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• Benjamin Hernandez Villanueva

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4-3. Un generador de cc con excitación independiente de 5 kW, 240 voltios, 1200 rpm, tiene las siguientes constantes: Resistencia de campo: Inductancia de campo: Voltaje de la fuente de campo: Resistencia de la armadura: Inductancia mutua de velocidad: Resistencia de la carga: Inductancia de la carga: Inductancia de la armadura:

R1=195 Ω L11=85 H V1=250 v RA=0.61 Ω GA1=1.55 H RL=23 Ω LL=10 H LAA≈0

(a) Determine la función de transferencia que relaciona el voltaje terminal de carga al voltaje aplicado al campo. (b) Cuál es la ganancia de voltaje de estado permanente. (c) Cuál es a ganancia de potencia en estado permanente (esto es, la relación entre la potencia de la carga y la potencia suministrada a campo). (d) Determine la corriente de carga y el voltaje de carga como funciones del tiempo comenzando a contar el tiempo cuando se cuerra e interruptor entre el campo y la fuente de 250v.

Solución

Ecuación circuital:

(1) (2)

Ecuación auxiliar:

(3)

a) De (1), (2) y (3):

[

[

]

[

]

[

]

]

La función de transferencia es:

b) En estado permanente:

c)

En (*):

d)

(

)

(

)

[ ]

En la ecuación (2):

Aplicando

:

{

[

Aplicando

{ }:

Reemplazando valores:

De la ecuación (3):

]

4-4. Un generador de cc de 50 kw, 250 volt, 900 rpm, tiene las siguientes constantes

Resistencia de campo Inductancia de campo Resistencia de la armadura Inductancia de la armadura Resistencia de la carga Inductancia de la carga

R1=30 Ω L1=20 H Ra=0.065 Ω La= 0.006 H RL=2.5 Ω LL=0.5 H

La constante de voltaje generado Kv= GA1w = 31.6 volt/amp. (a) Para operación de estado permanente con el campo conectado a una fuente de 240 volt, determine la corriente y el voltaje de la carga. (b) Para un tiempo de referencia igual con cero la resistencia de la carga se cambia instantáneamente de 2.5 Ω a 1.25 Ω. Determine la corriente y el voltaje en la carga, como funciones del tiempo. Trace curvas de respuesta. Solución Ecuación circuital:

(1) (2)

Ecuación auxiliar:

(3)

En estado permanente:

a) De (2) y (3): (*)

Aplicando { }:

{

[

Aplicando

{ }:

Reemplazando datos:

En (3) se tiene:

(

En estado permanente:

b) Para t = 0, RL= 1.25 Ω De la ecuación (*):

Donde:

)

]

Tomando { }:

Tenemos:

{

Tomando

{ }:

Reemplazando datos:

4-5. El generador del problema 4-3 se usa como la fuente de excitación (esto es al campo) para el generador del problema 4-4. Si la resistencia y la inductancia de la carga, las cuales están conectadas en serie con la armadura del generador del problema 4-4, son 1.25 ohm y 0.5 henrios, determine: (a) La función de transferencia que relaciona el voltaje Terminal en la carga al voltaje entrada o sea al voltaje de campo o de excitatriz. (b) Cuál es la ganancia de estado de voltaje permanente. (c) Para un voltaje de estado estable de 200voltios en la carga, cual debe ser el voltaje aplicado al campo de la excitatriz. (d) Si el voltaje determinado en la parte (c) se aplica como voltaje escalón , determine la corriente y el voltaje en la carga , como funciones de tiempo (e) ¿Cuál es la ganancia de potencia en estado permanente para las condiciones el inciso c?

