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Instituto Tecnol´ ogico del Cibao Oriental (ITECO) Manual de F´ısica I

Lic. Efrain Martinez G´abino Lic. Jos´e Miguel G´omez Guzm´an

Octubre 2013 cotu´ı, S´anchez Ram´ırez, Rep. Dom.

´Indice general Introducci´ on

7

1. Mediciones F´ısicas

9

1.1. Conversi´ on de Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2. Notaci´ on Cient´ıfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.

Cifras Significativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.4.

Operaciones con Notaci´ on Cient´ıfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2. Funciones y Proporciones

19

2.1. Relaciones entre variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2. Proporcionalidad Directa(PD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.3. Proporcionalidad Directa con el Cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.4. Proporcionalidad inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.5. Variaci´ on Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3. Vectores

29

3.1. Representaci´ on de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

3.2. Operaciones con Vectores y Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

3.2.1. Vectores negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

3.2.2. Multiplicaci´ on de un vector por un escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.2.3. Sumas de Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.2.4. M´etodo Gr´ afico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

3.3. Vectores Unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3

´INDICE GENERAL

4 4. Cinem´ atica

45

4.1. Conceptos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

4.2.

Movimiento Rectil´ıneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

4.2.1. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

4.3. Movimiento de Ca´ıda Libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

4.3.1. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

4.4.

Movimiento de proyectiles

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

4.5. Movimiento Circular Uniforme(mcu) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

4.6. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

5. Din´ amica

59

5.1. Conceptos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

5.1.1. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

5.2. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

6. Trabajo, Potencia y Energ´ıa

65

6.1. Concepto Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

6.1.1. Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

6.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

7. Calor y Temperatura

73

7.1. Concepto Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

7.1.1. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

7.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

Ap´ endice

79

Bibliograf´ıa

80

Presentaci´on

5

Instituto Tecnol´ogico del Cibao Oriental (ITECO) Universidad Patrimonio de la Comunidad

Escuela de Matem´atica y F´ısica Manual de Pr´ acticas de F´ısica I

Nombre y Apellidos: Matr´ıcula: Profesor: Trimestre: Secci´ on:

6

Presentaci´ on

Introducci´ on El estudio de la f´ısica es importante porque es una de las ciencias m´as fundamentales para el entendimiento de los fen´omenos naturales. Los cient´ıficos de todas las disciplinas utilizan las ideas de la f´ısica, como los qu´ımicos que estudian las estructuras de las mol´eculas, los paleont´ologos que intentan reconstruir la forma de andar de los dinosaurios y los climat´ologos que estudian c´omo las actividades afectan la atm´osfera y los oc´eanos. As´ımismo, la f´ısica es la base de toda la ingenier´ıa y la tecnolog´ıa, ning´ un ingeniero podr´ıa dise˜ nar un televisor, una nave espacial interplanetaria ni incluso mejor trampa de ratones sin antes haber comprendido las leyes de la f´ısica. El estudio de esta a´rea se puede considerar una aventura que se encontrar´a desafiante y, en ocasiones, frustrantes, pero ´esta con frecuencia le brindar´a satisfacci´on y beneficio a todo aquel que decida tomarse un poco de tiempo para escudri˜ nar el mundo de la f´ısica. ¿C´ omo estudiar f´ısica? Con frecuencia se le pregunta a los profesores c´omo se debe estudiar f´ısica y c´omo preparse para un examen? No hay respuesta simple para esta interrogante, pero s´ı se puede hacer sugerencias de acuerdo a la experiencia en el aprendizaje y la ense˜ nanza a trav´es de los a˜ nos. Lo mejor es, ante todo, mantener una actitud positiva hacia el tema de estudio, teniendo en cuenta que la f´ısica es la m´as esencial de todas las Ciencias Naturales. En otros trimestres m´as adenlante se usar´an los mismos principios f´ısicos, de modo que es importante que se entienda y se sea capaz de aplicar los diversos conceptos y teor´ıas explicadas tanto en las clases como en este manual.

7

8

Introducci´ on

Cap´ıtulo 1

Mediciones F´ısicas

Objetivos Diferenciar las medidas fundamentales de las derivadas. Estudiar los diferentes sistemas de medidas. Analizar las caracter´ısticas de medidas. Realizar operaciones con notaci´on cient´ıfica. Medir es comparar una longitud con otra que se ha dado y analizar las veces que la primera contiene a la segunda. Magnutud, en f´ısica, es todo aquello que puede dar la idea de tama˜ no, ejemplos: Longitud, superficie, volumen, peso, velocidad y otras, ´estas reciben el nombre de Magnitudes. De esas magnitudes hay algunas que se derivan de otras; por ej., la superficie es derivada de la longitud, pues se puede representar por el producto de dos longitudes; el peso se deriva de la masa; la velocidad es longitud por unidad de tiempo, ´estas son denomindas Magnitudes Derivadas. El Sistema Internacional de Unidades, SI, es el sistema desarrollado por la Conferencia General de Pesos y Medidas, ´este es adoptado por casi todas las naciones industriales del mundo. El mismo describe cada magnitud con su correspondiente unidad de medida de la siguiente manera: Magnitud Longitud Masa Tiempo Corriente el´ectrica Cantidad de sustancia Intensidad luminosa Temperatura termodin´amica 9

Unidad S´ımbolo metro m kilogramo kg segundo s ampere A mol mol candela cd kelvin K

10

1.1.

1.1. Conversi´on de Unidades

Conversi´ on de Unidades

Las unidades son cantidades algebraicas que pueden multiplicarse y dividirse entre s´ı. Para convertir una cantidad expresada en determinada unidad, a su equivalente en unidad diferente de la misma clase, se basa en el hecho de que multiplicar o dividir una cantidad 1 por 1 no afecta su valor. Por ejmplo, si 1 m = 10 cm, entonces 100 m/cm = 1, y se puede convertir una distancia s expresada en cent´ımetros a su valor en metros con s´olo 1 m/cm: multiplicar s (asign´andole un valor de 4 cm ) por 100  4 cm = (4 cm)

1 m · 100 cm

 =

4 = 0. 04 m 100

Ejemplo no. 1: Un profesor del ITECO trabaja 8 horas a la semana, ¿cu´antos minutos trabaja en dicha semana? Se desea convertir 8 horas a minutos, para ello se hace el siguiente procedimiento: Primero se analiza que 1 hora es equivalente a 60 minutos. Despu´es se hace la siguiente relaci´on (conocida como regla de tres): 1 h = 60 min 8 h = x min Se expresa con la variable x el valor desconocido, es decir, a lo que se quiere llevar la conrversi´on. Luego, se hace una multiplicaci´on cruzada. (1 h)(x ) =8 h(60 min) Se hace la operaci´on indicada

x h = 480 h(60 min), luego se 480 h min divide por la cantidad o inc´ognita que acompa˜ na a la variable x, es decir, x = h Se realiza la divisi´on de las cantidades num´ericas (en este caso el denominador es igual a 1, por lo que el numerador quedar´a igual) y como las horas est´an multiplicando y a la vez dividiendo, se eliminan quedando solo los minutos, esto es x = 480 min. Se concluye que el profesor trabaja 480 minutos en la semana. Ejemplo no. 2: Un estudiante de Inform´atica recorre 390 m desde su casa hasta el parqueo frente al edificio de las G del ITECO, una compa˜ nera de clases le pregunta por curiosidad que cu´antos kil´ometros debe recorrer para llegar a la Universidad, pero ´el se queda pensando y no sabe qu´e responder. ¿Cu´antos kil´ometros debe recorrer el estudiante? Este ejercicio es semejante al anterior, por lo que se hace la siguiente relaci´on: 1 km = 1000 m x km = 390 m. Luego se hace una multiplicaci´on cruzada. (km )(390 m) =x (1000 m) luego se divide por la cantidad o inc´ognita que acompa˜ na a la 390 (m) (km) variable x, es decir, x = 1000 m

1. Mediciones F´ısicas

11

Se realiza la divisi´on de las cantidades num´ericas y como los metros est´an multiplicando y a la vez dividiendo, se eliminan quedando km, esto es x = 0. 39 km. Se concluye que el estudiante debe recorrer 0.039 km.

12

1.2. Notaci´on Cient´ıfica

1.2.

Notaci´ on Cient´ıfica

En ciencia e ingenier´ıa son comunes los n´ umeros muy peque˜ nos o muy grandes, que se expresan mejor con la ayuda de potencias. Un n´ umero en forma decimal puede escribirse como un n´ umero entre 1 y 10, multiplicado por una potencia de 10, dicha potencia ha de ser positiva o negativa dependiendo el lugar recorrido por el punto (si el punto recorre lugares hacia la derecha, la potencia es negativa y si recorre lugares hacia la izquierda es positiva). Este procedimiento es conocido como Notaci´on Cient´ıfica. Por ejemplo, 345 = 3. 45 × 102 (el punto ha recorrido dos lugares hacia la izquierda, por tanto la potencia es dos positivo) y 0,00021 = 2. 1×10−4 (el punto ha recorrido cuatro lugares hacia la derecha, por lo que la potencia es cuatro nagativo). Algunos ejemplos de las potencias de 10 son las siguientes: 107 106 105 104 103 102 101 100

= 10, 000, 000 = 1, 000, 000 = 100, 000 = 10, 000 = 1, 000 = 100 = 10 =1

10−1 = 0. 1 10−2 = 0. 01 10−3 = 0. 001 10−4 = 0. 0001 10−5 = 0. 00001 10−6 = 0. 000001 10−7 = 0. 0000001 10−8 = 0. 00000001

Ejemplo no. 1: Los ingenieros encargados de la reparaci´on de la carretera Cotu´ı-Pimentel informaron a Obras P´ ublicas que necesitan 20,000,000 de pesos para dicha reparaci´on. C´omo se puede representar esta cifra en notaci´on cient´ıfica? Para poder representar 20,000,000 en notaci´on cient´ıfica, se debe tomar en cuenta que despu´es del u ´ltimo cero de la cantidad, hay un punto, el cual deber´a hacer un recorrido (contando los pasos dados)de derecha a izquierda hasta llegar al medio del primer cero y del dos, es decir, desde el u ´ltimo cero hasta el dos hay que dar 7 pasos, entonces se 7 expresa como 10 (positivo porque se recorre de derecha a izquierda), ´esta expresi´on debe ser multiplicada por el n´ umero que est´a delante de la cantidad inicial 2, es decir, 2 × 107 millones de pesos. Ejemplo no. 2: El a˜ no pasado fue encontrado un tinaco abandonado en el patio tracero de una casa del barrio de la Estancia, ´este ten´a 0.0000045 bacterias en el agua que conten´ıa. Exprese esta cantidad en notaci´on cient´ıfica. Se hace el recorrido de izquierda a derecha contando los pasos dados hasta llegar a una cantidad expresada en n´ umeros del 1 al 10, en este caso ser´a 4. 5 y los pasos son 6 (el cual ser´a negativo debido al tipo de recorrido), por tanto, la expresi´on es equivalente a 4. 5 × 10−6 bacterias.

1. Mediciones F´ısicas

1.3.

13

Cifras Significativas

Se ha dado el nombre de cifras significativas de un n´ umero a los d´ıgitos que se conocen con certeza m´as un d´ıgito incierto en un valor medido. Los ceros al final de un n´ umero pueden ser significativos o indicar solamente la posici´on del punto decimal. Por ejemplo, si una longitud est´a dada como 563 m entonces los tres d´ıgitos, 5, 6 y 3 deben ser significativos. No obstante, si otra longitud est´a dada como 2950 m, no se tiene claro si las cuatro cifras son significativas o u ´nicamente las tres primeras. La notaci´on en potencia de 10 permite eliminar esta ambig¨ uedad. Si las cifras significativas son u ´nicamente 2, 9 y 5, se 3 escribe 2. 95 × 10 m. Por otra parte, si el u ´ltimo cero tamb´en es significativo, se escribe 2. 950 × 103 m. Cuando las cantidades se combinan aritm´eticamente, el resultado no puede ser m´as exacto que la cantidad que posee la menor certeza; por lo tanto, 82 kg + 0. 13 82. 0 kg + 0. 13 82. 00 kg + 0. 13 82. 000 kg + 0. 13

kg = 82 kg kg = 82. 1 kg kg = 82. 13 kg kg = 82. 13 kg

Criterios para contar las cifras significativas en una medida Son cifras significativas en una medida, todos los d´ıgitos diferentes de cero, los ceros que est´an entre d´ıgitos diferentes de cero y los ceros a la derecha de un d´ıgito diferente de cero.

Ejemplo: Decir la cantidad de cifras significativas que tienen las siguientes medidas. 1. 0. 0034 kg Hay 2 cifras significativas porque los ceros ni est´an entre d´ıgitos diferentes de cero ni a la derecha de ´estos. 2. 2. 0056 m Hay 5 cifras significativas porque los ceros est´an comprendidos entre d´ıgitos diferentes de cero. 3. 30. 67 pul Hay 4 cifras significativas por la raz´on anterior.

