e  u e  (t u ) du    e  t e ( 1)u du =

 e   t  e (  1) u   1

=

  e  t  e  t  , si   1  1

t 0



 e   t  e (  1) t  1   1

si   1 ,tenemos: t

t

0

0

f (t ) * g (t )   f (u ) g (t  u )du   e  e u

 ( t  u )

t

du    e e e du  e u t u

0

t

t

 du  te

t

0

De esta forma:

   e  t  e  t   f (t ) * g (t )     1  te  t  Problema 02: Considérese un

,

si   1;

,

si   1.

sistema lineal e invariante en el tiempo caracterizado por la respuesta al impulso h(t ) de la figura.

De manera similar se muestra en la figura, la entrada x(t ) que se desea aplicar al sistema LTI. Determinar la salida resultante. Solución:

h(t )  4u (t  1)  4u (t  3) x (t )  2u (t  1)  2u (t  2) Se aplica la propiedad distributiva de la convolución con respecto a la adición.

y (t )  x(t ) * h(t )   2u (t  1)  2u (t  2)  *  4u (t  1)  4u (t  3)    2u (t  1) * 4u (t  1)    2u (t  1) * 4u (t  3)    2u (t  2) * 4u (t  1)    2u (t  2) * 4u (t  3)  Se convolucionan las funciones singulares y por último se simplifica como se muestra:

y (t )  x (t ) * h (t ) 8r (t  1  1)  8r (t  1  3) 8r (t  2  1)  8r (t  2  3) 8r (t )  8r (t  2)  8r (t  3)  8r (t  5) El resultado se muestra en la siguiente grafica

Problema 03:Tómese en consideración la señal ilustrada en la figura f (t ) ,hállese la función de autocorrelación.

Solución: La función de autocorrelacion R f ( ) de la función f (t ) se puede calcular por medio de la convolucion de f con el conjugado de su versión reflejada tal, y como se muestra:

R f ( )  f ( ) * f * (  )

La representación de f (t ) en funciones singulares es la siguiente:

f (t )  2u (t  2)  2 r (t  2)  r (t  1)  r (t  1)  2u (t  1)

En la figura anterior se muestra la versión reflejada de f (t ) , se puede observar la representación en funciones singulares de f ( t ) :

f ( t )  2u (t  1)  r (t  1)  r (t  1)  2r (t  2)  2u (t  2) La función de autocorrelación se calcula a continuación. El cambio de variable es un formalismo fundamentado en el hecho que la función no representa una señal.

R f ( )  f ( )* f *( )   2u (  2)  2r (  2)  r (  1)  r (  1)  2u (  1)  *

 2u(  1)  r (  1)  r (  1)  2r (  2)  2u(  2) Después de aplicar la propiedad distributiva de la convolución, con respecto a la adición se obtiene:

R f ( )  f ( ) * f * (  ) 4r (  3)  2 p(  3)  2 p(  1)  4 p( )  4 r ( ) 4 p(  3)  2c(  3)  2c(  1)  4c( )  4 p( ) 2 p(  2)  c(  2)  c( )  2c(  1)  2 p(  1) 2 p( )  c( )  c(  2)  2c(  3)  2 p(  3) 4r ( )  2 p( )  2 p(  2)  4 p(  3)  4 r (  3)

Problema 04: Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:

T  , t   0 2 f (t )   cos( t ) , t  T 0  2 Solución: Podemos hacerlo aplicando la definición:

fˆ   

T 2





cos(0t )e  itdt 

T 2

T 2

 ei0t  e  i0t   it T  2  e dt  2

T

1  ie  i ( 0 )t ie  i ( 0 )t  2 fˆ ( )     2    0   0   T

2

1  i (2i ) T  i ( 2i ) T    fˆ ( )   sen  (  0 )   sen  (  0 )   2    0 2    0 2     T T    sen  (  0 )  sen  (  0 )    T 2 2   fˆ ( )    T T  2    0     0  2 2   Pero, también podemos usar:

  hˆ  gˆ fˆ  hg   0 h(t )   1 

g  t   cos(0t )