Solución

El circuito es el siguiente:

a)

Para hallar la ecuación de transferencia hacemos:

Ecuación Circuital del Generador:

V1  ( R1  pL1 )i1 .......... ....(1)

V '1  (R '1  pL'1 )i 1 ..............(1' ) '

 Va  ( Ra  pLa )i a  GWi 1 .........( 2)

 V ' a  ( R ' a  pL' a )ia  G 'W ' i1 .......... ....( 2 ' )

Además:

VL  ( RL  pLL )i L

,

i a'  i L

 i a' 

Reemplazamos las ecuaciones (1’) y (  ) en (2’):

V

'

a

VL .......... ......(  ) R L  pLL 

VL V1' ' '  ( R a  pL a ) GW RL  pLL  ( R '1  pL'1 ) '

'

G 'W 'V1' ( R ' a  pL' a ) '  V a  VL RL  pLL  ( R '1  pL'1 )

,

VL  V ' a

 ( R ' a  pL' a )  G 'W 'V1'  V L 1  RL  pLL   ( R '1  pL'1 ) 

G 'W ' VL G 'W ' R L  pLL  ( R '1  pL'1 )   '  V1 R L  pLL  R ' a  pL' a ( R '1  pL'1 ) R L  R ' a  p L L  L' a R L  pLL 





VL G 'W ' RL  pLL    ........................( ) V1' ( R '1  pL'1 ) RL  R ' a  p LL  L' a



Por otro lado:

ia  i ' L





' , Va  V 1

Reemplazamos las ecuaciones (1) y (1’) en (2):

 Va  ( Ra  pLa )

Va V1  GW ' ( R1  pL1 ) R 1  pL 1



'



 R  pLa  GWV1  Va   'a V  '  a R1  pL1  R 1  pL 1 



 R '1  Ra  pLa  L'1  R  pLa  GWV1  Va 1  'a  V a '  R1  pL1 R '1  pL'1  R 1  pL 1 

GW V R1  pL1 GW R '1  pL'1   a  ' R1  pL1  R '1  Ra  p La  L'1 V1 R 1  Ra  p La  L'1





R '1  pL'1





 



 



GW R '1  pL'1 V '1    ........................( ) R1  pL1  R '1  Ra  p La  L'1 V1 V1 Va





Luego usamos las ecuaciones (  ) y ( ) :

  V L V L V '1  G 'W ' RL  pLL  GW R '1  pL'1   '  '   ' ' ' ' ' V1 V1 V1  ( R 1  pL 1 )RL  R a  pLL  L a   R1  pL1 R 1  Ra  pLa  L 1 

VL G 'W ' GW RL  pLL   V1 RL  R ' a  p LL  L' a R '1  Ra  p La  L'1 R1  pL1 











Finalmente:

H ( p) 

VL p  V1 p 



R

L



G 'W ' GW RL  pLL 







 R ' a  p LL  L' a R '1  Ra  p La  L'1 R1  pL1 

b) En estado permanente p=0; entonces de la ecuación de transferencia tenemos:

A

V



VL G 'W ' GWR L  V1 RL  R ' a R '1  Ra R1 







Donde:

R1  195 

R1'  30 

R a  0.61

Ra'  0.065 

W  125.66rad / seg

W '  94.25rad / seg

G  1.55henrys

G '  0.39henrys

R L  1.25 

L L  0.5henrys

Reemplazando los datos en H:



A

V



VL  0.37 V1

c) Si V L  200 v y de la ecuación de la parte (b) tenemos:

V1



VL



A

V

200  540.541v 0.37

VL  ( RL  pLL )i L .

d) De la siguiente ecuación:

V L  R L i L  pLL i L

VL  R L i L  p   pLL I L  p  p

Aplicando



I L ( p) 

A  Lim p 0

B

VL A B   .......... (1) p ( R L  pLL ) p R L  pLL

VL V  L ( R L  pLL ) R L

VL V L  L L p   R L / LL p RL Lim

Reemplazando en (1):

I L ( p) 

VL VL LL V   L pRL R L R L  pLL  R L

1  1     p p  R L LL 

Aplicando L1   :

i L (t ) 