14

1.4.

1.4. Operaciones con Notaci´on Cient´ıfica

Operaciones con Notaci´ on Cient´ıfica

Suma y Resta Para sumar o restar n´ umeros escritos en notaci´on de potencia de 10, ´estos deber´an expresarse en t´erminos de la misma potencia de 10, es decir, el exponente debe ser el mismo n´ umero. Ejemplos: Las siguientes expresiones tienen igual potencia, por lo que se procede a sumar normalmente los coeficientes, (2 × 108 ) + (6 × 108 ) = 8 × 108 (−5 × 104 ) + (−3 × 104 ) = −8 × 104 (2 × 108 ) − (−4 × 108 ) = 6 × 108 Cuando las expresiones tienen diferentes exponentes, ´estos deben igualarse y luego sumarse (3 × 102 ) + (4 × 103 ) = (0. 3 × 103 ) + (4 × 103 ), se han igualado las potencias haciendo que el pundo de la primera expresi´on se mueva un paso hacia la izquierda y por ser positivo, se le suma 1 al exponente inicial (102+1 ), entonces s´ı pueden sumarse, por lo que se obtiene: (0. 3 × 103 ) + (4 × 103 ) = 4. 3 × 103 Otros ejemplos son los siguientes: (3 × 105 ) + (6 × 103 ) = (3 × 105 ) + (0. 06 × 105 ) = 3. 006 × 105 (4. 46 × 10−5 ) − (2. 43 × 10−9 ) = (4. 4 × 105 ) − (0. 000243 × 105 ) = 4. 459757 × 10−5 Multiplicaci´ on Para realizar el producto de potencias de igual base, se han de multiplicar los coeficientes y se suman los exponentes. Ejemplos: (0. 23 × 10−8 )(3 × 106 ) = 0. 69 × 10(−8+6) = 0. 69 × 10−2 = 6. 9 × 10−3 (−5 × 107 )(6 × 106 ) = −30 × 10(7+6) = −30 × 1013 = −3 × 1014 (7 × 104 )(1. 4 × 10−2 ) = 9. 8 × 10(4+[−2]) = 9. 8 × 102 Divisi´ on Para dividir potencias de igual base, se dividen los coeficientes y se restan los exponentes. Ejemplos:

1. Mediciones F´ısicas

20 × 105 = 5 × 10(5−3) 4 × 103

15

= 5 × 102

9 × 10−3 = 3 × 10(−3−3) = 3 × 10−6 3 × 103 49 × 104 = 7 × 10(4−[−2]) = 7 × 106 −2 7 × 10

Potenciaci´ on Para elevar una potencia a un n´ umero, se evela el coeficiente al n´ umero y se multiplica el exponente a dicho n´ umero. Ejemplos: (7 × 102 )3

= (7)3 × 102(3)

= 343 × 106

= 3. 43 × 108

(−5 × 10−3 )2 = (−5)2 × 10−3(2) = 25 × 10−6 = 2. 5 × 10−5 (4 × 103 )−4 = (4)−4 × 103(−4) 1. 5625 × 10−14

=

1 44

× 10−12 =

1 64

× 10−12

= 0. 015625 × 10−12 =

Radicaci´ on Para extraer la ra´ız n-´esima de una potencia, se extrae la ra´ız del coeficiente y se divide √ 4 el exponente de la potencia entre n. Si queremos saber el resultado de 16 × 1012 , solo debemos √ buscar la ra´ız cuarta de 16 y dividir el exponente (12) entre el ´ındice de la ra´ız 12 4 (4), as´ı: 16 × 10( 4 ) , la ra´ız cuarta de 16 es 2 y 12 entre 4 es 3, el resultado queda expresado de la siguiente manera: 2 × 103 . Ejemplos: √ 3 3 64 × 103 = 64 × 10( 3 ) = 4 × 101 = 40 √ √ 8 4 × 10−8 = 4 × 10(− 2 ) = 2 × 10−4 √ 3

Dos casos que te pueden confundir: r

20 × 105 = 2×10−5 5 × 1015

→

Primero se debe realizar la divisi´on, (20/5) × 105−15 = 4 × 10−10 , y luego se extrae la ra´ız√cuadrada de esta expresi´on, 4 × 10−10 = 2 × 10−5

16

√ 5

3. 2 × 109 = 2 × 102

1.4. Operaciones con Notaci´on Cient´ıfica

→

En esta ocasi´on se debe convertir la parte decimal en un n´ umero entero, corriendo el punto un paso hacia la izquierda y sumarle 1 √ al exponente (9 + 1) √ 10 5 5 10 32 × 10 = 32 × 10( 5 ) = 2 × 102

1. Mediciones F´ısicas

1.5.

17

Ejercicios

Conversi´ on de Unidades Utilizar la siguiente tabla para realizar los ejercicios asignados. 1km = 1000 m 1 plg = 2. 54 cm

1h = 60 min 1 pie = 0. 3048 m

1h = 3600 s 1kg = 1000 g 1 kg = 2. 20 lb 1 mi = 1. 61 km

1. Un maestro constructor solicit´o comprar 50 kg de cemento blanco para hacer un dise˜ no en el exterior de la pared frontal de la Universidad ITECO. Si en la ferreter´ıa venden el cemento en libras, ¿cu´antas libras se deben comprar para satisfacer el mandato del alba˜ nil? 2. Efra´ın necesita llegar a tiempo a Rector´ıa porque tiene una reuni´on importante con Herminio V´asquez, ´el decide correr a una velocidad constante de 97 km/h. Si Benjam´ın, el watchman de Rector´ıa le pregunta a Efra´ın que cu´al fue su velocidad en m/s, ¿qu´e debe responder ´el? 3. Cada empleado de las oficinas de Registro debe trabajar 36 horas a la semana, ¿cu´antos segundos trabajan en un mes? 4. Un estudiante escuch´o de un maestro de geograf´ıa que el di´ametro de la tierra es de aproximadamente 7,900 millas, pero ´este no entendi´o debido a que desconoc´ıa esa unidad de medida. Si el estudiante le pregunt´o al profesor que a cu´antos kil´ometros equivalen esas millas, a) ¿qu´e debe responder el maestro? b) Y si otro estudiante quiere saber ese resultado en metros, ¿c´omo se debe responder? 5. El edificio de las aulas G tiene aproximadamente 345 pie de alto, ¿a cu´antos metros equivale dicha medida? 6. Normalmente, las mesas de las aulas tiene 60 cm de largo, ¿a cu´antas pulgadas equivale dicha medida? Notaci´ on Cient´ıfica Convierta las siguientes cantidades en notaci´on cient´ıfica: 7. 4560000 8. 0. 000927 9. 0. 001 10. 34280000 11. 20800000000

18

1.5. Ejercicios

Cifras Significativas Escriba el n´ umero de cifras significativas que contiene cada expresi´on num´erica: 12. 12. 0927 13. 0. 0032 14. 1. 7435 15. 0. 859 Operaciones con Notaci´ on Cient´ıfica Realice las operaciones correspondientes a cada caso. 16. (7 × 105 ) + (4 × 104 ) = 17. (9 × 10−2 ) + (3 × 103 ) = 18. (02 × 10−3 ) + (6 × 10−4 ) = 19. (5 × 108 ) − (7 × 105 ) = 20. (8 × 107 ) − (2 × 104 ) = 21. (9 × 10−5 )(2. 2 × 107 ) = 22. (6 × 10−4 )(4 × 108 ) = 23. (3 × 10−3 )(8 × 10−6 ) = 24.

35 × 10−9 = 5 × 102

25.

12 × 105 = 4 × 103

26.

(3 × 10−9 )(8 × 10−2 ) = 6 × 102

27. (9 × 103 )3 = 28. (0. 5 × 107 )4 = √ 3 29. 243 × 106 = r (2 × 105 ) + (7 × 105 ) 30. = 3 × 102 31.

(2 × 102 )(0. 00004) = (0. 00003)(4 × 104 )

Cap´ıtulo 2

Funciones y Proporciones

2.1.

Relaciones entre variables

Se denomina funci´ on a la regla o ley que asigna a cada elemento de un conjunto A, al menos, un elemento correspondiente en otro conjunto B. Si en un intervalo los elementos de un conjunto van cambiando se dice que son variables, de no cambiar se dice que son constantes. Las funciones no necesariamente son sencillas. Estas dependen del tipo de correspondencia que existe entre los elementos de los conjuntos dados. Si denotamos a la variable del segundo conjunto con la letra y y la variable del primer conjunto con la letra x , decimos que: y es una funci´on de x . En este caso decimos que hay una funci´ on de una sola variable, y se expresa de la siguiente forma: y = f (x). A x se le llama variable independiente y a y variable dependiente. Al conjunto de valores que puede tomar x se le llama dominio y al que puede tomar y se llama codominio o rango.

2.2.

Proporcionalidad Directa(PD)

Se designa como proporcionalidad directa a la funci´on en la cual el cociente (o raz´on) de los valores correspondientes a dos variables x y y es una constante, es decir, y1 y2 yn = = ··· = = constante x1 x2 xn De lo anterior se deduce que:

y =k x

A k se le denomina constante de proporcionalidad y no es m´as que la raz´on a la que cambia y con respecto a x. 19

20

2.2. Proporcionalidad Directa(PD)

La gr´afica de este tipo de funci´on es una l´ınea recta inclinada subiendo hacia la derecha que pasa por el origen.

figura 2.1: PD

Ejemplo Para hacer una reacci´on qu´ımica como experimento de laboratorio, hay que mezclar 250 gramos de hierro por cada 100 gr de azufre. Si se hace una tabla con algunas cantidades se obtiene: La gr´ afica obtenidad es: x (gr azufre) 25 50 75 100 125 150

y (gr hierro) 62. 5 125 187. 5 250 312. 5 375

figura 2.2: PD(azufre-hierro)

Aqu´ı se puede observar que: k=

y 62. 5 125 250 = = = = 2. 5 x 25 50 100

La ecuaci´on corespondiente est´a definidad como: k=

y x

o y = kx

es decir, y = 2. 5x

2. Funciones y Proporciones

2.3.

21

Proporcionalidad Directa con el Cuadrado

Se llama proporcionalidad directa con el cuadrado a la funci´on en la cual el cociente de los valores correspondientes a dos variables x2 y y es una contante. La expresi´on matem´atica que relaciona estas variables es: y = k o y = kx2 x2 La gr´afica de este tipo de relaci´on es una curva llamada par´ abola, la cual tiene su v´ertice en el origen.

figura 2.3: Proporcionalidad con el cuadrado

Ejemplo En un experimento hecho por los estudiantes de ingener´ıa del ITECO se encuentran los siguientes resultados: a) Gr´afico correspondiente x(m) 1 2 3 4 5

x2 (m2 ) 1 4 9 16 25

y(m2 ) 5 20 45 80 125

figura 2.4: PD con el cuadrado

b) El valor de la constante de proporcionalidad es: k=

y 5 20 45 80 = = = =5 2 x 1 4 9 16

22

2.4. Proporcionalidad inversa

c) De lo anterior se produce la ecuaci´on k=

y o y = kx2 2 x y = 5x2

2.4.

Proporcionalidad inversa

Se conoce como proporcionalidad inversa a la funci´on en la cual el producto de los valores correspondientes a dos variables x y y es una constante. De lo anterior se concluye que: k = yx o y =

k x

La gr´afica de esta funci´on es una curva llamada hip´ erbola

figura 2.5: Proporcionalidad inversa

Ejemplo: Para que los estudiantes de Fantino puedan viajar hacia la Universidad ITECO, deben alquilar un autob´ us que les cuesta 1,200 pesos. Seg´ un el n´ umero de estudiantes, tendr´an que pagar distintos precios por el ticket de viaje. Si se hace una tabla con algunos valores, se tiene que: x(n´ umero de estudiantes) y(precios) 5 240 10 120 20 60 30 40 40 30 50 24

Expresando los resultados en un eje coordenado se tiene la siguiente gr´afica (una par´ abola):

2. Funciones y Proporciones

23

figura 2.6: Proporcionalidad inversa(Estudiantes-Ticker)

Es posible observar que a mayor n´ umero de viajeros se tiene menor precio por el ticket del autob´ us. Expresando esto en t´erminos matem´aticos, se tiene: k = xy = 1200 Al sustituir a k por su valor y despejar a y, se obtiene la ecuaci´on matem´atica: 1200 y= x

2.5.