T 2 T , t  2

, t 

gˆ ( ) 

T  , t   0 2 f (t )   cos( t ) , t  T 0  2

 T sen     2 hˆ( )  T T  2

  (  0 )   (  0 ) 2

 f  t   h(t ) g (t )

  hˆ  gˆ fˆ  hg







hˆ  gˆ ( ) 



 T sen   '  1  2    (   '  )   (   '  ) d ' hˆ  gˆ ( )   hˆ( ')gˆ (   ')d  '  T  0 0   T 2 2   ' 2



1 2



h(t ) g (t ) e  itdt







T T     sen (  0 )  sen (  0 )    1 T 2 2   fˆ ( )  ( hˆ  gˆ )( )     T 2 2      T    0  0 2 2   Problema 05: Calcular la transformada de Fourier del producto de convolución de las siguientes funciones: a b 2 a b , t  2

  0 f (t )   1 

, t 

  ab  a  b  g (t )  2   t    t   2  2      Solución:

1 2

 f  g  (t )  

 f  g  (t )  



 f  g  (t ) 





f (u )g (t  u )du



ab ab   f (u )  (t   u )   (t   u )  du 2 2  

f (t 

ab ab )  f (t  ) 2 2

Es decir que el producto de convolución de f(t) y g(t) son dos funciones pulso de anchura a-b centradas en (a+b)/2 y -(a+b)/2 cuya gráfica es la siguiente:

1

0 -a

-b

0

b

a

Y cuya transformada de Fourier calculamos en el ejercicio anterior:

2a sen( a ) 2b sen(b)  2  a 2 b Una forma alternativa para calcular la transformada de Fourier del producto de convolución de f(t) y g(t) es usar el teorema de convolución, según el cuál, la transformada de Fourier del producto de convolución de f(t) y g(t) es igual al producto de las transformadas de Fourier respectivas de f(t) y g(t):

  0 f (t )   1 

a b a b sen( ) a  b 2  F .T . 2 ˆ  f ( )  a b 2  a  b , t  2 2

, t 

Calculamos la transformada de Fourier de g(t):

1 gˆ    2 1 gˆ    2

gˆ    e

 i



 g (t )e

 it

dt

 





a b 2

  ab  a  b    it 2   t  dt   t   2  2   e   

e

a b fˆ ( ) gˆ    2

i

a b 2

 ab  2 cos    2  

a b ) 2 2 cos   a  b    a b 2    2

sen(

fˆ ( ) gˆ   

2 1 a b  ab 2 sen( ) cos      2 2  

fˆ ( ) gˆ   

2 1  sen( a)  sen b    

Que coincide con la transformada que habíamos calculado del otro modo.

Ejercicio 1. Resuelva el problema de interpolación trigonométrica compleja en [0,2π] para el vector y = (1,2,3,4) y compruebe gráficamente que la parte real del correspondiente "polinomio" de interpolación complejo interpola los pares

¿Qué pares interpola la parte imaginaria? Solución. y=1:4;beta=fft(y); t=0:0.001:2*pi; fun=zeros(1,length(t)); for k=1:4 fun=fun+beta(k)*exp((k-1)*t*i); end fun=0.25*fun; plot(t,real(fun)) hold on plot(0:pi/2:3*pi/2,1:4,'or') hold off shg pause plot(t,imag(fun)) hold on plot(0:pi/2:3*pi/2,zeros(1,4),'or') hold off shg

