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PROYECTO CIRCUITOS ELECTRICOS II

Presentado por: LEONARDO CHICAIZA MARLON RAMIREZ

Director: ING. PAÚL MEJÍA

LUGARES GEOMÉTRICOS

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS- ESPE CARRERA DE INGENIERÍA MECATRÓNICA PROYECTO SANGOLQUI 2015

2 TABLA DE CONTENIDO

3 LUGARES GEOMÉTRICOS Lugares Geométricos de Impedancias Breve explicación. Si se representa la impedancia equivalente de un circuito lineal, Z, como un punto en el plano complejo, la línea que resulta de unir estos puntos, al variar cualquiera de los componentes de la impedancia, se denomina lugar de impedancia como es bien conocido. Si sólo se varía un componente de cualquiera de las impedancias que integran el circuito, el lugar de impedancia Z, resulta siempre una circunferencia o una recta. Esto es esencia la base de lo que se explicará a continuación. Introducción. Las redes eléctricas pueden estar sujetas a variaciones de tipo frecuencial, paramétrico, etc. La respuesta de la red dependerá precisamente de dichas variaciones. El análisis desarrollado abarca únicamente redes en estado sinusoidal permanente, realizándose un estudio de los lugares geométricos generados por la variación de frecuencias o parámetros. Los elementos básicos de una red son: resistor, inductor y capacitor; pueden ser sometidos a variaciones. Así la impedancia (Z) puede ser alterada al variar su parte real (R) o su parte imaginaria (X). Z =R + jX

(1)

La variación de la parte imaginaria depende de la variación paramétrica, inductancia (L), capacitancia (C) o de la variación frecuencial, reactancia inductiva (XL) o reactancia capacitiva (XC), como se muestra en la siguiente expresión: X =X L− X C

Donde:

X L=ωL

4 XC=

1 ωC

La variación de R (resistencia) o de X (reactancia) permite obtener en el plano complejo Z el lugar geométrico respectivo. IMPORTANTE: El plano inverso de Z es el plano complejo Y, donde sus coordenadas son ℜ ( Y )=G( conductancia) , e

ℑ ( Y )=B( susceptancia) . Z =R + jX

También: Z=

Donde:

R=

G G +B 2

X=

−B G 2 + B2

1 G B = 2 2− j 2 2 G+ jB G +B G +B

(2)

2

(3)

Resistencia Variable y reactancia fija Considerando el dipolo de la figura 1 se tiene:

Figura 1.Dipolo

Z ab , Y ab con R variable, recuperado de:

http://bibdigital.epn.edu.ec/bitstream/15000/10007/1/Cap%201.pdf

5

Z ab=R + jX X =X L− X C

Siendo:

; R variable

se debe considerar un predominio inductivo o predominio capacitivo

Si:

X L> X C

el lugar geométrico de Z se lo ve representado en la figura 2.

Si:

XC > X L

el lugar geométrico de Z se lo ve representado en la figura 3.

Si:

X L> X C

Figura 2. Lugar Geométrico de

Z ab

con

X L > X C , recuperado de:

http://bibdigital.epn.edu.ec/bitstream/15000/10007/1/Cap%201.pdf

Según la ecuación 3: X L=

−B L 2

2

G L + BL

Donde: G2L +B 2L +

BL =0 XL

(4)

6 XC> X L

Si:

Figura 3. Lugar Geométrico de

Z ab

con

X C > X L , recuperado de:

http://bibdigital.epn.edu.ec/bitstream/15000/10007/1/Cap%201.pdf

Según la ecuación 3: XC=

BC 2 C

G + B2C

Donde: G2C +B 2C −

BC =0 XC

(5)

Las ecuaciones 4 y 5 representan la ecuación de una circunferencia con coordenadas del centro y valor del radio, dado por: X L> X C

Si:

2 1 ( G L+0 ) + BL +

(

(

C L 0,−

2 XL

2

1 1 ; r= 2 XL 2 XL

)

1 2 XL

2

) ( ) =

7 Si:

XC> X L

2

2

(

( GC +0 ) + BC −

(

CC 0,

1 1 = 2 XC 2 XC

2

) ( )

1 1 ; r= 2 XC 2 XC

)

La representación gráfica de estas circunferencias se las ve en las figuras 4 y 5 respectivamente. Además los ejes G (conductancia) y B (susceptancia ) representan el plano complejo Y (admitancia), que corresponde al plano inverso de Z (impedancia).

Figura 4. Lugar Geométrico de

Y ab , recuperado de:

http://bibdigital.epn.edu.ec/bitstream/15000/10007/1/Cap%201.pdf

Figura 5. Lugar Geométrico de

Y ab , recuperado de:

http://bibdigital.epn.edu.ec/bitstream/15000/10007/1/Cap%201.pdf

8

Las circunferencias 4 y 5, son limitadas o representadas por semi-circunferencias (figuras 4 y 5) por la variación que tiene R en el rango 0 ≤ R< ∞ (rango positivo) y por ende también la G variará en forma inversa en el rango positivo ∞ >G ≥0 . Respecto a los ángulos, debe notarse que estos son los mismos pero de signo contrario. φ L =tan −1

XL R

φC =tan −1

Z L=|Z L|∠φ L

Z C =|Z C|∠−φC

| |

Y L=

XC R

| |

1 ∠−φ L ZL

Y C=

Resistencia Fija y Reactancia Variable Considerando el dipolo de la figura 6, se tiene.

Figura 6.Dipolo

Z ab , Y ab con jX variable, recuperado de:

http://bibdigital.epn.edu.ec/bitstream/15000/10007/1/Cap%201.pdf

1 ∠φC ZC

9 Z ab=R + jX La figura 7 demuestra el lugar geométrico de

; −∞< X