Variaci´ on Lineal

Se designa como variaci´ on lineal a la funci´on en la cual la ecuaci´on matem´atica que relaciona las variables es y = kx + b. En esta ecuaci´on k y b son constantes. Al valor de k se le denomina pendiente o constante de proporcionalidad y al valor b se le llama constante aditiva. La gr´afica de esta relaci´on es una l´ınea recta que no pasa por el origen.

figura 2.7: Variaci´on Lineal

Para determinar la constante de proporcionalidad, se toman dos puntos cualesquiera de

24

2.5. Variaci´on Lineal

la gr´afica (o de la tabla), y se realiza la siguiente operaci´on: k=

y2 − y1 x2 − x1

El valor de la constante aditiva es el valor de y cuando x = 0 Ejemplo: En un experimento hecho en el laboratorio de F´ısica, se considera la longitud de un resorte en estado de reposo cuando ninguna fuerza act´ ua sobre ´el, cuando act´ ua alguna fuerza sobre ´el, ´este se deforma. La siguiente tabla y gr´afico muestran los resultados:

x(F (n)) y(longitud) 0 4 1 6 2 8 3 10 4 12 5 14

figura 2.8: variaci´on Resorte

Tomando dos puntos, se puede calcular la constante de proporcionalidad: k=

y2 − y1 12 − 8 4 = = =2 x2 − x1 4−2 2

Luego k = 2. Nuestra constante aditiva est´a en la intercecci´on con el eje y, por lo que b = 4. Sustituyendo a k y b por los valores correspondientes, se obtiene la ecuaci´on Matem´atica: y = kx + b Por tanto, y = 2x + 4

2. Funciones y Proporciones

2.6.

25

Ejercicios

1. Un hombre sali´o de su casa para vender un artefacto antig¨ uo que para ´el ten´ıa mucho valor. Cuando fue a la primero tienda, no quisieron comprarlo; en la segunda le ofrecieron 100 pesos por el utensilio; en una tercera, le ofrecieron 200, en una cuarta 300 y en un quinto lugar le ofrecieron 400, entonces decidi´o vender el artefacto por 400 pesos. Esta variaci´on de precios se muestra en la siguiente tabla: x(lugares) y(precios)

0 1 2 3 4 0 100 200 300 400

a) Construya el gr´afico f (x). b) ¿Qu´e tipo de relaci´on existe entre f (x) y x? c) Calcule la constante de proporcionalidad. d) Escriba la ecuaci´on matem´atica correspondiente.

2. Las distancias del carro m´as veloz del mundo fueron tomadas por medio de un sensor ubicado a 50m de ´este. Dichas distancias se presentan en la siguiente tabla con relaci´on al tiempo: d(m) 50 100 t(s) 0 1

150 200 250 2 3 4

a) Construya el gr´afico d = f (t). b) ¿Qu´e tipo de relaci´on existe entre f y t? c) Calcule la constante de proporcionalidad. d) Escriba la ecuaci´on matem´atica correspondiente.

26

2.6. Ejercicios

3. Los estudiantes de mec´anica del Polit´ecnico Juan S´anchez Ram´ırez, midieron diversos objetos de forma circular y calcularon sus a´reas, ´estos obtuvieron las siguientes medidas:

r(cm) r2 (cm2 ) A(cm2 ) 1 1 3. 1415 2 4 12. 566 3 9 28. 274 4 16 50. 265 5 25 78. 539

a) Construya el gr´afico A = f (r2 ). b) ¿Qu´e tipo de relaci´on existe entre r2 y A? c) Calcule la constante de proporcionalidad. d) Escriba la ecuaci´on matem´atica correspondiente.

4. En un experimento hecho en el Lab. de Qu´ımica del ITECO se midieron a temperatura constante los vol´ umenes y preciones de un gas, los cuales se presentan en la siguiente tabla:

P (pa) V (m3 )

100 50 25 20 5 2 2 4 8 10 40 100

a) Construya el gr´afico P = f (V ). b) ¿Cu´al es la relaci´on entre las varibles? c) Calcule la constante de proporcionalidad. d) Escriba la ecuaci´on matem´atica correspondiente. e) ¿Qu´e nombre recibe este gr´afico? f) Dtermine el valor de P para V = 400

2. Funciones y Proporciones

27

5. Los estudiantes de Mantenimiento y Reparaci´on del Computador del a´rea de inform´atica de la Universidad ITECO, sometieron una resistencia a diferentes corrientes, midiendo en cada caso el voltaje. Los resultados obtenidos por ellos se muestran en la siguiente tabla: V (volt) 0 10 20 30 40 50 I(amp) 0 2 4 6 8 10 a) Construya el gr´afico V = f (I). b) ¿Cu´al es la relacion entre las variables? c) Calcule la constante de proporcionalidad. d) Escriba la ecuaci´on matem´atica correspondiente.

6. El autobus del transporte de los empleados del ITECO se ubica frente a Bellas Artes en Cotui, es decir 20m del semaforo del parque, Este empieza a moverse con el tiempo decribiendo una ecuaci´on d = 20m + (5m/s2 )t2 a) Complete la tabla d = f (t). t(s) t2 (s) d

0 2 4 6 8

10

b) ¿Cu´al es la relacion entre las variables? c) ¿Cu´al es la constante de proporcionalidad y aditiva. d) Construya el gr´afico d = f (t)

28

2.6. Ejercicios

7. Bajo la acci´on de una fuerza constante horizontal de 12 N, se mueven por separados cuerpos de masas: 2kg, 3kg, 4kg, 6kg y 10kg   F da a) Complete la siguiente tabla usando la 2 ley de Newton F = ma → a = : m m(kg) 2 3 4 6 10 a(m/s2 ) b) Construya el gr´afico a = f (m) c) ¿Qu´e nombre recibe el gr´afico?

Cap´ıtulo 3

Vectores

Objetivos Identificar los componentes de un vector. Definir y diferenciar una magnitud escalar y una vectorial. Analizar las estrategias de operar vectores. Determinar las componentes de un vector espec´ıfico. Encontrar la resultante de dos o m´as vectores.

Algunas cantidades f´ısicas como tiempo, temperatura, masa y densidad se pueden describir con un n´ umero y una unidad. No obstante, en f´ısica, muchas cantidades importantes est´an asociadas a una direcci´on y no pueden describirse con un s´olo n´ umero, es por eso que se clasifican en Magnitudes escalares y Vectoriales. Una cantidad escalar se especifica totalmente por su magnitud que consta de un u ´mero y 3 una unidad. Por ejemplo, rapidez(20 m/s), distancia(30 km), volumen (2m ), entre otras. Las cantidades escalares se miden en las mismas unidades y pueden sumarse o restarse. Algunas cantidades f´ısicas como la fuerza, la velocidad, tienen direcci´on y adem´as magnitud. A este tipo cantidad se le llama cantidades vectoriales. La direcci´on debe formar parte de cualquier c´alculo en el que intervengan dichas cantidades. Una cantidad vectorial se especifica por una magnitud, una direcci´on y un sentido dados sobre la recta que determina la direcci´on(ver figura 3.2). Por ejemplo, desplazamiento (29 m, N), velocidad (50 km/h, 30◦ N del O). Definici´ on de vector Un vector es un segmento de recta dirigida que tiene magnitud, diracci´on y sentido. 29

30

3.1. Representaci´on de un vector

figura 3.1: Vectores

3.1.

Representaci´ on de un vector

~ mediante su magnitud A, a) Magnitud y direcci´ on: conciste en indicar el vector A, y su ´angulo de orientaci´on θA , medido respecto a la parte derecha del eje horizontal (eje ~ = A, θA . Por ejemplo, ~v = 5.00 m/s, 60◦ . polar). Esta forma es A b) Forma Gr´ afica: Consiste en indicar el vector mediante un segmento de recta dirigida (una flecha). La longitud de la flecha debe ser proporcional a la magnitud del vector, por tal raz´on, es necesario el uso de una escala. La orientaci´on del vector, est´a dada por el a´ngulo de inclinaci´on de la flecha, medido desde la parte derecja del eje horizontal, y en sentido contrario a las agujas del reloj. c) Coordenadas Rectangulares (Componentes en el plano XY): Si se considera ~ se precisa como el par ordenado AX , AY si es en el plano XY . Los elementos el vector A, ´ dentro del par´entesis se llaman componentes rectangulares. Estas se corresponden con las ~ ~ proyecciones del vector A sobre los ejes de coordenadas. Es decir, la proyecci´on de A, ~ = AX , AY . Por sobre el eje x, se corresponde con la componente AX . Esta forma es A ~ ejemplo, F = (5N, 6N ).

3.2. 3.2.1.

Operaciones con Vectores y Escalares Vectores negativos

~ se define como un vector, que al sumarse con A ~ se tiene como El negativo de un vector A ~ + (−A) ~ = 0. Los vectores A ~ y −A ~ tienen resultado cero. Para la suma vectorial esto es: A la misma magnitud y sentido opuesto.

figura 3.2: Vectores opuestos

3. Vectores

3.2.2.

31

Multiplicaci´ on de un vector por un escalar

Si un vector se multiplica por un escalar (k) positivo el producto es un vector que tiene la misma direcci´on que el original pero magnitud diferente. En cambio si se multiplica por un escalar (k) negativo tiene direcci´on opuesta al vector original. Ejemplo Si ~ = 4m para k = 2 se tiene que k A ~ = 8m A ~ ~ = −4m A = 4m para k = −1 se tiene que k A Forma gr´ afica

figura 3.3: Multiplicaci´on por un escalar

3.2.3.

Sumas de Vectores

~ y B, ~ la La suma de vectores est´a definida en componentes rectangulares. Si se tiene A suma de ´estos tendr´a como resultado otro vector cuyas componentes se consiguen como ~ y B. ~ Si se llama C ~ a la suma de A ~ y la suma de las componentes correspondientes de A ~ B, entonces: Cx = Ax + Bx Cy = Ay + By Ejemplo Dado los dos desplazamientos ~ = (6ˆi + 3ˆj)m y E ~ = (4ˆi − 5ˆj)m D ~ − E. ~ Obtenga la magnitud del deplazamiento de 2D ~ por 2(escalar) y luego restamo el Procedimiento:Primero multiplicamos el vector D ~ del resultado obtenido. vector E soluci´ on Si

~ −E ~ F~ = 2D F~ = 2((6ˆi + 3ˆj))m − (4ˆi − 5ˆj)m h i = (12 − 4) ˆi + (6 + 5) ˆj m   ˆ ˆ = 8i + 11j m

32

3.2.4.

3.2.4. M´etodo Gr´afico

M´ etodo Gr´ afico

En la forma gr´afica existen diferentes m´etodos, como son: a) M´ etodo del pol´ıgono: Este m´etodo consiste en colocar los vectores uno a continuaci´on de otro, hasta llegar al u ´ltimo, y el vector resultante ser´a el que va desde el origen del primero hasta el extremo del u ´ltimo. Ejemplo Un barco recorre 100 km hacia el Norte durante el primer d´ıa de viaje, 60 km al noreste el segundo d´ıa y 120 km hacia el Este el tercer d´ıa. Encuentre el desplazamiento resultante por el m´etodo del pol´ıgono. Se toma como punto de inicio el origen del viaje y se escoge una escala apropiada. Es conveniente usar un transportador y una regla para dibujar la longitud de cada vector de manera que sea proporcional a su magnitud. El desplazamiento resultante ser´a un vector dibujado desde el origen a la punta del u ´ltimo vector.

figura 3.4: M´etodo del pol´ıgono para sumar vectores.

Si se mide el a´ngulo θ con un transportador, resulta que la direcci´on es de 41◦ . Por tanto, el desplazamiento resultante es R = (216 km, 41◦ ) b) M´ etodo del paralelogramo: Este m´etodo consiste en hacer coincidir los vectores origen con origen, luego se trazan paralelas a cada uno de los vectores. La resultante es la recta que se traza desde el origen de los vectores hasta la intersecci´on de las paralelas. El m´etodo del paralelogramo es conveniente para sumar s´olo dos vectores a la vez. En ambos casos, la magnitud de un vector se indica a escala mediante la longitud de un segmento de recta. Nota: Para obtener la resultante en este m´etodo, hay que tomar en cuenta el ´angulo que se forma en √ el origen de 90◦ , se utiliza el teorema de
los vectores. Si el a´ngulo es de Pit´agoras R = A2 + B 2 . Si el a´ngulo es diferente de 90◦ , entonces se utiliza la ley del √
coseno R = A2 + B 2 + 2AB cos θ .

3. Vectores

33

Ejemplo: Encuentre la fuerza resultante sobre el burro de la figura 3.6, si el a´ngulo entre las dos cuerdas es de 120◦ . En un extremo se jala con una fuerza de 60 Ib y, en el otro, con una fuerza de 20 Ib. Use el m´etodo del paralelogramo para sumar los vectores.

figura 3.5: M´etodo del paralelogramo para sumar vectores.