VL 1  e RL RL

LL t



Finalmente reemplazando los datos:





i L (t )  160 1  e 2.5t Amp





VL (t )  200 1  e 2.5t vol e)La ganancia de potencia está representada por:

PL  VL i L  ( RL  pLL )i L i L  ( RL  pLL )i L

P1  V1i1  ( R1  pL1 )i1i1  ( R1  pL1 )i1

2

/

2

p 0

/

A



PL ………. (*) P1



PL  R L i L



P1  R1i1

P

p 0

2

2

Reemplazado en la ecuación (*)

PL R L i L R L V L R L  R L V L  AP  P1  R i 2  R V R 2  R V 2 1 1 1 1 1 1 1 2

A

P

A

P



2

2

1.25 0.372 195

 8.776x104 W

4-7.Un generador de cc con excitación independiente se acciona a una velocidad constante de 1200 rpm con el campo conectado a una fuente de 120 volt. La inductancia mutua de velocidad es 0.75 H. el voltaje termina de la armadura es 10 volt en circuito abierto. Otras constantes de la maquina son: Inductancia de campo L1= 30 henrios Inductancia de armadura La= 0.003 henrios Resistencia de armadura Ra= 0.075Ω Determine: (a) La resistencia de campo en ohms y constante de voltaje generado en volts/ampere de campo. (b) Se aplica repentinamente un voltaje de 125 al circuito de campo, si la corriente de campo era inicialmente cero, determine el voltaje de velocidad(generado) en la armadura, en función del tiempo. (c) Después que el generador ha legado a su equilibrio para las condiciones en la parte (b), una carga compuesta de una resistencia de 1.5 Ω en serie con una inductancia de 0.05 henrios se conecta bruscamente a las terminales de la armadura. Determine como funciones del tiempo: el par de armadura, el par desarrollado, el voltaje terminal de la armadura y la potencia en la carga. Cuál es la potencia de la carga en estado permanente.

Solución

a) EA = GwI1 (voltaje terminal de la armadura en circuito abierto)

Constante de voltaje:

b) V1 = 125 volt, EA(t) = ¿? Ecuación circuital:

(1) (2)

Tomando { } en (1):

{

Tomando

c)

{ } y reemplazando en (2):

RL = 1.5 Ω, LL = 0.05 henrios ,

,

(*)

En la ecuación:

Tomando { }:

{

Tomando

[

]

[

]

{ }:

Reemplazando en (1):

Reemplazando datos:

4-10.- Una máquina de cc va a usarse como motor en derivación y tiene los siguientes parámetros: Resistencia de campo: Inductancia de campo: Resistencia de armadura: Inductancia de la armadura: Inductancia mutua: Voltaje de línea constante: Inercia de la armadura:

R1=115 Ω L11=24 henrios Ra=0.08 Ω Laa=0.008 henrios Ga1=0.95 henrios 115 volt JM=0.38jg-m2

Las pérdidas de rotación de la armadura se desprecian. Se añade una resistecia externa de 1.92 Ω en serie con la armadura durante el periodo de arranque. Con la corriente de campo constante a 1 amperio, se cierra el interruptor para el tiempo de referencia t=0 conectando la armadura en línea. (a) Determinar las expresiones en función del tiempo para la corriente de armadura, el par electromagnético en newton-metro, y la velocidad del rotor en radianes/segundo. (b) Determine la velocidad de estado permanente en radianes/segundo y en revoluciones/segundo.