Ejercicio 2. Diseñe una función en MATLAB que implemente la interpolación trigonométrica real a partir de la transformada rápida de Fourier. La función debe determinar, al menos, los coeficientes del polinomio de interpolación trigonométrico equilibrado y una gráfica de dicho polinomio en [0, T ], donde T es el periodo de muestreo. Los argumentos de entrada deben ser la muestra, el periodo de muestreo T y el paso h del mallado para generar la gráfica del polinomio en [0, T ]. Usando la orden plot, represente gráficamente, en el intervalo [0, 0.32] el siguiente polinomio trigonométrico de periodo 0.32 = 1/f1: f (t) = 0.5 + 2sen(2πf1t) + cos(2πf2t), f1 = 3.125Hz, f2 = 6.25Hz. A partir de f , obtenga una muestra de 64 puntos equiespaciados en el intervalo anterior. Verifique que la función diseñada permite reconstruir gráficamente, a partir de la muestra, la función f. Solución. t=0:0.001:0.32; f1=3.125;f2=6.25; y=0.5 +2*sin(2*pi*f1*t)+cos(2*pi*f2*t); plot(t,y) t=0:0.32/64:0.32;t=t(1:64); m=0.5+2*sin(2*pi*f1*t)+cos(2*pi*f2*t); function [a,b]=coeftrig(x,T,h) N=length(x);M=N/2; beta=fft(x); a(1)=beta(1)/N; a(M+1)=beta(M+1)/N; for i=2:M a(i)=2*real(beta(i))/N; b(i)=-2*imag(beta(i))/N; end t=0:h:T; p=2*pi/T; L=T/h +1; u=zeros(1,L); for k=1:M-1 u=u+a(k+1)*cos(p*k*t)+b(k+1)*sin(p*k*t); end u=u+a(1)+a(M+1)*cos(p*M*t); b=b(2:M); plot(t,u) shg Ejercicio 3. Considere nuevamente la señal

f (t) = 0.5 + 2sen(2πf1t) + cos(2πf2t), f1 = 3.125Hz, f2 = 6.25Hz. Con la muestra de 64 puntos equiespaciados obtenida en el ejercicio anterior, realice un periodograma (gráfica de amplitud frente a frecuencia) del correspondiente polinomio de interpolación trigonométrico. Compruebe la exactitud del análisis espectral, es decir, que en la señal reconstruida aparecen las mismas frecuencias que en la original. Solución. function barfou(x,v) N=length(x);M=N/2; beta=fft(x); beta(1)=beta(1)/2; beta(M+1)=beta(M+1)/2; beta=(2/N)*beta; beta=beta(v); bar(real(beta),'b'); hold on bar(imag(-beta),'r'); hold off shg Ejercicio 4. Determine la transformada discreta/rápida de Fourier de 512 puntos muestreados sobre un periodo de un segundo y procedentes de la señal f (t) = sen(2πf1t) + 2sen(2πf2t), Donde f1 = 30Hz y f2 = 400Hz. Describa el fenómeno de aliasing que aparece y como lo podría solventar. Solución. (Gráfica de la señal original) t=0:0.001:1; f1=30;f2=400; y=sin(2*pi*f1*t)+2*cos(2*pi*f2*t); plot(t,y) Nota: La frecuencia de 400Hz hace que la visualización en el tiempo sea confusa. (Obtención de la muestra: 512 puntos) t=0:1/512:1;t=t(1:512); m=sin(2*pi*f1*t)+2*sin(2*pi*f2*t); (Análisis espectral) barfou(m,1:206) Nota: A tenor del análisis espectral, la “señal reconstruida” es g(t) = sen(2πf1t) − 2sen(2πg2t), con g2 = 212.

Hay un fenómeno de aliasing debido a un muestreo lento. Para solventar el problema basta muestrear con 802 puntos puesto que la frecuencia más alta es de 400Hz. Ejemplo 5. Obtenga el espectro de frecuencias de una señal de ECG que ha sido muestreada a una tasa de 250 muestras por segundo. Para ello, implemente un programa en Matlab y utilice para el cálculo de la DFT la función FFT para 512 puntos. Grafique la función de ECG en el tiempo y su correspondiente espectro, e n HZ. Solución. Utilizando la función espectro se obtiene la señal en el tiempo y su espectro de frecuencias, como se ilustra en las Figura 6.24. function espectro(x,Np,fm); % x --- señal discreta de entrada % Np --- número de puntos de la DFT % fm --- frecuencia de muestreo L=length(x); Tm=(1/fm); Mp=ceil(Np/2); wd=0:2*pi/Np:2*pi*(Np-1)/Np; wdo=zeros(1,Np); fc=zeros(1,Np); z=abs(fft(x,Np)); zo=zeros(1,Np); FFT t=0:Tm:Tm*(L-1); % Reorganización de frecuencias wdo(Np-Mp+1:end)=wd(1:Mp); wdo(1:Np-Mp)=wd(Mp+1:end)-2*pi; % Frecuencia continua en Hz fc=wdo/(2*pi*Tm); % Reorganización de la FFT zo(Np-Mp+1:end)=z(1:Mp); zo(1:Np-Mp)=z(Mp+1:end); % Visualización plot(t,x); title('Señales de ECG'); xlabel('Tiempo (seg)'); figure; plot(wdo,zo);