Se puede observar que el a´ngulo comprendido entre los vectores es diferente de 90◦ , por lo que se debe usar la ley del coseno. LLamaremos A al primer vector (60 Ib) y B al segundo (20 Ib), sabiendo que contamos con un a´ngulo de 120◦ , procedemos a sustutir cada componente por su respectivo valor: √  A2 + B 2 + 2AB cos θ Ib  p (60)2 + (20)2 + 2(60)(20) cos 120 Ib = √
= 3600 + 400 − 1200 Ib  √ = 2800 Ib

R =

= 52. 92 Ib

c) M´ etodo Anal´ıtico (tambi´ en conocido como m´ etodo de las componentes): Este m´etodo consiste en hacer coincidir los vectores en el origen del plano carteciano y luego sumar todas las componentes. Para determinar la resultante en este m´etodo se procede de la siguiente manera: a) Graficar los vectores en el plano con sus respectivas direcciones.

34

3.2.4. M´etodo Gr´afico

~ es decir, Ax y Ay , de la siguiente manera: b) Calcular las componentes de cada vector A, Ax = A cos θ, Ay = A senθ c) Realizar la sumatoria de las componentes x y las componentes de y.  dep  d) Encontrar la resultante por Pit´agoras R = (Σx)2 + (Σy)2 .   Σy −1 e) Determinar la direcci´on del vector θ = tan . Σx Ejemplo: Tres sogas est´an atadas a una estaca, y sobre ella act´ uan tres fuerzas: A = 20 ◦ ◦ N, E; B = 30 N, 30 N del O y C = 40 N, 52 S del O. Determine la fuerza resultante usando el m´etodo de las componentes. Hacer un bosquejo aproximado del problema. Las fuerzas se representan como vectores proporcionales y sus direcciones se indican por medio de a´ngulos con respecto al eje x. Por tanto, obtendremos la fuerza resultante por medio de la estrategia para resolver problemas.

figura 3.6: M´etodo Anal´ıtico Vector A = 20 N B = 30 N C = 40 N

´ Angulo (θ) 0◦ 30◦ 40◦

Componente (x) Ax = +20 N Bx = −30 N cos 30◦ = −26 N Cx = −40 N cos 52◦ = −24. 6 N

Componente (y) Ay = 0 By = 30 N sen30◦ = 15 N Cy = −40 N sen52◦ = −31. 5 N

Cuadro 3.1: Componentes de los Fuerzas

Sumar las componentes x para obtener Rx : Rx = Ax + Bx + Cx Rx = 20. 0N − 26. 0N − 24. 6N Rx = −30. 6N

3. Vectores

35

Sumar las componentes y para obtener Ry : Ry = Ay + By + Cy Ry = 0N + 15. 0N − 31. 5N Ry = −16. 5N Ahora se procede a encontrar la resultante y la direcci´on (θ) partiendo de Rx y Ry : q R = (Rx )2 + (Ry )2 p = (−30. 6N )2 + (−16. 5N )2 = 34. 8N θ = = = = 28. 32◦ S del O

o



 Ry tan R   x −16. 5 −1 tan −30. 6 −1 tan (0. 539) 28. 32◦ −1

180◦ + 28. 32◦ = 208. 32◦

Por consiguiente, la fuerza resultante es 34. 8N a 208. 32◦

figura 3.7: Resultante

3.3.

Vectores Unitarios

Una herramienta u ´til para muchas aplicaciones de vectores es la especificaci´on de la direcci´on por medio de un vector unitario. Este m´etodo separa claramente la magnitud de un vector de su direcci´on. Vector unitario: Un vector sin dimensiones cuya magnitud es exactamente 1 y cuya direcci´on est´a dada por definici´on. Los s´ımbolos i, j, k se usan para describir vectores unitarios en las direcciones x, y, z positivas.

36

3.3. Vectores Unitarios

Por ejemplo, un desplazamiento de 40 m, E podr´ıa expresarse simplemente como +40 i, y un desplazamiento de 40 m, O podr´ıa darse como -40 i. Por conveniencia, las unidades generalmente se omiten cuando se usa la notaci´on i, j. Considere el vector A de la figura 3.8 que se ubica sobre el plano xy y tiene componentes Ax y Ay . Podemos representar las componentes x y y del vector A usando los productos de sus magnitudes y el vector unitario adecuado. Por tanto, el vector A se puede expresar en lo que llamamos notaci´on de vectores unitarios: Ax i + Ay j

figura 3.8: Resultante

La magnitud del vector A es igual a 50 m y el ´angulo es 36. 9◦ ,las componentes son Ax = +40m y Ay = +30m. El vector ahora puede escribirse de dos maneras: A = (50m, 36. 9◦ )

o

A = 40i + 30j

3. Vectores

3.4.

Ejercicios

Dados los siguientes vectores:

Dertemine: 1) La multiplicaci´ on por el escalar: ~ a) 2A ~ b) 3B ~ c) 4C ~ d) −D ~ e) −4B ~ f) −2C ~ g) 3D

37

38

3.4. Ejercicios

2) La reusltante por el m´ etodo del pol´ıgono de: ~+B ~ +C ~ a) A ~ +B ~ −C ~ b) D ~−D ~ +C ~ c) A

3) La reusltante por el m´ etodo del paralelogramo: ~ +C ~ a) B ~ −B ~ b) D ~−C ~ c) A

3. Vectores

4) La reusltante por el m´ etodo anal´ıtico: ~ +C ~ a) B ~+B ~ +D ~ b) A

39

40

3.4. Ejercicios

Resoluci´ on de problemas 1) Una mujer camina 4 km hacia el Este y despu´es camina 8 km hacia el Norte. a) Aplique el m´etodo del pol´ıgono para hallar la resultante. (b) Compruebe el resultado de la parte (a) con el m´etodo del paralelogramo.

2) Un top´ografo inicia su tarea en la esquina sureste de una parcela y registra los siguientes desplazamientos: A = 600 m, N; B = 400 m, O; C = 200 m, S, y D = 100 m, E. ¿Cu´al es el desplazamiento neto desde el punto de partida?

3) Las tres fuerzas siguientes act´ uan simult´aneamente sobre el mismo objeto: A = 300 N, 30◦ N del E; B = 600 N, 270◦ ; y C = 100 N hacia el Este. Halle la fuerza resultante mediante el m´etodo del pol´ıgono.

3. Vectores

41

4) Dos cuerdas A y B est´an atadas a un gancho de amarre, de manera que se ha formado un a´ngulo de 60◦ entre las dos cuerdas. La tensi´on sobre la cuerda A es de 80 N y la tensi´on sobre la cuerda B es de 120 N. Utilice el m´e todo del paralelogramo para hallar la fuerza resultante sobre el gancho.

5) Dos fuerzas act´ uan sobre el autom´ovil ilustrado en la figura. La fuerza A es igual a 120 N, hacia el Oeste, y la fuerza B es igual a 200 N a 60◦ N del O. ¿Cu´ales son la magnitud y la direcci´on de la fuerza resultante sobre el autom´ovil?

6) Un bote se dirige hacia el norte con una rapidez de 80 km/h. Sopla un viento fuerte cuya presi´on sobre la estructura del bote lo empuja hacia un lado en direcci´on oeste con una rapidez de 20 km/h. Si el a´ngulo que barre el bote es de 30 grados, en direcci´on al viento, determine la velocidad del bote con respecto a la superficie por el m´etodo del paralelogramo.

42

3.4. Ejercicios

7) Dos obreros del ITECO est´an halando un burro que se encuentra en los alrededores del edificio H, como se ilustra en la figura. Encuentre la fuerza resultante por el m´etodo anal´ıtico.

8) Tres embarcaciones ejercen fuerzas sobre un gancho de amarre como muestra la figura. Halle la resultante de esas tres fuerzas.

3. Vectores

9) Calcule la resultante de las fuerzas ilustradas en la siguiente figura.

10) Calcule la fuerza resultante que act´ ua sobre la argolla de la siguiente figura.

43

44

3.4. Ejercicios

Cap´ıtulo 4

Cinem´ atica

Objetivos: Definir y aplicar las definiciones de velocidad media y aceleraci´on media. Resolver problemas que incluyan tiempo, desplazamiento, velocidad y aceleraci´on medias. Aplicar una de las cinco ecuaciones generales del movimiento uniformemente acelerado para determinar algunos de los cinco par´ametros: velocidad inicial, velocidad final, aceleraci´on, tiempo y desplazamiento. Resolver problemas generales relacionados con cuerpos en ca´ıda libre en un campo gravitacional. Determinar el alcance de un proyectil cuando se conocen su velocidad inicial y su posici´on.

4.1.

Conceptos Generales

La cinem´ etica se ocupa de la descripci´on del movimiento. El desplazamiento es la cantidadad vectorial con que se precisa el cambio de posici´on que experimenta un cuerpo en un tiempo dado. Trayectoria es la ruta seguida por un objebto. velocidad es el desplazamiento que experimenta un cuerpo en un tiempo determinado. Velocidad Media se define como el desplazamiento total entre dos puntos y el tiempo. Velocidad Instant´ anea es la velocidad que tiene un objeto en un instante de tiempo dado. 45

46

4.1. Conceptos Generales

Aceleraci´ on Media se define el cambio de velocidades entre dos puntos el cambio en el tiempo. Distancia es la longitud de la trayectoria seguida por una part´ıcula en un intervalo de tiempo dado. posici´ on es el segmento dirigido que va del origen del sistema de coordenada hasta el punto en que est´a la part´ıcula en un instante dado.

figura 4.1: posici´ on

Movimiento retil´ıneo uniforme (MRU) es el movimiento en el que la velocidad es constante en magnitud, en direcci´on (movimiento en l´ınea recta) y sentido. Es un movimiento con aceleraci´on nula. Movimiento retil´ıneo uniformemente variado (MRUV) se le denomina as´ı al movimiento en l´ınea recta con acelerac´ıon constante. En este movimiento se consideran dos posible caso: a) Movimiento retil´ıneo uniformemente acelerado (MRUA) cuando aumenta la magnitud de la velocidad. b) Movimiento retil´ıneo uniformemente retardado (MRUR) cuando disminuye la magnitud de la velocidad.

4. Cinem´atica

47

4.2. Tipos de movimiento rectil´ıneo Uniforme

Movimiento Rectil´ıneo Caracter´ısticas del movimiento Su velocidad es constante, la distancia es proporcional al tiempo.

F´ ormulas

d = vt

Uniformemente Acelerado, la velocidad aumenta proporcionalmente con el tiempo. La aceleraci´on es constante y positiva. Uniformemente do

Variado

4.2.1.

1 d = vi t + at2 2 2ad = vf2 + vi2 vf = vi + at

variaUniformemente Retardado, la velocidad disminuye proporcionalmente con el tiempo. La aceleraci´on es constante y negativa. La velocidad var´ıa de cualquier manera.

d=

(vi + vf ) t 2

v=

xf − xi ∆x = ∆t tf − ti

a=

vf − vi ∆v = ∆t tf − ti

Problemas resueltos

1) La velocidad de la luz es de 3 × 108 m/s. ¿Cu´anto tiempo le toma a la luz de sol llegar a la tierra si recorre una distancia de 1. 5 × 1011 m? 3 × 108 m/s d = 500 s d = vt → t = → v 1. 5 × 1011 m 2) Un autom´ovil recorre 270 km en 4. 5 h. a) ¿Cu´al es su velocidad promedio? b) ¿Qu´e distancia recorrer´a en 7 h a esta velocidad promedio? c) ¿En cu´anto tiempo recorrer´a 300 km a esta velocidad promedio? a) v=

d 270 km = = 60 km/h t 4. 5 h

b) d = vt = (60 km/h)(7 h) = 420 km c) t=

d 300 km = =5h v 60 km/h

48

4.2.1. Problemas resueltos

3) Un avi´on cuya velocidad en el aire es de 640 km/h tiene un viento de cola de 200 km/h. ¿Cu´anto tiempo tardar´a en cubrir una distancia de 1600 km con respecto a la tierra? Primero se debe buscar la velocidad del avi´on con respecto a la tierra v = 640 km/h + 200 km/h = 840 km/h Por lo tanto, el tiempo requerido para cubrir 1600 km sobre la tierra es: t=

d 1600 km = = 1. 9 h v 840 km/h

4) Un autom´ovil viaja durante 2 h a 100 km/h, durante las siguientes 2 h viaja a 60 km/h y, finalmente, durante 1 h viaja a 80 km/h. ¿Cu´al es la velocidad promedio del autom´ovil durante el viaje completo? La velocidad promedio del autom´ovil es igual a la distancia total que cubre dividida entre el tiempo total. Por tanto, v1 t1 + v2 t2 + v3 t3 d1 + d2 + d3 = t1 + t2 + t3 t1 + t2 + t3 (100 km/h)(2 h) + (60 km/h)(2 h) + (80 km/h)(1 h) = 2h+2h+1h 400 km = 5h = 80 km/h

v =

5) Un carro parte del reposo y en 10 s alcanza una velocidad de 40 m/s. a) ¿Cu´al es su aceleraci´on? b) Si su aceleraci´on permanece igual, ¿cu´al ser´a su velocidad despu´es de 15 s? Aqu´ı v0 = 0. Por lo tanto, a) a=

v 40 m/s = = 4 m/s2 t 10 s

b) v = at = (4 m/s2 )(15 s) = 60 m/s 6) a) ¿Cu´al es la aceleraci´on de un veh´ıculo que en 1. 5 s aumenta su velocidad de 20 a 30 km/h? b) Con la misma aceleraci´on, ¿cu´anto tiempo le tomar´a cambiar su velocidad de 30 a 36 km/h?

