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CURSO: Investigación de Operaciones Documento de trabajo

1.1 Formulación de modelos Modelo formal En toda organización, siempre hay objetivos que quieren ser maximizados (p.e. las utilidades, la rentabilidad de la inversión, la difusión de los avisos, la satisfacción de los clientes, la productividad de los trabajadores, etc.) o minimizados (p.e. costos de producción, mermas en la materia prima, plazos de entrega de proyectos, etc.). Estos objetivos deben ser logrados mediante decisiones (p.e. cuántos productos fabricar, cuántos trabajadores contratar, cuántas acciones comprar, en qué proyectos invertir, cuántos avisos publicar, etc.). Sin embargo, estas decisiones deben cumplir con determinadas condiciones, ya sea porque los recursos con que cuenta la organización son limitados (p.e. materia prima, máquinas disponibles, área de almacenamiento, presupuesto, etc.) o porque hay determinadas políticas o compromisos que cumplir (p.e. lotes mínimos de producción, compromisos con los proveedores, normas técnicas, acuerdos con el sindicato, etc.). Las situaciones mencionadas generalmente conducen a la formulación de un problema de programación lineal, el cual es un modelo matemático que expresa cuantitativamente el objetivo que se quiere alcanzar (función objetivo) mediante determinadas decisiones que están bajo el control de quien toma la decisión (variables de decisión) y que deben cumplir las condiciones determinadas por la situación analizada (restricciones). Tomemos el siguiente ejemplo para mostrar cómo se formula un problema de programación lineal. Enigma S.A. es una pequeña empresa fabricante de carteras de cuero. Una importante cadena de tiendas por departamentos está interesada en adquirir en los próximos tres meses todas las carteras que pueda producir Enigma S.A. en sus dos tipos, (cartera estándar y cartera de lujo). Un análisis cuidadoso de los requerimientos de fabricación dio como resultado la siguiente tabla en la que se muestra la necesidad de tiempos de producción (en horas) para las tres operaciones de manufactura que requiere cada producto. Producto Cartera Estándar Cartera de Lujo

Corte 0,5 1,5

Tiempo de producción (horas) Costura 1,0 0,5

Acabado 0,5 0,5

El departamento de Contabilidad ha determinado que la utilidad por bolsa estándar es de S/. 20 y por bolsa de lujo S/. 15.

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El departamento de Producción estima que para los siguientes tres meses estarán disponibles 750 horas de tiempo para Corte, 600 horas de tiempo para Costura y 350 horas de tiempo para Acabado. También se sabe que el lote mínimo de producción es de 300 unidades, en cualquier combinación de las cantidades de productos. La pregunta es: ¿cuántas carteras de cada tipo debe fabricar la empresa los próximos tres meses, de tal manera que se obtenga la máxima utilidad dentro de los límites capacidad de producción mencionados? Primero se definen las variables de decisión en este caso: X1: número de carteras estándar a fabricar los próximos tres meses. X2: número de carteras de lujo a fabricar los próximos tres meses. De acuerdo a la situación planteada, la utilidad total por la producción y venta de las carteras es: Utilidad total = 20 X1 + 15 X2

La solución óptima es la combinación de producción que maximice la utilidad, el problema es determinar los valores de las variables X1 y X2 que dan el valor más elevado de utilidad. Max 20 X1 + 15 X2 La producción de las carteras está limitada por la cantidad de horas disponibles. De la tabla sabemos que cada cartera estándar necesita de 0,5 horas de Corte por lo que X1 carteras estándar necesitarán 0,5 X1 horas de Corte. Así también, una cartera de lujo necesita 1,5 horas de Corte por lo que X2 carteras de lujo necesitarán 1,5 X2 horas de Corte. El total de horas utilizadas para producir X1 carteras estándar y X2 carteras de lujo es: Total de horas utilizadas en la operación de corte = 0,5 X1 + 1,5 X2 En vista que para Corte sólo se dispone de 750 horas, se debe cumplir que: 0,5 X1 + 1,5 X2 ≤ 750

Horas disponibles para Corte

Esta desigualdad se conoce como restricción. En general una restricción es una limitación de un recurso a utilizar (≤ ) o un requerimiento mínimo a satisfacer (≥), que puede ser expresada matemáticamente como una desigualdad o igualdad, y que debe ser cumplida por las variables del modelo.

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CURSO: Investigación de Operaciones Documento de trabajo De manera similar a la operación de Corte, las limitaciones de horas para las otras operaciones son las siguientes restricciones: X1 + 0,5 X2 ≤ 600 Horas disponibles para Costura 0,5 X1 + 0,5 X2 ≤ 350 Horas disponibles para Acabado También hay un lote mínimo a producir, es decir la cantidad de unidades a producir (X1 + X2) debe ser por lo menos 300 unidades, entonces la restricción es: X1 + X2 ≥ 300

Lote mínimo de producción

Además debemos considerar que no pueden producirse un número de carteras negativo, por lo tanto debe cumplirse: X1 ≥ 0 y X 2 ≥ 0

Condiciones de no negatividad

Estas restricciones aseguran que la solución no tendrá valores negativos y se les conoce como condiciones o restricciones de no negatividad. En resumen, el modelo formal de programación lineal para el problema planteado es el siguiente: Max 20 X1 + 15 X2 Sujeto a: 0,5 X1 + 1,5 X2 X1 + 0,5 X2 0,5 X1 + 0,5 X2 X1 + X2 X1, X2

Utilidad en soles ≤ ≤ ≤ ≥ ≥

750 600 350 300 0

Horas disponibles para Corte Horas disponibles para Costura Horas disponibles para Acabado Lote mínimo de producción Condiciones de no negatividad

Sobre el modelo formal de programación lineal hay que hacer algunas observaciones: ƒ ƒ ƒ

ƒ ƒ

La función objetivo puede ser minimizar. Las restricciones también pueden ser estrictamente de igualdad (=), mayor que (>) o menor que (.

ƒ

Las condiciones de no negatividad no se indican pues el LINDO las asume por omisión.

Para que el reporte presente el modelo que se ha resuelto, active el comando Reports, Formulation, como se indica en la siguiente figura:

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CURSO: Investigación de Operaciones Documento de trabajo Para que el reporte con la solución del modelo se presente, use el comando Solve o el icono indicado en la siguiente figura.

Icono Solve

Al activar el comando Solve (o el icono correspondiente), el programa mostrará una pantalla como es presenta en la siguiente figura. Se debe indicar si se quiere que además de la solución al modelo, el reporte muestre el análisis de sensibilidad.

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CURSO: Investigación de Operaciones Documento de trabajo El reporte obtenido por el LINDO es el siguiente: MAX 20 X1 + 15 X2 SUBJECT TO 2) 0.5 X1 + 1.5 X2