% % % % % % % %

Longitud de la señal Tiempo de muestreo Mitad de puntos de la FFT Vector de Frec. discreta Vector de Frec. disc. org. Vector de Frec. cont. Hz Magnitud de FFT de la señal Vector para reorganizar la

% Vector de tiempo

title('Magnitud de xlabel('Frecuencia figure; plot(fc,zo); title('Magnitud de xlabel('Frecuencia

la DFT') discreta (rad)')

la DFT') (Hz)')

APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER: Ejercicios Resueltos

MATEMATICAS AVANZADAS INTRODUCCION:

El siguiente documento contiene una serie de ejercicios donde se aplica la transformada de Fourier a la solución de ejercicios que podrían plantearse en algunas aplicaciones de compresión

GRUPO DE TRABAJO DE MATEMATICA GRUPO NUMERO 12 Avalos Tovar Víctor Manuel

100710K

Guzman Alvitrez Cesar Augusto

090609K

Callado Acosta Angel Jorge

112322065

Ponte

100684J

Izaguirre Omar Masias



coordinador

APLICAR LA TRANSFORMADA DE FOURIER Y RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS: I.

Calcular la transformada de Fourier de un pulso:

π(

) 

(

Solución:

) 1

/

− −2

En particular, si

π(

) 

= 1:

( )

1

= =

/

/

/

=

1

sin

=

La figura siguiente ilustra esta transformada.

(

)

1

II.

Calcular la transformada de Fourier de una ( )=

gaussiana: Nota:

− 2

1

√2

Solución: ∞

( )= =∫

∫

((

=1

)

(√

(

−∞

) )

√

)

−

2

−2

= ∫

− ( 2+ 2 )

= (

)

=

2

Aplicando el cambio de variable √

+ √ −

( )=

Como el valor de la integral es la unidad,

III.

2

2

=

√

,

√2

< −>

Calcular la transformada de Fourier de las siguientes señales periódicas:

a. ( )=| .

(

)|

solución:

3

=

(

2

)

dt = =

2 4

=

( )=

( )=

2

(

2 (

)

=

− 2

(

4

(

−1 + (1 − n)

)

(

)

+

)

−1 + (1 − n) )

)

+1 (1 + n)

(

dt −

+1 (1 + n)

(

−1 + (1 − n)

(

(1 − n) 0

4

)

dt

( −

(

)

dt

)

(1 + n) 0 (

)

+1 (1 + n)

)

b. ( )=

(200

)

4

Solución:

=

1

/ /

( )

dt =

1 4 =

1 2

Sen(

( )=2 ( ′) = ( )= ( )=

( ′) Sen(

1 4 −i

dt =

i

−

)

Sen(

)

Sen(

( ) =2

1 1 = −1 4

)

( −

)

+ ( ′) 2 )

( − 200 −

)+

Sen(

)

( + 200 −

)

5

IV.

usando la transformada de Fourier hacer las siguientes integrales a. F(0) =

(1 − t ) e

dt

Solución: F(w) = f(t) =

f(t)e

(1 − 2t + t )e

f(t) = √π e

1−

dt dt =

F(0) = e

dt − 2

w w − 2 8

e

f(t)dt

. t dt +

con w = 0

e

. t dt

f(t) = √π

b. (0) =

.