4. Cinem´atica

49

a) a=

30 km/h − 20km/h v − v0 = = 6. 7 (km/h)/s t 1. 5 s

b) t=

v − v0 36 km/h − 30km/h = = 0. 9 s a 6. 7 (km/h)/s

7) Un autom´ovil tiene una aceleraci´on de 8 m/s2 . a) ¿Cu´anto tiempo necesitar´a para alcanzar una velocidad de 24 m/s si parte del reposo? b) ¿Qu´e distancia recorre durante ese tiempo? a) t=

v 24 m/s = =3s a 8 m/s2

b) Como el autom´ovil parte del reposo, v0 y 1 1 d = at2 = (8 m/s2 )(3 s)2 = 36 m 2 2 8) A una camioneta cuya velocidad inicial es de 30 m/s se le aplican los frenos, con lo que adquiere una aceleraci´on de -2m/s2 . ¿Qu´e distancia habr´a recorrido cuando a) su velocidad haya disminuido a 15 m/s y b) alcance el reposo? a) Como v 2 = v02 + 2ad, d=

v 2 − v02 (15 m/s)2 − (30 m/s)2 = = 169 m 2a 2(−2 m/s)

b) En esta caso v = o, por lo que d= 9) Dado el siguiente Gr´afico

Determine:

v 2 − v02 (0) − (30 m/s)2 = = 225 m 2a 2(−2 m/s)

50

4.3. Movimiento de Ca´ıda Libre

a) La aceleraci´on en cada tramo: vf tf vf = tf vf = tf

a1 = a2 a3

− vi 30m/s − 10m/s = = 0. 5m/s2 − ti 40s − 0s − vi 30m/s − 30m/s = =0 − ti 90s − 40s − vi 0m/s − 30m/s = = −30m/s2 − ti 100s − 90s

b) El deplazamiento en cada tramo: vi + vf 10m/s + 30m/s (tf − ti ) = (40s − 0s) = 800m 2 2 vf + vi 30m/s + 30m/s = tf − ti = (90s − 40s) = 1500m 2 2 vf + vi 30m/s + 0m/s = = (100s − 90s) = 150m tf − ti 2

v1 = v2 v3

c) Tipo de movimiento en cada tramo: T ramo1 T ramo2 T ramo3

4.3.

movimiento rectil´ıneo uniforme acelerado movimiento rectil´ıneo uniforme movimiento rectil´ıneo uniforme retardado

Movimiento de Ca´ıda Libre

Aceleraci´ on de la gravedad Todos los cuerpos en ca´ıda libre cerca de la superficie terrestre experimentan la misma aceleraci´on dirigida hacia el centro de la Tierra cuya magnitud es g = 9. 8 m/s2 = 32 f t/s2 Por lo tanto, un cuerpo que cae en el vac´ıo partiendo del reposo tiene una velocidad de 9. 8 m/s2 al final del primer segundo, una velocidd de 19. 6 m/s al t´ermino del segundo siguiente, y as´ı sucesivamente. La rapidez del cuerpo es mayor a medida que aumenta la distancia que ha descendido. F´ ormulas a usar en este movimiento vf = vi + gt vf2 = vi2 + 2gh vi + vf h = (t) 2 1 h = vi t + gt2 2

4. Cinem´atica

4.3.1.

51

Problemas resueltos

1) Desde un puente se deja caer una piedra que llega al agua 2.5 s despu´es a) ¿Cu´al es la velocidad final de la piedra en metros por segundo? b) ¿Cu´al es la altura del puente? a) v = gt = (9. 8 m/s2 )(2. 5 s) = 24. 5 m/s b) 1 1 h = gt2 = (9. 8 m/s2 )(2. 5 s)2 = 30. 6 m 2 2 2) Se deja caer una pelota desde una ventana que se encuentra a 19.6 m del piso. a) ¿Cu´anto tiempo tarda la pelota en llegar al suelo? b) ¿Cu´al es su velocidad final? a) Como h = 21 (g)(t2 ), despejando a t se tiene: s s 2h 2(19. 6 m) √ 2 t= = = 4s =2s g 9. 8 m/s2 b) v = gt = (9. 8 m/s2 )(2 s) = 19. 6 m/s 3) Se lanza una pelota hacia abajo con una velocidad inicial de 6 m/s. a) ¿Qu´e velocidad alcanza despu´es de 2 s? b) ¿Qu´e distancia desciende en esos 2 s? a) v = v0 + gt = 6 m/s + (9. 8 m/s2 )(2 s) = 6 m/s + 19. 6 m/s = 25. 6 m/s b) 1 1 d = v0 t + (g)(t2 ) = (6 m/s)(2 s) + (9. 8 m/s2 )(2 s)2 2 2 12 m + 19. 6 m = 31. 6 m 4) Se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad inicial de 6 m/s. a) ¿Cu´ales son la magnitud y direcci´on de su velocidad despu´es de transcurrido 21 s? b) ¿Cu´ales son la magnitud y direcc´on despu´s de 4 s? a) Se considera la direcci´on hacia arriba con signo positivo (+) y la direcci´on hacia abajo con signo negativo (-). Por lo tanto, v0 = 6 m/s y g = −9. 8 m/s2 , de tal manera que 1 v = v0 + gt = (6 m/s) − (9. 8 m/s2 )( )(s) 2 = (6 m/s) − 4. 9 m/s = 1. 1 m/s

52

4.4. Movimiento de proyectiles

es positiva, por lo que se dirige hacia arriba. b) Despu´es de 4 s:

v = v0 + gt = (6 m/s) − (9. 8 m/s2 )(4 s) = (6 m/s) − 39. 2 m/s = −33. 2 m/s es negtiva, por lo que se dirige hacia abajo.

4.4.

Movimiento de proyectiles

Cualquier objeto que sea lanzado en el aire con una velocidad inicial V~0 de direcci´on arbitraria, se mueve describiendo una trayectoria curva en un plano. Un proyectil es un objeto al cual se ha comunicado una velocidad inicial y se ha dejado en libertad para que realice un movimiento bajo la acci´on de la gravedad. Los proyectiles que est´an cerca de la Tierra siguen una trayectoria curva muy simple que se conoce como par´abola. Para describir el movimiento es u ´til separarlo en sus componentes horizontal y vertical.

figura 4.2: Movimiento Parab´olico

F´ ormulas a usar en este movimiento

vi2 sen2θ g 2vi senθ T = g 2 v sen2 θ h = i 2g

R =

4. Cinem´atica

53

Nota: Los a´ngulos con valores mayores o menores que 45◦ proporcionan alcances m´as cortos. Cuando θ = 45◦ , entonces v2 Rmax = 0 g Ejemplo: Un atleta que participa en salto de longitud deja el suelo a un a´ngulo de 20◦ sobre la horizontal y con una rapidez de 11.0 m/s. Determine: a) ¿Qu´e distancia salta en la direcci´on horizontal? b) Cu´al es la altura m´axima que alcanza? c) ¿Qu´e tiempo tarda para tocar el suelo? a) b) c)

4.5.

(11m/s)2 sen2(20◦ ) vi2 sen2θ = = 7. 94m g 9. 8m/s2 (11m/s)2 (sen20◦ )2 v 2 sen2 θ = = 0. 722m h = i 2g 2(9. 8m/s2 ) 2vi senθ (11m/s)sen20◦ T = = = 0. 77s g 9. 8m/s2

R =

Movimiento Circular Uniforme(mcu)

Se dice que un cuerpo est´a en movimiento circular uniforme cuando se mueve sobre una trayectoria circular con una velocidad cuya magnitud es constante. Las magnitudes que intervienen en este movimiento son: t Per´ıodo: es el tiempo que tarda una part´ıcula en dar una vuelta completa. T = , donde n n es igual al n´ umero de vuelta. Frecuencia: es el n´ umero de vuelta en unidad de tiempo. f =

1 n yf= t t

Deplazamiento Lineal: es la longitud del arco en un per´ıodo de tiempo determinado. S = 2πr, su unidad de medida es el metro. Desplazamiento angular: es el a´ngulo que se barre en un per´ıodo del tiempo.θ = 2π. Velocidad Lineal: es la relaci´on entre el deplazmiento lineal y el tiempo transcurrido. 2πr v= , v = 2πrf y v = ωr T Velocidad angular: es la raz´on entre el deplazamiento angualar y el tiempo trancurrido. 2π ω= , su unidad de medida es el rad/s. T Aceleraci´ on centripeta: es el cambio del vector velocidadlineal para un instate consiv2 derado. ac = r Ejemplos Una rueda de 25cm de radios gira con una velocidad angular de 50 rad/s. Determinar a) Su per´ıodo y frecuencia b) La velocidad lineal de una part´ıcula al borde.

54

4.6. Ejercicios propuestos

a) La f´ormula a utilizar es ω = 2πf . Se quiere determinar la frecuencia de la rueda, por lo que se necesita despejar a f , por lo tanto f=

ω 50 rad/s 50 rad/s = = = 7. 96 s−1 2π 2(3. 14) 6. 28

b) Como v = ωR, entonces v = ωR = (50 rad/s)(0. 25 m) = 8 Hertz = 12. 5 m/s Note que los 25 cm han sido convertidos en 0.25 m. La luna gira alrededor de la tierra efectuando una revoluci´on en 27.3 d´ıas. Suponiendo que la o´rbita es circular y que tiene un radio de 385,000 km. Calcular a) su velocidad tangencial o lineal b) la aceleraci´on centr´ıpeta de la luna hacia la tierra. a) Sabiendo que T= 23.7 d´ıas = 2. 35873 × 106 s y R=385,000 km = 3. 85 × 108 m, se puede determinar el valor de V : V =

2πr 2(3. 14)(3. 85 × 108 m) 24. 2 × 108 m = = = 1025 m/s T 2. 36 × 106 s 2. 36 × 106 s

b) ac =

4.6.

(1025 m/s)2 1050625 m2 /s2 V2 = = = 0. 00272 m/s2 r 3. 85 × 108 m 3. 85 × 108 m

Ejercicios propuestos

1) Un barco navega a una velocidad constante de 15 km/h. a) ¿Qu´e distancia recorre en un d´ıa? b) ¿Cu´anto tiempo tarda en recorrer 500 m?

2) Un avi´on cuya velocidad en el aire es de 600 km/h cubre una distancia de 1000 km en 2 21 h. ¿Cu´al es la velocidad del viento de frente que tuvo que vencer el avi´on?

3) ¿Cu´anto tiempo tarda en regresar el eco de una monta˜ na hasta una mujer que se encuentra a 92 m de distancia? La velocidad del sonido es de 335 m/s aproximadamente.

4. Cinem´atica

55

4) Un lanzador tarda 0.1 s en lanzar una pelota de b´eisbol, que sale de su mano a una velocidd de 28 m/s. ¿Cu´al es la acelaraci´on de la pelota durante el lanzamiento?

5) Un objeto inicialmente en reposo adquiere una aceleraci´on de 10 m/s2 . a) ¿Qu´e distancia recorre en 0.5 s? b) Cu´al es su velocidad despu´es de 0.5 s?

6) Se aplican los frenos a un autom´ovil que se desplaza a 14 m/s y se detiene en 4 s. ¿Qu´e distancia recorre el veh´ıculo mientras disminuye su velocidad de 14 a 10 m/s?

7) Un autom´ovil deportivo tiene una aceleraci´on de 3 m/s2 . a)¿Qu´e distancia recorre mientras su velocidad aumenta de 0 a 9 m/s? b) Y de 9 a 30 m/s?

8) Se deja caer una piedra desde el borde de un acantilado. a) ¿Cu´al es su velocidad despu´es de trancurridos 3 s? b) ¿Qu´a distancia recorre en el segundo siguiente?

9) Un hombre lanza verticalmente una pelota que alcanza una altura de 18 m. a) ¿Cu´anto tiempo tiene que esperar para atrapar la pelota a su regreso? b) ¿Cu´al es la velocidad inicial de la pelota? c) ¿Cu´al es la velocidad final?