Solución

Ecuación circuital:

(1) (2)

Ecuación dinámica:

a) Al no haber carga ni perdida de rotación:

y D=0

También: Entonces:

{ (

}

{

)

(3)

De (2):

Tomando { }:

(

) (

Reemplazando datos:

}

)

Tomando

{ }:

De la ecuación:

De la ecuación (2) se despeja w: [

[

]

(

) (

b) En estado permanente:

En rpm:

)]

4.12. Un motor de c-c en derivación, de 20 hp, 230 volts, 600 rpm tiene las siguientes constantes

R 1  105 R A  0,12 L1  40H G A1  1,59H L AA  0 J  1,25kg  m 2 Estator trabajando en estado permanente, sin carga y con un voltaje nominal aplicado a la armadura y a las terminales del campo en derivación. Determine las expresiones en función del tiempo para la corriente y velocidad de la armadura para las siguientes condiciones. (a) A un tiempo de referencia, t=0, se aplica la carga con par nominal. (b) Determine la corriente en la armadura, velocidad y potencia que absorbe en estado estacionario.

Solución

Ec. Circuitales:

V1  ( R1  L1 )i1 .......... .......... .......... ........(1) V A  ( R A  L A )i A  G A1 .I 1 .w.......... .......( 2) En estado estacionario

I1 

230v  2,19 A 105

Para estado estable en vacío:

2  20 rad seg 60 V A  ( R A  L A )i A  G A1 .I 1 .w; comoLA  0 W0  600RPMx

230v  0,12xI A  1,59 Hx2,19 Ax20 rad

seg

I A  93,44 A Potencia en eje nominal de motor:

P  20Hp  TL .w T L

20 x746watts  237,46 N  m 20 rad seg

a) Para t=0

V A  R A .i A  G A1 .i A .I 1 .......... .......... .......... .......( 2a) Torque electromecánico: Te  G A1 .i A .I 1 .......... .......... ......( 3) Ec. Dinámica: Te  TL  J

w  Dw................................(4) t

Por condición del problema se debe despreciar perdidas rotacionales (D=0); sin embargo calculamos D en la condición de vacío (sin carga mecánica) estado estable:

G A1 .I 1 .I A  D.w 1,59 x 2,19 x93,44 20 rad seg D  5,1784 N  m rad / seg

En (4) D 

La respuesta en t se obtiene aplicando Laplace De ec (2a)

V A (s)  R A .I A (s)  G A1 .I1 .W (s)..................................(2b) De (3) y (4) G A1 .I 1 .I A ( s ) 

TL  W ( s )(J .s  D)  J .W (0) s

De(2b) VA  G A1 .I 1 .W ( s ) T G A1 .I 1 ( s )  W ( s )(Js  D)  J .W (0)  L RA s VA T  (G A1 .I 1 ) 2 .W ( s )  W ( s ) R A ( Js  D)  R A .J .W (0)  L s s VA T G A1 .I 1 .   R A .J .W (0)  W ( s )(R A .Js  R A .D  (G A1 .I 1 ) 2 )  L s s 2 G A1 .I 1 V A R .D  (G A1 .I 1 ) T .  W (0)  W ( s )(s  A ) L R A .J s R A .J s G A1 .I 1 .

Reemplazando valores:

W (s) 

5101 ,76 20 A B 20     s ( s  84 ,973 ) s  84 ,973 s s  84 ,973 s  84 ,973

Hallando los valores Ay B:

5101 ,76  60 ,04 S  0 s  84 ,973 5101 ,76 B  lim  60 ,04 S  84 , 973 s A  lim

Reemplazando:

W ( s) 

60 ,04 60 ,04 20 60 ,04 2,792     s s  84 ,973 s  84 ,973 s s  84 ,973

Hacemos la transformada inversa y obtenemos w en dominio del tiempo:

w(t )  60 ,04  2,792 e 84,973t Luego:

w(0)  62,832 rad w()  60,04 rad

s s

De la ecuación (2a)

V A  R A .i A (t )  G A1 .I 1 .w(t )  0,12 ..i A (t )  209 ,065  9,722 e 84,973 Despejando:

i A (t )  (174 ,458  81,017 e 84,973 ) A Luego:

i A (0)  93,44 A i A ()  174,458A La potencia que absorbe en estado estacionario es: P=230x176, 648 watts=40,063 w