(5 )

Solución: F(w) = f(t) =

1 2

f(t)e e

dt

(1 + cos(10t))dt =

e

dt +

F(0) =

f(t)dt

e

. cos(10t)dt

6

F e

= √π e

con w = 0

f(t) = √π +

V.

√π

e

2

F e

= √π

+ e

Desarrollar la siguiente función: ( ) = en serie de Fourier.

Solución:

Se usaran las siguientes identidades: ±

= cos

cos

=

sen

=

±

+ 2 − 2

La función quedaría expresada así:

sen

=

=

− 2

1 32

−5

5 5 sen − 8 16

+ 10

3 +

− 10

1 16

+5

5

−

7

8

Matemática Avanzada

Algoritmos en el Tratamiento de Señales Grupo G14: PROBLEMAS RESUELTOS:

 Alvarez Huertas, Elvis

 Arrieta Caballero, Gerardo  Bardales Cáceres, Stephen  Boceta Rodriguez, Giuseppe  Rodriguez Lengua, Paulo

2014

Universidad Nacional del Callao – FIEE – 2014A

Algoritmos en el Tratamiento de Señales

Algoritmos en el Tratamiento de Señales Problemas Resueltos:

Señales Analógicas, Señales Discretas y Teorema de Muestreo: 1) Se tiene la siguiente señal analógica:

( )=

(

)+

(

)+

(

)

Responder: a) ¿Cuál es la frecuencia de Nyquist para analizar la señal? b) Si usamos una frecuencia de muestreo de 5ksps. ¿Cómo será la señal discreta después del muestreo? c) ¿Cuál será la señal de salida si reconstruimos la señal usando la interpolación ideal?

Solución: ( )=3 ( )=3

(2000 ) + 5 sin(6000 ) + 10 (12000 ) (2 × 1000 ) + 5 sin(2 × 3000 ) + 10 (2 × 6000 )

La señal está compuesta por frecuencias de:

=1

,

=3

,

=6

a) Debido a que la frecuencia máxima de la señal es de 6kHz, la frecuencia de muestreo >2×6 = 12 , entonces tenemos que:

= 12

=5

b) Al usar una frecuencia de muestreo de 5ksps, es decir: se puede representar con dicho muestreo será

= 2.5

, la máxima frecuencia que

. El resto de señales que no

cumplan con el criterio de Nyquist serán sujetas al efecto de aliasing, de la siguiente manera: ( )→ (

)=

( )=3

2000

( )=3

2 ×

=3

5

5000

2000

+ 5 sin 6000

+ 5 sin 6000

+ 5 sin 2 ×

3

5

+ 10

5000

( )=3

(2 × 0.2 ) + 5 sin(2 × 0.6 ) + 10

( )=3

(2 × 0.2 ) + 5 sin 2 × 0.6

+ 10

+ 10

2 ×

6

5

12000

12000 5000

(2 × 1.2 )

Ahora debido a que los términos con mayor frecuencia que 2.5kHz muestran que f de la sinusoidal discreta −0.5 ≤ ≤ 0.5 , como en: + 10

2 × 1.2

Debemos usar la propiedad de las señales sinusoidales discretas para llevarlo a dicho rango:

cos(

+ ) = cos([ + 2 ] + )

Entonces tendremos: ( ) = 3 (2 × 0.2 ) + 5 sin(2 × [1 − 0.4] ) + 10

( )=3

(2 × 0.2 ) − 5 sin(2 × 0.4 ) + 10

(2 × [1 + 0.2] )

(2 × 0.2 )

( ) = 13

Algoritmos en el Tratamiento de Señales

(2 × 0.2 ) − 5 sin(2 × 0.4 )

c) Al reconstruir la señal muestreada a 5ksps, usando un DAC ideal, solo basta reemplazar

= × : ( ) = 13 ( ) = 13 ( ) = 13 ( ) = 13

(2 × 0.2[ × ]) − 5 sin(2 × 0.4[ × ]) (2 × 0.2[5000 × ]) − 5 sin(2 × 0.4[5000 × ]) (2 × 1000 ]) − 5 sin(2 × 2000 ]) (2000 ]) − 5 sin(4000 ])

Dicho resultado difiere enormemente de la señal original.