56

4.6. Ejercicios propuestos

10) Un cuerpo en ca´ıda libre llega al piso en 5 s. a) ¿Desde qu´e altura, expresada en metros, se dej´o caer? b) ¿Cu´al es su velocidad final? c) ¿Qu´e distancia recorri´o durante el u ´ltimo segundo de su descenso?

11) La aceleraci´on de la gravedad sobre la superficie de Marte es de 3.7 m/s2 . Si una pelota se arroja verticalmente desde un acantilado en Marte, imprimi´endole una velocidad inicial hacia abajo de 10 m/s, a) ¿Qu´e velocidad tendr´a despu´es de 1 s? b)¿Despu´es de 3 s?

12) Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 12 m/s. a)¿A qu´e altura se encontrar´a la pelota despu´es de 4 s? b) ¿Cu´al es la altura m´axima que alcanza la pelota?

13) Se dispara un proyectil con una velocidad de 300 m/s formando un ´angulo de 40◦ por encima de la horizontal. a) ¿Cu´al es su alcance? b) ¿Cu´al es su tiempo de vuelo?

14) Una flecha sale de un arco a 25 m/s. a) ¿Cu´al es su alcalnce m´aximo? b) ¿Cu´ales son los dos ´angulos que la flecha debe formar por encima de la horizontal cuando es lanzada para que alcance un barco a 50 m de distancia?

15) Se hace girar una cuerda de tal manera que su extremo quede libre describiendo un c´ırculo horizontal de 1.5 m de radio. Si cada revoluci´on de la cuerda tarda 4 s, encuentre la aceleraci´on centr´ıpeta de su extremo.

4. Cinem´atica

16) Dado el siguiente gr´afico:

a) La aceleraci´on en cada tramo: b) El deplazamiento en cada tramo: c) Tipo de movimiento en cada tramo:

57

58

4.6. Ejercicios propuestos

Cap´ıtulo 5

Din´ amica

Objetivos Analizar las fuerzas desconocidas aplicando las leyes de newton. Demostrar mediante ejemplos pr´acticos la comprensi´on de la primera y la tercera ley de Newton sobre el movimiento.

5.1.

Conceptos Generales

Din´ amica es la rama de la mec´anica cl´sica que estudia las causas fundamentales del movimiento. Fuerza es la cantidad f´ısica con que expresamos la capacidad de cambiar el estado de reposo o movimiento de un cuerpo. Esta se denota con F~ . Primera ley de newton establece que un cuerpo que se encuentre en estado de reposo o de movimiento permanecer´a en ese estado mientras no haya una fuerza real que act´ ue sobre ´el. Equilibrio. Un cuerpo se mantiene en equilibrio cuando no act´ ua una fuerza neta sobre ´el. ´ Masa de un cuerpo es una cantidad f´ısica escalar. Esta no cambia cuando el cuerpo cambia de lugar o de forma. Segunda ley de newton establece que la aceleraci´on de un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza neta que act´ ua sobre ´el, e inversamente proporcional a su masa. Peso de un cuerpo es la fuerza con que la tierra atrae hacia su centro los cuerpos colocados cerca de la superficie. Tercera ley de Newton establece que cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro cuerpo, ´este ejerce sobre el primero una fuerza igual pero en direcci´on contraria. Es decir, 59

60

5.1.1. Problemas resueltos

que para cada fuerza de acci´on existe una fuerza de reaci´on de magnitud pero en sentido contrario. ´ Fuerza de fricci´ on es una fuerza que se opone al movimiento de los cuerpos. Esta siempre act´ ua en sentido contrario al movimiento de un objeto. Fuerza centr´ıpeta es la responsable de que un objeto se mueva con movimiento circular uniforme. F´ ormulas a utilizar Segunda ley de Newton F~neta = m~a Peso de un cuerpo w = mg ~ Tercera ley de Newton F12 = −F~12 Fuerza de fricci´on fc = µn mv 2 Fuerza centr´ıpeta Fc = R 5.1.1.

Problemas resueltos

1) a) ¿Cu´al es el peso de un objeto cuya masa es 5 kg? b) ¿Qu´e aceleraci´on experimentea cuando act´ ua sobre ´este una fuerza neta de 100 N? a) w = mg = (5kg)(9. 8 m/s2 ) = 49 N b) De la segunda ley del movimiento F = ma, se tiene a=

F 100 N = = 20 m/s2 m 5 kg

2) Se observa que un cuerpo de 10 kg tiene una aceleraci´on de 5 m/s2 , ¿Cu´al es la fuerza neta que act´ ua sobre ´el? F = ma = (10 kg)(5 m/s2 ) = 50 N 3) Una fuerza de 80 N le produce una aceleraci´on de 20 m/s2 a un cuerpo de masa desconocida. ¿Cu´al es su masa? m=

F 80 N = = 4 kg a 20 m/s2

4) Un auto de 1000 kg cambia su velocidad de 10 a 20 m/s en 5 s. a) ¿Cu´al es la fuerza que act´ ua sobre ´el? b) ¿Cu´al es el origen de esta fuerza? a) Primero se debe conocer la aceleraci´on, por lo que: a=

v − v0 (20 − 10) m/s = = 2 m/s2 t 5s

F = ma = (1000 kg)(2 m/s2 ) = 2000 N b) La fuerza de reacci´on de la carretera sobre las llantas del autom´ovil.

5. Din´amica

61

5) La fuerza que ejercen los frenos de un autom´ovil de 1000 kg sobre ´este es de 3000 N. a) ¿Cu´anto tiempo tardar´a el autom´ovil en detenerse desde una velocidad de 30 m/s? b) ¿Qu´e distancia recorrer´a en ese tiempo? a) La aceleraci´on que pueden pproducir los frenos es: a=

3000 N F = = 3 m/s2 m 1000 kg

En este caso, la velocidad inicial es v0 = 30 m/s, la velocidad final es v = 0 y la aceleraci´on es de −3 m/s2 , que es negativa puesto a que el autom´ovil disminuye su velocidad. Por tanto, v = v0 + at 0 = 30 m/s + [(−3 m/s2 )(t)] −30m/s = −(3 m/s2 )(t) 30 m/s t = = 10 s 3 m/s2

b)

1 1 d = v0 t + at2 = (30 m/s)(10 s) − (3 m/s2 )(10 s)2 = (300 − 150) m = 150 m 2 2

6) a) ¿Cu´al es el peso de un objeto cuya masa es de 90 kg? b) ¿Cu´al es la masa de un objeto cuyo peso es de 90 N? w = mg = (90 kg)(9. 8 m/s2 ) = 882 N

a) b)

m=

w 90 N = = 9. 8 kg g 9. 18 m/s2

7) Se empuja una caja de madera de 100 N a lo largo de un piso de madera con una fuerza de 40 N. Si µ = 0. 3, encuentre la aceleraci´on de la caja. La fueza de fricci´on que se opone a la fueza aplicada (FA = 40 N ) es de Ff = µN = µw = (0. 3)(100 N ) = 30 N Por lo tanto, la fuerza neta sobre la caja es F = FA − Ff = 40 N − 30 N = 10 N La masa de la caja m=

w 100 N = = 10. 204 kg g 9. 8 m/s2

y su aceleraci´on es por consiguiente, a=

F 10 N = = 0. 98 m/s2 m 10. 204 kg

62

5.1.1. Problemas resueltos

8) Un autom´ovil, cuyo peso es de 10780 N, tiene unos frenos que pueden ejercer una fuerza m´axima de 3300 N. a) ¿Cu´al es el tiempo m´ınimo necesario para disminuir la velocidad del autom´ovil de 18 m/s a 6 m/s? b) ¿Qu´e distancia recorre el auto en ese tiempo? a) La masa del autom´ovil es m=

10,780 N w = = 1100 N g 9. 8 m/s2

Por lo tanto, su aceleraci´on m´axima es a=

3300 N F = = 3 m/s2 m 1100 kg

En este caso v0 = 18 m/s, v = 6 m/s y a = −3 m/s2 . Debido a que a = (v − v0 )/t, t=

(v − v0 ) (6 − 18) m/s −12 m/s = = =4s 2 a −3 m/s −3 m/s2

5. Din´amica

5.2.

63

Ejercicios Propuestos

1) ¿Cu´al es el peso de 8 kg de papas que ser´an utilizadas en la preparaci´on del desayuno de los estudiantes del Polit´ecnico Juan s´anchez Ram´ırez?

2) Se aplica una fuerza de 10 N a un cuerpo cuya masa es de 5 kg, encuentre su aceleraci´on.

3) a) ¿Qu´e fuerza se necesita para aumentar la velocidad de un cami´on de 28,000 N de 6 a 9 m/s en un tiempo de 5 s? b) ¿Qu´e distancia recorre el cami´on en ese tiempo?

4) Una pelota de f´ utbol de 430 g que se mueve hacia un jugador con una velocidad de 8 m/s recibe una patada y vuela en direcci´on opuesta a 12 m/s. Si la pelota est´a en contacto con el pie del jugador durante 0.01 s, ¿Cu´al es la fuerza promedio ejercida sobre la pelota?

5) Para mantener una caja de 50 kg en movimiento a velocidad constante sobre un piso de madera es suficiente una fuerza de 200 N, ¿cu´al es el coeficiente de fricci´on?

6) Dos bloques, cuyas masas son de 20 kg y 30 kg, se deslizan hacia abajo por un plano inclinado sin fricci´on, que forma un ´angulo de 25◦ con la horizontal. Encuentre sus respectivas aceleraciones.

7) Cuando un rifle de peso de 36 N dispara una bala de 0.09N, ´esta recibe una aceleraci´on de 3 × 104 m/s2 mientras se encuentra en el ca˜ no´n. a) ¿Cu´al es la magnitud de la fuerza que act´ ua sobre la bala? b) ¿Act´ ua alguna fuerza sobre el rifle? En caso afirmativo, ¿Cu´al es la magnitud y direcci´on? c) La bala se acelera durante 0.007 s. ¿A qu´e velocidad sale del ca˜ n´on del rifle?

64

5.2. Ejercicios Propuestos

8) El auto de Samuel tiene un peso de 8800 N, ´este cuenta con unos frenos que pueden ejercer una fuerza m´axima de 2000 N. a) ¿Cu´al es el tiempo m´ınimo necesario para disminuir la velocidad del auto de 18 m/s a 6 m/s? b) ¿Qu´e distancia recorre el auto en ese tiempo?

9) Una fuerza neta de 12 N proporciona a un objeto una aceleraci´on de 4m/s2 . a) ¿Cu´al es la fuerza neta que se necesita para proporcionarle una aceleraci´on de 1 m/s2 ? b) ¿Cu´l es la fuerza requerida para darle una aceleraci´on de 10 m/s2 ?

10) Un caracol de 0. 05 kg parte del reposo hasta alcanzar una velocidad de 0.01 m/s en un tiempo de 5 s. a) ¿Cu´al es la fuerza que ejerce el caracol? b) ¿Qu´e distancia recorre durante ese tiempo?

11) Sobre un piso horizontal se madera descansa una caja de madera de 300 N. Si el coeficiente de fricci´on est´atica es de 0.5, ¿qu´e fuerza se requiere para poner la caja en movimiento?

12) Se aplica una fuerza de 1000 N a un autom´ovil de 1200 kg. Si el coeficiente de fricci´on por rodamiento es 0.04, ¿cu´al es la aceleraci´on del autom´ovil?

Cap´ıtulo 6

Trabajo, Potencia y Energ´ıa

Objetivos Definir y escribir las f´ormulas matem´aticas para el trabajo , la energ´ıa potencial, la energ´ıa cin´etica y la potencia. Aplicar los conceptos de trabajo , energ´ıa cin´etica y potencial para resolver problemas similares a los presentados como ejemplos. Escribir y aplicar la Ley Hooke

6.1.

Concepto Generales

El Trabajo es una medida de la cantidad de cambio que una fuerza produce cuando act´ ua sobre un cuerpo. El trabajo realizado por una fuerza que act´ ua sobre un cuerpo es igual al producto de la fuerza por el deplazamiento en que la fuerza act´ ua, siempre y cuando F y s est´en en la misma direcci´on. Es decir W = Fs Si F y s no son paralelos, pero forman un a´ngulo θ entre si, entonces W = F s cos θ En el sistema de unidades SI, la unidad del trabajo es el joule (J) y en unidades inglesas es pie-libra. La potencia es la rapidez con la cual una fuerza realiza un trabajo. Por consiguiente, P = 65

W t

66

6.1. Concepto Generales

Entre mayor sea la potencia de un objeto, mayor ser´a el trabajo que pueda realizar en un tiempo dado. Las dos unidades especiales de potencia que se utilizan son el watt y el caballo de potencia (hp), donde un 1 watt (W ) = 1 J/s = 1. 34 × 10−3 hp Energ´ıa es una propiedad asociadad con la capacidad de realizar trabajo. La cual se clasifica en energ´ıa cin´etica, potencial y de la masa en reposo. Las unidades de energ´ıa son las mismas que el trabajo, es decir: joule y el pie-libra. Energ´ıa cin´ etica es la energ´ıa que un cuerpo posee en virtud de su moviemiento. Si la masa de un cuerpo es m y su velocidad v, la energia cin´etica es: 1 Ek = mv 2 2 Energ´ıa Potencial es la que un cuerpo posee en virtud de su pocici´on. La energ´ıa de un cuerpo de masa m y que esta a una altura h por encima de determinado nivel de referencia es: Ep = mgh donde g es la aceleraci´on de la gravedad. En t´ermino del peso w del cuerpo, Ep = wh La ley de Hooke establece que una fuerza F act´ ua sobre un resorte (figura 6.1) produce en ´el un alargamientos que es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza. La ley de Hooke se representa como F = ks La constante de proporcionalidad k var´ıa mucho de acuerdo con el tipo de material y recibe el nombre de constante el´astica. k=

F s

figura 6.1: Relaci´ on entre la fuerza F aplicada y la elongaci´on que produce.