Periodicidad de Señales Discretas:

2) Determinar si las siguientes funciones discretas son periódicas y si lo son, hallar su periodo fundamental: a) b) c) d)

( ( ( (

)= )= )= )=

Solución:

( . ) ( ) ( ( / ) ( / )−

/ ) ( / )+

(

/ + / )

El periodo fundamental N es el mínimo valor que cumple la ecuación:

( + )= ( )

( ) = cos(0.01 ) 2 1 ( ) = cos , = 200 200 2 2 [ + ] ( ) = cos = cos 200 200 2 2 2 ( ) = cos = cos + 200 200 200

a)

Debido a que se trata de una señal sinusoidal de periodo 2π.

2

=

2 , 200

=

200

,

= 200

Dicha señal si es periódica dado que con el valor N=200, k=1 y se vuelve un número entero de manera que cumple con el periodo 2π para el coseno.

( ) = sen(3 ) 3 3 ( ) = sen 2 , = 2 2 ( ) = sen(2 ) = sen(2 [ + ]) ( ) = sen(2 ) = sen(2 ) +2

b)

Algoritmos en el Tratamiento de Señales

Debido a que se trata de una señal sinusoidal de periodo 2π.

2

=2

,

=

,

=

3 = 2

,

En este caso, dicha señal discreta no es periódica debido a que no hay forma de que los valores k y N sean enteros y la razón entre ambos números enteros tengan como resultado

. ( ) = cos(n/8)sin(

c)

/8)

De la experiencia de los ejercicios anteriores podemos concluir que cos(n/8) no es una función

=

periódica ya que su frecuencia no es un número racional En el caso de la función sin(

=

=

/8) que compone la señal, si es periódica debido a que:

de la cual se puede concluir que N=16.

Sin embargo el producto de una función periódica con una no-periódica resultará en una función noperiódica.

( ) = cos(n/8)sin(

d)

( ) = sin(

/2) − sin(

La función está compuesta por:

1 = , 4

/8) Es no-periódica.

=

/8) + 3cos(

1 , 16

=

1 8

/4 + /3)

La suma de estas funciones periódicas hará que ( ) también sea una función periódica. El periodo fundamental será 16, debido a que es el mínimo valor de periodo común para todas las señales.

Sistemas discretos LTI en ecuaciones en diferencias: 3) Determinar la respuesta del sistema:

( )= .

( − )− . Ante una entrada de ( ) =

( − )+ ( − )+ ( − ) ( ).

Solución: ( ) = 0.7 ( − 1) − 0.12 ( − 2) + ( − 1) + ( − 2) Escribiremos la función discreta en forma de su transformada Z.

( ) = 0.7 ( ) × − 0.12 ( ( ) − 0.7 ( ) × + 0.12 ( ( )(1 − 0.7 + 0.12 ) = ( + ) ( )= (1 − 0.7 + 0.12 )

)× )× ( )( ( )

+ ( )× = ( )× + )

+ ( )× + ( )×

Algoritmos en el Tratamiento de Señales

Sabiendo que ( ) =

1 1−

( )=− ( )=− ( )=

( ) , entonces tendremos que ( ) = −

( − 1)

−1 =− =

(1 −

( − 1) − ( ( − 1)

)

(1 − 0.7 (1 − 0.7 ( )= ( )= ( )= ( )= ( )

=

10 − 3

+ 0.12 + 0.12

1 0.12 1 0.12 1 0.12 1 0.12 1 0.12

1+

1− 1− − − −

) = 0.3 × 1 − ) = 0.12 1 −

0.3

10 3

10 3 10 3 10 3

5 − ( − 1) 2

+

.

0.3

.

)( )

( ) en el sistema LTI. ( + ) ( )= (1 − 0.7 + 0.12 ) (1 − ) El polinomio (1 − 0.7 + 0.12 )se puede expresar como: (1 − 0.7 + 0.12 ) = ( − 0.3)( − 0.4) (1 − 0.7 + 0.12 ) = (0.3 − )(0.4 − ) Reemplazando

( [ ( )])

× 0.4 × 1 − 1−

0.4

.

1−

1

+

(1 − ) 0.4 + 5 1− (1 − ) 2 + 5 1 1 − ( − 1) 2

5 − ( − 1) 2 1+ 5 − ( − 1) 2 =

( − 1)

+

( − 1)

+

10 − 3

+

−

5 2

Algoritmos en el Tratamiento de Señales −

Multiplicando la expresión por

y haciendo

=

10 10 − − 1+ 3 + 3 + = 5 ( − 1) ( − 1) − ( − 1) 2 10 1+ 234 3 = → = 10 5 10 245 − ( − 1) 3 2 3

+

10 3 5 − 2 −

− y haciendo = 5 5 5 − − − 1+ 2 + 2 + 2 + = 10 10 ( − 1) ( − 1) − ( − 1) − 3 3 5 1+ 28 2 = → =− 15 5 10 5 − −1 2 3 2

Multiplicando la expresión por

Multiplicando la expresión por ( − 1) y haciendo z=1.

(1 + ) = 10 5 − − 3 2 (1 + 1) = 10 5 1− 1− 3 2

+ ( − 1) + →

=

4 7

( − 1) ( − 1) + 10 5 − − 3 2

El último término de la expresión se puede hallar diferenciando la expresión respecto a z y haciendo z =1.

(1 + ) 10 5 − − 3 2 (1 + ) 35 25 − + 6 3

=

+

=0+

[ ( − 1)]

+0+0

+

( − 1) 10 − 3

+

( − 1) 5 − 2

Algoritmos en el Tratamiento de Señales

35 25 35 + − 2 − 6 3 6 35 25 − + 6 3 35 25 35 1− + − 2− 6 3 6 = 35 25 1− + 6 3 88 = 147 −

=

−

→

35 25 35 + − 2 − 6 3 6 35 25 − + 6 3

Finalmente la expresión se convierte en:

(

=

)

Regresando a la función Y(z):

( ) ( ) ( ) ( )

= =

1 0.12 1 0.12

= 4.76

= 4.76

(

( ) = 4.76

−

10 3

(

+

)

1+

−

(

)

5 ( − 1) 2

4 1 88 1 234 + + 7 ( − 1) 147 ( − 1) 245

1 1 + 4.99 + 7.96 ( − 1) ( − 1) (

)

)

+ 4.99

(

+ 4.99

+

(

)

+ 7.96 )

+ 7.96

1

−

1

−

10 3

−

28 15

− 15.56 10 − 3 − 15.56

1

5 − 2 1 5 − 2

− 15.56

Para encontrar la respuesta en tiempo discreto y(n) aplicamos la transformada inversa de Z.

( ) = 4.76[ ( ) = 4.76[

( )] + 4.99[ ( )] +

.

10 3 5 − 6.22 2

( )] + 4.99[ ( )] + 2.38

( ) = 4.76 + 4.99 + 2.38

10 3

−

.

( ) − 6.22 ( )

5 2

( )

Algoritmos en el Tratamiento de Señales

Respuesta en frecuencia de sistemas LTI y filtros digitales:

4) Determinar la respuesta en frecuencia del siguiente sistema LTI de un filtro digital expresado en ecuaciones en diferencias.

( )= .

Solución:

( )+ .

( − )

Calcular la respuesta en frecuencia de un sistema LTI consiste en expresar el sistema ℎ( ) en su transformada de Fourier donde la función se evalúa para todas las frecuencias discretas.

( ) = 0.1 ( ) + 0.9 ( − 1) = 0.1 + 0.9 ( ) − 0.9 ( ) = 0.1 1 − 0.9 = 0.1 (

)

=

=

0.1 1 − 0.9

Ahora para ver la respuesta a lo largo de las frecuencias de –pi hasta pi, deberíamos analizar todos los valores que puede tomar w y dibujarlo en una gráfica para ver la amplitud del sistema en diferencias frecuencias del dominio . Si realizamos la transformada Z del sistema Podremos visualizar la respuesta en frecuencia más fácilmente en MATLAB usando la función freqz.