6. Trabajo, Potencia y Energ´ıa

67

Energ´ıa Potencial El´ astica para estirar o comprimir un objeto la fuerza aplicada debe realizar trabajo, el objeto posee energ´ıa ptencial el´astica, como resultado de esto se tiene que: 1 Ep = ks2 2 donde k es la consntante del resorte y s es el deplazamiento. Cuando se libera un objeto el´astico deformado, su energ´ıa potencial el´astica se convierte en energ´ıa cin´etica o en trabajo realizado sobre alg´ un otro cuerpo. Movimiento Armonico Simple es un movimiento peri´odico que ocurre cuando la fuerza restauradora que act´ ua sobre un cuerpo desplazado de posici´on de equilibrio es proporcional al desplazamiento y apunta en direcci´on opuesta.

figura 6.2: Un bloque unido a un resorte m´ovil sobre una superficie sin fricci´on. a) Cuando el bloque se desplaza hacia la derecha del equilibrio (x > 0), la fuerza que ejerce el resorte act´ ua hacia la izquierda. b) Cuando el bloque est´a en su posici´on de equilibrio (x = 0), la fuerza que ejerce el resorte es cero. c) Cuando el bloque se desplaza hacia la izquierda del equilibrio (x < 0), la fuerza que ejerce el resorte act´ ua hacia la derecha.

Conservaci´ on de la energ´ıa. De acuerdo con la ley de la conservaci´on de la energ´ıa, ´esta no puede crearse ni destruirse, aunque una forma de energ´ıa s´ı puede transformarse en otra. La cantidad total de energ´ıa en el universo es constante. Por ejemplo, el agua que se encuentra en la presa de Hatillo est´a en reposo, por lo que ´esta tiene energ´ıa potencial gravitatoria, la cual se transforma en energ´ıa cin´etica al desplazarse por el t´ unel, que luego se transforma en enrg´ıa mec´anica al actuar sobre el aspa de la turbina, la que a su vez la transforma en energ´ıa el´ectrica y, de esa manera, dicha energ´ıa puede llegar hasta los hogares.

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6.1.1. Problemas Resueltos

6.1.1.

Problemas Resueltos

1) Se utiliza una fuerza de 60 N al empujar una caja de 150 N a una distancia de 10 m sobre el piso horizontal de un almac´en. a) ¿Cu´al es el trabajo realizado? b) ¿Cu´al es el cambio en la energ´ıa potencial de la caja? a) En este caso no importa el peso de la caja puesto que la altura no cambia. El trabajo realizado es: W = F s = (60 N )(10 m) = 600 J b) Como la altura de la caja no cambia, su energ´ıa potencial permanece igual. 2) Un hombre que limpia un piso jala una aspiradora con una fuerza de magnitud F = ˜ 50 N en un A¡ngulo de 30◦ con la horizontal. Calcule el trabajo consumido por la fuerza sobre la aspiradora a medida que ´esta se desplaza 3 m hacia la derecha. W = F s cos θ = (50 N )(3 m)(cos 30◦ ) = 130 J

3) Qu´e trabajo se se realiza al levantar un libro de 2 kg desde el piso a una altura de 1.5 m? W = F s = mgh = (2 kg)(9. 8 m/s2 )(1. 5 m 4) Cuando se levanta una estatua de bronce de 200 kg se realiza un trabajo de 10,000 J. ¿A qu´e altura se levant´o? Puesto que W = F s = mgh, h=

W 104 J = = 5. 1 m mg (200 kg)(9. 8 m/s2 )

5) Un hombre empuja una caja con una fuerza horizontal de 200 N para subirla por una rampa de 8 m de longitud que forma un a´ngulo de 20◦ por encima de la horizontal. a) ¿Qu´e trabajo realiza el hombre? b) Si tarda 12 s en subirla, ¿qu´e potencia desarrolla en watts y en caballos de potencia? W = F s cos θ = (200 N )(8 m)(cos 20◦ ) = 1504 J

a) b)

P =

W 1504 J = = 125 W t 12 s

Puesto que 1 hp= 746 W, P =

382 W = 0. 17 hp 746 W/hp

6. Trabajo, Potencia y Energ´ıa

69

6) Calcule la energ´ıa cin´etica de un autom´ovil de 1000 kg que viaja a 20 m/s.   1 2 1 Ek = mv = (1000 kg)(20 m/s)2 = 2 × 105 J 2 2 7) ¿Cu´al es la velocidad de un objeto de 2 kg que posee una energ´ıa cin´etica de 4 J? Como Ek = 21 mv 2 , r v=

s 2(Ek ) 2(4 J) √ = = 4 m/s = 2 m/s m 2 kg

8) Se usa un martillo de 1.5 kg para introducir un clavo en una tabla de madera. Si el martillo se mueve con una velocidad de 4.5 m/s cuando golpea el clavo y ´este penetra 1 cm en la tabla, encu´entrese la fuerza promedio que el martillo ejerce sobre el clavo. Para encontrar la fuerza F que el martillo ejerce sobre el clavo se procede como sigue, con s = 1 cm = 0.01 m: Ek del martillo = trabajo realizado sobre el clavo 9) A un resorte se le aplica una fuerza de 5 N y se comprime 5 cm. a) Encuentre la constante de fuerza del resorte. b) Calcule la energ´ıa potencial el´astica del resorte comprimido. a) 5 cm = 0.05 m, por lo que k=

5N = 100 N/m 0,05 cm

b)   1 Ek = (100 N/m)(0. 05m)2 = 0. 125 J 2 10) Un resorte cuya constante de fuerza es 180 N/m se comprime 7.6 cm. Se coloca una pelota de 45 g contra el extremo del resorte, el que a continuaci´on se libera. ¿Cu´al es la velocidad de la pelota cuando abandona el resorte? La energ´ıa cin´etica de la pelota es igual a la energ´ıa potencial el´astica del resorte comprimido. Por lo tanto, Ek = Ep

−→

1 2 1 2 mv = ks 2 2

El (1/2) se cancela debido a que est´a multiplicando en ambos lados de la igualdad, por lo que ks2 2 v = m s r ks 180 N/m(0. 076 m) Luego despejando a v se tiene: v = = = 4. 8 m/s m 0. 045 kg

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6.2. Ejercicios

6.2.

Ejercicios

1) ¿Qu´e trabajo debe realizarse para levantar 2 m sobre el piso un autom´ovil de 1100 kg?

2) Un ni˜ no jala un vag´on con una fuerza de 60 N por medio de una cuerda que forma un a´ngulo de 40◦ con el piso. ¿Qu´e trabajo realiza para mover el vag´on a una distancia de 15 m?

3) Un caballo ejerce una fuerza de 900 N al jalar un trineo a una distancia de 5 km. a) ¿Cu´anto trabajo realiza el caballo? b) Si el viaje tarda 30 min, ¿cu´al es la potencia desarrollada por el caballo en caballos de potencia?

4) Un alpinista de 80 kg desarrolla una potencia promedio de 0.1 hp. a) ¿Cu´anto trabajo realiza al escalar una monta˜ na de 2000 m de altura? b) ¿Qu´e tiempo le lleva escalar la monta˜ na? c) ¿Cu´al es su energ´ıa potencial en la cima?

5) Calcule la energ´ıa cin´etica de un insecto de 2 g (0.002 kg) cuando vuela a 0.4 m/s.

6) Los electrones en un tubo de televisi´on, cuyos impactos en la pantalla producen los puntos luminosos que forman la imagen, tienen una masa de 9.1 ×10−31 kg y velocidades t´ıpicas de 3 × 107 m/s. ¿Cu´al es la energ´ıa cin´etica de estos electrones?

6. Trabajo, Potencia y Energ´ıa

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7) a) ¿Cu´al es la energ´ıa cin´etica de un autom´ovil de 1500 kg que viaja a 30 m/s (108 km/h)? b) Si el auto puede alcanzar esta velocidad en 12 s partiendo del reposo, ¿cu´al es la potencia que desarrolla su motor?

8) ¿Desde qu´e altura debe caer un auto al piso de madera que realice ek nusni trabajo (es decir, que sufra el mismo da˜ no) que auto que se estrella contra un muro a 27 m/s (97.2 km/h)?

9) Un auto de 800 kg que viaja a 6 m/s empieza a descender por una colina de 40 m de altura con el motor apagado. El conductor utiliza los frenos de manera que la velocidad del auto al final de la colina es de 20 m/s. ¿Cu´anta energ´ıa perdi´o debido a la fricci´on?

10) Desde una altura de 2 m se deja caer un objeto de 0.5 kg sobre un resorte vertical. Si la campresi´on m´axima del resorte es de 10 cm, encuentre su constante de fuerza.

11) Un ca˜ no´n de juguete utiliza un resorte cuya constante de fuerza es 100 N/m para disparar una pelota de goma de 8 g. Si el resorte se comprime 5 cm al accionar el gatillo, ¿cu´al es la velociidad inicial de la pelota?

12) De un resorte con constante de fuerza de 600 N/m se suspende un objeto de 2.5 kg. Calcule a) el alargamiento del resorte y b)la energ´ıa potencial.

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6.2. Ejercicios

13) De un resorte cuya constante de fuerza de 20 N/m se suspende una masa de 30 g. Determine a) el alargamiento del resorte y b) la energ´ıa potencial del resorte estirado.

14) La constante el´astica de un resorte result´o ser de 3000 N/m. ¿Qu´e fuerza se requiere para comprimir el resorte hasta una distancia de 5 cm?

15) Batman, cuya masa es de 80 kg, est´a colgado en el extremo libre de una soga de 12 m, el otro extremo est´a fijo de la rama de un a´rbol arriba de ´el. Al flexionar repetidamente la cintura, hace que la soga se ponga en movimiento, y eventualmente la hace balancear lo suficiente para que pueda llegar a una repisa cuando la soga forma un a´ngulo de 60◦ con la vertical. ¿Cu´anto trabajo invirti´o la fuerza gravitacional en Batman en esta maniobra?

Cap´ıtulo 7

Calor y Temperatura

Objetivos Analizar el origen de las escalas de temperatura (Celsius, Fahrenheit, Kelvin). Convertir temperaturas espec´ıficas de una escala a sus temperaturas correspondientes en otra. Distinguir entre temperaturas especf´ıcas e intervalos de temperatura. Diferenciar el concepto de energ´ıa interna y calor. Efectuar c´alculos que incluyan flujo de calor, cambios de temperatura y cambios de fase.

7.1.