Código en MATLAB:

=

0.1 1 − 0.9

→

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %Respuesta en frecuencia del sistema LTI% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %H(z) = 0.1/(1-0.9z^-1)

( )=

0.1 1 − 0.9

%1) Almacenar los coeficientes en dos vectores numerador = [0.1 0]; %estos son los coeficientes del numerador denominador = [1 -0.9]; %estos son los coeficientes del denominador %2) Usar la función freqz freqz(numerador, denominador)

Algoritmos en el Tratamiento de Señales

En la gráfica de MATLAB, muestra la amplitud del filtro respecto a la frecuencia en la parte superior y la fase del filtro respecto a la frecuencia en la parte inferior. Podemos concluir que se trata de un filtro pasa-bajo ya que para los valores de w que tienden a infinito (altas frecuencias), la amplitud del filtro decrece. 5) Determinar la frecuencia de corte y la respuesta en frecuencia del siguiente filtro digital de Butterworth de primer orden si este es implementado en un procesador con frecuencia de muestreo de 10kHz.

( )− .

Solución:

( − )= .

( )+ .

( − )

La resolución de este ejercicio es similar al anterior con la excepción de que se debe calcular la frecuencia de corte del filtro, este valor depende de la frecuencia de muestreo que usa el conversor análogo-digital en el procesador.

( ) − 0.5 ( − 1) = 0.25 ( ) + 0.25 ( − 1) − 0.5 = 0.25 + 0.25 1 − 0.5 = 0.25 + 0.25 0.25 + 0.25 = ( ) 1 − 0.5 1+ = 0.25 1 − 0.5

(

)

Algoritmos en el Tratamiento de Señales

Para calcular la frecuencia de corte en el dominio de este dominio que tenga la salida del filtro en -3dB.

debemos encontrar un valor

de

−3 = 10 log 0.5 =

( ) 1+ 1 + cos( ) − →2= ( ) 1 − 0.5 cos( ) + 0.5 1 − 0.5 ( ) 1 + cos ( ) + 2 cos( ) +

0.5 = 0.25

2=

1 + 0.25 cos ( 2 + 2 cos( )

) − cos( ) + 0.25 ( √2 1 + cos( ) 2= = 1.25 − cos( ) 1.25 − cos( ) 1 + cos( ) 1 + cos( ) →2= √2 = 1.25 − cos( ) 1.25 − cos( ) 2.5 − 2cos( ) = 1 + cos( ) 1.5 = 3 cos( ) 0.5 = cos( ) = arccos(0.5) =

3

La frecuencia de corte

obtenida es

)

pero pertenece al dominio de las frecuencias

complejas en rads/muestras. Para obtener la frecuencia de corte medida en Hz debemos usar la frecuencia de muestreo.

=

Ω

Donde: : Frecuencia angular en el dominio discreto (rad/muestra) Ω: Frecuencia angular en el dominio continuo (rad) : Frecuencia de muestreo

=

Ω

→

=

2

3 1 10000 = → = = 6 6 6 = 1666.667 ≅ 1.6

Podemos usar MATLAB para comprobar dichos resultados:

Algoritmos en el Tratamiento de Señales

Al igual que en el ejercicio anterior conviene expresar el filtro transformada Z.

Código en MATLAB:

= 0.25

1+ 1 − 0.5

→

( )=

en su forma de la

0.25 + 0.25 1 − 0.5

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %Respuesta en frecuencia del filtro Butterworth% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %H(z) = [0.25 + 0.25(z^-1)]/[1-0.5(z^-1)]; %1) Almacenar los coeficientes en dos vectores numerador = [0.25 0.25]; %estos son los coeficientes del numerador denominador = [1 -0.5]; %estos son los coeficientes del denominador %2) Usar la función freqz freqz(numerador, denominador)