Concepto Generales

Energ´ıa interna es toda la energ´ıa de un sistema que se asocia con sus componentes microsc´opicos, ´atomos y mol´eculas, cuando se ve desde un marco de referencia en reposo respecto del centro de masa del sistema.L atemperatura del cuerpo es una medida de la energ´ıa cin´etica promedio de sus particulas. Calor es la transferencia de energ´ıa a trav´es de la frontera de un sistema debido a una diferencia de temperatura entre el sistema y sus alrededores. Est´e se puede considerar como energ´ıa interna en tr´ansito. Las nociones iniciales de calor se basaron en un fluido llamado cal´orico que flu´ıa de una sustancia a otra y causaba cambios en la temperatura. A partir del nombre de este fluido m´ıtico sali´o una unidad de energ´ıa relacionada con los procesos t´ermicos, la calor´ıa (cal), que se define como la cantidad de transferencia de energ´ıa necesaria para elevar la temperatura de 1 g de agua de 14. 5◦ a 15. 5◦ (La Calor´ıa, escrita con C may´ uscula y que se usa para describir el contenido energ´etico de los alimentos, es en realidad una kilocalor´ıa.) La unidad de energ´ıa en el sistema estadounidense es la unidad t´ermica brit´anica (Btu), que es la cantidad de transferencia de energ´ıa que se requiere para elevar la temperatura 73

74

7.1. Concepto Generales

de 1 lb de agua de 63◦ F a 64◦ F. Una cantidad de calor dada en el sistema de unidades puede expresarse en el otro si se toma en cuenta que: 1 J = 2. 39 × 10−4 kcal = 9. 48 × 10−4 Btu 1 kcal = 3. 97 Btu = 4185 J = 3077 f t · lb 1 Btu = 0. 252 kcal = 758 f t · lb = 1054 J Temperatura es una propiedad de los cuerpos, que entre cierto l´ımites, puede sentirse por medio del tacto.La temperatura indica la direcci´on del flujo de energ´ıa interna: cuando dos cuerpos est´an en contacto, la energ´ıa interna pasa del cuerpo de mayor temperatura al de menor temperatura, independiemtemente de la cantidad de energ´ıa interna que posea cada uno. Term´ ometro es un dipositivo que sirve para medir la temperatura mediante una escala graduada. Escalas de temperatura son las marcas enumeradas que aparecen en el tubo de un term´ometro, las cuales se clasifican de acuerdo a su descubridor, ´estas son: La escala Celsius esta escala fue desarrollada por el astr´onomo sueco Anders Celsius (1701-1744). En la escala Celsius se asign´o de forma arbitraria el n´ umero 0 al punto de congelaci´on del agua y el n´ umero 100 al de ebullici´on. As´ı, a presi´on atmosf´erica, hay 100 divisiones entre el punto de congelaci´on y el punto de ebullici´on del agua. Cada divisi´on o unidad de la escala recibe el nombre de grado (◦ ). Otra escala para medir la temperatura fue creada en 1714 por Gabriel Daniel Fahrenheit. El desarrollo de esta escala se bas´o en la elecci´on de otros puntos fijos: Fahrenheit escogi´o la temperatura de congelaci´on de una soluci´on de agua salada como su punto fijo inferior y le asign´o el n´ umero y unidad de 0◦ F. Para el punto fijo superior eligi´o la temperatura del cuerpo humano. Tambi´en existe la escala de temperatura Kelvin, as´ı llamada por el f´ısico ingl´es Lord Kelvin (1824-1907). Las unidades tienen el mismo tama˜ no que las de la escala ◦ Celsius, pero el cero se desplaza de modo que 0 k = −273. 15 C y 273. 15 k = 0◦ C Nota: Para convertir temperatura Celsius a Fahrenheit, se usa: 9 TF = TC + 32◦ 5 Para convertir temperatura Fahrenheit a Celsius , se usa: 5 TC = (TF − 32◦ ) 9 Para convertir temperatura Celsius a Kelvin, se utiliza: TK = TC + 273. 15 Para convertir temperatura Kelvin a Celsius, se utiliza: TC = TK − 273. 15◦ La capacidad t´ ermica C de una muestra particular se define como la cantidad de energ´ıa necesaria para elevar la temperatura de dicha muestra en 1◦ C. A partir de esta definici´on, se ve que, si la energ´ıa Q produce un cambio ∆T en la temperatura de una muestra, entonces: Q = C∆T

7. Calor y Temperatura

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donde Q es el Calor transferido, C es la capacidad t´ermica y ∆T es el cambio de temperatura. El calor espec´ıfico c de una sustancia es la capacidad t´ermica por unidad de masa. Por lo tanto, si a una muestra de una sustancia con masa m se le transfiere energ´ıa Q y la temperatura de la muestra cambia en ∆T , el calor espec´ıfico de la sustancia es: c≡

Q m∆T

donde c es el calor espec´ıfico, Q es el Calor transferido, m la masa y ∆T es el cambio de temperatura.

Sustancia S´ olidos elementales Aluminio Berilio Cadmio Cobre Germanio Oro Hierro Plomo Silicio Plata

Calor espec´ıfico c J/kg ◦ C 900 1830 230 387 322 129 448 128 703 234

cal/g ◦ C 0. 215 0. 436 0. 055 0. 0924 0. 077 0. 0308 0. 107 0. 0305 0. 168 0. 56 0215

Sustancia Otros s´ olidos Lat´on Vidrio Hielo (−5◦ C) M´armol Madera L´ıquidos Alcohol Mercurio Agua (15◦ C) Gas Vapor (100◦ C)

Calor espec´ıfico c J/kg ◦ C

cal/g ◦ C

380 837 2090 860 1700

0. 092 0.200 0.50 0.21 0.41

2400 140 4186

0.58 0.033 1.00

2010

0.48

Cuadro 7.1: Calores espec´ıficos de algunas sustancias a 25◦ C y presi´ on atmosf´ erica

Cambio de estado: Cuando a un s´olido se le suministra calor continuamente, el s´olido se calienta cada vez m´as hasta que finalmente empienza a fundirse. Mientras se est´a fundiendo, el material permanece a la misma temperatura y el calor que absorbe modifica su estado de s´olido a l´ıquido. Despu´es de que el s´olido se ha fundido, la temperatura del l´ıquido resultante aumenta comforme se le sumistra m´as calor, hasta que entra en ebullici´on. Ahora, el material permanece otra vez a temperatura constante hasta convertise todo en gas, despu´es de lo cual la temperatura del gas aumenta. Se llama calor de fusi´on a la cantidad que debe suministrarse a una cantidad unitaria de una sustancia que est´a en su punto de fusi´on, para pasar de un estado de s´olido a l´ıquido (Lf ). Se llama calor de vaporizaci´on (Lv ) a la cantidad que debe suministrarse a una cantidad unitaria de una sustancia que est´a en su punto de ebullici´on para cambiarla de l´ıquida a gas. Presi´ on y punto de ebullici´ on: el punto de ebullici´on de un l´ıquido depende de la presi´on a la que est´e sometido, a mayor presi´on corresponde un punto de ebullici´on mayor.

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7.1.1. Problemas resueltos

7.1.1.

Problemas resueltos

1) a) ¿Cu´al es el equivalente de 80 ◦ F en la escala Celsius? b) ¿Cu´al es el equivalente de 80 ◦ C en la escala Fahrenheit? 5 5 a) TC = (TF − 32◦ ) = (80◦ − 32◦ ) = 26. 7◦ C 9 9 5 5 b) TF = TC + 32◦ = (80◦ ) + 32◦ = 176◦ F 9 9 2) ¿Cu´anto calor se le debe suministrar a 3 kg de agua para elevar su temperatura de 20 a 80◦ C? Q = mc∆T = (3 kg)[4186 J(kg ·◦ C)](80◦ − 20◦ )C = 753, 480 J 3) Un bloque de hielo de 25 kg, inicialmente tiene una temperatura de −4◦ C y cede 50 kcal de calor. ¿Cu´al es su temperatura final? Q = mc∆T ∆T =

50 kcal Q = = 4◦ C mc (25 kg)[0. 5kcal/(kg ·◦ C)]

como ∆T = Tf inal − Tinicial Tf inal = 4◦ C − 4◦ C = 0◦ C 4) Se suministran 10 kcal de calor a una muestra de madera de 1 kg y se encuentra que su temperatura se eleva de 20 a 44◦ C. ¿Cu´al es el calor espec´ıfico de la madera? c=

Q 10 kcal = = 0. 42 kcal/(kg ·◦ C) m∆T (1 kg)(44 − 20)◦ C

5) Al preparar t´e, se vierten 600 g de agua a 90◦ C en una tetera de porcelana china de 200 g que est´a a una temperatura de 20◦ C. ¿Cu´al es la temperatura final del agua? Calor absorbido = calor cedido

mtetera ctetera ∆Ttetera (0. 2 kg)[837 J/(kg ·◦ C)](T − 20◦ C) 167. 4T − 3, 348 2, 679T T

= = = = =

magua cagua ∆Tagua (0. 6 kg)[4186 J/(kg ·◦ C)](90◦ C − T ) 226, 990 − 2, 511. 6T 226, 044 85◦ C

7. Calor y Temperatura

7.2.

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Ejercicios

1) El alcohol et´ılico se funde a −144◦ C y entra en ebullici´on a 78◦ C ¿Cu´ales son los equivalentes de esas temperaturas en grados Fahrenheit?

2) El bromo se funde a 19◦ F y entra en ebullici´on a 140◦ F ¿Cu´ales son los equivalentes de esas temperaturas en grados Celsius?

3) ¿Qu´e cantidad de calor debe extraerse de 2 kg de agua a 90◦ C para reducir su temperatura a 10◦ C?

4) ¿Cu´anto joule de calor debe extraerse de 2 kg de agua a 90◦ C para reducir su temperatura a 20◦ C?

5) ¿Qu´e cantidad de calor debe suministrarse a un bloque de hielo de 20 kg para elevar de -20 a −5◦ C?

6) ¿Qu´e cantidad de calor pierde una cuchara de plata de 50 g cuando se enfr´ıa de 20 a 0◦ C?

7) A una estatua de m´armol de Isaac Newton que pesa 100 kg se le suministran 700 kcal de calor cuando est´a a una temperatura de 18◦ C.¿Cu´al es su temperatura final?

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7.2. Ejercicios

8) A un vaso de vidrio de 250 g se le suministran 0.5 kcal de calor cuando est´a a una temperatura de 21◦ C y se observa que esta se eleva a 32◦ C. ¿Cu´al es el calor espec´ıfico del vidrio?

9) Un plato de cobre de 600 g contiene 1500 g de agua a 20◦ C. Se deja caer en el agua una barra de hierro de 100 g que se encuentra a 120◦ C. ¿Cu´al es la temperatura final del agua?

10) Se vierten 2 kg de sopa a 60◦ C en una sopera de porcelana de 2 kg que posee una temperatura de 21◦ C ¿Cu´al es la temperatura final de la sopa [csopa = 0. 9kcal/(kg ·◦ C); csopera = 0. 2 kcal/(kg ·◦ C) ]

11) ¿Qu´e cantidad de calor debe extraerse de 200 g de agua a 30◦ C para convertirla en hielo a 0◦ C?

12) ¿Cu´anto hielo a 0◦ C debe agregarse a 200 g de agua a 30◦ C si se desea bajar bajar su temperatura a 20◦ C?

Ap´ endice Despeje de f´ ormulas Una f´ ormula es una ecuaci´on literal en la cual se puede despejar cualquiera de los elementos que entran en ella, considerado como inc´ognita, es decir, llegar a disponer de una de las inc´ognita de en forma expl´ıcita. Ejemplo 1 Dada la f´ormula d = 12 at2 despejar a t : En este caso primero se debe suprimir el denominador (2), multiplicando por el mismo ambos miembros de la igualdad: 2d = at2 Luego se divide por a la cual est´a multiplicando a t2 2d a

t2 =

y finalmente se extrae la ra´ız cuadrada en ambos miembros: r 2d t= a √ Ejemplo 2 Dada la f´ormula v = 2gh despejar a h: Se elevan ambos miembros de la igualdad al cuadrado (puesto que es la operaci´on inversa de la radicaci´on) para eliminar el radical, v 2 = 2gh Luego dividiendo por 2g se tiene: h=

v2 2g

1 1 1 = + 0 despejar a p0 . f p p El m.c.m de los denominadores es pp0 f . Luego quitando denominadores se tiene:

Ejemplo 3 En la f´ormula

pp0 = p0 f + pf 79

80

Ap´endice

Transponiendo t´erminos pp0 − p0 f = pf Factorizando: p0 (p − f ) = pf Dividiendo por (p − f ) se tiene que p0 =

pf p−f

1 Ejemplo 4 En la f´ormula d = v0 t + at2 despejar a v0 2 Lo primero es eliminar 21 para eso se multiplica todo por 2 y se tiene: 2d = 2v0 t + at2 Transponiendo T´erminos: 2d − at2 = 2v0 t Dividir por 2t v0 =

2d − at2 2t

2vi senθ despejar Vi : g En este caso lo primero es suprimir denominadores, es decir multiplicar por g: Ejemplo 5 Dado T =

gT = 2vi senθ Luego se divide por 2senθ vi =

gT 2senθ

Bibliograf´ıa [1] Tippen, paul E.(2011) F´ısica conceptos y aplicaciones. 7ma edici´on McGRAWHILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. [2] Young, Hugh D. y Freedman, Roger A. (2009)F´ısica universitaria volumen 1. 12da ´ M´exico. edici´on PEARSON EDUCACION, [3] Serway, Raymond A. y Jewett John W. , Jr.(2008), F´ısica para ciencias e ingenier´ıa Volumen 1, 7ma edici´on, Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. [4] Giancoli, Douglas C. (2002)F´ısica para universitarios volumen 1. 3ra edici´on PEAR´ M´exico. SON EDUCACION, ´ M´exico. [5] Buffa, Wilson(2003), F´ısica, 5ta edici´on PEARSON EDUCACION, [6] Arthur,Beiser(1991), F´ısica Aplicada, 2da McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES,M´exico S.A. DE C.V.

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